Didactica De La Matematica 234923

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2. TAREAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA CONTENIDO DE CAPÍTULO • • • •

Noción de tarea La demanda cognitiva de una tarea Evolución de la demanda cognitiva de las tareas durante la enseñanza Variables de tarea y demanda cognitiva

M.ª Carmen Penalva Universidad de Alicante Salvador Llenares Universidad de Alicante Este capítulo se centra en el papel que las tareas matemáticas desempeñan en los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en educación secundaria. También se ponen de manifiesto las diferentes características que se pueden considerar en relación con la actividad matemática que es posible desarrollar durante su resolución. Para ello caracterizamos la noción de tarea y la actividad matemática que pueden llegar a generar los estudiantes. Además, la cuestión de la elección, selección y diseño de las tareas matemáticas se plantea desde la perspectiva de considerarlas como instrumentos para el aprendizaje de los estudiantes. Esta perspectiva lleva a la introducción de la idea de demanda cognitiva y cómo utilizarla para analizar las tareas en función de los objetivos de aprendizaje matemático pretendidos. La descripción y caracterización de dos maneras de uso de la noción de demanda cognitiva para el análisis de las tareas se muestra a través de diferentes ejemplos. Finalmente, la caracterización de las tareas a través del tipo de actividad matemática que pueden potenciar –idea de demanda cognitiva– permite introducir tres aspectos relevantes en el análisis de las tareas matemáticas: • La evolución de la demanda cognitiva de las tareas durante la enseñanza. • Las consecuencias de cambiar una tarea, analizando sus diversas versiones y cuestionándose las diferentes posibilidades de potenciar el aprendizaje matemático.


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DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

• Como consecuencia, la introducción de la idea de variable de tarea y su relación con la demanda cognitiva.

Noción de tarea Uno de los elementos más importantes para el aprendizaje de las matemáticas son los problemas, las actividades y los ejercicios que el profesor propone a sus estudiantes. Para unificar los términos vamos a denominar tarea a las propuestas de acción que los profesores plantean a sus estudiantes para el aprendizaje de las matemáticas. Es decir, el problema o ejercicio según viene reflejado en el libro o material curricular (texto o actividad interactiva en Internet). Denominaremos actividad al conjunto formado por la tarea y el sistema de actividades cognitivas individuales y/o sociales desarrolladas por el resolutor (real o hipotético); y procedimiento al método de realización de algunas cosas (RAE). Las tareas pueden tener diferentes formas y responder a diferentes objetivos, como se muestra en el ejemplo 1. Ejemplo 1 1. Escribe un número real comprendido entre: •

2y 3

• 1,4142 y 1,4143 •

1 2 y 3 5

2. La duración en segundos de las llamadas de una empresa tomadas de un recibo son las siguientes: 120, 131, 142, 157, 15, 27, 94, 57, 62, 12, 49, 58, 149, 210, 131, 120, 97,84, 61, 32, 15, 7, 21, 32, 238, 210, 48, 56, 139, 24, 64, 31, 23, 58, 69, 234, 13, 66, 54, 214, 156, 179, 231, 204, 147, 32, 15, 7, 64, 56, 73, 114, 169, 201, 134, 62, 93, 42, 58. • Agrupa los datos en ocho clases. • Forma la tabla de frecuencias completa. • Representa el histograma y el polígono de frecuencias. • Representa el histograma acumulado y el polígono de frecuencias acumulado. 3. Tarea del bloque de Geometría, 3.º ESO (Fuente: M3 Matemáticas, Editorial Anaya). Ejercicios resueltos. 1. Probar que los polígonos del ejemplo de la página 185 son semejantes. Bastará con probar que los tres pares de triángulos correspondientes en los que hemos descompuesto las figuras son semejantes. Para ello, sólo tenemos que comprobar que tienen dos ángulos iguales en cada caso: 62º 45º

62º

57º

45º 30º

30º

57º 40º

35º

35º

40º

Como los triángulos son semejantes, también lo son las figuras originales.


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TAREAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA

2. Utilizar la semejanza de los triángulos ACD y AFE para obtener

A

la relación entre la diagonal, d, y el lado, 1, de un pentágono B

regular.

E

Vamos a probar que los triángulos tienen dos pares de ángu-

F

los iguales. Para ello, inscribimos la figura en una circunferencia.

C

1’ = 1 porque están inscritos en la circunferencia y abarcan arcos

D

iguales.

1 1’

2’ = 2 por el mismo motivo.

2’

Por tanto, según el criterio anterior, los dos triángulos isósceles son

F

semejantes y sus lados son proporcionales. Si tomamos l = 1:

2

d 1 = → d 2 – d = 1 → d 2 – d – 1= 0 1 d –1 1± 1+ 4 1+ 5 →d ≈ 1, 618… 2 2 d d 1+ 5 La relación pedida es: = ≈ d ≈ 1, 618… l 1 2 d=

1 d

d

1 d–1

1

Las tareas matemáticas son importantes ya que determinan lo que los estudiantes pueden llegar a aprender. En este sentido, las tareas son los instrumentos que utiliza el profesor para que los estudiantes aprendan matemáticas; por lo tanto, existe un vínculo entre el aprendizaje y la gestión de las tareas en el aula. Es decir, no sólo la tarea condicionará su aprendizaje, sino también lo que los estudiantes harán con ella. Por ejemplo, si un estudiante sólo hace multitud de tareas rutinarias con el objetivo de memorizar algoritmos para operar con fracciones de denominador diferente –suma, resta, multiplicación y división–, es posible que lleguen a pensar que aprender matemáticas es seguir instrucciones y resolver las «cuentas» lo más rápida y eficazmente posible. Si las tareas sólo exigen reproducir procedimientos previamente introducidos en clase por el profesor, difícilmente se podrán conseguir otros objetivos. Una implicación importante desde esta reflexión es que los profesores deben elegir las tareas haciendo explícitos los objetivos de aprendizaje que pretenden conseguir. En este sentido, la elección y/o diseño de las tareas por parte del profesor debería apoyarse sobre conjeturas de posibles trayectorias hipotéticas de aprendizaje de los estudiantes intentando resolverlas. Esto es una manera de poner de manifiesto la relación entre la forma que adopta una tarea, su gestión en el aula por parte del profesor y los objetivos de aprendizaje pretendidos. Lo que es importante reseñar aquí es que las tareas, por sí mismas, no son suficientes para potenciar un determinado tipo de aprendizaje, pero sí pueden ser consideradas un elemento clave. Las tareas matemáticas son importantes en el proceso de enseñanza porque representan las oportunidades que el profesorado de matemáticas proporciona a


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los estudiantes para aprender matemáticas y, por tanto, vinculan la enseñanza y el aprendizaje. Además, las características de las tareas realizadas por el alumnado de secundaria determinan el contenido que aprenden y sus creencias relativas a la naturaleza de las matemáticas y sus aplicaciones. En definitiva, las tareas matemáticas dan a los estudiantes información sobre el significado de determinados conceptos y dirigen su atención hacia un dominio matemático particular. Desde estas reflexiones iniciales, las tareas deberían: • Permitir a los estudiantes pensar sobre las situaciones matemáticas más que recordar recetas que deberán seguir. • Reflejar ideas importantes de las matemáticas y no sólo hechos y procedimientos. • Permitir a los estudiantes usar su conocimiento previo en alguna medida. De manera resumida, algunas ideas relevantes que hay que tener en cuenta cuando se quiere hablar de las características de las tareas en las clases de Matemáticas son: • La relación entre las características de las tareas y los objetivos de aprendizaje que se quieren conseguir. • La importancia que puede tener la manera en la que el profesor gestiona una determina tarea en su clase. • La posibilidad de modificar la exigencia de la tarea (su demanda cognitiva) alterando algunos de sus aspectos.

La selección de las tareas La selección de tareas para desarrollar la actividad docente en el aula es uno de los cometidos profesionales que tienen mayor impacto en el aprendizaje del alumnado. Para ello, las tareas deben implicar distintos tipos de actividad (ejemplos 2 y 3), como: • Búsqueda de estrategias de resolución, y análisis de las mismas. Ejemplo 2 Resuelve el siguiente problema comentando las estrategias que has seguido y analizando su pertinencia para resolverlo: ¿Se puede construir un cuadrado conociendo la longitud de la diagonal? Si tu respuesta es afirmativa, constrúyelo y explica la construcción.

• Desarrollo de procesos de simbolización. Uso de lenguaje algebraico y elaboración de gráficas para la formulación de hipótesis.


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Ejemplo 3 Resuelve el siguiente problema y comenta el uso que has hecho en su resolución del lenguaje algebraico y de las gráficas. Un anuncio de una tienda de telefonía móvil proporciona la siguiente información sobre tarifas de contrato: OPERADOR

CUOTA FIJA MENSUAL EN €

COSTE EN € POR MINUTO

Redphone

10

0,20

Blackphone

20

0,25

• ¿Qué costaría hablar durante 15 minutos con cada operador? • Expresa el gasto mensual en función de los minutos hablados. • Representa gráficamente la función correspondiente a cada operador. • ¿Qué operador es más económico? ¿Por qué?

De esta manera, la actividad que va a desarrollar el estudiante constituye una referencia inicial para el análisis de tareas, ya que permite seleccionar tareas y analizar las producciones de los alumnos.

La demanda cognitiva de una tarea Como habíamos indicado, no todas las tareas se eligen o diseñan con el mismo fin. Variando las tareas con respecto a diferentes características es posible producir diferentes tipos de actividades matemáticas. Lo que la tarea exige a los estudiantes determina la demanda cognitiva de la tarea y en parte su potencial de aprendizaje. Por demanda cognitiva de una tarea se entiende la clase y nivel de pensamiento que su resolución exige a los alumnos. La clase y nivel de pensamiento en el que se implican los estudiantes determinará lo que ellos pueden llegar a aprender. Así, las tareas se tienen que corresponder con los objetivos de aprendizaje y llegar a reflejar un amplio rango de ellos. Por ejemplo: • Si el objetivo es aumentar la habilidad y eficacia de los alumnos en recordar hechos básicos, definiciones y reglas (recuperarlos de la memoria), entonces tareas apropiadas pueden ser actividades que estén centradas en la memorización. • Si el objetivo es aumentar la rapidez y exactitud de los estudiantes en resolver problemas rutinarios, entonces pueden ser apropiadas actividades centradas en el uso de procedimientos sin necesidad de poseer un «sentido conceptual» de los mismos. • Si el objetivo es hacer que los estudiantes se impliquen en formas de razonamiento más complejas y desarrollar destrezas de comunicación, es necesario proponer otro tipo de tareas. Las dos tareas siguientes pertenecen al bloque temático de Geometría en el primer ciclo de educación secundaria obligatoria (ESO), la del ejemplo 4 pide a los alumnos que construyan


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triángulos con regla y compás cuando se les proporciona las medidas de los lados. Esta tarea tiene un fuerte carácter procedimental y requiere que el estudiante sea capaz de seguir unos pasos usando regla y compás y de recordar definiciones de triángulos, pero no exige ninguna movilización de los significados de los objetos geométricos de los que trata. Ejemplo 4 Sigue los pasos siguientes y dibuja un triángulo cuyos lados midan, 5 cm, 6 cm y 6cm. Para ello sigue el siguiente procedimiento: • Dibuja con la regla un segmento AB de 5 cm. • Abre el compás y traza un arco, primero desde el punto A y después desde el punto B. • Llama C al punto donde se cortan los dos arcos. Une el punto C con A y B. ¿Cómo es el triángulo que has trazado según los lados? ¿Y según sus ángulos? ¿Qué has trazado según sus lados?, ¿y según sus ángulos?

Sin embargo, la actividad del ejemplo 5 es más abierta en el sentido de posibilitar generar varios procedimientos de solución. Además, en los procesos de construcción, esta tarea permite identificar las propiedades o relaciones geométricas para justificar el proceso de construcción. Ejemplo 5 Construye triángulos isósceles utilizando diferentes procedimientos. Describe los procedimientos utilizados. • Indica qué elementos geométricos usas es cada procedimiento. • Justifica tus respuestas con el fin de convencer a tus compañeros de la idoneidad de los procesos utilizados.

La tarea de construcción del ejemplo 5 posibilita explicitar a los estudiantes «el conocimiento geométrico» que la justifica, por lo que el significado de la «construcción geométrica» puede emerger desde la forma en que se realiza la actividad de construir y la actividad de discusión matemática relacionada. La idea de demanda cognitiva de una tarea permite centrar la atención en lo que le exige al resolutor. De esta manera, el foco se sitúa en lo que el estudiante tiene que hacer: • Reproducir/memorizar. • Aplicar procedimientos sin conexión. • Considerar el significado de los procedimientos y los conceptos. • Establecer relaciones y coordinar significados («hacer matemáticas»). Sin embargo, no tienen un valor absoluto las valoraciones de las tareas según la actividad matemática que potencialmente pueden ayudar a generar. Dependen del conocimiento previo de los estudiantes, de las pequeñas modificaciones que el profesor pueda hacer y de la manera


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en la que el profesor pueda llegar a plantearla en el aula. Aunque estas dos últimas cuestiones –modificación e implementación– serán tratadas en las próximas secciones, hay que indicar que el potencial de la idea de demanda cognitiva para el análisis de la tareas permite centrar la atención sobre el papel de la tarea como instrumento para el aprendizaje de los estudiantes. Existen diferentes concreciones de la idea de demanda cognitiva para el análisis de las tareas, nosotros aquí presentamos dos como ejemplos del uso de esta perspectiva. El Programme for International Student Assessment (PISA) considera tres niveles de exigencia en las tareas que plantean (OCDE, 2003): • Primer nivel: reproducción y procedimientos rutinarios. Ejercicios relativamente familiares que requieren la reiteración de los conocimientos practicados (recuerdos de propiedades, uso de procedimientos rutinarios, aplicación de algoritmos, realización de operaciones sencillas…). • Segundo nivel: conexiones e integración para resolver problemas estándar. Plantean mayores exigencias para su interpretación y requieren establecer relaciones entre distintas representaciones de una misma situación. • Tercer nivel: razonamiento, argumentación, intuición y generalización para resolver problemas originales (reflexión). Los ítems requieren cierta comprensión y reflexión, creatividad para identificar conceptos o enlazar conocimientos. Exige generalización y explicación o justificación de los resultados. Actividad 1 Busca tareas en los materiales de que dispongas e intenta encontrar al menos una de cada nivel marcado por PISA. Consulta: •

OCDE (2003). Programme for International Student Assessment. Ministerio de Educación y Ciencia (MEC) - Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE) (2005) PISA 2003. Pruebas de matemáticas y de Solución de Problemas. Monografía SUMA 03.

Si no la encuentras, trata de diseñarla.

Por otra parte, Stein y colaboradores (Smith y Stein, 1998) utilizan el nivel de demanda cognitiva de las tareas para diferenciarlas según el potencial que puedan tener para desarrollar diferentes aspectos del aprendizaje: • Nivel 1: tareas de memorización. • Nivel 2: tareas de procedimientos sin conexión. • Nivel 3: tareas de procedimientos con conexión. • Nivel 4: tareas que requieren «hacer matemáticas».


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Caracterizados de la siguiente manera: • Nivel 1: tareas/actividades de memorización. - Implican reproducir fórmulas, reglas, hechos o definiciones previamente aprendidas o dirigidas a memorizar fórmulas, reglas, hechos o definiciones. - No son ambiguas, implican reproducir exactamente algo previamente visto, y lo que tiene que ser reproducido está clara y directamente establecido. - No ponen en evidencia los conceptos o significados que subyacen a los hechos, reglas, fórmulas o definiciones que están siendo aprendidas o reproducidas. • Nivel 2: tareas/actividades de procedimientos sin conexión. - Son algorítmicas. El uso de un procedimiento es específicamente reclamado o su uso está evidentemente basado en la instrucción previa, la experiencia o el lugar de la actividad/tarea en la programación. - Requieren una demanda cognitiva limitada para realizarla con éxito. Existe poca ambigüedad en lo que se necesita hacer y cómo hay que hacerlo. - No tienen conexión con los conceptos o significados que subyacen al procedimiento que está siendo usado. - Están centradas en producir respuestas correctas más que en desarrollar comprensión matemática. - No requieren explicaciones, o sólo explicaciones que se centran en describir el procedimiento usado. • Nivel 3: tareas/actividades de procedimientos con conexión. - Se centran en el significado de la noción o procedimiento. Focalizan la atención de los estudiantes en el uso de procedimientos con el propósito de desarrollar la comprensión de los conceptos e ideas matemáticas. - Sugieren caminos (explícita o implícitamente) que son procedimientos generales que tienen conexiones estrechas con las ideas conceptuales como opuesto a algoritmos, que son opacos en relación con los conceptos que subyacen. - De manera usual, se representan en múltiples formas (por ejemplo, diagramas visuales, material concreto, símbolos, situaciones problemáticas). El establecimiento de conexiones entre múltiples representaciones ayuda a desarrollar el significado. - Requieren algún grado de esfuerzo cognitivo. Aunque se pueden utilizar procedimientos generales, no es posible hacerlo sin pensar. Los estudiantes necesitan implicarse con las ideas conceptuales que subyacen a los procedimientos para realizar con éxito la tarea/actividad. • Nivel 4: tareas/actividades que requieren «hacer matemáticas». - Requieren un pensamiento complejo y no algorítmico (por ejemplo, no existe una aproximación a la realización de la tarea/actividad bien definida de antemano que pueda recordarse, o un camino que sea explícitamente sugerido por la tarea/actividad o la instrucción previa).


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- Requieren que los estudiantes exploren y comprendan los conceptos, procesos o relaciones matemáticas. - Demandan autorregulación del aprendizaje. Exigen a los alumnos tanto generar una respuesta que precisa comprensión conceptual de la noción matemática, como comprobar y explicar la respuesta producida. - Requieren que los estudiantes accedan a conocimiento y experiencias relevantes, y que hagan un uso apropiado de ellas al trabajar a lo largo de la tarea. - Requieren que los estudiantes analicen la tarea y examinen atentamente sus condiciones, que puede que limiten las posibles estrategias de solución y las propias soluciones. - Requieren considerable esfuerzo cognitivo, y pueden implicar cierto nivel de ansiedad para el estudiante debido a la naturaleza no predecible del proceso de resolución requerido. Las tareas de demanda cognitiva baja consisten en la memorización y aplicación rutinaria de algoritmos. Por ejemplo, podría considerarse en este grupo una tarea en la que se pide a los estudiantes realizar operaciones con fracciones aplicando los algoritmos de cálculo ya estudiados, ya que demanda del estudiante repetir las reglas que le permiten realizar las operaciones con fracciones, la distributiva respecto a la suma y la resta, la suma y resta de fracciones con denominador diferente, el signo delante de los paréntesis, la multiplicación y la división de fracciones y el orden y prioridad de las operaciones aritméticas. Así como están planteadas, las tareas no exigen por parte de los estudiantes una comprensión más profunda de los contenidos matemáticos involucrados. Este tipo de tareas se usa con el objetivo de que el estudiante llegue a ser eficaz y rápido en el manejo de los algoritmos y procedimientos. Por otra parte, las tareas de procedimientos con conexión requieren a los estudiantes tener que «pensar» en las relaciones existentes entre las operaciones con fracciones, y de qué manera se pueden justificar los pasos en los algoritmos y procedimientos usados. Por ejemplo, determinar el tamaño de una fracción resultante, llegar a justificar usando cuadrículas por qué el algoritmo de la multiplicación de fracciones funciona de la manera en que lo hace o usar aproximaciones algebraicas para justificar el algoritmo de la división. Además, se pueden potenciar las relaciones entre las fracciones y los decimales, poniendo de manifiesto la semejanza con las operaciones con decimales. Aunque las tareas de demanda alta también exigen el uso de procedimientos y algoritmos, éstos están más claramente asociados con los significados de los conceptos. Asimismo, la implementación de este tipo de tareas en el aula exige una reflexión sobre lo que se está haciendo, así como el desarrollo de la comunicación matemática como una componente de la competencia matemática. Por otra parte, las tareas de demanda cognitiva alta (nivel 4) requieren hacer uso de conexiones entre los conceptos. Por ejemplo, en el bloque de Funciones podemos encontrar tareas del tipo «construir», en el sentido de que se refieren al acto de generar algo nuevo:


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construir una gráfica a partir de una ecuación, construir una gráfica a partir de una tabla de datos o desde la descripción de una situación, o construir una ecuación a partir de una gráfica y/o tabla de datos. Ejemplos de este tipo de tareas son las siguientes actividades. Actividad 2 Busca tareas en los materiales de que dispongas e intenta encontrar al menos una por cada uno de los 4 niveles marcados por los autores citados. Si no la encuentras, trata de diseñarla.

Actividad 3 Resuelve los dos problemas siguientes y comenta el nivel de dificultad de los mismos siguiendo las dos clasificaciones dadas. 1. La depreciación del coche, que puedes encontrar en: • SHELL CENTRE FOR MATHEMATICAL EDUCATION (1990). El lenguaje de funciones y gráficas. Bilbao: MEC-Servicio Editorial Universidad del País Vasco. «Cuando mi coche era nuevo me costó 23.000 €. Su valor se está depreciando a un ritmo del 20% anual. Esto quiere decir que después de un año su valor era: 23,000 x 0.8 = 18,400 € Y después de dos años su valor será: 18,400 x 0.8 = 14,720 € ¿Cómo continuará cambiando su valor?»

2. El coste de una ventana cuadrada depende de su tamaño , que puedes encontrar en: • AZCÁRATE, C. y DEULOFEU, J. (1990). Funciones y gráficas. Madrid: Síntesis. «El precio del cristal es de 12 euros por dm2, y el del marco, 24 euros por dm ¿cuánto costará una ventana de 7 dm, de 1 m y de 1,5 m? Construye una tabla, con los datos anteriores y otros que elijas, que dé el coste según la longitud del lado de la ventana. Sitúa los valores de la tabla anterior en una gráfica. Escribe una fórmula que dé el coste, conocida la longitud del lado.»

Este tipo de actividades son «aligeradas» en la actualidad por el uso de las calculadoras gráficas, pero permiten moverse hacia una interpretación de una conducta global y generalizar desde una gráfica o desde un número determinado de gráficas que comparten una característica común. La construcción se diferencia de la interpretación en que requiere generar nuevas partes que no son dadas y, debido a la dificultad de construir una ecuación desde una gráfica, este tipo de tareas suele aparecer menos. El cuadro 1 (en la página siguiente) resume las características de los niveles de demanda cognitiva descritos (Smith y Stein, 1998).


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Cuadro 1. Características de los niveles de demanda cognitiva de las tareas

DEMANDAS DE NIVEL BAJO

DEMANDAS DE NIVEL ALTO

Tareas de memorización

Tareas de procedimientos con comprensión

• Implican reproducir fórmulas, reglas, hechos o definiciones previamente aprendidas que deben ser memorizadas. • No son ambiguas, lo que tiene que ser reproducido está claramente establecido. Ejemplo: «A un grupo de estudiantes de 3.º de ESO les han hecho una encuesta y les han preguntado sobre su afición al baloncesto. Los resultados obtenidos son: LES GUSTA EL

NO LES GUSTA

BALONCESTO

EL BALONCESTO

Chicas

6

4

Chicos

10

7

Elegida una alumna al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el baloncesto?, ¿y a un alumno?» • No ponen en evidencia los conceptos o significados que subyacen a los hechos, reglas, fórmulas o definiciones que están siendo aprendidas o reproducidas. Tareas de procedimientos sin conexión • Son algorítmicas. El uso de un procedimiento es evidente. • Hay poca ambigüedad sobre lo que se debe hacer y cómo hay que hacerlo. Ejemplo: «Construye un triángulo en el que los tres lados midan 7, 14 y 10 cm, y los ángulos comprendidos entre los tres lados midan 30° y 135° respectivamente». • No pone en evidencia los conceptos o significados que subyacen en el procedimiento. • Pretenden producir respuestas correctas, basadas en la instrucción previa más que en desarrollar comprensión. • No requieren explicaciones, o solo explicaciones que se centran en describir el procedimiento usado.

• El uso del procedimiento tiene la finalidad de aumentar la comprensión de los conceptos. • Sugieren caminos que tienen conexiones estrechas con los conceptos. Usualmente se representan de formas distintas: diagramas, material concreto, símbolos. Realizando conexiones se desarrolla el concepto. Ejemplo: «Los estudiantes de la clase de 2.º A han contestado a la pregunta: “¿Qué bocadillo prefieres para almorzar?” Obteniéndose el siguiente resultado: Tomate: 6 Queso: 10 Jamón: 12 Sobre la base de esta información, ¿qué porcentaje de cada clase de bocadillos debería preparar el encargado de la cafetería?» Requieren algún grado de esfuerzo cognitivo, hay que relacionar conceptos, no se pueden utilizar sin pensar.

Tareas de procedimientos con comprensión • Requieren un pensamiento no algorítmico y complejo, no existe un camino que pueda ser recordado o indicado por la actividad. • Exige que los estudiantes exploren y comprendan los conceptos, procesos o relaciones matemáticas implicadas. • Requiere que los estudiantes accedan a conocimientos relevantes. Ejemplo: F C

E A

B

«Por C se traza una paralela al segmento AB. ¿Qué relación existe entre la longitud de AB y de EF?» • Requiere que sean examinadas atentamente las condiciones implícitas en la estructura. Requieren un considerable esfuerzo cognitivo y pueden implicar ansiedad.


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Evolución de la demanda cognitiva de las tareas durante la enseñanza Es necesario examinar la evolución de las tareas durante el desarrollo del currículo. El propio texto de la istración, al referirse a los contenidos de matemáticas de secundaria obligatoria, indica el potencial de los mismos para el establecimiento de conexiones conceptuales y las posibilidades para los estudiantes para conseguir resultados y procesos de nivel alto de demanda cognitiva. Así, por ejemplo, el «Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Enseñanza Secundaria Obligatoria» para el bloque de Geometría se indica: La geometría, además de un conjunto de definiciones y fórmulas para el cálculo de superficies y volúmenes, es, sobre todo, describir y analizar propiedades y relaciones, y clasificar y razonar sobre formas y estructuras geométricas. El aprendizaje de la geometría debe ofrecer continuas oportunidades para construir, dibujar, modelizar, medir o clasificar... (BOE,2007, p. 751)

A través de los cuatro cursos de la educación secundaria se pretende que los estudiantes hagan matemáticas, que matematicen algunos aspectos de su entorno. La matematización es el proceso de construcción de un modelo matemático (por ejemplo, la idea de eje de simetría). Un modelo matemático se define como la organización sistemática de un conjunto de conceptos matemáticos (eje de simetría: equidistancia, mediatriz, perpendicular). La concretización es el proceso inverso a la matematización y es el proceso de transferir un modelo matemático a la realidad (¿de qué manera podemos agrupar las formas de las señales de tráfico que reflejan algún eje de simetría? ¿Podemos usar la idea de eje de simetría para clasificar formas de insectos?). Por otra parte, el proceso de matematizar se apoya en un uso adecuado del lenguaje. Tanto la matematización como la concretización deben ir desarrollándose en un proceso dialéctico continuo y cada vez cualitativamente superior (introducción paulatina de terminología, introducción paulatina de procesos cognitivos cada vez más exigentes: desde describir a analizar, clasificar, etc.). Esta interacción del ciclo matematización-concretización obliga a considerar situaciones sucesivas que permitan una evolución del conocimiento y dominio de la realidad. En el proceso de hacer matemáticas conocido como matematización se identifican dos procesos (OCDE, 2003): • Matematización horizontal: traducir los problemas desde el mundo real al matemático.


