Cuaterna Armonica 2g1a6r

Cap´ıtulo 18 Cuaternas arm´ onicas Vamos a considerar algunas propiedades de las bisectrices de un a´ngulo y su relaci´on con las cuaternas de puntos arm´onicas.

18.1.

Propiedades de las bisectrices

Teorema 18.1 Sean a y b dos rectas secantes en M y sean c y d las bisectrices de los ´angulos determinados por dichas rectas. Sea m una recta secante en A, B, C y D a las rectas b, a, d y c, respectivamente. Los puntos ABCD forman una cuaterna arm´onica. Sea e la paralela a la recta c por el punto C. Sean N y N 0 las intersecciones de las rectas b e y a b, respectivamente. El tri´angulo 4M N N 0 es isc´osceles y los segmentos CN y CN 0 congruentes. Entonces, NC CN 0 BC AC = = = ; AD MD MD BD fig. 18.1 de donde

AC AD = . BC BD Los cuatro puntos ABCD forman una cuaterna arm´onica . Como el tri´angulo CM D es rect´angulo en M , este punto se halla sobre la 147

´ CAP´ITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

148

circunferencia de di´ametro CD Teorema 18.2 Rec´ıprocamente, sean ABCD una cuaterna arm´onica y M un punto tal que el ´angulo ^CM D sea recto. Entonces, las rectas M C y M D son bisectrices interior y exterior del ´angulo ^AM B, respectivamente. ´ n: Sea N el punto de intersecci´on de la recta M A con la Demostracio paralela por el punto C a la recta M D y N 0 la intersecci´on de dicha paralela con la recta M B NC AC BC CN 0 = = = MD AD BD MD y por tanto, CN = CN 0 , los segmentos CN y CN 0 son congruentes. La recta M C es perpendicular a la recta N N 0 , los puntos N y N 0 son sim´etricos respecto a la recta M C, por lo que dicha recta es bisectriz del a´ngulo ^AM B. La recta M D es bisectriz exterior a dicho ´angulo. De estos dos teoremas se desprende que cuatro puntos ABCD forman una cuaterna arm´onica si y s´olo si al elegir un punto arbitrario M sobre la circunferencia CD, las rectas M C y M D son las bisctrices de las rectas M A y M B. Corolario 18.1 En todo tri´angulo, las bisectrices de uno de sus ´angulos cortan al lado opuesto a dicho ´angulo en puntos separados arm´onicamente por el par de v´ertices sobre dicho lado. Sea P la intersecci´on de la paralela por el punto A al lado M B. Puesto que los puntos ABCD forman una cuaterna arm´onica, la recta P C corta a la recta M B en un punto M 0 sim´etrico de M respecto de B y se tiene PA AC PA = = . 0 MB BM CB Pero el tri´angulo 4P AM es is´osceles, con P A = M A, por lo cual MA AC = . MB CB

fig. 18.2

En todo tri´angulo 4M AB la bisectriz interna del ´angulo en M divide al lado opuesto AB en dos segmentos cuya raz´on es igual a la raz´on entre los lados que forman dicho ´angulo.

´ DE CUATERNAS ARMONICAS ´ 18.2. CONSTRUCCION

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Como AC/CB = AD/BD entonces M A/M B = AD/BD, por lo que tambi´en conluimos que En todo tri´angulo 4M AB la bisectriz externa del ´angulo en M divide externamente al lado opuesto AB en dos segmentos cuya raz´on es igual a la raz´on entre los lados que forman dicho ´angulo. Corolario 18.2 El lugar geom´etrico de los puntos cuya raz´on de distancias a dos puntos dados es constante, es una circunferencia. En efecto, sean C y D dos puntos fijos y B un punto interior al segmento CD tal que la raz´on CB/BD sea la raz´on dada. Sea A el cuarto arm´onico fig. 18.3 de los puntos C, B y D. Hemos visto que la circunferencia de di´ametro AB es el lugar geom´etrico de los puntos M tales que las rectas AM y BM son las bisectrices del a´ngulo ^CM D. La raz´on de las distancias M C y M D es igual a la raz´on CD/CB.

18.2.

Construcci´ on de cuaternas arm´ onicas

Estas consideraciones permiten hacer la siguiente construcci´on. DaM dos los puntos A, B y C sobre una misma recta, tomemos un punto M α γ’ en el plano, tal que el tri´angulo γ 4AM B es recto en M . Tracemos la β δ recta CM y construyamos el punto D D O C B como intersecci´on de la recta sim´etri- A ca a M C respecto a la recta M B. Los puntos A, B, C y D forman una cuafig. 18.4 terna arm´onica. De manera similar, si nos dan los puntos A, B y D podemos construir el cuarto arm´onico C.

