Exposicion De Funciones Inversa Inyectiva Sobreyectiva Y Biyectiva 101x6e

FUNCIONES INVERSAS, INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

FUNCION 

Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y).

Función inversa 

Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial. Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b.

Gráfica de una Función Inversa La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos ver en la siguiente imagen:

Por tanto si M(b,a) es un punto de f, y por tanto sabemos que M´(a,b) será un punto de g, entonces las pendientes de las tangentes en M y en M´son inversas. Es decir si la pendiente de la tangente en M es m, entonces la pendiente de la tangente en M´ será 1/m.

Observación: Recordad que no es lo mismo la función inversa, que la inversa de una función.

Pasos para calcular una función inversa Para poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir unos pasos: 

1º. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y viceversa. Recordad que y=f(x).



2º. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que despejar la variable y en función de x.



3º. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado.

Por último vamos a realizar unos ejemplos en los que seguiremos los pasos (que son pocos y cortos) para obtener la función inversa en cada caso: Ejemplo 1: Hallar la función inversa de f(x)=3x+5.

Función Inyectiva 

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”. .

No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X

En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos x y x : a

b



En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos xa y xb:

Dicho de otra manera: una función es inyectiva si se cumple que a valores de su dominio x0 ≠ x1 ⇒ f(x0) ≠ f(x1). Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto. Ejemplo: La función f(x) = 2x+1 , con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva.

Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

En efecto, si xa y xb tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

Ejemplo de otra función no inyectiva 

Veamos la gráfica de otra función:

Esta función no cumple la condición de inyectividad, por lo que no es inyectiva.

Función Sobreyectiva 

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho de otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su dominio. En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Ejemplo F. Sobreyectiva 

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.

Esta función sí que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.

El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.

Es decir, que, con la función f(x), todo número real será imagen de, como mínimo, otro número real

Otro ejemplo de F. Sobreyectiva 

Igualmente, con los mismos argumentos, será sobreyectiva la función:

Función Biyectiva Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva). Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X

Teóricamente, una función f es biyectiva si:

Ejemplo de la F. Biyectiva 

La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva.