Datos Y Azar 2 Proba o5x57
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Colegio AlianzaAustral Departamento de Matemática
GUIA DE RECAPITULACION PROBABILIDADES ANALISIS COMBINATORIO El objeto del Análisis combinatorio es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos. TÉCNICAS DE CONTEO Son aquellas que proporcionan información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado, es decir son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1 n2 maneras diferentes. Este principio se puede generalizar para cualquier número de acciones, es decir si una primera etapa de n1 maneras diferentes, una segunda etapa ocurre de n 2 maneras diferentes, una tercera etapa ocurre de n 3 maneras diferentes,………. y una r-ésima etapa puede ocurrir de nr maneras distintas, entonces la r acciones se pueden hacer en n1 n2 n3 ........... nr maneras diferentes.
PRINCIPIO ADITIVO
Si los eventos E1 y E2 no pueden ocurrir a la vez, y el evento E1 puede ocurrir en m formas y un segundo evento E2 puede ocurrir en n formas, entonces uno de ellos puede ocurrir de m + n formas diferentes. EJEMPLOS 1.
Si Jorge dispone de 3 camisas diferentes y 5 corbatas también diferentes, entonces ¿de cuántas maneras diferentes puede ponerse una camisa y una corbata?
2.
Para comprar un desodorante, Mario debe elegir entre 5 marcas, cada una de ellas tiene 2 presentaciones (barra y spray). ¿De cuántas maneras Mario puede comprar su desodorante?
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 3.
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar un dado y una moneda?
4.
Si Don Tito dispone de 5 autos y 3 camionetas, entonces ¿de cuántas maneras diferentes puede movilizarse un día cualquiera? A) 25 B) 20 C) 15 D) 9 E) 8
5.
La Sra. Lucía dispone para su lectura del día domingo por la tarde de 3 periódicos y 2 libros, todos muy interesantes, ¿de cuántas maneras diferentes puede elegir su lectura? A) B) C) D) E)
6.
1 2 3 5 6
En un centro comercial todos los LCD están con descuento. Aprovechando esta oferta, Carlitos decide comprar uno pero debe elegir entre las siguientes marcas: Sony, Samsung, LG y Panasonic. El LCD Sony se encuentra en 4 tamaños y 2 colores, el Samsung está en 5 tamaños y 3 colores, el LG está en 2 tamaños y 3 colores y el LCD Panasonic está en 7 tamaños y un solo color. ¿De cuántas maneras puede comprar su LCD Carlitos? A) 4 B) 9 C) 24 D) 36 E) 162
RESPUESTAS 1. 15
2. 10
3. 12
4. E
5. D
6. D
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 FACTORIALES Para proseguir el estudio de análisis combinatorio es necesario manejar cálculo y propiedades referentes a factorial de un número natural. El factorial de n o n factorial (n!) se define como el producto de los primero n números naturales. La expresión n! se lee, factorial de n o n factorial. Así n! Sería: n! = 1 2 3 4...........(n 2) (n 1) n Con lo anterior se puede decir que: 10! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 7! 8 9 10 7! 10! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 9! 10 9! OBSERVACIONES:
1. 2. 3. 4.
El factorial de un número negativo no está definido El factorial de 0 es 1, es decir 0! = 1 El factorial de 1 es 1, es decir 1! = 1 n! = (n 1)! n
5.
n! (n 1)! n = = (n 1)! n n
EJEMPLOS 1.
5! – 3! =
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 2.
¿Cuál es el valor de
3.
Si A) B) C) D) E)
4.
10! + 9! ? 10! 9!
(n + 3)! = 156, entonces n = (n + 1)!
5 10 20 30 40
¿Cuál es valor de
15! ? 13! 2!
A) 2.730 B) 1.365 C) 210 D) 105 E) 52,5
5.
Al lanzar dos dados no cargados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
Cada dado puede caer de 6 maneras diferentes (puede mostrar 6 caras diferentes). Ambos dados, en conjunto, pueden caer de 36 maneras diferentes. En 9 de los casos ambos dados mostraran un número par.
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
RESPUESTAS 1. 3! 19
2.
11 9
3. B
4. D
5. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 PERMUTACIÓN: Se llama permutación de n elementos a cada una de las diferentes
ordenaciones que se pueden hacer con esos elementos, en las permutaciones importa el orden de los elementos. PERMUTACIONES SIN ELEMENTOS REPETIDOS
El número de ordenaciones en fila de n elementos, en los cuales no hay ninguno repetido, se determina según la relación:
Pn = n!
PERMUTACIONES CIRCULARES
Para determinar el número de ordenaciones en círculo de n elementos distintos, se debe fijar uno de ellos, así el número de ordenaciones circulares de n elementos se determina por la relación:
Pcircular = (n 1)!
PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS
La ordenación de n elementos, de los cuales hay uno que se repite n1 veces, otro n2 veces, otros n3 veces……. el número de formas de permutarse entre ellos es
Pnn1 ,n2 ,n3 ...........=
n! n1 n2 n3 .......
EJEMPLOS 1.
¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila?
2.
¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar cinco niños alrededor de una mesa circular con 5 sillas?
3.
¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar cuatro libros de física, tres de química y cinco de matemática en un estante lineal, si los libros de cada asignatura deben estar siempre juntos?
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la palabra MATEMATICA? A) B)
6! 10! 10! C) 2! · 3! 10! D) 7! 10! E) 2! · 2! · 3! 5.
Un grupo de 5 amigos, suben a un automóvil. Si sólo uno de ellos sabe conducir, ¿de cuántas formas distintas se pueden distribuir en el interior del automóvil? A) 5 B) 10 C) 24 D) 62 E) 120
6.
¿Cuántos números distintos de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 1, 1, 2, 2?
A) 120 B) 24 C) 20 D) 10 E) 6 7.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 7 esferas, de las cuales 3 son rojas, 2 azules y 2 verdes? A) 30 B) 120 C) 210 D) 720 E) 5.040
RESPUESTAS 1. 24
2. 24
3. 4! 3! 5! 3!
4. E
5. C
6. D
7. C
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7
VARIACIONES O ARREGLOS Son subconjuntos ordenados de k elementos tomados de un conjunto de n elementos, siendo k < n. Para determinar el número de subconjuntos de k elementos tomados de un conjunto de n elementos, en los cuales importa el orden se ocupa la relación:
OBSERVACIÓN:
En las Variaciones o arreglos simples podemos encontrar las siguientes características: 1. Interesa el orden de los elementos que se agrupan, es decir ABC ACB (Se consideran como 2 casos diferentes). 2. Las variaciones o arreglos son subconjuntos ordenados. EJEMPLOS 7
1.
¿Cuál es el valor de V 5 ?
2.
¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
3.
¿Cuántas palabras con o sin sentido, se pueden formar con tres letras de la palabra CAMPEON?
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Para el aniversario del colegio CCSS se realizan alianzas. El curso de Juan Luis decide hacer una bandera con tres franjas horizontales de igual tamaño y distinto color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán formar con los siete colores del arcoíris? A) B) C) D) E)
5.
36 126 210 336 504
Una comisión de 16 delegados de la sociedad Negro y Negro debe escoger su directiva, conformada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un vocero. Si el cargo de presidente es para el socio con mayor cantidad de acciones, ¿de cuántas maneras se puede conformar tal directiva? 16
A)
V4
B)
V3
C)
V4
16 15 15
D) V3 E)
6.
16
V5
¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los números naturales 1, 2, 3, 4, 5 y 6? A) 720 B) 216 C) 120 D) 20 E) 18
7.
El número de formas distintas en que se pueden sentar 6 concejales de un municipio en los tres primeros asientos de la sala de reuniones, considerando que el primer asiento está reservado para el Alcalde, es A) 18 B) 30 C) 36 D) 72 E) 216
RESPUESTAS 1. 2.520
2. 504
3. 210
4. C
5. D
6. C
7. B
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 COMBINACIONES: Son subconjuntos de k elementos tomados de un conjunto de n elementos, siendo k < n. En las combinaciones no importa el orden. Para determinar el número de subconjuntos de k elementos tomados de un conjunto de n elementos se ocupa la relación:
OBSERVACIÓN:
En las Combinaciones podemos encontrar dos características: 1. NO interesa el orden de los elementos que se agrupan, es decir ABC = CBA (Se consideran como 1 solo caso).
2. Las combinaciones son subconjuntos en los cuales no importa el orden de los elementos elegidos.
CUADRO RESUMEN ANALISIS COMBINATORIO
¿Interesa el orden de los elementos? si
¿Tomo todos los elementos? si
Permutación
no
Variación o Arreglo
no
Combinatoria
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 EJEMPLOS 1.
¿Cuál es el valor de C79 ?
2.
¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo saluda una vez a cada una de las otras?
3.
Si en una caja hay 8 corbatas, ¿de cuántas formas se pueden escoger 5 corbatas? A) 13 B) 40 C) 56 D) 168 E) 336
4.
Cuatro amigos deciden organizar un campeonato de tenis. En la primera fase se han de enfrentar todos entre sí. ¿Cuántos partidos se deben realizar? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 24
5.
Al unir cinco vértices de un heptágono, ¿cuántos pentágonos se pueden obtener? A) 21 B) 30 C) 35 D) 42 E) 105
RESPUESTAS 1. 36
2. 66
3. C
4. B
5. A
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 PROBABILIDADES NOCIONES ELEMENTALES
Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las mismas condiciones, un número indefinido de veces. Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no se puede predecir, existiendo un conjunto de resultados posibles (espacio muestral). Espacio Muestral: Los resultados posibles en un experimento aleatorio. Evento (o suceso): Es un subconjunto del espacio muestral. Evento cierto: Es el propio espacio muestral. Evento imposible: Es aquel que no tiene elementos, es decir, el subconjunto vacío del espacio muestral. Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro. Eventos independientes: Son aquellos en los que la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Eventos complementarios: son aquellos que no tienen elementos comunes pero juntos completan el espacio muestral.
EJEMPLOS 1.
¿Cuál(es) de los siguientes experimentos es (son) aleatorio(s)? I) II) III)
Lanzar una ruleta y observar si sale el 36. Lanzar un dado y observar si la cara superior muestra un cinco. Lanzar una moneda al aire y observar si sale cara.
2.
¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzamiento de dos dados”?
3.
Si se lanzan tres monedas, ¿cuál(es) de los siguientes eventos es (son) imposible(s)? I) II) III)
Obtener exactamente dos caras y un sello. Obtener un sello y como mínimo tres caras. Obtener a lo más dos caras y dos sellos.
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Dado el espacio muestral E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y los eventos A = 1, 3, 5, B = 2, 4, 6 y C = 3, 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERA(S)? I) II) III) A) B) C) D) E)
5.
