Continuidad 2012 6o5w4l

3. FUNCIONES CONTINUAS 3.1. Introducción. El concepto de límite, expuesto en la unidad precedente, abre paso a una clasificación de las funciones en familias, atendiendo a unas pocas propiedades fundamentales. La primera característica que separa a las funciones en dos familias bien diferenciadas es la continuidad. Esta propiedad refleja la idea intuitiva de que ciertas gráficas pueden trazarse sin levantar el lápiz del papel, es decir de forma continua. Y de ahí el nombre que se le asigna. El hecho de que una función sea continua se refleja en varios aspectos. En primer lugar, para ellas el cálculo del límite es un punto se reduce a la simple evaluación de la función en dicho punto. Es lo que denominamos método de sustitución directa. Por otra parte, satisfacen algunas propiedades, recogidas en teoremas como los de BolzanoWeierstrass y del valor intermedio, que pueden parecer evidentes a primera vista, pero que juegan un papel relevante en la teoría de funciones. El que aparezcan como obvias se debe simplemente a que estamos habituados a pensar en gráficas continuas, lo que no tiene por qué ser el caso. Pondremos especial énfasis en dejar claro que tales propiedades “evidentes” no son ciertas, en general, para funciones no continuas. Por la misma razón, dedicamos atención especial a la clasificación de los distintos tipos de discontinuidades (puntos aislados donde una función no es continua) que pueden suceder, acompañando cada uno de ellos de ejemplos explícitos que ponen de manifiesto sus respectivos significados. A la sombra de una de estas clases de discontinuidades hacen acto de presencia las asíntotas verticales, útiles más adelante como rasgos característicos de las gráficas. 3.2. Funciones continuas. La definición de límite de una función encierra cierta sutileza, puesto que al escribir xa consideramos valores x  a, Por tanto, la existencia y el valor de lím f (x) dependen de los calores xa

f(x) en puntos x próximos al a, pero no del valor f(a), que no juega ningún papel. Incluso si f(x) no está definida en x = a podemos seguir indagando si existe lím f (x) y, en xa

caso de que exista, cuál es su valor.



Ejemplo 1.

x2 1 tiene como dominio toda la x 1 recta excepto el punto x = 1, donde el denominador se anula y esa expresión no está definida. La función f ( x) 

En todos los puntos del dominio, o sea para todo x  1, podemos suprimir en la expresión de f(x) un factor no nulo (x – 1), común a numerador y denominador. Dicho de otro modo, la función dada se puede escribir en su dominio como f(x) = x + 1. Pues bien, aunque f(x) no está definida en x = 1, el límite de f(x) cuando x  1 existe e incluso es fácil de calcular. En efecto, en la definición de límite sólo se consideran valores de x que tienen hacia 1 ¡pero distintos de 1! Luego:

lím f ( x)  lím( x  1)  lím( x)  lím(1)  1  1  2 x1

x1

x1

x1

Una vez aclarado ese matiz, hay que decir que la mayoría de las veces estaremos interesados en puntos del dominio de f(x), de modo que está definido el valor f(a) de la función. Y además, por fortuna, muchas funciones comunes se comportan en casi todos los puntos de sus dominios como indica la siguiente definición: Definición de continuidad en términos de límites Una función f(x), definida en un entorno de x = a, se dice que es continua en x = a si

La continuidad exige dos cosas: (1) La función tiene límite en a. (2) Ese límite coincide con f(a), el valor de f en a. Diremos que una función es continua en un intervalo abierto si lo es en todos sus puntos. Tomaremos de ahora en adelante como dominio de una función dada mediante una expresión en la variable x su dominio natural, es decir, el conjunto de todos los valores de x para los que esa expresión tiene un valor real bien definido. Con esa definición, todas las funciones elementales resultan ser continuas en sus dominios. En particular: 

Las funciones polinómicas y las funciones sen(x), ex, e –x (así como bx, b–x  b > 0) son continuas en toda la recta real.



Toda función racional



Las funciones x n , con n impar, son continuas en toda la recta real. Si n es par, son continuas en el intervalo (0, ).



Las funciones log(x) y ln(x) son continuas en su dominio (0, ).

P ( x) , cociente de dos polinomios P(x) y Q(x), es continua en Q( x) toda la recta real excepto en los puntos donde Q(x) = 0. 1

Claro está que si dejamos estas funciones sencillas y nos adentramos en el terreno de las funciones extrañas, podemos construir ejemplares curiosos, como el que sigue, inventado por Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805 – 1959), discípulo y sucesor de Gauss en Göttingen.