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• Matematización vertical: una vez traducido a una expresión matemática se pueden plantear cuestiones en las que utiliza conceptos y destrezas matemáticas. La matematización horizontal se sustenta sobre actividades como: • Identificar las matemáticas que puedan ser relevantes respecto al problema. • Representar el problema de modo diferente. • Comprender la relación entre los lenguajes natural, simbólico y formal. • Encontrar regularidades, relaciones y patrones. • Reconocer isomorfismos con otros problemas ya conocidos. • Traducir el problema a un modelo matemático. • Utilizar herramientas y recursos adecuados. La matemátización vertical incluye: • Utilizar diferentes representaciones. • Usar el lenguaje simbólico, formal y técnico y sus operaciones. • Refinar y ajustar los modelos matemáticos, combinar e integrar modelos. • Argumentar. • Generalizar. En el ejemplo 6 se presenta una tarea propuesta a unos estudiantes de secundaria. Ejemplo 6 En un periódico local han aparecido unas ofertas de empleo para repartir pizzas. La pizzería A paga a cada repartidor 0,60€ por pizza repartida y una cantidad fija de 60€ al mes. La pizzería B paga 0,90€ por pizza repartida y 24,00€ fijos al mes. ¿Qué oferta te parece la mejor? Explica por qué tu elección es la mejor.

Actividad 4 Resuelve este problema y compara tu respuesta con las que se ofrecen y comentan a continuación. Indica especialmente dónde reconoces aspectos de matematización horizontal y dónde de matematización vertical.

El cuadro 2 (en la página siguiente) muestra la respuesta de unos alumnos de 4.º de la ESO que reflejan aspectos de la matematización horizontal al identificar las matemáticas que pueden ser relevantes respecto al problema, representar el problema de modo diferente y comprender la relación entre los lenguajes natural, simbólico y formal.


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Cuadro 2. Respuesta a la tarea del ejemplo 6

Pizzeria A Pizza entregada → 0,6 € Cantidad fija → 60 € al mes

Pizzeria B Pizza entregada → 0,9 € Cantidad fija → 24 € al mes

Suponemos que la pizzeria A y B han repartido lo mismo (100 pizzas al mes). Pizzeria A → 60 € por pizzas entregadas 60 € al mes 120 € cada mes

Pizzeria B → 90 € por pizzas entregadas 24 € al mes 114 € cada mes

La pizzeria A es la mejor oferta.

Por otra parte, la respuesta del cuadro 3 muestra rasgos de procesos de matematización vertical al utilizar diferentes representaciones: • Usar el lenguaje simbólico, formal y técnico y sus operaciones. • Refinar y ajustar los modelos matemáticos, combinar e integrar modelos. • Argumentar. • Generalizar. Cuadro 3. Respuesta a la tarea propuesta en el ejemplo 6 que refleja aspectos de proceso de matematización vertical Pizza A → 0,6 € → 60 € fijos Pizza B → 0,9 € → 24 € fijos Cantidad de pizzas Oferta A Oferta B

1 60,6 24,9

2 61,2 25,8

n 0,6.n + 60 0,9n + 24 B A

0,6n + 60 = 0,9n + 24 0,6n + 36 = 0,9n 36 = 0,3n 36 =n 0, 8 n = 120

120 Si pensamos en repartir menos de 120 pizzas es más interesante la oferta A.

En el cuadro 4 se describen algunas características del proceso de matematización del paso de un curso a otro referidos a contenidos de Geometría correspondientes a las figuras planas.


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Cuadro 4. Ejemplo de evolución de un proceso de matematización

CURSO CONTENIDOS ESO CURRICULARES

NIVEL DE

EXPLICACIÓN DE

DEMANDA

LAS CATEGORÍAS

DE LAS TAREAS

1.º

• Descripción de las figuras planas elemen- Procedimientos Las tareas se deben centrar en los tales: triángulos, cuadriláteros, polígonos re- con conexión. procedimientos. Es decir, tareas gulares. que requieren una comprensión de • Clasificación de triángulos y cuadriláteros a los conceptos y el establecimienpartir de diferentes criterios. Estudio de sus to de relaciones inclusivas entre propiedades, características y relaciones en esellos a partir de sus características. tos polígonos. Conllevan también el uso de dife• Construcción de triángulos y polígonos regularentes representaciones y la converres con los instrumentos de dibujo habituales. sión de unos sistemas a otros.

2.º

• Triángulos rectángulos. El teorema de Pitágo- Procedimientos Se introduce el uso de la medida para ras. Justificación geométrica y aplicaciones. con conexión. matematizar relaciones entre longi• Idea de semejanza: figuras semejantes. Amtudes y áreas. Las tareas se centran en pliación y reducción de figuras: razón de seel uso de procedimientos explicados mejanza y escalas. Razón entre las superficies previamente en contextos significade figuras semejantes. tivos, implican diferentes pasos y uso de diagramas y símbolos.

3.º

• Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágo- Hacer ras a la resolución de problemas geométricos matemáticas. y del medio físico. • Uso de los movimientos para el análisis y representación de figuras y configuraciones geométricas.

El proceso de matematización se hace más complejo porque se centra en las aplicaciones y transformaciones. No hay procesos previstos.

4.ºA

• Aplicación de la semejanza de triángulos y el Hacer teorema de Pitágoras para la obtención indi- matemáticas. recta de medidas. Resolución de problemas geométricos frecuentes en la vida cotidiana. • Utilización de otros conocimientos geométricos en la resolución de problemas del mundo físico: medida y cálculo de longitudes y áreas. • Iniciación a la geometría analítica plana: coordenadas de un punto; distancia entre dos puntos.

Se hace énfasis en las aplicaciones al mundo real. Requieren explicaciones. Se introducen otros modelos matemáticos. Se da la interacción matematización-concretización.

4.ºB

• Figuras semejantes: razón entre longitudes y Hacer áreas de figuras semejantes. matemáticas. • Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones entre ellas. • Relaciones métricas en los triángulos. Resolución de triángulos rectángulos. • Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes y áreas.

Las tareas conllevan, además, nuevos signos matemáticos: las razones trigonométricas, que tienen la dificultad añadida correspondiente a la comprensión del desarrollo de los signos matemáticos.


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La selección de tareas de demanda de nivel alto no garantiza un nivel alto de razonamiento de los estudiantes. Debemos considerar también la evolución de una tarea durante su implementación en el aula e indagar si se mantiene con el nivel de exigencia cognitiva con el que había sido seleccionada. Stein y otros (2000, p. 4) identifican fases (cuadro 5) en las que se puede alterar el nivel de demanda cognitiva de una tarea durante el proceso de enseñanza. Cuadro 5. Fases en las que se puede modificar la demanda cognitiva de la tarea

Tareas tal como aparecen en los materiales curriculares

Tareas tal como son interpretadas por el profesor

Tareas tal como son implementadas por los alumnos

Aprendizaje alumnado

Actividad 5 En el párrafo anterior se afirma que: «La selección de tareas de demanda de nivel alto no garantiza un nivel alto de razonamiento de los estudiantes.» Pon un ejemplo en el que pueda verse cómo una tarea de un nivel alto pierde dicho carácter por la forma en la que se plantea. Intenta inferir qué consecuencias pueden derivarse de esta reflexión para la práctica de aula.

Evolución del nivel de demanda en procesos de simbolización Los procesos cognitivos relativos a la formación de conceptos como abstracción, simbolización, búsqueda de relaciones entre conceptos, generalizaciones, etc., son ejemplos de tareas de demanda alta que tienen que realizar los estudiantes de Matemáticas de educación secundaria. Por ejemplo, en los procesos de enseñanza y aprendizaje del concepto de potencia, que promueven los libros de texto, no siempre se mantiene el nivel de los procesos de abstracción asociados al desarrollo de los signos matemáticos. Así, la ampliación del significado del concepto de potencia requiere estrategias que están presentes en todos los libros de texto y se pueden considerar que constituyen la fenomenología del concepto. Estas estrategias son: • Uso de ejemplos: ilustrar determinadas características del concepto o de sus propiedades, de manera que dichas características son percibidas como intrínsecas. (–5)2 · (–5)3 = [(–5) · (–5)] · [(–5) · (–5) · (–5)] = (–5) · (-5) · (–5) · (–5) · (–5) = (–5)5 = (–5)2+3 • Aplicación a tareas simples: aplicación directa de una definición o propiedad para la resolución de tareas, con el objetivo de desarrollar algún algoritmo, sin referencia a contextos específicos. ⎛ a⎞ = a ⋅ a ⋅ a = a⋅a⋅a = a ⎜⎝ ⎟⎠ b b b b b ⋅ b ⋅ b b3 3

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• Particularización: estudio del concepto o de sus propiedades en un caso particular para hacerlo más concreto. «Potencia de exponente entero positivo (1, 2, 3...) son fáciles de interpretar, el número de factores coincide con el exponente:

an = a · a · a · ... · a» • Simbolización: utilización de signos (numéricos, letras, dibujos, gráficos...) para denotar la idea matemática. «an · bn = (a · b)n» • Manipulación de signos: realización del tratamiento o conversión de representaciones. «Escribe las siguientes expresiones con un único exponente: (62)4 y (35)3»

Estas tareas conllevan un nivel bajo de demanda cognitiva al alumnado, pues se basan en el establecimiento de conexiones con objetos matemáticos ya conocidos en conjuntos numéricos concretos. Son aplicaciones de las propiedades del producto de números naturales, enteros o racionales para dar significado a la potencia. Actividad 6 Intenta proponer actividades para cada uno de los procesos descritos pensando en alumnado de secundaria.

Otras tareas que forman la fenomenología del concepto de potencia y que conllevan una exigencia cognitiva alta son las tareas de resolución y planteamiento de problemas. • Resolución de problemas: realización de tareas cuya resolución requiere la reflexión sobre el uso de estrategias que utilizar: «Los resultados de una analítica de una persona indican: Hematíes: 5,5 × 106 por cada mm3 Leucocitos: 7,5 × 106 por cada mm3 Halla la cantidad de hematíes y de leucocitos que tiene, sabiendo que contiene 5 litros de sangre.»

• Formulación de problemas: planteamiento de situaciones problemáticas que conlleven el uso de determinados conceptos o propiedades: «Inventa un problema cuya resolución se corresponda con el siguiente diagrama:»

Si estas tareas conllevan una demanda alta y son interpretadas e implementadas por el profesorado de manera que se anima al alumnado a su resolución, y no se varían los aspectos que presentan mayor exigencia cognitiva, el nivel del razonamiento desarrollado por los


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estudiantes es alto. Cabe decir que aunque en los textos de Matemáticas de secundaria se propongan tareas de resolución de situaciones problemáticas, relacionadas con el concepto de potencia, de nivel alto, si se resuelven de forma puntual y aislada o si su resolución se convierte en rutina, por ejemplo, cuando van precedidas de explicaciones por parte del profesorado, el nivel de la tarea disminuye. De ahí la importancia de mantener el rigor de la tarea, el nivel alto de demanda cognitiva, pues es indicador de aprendizaje del alumnado. Para estructurar el sistema de símbolos de la potencia, los textos de Matemáticas de secundaria obligatoria proponen tareas de nivel bajo como el uso de ejemplos, manipulación de símbolos, aplicación de la definición a casos particulares para extraer reglas generales, y otras tareas como la ampliación del significado de la potencia a exponente entero y fraccionario generalizando propiedades que son tareas con una demanda cognitiva alta. Si bien en la mayoría de los libros de texto se reduce el nivel de demanda cognitiva ya que, para la justificación de propiedades y definición de objetos matemáticos como a0 o 3–2, se abstraen propiedades locales, sin resaltar que se extrapolan propiedades de un conjunto numérico conocido a otro en el que la potencia no está definida (Martínez y Penalva, 2006). Por ejemplo, en el cuadro para el cálculo de 2–3 que requiere la utilización de restricciones, se hace uso de una propiedad local (am : an = am–n, si m>n) para proporcionar una estructura global de la potencia (n≤m), en vez de dotarle de significado mediante el estudio de regularidades y comportamientos patrones (cuadro 6). Cuadro 6. Características del proceso de simbolización y su relación con la demanda cognitiva

USO DE PROPIEDADES LOCALES

USO DE MODELOS

Potencias de exponente negativo Si ahora dividimos dos potencias de la misma base pero el exponente del divisor es mayor que el del dividendo, como sucede en 22 : 25, se da otra situación diferente. Por una parte, aplicando la regla general, se tiene que: 22 : 25 = 22–5 = 2–3 2⋅2 2⋅2 1 Pero si simplificamos, obtenemos: 22 :25 = = = 2 ⋅ 2 ⋅2⋅2⋅2 2⋅2⋅2 23 Es decir, que obtenemos como expresiones diferentes del mismo re1 sultado 2-3 y 3 2 Y lo mismo sucede si cambiamos la base de la potencia o los exponentes. 53-4 = 5-1 1 Observa: 53 : 54 = ⇒ 5-1 = 5 5⋅5⋅5 1 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅5 5 Por eso tiene sentido la siguiente definición general de potencia con exponente negativo: 1 a - n = n para cualquier a diferente de 0 y n natural a

Si a ≠ 0 y m > n, entonces am : an = am–n Se observa que no está definido a0. Si se considera el siguiente modelo: :a a3 = a · a · a a2 = a · a :a a1 = a :a a0 = 1

Los exponentes decrecen de 1 en 1 cada vez.

Cuando se divide por a cada vez.

De esta forma, se extiende la potencia a exponente nulo y negativo.


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Stein y colaboradores han identificado factores que mantienen y factores que reducen el nivel de demanda cognitiva de las tareas (Stein, Grover y Henningsen, 1996; Boston y Smith, 2009). Puede ser que tareas que se seleccionan porque requieren un nivel de demanda cognitiva alto se conviertan en rutinarias debido a explicaciones adicionales del profesor o a los métodos utilizados por los estudiantes para su resolución. El cuadro 7 resume algunos de los factores que se pueden asociar a la permanencia o reducción de la demanda cognitiva de la tarea cuando se implementa en el aula. Cuadro 7. Factores asociados a la permanencia o reducción del nivel de demanda alto

FACTORES ASOCIADOS CON LA PERMANENCIA

FACTORES ASOCIADOS CON LA REDUCCIÓN

DE LA DEMANDA COGNITIVA DE NIVEL ALTO

DE LA DEMANDA COGNITIVA DE NIVEL ALTO

1. Conversión en rutinarios aspectos problemáticos de las tareas. 2. Cambios en el énfasis de los significados, conceptos, o en la comprensión de las conexiones para verificar o completar la respuesta. 3. Falta de tiempo para percibir los diferentes aspectos que requiere la resolución de la tarea, así como la disposición de un tiempo excesivo para que los estudiantes sigan con interés la tarea. 4. Problemas de coordinación de la clase impiden mantener el interés en las actividades de nivel alto. 5. Selección de tareas no apropiadas para el grupo de alumnos de clase. 6. Falta de cumplimiento de la responsabilidad de los estudiantes ante los resultados o procesos de tareas de nivel alto.

1. Organización del pensamiento y razonamiento de los estudiantes. 2. Aporte de significados mediante los cuales los estudiantes regulan su propio aprendizaje. 3. Configuración del nivel alto de interpretación por los profesores o alumnos capaces. 4. Insistencia en las justificaciones, explicaciones, significados a través de cuestiones, comentarios o revisiones. 5. Selección de tareas que promueven aprendizajes sobre conocimientos previos. 6. Conexiones conceptuales frecuentes. 7. Concesión de tiempo suficiente para explorar.

Consecuencias de cambiar una tarea Como se ha expuesto, las tareas pueden modificarse ligeramente y aumentar su demanda cognitiva. Desde este punto de vista, los cambios que un profesor puede hacer a una tarea deberían estar dirigidos a favorecer una implicación de los estudiantes en actividades matemáticas cada vez más desafiante. Los cambios pueden ser pequeños pero deben estar justificados, para intentar desarrollar en los estudiantes diferentes dimensiones de la competencia matemática. Los cambios en una tarea pueden llevarse a cabo: • Ampliando lo que se pide. • Modificando algunos aspectos de la presentación. • Dando una respuesta para que los estudiantes propongan los problemas. • Cambiando el formato al que suelen estar acostumbrados, etc. Por ejemplo, en estos momentos se ite que la comunicación matemática es una dimensión de la competencia matemática que debe ser desarrollada en los estudiantes. Desde esta


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premisa, se pueden modificar las tareas intentando crear situaciones para que los estudiantes puedan expresar sus ideas. En el ejemplo 7, la tarea de los números decimales ha sido modificada en esta dirección: Ejemplo 7 ¿CUÁL DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS ES MAYOR?

¿CUÁL DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS ES MAYOR?

a) 0,08

a) 0,08

b) 0,8

b) 0,8

c) 0,080

c) 0,080

d) 0,008000

d) 0,008000 Explica tu respuesta

Ambas tareas parecen muy similares; sin embargo, la segunda, al pedir a los estudiantes que expliquen su respuesta, se transforma en una más rica e informativa, pues permite generar un contexto en el cual desarrollar la comunicación matemática (de manera oral o por escrito). Las explicaciones de los estudiantes para la tarea de los números decimales pueden mostrar su conocimiento de la idea de valor de posición, de las relaciones entre los decimales y el punto decimal, o sobre las fracciones equivalentes vinculadas a los números decimales. La eliminación de algunos datos que puedan ser obtenidos relacionando otros puede también aumentar la demanda de las tareas (ejemplo 8). Ejemplo 8 • Calcular el perímetro de la figura. 5 cm

6 cm

8 cm

• Calcular el perímetro de la figura. 5 cm

6 cm 2,2 cm 8 cm


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El cambio en esta tarea implica la posibilidad de muchas soluciones, pero permite animar a los estudiantes a tomar diferentes decisiones sobre los datos que no se conocen y centrar la atención, desde lo particular a lo general, discutiendo sobre la idea de que, independientemente de los casos particulares adoptados, el perímetro siempre será el mismo. Animar a los estudiantes a generar justificaciones permite trasladar el foco de la tarea, desde el cálculo a una tarea centrada sobre el significado del perímetro de una figura. Al mismo tiempo, la tarea así modificada y con un rango de objetivos de aprendizaje más amplio (desde calcular casos particulares estrictamente a una discusión sobre la invariancia del perímetro) permite ser manejada por alumnos de diferentes niveles (Prestage y Perks, 2001). Actividad 7 Busca en alguno de los materiales que dispongas una tarea de matemáticas para secundaria. Realiza algún cambio en la misma y comenta las razones del mismo y las consecuencias que pueden tener de cara a los aprendizajes que se promueven.

Otra alternativa a la modificación de las tareas es proporcionar una respuesta y pedirles a los estudiantes que generen problemas. Por ejemplo, el problema siguiente: «Encontrar un problema que pueda ser resuelto con la operación 3/5 x 1/2»

Actividad 8 Resuelve el problema anterior y comenta qué consecuencias tiene la nueva formulación dada al mismo desde el punto de vista de la demanda cognitiva que supone.

En este tipo de tareas, el uso de fracciones menores o mayores que la unidad pueden aumentar la demanda cognitiva de la tarea, lo que permite profundizar en los significados de las fracciones –parte-todo, reparto equitativo, operador, razón– y de los significados de las operaciones con fracciones. Esta manera de modificar las tareas básicamente produce un tipo diferente de tarea, que exige a los estudiantes que generen otro tipo de actividad matemática. En el ejemplo 9 se señalan diferentes tipos de tareas modificadas. Ejemplo 9 •

Representa 5/4 de

•

Si la siguiente figura representa los 5/4 de la unidad. ¿Cuál es la unidad?


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• La medida de los lados de un rectángulo son 5 m y 17 m. Calcula su área. • Resuelve la siguiente ecuación lineal 5x +7 = 47

• El área de un rectángulo es 85 m2, encuentra las medidas de los lados. • La solución de una ecuación lineal es x = 8. ¿Cuál es la ecuación? • Plantea un problema que se pueda resolver con la ecuación lineal, 5x + 7 = 47

• ¿Cuál es la altura media de un grupo de estu-

• La media de las alturas de los 10 estudiantes

diantes cuyas alturas son:

de una clase es 1,63 cm. Indica las posibles al-

169, 166, 162, 169, 157, 157, 160, 162, 162

turas de los estudiantes.

y 162?

Cada una de estas modificaciones introduce diferentes niveles de demanda en los estudiantes y, por tanto, puede permitir que diferentes tipos de alumnos resuelvan tareas aparentemente similares pero con demandas cognitivas diferentes. Analicemos la siguiente variación en la tarea propuesta (ejemplo 10). Ejemplo 10 Si la siguiente figura es los 5/4 de la unidad. ¿Cuál es la unidad?

Si la siguiente figura es los 2/4 de la unidad. ¿Cuál es la unidad?

En esta tarea podemos identificar las siguientes variables, cuya modificación introduce variaciones en el nivel de su demanda cognitiva: • La magnitud de la fracción: mayor o menor que 1. • La petición realizada: se pregunta por la unidad, por el todo. • La figura geométrica usada para representar la parte o el todo.

Variables de tarea y demanda cognitiva La idea de variable de tarea introducida en la sección anterior permite plantear de manera más focalizada la variación de un mismo tipo de tareas, para generar tareas con diferente


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nivel de demanda cognitiva. Por ejemplo, en la introducción a la resolución de problemas de álgebra, en 2.º curso de la ESO, los siguientes problemas ejemplifican diferente demanda cognitiva (Bednarz y Janvier, 1996) dependiendo de la naturaleza de las relaciones que se establecen entre las cantidades. En este ejemplo, una cantidad (198) está dividida en tres partes (P, D y J), y el texto del problema proporciona relaciones multiplicativas entre las partes. Teniendo en cuenta que tenemos tres partes, podemos identificar tres relaciones multiplicativas (P-D, P-J y D-J). Manteniendo constantes otras variables de tarea (la estructura semántica, el orden en que se presentan las relaciones y la manera en la que se describen dichas relaciones) y modificando sólo las relaciones multiplicativas dadas, podemos generar tres problemas (cuadro 8), cuyo nivel de éxito diferente indica su demanda cognitiva. Cuadro 8. Características de la estructura de un tipo de problemas en el bloque de Álgebra (Bednarz y Janvier, 1996)

PROBLEMAS

NIVEL DE ÉXITO

Tres niños están jugando a las canicas. Entre los tres tienen 198 canicas. Pedro tiene 6 veces más canicas que Daniel, y Jorge tiene el doble de las canicas de Daniel. ¿Cuántas canicas tienen cada uno?

31,59% 198

X2 X6

Tres niños están jugando a las canicas. Entre los tres tienen 198 canicas. Jorge tiene el doble de canicas que Daniel, y Pedro tiene tres veces más canicas que Jorge. ¿Cuántas canicas tienen cada uno?

19,44% 198

X2

Tres niños están jugando a las canicas. Entre los tres tienen 198 canicas. Pedro tiene 6 veces más canicas que Daniel y tres veces más canicas que Jorge. ¿Cuántas canicas tienen cada uno?

X3

5,56 %

198

X3 X6


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Otro tipo de modificación de algunas variables en una tarea son los problemas con la misma estructura semántica que varían en el tipo de relaciones entre las cantidades, pueden generar diferente dificultad al modificar su nivel de demanda cognitiva. Cuadro 9. Estructura de un tipo de problemas

198

X2

X3

Fuente: Bednarz y Janvier (1996).

Con la estructura semántica que se muestra en el cuadro 4 y utilizando en las relaciones (indicadas mediante flechas) dos relaciones aditivas (+76 y +114), dos relaciones multiplicativas (x3 y x2), y una relación multiplicativa y una relación aditiva (x3 y +114), podemos generar los tres problemas que se muestran en el ejemplo 11 cuya dificultad es diferente y, por tanto, también su demanda cognitiva (cuadro 9). Ejemplo 11 • 380 estudiantes están matriculados en las actividades deportivas. Baloncesto tiene 76 estudiantes más que patinaje, y natación tiene 114 más estudiantes que baloncesto. ¿Cuántos estudiantes hay matriculados en cada deporte? (nivel de éxito: 5,21%). • 380 estudiantes están matriculados en las actividades deportivas. En baloncesto se han matriculado tres veces más estudiantes que en patinaje, y en natación se han matriculado dos veces más estudiantes que en baloncesto. ¿Cuántos estudiantes hay matriculados en cada deporte? (nivel de éxito: 15,16%). • 380 estudiantes están matriculados en las actividades deportivas. En baloncesto se han matriculado tres veces más estudiantes que en patinaje, y en natación hay 114 estudiantes más que en baloncesto. ¿Cuántos estudiantes hay matriculados en cada deporte? (nivel de éxito: 2,78%).

Algunas de las diferencias entre estos tipos de problemas, encontrados en la transición desde la aritmética al álgebra, pueden ayudar a explicar su diferente nivel de demanda cognitiva cuando los problemas permiten generar una aproximación aritmética, al posibilitarles construir puentes entre los datos conocidos y trabajar desde lo conocido hacia lo que no conocen. Identificar en cada parte del currículo cuáles pueden ser las variables de tarea que pueden ayudar a plantear tareas con la misma estructura pero con diferentes niveles de demanda cognitiva no es un quehacer fácil, debido a que algunas veces la investigación didáctica no ha identificado las variables que puedan tener un verdadero poder explicativo.


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AZCÁRATE, C. y DEULOFEU, J. (1990). Funciones y gráficas. Madrid: Síntesis. BEDNARZ, N. y JANVIER, B. (1996). Emergence and development of Algebra as a problemssolving tool: continuities and discontinuities with arithmetic. En N. Bednarz, C. Kieran y L. Lee (eds.), Approaches to Algebra. Perspectives for Research and Teaching (pp. 115136). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. BOSTON, M.D. y SMITH, M.S. (2009). Transforming Secondary Mathematics Teaching. Increasing the Cognitive Demands of Instructional Tasks Used in Teachers’ Classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 40(2), 119-156. MARTÍNEZ, C. y PENALVA, M.C. (2006). Proceso de simbolización del concepto de potencia: Análisis de libros de texto de Secundaria. Revista de Enseñanza de las Ciencias, 24(2), 285-298. OCDE (2003). Programme for International Student Assessment. Ministerio de Educación y Ciencia (MEC) - Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE) (2005) PISA 2003. Pruebas de matemáticas y de Solución de Problemas. Monografía SUMA 03. PRESTAGE, S. y PERKS, P. (2001). Adapting and Extending Secondary Mathematics Activity. New Tasks for Old. London: David Fulton Publishers. REAL DECRETO 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. Boletín Oficial del Estado (5 enero 2007), núm. 5, pp. 677-773. SMITH, M.S. y STEIN, M.K. (1998). Selecting and creating mathematical tasks: From Research to Practice. Mathematics Teaching in the Middle School, 3(5), February, 1998; 344-350. STEIN, M.K., GROVER, B.W. y HENNINGSEN, M. (1996). Building Student Capacity for Mathematical Thinking and Reasoning: An Analysis of Mathematical Tasks Used. American Educational Research Journal, 33(2), 455-488. STEIN, M., y otros. (2000). Implementing Standards-based Mathematics Instruction. New York: Teachers College Press. SHELL CENTRE FOR MATHEMATICAL EDUCATION (1990). El lenguaje de funciones y gráficas. Bilbao: MEC-Servicio Editorial Universidad del País Vasco.