´ CAP´ITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

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En esta construcci´on, sea O el punto medio del segmento AB. De los tri´angulos 4OM B y 4OM D (v´ease la figura 18.3) se deduce que ^δ = ^β+^γ por ser ^δ exterior al tri´angulo 4BM D. Tambi´en ^α+^γ = ^δ por ser el tri´angulo 4OM B is´osceles. Concluimos que ^α = ^β y los tri´angulos 4ODM y 4OM C son semejantes. As´ı OM OC = , OM OD

OC · OD = (OM )2 = (OA)2 .

El rec´ıproco tambi´en es cierto: Supongamos que los puntos A, O, C, B y D est´an alineados en este orden, que O es punto medio del segmento AB y supongamos que (OA)2 = OC · OD, entonces los puntos A, B, C y D forman una cuaterna arm´onica. En efecto, sea M exterior a la recta AD tal que el a´ngulo ^AM B es recto. Se sigue que OA/OC = OM/OC = OD/OA = OD/OM y los tri´angulos 4OCM y 4ODM son semejantes, por compartir el a´ngulo BOD. En particular, los a´ngulos ^α y ^β son iguales y ^δ = ^α+^γ = ^β +^γ 0 , por lo que ^γ = ^γ 0 de modo que las rectas M B y M A son la bisectriz interior y exterior del ´angulo ^CM D respectivamente. Por todo esto, podemos enunciar: Teorema 18.3 Dos puntos A y B est´an arm´onicamente separados por C y D si y s´olo si la mitad del segmento determinado por uno de estos pares es media geom´etrica entre las distancias de este punto al otro par. Este teorema nos permite construir cuaternas arm´onicas, construM yendo terceras proporcionales. En la figura 18.4, el punto D, conjugado arm´onico, puede determinarse como se indica en dicha figura. Levantamos D la perpendicular por C hasta cortar A O C B con la circunferencia de di´ametro AB en M . El punto D queda determinafig. 18.5 do por la intersecci´on de la tangente en M y la recta AB. Por lo visto en el cap´ıtulo sobre el teorema de Pit´agoras (§ 16.1), se tiene OC · OD = (OM )2 = (OA)2 . Observamos que la potencia de O respecto de la circunferencia de di´ametro CD es OM 2 .

18.3. CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES

18.3.

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Circunferencias ortogonales

O

d r

O' r'

Definici´ on 18.1 Dos circunferencias se llaman ortogonales cuando se cortan de tal modo que las tangentes en cada uno de los puntos de intersecci´on son perpendiculares entre s´ı.

La simetr´ıa de ambas circunferencias respecto de la recta que une los centros indica que esta condici´on se verifig. 18.6 fica simult´aneamente para ambos puntos de intersecci´on. Dos circunferencias ortogonales cumplen las siguientes condiciones, y rec´ıprocamente, si las cumplen, son ortogonales: 1. Los radios de una y otra circunferencia correspondientes a cada punto de intersecci´on son perpendiculares entre s´ı. Equivalentemente, la tangente a cada circunferencia en cada punto de intersecci´on pasa por el el centro de la otra. El centro de cada una debe ser exterior a la otra. 2. Si d es la distancia entre los centros y r y r0 son los radios, se verifica d2 = r2 + r02 . Esta relaci´on s´olo se cumple cuando es rect´angulo el tri´angulo formado por los dos centros y uno de los puntos de intersecci´on. 3. La potencia del centro de cada circunferencia respecto de la otra es el cuadrado de su propio radio. Si d2 = r2 + r02 entonces d2 − r02 = r2 y tambi´en, d2 − r2 = r02 . Rec´ıprocamente, si se verifica cualquiera de estas dos u ´ltimas relaciones entonces tambi´en se cumple 2.

18.3.1.

Cuaternas arm´ onicas determinadas por dos circunferencias ortogonales

De la discusi´on previa se deduce que Teorema 18.4 Si una recta corta a dos circunferencias ortogonales y pasa por el centro O de una de el las, las intersecciones forman una cuaterna arm´onica.

