Dibujo Tecnico Y Geometrico t273t

Ing. EMILIO PÉREZ RAMÍREZ Profesor Investigador Titular C en la U. de G. y Centenaria Escuela Normal de Jalisco

Revisor Técnico: Ing. Arq. Gerardo López Campoy Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, IPN

McGRAW-HILL MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SAO PAULO AUCKLAN • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST LOUIS • SIDNEY • TORONTO

Asistente editorial: Alma Sámano Castillo Supervisor de edición: Luis Amador Valdez Supervisores de producción: Jorge A. Martínez Jiménez Paula Sosa J.

Diseño y composición tipográfica: Servicios Editoriales Gráficos, S.A. de C.V.

DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 1998, respecto a la primera edición por McGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V., Una División de The McGraw-Hill Companies, Inc. Cedro No. 512, Col. Atlampa, C.P. 06450, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN 970-10-1108-2

1234567890

U.S.-97

Impreso en México

9086543217 Printed in México

Esta obra se terminó de imprimir en Octubre de 1997 en Servicios Litograficos Ultrasol, S.A. de C.V. Fiscales No. 46 Col. Sifón 09400 México, D.F. Se tiraron 6000 ejemplares

Contenido Prólogo

vii

Unidad 1 Instrumentos y materiales para el dibujo

1

Unidad 2 Manejo de instrumentos para el dibujo geométrico; rotulado

19

Unidad 3 Construcción y trazo de líneas perpendiculares, paralelas, ángulos, triángulos y cuadriláteros

40

Unidad 4 Construcción y trazo de polígonos inscritos, estrellados con base a uno de sus lados

60

Unidad 5 Construcción y trazo de circunferencias tangentes entre sí, empalme de líneas rectas y curvas, trazo de cónicas 74 y curvas planas, cerradas y abiertas

Unidad 6 La escala y sus aplicaciones. Sistema Métrico Decimal y Sistema Inglés; conversiones

97

Unidad 7 Dibujo a mano libre y a mano alzada

110

Unidad 8 La perspectiva

118

Apéndices 1. Tablas de geometría 2. Sugerencias al profesor

127 131

Prólogo

E

l dibujo, en cualquiera de sus manifestaciones, desempeña un papel de primer orden en todas las actividades de la humanidad. Esta importancia radica en que, antes que se elabore cualquier objeto o cosa, es necesario diseñarlo con todas sus características por medio de un dibujo. El contenido de este texto lo forma el dibujo geométrico, que es básico e imprescindible para llegar a ser un buen dibujante técnico. El propósito que trato de alcanzar con este trabajo es que los alumnos encuentren un material de aprendizaje accesible y práctico; por ello recurro al uso de un vocabulario sencillo, a la eliminación de una teoría geométrica rebuscada, y al auxilio de un gran número de figuras que permite facilitar el aprendizaje. Porque no hay que olvidar que vale más una imagen que mil palabras. Alumno, no olvides que un dibujante técnico no nace sino que se hace. Agradezco toda sugerencia que me puedan hacer compañeros, maestros y alumnos, ya que estaré pendiente de todas estas iniciativas para mejorar este trabajo siempre que se requiera.

EL AUTOR

Instrumentos y materiales para el dibujo Objetivos

particulares

Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de: Conocer los diferentes instrumentos de dibujo. Identificar las características de operación de los instrumentos de dibujo geométrico y técnico. Seleccionar los materiales apropiados para el dibujo geométrico y técnico. Objetivos

específicos

Conocer los diferentes tipos de reglas y escuadras. Conocer los diferentes tipos de compases. Conocer las características de operación de los instrumentos geométricos requeridos en el dibujo geométrico y técnico. Identificar el tipo de material apropiado para los dibujos a desarrollar. Usar con eficiencia todos los materiales e instrumentos de dibujo. Efectuar una buena compra de los materiales e instrumentos de dibujo. Conservar y mantener los instrumentos de dibujo adecuadamente.

Introducción En toda actividad humana el hombre ha buscado la forma de simplificar su trabajo. Debido a esta necesi dad ha podido crear los instrumentos que facilitan muchas de las tareas que realiza. Estos instrumentos se conocen con el nombre de herramientas, máquinas o dispositivos electromecánicos o computacionales. El dibujo no es una actividad estática y por lo tanto va de la mano con todas las nuevas aportaciones de la tecno logía; el dibujo demanda muchas herramientas de tra bajo acordes a sus objetivos. Algunas de estas herramientas datan de hace miles de años y siguen teniendo vigencia y operatividad, ta les como la regla, el compás, las escuádrasete; otras son de uso más reciente como el grafo y las plumillas, el leroy y las mesas de dibujo con pantalla y compu tadora, donde se puede transformar dibujos bidimensionales en dibujos tridimensionales.

Seleccionar adecuadamente los materiales para dibujar reviste mucha importancia; el desconocimien to de las características de fabricación y uso de estos instrumentos provoca errores que pueden echar a perder un trabajo que costó un gran esfuerzo, tiempo y costo. Por lo tanto, no es justo incurrir en errores por desconocimiento, selección inadecuada de material o uso indebido. Es importante mencionar que en el campo de la enseñanza nunca una máquina podrá sustituir a un maestro. También es necesario expresar que todo alum no debe ocuparse de recorrer la escalera de la forma ción técnica, es decir, iniciar por el dominio y manejo de sus herramientas, luego el conocimiento y aplica ción de la tecnología del dibujo, y por último la aplica ción en la máquina computadora de dibujo.

1

2

DIBUJO TECNICO Y GEOMETRICO

El restirador

Para trabajos de carácter profesional, por lo general miden 1 m de ancho por 1.30 m de largo y 3 cm de grueso.

El restirador o tablero de dibujo se fabrica de secciones de pino blanco o cedro, sujetas entre sí por uniones ensambla das con cola, para obtener así una superficie plana; no es indispensable que el restirador sea estrictamente del mate rial indicado, ya que en la actualidad los hay de diferentes tipos de madera o metálicos. Generalmente todos los ta bleros de dibujo tienen los lados perpendiculares entre sí, pero es imprescindible que el borde izquierdo sea recto.

Figura 1.1

Restirador o tablero de dibujo. Figura 1.3

que se deslice con facilidad la cabeza de la regla T y las líneas que se trazan con ella sean perpendiculares al borde antes dicho, se sugiere que, al borde que no sea recto, con un cepillo de carpintero se haga el borde correcto. NOTA: En el caso de que la persona sea zurda, entonces se debe cuidar el borde derecho.

Tamaño del tablero de dibujo El tamaño varía según las necesidades. Los tableros de dibujo en las escuelas deben ser más pequeños, con la finalidad de aprovechar los espacios lo mejor posible, pero sin descuidar los requisitos indispensables de éstos.

Modelo de restirador empotrado en una pared.

El tamaño de las mesas de trabajo no puede ser mayor que el de las antes mencionadas, debe atenderse a la necesidad de que el dibujante pueda ver, con un rápido movimiento de ojos, toda la superficie de la hoja en que trabaja. Cuando la superficie del tablero es dura, se usa una hoja de cartoncillo para que sea más suave y pueda deslizarse el lápiz, la mina o el grafo con mayor facilidad y no se marque el papel.

Improvise un restirador Una mesa cualquiera o escritorio cuyo borde izquierdo sea recto o plano, servirá como tablero de dibujo. Levante las patas posteriores de la mesa, aproximadamente 8 cm y procure que el borde anterior llegue a la altura de la cintura (véase figura 1.4).

Las máquinas de dibujar Mesas de dibujo convencionales

Figura 1.2

Disposición de restiradores en un aula.

Algunos tableros están diseñados para trabajar lo mismo sentados que de pie, y sus medidas son de 0.80 m de ancho por 1.20 m de largo con 3 cm de grueso.

Las mesas convencionales se han usado durante muchos años; sin embargo, últimamente se han diseñado y construido mesas de dibujo que se pueden inclinar mediante varios sistemas; algunas con mecanismos de resorte, y otras, con contrapesos. Existen modelos en que se usan incluso sistemas hidráulicos. En este tipo de mesas se trabaja cómodamente sentado o de pie, pues el tablero puede quedar totalmente vertical; hay además otras mejoras técnicas de diversos tipos de las que exponemos las principales.

INSTRUMENTOS Y MATERIALES PARA EL DIBUJO

3

reglas que permiten trazar líneas verticales, horizontales o inclinadas, y reemplazan a la regla T, las escuadras y los cartabones.

Figura 1.4

Mesas de dibujo con conducción paralela de la regla, donde ésta cubre toda la longitud del tablero y se mueve por medio de ruedas y cadenas articuladas o por medio de cables. En este tipo de mesas se pueden trazar líneas en sentido longitudinal, sin interrupción, a lo largo de todo el tablero. Para trazar las rectas verticales o las inclinadas se emplean cartabones o escuadras. b) Mesas de dibujo con máquinas de dibujar conocidas con el nombre de tecnígrafos, brazos articulados con

Además de esto, se siguen creando nuevos tipos de mesas de dibujo para diversas actividades técnicas; en algunas, las patas se han sustituido por una base firme que ocupa menos espacio, y en otras se han elaborado tableros gigantes para dibujo técnico de piezas de maquinado, ingeniería naval y otras, o pequeños tableros de dibujo muy manuables, que se arman y desarman por lo que pueden transportarse en maletas especiales. Este tipo de mesas están equipadas también con tecnígrafos. Las mesas modernas de dibujo permiten un gran ahorro de espacio y un menor ordenamiento en los salones de dibujo o de proyecto, además de todas las ventajas enumeradas con anterioridad (rapidez, precisión, comodidad, etc.). Sin embargo, durante un buen tiempo seguirán usándose las mesas convencionales de dibujo, debido fundamentalmente a su bajo costo y poca complejidad en su construcción, que las hacen aceptables para los talleres que no poseen recursos suficientes para la adquisición de las de tipo moderno.

Figura 1.7 Las modernas mesas de dibujo permiten un mejor ordenamiento de los salones de trabajo. Figura 1.5

Mesa de dibujo de tipo convencional.

Tecnígrafo

Figura 1.6

Moderna mesa de dibujo equipada con tecnígrafo.

Las mesas modernas de dibujo están provistas de un tecnígrafo. Éste permite ejecutar los dibujos con gran rapidez, por lo cual es un instrumento muy útil para los dibujantes. El tecnígrafo está compuesto por dos reglas que forman entre sí un ángulo de 90°, fijadas con la máxima solidez a una escuadra que forma parte de la cabeza del tecnígrafo, la cual está provista de un puño para la maniobra del aparato. La posición normal de la escuadra es tal,

4


que las dos reglas son paralelas, respectivamente, a la base y a la altura del tablero. La cabeza está unida al tablero mediante un sistema de palancas, de manera que puede moverse libremente en o con él a través de toda la superficie del dibujo. Se comprende fácilmente que al tomar con una mano el puño del tecnígrafo, por un sencillo movimiento de traslación hacia el sitio necesario, es fácil trazar, sin la ayuda de las escuadras ni de construcciones geométricas, segmentos paralelos y perpendiculares entre sí y a los lados del tablero, en cualquier punto del plano de dibujo. Además, al apretar una palanca y mover el tornillo correspondiente, la escuadra que forma parte de la cabeza del tecnígrafo queda libre para girar el ángulo que se desee, graduable con el goniómetro* de dicha cabeza, que se fija luego en la orientación deseada. El tecnígrafo da la posibilidad de trazar series de rectas perpendiculares y paralelas, con inclinación variable sobre la longitud, en cualquier punto del plano del dibujo

En los de resorte, la tensión puede regularse con lo que se obtiene fácilmente un equilibrio perfecto para determinada inclinación del tablero; pero cuando sea conveniente variar esta inclinación, se regula nuevamente el resorte. La inclinación del tablero se gradúa maniobrando los pedales de la mesa de dibujo. En cambio, en los tecnígrafos de contrapeso, el equilibrio de la parte móvil se logra mediante el contrapeso que se puede realizar a lo largo de una barra, para obtener la regulación necesaria. También se utilizan en la actualidad los tecnígrafos de corredera sobre guías ortogonales, que parecen tener mayores ventajas sobre los tipos antes descritos. Los tecnígrafos, tanto de los sistemas de resorte y contrapeso, como los de guías ortogonales, tienen un gran uso en la actualidad en la mayoría de las mesas de dibujo modernas.

Figura 1.10 Cabeza de un tecnfgrafo con limbo graduado.

Figura 1.8

Moderna mesa de dibujo con tecnígrafo de correderas.

La condición necesaria que deben satisfacer los tecnígrafos es que su cabeza, colocada en un punto cualquiera del plano del dibujo, no pueda moverse en dirección alguna, ni a deslizarse por la inclinación del tablero. Para lograr este resultado se ha ideado hace tiempo los mecanismos de resorte y de contrapeso.

Figura 1.9 En a, tecnígrafo ensamblado a un brazo acodado, que emplean las modernas mesas de dibujo con sistema de resorte o de contrapeso. En b, tecnígrafo que se mueve sobre el tablero mediante guía o correderas ortogonales.

Reglas

paralelas

La regla paralela está constituida por una pieza de madera dura (peral, ébano, etc.) y en ocasiones, de material plástico a causa de su uso frecuente, a veces combinada con el tecnígrafo. Por lo general, su longitud es igual a la anchura del tablero de la mesa, y se mueve mediante un mecanismo de cordones y poleas, de tal manera que la regla puede moverse hacia arriba y hacia abajo, pero manteniéndose siempre horizontal y paralela a sí misma, si ninguna flexión o distorsión.

Figura 1.11 Regla de tipo paralela, que se mueve libremente sobre el tablero mediante cables. Las rectas trazadas siempre serán paralelas entre sí. Su fijación al tablero es por medio de chinchetas.


5

Las primeras reglas paralelas poseían un mecanismo muy sencillo. Un conjunto de pequeñas poleas metálicas acanaladas estaban insertas dentro de la regla, por donde corría un cordón que tensaba y sostenía al tablero mediante chinchetas de dibujo.

Figura 1.12 Regla de tipo paralela más moderna. Su fijación al tablero se hace por la parte posterior del mismo.

Las reglas paralelas más modernas parten del mismo principio, pero poseen un equipo más complicado, y por lo general éste se coloca en la parte posterior del tablero. La tensión del cordón o cable se regula mediante soportes o tornillos de tensión. Es por ello que con este método la regla tiene un movimiento más fácil y seguro que la de fijación al tablero por medio de chinchetas de dibujo (véase figuras 1.13 y 1.14).

Figura 1.14

Modernas mesas de dibujo.

La superficie del tablero debe ser lo más lisa posible y no debe poseer "nudillos" o rugosidades. En las mesas de dibujo convencionales, se debe tener presente que los cabeceros estén perfectamente a escuadra, y los cantos o bordes de éstos no deben estar mellados por golpes u otras causas, ya que dificultarán el trabajo de la regla T. Esto no tiene especial importancia si se utiliza la regla llamada paralela o los tableros de las mesas de dibujo modernas, equipadas con tecnígrafos. Figura 1.13 Mecanismos de poleas, cables y tensores para fijar la regla paralela a la parte posterior del tablero.

Tablero de dibujo La principal condición de un tablero de dibujo, de cualquier tipo de mesa, es que sea perfectamente plano y fuerte, indeformable y de madera blanda y muy seca. Antiguamente se construían totalmente de madera dura, con pequeñas tablas machihembradas; en los últimos tiempos se construyen de madera blanda muy seca con cabeceras de madera dura, o por completo de madera blanda. Los de contrachapa o plywood (madera formada de láminas delgadas y colocada cada una de ellas en posición perpendicular a las fibras tienen bastante aceptación; estas mesas están reforzadas, en el plano inferior, con dos travesanos de madera muy dura o metal, fijados al tablero por ensambladura o tornillos apropiados.

Forrado del tablero Sobre el tablero se debe colocar un papel relativamente grueso lo menos poroso posible, encima del cual se pone el papel en que se realizará el dibujo. Esto se hace para que las líneas trazadas en el dibujo sean lo más suaves y uniformes, además de mantener la limpieza del tablero. No existen prácticamente indicaciones específicas; algunos dibujantes prefieren colocar cartulinas delgadas del tipo Bristol, otros usan pliegos de papel Bond que vienen en rollos, o papeles de copias heliográficas "veladas" usadas por el dorso, u otros papeles fabricados especialmente para los tableros con una superficie muy pulida. Lo fundamental es que el papel que se coloca en el tablero sea de color claro para que permita una buena visibilidad en caso de hacer calcos sobre originales traslúcidos, pues le sirve de fondo. Existen diversas formas de colocar este papel para forrar tableros de las mesas de dibujo.

6


Un método, muy extendido durante algún tiempo, fue el de pegar un pliego de papel en el tablero. El procedimiento que debe seguirse en este caso es el siguiente: Antes del engomado se recorta el pliego de papel del tamaño exacto del tablero y se doblan hacia arriba sus bordes. Se humedece con una esponja la hoja de papel vuelta al revés, con excepción de los bordes. Éstos se untan en el lado derecho con goma adhesiva y se pegan finalmente al tablero. Se debe esperar el tiempo necesario para que seque el papel, y al quedar tirante, suministra una superficie magníficamente tensa para dibujar; se puede recortar rápidamente una vez concluido el trabajo. Esta misma operación se realiza con otros procedimientos en vez de utilizar goma adhesiva: Se fija el forro del tablero mediante cintas de papel engomado que se humedecen con agua. En relación a tensar y fijar el papel de dibujo en el tablero existen muchas modalidades pero todas, por supuesto, sujetas a tipos de planos, de tableros, habilidad del dibujante y otros aspectos; es por ello que no existen indicaciones únicas, sólo se brindan las más generales para usarlas en cada caso. El tiempo y la experiencia ofrecerán los métodos más aceptables.

Tamaño del papel La dimensión del papel proviene del número de partes que dividen un pliego. Las más populares son de 1/8 de pliego, cuyo tamaño es igual al que conocemos come carta, y 1/4 de pliego o doble carta.

La regla T Como su nombre lo indica, esta regla tiene la forma de la letra T. Se compone de cabeza y regla; regularmente la cabeza es de un material duro con el borde recto y un poco rebajado, para que quede aproximadamente a la mitad del canto izquierdo del restirador del dibujo.

NOTA: Se puede verificar el borde de la regia T con una escuadra o regla, al observar que no quede ninguna línea de luz al ponerse en o las dos partes.

Longitud de la regla T

El papel para dibujo Hay gran variedad de tipos de papel, en cuanto a tamaños, colores, gruesos y precios hechos especialmente para el dibujo. Se pueden clasificar en tres grupos:

El borde de trabajo de la cabeza de la regla T debe ser recto.

El borde de trabajo de la regla T debe ser recio.

1. Papel de dibujo blanco. Lo podemos encontrar liso y brilloso, con cierta porosidad, opaco y de diferentes gruesos. a) El opaco con cierta porosidad es el más recomendable para los trabajos llamados de borrador que se elaboran a lápiz y que permiten usar trazos auxiliares, efectuar cambios o modificaciones, ya que al borrar el papel no se maltrata. Con este papel no se debe usar tinta porque debido a su textura ésta se extiende con facilidad. b) El papel liso y brillante se usa con el trabajo a tinta, pues su textura consistente permite que la tinta se corra con facilidad y pueda soportar las borraduras. En la actualidad el uso de este papel es menor, debido a que en muchos departamentos de dibujo se hacen originales a lápiz. c) El papel para calcar es un material muy bueno para las calcas heliográficas. 2.

Papel transparente o de calca. Generalmente los dibujos industriales se elaboran a lápiz, sobre papel transparente para producir copias heliográficas. La tinta se aplica en tela para calco. Además, muchas veces se trabaja directamente y los trazos auxiliares se borran con facilidad, sin perjuicio a la superficie del papel.

Borde de plástico transparente que permite ver el dibujo Para colgar que hay debajo. Cabeza Figura 1.15

La regla T.

Clasificación de las reglas T Las reglas T pueden ser rígidas o móviles. a)

Las reglas T rígidas son aquellas que están atornilladas, ensambladas o pegadas; ambas piezas están a escuadra una de la otra, es decir, forman un ángulo recto de 90° entre sí. b) Las reglas móviles son las que tienen la cabeza doble, donde una parte va fija al cuerpo y la otra puede variar su posición. Esta inclinación se controla con un tornillo opresor. Por este motivo este tipo de reglas son muy prácticas, pues permiten trazar rectas a diferentes inclinaciones.


Figura 1.16

7

Regla T móvil y rígida. Figura 1.18 Colocación del papel con base en la regla T.

Las reglas T pueden estar hechas de una sola pieza (madera, plástico, metal). Las de madera pueden combinarse con tiras de celuloide en los bordes, lo que permite tener mayor visibilidad alrededor de donde se hace el trazo y evitar que la regla se tuerza fácilmente; por esta razón este tipo de reglas son las más recomendables. NOTA: No es absolutamente indispensable que esté a escuadra, basta que no tengan movimiento alguno la cabeza y la regla.

Figura 1.17

blero de dibujo o colgarla de la perforación que tiene en el extremo, si no es así, fácilmente se encorva.

Uso de la regla T La regla T se utiliza para trazar líneas horizontales o para guiar las escuadras de líneas verticales o inclinadas. Se debe usar únicamente el canto superior y sólo en posición horizontal. Si se usa de otra forma se demuestra falta de conocimiento en su aplicación.

Forma de verificar si la regla T es perfectamente recta.

Para comprobar si la regla T es perfectamente recta, trace en un papel una línea entre dos puntos e invierta la regla como se indica en la figura 1.17 y con ese lado haga otra línea entre los mismos puntos. Las dos líneas deben quedar una sobre otra, de lo contrario, la regla está encorvada o defectuosa. Una regla defectuosa se debe regresar al vendedor, por eso conviene probarla lo antes posible (véase la figura 1.18).

Conservación de la regla T No se recomienda usar la regla T como guía para cortar con navaja, pues se daña fácilmente la tira de celuloide con los rebajes que se le pueden producir. Cuando se deja de usar se recomienda subirla en la parte superior del ta-

Figura 1.19

Uso correcto de la regla T.

Las escuadras Son instrumentos de dibujo que tienen la forma de un triángulo. Las hay de madera o de materiales plásticos; estas últimas son las preferidas porque son transparentes. Las escuadras de 30° x 60° son triángulos con un ángulo de 90°, otra de 45° x 30°, que al apoyarse en la regla T sirven para trazar líneas rectas, verticales e inclinadas a 30o, 60 o y 45°.

8


Figura 1.22

Esta marca nos sirve para colocar el transportador de manera que el vértice del ángulo quede exactamente en esa marca, para que coincida la base recta del transporta dor con el otro lado del ángulo que se mide.

90° Figura 1.20

El transportador.

Escuadras de 30° y 45°

NOTA: Recuerde usted que las propiedades de los triángulos es que la suma interior de sus ángulos es igual a 180°:

90° + 30° + 60° = 180° 90° + 45° + 45° = 180°

a+

Figura 1.21

b+

c=180°

El compás El compás es uno de los instrumentos que más ayudan al dibujante. Se usa para dividir las líneas en partes iguales, para medir distancias, para transferir medidas de la regla de medición al dibujo o a las partes de éste, y para hacer la mayoría de los pasos geométricos de un problema, por medio de arcos de circunferencia que se cortan entre sí.

Principales ángulos generados por las escuadras.

El transportador Los transportadores son dispositivos de dibujo, marcados en grados, que permiten medir ángulos con exactitud o dibujarlos a la abertura deseada. Generalmente tienen escala de 0o a 180°, o sea, medio círculo, pero también los hay de 360° o de círculo completo (véase figura 1.22).

Modo de usar el transportador Observe que hay una marca central sobre la línea recta que corre medio círculo de 0° a 180°.

Figura 1.23

Estuche de compases.

Clasificación de los compases Los compases se clasifican en dos grupos: 1. Compases de precisión. Son aquellos que, debido a un tornillo que se encuentra entre sus brazos, se pueden abrir o cerrar en espacios milimétricos; los hay grandes y pequeños y entre éstos se encuentran los compases de bomba, con los que podemos trazar circunferencias muy pequeñas.


Figura 1.26

Figura 1.24

2.

Compases de precisión.

Compases para trazos amplios. Actualmente se ha generalizado un compás que funciona como compás de punta, compás con mina o compás para entintar, pues está formado por un brazo largo y otro corto donde se insertan la punta, la mina o el tiralíneas.

Figura 1.25

9

Paralelógrafo.

cunferencia se trazan con lápiz o tiralíneas, usando reglas curvas de forma irregular, llamadas plantillas de curvas. Estos instrumentos son de plástico, de color claro o ámbar. Cuando una persona usa este instrumento trata generalmente que la posición de la plantilla alcance el trazo de muchos puntos, a fin de disminuir el número de posiciones. Esto da como resultado que la curva no tenga la fluidez que se requiere.

Compases para trazos amplios.

Es conveniente que haya cierta precisión en el ajuste de los brazos del compás. Ésta se controla con un tornillo opresor que no debe ajustarse más de lo debido, porque la cuerda o la cabeza del tornillo se pueden barrer o trasroscar.

Paralelógrafo El paralelógrafo sirve para trazar líneas paralelas o equidistantes entre sí. Está formado por dos regletas unidas por dos tiras metálicas que al girar marcan la distancia donde se traza la paralela; después se gira en posición contraria, volviendo a su posición original, adaptándose a la línea antes trazada; cuando vuelve a semigirar da la posición de la siguiente recta paralela, y así sucesivamente. Este instrumento para el dibujo está casi en desuso (véase la figura 1.26).

Plantillas de curvas Las plantillas de curvas también son conocidas con el nombre de pistolas. Todas las curvas que no son arcos de cir-

Figura 1.27

Plantillas de curvas.

Regla flexible Actualmente hay en el mercado reglas flexibles con anillos, por los que pasan resortes con alma de plomo, a fin de que permitan su ajuste a la curva deseada.

NOTA: Se pueden improvisar con alambre para soldar; ya que se acomodan fácilmente a la forma deseada.

Los lápices Los lápices constituyen los instrumentos que el dibujante deberá conocer, usar y manejar a la perfección, porque de ello depende la calidad del terminado del dibujo.


Lápices duros Los lápices duros son los que van de 9H a 7H y se usan en casos donde se requiere extrema exactitud, como los diagramas y cálculos gráficos. Los lápices 6H, 5H y 4H se usan para planos, proyectos de ingeniería o en prácticas lineales en que se necesitan líneas delgadas.

Lápices medianos Figura 1.28

Juego de lápices para el dibujo.

Material de los lápices Los lápices están compuestos principalmente de madera de cedro y de una mina. Se le da el nombre de mina al material que se encuentra al centro de la madera, compuesto de dos sustancias: grafito y arcilla. El grafito es una sustancia de aspecto metálico y grasiento al tacto y es el que pinta. La arcilla es el material que sirve de aglutinante. De la proporción de estas dos sustancias depende la dureza de la punta del lápiz.

Los lápices medianos se usan para trabajos más generales del dibujo técnico. Para hacer rótulos, acotamientos y algunos trabajos a pulso (croquis de objetos o piezas mecánicas) se utilizan los lápices F, HB y B. Los lápices 3H, 2H y H se utilizan para el trazo de líneas en el dibujo mecánico, arquitectónico e industrial.

Clasificación de los lápices según su dureza De acuerdo con lo antes mencionado, los lápices se clasifican en duros, medianos y blandos. Para que esta clasificación quede perfectamente definida, los fabricantes de lápices utilizan números y letras; por ejemplo, los lápices duros se identifican con la H, es decir, el lápiz tendrá más dureza cuando el número que acompaña a esta letra sea mayor. La letra B se utiliza para los lápices blandos, mientras el número que acompaña a esta letra sea mayor el lápiz será más blando. Los lápices que combinan ambas letras, es decir HB, se llaman medianos y son lápices intermedios, entre duros y blandos. El grueso de la mina de un lápiz está en relación con el grado del mismo (observe que cuando más duro es el lápiz, más delgada será la mina y viceversa).

Figura 1.30 Trazo con lápiz H en el dibujo arquitectónico.

Lápices blandos Como su propio nombre lo indica, son lápices cuya mina es muy blanda: 2B, 3B, 4B, 6B y 7B. Por esta razón no se puede utilizar en el dibujo técnico industrial, porque trazan líneas gruesas y sucias, además de que con las escuadras y la regla T se corre fácilmente el grafito y se mancha el dibujo que se está realizando; por otro lado, borrar es difícil. Este tipo de lápices son útiles para el dibujo artístico, y en algunos casos, para detallar el dibujo arquitectónico. Hay casos en que no se puede recomendar tal letra y número de lápiz, sino que la experiencia nos dirá qué lápiz es propio para el tipo de línea que se va a trazar. Se recomienda no utilizar lápices corrientes o desconocidos, pues fácilmente echan a perder el dibujo.

La punta del lápiz Selector de grados

Figura 1.29

Graduación de los lápices para el dibujo.

Parece que esto no tiene importancia, pero quien conoce el dibujo sabe que el presentado y terminado de un dibujo depende en parte del uso correcto de la punta del lápiz.


Figura 1.31

Punta de un lápiz suave.

Figura 1.34

Figura 1.32

Afilado del lápiz.

Distintos tipos de afilado de lápiz con papel o lija.

Para sacarle punta a los lápices se puede usar una navaja de bolsillo (nunca una hoja de afeitar, por delgada y peligrosa), un sacapuntas o un afilaminas. La punta debe tener unos 3.5 cm de longitud total, 2.5 cm de desbastado de madera y el centímetro que resta debe ser la longitud de la mina. Se debe tener cuidado de que el polvo grafito caiga en una hoja sucia y no en el dibujo para tirarlo después.

Afilado El lápiz se afila conforme el trabajo que se va a desempeñar; por ejemplo, para dibujos a mano libre, se prefiere una punta cónica, como el que se ve en la figura 1.33a. Para trazar líneas en general, la punta debe ser plana como la de una cuña (Fig. 1.33b).

a) La mina en forma de cuña, aplicada de manera plana sobre el papel, es propia para trazos anchos y grisados.

Figura 1.35

Limpie la punta del lápiz con una franela; guarde muy bien la tablilla de la lija en un lugar seguro para no ensuciar el dibujo.

b) La misma mina, variando la posición del lápiz, proporciona trazos finos para el perfilado de las formas. ■ Figura 1.33a y b

Longitud correcta de la mina en el afilado de un lápiz.

Uso del lápiz afilado en uña.

Los lápices se afilan en un papel o en una lija, después de haber pelado la punta como 10 cm con una navaja, tanto en forma cónica como de cuña (véase figura 1.34). Sólo un lápiz afilado puede producir líneas precisas, nítidas y oscuras que brillen con claridad para dar el acabado requerido. De otra manera producen líneas gruesas, imprecisas, de mala calidad. Esto es característico del estudiante descuidado y sucio.

Lápices pequeños Para no desperdiciar lápices cortos, use un apuralápiz, que es una especie de casquillo que, embonado a la parte superior del lápiz, lo hace crecer.

Figura 1.36

Apuralápiz.

No se recomienda dibujar con un lápiz y luego otro porque no se controla bien el trazo y el grueso de la línea.


Portaminas El uso de las portaminas se ha generalizado últimamente, debido a su práctico mecanismo: basta con apretar un botón en la parte posterior del mismo para que suelte o presione la mina.

Figura 1.37

Portaminas.

Ventajas Las ventajas que se obtienen con el uso de estos instrumentos de dibujo es: 1. Se puede cambiar la mina fácilmente y poner la que se ocupe. 2. Sale más económico, porque sólo se paga el precio de la mina. Existen dos tipos de lápices portaminas: uno para las minas de diámetro normal, y otro para las minas gruesas.

Es conveniente que el borrador tenga un canto afilado que permita rectificar pequeños detalles; esto se consigue al cortarlo en diagonal. La goma debe ser blanda al tacto y suave al roce con el papel. Para borrar líneas de lápiz se usa la llamada de migajón y de manteca, aún cuando ninguna de estas materias es básica en su fabricación.

Figura 1.39

Borradores de migajón.

Para borrar líneas a tinta, la goma debe ser más dura. En algunos casos se usa una navaja filosa (no es muy recomendable) para raspar la tinta sin dañar el papel. Cuando se borra una línea es casi seguro que se borren las líneas adyacentes, que no deben desaparecer, a menos que sea esa la intención. En el mercado hay un protector llamado plantilla para borrar, que tiene varias ranuras de diferentes formas. Si no se tiene una plantilla se puede improvisar una al cortar varias ranuras en una tarjeta o cartulina semejantes a las que se ven en la figura 1.40.

Borradores El uso de los borradores es muy necesario, ya sea por un error en el trazo, para líneas auxiliares o para que el trabajo tenga más limpieza. Para usarlo correctamente debemos utilizar ciertas técnicas. Figura 1.40

Plantilla para borrar.

NOTA: Se recomienda que la práctica de borrar quede limitada a lo indispensable; que se dibujen todas las líneas con verdadera atención. pensando que el papel no debe frotarse y restregarse, pues la calidad del dibujo es como una tarjeta de presentación de quien lo hace

Figura 1.38

Borradores de goma.

Para borrar líneas a lápiz se usa un borrador o goma suave, pero se debe tener cuidado de no frotarla con fuerza para no destruir la superficie del papel. Esto puede evitarse si se trazan suavemente las líneas.

Figura 1.41

Uso de la plantilla para borrar.


Las tintas A veces hay necesidad de darle un acabado más completo o permanente al dibujo. Para esto se usa tinta negra a prueba de agua, conocida en el mercado como tinta china.

Plumilla

1Conductor

2 3 Figura 1.42

11l

Envase de tinta china con gotero integrado. 4 5-

Muchos de los trabajos geométricos del dibujo técnico y arquitectónico requieren de cierta calidad que se logra únicamente con la tinta. Además, éstos pueden reproducirse más fácilmente mediante copias que resultan de más claridad que las elaboradas a base de dibujos a lápiz. La tinta china es un material volátil, por lo tanto se recomienda no dejarla destapada, porque empieza a secarse. Se debe tener cuidado de que la tinta no se seque en los instrumentos de dibujo porque puede picarlos y oxidarlos. Para limpiar la tinta del dibujo se emplea una navaja y debe tenerse cuidado de no rayar o dañar el papel; también puede usarse alcohol o agua, pues ablanda la tinta y fácilmente se desprende al pasarle un trapo, pero no deben dejarse mucho tiempo en agua y alcohol. Hay también otros limpiadores en el mercado.

