Continuidad 305p20

Elaborado por: MSc. César Yépez

1.1

Límites y continuidad Revise el Capítulo 10, sección 10.3 Continuidad del texto base.

En términos sencillos la continuidad se explica cuando al graficar una función en un intervalo [a, b] lo hacemos sin levantar el lápiz, observándose así una línea sin cortes. En términos matemáticos la continuidad de funciones se explica mediante límites: se tiene la siguiente definición. Una función f es continua en a si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1. 𝐟(𝐚) existe 2. 𝐥𝐢𝐦 𝐟(𝐱) existe 𝐱 →𝐚

3.

𝐥𝐢𝐦 𝐟(𝐱) = 𝐟(𝐚)

𝐱 →𝐚

Ejemplo 7: Sea la función 𝐟 definida por partes (gráfico). Comprobar que 𝐟 es continua en 𝐱 = 𝟑

Comprobamos si las condiciones de continuidad se cumplen: 1. 𝑓(3) = 9 2. lim f(x) = 9 x →3

3.

lim f(x) = f(3)

x →a

Se cumplen las tres condiciones, en conclusión, la función 𝑓 es continua en 𝑥 = 3 Como consecuencia de la definición se tienen las siguientes observaciones:  



Toda función polinomial es continua en todo punto Una función f es discontinua en un intervalo abierto que contiene a a si o F no tiene límite cuando x → a o Cuando x → a f tiene un límite diferente de f(a). Una función racional es continua solo en su dominio y es discontinua en los puntos donde el denominador es cero.

Elaborado por: MSc. César Yépez

Ejemplo 8: Las siguientes funciones son discontinuas en 𝐱 = 𝐚

Actividad Recomendada: Del texto base:  

1.2

Analice los ejemplos resueltos de la sección 10.3 Resuelva los ejercicios 1, 13, 19, 29, 31, 35 de los Problemas 10.3

Continuidad aplicada a desigualdades

En el texto base, revise el Capítulo 10, sección 10.4 Continuidad aplicada a las desigualdades Una desigualdad de la forma f(x) < 0 o f(x) > 0 se resuelve encontrando las raíces reales de f o sus puntos de discontinuidad, para formar intervalos en los cuales se analiza los signos de la función.

Ejemplo 9: Resolver la desigualdad 

−𝐱(𝐱 − 𝟓)(𝐱 + 𝟒) > 𝟎

Establecemos f(x) = −𝐱(𝐱 − 𝟓)(𝐱 + 𝟒) Graficando la función se observa claramente los intervalos donde la función es positiva o negativa. Así 𝑓 es positiva en (−∞, −4) y (0,5); esto se debe comprobar en forma matemática.

Elaborado por: MSc. César Yépez



Encontramos las raíces de f , las cuales son los extremos de cada intervalo haciendo f(x) = 0, asi:



−x(x − 5)(x + 4) = 0 ⇒ −x = 0 x − 5 = 0 x + 4 = 0 ⟹ x = 0 x = 5 x = −4 Ubicamos estos números en la recta numérica y encontramos los intervalos correspondientes (-4,0)

(-∞,-4)

-4 

(0,5)

0

(5,+∞)

5

Comprobamos el signo de f en cada intervalo. La solución son los intervalos donde f(x) > 0, así: Un valor del Signo de 𝐟(𝐱) = −𝐱(𝐱 − 𝟓)(𝐱 + 𝟒) intervalo (−∞, −4) -5 f(−5) = −(−5)(−5 − 5)(−5 + 4) = +(-)(-) > 0 (−4,0) -1 f(−1) = −(−1)(−1 − 5)(−1 + 4) = +(-)(+) < 0 (0,5) 1 f(1) = −1(1 − 5)(1 + 4) = -(-)(+) >0 (5,0) 6 f(6) = −6(6 − 5)(6 + 4) = -(+)(+) <0 Los intervalos que cumplen con f(x) > 0 son (−∞, −4) ∪ (0,5). Intervalo

Actividad Recomendada: Del texto base:  

Analice los ejemplos resueltos de la sección 10.4 Resuelva los ejercicios 1, 7, 11, 17, 18 de los Problemas 10.4