Solo Solo Solo Solo Solo
I III I y II I y III II y III
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
6.
A y B son complementarios. B y C son mutuamente excluyentes. A y C son mutuamente excluyentes.
Al lanzar un dado el evento “sacar un número menor que siete”, es un suceso cierto. “Lanzar un dado y que salga un número menor que tres” y “lanzar un dado y que salga un múltiplo de tres” son sucesos mutuamente excluyentes. “Lanzar dos dados y obtener una suma mayor que 12”, es un evento imposible.
Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III
¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio extraer 3 esferas de una caja que contiene más de 3 esferas rojas, más de 3 verdes y más de 3 amarillas? A) 6 B) 8 C) 9 D) 16 E) 27
RESPUESTAS 1. I, II y III
2. 36
3. Solo II
4. C
5. E
6. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7
PROBABILIDAD CLÁSICA La probabilidad de un suceso A es la razón entre el número de casos favorables al evento A y el número total de casos posibles. P(A) =
Número de casos favorables (A) Número total de casos
OBSERVACIONES:
La probabilidad de que no ocurra A es P(A’) y se calcula
0 P(A) 1
o bien
P(A’) = 1 – P(A)
0% P(A) 100%
EJEMPLOS 1.
Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener más de 10 puntos?
2.
Al lanzar 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un 5?
3.
Si la probabilidad que llueva hoy es 0,375, ¿cuál es la probabilidad que no llueva hoy?
Página 14
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Una caja contiene 20 esferas numeradas del 1 al 20. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una esfera al azar, ésta sea un número primo o un múltiplo de 10? 1 2 1 B) 10 1 C) 20 9 D) 20 11 E) 20
A)
5.
En una caja se encuentran 12 tarjetas numeradas del 1 al 12, las tarjetas que tienen impreso un número primo son verdes, las que tienen impreso un múltiplo de 4 son amarillas y el resto rojas. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una tarjeta, ésta sea de color rojo? 1 4 1 B) 3 5 C) 12 7 D) 12 2 E) 3
A)
6.
Un dado está cargado de tal forma que la probabilidad que salga un divisor de 6 es el doble de la probabilidad que salga otro número. Al lanzar el dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga el número 1? 1 10 1 B) 6 1 C) 5 1 D) 3 2 E) 5
A)
RESPUESTAS 1.
1 12
2.
Página 15
11 36
3.
5 8
4. A
5. B
6. C
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7
TRIÁNGULO DE PASCAL Representa una regularidad numérica que se ilustra en la siguiente figura: 1 1
1
1
2
1 1
3
4
1
1
3
1
6
5
4
10
1
10
5
1
Se pueden observar algunas regularidades y estas son: Los coeficientes primero y último de cada fila son siempre 1. Cualquier otro coeficiente de una fila se obtiene como la suma de los dos valores que están justo arriba en la fila anterior. Si se suman los números de cada fila el resultado es siempre una potencia de 2. Existe una simetría en cada fila respecto a su centro.
OBSERVACIÓN: El triángulo de Pascal también se utiliza en experimentos aleatorios que
tengan dos sucesos equiprobables de ocurrencia, como por ejemplo: lanzar una moneda, el sexo de una persona, respuestas de preguntas del tipo verdadero o falso, etc. Así al lanzar una moneda cuatro veces (o lanzar 4 monedas a la vez) se obtienen 16 resultados posibles, que al determinarlos a través del triángulo de Pascal son:
1 1
1
1 3
4
1 2
1 3
6
1
Cero lanzamiento 20 Un lanzamiento 21 Dos lanzamientos 22 Tres lanzamientos 23 Cuatro lanzamientos 24
1
4
1
Esta situación se grafica de la siguiente manera 1
1C
4
1C
3
1C2 3
4C S
1C 2
3C S
1S 2CS 2
6C S
2
3CS
2
1S2 4CS
3
1S3
1S4
CCCS OBSERVACIÓN:
4C3S significa
CCSC CSCC SCCC
O sea, 4C3S indica que hay cuatro casos favorables para obtener 3 caras y 1 sello.
Página 16
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 EJEMPLOS 1.
Un matrimonio espera trillizos, ¿cuál es la probabilidad que por lo menos uno de los bebes sea mujer?
2.
En una caja hay 5 esferas entre rojas y amarillas, ¿cuál es la probabilidad que exactamente 3 de ellas no sean rojas?
3.
Una perrita esta a punto de tener sus 4 cachorros, ¿cuál es la probabilidad que dos de los cachorros sean hembra?
4.
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras, si se lanza una moneda 4 veces? A) B) C) D) E)
5.
1 3 1 4 2 3 3 4 1 64
Un matrimonio tiene 4 hijos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 1 I) La probabilidad que sean 4 hijos varones es . 4 3 II) La probabilidad de que sean 2 varones y 2 damas es . 8 11 III) La probabilidad que sean a lo más dos hijos varones es . 16 A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III
Página 17
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 6.
Al lanzar 5 moneda, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
7.
La probabilidad de obtener 3 caras, es igual a la probabilidad de obtener 3 sellos. La probabilidad de obtener a lo más una cara, es igual a la probabilidad de obtener a lo menos 2 sellos. La probabilidad de obtener 4 sellos, es igual a la mitad de la probabilidad de obtener 3 sellos.
Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas.
En una prueba de seis preguntas de verdadero o falso, ¿cuál es la probabilidad que exactamente 4 de las respuesta sean falsas? 3 32 15 B) 64 5 C) 16 11 D) 32 21 E) 32
A)
8.
Al lanzar 5 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo más 4 caras? 1 32 5 B) 32 3 C) 16 15 D) 32 31 E) 32
A)
RESPUESTAS 1.
7 8
2.
5 16
Página 18
3.
3 8
4. B
5. D
6. B
7. B
8. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 PROBABILIDADES DE EVENTOS Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por: P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por: P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B) Los sucesos A y B se consideran dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro, afectándose el espacio muestral. P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B/A)
EJEMPLOS 1.
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 3?
2.
Se tienen dos urnas: la primera contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la segunda contiene 3 bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes?
Página 19
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 3.
Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad que el resultado corresponda a un número mayor que 4 o a un número primo?
4.
En el lanzamiento de una moneda de $ 100 y una de $ 50, la probabilidad de obtener cara en la de cien y sello en la de cincuenta es 1 4 1 B) 3 1 C) 2 3 D) 4 E) 1
A)
5.
Un naipe inglés consta de 52 cartas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cuales dos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta consta de 3 figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de 10 cartas numeradas desde 1 (as) a 10, entonces la probabilidad de obtener un “AS” o un “REY” al extraer una de las 52 cartas de una baraja inglesa es 1 13 2 B) 13 4 C) 13 1 D) 4 1 E) 3
A)
Página 20
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 6.
Si se lanzan 2 dados, ¿cuál es la probabilidad que muestren el mismo número? 1 2 1 B) 3 1 C) 6 1 D) 36 5 E) 36
A)
7.
La siguiente tabla muestra la distribución por electivo y sexo de los alumnos de IV medio de un liceo. Si se escoge un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre o pertenezca al plan humanista?
Hombre Mujer
Humanista 10 15
Biólogo 15 15
Físico 15 10
12 16 11 B) 16 1 C) 2 2 D) 5 5 E) 16
A)
8.
Si se sacan, desde una caja que tiene 9 esferas numeradas del 1 al 9, dos de estas esferas una tras otra sin reposición, ¿cuál es la probabilidad que ambas indiquen un número impar? 5 18 5 B) 9 1 C) 2 5 D) 36 25 E) 81
A)
Página 21
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 9.
En una caja hay 3 camisas blancas y 2 azules. Si se sacan sucesivamente 2 camisas, sin devolverlas a las cajas, ¿cuál es la probabilidad que éstas sean de distinto color? 2 3 2 B) 5 3 C) 5 3 D) 10 7 E) 10
A)
RESPUESTAS
1.
2 3
2.
Página 22
9 50
3.
2 3
4. A
5. B
6. C
7. B
8. A
9. C
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 PROBABILIDAD CONDICIONADA Si se recuerda, si dos eventos no son independientes, entonces la probabilidad que ocurran ambos se calculada según la relación P(A B) = P(A) P(B/A) , en esta relación P(B/A) se llama probabilidad condicionada y se lee: P(B/A): probabilidad de B, dado que ocurrió A, y se determina según la relación:
P(B/A) =
P(A B) P(A)
OBSERVACIÓN:
la probabilidad condicionada también es posible determinarla reduciendo el espacio muestral. EJEMPLOS 1.
En cierta población el 40% tienen pelo negro, el 20% tiene ojos café y el 10% tiene pelo negro y ojos café, si se escoge un alumno al azar, entonces i)
¿Cuál es la probabilidad que si el escogido tiene pelo negro también tenga ojos café?
ii)
Si el escogido tiene los ojos café, ¿cuál es la probabilidad que su pelo no sea negro?
2.
Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea múltiplo de 2 si se sabe que en uno de los dados salió un número par?
3.
Una caja contiene 3 esferas blancas y 2 rojas, una segunda caja contiene 2 esferas blancas y 3 rojas. El experimento consiste en lanzar una moneda, si sale cara se extrae la esfera de la primera caja, si sale sello se extrae de la segunda. Si se realizó el experimento y se obtiene una esfera roja, ¿cuál es la probabilidad que provenga de la segunda caja?
Página 23
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
En cierta población se ha logrado constatar que: la probabilidad que una persona este obesa y tenga el colesterol alto es 0,1 y la probabilidad que un individuo sea obeso es 0,4. Si se escoge una persona que resulta estar obeso, entonces ¿cuál es la probabilidad que tenga el colesterol alto? A) B) C) D) E)
5.
0,10 0,25 0,40 0,60 0,90
Se lanzan 2 monedas, si a lo menos en una de ellas salió cara, ¿cuál es la probabilidad de que ambas lo sean?
1 4 1 B) 3 3 C) 8 1 D) 2 2 E) 3 A)
6.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s) en un experimento aleatorio, si A y B son eventos de él? I) II) III) A) B) C) D) E)
Si P(A/B) = P(A), entonces A y B son independientes Si P(A/B) = 0, entonces P(A y B) es imposible Si P(A/B) = P(B/A), entonces P(A) = P(B)
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
RESPUESTAS 1. i) 0,25
Página 24
ii)0,5
2.
1 3
3.