Grafos y estilógrafos En la actualidad se ha popularizado un instrumento de dibujo en forma de pluma. Consta de un depósito de tinta y una punta con un cuadrito en donde se inserta la plumilla que se necesita. Por medio de un agujero llega la tinta del depósito y corre por la plumilla al hacer un trazo sobre el papel. A este instrumento se le llama grafo (véase la figura 1.43). A últimas fechas se ha popularizado otro instrumento también parecido al grafo pero que tiene la forma de una pluma. Lleva también un depósito de tinta, pero difiere en que la plumilla se fija al cuerpo de la pluma por medio de una cuerda. A este instrumento se le llama estilógrafo técnico. Estos dos instrumentos se pueden utilizar como plumas individuales o hacer un juego que conste de una pluma y una serie de plumillas para diferentes trazos de líneas.

6

1. Entalladura 2. Paso de tinta 3. Ganchito sujetador 4. Pieza giratoria 5. Lengüeta sujetadora 6. Punta doblada 7. Salida de tinta 8. Abertura de rellene 9. Dispositivo de enchufe 10- Sistema de conducción 11. Saca-conductor 12. Conducción de rellene

12

10

El conductor se fabrica en tres gradaciones distintas: No. 1 para aflujo reducido No. 2 para aflujo normal No. 3 para aflujo fuerte

91 8

7 Pieza auxiliar Vista vertical

Vista lateral

Figura 1.43

El grafo y sus piezas auxiliares.

Estos instrumentos también nos pueden servir para trazar arcos y círculos; basta comprar un sujetador espe cial para montarlo al compás y sostener al gratos. Estos sujetadores se montan y desmontan con facilidad.

Figura 1.44

Montaje de un estilógrafo en un compás.

14


Figura 1.45

Estilógrafo.

Plumillas para grafos y estilógrafos En la elaboración de un dibujo y letreros se necesita el trazo de líneas rectas y curvas de diferentes gruesos y ta maños. Para esto se necesitó fabricar plumillas especiales. Para poder seleccionar la plumilla correcta se hizo la si guiente clasificación: Plumillas tiralíneas para líneas finas 0.1

0.12 0.16

0.2

0.25

0.3

0.4

0.5

0.6

Plumillas para líneas anchas 0.8 1.0 1.25 1.6

2.5

4.0

6.4

Figura 1.46b

10.0

Clasificación de las plumillas para delinear.

Plumillas (forma de disco) para trazos en forma de cordón 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81.01.251.6 2.0 2.5 3.2 Plumillas oblicuas (hacia la derecha) para trazos en forma de cinta 0.8

1.25

2.0

2.5

3.2

4.0

Como un utensilio muy adecuado para llenar el de pósito del grafos es recomendable utilizar un tubo llenador de tinta china, como el que se muestra en la figura 1.47.

5.0

5.0

Plumillas oblicuas (hacia la izquierda) para trazos en forma de cinta 1.25

2.0

3.2

5.0

Plumillas tubulares para plantillas

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.01.25 1.5 1.75 2.0 2.25

Figura 1.47 con grafos.

El tubo llenador de tinta china se recomienda para usarlo

3.0

Plumillas muy finas para dibujar a pulso B = blandas HB = medio-blandas

Figura 1.46a

H = duras K = durísimas

Clasificación de las plumillas para rotular.

Estilógrafos Las plumas de dibujo representaron un avance tecnológi co con relación a los tiralíneas y los grafos. Sin embargo,


Cabo o armadura Tanque o depósito

Capuchón Puntera

Aguja Contrapeso

Canutillo Figura 1.50

Figura 1.48 Al detener el trabajo por un momento, lo mejor es dejar las plumas en sus estuches. La inclinación de éstos permite la perfecta fluidez de la tinta.

no llegaron a sustituirlos totalmente, aunque esto, por supuesto, está condicionado por las preferencias de los dibujantes.

Soporte

Seguro del contrapeso

Partes de una pluma fuente de dibujo.

Mantenimiento Si los dibujantes llegan a conocer a fondo las plumas para tinta china, y al manejarlas observan las reglas adecuadas, podrán hacer un trabajo imprescindible, debido a su gran precisión y a su aplicación múltiple; podrán rectificar cualquier pequeña imperfección.

Cargado de tinta Se debe utilizar solamente la tinta adecuada y no tintas chinas que contengan disolvente. En la figura 1.51 se muestra cómo debe inclinarse el depósito de tinta china hasta casi por debajo de la espaldilla antes de rellenarla. Previamente se debe haber enjuagado la puntera de dibujo. Si la tinta china no es de buena calidad, empañará las paredes del depósito. Esta empañadura puede evitarse al frotar el depósito previamente con un palillo y un algodón humedecido en aceite mineral extrafino. Si no se dispone de tinta de mejor calidad, ésta se debe filtrar. Esto es sobre todo importante en las plumas de calibres 0.1, 0.2 y 0.3 mm, que se obstruyen fácilmente con tintas de mala calidad.

Figura 1.49 dibujo.

Algunos de los diferentes modelos de pluma fuente de

Las principales piezas que las constituyen son: el capuchón, el cabo o armadura, el soporte, el tanque o depósito, la puntera y su canutillo, el contrapeso y la aguja y el seguro del contrapeso. Todos se muestran en la figura 1.50.

Figura 1.51 Al llenar el depósito éste debe mantenerse inclinado y la tinta debe quedar un poco más abajo de la espaldilla.


Existen también depósitos de tinta que se distribuyen sellados. Éstos se introducen en la armadura.

El leroy El leroy es un instrumento para hacer letras normadas bastante parecido a las plantillas de letras llamadas normógrafos. Se habla de que uno de los dos sistemas es más perfecto que el otro, sin embargo, cualquiera de ellos sirve para un trabajo específico. Además, influyen otros factores: la habilidad del dibujante, su rapidez, conocimientos, cuidado del equipo, etcétera.

El cangrejo o transportador de letras Este instrumento consiste en una pieza, por lo general metálica, que posee tres puntos de apoyo distribuidos en cada una de sus patas. Uno de estos puntos de apoyo es el cursor, que consiste en una especie de tornillo que rueda en un surco incluido en las reglas de letras, con el cual se logra que todas las letras queden a la misma altura, además de servir de punto de apoyo.

Descripción El leroy consta fundamentalmente de tres piezas: las reglas de letras, el transportador (conocido popularmente como "cangrejo") y los puntos para el trazo de letras, que bien pueden ser las plumas de dibujo con un adaptador, plumillas tubulares u otras como después veremos. El equipo tiene diversas presentaciones: en estuches de madera o de plástico que poseen por lo general 12 reglas de letras de distintos tamaños, transportadores o cangrejos y puntos para el trazo de las letras (que son, por lo general, plumillas tubulares). Poseen, además, otros aditamentos y equipos auxiliares, como envases de tinta, cabo de plumilla, portaminas para el trazo a lápiz, soporte o apoyo para el transportador (si es del tipo convencional) y otros, aunque también se distribuyen por separado en envases de cartón o de plástico con diferentes piezas.

Y Figura 1.54 El transportador de letras o "cangrejo" posee tres puntos de apoyo; el cursor (a), la punta trazadora (f) y la aguja (d). Otros elementos importantes son: apéndice para sostenerlo (b), tornillo de nivelación (c) y rosca para cambiar la inclinación de las letras (e).

Figura 1.52

Estuche completo de leroy.

Figura 1.53

Transportador de letras o "cangrejo".

Los normógrafos o plantillas de letras poseen, en dos de sus extremos, una especie de cinta que funciona como apoyo y no permite que la tinta se corra al trazar las letras con la pluma, ya que de esta forma la plantilla queda levantada algunos milímetros del tablero. Para el rotulado con normógrafo se deben trazar líneas de guía, y las plantillas deben estar apoyadas sobre la regla T, escuadras, etc., sujetándose firmemente para que no se desplace la plantilla. Algunas plantillas especifican con qué calibre de pluma se debe trabajar, debido al tipo de letra que poseen. En otro de los extremos de las patas se encuentra un punto de apoyo; una aguja que se introduce en las aca-


naladuras de las letras grabadas en las reglas. Esta aguja posee dos terminales: una fina para las reglas pequeñas (por lo general, para las reglas números 40, 60 y 80) y otra más gruesa para las demás. Dicha aguja se atornilla al extremo de la pata mediante una rosca y se le pone un capuchón atornillado al extremo de la aguja, para evitar que pueda herirse el dibujante que manipula el cangrejo y para que no se dañe la aguja mientras no se trabaje con ella. Esta pata puede cambiar de posición mediante una rueda dentada que está situada en la parte inferior del cangrejo a fin de modificar la inclinación de las letras desde un ángulo de 75° aproximadamente hasta el tipo vertical, es decir, 90°.

Figura 1.55

Posición del "cangrejo" para letras verticales.

plástico o madera que permite mantener levantada la punta trazadora para evitar que se pueda dañar la pluma o plumilla tubular, y en algunos transportadores modernos, esta pieza o soporte se sustituye por una palanca que al presionarse permite la salida de una pequeña varilla metálica en la parte inferior del cangrejo, que lo levanta.

Reglas de letras Como su nombre lo indica, son unas pequeñas reglas de plástico que poseen grabados un abecedario y los números, de tal manera que la aguja del cangrejo pueda moverse por las acanaladuras de dichas letras. Las reglas tienen también una acanaladura a todo lo largo, que permite al cursor del transportador moverse sobre toda la longitud de la regla. Las reglas están numeradas con las cifras 40, 60, 80, 100, 120, 140, 175, 200, 240, 290, 300, 350, 450 y aun mayores; la altura de las letras es de 1 mm hasta 2 cm. Las reglas poseen además, por debajo de la acanaladura guía, unas marcas que indican la altura de las letras, con ellas podemos determinar letras y espacios, según los vayamos distribuyendo en su rotulado. Las reglas tienen en su borde superior derecho el número de puntos que se ajustan al tamaño, aunque esto varía de acuerdo a las necesidades del dibujante.

Regla graduada Es un instrumento básico para el dibujante, ya que permite medir objetos, piezas metálicas, figuras y formas geométricas, planos, croquis, etcétera. La regla consiste en una tabla plana de madera o metal, por una de sus caras se ubican las diferentes magnitudes o divisiones, siendo las más comunes la de centímetros (cm) y milímetros (mm) en el Sistema Métrico Decimal (SMD), y en pulgadas (pulg o inch) en el Sistema Inglés (SI). Figura 1.56 nadas.

Forma de girar la pata del "cangrejo" para letras incli

En la otra pata se encuentra el agujero donde se aloja la punta trazadora que se regula mediante un tornillo de presión; aunque en algunos cangrejos modernos este tornillo se sustituye por una pequeña palanca de presión, que al oprimirla permite la entrada o salida de la pluma fuente o plumilla tabular. En los cangrejos convensionales, al detener un momento el rotulado, se le adapta una pieza o soporte de

Figura 1.57

Regla graduada.


Escalímetro Es también una regla graduada, pero la diferencia de una regla común y corriente, estriba en que la integran varias

Figura 1.58

escalas, por ello su forma es triangular, en donde cada cara tiene un par de escalas diferentes.

Escalímetro.

ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER 1.1 Cuaderno de trabajo Lee detenidamente cada una de las preguntas, piensa, reflexiona y contesta correctamente, si no recuerdas lo que se te pregunta investiga en tu libro de dibujo o en otros libros. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

¿Para qué sirve una regla graduada? ¿Por qué se llama regla T? ¿Qué ventajas al dibujar ofrece la regla T? ¿Cómo debe conservarse la regla T? ¿Para qué sirven las escuadras? ¿Cómo debes tomar un compás? ¿Qué tipo de compás son los más comunes? Enuncia las características más sobresalientes de los siguientes instrumentos geométricos: ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Compás Regla de cabeza móvil Escuadras de 30°, 45° y 60° Restirador Moderna mesa de dibujo Tecnígrafo Reglas paralelas

9. Escribe seis diferentes tipos de materiales para dibujar. 10. ¿Para qué sirven los lápices de punta dura? 1 1 . ¿Para el trazo de las letras, ¿qué lápiz usarías? 12. Explica el procedimiento que emplearías para fijar el papel. 1 3 . ¿Cómo debe ser la punta de un lápiz? 14. ¿Para qué empleamos un transportador? 15. ¿Para qué nos sirve un compás? 16. Explica los pasos para emplear en el trazo de una curva con plantilla.

17. ¿Qué técnica usas para borrar? 18. ¿Cómo debes tomar y mover un lápiz? 19. ¿Cómo debes mover un compás para trazar un círculo? 2 0 . ¿Qué características tiene un transportador? 2 1 . ¿Cómo debes usar un transportador? 2 2 . Dibuja un transportador de 180°. 1.2 Usa tu imaginación y creatividad Pon a prueba tu imaginación elaborando los siguientes instrumentos de dibujo, organízate en equipo. ♦ Elabora un compás. ♦ En una tira de madera o de cartoncillo elabora una regla de un metro dividida en centímetros y pulgadas. ♦ En un semicírculo elabora un transportador. 1.3 Investigación Investiga cuál es el origen de los instrumentos empleados en geometría. Investiga también cuál es el origen de los lápices. 1.4 Prácticas para el taller de dibujo a) Divide una lámina en seis partes iguales y dibuja en cada una los siguientes instrumentos de dibujo: ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Restirador Mesa moderna de dibujo Tecnígrafo Restirador para empotrar Mesa de reglas paralelas Mesa moderna con pantalla

b) Dibuja seis instrumentos de dibujo. c) Elabora un listado con tres recomendaciones de uso de los instrumentos geométricos.

Manejo de instrumentos para el dibujo geométrico; rotulado Objetivos particulares Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de: ♦ Conocer la técnica para manejar con eficiencia y precisión los instrumentos geométricos requeridos en la elaboración de un dibujo geométrico. ♦ Conocer y aplicar la técnica para rotular dibujos geométricos y técnicos a tinta china con instrumentos clásicos y modernos. ♦ Comprender todas las sugerencias para dibujar con más efectividad. Objetivos específicos ♦ Aplicar con eficiencia el manejo de los instrumentos geométricos como regla T, compás, escuadras, transportador, plantillas, reglas, etcétera. ♦ Comprender el significado de calidad técnica del rotulado. ♦ Manejar con habilidad y soltura el trazo con instrumentos geométricos que emplean tinta china como grafo, estilógrafo, puntillas, compás, etcétera. ♦ Manejar con habilidad y soltura el trazo de líneas rectas y curvas con tinta china. ♦ Manejar con habilidad y soltura: plantilla, leroy y regletas. ♦ Apegarse a la higiene y seguridad del dibujo. ♦ Conservar eficientemente sus instrumentos geométricos y de rotular. ♦ Conocer y aplicar los diferentes tipos de líneas empleadas en el dibujo geométrico, mecánico, arquitectónico y de la construcción. ♦ Aplicar una serie de recomendaciones que debe apegarse antes de dibujar y lograr una comprensión más efectiva en el aprendizaje del dibujo.

Introducción Conocer y manejar con eficiencia los instrumentos para el dibujo técnico garantiza dibujos limpios, precisos y de gran calidad; esto sólo se logra con la técnica básica de cada instrumento y la práctica que en esta unidad se propone. De la misma forma juega un papel muy importante el rotulado, pues se dice que la tarjeta de presentación de un dibujo son sus rótulos o letreros. Puede tenerse un dibujo técnicamente bien elaborado, con calidad en sus trazos, pero si falla su rotulado, el dibujo pierde presentación.

Éstas y otras razones son las que le dan impor tancia al conocimiento y aplicación de la técnica del rotulado, tanto a mano libre como con plantillas. Uno de los propósitos de esta unidad respecto al dibujo a mano libre es dar los elementos y las habilidades para que el alumno domine el trazo de la línea y la forma, y así pueda dominar la escritura de números y letras con la calidad necesaria. También en esta unidad se da a conocer la técni ca para el manejo de instrumentos que escriben o trazan líneas con tinta china, como las plantillas, el grafo y el estilógrafo, con todos sus aditamentos, ade más del leroy y un juego muy amplio de regletas.

20


Manejo de la regla T y las escuadras Al trazar las líneas inclinadas se debe tener cuidado de que la cabeza de la regla T haga o perfecto con el borde izquierdo de la mesa de dibujo, y que la escuadra con que se está trabajando apoye perfectamente en el bisel de la regla T. De esta manera se evitan trazos de líneas con otra inclinación de la requerida (para los zurdos debe ser la posición contraria).

Trazo de líneas verticales Figura 2.2 Trazo de líneas mediante la combinación de escuadras y regla T.

Figura 2.1

Trazo de líneas verticales con regla T y escuadra.

Trazo de la línea vertical con escuadra de 45° y 60° Las líneas verticales se trazan de abajo hacia arriba con el lápiz inclinado ligeramente hacia adentro. La dirección de las flechas nos indica la forma del trazo de las líneas inclinadas. El lápiz se debe tomar con la mano derecha, como a unos 3 cm de la punta y con una inclinación a lo largo de todo el trazo. No lo presione ni apriete con fuerza al dibujar, de lo contrario las líneas quedarán cortadas en el papel, se cansarán más los músculos de los dedos y si usted suda el dibujo podría mancharse.

Líneas con una inclinación de 75° y 15° Con esta inclinación las líneas se pueden trazar en dos formas: 1. Comprando escuadras de 75° x 15° que a veces se venden y que se están dejando de usar. 2. Si combinamos las escuadras de 45° con la de 30° podemos obtener líneas con una inclinación de 15° o de 75° (véase figura 2.2). Se puede lograr cualquier posición siguiendo las siguientes instrucciones: Las líneas horizontales paralelas se obtienen con la regla T a la distancia deseada. Para las líneas paralelas se va deslizando la escuadra sobre la regla T, a las diferentes distancias requeridas. Líneas paralelas a 30°, 60°, 45°, 15° y 75°. Para obtener estos trazos se deslizan las escuadras sobre el bisel de la regla a las diferentes distancias requeridas (véase figura 2.3).

Figura 2.3 Trazo de líneas a diferentes ángulos mediante las es cuadras y la regla T.

Trazo de líneas horizontales Para trazar este tipo de líneas se requiere de una regla T, para manejarla correctamente usted necesita tomar en consideración los siguientes aspectos: 1. Se debe trabajar solamente con el canto superior de la regla T. 2. La cabeza de la regla debe presionar siempre el borde izquierdo del restirador. 3. Con la mano izquierda presione la regla T, y con la mano derecha haga movimientos simultáneos (véase figura 2.4). Con la mano izquierda presione suavemente la regla para que la cabeza de la regla haga o con el borde del restirador. b) Con el índice y el pulgar de la mano izquierda se pueden ir moviendo las escuadras.

MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO

Uso del compás El compás se toma con la mano derecha y se sostiene con el dedo pulgar y el índice; después se abren los dos brazos del compás con los dedos restantes hasta tener la medida deseada. Al nivelar las dos puntas del compás, la punta que va a servir para fijarse al centro (la más afilada, de metal) se debe dejar más larga para que al clavarse se empareje con la otra punta, que tiene la mina o el grafo. Figura 2.4 Trazo de líneas horizontales.

4. La inclinación del lápiz con respecto al restirador debe ser aproximadamente de 60°, si varía, se pueden dar líneas de diferente grueso. 5. El lápiz se gira lentamente para tener líneas del mismo grueso, debido al desgaste de la punta. 6. Para los zurdos se invierten los puntos 1 y 3. Figura 2.7 Trazo de círculos con el compás.

Figura 2.5

Trazo de paralelas horizontales.

Trazo de líneas paralelas y perpendiculares en cualquier posición El procedimiento que se sigue para el trazo de paralelas es muy similar al de las perpendiculares: basta ubicar la regla T debajo de la escuadra, y sobre la línea, a la cual se está trazando las paralelas; las escuadras se mueven simultáneamente en las posiciones requeridas. Se hace lo mismo para las líneas perpendiculares, la diferencia es que la escuadra se va moviendo horizontalmente de acuerdo a las posiciones señaladas.

Para trazar un círculo, primero se marca el centro y se ajusta el compás al radio requerido. El círculo se hace de izquierda a derecha, tal como giran las manecillas del reloj y se sostiene la perilla del compás con el pulgar y el índice, inclinándolo ligeramente hacia donde va el trazo; si la línea no es lo suficientemente oscura,- trácela de nuevo. Actualmente los dibujos se hacen directamente con lápiz. Por lo tanto, las líneas deben ser de un negro intenso, y para ello se requiere de una mina más blanda que la del lápiz que será utilizado, debido a que con el compás no se puede presionar de la misma manera que con el lápiz. Las minas tienen la misma graduación que las de los lápices.

Cómo afilar la punta del compás El tamaño de las puntas de los compases debe ser aproximadamente de 10 mm para que el trazo del compás sea delgado como el del lápiz. Es necesario rebajar la punta a lo largo de una inclinación que abarque dos terceras partes de la punta; esto se hace con una lija. (En algunos casos conviene rebajar los lados.) (Véase figura 2.8.) Se recomienda que en los compases (al hacer círculos grandes) el afilado de la mina se haga hacia afuera, y en los círculos pequeños (compases de globo) hacia adentro.

Uso del compás con tinta Figura 2.6

Trazo de paralelas verticales.

Las recomendaciones para el uso y manejo del compás son las mismas que con la mina del lápiz y la tinta, con la


Manténgase un ojo sobre la línea de lápiz.

Tiralíneas

Ángulo

Línea centrada

Correcto Céntrense las líneas de tinta Incorrecto sobre las líneas de lápiz.

Demasiada tinta en el tiralíneas. Incorrecto

Papel de lija Figura 2.8 Afilado de la punta de lápiz del compás.

única diferencia de que la cantidad de tinta debe ser de una altura de 6.4 mm y que la punta de la aguja sea un poco más larga, para que al insertarse en el papel se emparejen las dos partes. Se debe tener cuidado de usar el compás correcto, según el tamaño del círculo que se vaya a trazar; la bigotera del compás de bomba se usa para círculos muy pequeños debido a que este compás tiene una pierna que funciona como eje fijo y la otra pierna gira a su alrededor, por lo que se facilita el trazo de estos círculos. Para los círculos medianos se usa el compás con extensión, y para los círculos grandes el compás de vara.

Incorrecto

2.

Línea seca Correcto Correcto

Línea húmeda

Incorrecto Línea húmeda

Líneas traslapadas.

Figura 2.10

Primero se entintan los arcos y círculos.

Línea húmeda Incorrecto

Recomendaciones generales para entintar.

Conviene tener un trozo de papel del mismo tipo para trazar líneas de prueba antes de trazar sobre la hoja de trabajo; esto es con el fin de saber si el papel tiene el mismo grueso y saber de qué manera corre la tinta sobre él.

Procedimiento para entintar un trabajo a lápiz

Figura 2.9 Uso del compás con tinta.

1. Las líneas de tinta deben estar centradas a la del lápiz. 2. En el caso de dos o más rectas tangentes, unas estarán sobre otras, en el punto de tangencia. 3. Cuando se centran las líneas de tinta sobre las del lápiz, únicamente se tocan. 4. Los pasos a seguir en un dibujo: a) se entintan los arcos y después los círculos; b) después se entintan las líneas horizontales y luego las verticales; c) por último se entintan las líneas inclinadas; lo anterior es porque es más fácil unir las líneas rectas con los arcos que viceversa.

Si no se usa el compás adecuado se corre el riesgo de que el círculo no cierre perfectamente o de que el compás se barra hacia un lado.

Entintado Para poder entintar un trabajo de dibujo, debe observarse que el papel sea el apropiado, de una textura mate para que reciba la tinta y no se corra. Es conveniente primero que se haga el dibujo a lápiz. No debe olvidarse que las líneas son más gruesas a tinta que a lápiz.

5.

En seguida se entintan las líneas de centro, extensión y acotación. a) Luego las puntas de las flechas y los enunciados o rótulos. b) Se debe cuidar que el tiralíneas no cargue más de 6.4 mm de tinta, en caso contrario, los extremos de la línea trazada serán demasiado gruesos.


do por dos hojas que, al separarse por un tornillo de presión en su parte superior, se embona a un mango de madera, plástico o metal.

1. Se entintan los arcos y círculos.

2. Se entintan las líneas rectas. Figura 2.11

Entintado de arcos, círculos y líneas rectas.

6. No junte dos líneas frescas porque hay peligro de que se corra la tinta. 7. También existe el riesgo de que las líneas cortadas queden más gruesas al principio que al final. 8. Se debe limpiar constantemente el instrumento de dibujo para evitar que la tinta se seque y produzca trazos irregulares.

3. Se entintan las líneas auxiliares. Taladrar a 1/2" 2 agujeros

Figura 2.13

Entintado con tiralíneas.

Las puntas de estas hojas tienen un baño de carburo de tungsteno y están redondeadas. La tinta se deposita en el espacio que hay entre las hojas, a través de un entintador que tiene la forma de gotero. Por lo general, todos los pomos de tinta lo traen. Se recomienda que cuando se trabaje con el tiralíneas éste debe inclinarse un poco. Por otro lado, debe llenarse de tinta a una altura de 6.4 mm aproximadamente. Si la columna de la tinta es más alta, puede hacer que el mismo peso haga que corra más tinta de la debida o que al secarse no corra bien.

NOTA: Se recomienda que cuando la tinta del tiralíneas esté casi seca se sumerja de nuevo en el tintero. Luego, sus costados deben secarse cuidadosamente, sólo en este caso se justifica que se sumerja el tiralíneas en la tinta. Si no se hace como se indica, hay el peligro de que poco a poco se vaya deteriorando la punta. El tornillo opresor que está entre las dos hojas del tiralíneas debe dar el grueso de la línea; hay que utilizarlo de inmediato cuando tenga tinta, ya que seca rápidamente, y no permite que fluya como en las condiciones normales.

4. Se entintan las acotaciones y los datos. Figura 2.12

Entintado de líneas auxiliares, acotaciones y datos.

Tiralíneas Como su propio nombre lo dice, es un instrumento que se usa para entintar líneas. Es de acero inoxidable, forma-

El procedimiento que se sigue para el manejo del tiralíneas es igual al del lápiz con respecto a la posición y la dirección del trazo, es decir, las líneas verticales se marcan de arriba hacia abajo, las horizontales de izquierda a derecha y las inclinadas también de abajo hacia arriba; cuando se traza hacia el lado izquierdo de la escuadra y de arriba hacia abajo cuando el trazo es a la derecha de


Figura 2.14

Entintado con tiralíneas.

la escuadra. Esto en caso de que el dibujante sea dere cho. Para los zurdos las direcciones de trazo serán del lado contrario.

Figura 2.16 Trazo incorrecto con el tiralíneas.

Manejo de las plantillas de curvas Se recomiendan los siguientes pasos en el uso de plantillas: 1. A lápiz: a) Determinar la serie de puntos por los que debe pasar la curva que va a trazarse. b) Una los puntos con una línea muy tenue para que sirva de guía. c) Elimine la tendencia de dar demasiada curvatu ra entre los puntos consecutivos (lo que resulta es la formación de ángulos). Esto se evita al pro curar que la plantilla pase por tres puntos de la curva por lo menos. Al cambiarla de posición el trazo debe coincidir con la parte de la curva ya trazada. d) El borde de la plantilla debe ser tangente a la cur va en el punto en donde cambia la dirección de la curvatura.

Figura 2.15 Trazo correcto con el tiralíneas.

La posición del tiralíneas y el lápiz con respecto al papel debe ser de 60°. Consecuencias del mal uso del tiralíneas al trazar una línea recta: 1. La posición correcta de acuerdo a las indicaciones da como resultado una línea correcta. 2. Cuando una de las hojas del tiralíneas toca el papel se obtiene una línea con levantamientos sobre un lado. 3. La tinta se corre por debajo de la regla y sobre el papel debido a que la punta del tiralíneas se pega al borde de la regla, se recomienda usar reglas bisela das. 4. Con una posición incorrecta se obtiene una línea sin uniformidad.

2.

Con el tiralíneas: En este caso se debe aplicar lo anterior, más los si guientes pasos (véase la figura 2.17): e) Mantener el tiralíneas en posición casi vertical. /) Las hojas del tiralíneas deben ser siempre tangen tes a la plantilla.


Marca de lápiz sobre la plantilla

Figura 2.17

Figura 2.18 elipse.

Plantillas de curvas.

g) La superficie de la hoja de papel debe tener la misma dirección que lleva la curva en el punto donde la hoja del tiralíneas toca el papel (véase la figura 2.18). h) Se dejan pequeños espacios entre los segmentos entintados que deben llenarse después a mano. ( A) Cómo se monta la plumilla en el grafo

1. Se toma la pluma con la mano izquierda y se coloca la plumilla sobre el casquillo de metal, de tal manera que la lengüeta sujetadora empiece a entrar en el dispositivo de enchufe.

Puntos más juntos en los extremos

Manejo de las plantillas de curvas para el trazo de una

i) Con monedas pequeñas colocadas y pegadas bajo la plantilla se evitará que la tinta se corra por debajo y manche el papel. NOTA: Este último punto debe usarse como recurso.

(B) Cómo se desmonta la plumilla en el grafo

2. Se aprieta la plumilla contra el casquillo de metal y debe moverse en dirección a la flecha, procurando al mismo tiempo que el ganchito sujetador entre en la muesca de la salida de tinta china.

( C ) Cómo se saca el conductor

3. La plumilla se toma pos sus puntas dobladas, entre el pulgar e indice de la mano derecha.

4. Con el pulgar de la mano izquierda se empuja la plumilla hacia afuera.

( D ) Cómo se llena el grafo

5. Se coloca un cuchillo o un utensilio 6. El conductor debe sacarse con semejante debajo del saca-conductor cuidado, tomándolo con un pedazo y se empuja hacia afuera. de tela.

Figura 2.19

7. Se saca el conductor y se llena el 8. O bien, se puede llenar la pluma con tiralíneas con el gotero del frasco. Una el tubo llenador o con el cuentagotas vez llenada la pluma, se recomienda por la abertura, sin sacar el conductor, volver a quitar con el gotero algo de hasta que el nivel de la tinta china que la tinta china para evitar un derrame de visible. Debe evitarse que se for men burbujas. al colocar el conductor.

Operación y uso del grafo.

DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO ( F) Aplicar sin apretar

( E) Cómo se prepara el grafo

9. Al golpear ligeramente la mano que sostiene la pluma con la mesa de dibu jo, la tinta china entrará en el espacio entre la plumilla y su pieza giratoria. A partir de aquí se puede empezar a di bujar.

10. El mismo resultado se obtiene al mojar el paso de tinta con una gota de tinta china. Después se cierra la pieza giratoria y se toca con la plumilla un trocito de esponja o de tela mojada.

(G) El aflujo de la tinta china al papel

13. Cuando se seca la tinta china en los cantos de la plumilla basta tocar con la punta una esponja o un trocito de tela mojada.

11. La Inclinación de la pluma fuente debe ser de un ángulo aproximado de 60°. Debe procurarse tocar el papel con toda la superficie de la punta de la plu milla.

12. En trabajos con regla, las plumillas con grafos se aplican de la misma ma nera que los tiralíneas. Se aconseja no usar reglas muy gruesas.

( H ) Después del trabajo

14. La tinta china sale de la pluma por el sistema de conducción, atraviesa el paso de la tinta, se mete entre la plu milla y la pieza giratoria y de ésta pasa al papel.

Figura 2.19

15. La plumilla se debe sacar inme diatamente. Después de abrir la pie za giratoria la plumilla se limpia con un paño. Deben limpiarse también las entalladuras en la punta de la plumi lla, cerrar la pluma fuente y guardarla en posición vertical.

16. SI la pluma ha quedado obstruida por no quedar cerrada durante un tiem po prolongado, el conductor se debe sacar y enjuagar, limpiando a su vez el sistema de conducción. El interior de la pluma debe limpiarse bajo un chorro de agua corriente.

Operación y uso del grafo (continuación).

El rotulado con grafo y estilógrafo Para rotular un dibujo, se necesitan plumas especiales: 1. para trazo a mano libre, y 2. para plantilla. Para las primeras se necesita mucha práctica, y esto se logra con paciencia y ejercicios. Estas plumas se clasifi can con letras y números según el grueso que la letra re quiera (véase figura 2.20). Se recomienda seguir las siguientes instrucciones para el rotulado, según el caso: 1. La plumilla se sumerge 6.4 mm en la tinta. 2. La plumilla se escurre en la parte inferior del frasco de tinta (algunos dibujantes prefieren entintarla en el exterior con el tapón).

3. 4. 5. 6. 7. 8.

El trazo se hace suave, en forma natural (de esta ma nera se evita el cansancio de la mano). Las puntas de la plumilla no deben presionarse mu cho porque se separan. Al terminar las plumillas deben limpiarse para que la tinta seca no las perjudique. Tome una plumilla nueva y sumérjala varias veces en la tinta y escúrrala. Nunca queme una plumilla con un cerillo, porque tam bién se quema la capa de aceite que la protege. Guarde las plumillas en una cajita para que no se golpeen, se enchuequen o se achaten.

Rotulado con el leroy y normógrafos Bien poco se puede decir del rotulado con el leroy, ya que éste es eminentemente práctico; sin embargo, hay algu nas nociones generales que ayudan a mejorar el trabajo.


Figura 2.21 Rotulado con leroy.

Figura 2.20 Puntos para rotular con plantilla.

