Conjunto Universal 4y1923

Facultad de Ciencias Histórico Sociales y Educación ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN PRIMARIA “Conjunto Universal y Diferencia de Conjuntos” DOCENTE

:

DR.AGUSTIN RODAS MALCA.

ALUMNA

:

BERMEO CUBAS SANDY.

CURSO

:

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO III.

CICLO

:

V.

CONCEPTO: Los conjuntos que se forman a partir de una propiedad y que abarcan la totalidad de la referencia se llaman conjuntos referenciales o universales. A estos conjuntos de fundamental importancia los representamos de una forma muy especial: con un diagrama rectangular y el símbolo que lo distingue es “U” o “R”

Una vez dada una propiedad el conjunto universal o referencial es el conjunto de todos los elementos que verifican esa propiedad. EJEMPLO: R= x/x es bloque de Dienes En el pupitre queda armado el conjunto con todos los bloques. Podría haberse dispuesto la caja o el sobre donde lo guardamos e igualmente se trataría del conjunto universal de bloques de Dienes. Supongamos que la forma del pupitre es el diagrama del conjunto universal de bloques, y que con un hilo o lana rodeamos ahora los bloques rojos destacando el conjunto A.

A

U

CONCEPTO: Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos , se le simboliza por la letra U, gráficamente se le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice(uno cualquiera) se colocara la letra U.

EJEMPLO: 1. Si consideramos como un conjunto universal al sistema universitario de nuestro país, entonces cada universidad x, será el elemento de dicho universo. 2. El conjunto de libros de una Biblioteca determinada, puede ser otro ejemplo, sus elementos serán cada uno de los libros de los que consta. El marco de referencia es relativo, de modo que podemos referir como conjunto universal por ejemplo al Conjunto de Bibliotecas de la ciudad. 3. Determinación por comprensión: A=(x/x es par Ʌ x E N; 1<X<7). B=(x/x es impar; 0<x<6). C=(x/x es un numero primo menor que 11). U=(x/x los 10 primeros números naturales) Determinación por extensión: A= (2; 4; 6) B= (1; 3; 5) C= (2; 3; 5; 7) U= (1; 2; 3; 4….; 10)

U

CONCEPTO: Se denomina así al conjunto que contiene a todos los elementos. Este conjunto depende del problema que se estudia, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo. Primitivamente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas, pero en la actualidad está demostrado que este conjunto no existe. Al presente se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Si tratamos conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto universal sería el que estuviera formado por todas las letras del alfabeto. El complemento del conjunto universo (o referencial) es el conjunto vacío. El conjunto universal se indica con la letra U y algunas veces se indica con la letra R. En un problema que sólo involucra números naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos los números naturales: {1, 2, 3, 4,. . .}. Cualquier otro subconjunto involucrado, como el conjunto de los números pares {2, 4, 6,. . .}, se toman de este conjunto universal. EJEMPLO: Sean los conjuntos: E = {mujeres} F = {hombres} Existe otro conjunto que incluirá a los conjuntos E y F, que sería el conjunto U : U = {seres humanos} Gráficamente se representa por medio de un rectángulo tal como se observa a continuación. Veamos otro ejemplo: Sean los conjuntos: A = {aves} B = {peces} C = {gatos} D = {perros} Existe aquí otro conjunto que incluirá a los conjuntos A, B, C y D y que será el conjunto U. U = {animales} Gráficamente se puede representar por un rectángulo tal como podemos ver a continuación.

CONCEPTO: Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo. El conjunto universal o referencia, es el formado por un amplio número de elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más conjuntos. Para representar que un conjunto es universal se utiliza la vocal U mayúscula. EJEMPLO: El conjunto formado por las letras del abecedario. U = {letras del abecedario} Gráficamente:

Del conjunto U se puede formar el conjunto V de vocales y conjunto C de consonantes.

CONCEPTO: Esta acción da como resultado un nuevo conjunto al que pertenecen los elementos del primer conjunto y no los del segundo conjunto. En los dibujos siguientes representamos gráficamente el conjunto resultado mediante la zona rayada

En el 1er caso: A diferencia de B es igual a A porque A y B son disjuntos. En el 2do caso: A diferencia de B es un nuevo conjunto T que resulta de quitar el conjunto B. En el 3er caso: D diferencia de C es un nuevo conjunto que llamamos el complemento de C respecto de D. 4to caso: C diferencia de D Es el conjunto vacío. Este último caso nos muestra bien a las claras que no es lo mismo C diferencia de D que D diferencia de C, lo mismo ocurre en los casos anteriores. De esta observación se deduce que la diferencia de conjuntos no es una operación conmutativa.

EJEMPLO: Con los niños armamos conjuntos convenientemente elegidos para que puedan analizar esta operación en conjuntos disjuntos, en conjuntos intersecados, en un conjunto incluido en otro y en cada caso, rodeen con la lana roja los elementos que pertenecen solo al primer conjunto.

CONCEPTO: Diferencia entre los conjuntos “A” y “B” es el conjunto de los elementos “x”, que pertenecen a “A” pero no a “B”, se simboliza por “A-B”.

Por comprensión: A-B= {x/x E A y, x Ɇ B} Es decir: X E (A-B) XEA Ʌ X Ɇ B

EJEMPLO: Sean los conjuntos A ={1,2,3,4,5,6} ; B={4,5,6,7,8,9} y conjunto universal, el conjunto de los números naturales. Hallar A-B B-A U-(AUB)

La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B. Esto es: A − B = {x / x∈ A y x∉ B} Gráficamente:

Ejemplo. A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano} A − B = {mango, ciruela, manzana} B − A = {durazno, melón, plátano} Se puede advertir como A − B ≠ B – A

CONCEPTO: Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre el conjunto A y el conjunto B al conjunto formado por todos los elementos pertenecientes al conjunto A que no pertenecen al conjunto B.

EJEMPLO: Ahora aprenderemos la DIFERENCIA entre 2 conjuntos: A = {4, 5, 6, 7} B = {5, 2, 4, 8}

PROBLEMAS DE CONJUNTOS

CONJUNTO UNIVERSAL: PROBLEMA Nº1: De un colegio de 100 alumnos han rendido 3 examenes.De ellos 40 aprobaron el primero, 39 el segundo y 48 el tercero. Aprobaron 10 los tres exámenes, 21 no aprobaron examen alguno, 9 aprobaron los 2 primeros, pero no el tercero; 19 no aprobaron los dos primeros exámenes pero si el tercero. Calcúlese cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes. PROBLEMA Nº2: Sea U = {1, 2, 3, 4, 5,. . ., 12} el conjunto universal. Consideremos los subconjuntos, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}, D = {2, 4, 8} y C = {2, 3, 6, 12}. Determina los conjuntos: a) A ∪ B b) A ∩ C c) (A ∪ B) ∩ C' d) A − B e) C − D f) (B − D) ∪ (D − B) DIFERENCIA DE CONJUNTOS: PROBLEMA Nº1: Sean los conjuntos A ={1,2,3,4,5,6} ; B={4,5,6,7,8,9} y conjunto universal, el conjunto de los números naturales. Hallar A-B B-A U-(AUB) PROBLEMA Nº2: Encuentra B - A A = {x / x es un número mayor que 6 y menor que 10} B = {x / x es un número positivo menor que 15} A = {7, 8, 9} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} B - A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14}