3 5
4. B
5. B
6. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 DIAGRAMA DE VENN Un Diagrama de Venn es una manera de representar gráficamente conjuntos, subconjuntos, intersecciones de conjuntos, uniones de conjuntos. Normalmente se utilizan en esta representación óvalos o círculos, que muestran la relación existente entre los conjuntos y subconjuntos involucrados. Cada óvalo o círculo es un subconjunto diferente. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes. Por ejemplo, supongamos como conjunto las personas que viajan en un Tour, si A representa las personas que hablan inglés, el óvalo de la izquierda contendrá al número total de personas que los hacen, si B representa a las personas que hablan francés, el óvalo de la derecha tendrá el número de turista que hablen francés, la parte común de los óvalos (A y B) contiene a las personas que hablan ambas idiomas. El rectángulo contiene todas las personas que participen en éste tour, representando C las personas que no dominan ninguno de los dos idiomas.
DIAGRAMA DE VENN
C A
B AyB
Apoyados en el Diagrama de Venn es posible determinar cantidad de elementos que cumplen las condiciones y de ésta forma permite determinar probabilidad utilizando probabilidad clásica
EJEMPLOS 1.
En un curso de 36 niños de tercero básico se sabe que 24 de ellos practican futbol, 22 practican tenis y 2 no practican ninguno de estos deportes, al elegir un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad que practique fútbol y tenis?
2.
De un grupo de 500 turistas el 70% habla inglés, el 40% habla francés, el 15% habla inglés y francés y el resto solo español. Si se elige una persona que habla inglés, ¿cuál es la probabilidad que también hable francés?
Página 25
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 3.
1 1 1 habla portugués, japonés y ambos idiomas. 6 3 12 ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo uno de estos idiomas?
En un curso de 120 alumnos,
1 3 1 B) 12 1 C) 4 5 D) 12 7 E) 12
A)
4.
En un curso de 80 alumnos, la cuarta parte de ellos habla ingles, la quinta parte francés y la décima parte ambos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al azar hable inglés o francés? 16 80 20 B) 80 28 C) 80 36 D) 80 44 E) 80
A)
5.
En un curso de 40 alumnos, el 50% practica futbol, el 37,5% practica basquetbol, mientras que 5 alumnos practican ambos deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno, éste no practique ningún deporte? 1 8 1 B) 5 1 C) 2 1 D) 3 1 E) 4
A)
RESPUESTAS 3 1 2. 1. 14 3 Página 26
3. A
4. C
5. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 LEY DE LOS GRANDES NUMEROS Esta ley establece que la frecuencia relativa de los resultados de un experimento aleatorio tiende a estabilizarse a cierto número que corresponde a la probabilidad del suceso, cuando el experimento se realiza muchas veces. En la tabla se han anotado las frecuencias del suceso “salir sello” en el lanzamiento de una moneda. Nº lanzamientos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
100 56 0,56
150 70 0,47
200 110 0,55
300 145 0,48
400 208 0,52
500 255 0,51
La probabilidad de un suceso, es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces. EJEMPLOS 1.
Al lanzar 1.000 monedas al aire, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III)
500 monedas mostraran un cara alrededor del 50% de las monedas no mostraran sello el número de caras será cercano al número 500
2.
Si se lanza 2.400 veces un dado común, entonces el numero 4 saldrá
3.
Si se lanza 5.000 veces un dado común, según la Ley de los Grandes Números, ¿en qué porcentaje, aproximadamente, de esas repeticiones, saldrá un múltiplo de 3? A) B) C) D) E)
En En En En En
un un un un un
10% 12% 17% 33% 45%
RESPUESTAS 1. II y III
Página 27
2. Aproximadamente 400 veces
3. D
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 TRIÁNGULO DE PASCAL PARA SUCESOS NO EQUIPROBABLES Recordemos, el triángulo de pascal se utiliza cuando el experimento aleatorio tiene solo dos resultados, y ahora lo utilizaremos en el caso de que los sucesos no sean equiprobables. El triángulo de Pascal es el siguiente: 1 1 1 1 1 1
3 4
5
1 2
1 3
6 10
1 4
10
1 5
1
EJEMPLO 2 , si esta moneda es 3 lanzada 3 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
1.
Al lanzar una moneda cargada, la probabilidad que salga cara es
2.
Al responder una prueba de 5 preguntas de cinco alternativas cada una, toda al azar, ¿cuál es la probabilidad que acierte en 3 de ellas?
3.
Una caja contiene 10 esferas, 4 rojas y 6 blancas, al extraer 4 de ellas, ¿cuál es la probabilidad que 2 de ellas sean blancas?
Página 28
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Una prueba tiene 6 preguntas con cinco alternativas cada una, de las cuales solo una es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga cuatro aciertos si contesta la prueba al azar?
A)
1 5
4
2
4 5 4
1
1 4 B) 6 5 5 6
1 C) 15 5
6
1 D) 15 5
4
2
1 4 E) 15 5 5
5.
Un deportista de tiro con arco tiene una probabilidad de acertar en el centro de 0,4, entonces ¿cuál será la probabilidad de que al disparar cuatro veces al blanco acierte en el centro una vez?
A) B) C)
1
1
3
3
1
2 3 4 5 5 2 4 5
2 D) 5
E)
3
2 3 5 5
4
2 3 4 5 5
RESPUESTAS 1.
4 9
2.
Página 29
32 625
3.
3 7
4. E
5. B
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Al considerar un experimento dicotómico donde uno de los resultados se denomina éxito con probabilidad de ocurrencia p y el otro fracaso, con probabilidad de ocurrencia (1 – p), en que la probabilidad de éxito es constante y además el resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente, entonces se dice que el experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli. La distribución binomial se representa por B(n, p), siendo n el número de pruebas o repeticiones del experimento y p probabilidad de éxito.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Al realizar un experimento dicotómico n veces, la probabilidad de obtener x éxitos, siendo p la probabilidad de éxito y (1 – p) la probabilidad de fracaso, se calcula mediante la función de probabilidad binomial
n
x
n x
f(x) = P(X = x) = Cx p (1 p) OBSERVACION: n n! Cnx = = x! n x x !
OBSERVACIÓN Cuando el experimento tiene solo dos posibles resultados, se puede utilizar la función de probabilidad binomial o el triángulo de Pascal.
EJEMPLOS 1.
Un matrimonio tiene 4 hijos, ¿cuál es la probabilidad que exactamente dos de ellos sean varones?
2.
Se lanza una moneda 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad que en el lanzamiento se obtengan 3 sellos?
Página 30
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 3.
Un estudio sobre los hábitos de consumo arrojó que el 65% de la población ha fumado alguna vez en su vida. Si se elige a 20 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad que 8 de ellas nunca haya fumado? 8
12
8
12
35 65 A) C20 8 100 100 35 65 B) C12 8 100 100 8
12
35 65 C) 100 100 12
35 D) C20 8 100
E) 4.
12
35 100
8
65 100
Se define la variable aleatoria X como la cantidad de caras que resultan en el lanzamiento de una moneda no cargada cinco veces. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
5.
8
65 100
Solo Solo Solo Solo Solo
Los valores que toma la variable X son {1, 2, 3, 4, 5} P(X = 1) = P(X = 5) 5
1 P(X = 4) = 5 2
I II III I y III II y III
Un test de 10 preguntas de tipo verdadero ó falso se le aplica a un alumno y él contesta todas las preguntas al azar, ¿Cuál es la probabilidad que tenga exactamente 4 de sus respuestas correctas? 10
1 A) 210 2 1 B) 210 2
1 C) 2
4
1 D) 2
6
E)
4
10
1 2
RESPUESTAS 1.
3 8
2.
Página 31
5 16
3. A
4. C
5. A
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7
ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA La esperanza o valor esperado de una variable aleatoria discreta se determina por la suma de los productos de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho evento. La esperanza representa la cantidad media que se espera como resultado de un experimento aleatorio.
E(x) x1 p1 x2 p2 ........ xn pn xi P(X = x) n
: : :
valor de cada suceso. probabilidad que la variable tome el valor i. cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria.
EJEMPLOS 1.
¿Cuál es el valor esperado en el lanzamiento de un dado común de 6 caras?
2.
Si el valor esperado E(x) de los datos de la tabla adjunta es 1,3 entonces ¿cuál es la probabilidad que x tome el valor 3? x p(x)
3.
-1 0,2
1 p
3 q
4 0,1
¿Cuál es el valor esperado para la variable x descrita en la tabla adjunta?
A) B) C) D) E)
2,2 1,8 1,5 1,2 0,8
Página 32
x
0
1
2
p(x)
0,3
0,2
0,5
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Sea X una variable aleatoria tal que su función probabilidad está dada por la siguiente tabla X P(X = x)
-2 0,2
-1 0,1
0 0,3
1 0,1
2 0,3
Entonces, el valor de la esperanza de x es A) B) C) D) E) 5.
Si se define la variable x como la suma de los puntos en el lanzamiento de dos dados, el valor esperado de x es A) B) C) D) E)
6.
0,1 0,2 0,4 0,5 1,2
251 36 240 36 242 36 252 36 256 36
Los gráficos muestran la función de probabilidades de dos variables aleatorias discretas, P y Q. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) II) III)
E(P) > E(Q) E(P) E(Q) = 0,6 E(Q) =
1 E(P)
0,5
0,5
0,3 0,2
0,3 0,2
1
2
Variable P
A) B) C) D) E)
Solo Solo Solo Solo Solo
I II I y II II y III I y III
RESPUESTAS 1. 3,5
2. 0,2
Página 33
3. D
4. B
5. D
6. C
3
1
2
Variable Q
3
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 APLICACIÓN DE ESPERANZA MATEMATICA AL VALOR ESPERADO EN UN JUEGO DE AZAR La esperanza o valor esperado en matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar y hacen relación a la esperanza que tenía de ganar un juego un individuo que hacía un gran número de apuestas. OBSERVACIONES Si E(X) = 0 el juego es equitativo, es decir se considera justo Si E(X) > 0 el juego se considera favorable Si E(X) < 0 el juego se considera injusto.
EJEMPLOS 1.
Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda normal y obtener cara, si cae cara la 1ra vez el jugador gana $ 300, si cae cara la 2da vez gana $ 500 y si cae cara en la 3ra vez gana $ 800, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos. Si no cae cara en los tres lanzamientos pierde $ 2.000. ¿Cuál es la esperanza, ya sea ganancia ó perdida en éste juego?
2.
Un jugador tiene 3 oportunidades de lanzar un dado no cargado, si sale un número múltiplo de 3 en el primer lanzamiento gana $ 600, si sale en el segundo lanzamiento $ 360, si sale en el tercer lanzamiento gana $ 135, el juego termina al momento que salga un número múltiplo de 3. Si en ninguno de los tres lanzamientos sale un número múltiplo de 3 el jugador pierde $ 810, ¿será justo este juego?
3.
Una persona compra un número de rifa, el primer premio es de $ 6.000 y el segundo de $ 2.500, si la probabilidad de ganar $ 6.000 es 0,001 y la probabilidad de ganar $ 2.500 es 0,025 ¿cuál sería un precio justo a pagar por esta rifa?