Ejemplo 2.

Da un ejemplo de una función f(x), discontinua en todos los puntos de [0, 1] y tal que |f(x)| sea continua en el mismo intervalo.

Solución:

 1 si x es racional Un ejemplo típico es f (x)   , puesto que |f(x)| = 1 en todo punto x, de - 1 si x es irracional modo que la función valor absoluto es constante y por lo tanto continua.

3.3. Operaciones con funciones continuas. Las funciones continuas heredan de los límites una serie de propiedades que resumimos a continuación. Si f(x) y g(x) son funciones continuas en x = a y k es un número real, entonces son continuas en x = a las funciones del cuadro de la derecha:

Múltiplo

k.f(x)

Suma o diferencia

f(x)  g(x)

Producto

f(x) . g(x) si g(a)  0

Cociente

Teorema Si f y g son dos funciones continuas en x = a, entonces a) Las funciones f +g , f  g , y f  g son funciones continuas en x = a. b)

Si g(a) ≠ 0 , entonces la función

f es continua en x = a. g

Ejemplos de demostraciones: Que f y g sean continuas en x = a significa que:

lím f ( x)  f (a)

xa

y

lím g ( x)  g (a)

xa

Para probar que f +g es continua en x = a , debemos probar que lím  f  g ( x)   f  g (a) xa

Por definición,  f  g ( x)  f ( x)  g ( x) Luego

lím  f  g ( x)  lím  f ( x)  g ( x) xa

xa

Como el límite de cada función existe cuando x tiende a a, y recordando que ambas funciones son continuas en x = a entonces

lím  f  g ( x)  lím  f ( x)  g ( x)  lím f ( x)  lím g ( x)  f (a)  g (a)   f  g (a) xa

xa

xa

xa

Con lo cual queda probado que lím  f  g ( x)   f  g (a) . xa

Para probar que

f f f es continua en x = a , debemos probar que lím  ( x)   (a) x a g g g

f f ( x) ( x)  g ( x) g

Por definición,  Luego

f f ( x) lím  ( x)  lím x a x a g ( x ) g

Como el límite de cada función existe cuando x tiende a a y lím g ( x)  g (a)  0 , y recordando x a

que ambas funciones son continuas en x = a entonces

f ( x) f ( a )  f  f f ( x) lím lím  ( x)  lím  x a    (a) x a x a g ( x ) lím g ( x) g (a)  g  g x a

f

f

Con lo cual queda probado que lím  ( x)   (a) . x a g g Las pruebas de resta y producto son similares, por lo que dejamos la prueba como ejercicio para el lector.



Ejemplo 3.

De lo anterior concluimos que son continuas las siguientes funciones: (a) f(x) = 3x – 2cos(x)

sen( x) en su dominio (natural). Es decir, toda la recta real excepto los puntos cos( x) 2n  1 donde se anula el coseno. x , 2

(b) tg ( x) 

3.3.1. Continuidad de las funciones compuestas La composición es otra operación que produce funciones continuas a partir de funciones continuas. Si g(x) es continua en a y f(x) es continua en g(a), la función compuesta f o g es continua en a.

Teorema Si g es continua en x=a y f es continua en x = g(a), entonces (f º g ) es continua en x=a Demostración La demostración es muy sencilla y se basa en el límite de una composición. Decir que f es continua en x = g(a), es equivalente a decir

lím f ( x)  f ( g (a))

x g ( a )

Recordando qué significa que g es continua en x = a, y usando el teorema de límite de composiciones, resulta

lím g ( x)  g (a)  x a

lím f ( x)  f ( g (a)) 

x g ( a )

lím f ( g ( x))  f ( g (a)) x a

Luego

lím  f  g  ( x)  lím f ( g ( x))  lím f (u)  f ( g (a))   f  g (a) y esto es equivalente x a

x a

u  g (a)

a afirmar que (f º g ) es continua en x = a.



Ejemplo 4.

(a) f ( x)  e sen( x ) es continua en toda la recta real.

 

(b) g ( x)  cos x es continua en x  0, región en la que

x es continua.