´ CAP´ITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

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M A

O

C P

B N

´ n: En efecto, como Demostracio las circunferencias son ortogonales, la potencia de dicho centro O respecto de la circunferencia O0 es (OM )2 = OP · OQ. Como O es punto medio de M N se deduce que M , N , P y Q forman una cuaterna arm´onica (teorema 18.3). .

D

O' Q

fig. 18.7 Teorema 18.5 El rec´ıproco tambi´en es cierto. Toda circunferencia que pasa por dos puntos P y Q, arm´onicamente separados por otros dos M y N es ortogonal a la circunferencia de di´ametro M N . Corolario 18.3 Los di´ametros alineados AB y CD de dos circunferencias ortogonales se dividen arm´onicamente.

18.4.

Haz de circunferencias

Hemos aprendido a determinar el eje radical de dos circunferencias dadas. Nos proponemos a continuaci´on encontrar todas las circunferencias que comparten con una dada una recta como eje radical. A este conjunto de circunferencias (incluyendo a la circunferencia dada) lo llamaremos haz de circunferencias. Sea c una circunferencia y r una recta. Sea d la recta perpendicular a r por el centro de la circunferencia c.

A

c

Q

c d

r

r

Q P

d

B

fig 18.8 fig 18.9 Si r corta a c, todas las circunferencias que pasan por los puntos A y B de

18.4. HAZ DE CIRCUNFERENCIAS

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intersecci´on cumplir´an la condici´on deseada. Todo punto de d es centro de una de tales circunferencias. Por cada punto Q exterior a r pasa una y s´olo una circunferencia del haz, aquella que pasa por los puntos A, B y Q. Si r es tangente a c en P , toda otra circunferencia tangente a r en dicho punto es circunferencia del haz. Por tanto, todos los puntos de la recta d perpendicular a r por el centro de c, salvo P , son centros de circunferencias del haz. Por un punto Q exterior a r pasa una u ´nica circunferencia del haz, aquella cuyo centro esta en la intersecci´on de la mediatriz del segmento P Q y la recta d. Supongamos que r es exterior a c. r Q Igual que antes sea d la recta perpendicular a r por el centro de c y P la intersecci´on de esta recta con r. Toda c Q' d circunferencia del haz tendr´a su cenM N tro sobre la recta d y la potencia de s P con respecto dichas circunferencias debe ser la misma que tiene P respecto de c. Para conseguir una de estas circunferencias, tracemos la circunfefig. 18.10 rencia γ con centro en P y ortogonal a c. Toda otra circunferencia que tenga centro en d y sea ortogonal a γ satisface la propiedad requerida. Rec´ıprocamente toda circunferencia del haz es ortogonal a s (v´ease 18.3.3). Los centros de la circunferencias del haz son los puntos de la recta d exteriores al di´ametro M N de γ. Los puntos M y N se llaman polos del haz. Igualmente, por cada punto Q exterior a r pasa una u ´nica circunferencia del haz. Para ob0 tenerla, se halla el punto Q arm´onicamente separado de Q respecto de los extremos del di´ametro alineado con P Q en s. El centro de la circunferencia se halla en la intersecci´on de la mediatriz del segmento QQ0 y la recta d.

18.4.1.

Haces ortogonales

Observemos que todos los puntos del eje radical de un haz de circunferencias tienen igual potencia respecto de todas las circunferencias. Si desde un punto O de dicho eje exterior a todas ellas trazamos tangentes a las mismas, todos los segmentos de dichas tangentes comprendidas entre O y los puntos de o son iguales, esto es, son radios de una circunferencia con centro en O ortogonal a todas las circunferencias del haz. Esto demuestra el siguiente

´ CAP´ITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

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O

O d

d r

r fig 18.11 Teorema 18.6 Sea H un haz de circunferencias. Todo punto del eje radical de H, exterior a todas las circunferencias del haz, es centro de una circunferencia ortogonal a todas ellas.

fig 18.12

O

d

A su vez, cada circunferencia de H es ortogonal a todas las circunferencias r as´ı construidas y, por consiguiente, la fig. 18.13 potencia de su centro respecto de todas ellas es la misma. La recta d de los centros de H es eje radical com´ un a todas las circunferencias ortogonales. Ejercicios. 1. Sean c una circunferencia, P y Q dos puntos donde P no esta sobre c. Hallar la circunferencia ortogonal a c que pasa por P y Q. 2. Dados dos puntos distintos, A y B ¿cu´al es el lugar geom´etrico de los punots cuya raz´on de distancias a los puntos A y B es igual a uno?