Página 34
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Se tiene una urna con tres bolitas verdes y dos bolitas amarillas. El juego consiste en sacar una bolita de la urna, si la bolita es amarilla el jugador gana $ 1.000, si la bolita es verde debe pagar $ 800, ¿es conveniente jugar? A) B) C) D) E)
5.
Se requiere más información. El juego es injusto. El juego es equitativo. El juego es favorable. Ninguna de las opciones anteriores.
La siguiente tabla expresa el dinero que se espera ganar en un juego de azar, asociado a las probabilidades de un juego: $
100
200
300
-400
P($)
0,1
0,3
A
0,2
Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 6.
A = 0,4 P(-400) = P(200) – P(100) La esperanza del juego es de $ 110.
Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III I, II y III
De una baraja inglesa se escoge una carta. Si la carta es un número el jugador gana $ 200, si la carta es un mono el jugador debe pagar $ 500. El valor esperado, en pesos, al jugar un gran número de veces es 8.000 52 2.000 B) -$ 52
A) -$
C)
$0
D)
$
E)
1.000 52 2.000 $ 52
RESPUESTAS 1. $125
2. $60
Página 35
3. $68,5
4. B
5. E
6. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Y ESPERANZA DE LA MISMA VARIABLE Se define la varianza de una variable aleatoria como VAR(x) = E(X2 )
E(X)
2
Observación: La varianza es siempre un número real no negativo.
EJERCICIOS 1.
El valor esperado de una variable aleatoria X es 2,5 y el valor esperado para los cuadrados de la misma variable aleatoria es 6,5. ¿Cuál es la varianza y desviación estándar de la variable?
2.
¿Cuál es la varianza de los datos de la tabla adjunta? x 1 2 3 4 5
3.
p 0,3 0,2 0,1 0,2 0,2
De los datos de la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? x p -10 0,2 -20 0,3 10 0,2 20 0,3 I) II) III) A) B) C) D) E)
El valor esperado para la variable aleatoria X es 0. La varianza de la variable x es 0. La desviación estándar de los datos es = 2 70 .
Solo I Solo III Solo I y II Solo I y III I, II y III
RESPUESTAS 1. V(x) =
1 1 ; = 4 2
Página 36
2. V(x) = 2,36
3. D
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 EJERCICIOS Combinatoria y Probabilidades 1.
Determine la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: a) ____ El espacio muestral del evento “obtener un siete” en una prueba de matemáticas con nota entera, es 7. b) ____ Al sumar dos enteros positivos, el resultado es mayor que cualquiera de los números dados es un evento cierto. c) ____ “Al multiplicar un numero entero positivo a por otro número real positivo menor que 1, obteniendo un número mayor que a”, es un evento imposible. d) ____ El suceso “elegir un hombre de un curso de 15 hombres y 15 mujeres” es un suceso equiprobable. e) ____ Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, entonces la probabilidad que no ocurra es 0,45. f) ____ El experimento encender una vela no es aleatorio. g) ____ El espacio muestral del experimento aleatorio: “lanzar una moneda 5 veces” tiene 32 elementos. h) ____ El evento: “que un mes tenga 30 días” tiene probabilidad de ocurrencia 1. i) ____ La probabilidad de que salga un 3 al lanzar un dado normal es
1 . 6
j) ____ El valor de 10! es distinto de 9! · 10. k) ____ En el experimento: ”lanzar un dado y una moneda” el total de resultados posibles es 12. l) ____ El total de números de tres cifras distintas que se pueden obtener utilizando los dígitos 1, 2 y 3 son 6.
Página 37
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 2.
Principios del Conteo a) Una biblioteca tiene 4 textos de historia, 3 de sociología, 6 de cálculo y 5 de química. Encontrar el número de formas que un puede escoger: i) uno de los textos mencionados ii) uno de cada tipo de los textos mencionados. b) En una alcancía hay 15 monedas de $ 50, 25 monedas de $ 100 y 32 monedas de $ 500. Si Carolina saca una moneda de la alcancía. ¿De cuántas maneras puede Carolina sacar la moneda? c)
3.
En una exposición artística hay 8 cuadros al óleo, y 7 acuarelas. ¿De cuántas maneras puede Don Maximiano comprar un cuadro al óleo y una acuarela?
Permutaciones y Combinaciones a) Encuentre el número de formas en las cuales 4 personas pueden sentarse en una fila de 3 sillas. (ilústrelos a partir de las casillas ____ , _____, ____) b) Encuentre el número de n de formas como 8 personas pueden organizarse en una fila de 8 sillas c)
Si no se iten repeticiones, encuentre la cantidad de números de tres dígitos que pueden formarse a partir de los cinco dígitos: 3, 5, 6, 7, 9 (ilústrelos a partir de las casillas ____ , ____ , ____)
d) En una fila de 9 sillas deben sentarse 4 hombres y 5 mujeres. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse los asientos, si los hombres deben estar juntos al lado derecho de la fila? e) 8 amigos se juntan a jugar básquetbol con un equipo rival. Si un equipo de básquetbol está formado por 5 jugadores, ¿cuántos equipos distintos pueden formar los ocho amigos? f)
Un estudiante debe responder 10 de 12 preguntas en su examen. ¿De cuántas formas puede elegir sus 10 preguntas?
g) El valor de Página 38
7! (7 + 1)! 7!
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Probabilidades
1)
Determinar el número de elementos del espacio muestral asociado a: a) Lanzar una moneda. b) Lanzar tres monedas. c)
Lanzar k monedas.
d) Lanzar un dado. e) Lanzar 3 dados. f) 2)
Lanzar 3 monedas y 2 dados.
Considere el lanzamiento de dos dados normales.
a) Escribir el conjunto del suceso “la suma de las puntos de los dados obtenidos es 7” S = {( , ) ;( , ); ( , ) ;( , );( , ) ;( , )}
Determine la probabilidad de los siguientes sucesos: b) Que ambos sean pares. c) Que ambos sean primos. d) Que la suma sea impar. e)
Que la diferencia sea nula.
e) Que la suma no sea 7. g) Que la suma sea menor que 3 o mayor que 10. 3)
En una comida hay 32 hombres y 28 mujeres. Se sabe que han comido carne de vacuno 20 hombres y 15 mujeres, el resto comió carne de ave.
Página 39
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 Completar el cuadro con los datos dados.
Hombres
Mujeres
Totales
Carne Vacuno Carne de Ave Totales
4) Se elige una persona al azar, calcular la probabilidad que a) Sea hombre.
b) Sea mujer.
c) Haya comido vacuno.
d) Haya comido ave.
e) Sea mujer y le guste comer vacuno.
f) Sea hombre y le guste comer ave.
g) Sea mujer y haya comido ave.
h) Sea hombre o mujer y haya comido ave.
Página 40
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 Ejercicios Selección Múltiple (Preguntas Oficiales publicadas por Demre) 1.
En una fila de 7 sillas se sientan cuatro mujeres y tres hombres, ¿de cuántas maneras se pueden sentar ordenadamente, si las mujeres deben estar juntas y los hombres también? A) B) C) D) E)
2.
2 4·3 3! · 4! · 2 3! · 4! 4·3·2
Si en una tienda de ropa, se deben escoger dos trajes de seis diferentes, ¿de cuántas maneras distintas se puede hacer esta selección? A) 1 B) 15 C) 6 D) 12 E) 3
3.
La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes a un cargo istrativo NIVEL EDUCACIONAL
Sexo
Universitaria
Media
Básica
Masculino
250
100
40
Femenino
225
110
25
Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 390 I) La probabilidad que sea varón es de . 750 360 II) La probabilidad que sea mujer es de . 390 475 III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de . 750 A) B) C) D) E)
Solo Solo Solo Solo Solo
Página 41
I II III I y III II y III
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que en ésta esté escrita una vocal es
1 10 2 B) 5 1 C) 5 1 D) 4 2 E) 3 A)
5.
¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2 sean caras y 1 sea sello?
3 8 1 B) 8 2 C) 8 1 D) 3 2 E) 3 A)
6.
En un experimento se lanza una moneda, si sale sello, se lanza un dado y si sale cara, la moneda se lanza por segunda vez, terminándose el experimento. ¿Cuál es la probabilidad de que se lance el dado?
1 2 1 1 B) · 2 6 1 1 C) + 2 6 1 D) 8 1 E) 6 A)
Página 42
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 7.
Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las tres ocasiones ha salido un 4, ¿cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento salga un 4?
1 3 1 B) 6 1 C) 4 3 D) 6 4 E) 6 A)
8.
Una bolsa contiene un gran número de fichas de colores, de las cuales algunas son 1 rojas. Si la probabilidad de sacar una ficha roja es , ¿cuál es la probabilidad de sacar 3 una ficha de cualquier otro color?
A) B) C) D) E)
9.
1 2 1 3 2 3 1 No se puede determinar.
Una urna contiene cinco fichas rojas y tres negras, todas del mismo tipo. Se extrae al azar una ficha, se anota su color y se devuelve a la urna. Este experimento se repite diez veces. Si la variable aleatoria x asigna la cantidad de fichas rojas obtenidas, entonces los valores que puede tener x son A) B) C) D) E)
{1, 2, {0, 1, {0, 1, {5} {1, 2,
Página 43
3, 4, y 5} 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10} 2, 3, 4 y 5} 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10}
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 RESPUESTAS EJERCICIOS PROPUESTOS Combinatoria y Probabilidades 1.
2.
a) F
b) V
c) V
j) F
k) V
l) V
d) V
e) F
f) V
g) V
h) F
i) V
Principios del conteo a) i) 4 + 3 + 6 + 5 = 18 formas ii) 4 · 3 · 6 · 5 = 360 formas b) 15 + 25 + 32 = 72 formas c) 8 · 7 = 56 formas
3.
Permutaciones y Combinaciones a) 4 · 3 · 2 = 24 formas c) 5 · 4 · 3 = 60 8 e) = 56 5
b) d)
n = 8! 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 2 = 5!·4! 12 = 66 10
f)
g) -7 4.
Probabilidades b) 23
c) 2k
e) 63
a) 2
2)
a) S = {(1,6) ; (6,1); (5,2) ; (2,5) ; (3,4) ; (4,3 )} b)
9 36
c)
9 36
d)
18 36
d) 6
f) 23 · 62
1)
e)
6 36
f)
30 36
g)
4 36
3)
4)
Hombres
Mujeres
Totales
Carne Vacuno
20
15
35
Carne de Ave
12
13
25
Totales
32
28
60
a)
Página 44
32 60
b)
28 60
c)
35 60
d)
25 60
e)
15 60
f)
12 60
g)
13 60
h)
25 60
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 Claves Ejercicios Selección Múltiple 1. C 2. B 3. D
Página 45
4. B 5. A 6. A
7. B 8. C 9. B
GUIA DE RECAPITULACION PROBABILIDADES ANALISIS COMBINATORIO El objeto del Análisis combinatorio es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos. TÉCNICAS DE CONTEO Son aquellas que proporcionan información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado, es decir son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1 n2 maneras diferentes. Este principio se puede generalizar para cualquier número de acciones, es decir si una primera etapa de n1 maneras diferentes, una segunda etapa ocurre de n 2 maneras diferentes, una tercera etapa ocurre de n 3 maneras diferentes,………. y una r-ésima etapa puede ocurrir de nr maneras distintas, entonces la r acciones se pueden hacer en n1 n2 n3 ........... nr maneras diferentes.