Figura 2.22 Rotulado con plantillas de letras o normógrafos.

a) Nunca se debe tratar de jalar las letras con la aguja para llevarlas al lugar donde se desea rotular, ya que este procedimiento daña las acanaladuras de las letras. b) El espacio entre las letras lo dará la práctica; es por ello que se necesita mucha ejercitación. c) La superficie donde descansa la regla del leroy debe estar perfectamente plana, ya que de lo contrario las letras pueden salir torcidas. d) Antes de comenzar a rotular el dibujante debe cerciorarse de que los tornillos y mecanismos del cangrejo estén apretados y firmes: la aguja que penetra en las acanaladuras de las letras, el cursor que pasa por la guía de la regla, el tornillo T de presión para fijar la pluma o punto y la rueda dentada que fija la inclinación de las letras (véase figura 2.21). e) Las reglas deben descansar sobre una superficie firme, como la regla T o las paralelas o reglas del tecnígrafo. La presión de las manos se debe ejercer sobre estos instrumentos y no sobre las reglas de letras. Se debe tener cuidado de que la regla T no esté ligeramente curvada, pues las reglas de letras tenderían a correrse por debajo o habría problemas con la posición correcta de las letras (véase figura 2.22).

/)

Se debe tratar, en lo posible, de no utilizar escuadras con un apoyo de las reglas de letras, ya que aunque se haga una buena presión sobre ellas, es fácil que se muevan, con lo que las letras quedarán en forma de "escalera", es decir, unas más altas que otras con respecto a las líneas guías. Si es indispensable utilizar las escuadras como apoyo, porque el rotulado es inclinado y no se puede mover el papel o no hay la posibilidad de utilizar una regla T u otros instrumentos, se debe apoyar la regla de letras en la hipotenusa de las escuadras y tratar de colocar dos chinchetas, una en cada cateto, a fin de que la escuadra se fije firmemente. También se pueden utilizar objetos pesados. g) Si al rotular la rueda dentada resbala sobre la regla de letras, es posible que la pluma sea muy corta o que el tornillo de presión no esté apretado correctamente, y por este motivo el punto o la pluma esté flojo y no pueda descansar sobre el papel, haciendo resbalar al cangrejo. h) Se debe tener especial cuidado al rotular letras inclinadas, ya que el cangrejo está abierto al máximo y es difícil sostenerlo firmemente con la mano.


j)

Si se trabaja con pluma de dibujo adaptada al cangrejo se debe tener cuidado, porque puede romperse el canutillo de la misma. Una buena medida para evitar un poco esta posibilidad es quitarle el cabo a la pluma, es decir, dejarla sólo con la puntera y el depósito de tinta. Se debe sacar la pluma con lentitud para evitar que se rompan los canutillos o la parte de la puntera que se inserta en el brazo del cangrejo. Si en lugar de plumas se utilizan puntos o plumillas tubulares, al terminar el trabajo se deben limpiar inmediatamente para que la tinta no se seque y quede soldado el punto. El procedimiento para el lavado de estos puntos es semejante al de las punteras de dibujo.

REGLA

ALTURA

DE

LETRAS

PUNTO

Figura 2.23 Distribución en la regla de leroy según la altura de las letras y el grueso del punto que se debe emplear.

k) Si se desea se pueden hacer las letras "dobles", con lo cual quedan más gruesas, así como rellenarlas con tinta como se indica en la figura 1.107. Éstas son las recomendaciones ofrecidas para realizar el rotulado con leroy. Sin embargo, insistimos en que sólo con la práctica constante se lograrán buenos resultados.

Rotulado mediante letras transferibles o adhesivas Además de los ya tradicionales métodos para la ejecución de rótulos, como los de mano alzada (con lápiz, grafos, plumas fuente, plumillas y pinceles) o mediante instrumentos (normógrafos, plantillas de letras, leroy), se han creado otras técnicas, que son más económicas, ahorran tiempo, facilitan el trabajo y logran mayor calidad. Dentro de las técnicas modernas se encuentran las letras transferibles, también denominadas adhesivas. Este nombre se debe a que son letras que se presentan en hojas de papel especial o bandas, que por diversos medios, ya sea frotamiento o presión, pueden transferirse de la hoja de papel a prácticamente cualquier tipo de material como madera, papel, cartón, vidrio, metal, formaica, acetato, etc. Por otro lado, este tipo de sistemas posee tipos o caracteres especiales, como símbolos matemáticos o letras derivadas de otras lenguas (ruso, griego, neerlandés, árabe, griego, etcétera). Además de todas las ventajas enumeradas anteriormente, las letras transferibles se emplean en casi todas las ramas del dibujo (arquitectónico, mecánico, eléctrico, etc.), así como en la mayoría de los trabajos de presentación y reproducción (Offset, Litho, Engravin, Silk Screen, etcétera). Para la confección de rotulados las letras transferibles presentan varios modelos con diferentes características según su uso. Las primeras consisten en unas hojas especiales, de celofán o celuloide, en las que vienen impresas las letras y los números, así como algunos signos de puntuación. La hoja de papel que contiene el abecedario y los números es transparente. Las letras y los números vienen alineados. Debajo de cada fila de letras se encuentra una línea guía que nos sirve para colocar las letras bien centradas cuando se transfieren al papel de trabajo. Estas hojas de letras tienen en su cara posterior una sustancia adhesiva como cera, goma sintética, etc., que es la que permite que, al transferir a la hoja, la letra se una firmemente al papel de trabajo. Para proteger la sustancia adhesiva del polvo o la suciedad se coloca otra hoja que sirve de cubierta de protección, y que sólo se retira cuando sea necesario adherir una letra. El procedimiento para transferir las letras al papel de trabajo es el siguiente: a) Se traza una línea guía en el papel de trabajo, situando en el lugar exacto donde se quiere colocar la palabra. b) Se separa la cubierta de protección de la hoja de letras, se selecciona la letra deseada y se recorta dejando determinada área alrededor de la misma, incluyendo la línea guía.


c)

Se sitúa la letra seleccionada en la posición prevista y se hace coincidir la línea guía de la letra con la de la hoja de trabajo, con el fin de que la letra quede en posición correcta.

2.

Letras de tipo bold: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

1234967890 3.

Letras tipo romano: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

1234967890 1. Primero trazamos una línea guía.

2. De la hoja con letras adhesivas se selecciona la que nos in terese v después se corta.

3. La letra se centra bien con la línea guía y se adhiere ligera mente. Figura 2.24

Rotulado con letras adhesivas.

Uso de las letras Las letras que se usan en el dibujo deben ser sencillas, de rápida ejecución, lo que evita todo adorno que quite rapidez a su ejecución. Antiguamente el uso de las letras era muy rebuscado, con un sinnúmero de rasgos innecesarios, que sólo servían de adornos; sin embargo, en el dibujo geométrico industria! el dibujante no se puede dar ese lujo, pues necesita de los tipos de letra rapidez, precisión y claridad en su lectura.

Diferentes tipos de letra Los tipos de letras predominantes son: 1. Letras de tipo itálico: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyz 1234967890

4.

Letras góticas:

A nosotros nos interesa la de tipo itálico ya que llena los requisitos necesarios. Las letras pueden ser verticales o inclinadas, mayús culas o minúsculas. Para las letras verticales, ya sean mayúsculas o mi núsculas, el dibujante se auxilia de líneas horizontales y verticales. Las líneas horizontales a lo largo del renglón donde se escribirán las letras son necesarias para que éstas tengan la misma altura. En cuanto a las líneas verticales, su uso de pende de la práctica del dibujante. Sólo se trazan con lápiz duro, para que casi no se note y pueda servir de guía.


Las letras inclinadas, mayúsculas y minúsculas, requieren para su trazo de las líneas rectas. Las líneas horizontales nos sirven para hacer las letras del mismo tamaño y las líneas inclinadas nos sirven también para guías. Las podemos espaciar de acuerdo a nuestra posibilidad o experiencia en su elaboración. Se recomienda que la inclinación de estas líneas rectas sea de 68° a 70°. Para trazar las líneas horizontales auxiliares se utiliza la regla T.

Figura 2.26

Las letras y números tipo romano están en desuso debido a ser muy laboriosos, se necesitan instrumentos geométricos y mucha habilidad para su ejecución. Se pueden hacer horizontal y verticalmente en trabajos especiales como invitaciones o trabajos artísticos.

Letras de tipo itálico de diferente tamaño.

Las líneas inclinadas se pueden trazar de tres formas: con una escuadra, cuidando que los catetos tengan un valor de 5 x 2, así la hipotenusa tendrá una inclinación de 68° aproximadamente.

Figura 2.29

Diferentes tipos de letras (romano y gótico).

En la antigüedad se usaba un tipo de letra que se adornaba con un gran número de trazos y rasgos, con la finalidad de que pudiera resaltar y lucir más, recibiendo, por lo mismo, el nombre de gótica. La podemos encontrar en casi todos los escritos de la antigüedad. En la actualidad su uso se ha limitado a letreros o encabezados comerciales que indiquen algo de esta época, o para trabajos especiales, como invitaciones, tarjetas de Navidad, etcétera.

Figura 2.27 Escuadra especial para el trazo de guias para rotular.

En el mercado hay escuadras de 45° con agujeros que tienen diferentes separaciones entre sí. A través de ellos se inserta la punta de un lápiz duro y se mueve la escuadra a lo largo de la regla T. Se trazan líneas horizon tales (paralelas entre sí) con una ranura se marcan líneas inclinadas que sirven como guías. Los números deben ser sencillos y de rápida ejecu ción; se elimina todo adorno superfluo. La forma de algu nos números es elíptica, su trazo lo indican las flechas en la figura 2.28.

El 0, el 6 y el 9 son elípticos Figura 2.28 Trazo de números tipo itálico.

Dispositivo para rotular Ames El instrumento de rotular Ames, es un dispositivo muy útil para el dibujo, pues basta girar un disco a la posición de uno de los números que, de acuerdo con el valor del número, da la separación para la altura de las letras. A través de la práctica el dibujante va eliminando el uso de todas las rectas auxiliares, las formas de los trazos y la separación que debe tener entre sí, etcétera. No debe olvidarse que el acabado de las letras escritas a mano libre o con plantillas es tan importante como el dibujo; su perfección habla de la capacidad del ejecutor, ya que es una de las muchas facetas del dibujo a pulso. Las letras y números tipo bloc tienen menor demanda debido a que son más laboriosas. Se usan en rótulos o encabezados. Su trazo requiere de instrumentos geométricos. Estas letras se rellenan con plumas especiales.


Construcciones geométricas, base del dibujo técnico La geometría es la base del dibujo técnico, por ello en esta obra intercalamos algunos principios geométricos. Nos limitaremos a la geometría plana, que es la que cursará el estudiante de dibujo técnico.

1. Las líneas que se den como dato del problema, se trazan delgadas. 2. Las que se busquen como solución del problema, se rán gruesas. 3. Las líneas auxiliares o de construcción que en la prác tica no se trazan, deben ser de puntos o de trazos muy finos.

Aspectos a considerar antes de dibujar Los dibujos deben hacerse con limpieza y terminarse a lápiz, antes de empezar a entintarlos. Es necesario hacerlos proporcionales al tamaño del espacio donde se va a trabajar y centrarlos. No deben olvidarse los detalles, de manera que no se eche a perder la buena presentación del dibujo; se recomienda no borrar líneas, sólo cuando sea indispensable, porque el papel se arruga con mucha facilidad. Por este motivo, las líneas auxiliares a la construcción geométrica deben trazarse lo más fino posible, para que la superficie del papel no se estropee al borrarlas. La rugosidad del papel se puede alisar con facilidad al frotar su superficie con una sustancia dura, como el costado de una pluma de escribir o el mango de una navaja; de esta manera se comprimen las fibras del papel y se forma una superficie dura, sobre la cual se puede trazar una línea de tinta.

Recomendaciones de higiene y seguridad del dibujo ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Lavarse las manos antes de dibujar. Limpiar y revisar muy bien el equipo de dibujo antes de empezar a hacer un trabajo. Colocar el equipo y el material de dibujo en un lugar accesible. El descuido y el desorden hacen trabajar el doble. Trabajar en un lugar bien ventilado e iluminado de preferencia con luz natural. Cuando se use luz artificial es recomendable situarla a la izquierda del área de trabajo. Al terminar un trabajo limpia cuidadosamente los instrumentos que pueden dañarse con la tinta y guárdalos en sus estuches respectivos.

Tipos de líneas a usar Para que se facilite entender un ejercicio o problema geométrico, es conveniente clasificar los diferentes tipos de líneas que se van a usar.

Figura 2.30

Diferentes tipos de líneas a usar en el entintado.

Debe seguirse el mismo procedimiento en todas las láminas, de esta manera, basta una simple ojeada para comprender el objeto con que se ha trazado cada una de las líneas. Se recomienda que todas las líneas finas y las de puntos se pasen primero a tinta y sean de un mismo espesor. Abra más el tiralíneas o cambie la plumilla del grafo cuando trace a tinta las líneas gruesas; después haga las letras y por último las líneas del margen, las cuales deben ser más gruesas que las del dibujo.

Indicaciones generales No debe olvidarse que las líneas dadas y buscadas deben dibujarse de distinto grueso para distinguirlas con facilidad unas de otras. Téngase presente que las líneas auxiliares son líneas de trazos de longitud uniforme, separadas por espacios iguales. Los trazos se hacen de 4 mm y el espacio entre ellos debe ser como de un tercio de esa longitud. Las construcciones deben ser exactas, y todas las líneas serán de la longitud que les corresponda. Para evitar errores es preciso trabajar despacio y cuidadosamente. Los lápices deben estar bien afilados. Las letras de los dibujos son tan importantes como el dibujo mismo y deben hacerse con la mayor limpieza posible. Cuide hacer el dibujo del tamaño debido. No presione mucho el compás para evitar hacer agujeros grandes. Antes de empezar a desarrollar un trabajo es conveniente hacer una serie de prácticas con diferentes tipos de ejercicios lineales, logrando con ello: 1. Habilidad en el manejo de sus instrumentos geométricos. 2. Presentación correcta de las partes que debe tener una lámina. 3. Limpieza en su elaboración.


Líneas empleadas en dibujo Para definir las partes que forman un objeto o pieza mecánica es necesario utilizar diferentes tipos de líneas: a) llenas o continuas de dos espesores, gruesas y delgadas; b) de trazos en dos espesores; c) de trazo y puntos; d) de mano alzada o a pulso. En este curso, el uso de estas líneas no es necesario, se utiliza sólo como ejercicio lineal. 1. Línea de contornos 2. Contorno invisible

3. Línea de centros

4. Línea de centros a lápiz

5. Línea de dimensiones 6. Línea de extensión 7. Posición alterna 8. Línea de movimiento 9. Corte de un plano 10. Línea repetida 11. Material roto

Figura 2.32

Diferentes tipos de márgenes

12. Límite quebrado Figura 2.31

Líneas empleadas en el dibujo.

Márgenes En todo trabajo de dibujo técnico son necesarios los márgenes, ya que permiten ubicar una serie de datos que complementan las características del dibujo. A continuación se muestran diferentes tipos de márgenes y ejercicios lineales, como sugerencia (véase figura 2.32).

Tipos de líneas que se emplean en el dibujo industrial La base de todos los dibujos es la línea. Al combinar líneas de diferentes espesores y tipos, es posible describir

gráficamente cualquier objeto o expresar gran parte de la información necesaria en la construcción de una obra, de manera que cuando se necesite se pueda visualizar con exactitud la forma de un objeto o elemento de una construcción.

Tipos de líneas empleadas en la ingeniería y el dibujo mecánico En dibujo mecánico se utilizan también las líneas convencionales del dibujo. Los tipos de líneas que se utilizan comúnmente en muchos países se rigen por ciertas normas, las cuales establecen sus proporciones y medidas, que son de estricto y obligado cumplimiento. A estas líneas convencionales también se les denomina alfabeto de líneas. Las líneas convencionales de dibujo son:

M A N E J O DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO

1. Línea de contorno y aristas visibles

5. Líneas de dimensiones y extensión

Es una línea continua de un ancho de 0.8 mm y se traza comúnmente con lápices de punta blanda, por ejemplo, HB, B, etc. ( Fig. 2.33 a).

Son líneas continuas de un ancho no mayor que 0.2 mm y se trazan con lápices de punta dura, por ejemplo, 3H o 4H. Estas líneas son utilizadas en los dibujos para acortar las dimensiones de los objetos descritos; por lo general, las líneas de dimensión tienen saetas o puntas de flecha en sus extremos (Fig. 2.33 e).

Figura 2.33a

2. Línea de contorno y aristas invisibles Es una línea discontinua de un ancho de 0.4 mm y se traza con lápices medios, por ejemplo, F o H, y las proporciones son las siguientes: trazos cortos de 3 mm de largo con una separación entre ellas de 1 mm (Fig. 2.33 b).

Figura 2.33b

3. Línea para representar áreas seccionadas Es una línea continua de un ancho no mayor que 0.2 mm y se traza con lápices de punta dura, por ejemplo, 3H o 4H y la separación entre ellas será de aproximadamente 1.5 mm, con una inclinación de 45° (Fig. 2.33 c).

Figura 2.33e

6. Líneas que presentan planos de corte y sección Esta línea se emplea también en vistas parciales para indicar en los planos de planta la parte que se va a representar en vista, con las cabezas de flecha sin rellenar y con una letra en su interior que identificará la vista parcial en el plano correspondiente, como se puede apreciar en la figura 2.33 /.

Figura 2.33f

7. Líneas de roturas parciales

Figura 2.33c

Es una línea fina e irregular de un ancho no mayor que 0.2 mm y se traza con lápices de punta dura, por ejemplo: 3H o 4H. Este tipo de línea se asemeja a la línea que resulta de la rotura hecha a una hoja de papel (Fig. 2.33 g).

4. Línea de eje de simetría Es una línea discontinua y de ancho no mayor que 0.2 mm y se traza con lápices de punta dura, por ejemplo, 3H o 4H y sus proporciones son las siguientes: trazos de un largo que oscila entre 15 mm con un punto que equidista de los extremos ( Fig. 2.33 d).

Figura 2.33g

8. Líneas de planos de referencia

Figura 2.33d

Este tipo de línea no está normalizada y sólo tiene uso docente una combinación de líneas finas de 0.4 mm y gruesos de 0.8, la línea fina es discontinua. Sus extremos están separados 3 mm aproximadamente, con dos puntos equidistantes entre sí y de los extremos de la línea; además, tienen en sus extremos una línea gruesa de un largo de 15 mm aproximadamente. Sobre los trazos grue-


sos se colocan las iniciales PR y G, y a continuación, el número del plano de referencia (Fig 2.33 h).

Nombre

Grueso

Diseño

Extensión Cota o dimensión 3 mm 15 mm Figura 2.33h

Rayados varios Interrupción quebrada Eje Interrupción sinuosa Trazos

9. Líneas de construcción y guías

Objeto y contorno

Éste es un tipo de línea que sólo tiene por objeto el permitirnos trazar aquellas líneas que, no debiendo aparecer en el dibujo, nos sirven para realizar las construcciones necesarias y facilitar el proceso del dibujo. Estas líneas son similares a las que utilizamos para la confección de rótulos. Como las líneas de construcción y de guía no forman parte de los objetos representados en el dibujo, se trazan muy finas y con un lápiz duro, ejerciendo poca presión con el fin de que no resalten dentro del conjunto de líneas trazadas.

Oculta

Líneas convencionales empleadas en el dibujo arquitectónico y de construcción En dibujo arquitectónico, las líneas son convencionales y están normadas, por lo que se deben utilizar en el país con carácter obligatorio. El sector de la construcción tiene normadas las líneas y se emplean en los planos de ejecución. Según esta norma, se emplearán tres gruesos de líneas, finas, medianas y gruesas. Los gruesos de las líneas, la longitud de sus trazos y los espacios entre los mismos que se utilizan en su diseño, dependerán de la escala que se emplee en el plano. Dentro de las líneas finas se encuentran las de extensión, cota o dimensión, rayados varios, interrupción quebrada y eje. En las líneas medianas se encuentran las de interrupción sinuosa, trazos, objetos y contorno, oculta y límite de terreno. Las líneas gruesas son las de contorno contenido en el plano cortante y las de trazo de plano cortante y seccionador. Estas líneas y la forma de su trazado se pueden observar en la figura 2.34 elaborada en una escala aproximada de 1:50. ♦ ♦

La línea de extensión, prolonga un punto del objeto dibujado hasta la línea de cota. La línea de cota o dimensión se trazará paralela a la línea del objeto y entre líneas de extensión. Se servirá para determinar la distancia que hay entre dos puntos.

Límite de terreno Contorno contenido en el plano cortante Trazo de plano cortante y seccionador

Figura 2.34

La línea de rayados varios tendrá distintas aplicaciones; servirá para representar materiales en sección, rayar esquemas, índices, destacar áreas, etc. El rayado siempre se espaciará uniformemente. La línea de interrupción quebrada se aplicará para evitar dibujar partes innecesarias. La línea de eje está formada por dos trazos finos, con medidas aproximadas de 10 mm el mayor, y de 2 mm el menor, separados por espacios de 1 mm. Cuando dos ejes se intersequen lo harán en el trazo mayor, y cuando el objeto del dibujo sea demasiado pequeño los ejes se representarán con una línea fina continua. Esta línea se empleará también para indicar simetría (Fig. 2.35).

Figura 2.35


La línea de interrupción sinuosa tiene la misma función que la línea quebrada. Se empleará sólo en dibujos ilustrativos, como son las proyecciones isométricas y se trazará a mano alzada (Fig. 2.36).

- Comenzar con trazos en el punto de tangencia

Figura 2.37b

Comenzar con espacio Figura 2.36

Figura 2.37c

Comenzar con espacio

La línea de trazos está formada por trazos de aproximadamente 1 mm. Se utilizará para indicar y representar en el plano cortante todos los elementos que se encuentran en la parte del objeto que no se considera al dar el corte; por ejemplo: las aleros representados en el plano de planta. La línea de objeto y contorno puede ser mediana y gruesa. La mediana se empleará para representar el contorno de los objetos contenidos en el plano cortante y seccionador. La línea oculta, está formada por trazos de aproximadamente 1 mm y se empleará para representar las partes ocultas del objeto. La representación une el trazo y el espacio como puede observarse en los ejemplos de la figura 2.37.

Comenzar con espacio Figura 2.37d

♦

♦ Comenzar con trazos ■ Definir esquinas con trazos

Figura 2-37a.

La línea límite de terreno, tiene un diseño igual a la del eje, pero de grueso mediano. Se empleará para definir el contorno de la propiedad, en planos de situación, emplazamientos, etcétera. La línea de trazo de plano cortante y seccionador, está formada por trazos de aproximadamente 10 mm y 2 mm separados por espacios de poco más o menos 1 mm. Esta línea puede estar trazada parcialmente y deberá representarse siempre la parte de la línea que indica el cambio de dirección de plano cortante. En ambos extremos de la línea se colocarán cabezas de flechas rellenas en negro acompañados de un número arábigo que servirá para la identificación de la sección en el plano correspondiente.

La numeración se hará horizontalmente de izquierda a derecha y verticalmente de arriba hacia abajo, como se puede ver en los ejemplos de la figura 2.38.


Figura 2.38b

Figura 2.38a

Radio de compás. Es la abertura que hay entre las dos piernas y puntas del compás. El compás lo em pleamos para trazar: a) b) c) d) e)

Circunferencias Arco de circunferencias Tomar la medida de líneas Tomar la medida de ángulos Trasladar medidas de líneas, ángulos o partes de una pieza mecánica.

Planta

Elevación A-A Figura 2.38c

Figura 2.39

Términos geométricos más usados en problemas geométricos Con el propósito de facilitar la comprensión en la explicación de los diferentes problemas geométricos, analizaré algunos de los términos más usados en la mayoría de los problemas y los pasos a seguir en su desarrollo; estos términos están en función de la geometría básica (bidimensional) y también de los instrumentos o equipo de dibujo empleado.

Arco de circunferencia. El trazo de una parte de una circunferencia, le llamamos arco de circunferencia. Uso del compás y la escuadra. El compás y la escuadra son básicos para la elaboración de los problemas geométricos; tanto para el trazo de arcos de circunferencia, circunferencias o segmentos de recta en diferentes posiciones. Uso del arco de circunferencia. En la mayoría de los trazos para construir o resolver una figura geométrica requerimos de trazos con el compás llamados arcos de circunferencias dado que son parte de una circunferencia.


arco de circunferencia en la posición y tamaño que el dibujante quiera elaborarlo. 2. En dos partes iguales es el resultado buscado.

Figura 2.40

♦ ♦

Líneas. Éstas pueden ser rectas o curvas. Segmento de una línea. Como una línea tiende al infinito lo que usamos normalmente es una parte de ella, que llamamos segmento y puede ser de línea recta o curva.

Cómo interpretar el enunciado de un problema geométrico Es muy importante comprender el significado de lo que nos enuncia un problema geométrico porque así estaremos en posibilidad de entender con facilidad el propósito y el procedimiento, y lo que buscamos en todo problema geométrico, para ello se tiene necesidad de dividir en dos partes el texto de cada problema. 1. La parte donde nos indica los datos del problema, que el dibujante traza en el tamaño y posición que se adecúe al espacio de la hoja donde va a dibujar. 2. La parte donde nos indica lo que se quiere encontrar (solución) en el problema. Para entender mejor estos puntos analizaremos a continuación los enunciados de dos problemas geométricos:

Problema 1.1 Dividir una recta o arco de circunferencia en dos partes iguales Análisis del enunciado: 1. Dividir a una recta o arco de circunferencia. Nos está indicando que tenemos como dato una recta y un

Otro elemento que permitirá identificar los datos y el resultado será el grueso y el tipo de línea empleado en el dibujo. Línea delgada. Datos del problema. Línea punteada. Procedimiento del problema. Línea un poco gruesa. Solución del problema.

Problema 5.10 Dado un círculo, inscríbale un dodecágono Análisis del enunciado: 1. Dado un círculo. Indica que se tiene un círculo como dato. 2. Inscríbale un dodecágono. Es el resultado o figura geométrica que se va a construir, siguiendo los pasos indicados en su procedimiento de construcción del problema geométrico.


Nomenclatura y recomendaciones para la solución de los problemas geométricos En los problemas que a continuación se van a resolver, el enunciado de cada uno de ellos se va a representar con

letras cursivas, y en mayúsculas las letras que se usen en cada problema. Los problemas que hay que resolver y memorizar debido a que son básicos en la construcción de todos los demás, serán indicados con un asterisco ( * ) a un lado del número. Cuando se requiera un conocimiento nuevo de geo metría para solucionar un problema se iniciará el tema con la teoría correspondiente.

ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER 2.1

Cuaderno de trabajo Lee con cuidado cada una de las preguntas, reflexiona, piensa y contesta correctamente. Si por alguna razón no recuerdas o no posees el conocimiento, estudia la información técnica y científica que se encuentra en tu libro. 1. ¿Qué importancia tienen los instrumentos geométricos? 2. ¿Consideras posible dibujar sin instrumentos geométricos apropiados? ¿Por qué? 3. ¿Qué instrumentos geométricos sabes emplear? 4. ¿Para qué nos sirve un restirador? 5. ¿Qué posición debe tener el restirador con respecto a la luz? 6. ¿Cómo debes mover la regla T en el restirador? 7. ¿Cómo debes mover las escuadras sobre la regla T? 8. ¿Qué ángulo de inclinación le puedes dar al trazo de líneas al combinar las escuadras? 9. ¿Qué se recomienda para usar el compás con eficiencia? 10. ¿Cuál es el compás de vara y cuándo lo debemos usar? 1 1 . ¿Qué pasa si no fijamos bien el papel? 12. ¿Para entintar qué recomendaciones se aconsejan? 13. ¿Cómo debes usar las plantillas de curvas? 14. ¿Qué es un grafo? 15. ¿Cuál es la diferencia entre un grafo y un estilógrafo? 16. ¿Qué ventajas o desventajas se tienen al usar un estilógrafo con respecto a un grafo? 17. Escribe las recomendaciones básicas antes de dibujar. 18. ¿A qué reglas de higiene del dibujo te debes apegar?


2.2 Usa tu imaginación y creatividad Elabora una mesa de dibujo abatible en tu casa. En tu libro de dibujo se sugiere elaborar un restirador abatible empotrado al muro, puedes colocarlo en tu recámara y ocupa poco espacio; además, es muy económico. Procura que tu restirador esté ubicado en un lugar donde tenga buena iluminación y ventilación. 2.3

Investigación ♦ Investiga el desarrollo que se ha tenido en los instrumentos para entintar. ♦ Investiga el proceso de desarrollo de las mesas para dibujar. ♦ Investiga la nueva tecnología de las mesas de dibujo modernas (con pantalla).

2.4

Prácticas para el taller de dibujo Dibuja una serie de láminas donde se practique el trazo de: ♦ ♦ ♦ ♦

Líneas rectas y curvas a lápiz y a tinta. Abecedario mayúsculo, minúsculo y números a mano libre y con plantilla. Problemas geométricos (trazo a lápiz y a tinta China). Problemas de perspectiva, etcétera.

Construcción y trazo de líneas perpendiculares, paralelas, ángulos, triángulos y cuadriláteros

Objetivos

particulares

Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de: Conocer y aplicar la técnica del dibujo geométrico para trazar el dibujo de líneas perpen diculares, paralelas, ángulos, triángulos y cuadriláteros.

Objetivos

específicos

Comprender la geometría básica de este tema. Manejar con habilidad sus instrumentos geométricos. Conocer la aplicación de estas formas geométricas a otros problemas geométricos y a otros campos de la tecnología. Aplicar con eficacia la metodología propuesta para cada problema geométrico. Trazar con precisión técnica los dibujos propuestos en esta unidad.

Introducción Al abordar esta unidad se da inicio a la construcción y trazo de la geometría plana, pronto los alumnos se da rán cuenta de que el trazo de todas las figuras geo métricas con dimensiones regulares no son difíciles de dibujar; en gran medida podemos resolver los proble mas geométricos apegándonos a la metodología pro puesta y empleando los instrumentos geométricos como el compás, las escuadras, la regla T, etcétera.

En esta unidad se dará la metodología básica para dibujar rectas paralelas y perpendiculares, án gulos, triángulos y cuadriláteros. Muchos de los procedimientos empleados en este tipo de figuras geométricas servirán de base para construir otras figuras como polígonos, tangencia y empalme entre circunferencias y rectas, curvas pla nas abiertas, cerradas y cónicas.

CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

Conceptos geométricos básicos 1.

Un punto P se puede considerar como la descripción gráfica que carece de dimensión, porque no tiene ni largo ni ancho ni grueso.

2.

La sucesión de puntos genera una línea y ésta puede ser curva o recta.

De acuerdo a su forma, posición o combinación entre ellas, las líneas se clasifican de diferentes formas. 5.

Por su forma la línea puede ser: a) Recta, Por lo antes mencionado. b) Curva. Por lo antes mencionado. c) Quebrada. Combinación de dos o más líneas rectas en diferentes posiciones.

d) Mixta. Combinación de una línea recta y una curva. 3. Si los puntos tienen la misma dirección, la línea es recta. NOTA: Como la dimensión de una línea recta es infinita, lo que representamos es una parte de ella llamado segmento de recta, pero por costumbre se omite la palabra segmento.

6.

Por su posición pueden clasificarse como: a) Vertical. Es la que está en posición contraria a la horizontal.

4.

Si la sucesión de puntos no tiene la misma dirección de líneas curva u ondulada. b) Horizontal. Es la que tiene la misma posición del horizonte.


c) Inclinada. Es la que tiene una posición diferente a la horizontal y vertical.

d) Transversales. Son las que al cortarse forman entre sí ángulos mayores y menores de 90°.

8. 7.

Por la combinación de varias rectas se clasifican en:

Se entiende por circunferencia a la línea curva cerrada cuyo centro es equidistante a cualquier punto de la circunferencia.

a) Perpendiculares. Son las rectas que forman entre sí un ángulo recto de 90°.

9. El arco de la circunferencia, es una parte de la misma, pudiendo ser de diferente tamaño. b) Paralelas. Son aquellas en que la distancia que las separa es la misma.

NOTA: Para la resolución de casi la totalidad de los problemas geométricos vamos a usar el compás, y a su vez describiremos varios pasos geométricos por medio de arcos de circunferencia.

c) Convergentes y divergentes. Son aquellas en que por un lado se aproximan (convergentes) y por otro se van separando (divergentes).

Problema 1.1 Dividir a una recta o arco de circunferencia en dos partes iguales*


Construcción 1. Trace la recta AB o el arco SP, los cuales va a dividir en dos partes iguales. 2. Haga centro en los extremos de la recta AB y el arco SP con un radio en el compás, mayor que la mitad de la recta o el arco, y trace arcos de circunferencia arriba y abajo. 3. Éstos se cortan en un punto arriba y abajo llamados L y M, por los cuales trazamos una recta que divida en dos partes iguales a la recta y al arco de circunferencia.

NOTA: Se llama radio del compás a la abertura de éste, ya que su separación es la medida del radio de la circunferencia que se va a trazar.

NOTA: En el caso de la recta, además de ser dividida en dos partes iguales, es perpendicular a la recta encontrada.

Problema 1.3 Trazar una perpendicular por el extremo de una recta* Construcción 1. Trace la recta SP del tamaño que sea proporcional al espacio donde se va a dibujar. 2. Haga centro en el punto extremo S, donde se quiere levantar la perpendicular con un radio cualquiera y describa un arco de circunferencia, éste corta a la recta SP en el punto L. 3. Con el mismo radio haga centro en el punto L y corte el arco en el punto A. 4. Vuelva a hacer centro en A y con el mismo radio, trace un arco que corte al mismo arco en E. 5. Ahora haga centro en A y E, y con el mismo radio trace dos arcos que al cortarse nos dé el punto M buscado, por MS hacemos pasar la recta que es la perpendicular buscada.

Problema 1.2 Por un punto dado en una recta, trazar una perpendicular a ella*

Construcción 1. Trace la recta AB y haciendo centro en el punto dado S y con un radio cualquiera, trace dos arcos que corten a la recta AB en los puntos llamados R y M. 2. Haciendo centro en R y M, describa dos arcos que se corten en L. 3. Trace por L y S la recta buscada que es perpendicular a la primera.


