Conjuntos-notacion De Intervalos 3e6855

MATH 111 Lección 11 Capitulo 1 Sec. 1.4 Conjuntos, Notación de Intervalo y Desigualdades (Inecuaciones)

Desigualdades • Una desigualdad es una oración conteniendo < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que) o ≠ (no es igual) . • Ejemplos: -2 < a, x > 4, x + 3 ≤ 6, 6 – 7x ≥ 10y - 4 o

5x ≠ 10

Desigualdades • Cualquier reemplazo por las variables que haga una desigualdad cierta, se llama una solución. • El conjunto de todas las soluciones se llama el conjunto de solución. • Cuando todas las soluciones de una desigualdad se han encontrado, decimos que hemos resuelto la desigualdad.

Desigualdades •

Ejemplos: Determine si el número dado es una solución de la desigualdad. 1. Verifique si 5 es una solución de x + 3 < 6. x3 6 53 6 86

Sustituimos por 5 Falso

Encontramos que 5 no es una solución

Desigualdades 2. Verifique si 1 es una solución de la ecuación 2x – 3 > -3. 2 x  3  3 2 1  3  3  1  3

Sustituimos Cierto

Por lo tanto 1 es una solución

3. Verifique si 3 es una solución a la ecuación 4x – 1 ≤ 3x + 2. 4 x  1  3x  2

4  3  1  3  3  2 11  11

Sustituimos Cierta

Por lo tanto 3 es una solución

Desigualdades y Notación de Intervalo • •

•

La gráfica de una desigualdad es un dibujo que representa su solución. Una desigualdad en una variable se puede graficar en la recta numérica. Ejemplos: 4. Trace x < 4 en la recta numérica. – Primero escribimos el conjunto de solución:

x x  4 Esto lee como “el conjunto de todas las x tal que x es menor que 4.”

Desigualdades y Notación de Intervalo – Otra manera de escribir la solución es usando notación de intervalo y se representa así:

(-∞ , 4) – Luego trazamos la gráfica en la recta numérica como sigue: ) – Donde la solución es todos los números reales menor que 4 y: • sombreamos todos los números menor que 4, • e indicamos que el 4 no es una solución usando un paréntesis derecho “)” en 4.

Desigualdades y Notación de Intervalo • Notación de intervalo es otra manera de representar la solución a una desigualdad. – La notación de intervalo usa paréntesis ( ) y corchetes [ ]. • Los paréntesis indican que los puntos finales no están incluidos. • Los corchetes indican que los puntos finales están incluidos.

Desigualdades y Notación de Intervalo • A continuación ilustraremos como representar varias soluciones a desigualdades: – Si a y b son números reales tal que a < b, definimos el intervalo (a, b) como el conjunto de todos los números entre pero no incluyendo a a y b; esto es, el conjunto de todas las x por la cual a < x < b. Entonces:

 a, b   x a  x  b

(a, b)

( a

)

b Los puntos a y b son puntos finales. Los paréntesis indican que los puntos finales no están incluidos en la gráfica.

Desigualdades y Notación de Intervalo – El intervalo [a, b] es definido como el conjunto de todos los números x por el cual a ≤ x ≤ b. Entonces,

a, b  x a  x  b

[a, b]

[

]

a

b

Los corchetes indican que los puntos finales están incluidos en la gráfica.

Desigualdades y Notación de Intervalo • Los siguientes intervalos incluyen un punto final y excluye el otro: – La gráfica excluye el punto a e incluye el punto b:

 a, b  x a  x  b

(a, b]

(

]

a

b

– La gráfica incluye el punto a y excluye el punto b:

a, b   x a  x  b

[a, b)

[

)

a

b

Desigualdades y Notación de Intervalo • Algunos intervalos se extienden sin límite en una o ambas direcciones. – Usamos el símbolo ∞, lee “infinito”, y -∞, lee “negativo infinito”, para nombrar estos intervalos. – La notación (a, ∞) representa el conjunto de todos los números mayor que a; esto es:

 a,   x x  a

(a, ∞) ( a

Desigualdades y Notación de Intervalo – La notación (-∞, a) representa el conjunto de todos los números menor que a, esto es:

 , a   a x  a

(-∞, a)

)

– Las notaciones [a, ∞) y (-∞, a] se usan cuando queremos incluir los puntos finales. – El intervalo (-∞, ∞) nombre el conjunto de todos los números reales.

