Conceptos Fundamentales Del Algebra. 246v2m

Conceptos fundamentales del álgebra. Profesor: Danilo Gómez Correa 4 de diciembre de 2012

Índice general 1. Números racionales 1.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2

2. Números reales 2.1. Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Irracionales destacados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Los reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4 4

3. Exponentes y radicales 3.1. Exponentes . . . . . . . 3.2. Radicales . . . . . . . . 3.3. Relación potencia raíces 3.4. Racionalización . . . . .

. . . .

5 5 7 8 8

4. Expresiones algebraicas 4.1. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 10

5. Fracciones algebraicas 5.1. Simplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Adición y sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 11 11

6. Ejercicios

13

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Resumen Este artículo es una introducción al estudio de algunos conjuntos numéricos importantes y al lenguaje algebraico, además, pretende nivelar al estudiante considerando su disparidad en su formación.

1

1.

Números racionales

Definición 1.1. Un número racional es cualquier número que se puede escribir como el cuociente de dos números enteros de denominador no nulo. Es decir:

Q=

a /a ∈ Z ∧ b ∈ Z − {0} b



1 Ejemplo 1. El numero decimal 0,5 es racional, ya que es igual a . El número 1 2 5 es un número racional, porque lo podemos escribir como que es el cuociente de 5 números enteros de denominador no nulo. Recordemos que una fracción conserva su valor si se amplifica o simplifica por un número entero estas son llamadas fracciones equivalentes. 1 3 Ejemplo 2. Si la fracción se amplificada por 3 resulta es decir: 2 6 1 3 = 2 6 Entonces un número racional no tiene una escritura única como fracción; de hecho, existen infinitas formas de escribir un número racional como fracción. Por ejemplo, 0 para cada entero n 6= 0, el número racional 0 se puede escribir como . n Observación 1. Los numeros decimales periódicos son racionales. Los numeros decimales semi-periódicos son racionales.

1.1.

Operatoria

Definición 1.2. Sean a, b, c, d ∈ Z. Para sumar o restar fracciones con igual denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. a b a±b En general: ± = ; con c 6= 0 c c c Para sumar o restar fracciones con distinto numerador, se puede amplificar o simplificar hasta obtener fracciones equivalentes con igual denominador y, luego, sumarlas o restarlas. a c a±b En general: ± = ; mcm(b, d) corresponde al mínimo cob d mcm(b, d) mún múltiplo entre b y d. 2

Al multiplicar fracciones, se obtiene una fracción cuyo numerador corresponde al producto de los numeradores, y cuyo denominador, al producto de los denominadores. En general:

a·b a b · = b d c·d

; con c, d 6= 0

Para dividir fracciones, se puede multiplicar la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda. En general:

2. 2.1.

a d ad a c ÷ = · = b d b c bc

; con b, c 6= 0

Números reales Irracionales

Antes de empezar a hablar de los numeros reales conoceremos tangencialmente primero los números irracionales y entre ellos algunos notables. Definición 2.1. Un número irracional es un número que no puede representarse como una fracción. Es un número decimal infinito que no tiene período. Ejemplo 3. Es irracional la longitud de √ la hipotenusa de un triángulo isosceles rectángulo de lado 1 (cateto), pues es 2. Observación 2. Para demostrar que era un número irracional, los griegos razonaron dando una demostración por reducción al absurdo. √ x Si existiera un racional igual a 2, se escribiría como una fracción , con x e y y números enteros positivos. Supongamos que simplificamos todos los factores comunes entre x e y, de √ a a modo que obtenemos la fracción , que es irreducible. Pero de 2 = se obtiene b b √ 2 · b = a, de donde se deduce, elevando al cuadrado, que 2b2 = a2 . Entonces, 2 divide al número entero a2 , y como 2 es número primo, 2 divide a a, por lo que a2 es múltiplo de 4, es decir, a2 = 4k, con k algún número entero. Luego, para b se cumple 2b2 = 4k, de donde b2 = 2k, o sea, b2 es múltiplo de 2, el que es primo, por lo que 2 divide a b, pero entonces 2 divide a a y a b, aun si no tenían √ factores comunes, lo cual es una contradicción. Entonces, la suposición de que 2 es un número racional es incorrecta. √ Por lo tanto, 2 es un número irracional. 3

2.2.