Problema 1.4

4. Este punto M y S nos dan la perpendicular buscada.

Segundo procedimiento del caso anterior* Construcción 1. Trace una línea recta SP del tamaño proporcional al espacio donde se va a dibujar. 2. Ubique un punto L próximo al extremo de la recta donde se quiere describir la perpendicular. 3. Con un radio igual a la distancia LP describa un arco de circunferencia que corte a la recta SP en un punto Q. 4. El punto Q con L nos sirven de referencia para trazar una recta que corte al arco de circunferencia en un punto llamado R. 5. El punto R y el P nos dan la posición para trazar la perpendicular en el extremo de esa recta.

NOTA: Es conveniente que los alumnos al hacer la práctica del ejercicio lo hagan en cualquiera otra posición diferente a la del texto. Esto permitirá mayor seguridad y probarán haber comprendido el procedimiento de construcción.

Problema 1.6 Segundo caso: cuando la perpendicular va a quedar cerca del extremo de la recta dada* Construcción 1. Trace una recta dada SP y el punto fuera de ella L. 2. Trace un punto / sobre la recta SP y en posición contraria al punto P. 3. Haga centro en / y abra el compás con un radio IL; describa un arco que corte a la recta SP en un punto E. 4. Con un radio igual a la distancia EL haga centro en E y corte en la parte inferior del arco, en el punto llamado D; por L y D tenemos la perpendicular buscada fuera de una recta.

Problema 1.5 Trazar una perpendicular a una recta, por un punto dado fuera de ella*

Construcción 1. Trácese la línea AB. 2. Haga centro en el punto S fuera de la recta, abriendo el compás en un radio poco mayor de la distancia del punto a la recta, y trace un arco, que corte a la recta en dos puntos llamados Q y L. 3. Haga centro con el compás en Q y L y con un radio mayor o menor trace dos arcos que corten en un punto M.


Problema 1.7

Problema 1.9

Por un punto H fuera de una recta, trazar una paralela a la recta dada*

Trazar una paralela a una recta dada y a una distancia requerida*

Construcción 1. Se da el punto H fuera de la recta AB. 2. Se hace centro en H y con un radio cualquiera se traza un arco que corta la recta AB en el punto D, con el mismo radio y haciendo centro en D trazamos un arco que corta a la recta AB en E, y contiene a H. 3. Hacemos centro en D y con un radio igual a EH cortamos al arco en el punto F. 4. El punto H y F nos da la posición de la paralela.

Construcción 1. En la recta dada AB, se dan dos puntos M y N e n cualquier posición de la misma. 2. Se hace centro en M y N, se describen dos arcos en cada caso, que cortan a la recta dada. 3. Se hace centro en cada uno de ellos con cualquier radio y se trazan dos arcos; al cortarse lo hace uno en el punto Z y otro en el punto P. 4. Con los puntos dados en la recta y con los encontrados, podemos trazar dos perpendiculares indefinidas. 5. Medimos la distancia requerida en las dos perpendiculares, indicando con dos puntos R y Q la posición a la recta paralela buscada.

Problema 1.8 Trazar una paralela a otra recta dada, sin importar la distancia que las separe* Construcción 1. Se traza la recta LM con un punto intermedio J. 2. Se hace centro en J y se traza con un radio cualquiera, un arco de circunferencia que corta a la recta dada en dos puntos R y S. 3. Se hace centro en R y S con el mismo radio o con cualquier otro se trazan dos arcos que cortan al primero en dos puntos A y B.

Trazo de ángulos y bisectrices 1. Se entiende por ángulo la abertura que hay entre dos rectas que concurren a un mismo punto llamado vértice.

4. Se unen los puntos A y B por medio de una recta, paralela a la primera.

2. La dimensión o abertura de los ángulos no depende del tamaño de las rectas que la forman, sino de la abertura


que hay entre ellas, A= B. Los lados de los ángulos son diferentes pero sus ángulos son iguales.

3. Se entiende por bisectriz a la recta que divide en dos partes iguales a un ángulo.

6. Ángulo obtuso es aquel que mide más de 90° y menos de 180°.

7. Ángulo colineal es aquel que mide 180° exactos.

Clasificamos los ángulos de acuerdo con su abertura en: agudos, rectos, obtusos, colineal o llano, entrante, perígono o de vuelta completa.

8. Ángulo entrante es aquel que mide más de 180° y menos de 360°.

Bisectriz

4. Ángulo agudo es aquel que mide menos de 90°. 9. Ángulo perígono es aquel que mide 360° exactos, o sea, una vuelta completa.

5. Ángulo recto es aquel que mide 90° exactos.

10. Cuando la suma de dos o más ángulos es igual a 90° se dice de ellos que son complementarios.


11. Cuando la suma de dos o más ángulos es igual a 180°, se dice que son suplementarios.

dan el punto por donde debe pasar la recta del ángulo trasladado.

Problema 2.2 Sume varios ángulos conocidos* Construcción Figura 3.1.

Problemas geométricos de ángulos Problema 2.1 Traslade el ángulo a una recta dada

Construcción 1. Trazamos primero el ángulo A que vamos a trasladar a la recta LM. 2. En un punto A de la recta hacemos centro y trazamos un arco. 3. Con ese mismo radio del compás hacemos centro en el vértice A del ángulo y trazamos otro arco similar al anterior. 4. Abrimos nuestro compás y medimos la abertura del arco del ángulo . 5. Trasladamos ese arco del compás, al arco de la recta LM, el punto C donde se cortan los dos arcos nos

1. Trazamos los ángulos 1, 2, 3 y 4 que vamos a sumar y la recta SP sobre la cual vamos a efectuar la suma. 2. Con el mismo radio del compás, trazamos los arcos de circunferencia de los cuatro ángulos y el de la recta en el punto B. 3. Trasladamos las diferentes aberturas del compás, correspondientes a los ángulos dados, al arco de circunferencias trazadas en la recta dada. 4. Haciendo centros sucesivos, en cada corte de los arcos de circunferencia de izquierda a derecha, logramos obtener un arco total, que es igual a la suma de todos los demás ángulos.


3.

Hacemos ahora centro en A y B y con el mismo radio descubrimos dos arcos que se cortan en el punto R.

4.

Los puntos M y R nos dan la posición de la bisectriz.

Problema 2.3 Restar dos ángulos dados* Construcción 1. Trace la recta SP sobre la cual se van a restar los dos ángulos dados. 2.

3.

Describa primero el ángulo mayor 1, sobre el cual se va a trasladar la abertura del ángulo menor 2, haciendo centro en L de derecha a izquierda, trazamos el arco M correspondiente a la abertura del ángulo menor. Pasamos una recta por M, corte de los dos arcos, el ángulo formado por Q a la izquierda es la diferencia de los dos ángulos dados.

Problema 2.5 Dividir un ángulo en cuatro partes iguales Construcción 1. Si LPR es el ángulo que hay que dividir. 2.

Se siguen los mismos pasos del problema anterior, obteniendo con ello la división del ángulo en dos partes.

3.

Si G es el punto donde el arco y la bisectriz se cortan, éste nos servirá para hacer centro, como también A y B.

4.

Con el mismo radio trazamos arcos de circunferencia que al cortarse nos dan dos puntos, D y F, por los cuales deben pasar las bisectrices que a la vez dividen el ángulo en cuatro partes iguales.

Problema 2.4 Trazar la bisectriz de un ángulo dado o sea dividirlo en dos partes iguales* Construcción 1. Sea LMS el ángulo cuya bisectriz se desea trazar. 2. Haciendo centro en M y con un radio conveniente, descríbase un arco que corta los dos lados del ángulo en los puntos A y B.

NOTA: Siguiendo estos mismos pasos podemos dividir un ángulo en el número de lados pares que se quieran.


Problema 2.6 Trisección de un ángulo recto Construcción 1. Dado el ángulo recto SRP. 2. Hacer centro en R con un arco de radio conveniente, donde el arco corta a las dos rectas en L y N. 3. Con el mismo radio se hace centro en L y N, se trazan otros dos arcos que al cortarse con el primero nos dan dos puntos A y B por donde pasarán las rectas que van a dividir el ángulo en tres partes o ángulos iguales.

Problema 2.8 Segundo caso del problema anterior Construcción 1. Trácense dos rectas no paralelas AB y CD, a cierta inclinación. 2. Describa un punto en cada recta F y G con cierta separación y haga centro en ellos con un radio igual a dicha separación, trazando dos arcos que se cortan en H' y L, y a la vez cortan a las rectas en P y H. 3. A su vez hacemos centro en P y H trazando dos arcos que se cortan en M y N.

Problema 2.7 Trazar la bisectriz de dos rectas concurrentes a un punto Construcción 1. Sea DM y AL las dos rectas concurrentes. 2. Describa una línea vertical que corte a las dos rectas anteriores en SC. 3. Haga centro en S y C y con un radio conveniente, trace dos arcos que se corten: el primero en Q, T, G, y el segundo en R, P, N. 4. Con el mismo radio y haciendo centro en Q y T, T y G, R y P y P y N, describimos arcos que se cortan en cuatro puntos E, F, O y H. 5. Trace cuatro rectas que pasen por los siguientes puntos: S y E, S y F, C y O, C y H, éstas se cortan en otros dos puntos K y K' que son por los cuales hacemos pasar la bisectriz.

4. Unimos los dos cortes de cada uno de los arcos por una recta; al cortarse ambas, lo hacen en el punto O. Con centro en O describimos un arco que corta a las dos rectas en R y S. 5. Con centro en R y S trazamos dos arcos que al cortarse nos dan el punto O', por O y O' pasa la bisectriz.


Problema 2.9 Cómo obtener diferentes ángulos a partir de los ángulos de 15°, 30°, 45°, 60° Para poder obtener ángulos de diferentes dimensiones en base a los antes mencionados, se requiere efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación o división, además de aplicar varios de los métodos usados para dividir ángulos.

2. Los triángulos los clasificamos: A. Por sus lados. a) Equiláteros. Tienen los tres lados iguales.

Construcción 1. Se sugiere trazar primero un ángulo recto LOR. 2. Encontrar un ángulo de 15°, 45°, 67°, 30°, 75°, 105°, 135°. 3. Por los métodos antes explicados encontramos primero el de 45°, por la bisectriz del ángulo recto.

M

N

b) Isósceles. Tienen dos lados iguales y uno diferente.

4. Dividimos el ángulo en tres partes y obtenemos ángulos de 30°, al bisectarlo obtenemos el de 15°. 5. Con la abertura del compás igual al de 15°, le restamos a 90° y nos da el de 75°, bisectamos el de 30° próximo al de 90°. 6. El ángulo de 67°30' es igual al radio de 45° + 22°30' = 67°30'. Los de 22°30' vienen siendo la mitad del de 45°.

c) Escalenos. Tienen los tres lados desiguales.

7. El ángulo de 105° lo obtenemos al agregarle 90° + 15° = 105° o también haciendo centro en el punto donde se corta el arco de circunferencia con la bisectriz del ángulo recto y trazando el otro arco hacia afuera. 8. Al sumarle a la abertura del de 30° nos da el ángulo de 135°.

Trazo de triángulos 1. Se entiende por triángulo a las figuras geométricas planas que tienen tres lados y tres ángulos.

B. Por sus ángulos: a) Acutángulos. Los que tienen tres ángulos agudos.

CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LINEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

b) Rectángulo. Es el que tiene un ángulo recto.

Problemas geométricos de triángulos Problema 3.1 Dado el lado de un triángulo equilátero, construir el triángulo* Construcción 1. Sea AB el lado dado; se ubica como base. 2.

Se hace centro en A y B; con un radio igual a AB trace dos arcos que se corten en C.

3.

Uniendo AC y BC nos da el triángulo buscado.

c) Obtusángulo. Es el que tiene un ángulo obtuso.

3.

El triángulo rectángulo es el único que a sus dos lados más pequeños se les llaman catetos y al más grande hipotenusa.

Problema 3.2 Trazar un triángulo isósceles, dada su altura

Construcción

Cateto

4. La suma total de los ángulos de cualquier triángulo será siempre igual a 180°. Para definir un triángulo se requieren tres datos, aunque en algunos casos uno o dos de ellos pueden ser suplidos por las propiedades de los mismos. Así, el triángulo isósceles o el rectángulo requieren dos datos solamente, mientras que el equilátero o rectángulo isósceles quedará concreto con un dato únicamente.

1. Si LM es la altura dada. 2. Trace dos rectas paralelas SM y TD perpendiculares a la recta LM. 3. Haciendo centro en L con un radio conveniente, trace un arco que corte a la recta en los puntos A y B. 4. Haciendo centro en A y B y con el mismo radio corte el arco antes trazado en los punto H e I. 5. Los lados buscados nos los dan las posiciones de los puntos H e I que al prolongarse cortan a la otra recta en R y Q, quedando determinados los tres lados.


Conceptos básicos con respecto al triángulo rectángulo La suma interior de los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180°. El triángulo rectángulo recibe ese nombre por tener un ángulo recto, que es igual a 90°; por lo tanto, la suma de los otros dos ángulos agudos también es de 90°. Con esto podemos calcular fácilmente el valor de un ángulo agudo desconocido, efectuando una simple diferencia de ángulos. La nomenclatura que se usa para determinar los lados y ángulos de un triángulo es la siguiente:

2. La unión de los extremos de los dos catetos nos da la hipotenusa desconocida CB.

A. Los ángulos se representan con letras mayúsculas. B. Los lados reciben el nombre de la letra del ángulo opuesto, pero se representa con letras minúsculas. C. En un triángulo rectángulo la hipotenusa está siempre frente al ángulo recto, además lo identificamos porque es el lado de mayor tamaño.

Problema 3.4 Dada la hipotenusa y un cateto trazar un triángulo rectángulo

Construcción 1. Trazamos del centro L de la hipotenusa BC un arco que vaya a los extremos del mismo. 2. Con un radio igual al cateto AC, hacemos centro en C y cortamos con un arco al anterior en A. 3. El lado desconocido es la distancia BA.

Problema 3.3 Trazar un triángulo rectángulo dados los dos catetos Construcción 1. Trazar los dos catetos dados, AB y AC, perpendiculares entre sí, ya que éstos siempre concurrirán al vértice del ángulo recto en posición perpendicular.

Problema 3.5 Dado un cateto y su ángulo agudo contiguo, trazar un triángulo rectángulo 1. Se traza el cateto AB con su ángulo agudo contiguo B, trasladándolo a la recta. 2. Como el otro cateto AC debe ser perpendicular al lada dado, lo hacemos con una línea indefinida.


3. La hipotenusa la trazamos de acuerdo a la inclinación del ángulo dado. 4. Éstos al cortarse determinan el tamaño C que deben tener AC y CB.

Problema 3.6 Dada ¡a hipotenusa y uno de los ángulos agudos, trazar un triángulo rectángulo* Construcción 1. Del centro de la hipotenusa BC se traza una semicircunferencia; se traslada el ángulo C a su extremo correspondiente, haciendo partir una recta CA que pase por ese ángulo y la limite el arco. 2. Al unir AB nos da el tamaño correcto de los catetos desconocidos.

Problema 3.6 Dada la hipotenusa y uno de los ángulos agudos, trazar un triángulo rectángulo Construcción 1. Del centro de la hipotenusa BC se traza una semicircunferencia; se traslada el ángulo C a su extremo correspondiente, haciendo partir una recta CA que pase por ese ángulo y la limite el arco. 2. Al unir AB nos da el tamaño correcto de los catetos desconocidos. 3. La hipotenusa la trazamos de acuerdo a la inclinación del ángulo dado. 4. Éstos al cortarse determinan el tamaño C que deben tener AC y CB.

Problema 3.7 Dados los tres lados de un triángulo, trácelo 1. Trazamos el lado más grande AB. 2. Hacemos centro en los extremos del lado AB y un radio igual al de cada uno de los otros dos lados AC y CB conocidos; trazamos un arco que al cortarse entre sí nos da el punto C, que debemos unir con los otros dos. 3. Al unirse los tres puntos nos da el triángulo buscado.


Problema 3.8 Trazar un triángulo conociendo uno de sus lados y dos ángulos adyacentes. 1. Trazamos el lado AB con sus dos ángulos adyacentes α y β. 2.

Trazamos cada uno de los lados con la inclinación de los ángulos adyacentes hasta lograr que se corten entre sí.

3. Así obtenemos el triángulo y la dimensión de sus lados desconocidos AC y CB.

Trazo de cuadriláteros, conceptos generales 1.

Los cuadriláteros son las figuras planas cerradas que tienen cuatro lados y cuatro ángulos.

2.

Éstos pueden ser regulares o irregulares.

3.

Los cuadriláteros regulares son aquellos que tienen los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales, o sus lados y ángulos opuestos iguales.

Problema 3.9 Trazar un triángulo conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman Construcción 1. Se trazan los lados AB y AC, con el ángulo α que forman entre sí. 2.

Unimos BC y obtenemos el lado desconocido completándose el triángulo correspondiente.


4. Los cuadriláteros irregulares son los que tienen sus lados o ángulos diferentes.

c) Romboide. Lados opuestos iguales de dos en dos; y ángulos agudos iguales y dos obtusos iguales.

5. La diagonal LS de una figura plana cerrada es la recta que une a dos vértices opuestos y divide a la figura en dos partes iguales.

Rectángulo. Lados opuestos iguales de dos en dos; sus cuatro ángulos son rectos.

Los cuadriláteros los dividimos en tres grandes grupos: a) Cuadrado. Los cuatro lados iguales; los cuatro ángulos rectos. Paralelogramos. Tienen sus lados opuestos paralelos.

b) Rombo. Los cuatro lados iguales y sus ángulos opuestos iguales.


Construcción

Trapecios. Solamente tienen dos lados paralelos.

1. Sea la diagonal LD dada como dato. 2.

De acuerdo al método antes explicado, se traza la otra diagonal MN en forma perpendicular y al centro de la otra.

3.

Una los cuatro puntos y obtendrá el cuadrado buscado.

Trapezoides. No tienen lados paralelos.

Problemas geométricos de cuadriláteros Problema 4.1 Dado un lado trazar un cuadrado* Construcción

Problema 4.3 Dados dos lados y el ángulo que forman trazar un paralelogramo Construcción 1. Sean los dos lados AB y AC y el ángulo B los dados como datos. 2.

Se trazan los dos lados con el ángulo dado. (Véase el problema 2.1 que explica el procedimiento.)

1. Sea el lado AB, dado como dato. 2.

Por B trazamos una perpendicular (método 1.3) del tamaño de la recta dada llamada BC.

3.

Haciendo centro en 8 y en C, en cada caso con un radio igual a los lados AB y AC.

3.

Se hace centro en C y A, con un mismo radio de la recta dada; córtense en un punto llamado D; obteniéndose el cuadrado.

4.

Se trazan dos arcos que se cortan en un punto llamado D, que al unirlos nos da el cuadrilátero.

Problema 4.2 Dada una de sus diagonales trazar un cuadrado


Problema 4.4 Dada la diagonal menor o mayor y un lado, trazar un rombo Construcción 1. Sea AB la diagonal menor y AC el lado dado. 2. Con un radio igual al lado, se hace centro a cada extremo de la diagonal. 3. Éstos, al cortarse, nos dan dos puntos C y D y al unirlos obtenemos el rombo.

Problema 4.6 Dada la base mayor con el lado que forma un ángulo agudo y el valor de dicho ángulo, trazar un trapecio rectangular Construcción 1. Sea AL la base mayor, LM el lado y L el ángulo agudo formado entre ambos lados. 2. Por el extremo A trazamos una perpendicular y por M una paralela a la base mayor con un tamaño a discreción. 3. Al cortarse en S, éstas nos dan el tamaño exacto de los dos lados desconocidos, obteniendo el trapecio.

Problema 4.5 Dadas sus dos diagonales y uno de sus ángulos que forman, trazar un paralelogramo Construcción 1. Sean las diagonales SP y QR y el ángulo agudo los datos dados. 2. Trazamos las diagonales con el ángulo agudo que forman por su parte media. 3. Unimos los extremos de las diagonales obteniendo la figura buscada.


Cuaderno de trabajo Lee detenidamente cada una de las preguntas, piensa, reflexiona y contesta correctamente, si no recuerdas lo que se te pregunta, investiga en tu libro de dibujo o en otros libros. 1. ¿Qué entiendes por líneas perpendiculares entre sí?


2. ¿Consideras que es importante el conocimiento de la geometría para resolver un problema geométrico? ¿Por qué? 3. ¿Cuáles son las cuatro recomendaciones que se proponen para resolver un problema?

b). c).

4. ¿Cuáles son los seis términos técnicos de mayor uso en un problema geométrico y cuál es su significado? a) b) c) d) e)

f) 5. En el enunciado de un problema están implícitos dos elementos que nos indican:

2.6 Trisección de un ángulo recto. a) b)

1.8 Trazar una paralela a otra recta dada sin importar la distancia que las separe. α) b) 7. ¿Qué entiendes por arco de circunferencia? 8. ¿Cuál es el tamaño o dimensión con los que se tiene que dibujar una figura geométrica? 9. ¿Cómo trasladas medidas de líneas y ángulos? 10. ¿Qué ángulo forman dos líneas perpendiculares entre sí? 1 1 . ¿Cómo se llama a la abertura que hay entre las dos piernas del compás? 12. ¿Cómo se genera un ángulo? 1 3 . Dibuja y escribe las propiedades de los siguientes ángulos:

Agudo Recto Colineal


♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Obtuso Perígono Complementario Suplementario Bisectriz

3.2 Usa tu imaginación y creatividad Analiza, nombra y dibuja las formas geométricas de tu aula e identifica las líneas o planos que sean: ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Paralelos Perpendiculares Inclinados Ángulos rectos Ángulos agudos Otros

Dibuja a mano alzada la fachada de una iglesia o una catedral e identifica y dibuja separadamente las diferentes formas geométricas que aparecen en ella, además, señala los ángulos que tienen integrados estas figuras geométricas. 3.3 Investigación Investiga en una enciclopedia las características arquitectónicas, geométricas y técnicas de las pirámides construidas en el mundo y de qué manera colaboró el dibujo geométrico en su construcción. ♦ ♦ ♦ ♦

Pirámides egipcias Pirámides mexicanas Pirámides del Perú Otras

3.4 Prácticas para el taller de dibujo Consultando la metodología, resolver los problemas geométricos y dibujarlos en hojas tamaño carta divididas en cuatro partes, para ubicar en cada una un problema diferente; a su vez, darle espacio para los márgenes y los letreros que identifiquen cada problema. En su primera etapa, dibujar las láminas a lápiz y los letreros a mano libre. En la segunda etapa, y después de haber sido aprobado el dibujo, elaborarlos a tinta china y rotularlos con plantilla.

Construcción y trazo de

polígonos inscritos, estrellados y con base a uno de sus lados

Objetivos

particulares

Al termino de la presente unidad, el alumno será capaz de: Conocer y aplicar con efectividad la técnica de construcción y trazo de diferentes tipos de polígonos regulares. Objetivos

específicos

Conocer las bases de la geometría plana respecto a este tema. Manejar con eficiencia los instrumentos para dibujo geométrico. Comprender la metodología propuesta para la solución de los problemas geométricos de polígonos regulares inscritos en una circunferencia, estrellados, y con base en uno de sus lados. Trazar con eficiencia el dibujo de estos problemas geométricos. Se apegará a las normas de higiene y seguridad del dibujo. Conservar eficientemente sus instrumentos geométricos.

Introducción Para la elaboración de las figuras geométricas pla nas llamadas polígonos hay varios métodos parti culares. Uno de ellos es a partir de una circunferen cia, que se divide de acuerdo a los lados que el polígono regular requiere. En otro método, se deri va el polígono a partir de un solo lado conocido.

Además, existen métodos generales para obtener polígonos de n lados. Para resolver cada uno de estos casos se propo ne en este libro una metodología sencilla y rápida que ayudará al estudiante a comprender y trazar este tipo de problemas geométricos.

CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE POLÍGONOS INSCRITOS, ESTRELLADOS Y CON BASE A UNO DE SUS LADOS

Trazo de polígonos inscritos

b) Convexos. Cuando todos sus vértices están hacia fuera.

Conceptos fundamentales 1. La palabra polígono significa "muchos ángulos" y con ella se describen todas las figuras planas limitadas por tres o más líneas rectas y tres o más ángulos. 2. Los hay de tres, cuatro, 15, 20 o 100 lados. Así hasta llegar al que tiene un número tan grande de lados que se convierte prácticamente en un círculo. 3. La línea que limita a un círculo se llama circunferencia. 4. Toda moneda o rueda es circular; su superficie está encerrada por una circunferencia formando un círculo. 5. La recta que pasa por el centro del círculo y une dos puntos de la circunferencia se llama diámetro; si no pasa por el centro del círculo se le llama cuerda y si parte del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

c) Cerrados. Son aquellos en que ninguno de sus vértices están abiertos.

Secante

d) Abiertos. En uno de sus vértices está abierto. Diámetro

Cuerda Arco

6. Los polígonos pueden ser: a) Cóncavos. Son aquellos en que uno o más de sus vértices están hacia adentro. e) Regulares. Todos sus lados y ángulos son iguales. C


/) Irregulares. Uno o más de sus lados y ángulos pueden ser diferentes.

Problemas geométricos de división de circunferencias Problema 5.1 Hallar el centro de una circunferencia dado un arco y su radio* Construcción 1. Si LM es el arco y SP el radio dado.

También pueden estar: a) Inscritos: trazado dentro de la circunferencia. Cuando los vértices de un polígono están en una circunferencia se dice que ese polígono está inscrito.

b) Circunscritos: trazado alrededor de la circunferencia. Cuando la circunferencia está dentro del polígono.

2. Se hace centro en los puntos L y M, con un radio SP. 3. Se cortan los dos radios en un punto O, que es el centro buscado.

Problema 5.2 Dado un círculo, trácelo con plantilla y encuentre el centro de éste. 1. Sea el círculo el dato dado. 2. Trace el diámetro AB en posición horizontal. 3. Haga centro en A y trace un arco de circunferencia que pase por el centro. 4. Haga centro en B y trace otro arco de circunferencia que pase por el centro y corte el otro arco en el punto O que es el centro del círculo.

8. Los polígonos reciben su nombre de acuerdo al número de lados y ángulos que tienen y son: de tres, triángulo; cuatro, cuadrado; cinco, pentágono; seis, hexágono; siete, heptágono; ocho, octágono; nueve, eneágono; diez, decágono, etcétera.


Problema 5.3

Problema 5.5

Dado un círculo, inscribirle un triángulo

Dado un círculo inscríbale un pentágono

Construcción 1. Sea el círculo de centro O el dato dado. 2. Trace un diámetro AB en posición vertical. 3. Haga centro en A y trace un semicírculo que corte a la circunferencia en SP. 4. Una los puntos B, S y P y obtendremos el triángulo buscado.

Construcción 1. Trace un círculo de centro O. 2. Trace dos diámetros AB y CD perpendiculares. 3. Divida el radio DO a la mitad y obtendrá el punto F; haga centro en F con un radio AF. Baje un arco que cortará al radio CO en un punto G. 4. Con un radio AG y centro en A, suba un arco que corte a la circunferencia en L. 5. Lleve consecutivamente sobre la circunferencia un radio AL, hasta completar el pentágono.

Problema 5.4 Inscribir un cuadrado a un círculo dado Construcción 1. Dado el círculo de centro O. 2. Trácense dos diámetros perpendiculares entre sí: LM y SP. 3. Una los cuatro extremos LM y SP y obtendrá el cuadrado buscado.

Problema 5.6 Dado un círculo, inscríbale un hexágono Construcción 1. Sea el círculo de centro O el dato dado. 2. Abra su compás a la abertura del radio de ese círculo. 3. Trace sobre la circunferencia seis veces el arco del radio del compás, iniciándolo en el lugar que más le convenga. 4. Una los puntos y obtendrá un hexágono.


Problema 5.8 Dado un círculo, inscríbale un heptágono Construcción 1. Sea el círculo del centro O el dato dado. 2. Se traza un diámetro LM. 3. Haciendo centro en L y con un radio OM, se traza un arco que corta a la circunferencia en dos puntos RQ; los unimos con una recta que cortará el diámetro en A. 4. La distancia de AR o AQ es la séptima parte del heptágono buscado, descríbalo siete veces y una los puntos dados y obtendremos la figura.

Problema 5.7 Segundo método del problema anterior Construcción 1. Sea el círculo del centro O el dato dado. 2. Trace un diámetro LM. 3. Haga centro en L y M, y con un radio LO y MO trace dos semicircunferencias; corte a la circunferencia en S y P y Q y T.

Problema 5.9 Dado un círculo, inscríbale un octágono Construcción 1. Sea el círculo de centro O el dato dado. 2. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí LM y SP. 3. Trazamos bisectrices a los cuatro ángulos rectos formados. 4. Una los puntos L y M, S y P y Q y T, dándonos un hexágono.

4. La circunferencia queda dividida en ocho partes; al unirse las puntas que la dividen, se obtiene el octágono buscado.


Problema 5.11 Dado un círculo, inscríbale un dodecágono Construcción 1. Sea el círculo de centro O el dato dado. 2. Trace dos diámetros perpendiculares entre sí AB y LM. 3. Haga centro en cada uno de los extremos A, B, L y M, de los diámetros trazando cuatro semicircunferencias. 4. Una todos los puntos obtenidos con los arcos y los diámetros y obtendrá el dodecágono buscado.

Problema 5.10 Dado un círculo, inscríbale un decágono. Construcción 1. Sea el círculo de centro O el dato dado. 2. Trace dos diámetros AB y CD perpendiculares entre sí. 3. Escriba un punto L en el centro del radio OB, y haga centro en L con un radio LC. 4. Baje un arco que corte el diámetro en M. Tome un radio MO, trácelo sobre la circunferencia en forma sucesiva. Al unirse le dará un decágono.

Problema 5.12 Método general para trazar un polígono de cualquier número de lados, inscrito a un círculo eneágono. Construcción 1. Sea el círculo de centro O el dato dado. 2. Trace dos diámetros LM y SP perpendiculares entre sí, la horizontal LM divídala en el número de lados que quiera que tenga el polígono (nueve). 3. Prolongue en la parte superior del diámetro vertical tres partes, correspondientes a las divisiones del otro diámetro LM. 4. Describa una línea que parta del extremo del lado prolongado y pase por la división dos hasta cortar a la circunferencia en A. 5. La distancia AL es el lado del polígono buscado; llevándolo nueve veces en forma sucesiva.


NOTA: Este método es aproximado pues no hay uno general para resolver con exactitud estos problemas.

representan décimas de milímetro que al irse repitiendo llegarán a tener una medida de consideración.

Polígonos estrellados

Problema 5.13 Trazar un polígono de trece lados

Reciben este nombre porque al unir los vértices de un polígono con cierta relación obtenemos una figura en forma estrellada. Su uso puede ser decorativo; en jardinería, en aspectos arquitectónicos, etc. Haremos algunos ejercicios explicando esa relación, señalaremos los datos de la relación de los vértices, en otros polígonos.

Construcción 1. Sea el círculo de centro O el dato dado. 2. Siga los mismos pasos ya antes mencionados, con la diferencia que el diámetro LM horizontal lo dividimos en 13 lados o sea: 3. Se prolongan las tres partes en el diámetro SP, de ahí trazamos una línea que pase por la división 2 y corte a la circunferencia en A (se hace en todos los casos). 4. Lleve la resultante AL 13 veces y tendrá el polígono buscado.

NOTA: Es recomendable tener cuidado de que al dividirse en las partes correspondientes, sea exacto en el trazo con el compás, pues hasta una décima de milímetro influye en el resultado.

Cuide siempre las puntas del compás que tengan la misma longitud. Dé a la punta de carbón un afilado muy fino para que no trace líneas apelusadas; busque el centro de cada arco de circunferencia en cada trazo del compás, porque éstos

Problema 5.14 Hacer el estrellado de un octágono Construcción 1. Sea el círculo de centro O el dato dado, de acuerdo con el tamaño que se quiere. 2. De acuerdo con los pasos antes explicados, divida al círculo en ocho partes iguales. 3. Si se va ocupar solamente el estrellado no hay necesidad de hacer el polígono. 4. El octágono presenta un estrellado; para formarlo una cada vértice, de tres en tres. 5. Del vértice de inicio uno, cuente tres veces a la derecha y únalo con una recta al número 4, luego siga contando de tres en tres y una cada uno de los puntos del octágono hasta formar el estrellado de ocho puntos.


Problema 5.17 En el eneágono se hace el estrellado uniendo cada vez de dos en dos y de cuatro en cuatro.

Problema 5.15 El estrellado del pentágono se hará uniendo cada vértice de dos en dos hacia la izquierda y luego hacia la derecha.

Problema 5.18 En el decágono se hace el estrellado uniendo cada vez de tres en tres. En el pentadecágono se hace el estrellado uniendo cada vez de dos en dos, de cuatro en cuatro y de siete en siete (hacer el estrellado).

NOTA: En todos los casos, al unir los vértices, se hace manteniendo el mismo sentido de rotación.

Problema 5.16 En el heptágono se hace el estrellado uniendo de dos en dos y de tres en tres.


Trazo de polígonos conociendo uno de sus lados

3. Trace la circunferencia con el radio OL. 4. Con ese radio lleve en forma consecutiva el trazo de arcos que corten a la circunferencia, obteniendo el hexágono buscado.

En este caso los conceptos geométricos del capítulo anterior competen a éste. El triángulo y el cuadrado no se desarrollarán en este capítulo porque ya están incluidos en otros capítulos.

Problema 6.1 Dado un lado, trazar un pentágono regular Construcción 1. Sea LM el lado dado. 2. Se busca el centro R de LM y se prolonga por M el lado dado, se trazan dos perpendiculares a discreción por el punto M y R. 3.

Se hace centro en M y con un radio LM, se traza un arco que corta la perpendicular de M en el punto A, haciendo centro en R y con un radio RA baje un arco que corte a la prolongación de LM en el punto β.

4.

5.

Con un radio LB y con centro en L, describa un arco que corte a la perpendicular levantada por R en el πunto D. Con un radio LM, haga centro en D, L, M y trace arcos que se corten en dos puntos E y G, únalos y tendrá el pentágono buscado.