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3. LOS RECURSOS QUE UTILIZAR CONTENIDO DE CAPÍTULO • • • • • • • • • • • •

Los diferentes recursos disponibles Los libros de texto La actualidad Los materiales manipulativos Las exposiciones Material audiovisual Los libros de divulgación Internet Programas informáticos El entorno Juegos y matemáticas recreativas La historia

Fernando Corbalán Coordinador del Programa «Matemática Vital». Gobierno de Aragón Sobre la utilización de recursos en clase hay que partir del principio de que no es una concesión graciosa que hacemos a nuestros alumnos (si se portan bien, si tenemos tiempo, en días en que no haya nada mejor que hacer,…), sino un derecho de éstos a recibir una educación y unas posibilidades de aprendizaje en las que se incorporen todas las tecnologías educativas a nuestro alcance. Por hacer un símil entendible, lo mismo que cuando vamos al médico y tenemos que operarnos exigimos que se haga si es posible con endoscopias y no abriendo, de la misma manera debería pasar con lo que ofertamos a nuestros alumnos. En el modelo tradicional de enseñanza la «pantalla» más usada, y casi única, es la pizarra, y el profesor es el único que propone temas y en ellos es omniscente y omnipotente, ya que conoce siempre las respuestas. Hay que saber y aceptar que la introducción de cualquier


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recurso cambia esa relación, puesto que la participación del alumnado supone la aparición de temas no previstos, inesperados e incluso indeseados, con lo cual no siempre se domina la situación y puede suceder que no haya unanimidad de opiniones, e incluso disparidad, en los temas sociales y desconocimiento en los temas matemáticos. Todo eso tiene que verse como un modelo de enseñanza-aprendizaje diferente y más deseable, en el que el papel del profesor ya no puede ser el de proveedor único de saberes, problemas, preguntas, etc. para las que siempre tiene respuesta, sino el de «experto» que está atento a los intereses de los alumnos y es quien acompaña el aprendizaje desde su experiencia y conocimientos. Asimismo, la caída de la natalidad ha hecho que los grupos de alumnos sean cada vez más pequeños, pero la obligatoriedad y la generalización de la enseñanza, junto con el hecho de ser una enseñanza terminal para muchos, no los ha hecho más homogéneos. Por el contrario, ha habido una eclosión de diversidad que exige cada vez más una enseñanza personalizada, casi «a la carta», que contradice también el modelo tradicional, y que sólo es abordable desde la introducción de medios tecnológicos. Para facilitar la introducción de recursos novedosos, sobre todo informáticos y de imagen, hay que superar también un síndrome extendido entre el profesorado: la resistencia a la introducción de mecanismos y aparatos en cuya utilización los alumnos, o una parte de ellos, sean más diestros que el profesorado. De nuevo, en estos ámbitos, hay que poner en cuestión el papel del profesor y afrontar la realidad con el espíritu de que los nuevos recursos disponibles, bien utilizados, pueden servir para potenciar la comunicación en el aula, entre profesor y alumnos y entre éstos entre sí, que es lo que viene a suponer la introducción de la web 2.0.

Los diferentes recursos disponibles En todo lo que sigue, se hace una clasificación y tratamiento diferenciado para once recursos distintos, aunque buena parte de ellos están relacionados entre sí. No es posible hacer en la extensión disponible para este apartado ningún desarrollo en profundidad, por lo que más bien se aportan reflexiones generales, a las que se añade alguna profundización realizada de forma específica por el autor de estas líneas (Corbalán, 2000a). Por eso, también la mayor parte de la bibliografía que se aporta es del propio autor, o de otros próximos, y en cualquier caso accesible con facilidad. En cuanto a los portales o direcciones web, nos limitamos, además de a los próximos, a los consolidados y con previsiones razonables de permanencia, a partir de los cuales se puede acceder a muchos otros, incluso algunos que todavía no existen y que irán apareciendo. Los recursos disponibles son: • Los libros de texto. • La actualidad.


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LOS RECURSOS QUE UTILIZAR

• • • • • • • • •

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Los materiales manipulativas. Las exposiciones. Los materiales audiovisuales. Los libros de divulgación. Internet. Los programas informáticos. El entorno. Los juegos y la matemática recreativa. La historia.

Los libros de texto Los libros de texto tienen muy mala prensa, lo que quizá provenga de un aura difusa de ser corresponsables de la no muy halagüeña situación de la enseñanza de las Matemáticas, tal vez por haber sido (puede que no sea conveniente utilizar el pasado), en muchas aulas, el casi único material utilizado para la enseñanza de las Matemáticas. No es previsible que a medio plazo desaparezcan, menos teniendo en cuenta la apuesta decidida por las autoridades educativas de muchas comunidades por su gratuidad, lo que implica la permanencia. Su papel en la actualidad está bastante devaluado por la existencia de muchas otras fuentes de información matemática, sobre todo Internet (al que nos referiremos más adelante), pero sigue siendo la principal fuente para proporcionar matemáticas escolares. Queríamos en alguna medida reivindicar su presencia y el papel que puede desempeñar, especialmente teniendo en cuenta que sus posibles sustitutos pueden ser todavía peores que el propio libro de texto. Conviene que se reflexione sobre el hecho de que la principal alternativa que de forma general se da al libro de texto suele ser la explicación del profesor y los apuntes que de la misma toman los alumnos. Y no cabe duda que la fiabilidad de un texto realizado por profesionales y corregido múltiples veces antes de editarse es siempre mayor que el mejor de los apuntes. Por tanto, es preferible el peor libro a los mejores apuntes. Existe una amplia oferta de libros de texto de todos los niveles, y todos ellos se ajustan a los programas vigentes, lo que puede ser uno de los problemas de este material, manteniendo una coherencia interna a lo largo de los sucesivos cursos de secundaria y bachillerato. Asimismo, tienen actividades de diferentes niveles, además señaladas como generales en el propio texto, lo que facilita la personalización de la enseñanza, pudiendo adaptarlas a las necesidades de cada alumno. También suele haber en ellos conexiones con la vida real, aporte fundamental para situar las matemáticas, que pueden aprovecharse para ubicar el papel de los aprendizajes que se están realizando. En bastantes casos se aportan también actividades de la llamada matemática recreativa, en el sentido de poner de manifiesto el componente placentero de las matemáticas. Por fin podemos encontrar en algunos libros propuestas para la realización de investigaciones escolares, de problemas abiertos que permitan al alumnado ir tomando decisiones en cada uno de los pasos que vayan realizando.


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Por todo ello, si los alumnos fueran capaces de leer con aprovechamiento sus libros de texto y estos últimos estuvieran mejor diseñados, habría mucho avanzado. Pero la realidad es que ninguna de las dos premisas se cumple del todo, por varios condicionantes. A pesar de que los libros están bien presentados (diseño, material gráfico, distribución), el alumnado no les saca mucho rendimiento debido a la poca costumbre de leer de forma comprensiva cualquier texto cuando llega a secundaria, que es incluso menor en el caso de Matemáticas, por la mayor dificultad que implica. Por otra parte, los libros son demasiado extensos, quizá por las presiones de las editoriales que quieren hacer que sirvan para todo el mundo, es decir, para todos los profesores, porque se da la paradoja de que los libros están destinados a los alumnos pero no son ellos quienes los eligen sino sus profesores; que se puedan utilizar para profundizar, repasar, proporcionar información, diversión, etc.; y, además, por el hecho de que así pueden venderse más caros. Probablemente, el mayor problema de los libros de texto viene de su misma concepción, cuando el papel de la escuela era proporcionar información a una pequeña parte de la población; en un momento además en que la principal manera de conservar la información era el libro. Las circunstancias han cambiado con más rapidez que los libros de texto. Pero, sin embargo, sigue siendo necesario de forma absoluta leer y comprender los textos que proporcionan información matemática, con la diferencia de que ahora el problema fundamental no es la obtención de información, presente por doquier, sino la priorización y filtrado de la misma. Por tanto, lo que parece procedente respecto a los libros de texto es una cuidada selección por parte de todo el departamento de matemáticas, máxime teniendo en cuenta que es una elección para varios años y que supone, por parte de los alumnos o de la istración, una inversión importante. Se trata de buscar que se adapte lo más posible a la línea pedagógica que sea mayoritaria o consensuada y realizar una utilización adecuada y no exclusiva del mismo, como uno de los recursos para el aprendizaje matemático, pero con la perspectiva de que su papel cada vez es menos fundamental. Actividad 1 Busca al menos dos libros de texto de Matemáticas del mismo curso y de editoriales distintas. Compara la presentación general, los temas que proponen en el índice, la manera de organizar la información y los tipos de actividades que plantean.

La actualidad El avance de la penetración de los medios de comunicación es de tal magnitud que llega a todos los ámbitos de la actividad humana. La inmediatez de las noticias hace que los hechos


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relevantes sean conocidos al instante en todo el mundo y los convierte en objeto de comentario en todos los lugares. El sistema social más ajeno a la actualidad tal vez sea el escolar, que en buena medida sigue desarrollando su función al margen de las noticias. Se puede pensar que es conveniente que así sea, porque puede constituir un oasis en las prisas ciudadanas y las cambiantes solicitaciones que marca la actualidad. Pero todo tiene un límite, y si el objetivo de la enseñanza es saber desenvolverse en el mundo que nos rodea (en el que tiene cada vez más importancia los medios de comunicación), la actualidad y los medios que la reflejan tienen que entrar de forma inexcusable en la enseñanza. La utilización de la actualidad y de los medios que la vehiculan nos debe permitir mostrar que las matemáticas se usan en muy variados aspectos de la vida diaria, que son importantes fuera de los muros del sistema escolar. Y que ésa es la razón principal de la gran importancia escolar de la asignatura de Matemáticas. Hay que aceptar que la introducción de la actualidad en clase puede llevar a temas inesperados (y alguno de ellos incluso conflictivo), en los que no tengamos quizá muchos conocimientos o sobre los que haya controversia social. Pero, en todos los casos, eso no puede suponer más que una mayor riqueza en el aprendizaje sobre el comportamiento en una sociedad democrática y abierta, a la vez que mostrar que el papel del profesor no es el del ser omnipotente y omnisciente que todo lo sabe. Es importante señalar que estudios realizados en distintos contextos muestran que la utilización de los medios de comunicación, la introducción en clase de la actualidad, da legitimidad al enseñante que los utiliza y valora al profesor que lo hace y a la asignatura en que se realiza. Hay que recordar que el reconocido Informe Cockroft (Cockroft, 1985), ya en su punto 3, señala que: Todas esas diferentes concepciones de la utilidad de las Matemáticas proceden del hecho de que éstas proporcionan un medio de comunicación que es poderoso, conciso y sin ambigüedades. Aunque incluso muchos de los que consideran que las Matemáticas son útiles probablemente no expresarían la razón en estos términos, creemos que la razón principal para que se enseñe Matemáticas a todos los niños es el hecho de que las Matemáticas se pueden usar como un poderoso medio de comunicación.

Concepto que vuelve a destacar un poco más adelante, en el punto 12: Entre las tareas del profesor está, por encima de todo, hacer consciente a cada alumno de que las Matemáticas le suponen un poderoso medio de comunicación.

Y que como tal se utiliza de forma masiva en los medios, algo que hay que conocer y decodificar. Los medios de comunicación nos permiten conocer qué matemáticas son necesarias para el ciudadano medio y la importancia relativa de cada una de las partes que la componen, lo que a su vez puede servir como guía de la enseñanza. Creemos que es interesante destacar


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el papel que pueden desarrollar los medios en relación con la enseñanza de las Matemáticas (lo que es una razón más para su introducción en la enseñanza), ya que nos deberían servir como guía de las grandes líneas de la enseñanza: • Los medios nos dicen las partes de las matemáticas que son más importantes socialmente: más la estadística que el cálculo infinitesimal, por ejemplo; lo que nos debería cuestionar el pequeño papel que ahora desempeña el aprendizaje del azar y la incertidumbre, a pesar de su importancia (Morin, 2009). • Nos muestran la importancia relativa de cada una. Por ejemplo, en las representaciones de fracciones/decimales/porcentajes, la más utilizada es la porcentual, al contrario de lo que sucede en clase, donde priman las fracciones. • Nos deberían hacer introducir en clase aspectos que casi están ausentes, como el manejo de grandes números y grandes cantidades, las cantidades aproximadas, las situaciones en las que no se conocen todos los datos, los modelos como forma de aproximarse a la realidad o las clasificaciones (por poner algunos ejemplos). Tal vez una forma de explicitar la importancia de las matemáticas es mostrar que su desconocimiento o mala utilización es una fuente de errores en los medios, y en particular en la prensa. Es conveniente tener una especie de «guía detectora de errores» que localice los «yacimientos de errores» y la manera de prevenirlos. Algunos de esos yacimientos de errores son: gráficas, porcentajes, manejo de grandes números, en particular los billones en noticias traducidas de otros países, magnitudes y unidades de medida, probabilidad o comparación de estadísticas, que son todos ellos temas de interés para nuestros alumnos y también fuente de errores frecuentes en nuestras clases. El seguimiento de los medios permite constatar otro de los desconocimientos sociales que nuestros actuales alumnos, los futuros ciudadanos, deberían evitar: que las matemáticas las han fabricado/descubierto personas concretas, en el pasado y en la actualidad. Porque, aunque con menor frecuencia que la deseada, en los medios aparecen matemáticos punteros que lo muestran. Y si bien a veces refuerzan el estereotipo del personaje despistado y «raro», en otras lo presentan como uno más de los científicos que prefiguran el futuro. La educación matemática y su aplicación al análisis de los medios de comunicación es de capital importancia para ser competente en el mundo actual, porque, como señala el escritor A. Tabucchi (citado en Corbalán, 2001), «la “información indiferenciada” ha cambiado la percepción del mundo, porque pone todo al mismo nivel, de la guerra a los desastres, la muerte, los grandes premios automovilísticos...», y una de las formas que tenemos para orientarnos por esos territorios son las matemáticas. En un momento, además, en que, en afortunada expresión de R. Guerin (citado en Corbalán, 2001), «el aire que respiramos está compuesto de oxígeno, nitrógeno y publicidad», que consideraríamos aún más certera si lo ampliáramos a «medios de comunicación».


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Actividad 2 Mira de qué manera se refleja en la información de los medios de comunicación escrita de tu localidad temas relativos a las matemáticas. Su propia ausencia también es una cuestión que conviene comentar.

Actividad 3 Busca en un medio de información escrita alguna noticia que pienses pudiera servir de base para la propuesta de actividades de matemáticas en el aula. Indica de qué forma la presentarías y cómo la utilizarías.

Los materiales manipulativos En el estereotipo social, las matemáticas constituyen una actividad mental, de pensamiento, del mundo de las ideas, en el que la utilización de las manos, la manipulación, tiene poco que aportar. Sin embargo, en un mundo en que casi todo nos llega en dos dimensiones (pantallas de TV u ordenador, sobre todo, pero también libros, fotos, revistas, periódicos...) es imprescindible tener herramientas para poder realizar el trayecto entre las dos y las tres dimensiones. Algo de especial significado en estos tiempos de realidad virtual e imágenes virtuales (con todos los programas de retoques fotográficos), que hacen necesario un cuidado especial en la distinción entre realidad y representación. En todo lo relativo a la geometría del espacio, es completamente diferente ver representaciones que tocarlas, por lo que es necesario hacerlo. Para abordarla es imprescindible tener materiales adecuados que permitan la manipulación, para la que pueden ser auxiliares estupendos algunos tipo de puzles o juegos, entre los que destacaríamos el Cubo Soma, una fuente de actividades ricas y diversas (Corbalán, 1994). Pero también en la geometría plana es conveniente la manipulación, y siguen siendo de utilidad, además de los nuevos materiales y juegos que van apareciendo, clásicos como el tangram o el geoplano. Por suerte, además de los equipamientos en material de cada centro, se ha ampliado la oferta de exposiciones y museos de la ciencia, en las que ha cambiado el paradigma expositivo a «prohibido no tocar». La visita a eventos o lugares excepcionales puede dar un impulso y generar expectativas, pero el impacto real lo proporciona el día a día en las aulas, donde es imprescindible la manipulación de objetos, y no sólo los diseñados para el aprendizaje de las matemáticas, sino también objetos cotidianos (como los envases de los productos que consumimos, tema al que nos referiremos más adelante).


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Actividad 4 Haz un inventario de diferentes materiales manipulativos que puedan ser usados en la enseñanza de las Matemáticas en la educación secundaria. Ordénalos por los diferentes bloques de contenidos e intenta que no quede ningún bloque sin ningún material de este tipo. En Google libros tienes una versión electrónica de un libro titulado: Juegos y materiales manipulativos como dinamizadores de la enseñanza de las Matemáticas. Lo puedes usar para obtener información.

Las exposiciones En nuestra sociedad de la información, la comunicación y el ocio, uno de los fenómenos mediáticos es la promoción de exposiciones de todo tipo pero, sobre todo artísticas, que publicitadas por los medios de comunicación se convierten en eventos ciudadanos. Las matemáticas, omnipresentes en el sistema educativo, siguen teniendo pendientes la asignatura de la visibilidad, a cuya superación pueden y deben contribuir distintos instrumentos y, en particular, pueden serlo las exposiciones. Entre otras ventajas pueden contribuir a evitar el aislamiento social de las matemáticas, consideradas en general como un saber autónomo y autosuficiente, generado con no se sabe qué intenciones, pero poco relacionado tanto con los problemas reales como con las preocupaciones sociales o culturales. Y es que toda exposición tiene, por su propia esencia y por su diseño y presentación, un carácter interdisciplinar, al relacionar perspectivas obtenidas desde diferentes puntos de vista. Pueden ser un vehículo excelente para ubicar las matemáticas en relación con otras facetas del conocimiento y, en particular, con diversas manifestaciones artísticas. En el marco de la vida escolar son habituales diferentes propuestas de actividades extraescolares, que incluyen exposiciones (dentro o fuera del centro), entre las que no han sido demasiado frecuentes las de matemáticas, poniendo más de manifiesto la soledad y extrañeza de la asignatura. Las exposiciones pueden ser de tipos diferentes e incluso se puede plantear la posibilidad de generarlas en el propio centro, sólo por el profesorado o con la colaboración del alumnado, de las que un buen ejemplo bastante extendido lo constituyen las de fotografías matemáticas realizadas por los alumnos, en general, a partir de un concurso de centro o de otros ámbitos. Las realizadas en el propio centro pueden contar con la ayuda, proporcionando ideas y/o materiales ya acabados, de exposiciones existentes, que se pueden consultar en Internet, algunas de ellas nacidas para tener ahí su vida expositiva. En cuanto a las exteriores al centro, comienza a haber propuestas diversas y sugerentes que poco a poco van entrando en la vida cotidiana, tanto de los centros como de la sociedad. Las hay de tipos diferentes:


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• Escolares. Pensadas para hacer una itinerancia por centros escolares, tienen un formato ligero que permite transportarlas con facilidad. Es la opción adoptada por diferentes iniciativas individuales o colectivas y en particular por el Programa «Matemática Vital» del Gobierno de Aragón, que coordina F. Corbalán. También hay otras que pueden encontrarse en Internet. • Itinerantes formadas por módulos manipulativos. La más importante en la actualidad es la promovida por el Museo de Matemáticas de Cataluña (MMACA), sin sede fija por el momento, que se ubican en centros de exposiciones a los que acuden los alumnos en grupos escolares o deforma individual. • Permanentes. Ya existe un centro permanente de actividades matemáticas. Se trata de MATHSLAB, un taller de matemáticas y creatividad, ubicado en Gijón, dentro de Laboral, centro de arte y creatividad industrial. Es de esperar que se extienda la oferta a museos específicos de matemáticas o que se creen secciones específicas en otros museos de arte o ciencia. • Virtuales. Destinadas a ser contempladas en Internet. Existe una buena oferta, ampliada con regularidad, en el portal Divulgamat. • Creadas en el propio centro. Ya existen en algunos, realizadas por grupos de trabajo de profesores y/o alumnos y se puede rastrear en Internet su existencia y disponibilidad. En todos los casos tienen importancia en el aprendizaje, puesto que sirven para: • Motivar, como todos los hechos extraordinarios. Además, permiten volver más adelante, cuando se considere necesario, sobre los temas que se han visto en ellas (por lo que es conveniente generar, junto con las exposiciones, material impreso, como pueden ser los catálogos de las mismas, para poder utilizarlo en otros momentos). • Situar las matemáticas en un contexto cultural, artístico y comunicativo. • Colocar las matemáticas en un ambiente más moderno, aliadas con los medios de comunicación actuales. Es presumible y deseable que la oferta de exposiciones y de centros o museos de matemáticas se amplíe en el futuro y los tengamos que tener en cuenta en el proceso de enseñanzaaprendizaje. Asimismo, también podemos tener una participación en el proceso realizando exposiciones en los centros, sobre todo porque la evolución esperable hacia formatos electrónicos y/o informáticos puede hacerlas más fáciles y baratas de realizar. Actividad 5 Utiliza algunas de las referencias dadas para buscar en Internet información sobre exposiciones de matemáticas. Señala qué tipo de información podrías obtener de las mismas de cara a proponer alguna actividad de aprendizaje en el aula.


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Actividad 6 Imagina que piensas proponer un rally fotográfico en tu localidad para obtener fotografías con vistas a realizar una exposición en el centro. Indica un itinerario de lugares interesantes que pudieran servir a esa finalidad. Haz, asimismo, un esquema en el que indiques de qué manera organizarías la exposición de las fotografías.

Material audiovisual En un tiempo como el actual de cultura de la imagen no cabe duda de que hay que introducir todo tipo de imágenes en las aulas de matemáticas, sobre todo en movimiento. No es una preocupación reciente, puesto que ya Gattegno (Gattegno, 1967), un pionero del tema, decía en 1967: Nuestro deseo de esclarecer algunos aspectos de la pedagogía matemática por el filme se debe [...] a que creemos firmemente que en la dinamización de la enseñanza hay un lugar para este material que rendirá inmensos servicios.

Algo corroborado por la Comisión del CIEAEM (CIEAEM, 1967) en ese mismo año 1967: Lo esencial parece ser que los filmes matemáticos desempeñarán una misión importante en la pedagogía futura: la de educar el poder creador en el alumno y sintetizar las teorías matemáticas presentables en forma de filme. Gracias a éste es posible entrever un porvenir en el que la enseñanza presentará un aspecto muy distinto del actual, y en donde el alumno se pondrá en o en breves minutos con todo un campo matemático y serán capaces de captar no sólo lo que se les haya querido enseñar, sino lo que puedan percibir por sí mismos.

Parece, por lo tanto, del máximo interés utilizar películas, enteras o parte de ellas, en clase. Se puede hacer de diferentes formas, pero en todas ellas parece conveniente hacer un uso con introducción previa y debate posterior: • Utilización de películas o series de contenido matemático específico. Como pueden ser Donald en el país de las matemáticas o Las potencias de 10, las series producidas por TVE y dirigidas por A. Pérez (Más por menos y Universo matemático) o las series de la BBC MI10, las películas sobre arte y matemáticas como las producidas por M. Emmer u otras similares. Las búsquedas en Internet pueden dar resultados interesantes, puesto que la oferta se va ampliando. • Películas comerciales con fuerte contenido matemático. Aunque no rodadas con el objetivo de hacer divulgación matemática, hay algunas que tienen directa aplicación para el aprendizaje de las matemáticas, entre las que podemos citar Moebius (G. Mosquera, 1998), Cube (V. Natali, 1998), La habitación de Fermat (L. Piedrahita y R. Sopeña, 2007) o Población (2006). En estos casos, habría que tratar, también en los coloquios, el papel de las matemáticas en la concepción de dichas películas (para mostrar que también pueden servir para diseñar películas).


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• Biopics (películas biográficas) de matemáticos. No es frecuente que las biografías filmadas traten sobre personajes matemáticos, pero es ampliamente conocida Una mente maravillosa (R. Howard, USA, 2001), sobre J. Nash, o Ágora (A. Amenabar, España, 2009), sobre Hipatia, que contienen elementos interesantes. Existen otras sobre otros matemáticos como Galileo (Galileo Galilei, L. Cavani, Italia, 1968), Sofía Kovalevska (La colina en la cara oculta de la luna, Berget ja mannens laksida, L. Hgulstrom, Suecia, 1983) o Galois (Evariste Galois, A. Astruc, Francia, 1965); pero suelen ser difíciles de conseguir y realizadas en otro registro menos aprovechable. Pueden utilizarse además para desmontar, en la medida de lo posible (puesto que en parte los recogen), los tópicos sobre el matemático raro y un poco loco. • Montajes sobre escenas de películas. Así como no abundan las películas con un fuerte contenido matemático, sí que son frecuentes las referencias a las mismas en muchas películas comerciales, en diferentes aspectos, siendo conocido por casi todo el alumnado el clásico problema de garrafas de agua sin graduar que aparece en La jungla de cristal 3 (J. McTiernan, 1995). Con ellas se pueden realizar montajes generales (sobre la presencia de las matemáticas en el cine) o de temas específicos (como la manera de abordar la resolución de problemas, por ejemplo) que tienen muy buena aceptación el clase. Hay muchas otras películas con escenas y/o temática aprovechable para el aprendizaje de las matemáticas, así como las series de televisión (más populares y conocidas entre el alumnado) que hay que ir actualizando y poniendo al día. Actividad 7 Es casi seguro que habrás visto alguna de las películas que se comentan en las líneas anteriores. Haz un breve resumen del interés matemático de la misma e indica qué aspectos piensas que podrían ser útiles en una clase de matemáticas.