Irracionales destacados El numero irracional mas conocido es el numero π, que es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, es decir: π=

longitud de una circunferencia diámetro

Muchas han sido las aproximaciones de π en el transcurso de los años, por ejemplo, en 1987 se calculo con una precision de mas de 100 millones de cifras decimales, sin encontrarse periodo alguno. El número e ≈ 2, 718281 . . . data del siglo XVI y aparece en forma natural cada vez que se estudian fenómenos de crecimiento o decrecimiento poblacional o se modelan las curvas, por ejemplo, que aparecen en los cables de tendido eléctrico. √ 1+ 5 ≈ 1, 61803398 . . . llamado número áureo o número El número φ = 2 de oro fue descubierto en la Antigüedad al observar la proporción que hay en algunas proporciones de la anatomía humana (por ejemplo, entre la altura de una persona y altura de su ombligo, o la relación entre el diámetro de la boca y diámetro de la nariz) y en la naturaleza (como en la disposición de los pétalos de las flores o en la distancia entre espiras de cualquier caracol).

2.3.

Los reales

El conjunto de los números R = Q∪I cuya naturaleza sea racional e irracional. Formalmente: Definición 2.2. El conjunto de los números reales el único conjunto no vacio que tiene estructura de cuerpo, ordenado y completo, el cual esta provisto de dos leyes de composición interna (operaciones) estas son + y · Axiomas de la adición en R ∀a, b, c ∈ R 1. Clausura: a + b ∈ R 2. Asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c 3. Conmutatividad: a + b = b + a 4. Elemento neutro: ∃0 ∈ R; ∀a ∈ R/ a + 0 = 0 + a = a 5. Elemento inverso: ∀a ∈ R; ∃(−a) ∈ R/ a + (−a) = (−a) + a = 0 4

Axiomas de la multiplicación en R ∀a, b, c ∈ R 1. Clausura: a · b ∈ R 2. Asociatividad: a · (b · c) = (a · b) · c 3. Conmutatividad: a · b = b · a 4. Elemento neutro: ∃1 ∈ R; ∀a ∈ R/ a · 1 = 1 · a = a 5. Elemento inverso: ∀a ∈ R; ∃a−1 ∈ R/ a · a−1 = a−1 · a = 0 con a 6= 0 Distributividad: ∀a, b, c ∈ R se tiene que: a · (b + c) = a · b + a · c Observación 3. Hasta aquí los axiomas nos indican que R tiene estructura de cuerpo. Los axiomas de orden y completitud se estudiaran en el momento indicado.

3. 3.1.

Exponentes y radicales Exponentes

Definición 3.1. Una forma abreviada de escribir una multiplicación donde se repite el mismo factor n veces se denomina Potencia. El factor que se repite se llama base y las veces que se repite este factor se llama exponente. Es decir: n ∀n ∈ Z; a | · a · a ·{z. . . · a · a} = a n

veces

4

Ejemplo 4. (2) = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 Propiedades 3.2. Sean a, b ∈ R y además; m, n ∈ Z Potencias de igual base: Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes am · an = am+n División de potencias de igual base:Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes. am : an = am−n 5

con

a 6= 0

Producto de potencias de igual exponente:Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conservan los exponentes. am · bm = (a · b)m División de potencias de igual exponente:Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se conserva el exponente. am : bm = (a : b)m

con

b 6= 0

Potencia elevada a potencia: Para elevar una potencia a una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes (am )n = (a)m·n Toda potencia de exponente cero es igual a uno. a0 = 1;

con

a 6= 0

Toda potencia de exponente negativo es igual a uno dividido por la potencia con exponente positivo. 1 a−1 = ; a

con

a 6= 0

Toda potencia de base fraccionaria con exponente negativo es igual al recíproco de la base y exponente positivo. −1 a

b

b = ; a

con

Ejemplo 5. Simplifique las siguientes expresiones 1. a2 b5 · a3 b = R: a5 b6 2. (x3a−1 + x − x4−5a ) · x1−3a = R: x12 !2

a+b a−b · 3. a−b c−d (a − b)(c + d) R: (a + b)2

!3

c+d · a+b

!4

=

6

a, b 6= 0

3.2.