Problema 6.3 Segundo procedimiento al problema anterior Construcción 1. Sea LM el lado dado. 2. Haciendo centro en L y M con un radio igual a LM, se trazan arcos prolongados a un poco menos que una semicircunferencia, cortándose en el punto N. 3. Con el mismo radio de LM se hace centro en N y se trazan dos arcos que corten a la prolongación de la semicircunferencia en RQ. 4. Haciendo centro en R y N, Q y N se trazan otros arcos, obteniendo los puntos S y T. Unimos los seis puntos y tenemos el hexágono buscado.

Problema 6.2 Dado un lado, trazar un hexágono regular Construcción 1. Sea LM el lado dado. 2. Haciendo centro en L y M trace dos arcos que al cortarse nos dan un punto O, que es el centro de la circunferencia.


Problema 6.4 Dado un lado, trazar un heptágono regular Construcción 1. Sea LM el lado dado. 2. Por el punto medio y el extremo M trazamos dos perpendiculares y con una inclinación de 30° trazamos una recta que parte por L y corta la perpendicular del extremo M, en el punto A. 3. Con centro en L y con un radio LA describimos un arco que corta en O la perpendicular (que pasa por el centro). 4. Haciendo centro en O y con un radio LO, tracemos una circunferencia que contendrá siete veces el lado dado, se obtendrá así el heptágono buscado.

Problema 6.6 Dado un lado, trazar un eneágono regular Construcción 1. Sea LM el lado dado. 2. Tracemos una perpendicular al centro de LM; haremos centro en M y con un radio igual a LM, levantemos un arco que corte la perpendicular en Q.

ZM

3. Con una recta uniremos QM y le trazaremos una perpendicular que la divida en dos partes; haciendo centro en Q y con un radio QS levantaremos un arco que corte en O la perpendicular. 4. Con un radio OL tracemos una circunferencia que contendrá nueve veces el lado dado.

Problema 6.5 Dado un lado, trazar un octágono regular Construcción 1. Sea LM el lado dado. 2. Tracemos dos perpendiculares por el extremo M y el centro de LM indefinidos; prolonguemos LM con una línea punteada, por el extremo M. 3. Tracemos la bisectriz del ángulo recto formado, S, M, R, y sobre la bisectriz, describiremos la longitud de ese lado, llamándolo MB. 4. Por MB tracemos otra mediatriz que corte en O la perpendicular central. 5. Con un radio LO y haciendo centro en O, tracemos una circunferencia sobre la cual construiremos, al llevar en forma sucesiva, el lado LM del octágono buscado.

Uniremos y obtendremos el eneágono buscado.


Problema 6.7 Dado un lado, trazar un decágono regular

5. Con un radio OM y centro en O, tracemos una circunferencia que contendrá 12 veces el lado buscado, obteniendo el polígono de 12 lados iguales.

Construcción 1. Sea LM el lado dado. 2. Por la parte media B y el extremo L, tracemos dos perpendiculares y prolonguemos el extremo L. 3. Haciendo centro en L y con un radio LM tracemos un arco que corte la perpendicular del extremo en C; ahora con centro en B y en BC como radio, bajemos un arco que corte la prolongación en F. 4. Con centro en M y un radio MF, levantaremos un arco que corte la perpendicular central en O. 5. Haciendo centro en O y un radio OM, tracemos una circunferencia que contendrá diez veces el lado dado. 6. Uniendo los cortes de los arcos con la circunferencia obtendremos el decágono buscado.

Primer método general para trazar cualquier polígono regular Este método es muy práctico y su desarrollo es sencillo; como se dijo antes, sus resultados son aproximados; en algunos casos, si se hace con detenimiento, puede dar un resultado exacto.

Problema 6.9 Por el primer método general, trazar un polígono de 13 lados Construcción 1. Sea LM el lado dado.

Problema 6.8 Dado un lado, trazar un dodecágono regular Construcción 1. Sea LM el lado dado. 2. Por el centro S de LM tracemos una perpendicular a discreción. 3. Con un radio LM y centro en L, tracemos un arco que corte la perpendicular en Q. 4. Haciendo centro en Q y con radio QL, levantemos un arco que corte en O la perpendicular.

2. Con radio LM y centro en L y M, tracemos dos arcos que se corten en Q y P. 3. Unimos con una recta QM y la dividimos en seis partes iguales. 4. Sobre el punto Q llevemos siete partes iguales, dándonos el punto O. 5. Con centro en O y radio OL tracemos una circunferencia, donde pueda contener a LM trece veces y obteniendo al trazarlo un polígono de trece lados.

NOTA: El número de partes iguales que van de arriba hacia abajo depende de una relación aritmética muy sencilla.


Número de lados del polígono, menos seis nos da las partes que van de Q hacia arriba o hacia abajo. Ejemplo 1. Polígono de 16 lados, entonces es igual 16-6 = 10 partes hacia arriba por ser positivo. Ejemplo 2. Polígono de cinco lados, entonces es igual 5 6 = -1 partes que se cuenta hacia abajo por ser negativo.

Para conocer el ángulo opuesto del lado LM dado, y la base del triángulo isósceles, basta dividir 360 entre el número de lados. Para saber el valor de los dos ángulos (iguales) hasta conocer el ángulo opuesto y con la suma de los otros dos dará 180°. Ejemplo: Dado un lado LM, trazar un hexágono. a) Valor del ángulo opuesto: 360° / 6 = 60°. b) Valor de los ángulos adyacentes: 60° / 180° = 120°

120° / 2 = 60°.

Con estos valores fácilmente podemos dar los pasos para la construcción del hexágono buscado. Construcción 1. Sea LM el lado dado. 2. Se le trazan dos ángulos adyacentes de 60° al lado LM. 3. Partiendo por L y M pasando por la abertura de 60° se trazan dos rectas que se cortan en un punto O, centro de la circunferencia. 4. Sobre la circunferencia trazada llevamos seis veces el lado dado. 5. Unimos y obtenemos el polígono regular buscado.

Problema 6.10 Segundo método general para trazar cualquier polígono regular, dando el lado Este método es también muy práctico y sencillo. Antes de empezar a trazar el polígono se requiere el desarrollo de algunos procedimientos geométricos. Sabemos que un polígono regular al unir uno de sus lados con el centro, nos da un triángulo isósceles (con excepción del hexágono, ya que el triángulo obtenido es equilátero), que tiene dos lados y sus ángulos adyacentes son iguales.

Problema 6.11 Tercer método general para trazar cualquier polígono, dado el lado (heptágono)

Construcción M

1. Dado el lado LM, trazar un polígono regular de siete lados (auxilíese del transportador).


2. Trazamos el lado LM y lo prolongamos por M, con líneas punteadas. 3. Con un ángulo de 360 / 7= 51° 42' trazamos el lado MP, con respecto al tamaño del lado prolongado. 4. Por el centro del lado LM y MP describimos dos perpendiculares las que al prolongarse se cortan en O, centro de la circunferencia. 5. Con OM de radio trazamos la circunferencia que contiene el heptágono buscado.

en posición vertical SP, dividiéndolo en partes iguales de acuerdo al número de lados que se quiere el polígono 3. Con centro en P y radio SP, trazamos un arco que al prolongarlo corte a la prolongación del eje horizontal en el punto R. 4. Describimos una recta que parta de R y pase por la división número 2 hasta tocar a la circunferencia en el punto Q. 5. El arco QS lo llevamos en forma consecuente sobre la circunferencia. Al unir las divisiones nos dará el polígono de 11 lados buscado.

NOTA: La división del diámetro SP tiene un pequeño error.

Problema 6.12 Cuarto método general para trazar cualquier polígono de 11 lados Construcción 1. Sea O el centro de la circunferencia dada. 2. Trazamos un diámetro horizontal LM y lo prolongamos por la derecha y a su vez trazamos otro diámetro


Cuaderno de trabajo Lee detenidamente cada una de las preguntas, piensa, reflexiona y contesta correctamente, si no recuerdas lo que se te pregunta, investiga en tu libro de dibujo o en otros libros. 1. 2. 3. 4. 5.

¿Qué entiendes por polígonos? ¿Cuáles son los polígonos regulares? ¿Cuáles son los polígonos irregulares? ¿Cuáles son las propiedades del dodecágono? Explica el significado del enunciado de los siguientes problemas: 5.5 Dado un círculo, inscríbale un pentágono. a)

b)


6.5 Dado un lado, trazar un octágono regular. a) b) 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

¿Qué entiendes por radio de compás? ¿Qué entiendes por segmento de arco de circunferencia? En un polígono, la suma de todos los ángulos interiores es igual a ¿A cuántos radios equivale un diámetro? ¿A qué le llamamos segmento circular? ¿Es lo mismo círculo que circunferencia? Explíquelo. Explique cuándo una recta es tangente a una circunferencia.

.

4.2 Usa tu imaginación y creatividad Busca diferentes piezas mecánicas, analiza sus partes e identifica qué formas geométricas encuentras. Dibújalas anotando abajo de cada una de ellas su nombre de acuerdo a su forma geométrica. 4.3

Investigación ♦ Investiga el origen de la rueda, del tornillo y de las tuercas. ♦ Investiga y dibuja piezas mecánicas que tienen caras poligonales. ♦ Una transmisión de un coche es una máquina con muchos engranes, visita un taller, dibuja los engranes e identifica su forma y número de lados con el polígono que le dio origen.

6.4 Prácticas para el taller de dibujo Consultando la metodología, resolver los problemas geométricos y dibujarlos en hojas tamaño carta divididas en cuatro partes, para ubicar en cada una un problema diferente; a su vez, darle espacio para los márgenes y los letreros que identifiquen cada problema. Es su primera etapa, dibujar las láminas a lápiz y los letreros a mano libre. En la segunda etapa, y después de haber sido aprobado el dibujo, elaborarlos a tinta china y rotularlos con plantilla.

Construcción y trazo de circunferencias tangentes entre sí, empalme de líneas rectas y curvas, trazo de cónicas y curvas planas, cerradas y abiertas Objetivos

particulares

Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de: Conocer y aplicar con efectividad la técnica de construcción y trazo de circunferencias tangentes entre sí y empalme de rectas y curvas. Conocer y aplicar con efectividad la técnica de construcción y trazo de diferentes cónicas y curvas planas, cerradas y abiertas.

Objetivos

específicos

Conocer las bases de la geometría plana respecto a este tema. Manejar con eficiencia los instrumentos de dibujo geométrico. Comprender la metodología propuesta para la solución de los problemas geométricos de circunfe rencias que son tangentes entre sí, empalme de rectas y curvas, trazo de cónicas y curvas planas, cerradas y abiertas. Trazar con eficiencia el dibujo de estos problemas geométricos. Apegarse a las normas de higiene y seguridad del dibujo. Conservar eficientemente sus instrumentos de dibujo.

CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LINEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.

Circunferencias y rectas tangentes entre sí 1. Cuando dos rectas se cortan forman un solo punto de corte.

Problemas geométricos de circunferencias tangentes a rectas Problema 7.1 Hacer que una circunferencia sea tangente a una recta MN, en el punto S, y además pase por un punto L situado fuera de ella Construcción 1. Sea MN la recta dada.

2. Si se cruzan dos rectas una pasa sobre la otra.

2. Por el punto S trace una perpendicular a MN, y únalo también con una recta al punto L. 3. Por el punto medio de SL describa una perpendicular que al prolongarse corte a la otra (perpendicular) en un punto O. 4. Con un centro en O y radio OS trazamos la circunferencia que será tangente a MN, y contiene al punto L.

3. Cuando dos líneas se tocan en un punto se dice que una es tangente respecto a la otra.

Problema 7.2 Hacer que una circunferencia de radio conocido sea tangente a una recta dada MN, y que contenga al punto S fuera de la recta Construcción 4. Cuando dos líneas rectas o curvas se cortan o son tangentes se representan por un punto.

1. Sea MN la recta dada. 2. Trazamos otra recta paralela a MN separada por la distancia del radio conocido. 3. Haciendo centro en el punto S, fuera de la recta y con el mismo radio dado, trace un arco que corte a la paralela en O. 4. Con el radio dado y con el centro en O, trace una circunferencia cuya tangencia con MN se determina


bajando de O una recta perpendicular a MN, y contiene al punto S.

4. Con centro en O y con un arco OM tracemos la circunferencia buscada, que será tangente y contiene al punto.

Problema 7.3 Por un punto cualquiera de una circunferencia, hacer pasar una recta tangente

Construcción 1. Sea M el punto dado en la circunferencia de centro O. 2. Haciendo centro en My con radio MO trace un arco, éste cortará a la circunferencia en el punto L. 3. Haciendo centro en L y con radio LM se traza un arco que corta en S a la recta que pasa por O y L. 4. Tracemos por MS una recta, que será la tangente que buscamos.

Problema 7.5 Trazar dos rectas tangentes a una circunferencia y que partan de un punto dado fuera de una circunferencia Construcción 1. Sea P el punto fuera de la circunferencia de centro O. 2. Se unen P y O con una recta. 3. A la mitad de esa recta ubicamos Q. 4. Haciendo centro en Q y un radio QO trace un arco que corte a la circunferencia en A y A, punto de tangencia de las rectas.

Problema 7.4 Hacer que una circunferencia sea tangente en M a una recta y que pase por un punto dado L, fuera de la recta Construcción 1. Sea SP la recta dada y M el punto de tangencia y L el punto fuera de la recta. 2. Tracemos una perpendicular que parta por M y unamos este mismo punto con L, con una recta. 3. Le trazamos una perpendicular a ML que partirá la anterior en un punto O.

Problema 7.6 Trazar una circunferencia de radio conocido en forma tangente a un ángulo dado Construcción 1. Sea L, M, N el ángulo dado y la circunferencia de radio igual a 1 cm. 2. De acuerdo a la dimensión del radio, con esa separación, tracemos rectas paralelas a cada uno de los lados del ángulo.

CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.

3. Éstas se cortan en un punto O, centro de la circunferencia. 4. Partiendo por O, tracemos perpendiculares a los lados LM y MN; puntos de tangencia: S y S', al trazar la circunferencia.

2. A cada uno de los ángulos del triángulo equilátero se le trazan bisectrices que se cortan en O, centro de la circunferencia tangente al triángulo dado. 3. Las rectas que partan de O, en forma perpendicular a cada uno de los lados del triángulo, nos dan el punto de tangencia A, B, C.

Problema 7.7 Dado el punto de tangencia en un ángulo, trazarle una circunferencia que pase por ese punto Construcción 1. Sea el ángulo L, M, N y B el punto de tangencia. 2. Trace la bisectriz del ángulo y levante una perpendicular del punto de tangencia.

Problema 7.9 Dadas dos circunferencias, trazarle dos rectas tangentes a ambas Construcción

3. Éstos se cortan en un punto O, centro de la circunferencia.

1. Sean O y O' los centros de las dos circunferencias dadas.

4. Con un radio BO y centro en O tracemos la circunferencia tangente buscada al ángulo en el punto B y B'.

2. Se unen los dos centros por una recta y por el centro L de la misma y con un radio LO tracemos un arco. 3. Con el radio de la circunferencia de O' se hace centro en O y se traza un arco que se cortará en el anterior en los puntos A y A'. 4. Dos rectas que pasen por OA y OA' nos darán los puntos F y F' de tangencia. 5. Por el punto O' tracemos dos paralelas a las rectas OF y OF' encontrando los puntos de tangencia R y R'. Unimos F y R y F' y R' y obtenemos las dos rectas tangentes buscadas.

Problema 7.8 A un triángulo, trazarle una circunferencia tangente Construcción 1. Sea M, N, S el triángulo dado.


Problema 7.10 Trazar dos rectas tangentes interiores a dos circunferencias dadas. Construcción 1. Sea O y O' los centros de las dos circunferencias dadas.

Construcción 1. Sea O el centro de la circunferencia dada, y i? el punto de tangencia (que será tangente a la primera) y que contenga al punto M. 2.

Se une OR con una recta que se prolonga a discreción.

3. También se une R y M y se traza una perpendicular que, al prolongarse, se corta con OR, en O', centro de la circunferencia buscada.

2. Se unen los dos centros por una recta y por el centro L de la misma y con un radio LO se trazará un arco indefinido que se corte en M y M' con otro arco de centro O y radio OS. 3. El punto S lo encontraremos llevando el radio de la circunferencia chica al punto de corte B de la circunferencia grande y la línea que los une. 4.

Unimos con rectas los puntos OM y nos darán dos puntos de tangencia G y G'.

5. Tracemos por O' dos paralelas OH y O'H'a las otras dos rectas de tangencia OG y O' G'. Uniremos con rectas, que serán tangentes en los puntos encontrados y que pasen por el interior.

Problema 8.2 Por un punto S de circunferencia, trace otra circunferencia tangente de radio conocido Construcción 1. Sea O el centro de la circunferencia y S el punto dado de tangencia.

Circunferencias tangentes entre sí Problema 8.1 Trazar una circunferencia tangente a otra por el punto R y que además contenga al punto M

2.

Una con una recta a OS prolongándola a discreción.

3.

Con el radio de la otra circunferencia y centro en S, trace sobre la prolongación de OS el centro O' , con el radio dado.

4.

Trace la circunferencia de centro O' buscado.

Problema 8.3 Dadas dos circunferencias, trazarle otras dos tangentes entre sí Construcción 1. Sea O1 y O2 el centro de las dos circunferencias dadas, N y N' dos puntos de referencia.


2.

3.

4.

Unimos O1 y N, y O2 y N' con rectas prolongadas a discreción, llevándonos sobre cada una de las rectas (con centro en N y N') a una distancia igual a su radio, indicando con los puntos de corte, R y R'. Con centro en O1 y O2 y arcos O1 R y O2 R' se trazan arcos que se cortan en O7 y O8, centro de las dos circunferencias buscadas. Unimos los cuatro centros entre sí con rectas que cortan las circunferencias en el punto de tangencia 1, 2, 3, 4.

Problema 8.5 Trazar dos circunferencias tangentes de radío conocido, a una circunferencia de centro O, siendo N punto de tangencia Construcción 1. Sea 2 cm el radio de las dos circunferencias y N el punto de tangencia a la circunferencia de centro O. 2.

Por el punto O y N trazamos una recta.

3.

Haciendo centro en O' y O" y con el mismo radio trazamos las dos circunferencias tangentes a la recta LM.

4.

Con los radios dados trazamos las circunferencias tangentes en el punto N.

Problema 8.6 Problema 8.4 Trazar dos circunferencias tangentes a la recta ML en el punto S, conociendo el radio de las circunferencias Construcción 1. Sea S el punto de o y ML la recta dada y el radio conocido de las dos circunferencias de 2 cm. 2.

Por el punto S trazamos una perpendicular LM y haciendo centro en el mismo punto, describimos una circunferencia con radio de 2 cm.

3.

La circunferencia se corta con la perpendicular en los puntos O y O', centros de las dos circunferencias buscadas. Al trazarlas se encuentran en el punto de tangencia.

Trazar dos circunferencias tangentes a una recta dada, de radio conocido y que pasen por el punto N. Construcción 1. Sea 2 cm el radio de las circunferencias por trazar; LM la recta tangente a ellas y N el punto dado. 2. A una distancia del radio dado, trazamos una paralela a LM, haciendo centro en N y con un radio de 2 cm describimos una circunferencia auxiliar que corta a la paralela en O y O'.


Problema 8.7

2. Pasando por P una recta que corte a LM en B, sobre

Dada una circunferencia, trazarle dos o más circunferencias tangentes y del mismo radio y que pasen por el punto L exterior a la circunferencia dada

3. Por D1 y D2 levantamos perpendiculares a LM, al án-

Construcción 1. Sea O el centro de la circunferencia y Tl y T2, T3 y T4 sus puntos de tangencia con las demás circunferencias de radio de 2 cm y que pasan por el punto L.

LM, llevamos la distancia PB a la izquierda y derecha con los puntos D y D'. gulo formado en B le trazamos sus bisectrices, que se cortan con las rectas perpendiculares en dos puntos O y O'. 4. Con centro en O y O' trazamos las circunferencias de radio OD y OD', que son tangentes entre sí en P y a la recta en D y D'.

2. Unimos con una recta OL, hacemos centro en L y con un radio de 1.5 cm trazamos una circunferencia auxiliar. 3. Con un radio igual a la suma del radio dado 7 mm + 1.5 mm = 22 mm, más el de la circunferencia dada haciendo centro en O trazamos un arco, que corta a la circunferencia auxiliar en C1 y C2 4. Haciendo centro en O pero con la diferencia del radio dado menos el de la circunferencia dada 2 + 1 cm trazamos otro arco que corta a la circunferencia auxiliar en C3 y C4. 5. Los puntos C1 C2, C3 y C4 son los centros de las cuatro circunferencias tangentes buscadas, que al unirlos con el centro O nos dan los cuatro puntos de tangencia. NOTA: Este problema tiene cuatro soluciones como máximo.

Problema 8.9 Trazar cuatro circunferencias de radio conociendo tangentes a una recta y otra circunferencia dada Construcción 1. Sea LM la recta dada y O7 el centro de la circunferencia y el radio de las circunferencias. 2. Tracemos dos paralelas a LM a la distancia del radio

dado, más el de la circunferencia tangente R = 2 + 2.5 = 4.5 cm y haciendo centro en O describimos un arco de circunferencia que corta a la paralela en O1 02, 0 3 , 0 4 . 3. Con los centros de circunferencias antes encontrados, trazamos cuatro circunferencias tangentes a la circunferencia dada. 4. Unimos con una recta a O7 con sus puntos de

tangencia T1 T2, T3 y T4 hacia adentro llevamos un arco de radio igual al dado, que al cortarse con la recta nos da los otros dos centros O5 y O6 de circunferencias tangentes.

Problema 8.8 Trazar circunferencias tangentes en el punto P y a la vez tangentes a una recta Construcción 1. Si LM es la recta dada y P el punto de tangencia de las dos circunferencias.


Problema 8.10 A dos rectas concurrentes trazarles dos o más circunferencias tangentes Construcción 1. Sea LM y NP las dos rectas concurrentes. 2. Trazamos su bisectriz y por el punto Q levantamos una perpendicular que corta en O1 a la bisectriz. 3. Con centro y arco O1Q trazamos la circunferencia tangente, que corta a la bisectriz en B. 4. De B bajamos una perpendicular a la bisectriz que corta LM en C. 5. Con un radio BC y haciendo centro en C llevamos

un arco que corta a LM en D, de ahí levantamos una recta perpendicular cortando a la bisectriz en O2, centro de la circunferencia siguiente; al trazarla será tangente a las rectas y a la otra circunferencia.

Problema 8.12 Trazar cuatro circunferencias y tres rectas tangentes entre sí

Construcción 1. Sea AB, CD y LM las tres rectas que al cortarse forman un triángulo equilátero y O1, O 2 , O3 y O4 los centros de las circunferencias buscadas que ubicamos próximos a las rectas, esto es, a criterio del dibujante. 2. Por el método ya explicado se encuentran la circunferencia tangente al triángulo interior (problema 7.8). 3. Se saca la bisectriz de cada ángulo del triángulo central y se prolongan hasta que se corten en un punto centro de cada una de las circunferencias O2, O3, O4. 4. Se trazan las cuatro circunferencias tangentes, buscando el punto de tangencia por el procedimiento antes explicado.

6. Estos mismos pasos se siguen repitiendo de acuerdo al número de circunferencias que se quieran.

Problema 8.11 Trazar cuatro circunferencias de radio conocido tangentes a dos rectas Construcción 1. Sea AB y CD las dos rectas que se cortan en M y 1 cm el radio de las circunferencias. 2. Se le trazan dos rectas paralelas, una de cada lado, con la distancia del radio dado a las rectas AB y CD. 3. Estas se cortan en cuatro puntos que son O1 O2, O3, O4, centros de las circunferencias tangentes buscadas. NOTA: El punto de tangencia se encuentra haciendo pasar una escuadra por el centro de la circunferencia, adaptando su base a la posición de la recta.

M

Problema 8.13 Dada una circunferencia, trazarle tres circunferencias tangentes entre sí Construcción 1. Sea O el centro de la circunferencia dada.


2. Se traza un triángulo LST inscrito a la circunferencia de acuerdo al método ya explicado. 3. Se hace centro en cada uno de los vértices de LST, con un radio igual a la distancia LO, se trazan las tres circunferencias tangentes entre sí en M, M' y N. 4. Haciendo pasar una recta por O y L, O y S y O yT hasta tocar la circunferencia exterior y sus puntos de tangencia. 5. Con un radio OP trazamos la circunferencia exterior que será tangente a las circunferencias interiores en P, Q y R.

Problema 8.15 Trazar tres circunferencias entre sí centradas en los vértices de un triángulo dado Construcción 1. Sea LMN el triángulo dado. 2. Trazando las bisectrices de los tres ángulos, encontramos el incentro / del triángulo. 3. Trazando perpendiculares que pasen por el incentro de cada uno de los lados encontramos los radios de cada una de las circunferencias.

Problema 8.14

4. Con radios 1L, 2M, 3N y centro en cada vértice del triángulo trazamos las tres circunferencias tangentes en 1,2, 3.

Dada una circunferencia trazarle seis circunferencias tangentes entre sí Construcción 1. Sea O el centro de la circunferencia dada. 2. El procedimiento es el mismo sólo que en vez de un triángulo inscrito se traza un hexágono de acuerdo al método ya explicado. 3. Si se quiere el trazo de seis circunferencias, entonces la figura buscada es un dodecágono. 4. Se trazan seis líneas que partan del centro O y pasen por cada vértice del hexágono. Dichos puntos serán el centro de las seis circunferencias. 5. Se trazan las seis circunferencias. 6. Se prolongan las seis líneas que parten del centro O hasta tocar las seis circunferencias. 7. Con un radio OA se traza otra circunferencia tangente a las seis circunferencias internas en los puntos A, B, C, D, E y F.

Empalme de dos rectas por arcos de circunferencia El concepto de empalme o enlace se entiende como: el punto en donde se embonan o se unen una recta y una


curva, conociendo perfectamente ambas líneas. El uso de los empalmes o enlaces es muy común en el trazo del dibujo industrial. Vamos a presentarlo de la manera más simple posible, bajo su aspecto meramente gráfico y de más aplicación, en los ejemplos se podrá observar el caso de tangencia en que se fundamenta.

3. Haciendo centro en E y £' y con el mismo radio, trazamos dos arcos que al cortarse nos dan el centro O del arco de empalme.

Problemas geométricos de empalme de rectas Problema 9.1 Empalme de dos rectas por medio de una semicircunferencia en los puntos MM'. Construcción 1. Sea LM y SP las dos rectas paralelas y M1 y M2 los puntos de empalme. 2. Se traza una línea perpendicular a la recta que une a M1 y M2. 3. A dicha perpendicular se le traza una mediatriz. 4. El punto de cada corte de las dos rectas será el centro de la semicircunferencia.

Problema 9.3 Empalme de dos rectas paralelas por arcos iguales e inversos, conociendo su punto de empalme Construcción 1. Sea MB y CD las dos rectas paralelas y A y A' los puntos de empalme. 2. Se unen los puntos de empalme con una recta y en su parte intermedia ubicamos el punto L. 3. Trazamos una perpendicular a cada recta en los puntos de tangencia A y A', y otras dos perpendiculares de cada parte media de la recta AL y LA'. 4. Al prolongarse las perpendiculares nos dan el centro de las circunferencias O1 y O2 que al trazarse sus arcos se enlazan perfectamente.

5. Se traza la semicircunferencia que empalmará a las dos rectas en los puntos M1 y M2.

Problema 9.2 Empalme de dos rectas perpendiculares por un arco de radio dado Construcción 1. Sean AB y BC las dos rectas perpendiculares y el radio del arco de empalme de 2 cm. 2. Haciendo centro en B trazamos un arco que corta a las rectas en E y E'.


Problema 9.4

Problema 9.6

Empalme por dos rectas convergentes por un arco de radio dado

Empalme de varios arcos de circunferencia al extremo de una recta

Construcción 1. Sea LM y SP las dos rectas convergentes. 2. Se le traza una recta paralela a cada recta dada, a una distancia igual al radio del arco (1 cm). 3. Estas paralelas al cortarse nos dan el centro O del arco de enlace, al trazarlo determinamos también los punto M y P donde se enlazan.

Construcción 1. Sea ST la recta dada. 2. Por su punto medio L se levanta una perpendicular. 3. Haciendo centro sobre ella y con un radio igual a la distancia del centro al extremo, sobre el cual van a partir los arcos de circunferencia, se trazan el empalme de la recta con el arco de circunferencia. 4. Este proceso se repite las veces que se requiera y con

el radio de cada arco.

Problema 9.5 Empalme de dos rectas paralelas por dos arcos de circunferencia de radios diferentes pero en el mismo sentido Construcción 1. Sea LM y SP las dos rectas paralelas. 2. Se unen por una recta los dos puntos T y T' que se quieren de enlace y en el punto medio ubicamos el punto A. 3. A cada uno de los puntos de tangencia se le prolonga una distancia TA; sobre cada una de las rectas dadas se unen esos extremos con una recta punteada, formándose dos ángulos. 4. Dichos ángulos los bisectamos y por cada punto de tangencia trazamos una perpendicular, la que al prolongarse corta por la bisectriz (centros, O1 O2) de los arcos de circunferencia buscada; al trazarlos se empalman mutuamente y también con las rectas paralelas.

Problema 9.7 Empalme de un arco de circunferencia con un punto dado en cualquier parte Construcción 1. Sea O el centro del arco y N el punto dado 2. Se traza una recta que una el centro de la circunferencia con el punto de tangencia R, con una recta que se prolonga a una distancia a discreción.


3. Se unen los puntos de tangencia R y el punto N dado y a esa recta se le traza una perpendicular que al prolongarse corta a la otra recta OR en un punto 0 2 , centro de enlace de arco.

Empalme de dos circunferencias por medio de arcos Problema 10.1 Empalme de dos arcos de circunferencia por un arco de radio conocido

Construcción 1. Sea O1 y O2 los dos centros de las circunferencias que se van a empalmar y L el punto de arranque. 2. Se une con una recta el punto L con el centro de la circunferencia O1 3. Se hace centro en L y con un radio de la otra circunferencia O2 se traza sobre la recta el punto S, que se une en el centro O2 por medio de una recta. 4. A la recta O2S se le traza una perpendicular que al prolongarse corta a la recta LO1 en F (centro del arco de enlace); el otro punto de tangencia nos lo da la recta que parte de F y pasa por O2 terminando en el punto de tangencia P.

Construcción 1. Sea O1 y O2 los dos centros de los arcos de circunferencia a empalmar y el radio dado (como dato es de 2cm). 2. Haciendo centro en O1 y O2 y con un radio en cada caso equivalente a la suma del radio conocido más el radio de cada circunferencia, trazamos dos rectas que se cortan en O, centro del arco que empalma a los otros dos.

Empalme o enlace de recta y arco de circunferencia Problema 11.1 Empalme de una recta y un arco de circunferencia por un arco de radio dado Construcción 1. Sea AB la recta y O1 centro del arco de la circunferencia, con un radio de 2 cm. 3. Unimos los tres centros y se corta cada circunferencia en S y P, puntos de tangencia.

Problema 10.2 Empalme de dos circunferencias de diferente radio por medio de un arco que parta del punto L dado en una de las circunferencias

2. Se le traza una paralela a la recta AB, a la distancia del radio dado. 3. Con la suma del radio dado, LT, más el radio del arco de la otra circunferencia O1L (haciendo centro en O1) trazamos un arco que al prolongarse corta a la paralela en el punto O2 del arco de circunferencia de enlace; lo trazamos con radio 02M y se empalma con el arco en M y con la recta en M'.


Construcción 1. Sea CD la recta y O1 el centro de la circunferencia y T el punto de empalme. 2. Trazamos una tangente a la circunferencia por el punto T y que corte a la recta en el punto E. Haciendo centro en £ y con un radio TE, bajamos el arco sobre la recta cortándola en T', de ahí levantamos una perpendicular que corte a la recta que pasa por O1T, en el punto O2. 4. Con centro en O2 y radio O2T' trazamos el arco de empalme en los puntos T y T'.

Problema 11.2 Empalme de una recta y un arco de circunferencia, conociendo el punto de empalme en la recta Construcción 1. Sea LM la recta y O1 el centro de la circunferencia y T el punto de empalme. 2.

Por el punto de empalme se levanta una perpendicular, sobre la cual se lleva la medida del radio de la circunferencia dada, dándonos el punto S.

3.

Se une O1 y S con una línea recta a la cual le trazamos una mediatriz que corta a la perpendicular en el punto O2 centro del arco de empalme que al trazarlo se lo hacen en Ty T1

Problema 11.4 Empalme de una recta y un arco de circunferencia por medio de enlaces parabólicos Construcción 1. Sea CD la recta y O el centro de la circunferencia y 7 y T' los puntos de empalme. 2. Se prolonga la recta a partir del punto T de empalme y en la circunferencia se le traza una tangente al punto T', ambas rectas se cortan en el punto P. 3. Las dos rectas se dividen en cierto número de partes; por ejemplo, en cinco partes iguales. 4. Se unen con rectas los puntos Ty 7' con todos los demás puntos, encontrando su enlace en la intersección de 1 l', 12', 3 3', 4 4' y TT'

Problema 11.3 Empalme de una recta y un arco de circunferencia, conociendo el punto de empalme en el arco de circunferencia


Problema 11.5

Problema 12.1

Enlace del número de puntos que se quiera por medio de arcos de circunferencia

Dado el eje mayor construir un óvalo con cuatro centros

Construcción 1. Sea L, M, N, O, P y R los puntos dados. 2. Se unen todos los puntos con rectas de acuerdo al orden dado. 3. A los puntos LM y MN se le sacan las mediatrices y éstas se cortan en el punto C1 4. Este procedimiento se repite con todos los demás puntos que haya.

Construcción 1. Sea AB el eje mayor, se corta en tres partes iguales, sirviendo los dos puntos intermedios de centros de dos circunferencias, de radio igual a la tercera parte de AB. 2. El corte de las dos circunferencias con el eje AB nos da los centros C3 y C4, y el corte entre éstas nos dan los centros C1 y C2. 3. Haciendo centro en C1 y C2 y con radio C1L o C2S se trazan los arcos de circunferencia. En seguida, y con centro C3 y C4 y con radio C3A o C4B trazamos otros dos arcos, enlazándose perfectamente los arcos que se trazaron primero.