3.4. Continuidad en intervalos cerrados. Si f(x) tiene como dominio un intervalo cerrado [a, b], sabemos qué significa que sea continua en cualquier punto x interior a ese intervalo, es decir tal que a < x < b, pero no hemos definido una noción de continuidad en los puntos frontera del intervalo x = a o x = b. Lo mismo es cierto para funciones con dominios del tipo [a, ) o (– , b], en x = a y x = b, respectivamente. Una función f(x), definida quizá en [a, b] o en [a, +) se dice que es continua (por la derecha) en el punto x = a si lím f ( x)  f (a)

xa 

Una función f(x), definida quizá en [a, b] o en (– , b] se dice que es continua (por la izquierda) en el punto x = b si lím f ( x)  f (b)

x b 

Con estas definiciones adicionales, diremos que una función f(x) es continua en [a, b] si es continua en todos los puntos de (a, b), y lo es también por derecha en x =a y por izquierda en x= b.



Ejemplo 5.

La función f ( x)  x  3  x es continua en todo su dominio natural [0, 3]. Podemos

3 x

notar que x tiene dominio [0, +) y es continua (por la derecha) en x = 0. Por otra parte, tiene dominio (– , 3] y es continua (por la izquierda) en x = 3.

3.5. El teorema de Bolzano-Weierstrass (o de los valores extremos para una función continua en un intervalo cerrado) Las funciones continuas en un intervalo cerrado gozan de una propiedad interesante, recogida en el siguiente teorema, que enunciamos sin demostración. Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces

(a) hay al menos un punto c en [a, b] donde f(x) alcanza su valor máximo absoluto, es decir, f(c)  f(x), para cualquier x en [a, b].

a

c

d b

(b) hay al menos un punto d en [a, b] donde f(x) alcanza su valor mínimo absoluto, es decir, f(d)  f(x), para cualquier x en [a, b].

A primera vista, puede parecer una propiedad obvia. Sin embargo, es falsa en general cuando falla alguna de las dos condiciones del teorema: la función no es continua o el intervalo no es cerrado.



Ejemplo 6.

Lo expresado anteriormente ocurre con tg(x) en (– /2, /2) donde no alcanza ni un valor máximo absoluto ni un valor mínimo absoluto. Por otra parte, la función 1/x, que es continua en (0, 1], no alcanza en él un valor máximo absoluto, aunque sí un mínimo absoluto, concretamente en x=1.

y=tg(x)

y=

3.6. El Teorema del valor intermedio. La idea intuitiva de que las gráficas de las funciones continuas “no dan saltos” alcanza su máxima expresión en la siguiente propiedad:

Si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y k es cualquier número comprendido entre f(a) y f(b), existe al menos un punto c en [a, b] donde f(c) = k. En palabras, una función continua pasa por cualquier valor intermedio k entre el valor inicial f(a) y f(b). El teorema asegura la existencia de algún c en el que la función toma exactamente ese valor. Pero no dice que haya sólo uno. La representación gráfica puesta de ejemplo muestra que hay tres puntos, entre a y b, donde eso sucede.

f(a)

k f(b) a

c1

c2

c3 b

Lo que afirma este teorema resulta evidente en ciertas situaciones prácticas.  Para la gráfica la altura de una persona en función de la edad, es lógico pensar que si una persona mide 175 cm a los 17 años y medía 150 cm a los 10 años, en algún momento ha medido 160 cm.  Si consideramos el consumo de combustible de un automóvil en función de la distancia recorrida, resulta evidente que si al recorrer 80 km se habían consumido 6 litros y al recorrer 220 se habían consumido 18 litros, en algún lugar intermedio el consumo era de 14 litros. De todos modos, no debemos olvidar que este aspecto trivial del teorema se debe a que solemos pensar, por inercia, en gráficas continuas. Si de hecho consideramos el costo de una llamada telefónica en función del tiempo, podemos obtener que para 1 minuto de llamada abonamos $ 0,23 y por 3 minutos abonamos $ 0,46. No obstante, no es cierto que exista un determinado tiempo para el cual abonaríamos exactamente $ 0,30, pus la función no es continua. 3.7. El teorema de Bolzano El teorema del valor intermedio (también nombrado por algunos autores, como Corolario del Teorema de Bolzano) es particularmente útil cuando los valores de f(x) en a y en b tienen signos opuestos, ya sea f(a) > 0 y f(b) < 0 o a la inversa. Las dos situaciones se resumen diciendo f(a).f(b) < 0.

f(a)

b a f(b)

Ya que el valor 0 es intermedio a los valores f(a) y f(b) en ese caso, obtenemos como caso especial del teorema del valor intermedio un resultado muy eficaz para localizar ceros de f(x), es decir puntos x en los que f(x) = 0. Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], con f(a).f(b) < 0, existe al menos un punto c en (a, b) donde f(c) =0.