Radicales

Definición √ 3.3. Si a es un número real y n un número natural, entonces la expresión n a denota al número cuya potencia enésima es a. √ n a = b ←→ bn = a √ Si a ≥ 0 y n un número par, n a existe y es siempre un número positivo. √ Si a < 0 y n un número par, n a no es un número real. √ Cuando n es un número impar, n a conserva el signo de a y es siempre un número real. Al número n se le llama índice, y al número a se le llama cantidad subradical. Ejemplo 6. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. √ 5 −243 = −3 Verdadero. √ √ 4 −256 = − 4 256 Falso. √ n 0 = 0 para cualquier valor de n. Falso. √ (−b)n = a ←→ n −a = −b, n impar. Verdadero. √ El número 6 −17 es real. Falso. Propiedades 3.4. Si a y b son números reales, n y m números naturales, se cumplen las siguientes propiedades: Adición y sustracción de raíces: para que dos o más raíces se puedan sumar o restar, es necesario que sean semejantes; es decir, deben tener el mismo índice y la misma cantidad subradical. Multiplicación de raíces de igual índice: √ √ √ n a · n b = n a · b si n es par, a, b ≥ 0 División de raíces de igual índice: √ r n a a n = √ , con b 6= 0 n b b 7

Raíz de una raíz: q√ q√ √ √ n m a = n·m a = m·n a = m n a Ejemplo 7. Simplifica las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de las raíces. √ √ 2 2 12 1− √ + 32− √ = + 3 2 8 4 q √ √ r q √ 2 2 2 2 2 2· √ · √ = 4 2 2 √ √ 4 4 36 7 9 √ √ √ · · = 3 3 7 3 2 49 √ √ 5 9 12 6 − 3 4 48 = r q

3.3.

Relación entre raíces enésimas y potencias de exponente racional

Definición 3.5. Sea a ∈ R, 1

si n 6= 0, entonces a n = m

si n 6= 0, entonces a n

√ n

a √ = n am , con a 6= 0

Ejemplo Resolver: q √ 8. √ 3 a = 6 a; con a ≥ 0, ya que, q√ √ √ 1 1 1 1 1 1 3 a = ( 3 a) 2 = a 3 2 = a 3 · 2 = a 6 = 6 a

3.4.

Racionalización

Definición 3.6. Racionalizar una fracción es transformarla, sin cambiar su valor, en una expresión que no posea raíces en el denominador. Observación 4. Para racionalizar una fracción debemos amplificarla por una expresión que nos permita eliminar la raíz o las raíces presentes en el denominador. 1 Ejemplo 9. Observa el procedimiento para racionalizar √ . 5 2 √ √ √ 5 5 5 1 24 24 24 √ √ √ · = = 5 5 2 2 5 24 25 8

a En general, para racionalizar una expresión como √ debemos amplificar de n m b la siguiente forma: √ √ n n−m b a n bn−m a √ · √ = n m n n−m b b b

4.

Expresiones algebraicas

Definición 4.1. Una expresión algebraica es una cadena de letras, números y símbolos unidos por sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potencias. Ejemplo 10. 4π 3 r 3 es una expresión algebraica que denota volumen de una esfera de radio r. Una expresión algebraica en la que no hay sumas ni restas se llama término algebraico. Ejemplo 11. 8x3 8 coeficiente numérico. x coeficiente literal. 3

exponente.

Definición 4.2. Llamaremos términos semejantes a aquellos términos algebraicos que tienen los mismo coeficiente literales y en estos los mismos exponentes. Ejemplo 12. Son semejantes:

3x4 y 6 , 5x4 y 6

Cuando tenemos una expresión algebraica que contiene términos semejantes éstos se pueden reducir, es decir, sumar o restar términos semejantes según la operación que aparezca en la expresión. Además, la reducción es válida solo en el caso de existir términos semejantes Si denotamos un objeto por una letra (x) y otro objeto con otra letra (y), entonces x + y no es 2x ni tampoco 2y , pues son objetos distintos, por lo tanto no se pueden sumar. Solo los términos semejantes denotan los mismos objetos. Ejemplo 13. 3xy 2 − 31xy 2 = −28xy 2 . Recordemos que la multiplicación es conmutativa, es decir xy = yx para cualquiera que sean los valores de x e y. Por lo tanto, para reconocer términos semejantes, el orden en que aparezcan las letras no importa. 9

Ejemplo 14. 3x2 z 3 = 3z 3 x2 = x2 3z 3 , sin embargo, es costumbre (es un convenio) escribir los números al inicio y luego las letras en orden alfabético. De modo que el término 3x2 y es semejante con 4yx2 y por lo tanto, 3x2 y − 4yx2 = −1x2 y. Observación 5. Un término algebraico que solo tiene números y potencias positivas de las variables se denomina monomio. Por ejemplo: 3x2 y es un monomio, 3 es un monomio, en x2 cambio, 2x2 z −3 = 2 3 no es un monomio. z Una expresión algebraica que sólo tiene monomios como términos algebraicos, se denomina polinomio. Por ejemplo, p(x) = x2 + 1 y q(x) = x3 + x2 − x + 1, son polinomios en una variable. A la potencia más grande que aparece en un polinomio en una variable se le llama el grado del polinomio. Por ejemplo, p(x) tiene grado 2 y q(x) tiene grado 3. Si p(x) tiene grado n, a la igualdad p(x) = 0 , se denomina una ecuación de grado n.