PRINCIPIO ADITIVO
Si los eventos E1 y E2 no pueden ocurrir a la vez, y el evento E1 puede ocurrir en m formas y un segundo evento E2 puede ocurrir en n formas, entonces uno de ellos puede ocurrir de m + n formas diferentes. EJEMPLOS 1.
Si Jorge dispone de 3 camisas diferentes y 5 corbatas también diferentes, entonces ¿de cuántas maneras diferentes puede ponerse una camisa y una corbata?
2.
Para comprar un desodorante, Mario debe elegir entre 5 marcas, cada una de ellas tiene 2 presentaciones (barra y spray). ¿De cuántas maneras Mario puede comprar su desodorante?
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 3.
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar un dado y una moneda?
4.
Si Don Tito dispone de 5 autos y 3 camionetas, entonces ¿de cuántas maneras diferentes puede movilizarse un día cualquiera? A) 25 B) 20 C) 15 D) 9 E) 8
5.
La Sra. Lucía dispone para su lectura del día domingo por la tarde de 3 periódicos y 2 libros, todos muy interesantes, ¿de cuántas maneras diferentes puede elegir su lectura? A) B) C) D) E)
6.
1 2 3 5 6
En un centro comercial todos los LCD están con descuento. Aprovechando esta oferta, Carlitos decide comprar uno pero debe elegir entre las siguientes marcas: Sony, Samsung, LG y Panasonic. El LCD Sony se encuentra en 4 tamaños y 2 colores, el Samsung está en 5 tamaños y 3 colores, el LG está en 2 tamaños y 3 colores y el LCD Panasonic está en 7 tamaños y un solo color. ¿De cuántas maneras puede comprar su LCD Carlitos? A) 4 B) 9 C) 24 D) 36 E) 162
RESPUESTAS 1. 15
2. 10
3. 12
4. E
5. D
6. D
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 FACTORIALES Para proseguir el estudio de análisis combinatorio es necesario manejar cálculo y propiedades referentes a factorial de un número natural. El factorial de n o n factorial (n!) se define como el producto de los primero n números naturales. La expresión n! se lee, factorial de n o n factorial. Así n! Sería: n! = 1 2 3 4...........(n 2) (n 1) n Con lo anterior se puede decir que: 10! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 7! 8 9 10 7! 10! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 9! 10 9! OBSERVACIONES:
1. 2. 3. 4.
El factorial de un número negativo no está definido El factorial de 0 es 1, es decir 0! = 1 El factorial de 1 es 1, es decir 1! = 1 n! = (n 1)! n
5.
n! (n 1)! n = = (n 1)! n n
EJEMPLOS 1.
5! – 3! =
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 2.
¿Cuál es el valor de
3.
Si A) B) C) D) E)
4.
10! + 9! ? 10! 9!
(n + 3)! = 156, entonces n = (n + 1)!
5 10 20 30 40
¿Cuál es valor de
15! ? 13! 2!
A) 2.730 B) 1.365 C) 210 D) 105 E) 52,5
5.
Al lanzar dos dados no cargados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
Cada dado puede caer de 6 maneras diferentes (puede mostrar 6 caras diferentes). Ambos dados, en conjunto, pueden caer de 36 maneras diferentes. En 9 de los casos ambos dados mostraran un número par.
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
RESPUESTAS 1. 3! 19
2.
11 9
3. B
4. D
5. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 PERMUTACIÓN: Se llama permutación de n elementos a cada una de las diferentes
ordenaciones que se pueden hacer con esos elementos, en las permutaciones importa el orden de los elementos. PERMUTACIONES SIN ELEMENTOS REPETIDOS
El número de ordenaciones en fila de n elementos, en los cuales no hay ninguno repetido, se determina según la relación:
Pn = n!
PERMUTACIONES CIRCULARES
Para determinar el número de ordenaciones en círculo de n elementos distintos, se debe fijar uno de ellos, así el número de ordenaciones circulares de n elementos se determina por la relación:
Pcircular = (n 1)!
PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS
La ordenación de n elementos, de los cuales hay uno que se repite n1 veces, otro n2 veces, otros n3 veces……. el número de formas de permutarse entre ellos es
Pnn1 ,n2 ,n3 ...........=
n! n1 n2 n3 .......
EJEMPLOS 1.
¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila?
2.
¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar cinco niños alrededor de una mesa circular con 5 sillas?
3.
¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar cuatro libros de física, tres de química y cinco de matemática en un estante lineal, si los libros de cada asignatura deben estar siempre juntos?
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la palabra MATEMATICA? A) B)
6! 10! 10! C) 2! · 3! 10! D) 7! 10! E) 2! · 2! · 3! 5.
Un grupo de 5 amigos, suben a un automóvil. Si sólo uno de ellos sabe conducir, ¿de cuántas formas distintas se pueden distribuir en el interior del automóvil? A) 5 B) 10 C) 24 D) 62 E) 120
6.
¿Cuántos números distintos de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 1, 1, 2, 2?
A) 120 B) 24 C) 20 D) 10 E) 6 7.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 7 esferas, de las cuales 3 son rojas, 2 azules y 2 verdes? A) 30 B) 120 C) 210 D) 720 E) 5.040
RESPUESTAS 1. 24
2. 24
3. 4! 3! 5! 3!
4. E
5. C
6. D
7. C
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7
VARIACIONES O ARREGLOS Son subconjuntos ordenados de k elementos tomados de un conjunto de n elementos, siendo k < n. Para determinar el número de subconjuntos de k elementos tomados de un conjunto de n elementos, en los cuales importa el orden se ocupa la relación:
OBSERVACIÓN:
En las Variaciones o arreglos simples podemos encontrar las siguientes características: 1. Interesa el orden de los elementos que se agrupan, es decir ABC ACB (Se consideran como 2 casos diferentes). 2. Las variaciones o arreglos son subconjuntos ordenados. EJEMPLOS 7
1.
¿Cuál es el valor de V 5 ?
2.
¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
3.
¿Cuántas palabras con o sin sentido, se pueden formar con tres letras de la palabra CAMPEON?
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Para el aniversario del colegio CCSS se realizan alianzas. El curso de Juan Luis decide hacer una bandera con tres franjas horizontales de igual tamaño y distinto color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán formar con los siete colores del arcoíris? A) B) C) D) E)
5.
36 126 210 336 504
Una comisión de 16 delegados de la sociedad Negro y Negro debe escoger su directiva, conformada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un vocero. Si el cargo de presidente es para el socio con mayor cantidad de acciones, ¿de cuántas maneras se puede conformar tal directiva? 16
A)
V4
B)
V3
C)
V4
16 15 15
D) V3 E)
6.
16
V5
¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los números naturales 1, 2, 3, 4, 5 y 6? A) 720 B) 216 C) 120 D) 20 E) 18
7.
El número de formas distintas en que se pueden sentar 6 concejales de un municipio en los tres primeros asientos de la sala de reuniones, considerando que el primer asiento está reservado para el Alcalde, es A) 18 B) 30 C) 36 D) 72 E) 216
RESPUESTAS 1. 2.520
2. 504
3. 210
4. C
5. D
6. C
7. B
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 COMBINACIONES: Son subconjuntos de k elementos tomados de un conjunto de n elementos, siendo k < n. En las combinaciones no importa el orden. Para determinar el número de subconjuntos de k elementos tomados de un conjunto de n elementos se ocupa la relación:
OBSERVACIÓN:
En las Combinaciones podemos encontrar dos características: 1. NO interesa el orden de los elementos que se agrupan, es decir ABC = CBA (Se consideran como 1 solo caso).
2. Las combinaciones son subconjuntos en los cuales no importa el orden de los elementos elegidos.
CUADRO RESUMEN ANALISIS COMBINATORIO
¿Interesa el orden de los elementos? si
¿Tomo todos los elementos? si
Permutación
no
Variación o Arreglo
no
Combinatoria
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 EJEMPLOS 1.
¿Cuál es el valor de C79 ?
2.
¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo saluda una vez a cada una de las otras?
3.
Si en una caja hay 8 corbatas, ¿de cuántas formas se pueden escoger 5 corbatas? A) 13 B) 40 C) 56 D) 168 E) 336
4.
Cuatro amigos deciden organizar un campeonato de tenis. En la primera fase se han de enfrentar todos entre sí. ¿Cuántos partidos se deben realizar? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 24
5.
Al unir cinco vértices de un heptágono, ¿cuántos pentágonos se pueden obtener? A) 21 B) 30 C) 35 D) 42 E) 105
RESPUESTAS 1. 36
2. 66
3. C
4. B
5. A
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 PROBABILIDADES NOCIONES ELEMENTALES
Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las mismas condiciones, un número indefinido de veces. Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no se puede predecir, existiendo un conjunto de resultados posibles (espacio muestral). Espacio Muestral: Los resultados posibles en un experimento aleatorio. Evento (o suceso): Es un subconjunto del espacio muestral. Evento cierto: Es el propio espacio muestral. Evento imposible: Es aquel que no tiene elementos, es decir, el subconjunto vacío del espacio muestral. Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro. Eventos independientes: Son aquellos en los que la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Eventos complementarios: son aquellos que no tienen elementos comunes pero juntos completan el espacio muestral.
EJEMPLOS 1.
¿Cuál(es) de los siguientes experimentos es (son) aleatorio(s)? I) II) III)
Lanzar una ruleta y observar si sale el 36. Lanzar un dado y observar si la cara superior muestra un cinco. Lanzar una moneda al aire y observar si sale cara.
2.
¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzamiento de dos dados”?
3.
Si se lanzan tres monedas, ¿cuál(es) de los siguientes eventos es (son) imposible(s)? I) II) III)
Obtener exactamente dos caras y un sello. Obtener un sello y como mínimo tres caras. Obtener a lo más dos caras y dos sellos.
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Dado el espacio muestral E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y los eventos A = 1, 3, 5, B = 2, 4, 6 y C = 3, 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERA(S)? I) II) III) A) B) C) D) E)
5.
Solo Solo Solo Solo Solo
I III I y II I y III II y III
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
6.
A y B son complementarios. B y C son mutuamente excluyentes. A y C son mutuamente excluyentes.