El teorema no dice que exista un solo punto c que cumpla f(c) = 0. De hecho, puede haber varios, como ocurre con el ejemplo que ilustra el teorema. 3.8. Tipos de discontinuidades. Decimos que una función f(x) tiene una discontinuidad en x = c si no es continua en x = c. Para ellos tiene que fallar alguno de los requisitos de la continuidad o bien no existe límite para xc, o existe pero no coincide con el valor f(c). Atendiendo a sus diferentes causas, conviene clasificar las discontinuidades en tres tipos (evitables, de salto e infinitas), que presentamos ordenadas de mejor a peor comportamiento. 3.8.1. Discontinuidades evitables. La función tiene límite L cuando x  a, pero L  f(a). Son las discontinuidades más “débiles”. Se llaman evitables porque bastaría modificar la función f(x) sólo en el punto x = a para conseguir una función continua, “evitando” así la discontinuidad. Las dos situaciones típicas de esta clase de discontinuidades las ilustran los próximos ejemplos.



Ejemplo 7.

 1 si x  1  La función f ( x)   2 si x  1  x 2 si x  1 

En x < 1 la función es continua (incluso constante) y en x > 1 también por ser polinómica. En x = 1, los límites laterales son ambos iguales a 1, de modo que existe lím f ( x)1 . Pero la función no es continua en x = 1 debido a que ese valor del límite no coincide x1

con el que toma allí la función, que es f(1) = 2. La discontinuidad se debe a una “mala” asignación del valor de f. Bastaría redefinir ese valor como f(1) = 1 para hacerla continua.



Ejemplo 8.

3

x 1 La función f ( x) es discontinua en x = 1. De hecho, el valor del límite es lím f ( x)3 , x1 x1 pero f(1) no está definido. La discontinuidad es evitable, ya que bastaría definir f(1) = 3 para conseguir una función continua. 2.8.2. Discontinuidades de salto (o finitas). La función tiene límites laterales, pero no coinciden. Son puntos en los que la función salta de un valor finito a otro distinto.



Ejemplo 9.  1 si x0 tiene en x=0 f ( x)  1 si x0 finitos, a saber lím f ( x)1 y

La función límites

laterales

x0

lím f ( x)1 , pero no son iguales. La función no es

x0

continua en x=0.

3.8.3. Discontinuidades infinitas. Al menos uno de los límites laterales es infinito.



Ejemplo 10.

La gráfica de f ( x)

x 2

tiene discontinuidades 2 x 9 infinitas en x=3 y en x= – 3, donde se anula el denominador pero no el numerador. Es continua en todos los demás puntos. El dominio (natural) son precisamente todos los reales excepto esos dos valores. 3.9. Asíntotas verticales. Si f(x) tiene en c una discontinuidad infinita, su gráfica se acerca arbitrariamente a la recta vertical x = c. Por eso decimos que la recta x = c es una asíntota vertical de la gráfica de f(x). En particular, si en una función racional f ( x)

P( x) Q( x)

se tiene Q(c) = 0 y P(c)  0,

entonces x = c es una asíntota vertical para f(x). Comentario sobre las discontinuidades de funciones racionales: ¡Cuidado! Las funciones racionales (cociente entre dos polinomios) no siempre tienen discontinuidad infinita en un punto donde el denominador se anula. Si en ese punto el numerador contiene el mismo factor de nulidad elevado a la misma potencia, la discontinuidad es evitable.



Ejemplo 11.

La función

f ( x)

1

tiene en x = 0 una 2 x discontinuidad infinita y presenta una asíntota vertical en x = 0.



Ejemplo 12. 2

La función f ( x)

x  x6

presenta discontinuidades en x =2 y en x =5 en tanto son los 2 x 7 x10 valores que hacen cero al denominador. No obstante, en x =2 la función presenta una 5 discontinuidad evitable dado que lím f ( x) , y en x =5 la discontinuidad es inevitable pues los 3 x2 límites laterales son infinitos: lím f ( x)  y lím f ( x)  . x5

Asíntota vertical

x5