Prac-2 6c541o

PRÁCTICA Nº 3 2.Los resultados reportados por cada uno de los laboratorios se muestran en la siguiente tabla: Muestra % de estaño (Lab. químico) % de estaño (Lab. Rayos X)

1 2,0 2,2

2 2,0 1,9

3 2,3 2,5

4 2,1 2,3

5 2,4 2,4

6 2,2

CÁLCULOS AUXILIARES N 1 2 3 4 5 6 ∑

X (Lab. químico) 2,0 2,0 2,3 2,1 2,4 2,2 13

Y (Lab. Rayos X) 2,2 1,9 2,5 2,3 2,4 11,3

a. Utilizando un intervalo de confiabilidad del 90%, averiguar si ambos laboratorios reportan, en promedio, los mismos resultados.

∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑛 13 𝑋̅ = = 2,17 6 ∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 𝑆𝑋2 = 𝑛−1 𝑋̅ =

𝑆𝑋2 =

(2,0 − 2,17)2 + (2,0 − 2,17)2 + (2,3 − 2,17)2 + (2,1 − 2,17)2 + (2,4 − 2,17)2 + (2,2 − 2,17)2 6−1

𝑆𝑋2 = 0,027

∑𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 𝑛 11,3 𝑌̅ = = 2,26 5 ∑𝑛𝑖=1(𝑌𝑖 − 𝑌̅)2 2 𝑆𝑌 = 𝑛−1 𝑌̅ =

𝑆𝑌2 =

(2,2 − 2,26)2 + (1,9 − 2,26)2 + (2,5 − 2,26)2 + (2,3 − 2,26)2 + (2,4 − 2,26)2 5−1

𝑆𝑌2 = 0,053

𝑷 [𝐹𝑖𝑛𝑓

𝑆2𝑌

𝜎2𝑌

𝑆2𝑌

𝑆𝑋

𝑋

𝑆2𝑋

≤ 2 ≤ 𝐹𝑠𝑢𝑝 2 𝜎

] = 1−∝

𝛼 = 0,05 2

𝐹𝑖𝑛𝑓 = 0,160

𝐹𝑠𝑢𝑝 = 6,26

~𝐹5,4

1

𝐹𝑖𝑛𝑓 = 5,19 = 0,192 0,053 𝜎2𝑦 0,053 ≤ 2 ≤ 6,26 ] = 0,90 0,027 𝜎𝑥 0,027 𝜎2𝑦 𝑷 [0,377 ≤ 2 ≤ 12,288] = 0,90 𝜎𝑥

𝑷 [0,192

Observando el intervalo de confianza podemos afirmar que las varianzas poblaciones son iguales Por tanto se aplicara el Caso 2

1 1 (𝑛 − 1)𝑆𝑋2 + (𝑚 − 1)𝑆𝑌2 1 1 (𝑛 − 1)𝑆𝑋2 + (𝑚 − 1)𝑆𝑌2 𝑃 [𝑋̅ 𝐴 − 𝑋̅ 𝐵 − 𝑡0 √( + ) [ ] ≤ 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ≤ 𝑋̅ 𝐴 − 𝑋̅ 𝐵 + 𝑡0 √( + ) [ ]] = 1 − 𝛼 (𝑛 𝑛 𝑚 + 𝑚 − 2) 𝑛 𝑚 (𝑛 + 𝑚 − 2)

𝛼 ⁄2 = 0,05

𝛼 ⁄2 = 0,05 1 − 𝛼 = 0,90

−𝑡0 = −1,833

𝑡0 = 1,833

~𝑇9

1 1 (6 − 1) 0,027 + (5 − 1) 0,053 1 1 (6 − 1) 0,027 + (5 − 1) 0,053 ] ≤ 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ≤ 2,17 − 2,26 + 1,833√( + ) [ ]] = 0,90 𝑃 [2,17 − 2,26 − 1,833√( + ) [ (6 + 5 − 2) (6 + 5 − 2) 6 5 6 5

𝑃[−0,308 ≤ 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ≤ 0,128] = 0,90

Ambos laboratorios reportan en promedio los mismos resultados b. Repetir el inciso a. utilizando una prueba de hipótesis con α=0,10