Los libros de divulgación Durante bastante tiempo no hubo en el mercado muchos libros de divulgación matemática pero, por suerte, desde hace algún tiempo abundan, lo que probaría que hay demanda social, síntoma a su vez de que quizá no ha sido tan mala la educación matemática en los años pasados y se ha generado un cierto gusto social por las matemáticas. Además, los libros de divulgación sirven para cubrir una de las carencias de la enseñanza: hacer ver que las matemáticas son una ciencia actual y cambiante. Y hay que añadir otro tipo de libros, como son los textos de literatura con sabor matemático, asequibles y próximos. En la práctica escolar, en casi todas las asignaturas de secundaria se les pide a los alumnos que lean algún libro diferente de los de texto dentro de la marcha normal del curso. Sin


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embargo, durante mucho tiempo no solía hacerse en la asignatura de Matemáticas. Creemos que es importante que se haga también en Matemáticas, de forma obligatoria o voluntaria, porque contribuye de manera importante a situar el papel social de las matemáticas. Como la oferta empieza a ser extensa, antes de recomendar las lecturas al alumnado es necesario hacer una indagación pormenorizada y actualizada de los libros disponibles, y adaptar la recomendación al nivel del curso y de cada uno de los alumnos en particular. Hay que tener en cuenta que la divulgación matemática vende bien. Es el caso del medio de mayor difusión, las colecciones de quiosco, en las que los libros de matemáticas que formaban parte de colecciones científicas eran los que antes se agotaban o más se reeditaban, de tal forma que en los últimos años han salido colecciones específicas, primero de recreaciones y juegos matemáticos, con componentes de divulgación, después libros traducidos y, desde 2010, con una colección específica de libros escritos por autores españoles para conformar toda una colección con la pretensión de proporcionar un abanico de todas las matemáticas necesarias para un ciudadano informado del siglo XXI (la colección «El mundo es matemático» de RBA). Para hacerse una idea de la presencia de libros y la oferta de los mismos puede consultarse en artículo «Libros para disfrutar la matemática», de L. Figueiras y J. Deulofeu (2008), en el que toman como referencia para el estudio los 281 libros recogidos en la página web Divulgamat de la RSME, en la época de su redacción, finales de 2007, editados en las diversas lenguas del Estado, mayoritariamente en castellano. Desde entonces la oferta se ha diversificado todavía más. En la tabla 1 del artículo citado se ve que las posibilidades de elección son variadas, tanto en la temática como en la forma de utilización que se puede proponer al alumnado. A todo ello hay que añadir selecciones de fragmentos de literatura de interés general que, en principio, no se refieren a las matemáticas, y que por su misma lejanía pueden tener mayor impacto (Corbalán, 1996 y 2007). Todo esto puede servir también como entrenamiento para la escritura de relatos cortos de ambiente o sabor matemáticos, muy apreciados por el alumnado, que responde de forma masiva a las convocatorias que se realizan. Actividad 8 Consigue alguno de los libros de divulgación que se citan. Lee por lo menos uno de sus capítulos e indica el tipo de trabajo que pedirías a tus estudiantes tras su lectura. Puedes consultar, a este efecto, la página web de Divulgamat donde encontrarás amplia información sobre este tipo de literatura. Para realizar la actividad consulta: •

Divulgamat: www.divulgamat.es


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Internet En tiempos se decía que todo estaba en los libros y que sólo hacía falta encontrar el libro en el que estaba. La afirmación es más cierta que nunca sin más que cambiar «los libros» por «Internet». Parece aceptado por todo el mundo ya que Internet es, casi, la única fuente de información y que todos los alumnos al llegar a la secundaria saben manejarse en él. Pero si bien es cierto que es así en cuanto a la técnica de y navegación, no lo es tanto en cuanto a que sepan extraer la información pertinente después de su búsqueda. La práctica habitual es poner el tema requerido en el buscador correspondiente y no cambiar la pregunta ni ir más allá de las dos o tres primeras direcciones que aparecen en el buscador de turno (normalmente Google), sin cuestionar su validez. De tal forma que unacompetencia imprescindible en la actualidad es la capacidad para encontrar información de calidad, eficiente y contrastada. En cuanto al profesorado, conviene que participe en la promoción de estas competencias, siendo una parte activa de las mismas, con mentalidad abierta e innovadora. Cada vez disponemos de materiales más interesantes y mejor estructurados didácticamente y esto tiene que ser un acicate para potenciar la utilización de Internet. Así, el alumnado pondrá el conocimiento de las últimas novedades y el profesorado su competencia matemática. Conviene saber que la introducción de Internet en clase produce siempre el efecto de que van a aparecer elementos inesperados y no previstos, y que en alguna medida la clase se va a hacer menos controlada. Pero, como también decíamos anteriormente con la actualidad, eso sólo puede suponer una mayor riqueza en la misma, con el cuestionamiento del papel del profesor, que deja de ser el único que proporciona los temas y gestiona el rumbo de las clases para pasar a ser el experto que acompaña en la tarea de aprendizaje. Para poder realizar una utilización más provechosa de Internet se puede: • Hacer búsquedas sobre temas concretos (los que genere la práctica docente) con contaste posterior de la información obtenida entre los alumnos y de éstos con el profesor. • Proporcionar listas actualizadas («favoritos») de portales fiables en diferentes idiomas. Ésta es una tarea que puede hacerse a partir de algún macroportal, como puede ser en castellano Divulgamat y otros similares en otros idiomas. • Diferenciar los portales según el origen (organismos, centros educativos, profesores, alumnos...), así como su fiabilidad relativa. • Hacer búsquedas de temas conflictivos para ver qué resultados tan diferentes se pueden obtener. Un caso paradigmático puede ser la razón o proporción áurea, que con cierta facilidad nos lleva a lugares esotéricos; pero no es el único, puesto que los temas mágicos aparecen con facilidad en cualquier búsqueda numérica.


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• Utilizar Internet para facilitar la comunicación entre profesores y alumnos, por medio de blogs o instrumentos similares. Estando en todo momento al tanto de los cambios que se van realizando con la disposición abierta a utilizar todos aquellos que estén a nuestro alcance (eso sí, sin que el medio dificulte la comunicación, sino siempre que la potencie). No cabe duda de que ya ahora Internet tiene una gran utilidad, que será aún mayor en el futuro, y que los cambios son acelerados e imprevisibles. Pero como principio lo que procede es tener una actitud abierta y constructiva, procurando estar alerta ante los cambios que se presentan para poder utilizarlos en todo lo referente a tener una comunicación más fluida en clase. Se podría pensar que por parte de las autoridades educativas hay una apuesta decidida por la presencia de Internet en las clases, puesto que se han hecho equipamientos generalizados de ordenadores para todos los alumnos y conexiones en los centros. Pero como ya decía C. Keitel en el título de una conferencia, «La respuesta es Tecnología, pero ¿cuál es la pregunta», lo que no está claro son los objetivos que se quieren cumplir con esos medios informáticos. Y tenemos que ser los profesores quienes se los demos, buscando la optimización de unos recursos tan caros que dificultan otras inversiones y cuyo uso real no siempre es generalizado (tampoco en clase de Matemáticas, que a priori, parece la materia más proclive a hacerlo). Y las mismas reflexiones son oportunas para el apartado siguiente, el de los programas informáticos. Actividad 9 ¿Qué uso has hecho tú de Internet en el aprendizaje de las matemáticas en tus estudios? ¿En qué medida piensas que su uso te ha resultado de ayuda?

Programas informáticos Aunque quizá parezca una obviedad, sería conveniente asegurar que el alumnado utiliza con soltura y eficiencia las calculadoras. Por otra parte, las hojas de cálculo deberían ser una parte de las aplicaciones informáticas utilizadas asiduamente, su uso está incluso recogido en el decreto de enseñanzas mínimas. Sus aplicaciones en el cálculo aritmético, estadístico, probabilístico, incluso en formas básicas de cálculo algebraico hacen de esta herramienta un medio cuyo uso y aplicación eficiente tendría que ser parte del currículo de Matemáticas. Asimismo, sería conveniente asegurar que nuestros alumnos conocen algún programa elemental de dibujo, porque les será de mucha utilidad para poder introducirse en otros con más contenido matemático. En la actualidad, la utilización de los programas de geometría dinámica tipo Cabrie o Geogebra se están extendiendo rápidamente y tendrían que ser un elemento que perteneciera a los conocimientos que asegurar en la formación de los futuros docentes.


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En los programas informáticos actuales es donde parece haberse hecho realidad el futuro pronosticado por Gattegno (Gattegno, 1967), al que nos hemos referido en el apartado dedicado al material audiovisual, en el que, por fin, las matemáticas se han hecho dinámicas, han incorporado el movimiento. Aquí es donde se puede decir que en un momento se puede ver la evolución de los datos diferentes que permiten ver los cambios. También por medio de programas informáticos se hace posible la realización sencilla de cálculos que en siglos y decenios pasados estaban sólo al alcance (y con gran dificultad) de los matemáticos punteros. E incluso realizar algunos más complejos que los que estaban a su alcance. Creemos que como norma general se tienen que utilizar programas en clase. En el dilema de cuál o cuáles utilizar, pensamos que hay que seguir la misma norma que para todos los recursos: tenemos que elegir aquellos que más nos gusten y que conozcamos mejor, porque serán los que nos permitan lograr más rendimiento (nosotros y nuestros alumnos). Y, a ser posible, hacer una elección coordinada con el Departamento de Matemáticas, en el buen entendimiento de que las rémoras o inconvenientes del resto del profesorado no deben impedirnos a nosotros ir utilizando los programas. Por otra parte, los programas van cambiando y haciéndose cada vez más complejos y potentes. La misma rapidez de esos cambios hace que no sea ni conveniente ni posible referirse a nombres concretos de programas. La posibilidad de conocerlos todos es utópica y algunos se presentan con más potencialidades de las que luego llegan a tener, pero es seguro que se van mejorando con el tiempo. Habría que buscar el término medio adecuado entre estar lo suficientemente abiertos a cambiar de programa cuando las ventajas sean evidentes, con las ventajas adquiridas del dominio de los que ya utilizamos. Los posibles inconvenientes y prejuicios sobre la mayor destreza de nuestros alumnos respecto a los nuevos medios tecnológicos se hace menor en este caso, y como siempre, si lo son, sólo debe servirnos como reto para superarnos y para lograr en nuestros alumnos un aprendizaje más cooperativo. Actividad 10 Resuelve el siguiente problema utilizando una hoja de cálculo: «Un profesor decide tener en cuenta 4 trabajos para poner la nota. A cada uno de ellos le da el siguiente peso en la evaluación: al primero, 20%; al segundo, 30%; al tercero, 10%; al cuarto, 40%. Calcula qué nota le corresponde a un estudiante que en cada uno de esos trabajos ha obtenido las siguientes calificaciones sobre 10: 4, 5,6 y 6».


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El entorno Otro de los aspectos que es absolutamente necesario que entre en clase de Matemáticas es el entorno, el mundo que nos rodea. Por más que los conocimientos matemáticos tengan como una de sus características destacadas su universalidad, fuera del tiempo o el lugar, hay que contextualizarlos en el tiempo, de ahí la necesidad de introducir la actualidad y el espacio. Convendría que hubiera un plan para ir viendo a lo largo de la secundaria las aplicaciones de las matemáticas en el entorno, empezando por los lugares más cercanos (casa, centro, patio del centro, barrio, ciudad, etc.) que permitiera apreciar sobre el terreno las aplicaciones de las mismas, como desencadenante de la necesidad de estudiarlas en el sistema educativo. Este entorno puede introducirse de varias formas: • Matemáticas domésticas. La casa donde se vive es una fuente para estudiar aplicaciones de las matemáticas en el entorno más próximo: diseño de la propia casa, de la habitación, distribución en ella, diseño de muebles, electrodomésticos y todo tipo de aparatos, normalización (concepto muy extendido y poco tratado en el sistema escolar), etc. Se podrían realizar actividades concretas, como por ejemplo hacer reformas en la habitación del alumno, que puede incluir diferentes aspectos: nuevos muebles, distribución de los mismos, pintura de las paredes, presupuesto de cada una de las actuaciones… a los que se puede volver en años sucesivos, aportando nuevos elementos (Corbalán, 2000b). En todo este tema se podrá ver otro aspecto matemático muy presente en la vida que muy poco se trata en la escuela: la simetría. • Matemáticas del consumidor. Además de ciudadanos somos consumidores, y en relación con el consumo hay muchas matemáticas que podemos considerar: formas de envases, pesos y volúmenes más frecuentes, distribución en los estantes, publicidad y logotipos, ofertas (con particular atención a los porcentajes o a las del tipo 2x3, segunda a mitad de precio, etc.), códigos de barras, lo que permite la introducción de la teoría de códigos (Alsina y Fortuny, 1994). El consumo es una fuente de problemas o investigaciones sugerentes, como los relacionados con máximos y mínimos en las formas más extendidas como, por ejemplo, los tetrabriks o los botes de refrescos, que se pueden abordar sin diferenciales ni derivadas sino con una simple toma de medidas hasta ver las más rentables, y que se puede ampliar con propuestas de nuevos diseños (Corbalán, 2007). • Rutas matemáticas. Un estupendo desencadenante para percibir la presencia de las matemáticas en la vida y la organización social es la realización de rutas matemáticas: trayectos matemáticos reales en los que ver las aplicaciones sociales de las matemáticas. Una buena manera de ver por uno mismo que si las matemáticas son importantes en el sistema educativo es porque lo son en la sociedad. Según el plan apuntado más arriba, puede empezarse por lo cercano e ir ampliando el radio de acción, de tal forma que cada año se haga al menos una salida de este tipo.


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• Matemáticas del cuerpo humano. Otra posible fuente de actividades matemáticas, que permite además actividades de diferentes partes de las matemáticas: medidas, diseños, estadística, conexiones con el arte… Es el propio cuerpo tema siempre del mayor interés, pero sobre todo en la adolescencia y juventud por los cambios que se producen y los conflictos de imagen que a veces generan (Cachafeiro, 1999). • Arte y matemáticas. Como otra muestra con muchas posibilidades de la introducción del entorno podemos referirnos al tema de la relación entre arte y matemáticas, que da lugar a consideraciones de tipo histórico, destacando los momentos en que ambos han ido en un desarrollo paralelo, como el Renacimiento o los inicios del siglo XX cuando despuntaban todos los movimientos que dieron lugar al arte contemporáneo, a situar las matemáticas como parte importante de la cultura y a hacer planteamientos interdisciplinares, relacionando las matemáticas con el dibujo o la historia del arte (Corbalán, 2010; Meavilla, 2007). Asimismo, puede abordarse un tipo de arte muy geométrico y particular de nuestro país, como es el mudéjar, susceptible de generar actividades muy interesantes y apreciadas por el alumnado. • Publicidad y matemáticas. Un aspecto social de gran influencia en todos los ciudadanos es la publicidad, en la que pueden rastrearse los diferentes usos de las matemáticas, y dado que todos los mensajes son pensados con detenimiento, permite mostrar que las matemáticas son importantes fuera del sistema educativo. En particular, es una fuente de actividades el estudio de los logotipos y las propuestas al alumnado de diseños para funciones diversas. Además de los anteriores, creemos que cada uno de nosotros puede encontrar nuevos ejemplos de temas cercanos y atractivos de los que sacar actividades e investigaciones que permitan ver las aplicaciones de las matemáticas, pudiendo buscarse entre los temas que más nos interese. Entre los que se pueden tratar (sin ninguna pretensión de agotar el tema) podemos citar la astronomía, la cartografía, la fotografía, el cine, la papiroflexia, la filatelia…, y, en general, todas las que se proponen cada año desde la Federación de Sociedades de Profesores de Matemáticas para celebrar, el 12 de mayo, el Día Escolar de las Matemáticas. Actividad 11 Elige al menos un par de opciones de las diversas que se citan en este apartado y utilízalas para preparar otras tantas propuestas de actividades para una clase de secundaria.

Actividad 12 Comenta con tus compañeros cuál de las diversas opciones citadas resultaría más motivadora para estudiantes de secundaria. Recoge las ideas aportadas por unos y otros haciendo un breve resumen de las mismas.


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Juegos y matemáticas recreativas Un enorme potencial que debemos aprovechar en matemáticas es el deseo de jugar que todos llevamos inscrito en el código genético. «Son las conductas lúdicas las que generan la cultura», dice Argemí (Argemí, 1991); y lo corrobora el tratadista de los juegos J. Huizinga (Huizinga, 1943): «El juego es más viejo que la cultura. La civilización humana no ha añadido ninguna característica esencial al concepto de juego. El auténtico, el puro juego es una de las principales bases de la civilización.» Si con J. Huizinga entendemos que «juego es una acción u ocupación voluntaria, que se desarrolla dentro de límites temporales y espaciales determinados, según reglas absolutamente obligatorias, aunque libremente aceptadas; acción que tiene un fin en sí misma y está acompañada de un sentimiento de tensión y alegría», podremos compartir con A. Bishop (1988) que «los juegos son valorados por los matemáticos porque el comportamiento siguiendo unas reglas es como las matemáticas en sí mismas. No es demasiado difícil imaginar que los criterios siguiendo unas reglas de las matemáticas se han desarrollado a partir de los placeres y las satisfacciones del comportamiento de los juegos de reglas». Es decir, que en el inicio mismo de las matemáticas están los juegos que nosotros llamaríamos de estrategia. Es incuestionable además que ramas enteras de las matemáticas se han desarrollado a partir de la actividad lúdica como, por ejemplo, la Teoría de Números, a partir de la búsqueda por los pitagóricos de números especiales; la Teoría de Probabilidades, a partir de los juegos de dados; la Teoría de Grafos, tras un juego ciudadano como «los puentes de Königsberg»; o bien recientemente la Teoría de Juegos Diferenciales, que lleva el juego hasta en su nombre. Si tan ligados están los juegos y las matemáticas, y tantos placeres proporcionan1, es inexcusable que no los introduzcamos en el aprendizaje de las matemáticas. Tanto más si como decía Feynman, famoso y creativo Premio Nobel de Física. (Mlodinow, 2004), hay que conservar el espíritu de niño y las ganas de jugar si queremos descubrir cosas interesantes. Aunque lo que descubramos ya sea conocido, el placer de encontrarlo será igual o parecido. Además, la utilización de juegos en clase de matemáticas no es una diversión banal, una forma de pasar el tiempo agradablemente, sino que es una placentera fuente de ampliar conocimientos, en la que se ponen en marcha mecanismos mentales y procedimientos matemáticos del mayor interés.

1. Como ya recogió Alfonso X (el Sabio) en el primer libro de juegos escrito en Occidente, el Libro de ajedrez, dados y tablas (1283): «Dios quiso dar a los hombres toda clase de alegrías en la vida para que, disfrutando de ellas, lograsen soportar mejor las penas y trabajos que pudieran sobrevenirles. Y los hombres buscaron muchas y muy diversas maneras para que esta alegría pudiesen haber cumplidamente.»


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Todo lo anteriormente señalado es ampliable a la llamada matemática recreativa, que por otra parte ha sido el motivo desencadenante por el que muchos de los actuales profesores han acabado siéndolo: un gusto y un placer en el cultivo de las matemáticas que no siempre se transmite. Sería deseable que todo el aprendizaje fuera el abordaje de retos y juegos. Pero si eso no siempre es posible, por lo menos preservar el espíritu, de manera que sea una enseñanza recreativa re-creativa: que vuelva a crear lo que se va descubriendo, aunque ya sea conocido (Corbalán, 1994). Actividad 13 Si conoces algún juego de matemáticas que hayas usado, explícaselo a tus compañeros y organiza alguna partida. Después de jugar comenta cuáles han sido las estrategias de tus compañeros y su idoneidad para actuar.

Actividad 14 Haz una breve lista de juegos de matemáticas que te parezcan interesantes. Describe las reglas de un par de ellos. Organiza alguna partida con uno de ellos y comenta las estrategias que has utilizado.

La historia En nuestras clases de Matemáticas debe tener un lugar la historia de las matemáticas, para intentar lograr varios objetivos: • Las matemáticas son un saber desarrollado por personas concretas, no es algo ni encontrado por casualidad ni caído del cielo. Esas personas durante largo tiempo no fueron matemáticos sólo, sino primero pensadores o filósofos y luego científicos. De forma que algunos de los pocos «famosos» socialmente no fueron matemáticos en sentido estricto. Así, Pitágoras o Euclides, en la Grecia clásica, fueron pensadores; Newton, más adelante, fue científico y Einstein fue físico-matemático. Mientras que en la actualidad, A. Wiles, uno de los pocos matemáticos conocidos a nivel social, ya tiene la profesión exclusiva de matemático. • Mostrar las matemáticas como una parte sustancial de la cultura humana y la estrecha relación entre matemáticas y desarrollo humano. Que el conocimiento matemático no es algo separado del resto de las actividades humanas y que sus problemas van conectados con el resto de los problemas de las otras áreas del saber. La referencia a las personas que la han desarrollado permite hacer visible esa relación cultural. • Las diferentes partes de las matemáticas se han ido añadiendo al caudal común, desde la Grecia clásica en que era una ciencia abstracta, sin gran interés en las aplicaciones,


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o en Roma, en que sucedía todo lo contrario, de forma que no se conoce el nombre concreto de ninguna persona que se dedicara a las matemáticas; o en los siglos XVII o XVIII en que sus cultivadores eran «geómetras», hasta comienzos del siglo XX en que se incorpora la estadística, último llegado a la matemática oficial. Por tanto, se puede ver que las matemáticas son una ciencia cambiante, en desarrollo y que resuelve los problemas de su tiempo. No es una construcción intelectual realizada en Europa y Norteamérica en exclusiva, como parece entenderse en todo lo relativo al conocimiento. Una buena muestra es el sistema decimal de numeración que utilizamos en todo el mundo (de forma que constituye uno de los escasos lenguajes universales), que es el producto de la contribución de diferentes civilizaciones a lo largo de mucho tiempo: comienza en la China, donde aprenden los hindúes, que lo perfeccionan de forma definitiva con la introducción, o invento, del 0 como ausencia, a la vez que como un número más, operable como todos los demás; a partir de ahí son los árabes los que lo incorporan a su cultura y lo difunden a lo largo del inmenso territorio que lleva desde la India a Andalucía, de donde pasa a formar parte de la cultura europea. En este recorrido han transcurrido siglos y han ido aportando mejoras casi todas las grandes culturas de la humanidad. Casi todos los grandes matemáticos han sido varones, como reflejo del machismo imperante, de la misma forma que sucede en el resto de los ámbitos sociales. Pero también ha habido mujeres que han hecho aportaciones significativas, desde Hipatia (sobre la que se puede utilizar ahora la película Agora) hasta la actualidad, en que en nuestro país y en el resto de países desarrollados las mujeres matemáticas constituyen al menos la mitad del total de matemáticos. Hoy en día es, por tanto, una profesión sin distinción de sexos. No existe Premio Nobel de matemáticas, pero sí hay otros premios destacados (Medalla Field, Premio Abel), con diferentes objetivos, que dan un reconocimiento social y permiten hablar de las matemáticas en los medios de comunicación en momentos precisos. Asimismo, hay premios sustanciosos para la resolución de problemas importantes, de un millón de dólares para cada uno de siete problemas destacados recogidos por la Fundación Clay, lo que permite dar a las matemáticas uno de los avales de la modernidad: la posibilidad de hacerse ricos con ellas. En estos tiempos de crisis e inseguridad, es importante destacar que es una profesión muy buscada en todos los países, sin paro conocido en ninguno de ellos (lo que permite emigrar y encontrar trabajo con facilidad), y muy apreciada en los países desarrollados. Lo que puede abrir en nuestros alumnos la perspectiva de dedicarse profesionalmente a las matemáticas (algo necesario para asegurar la sustitución de los actuales profesionales). Las biografías de matemáticos famosos, que no siempre responden al estereotipo de matemático loco, despistado y aislado de su tiempo (que aunque es cierto que los hay, seguramente no son entre el colectivo de matemáticos destacados más abundantes


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que en cualquier otro colectivo individual), permiten tener modelos para imitar y mostrar. Y como tirón para los alumnos de secundaria, sí se puede destacar que fueron personas brillantes y que resolvieron problemas importantes desde muy jóvenes, en algunos casos destacados a la edad de nuestros estudiantes de secundaria (como Galois o Gauss, por poner algunos ejemplos): el de matemático es un oficio de jóvenes (aunque no esté claro por la historia que sólo de jóvenes se obtengan resultados destacados como recoge un tópico bastante extendido). • Existe bibliografía suficiente y sitios en Internet como para tener material apropiado para hacer llegar la historia de las matemáticas al alumnado de secundaria. Citaríamos, entre ellos, Comics de Historia de las Matemáticas (Carcavilla y Fernández, 2004) o épocas de la historia dibujadas de Meavilla (2007), las biografías de matemáticos del portal Divulgamat o la serie de biografías de la editorial Nivola. La referencia mayor es la página de biografías de matemáticas de la universidad inglesa de St. Andrews. Y para terminar, en forma de exposición y de publicación, El rostro humano de las matemáticas (AA.VV., 2008) puesta a punto por la RSME, y cuya exposición se puede visitar y solicitar a través de Divulgamat. Actividad 15 Elige a un matemático de entre los muchos que puedes encontrar en Divulgamat. Consulta la Wikipedia y haz un breve resumen de su vida.


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AA.VV. (2008). El rostro humano de las matemáticas. Madrid: Nivola. ALSINA, C. y FORTUNY, J.M. (1994). Matemáticas del consumidor. Granada: Proyecto Sur. ARGEMI, J. (1991). El at jugat: joc y cultura. En Tecnojocs. Barcelona: Generalitat de Catalunya, Departament de Cultura. BISHOP, J. (1988). Mathematical Enculturation. A cultural Perspective on Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher. CACHAFEIRO, L. (1999). Las matemáticas del cuerpo humano. Granada: Proyecto Sur. CARLAVILLA, J.L. y FERNANDEZ, G. (2004). Historia de las matemáticas en cómic. Granada: Proyecto Sur. COCKROFT, W. (dir.) (1985). Las matemáticas sí cuentan. Informe Cockroft. Madrid: MEC. COMISIÓN DEL CIEAEM (1967). El material para la enseñanza de las Matemáticas. Madrid: Aguilar. CORBALÁN, F. (1994). Juegos matemáticos para Secundaria y Bachillerato. Madrid: Síntesis. — (1996). Números, cultura y juego. Madrid: Videocinco. — (2000a). El currículo de la ESO. En El currículum de matemáticas en los inicios del siglo XXI. Barcelona: Graó. — (2000b). Talleres de matemáticas. ESO. Madrid: Santillana. — (2007). Matemáticas para la vida misma. Barcelona: Graó. — (2010). Matemáticas. Gijón: Mathslab. FIGUEIRAS, L. y DEULOFEU, J. (2008, abril/junio). Libros para disfrutar las Matemáticas. UNO, 48. GATTEGNO, C. (1967). La enseñanza por el filme matemático. En CIEAEM, El material para la enseñanza de las Matemáticas. Madrid: Aguilar. HUIZINGA, J. (1943). Homo ludens. El juego como elemento de la historia. Lisboa: Aznar. MEAVILLA, V. (2007). Las matemáticas del arte. Córdoba: Almuzara. MLODINOW, L. (2004). El arco iris de Feynman. Barcelona: Crítica. MORIN, E. (2009). Los siete saberes necesarios para la educación del futuro. Barcelona: Paidós. POBLACIÓN, A.J. (2006): Las matemáticas en el cine. Granada: Proyecto Sur/RSME. TABUCCHI, A. y GUERIN, R. (2001). Matemáticas y medios de comunicación. En F. Corbalán, La enseñanza de las matemáticas a debate. Referentes europeos. Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (Aulas de verano).