4.1.

Algunas factorizaciones y productos notables

Sean a, b ∈ R se tiene que: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (a + b) · (a − b) = a2 − b2

(cuadrado de binomio) (suma por su diferencia)

x2 + (a + b) · x + ab = (x + a) · (x + b) término común)

(producto de dos binomios con un

(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3

(cubo de binomio)

a3 ± b3 = (a ± b) · (a2 ∓ ab + b2 )

(suma y diferencia de cubos)

an − bn = (a − b) · (an−1 + an−2 b + an−3 b2 + . . . . . . + a2 bn−3 + abn−2 + bn−1 ) an + bn = (a + b) · (an−1 − an−2 b + an−3 b2 − . . . . . . + a2 bn−3 − abn−2 + bn−1 )

5.

Fracciones algebraicas

Definición 5.1. Dadas dos expresiones algebraicas representadas por p y q, con q 6= 0, llamaremos expresión algebraica fraccionaria o fracción algebraica p a toda expresión de la forma . q 10

Ejemplo 15. Las expresiones

n n+1 y 2 son fracciones algebraicas. n+1 n +n−1

Observación 6. Para el análisis de expresiones algebraicas fraccionarias, es importante considerar valores distintos, positivos y negativos, grandes y pequeños. Además, se debe distinguir si la expresión se indefine y los valores para los cuales se anula. Una fracción algebraica está indefinida para un cierto valor de una variable si su denominador se anula para tal valor y el numerador es distinto de 0. Por ejemplo, 1 si a = 0, entonces esta indefinida. a

5.1.

Simplificación de fracciones

Para simplificar fracciones algebraicas, se puede factorizar completamente el numerador y el denominador y revisar si existen factores numéricos y/o algebraicos comunes en el numerador y el denominador, y si existen, dividir por estos, obteniendo una fracción algebraica irreducible. Finalmente, si es necesario, se deben indicar las restricciones para los valores que pueda tomar x. Ejemplo 16. 3(x − 6) 3 3x − 18 = = ; − 5x − 6 (x − 6)(x + 1) x+1

x 6= 6 y x 6= −1

x2

(x − 2)(x − 3) x−2 x2 − 5x + 6 = = ; 2 x + 7x − 30 (x + 10)(x − 3) x + 10 x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x+1 = = ; x2 + 2x + 1 (x + 1)(x + 1) x+2

5.2.

x 6= 3 y x 6= −10 x 6= −1 y x 6= −2

Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Para sumar y restar fracciones algebraicas, debemos ver si sus denominadores son iguales. De no ser así, debemos encontrar fracciones equivalentes de denominador igual al mínimo común hallado. Finalmente, se suman los numeradores de las fracciones equivalentes halladas. Observación 7. Para encontrar el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas, se sugiere factorizar cada expresión, si es posible, y luego multiplicar todos los factores encontrados. Si hay algún factor que se repite, se elige el de exponente mayor. 11

Ejemplo 17. 1 3x 1 3x + 2 = + x−1 x −1 x − 1 (x + 1)(x − 1) 3x(x + 1) + 1 = x2 − 1 3x2 + 3x + 1 = x2 − 1 El mcm se puede encontrar con método siguiente: (x − 1) (x + 1) (x − 1) (x − 1) 1 (x + 1) 1 (x + 1) 1 1 1 ∴ El mínimo común múltiplo mcm = (x − 1)(x + 1) = x2 − 1

12

6.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes operaciones: 1 3 ÷ 2 4 a) d) 1 +2= 2 = 1+ 6· 3 3 1 3 4 b) 1 + e) · 20 + 1 = 1 = 5 1+ 1 + 1 3 1+ 2 1 6 · 1 1 2 2 = = c) · 4 + f ) 1 1 2 1+ 6· 3 3 21 23 2. ¿Cómo encontrarías una fracción comprendida entre y . 32 16 1 2

3. Resuelve las siguientes operaciones: 4−3 + 2−3 = 2−3 5 5 1 1 · b) 8 −48 = 1 8 1 2 −1 + = c) 2 3

2

a)

d)

6 3

÷



−2

e)

1 2

"

f)

5 10

5 · 10

1 6 + 3 3

3

= −1

=

−1 #−1

=

4. Dibuja un diagrama que represente el árbol genealógico de tu familia partiendo contigo, luego tus padres, tus abuelos, tus bisabuelos y así sucesivamente. ¿Cuántos bisabuelos son?, ¿cuántos tatarabuelos?, ¿de cuántos consta la quinta generación de tus antepasados? 5. ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista 3 cm? si ahora duplicamos su arista, ¿cuántas veces mayor es el volumen del nuevo cubo?, ¿qué ocurre si se triplica o cuadruplica el tamaño de la arista del cubo inicial?