Al lanzar un dado el evento “sacar un número menor que siete”, es un suceso cierto. “Lanzar un dado y que salga un número menor que tres” y “lanzar un dado y que salga un múltiplo de tres” son sucesos mutuamente excluyentes. “Lanzar dos dados y obtener una suma mayor que 12”, es un evento imposible.
Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III
¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio extraer 3 esferas de una caja que contiene más de 3 esferas rojas, más de 3 verdes y más de 3 amarillas? A) 6 B) 8 C) 9 D) 16 E) 27
RESPUESTAS 1. I, II y III
2. 36
3. Solo II
4. C
5. E
6. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7
PROBABILIDAD CLÁSICA La probabilidad de un suceso A es la razón entre el número de casos favorables al evento A y el número total de casos posibles. P(A) =
Número de casos favorables (A) Número total de casos
OBSERVACIONES:
La probabilidad de que no ocurra A es P(A’) y se calcula
0 P(A) 1
o bien
P(A’) = 1 – P(A)
0% P(A) 100%
EJEMPLOS 1.
Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener más de 10 puntos?
2.
Al lanzar 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un 5?
3.
Si la probabilidad que llueva hoy es 0,375, ¿cuál es la probabilidad que no llueva hoy?
Página 14
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Una caja contiene 20 esferas numeradas del 1 al 20. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una esfera al azar, ésta sea un número primo o un múltiplo de 10? 1 2 1 B) 10 1 C) 20 9 D) 20 11 E) 20
A)
5.
En una caja se encuentran 12 tarjetas numeradas del 1 al 12, las tarjetas que tienen impreso un número primo son verdes, las que tienen impreso un múltiplo de 4 son amarillas y el resto rojas. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una tarjeta, ésta sea de color rojo? 1 4 1 B) 3 5 C) 12 7 D) 12 2 E) 3
A)
6.
Un dado está cargado de tal forma que la probabilidad que salga un divisor de 6 es el doble de la probabilidad que salga otro número. Al lanzar el dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga el número 1? 1 10 1 B) 6 1 C) 5 1 D) 3 2 E) 5
A)
RESPUESTAS 1.
1 12
2.
Página 15
11 36
3.
5 8
4. A
5. B
6. C
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7
TRIÁNGULO DE PASCAL Representa una regularidad numérica que se ilustra en la siguiente figura: 1 1
1
1
2
1 1
3
4
1
1
3
1
6
5
4
10
1
10
5
1
Se pueden observar algunas regularidades y estas son: Los coeficientes primero y último de cada fila son siempre 1. Cualquier otro coeficiente de una fila se obtiene como la suma de los dos valores que están justo arriba en la fila anterior. Si se suman los números de cada fila el resultado es siempre una potencia de 2. Existe una simetría en cada fila respecto a su centro.
OBSERVACIÓN: El triángulo de Pascal también se utiliza en experimentos aleatorios que
tengan dos sucesos equiprobables de ocurrencia, como por ejemplo: lanzar una moneda, el sexo de una persona, respuestas de preguntas del tipo verdadero o falso, etc. Así al lanzar una moneda cuatro veces (o lanzar 4 monedas a la vez) se obtienen 16 resultados posibles, que al determinarlos a través del triángulo de Pascal son:
1 1
1
1 3
4
1 2
1 3
6
1
Cero lanzamiento 20 Un lanzamiento 21 Dos lanzamientos 22 Tres lanzamientos 23 Cuatro lanzamientos 24
1
4
1
Esta situación se grafica de la siguiente manera 1
1C
4
1C
3
1C2 3
4C S
1C 2
3C S
1S 2CS 2
6C S
2
3CS
2
1S2 4CS
3
1S3
1S4
CCCS OBSERVACIÓN:
4C3S significa
CCSC CSCC SCCC
O sea, 4C3S indica que hay cuatro casos favorables para obtener 3 caras y 1 sello.
Página 16
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 EJEMPLOS 1.
Un matrimonio espera trillizos, ¿cuál es la probabilidad que por lo menos uno de los bebes sea mujer?
2.
En una caja hay 5 esferas entre rojas y amarillas, ¿cuál es la probabilidad que exactamente 3 de ellas no sean rojas?
3.
Una perrita esta a punto de tener sus 4 cachorros, ¿cuál es la probabilidad que dos de los cachorros sean hembra?
4.
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras, si se lanza una moneda 4 veces? A) B) C) D) E)
5.
1 3 1 4 2 3 3 4 1 64
Un matrimonio tiene 4 hijos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 1 I) La probabilidad que sean 4 hijos varones es . 4 3 II) La probabilidad de que sean 2 varones y 2 damas es . 8 11 III) La probabilidad que sean a lo más dos hijos varones es . 16 A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III
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MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 6.
Al lanzar 5 moneda, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
7.
La probabilidad de obtener 3 caras, es igual a la probabilidad de obtener 3 sellos. La probabilidad de obtener a lo más una cara, es igual a la probabilidad de obtener a lo menos 2 sellos. La probabilidad de obtener 4 sellos, es igual a la mitad de la probabilidad de obtener 3 sellos.
Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas.
En una prueba de seis preguntas de verdadero o falso, ¿cuál es la probabilidad que exactamente 4 de las respuesta sean falsas? 3 32 15 B) 64 5 C) 16 11 D) 32 21 E) 32
A)
8.
Al lanzar 5 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo más 4 caras? 1 32 5 B) 32 3 C) 16 15 D) 32 31 E) 32
A)
RESPUESTAS 1.
7 8
2.
5 16
Página 18
3.
3 8
4. B
5. D
6. B
7. B
8. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 PROBABILIDADES DE EVENTOS Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por: P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por: P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B) Los sucesos A y B se consideran dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro, afectándose el espacio muestral. P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B/A)
EJEMPLOS 1.
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 3?
2.
Se tienen dos urnas: la primera contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la segunda contiene 3 bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes?
Página 19
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 3.
Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad que el resultado corresponda a un número mayor que 4 o a un número primo?
4.
En el lanzamiento de una moneda de $ 100 y una de $ 50, la probabilidad de obtener cara en la de cien y sello en la de cincuenta es 1 4 1 B) 3 1 C) 2 3 D) 4 E) 1
A)
5.
Un naipe inglés consta de 52 cartas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cuales dos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta consta de 3 figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de 10 cartas numeradas desde 1 (as) a 10, entonces la probabilidad de obtener un “AS” o un “REY” al extraer una de las 52 cartas de una baraja inglesa es 1 13 2 B) 13 4 C) 13 1 D) 4 1 E) 3
A)
Página 20
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 6.
Si se lanzan 2 dados, ¿cuál es la probabilidad que muestren el mismo número? 1 2 1 B) 3 1 C) 6 1 D) 36 5 E) 36
A)
7.
La siguiente tabla muestra la distribución por electivo y sexo de los alumnos de IV medio de un liceo. Si se escoge un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre o pertenezca al plan humanista?
Hombre Mujer
Humanista 10 15
Biólogo 15 15
Físico 15 10
12 16 11 B) 16 1 C) 2 2 D) 5 5 E) 16
A)
8.
Si se sacan, desde una caja que tiene 9 esferas numeradas del 1 al 9, dos de estas esferas una tras otra sin reposición, ¿cuál es la probabilidad que ambas indiquen un número impar? 5 18 5 B) 9 1 C) 2 5 D) 36 25 E) 81
A)
Página 21
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 9.
En una caja hay 3 camisas blancas y 2 azules. Si se sacan sucesivamente 2 camisas, sin devolverlas a las cajas, ¿cuál es la probabilidad que éstas sean de distinto color? 2 3 2 B) 5 3 C) 5 3 D) 10 7 E) 10
A)
RESPUESTAS
1.
2 3
2.
Página 22
9 50
3.
2 3
4. A
5. B
6. C
7. B
8. A
9. C
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 PROBABILIDAD CONDICIONADA Si se recuerda, si dos eventos no son independientes, entonces la probabilidad que ocurran ambos se calculada según la relación P(A B) = P(A) P(B/A) , en esta relación P(B/A) se llama probabilidad condicionada y se lee: P(B/A): probabilidad de B, dado que ocurrió A, y se determina según la relación:
P(B/A) =
P(A B) P(A)
OBSERVACIÓN:
la probabilidad condicionada también es posible determinarla reduciendo el espacio muestral. EJEMPLOS 1.
En cierta población el 40% tienen pelo negro, el 20% tiene ojos café y el 10% tiene pelo negro y ojos café, si se escoge un alumno al azar, entonces i)
¿Cuál es la probabilidad que si el escogido tiene pelo negro también tenga ojos café?
ii)
Si el escogido tiene los ojos café, ¿cuál es la probabilidad que su pelo no sea negro?
2.
Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea múltiplo de 2 si se sabe que en uno de los dados salió un número par?
3.
Una caja contiene 3 esferas blancas y 2 rojas, una segunda caja contiene 2 esferas blancas y 3 rojas. El experimento consiste en lanzar una moneda, si sale cara se extrae la esfera de la primera caja, si sale sello se extrae de la segunda. Si se realizó el experimento y se obtiene una esfera roja, ¿cuál es la probabilidad que provenga de la segunda caja?
Página 23
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
En cierta población se ha logrado constatar que: la probabilidad que una persona este obesa y tenga el colesterol alto es 0,1 y la probabilidad que un individuo sea obeso es 0,4. Si se escoge una persona que resulta estar obeso, entonces ¿cuál es la probabilidad que tenga el colesterol alto? A) B) C) D) E)
5.
0,10 0,25 0,40 0,60 0,90
Se lanzan 2 monedas, si a lo menos en una de ellas salió cara, ¿cuál es la probabilidad de que ambas lo sean?
1 4 1 B) 3 3 C) 8 1 D) 2 2 E) 3 A)
6.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s) en un experimento aleatorio, si A y B son eventos de él? I) II) III) A) B) C) D) E)
Si P(A/B) = P(A), entonces A y B son independientes Si P(A/B) = 0, entonces P(A y B) es imposible Si P(A/B) = P(B/A), entonces P(A) = P(B)
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
RESPUESTAS 1. i) 0,25
Página 24
ii)0,5
2.
1 3
3.
3 5
4. B
5. B
6. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 DIAGRAMA DE VENN Un Diagrama de Venn es una manera de representar gráficamente conjuntos, subconjuntos, intersecciones de conjuntos, uniones de conjuntos. Normalmente se utilizan en esta representación óvalos o círculos, que muestran la relación existente entre los conjuntos y subconjuntos involucrados. Cada óvalo o círculo es un subconjunto diferente. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes. Por ejemplo, supongamos como conjunto las personas que viajan en un Tour, si A representa las personas que hablan inglés, el óvalo de la izquierda contendrá al número total de personas que los hacen, si B representa a las personas que hablan francés, el óvalo de la derecha tendrá el número de turista que hablen francés, la parte común de los óvalos (A y B) contiene a las personas que hablan ambas idiomas. El rectángulo contiene todas las personas que participen en éste tour, representando C las personas que no dominan ninguno de los dos idiomas.