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4. COMPETENCIAS, APRENDIZAJE Y EVALUACIÓN1 CONTENIDO DE CAPÍTULO • • • • •

La evaluación como práctica escolar reflexiva La evaluación de la competencia para aprender Interpretar, evaluar, regular y aprender como prácticas profesionales relevantes El desarrollo de la competencia matemática en clase y su evaluación El nivel competencial del alumnado y su determinación

Joaquín Giménez Universidad de Barcelona Yuly M. Vanegas Universidad de Barcelona Dado que la evaluación es parte fundamental de los procesos de enseñanza y aprendizaje y que las nuevas visiones competenciales la han venido descentrando de la postura diagnóstica de tipo clasificatorio, considerándola como un factor que incide en las prácticas y que los cambios en la evaluación podrían reorientar los procesos, el tipo de actividades, los materiales, la organización, la planificación, nuestra intención en este capítulo es articular las grandes preguntas que se hacen los docentes frente al tema, e invitamos a los lectores a compartirlas. La evaluación es un tema de interés evidente y más aún si nos situamos en la perspectiva de las reformas educativas planteadas y desarrolladas en los últimos años. Son diversas las razones que han llevado a considerar nuevos fines para la educación y, en particular, nuevas consideraciones y desafíos para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, las cuales han dado lugar también a diversas reflexiones, discusiones y nuevos planteamientos acerca de la evaluación. 1. Este trabajo se ha realizado en el marco del Proyecto «Evaluación y desarrollo de competencias profesionales en matemáticas y su didáctica en la formación inicial de profesores de secundaria/bachillerato». Financiado por el Ministerio de Ciencia e Innovación (EDU2009-08120/EDUC) y coordinado por Dr. Vicenç Font i Moll.


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Un acercamiento a estos nuevos planteamientos sugiere la necesidad de interrogarnos acerca de la idea de evaluación que consideramos, y por tanto responder a algunas de las preguntas que de dicho interrogante se derivan: • ¿Qué se evalúa? • ¿Qué significa evaluar más allá de comprender? • ¿Por qué es importante tener finalidades/objetivos educativos para evaluar? • ¿Por qué evaluar y evaluarse es un tipo de práctica? Actividad 1 Describe brevemente lo que para ti es realmente la idea de evaluación que has vivido como estudiante o como docente: • ¿Has vivido la evaluación competencial? • ¿Alguna vez has firmado un contrato de evaluación en términos de compromiso dialogado o escrito? • ¿Qué relación hay entre aprendizaje y evaluación? • ¿Qué importancia tiene reflexionar sobre el trabajo realizado en la clase para una buena evaluación del alumnado? • ¿Qué tipo de pregunta propondrías para reconocer la competencia sobre «saber proponer y resolver problemas». Describe alguna práctica de clase en la que te has sentido correctamente evaluado.

La evaluación como práctica escolar reflexiva Desde una perspectiva actual, la evaluación debe reconocer la necesidad de considerarse parte de los procesos de enseñanza y aprendizaje y no puede evadirse de las interacciones sociales que acontecen en el aula. Así, la evaluación, además de emitir juicios sobre los estudiantes a partir de medidas de logros, debe interesarse por proporcionar información para apoyar políticas y programas de toma de decisiones (Romberg, 1989). En ella se rescata una misión orientadora y de ayuda para satisfacer ciertas demandas en el proceso educativo, no solamente dirigida a reconocer problemas de los estudiantes, sino a brindar información a todos sus actores e instancias, sin desconocer la importancia de la regulación y el control necesarios en la valoración del trabajo escolar. Teniendo en cuenta lo anterior, la evaluación no solamente asume funciones de verificación de objetivos educativos y conocimientos alcanzados, sino que cumple diversos cometidos: social, ética y política, pedagógica y profesional (Giménez, 1997). En el cuadro 1 (en la página siguiente) se describen algunas de las características de estas funciones.


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Cuadro 1. Funciones de la evaluación

Función social Misión ayudar y orientar a los estudiantes y satisfacer sus demandas. Establecer una función social informadora. Orienta y aprecia la calidad educativa del sistema

Función ética y política Evaluación como parte del proceso educativo. Concepción de la enseñanza como constante revisión de lo que sucede. Postura crítica y abierta del profesor. Reflexión sobre la práctica

Función pedagógica Regulación y control del aprendizaje y sus interacciones. Reconocer cambios surgidos en el proceso que permita mejorar los procesos de formación. Relevancia del proceso regulador

Función profesional Manifestar el carácter reflexivo que implica la evaluación en la constante formación del profesorado. Propiedad como análisis de tareas: identifica habilidades, regula procesos, interviene en la planificación, influye en la toma de decisiones. Promueve la autonomía y autorregulación

Interpretamos la evaluación en la clase como identificación de elementos del proceso formativo (enseñanza-aprendizaje), que nos permiten adquirir consciencia de la evolución de dicho proceso para tomar las acciones de replanificación correspondientes. Entendemos que no sólo se evalúa al alumno, sino también al docente en una institución, y a la institución misma. Considerado como proceso implica: • Recoger y debatir información sobre el proceso educativo. • Analizar dicha información de forma que nos permita emitir juicios. • Tomar decisiones adecuadas a los juicios emitidos (Giménez, 1997). La evaluación ha sido identificada a veces como control de los logros del alumnado y, a menudo, se hace sólo mediante pruebas. Además, aún hay quien sigue pensando que las aulas de Matemáticas deben contribuir a desarrollar conocimiento matemático, alejado de todo contexto real y que es precisamente eso lo que debe ser evaluado. Tal es el caso de que todavía muchas pruebas de a las universidades siguen basándose en constatar que los estudiantes saben desarrollar destrezas de cálculos algebraicos. De ahí surgió la idea de que el buen docente sabe reconocer y esperar los errores de los estudiantes. Y en determinado tipo de errores ponía de manifiesto lagunas de conocimiento y comprensión. En contra de estos planteamientos está la idea de que aprender, y comprender matemáticas, no es incorporar conocimientos y mostrar destrezas y debilidades o errores, sino reconstruir y rehacer prácticas matemáticas. Se evalúan más cosas que la simple comprensión del alumnado. Comprender no es un fin educativo, sino un medio que conduce a la construcción de ideas y procesos matemáticos.


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Sabemos que lo que se valora o evalúa habitualmente como comprendido en Matemáticas es, en realidad, la respuesta (de un individuo o grupo) a preguntas sobre el contenido matemático. Así, una visión clásica de la evaluación ha tenido en cuenta controlar el conocimiento de los estudiantes a partir de sus logros que, desde un punto de vista claramente empirista, implica pensar que no hay otras influencias sobre lo que uno dice o hace, más que lo que muestra en un cierto desarrollo, que, por lo general, es un examen. La posición curricular y epistemológica que adoptamos en este capítulo se aleja de esta visión, en cuanto consideramos que la noción de competencia matemática plantea que las personas nos mostramos en acciones, por medio de lenguajes y éstos están condicionados por contextos, pensamientos, emociones y un largo etcétera. Evaluar y evaluarse competencialmente es una práctica continuada de aprender y analizar lo que se hace en la clase de Matemáticas. Es decir: • Saber qué sucede en el aula. • Reflexionar sobre cómo se regulan los procesos de enseñar y aprender, de manera que los resultados del aprendizaje sean cada vez más y más profundos. • Discutir qué decisiones se toman ante la reflexión realizada. Y eso no se ve «sólo al final», y tampoco sólo como media aritmética de resultados de notas parciales, sino que se trata de una práctica compleja.

Evaluar con todos exige establecer contratos de aprendizaje con cada uno Evaluar sólo por logros y pretender que la evaluación se asocie a la comprensión supondría pensar en una clase para un «alumno medio» (inexistente), y un valor del contenido como un fin centrado en el saber, olvidando el saber hacer o saber estar. Diversos autores constatan la idea de que el dominio de un conocimiento matemático instruido no se traduce de manera inmediata en la comprensión completa del mismo ni en una nueva competencia o en un nuevo aprendizaje. Por el contrario, evaluar en un marco de heterogeneidad del alumnado implica reconocer dicha diversidad, analizando los factores que pueden incidir en el desarrollo y progreso matemático de cada uno. La experiencia nos ha mostrado que las personas se muestran de forma diferente según si tienen más o menos tiempo para responder, si sienten que no se encuentran en situación de diálogo auténtico, si no encuentran sentido a la tarea propuesta, si el docente les da oportunidades de experimentación o no, etc. El considerar que desarrollamos pensamiento matemático para todos los estudiantes, implica que estimamos que hay habilidades y destrezas que están al alcance de todos y pueden potenciarse mediante actividades adecuadas en un aula que comparte y dialoga. Entendemos que la competencia pone de manifiesto que no se da la misma comprensión en contextos diferentes.


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Ahora bien, como la finalidad no es el contenido ni el conocimiento, debemos tener claro que las auténticas finalidades son: la orientación social, no la selección y control; y la regulación formadora, no el juego de descubrimiento de aciertos y errores. Si consideramos así la evaluación, es fundamental que contenga procesos de coevaluación y autoevaluación. Y exige que docentes y estudiantes reconozcan cómo se razona, cómo se actúa… en fin, cómo se aprende. En este sentido, algunos autores señalan el valor de establecer contratos de evaluación (Sanmartí, 2007). En dichos contratos, los estudiantes reconocen sus debilidades y fortalezas matemáticas, y se comprometen a desarrollar sus competencias. Y el docente se compromete a potenciar el pensamiento matemático de sus estudiantes, explicitando unos objetivos que estén a su alcance y una propuesta de actividades y prácticas que permitan dicho desarrollo. Mientras el concepto de competencia se refiere a la habilidad de resolver demandas de cierto grado de complejidad, e implica sistemas complejos de acción, el término «conocimiento» se aplica a hechos e ideas adquiridos por el estudio, la investigación, la observación y la experiencia. Y se refiere a un cuerpo de informaciones que las personas comprendemos. El término «habilidad» se usa para designar el uso de un conocimiento adquirido con cierta facilidad, y se refiere a tareas relativamente sencillas.2

La evaluación de la competencia para aprender A menudo, muchos docentes piensan que la competencia es un nuevo nombre que nos hemos inventado para hablar de lo que siempre se ha llamado habilidad. Y es cierto que en algunas definiciones de competencia se ha reducido a habilidad, y se asocia a respuestas que da un alumno a las preguntas que se le proponen. Según su respuesta se dice que es más o menos hábil porque acertó más o menos. Para aclarar términos, a continuación, se describen diversas ideas clave para llegar a comprender la noción de competencia matemática básica, en un marco de reflexión en que pensamos que lo clave del trabajo de aula es que se produzca aprendizaje significativo en situaciones reales, de manera que se promueva ciudadanía crítica y democrática.

Sobre la idea de competencia Hay diversas definiciones según el punto de vista de los autores. Inicialmente, se definen como combinación de conocimientos, capacidades y actitudes, o como comportamientos o actuaciones que permiten documentar procesos de desarrollo educativo o profesional. Ya sea formado por habilidades cognitivas, actividades de valores, destrezas motoras y diversas informaciones que hacen posible llevar a cabo, de manera eficaz, cualquier actividad. O más recientemente definidos como actuaciones integrales para identificar, interpretar, argumentar y resolver problemas del contexto con idoneidad y ética, integrando el saber ser, el

2. www.deseco..ch


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saber hacer y el saber conocer (Tobón, Pimienta y García Fraile, 2010). El hecho de que las competencias vayan asociadas a las habilidades no es extraño, porque habilidad y logros fueron durante tiempo las palabras clave de la evaluación.

Sobre la competencia matemática El Real Decreto de Mínimos (1513/2006, de 7 de diciembre) por el que se establecen las Enseñanzas Mínimas en Educación Primaria, identificaba la competencia básica matemática como: Habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático tanto para producir e interpretar distintos tipos de información como para ampliar conocimientos sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral.

Niss (1993) definía ya esta competencia como: Poseer habilidad para comprender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en una variedad de contextos intra y extra matemáticos y situaciones en las que las matemáticas juegan o pueden tener un protagonismo.

Si consideramos el Proyecto PISA, el término se describe como: Capacidad individual para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundados, utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas, y satisfacer las necesidades de la vida personal como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo. (OECD, 2004, p. 3; OECD, 2003, p. 24).

El estudio PISA/OCDE apuesta por entender las matemáticas como conjunto de procesos que proporcionan respuesta a problemas, y un énfasis sobre lo funcional del conocimiento matemático en situaciones diversas. Considera, además, que pide una combinación de conocimientos, destrezas y métodos que se muestran en contexto social. Pero también refiere a que los modos de actuación muestran sus capacidades y habilidades cuando trabajan con las matemáticas en contextos en los que es necesario utilizar este tipo de herramientas. Un análisis detallado de lo que significa la evaluación PISA puede verse en Rico (2007). En otros documentos se define la competencia como habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral.3 Y se añade que forma parte de esta competencia matemática:

3. www.ediagnos tikoak.net/ediag/cas/item-liberados/ED09_Euskadi_Matem_ESO2.pdf


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• La habilidad para interpretar y expresar con claridad y precisión informaciones, datos y argumentaciones, lo que aumenta la posibilidad real de seguir aprendiendo a lo largo de la vida. • El conocimiento y manejo de los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. • La puesta en práctica de procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de diversas informaciones. • La disposición favorable y de progresiva seguridad y confianza hacia la información y las situaciones que contienen elementos o soportes matemáticos, así como hacia su utilización cuando la situación lo aconseja, basadas en el respeto y el gusto por la certeza y en su búsqueda a través del razonamiento. En todas las propuestas que hablan sobre la competencia matemática, se pone de manifiesto una aptitud potencial accesible a todos los estudiantes en la ESO ante la manifestación de la competencia y también se habla de cómo se asocia la competencia a un objetivo educativo específico, que en la educación secundaria, se asocia directamente a la disciplina. Para reconocer las competencias, es importante marcar indicadores que asocien a una tarea unas ciertas subcompetencias. Actividad 2 Recuerda las ocho competencias de la LOE y las competencias básicas PISA. Observa la actividad siguiente e indica qué competencias básicas pueden ser desarrolladas en ella. «La evolución del precio medio de la vivienda nueva en una ciudad andaluza a lo largo de seis años ha sido:

Años 2

Precio (€/m )

2000

2001

2002

2003

2004

2005

918

1.023

1.130

1.262

1.432

1.653

El precio de la vivienda usada en la misma ciudad viene reflejado en el gráfico siguiente: Precio de la vivienda usada

Precio en euros/metro cuadrado

1.800 1.600 1.400 1.200 1.000 800 600 400 200 0

1.699 1.466 1.215 836

897

997

2000

2001

2002

2003

2004

2005

¿Qué incremento se ha producido entre 2003 y 2004 en cada uno de los dos tipos de vivienda?»


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Actividad 3 Muestra indicadores de evaluación correspondientes a las competencias enunciadas. ¿Qué deberíamos observar y registrar para constatarlo? Si es necesario, consulta la Wikipedia: «Competencias básicas».

La competencia es más que una capacidad. Entendemos que las capacidades se establecen en cuanto un estudiante muestra conocimientos ante un determinado contenido, tema o situación planteada. Sabemos que varía de un tipo de pensamiento matemático a otro cuando se enfrentan con tareas que les proponemos. Las capacidades se asocian a los contenidos que deben ser explícitos, para poder establecer el criterio de evaluación correspondiente. En cambio, la competencia se asocia a un objetivo curricular que se pretende, mediante el trabajo con un contenido, para conseguir un fin determinado. La finalidad es valorativa y ética, y está asociada a la transferibilidad de las matemáticas a lo cotidiano de la vida del estudiante. Actividad 4 Observa el siguiente objetivo: «Reconocer y caracterizar la ecuación de segundo grado con el fin de que sirva como modelo de situaciones cotidianas». Teniendo en cuenta el fin, ¿cuáles de las siguientes capacidades crees que priorizarías con relación a ese objetivo? • Construir ejemplos de funciones cuadráticas sabiendo pasar de tablas a gráficos correspondientes. • Usar terminología. • Describir situaciones que sean asociables a la función cuadrática. • Saber resolver ecuaciones de segundo grado por métodos de factorización. • Saber argumentar manipulativamente o algebraicamente por qué una expresión de segundo grado puede factorizarse como un producto de dos expresiones lineales. • Reconocer el significado de los parámetros (coeficientes) que acompañan los términos de la ecuación de segundo grado. Una posible respuesta la tienes en la presentación de J. Lupiañez: • LUPIÁÑEZ, J.L. y RICO, L. (2008). Análisis didáctico y formación inicial de profesores: competencias y capacidades en el aprendizaje de los escolares. PNA, 3(1), 35-48 .


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Interpretar, evaluar, regular y aprender como prácticas profesionales relevantes La competencia no es conocimiento, aunque se movilicen esos recursos. El conocimiento se asocia al establecimiento de afirmaciones con significado. Evaluar competencialmente de forma que implique aprender significa tener instrumentos para reconocer que se está construyendo prácticas matemáticas en comunicación y diálogo. En efecto, consideramos que el diálogo social intencionado es el elemento clave de la educación y de una construcción curricular efectiva. El diálogo docente-estudiante lleva a la comprensión real de los objetos y procesos matemáticos. Entendemos que el aula heterogénea es el lugar idóneo de formar ciudadanos abiertos a la pluralidad, porque reproduce la multivariedad de forma no discriminatoria e interpreta el diálogo como la forma educativa principal para el desarrollo humano en el aula matemática, en el sentido de Paulo Freire.

¿Cómo se desarrolla habitualmente la práctica evaluadora en Matemáticas? ¿Cómo sienten la evaluación sus protagonistas? A menudo, los docentes hacen preguntas en las que pretenden ver cómo los estudiantes relacionan los hechos con los ejemplos y las propiedades. Explicitan que no quieren repetir las mismas preguntas de los libros. Pero pocas veces se pregunta a los propios estudiantes lo que esperan del trabajo que van a realizar. Es decir, un mensaje importante de cambio es entender que no hay regulación completa si sólo recae en una elaboración del docente o en la presentación de una buena tarea. Para una buena regulación hay que desarrollar tres pasos: adecuación inicial planificadora, negociación/contrato y toma de decisiones (Giménez, 1997).

Los principios de una buena práctica reguladora Inicialmente, para valorar y evaluar los aprendizajes es necesario adecuar el currículo al grupo de alumnos. Para ello, establecer con claridad cuáles son los aspectos u objetivos que se desea evaluar y cómo medirlos (instrumentos), para lo que, a su vez, es imprescindible conocer previamente cuáles son los aspectos potencialmente valorables y cuál es la naturaleza de cada uno de ellos, es decir, cuáles son los elementos que forman parte del campo conceptual concreto del que se pretende efectuar la valoración. Para averiguar esto con seriedad, se requiere: • Un análisis didáctico del campo desde el punto de vista de los conocimientos matemáticos involucrados, de las funciones cognitivas asociadas y de los fenómenos, situaciones y problemas que dan significado a dichos conocimientos. • Un estudio sobre los enfoques y los tratamientos de los elementos anteriores en el currículo y en su desarrollo práctico en el aula. • Una actitud y formas de hacer autorreguladoras.


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Para el establecimiento de contrato, implica que una vez seleccionados los instrumentos de evaluación, y aunque no se escriban, debemos tener justificaciones de esas elecciones y estar dispuestos a cambiarlas si es preciso. Es decir, adaptabilidad. Después se pasa a la explicitación del modo en que se van a desarrollar (individualmente, en pequeño grupo, en gran grupo), y así en diversas ocasiones a lo largo del proceso. El contrato prescribe quién va a ser responsable de ello (sólo el profesor, fruto de un «diálogo entre profesor y alumno», o bien lo controlará sólo el alumno). Para la toma de decisiones, es importante establecer un estilo de desarrollo competencial. En el desarrollo y evaluación de la competencia, la acción de clase debe considerar el error como fuente de aprendizaje. No se trata, como algunos piensan, de provocar el error, pero si el conflicto. El alumnado debe y puede expresar opiniones, y en ellas hay concepciones alternativas, respuestas incorrectas o simplemente ausencias de esfuerzo que desemboca en el silencio o respuesta en blanco. En esas condiciones, fomentar la participación es fundamental para que se produzca aprendizaje. A veces eso ocurre porque no les interesa o motiva lo que se está haciendo o las preguntas no son suficientemente provocadoras. Algunos autores hablan de la necesidad de que se tome un patrón de interacción que no fomente la pregunta directa única (correcta o no correcta) sino una pregunta que promueva actitud investigativa. En realidad, uno de los aspectos que más cuesta cambiar en la escuela es precisamente el estatus del error. Para evitar que el alumnado calle o responda lo primero que se le viene a la cabeza o simplemente busque copiar del vecino, el trabajo debe ser desafiante.

Aprender de la práctica de aprendizaje con conflictos y errores De parte del docente, en clave de evaluación, eso implica reconocer que las respuestas deben explicarnos lo que pasa en la clase. Ello pasa porque se fomente el diálogo y la expresión, y en las preguntas se piense en hacer preguntas basadas en que todos pueden acceder a contextos y visualizaciones cotidianas perceptibles. Y cuando se produzcan respuestas llamadas incorrectas, es fundamental que se comprenda las formas diversas de llegar al resultado, así como saber por qué se están produciendo ciertas respuestas incorrectas, para aprender del error. La revisión y comentario sobre los errores, no sólo es una tarea investigadora del docente, en la que conecta con otros docentes e investigadores, sino que muestra la necesidad del análisis didáctico de las tareas en su desarrollo y gestión, y no sólo de su enunciado. De ahí la necesidad de una buena planificación docente que considere lo que sabemos sobre los conflictos específicos que pueden producirse, y realmente sabemos que se producen cuando se desarrolla un determinado aspecto de la matematización. No vamos a entretenernos aquí en discutir sobre obstáculos y conflictos desde el punto de vista teórico. Invitamos al lector a que constate el capítulo correspondiente de análisis didáctico de la colección.


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Un ejemplo que hay que tener en cuenta en el desarrollo de situaciones con fracciones es saber que hay razonamientos que se hacen sobre dobles y mitades que a veces los estudiantes no hacen sobre otras relaciones multiplicativas. Otro ejemplo sobre el uso de modelos fraccionarios basados en el pastel o círculo es que debemos saber que no es fácil dar sentido a que dividir en tres partes iguales no se puede hacer de forma «vertical», sino que debe hacerse desde el centro. Y así, surge la necesidad de una reflexión importante sobre el análisis epistemológico de conceptos y procedimientos matemáticos. Actividad 5 Observa alguna referencia web, capítulo de libro o artículo para saber qué son y para qué sirven las bases de orientación como actividad de regulación, y como algoritmos de ayuda a la reflexión. Asimismo, reflexiona sobre el valor de los debates frente a respuestas del alumnado del día anterior y la realización de informes de síntesis de actividades experimentales con modelos manipulativos. Usualmente, los docentes hacen reconstrucciones guiadas de conocimiento en las que dirigen estos procesos mediante preguntas sugerentes de reflexión. Pero si se quiere una mayor autonomía del alumnado, deben plantearse los objetivos que tenía la actividad y discutir sobre si lo que se hizo corresponde o ayuda a los objetivos.

¿Es posible evaluar formativamente desarrollando competencias? La evaluación formativa se entiende como la observación paciente y atenta como herramienta necesaria para obtener información sobre la interacción entre los estudiantes, la tarea y el docente, así como los procesos generales de la actividad matemática, tanto individual como grupal. Cada persona desarrolla competencias en un cierto grado. Al camino que uno hace se denomina trayectoria de desarrollo o de aprendizaje. Ello supone que en momentos diferentes de formación los comportamientos son diferentes, y se espera que cada vez sean mejores. Es importante pues, tener claro que no se puede conseguir un grado experto en la competencia, y debemos saber sobre las posibilidades de desarrollo competencial de un cierto contexto, así como saber asociar una buena propuesta si se quiere un desarrollo competencial determinado. Para hacer esto segundo, dedicaremos algunos apartados más adelante. Por ahora veamos qué elementos podemos considerar a partir de ciertas tareas, para ayudar a precisar la eficiencia de las combinaciones y analizar niveles de desarrollo competencial. Para tomar buenas decisiones, recomendamos: tener claridad sobre las relaciones entre contenido y competencia, elaborar criterios conjuntamente con otros colegas (mejor si son del mismo centro), y diseñar instrumentos apropiados.


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Sobre la importancia de analizar las relaciones entre contenido y competencia Un elemento prioritario para reflexionar, es la relación que establecemos entre el contenido y la competencia. Efectivamente, es fundamental que para evaluar la competencia, seamos conscientes de que un determinado contenido se asocia a muy diversos aspectos de la competencia, y pensemos en la necesidad de un análisis didáctico a priori para saber qué queremos evaluar y qué se puede realmente evaluar. Actividad 6 Piensa en un contenido, como la resolución de ecuaciones de segundo grado, que suele trabajarse en 3.º de ESO. Asociemos a ello dos tipos de desarrollo de tareas escolares diferentes. Analiza las relaciones y estructura del contenido subyacente a cada propuesta. Analiza la configuración correspondiente: las formas de representación, definiciones, argumentos, etc. Explica los posibles conflictos que pueden surgir de esas dos formas diferentes de presentación del contenido y su enfoque asociado. Analiza los procesos matemáticos que se activan, y como consecuencia, describe las competencias que se impulsan en uno u otro modelo en clave de evaluar la competencia matemática. Asocia dos modelos de evaluación que surjan naturalmente como consecuencia de los dos planteamientos anteriores. Para reflexionar sobre el aspecto teórico aconsejamos leer: • http://plataforma.cep-marbellacoin.org/moodle/file.php/135/PGomezElContenidoMatem atico.pdf

El desarrollo de la competencia matemática en clase y su evaluación A continuación explicamos un proceso que como docentes podemos realizar para ayudar a desarrollar la competencia: • Acordar criterios. • Elaborar regulaciones proactivas y diagnósticas. • Aprovechar las evaluaciones censales. • Analizar la potencialidad de las tareas, tipos de preguntas adecuadas, formato, registro, así como maneras de autoevaluar la planificación. • Analizar la gestión de las mismas mediante observación de patrones de interacción.

Acordamos criterios de evaluación observacional competencial Un modelo criterial de evaluación debe ser orientador, integrador, multidimensional, con cierto peso de orientación procesual y una visión de constructivismo social. Para tener una visión más


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pormenorizada se puede consultar Evaluación en matemáticas. Una integración de perspectivas (Giménez, 1997). Veamos mediante un ejemplo, cómo podemos definir criterios de evaluación de competencias a partir de ajustar la competencia desde la perspectiva curricular. Ante todo, debemos partir de una afirmación u objetivo competencial, que debe incluir acciones convenientes. La competencia se define indicando los medios asociados al contenido y las finalidades, que permiten decidir si un contexto es mejor o no para su desarrollo, en función de lo que se prioriza. En el cuadro 2 puede verse una formulación de un objetivo concreto de la competencia que suele describirse como «saber elaborar argumentos y razonamientos en la ESO». Cuadro 2. Ejemplo de descripción de un objetivo competencial

ACCIONES

MEDIOS (CONTENIDO)

FINES

Elaborar textos, formular preguntas, diseñar experimentos, hacer construcciones de hipótesis y argumentar su validez o refutarla.