Problema 12.2 Dado el eje menor, construir un óvalo con cuatro centros

El óvalo Es conveniente que no se confunda el óvalo con la elipse, pues sus figuras son muy parecidas. El óvalo es una curva plana cerrada como la elipse. La diferencia estriba en que no satisface la condición de igualdad entre la suma de sus radios vectores, o sean las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con los focos. En la mayoría de los casos el óvalo lo trazamos mediante el enlace de cuatro a ocho arcos de circunferencia con diferentes tipos de radio, es por eso que es muy simple su construcción.

Construcción 1. Sea AB el eje menor y diámetro de la circunferencia. 2. Trazamos una recta perpendicular al eje menor, de tamaño regular; éste corta a la circunferencia, en dos de sus centros del óvalo C3 y C4; y los otros dos centro C1 y C2 nos lo da el extremo del eje menor. 3. Se unen entre sí los cuatro centros por rectas con una

longitud a discreción.

4. Haciendo centro en C1 y C2 y radio CM trazamos los dos arcos; enseguida, haciendo centro C3 y C4 y radio CL, trazamos los otros dos arcos enlazándose en L,NyS.

DIBUJO TÉCNICO YGEOMÉTRICO

2. Se divide el eje AB en cuatro partes iguales, concentro en las tres partes intermedias y con un radio C3A trazamos tres circunferencias. 3. Estas se cortan entre sí en C4 y C3, prolongando 2 diámetros a 45° y que pase por el C3 y por C4, éstos al interceptarse nos darán C2 y C3 por un extremo y por el otro los puntos de enlace L, N, M y S. 4. Haciendo centro en C1 y C2 y radio C1L trazamos dos arcos; enseguida, con centro C3 y C4 y radio C3A, trazamos los otros dos arcos que se enlazan perfectamente en L, M, N y S.

Problema 12.3 Segundo método del problema anterior con ayuda de la escuadra de 45° Construcción 1. Sea AB el eje menor y diámetro de la circunferencia. 2. Ubicándose la hipotenusa de la escuadra al eje menor AB, le trazamos cuatro rectas a una inclinación de 45°. 3. Los extremos del eje menor (A y B) serán los dos centros de los arcos LM y NS. 4. Haciendo centro en C1 y C2 y con radio C1B o C2A trazamos dos arcos; enseguida, con centros C3 y C4 y radio C3L o C4N, trazamos los otros dos arcos enlazándose en L, M, N y S.

La elipse Problema 13.1 Trazar una elipse por medio de puntos por el corte de arcos de circunferencia dado sus dos ejes Construcción 1. Sea AB y CD los dos ejes perpendiculares en el punto O. 2. Buscamos los focos F y F' en la siguiente forma: con un radio igual BO (semi-eje-mayor) y centro en C, trazamos arcos que cortan al eje mayor AB en F y F focos de la elipse.

Problema 12.4 Dado el eje mayor, trazar un óvalo con cuatro centros (segundo método) Construcción 1. Sea AB el eje mayor.

3. Del foco F y F al centro lo dividimos en cuatro partes o más. 4. Haciendo siempre centro primero en F y segundo en F y con radios (A-1' y B-l) (A-2' y B-2) (A-3' y B-3) trazamos arcos arriba y abajo que al cortarse nos dan una serie de puntos que al unirlos, ya sea a mano o con curvígrafo, nos dan la elipse buscada.


Problema 13.3 Dado un rectángulo, trazarle una elipse tangente por medio de haces proyectivos Construcción 1. Sea L, M, N, D, el rectángulo y AB y CD los ejes de la elipse. 2. Se dividen el eje mayor en cuatro partes iguales y el menor en seis partes iguales. 3. Se trazan rectas que partan de C y D y pasen por cada una de las divisiones del eje mayor y menor.

Problema 13.2

4. Las rectas trazadas se cortan entre sí en doce puntos que servirán de guía para trazar con una plantilla curva, la elipse.

Dadas dos circunferencias concéntricas de diámetro igual a cada uno de los ejes de la elipse, trazarla al localizar varios puntos Construcción 1. Sea O centro de las dos circunferencias concéntricas de diámetro igual a cada uno de los ejes. 2. Se dividen las dos circunferencias en doce partes iguales, de acuerdo al método de dividir un ángulo recto en tres partes iguales. 3. Del punto de tangencia de los diámetros no perpendiculares a la circunferencia mayor, bajamos rectas verticales. 4. Del punto de corte en la circunferencia menor trazamos rectas horizontales; ambas rectas se cortan en varios puntos, la sucesión de éstos nos dan la elipse.

Problema 13.4 Por medio de una tira de papel, conociendo sus dos ejes trazar una elipse Construcción 1. Sea LM y SP los dos ejes dados. 2. Se trazan los dos ejes en forma perpendicular en su parte media. 3. En una tira de papel tomamos la medida del semi-eje mayor LC y sobre la misma distancia LC tomamos la medida del semi-eje menor SD, partiendo de L' hasta C. 4. Para trazar la elipse se requiere que los dos puntos C y D' coincidan con los dos ejes perpendiculares; cuando la tira de papel se vaya girando se irán describiendo líneas punteadas sobre las posiciones sucesivas que vaya teniendo el punto L' de la tira de papel. 5. Unimos a mano o con un curvígrafo los puntos, dándonos la elipse buscada.


2. A la distancia que hay entre el foco y la directriz se le llama parámetro, que es igual a dos. 3. El eje que pasa por el vértice V y el foco F será perpendicular a la directriz. 4. Compruébese la propiedad número 1, o sea FS = ST; esto sería para cualquier punto de la parábola. 5. La distancia que hay del vértice al foco es igual del vértice a la directriz.

Problema 14.1 Problcma 13.5 Con el auxilio de un hilo trazar una elipse Construcción 1. Sea LM y SP los dos ejes perpendiculares entre sí, por su punto medio. 2. Trazar sobre el eje mayor los dos focos de acuerdo al método antes explicado. 3. Con un hilo fijo en los focos F y F' y una longitud FSF se trazará la elipse. 4.

Con un lápiz ponemos tenso el hilo, iniciando en el punto S la descripción de la elipse.

5. Es necesario que el lápiz siempre mantenga tenso el

hilo, para en tal forma ir describiendo tanto arriba y abajo del eje mayor.

Por el corte de haces proyectivos encontrar una parábola Construcción 1. Sea LM la directriz y VF el eje que contiene al vértice y al foco. 2. Damos dos puntos T y T' que limitarán la curva y trazamos una recta que pase por el vértice y sea paralela a la directriz. 3. Unimos T y T' a dos puntos de la recta, formando un rectángulo, dividimos los dos lados menores, en el mismo número de partes iguales, el lado mayor también se divide en el mismo número de partes iguales para cada uno de sus semi-ejes. 4. Unimos el vértice con cada una de las divisiones de los lados menores por medio de haces rectas, y del lado mayor cada uno de los semi-ejes se proyectan haces en posición perpendicular al eje. 5. Al prolongarse se cortan los haces entre sí dándonos los puntos de la parábola.

La parábola 1. La parábola es una curva plana abierta, en la cual todos los puntos son equidistantes a un punto llamado foco y una recta llamada directriz.


Problema 14.2 Dado un ángulo y sus puntos de o trazar una parábola Construcción 1. Sea A, B y C el ángulo agudo y M y M' los puntos de o. 2. Dividimos en el mismo número de partes a la distancia de los puntos de o MB y M'B; cada uno de ellos en partes iguales. 3. Unimos con líneas rectas los nueve puntos contrarios entre sí: 1 con 1', 2 con 2'... 8 con 8',etcétera. 4. El corte de estas líneas rectas forman la parábola.

La hipérbola La hipérbola es la curva plana y abierta que resulta de cortar un cono por un plano paralelo a su eje. La hipérbola se puede dar con las siguientes características: a) Una curva de ramas cerradas. b) Una hipérbola equilátera. c) Una curva de ramas abiertas.

Problema 15.1 Encontrar una serie de puntos para trazar una hipérbola Construcción 1. Sea LM el eje que contiene a los dos focos F y F. 2. Los puntos V y V" son los vértices de la hipérbola. 3. A partir de F dividimos el eje en el mismo número de partes iguales ( 4 ) y haciendo siempre centro en F y F trazaremos arcos con los siguientes radios V1 y V'1, V2 y V2... V4 y V'4. 4. Unimos los puntos encontrados ya sea en forma manual o con curvígrafo, obteniendo la hipérbola.

Problema 14.3 Encontrar una serie de puntos para trazar una parábola Construcción 1. Sea LM la directriz y DS el eje que contiene al vértice V y el foco F y D el punto dado en la directriz. 2. Dividimos el eje que contiene al foco en diez partes iguales y hacemos pasar perpendiculares por cada uno de esos puntos. 3. Haciendo centro siempre en F y con un radio 1D, 2D, 3D,... 10D, vamos trazando arcos que cortan a las perpendiculares en los puntos que nos dan la figura de la parábola al unirlos, a mano o con un curvígrafo.

Los ovoides Los ovoides son figuras cerradas formadas por varios arcos de circunferencia tangentes entre sí. Tienen un eje de simetría en el que se encuentran ubicados dos de los centros. Su forma es similar a la de un huevo, por eso en ocasiones le denominamos así.

Problema 16.1 Dado el eje de simetría construir un ovoide Construcción 1. Sea LM el eje de simetría.


2. Lo dividimos en seis partes iguales, donde el número 2 y el 5 serán los dos primeros centros encontrados, y trazamos una semicircunferencia con radio 2L y 5M con centro C1 y C2 3. Trazando una perpendicular por el punto 2, llevaremos sobre ella una distancia igual al diámetro de la semicircunferencia (tanto a un lado como al otro) obteniendo los otros dos centros C3 y C4 del ovoide; al trazar los arcos tangentes AT y BT' obtenemos la figura.

Problema 16.3 Dada una circunferencia trazar un ovoide Construcción 1. Trazamos una circunferencia con diámetros perpendiculares entre sí. 2. Los extremos del diámetro horizontal serán los centros C1 y C2. 3. El corte del diámetro perpendicular con la circunferencia nos da otro de los centros, C3 hacemos pasar dos rectas que partan del C1 y C2 y pasen por C3. 4. Haciendo centro en C1 C2 y C3 trazamos arcos que al unirse nos dan el ovoide buscado.

Problema 16.2 Dado un eje no simétrico trazar un ovoide Construcción 1. Sea LM el eje dado. 2. En los extremos del eje y en su parte media encontramos tres de los centros C1 C2 y C3 3. En el centro del eje dado, trazamos una perpendicular y una circunferencia de radio C2M, y en el punto de corte de ambas partes nos da el C4. 4. Trazamos dos rectas que partan de L y M y pasen por C4 y haciendo centro en C1 y C3 y con un radio LM, describimos dos arcos que cortan en P y Q a las rectas antes trazadas. 5. Con centro en C4 y radio C4Q trazamos el último arco tangente obteniendo el ovoide buscado.

Problema 16.4 Dado el eje simétrico trazar un ovoide (segundo método) Construcción 1. Sea LM el eje simétrico dado. 2. Se divide en tres partes iguales, haciendo pasar por la parte 1 una perpendicular cuyo tamaño es igual a la distancia de dos de las divisiones.


3. Dividimos las partes 2 y 3 a la mitad, obteniendo el punto C2 sobre el cual hacemos pasar dos rectas que parten de los extremos SP. 4. Haciendo centro en C1 y radio L1 trazamos una semicircunferencia SP, con centro en S y P y radio SP. 5. Describimos dos arcos hasta las dos rectas dadas en los puntos T y T, por último, con centro en C2 y radio C2T, describimos el arco que termina al formar el ovoide. Perímetro Paso del centro

Problema 17.2 Trazo de una espiral de base rectangular

r

La espiral envolvente Conceptos geométricos básicos Recibe el nombre de espiral la curva generada por un punto, el cual va abriéndose por dos movimientos sobre un plano: a) El de alejamiento en la posición inicial. b) El de desplazamiento angular. A una vuelta completa se le llama espiral; a la distancia comprendida entre el origen y el punto final de la espiral se le llama paso. El paso de una espiral es igual al perímetro del polígono de los centros. Clasificación de las curvas espirales 1. La envolvente es aquella cuya base es un polígono (triángulo, cuadrado, circunferencia, etcétera). 2. La espiral de Arquímedes. Esta curva se genera por la sucesión de puntos equidistantes en una recta, en la que va girando alrededor del punto que en su origen es fijo.

Problema 17.1 Trazo de una espiral de base triangular.

Problema 17.3 Trazo de una espiral de base cuadrada

94


Problema 17.4

6. Esto podemos hacerlo a mano o con compás.

Trazo de una espiral de base hexagonal Construcción 1. El método es aplicable en todos los casos de espirales envolventes; solamente variará de acuerdo con el número de centros, siendo éstos los vértices de los polígonos. 2. Se va haciendo centro en los vértices del polígono en forma sucesiva, en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 3. Su radio va creciendo con una magnitud igual a la suma del lado más la distancia hasta donde se quedó la espiral.

Problema 17.6 Trazar una espiral con dos centros Construcción 1. Trazamos un eje con dos centros C2 y C2. 2. Haciendo centro en C1 y radio C 1 C 2 tracemos una semicircunferencia que toque al eje en el punto 1. 3. Con centro en C2 y radio C 2 1, trazamos otra semicircunferencia que tocará al eje en el punto 2. 4. Los pasos seguirán repitiéndose de acuerdo a io explicado, hasta el tamaño que se quiera.

Problema 17.5 Trazar la espiral de Arquímedes Construcción 1. Se traza una circunferencia con centro en O. 2. Dividimos la circunferencia en ocho partes iguales y luego uno de sus radios (el vertical) en el mismo número de partes iguales. 3. Con centro siempre en O iremos trazando los arcos de circunferencia de diferentes magnitudes. 4. Con radio O,, trazamos un arco hasta 1', después con RO2, trazamos un arco hasta 2', y así sucesivamente. 5. La secuencia de la unión de la terminación de cada arco nos da la espiral de Arquímedes.

La hélice cilindrica Conceptos geométricos básicos Se hará un estudio en su forma más elemental, sólo que nos interesa gráficamente. La hélice es una curva engendrada por un punto que se mueve alrededor de un cilindro y avanza al mismo tiempo en el sentido de la longitud del cilindro.


Se dibujará la planta y el alzado del cilindro. La planta será una circunferencia de diámetro igual a la base del cilindro, y el alzado, un rectángulo, en el que su diámetro EE' corresponde al paso. Se divide el paso y la base con el mismo número de partes iguales. Las intersecciones de las líneas correspondientes nos darán los siguientes puntos A, B, C, D, E, ... LME' que al unirlos con una línea nos dan la hélice cilindrica. Observará que la mitad de una vuelta de la hélice está hecha de puntos, lo que indica que queda en la parte de atrás del cilindro y por lo tanto no se ve. Las líneas visibles se hacen siempre de puntos o trazos. El dibujo comprenderá una vuelta completa y la mitad de la vuelta siguiente.

7 E


Cuaderno de trabajo Lee detenidamente cada una de las preguntas, piensa, reflexiona y contesta correctamente, si no recuerdas lo que se te pregunta, investiga en tu libro de dibujo o en otros libros. 1. Explica qué entiendes por tangencia: a) de una línea recta y una circunferencia. b) entre dos circunferencias. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

¿Qué tipo de curva es una circunferencia? ¿Por qué n es una constante? ¿Cuál es su valor? ¿Cómo empleamos este valor? ¿Por qué a la parábola, la hipérbola y la elipse se les llama cónicas? Explica qué es un óvalo. ¿Cuál de los cuatro métodos para construir un óvalo consideras que es más sencillo? ¿Cuál es el eje menor de un óvalo? Dibújalo.

8. Dibuja una elipse con las partes que la forman.

9. Dibuja una parábola con los principales elementos que la forman.


10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

¿Cómo son las líneas de una hipérbola? ¿A qué se parece un ovoide? ¿Por qué se llama espiral envolvente? ¿Cuántos métodos propone el libro para dibujar una espiral envolvente? ¿En qué consisten? ¿Cómo es una hélice cilindrica? ¿En qué se parece una escalera de caracol a una hélice cilindrica? Explica los enunciados de los problemas siguientes: 8.3 Dadas dos circunferencias, trazarle otras dos tangentes entre sí. a) ¿Cuáles son los datos? ¿Qué medida? b) ¿Qué se busca resolver? 12.1 Dado el eje mayor, construir un óvalo con cuatro centros. a) ¿Cuáles son los datos? ¿Qué medida? b) ¿Qué se busca resolver?

17. Qué entiendes por enlace o empalme: a) de una línea recta con una curva. b) entre dos curvas. 18. ¿Consideras que el problema 8.14 "Trazar seis circunferencias tangentes entre sí", sirve de base para el diseño de un balero? ¿Por qué? 19. ¿Consideras que el problema 8.11 "Trazar cuatro circunferencias de radio conocido tangentes a dos rectas", sirve de base para el diseño de una caja de transmisión de un automóvil? ¿Por qué? 5.2 Usa tu imaginación y creatividad Busca algunos juguetes u objetos que sus elementos internos estén estructurados por diversos mecanismos como poleas, engranes, bandas, etcétera. Estudia cómo se transmite el movimiento de sus partes e identifica cómo en este proceso están presentes diferentes formas geométricas: poleas-círculos, engranes-polígonos, transmisión de movimiento por bandas o cadenas-enlace de líneas rectas con círculos, etcétera. 5.3 Investigación Investiga e identifica qué formas geométricas se encuentran en las siguientes partes automotrices: ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Generador Motor Transmisión de ruedas Caja de velocidades Caja de transmisión Sistemas de volante y dirección Sistema mecánico de vidrios eléctricos Otros.

5.4 Prácticas para el taller de dibujo Consultando la metodología, resolver los problemas geométricos y dibujarlos en hojas tamaño carta divididas en cuatro partes, para ubicar en cada una un problema diferente; a su vez, darle espacio para los márgenes y los letreros que identifiquen cada problema. En su primera etapa, dibujar las láminas a lápiz y los letreros a mano libre. En la segunda etapa, y después de haber sido aprobado el dibujo, elaborarlos a tinta china y rotularlos con plantilla.

La escala y sus aplicaciones. Sistema Métrico Decimal y Sistema Inglés; conversiones Objetivos

particulares

Al terminar la presente unidad, el alumno será capaz de: ♦ Aplicar las diferentes escalas y mediciones requeridas en el dibujo técnico. ♦ Efectuar conversiones en el Sistema Métrico Decimal y en el Sistema Inglés. Objetivos ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

particulares

Identificar las diferentes escalas empleadas en el dibujo técnico industrial. Practicar la escala de distintas relaciones que ésta representa. Identificar diferentes sistemas de medición. Manejar el Sistema Métrico Decimal (SMD) y el Sistema Inglés (si) en mediciones lineales. Interpretar las escalas de reducción y ampliación. Conocer las bases del SMD y sus conversiones. Conocer las bases del si y sus conversiones. Efectuar conversiones del SMD al si y viceversa.

Introducción Cuando el hombre se enfrentó a la necesidad de dibu jar objetos mayores a su propia medida o menores que el tamaño de sus uñas, tuvo que resolver este pro blema con imaginación y creatividad: inventó un pro cedimiento matemático que llamó escala de medición. Si hablamos de un dibujo a escala de inmediato nos viene a la mente los planos de una casa o un edificio; si nos referimos a una ciudad, un Estado, un país o un continente, les llamamos mapas; si se trata de una representación del mundo tenemos un mapamundi o globo terráqueo. En todos estos casos solemos emplear una escala "de mayor a menor", aunque en otras circunstancias sucede lo contrario, debemos dibujar objetos tan pequeños que no es po sible realizarlos en su tamaño natural, en este caso

solemos emplear una escala "de menos a mayor", por ejemplo, en una pieza de relojería o en un microchip de una computadora. En ocasiones el dibujo debe realizarse del mismo tamaño que el objeto, como en el caso de una herra mienta, unos zapatos o una licuadora; en este caso la escala es de 1:1, es decir, escala normal o natural, lo cual es posible solamente si el tamaño del objeto cabe dentro del espacio en donde se va a dibujar. Esto nos muestra la importancia que tiene el uso del dibujo a escala, ya que lo requerimos en miles y m;les de cosas que empleamos en nuestra vida coti diana; para esto empleamos determinado sistema de unidades métricas, el Sistema Métrico Decimal (SMD) o el Sistema Inglés (si).


Croquis

La escala y sus complementos técnicos Antes de usar la escala es importante conocer una serie de casos técnicos de trazo, medición y acotación. No se debe empezar un trabajo de atrás hacia adelante, es decir, del último paso de un proceso al primero, sino que sabemos que para que todo resulte y funcione perfectamente es necesario llevar una secuencia metodológica. En este caso, antes de aplicar el proceso gráfico matemático de la escala hay que transitar por los siguientes pasos: ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Croquis Medición Acotación Escala Desarrollo del dibujo o plano de la casa habitación con la escala y simbología correspondiente.

Es el procedimiento gráfico consistente en desarrollar un dibujo a mano libre del objeto que se quiere realizar a escala. En este tipo de dibujo no se busca la perfección artística, simplemente es un auxiliar gráfico que capta todas las características del objeto, por minúsculas que sean, para que en él se puedan ubicar las medidas correspondientes delimitadas por su acotación.

Medición Consiste en medir todas las partes del objeto que se va a elaborar a escala. Aquí se recomienda usar el mismo tipo de unidad y el mismo sistema de medida.

Acotación Es el procedimiento que consiste en delimitar todas las partes que integran el objeto por medio de líneas que determinan su dimensión.

Figura 6.2

Diferentes tipos de lineas de acotación.

Figura 6.1

Figura 6.3

Croquis y acotación de una silla pupitre.

LA ESCALA Y SUS APLICACIONES. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y SISTEMA INGLÉS; CONVERSIONES

El espacio intermedio entre las líneas sirve para ubicar la medida correspondiente. Se recomienda que siempre se use el mismo tipo de forma de acotación, así como la misma unidad de longitud. Los técnicos e ingenieros ocupan, conocen y aplican la técnica de la escala. El técnico electricista requiere saber interpretar un plano, para ello tiene que hacer uso de las escalas mediante el escalímetro o efectuando las conversiones correspondientes. El escalímetro es un instrumento de medida con la forma de una regla con tres caras que forman entre sí un triángulo, se tienen en sus caras hasta seis medidas de longitud diferentes, pero con respecto a la unidad básica. El uso de este instrumento permite que un objeto, plano o instalación se reproduzca o amplíe de acuerdo con las necesidades de cada caso. Las escalas por lo general se interpretan o comparan en función de un metro.

Figura 6-4

Acotación incorrecta en un plano arquitectónico.

Escala La escala es uno de los instrumentos más importantes para la confección de dibujos. A veces se puede denominar

Figura 6-5 Acotación correcta en un plano arquitectónico.


como escala a cualquier regla graduada; sin embargo, las reglas preferidas por los dibujantes son las llamadas esca-

300 es igual a 200 cm

1.5

las triangulares.

La diferencia entre una escala y una regla graduada común estriba en que con la escala se representan en un plano las dimensiones iguales, menores o mayores (con relación al plano) de un objeto determinado. Esto podemos hacerlo también con una regla graduada cualquiera; pero tendríamos que efectuar algunas operaciones matemáticas, mientras que en la escala ya vienen hechas, es decir, las relaciones de similitud entre el objeto y el plano en que se van a representar están pretratados de antemano. No se excluye la posibilidad, por supuesto, de que tengamos que dibujar un objeto representándolo en una proporción que no venga expresada en la escala. De lo anteriormente expuesto se deduce que existen dos conceptos de escala, uno físico y otro matemático. El primero es el instrumento que aprecia o da medidas; el segundo una simple relación de similitud entre el dibujo y lo que presenta. Sin embargo, en las escalas físicas se marcan o expresan algunas de las relaciones de similitud más utilizadas. Como se pueden apreciar, estos dos conceptos se representan o se pueden obtener con la escala física. Una escala física es una regla que expresa unidades naturales de un sistema de medidas o también relaciones de las mismas, para poder tornar directamente sobre ella las relaciones más utilizadas de las medidas que deseamos. Las escalas físicas son por lo general de madera, aun cuando también se hacen de metal, en algunos casos, o de materiales plásticos no deformables. Las graduaciones o divisiones que llevan las escalas se hacen unas veces directamente sobre la propia madera de que están hechas; otras veces los cantos o biseles van recubiertos por una lámina delgada de celuloide blanco o de marta, con la finalidad de destacar o hacer más visibles las divisiones o marcas.

300 es igual a 60 cm 5

Cómo usar la escala Para apreciar con una escala física el valor de cierta magnitud y tener en ella el menor error de apreciación posible, debemos realizar lo siguiente: Hay que poner el cero de la escala de forma que coincida tanto con el extremo del segmento de recta que se va a medir como con el canto o borde de aquella con el segmento de recta de modo que el plano del bisel o cara de la misma, donde están marcadas las divisiones, coincida con el plano de visuales, es decir, el plano que pasa por los ojos del que dibuja. En estas condiciones se mueve la escala en ese plano y se coloca de tal forma que la visual del dibujante coincida primero con la marca que está en el origen y con el extremo del segmento de recta. Después se mueve el otro extremo bajo las mismas condiciones percibiendo qué división de la escala o fracción de división de la misma coincide con el extremo de la magnitud que se va a medir. Se debe cuidar que la propia división de la escala indique la citada magnitud.

Figura 6-6

Escala (instrumento).

Figura 6-7

Escalímetro.

Relación de escalas y sus magnitudes Escala de Escala de Escala de Escala de Escala de Escala de

1:100 1:75 1:50 1:25 1:20 1:125

se interpreta que 1 m equivale a 1 cm. se interpreta que 1 m equivale a 1.5 cm. se interpreta que 1 m equivale a 2 cm. se interpreta que 1 m equivale a 4 cm. se interpreta que 1 m equivale a 5 cm. se interpreta que 1 m equivale a 8 mm.

En muchas ocasiones se indica de la siguiente forma: E 1:100; por ejemplo, si queremos saber la magnitud de 300 m a la escala de 1:100, 1:75 y 1:20 tenemos que 300 es igual a 300 cm

1


Cuando se tengan que hacer mediciones sucesivas sobre una misma recta, deberán hacerse de modo que se seleccione un punto de partida desde el cual se tomarán dichas medidas, sin que por ello se varíe la posición de la escala. Esto evitará errores sistemáticos y acumulativos. En este caso las medidas tendrán que sumarse a partir de la primera, que es la única que se puede tomar o situar en forma directa.

Relación matemática en cada escala Anteriormente se vio la utilización del término escala empleado para nombrar distintos tipos de reglas graduadas muy utilizadas en el dibujo técnico. Sin embargo, ese término tiene también una aplicación matemática que indica una relación entre determinadas magnitudes.

Otra forma de indicar una escala Desde el punto de vista matemático, las escalas se expresarán de diversas formas: 1. Como un quebrado o fracción representativa: 1

1 1 etc. 5000 100 2. Como igualdades o equivalencias: 4 cm = 200 m, 1 cm = 1 mm y otros. 3. En forma gráfica, por ejemplo, de barras o de transversales. 2

Escala absoluta o fracción representativa

Figura 6-9

Escala de transversales.

Para que ello sea posible las dimensiones del objeto en cuestión y las magnitudes representadas en el dibujo deben guardar una relación constante que significa la escala. "La escala es entonces la relación que existe entre una medida o distancia tomada en el dibujo y una medida o distancia tomada en el objeto o cosa representada." A esta relación se le llama escala absoluta y se representa de la siguiente forma: Medidas tomadas en el dibujo Escala = Medidas tomadas en el objeto o cosa representada Llegamos a la conclusión de que el concepto de escala es la relación en forma de quebrado o fracción representativa del objeto que se requiere representar, y puede emplearse para cualquier sistema de medidas, por ejemplo, la escala 1/10 quiere decir que por cada unidad que tomemos en el dibujo, cualquiera que sea ésta (centímetros, milímetros, etc.), corresponderá siempre a 10 unidades de la misma naturaleza que las del dibujo (10 cm, 10 mm, etc.). Cuando la relación o valor absoluto de la esca-

En el dibujo técnico, por lo general, se realizan planos o dibujos en los que las magnitudes de un objeto cualquiera son menores que en la realidad. Esto se hace así por que en la mayoría de las ocasiones las dimensiones de los objetos son grandes, por ejemplo, de varios metros de longitud e inclusive de decenas, centenas o miles de metros, y sería por lo tanto bastante difícil o imposible dibujar tales objetos en sus dimensiones reales; entonces se realizan en tamaños menores a la realidad representando proporcionalmente esas magnitudes.

Figura 6-8

Forma correcta para tomar medidas con el escalímetro.

Figura 6-10

Forma de marcar distancias con el escalímetro.


la es menor que la unidad, la escala es de reducción. Y si la relación o valor absoluto de la escala es mayor que la unidad, la escala es de ampliación, y si la relación o valor absoluto de la escala es igual que la unidad, la escala se denomina natural. Tenemos los siguientes ejemplos: Escala =

1

La misma expresión de fracción representativa en las escalas suele ser transformada, pero sigue manteniendo la misma relación. Esto sucede, por ejemplo, en dibujos cartográficos o topográficos, donde la relación se expresa en forma de complejo:

es escala de reducción

2500 2

Escala =

1 1

Escala =

E= es escala de ampliación es escala natural

1

La relación constante en la escala frecuentemente se expresa matemáticamente: E=

α)

Una distancia de 1000 m en la realidad es represen tada en un mapa por una medida de 2 cm. ¿Cuál es la escala del mapa? Datos: D = 1000 m d = 2 cm

d D

£=

d = Distancia o medida tomada en el dibujo. D = Distancia o medida tomada en el objeto o cosa re presentada. De esta forma puede tenerse la escala absoluta en ex presión fraccionaria. Pongamos varios ejemplos: Si en un dibujo o plano 1 cm representa 5 m de la rea lidad, ¿cuál es la escala? Datos: d = 1 cm D = 5m

b)

1 cm 5m

d D

E

1 500

Una medida de 1 mm, tomada en un plano, en la realidad representa 10 m de terreno. ¿Qué escala tie ne el plano? Datos: d = 1 mm D = 10 m E=

c)

d D

1 mm 10 m

D/d

Pongamos algunos ejemplos:

Donde:

α)

d

1 10 000

¿Cuál es la escala de un dibujo donde una medida de 5 cm representa 1 m en el objeto real? Datos:

d D/d

1 100 000/2 cm

En las escalas siempre existe una proporción entre las medidas del dibujo y las magnitudes tomadas en el objeto representado. Cuando en dibujo arquitectónico hablamos de escala 1:20 queremos decir que 1 cm en el dibujo representa 0.2 m en el objeto, es decir, 20 cm en el objeto; en dibujo topográfico la escala 1 mm = 5 m significa que por cada milímetro en el plano se representan 5 m, lo que es lo mismo que 5000 mm; y en dibujo cartográfico la escala significa que por cada centímetro en el mapa correspon den 500 m en el terreno o 50 000 cm. Junto con la forma fraccionaria o de quebrado la es cala absoluta se representa de la siguiente forma: 1:50 1:1000 1:50 000 Que se lee uno en cincuenta, uno en mil o uno en cincuenta mil, respectivamente, y que indica la misma re lación, ya que por cada magnitud tornada en el dibujo, corresponden 50, 1000 o 50 000 en la realidad.

Escala expresada por igualdades o equivalencias Es la forma de expresar la escala utilizando igualdades o equivalencias; por ejemplo: 1 cm = 500 m 1 mm = 10 m

d = 5 cm D= l m

E=

d D

5 cm 1m

5 100

Las cantidades del primer miembro y las del segundo de la igualdad no son homogéneas, y en realidad corres-


ponden a una forma de expresar la escala absoluta, ya que si 1 cm = 500 m ello equivale a una escala numérica 1:50 000. Entonces si no se posee una escala física graduada con dicha equivalencia, tendríamos que construir una escala gráfica para no dar motivo a equivocaciones. Las escalas expresadas en forma de equivalencia no son muy recomendables, por ello se emplean poco, por lo general acompañando escalas gráficas y sólo en los casos en que éstas son necesarias.

Escala gráfica a) Escala gráfica ordinaria o de barra Su construcción: es una recta que se dibuja en el mapa o plano y que está dividida en un número determinado de partes iguales; cada una de estas partes representan, según la escala numérica del plano, una longitud a las distancias correspondientes en el terreno. Las divisiones son tales que deben numerarse por cifras terminadas en cero (10, 50, 100, etc.), y la primera se subdivide en un número tal de partes iguales que cada una de ellas representa fracciones de una división expresada por números sencillos. Si se quiere construir una escala gráfica de barra para un plano cuya escala numérica es 1:5000, en esta escala, para d = 1 cm, significa que D = dx

D d

b) Mediciones con la escala gráfica y el compás La cuadrícula de gráfico que aparece en la figura 6.12 está a escala numérica 1:5000, es decir, cada centímetro en él equivale a una distancia real de 50 m en el terreno. Queremos saber la distancia entre los puntos A y B del plano. Se toma el compás de punta seca y se colocan cada una de las puntas en los puntos señalados A y B.

= 1 c m x 5000 cm = 50 m

Es decir, 1 cm en el plano representa 50 m en el terre no; 2 cm — 100 m; 4 cm = 200 m, etcétera. Ahora construiremos la escala gráfica en el plano a partir de un punto que dará el centro de la escala. Se marcan segmentos consecutivos de 2 cm, cada uno de los cuales representa 100 m; después se numeran 100, 200, 300, 400, etc., a partir de cero hacia la derecha; luego se subdivide la primera parte de 100 m en 10 partes iguales y cada una de ellas podrá representar valores de 10 m es decir: 10, 20, 30, 40, 50... Observe la escala gráfica que se construyó en la forma descrita (Figura 6.11). Para conocer la medida real correspondiente entre dos puntos del plano se coloca un compás de punta seca en tre esos puntos, se lleva con el compás esa distancia a la escala gráfica y se obtiene la distancia real buscada por lectura directa.