1. 𝐻0 : 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0 𝐻1 : 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ≠ 0 2. α=0,10 3. Estadístico de Prueba ̅𝐴 − 𝑋 ̅𝐵 − (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ) 𝑋

𝑇=

~𝑇𝑛+𝑚−2

(𝑛 − 1)𝑆𝐴2 + (𝑚 − 1)𝑆𝐵2 √(1 + 1 ) [ ] 𝑛 𝑚 (𝑛 + 𝑚 − 2)

Rechazar Ho Si |Tcalc|>1,833

𝛼 ⁄2 = 0,05

𝛼 ⁄2 = 0,05 1 − 𝛼 = 0,90

−𝑡0 = −1,833

𝑡0 = 1,833

~𝑇9

4. Tcalc 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐 =

2,17 − 2,26 − (0)

1 1 (6 − 1)0,027 + (5 − 1)0,053 √( + ) [ ] 6 5 (6 + 5 − 2) 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐 = −0,757

5. Con α=0,10 aceptamos H0 Por tanto Ambos laboratorios reportan en promedio los mismos resultados c. Obtener un intervalo de confiabilidad del 98% para la media de los resultados reportados por el laboratorio de análisis químico. 𝑋̅ = 2,17 𝑆𝑋2 = 0,027 𝑆𝑋 = 0,164

𝑷 [𝑋̅ − 𝑡0

𝜎 √𝑛

≤ 𝜇 ≤ 𝑋̅ + 𝑡0

𝜎 √𝑛

] = 1−∝

𝛼 = 0,01 2

𝛼 = 0,01 2 1 − 𝛼 = 0,99

−𝑡0 = −3,365

𝑷 [2,17 − 3,365

0,164

𝑡0 = 3,365

≤ 𝜇 ≤ 2,17 + 3,365

~𝑇5

0,164

√6 √6 P[1,945 ≤ μ ≤ 2,395] = 0,98

] = 0,98

d. Con α=0,01 (prueba de hipótesis) averiguar si la media de los resultados reportados por el laboratorio de análisis químico es igual a 2,25% de estaño.

1. 𝐻0 : 𝐿𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑖𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2,25% 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎ñ𝑜 𝐻1 : 𝐿𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑖𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 2,25% 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎ñ𝑜 𝐻0 : 𝜇 = 2,25 𝐻1 : 𝜇 ≠ 2,25 2. α=0,01 3. Estadístico de Prueba 𝑇=

𝑋̅ − 𝜇 ~𝑇𝑛−1 𝑆 √𝑛

Rechazar Ho Si |Tcalc|>4,032

𝛼 ⁄2 = 0,005

𝛼 ⁄2 = 0,005 1 − 𝛼 = 0,99

−𝑡0 = −4,032

𝑡0 = 4,032

~𝑇5

4. Tcalc 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐 = 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐

2,17 − 2,25 0,164 √6 = −1,195

5. Con α=0,05 aceptamos H0 por tanto 𝐿𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑖𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2,25%

𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎ñ𝑜 e. Con α=0,02 (prueba de hipótesis) averiguar si la desviación estándar de los resultados reportados por el laboratorio de rayos X es igual a 1,5%

1. 𝐻0 : 𝐿𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑋 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 1,5% 𝐻1 : 𝐿𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 1,5%

𝐻0 : 𝜎 = 1,5 → 𝜎 2 = 2,25 𝐻1 : 𝜎 > 1,5 → 𝜎 2 > 2,25 2. α=0,02 3. Estadístico de Prueba 𝑋2 =

(𝑛 − 1)𝑆 2

𝜎2

~𝑋 2 𝑛−1

Rechazar Ho Si 𝑋 calc>13,2767 o 𝑋 calc<0,2070 2

𝛼 ⁄2 = 0,01

2

𝛼 ⁄2 = 0,01 1 − 𝛼 = 0,95

𝑈𝑖𝑛𝑓 = 0,2070

𝑈𝑠𝑢𝑝 = 13,2767

~𝑋 2 4

4. Tcalc 𝑋 2 𝑐𝑎𝑙𝑐 =

(5 − 1) ∗ 0,053

2,25

𝑋 2 𝑐𝑎𝑙𝑐 = 0,094

5. Con α=0,05 aceptamos H0 por tanto 𝐿𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙

𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑋 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 1,5%