Por medio de expresio- Con la finalidad de reconocer la argumentación, el nes y razonamientos razonamiento y la prueba como formas de desaplausibles. rrollar nuevos conocimientos, analizar y obtener nuevas informaciones, así como valorar actitudes científicas como la perseverancia y la precisión.

A esa formulación, le asociamos, como ejemplo, los contenidos y criterios de evaluación en 3.º de ESO, como se ve en el cuadro 3. Como hemos dicho, el desarrollo de la competencia se observa en la acción/respuesta del alumnado. Por lo tanto, debemos tener herramientas para saber constatar y analizar competencias desarrolladas ante una tarea por distintos alumnos. Cuadro 3. Ejemplo de contenidos y criterios de evaluación asociados

CONTENIDO ASOCIADO

CRITERIO DE EVALUACIÓN ASOCIADO

Elaboración de argumentos propios, así como comprensión y discusión de los de otros, de forma escrita, o esquemática sobre la validez de las afirmaciones realizadas sobre situaciones cotidianas.

Argumentar adecuadamente por escrito o esquemáticamente sobre la validez de afirmaciones matemáticas realizadas sobre situaciones cotidianas.

Análisis de situaciones a partir de cuadros resumen y/o diagramas o esquemas conceptuales, relacionales o bases de orientación.

Formular conjeturas, argumentos y preguntas asociadas a situaciones. Elaborar con esmero cuadros resumen, esquemas y diagramas relacionales o bases de orientación para explicar situaciones.

Desarrollar gusto por la certeza, con argumentaciones y razonamientos en situaciones que lo requieran.

Desarrollar una actitud de investigación, así como argumentar y analizar la validez de razonamientos propios y de otros.

Reconocimiento y argumentación sobre la existencia de diferentes caminos para llegar a un resultado determinado en situaciones diversas y control de resultados de las que se ha formulado hipótesis.

Reconocer y argumentar adecuadamente la existencia de diferentes caminos para llegar a un resultado determinado en situaciones diversas.


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Para ello es necesario tener registros de desarrollo competencial, asociados a las unidades de trabajo que preparamos. Hacer este registro es mucho más difícil que las típicas pruebas de evaluación de contenido, porque en una misma tarea pueden observarse diversas competencias, y no todos los estudiantes desarrollan cada una de ellas en un mismo grado (ejemplo 1). Ejemplo 1 Se preguntó a estudiantes de 1.º de ESO si podían saber el precio de 1 pizza y dos ensaladas sabiendo que 2 pizzas y 3 ensaladas costaban 20 euros. Veamos en la primera columna del cuadro las respuestas de algunos estudiantes, y en las siguientes columnas, los indicadores de competencia matemática y comunicativa que observamos. Registro de desarrollo competencial a partir de las respuestas de dos estudiantes

COMPETENCIA MATEMÁTICA

COMUNICATIVA

Respuesta del estudiante

Reconoce relaciones de orden y multiplicativas en igualdades

Establece argumentos y razonamientos plausibles

Se expresa de forma oral y escrita

Alvaro: «Porque una ensalada no puede costar más de seis euros Sí, se puede saber porque es exactamente el doble.»

Grado bajo porque no se explicitan las relaciones.

Grado bajo porque afirma sin argumento justificativo.

Grado bajo porque se espera que formulen frases más elaboradas.

Judit: «Porque más de 3 pizzas por 6 euros serían más de 18 euros y las ensaladas serían casi gratis. Se puede multiplicando.»

Medio porque parece que reconoce y usa relaciones multiplicativas en contexto de igualdad y orden.

Grado medio porque parce que incorpora argumentos, aunque no son totalmente deductivos.

Grado bajo porque se espera que formulen frases mejor elaboradas sintácticamente. Transmite bien.

Es evidente que algún aspecto de la competencia comunicativa en lengua oral no podrá ser observado, porque aquí tomamos en consideración resultados de la tarea sólo por escrito. Y también es obvio que podríamos constatar otras competencias básicas, que se añadirían a la tabla anterior. Actividad 7 Observa la actividad planteada a continuación. Establece las competencias que consideres pueden evaluarse a partir de esta actividad, así como los criterios de evaluación adecuados para estudiantes de 14 años.


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«En la gráfica se muestran las relaciones estimadas entre el precio galón de dos combustibles C1 y C2

Precio galón

durante un año. Al finalizar el año se espera que el

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C1 C2

precio por galón del combustible C1 sea de 8.600 $ y el del combustible C2 sea 7.200 $. Plantea las

6.000

ecuaciones que permiten describir los precios de los combustibles a lo largo del año. A partir de qué mes

5.000

el precio por galón del combustible C2 es más económico que el precio por galón del combustible C1.

Enero

Explica tu respuesta.»

Diciembre (Total meses)

Observa las respuestas de Marta y José. Analiza el grado de competencia mostrado por cada uno de ellos, justificando tus afirmaciones. Respuesta de Marta:

Respuesta de José:

Fuente: Tomado del M.E.N. Colombia (2006). Resultados de Pruebas Saber. Bogotá: ICFES.


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Establecemos una evaluación inicial reguladora Entendemos que regular empieza por saber en qué punto están los estudiantes en cuanto saber cuál es su conocimiento intuitivo sobre los fenómenos asociados a cierta idea matemática, y ello es parte de nuestra visión realista de la construcción de las ideas matemáticas. Por ello, al inicio, proponemos una regulación en la que pedimos a los estudiantes que se posicionen sobre el conocimiento que el alumno cree que tiene y contrastar con el que va mostrando en las distintas actividades. El alumnado ha de escoger entre las siguientes respuestas: • «No he oído nunca hablar de esto.» • «He oído hablar de esto pero no tengo ni idea.» • «Sé de lo que va pero no tengo ni idea.» • «Tengo algunos puntos claros, pero otros no tan claros.» • «Conozco bien el concepto.» • «Lo puedo explicar bien a un compañero o compañera.» • «Lo puedo explicar correctamente al profesor o profesora.» En general, consideramos que una de las formas de situar y desarrollar inicialmente las competencias del alumnado es el reconocimiento de la situación previa en la que se está y seguir con la identificación progresiva y sistemática de a dónde se quiere ir. Eso significa plantear tareas dialogadas que promuevan concepciones alternativas y se pongan de manifiesto estrategias de razonamiento personales. Actividad 8 Observa y analiza la siguiente propuesta de trabajo con la que se busca desarrollar la competencia «saber gestionar informaciones cotidianas que permitan establecer igualdades numéricas» en un inicio del álgebra. «Organizamos la clase en grupos de cuatro y pedimos que discutan la siguiente pregunta y escriban lo que acordaron: “Indicad 10 afirmaciones que podemos escribir, si nos dicen que en un restaurante 3 pizzas y 2 refrescos cuestan 19,80 euros?” Posteriormente, discutimos con toda la clase las respuestas que dieron.»

Si añadimos una nueva pregunta como la siguiente, explica ¿qué más podríamos observar en términos competenciales? «¿Podemos saber lo que cuesta una pizza y un refresco? ¿Podemos saber lo que cuestan 6 pizzas y 4 refrescos? ¿Por qué el precio de una pizza no puede ser mayor de 7 euros?»

Explica lo que cambiaría si inicialmente hubiéramos dado estas preguntas a cada alumno para que primero escribiera lo que piensa en su cuaderno, después les hubiéramos puesto a dialogar en grupo, recogiendo los nuevos resultados en otro color en el cuaderno, y luego discutido con todos, estableciendo conclusiones grupales.


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¿En qué mejoraría o no el desarrollo competencial regulador el hecho de que el docente recoja los resultados en forma de tabla sistematizada y se parta de esta «tabla de resultados» en la sesión siguiente, para indicar a todos lo que ocurrió en el grupo?

Para regular inicialmente el aprendizaje en clave de evaluación, nos valdremos de formulaciones de tipo problemático, textos y diálogos que nos permitan objetivar la situación. Dicha objetividad la garantiza la cercanía que estos textos tienen de lo que la investigación didáctica específica propone. Éste es un criterio de validez para las propuestas de tareas llamadas de regulación inicial, que de otra manera se convierten en instrumentos particulares de un docente o grupo. Por otra parte, pueden establecerse diversos tipos de instrumentos para el registro y organización de las competencias asumidas, especificando los elementos de razonamiento, comunicación, representación, etc. Y en ese momento pueden establecerse categorías de comportamiento. Pueden usarse narraciones, redes sistémicas (tablas de resultados de lo ocurrido), pautas de corrección sobre el portafolio (frases de ánimo o propuestas de reflexión), o simples retroacciones (indicaciones individuales o grupales). En el ejemplo 2 se presenta una actividad diagnóstica inicial en una unidad sobre la medida con alumnado de 13-14 años (Latorre, 2007) en la que se usa una tabla para sistematizar las respuestas de los estudiantes, de manera que permite al docente dar retroacción y decidir sobre cómo seguir en el proceso. Ejemplo 2 El docente describe en su diario de aula lo siguiente: «Creo que no se ha trabajado suficientemente con la idea de volumen, pero al mismo tiempo considero que debemos introducir actividades en que aparezca la complejidad y la conexión con la historia de la medida. Por todo ello, propuse una actividad compleja que fomenta la elaboración de conexiones. Pedí a los estudiantes que lean el siguiente texto del arquitecto Fontana del siglo XVI respecto a la manera de encontrar el volumen del obelisco del Vaticano. “Para saber cuántos palmos cúbicos entraban en el cuerpo de la aguja, tomé la altura desde la cuadratura superior donde comienza la punta hasta la base con una plomada, y encontré que era 100 palmos y medio. Una vez hecho esto, medí el grueso del pie que es de doce y cinco minutos. Lo mismo hice con la cuadratura de arriba, y encontré que medía 8 palmos y cinco minutos de grueso. Sobre esta cuadratura la punta, semejante a una agujita con otros ángulos y vértices, medía 6 palmos...” Una vez leído, les pregunté: “¿Qué son palmos cúbicos?¿Qué medida quiere decir cinco minutos? Marca en tu libreta una altura de 107 palmos y medio”.»


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En este ejemplo, a partir de las respuestas de los estudiantes, y antes de hacer la puesta en común con todo el grupo, se procura establecer una categorización en forma de tabla (cuadro 4) en la que podemos identificar lo que los estudiantes interpretan sobre el volumen a partir del texto. Se pone de manifiesto que un análisis de la situación hace ver que sólo una quinta parte del alumnado interpreta el texto, sin que con ello podamos asegurar que tienen claro lo que son palmos cúbicos. Se constata, asimismo, la necesidad de discutir sobre unidades antropométricas de volumen que usualmente no se trabajan. La consecuencia positiva de hacer este tipo de regulación es que el alumnado puede dialogar sobre esas unidades de medida, para dar sentido a las unidades llamadas convencionales como el metro cúbico. Y pone de manifiesto que no es cierto que el alumnado, que aparentemente conoce el palmo como unidad de medida, transfiera ese conocimiento a la idea de volumen. Cuadro 4. Respuestas del alumnado que permite regulación

TIPOS DE RESPUESTAS

ESCRITO DEL ESTUDIANTE

Se muestra una idea de volumen correcta y ajustada.

Palmos en altura, ancho y profundidad (idea de cubo).

% (n= 20) 20

Unidad de medida de volumen que equivale a 20cm de arista. 20cm3.

10

Una magnitud que mide el volumen.

25

Se da una aproximación lingüística.

El volumen de la mano.

5

No muestra una idea de volumen.

Una unidad de medida.

5

Unos 20 cm (identificación con el palmo).

20

Se muestra una idea de volumen no ajustada.

No contesta.

15

Ese mismo estudiante que citamos, cuando se le pregunte sobre si es lo mismo la mitad de un metro cúbico que un cubo de medio metro de lado, dirá que son lo mismo, porque no construyó la idea de volumen.

Aprovechamos las «evaluaciones oficiales externas» A partir de las directrices oficiales se hacen evaluaciones externas, con el objetivo de que los centros educativos tengan información de cómo es el desarrollo competencial del alumnado. Lo interesante es que aprovechemos las reflexiones e ítems de estas evaluaciones en lo que tienen de valor. En algunos casos, las dimensiones competenciales se han reducido respecto a las de las pruebas PISA en tres aspectos:


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• Organizar, comprender e interpretar informaciones, que se corresponde con la competencia de pensar y razonar. • Expresar, que se corresponde con representar y comunicar. • Planear y resolver problemas, que incluye a veces la de matematizar. Actividad 9 Identifica las dimensiones (según PISA) de evaluación competencial del ítem siguiente, el objetivo correspondiente y qué esperas que responda el alumnado de 14 años. Describe brevemente lo que te aportaría como docente saber realmente las respuestas dadas a ese ítem en esta prueba. «Aitor, Berta y César van sentados en los asientos traseros de un taxi. En el siguiente esquema se presenta una de las seis maneras distintas en las que pueden sentarse Aitor, Berta y César.»

Completa en el esquema las otras cinco maneras:

César

Observa:

Berta Aitor

• DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN, UNIVERSIDADES E INVESTIGACIÓN. Competencia matemática. 2.º curso de educación secundaria obligatoria. Gobierno Vasco. Puedes comparar con lo que se cuenta en ese documento oficial correspondiente, en la página 7.

Debemos tener en cuenta que hay competencias que no pueden ser observadas mediante pruebas. Tal es el caso de desarrollar tareas tipo proyecto o investigación larga para considerar la competencia modelizadora. Actividad10 Observa la siguiente situación: el docente propone elaborar un proyecto de investigación sobre el vertido de tanques de agua y plantea lo siguiente: «Tenemos un tanque vacío que se llena de agua a razón de un litro por segundo. Pensad cómo debe ser el tanque y explicad las relaciones que consideréis convenientes en este fenómeno.»

En el dibujo puede verse el modelo desarrollado por un grupo de alumnos al hacer el proyecto. En ese caso, los alumnos han hecho suposiciones acerca del tanque con las que han dibujado el gráfico correspondiente. Describe cómo crees que los alumnos realizaron el proceso de modelización


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y explica por qué consideras que con la actividad se evalúa prioritariamente la dimensión comunicativa además de la competencia modelizadora. 1.0 m

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• ¿Qué suposiciones crees que hicieron? • ¿Qué clase de modelo utilizaron? • ¿Cuál podría ser el siguiente paso después del gráfico? • ¿Qué otra u otras competencias podemos reconocer cuando veamos las respuestas ante este trabajo?

Tener en cuenta este tipo de evaluaciones diagnósticas nos permite pensar que, en nuestras clases, debemos considerar ítems o actividades asociadas a todas las dimensiones posibles. Hay muchos ejemplos disponibles de este tipo de evaluaciones, en el apartado de «Recursos web» se encontrarán algunos de ellos.

El papel de las tareas en el desarrollo de competencias A partir de la regulación inicial ya citada, es importante elaborar tareas de manera que los estudiantes se encuentren con procesos y competencias diversificados. En un desarrollo de una unidad temática sobre la medida de volumen con alumnado de 13-14 años, comenzamos por mostrar evidencias de medida aproximada de tipos diferentes. Las actividades se desarrollan en un entorno interactivo con ordenador, de manera que se permite la discusión, pero se mantiene la posibilidad de tiempos diferidos en los que cada estudiante define su ritmo de trabajo. Se reconocen situaciones de variabilidad (de volumen respecto a los lados, en el caso de prismas, de volumen respecto a radio en el caso de cilindros, etc.) y generalizamos algunas propiedades de equivalencia de volumen con el uso del lenguaje de las funciones. Regulamos identificando niveles de competencias diferentes mediante tareas diversas. Así, por ejemplo: • Trabajamos las competencias relacionadas con el uso de razonamientos y argumentos para evidenciar la noción conceptual de medida (comparación directa o no, unidad, aditividad, positividad, universalidad).


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• Reflexionamos sobre procesos matemáticos (variación multiplicativa, equivalencia, identificación de propiedades, generabilidad, valor del cálculo, etc.). • Desarrollamos la competencia comunicativa (lenguaje y expresión de razonamientos). • Trabajamos el planteamiento y la resolución de problemas (diseño, toma de decisiones, etc.).

Sobre la complejidad de las tareas Para regular competencialmente las tareas deben permitir desarrollar la complejidad de los contenidos. Así, por ejemplo, una tarea se hace más compleja si: • Se redacta de forma hipotética o no habitual para el alumno. • Se aleja de lo cotidiano del estudiante o con contextos poco motivadores. • No se usan representaciones de apoyo, de manera que el alumnado deba decodificar la información antes de tratarla. • Se supone que va a desarrollar destrezas de alto nivel, exigiendo la realización de varios pasos en el proceso de resolución o requieren procesos matemáticos complejos. • El razonamiento requerido pide detectar un planteamiento con idea feliz. Pero, también, una tarea se hace más compleja si activa un mayor número de competencias. Y una tarea en la que damos cuatro respuestas posibles es menos compleja que si la dejamos abierta para que se den razonamientos o estrategias diferentes. Actividad 11 Observa el siguiente ejemplo de actividad abierta. Explica por qué nos permite un desarrollo competencial de tipo complejo. Se dice a los estudiantes que en un cuadrado se pueden insertar otros cuadrados. «De entre éstos, considera los que tienen los vértices en los puntos de intersección de las cuadrículas con los lados del cuadrado inicial. Discutid las observaciones en grupo. Haced un informe de los descubrimientos realizados.»

Sobre la base de la complejidad, el proyecto PISA habla de tres tipos de tareas: simples, reproductivas o directas y conectivas o reflexivas. Entre las primeras, se encuentran las aplicaciones de destrezas básicas, aportaciones terminológicas, ejemplificaciones o aplicaciones


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directas de fórmulas conocidas. Entre las segundas, algunas pueden ser de pensamiento matemático elemental, que usan modelos elementales como materiales o juegos, aplicaciones no directas que piden claridad de contenido, o incluso más complejas. Por ejemplo, el reconocimiento de propiedades, elaboración de teoremas, construcción de ideas o síntesis elaboradas. Las de reflexión pueden ser de validación, formalización, argumentación no inmediata, creación, etc. Las preguntas que se plantean en las tareas pueden activan un grado mayor o menor de la competencia que se ve reflejado en las respuestas y el tipo de complejidad del contenido que se desarrolla. En el cuadro 5 se muestran algunos ejemplos. Cuadro 5. Preguntas asociadas al nivel de complejidad de razonamiento

NIVEL BAJO

NIVEL MEDIO

NIVEL ALTO

Tipo de pregunta de tarea

¿Cuántos…? ¿Cuánto es…? ¿Qué ves?

¿Cómo hallamos…? ¿Qué tratamiento matemático damos…?

¿Cuáles son los aspectos esenciales del problema o situación…?

Tipo de pregunta en la interacción

¿Qué dijiste? Aha…

¿Cuál es tu propuesta…? ¿Pensaste en…?

¿Crees que es así como debe hacerse? ¿Por qué usaste este método?

Formatos de respuesta esperada

«Tantos», «tanto».

Respuestas plasmadas mediante tablas, gráficos, álgebra, cifras, etc.

Suelen conducir a reflexionar y analizar y no sólo responder de forma cerrada con una respuesta esperada.

Tipo de contenido asociado y contexto empleado

Comprender y emplear conceptos matemáticos en el mismo contexto en el que se introdujeron por primera vez.

Distinguir entre definiciones y afirmaciones, comprender y emplear conceptos matemáticos en contextos que difieren ligeramente de los que se introdujeron por primera vez.

Reflexionar sobre diferencias entre definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis y afirmaciones sobre casos especiales; comprender y emplear conceptos matemáticos en contextos nuevos o complejos; comprender y tratar la amplitud y los límites de los conceptos matemáticos dados así como generalizar los resultados.

Las tareas o actividades pueden ser estructuradas o no. Eso implica la elaboración de pruebas o cuestionarios específicos con objetivos determinados. Funcionalmente, las tareas pueden asociarse a los contenidos o pensamientos correspondientes, cuando estos están bien definidos.

Sobre las preguntas y diálogos en el desarrollo de la tarea Observa el siguiente diálogo (adaptado del que propone Santos, 2003): Juana: —¿Así está bien? Profesor: —¿Tú qué crees? ¿Piensas que has enfocado bien tu propuesta?


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Juana: —Creo que no. Profesor: —Entonces, ¿cuál es tu propuesta? Juana: —Creo que tiene que ver con el gráfico. Profesor: —Si tienes dudas de la influencia del 5 en la fórmula, quizá deberías pensar en usar la calculadora para experimentar. Juana: —No he conseguido. Profesor: —¿Ya probaste con otros valores?

En estas y otras situaciones, a menudo, los docentes respondemos rápidamente con aprobaciones o desaprobaciones, casi indicando la solución, olvidando que el fin del trabajo es el desarrollo de la competencia, que se da de manera diversa. En cambio, preservar la actitud investigadora significa dar pistas mediante preguntas abiertas, sin dar soluciones inmediatas hasta que se produzca una puesta en común. Invitamos al lector a explicar por qué este tipo de intervención consigue dar autonomía al alumnado. Digamos también que, en ciertas situaciones, podemos animar al alumnado a reflexionar con intervenciones como: • Anota ahora en los minutos siguientes tu plan de trabajo para mañana. • Escribe tres cosas que no has comprendido. • Explica brevemente aquello en lo que te sientes más seguro y con confianza. • ¿Qué sentiste cuando tratabas de resolver los problemas del otro día? Dichas preguntas del profesor tendrán un papel organizador y/o de recuerdo, y pueden significar una ayuda a la elaboración de resúmenes o apuntes.

Sobre la presentación de las tareas En los casos en que queremos desarrollar cierta competencia especifica, preparamos tareas especialmente a tal efecto. Obsérvese los dos ejemplos que se muestran en el cuadro 6 y se concluirá, sin duda, que los proyectos pueden permitir desarrollar más competencia modelizadora que una investigación guiada, e incluso antes. Cuadro 6. Dos modelos de presentación de tareas

DESCUBRIMIENTO GUIADO EN 3.º DE ESO

IDEA DE PROYECTO EN 2.º DE ESO

Describe la forma que tiene la gráfica del movimiento de la pelota cuando cae al suelo. ¿Reconoces que se parece a alguna gráfica conocida? ¿Podría ser una función de segundo grado? ¿Por qué? Si fuera así, podría expresarse de la forma y = a · (x – h)2 – k? ¿Qué implica el valor positivo de k?

Uno de los grupos decide hacer un proyecto de trabajo en el que van a ver cómo se mueve una pelota cuando rebota con el suelo. Cuando lo presentan en público al término del proyecto, explican que decidieron que iban a hacer una aproximación experimental con una cámara de vídeo para, posteriormente, representar los datos en forma de tabla y ver cómo era la gráfica correspondiente.


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Es importante hacer un análisis competencial de las tareas que proponemos para ampliarlas o modificarlas de acuerdo al desarrollo competencial que se pretende. Actividad 12 Analiza la tarea que presentamos desde el punto de vista de las competencias que desarrolla o evalúa. Transfórmala para que se consigan desarrollar más competencias. «El alumnado de Alcornocal va a estudiar al instituto de Cieloazul. El camino para el transporte escolar de Alcornocal a Cieloazul debe pasar actualmente por Buenabrisa. La Consejería de Obras Públicas y Transportes ha proyectado un túnel bajo el monte que permitirá conectar directamente Alcornocal con Cieloazul. Cuando se termine la obra del túnel que conectará directamente Alcornocal con Cieloazul, ¿cuántos kilómetros se ahorrarán? Para resolver bien la pregunta, fíjate bien en el esquema de la derecha:»4 Alcomocal Alcomocal

6 km

Buenabrisa

Buenabrisa 8 km ? km Cieloazul Cieloazul

A continuación mostramos una serie de posibles pasos para desarrollar buenas tareas desde el punto de vista competencial. 1. Seleccionar un objetivo competencial y pensar en posibles contextos para desarrollarlo. 2. Buscar y seleccionar un grupo de tareas de acuerdo con el nivel de contenidos, así como procurar enfrentar los conflictos conocidos. 3. Resolver las tareas con los instrumentos del nivel de conocimientos del alumno (y haciendo previsiones de métodos diferentes) para identificar significados, representaciones, argumentos, etc. 4. Hacer un análisis de los tipos de contenidos más relevantes de acuerdo a los niveles decididos. 5. Observar los tipos de contenidos implicados en el conjunto de las tareas y decidir si son o no adecuados según las expectativas de las capacidades que desarrollar. Pensar en la oportunidad de proponer una reflexión de la actividad desde otros contextos. 6. Comparar las competencias asociadas a cada capacidad con las tareas seleccionadas para las capacidades y decidir si: es necesario modificar la redacción de las tareas; retocar alguna capacidad; y mantener, ampliar o reducir el número de asociaciones de competencias a tareas.

4. http://plataforma.cep-marbellacoin.org/moodle/file.php/135/ PED07-08_2E SO_MATeMATICAS_CUADERNILLO2.pdf


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Sobre la importancia de analizar la gestión de clase La interacción en el aula marca el desarrollo competencial. Analizar las interacciones es importante. Una estructura analítica de análisis puede ser el llamado modelo de Scott y Mortimer basado en cinco aspectos interrelacionados que focalizan el papel del profesor y se agrupan en términos de focos de enseñanza, enfoque y acciones. Un posible esquema que permite analizar y regular la planificación-realización de las clases se observa en el cuadro 7 que identifica seis formas de intervención. Cuadro 7. Elementos para el análisis de un sector de clase

INTERVENCIÓN

FOCO

ACCIÓN

• Explorar ideas de los estudiantes. • Trabajar los significados en el desarrollo de la historia científica.

Introduce un término nuevo; parafrasea una respuesta de un estudiante; muestra diferencias entre significados.

DEL PROFESOR

1. Dando forma a los significados. 2. Seleccionando los significados. 3. Marcando significados claves.

4. Organizando significados.

5. Chequeando la comprensión de los estudiantes.

6. Reviviendo el progreso de la historia científica.

Considera la respuesta de un estudiante; ignora la respuesta de un estudiante. Repite enunciados; pide a los estudiantes que repitan un enunciado; establece una secuencia IRE con un estudiante para confirmar una idea; usa un tono de voz particular para recalcar parte del enunciado.

• Hacer los significados disponibles para todos los estudiantes de la clase. • Verificar los significados que los estudiantes están atribuyendo en situaciones específicas. • Recapitular y anticipar significados.

Repite las ideas de algún estudiante para toda la clase; pide a algún estudiante que repita un enunciado para sus otros compañeros; clasifica los resultados de diferentes grupos con toda la clase; pide a los estudiantes que organicen sus ideas o los datos de experimentos para exponer a la clase. Pide a un estudiante que explique mejor su idea; solicita a los estudiantes que escriban sus explicaciones; verifica si hay consenso en la clase sobre determinados significados. Sintetiza los resultados de un experimento específico; recapitula las actividades de una clase anterior; revisa el progreso de la historia científica desarrollado hasta entonces.

