Clase Funcion Cuadratica 6k241g

Asignatura: Matemáticas Grados: Noveno A-B-C Periodo: I Fecha:15 febrero de 2016 Docente: Lacides Tafur Pacheco. LOGRO: Describe y Analiza las características y comportamientos de diversas funciones y las aplica a problemas prácticos

cuadrática de “Cero de la función”. También se les conoce como raíces porque toda ecuación cuadrática se puede resolver por medio de la fórmula general la cual implica una raíz cuadrada.

Unidad Funciones polinómicas. Función Cuadrática

Definición Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola. Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2

Pero es importante hacer una distinción, los valores que cruzan el eje de las “x” se les llaman cero de función y los valores que no cruzan el eje de las “x” se llaman raíces de la función. Si después de resolver las operaciones dentro de la raíz cuadrada de la fórmula general, nos da como resultado un número negativo entonces, esa función tiene raíces de la función si el valor es positivo la función tiene ceros.

Ejemplo

• •

f(x) = x2 f(x) = -x2

Ejemplos incisos a, b, c y d De las siguientes funciones cuadráticas, encontrar cuáles tienen ceros y cuáles tienen raíces:

Para ello se utilizará la fórmula general para determinar si las funciones tienen ceros o raíces.

Existen funciones cuadráticas completas e incompletas:

•

Completas: Son

aquellas

que

tienen

la

forma:

•

Incompletas: Son aquellas que pueden tener las siguientes formas:

Pasos

Procedimiento Inciso Donde:

Para poder encontrar los valores que resuelven estas funciones es necesario igualar la función a “cero”, de allí el nombre que se le da a las soluciones de la ecuación

a:

Asignatura: Matemáticas Grados: Noveno A-B-C Periodo: I Fecha:15 febrero de 2016 Docente: Lacides Tafur Pacheco. sustituyendo la coordenada x calculada con la expresión anterior y sustituyéndola en la función de la parábola correspondiente; o mediante la fórmula K =

Sustituyendo en la fórmula:



Eje de simetría La recta vertical que parte la parábola en dos mitades simétricas y pasa por el vértice. Resultado

Por ejemplo, el vértice de la parabola y = x2 – 2x -3 es

Como se puede observar dentro de la raíz cuadrada hay un número negativo, por lo tanto se puede concluir que esta función tiene RAICES. Pasos

Procedimiento Inciso b: Donde:

Sustituyendo en la fórmula:

Vértice y eje de simetría de la parábola

Resultado Como se puede observar dentro de la raíz cuadrada hay un número positivo por lo tanto se puede concluir que esta función tiene CEROS.

Vértice, gráfica e imagen de una función cuadrática

Raíces Las raíces son los puntos donde la parábola corta el eje horizontal. Una parábola puede tener 2 raíces, una raíz o ninguna. En otras palabras, la función puede cortar el eje “x” en dos puntos, un punto o no cortarla como lo ilustra la figura:

La función cuadrática tiene varios elementos que la componen, en este tema solo se abordarán tres de esos elementos que son: vértice, gráfica y la imagen de la función cuadrática. Vértice Es el punto donde la parábola alcanza su máximo o su mínimo está dada por la coordenada V=(h,k). La coordenada X (horizontal) del vértice se obtiene con la siguiente ecuación:

La coordenada Y (vertical) del vértice se obtiene

Las raíces de una parábola Las raíces se obtienen igualando la función a cero y resolviendo para “x”. ax2 + bx + c = 0 En donde la solución general para cualquier ecuación de segundo grado está dado por:

Asignatura: Matemáticas Grados: Noveno A-B-C Periodo: I Fecha:15 febrero de 2016 Docente: Lacides Tafur Pacheco. Por ejemplo, las raíces de la parabola y = x2 – 2x -3 son: a = 1; b = -2; c = -3

X1 = -1 ; X2 = 3 Se debe distinguir que una función cuadrática, puede ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, tal como lo muestran las siguientes gráficas. Para determinar si la concavidad de la función será hacia arriba o abajo solo es necesario aplicar la siguiente regla:

• •

Si el valor de “a” de la función cuadrática es mayor que cero la función es cóncava hacia arriba. Si el valor de “a” de la función cuadrática es menor que cero la función es cóncava hacia abajo.

En la siguiente gráfica se observa el vértice, el cual es el punto máximo o el punto mínimo de la parábola. Dentro de una gráfica, es sencillo determinar en donde está el vértice, ¿pero qué pasa si la función está dada como una ecuación? ¿Cómo se calcula el vértice de la función? Para resolver estas incógnitas se basará en la representación en forma estándar de una función cuadrática. La cual permite determinar de manera analítica en qué posición del plano cartesiano se encuentra localizado el vértice. La forma estándar de la función cuadrática es la siguiente:

En donde el vértice está dado por el punto se tendrán tres casos para determinar dependiendo de la forma de la ecuación: Si la ecuación tiene la forma: El vértice esta en: El vértice esta en: El vértice esta en:

para lo cual el vértice,

Taller: encuentre, El vértice, el e je simétrico , los puntos de corte en X y los puntos de corte en Y, también los Domin ios y el rango de las s igu ien tes ecuaciones. Además debes graficarlas para analizar las parabo las. Utilizando la información dada por el docente. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.