DIAGRAMA DE VENN
C A
B AyB
Apoyados en el Diagrama de Venn es posible determinar cantidad de elementos que cumplen las condiciones y de ésta forma permite determinar probabilidad utilizando probabilidad clásica
EJEMPLOS 1.
En un curso de 36 niños de tercero básico se sabe que 24 de ellos practican futbol, 22 practican tenis y 2 no practican ninguno de estos deportes, al elegir un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad que practique fútbol y tenis?
2.
De un grupo de 500 turistas el 70% habla inglés, el 40% habla francés, el 15% habla inglés y francés y el resto solo español. Si se elige una persona que habla inglés, ¿cuál es la probabilidad que también hable francés?
Página 25
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 3.
1 1 1 habla portugués, japonés y ambos idiomas. 6 3 12 ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo uno de estos idiomas?
En un curso de 120 alumnos,
1 3 1 B) 12 1 C) 4 5 D) 12 7 E) 12
A)
4.
En un curso de 80 alumnos, la cuarta parte de ellos habla ingles, la quinta parte francés y la décima parte ambos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al azar hable inglés o francés? 16 80 20 B) 80 28 C) 80 36 D) 80 44 E) 80
A)
5.
En un curso de 40 alumnos, el 50% practica futbol, el 37,5% practica basquetbol, mientras que 5 alumnos practican ambos deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno, éste no practique ningún deporte? 1 8 1 B) 5 1 C) 2 1 D) 3 1 E) 4
A)
RESPUESTAS 3 1 2. 1. 14 3 Página 26
3. A
4. C
5. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 LEY DE LOS GRANDES NUMEROS Esta ley establece que la frecuencia relativa de los resultados de un experimento aleatorio tiende a estabilizarse a cierto número que corresponde a la probabilidad del suceso, cuando el experimento se realiza muchas veces. En la tabla se han anotado las frecuencias del suceso “salir sello” en el lanzamiento de una moneda. Nº lanzamientos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
100 56 0,56
150 70 0,47
200 110 0,55
300 145 0,48
400 208 0,52
500 255 0,51
La probabilidad de un suceso, es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces. EJEMPLOS 1.
Al lanzar 1.000 monedas al aire, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III)
500 monedas mostraran un cara alrededor del 50% de las monedas no mostraran sello el número de caras será cercano al número 500
2.
Si se lanza 2.400 veces un dado común, entonces el numero 4 saldrá
3.
Si se lanza 5.000 veces un dado común, según la Ley de los Grandes Números, ¿en qué porcentaje, aproximadamente, de esas repeticiones, saldrá un múltiplo de 3? A) B) C) D) E)
En En En En En
un un un un un
10% 12% 17% 33% 45%
RESPUESTAS 1. II y III
Página 27
2. Aproximadamente 400 veces
3. D
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 TRIÁNGULO DE PASCAL PARA SUCESOS NO EQUIPROBABLES Recordemos, el triángulo de pascal se utiliza cuando el experimento aleatorio tiene solo dos resultados, y ahora lo utilizaremos en el caso de que los sucesos no sean equiprobables. El triángulo de Pascal es el siguiente: 1 1 1 1 1 1
3 4
5
1 2
1 3
6 10
1 4
10
1 5
1
EJEMPLO 2 , si esta moneda es 3 lanzada 3 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
1.
Al lanzar una moneda cargada, la probabilidad que salga cara es
2.
Al responder una prueba de 5 preguntas de cinco alternativas cada una, toda al azar, ¿cuál es la probabilidad que acierte en 3 de ellas?
3.
Una caja contiene 10 esferas, 4 rojas y 6 blancas, al extraer 4 de ellas, ¿cuál es la probabilidad que 2 de ellas sean blancas?
Página 28
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Una prueba tiene 6 preguntas con cinco alternativas cada una, de las cuales solo una es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga cuatro aciertos si contesta la prueba al azar?
A)
1 5
4
2
4 5 4
1
1 4 B) 6 5 5 6
1 C) 15 5
6
1 D) 15 5
4
2
1 4 E) 15 5 5
5.
Un deportista de tiro con arco tiene una probabilidad de acertar en el centro de 0,4, entonces ¿cuál será la probabilidad de que al disparar cuatro veces al blanco acierte en el centro una vez?
A) B) C)
1
1
3
3
1
2 3 4 5 5 2 4 5
2 D) 5
E)
3
2 3 5 5
4
2 3 4 5 5
RESPUESTAS 1.
4 9
2.
Página 29
32 625
3.
3 7
4. E
5. B
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Al considerar un experimento dicotómico donde uno de los resultados se denomina éxito con probabilidad de ocurrencia p y el otro fracaso, con probabilidad de ocurrencia (1 – p), en que la probabilidad de éxito es constante y además el resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente, entonces se dice que el experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli. La distribución binomial se representa por B(n, p), siendo n el número de pruebas o repeticiones del experimento y p probabilidad de éxito.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Al realizar un experimento dicotómico n veces, la probabilidad de obtener x éxitos, siendo p la probabilidad de éxito y (1 – p) la probabilidad de fracaso, se calcula mediante la función de probabilidad binomial
n
x
n x
f(x) = P(X = x) = Cx p (1 p) OBSERVACION: n n! Cnx = = x! n x x !
OBSERVACIÓN Cuando el experimento tiene solo dos posibles resultados, se puede utilizar la función de probabilidad binomial o el triángulo de Pascal.
EJEMPLOS 1.
Un matrimonio tiene 4 hijos, ¿cuál es la probabilidad que exactamente dos de ellos sean varones?
2.
Se lanza una moneda 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad que en el lanzamiento se obtengan 3 sellos?
Página 30
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 3.
Un estudio sobre los hábitos de consumo arrojó que el 65% de la población ha fumado alguna vez en su vida. Si se elige a 20 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad que 8 de ellas nunca haya fumado? 8
12
8
12
35 65 A) C20 8 100 100 35 65 B) C12 8 100 100 8
12
35 65 C) 100 100 12
35 D) C20 8 100
E) 4.
12
35 100
8
65 100
Se define la variable aleatoria X como la cantidad de caras que resultan en el lanzamiento de una moneda no cargada cinco veces. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
5.
8
65 100
Solo Solo Solo Solo Solo
Los valores que toma la variable X son {1, 2, 3, 4, 5} P(X = 1) = P(X = 5) 5
1 P(X = 4) = 5 2
I II III I y III II y III
Un test de 10 preguntas de tipo verdadero ó falso se le aplica a un alumno y él contesta todas las preguntas al azar, ¿Cuál es la probabilidad que tenga exactamente 4 de sus respuestas correctas? 10
1 A) 210 2 1 B) 210 2
1 C) 2
4
1 D) 2
6
E)
4
10
1 2
RESPUESTAS 1.
3 8
2.
Página 31
5 16
3. A
4. C
5. A
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7
ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA La esperanza o valor esperado de una variable aleatoria discreta se determina por la suma de los productos de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho evento. La esperanza representa la cantidad media que se espera como resultado de un experimento aleatorio.
E(x) x1 p1 x2 p2 ........ xn pn xi P(X = x) n
: : :
valor de cada suceso. probabilidad que la variable tome el valor i. cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria.
EJEMPLOS 1.
¿Cuál es el valor esperado en el lanzamiento de un dado común de 6 caras?
2.
Si el valor esperado E(x) de los datos de la tabla adjunta es 1,3 entonces ¿cuál es la probabilidad que x tome el valor 3? x p(x)
3.
-1 0,2
1 p
3 q
4 0,1
¿Cuál es el valor esperado para la variable x descrita en la tabla adjunta?
A) B) C) D) E)
2,2 1,8 1,5 1,2 0,8
Página 32
x
0
1
2
p(x)
0,3
0,2
0,5
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Sea X una variable aleatoria tal que su función probabilidad está dada por la siguiente tabla X P(X = x)
-2 0,2
-1 0,1
0 0,3
1 0,1
2 0,3
Entonces, el valor de la esperanza de x es A) B) C) D) E) 5.
Si se define la variable x como la suma de los puntos en el lanzamiento de dos dados, el valor esperado de x es A) B) C) D) E)
6.
0,1 0,2 0,4 0,5 1,2
251 36 240 36 242 36 252 36 256 36
Los gráficos muestran la función de probabilidades de dos variables aleatorias discretas, P y Q. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) II) III)
E(P) > E(Q) E(P) E(Q) = 0,6 E(Q) =
1 E(P)
0,5
0,5
0,3 0,2
0,3 0,2
1
2
Variable P
A) B) C) D) E)
Solo Solo Solo Solo Solo
I II I y II II y III I y III
RESPUESTAS 1. 3,5
2. 0,2
Página 33
3. D
4. B
5. D
6. C
3
1
2
Variable Q
3
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 APLICACIÓN DE ESPERANZA MATEMATICA AL VALOR ESPERADO EN UN JUEGO DE AZAR La esperanza o valor esperado en matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar y hacen relación a la esperanza que tenía de ganar un juego un individuo que hacía un gran número de apuestas. OBSERVACIONES Si E(X) = 0 el juego es equitativo, es decir se considera justo Si E(X) > 0 el juego se considera favorable Si E(X) < 0 el juego se considera injusto.
EJEMPLOS 1.
Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda normal y obtener cara, si cae cara la 1ra vez el jugador gana $ 300, si cae cara la 2da vez gana $ 500 y si cae cara en la 3ra vez gana $ 800, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos. Si no cae cara en los tres lanzamientos pierde $ 2.000. ¿Cuál es la esperanza, ya sea ganancia ó perdida en éste juego?
2.
Un jugador tiene 3 oportunidades de lanzar un dado no cargado, si sale un número múltiplo de 3 en el primer lanzamiento gana $ 600, si sale en el segundo lanzamiento $ 360, si sale en el tercer lanzamiento gana $ 135, el juego termina al momento que salga un número múltiplo de 3. Si en ninguno de los tres lanzamientos sale un número múltiplo de 3 el jugador pierde $ 810, ¿será justo este juego?
3.
Una persona compra un número de rifa, el primer premio es de $ 6.000 y el segundo de $ 2.500, si la probabilidad de ganar $ 6.000 es 0,001 y la probabilidad de ganar $ 2.500 es 0,025 ¿cuál sería un precio justo a pagar por esta rifa?