Las tres primeras se refieren a la forma en que el profesor actúa para desarrollar la historia científica, y las tres siguientes hacen referencia a cómo el docente hace asequible el conocimiento a todos los estudiantes. En el cuadro 7 se relacionan estas seis formas, especificando el foco y las acciones del profesor que caracterizan cada una. Una clase en donde el patrón sea: iniciación, respuesta, evaluación, es pobre, y no siempre fomentará el desarrollo competencial, por lo menos en lo comunicativo. En cambio, es más rico


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si se producen cadenas de interacción que se generan cuando el tercer movimiento de la interacción se realiza con la intención de promover la elaboración del punto de vista del estudiante. En ese modelo, el profesor anima al estudiante con más preguntas, con el fin de promover la elaboración de su punto de vista para mantener la interacción. Este segundo modelo es distintivo y debería ser común en las clases de Matemáticas en secundaria para promover desarrollo investigativo. Actividad 13 Observa el siguiente episodio, que ocurre en una clase de Matemáticas sobre la medida, que se desarrolla con 25 estudiantes de 12 y 13 años, en un instituto de educación secundaria (IES) de la provincia de Barcelona. «Pedro, el profesor, tiene 25 años de experiencia docente, los 13 últimos en la escuela actual. La clase forma parte de una secuencia de sesiones orientadas al estudio de la noción de medida. Con esta secuencia el profesor tiene como intencionalidad que se relacione la noción de medir, inicialmente con la idea de comparar, buscando con esto «alejar» a los estudiantes de la concepción usual de que medir es calcular. Las primeras actividades de la secuencia se centran en la identificación de unidades arbitrarias tradicionales, no decimales, asociadas al cuerpo humano (palmos, codos, brazadas, etc.), y en el cambio de unidades. Las actividades siguientes se refieren al deseo europeo de llegar a una unidad de medida común para todos y, finalmente, a cómo se llegó a determinar la medida del metro. En ese momento, se produce la siguiente conversación: 125 (X): —Fijaos bien todos, trescientas cuarenta canas son quinientos y pico metros. 126 (X): —¿Qué es más grande la cama de Arenys o el metro? 127 (E, E): —La cana de Arenys, mirando la hoja. 128 (X): —No vale mirar. Hay que estar atentos. 129 (X): —Si trescientas cuarenta canas de Arenys son quinientos y pico metros, ¿qué es mayor? ¿La cana de Arenys o el metro? 130 (E, E) Metro (E, E): —La cana de Arenys (opiniones divididas en el grupo). 131 (X): —Habéis dicho dos cosas diferentes, unos dicen el metro y otros dicen la cana. 132 (X): —¡Por favor, por favor! No tiene razón quien lo dice más veces, sino el que lo argumenta bien. 133 (X): —¿Tú cómo lo argumentas? 134 (X): —¡Por favor, escuchemos! 135 (E): —El metro hace un metro, ya está. La cana de Arenys hace 1,56. 136 (X): —¿Y por lo tanto? 137 (E - otro): —Es mayor. 138 (E): —Es mayor. 139 (X): —¿Qué es mayor? 140 (E): —Sería como un metro y medio la cana.


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141 (X): —Sería como un metro y medio la cana. Por lo tanto, es mayor la cana. 142 (E, E): —Bien… Para analizar la interacción establecida, se realiza el cuadro siguiente, en el que se consideran los patrones de interacción, enfoque comunicativo y propósitos de enseñanza.»

LÍNEA

PATRÓN DE INTERACCIÓN

ENFOQUE COMUNICATIVO

PROPÓSITO DE ENSEÑANZA

125-130

Inicia la cadena de inter- Interactivo/Dialógico. acción.

Explorar los puntos de vista de los estudiantes.

131-134

.

Interactivo Dialógico.

Guía a los estudiantes en el proceso de argumentación.

135-142

IRFRE.

Interactivo /Dialógico Interactivo - de autoridad.

Guía a los estudiantes en el proceso de argumentación.

Reflexiona sobre lo que significa analizar la interacción en la clase para saber cómo ha sido el trabajo de clase. ¿Qué cambiarías para hacer que la clase sea más dialógica y promueva más aprendizaje?

El nivel competencial del alumnado y su determinación En una evaluación competencial debemos asignar unos estándares que se pretenden en un momento determinado, pero que no se interpretan como metas sino como evolución y desarrollo. Esto no implica necesariamente una asignación explicita de grados o niveles. Una propuesta se ve en el cuadro 8 (tomado de Lupiáñez y Rico, 2008). Cuadro 8. Niveles de la competencia matemática.

SUBCOMPETENCIA

NIVELES 1

Pensar y razonar

2

3

Elaborar argumentos basados en las propias acciones. Describir resultados obtenidos.

Realizar explicaciones sencillas.

5

6

Responder a Formar y relacionar cuestiones complejas en conceptos. multitud de contextos.

Responder a cuestiones en contextos poco familiares.

Responder a cuestiones en contextos muy conocidos.

Argumentar y justificar

Comunicar

4

Formular los razonamientos desarrollados.

Comunicar conclusiones con precisión.

Elaborar argumentos desde la propia reflexión.


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SUBCOMPETENCIA

NIVELES

(cont.)

1

2

3

Modelizar

4

5

Usar modelos explícitos en situaciones concretas.

Desarrollar y usar modelos en múltiples situaciones. Seleccionar, comparar y evaluar estrategias.

Seleccionar y aplicar estrategias sencillas.

6

Generalizar resultados de problemas.

Resolución de problemas

Resolver problemas con datos sencillos.

Representar

Leer datos directamente de tablas o figuras.

Usar un único tipo de representación.

Conocer y usar diferentes sistemas de representación.

Vincular diferentes sistemas de representación, incluido el simbólico.

Relacionar entre sí y traducir con fluidez diferentes sistemas de representación.

Lenguaje simbólico

Realizar operaciones básicas

Usar algoritmos y fórmulas elementales.

Aplicar procedimientos descritos con claridad.

Representar situaciones reales mediante símbolos.

Dominar con rigor el lenguaje simbólico.

La idea de nivel en las tareas, surge a partir de la idea de rango, que se asociaba a ser capaz de desarrollar tareas de grado de complejidad cognitiva creciente (Giménez, 1997). Para Niss (1999) los grados de la competencia se asocian a las diferentes habilidades para comprender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en una variedad de contextos intra y extra matemáticos y situaciones en las que las matemáticas juegan o pueden tener un protagonismo. Ello se asocia a los niveles de complejidad. La idea de niveles de competencia se asocia a formas de actuación (respuesta o intervención gestual, oral o escrita) que se corresponden habitualmente con exigencias cognitivas diferentes. Así, un nivel «más alto» implica que la persona da respuestas asociadas a la complejidad de razonamientos, lenguaje, resolución de problemas, etc. En el nivel más bajo, se encuentran las acciones que implican procesos directos o simples: ejecución de algoritmos, aplicación de fórmulas, etc. La tarea del docente al planificar la evaluación consiste en aceptar una cierta descripción a priori de indicadores de comportamiento en relación con la competencia o subcompetencia correspondiente.

Registrar el desarrollo de la competencia según los niveles Para realizar un registro del nivel competencial del alumnado es necesario, en primer lugar, concretar los criterios de evaluación, estableciendo un conjunto de acciones observables. En el ejemplo que se muestra en el cuadro 9, dichas acciones se corresponden con tres niveles de de la competencia. Para hacerlo, se han considerado algunas de las posibles subcompetencias de la competencia matemática. Por ejemplo, no se contempla evaluar la competencia modelizadora en este momento más que en cuanto se perciba la consciencia del proceso de matematización.


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Cuadro 9. Registro de competencia en un unidad sobre álgebra en 2.º de ESO

CM1 PENSAMIENTO INDICADORES DE OBSERVACIÓN Y RAZONAMIENTO

Nivel 1: Identifica y reconoce

Transforma enunciados Usa igualdades para esta- Interpreta relaciones o panuméricos del contexto blecer relaciones numéricas trones entre igualdades nuen igualdades de forma aditivas y multiplicativas. méricas. explícita o verbal.

Nivel 2: Organiza y conecta el conocimiento

Identifica el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí, en situaciones concretas de cambio.

Construye expresiones al- Identifica las ecuaciones gebraicas equivalentes a como formas de represenuna expresión algebraica tar igualdades. dada.

Nivel 3: Muestra límites matemáticos y aplica

Sabe ver los límites numéricos de una igualdad según las variables de contexto.

Analiza propiedades de variación positiva o negativa entre variables (de variación lineal) en contextos aritméticos y geométricos.

CM2 REPRESENTACIÓN

INDICADORES DE OBSERVACIÓN

Nivel 1: Usa y combina

Describe y representa situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales y tablas).

Nivel 2: Usa e interpreta

Combina correctamente explica- Asocia parámetros numéricos variables a situaciones verbales con otras cuando ciones variacionales en forma gráfica o medescribe situaciones de variación. diante tablas de valores.

Nivel 3: Analiza y aplica

Identifica y usa diferentes mane- Analiza situaciones en las que intervienen camras de definir y medir pendientes bios de parámetros en representaciones diversas, curvas en situaciones de variación. y los cambios de funciones que representan.

CM3 TÉCNICAS


Identifica relaciones entre propiedades de las gráficas y de las ecuaciones algebraicas.

Representa situaciones de cambio mediante el uso de parámetros diversos. Identifica cambios de posición y les asocia cambios en la ecuación correspondiente, etc., sólo puntualmente.

Y RECURSOS

Nivel 1: Usa técnicas y recursos

Utiliza métodos informales (en- Identifica distintos métodos para solucionar sisayo y error, complementación, tuaciones asociadas a «sistemas de ecuaciones etc.) en la solución de ecuaciones. lineales».

Nivel 2: Aplica adecuadamente

Aplica métodos diversos sobre re- Aplica métodos numéricos a la resolución de solución de ecuaciones. ecuaciones de forma efectiva pero no persistente.

Nivel 3: Interpreta y controla

Asocia adecuadamente la resolución de ecuaciones a problemas que lo requieran, aplicando otros métodos no simbólicos si ello minimiza el proceso de resolución de la situación planteada.

Sabe usar de forma persistente las ecuaciones de primer grado o sistema de ecuaciones en tesituras diferentes para resolver situaciones mediante el uso de métodos como ecuaciones equivalentes.


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CM4 ARGUMENTACIÓN


Nivel 1: Describe o particulariza

Se enfrenta a situaciones plantea- Sabe describir procesos de resolución sólo de das mediante soluciones verbales forma verbal, acompañando a soluciones intuitivas sólo cuando el contexto es cercano. o gráficas, que se dan sólo en casos particulares.

Nivel 2: Implica y generaliza

Razona mediante argumentos basados en lo numérico o gráfico, sin conectores que expliquen el razonamiento empleado y sólo con el objeto de encontrar una respuesta.

Nivel 3: Formaliza y convence

Usa procesos inductivos y lenguaje Usa las ecuaciones para establecer argumentos algebraico para formular y poner a deductivos en situaciones diversas, de forma que prueba conjeturas y rangos de vali- se acerca a razonamientos formales. dez de respuestas.

CM5 PROPUESTA / RESOLUCIÓN DE


Ilustra procesos de razonamiento de forma gráfica, textual o simbólica sin explicitar cómo la argumentación sirve para establecer conjeturas o demostraciones.

PROBLEMAS

Nivel 1: Resuelve

Usa estrategias informales en la resolución de problemas.

Predice rangos de valor de posibles resultados en situaciones problemáticas.

Nivel 2: Selecciona

Usa representaciones geométricas o tablas de forma adecuada sabiendo justificar el sentido y valor de la selección realizada.

Aplica adecuadamente estrategias informales, sabiendo los límites de las mismas.

Nivel 3: Controla

Usa procesos inductivos y lenguaje alge- Controla los rangos de validez de las sobraico para formular y poner a prueba con- luciones en situaciones problemáticas y para producir problemas y conjeturas. jeturas.

CM6 COMUNICACIÓN


Nivel 1: Participa

Procura que se le entienda Hace presentaciones bien Interviene en los debates en sus intervenciones. hechas en la libreta o haciendo gestos de apropizarra. bación sobre afirmaciones de los colegas.

Nivel 2: Desarrolla y escucha

Asume posiciones mate- Generaliza intervenciones Trata de persuadir con sus máticas de otros. propias y de otros. intervenciones matemáticamente adecuadas.

Nivel 3: Hace comentarios claros Lidera matemáticamente Convence con sus arguProfundiza y aporta en las intervenciones. sintetizando. mentaciones.


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CM7 MODELIZAACIÓN


Nivel 1: Matematiza

Reconoce, en situaciones reales, la posibilidad de trabajar problemas que son resolubles matemáticamente.

Asume posiciones investi- Traduce literalmente situagadoras en situaciones re- ciones reales sin identificar ales y se enfrenta sin éxitos el valor de la problemática. con el modelo matemático.

Nivel 2: Integra procesos

Asume el valor de las representaciones simbólicas o gráficas para resolver situaciones reales.

Explicita los procesos efectuados en la elaboración de proyectos matemáticos más allá de simples descripciones.

Identifica variables que pueden ser usadas para representar matemáticamente una situación real compleja.

Nivel 3: Indicios modelizadores

Identifica el valor del control de un modelo cuando se aplica a una situación real en situación de proyectos.

Asume el valor de control de la solución más allá que simple resolución de problema simbólico, reinterpretando la solución en la realidad.

Controla las variables relevantes de una situación real para hacer un buen modelo.

Con posterioridad a esta distribución de categorías e indicadores de observación, se puede tener un registro de los estudiantes, en donde anotemos el nivel observado de la competencia, en sus distintos aspectos, tal y como se muestra en el cuadro 10. Cuadro 10. Registro de resultados

CATEGORÍAS O ESTÁNDARES

ALUMNOS

Pensamiento y razonamiento algebraico

1

2

CM 2

2

1

CM3 CM 4 CM5 CM6 CM7

Los registros nos permiten constatar elementos del desarrollo de la competencia: ¿se muestran avances en momentos diferentes de la unidad? ¿Hay alumnos de los que no hemos recogido información y sus casillas están vacías? ¿Hay realmente evidencias que se mantienen en actividades diferentes del mismo tipo de elemento competencial?


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Actividad 14 Busca una unidad preparada o planificada por ti, en donde se supone que se han establecido unos objetivos respecto al contenido matemático que se trabajaría. En función de lo que esperas encontrar, sitúa unos niveles competenciales que sean constatables en esas tareas para poder tener una parrilla de observación a priori de lo que vas a observar del trabajo de los estudiantes.

Actividad 15 Analiza comparativamente las competencias que son observables en la realización de las siguientes actividades. «El problema del repartidor Un repartidor de propaganda recorre cada día todos los buzones de las calles distribuyendo folletos. Cuando tiene que repartir en calles peatonales o sin tráfico de vehículos suele hacerlo utilizando dos tipos de recorridos:

A

B

Al repartidor no le importa acabar su trabajo en lugares distintos, pero se pregunta cada día cuál será el mejor recorrido. • Analiza los dos tipos de recorridos y razona cuál crees que es el mejor. • Estudia si el mejor tipo de recorrido depende de las características de las calles (anchos paseos, estrechos callejones, con casas unifamiliares, con bloques de pisos, etc.). Indica las características de las calles que influyen para decidir el mejor recorrido. (Sugerencia: 1. Características de la calle que debe tener en cuenta y datos que descartar porque no hacen falta para decidir. 2. Suposiciones que has hecho sobre las características de la calle para que la decisión no sea muy complicada. 3. Composiciones o cálculos que debe hacer antes de tomar la decisión.


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Completa la tabla siguiente usando los números del uno al cuatro, sin repetirlos, en cada fila y en cada columna. Las celdas unidas por puntos deben contener números consecutivos.»

4

1

¿Qué significa autorregular competencialmente? Autorregularse es ser capaz de revisar el propio progreso y ser capaz de explicar las razones por las que escoge un determinado proceso o por qué se tiene deseos de aprender tal o cual cosa, o bien expresar si se está ya muy capacitado para enfrentar un trabajo matemático. Ello implica, ante todo, decir el grado de satisfacción con el que se enfrenta el quehacer matemático. Cuando se habla de autorregulación se piensa casi siempre en el estudiante, pero contemplamos aquí también instrumentos que colaboran a la autorregulación del trabajo del profesor. En cualquier caso, en cuanto a la dimensión individual, supone una valoración fundamentalmente personal de creencias, actitudes y situación del estudiante frente a las tareas. La autorregulación no sólo es un aprender, sino que se relaciona con la competencia de aprender a aprender. Y ello se consigue mediante el diálogo reflexivo. Más que una técnica específica centrada en el profesor, constataremos ante todo cómo usar el diálogo presente en toda acción educativa matemática como elemento que colabore a la autorregulación. ¿Qué preguntas pueden ser adecuadas? ¿Cómo reflexionar adecuadamente de forma reguladora? Una primera forma de autorregulación es la constatación de lo que sucede en una actividad o unidad didáctica. Podemos caracterizar como típicas, para ir introduciendo a menudo pero de forma puntual, cuestiones como las siguientes: • Describe lo que has desarrollado. • ¿Qué matemáticas has aprendido? • Relata vinculaciones de lo hecho con cosas que habías aprendido. Para profundizar en este diálogo, debe usar argumentos y razonamientos de lo que se hace. Así, al afirmar que deseamos desarrollar competencias, debemos comunicar planes, expectativas y objetivos, promover la autonomía del alumnado y favorecer las llamadas interacciones eficaces. También es positivo autorregular las emociones. En el caso de los adultos docentes, también debemos hacer procesos de reflexión autorregulada. Un diseño factible son los ciclos de reflexión-replanificación.


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Hay diversos formatos posibles que ayudan a la autorregulación, como mantener un portafolio que no sólo recoja lo que se ha hecho, sino lo que se está aprendiendo. En él se da retroacción final mediante observaciones que se corresponden con competencias diversas, después de que el propio alumno se haya posicionado sobre ellas (cuadro 11). Cuadro 11. Tabla de apreciaciones de competencias básicas desarrolladas

COMPETENCIA

AFIRMACIÓN - APRECIACIÓN

BÁSICA

Aprender a aprender

OPINIÓN

RETROACCIÓN

ESTUDIANTE

DEL DOCENTE

Formula y expresa adecuadamente las tareas realizadas, con resúmenes adecuados. Muestra reflexión en la acción y no se limita a poner lo que se ha realizado.

Comunicativa

Integra elementos de recuerdo, de manera organizada. Mantiene un buen nivel de comunicación oral y escrita, así como normas de pulcritud, claridad, esquematización...

Matemática

Comunica bien los resultados elaborados, haciendo reflexiones y resúmenes del contenido.

Ciudadana

Extiende, inventa, descubre… Manifiesta actitud investigativa y abierta, proponiendo problemas y aportaciones subliminales. Desarrolla actitudes y valores de progreso matemático. Perseverancia, apreciación. Expresa adecuadamente el trabajo y aportaciones de otros.

Y para hacer una reflexión después de una unidad de trabajo, pueden usarse informes con frases como las siguientes para completar… • «He aprendido...» • «Me ha sorprendido...» • «He observado...» • «He descubierto...» • «Me ha gustado...» • «El aspecto con el que me he sentido más seguro ha sido...» En Giménez (1997) se dan más sugerencias de formatos de autorregulación específicos, que siguen teniendo validez desde la lectura competencial.


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Actividad 16 Para finalizar, proponemos que se haga una autovaloración del sistema de competencias profesionales activado en este capítulo, y que te posiciones frente a afirmaciones que debes puntuar de 1 a 5. Será como un ejemplo de reflexión replanificadora para el aula. 1. Se puede identificar correctamente en cada actividad la competencia que se pretende desarrollar. 2. El sistema de aprendizaje por competencias fomenta el uso de diversos recursos didácticos y fuentes de información. 3. Las actividades que se plantean en las unidades de aprendizaje han sido adecuadas para el desarrollo de las competencias. 4. La combinación de diversos tipos de actividades es positiva para el aprendizaje basado en competencias. 5. El sistema de competencias fomenta la motivación del estudiante en su proceso de aprendizaje. 6. El sistema de aprendizaje basado en las competencias evaluadas me será útil en mi futura vida profesional. 7. El sistema de competencias supone una diferencia significativa con respecto al modelo tradicional. 8. El sistema de competencias favorece el aprendizaje del estudiante. 9. Los criterios de evaluación empleados han sido buenos y útiles para evaluar el aprendizaje basado en competencias. 10. La percepción global del nuevo modelo de evaluación ha sido entendible.

Por último, digamos que en el modelo de la revista UNO núm. 48, abril-mayo-junio 2008.s de las pruebas PISA hay tres dimensiones principales que nos permiten regular el proceso: los contenidos muestran el modo en que se organizan las herramientas conceptuales; las tareas son problemas del mundo real, que se ubican en distintos contextos y proceden de diversas situaciones; los procesos que llevan a cabo los sujetos, mediante diversos tipos de capacidades de análisis, razonamiento y comunicación que se ponen en juego por los estudiantes cuando resuelven o formulan problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones.


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN, UNIVERSIDADES E INVESTIGACIÓN (2008). Competencia matemática. 2.º curso de educación secundaria obligatoria. Gobierno Vasco. GIMÉNEZ, J. (1997). Evaluación en matemáticas. Integración de perspectivas. Madrid: Síntesis. LATORRE, M.R. (2007). Regulación de la noción de volumen en un aula inclusiva (Tesis doctoral no publicada). Baecelona: Universidad de Barcelona. LATORRE, M.R. y GIMÉNEZ, J. (2006). Un entorno virtual para construir la idea de volumen en una aula inclusiva. UNO. Revista de Didáctica de las matemáticas. 43, 25-41. LUPIÁÑEZ, J.L. y RICO, L. (2008). Análisis didáctico y formación inicial de profesores: competencias y capacidades en el aprendizaje de los escolares. PNA, 3(1), 35-48 <www.pna.es/Numeros2/Lupiannez2008Analisis.pdf>. RICO, L. (2007). La competencia matemática en Pisa. PNA, 1(2), pp. 47-66. <www.pna.es/Numeros/pdf/Rico2007La.pdf>. NISS, M. (1999). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM Project [en línea]. <www7.nationalacademies.org/mseb/Mathematical_Competen cies_and_the_Learning_of_Mathematics.pdf>. OECD (2003). The PISA 2003 assessment framework. Mathematics, reading, science and problem solving knowledge and skills. París: OECD. OECD (2004). Learning for tomorrow's world: First results from PISA 2003. París: OECD. ROMBERG, T. (1989).Evaluation: A coat of Many Colours. Document Series (Vol.32, pp. 3-18). París: Unesco. SANMARTÍ, N. (2007). 10 ideas clave. Evaluar para aprender. Barcelona: Graó. SANTOS, L. (2003). Avaliar competências: uma tarefa impossível? Educação e Matemática, 74, 16-21. TOBÓN, S., PIMIENTA, J. y GARCÍA FRAILE, J.A. (2010). Secuencias didácticas: aprendizaje y evaluación de competencias. México: Pearson.


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5. LA PROGRAMACIÓN COMO LABOR DEL DOCENTE DE MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CAPÍTULO • Los niveles de la planificación • Proyecto curricular de centro (PCC) • Las programaciones de aula o unidades didácticas

Jesús María Goñi Universidad del País Vasco Irene López-Goñi Universidad Pública de Navarra La labor docente supone en todo caso, como paso previo al trabajo de aula, un proceso de planificación de esa acción. Es necesario determinar las finalidades de esa acción, los recursos de los que se va a disponer, la manera en la que se va a usar el tiempo disponible, las formas de evaluación que se van a seguir etc. El grado de libertad e implicación de los docentes en la planificación de la acción docente puede variar según sean las políticas curriculares establecidas en un determinado sistema educativo y de la forma en la que esas políticas son interpretadas y llevadas a la práctica en los centros educativos en los que trabajan. En todo caso, planificar la acción docente es una labor de los docentes, y a tratar sobre la manera de realizar esa planificación es a lo que vamos a dedicar este capítulo.

Los niveles de la planificación El currículo de Matemáticas antes de presentarse en la forma que permite impartir la docencia en un aula está sometido a una serie de disposiciones institucionales que están recogidas legalmente. A esa serie de decisiones se les suele llamar niveles de desarrollo del currículo. En nuestro ordenamiento legal actual, los niveles de planificación del currículo y los responsables de los mismos son los que se muestran en el cuadro 1en la página siguiente.


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Cuadro 1. Niveles de planificación

NIVEL DE CONCRECIÓN

RESPONSABLE

Decreto de Enseñanzas Mínimas de la etapa.

MEC.

Decreto curricular de la etapa.

Consejería de la CCAA.

Proyecto curricular de centro

Centro educativo.

Programaciones de aula (unidades didácticas).

Equipo docente.

Desde esta lógica, los docentes tienen asignados dos niveles de concreción curricular: el nivel centro y el nivel aula. Dicho de otra manera, los niveles que hay que desarrollar para pasar de los decretos curriculares de la etapa (comunidades autónomas) a las propuestas de aula. No podemos dejar de señalar que a pesar de ser ésta la estructura legal, en muchos casos la distancia existente entre los decretos curriculares de las etapas y las programaciones de aula viene a ser cubiertos por las propuestas de las editoriales que suministran ya acabadas las decisiones pertinentes para cubrir ese hueco. Por lo tanto, si miramos el sistema desde el punto de vista del docente, su situación podría oscilar entre un extremo en el que deberá tomar decisiones de manera cooperativa a nivel de centro y aula, a otro en el que no tenga que tomar ninguna, por lo menos en la fase previa del proceso de enseñanza-aprendizaje (Antúnez, 2006). Según la actual organización del currículo en nuestra estructura normativa, pueden distinguirse dos niveles en la planificación: • El que corresponde a nivel de centro y que se denomina proyecto curricular de centro (PCC). • El que corresponde a nivel de aula y que se denomina programación de aula o unidades didácticas (UD).