Figura 6-11

Una punta del compás se coloca sobre el trazo de una división de la derecha, de modo que la otra punta caiga en la subdivisión a la izquierda del cero. La distancia en el terreno o medida real se obtiene de esta forma: el número de metros (100, 200, 300, etc.), señalado por la parte donde se coloca la primera punta del compás, más el número de subdivisiones completas (decenas de metros) determinado por la otra punta, más la estimación por percepción visual de la fracción de la subdivisión (unidades). En la figura 6.13 se muestran en forma práctica las mediciones de distancias con compás de punta seca y la escala gráfica. Ya podemos construir una escala gráfica en cualquier plano y a cualquier escala y leer la que contenga otro mapa o plano.

Escaia gráfica.

32 000

Figura 6-12

32 100

32 200

32 300

Forma de tomar distancia con el compás de punta seca.

La distancia tomada se lleva a la escala gráfica de manera que una de sus puntas toque cualquier división en la escala a la derecha del cero; y la otra, en las proximidades del punto cero. Si la distancia es exacta (lo que ocurre con mucha frecuencia) se lee la cantidad de divisiones a la derecha del punto cero, por ejemplo: 100, 200, etc. (Figura 6.13). Cuando la distancia no es exacta, es decir, la otra punta del compás toca un punto situado a la izquierda del cero, se leen las subidivisiones a partir del cero, y se estiman las fracciones (si las hubiere) entre una subdivisión y otra.


Figura 6-15

Figura 6-13

Forma gráfica de una escala de transversales.

Forma de medir distancias en una escala gráfica.

Figura 6-14 Forma de situar el compás en la escala gráfica para efectuar las mediciones.

En la figura 6.14 se muestra la distancia que se había tomado entre los puntos A y B, y según la escala gráfica del plano corresponde a 255 m. La visual debe ser perpendicular al plano.

La escala en los diversos campos del dibujo técnico Cuando en una escala absoluta, expresada en forma de fracción, el denominador es un número muy pequeño se dice que ésta es una escala grande, por ejemplo:

1000 5 Por otro lado, cuando el denominador es un número grande se dice que es una escala pequeña, por ejemplo:

1 50 000 Existen otras que se denominan escalas medianas o intermedias, dependiendo del tipo de trabajo donde se empleen. En el dibujo de mapas (cartográfico) por lo general se emplean escalas pequeñas o muy pequeñas, por ejem plo, 1/50 000 o 1/100 000, pues las magnitudes en el di bujo representan zonas de terreno muy extensas en la rea-

Figura 6-16 Forma de situar el compás en una escala de transversales.

lidad: a veces la extensión de un continente, un hemisferio o todo el globo terráqueo. En la topografía se utilizan las escalas denominadas medianas o intermedias. Las magnitudes en los planos representan un área de terreno relativamente menor que las empleadas en geodesia, geografía o cartografía, ya que por lo general no se considera la curvatura de la Tierra. Por ello en dibujos topográficos las escalas que se utilizan son: 1:10 000, 1:5000, 1:2500, etcétera. En catastro se emplean por lo general escalas medianas y pequeñas. En los planos de catastro rural se utilizan en inventarios o planificación de la actividad agrícola; son frecuentes las escalas 1:20 000, 1:10 000,1:25 000; mientras que en los catastros urbanos se utilizarán por lo general escalas medianas, 1:5000, 1:2500, 1:2000, 1:1000. etcétera. En dibujo mecánico se utilizan escalas grandes para observar los detalles de las piezas, secciones y otros, tales como 1:120, 1:20, 1:50, etcétera. En planos o dibujos de ingeniería civil se emplean escalas como 1:1000, 1:500, 1:250, 1:200, 1:100, 1:50. En los dibujos arquitectónicos se utilizan también diversas escalas. Para los planos de un conjunto urbanístico se emplean las escalas 1:2500; otras, por ejemplo: 1:500, 1:1000 son para los planos generales, y 1:20, 1:10, 1:5 y hasta 1:1 (escala natural) para detalles de cimentación, carpintería, cerramiento, entre otros.

LA ESCALA Y SUS APLICACIONES. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y SISTEMA INGLÉS; CONVERSIONES Planos

Escalas

Detalles

1 cm real en el dibujo representa

1 m real se representa en el dibujo por

*1:1

0.01 mreal

1.00

m

*1:5

0.05 m real

0.20

m

*1:10 *1:20

0.10 m real

0.10

m

0.20 mreal

0.05

m

1:30

0.30 m real

0.033 m

1:33

0.33 m real

0.03

por lo tanto, las conversiones que se realicen se harán de acuerdo con los procedimientos utilizados y explicados para las potencias de diez.

Notación de las unidades de longitud Equivalencia entre las unidades de longitud del sistema métrico decimal.

m

Convertir 1278 m a Dm Hm, km, dm, cm y mm.

Generales

Tabla 6.1

1:30

0.30 m real

0.033 m

1:33

0.33 mreal

*1:50

0.50 m real

0.03 0.02

m m

1:80

0.80 m real

0.0125 m

-1:100

1.00 m real

0.01

*1:200

2.00 m real

0.005 m

m

1278 m a Dm = 1278/10 1278 m a Hm = 1278/100 1278 m a km = 1278/1000 1278 m a dm = 1278 x 10 1278 m a cm = 1278 x 100 1278 m a mm = 1278 x 1000

= 127.8 Dm = 12.78 Hm =1.278 km =12 780 dm = 127 800 cm = 1 278 000 mm

Normas NYRCO para escalas.

Como la técnica moderna exige la normalización y estandarización en muchas de sus actividades, en lo relativo a las escalas se han desechado las que empleaba el sistema inglés con magnitudes como pulgadas, pies, millas (por ejemplo, 1 = 1 milla). En la actualidad se emplean las unidades del sistema métrico decimal, en el que las operaciones matemáticas son mucho menos complejas (1:10 000, 1:100, 1:50). No se recomienda, entre otras, escalas donde las magnitudes sean poco convenientes para trabajar, como son: 1:30, 1:33, 1:80, 1:13. Tampoco se emplean las relaciones antiguas denominadas escalas arquitectónicas o escalas de ingeniería. Estas relaciones eran 02, 03, 05, por ejemplo, y no eran sino los cocientes resultantes de la división del numerador entre el denominador de las fracciones representativas de las escalas absolutas.

Sistema Internacional de Medidas (si) Es el sistema que unifica el empleo de unidades científicas y técnicas que se emplea en todas las ramas de la ciencia.

Múltiplos Nombre 1 miriámetro 1m

1 kilómetro

=1 Mm = 10 km = 100 Hm = 1000 Dm = 10 000 m

1

Mm = 0.0001 Mm

10 000 = 1 km = 10 Hm = 100 Dm = 1000 m =

1

m

= 0.001 m

1 hectómetro = 1 Hm = 10 Dm = 100 m; 1 m =

1

Hm = 0.01 Hm

100 1 decámetro = 1 Dm = 10 m; 1 m =

Dm = 0.1 Dm 10

Unidades del Sistema Métrico Decimal Las unidades para medir longitudes usadas en México son las del Sistema Métrico Decimal, cuya unidad es el metro (m) y que forma parte del Sistema Internacional de Medidas (si). Una de las grandes ventajas que tiene este sistema de medida es que aumentan y disminuyen de diez en diez,

Unidades equivalentes

1000 1 km

Manejar el Sistema Internacional en mediciones lineales

Símbolo

Submúltiplos 1 centímetro = 1 cm =

1

m = 0.01 m, 1 m = 100 cm

100 1 milímetro = 1 mm =

1

m = 0.001 m, 1 m = 1000 mm

1000 Tabla 6.2 Múltiplos y submúltiplos en el Sistema Métrico Decimal.

DIBUJÓ TÉCNICO Y GEOMÉTRICO

Esta definición del Sistema Internacional de Medidas (si) es lo suficientemente exacta como para ser utilizada en los primeros pasos del estudio de la física, química, biología o cualquier actividad técnica.

Los múltiplos y submúltiplos según el si En el si se utilizan una serie de prefijos antepuestos a la unidad para indicar los distintos múltiplos y submúltiplos; cada uno de ellos tiene un símbolo determinado.

y molestas; solamente se procede a aumentar o disminuir los ceros y a recorrer el punto decimal a la derecha o a la izquierda. Ello no es posible en el Sistema Inglés, ya que sus unidades son independientes y carecen de una relación decimal o notación científica que facilite y haga prácticas sus conversiones entre sus diferentes unidades. Ésa es una de las razones por que muchos países de habla inglesa han adoptado el empleo del Sistema Métrico Decimal en el campo científico.

Razones de uso del Sistema Inglés

NOTA: No confundir con el Sistema Inglés.

Si tomamos en cuenta la dependencia científica y tecnológica de México respecto de Estados Unidos y otros países de habla inglesa, nos vemos en la necesidad de conocer y dominar las unidades del Sistema Inglés, así como su aplicación y conversiones entre sus unidades y con las del Sistema Métrico Decimal. dam

Unidades de longitud

metrc decímetro centímetro milímetro

Tabla 6.3

Múltiplos y submúltiplos en el Sistema Internacional.

Por ejemplo, el prefijo deca significa diez y su símbolo es Dm. Si la unidad con la que trabajamos es el metro, el múltiplo es el decámetro, su símbolo es Dm y su valor es de diez metros. En cambio, si la unidad es el litro el múltiplo es el decalitro, su símbolo es DI y su valor es de diez litros.

Equivalencias y conversiones entre unidades del Sistema Métrico Decimal y el Sistema Inglés Los sistemas de medidas de mayor uso en casi todo el mundo son el Sistema Métrico Decimal (SMD) y el Sistema Inglés. Por su aplicación y fácil manejo podemos comprobar que el SMD es un sistema de medida de los más prácticos a causa de que tiene como base el número diez, lo cual facilita todo tipo de conversiones, tanto entre los múltiplos y submúltiplos de esas unidades, como en las unidades que se derivan de las de longitud. Por la notación decimal de todas estas unidades, su conversión se facilita, pues se evitan operaciones largas

Sistema Métrico Decimal 1 km = 0.621 mi = 4.97 Fg 1 m = 1.094 yd = 3.281 ft = 39.37 in (39.37") 1 cm = 0.394 in (0.394") Instrumento de medición simple.

Sistema Inglés 1 milla marina = 1853 m = 2026 yd = 6080 ft 1 milla terrestre = 1 mi = 1609 m = 1760 yd = 5280 ft 1 Furlong = 1 Fg = 201.1 m = 220 yd = 660 ft 1 yarda = 1 yd = 0.9144 m = 3 ft = 36 in 1 pie = 1 ft = 0.3048 m = 12 in 1 pulgada = 1 in = 0.0254 m = 2.54 cm 1 yarda = 1 yd = 3 ft = 36 in 1 pie = 1 ft = 12 in

NOTA: Formas de indicar algunas unidades inglesas: 1 pie = 1 ft = T 1 pulgada = 1 in = 1" 1 libra = 1 Ib = 1#

Pasos a seguir para convertir unidades de medida de un sistema a otro. Del sistema inglés al sistema métrico decimal: Se multiplica la unidad inglesa que se quiere convertir por lo que equivale en el sistema métrico decimal. Del sistema métrico decimal al sistema inglés: Se divi de el valor dado del sistema métrico decimal enire la unidad inglesa a que se quiere convertir.


Efectúa las siguientes conversiones de unidades in glesas a métricas. 30 in a cm: 30" = 30 x 2.54 = 76.20 cm 100 ft a m: 100' = 100 x 0.3048 = 30.48 m 10 mi a m: 10 mi = 10 x 1609 m = 16 090 m

Del sistema métrico decimal al sistema inglés:

500 m a yd: 500 m = 500 ÷ 0.9144 = 546.806 yd 1275 cm a in: 1275 cm = 1275 ÷ 2.54 = 501.968 in 800 m a ft: 800 m = 800 ÷ 0.3048 = 2624.671 ft


Cuaderno de trabajo Lee cuidadosamente cada una de las preguntas, reflexiona y contesta correctamente. Si por alguna razón hay algo que no recuerdas, la información técnica y científica se encuentra en tu libro. 1. ¿Qué entiendes por escala? 2. ¿Cómo es el instrumento que llamamos escala? 3. ¿Cuál es el nombre de la relación matemática de dos magnitudes? 4. ¿Qué quiere decir escala de 1/10? 5. ¿Cómo identificamos una escala de ampliación? 6. ¿Cuántos tipos de escala hay? 7. ¿Qué indica la escala de 1:500? 8. ¿Cómo aumentan y disminuyen las unidades de longitud? 9. Dibuja un modelo de escala gráfica en la escala 1/1000. 10. Explica cómo usar el compás para medir una escala gráfica. 1 1 . Explica el significado de las escalas de uso en el dibujo técnico. E = 1/9 E = 1/20 000 E= 1/100 12. ¿Qué tipo de escalas se emplean en el dibujo mecánico? Menciona tres ejemplos. 13. ¿Cuál es la posición de la vista y el bisel o cara de la escala en una lectura? 14. ¿Cuál es la escala absoluta? 15. ¿Qué operación matemática se expresa en una escala? 16. ¿Cuál es la unidad de longitud? 17. ¿Cómo se representa en palabras la operación de la escala? 18. Escribe los valores de las unidades de longitud del Sistema Inglés. 19. ¿A cuánto equivale una yarda en otros valores del si? 1 yarda 1 pie

20. Escriba todas las equivalencias del metro respecto a sus: ♦ Múltiplos ♦ Submúltiplos 2 1 . Usa la escala 5 cm:300 m y convierte las siguientes longitudes: ♦ 800 m ♦ 6480 m ♦ 12 940 m 2 2 . Realiza las siguientes conversiones: a) Convierte 2872 m a ♦ ♦ ♦ ♦

dm mm km Dm

b) Convierte 1546 m a ♦ ♦ ♦ ♦

millas yardas pies pulgadas

c) Convierte 5320 yardas a ♦ ♦ ♦ ♦

m km pies millas

2 3 . Relaciona correctamente las operaciones de conversión con la escala que les corresponde: a)375mxl 4.50 m x 1

3.75 cm Escala 1:33 1/3 ( ) 4.50 cm

b) 3.75 mx 1.5 5.62 cm 4.50 m x 1.5 6.75 cm

Escala 1:25

( )

c) 3.75 m x 2 4.50 m x 2

Escala 1:20

( )

7.50 cm 9.00 cm


a) 1:25

(

)

b) 1:75

(

)

c) 1:50

(

)

d)

1:100

(

)

Figura 6-17.

d)3.75mx3 11.25 cm Escala 1:100 ( ) 4.50 m x 3 13.50 cm e)3.75mx4 15.00 cm 4.50 m x 4 18.00 cm

Escala: 1:75 ( )

f) 3.75mx5 18.75 cm 4.50 m x 5 22.50 cm

Escala: 1:50 ( )

25. Completa las proporciones que se presentan a continuación anotando el dato que hace falta: a) 21.75 metros equivalen a:

43.50 cm cm

11.40 cm

escala 1:75

cm

escala 1:50

cm

escala 1:20

36.00 cm

escala 1:25

cm

escala 1:75

cm

e) 14.62 metros equivalen a: escala 1:75

21.93 cm

escala 1:50

cm

escala 1:100

cm

cm

6.2 Usa tu imaginación y creatividad.

b) 8.35 metros equivalen a escala 1:25

escala 1:33

d) 7.20 metros equivalen a:

24. En las diferentes escalas relaciona las divisiones de la regla que le corresponden. Apóyate en tu escalímetro comparando sus divisiones con las del dibujo (figura 6-17).

escala 1:50 escala 1:75 escala 1:33

c) 3.80 metros equivalen a:

33.40 cm

escala 1:100

cm

escala 1:75

. cm

Con tu escalímetro y empleando la escala de 1:100 obtén las diferentes dimensiones que tiene el plano siguiente de una casa habitación y acótalas en el lugar que les corresponde.


Jardín

Patio de servicio

Clóset

Clóset

Comedor

Cocina

Vestíbulo Medio baño

Recama ra

Recámara

Baño

Baño Clóset

Cochera Estancia

Recámara Jardín

Planta baja Escala 1:100 Figura 6-18

Planta alta Escala 1:100

Dibujo a mano libre y a mano alzada Objetivos

particulares

Al concluir la presente unidad el alumno será capaz de: Conocer y aplicar la técnica básica del dibujo a mano libre a través del trazo suave y preciso de la línea y la forma. Conocer y aplicar el dibujo a mano alzada, manejando eficientemente las diferentes técnicas del dibujo en el trazo rápido y preciso para dibujos requeridos por un mecánico, un albañil, un herrero, un campesino, un ingeniero, un arquitecto, un topógrafo o cualquier persona.

Objetivos

específicos

Conocer el campo de acción del dibujo artístico y su clasificación. Adquirir las bases técnicas del dibujo a mano libre. Usar técnicamente la observación artística. Dominar el trazo de la línea y la forma. Practicar el trazo suave de líneas rectas y curvas en diferentes posiciones. Aplicar la habilidad del trazo en la escritura de número y letras a mano libre. Dominar la técnica del dibujo a mano alzada. Practicar el trazo de las diferentes formas o figuras geométricas que propone el método. Aplicar la técnica del dibujo a mano alzada en trabajos de piezas mecánicas, planos de construcción, etcétera.

Introducción El propósito de esta unidad es ofrecer a los alumnos poseedores o no de talento artístico una base que les permita dibujar tan fácilmente como escribirían núme ros o palabras. Todos nos damos cuenta de que dibujar más que un arte es una necesidad: todos podemos dibujar, aun que muy pocos elaborar una obra artística. Ésa es la razón por la que se propone que para una formación integral en el dibujo técnico son importantes las bases del dibujo a mano libre y alzada. Dibujar es una necesidad social, ya que es un medio de comunicación que permite plasmar una idea, un objeto, un símbolo, una gráfica o un diagrama.

Desde el niño hasta el adulto, tanto el obrero como el científico, el ama de casa, el maestro y el alumno necesitan continuamente dibujar objetos de su entor no dependiendo de su actividad o trabajo. Dibujar es sencillo: cuando tomamos un lápiz y bosquejamos toscamente un objeto, al realizar trazos sin un sentido definido en un papel o cuando requeri mos dibujar alguna pieza mecánica. En todos esos casos se requiere dibujar. En resumen, el dibujo es necesario para un técni co, un ingeniero, un arquitecto o un trabajador. Por ello deben conocer y aplicar la técnica del dibujo a mano libre y alzada. El dibujo a mano libre, geométrico y a mano alza da ofrece una formación integral para los estudiantes de dibujo técnico.

DIBUJO A MANO LIBRE Y A MANO ALZADA

Bases técnicas del dibujo a mano libre Cualquier individuo que observa un dibujo o un símbolo estará comprendiendo su significado. Por ejemplo, en las olimpiadas, competencias deportivas donde se concentran cientos de países con diferentes idiomas, observamos que para establecer la comunicación se emplean una serie de indicadores llamados símbolos, consistentes en sencillos dibujos que denotan el deporte que se va a desarrollar. De esta manera todos comprenden el mensaje plasmado en el dibujo-símbolo, a pesar de la diversidad de idiomas: los organizadores aprovechan el dibujo para la comunicación entre los competidores.

Dibujo a mano alzada En el campo de la ingeniería y otras áreas técnicas se ocupa continuamente el dibujo de trazos rápidos con procesos que no están dentro del rubro del dibujo artístico, pero sí dentro del dibujo técnico. Mientras el primero tiene un carácter estético; el segundo requiere precisión y mucha calidad, lo cual significa que el dibujo a mano alzada es una combinación de dibujo a mano libre y dibujo técnico, pero que se caracteriza en que sus trazos son rápidos, precisos y captan todas las características de un objeto. Su técnica es sencilla y práctica, se parte del trazo rápido de un croquis del objeto a dibujar y del uso de ejes auxiliares.

¿Para qué sirve el recurso de trazado llamado croquis?

Figura 7.1

Composición de líneas rectas y curvas.

Desde hace muchos años el dibujo dejó de tener un uso exclusivamente decorativo o artístico. El avance de la ciencia y la tecnología ha tenido siempre un gran aliado llamado dibujo, disciplina que siempre ofrece apoyo para el trazo de gran número de objetos. Por ello, el campo de acción del dibujo es tan amplio como lo es el avance científico y tecnológico. El dibujo se clasifica en dos grandes campos: ♦ ♦

Figura 7.2

El croquis es transmisor de ideas y de imágenes. Es muy difícil y a veces imposible transmitir la imagen de un objeto (silla, herramienta, pieza, mecanismo, etcétera) empleando solamente las palabras. Por ello el hombre emplea un recurso consistente en trazos sencillos, pero precisos, del objeto que se quiere transmitir por medio de un dibujo llamado croquis. Herramienta de trabajo de un técnico: croquis. Desde el mecánico, el carpintero o el albañil hasta el ingeniero, el arquitecto o el agrónomo requieren como herramienta de trabajo la habilidad en el trazo del croquis. La forma como se ha podido dar origen a miles y miles de objetos caseros, industriales o hasta espaciales es mediante trazo rápido de ideas que paulatinamente va logrando tener una expresión gráfica: su croquis.

Dibujo artístico Dibujo técnico

Formas circulares.

El dibujo artístico comprende gran número de actividades que el hombre moderno necesita. En este campo además de habilidades y sensibilidad artística se requiere de bases técnicas, constancia y práctica continua.

Figura 7.3

Croquis de piezas mecánicas.


¿Quién emplea un croquis? Los técnicos preparan sus diseños con base en un croquis que después entregan a los dibujantes, con los cuales efectúan un trazado mecánico. El croquis es de gran ayuda para el diseñador en la organización de sus pensamientos e ideas.

Mientras que la efectividad de una línea mecánica se debe a su uniformidad, la calidad de una línea a mano alzada recae en su libertad de ejecución. Las líneas convencionales trazadas mecánicamente -que veremos a continuación- se muestran en la figura 7.32 trazadas a mano alzada. La línea es débil y en ella algunos trazos se superponen o no se llegan a tocar.

No se usan las escalas Los croquis no se realizan. Los objetos se deben dibujar en sus proporciones mejor posible a ojo. Como habíamos señalado conviene usar papel cuadriculado, ya que sus divisiones brindan la oportunidad de establecer escalas con las cuales se podrá trazar proporcionalmente distintas partes del objeto. Un técnico pierde mucho tiempo si comienza su hoja de estudio a escala o si no hace un estudio preliminar mediante un croquis. El grado de precisión que se requiere en un croquis depende del empleo que se le dé a los croquis que se elaboran rápidamente para suplir una descripción oral, pueden ser bastos e incompletos; pero cuando se quiere transmitir una información de gran importancia a otros técnicos o trabajadores, debemos procurar la mayor precisión.

Materiales para la elaboración de un croquis Una de las ventajas principales del croquis es que para su confección sólo se requieren papel, lápiz y goma para borrar, es decir, artículos que están al alcance de cualquiera. Los lápices que se tienen que utilizar son de minas blandas, como B, HB. La goma tiene que ser blanda, como por ejemplo la profesional. El papel es blanco preferentemente cuadriculado, lo que rápidamente permite establecer proporciones y además sirve de guía para las líneas.

Figura 7.4 Diferentes tipos de líneas para el dibujo a mano alzada.

Es necesario trazar todas las líneas oscuras, a excepción de las de construcción, las cuales no llegan a borrarse por ser trazadas. El resto de las líneas son limpias y oscuras. Hay que acentuar las líneas de trazos cortos y debe existir un claro contraste entre los tres grosores de líneas. Las líneas de contorno deben ser gruesas para que se destaquen; las líneas de acotado y eje, bien finas. El croquis a mano alzada no se debe considerar como un dibujo hecho sin cuidado en el cual no se ha puesto el debido interés. Hay que hacerlo con el mayor cuidado posible.

Afilado del lápiz Se debe utilizar un lápiz de mina blanda, como por ejemplo B o HB y afilarlo hasta que se obtenga una punta cónica, como se muestra en la figura 7.5. Para las líneas de construcción de ejes y acotado se emplea la punta afilada; para trazar los contornos con el grueso de línea deseado, la punta debe gastarse un poco.

Tipo de croquis La mayoría de los croquis corresponden a objetos de tres dimensiones y, por lo tanto, deben servir para representados; sin embargo, comenzar con figuras planas típicas nos ayudará en otras representaciones. Figura 7.5

Afilado del lápiz.

Técnica para el trazado de líneas a mano alzada

Trazado de líneas rectas

La principal diferencia entre un trazado mecánico y un trazado a mano alzada recae en el carácter de la línea. Una buena línea a mano alzada no tiene motivo para ser estrictamente recta o uniformemente exacta como una línea mecánica.

Como la mayoría de las líneas en un dibujo son rectas, es necesario aprender a trazarlas correctamente. Por ello se sugiere practicar hasta lograr el dominio de las mismas. Para elaborar el croquis se emplean puntas afiladas o redondas, según el tipo de línea que se va a trazar.


Por lo anterior, se sostiene el lápiz de modo natural a una distancia de 40 mm desde la punta y aproximadamente en ángulo recto con la línea que se va a trazar. Las líneas horizontales se trazan de izquierda a derecha, mediante un movimiento libre de muñeca y dedos; las líneas verticales, hacia abajo, con el mismo movimiento de muñeca y dedos. Las líneas inclinadas se trazan como horizontales o verticales, mediante el movimiento de la hoja de papel.

El trazado de cuadriláteros a mano alzada es más complejo. Los paralelogramos tienen especial dificultad a causa del paralelismo de sus lados opuestos. En el caso de cuadrados y rectángulos, la perpendicularidad entre sus lados adyacentes se mejora y se logra después de mucha práctica.

Figura 7.8 Trazo de cuadriláteros.

Figura 7.6 Trazo de líneas rectas.

Para trazar líneas muy largas se marcan los puntos extremos y después se mueve el lápiz hacia adelante y hacia atrás entre los puntos, en largos recorridos, marcando siempre el punto hacia donde se dirige el lápiz en movimiento. La punta del lápiz debe tocar ligeramente el papel, y en cada nuevo trazo hay que corregir los defectos. Cuando se hayan establecidas las líneas suficientes se aplica una presión mayor, reemplazando la línea de construcción con líneas precisas y nítidas, realizadas con lápiz blando; entonces se borra ligeramente y se traza por último la línea necesitada, manteniendo ahora la vista sobre la punta del lápiz. Un método fácil de trazar líneas horizontales o verticales muy largas se muestra en la figura 7.7 el cual consiste en sostener el lápiz firmemente y deslizar la mano por la punta de los dedos a lo largo del borde del bloc de papel o tablero de dibujo.

En los paralelogramos se debe prestar interés en el trazado de las líneas inclinadas, sobre todo con el paralelismo entre éstas, pues generalmente ocurre que es más fácil que éstos se consigan en las líneas horizontales que en las verticales o inclinadas; también hay que tener presente que en estos dos casos las líneas son paralelas dos a dos, es decir, los lados opuestos tienen que ser perfectamente paralelos. En los trapecios se tiene mayor libertad de ejecución, pero no se debe olvidar el paralelismo de sus lados en algunos casos.

Figura 7.9

Trazo de trapecios.

Trazado de polígonos regulares de tres, cuatro y más lados Para el trazado a mano alzada de triángulos y cuadriláteros es importante recordar los métodos de trazado de líneas rectas. NOTA: También se pone marca a distancia y posteriormente se traza la línea por estos puntos.

Figura 7.7 Trazo de líneas rectas a lo largo del tablero de dibujo o bloc de papel.

En los triángulos rectángulos lo fundamental es tratar de que los dos catetos sean perfectamente perpendicu-


lares entre sí, para lograr el ángulo recto que les da nombre y prestar atención a los otros dos ángulos del triángulo, ya sean de 45° y 45° o de 30° y 60°.

las líneas inclinadas y conservar "a ojo" la proporción y la equidistancia de sus lados, sobre todo en las figuras que más se nos presentan: pentágonos, hexágonos y octágonos. Para los pentágonos el mejor método es trazar el esquema de una estrella de cinco puntos y unir los extremos de éstas.

Figura 7.10 Trazo de triángulos rectángulos.

En los triángulos equiláteros lo más difícil de lograr a mano alzada es que sean equiláteros en realidad, es decir, que tengan sus tres lados iguales; esto se puede realizar perfectamente si no olvidamos las proporciones, ya que a veces la vista engaña y un triángulo en apariencia "equilátero" es en realidad isósceles, pues la vista se fija, por lo general, en la base. Para comprobar que los triángulos dibujados son en realidad equiláteros, lo mejor es girar el papel y mirar la figura desde varios puntos. Las distancias de los lados deben acotarse "a ojo".

Figura 7.13

Trazo de pentágonos.

En los hexágonos se pueden emplear varios métodos, de los cuales quizás el más sencillo sea el siguiente: se traza primero una línea horizontal, después dos líneas inclinadas que corten a la primera, de tal forma que entre cada línea trazada exista un ángulo aproximado de 30°. Luego se marca en cada recta una misma distancia desde el centro. Por último se unen todos esos puntos.

Figura 7.11 Trazo de triángulos equiláteros; para apreciar el tamaño de los lados debe girarse el papel a diferentes posiciones.

Figura 7.14 Trazo de hexágonos.

Los triángulos isósceles y obtusángulos son relativamente fáciles de dibujar. Los primeros porque al tener una base cualquiera y una perpendicular, se pueden trazar los lados restantes. De la misma forma sucede con los obtusángulos: si se da el ángulo mayor a 90° opuesto a la hipotenusa, se traza con rapidez.

En los octágonos un método sencillo consiste en trazar dos rectas perpendiculares entre sí, que formarán entre ellas cuatro ángulos rectos o de 90°. Se toma uno de esos ángulos y se traza una recta inclinada que lo divida en dos partes iguales, cada una de ellas con un valor de 45°. Esta recta se traza rápidamente, lo cual se continúa para que ocurra lo mismo en el ángulo de 90° opuesto al primero, y luego con los restantes ángulos opuestos de 90°.

Figura 7.12 Trazo de triángulos isósceles y obtusángulos. Figura 7.15

En otras figuras geométricas, como en los polígonos regulares, la atención principal debe estar en el trazado de

Trazo de octágonos.

Por lo tanto, quedará una figura con ocho ángulos iguales. La marca "a ojo" una distancia igual en cada una


de las rectas y luego se unen esos puntos. Así se forma el octágono.

Trazado de círculos y arcos Los círculos y los arcos pequeños pueden dibujarse con facilidad en uno o dos trazos, como se hace un trazo de letras.

Figura 7.16

Trazo de círculos pequeños.

Un método para dibujar los círculos grandes es el siguiente: primero, se traza un cuadrado que lo circunscriba; después, se marcan los puntos medios de los lados del cuadrado y se trazan arcos ligeramente tangentes a los mismos; posteriormente se refuerza el círculo como se aprecia en la figura 7.17.

En ambos métodos se borran ligeramente todas las líneas de construcción antes de trazar el círculo final.

Trazado de elipses Al igual que los círculos y los arcos, las elipses pequeñas se pueden trazar mediante un movimiento de muñeca, el cual se debe practicar de la siguiente forma: se sostiene el lápiz de modo natural, descansando el peso de la parte superior en el antebrazo y se mueve con rapidez el lápiz sobre el papel en la trayectoria elíptica deseada, se repite la operación dibujando arcos de elipses, y por último se borra ligeramente la elipse y se refuerza (remarca). Otro método consiste en dibujar el rectángulo que circunscribe la elipse, para lo cual se marcan los puntos medios de los lados y se trazan los arcos tangentes, de la forma que se indica en la siguiente figura, entonces se completa la elipse con suavidad, se borran ligeramente líneas y se refuerza el trazo de la elipse.

Figura 7.19

Figura 7.17

Trazo de círculos grandes.

Otro método consiste en dibujar los dos ejes del círculo y trazar líneas radiadas a 30°; después, se trazan marcas sobre cada línea con la distancia del radio estimado, a partir del centro trazar arcos de circunferencias de un punto a otro y por último reforzar el círculo.

Figura 7.18 Otra opción para el trazo de círculos grandes.

Trazo de una elipse.

También se usa el método de la tira de papel, el cual es preferible cuando se trazan elipses grandes; consiste en lo siguiente: se prepara una tira de papel y se marcan sobre ella los dos semiejes BC y AO; después, haciendo coincidir las marcas B y O sobre los ejes de la elipse, se obtendrán los puntos de la elipse pedida, como se indica en la figura 7.20.

Figura 7.20 Otro método para el trazo de una elipse.


ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER

7.1

Cuaderno de trabajo Lee detenidamente cada una de las preguntas, re flexiona y contesta lo que se te pide, si no recuerdas algo puedes investigar en el libro de dibujo o en otros libros. 1. ¿A qué se le llama dibujo a mano libre? 2. Para poder dibujar ¿es necesario que la perso na deba tener talento artístico? 3. ¿Consideras que una persona puede dibujar con sólo aprender una técnica básica? 4. ¿Consideras que el dibujo es necesario para una ama de casa, un albañil, un obrero? 5. ¿Qué es recomendable para abordar el dibujo geométrico y técnico? 6. ¿Crees que es necesario el dibujo para elabo rar objetos, símbolos, gráficos, diagramas, pla nos, etcétera? 7. ¿Por qué decimos que dibujar es una necesi dad social? 8. Antes de elaborar una casa, un pantalón, un lápiz, un barco, ¿qué se ocupa? 9. Si una persona sabe escribir puede . 10. ¿Cómo clasificamos el dibujo artístico? 1 1 . ¿Qué entiendes por dibujo al natural? 12. ¿Por qué es importante la observación en el dibujo? 13. ¿Cuál es la diferencia entre observar y mirar? 14. ¿Qué entiendes por forma? 15. ¿En el dibujo qué papel desempeña la línea? 16. Explica tres recomendaciones para el trazo de líneas a mano libre. 17. ¿Cuál es el papel que juega la línea en el dibujo? 18. ¿Qué transmiten las líneas curvas? 19. Si se sabe escribir, se puede dibujar, pero para ello se requieren tres habilidades: a)

.

b)

.

c)

.