Página 34
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Se tiene una urna con tres bolitas verdes y dos bolitas amarillas. El juego consiste en sacar una bolita de la urna, si la bolita es amarilla el jugador gana $ 1.000, si la bolita es verde debe pagar $ 800, ¿es conveniente jugar? A) B) C) D) E)
5.
Se requiere más información. El juego es injusto. El juego es equitativo. El juego es favorable. Ninguna de las opciones anteriores.
La siguiente tabla expresa el dinero que se espera ganar en un juego de azar, asociado a las probabilidades de un juego: $
100
200
300
-400
P($)
0,1
0,3
A
0,2
Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 6.
A = 0,4 P(-400) = P(200) – P(100) La esperanza del juego es de $ 110.
Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III I, II y III
De una baraja inglesa se escoge una carta. Si la carta es un número el jugador gana $ 200, si la carta es un mono el jugador debe pagar $ 500. El valor esperado, en pesos, al jugar un gran número de veces es 8.000 52 2.000 B) -$ 52
A) -$
C)
$0
D)
$
E)
1.000 52 2.000 $ 52
RESPUESTAS 1. $125
2. $60
Página 35
3. $68,5
4. B
5. E
6. E
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Y ESPERANZA DE LA MISMA VARIABLE Se define la varianza de una variable aleatoria como VAR(x) = E(X2 )
E(X)
2
Observación: La varianza es siempre un número real no negativo.
EJERCICIOS 1.
El valor esperado de una variable aleatoria X es 2,5 y el valor esperado para los cuadrados de la misma variable aleatoria es 6,5. ¿Cuál es la varianza y desviación estándar de la variable?
2.
¿Cuál es la varianza de los datos de la tabla adjunta? x 1 2 3 4 5
3.
p 0,3 0,2 0,1 0,2 0,2
De los datos de la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? x p -10 0,2 -20 0,3 10 0,2 20 0,3 I) II) III) A) B) C) D) E)
El valor esperado para la variable aleatoria X es 0. La varianza de la variable x es 0. La desviación estándar de los datos es = 2 70 .
Solo I Solo III Solo I y II Solo I y III I, II y III
RESPUESTAS 1. V(x) =
1 1 ; = 4 2
Página 36
2. V(x) = 2,36
3. D
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 EJERCICIOS Combinatoria y Probabilidades 1.
Determine la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: a) ____ El espacio muestral del evento “obtener un siete” en una prueba de matemáticas con nota entera, es 7. b) ____ Al sumar dos enteros positivos, el resultado es mayor que cualquiera de los números dados es un evento cierto. c) ____ “Al multiplicar un numero entero positivo a por otro número real positivo menor que 1, obteniendo un número mayor que a”, es un evento imposible. d) ____ El suceso “elegir un hombre de un curso de 15 hombres y 15 mujeres” es un suceso equiprobable. e) ____ Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, entonces la probabilidad que no ocurra es 0,45. f) ____ El experimento encender una vela no es aleatorio. g) ____ El espacio muestral del experimento aleatorio: “lanzar una moneda 5 veces” tiene 32 elementos. h) ____ El evento: “que un mes tenga 30 días” tiene probabilidad de ocurrencia 1. i) ____ La probabilidad de que salga un 3 al lanzar un dado normal es
1 . 6
j) ____ El valor de 10! es distinto de 9! · 10. k) ____ En el experimento: ”lanzar un dado y una moneda” el total de resultados posibles es 12. l) ____ El total de números de tres cifras distintas que se pueden obtener utilizando los dígitos 1, 2 y 3 son 6.
Página 37
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 2.
Principios del Conteo a) Una biblioteca tiene 4 textos de historia, 3 de sociología, 6 de cálculo y 5 de química. Encontrar el número de formas que un puede escoger: i) uno de los textos mencionados ii) uno de cada tipo de los textos mencionados. b) En una alcancía hay 15 monedas de $ 50, 25 monedas de $ 100 y 32 monedas de $ 500. Si Carolina saca una moneda de la alcancía. ¿De cuántas maneras puede Carolina sacar la moneda? c)
3.
En una exposición artística hay 8 cuadros al óleo, y 7 acuarelas. ¿De cuántas maneras puede Don Maximiano comprar un cuadro al óleo y una acuarela?
Permutaciones y Combinaciones a) Encuentre el número de formas en las cuales 4 personas pueden sentarse en una fila de 3 sillas. (ilústrelos a partir de las casillas ____ , _____, ____) b) Encuentre el número de n de formas como 8 personas pueden organizarse en una fila de 8 sillas c)
Si no se iten repeticiones, encuentre la cantidad de números de tres dígitos que pueden formarse a partir de los cinco dígitos: 3, 5, 6, 7, 9 (ilústrelos a partir de las casillas ____ , ____ , ____)
d) En una fila de 9 sillas deben sentarse 4 hombres y 5 mujeres. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse los asientos, si los hombres deben estar juntos al lado derecho de la fila? e) 8 amigos se juntan a jugar básquetbol con un equipo rival. Si un equipo de básquetbol está formado por 5 jugadores, ¿cuántos equipos distintos pueden formar los ocho amigos? f)
Un estudiante debe responder 10 de 12 preguntas en su examen. ¿De cuántas formas puede elegir sus 10 preguntas?
g) El valor de Página 38
7! (7 + 1)! 7!
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Probabilidades
1)
Determinar el número de elementos del espacio muestral asociado a: a) Lanzar una moneda. b) Lanzar tres monedas. c)
Lanzar k monedas.
d) Lanzar un dado. e) Lanzar 3 dados. f) 2)
Lanzar 3 monedas y 2 dados.
Considere el lanzamiento de dos dados normales.
a) Escribir el conjunto del suceso “la suma de las puntos de los dados obtenidos es 7” S = {( , ) ;( , ); ( , ) ;( , );( , ) ;( , )}
Determine la probabilidad de los siguientes sucesos: b) Que ambos sean pares. c) Que ambos sean primos. d) Que la suma sea impar. e)
Que la diferencia sea nula.
e) Que la suma no sea 7. g) Que la suma sea menor que 3 o mayor que 10. 3)
En una comida hay 32 hombres y 28 mujeres. Se sabe que han comido carne de vacuno 20 hombres y 15 mujeres, el resto comió carne de ave.
Página 39
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 Completar el cuadro con los datos dados.
Hombres
Mujeres
Totales
Carne Vacuno Carne de Ave Totales
4) Se elige una persona al azar, calcular la probabilidad que a) Sea hombre.
b) Sea mujer.
c) Haya comido vacuno.
d) Haya comido ave.
e) Sea mujer y le guste comer vacuno.
f) Sea hombre y le guste comer ave.
g) Sea mujer y haya comido ave.
h) Sea hombre o mujer y haya comido ave.
Página 40
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 Ejercicios Selección Múltiple (Preguntas Oficiales publicadas por Demre) 1.
En una fila de 7 sillas se sientan cuatro mujeres y tres hombres, ¿de cuántas maneras se pueden sentar ordenadamente, si las mujeres deben estar juntas y los hombres también? A) B) C) D) E)
2.
2 4·3 3! · 4! · 2 3! · 4! 4·3·2
Si en una tienda de ropa, se deben escoger dos trajes de seis diferentes, ¿de cuántas maneras distintas se puede hacer esta selección? A) 1 B) 15 C) 6 D) 12 E) 3
3.
La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes a un cargo istrativo NIVEL EDUCACIONAL
Sexo
Universitaria
Media
Básica
Masculino
250
100
40
Femenino
225
110
25
Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 390 I) La probabilidad que sea varón es de . 750 360 II) La probabilidad que sea mujer es de . 390 475 III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de . 750 A) B) C) D) E)
Solo Solo Solo Solo Solo
Página 41
I II III I y III II y III
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 4.
Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que en ésta esté escrita una vocal es
1 10 2 B) 5 1 C) 5 1 D) 4 2 E) 3 A)
5.
¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2 sean caras y 1 sea sello?
3 8 1 B) 8 2 C) 8 1 D) 3 2 E) 3 A)
6.
En un experimento se lanza una moneda, si sale sello, se lanza un dado y si sale cara, la moneda se lanza por segunda vez, terminándose el experimento. ¿Cuál es la probabilidad de que se lance el dado?
1 2 1 1 B) · 2 6 1 1 C) + 2 6 1 D) 8 1 E) 6 A)
Página 42
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 7.
Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las tres ocasiones ha salido un 4, ¿cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento salga un 4?
1 3 1 B) 6 1 C) 4 3 D) 6 4 E) 6 A)
8.
Una bolsa contiene un gran número de fichas de colores, de las cuales algunas son 1 rojas. Si la probabilidad de sacar una ficha roja es , ¿cuál es la probabilidad de sacar 3 una ficha de cualquier otro color?
A) B) C) D) E)
9.
1 2 1 3 2 3 1 No se puede determinar.
Una urna contiene cinco fichas rojas y tres negras, todas del mismo tipo. Se extrae al azar una ficha, se anota su color y se devuelve a la urna. Este experimento se repite diez veces. Si la variable aleatoria x asigna la cantidad de fichas rojas obtenidas, entonces los valores que puede tener x son A) B) C) D) E)
{1, 2, {0, 1, {0, 1, {5} {1, 2,
Página 43
3, 4, y 5} 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10} 2, 3, 4 y 5} 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10}
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 RESPUESTAS EJERCICIOS PROPUESTOS Combinatoria y Probabilidades 1.
2.
a) F
b) V
c) V
j) F
k) V
l) V
d) V
e) F
f) V
g) V
h) F
i) V
Principios del conteo a) i) 4 + 3 + 6 + 5 = 18 formas ii) 4 · 3 · 6 · 5 = 360 formas b) 15 + 25 + 32 = 72 formas c) 8 · 7 = 56 formas
3.
Permutaciones y Combinaciones a) 4 · 3 · 2 = 24 formas c) 5 · 4 · 3 = 60 8 e) = 56 5
b) d)
n = 8! 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 2 = 5!·4! 12 = 66 10
f)
g) -7 4.
Probabilidades b) 23
c) 2k
e) 63
a) 2
2)
a) S = {(1,6) ; (6,1); (5,2) ; (2,5) ; (3,4) ; (4,3 )} b)
9 36
c)
9 36
d)
18 36
d) 6
f) 23 · 62
1)
e)
6 36
f)
30 36
g)
4 36
3)
4)
Hombres
Mujeres
Totales
Carne Vacuno
20
15
35
Carne de Ave
12
13
25
Totales
32
28
60
a)
Página 44
32 60
b)
28 60
c)
35 60
d)
25 60
e)
15 60
f)
12 60
g)
13 60
h)
25 60
MATEMÁTICAS
PROGRAMA MENTORING GEPM- LIBRO N°7 Claves Ejercicios Selección Múltiple 1. C 2. B 3. D
Página 45
4. B 5. A 6. A
7. B 8. C 9. B
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