 ,   x x es un número real

Notación de Intervalo

(a, b) [a, b] [a, b) (a, b] (a, ∞)

Conjunto de Notación

x a  x  b x a  x  b x a  x  b x a  x  b x x  a

(-∞, b)

x x

(-∞, b]

x x  b

(-∞, ∞)

x x es un número real

[a, ∞)

x  a x  b

Gráfica (

)

a

b

[

]

a

b

[

)

a

b

(

]

a

b

(

a

[

a

) b

] b

Desigualdades y Notación de Intervalo •

Ejemplos: 5. Escriba la notación de intervalo del conjunto

x 4  x  5 .

x 4  x  5   4,5 6. Escriba la notación de intervalo del conjunto

x x  2.

x x  2  2,  

Desigualdades y Notación de Intervalo 7. Escriba la notación de intervalo para la gráfica:

(

]

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9

= (-2, 4] 8. Escriba en notación de intervalo: ) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

= (-∞, -1)

2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades • El principio de suma para desigualdades: – Para cualquier número a, b y c : a < b es equivalente a a + c < b + c a > b es equivalente a a + c > b + c Similar expresión se mantiene para ≤ y ≥ .

• Dado que restando c es lo mismo que sumando –c, no hay necesidad para un principio separado de resta.

Resolviendo Desigualdades 9. Resuelva y trace la gráfica: x + 5 > 1 . x  5 1 x  5  5  1 5

Usando el principio de suma: sumando -5 o restando 5

x  4

 4,    x x  4

Notación de Intervalo y Conjunto de Solución

( -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Gráfica

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades 10. Resuelva y trace la gráfica: 4x – 1 ≥ 5x – 2 . 4x 1  5x  2 4x 1  2  5x  2  2

Sumando 2

4x  1  5x

Simplificando

4x  1  4x  5x  4x

Restando 4x

1 x

Simplificando

 ,1  x x  1

Notación de Intervalo y Conjunto de Solución

] -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9

Gráfica

Resolviendo Desigualdades • El principio de multiplicación para desigualdades: – Para cualquier número real a y b, y cualquier número positivo c: a < b es equivalente a ac < bc ; a > b es equivalente a ac > bc . – Para cualquier número real a y b, y cualquier número negativo c: a < b es equivalente a ac > bc ; a > b es equivalente a ac < bc . Expresiones similares se mantienen ciertas para ≤ y ≥ .

• Dado que división por c es lo mismo que multiplicación por 1/c, no hay necesidad para un principio de división separado.

Resolviendo Desigualdades 3 11. Resuelva y trace la gráfica: 3 y  4 3 3y  4 1 1 3 3y   3 3 4 1 y 4

1 Multiplicando por . El símbolo se mantiene igual. 3

1  1   ,    y y   4  4 

Notación de Intervalo y Conjunto de Solución

1 4

) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

Gráfica 1

2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades 12. Resuelva y trace la gráfica: -5x ≥ -80 .  5 x  80 5 x 80  5 5 x  16

Dividimos por -5. El símbolo tiene que ser invertido.

 ,16  x x  16 ] -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9

16

Resolviendo Desigualdades 13. Resuelva: 16 – 7y ≥ 10y - 4 . 16  7 y  10 y  4 16  16  7 y  16  10 y  4  7 y  10 y  20 10 y   7 y   10 y  10 y  20

Sumando -16

Coleccionando términos iguales Sumando -10y

 17 y  20 17 y 20  17 17 20 y 17

Dividiendo por -17. El símbolo tiene que ser invertido. Simplificando

20   20    ,  y y      17 17    

20 17

] -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades

• Resuelva: -3(x + 8) -5x > 4x - 9 3  x  8   5 x  4 x  9 3 x  24  5 x  4 x  9

Usando la ley distributiva

24  8 x  4 x  9 24  8 x  8 x  4 x  9  8 x

Coleccionando términos iguales Sumando 8x

24  12 x  9

Coleccionando términos iguales

24  9  12 x  9  9

Sumando 9 Simplificando

15 x  12 x 15 12 x  12 12 5  x 4 5  5   ,     x x    4  4 

Dividiendo por 12. El símbolo se queda igual.



5 4

)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9