13

6. Resuelve √ √ √ √ a) 5 7 + 5 5 7 − 2 5 7 + 11 5 7 = √ √ √ √ b) 4 12 + 6 4 12 − 4 4 12 + 3 4 12 = √ 1√ 3√ c) 2 4 5 − 4 5 + 4 5 = 2 4 √ √ √ √ 6 6 6 d) 9 − 3 9 − 4 18 + 15 6 18 = 7. Simplifica las siguientes expresiones aplicando las propiedades de las raíces. Indica en cada caso las propiedades utilizadas. q√ √ 4 a) 3 · 4 54 = q √ 7 3 b) 3 44 = r q √ c) 4 9 3 729 = q √ √ r q √ 2 2 2 d) 2 2 2 · √ · √ = 4 2 2 r q √ √ e) 5 9 12 6 − 3 4 49 = 8. Escribe las siguientes raíces en forma de potencia y, luego, calcúlalas: √ a) 3 −343 = √ b) 5 243 = √ c) 5 −0, 00001 = 9. Racionaliza las siguientes expresiones: 2 a) √ = 8 √ 5 b) √ = 7 10 = c) √ 4 25 1 d) √ = 5 2 10. Desarrolla los siguientes productos y reduce términos semejantes: a) x2 y 2 (3xy − 2x2 y) + 5x3 y 3 = 14

b) (−0, 2a + 0, 25ab)50a2 b = c) (−2cs − 3cr + 4rs)(−3r) + s(3r2 − 4cr) = abc (−3a + 6b − 12ac) + a2 (bc + bc2 ) = d) 3 h √ ih √ i 11. Calcula el producto (x2 + 1) + 2x (x2 + 1) + 2x √ √ 12. Muestra que (1 + 2)2 + (1 − 2)2 es un número entero. √ √ 13. Muestra que (1 + 2)3 + (1 − 2)3 es un número entero. 14. ¿Es cierto que

(x + y)2 − (x − y)2 = xy? 4

15. Recuerda que (a + b)2 es la suma de los cuadrados de a y de b con el doble producto entre a y b. Calcula (a + b + c)2 . ¿Es verdadero que es la suma de los cuadrados de a, b y c con los dobles productos de pares de variables distintas? 16. Resuelve las siguientes fracciones algebraicas y simplifica cuando sea posible. Indica las restricciones en cada caso. 3 15 m2 − 8m − 1008 3m + 84 = ÷ = d) 12−1 ÷ 8 a a −1 m+4 7m + 28 b(x − a) c2 b4 − a4 x2 − x4 y y − x2 y 2 · = e) ÷ = b) cb2 − a2 b3 x2 − b3 a2 1 + 6z 2 1 − 36z 4 z 4 + z 2 − 42 z 2 a4 − 49 x2 − 4x x2 − 16 c) 2 ÷ 3 = · = f ) x − 25 x − 102 + 25x za2 − 7 z2 + 7

a)

17. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas: x x−3 1 x2 3 d) 2 − − = + = x + 2x − 3 x − 1 x + 2 x2 − 16 x2 + 4 4 x 2 x2 + 1 (1 + x) 5x + 25 = − b) + 2 + = e) − 3x + 9 x − 9 3x − 9 1 − x6 x−1 x4 + x2 + 1 1 1 2 2x w−1 w+2 w c) + + = f ) − − − = 1 − x3 x − 1 x2 + x + 1 w w + 2 w − 1 w2 − 1

a)

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Referencias [1] Algebra y trigonometria, undécima edición, Swokowski, Earl y Cole, Jeffery, Learning. [2] El Cálculo con Geometría Analitíca, sexta edición, Louis Leithold. [3] Introducción a las Matemáticas Universitarias, Wisniewski, piotr Marian & Banagas, Ana Laura Gutiérrez, Mc Graw Hill, 2002.

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