2 0 . ¿En qué consiste escribir-dibujar un objeto? 2 1 . ¿Qué entiendes por dibujo a mano alzada? 2 2 . ¿Cuál es el campo de acción del dibujo a mane alzada? 2 3 . Cuando un topógrafo o ingeniero realiza un cro quis del lugar donde se llevará a cabo una obra, ¿qué tipo de dibujo ocupa? 2 4 . Un electricista, un fontanero, un herrero, un al bañil o un ingeniero al tomar datos de un tra bajo ¿con qué tipo de dibujo toma el borradoi inicial?

25. ¿Qué entiendes por croquis? 26. ¿Quiénes emplean los croquis? 27. ¿Qué tipo de materiales se emplean para elaborar un croquis? 28. ¿Cómo es la calidad de una línea mecánica?¿Y la de la línea a mano alzada? 29. ¿Cómo son las siguientes líneas? Dibújalas y explica sus características. ♦ Contorno ♦ Acotado ♦ Eje 30. ¿Cómo debes sostener el lápiz para el trazo de líneas rectas? 3 1 . ¿Cómo se puede elaborar un triángulo rectángulo? 32. ¿Qué procedimiento se debe emplear para trazar un círculo? 3 3 . ¿Qué entiendes por trazo mecánico? 34. ¿Cómo empleas la escala en un croquis? 35. ¿Cómo se traza el croquis para las siguientes figuras? ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Triángulo Paralelogramo Pentágono Hexágono Octágono Círculo Elipse

7.2 Usa tu imaginación y creatividad Observa cinco objetos para que identifiques en ellos la composición de sus formas geométricas; por ejemplo, un foco puedes dibujarlo auxiliándote en un trapecio, un rectángulo y un círculo. Elabora el croquis de diversos edificios, una catedral, un trailer, un avión, un engrane y un tren empleando el dibujo a mano alzada. 7.3 Investigación 1. Menciona varios pueblos de la antigüedad que se conozcan por sus obras con valor artístico. 2. Escribe cinco actividades en las que se emplee el dibujo. 3. Explica de qué niveles académicos forma parte el dibujo. 4. Investiga qué actividades técnicas o profesionales emplean dibujos a mano alzada. 7.4 Prácticas para el taller de dibujo A continuación se presentan una serie de ejercicios lineales para que el profesor seleccione los que más se adecuen a su curso y con ellos los alumnos pue-


dan realizar sus prácticas de dibujo en el taller o en casa. Con el propósito de no repetir información en esta unidad -la unidad 4 sirve para actividades de ambas unidades- sugiero que se tomen unas con la conducción del profesor y se dibujen a mano libre o alzada y a lápiz.

3. Selecciona diferentes objetos de tu casa y con la conducción del profesor dibújalos a mano libre de acuerdo con la técnica indicada, por ejemplo:

1. Ensaya una serie de ejercicios de línea recta y curvas a mano libre, con trazo suave con base en ejercicios que se proponen en el libro o los que el profesor sugiera.

4. Traza a mano alzada lo siguiente:

♦ ♦ ♦ ♦

Lámina 1. Trazo de líneas rectas horizontales. Lámina 2. Trazo de líneas rectas verticales. Lámina 3. Trazo de líneas rectas inclinadas. Lámina 4. Trazo de líneas rectas combinadas en distinta posición. ♦ Lámina 5. Trazo de líneas rectas curvas. ♦ Lámina 6. Combinación de líneas rectas y curvas. 2. Elabora otra serie de láminas a mano libre y a lápiz. ♦ Lámina 7. Abecedario de mayúsculas. ♦ Lámina 8. Abecedario de minúsculas. ♦ Lámina 9. Números.

♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Composición de jarra con vasos Un frutero Una maceta Un automóvil Circunferencias Cuadrados Triángulos Combinaciones de estas figuras

5. También traza a mano alzada: ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Tornillos Tuercas Engranes El plano de una casa Un plano eléctrico Un torno

6. Visita un taller o una fábrica y con la técnica de mano alzada dibuja varias piezas mecánicas, mecanismos, máquinas, transformadores, lámparas, etcétera. 7. Traza las siguientes figuras decorativas a mano alzada.

Hexágono

Estrella hexagonal

Entrelazado

Estrella octagonal

Triángulo equilátero

Entrelazado

Figura 7.21

La perspectiva

Objetivos

particulares

Al término de la presente unidad el alumno será capaz de: ♦ Conocer, comprender y aplicar la técnica básica de la perspectiva científica y práctica. Objetivos

específicos

♦ Conocer las razones del uso de la perspectiva práctica. ♦ Comprender las bases técnicas de la perspectiva cónica en sus presentaciones en los planos de proyección. ♦ Identificar las bases y aplicación de las perspectivas científica y práctica. ♦ Manejar la perspectiva con uno, dos y tres puntos de fuga. ♦ Aplicar la perspectiva para el trazo de objetos, calles, edificios, etcétera. Hay que apegarse a las normas de higiene y seguridad del dibujo.

Introducción ¿Para qué nos sirve la perspectiva? Toda persona que tiene la necesidad de dibujar trata de darle sentido real a las cosas. Para lograr ese efecto de profundi dad existe una técnica sencilla y práctica llamada perspectiva. La perspectiva ofrece la posibilidad de presentar en un plano, ya sea una hoja de papel, un cuadro, etcétera (que tienen dos dimensiones), objetos de tres dimensiones: largo, ancho y espesor. Así, se produce el efecto psicológico de la tercera dimensión, es de cir, de profundidad; esto lo podemos realizar al trazar dos líneas convergentes, como se observa en la figu ra 8.1 con los rieles del ferrocarril, que son dos vías paralelas prolongadas hasta una gran distancia. Esa técnica la emplea desde el ingeniero, el ar quitecto, el dibujante, el técnico, el artista hasta el pin-

Figura 8.1

tor. Sirve para dibujar objetos que van desde piezas mecánicas, edificios, planos, carreteras, vías de fe rrocarril hasta una inmensa variedad de cosas más.

LA PERSPECTIVA

Nociones de geometría descriptiva Cuando se tiene la necesidad de representar las figuras y cuerpos en el espacio, necesitamos apoyarnos en un recurso matemático llamado geometría descriptiva.

Figura 8.3

Distancia 4 Alejamiento 5 Cota 8 Figura 8.2

Para facilitar la localización y mejorar la vista de ubicación se agrega al diedro (dos planos) otro plano para

Para representar los cuerpos o figuras se requieren emplear los planos de proyección o ángulos diedros.

Planos de proyección Estos dos planos se cortan perpendicularmente uno en posición horizontal (PH) y otro vertical (PV) que se cortan en forma perpendicular. A la línea donde se intersectan los planos se le llama línea de tierra (LT).

Cómo localizar puntos y líneas en el espacio Se recurre al uso de coordenadas por medio de tres valores: Punto P(4, 5, 8)

Figura 8.4


formar un triedro de proyección, donde la ubicación del punto P(4,5,8) de la recta ubicada en la figura 8.5.

La perspectiva en el dibujo técnico Uno de los recursos que emplea el dibujo técnico para el estudio de poliedros, cónicas, cilindro, esfera, toro, entre otros, es con base en las proyecciones de estos objetos sobre otro(s) más plano(s). Para ello se emplean los diferentes sistemas de representación que consisten en proyectar en dos dimensiones los objetos tridimensionales mencionados con anterioridad. De acuerdo con el tipo de proyección utilizada dependerá el sistema de representación empleada.

Proyecciones oblicuas y cónicas Los dibujos en perspectiva son recursos del dibujo técnico que sirven para representar proyecciones axonométricas oblicuas o cónicas, y con ellas hacer dibujos de elementos constitutivos de herramientas, piezas mecánicas, instrumentos e instalaciones industriales de diferentes tipos.

Figura 8.5

¿Qué efectos produce la perspectiva? La perspectiva hace posible presentar los dibujos de los objetos en un sentido real, tal como lo percibe la vista, es decir, en forma tridimensional (tres dimensiones: largo, ancho y espesor). También podemos llamarle dibujo al natural, porque los objetos que se dibujan con esta técnica adquieren un sentido de profundidad y dimensión.

Figura 8.6

Perspectiva cónica con un punto de fuga.

Proyección cónica Figura 8.7

Proyección caballera

Proyecciones oblicuas: cónica y caballera.

Tipos de proyecciones De acuerdo con la forma en que se proyecta sobre un plano, la recta o el sólido geométrico recibe(n) su nombre: a) proyección cilindrica ortogonal, b) proyección cilindrica oblicua c) proyección cónica.

Lo que comúnmente se proyecta de los sólidos geométricos son sus caras, aristas o vértices en los planos, de acuerdo con el número de vistas que se requiera.

Proyecciones axonométricas oblicuas Es uno de los sistemas de representación que se puede emplear sobre un plano de proyección y un triedro trirrectángulo, donde la proyección cilindrica es oblicua. Las proyecciones axonométricas son oblicuas debi do a la posición inclinada del modelo con respecto al pla no de proyección, y se clasifican en: ♦ ♦ ♦

Isométrica. Lo forman ejes con ángulos iguales (120°). Dimétrica. Ejes formados por dos ángulos iguales y uno diferente. Trimétrica. Está formada por ejes con los tres ángulos diferentes.

Los ángulos entre los ejes en las proyecciones dimé tricas y trimétricas pueden variar respecto al modelo que se quiera representar, sin embargo, la suma de estos án gulos debe ser siempre de 360°.

Isométrica

Por lo tanto, la perspectiva lineal o cónica es un siste ma de representación cuyas proyecciones tienen la forma de un cono.

Perspectivas de un cubo Dimótrica

Cuando un cubo tiene dos caras paralelas, el plano del cuadro, las aristas de dichas caras, se proyecta paralelo a sí mismo y las otras caras al ser perpendiculares al plano del cuadro se proyectan como un haz de rectas hasta jun tarse en punto P, al cual le llamamos de fuga.

Trimétrica Figura 8.8

Proyecciones axonometrías oblicuas.

Perspectiva caballera Esta es una axonometría oblicua que tiene la particulari dad de que las proyecciones de los dos ejes forman 90°. Con las perspectivas caballeras se pueden pasar los datos en diédrico simplemente desabatiéndolos.

Figura 8.11

Perspectiva lineal: cubo con dos puntos de fuga.


Si el cubo tienen cuatro caras oblicuas al plano del cuadrado, las proyecciones de las aristas se juntan en dos puntos de fuga.

Perspectiva oblicua o de tres puntos de fuga Cuando las proyeccioens de las aristas del cubo se juntan en tres puntos, a esta perspectiva se le llama cónica o de tres puntos, lo cual se debe a que el cubo tiene todas las caras oblicuas al plano del cuadro, y oblicuas serán también las tres direcciones de haz de rectas en el espacio.

del artístico. En el primero se emplean diferentes sistemas de representación de los sólidos geométricos que tienen tres dimensiones, como por ejemplo: cubo, cilindro, poliedro, etcétera, y que al proyectarse en los planos lo hace en dos dimensiones y si la proyección es cónica el haz de rectas concurre a un punto de fuga. En resumen, los sólidos de tres dimensiones al proyectarse lo hacen en dos, y si es cónica concurren en un punto llamado de fuga. En cambio, en el dibujo arquitectónico o artístico, para darle un sentido real a los objetos, se emplea la técnica de la perspectiva cónica, pero con carácter práctico, sin tener que recurrir tan específicamente a los planos de proyección.

Perspectiva lineal o práctica La perspectiva es una rama muy importante tanto del dibujo técnico como del dibujo artístico. En ambos campos del dibujo se aplica esa técnica: en el primer caso se le denomina científica; y en el segundo, se le llama práctica.

Figura 8.12 Perspectiva cónica de un cubo con tres puntos de fuga.

Caracterización de la perspectiva en el dibujo técnico y el dibujo artístico Es importante resaltar las características específicas de la perspectiva del dibujo técnico y del dibujo arquitectónico o

Figura 8.14

Perspectiva lineal o práctica.

Figura 8.15

Perspectiva con un punto de fuga.

S LH

Perspectiva arquitectónica Figura 8.13

En esta perspectiva encontramos que todas las líneas siguen tres direcciones: las verticales, la fuga de líneas al

LA PERSPECTIVA

Figura 8.16

Perspectiva con dos puntos de fuga.

punto derecho y la fuga de líneas al punto izquierdo (véase la figura 8.15).

Principios generales ♦

La imagen perspectiva de una línea recta, pero de menor tamaño, por ejemplo, líneas ab, a'b, á'b", a"'b"".

Principios que rigen la perspectiva Principios fundamentales ♦ ♦

La magnitud o tamaño de los objetos disminuye en razón de su alejamiento. De dos objetos (magnitudes) iguales el más distante parece ser el más pequeño.

Figura 8.17

Perspectiva arquitectónica.

Figura 8.18


Cuando una recta está de frente a su imagen, es paralela a la recta y en la misma dirección puesto que todos los puntos están equidistantes del cuadro, por ejemplo ab, a'b, a"b" o bd, b'd, b"d".

d)

Las líneas paralelas convergen en un punto de fuga: ab, db' y á'b" convergen en P.F., situado sobre LH. Procedimiento: Se dibuja la cara del objeto paralelo al plano del dibujo. Se ubica el punto de fuga donde más convenga. La línea del horizonte [LH) es paralela a las líneas horizontales del objeto. Se trazan líneas auxiliares que parten de los puntos principales de la cara representada hacia el punto de fuga.

♦ ♦ ♦ ♦

Perspectiva de dos puntos de fuga o angular

Figura 8.19

♦

En este caso dos de sus caras son oblicuas al plano horizontal y las líneas paralelas convergen a los lados en dos puntos de fuga sobre el horizonte.

Cuando una recta se fuga, la dirección de su imagen se obtiene determinando su punto de origen y su punto de fuga, por ejemplo ac, bc. P.F.l.

P.F.D.

Figura 8.22

Figura 8.20

Perspectiva cónica Perspectiva en un punto de fuga o paralela

Perspectiva de tres puntos de fuga oblicua Tres de sus caras son oblicuas al plano pletórico y las líneas paralelas convergen en dos puntos sobre el horizonte y sobre un punto arriba o abajo de éste (horizonte).

a) Una de sus caras es paralela al plano de fuga [ab paralela LH). b) Hay un punto de fuga P.F. c) Hay una línea de horizonte LH.

Figura 8.21

NOTA: LH significa línea horizontal; P.F, punto de fuga; P.F.l., punto de fuga izquierdo; P.F.D., punto de fuga derecho.

LA PERSPECTIVA

Cómo dibujar perspectivas con rapidez 1. La capacidad para dibujar perspectivas con rapidez es algo que le interesa al dibujante. De hecho, la perspectiva no es más que un medio de alcanzar un fin y así es como debe tomarse. El método que se expone a continuación es un medio de visualizar espacios que existen en la mente, su puesta en práctica es rápida y sencilla, aunque se aplique a distintas clases de gráficos.

Se elige una escala y se dibuja un marco del cuadro en la superficie de dibujo, cuyas aristas se dividen y señalan en partes iguales. A continuación se traza la línea del horizonte a nivel del ojo, altura convencional que se sitúa a 1.50 m por encima de la línea de tierra. 2. El punto de fuga controla la dirección de la visión, por lo que su posición en la línea del horizonte y, de ser ello posible lejos del centro, será aquella que dé mayor dinamismo al dibujo. Entonces, y desde el punto de fuga, se trazan líneas radiantes que pasen sobre cada una de las divisiones de la base de "marco de cuadro".

Figura 8.24


Cuaderno de trabajo Lee detenidamente lo siguiente y contesta lo que se te pide. 1. ¿Para qué nos sirve la perspectiva? 2. ¿Qué estudia la perspectiva? 3. ¿Qué entendemos por tercera dimensión? 4. ¿Qué sentido psicológico provoca la perspectiva? 5. ¿Cómo se clasifica la perspectiva lineal o práctica? 6. ¿A qué le llamamos perspectiva de dos puntos de fuga?

Figura 8.25

7. Explica los pasos para aplicar la técnica de perspectiva con un punto. 8.2

Prácticas en perspectiva básica con uno y dos puntos de fuga.

Prácticas para el taller de dibujo Con la asesoría y conducción de tu profesor selecciona algunos de los ejercicios propuestos en tu libro y elabora algunos, primero a mano libre y después, cuando domines el uso de tus instrumentos geométricos, elabóralos con ellos.


Figura 8.25 (continuación)

Prácticas en perspectiva básica con uno y dos puntos de fuga.

a = altura o lado b = base o lado

Tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos

Sus cuatro ángulos son iguales a 90°, o sea, rectos.

Sus ángulos son rectos o sea de 90°.

a = a;b=b

Lados opuestos son ¡guales

Sus cuatro lados son ¡guales.

P=2a + 2b

P = 41 Diagonal: d= 1.414/

P= a + b + c

P = a+b + c P=31

P=AB + BC + AC

En los ángulos se mide su abertura no sus lados

Perímetro

A=ab

A = l2

A= A=

A=

A =

Área

perímetro

2A

h

2A

4

p

/ =0.707 d .l

/=

/=

para calcular el valor de sus lados

c =

b =

a =

Teorema de Pitágoras

3 Altura = 0.866 / /=1.155ft

h=

b=

Fórmulas deducidas

NOTA: Es importante recordarte a todos los alumnos que en la matemática se acostumbra emplear letras que representan medidas de los lados o ángulos; ejemplo: P= perímetro; A = área; I, bo c, lado;Ro r= radio; A, So C, ángulo; a = apotema; Do d= diagonal o diámetro; c= longitud de circunferencia, etcétera.

Rectángulo

Cuadrado

Triángulo rectángulo

/=lado d= diagonal

La hipotenusa es más grande que sus catetos.

b y c = catetos a = hipotenusa h = altura

Tiene 3 lados y un ángulo recto.

Tiene cuatro lados y cuatro ángulos ¡guales

Sus tres lados son ¡guales.

a, b y c = lados /=lado h = altura

Tiene 3 lados y 3 ángulos ¡guales


Sus lados pueden ser ¡guales o diferentes

b - base h = altura p = perímetro a = área

El tamaño de sus lados no tiene límite.

Lados

Figura plana cerrada de 3 lados y 3 ángulos

El ángulo es menor de 90°.

Ángulos

Triángulo

Notación AB = Lado AC = Lado A

Características

Ángulo agudo, su abertura es menor de 90°.

Figura

Ángulo

Nombre

Características, fórmulas y valores de las figuras planas. Perímetro. Es igual a la suma de la longitud de los lados de una figura plana. Área. El área de una figura plana es el espacio o superficie limitada por sus lados Ángulo. Es la abertura de dos semirrectas que concurren a un punto llamado vértice. Características. Son los elementos que constituyen a una figura geométrica. Notación. Son los nombres que se le asignan a los diferentes elementos de las figuras geométricas. Lados. Es la semirrecta limitada por dos letras y forman parte de una figura geométrica. Fórmulas deducidas. Éstas se obtienen a partir de la fórmula principal (área, volumen, etcétera) en ellas encontramos los valores de los elementos desconocidos de las figuras geométricas.

Principios y conceptos básicos de geometría bidimensional

Circunferencia, círculo

Polígonos regulares

Cuadrilátero cualquiera

Trapecio

Rombo

Paralelogramo

Nombre

Apotema

Mitad del perímetro del pentágono

Figura

D = diámetro Linea que pasa por el centro y toca en dos puntos la circunferencia. r= radio Línea que parte del centro y toca en un punto ia circunferencia.

/ = lado a = apotema h = número de lados 1 = pentágono 2 = hexágono 3 = octágono

Figuras planas cerradas que tienen todos sus lados y ángulos iguales.

Circunferencia es ia línea curva cerrada, equidistante a un punto llamado centro. Al área Interna se llama círculo.

Sus ángulos pueden ser ¡guales o diferentes.

a, b,c = lados D = diagonal mayor d = diagonal menor

Figura plana de 4 lados, que puede ser igual o diferente.

El ángulo de un círculo es de 360°

Los ángulos internos de los polígonos deben ser ¡guales.

Los ángulos formados en cada base son ¡guales.

a, b, c, d= lados by d = lados paralelos H= altura lado a = lado c

Carece de lados.

Sus lados son iguales.

a, b, c, d= lados diferentes.

a=c b≠d

Sus cuatro lados son iguales AB = BC = CD = AD

Los ángulos opuestos son iguales:

Figura plana de 4 lados, sus lados opuestos inclinados son iguales.

Sus lados opuestos son ¡guales: a = a' b= b

Lados

Sus ángulos opuestos son ¡guales:

Ángulos

/=lado D = diagonal mayor d = diagonal menor

h =altura b = base o lado a = lado

Notación

Sus cuatro lados son ¡guales.

Sus lados y ángulos opuestos son iguales.

Características

p = c = longitud de circunferencia.

(Base x altura)

Mitad del perímetro del hexágono -

P=nl

P=a+b+c+d

P=a+b+c+d

P = ΛI

P=2a + 2b

Perímetro

A =

A =

= 0.758d

A = 1.721 A= 2.598 A = 3.634 A = 4.828 A= 6.182 A = 7.694

o bien

(b+d)h

Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Eneágono Decágono

A =

A=bh

Área

=

2A h b =

d = 0.318 C

r = 0.159C

d =

2A b+d h =

d=

D=

/

h=

b =

Fórmulas deducidas

Elipse

Sector circular

Segmento circular

Corona circular

/= longitud del arco r= radio n = número de grados

a = semieje mayor b = semieje menor

Es la porción del círculo cuyos lados equivalen a un radio.

Es la figura plana cerrada.

Cuadriláteros La paiabra cuadrilátero significa cuatro lados y se dividen en tres grandes grupos.

círculo

Elementos del

r= radio h= altura o flecha n = número de lados c= cuerda

Se le llama así a una porción del círculo, limitado por una recta llamada cuerda.

Los ejes son perpendiculares entre sí.

Dos de sus lados están formados por radios.

Carece de lados.

Carecen de lados.

aproximado

P=/+2r

valor

/ = 0.017.45m

P = 0.01745-rn+c

A= 0.00873 r2n

Trapezoide

Trapezoides Los que no tienen lados paralelos

Lados iguales de 2 en 2, 2 ángulos agudos iguales y 2 obtusos iguales. Romboide Trapecios

Lados iguales de 2 en 2 y los 4 ángulos rectos.

Los 4 lados iguales, 2 ángulos agudos iguales y 2 obtusos ¡guales.

Los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.

Rectángulo

Rombo

Trapecios Sólo tienen 2 lados paralelos.

Paralelogramos Son los que tienen sus lados opuestos paralelos.

Cuadrado

Es la recta que va del centro a cualquier punto de la circunferencia. Es la recta que pasa por el centro y toca a dos puntos de la circunferencia: 1D = 2r Es la recta que toca en punto R a la circunferencia. Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos L y M. Es la recta que toca en dos puntos a la circunferencia sin pasar por el centro. Es la recta o altura del segmento circular T.

El ángulo está en función del tamaño del arco.

El ángulo "n" depende del tamaño de la cuerda.

Los círculos tienen un ángulo de 360°.

r, radio. D, diámetro. R, tangente. LM, secante. SP, cuerda, f, flecha.

D = diámetro mayor d= diámetro menor R - radio mayor r= radio menor

Es el área formada por los dos circuios concéntricos.


Medición de ángulos La unidad más común para la medición de ángulos es un pequeño ángulo llamado grado. El instrumento utilizado para medir ángulos en grados se llama transportador. Tiene 180 grados indicados en ambos lados, de tal manera

que podemos medir fácilmente cualquier ángulo. La medida del ZABC es 30. El tamaño del ZABC es 30 grados, también se puede escribir así: 30°.

Estudia el transportados e indica el número de grados que tiene cada ángulo:

M

1. m

2. m 3. m 4. m

5. m 6. m

=α = b = c = d = e =f

7.m 8. m 9.m 10. m 11.m 12. m

= 3 = h = i = j = k

=l

APÉNDICES

2. SUGERENCIAS AL PROFESOR A continuación sugiero una serie de ejercicios que usted estará en posibilidad de seleccionar de acuerdo a alcance y características específicas de cada grupo, la técnica de su trazo será de su elección; por ejemplo, con lápiz o a tinta, a mano libre o alzada o con instrumentos geométricos, etcétera. Cuestionario

1. ¿Consideras necesario el uso de diferentes tipos de líneas en el dibujo? ¿Por qué? 2. Dibuja los diferentes tipos de líneas empleadas en el dibujo industrial. ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Línea de contorno Línea de rotura parcial Línea de dimensión o extensión Línea de aristas invisibles Línea de plano de referencia

3. De acuerdo al dibujo arquitectónico y de construcción en su norma se emplean tres gruesos de líneas, ¿cuáles son? 4. Dibuja el siguiente tipo de líneas de construcción: ♦ De extensión ♦ De eje

♦ ♦ ♦ ♦

De trazo Oculta Contorno Límite de terreno

5. ¿Cómo debe usarse la tinta china? 6. ¿Cuáles son las letras transferibles? 7. ¿Cómo se usan las letras transferibles? 8. Explica la técnica para rotular con plantilla. 9. Explica la técnica a emplear cuando entintas un trabajo a lápiz con tiralíneas. 10. ¿Qué es un leroy? 11. ¿A qué le llamamos reglas paralelas? 12. Explica la forma como se rotula con leroy. 13. ¿Qué es un tecnígrafo? 14. ¿Cómo se dibuja con un tecnígrafo? 15. ¿Qué tipo de plumillas conoces? 16. ¿Cómo clasificamos las plumillas?

Trazo de líneas rectas Observa detenidamente cada uno de los ejercicios de trazo de líneas rectas: continua, discontinua, cuadriculada, etc. Prepara los márgenes de tus láminas y recibe las indicaciones de tu profesor para su dibujo. Ejercicio 1 Línea fina mixta

Línea mediana interrumpida

Línea fina continua


Ejercicio 2 a) Traza una cuadrícula de 5 mm con línea fina continua, como la de la muestra.

Traza una retícula de 5 mm inclinada a 60° con línea ancha continua como la de la muestra.

Ejercicio 3 b) Traza una cuadrícula de 5 mm inclinada a 45° con línea mediana continua como la de la muestra.

Completa con el compás las líneas cuyas muestras se dan en el sector del centro C.

APÉNDICES

Trazo de líneas rectas y curvas A continuación propongo una serie de ejercicios lineales para que el profesor seleccione las que más se adecuen a su curso y que los alumnos puedan realizar su práctica a lápiz o a tinta.

Universidad de Guadalajara

Centro de Actividades Industriales

Universidad de Guadalajara

Centro de Actividades Industriales

Marqués Silva Apolonio

Ing. Emilio Pérez Ramírez

López Muñiz Javier

Ing. Emilio Pérez Ramírez

Noviembre 24 de 1995

Lámina No. 8

Junio 7 de 1995

Lámina No. 12

Líneas empleadas en dibujo

Línea de contomos Contorno invisible Línea de centros Línea de centros a lápiz Línea de dimensiones Línea de extensión Posición alterna Línea de movimiento Corte de un plano Línea repetida Material roto Límite quebrado


Trazo de líneas rectas que generan líneas curvas Trazo de líneas rectas a mano libre o con instrumentos geométricos a lápiz o a tinta. 1. Se toma la medida del margen superior y se marca un punto (A) a la mitad. 2. Se trazan dos líneas inclinadas del punto B y C hacia el punto A. 3. Se divide en partes iguales las líneas BA y CA.

4. Así mismo las líneas BD y CE se dividen en partes iguales. 5. Se unen los puntos marcados en las líneas BD y AB. 6. Se unen los puntos marcados en las líneas CE y AC

APÉNDICES

Diferentes ejercicios de trazo de abecedarios y números En mayúsculas, minúsculas, en posición vertical e inclinada y a diferentes tamaños.

Indicaciones Para su elaboración el profesor te dará las instrucciones necesarias: si han de elaborarse a lápiz o a tinta, a mano libre o con instrumentos geométricos, en el libro o en una lámina específicos para ello. Lámina 1. Abecedario mayúsculo en posición vertical. LETRA DERECHA 90°

LÁMINA

Altura h = 6 mm

Lámina 4. Abecedario mayúsculo inclinado a 75°. Altura h = 6 mm

Lámina 2. Abecedario minúsculo en posición vertical.

LETRA INCLINADA

Lámina 5. Abecedario minúsculo inclinado a 75°. 75° (30° + 45°)

75°

LÁMINA


Lámina 6. Letras y números inclinados en mayúsculas.

Lámina 7. Letras y números inclinados en minúsculas.

Lámina 8. Letras y números verticales en mayúsculas.

Lámina 9. Letras y números verticales en minúsculas.

APÉNDICES

Se sugiere que el alumno elabore o trace en su libro las prácticas de abecedario en letra derecha a mano libre. Como segunda etapa haga en lámina prácticas a mano libre y con plantilla.


Trazo de una estrella a base de líneas rectas

Trazo de letras a mano libre Traza a mano libre y sobre las letras el abecedario mayúsculo en posición vertical e inclinado a lápiz. A continuación elabora las siguientes prácticas de letras y números en posición vertical e inclinada, mayúsculas y minúsculas, siguiendo las indicaciones en los movimientos en el trazo.

Espiral envolvente Observa, analiza y piensa cómo es su elaboración y trázala.

Composición

geométrica

Geometría plana

Estrella octagonal

Hexágono


Estrella hexagonal

Entrelazado

Entrelazado


Trazo de circunferencias y líneas rectas finas

Lectura: El dibujo geométrico, cimiento del dibujo técnico El origen de la geometría está ligada al proceso de desarrollo de la humanidad. Hubo un momento, hace miles de años, en que las cosas que nos rodean y las que a diario empleamos recibieron un nombre de acuerdo a sus características, y con base a ello, a una figura cerrada con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos se le llama cuadrado. A partir de este proceso, se generaron las propiedades de cada figura, y poco a poco se fue construyendo lo que hoy conocemos como geometría clásica o euclidiana, este último nombre como reconocimiento al matemático griego Euclides. En forma paralela a la construcción de esta rama de las matemáticas, se fue encontrando la metodología para la construcción de las diferentes figuras o formas geométricas bidimensionales, razón por la cual también le llamamos geometría plana. ¿Por qué es importante a lo que ahora le llamamos dibujo geométrico? La razón es muy sencilla, porque esta rama del dibujo técnico aporta la metodología para dibujar con perfección cualquiera de las formas geométricas planas que existen a nuestro alrededor. Esto significa que en el hogar, el taller, la fábrica, etc., nos ocupamos de trabajar con objetos o cosas que tienen alguna forma

geométrica, y es el dibujo geométrico el que propone la técnica para elaborar dichos objetos. Por lo tanto, ante esta situación, podemos decir que el dibujo geométrico es el cimiento del dibujo técnico, y si un estudiante de ingeniería o de una carrera técnica quiere dominar el dibujo técnico, se le facilitará sobremanera si domina en primer lugar el dibujo geométrico. Aplicación del dibujo geométrico Un albañil se ocupa de hacer trazos geométricos en la cimentación de una casa, un mecánico trabaja a diario con un gran número de piezas mecánicas que tienen formas geométricas, por ejemplo, tuercas cuadradas, hexagonales, tornillos de diferente tipo de cabeza o rosca, etcétera. El dibujo geométrico como auxiliar del avance tecnológico Uno de los avances más significativos en la tecnología es el invento de la rueda. Su conocimiento fue producto de varios factores: casualidad, observación, necesidad, etc.

APÉNDICES

No se sabe con precisión la fecha en que el hombre comenzó a utilizar la rueda, sin embargo, es un instrumento que revoluciona todos los esquemas técnicos que el hombre conocía hasta entonces. El uso de la rueda benefició de inmediato el trabajo del hombre, pues con ella podía transportar objetos de un lado a otro con menos trabajo y con un mayor ahorro de tiempo, por otro lado, la rueda fue la precursora directa de las máquinas que ahora conocemos, y está presente en las llantas y engranes de los automóviles, las poleas de una bomba de agua o la hélice de un avión.

Ahora bien, el dibujo geométrico permite diseñar y planear todo el conjunto de piezas y elementos mecánicos que integran una máquina como las antes mencionadas, pues cada una está constituida por una o varias formas geométricas integradas. Así, un círculo puede representar ruedas o engranes; dos círculos unidos por un par de líneas, dos poleas y una banda que las une; una espiral, un resorte, etcétera. Podemos seguir enunciando un gran número de ejemplos en donde las formas geométricas son el cimiento del dibujo técnico y de los mecanismos de una máquina.

Los fundamentos del dibujo geométrico se exponen en esta obra didáctica a través de ejercicios y problemas específicos que debe resolver el estudiante. En los primeros capítulos se describen con un lenguaje sencillo y claro, las principales herramientas y los instrumentos de trabajo más comunes, así como algunas recomendaciones para su uso. Los capítulos posteriores integran conceptos geométricos básicos, señalando características y métodos para realizar trazos, dibujar figuras, calcular tangencias e intersecciones. Un libro diseñado para todos aquellos que desean tener éxito profesional.

Acerca del autor: Emilio Pérez Ramírez, posee una amplia preparación académica y profesional en el área del dibujo técnico y geométrico y ha escrito más de 12 libros relacionados con temas del área de la tecnología y de las matemáticas. Sus conocimientos y experiencias le han permitido lograr importantes investigaciones en el medio superior.

Dibujo Tecnico Y Geometrico t273t

Overview 26281t

More details 6y5l6z

Related Documents 3h463d

Dibujo Tecnico Y Geometrico t273t

Dibujo Geometrico 301sv

Dibujo Basico Lineal Geometrico 5b5b37

Dibujo Tecnico 22419

Dibujo Tecnico 22419

Dibujo Tecnico 22419

More Documents from "Felipe Valenzuela" t3q4

Dibujo Tecnico Y Geometrico t273t

Guionismo Para Videojuegos 2d532b

Micro Econom I A 6a6dm

4p345f

Ciclo Inverso De Carnot 342i58

Curso De Poker (bueno) 3i2gt