El proyecto curricular de centro (PCC) Con relación al proyecto curricular de centro y en el caso concreto de los docentes de Matemáticas, se supone que debieran formar parte en el conjunto de las decisiones que se deben tomar, pero especialmente en lo que atañe a la organización que corresponde al área de Matemáticas dentro del proyecto general del centro. En este documento no vamos a comentar los aspectos de esa contribución general, y nos ceñiremos a los que atañen específicamente al área de Matemáticas. Conviene recordar que la estructura de los decretos curriculares de las CCAA, publicados en el 2007, en lo que atañe a las Matemáticas en secundaria obligatoria (ESO) y en bachillerato no


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LA PROGRAMACIÓN COMO LABOR DEL DOCENTE DE MATEMÁTICAS

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es exactamente igual. En el caso de la educación secundaria obligatoria, los decretos tienen dos anexos: el anexo I, donde se especifican las competencias básicas, una de las cuales es la competencia matemática; y el anexo II, donde se detallan las programaciones de las áreas, una de las cuales es el área de Matemáticas. En el caso del bachillerato no existe un equivalente al anexo I y solamente tenemos los currícula que corresponden a las áreas de conocimiento, entre ellos los de Matemáticas. El anexo I de los decretos curriculares es prácticamente similar en todas las CCAA y sigue paso a paso el anexo I del decreto de mínimos del MEC (Real Decreto 1631/2006 de 29 de diciembre). Nos basaremos, por lo tanto, en este texto, cuya lectura recomendamos. El texto en el que se desarrollan los aspectos relativos a la definición y desarrollo de la competencia matemática aporta ideas interesantes desde el punto de vista pedagógico pero no da indicaciones claras sobre la forma de operativizar esta competencia ni aborda criterios claros para la concreción de la misma en diferentes niveles de logro. Parece que ésta es una cuestión novedosa y que no existe, por ahora, la intención de secuenciarlas por niveles. Por lo tanto, parece sensato recoger esta información de manera resumida en el proyecto curricular de centro, pero no parece realista pedir a los equipos docentes de los centros que definan niveles de logro de esa competencia. Nuestra recomendación es que ese resumen o relectura realizado desde cada equipo docente se incorpore como uno de los apartados del PCC y que posteriormente se tenga en cuenta a la hora de construir las programaciones de aula de la manera que se establezca en las mismas (de este punto trataremos más adelante en este capítulo). Con relación al anexo II del mismo Real Decreto 1631/2006, hay que decir que su estructura curricular es la siguiente: • Una primera parte de tipo general para toda la etapa de secundaria que consta de: - Introducción. - Contribución de la materia a la adquisición de las competencias básicas. - Objetivos generales del área para la etapa en su conjunto. • Una segunda parte en la que para cada curso y materia hay dos propuestas (A y B). Se detallan: - Los contenidos que trabajar en ese curso divididos en bloques. - Los criterios de evaluación para ese curso. A la hora de abordar la realización desde el área de Matemáticas de una propuesta para el centro educativo nuestra proposición sería la siguiente, comenzando por el índice que organiza los puntos que tratar: 1. Contextualización de la propuesta. 2. Organización general del currículo de Matemáticas. 2.1 Introducción.


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2.2 Contribución de la materia a la adquisición de las competencias básicas. 2.3 Objetivos generales para la etapa. 2.4 Decisiones organizativas de carácter general. Programas de las materias. 3.1 Programa del… curso. 3.11 Objetivos de... curso. 3.12 Contenidos. 3.13 Criterios de evaluación. 3.14 Pruebas de evaluación.

El punto tercero habrá que repetirlo para cada uno de los cursos (1.º, 2.º 3.º y las dos opciones de 4.º curso, las llamadas A y B). Los epígrafes marcados con asterisco tienen un documento previo del que partir, documento que deben adecuar a la realidad del centro, pero en todo caso se trata de recoger lo que dicen los documentos normativos que los regulan –decretos curriculares– para reinterpretarlos desde la realidad contextual en la que se trabaja. No parece necesario extendernos, por lo tanto, sobre este tipo de epígrafes y nos centraremos en los apartados siguientes en aquellos sobre los que en principio no existe información previa.

Decisiones organizativas de carácter general El desarrollo del currículo de Matemáticas en un centro educativo supone tomar una serie de decisiones de carácter general que debieran ser consensuadas, como mínimo a nivel de los departamentos en los que se engloban los docentes de esta área y que debieran contener decisiones, por los menos, sobre las siguientes cuestiones: • Número de unidades didácticas que programar en el curso y la agrupación de las mismas con relación a las evaluaciones que realizar. Antes de poder acometer el trabajo de programación que supone la realización de unidades didácticas (nombre que normalmente se da a los documentos que regulan las programaciones de aula) es necesario saber el número de las mismas por cada curso y, al ser éstas una unidad común para todos los docentes del centro, es necesario que exista una decisión previa al respecto. Pero no solamente es necesario saber cuántas UD hay que programar en cada curso, sino que además hace falta que se coordinen éstas con los momentos de evaluación, es decir, con los momentos en los que se comunica oficialmente, por medio de las calificaciones periódicas, acerca del nivel de logro de los estudiantes. No puede considerarse buena programación aquella que no coordine los ritmos, las programaciones de aula con los momentos destinados a la evaluación. En el cuadro 2 (véase página siguiente) indicamos dos distribuciones de evaluaciones y unidades didácticas que cumplen con las condiciones indicadas.


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Cuadro 2. Distribuciones de evaluaciones y unidades didácticas

3.º CURSO DE ESO 1.ª Unidad didáctica

2.ª Unidad didáctica


1.ª Evaluación

2.ª Evaluación

3.ª Evaluación

3.º CURSO DE ESO 1.ª Unidad didáctica 1.ª Evaluación


3.ª Unidad didáctica 2.ª Evaluación


5.ª Unidad didáctica 3.ª Evaluación

En la primera muestra, la distribución indica que el número de unidades didácticas es de tres, una por trimestre, que coinciden con los periodos destinados a las evaluaciones. En el segundo caso, el número de evaluaciones es de tres, una por trimestre, aunque en la primera evaluación entran dos unidades didácticas, lo mismo sucede en la segunda, pero en la tercera solamente entra una. Sea como fuere, es importante que exista una estructura clara de unidades didácticas y de su conexión con las evaluaciones para que la planificación de las programaciones de aula resulte eficaz. • El carácter más o menos integrador y/o multidisciplinar que debe tener la programación de las diferentes unidades didácticas. Si bien es cierto que la multidisciplinariedad no siempre es fácil ya que exige unos niveles de coordinación entre las diferentes áreas de conocimiento muy alto, sí podemos señalar que conviene que exista una adecuada relación entre los diferentes bloques o partes de las Matemáticas que deben ser tratados y las UD programadas ya que en caso contrario se corre el riesgo de que ciertas partes queden poco tratadas y que en otras, en cambio, se sobrepase el tiempo razonable. Puede parecer una cuestión menor, pero el orden en que aparecen los temas que tratar en las UD suele suponer un indicador de la importancia que se da a las mismas en el currículo, ya que es habitual que los finales de curso sean apretados y no suele dejarse para esa época aquellas cuestiones que se consideran importantes por básicas y necesarias. En el cuadro 3 (véase página siguiente), siguiendo el esquema de cinco unidades didácticas recogido en la segunda opción indicada unas líneas más arriba, se muestra una posible distribución de los bloques que tratar repartidos en los cuatro cursos de la ESO.


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Cuadro 3. Esquema de distribución de bloques de contenidos en la ESO

CONTENIDOS NÚMEROS

ÁLGEBRA

GEOMETRÍA

COMUNES

1.º curso 1UD

x

x

2UD

x

x

3UD

x

x

4UD

x

x

5UD

x

x

2.º curso 1UD

x

x

2UD

x

x

3UD

x

x

4UD

x

x

5UD

x

x

x

3.º curso 1UD

x

x

x

2UD

x

x

x

3UD

x

x

4UD

x

x

5UD

x

x

x

4.º curso 1UD

x

x

x

2UD

x

x

x

3UD

x

x

4UD

x

x

5UD

x

x

FUNCIONES

ESTADÍSTICA

Y GRÁFICAS

Y PROBABILIDAD

x x x x

x

x

x x x x

x

x

x x x

x

x x x

x

x

x

x

Para poder comprender correctamente el significado y la función de esta tabla bastará con que leamos un par de filas. Así, la tercera UD de 1.º curso contendrá contenidos de los siguientes bloques: Contenidos comunes, Números y Álgebra; la cuarta UD de 3.º curso contendrá contenidos de Contenidos comunes, Números y Funciones y gráficas. Obsérvese que, según este esquema, la quinta UD de cada curso se organiza de manera que recoja los con-


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tenidos tratados en todos los bloques, con la intención de repasar lo trabajado durante el curso. Evidentemente esto es únicamente un ejemplo de los muchos que pueden construirse. Lo importante es actuar con criterio para recoger los principios de interrelación entre los diversos bloques en los que el currículo divide las Matemáticas, para que sean tratados todos con la importancia relativa que merecen y que se favorezcan los planteamientos que tiendan a integrar los diferentes bloques buscando las conexiones existentes entre todos ellos.

Actividad 1 Analiza un libro de texto de Matemáticas de cualquier curso de ESO. Tienes que fijarte especialmente en el número de unidades didácticas que propone para todo el curso y la distribución de contenidos que presenta. Con esos datos cumplimenta el cuadro 3 en lo referente al curso que has elegido.

• Criterios generales a la hora de realizar las evaluaciones. La evaluación es una parte fundamental del currículo y conviene que se tomen decisiones colectivas que tengan que ver con la forma en la que va a organizarse ésta a lo largo de los diversos cursos. Estas decisiones podrían contemplar, por lo menos, algunos de los siguientes apartados: - Acuerdo con relación a los criterios de evaluación que seguir a la hora de calificar los trabajos de los estudiantes. Por ejemplo, convendría que se debatiera y acordara criterios comunes a la hora de valorar las tareas que tengan una cierta complejidad, como pueden ser problemas y/o investigaciones indicando qué peso se dará al planteamiento, a la presentación, a la precisión en los cálculos, etc. Porque no hacerlo produce desorientación en los estudiantes y es necesario construir patrones comunes que faciliten las sinergias. - Acuerdo con relación a la importancia relativa de los trabajos realizados durante el proceso de aprendizaje (controles de trabajos) y los realizados al finalizar el mismo, normalmente exámenes. No siempre todos los docentes del mismo centro siguen criterios comunes en estas cuestiones, y es importante que se compartan y, a poder ser, se sigan criterios similares. - Acuerdo con relación a si la evaluación es liberatoria, es decir, que una vez superada una parte de la asignatura (UD o conjunto de UD) el estudiante puede considerarla superada definitivamente, o si, por el contrario, existirá una evaluación final de curso obligatoria en la que se repasarán los aprendizajes de todas las UD del curso. Ambos tipos de decisiones son aceptables si se plantean claramente y desde un principio, pero conviene que esto sea una cuestión del centro (o departamento) y no individual. - En el caso de que los exámenes tengan un peso definitivo en las calificaciones, también conviene que se tomen acuerdos relativos a las partes de las que debe constar


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el mismo. ¿Se harán siempre alguna pregunta teórica? Y en caso afirmativo, ¿qué proporción del examen o la nota se destina a esta cuestión? ¿Qué tipos de tareas compondrán los exámenes, serán sólo problemas, habrá ejercicios, investigaciones…? ¿Qué peso relativo tendrán en las pruebas? Si son preguntas sin respuesta general conocida y que, además, iten respuestas distintas, lo importante es que sean coherentes con la línea curricular que se desee seguir y, sobre todo, que sean compartidas por el equipo de docentes que desarrolla el currículo.

Actividad 2 Sobre un curso determinado de ESO y ayudándote del libro utilizado en la tarea anterior así como del decreto curricular, intenta hacer una lista preliminar o comentarios generales sobre estos aspectos de la programación: • Criterios de evaluación generales para la asignatura en ese curso. • Instrumentos de evaluación (trabajos, parrilla de observación, examen...). • Escala para la calificación global del curso. • Decisión sobre qué y cómo se tiene que evaluar el comportamiento, interés, precisión, etc., del alumnado frente a las tareas.

Programas de las materias Objetivos del curso Los decretos curriculares proponen unos objetivos para la etapa, pero no secuencian esos objetivos para cada uno de los cursos. Parece coherente pensar que los contenidos que se proponen, algunos de los cuales contienen aprendizajes más o menos encubiertos, deberían responder a unos objetivos previos. Ya que en pura lógica no existe manera de fundamentar la elección de unos contenidos si no es en función de los aprendizajes (objetivos) que se piensa desarrollar con ellos. ¿Debiéramos entender que la concreción de los objetivos de etapa a nivel de curso es una labor del PCC? O por el contrario, ¿debemos entender que bajo el epígrafe de «Contenidos» ya se concretan esos objetivos y que los «Criterios de evaluación», que también se dan por curso, también cumplen esa función? Lo que hemos podido observar en las propuestas editoriales que desarrollan documentos de este tipo y en los PCC ya realizados por los centros nos lleva a afirmar que la segunda de las estrategias es la más utilizada, y que son escasos los intentos de derivar unos objetivos generales de curso de los objetivos generales de la etapa. Puede parecer muy razonable y no debe considerarse incorrecto hacerlo, ni mucho menos, pero no es una práctica habitual. En consecuencia, debe tomarse una decisión acerca del camino que seguir y ser coherente con esta decisión sea cual fuere.


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Si se decidiera tomar el camino de escribir objetivos para el curso, la estrategia que seguir podría ser partir de los objetivos generales de la etapa y preguntarse: • ¿Podemos recoger lo que dice este objetivo y dejarlo tal y como está porque se adecua bien al curso en cuestión? Si la respuesta es afirmativa, dejarlo tal y como está y pasarlo a objetivo de curso. • Si la respuesta es negativa, ¿podemos adaptarlo rebajando su nivel de complejidad o adaptando el contenido para que sea un objetivo adecuado para el curso? Si la respuesta es afirmativa, lo razonable sería adaptarlo al curso y pasarlo a la lista de objetivos de curso. Si la respuesta es negativa, se deja el objetivo como objetivo general pero no se pasa a objetivo de curso. • ¿Conviene añadir algún objetivo a la lista propuesta porque se considera que falta algún objetivo relevante? Si la respuesta es afirmativa, se añaden los objetivos que consideramos que cumplen esa condición. De esta manera se dispone de una primera lista de objetivos: • ¿Podríamos fusionar algunos de los objetivos de esta lista con la finalidad de hacerla más operativa? Si la respuesta es afirmativa, se procede a juntar aquellos objetivos que se considere que pueden unirse. Si es negativa, se deja la lista como está. • ¿Convendría separar en dos o más alguno de los objetivos de la lista para hacerla más clara y subrayar, de este modo, algún aspecto que en su redacción actual no está lo suficientemente desarrollado? Si la respuesta es afirmativa, se procede a ese análisis, si es negativa se deja la lista como está. Después de este proceso de depuración sucesiva, se consigue una lista de objetivos de curso coherente con los de etapa y mejor adaptada a las necesidades del curso en cuestión. Actividad 3 Coge el libro de Matemáticas del curso que has elegido y el decreto curricular del área de Matemáticas de ESO. Analiza los objetivos que propone el libro de texto y los que propone el currículo y realiza una comparación infiriendo cuáles de estos últimos se trabajan en el libro de texto.

Los contenidos Los contenidos ya están secuenciados por cursos y, por lo tanto, partimos de una lista previa ya determinada. La opinión generalizada es que la lista de los contenidos que aparecen en el propio de Decreto de enseñanzas mínimas es bastante exigente para la mayoría de los estudiantes, y aunque las CCAA tienen competencia para aumentar estos contenidos, la


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mayoría de ellas, por no decir casi todas, han optado por introducir muy pocos cambios, por lo que la propuesta del Decreto de enseñanzas mínimas y los decretos curriculares son muy similares. Esta realidad nos indica que el Decreto de Enseñanzas mínimas ya marca unos niveles muy próximos a los propedéuticos, es decir, a los que deben enseñarse para continuar hacia el bachillerato. De manera general, podemos afirmar que los contenidos del Decreto de enseñanzas mínimas están más orientados hacia una función preparatoria del bachillerato que a una visión terminal de la secundaria obligatoria. La selección de contenidos es una cuestión que tiene mucho que ver con el contexto en el que se sitúa la escuela en la que se trabaja (Zabala y Carmen, 1997), ya que dependiendo del nivel real y esperable de los estudiantes, lo razonable es ajustar la propuesta que se les hace a su nivel medio. Como ya hemos dicho más arriba, una escuela en la que la mayoría de los estudiantes tienen como expectativa cursar el bachillerato posee en la propuesta de los decretos un texto que apenas habrá que modificar para el grupo clase. En este tipo de escuelas, habría que adaptar los contenidos para aquellos estudiantes que tengan dificultades con el nivel propuesto, siempre dando prioridad a aquellos contenidos que tengan un mayor carácter funcional de cara a su desarrollo personal, a su integración social y al inicio del camino que debe conducirles hacia la formación profesional. Si se trabaja, en cambio, en una escuela donde el referente para la mayoría no es el bachillerato, seguramente la estrategia más adecuada no sea la anteriormente señalada. Habrá que trabajar para extraer de esa propuesta las partes más básicas, siempre desde los criterios anteriormente enunciados, donde debe primar la adecuada relación entre los contenidos seleccionados y los aprendizajes que priorizar de cara al recorrido que deberán seguir los estudiantes. Esta propuesta básica debiera ser la propuesta para el grupo clase, en este caso, será muy importante cuidar la diversidad «por arriba», y trabajar para poder ofrecer a los estudiantes que opten por dirigirse hacia bachillerato aquellos contenidos que se consideran adecuados para tal fin. La selección de los contenidos también tendrá mucho que ver con el número y los diferentes niveles con los que se hayan decidido programar los objetivos de curso. Lo coherente será, en todo caso, que a cada nivel de programación se le asocie un nivel de contenidos. Como resumen debe quedar la idea de la importancia de saber extraer de las listas de objetivos para los diversos cursos aquellos que se consideren básicos desde el punto de vista del logro de las finalidades de la etapa de secundaria; contenidos que debieran estar en la base de las propuestas de evaluación que serán exigibles a los estudiantes para el logro de la titulación de la secundaria obligatoria.

Criterios de evaluación El decreto de enseñanzas mínimas nos propone una lista de criterios de evaluación por curso. Por lo tanto, ya tenemos una propuesta sobre la que trabajar. Como ya hemos


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indicado en el apartado destinado a los objetivos de curso, existe una posible interpretación del diseño de la norma curricular que nos llevaría a defender que los criterios de evaluación son, junto con los contenidos y los objetivos implícitos contenidos en los mismos, los referentes que utilizar para la evaluación de curso, y podrían en este sentido ser considerados como los objetivos de aprendizaje del curso. Existe otra interpretación o forma de acometer el trabajo curricular que nos induce a definir unos objetivos de aprendizaje para el curso por derivación de los objetivos generales de la etapa, estrategia para la que hemos definido un procedimiento en el apartado anterior. En este caso dispondríamos de dos listas, una de objetivos de aprendizaje para el curso y otra de criterios de evaluación también para el curso. En este caso todavía quedaría un paso por dar, paso que nos llevaría a relacionar los objetivos del curso con los criterios de evaluación, porque bien visto, un criterio de evaluación lo es siempre con referencia a un objetivo de aprendizaje y tiene escaso sentido aislado del mismo. Por lo tanto, si se acepta nuestra recomendación, lo aconsejable sería una lista de objetivos de curso a los que se asocia individualmente, es decir, para cada uno de esos objetivos, uno o varios criterios de evaluación. Estos criterios de evaluación podrían prepararse basándonos en la lista ya existente, con las variaciones que fueran convenientes para poder relacionarlos con los objetivos de aprendizaje para el curso. Actividad 4 Coge el libro de Matemáticas del curso que has elegido y el decreto curricular del área de Matemáticas de ESO. Analiza los contenidos que propone el libro de texto y los que propone el decreto de currículo para el curso en cuestión. Realiza una comparación infiriendo si todos estos últimos se trabajan en el libro de texto.

Pruebas de evaluación Los documentos curriculares, y el PCC es uno de ellos, no suelen ser, en general, una guía eficaz para que los estudiantes sepan qué se espera que aprendan. Si la finalidad de estos documentos es comunicar a la comunidad educativa las intenciones que guían al centro educativo a la hora de hacer esa propuesta, hay que concluir que el medio utilizado para hacerlo no es el mejor. Los documentos curriculares son textos para expertos en educación, que no suelen ser consultados por personas que profesionalmente son ajenas a este medio. No son útiles como medio de comunicación de esas intenciones entre los que las promueven y los destinatarios de las mismas: los estudiantes y sus familias. Si existe algún elemento del currículo que sirva de manera clara y eficaz para que los estudiantes entiendan qué se espera que aprendan, este elemento es la evaluación. Si se desea que las propuestas curriculares sean accesibles a los estudiantes en el sentido de que les


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puedan servir de guía para organizar su estudio, el elemento más eficaz es exponer de manera clara y precisa cómo se les va a evaluar. Por esta razón, recomendamos que la manera en la que se va a proceder en la evaluación forme parte de los acuerdos a los que hay que llegar a nivel de centro y departamento. Convendría que se tomaran decisiones al respecto y así lo hacemos constar en el punto el apartado dedicado a las «Decisiones organizativas de carácter general» de este documento. Precisando un poco más, y en el caso en el que el método de evaluación vayan a ser pruebas escritas, no estaría de más que se incluyeran algunas muestras de las mismas, de manera que los estudiantes pudieran tener una clara conciencia del tipo de trabajo que tienen que superar.

Las programaciones de aula o unidades didácticas Denominamos programaciones de aula a las programaciones destinadas a organizar y desarrollar el trabajo en el aula. Las programaciones de aula se suelen organizar en unidades didácticas que resultan de la división del curso en partes relacionadas, generalmente, con las evaluaciones, tal y como se explica en el punto destinado a explicar la estructura del PCC (Escamilla, 1995). En este sentido, podemos decir que la programación de aula destinada a un curso debe considerarse como la programación de un conjunto de UD relacionadas entre sí. En este epígrafe nos dedicaremos a exponer de qué partes se aconseja que esté compuesta una UD, con la vista puesta en que cumpla con las finalidades que en la planificación de la acción docente damos a la misma. Son las siguientes: • Servir de documento que concrete las intenciones curriculares expuestas para toda la etapa y curso al nivel del aula en un determinado momento. • Servir de guía para el trabajo del docente y del estudiante y, desde este punto de vista, ser el documento básico que regule el contrato didáctico que establecer entre el docente y sus estudiantes. • Servir de documento que forma parte de la organización curricular del centro, ya que el conjunto de UD junto con el PCC forman los documentos que concretan el currículo de Matemáticas del centro.

Las UD como elemento estructural de las programaciones de aula La relación entre programación y tiempo es fundamental en los currícula porque condiciona la carga de trabajo de la que dispone el estudiante, y está claro que los aprendizajes que se pueden proponer dependen del tiempo que se disponga para realizarlos. La primera regla que hay que respetar en la programación es que no debe iniciarse sin determinar de manera previa el tiempo que va a destinarse a la misma. Muchos de los fallos de programación provienen de un uso incorrecto de esta variable, así, se destina más tiempo del necesario a aprendizajes poco relevantes y luego no se dispone del tiempo suficiente para afrontar otros. En la programación de Matemáticas ésta es una cuestión crucial, ya


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que algunos tópicos (geometría, estadística...) suelen trabajarse tradicionalmente al final, decisión que suele tener como consecuencia que no se disponga de tiempo suficiente para tratarlos debidamente. El curso académico suele ser la unidad básica de programación. Por lo menos así resulta en los niveles previos al aula, baste recordar que las programaciones oficiales se articulan con relación a esta unidad de tiempo. Lo que sucede es que un curso académico es un tiempo excesivamente largo para ser una unidad adecuada a la programación de aula (PA). Los trimestres son otra unidad de tiempo a la hora de organizar los cursos académicos y son, sin duda, una unidad de tiempo más adecuada que el curso para la programación de aula. Lo importante aquí es entender que el curso o el trimestre, aunque son unidades naturales de tiempo para la organización escolar, no lo son necesariamente para la organización de las PA. Por ello no podemos obviar la siguiente cuestión: ¿cuál es la unidad de tiempo que va a utilizarse a la hora de organizar las PA? No existe una respuesta única a esta pregunta y no existe un criterio establecido que lo determine. Es una decisión que hay que tomar a la hora de organizar el PCC y así lo hemos señalado en el momento de desarrollar esta parte de la programación. Lo que sí se puede es dar ciertos criterios para la determinación de ese número. Convendría que existiera coordinación entre el número de UD que planificar y el de evaluaciones que se hacen a lo largo del curso, de manera que las UD encajaran en las evaluaciones y no se quedaran en medio de algunas de ellas. Desde luego, el número de UD no debería ser inferior al de evaluaciones. En el cuadro 4 se muestran algunas decisiones que respetarían este consejo. Cuadro 4. Distribución de evaluaciones y unidades didácticas a lo largo de un curso

1.ER TRIMESTRE

2.º TRIMESTRE

3.ER TRIMESTRE

1.ª Evaluación

2.ª Evaluación

3.ª Evaluación

1.ª UD

2.ª UD

3.ª UD

4.ª UD

5.ª UD

1.ER TRIMESTRE

2.º TRIMESTRE

3.ER TRIMESTRE

1.ª Evaluación

2.ª Evaluación

3.ª Evaluación

1.ª UD

2.ª UD

3.ª UD

4.ª UD

6.ª UD

Repaso

Sea como fuere, antes de trabajar sobre el diseño de la UD hay que saber cuál es la estructura general que sirve para hacer encajar esta unidad de programación en el curso. A partir de este momento, supondremos que esa decisión está tomada y nos referiremos a la UD como una unidad de currículo que se utiliza para la PA en el contexto de otras UD, de


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manera que podamos afirmar que la PA a nivel de un curso, ciclo e incluso etapa se conformará como la unión bien estructurada de un conjunto de UD. Actividad 5 Analiza las unidades didácticas de un libro de texto de Matemáticas de cualquier curso de ESO. Tienes que fijarte especialmente en la estructura general de la programación (cuántas unidades para todo el curso). Según el número de unidades didácticas que el libro proponga, realiza un cronograma por trimestre y evaluación que sea acorde con la estructura general de las unidades.

La UD como unidad temática La coherencia interna de una UD suele venir, a veces, del hecho de que en la misma se trata una temática determinada. La programación por capítulos que se ordenan de manera temática es, en los niveles de la enseñanza media y superior, algo muy habitual. Con relación a la temática tratada en una UD podemos distinguir diversos niveles: • Tratamiento globalizado. • Tratamiento interdisciplinar. • Tratamiento disciplinar. • El tratamiento globalizado apenas se trabaja a partir de la secundaria por lo que no lo vamos a comentar. Tratamiento interdisciplinar En este tipo de UD la temática se elige compartiendo tópicos que son propios de más de un área de conocimiento. Normalmente se buscan contenidos que están relacionados, de manera que su tratamiento interdisciplinar ayude a un mejor procedimiento de los mismos. Es un tipo de planteamiento en el que los contenidos temáticos puede tener más peso y, por lo tanto, más adecuado para niveles en los que los contenidos tienen una importancia relativa mayor. Los tipos de disciplinas que se relacionan pueden ser diversos y en esto no existe ninguna norma que limite. Es un planteamiento interesante para proyectos que busquen el desarrollo de competencias en los que es relevante contar con aprendizajes provenientes de varias áreas. Tratamiento disciplinar En este tipo de UD la temática es elegida de una única área de conocimiento y, a veces, de una única disciplina. Éste es el caso más habitual en las programaciones de Matemáticas en secundaria y bachillerato. En muchos casos, la temática de una UD ni siquiera aborda contenidos de toda una disciplina, sino que se concentra en una parte muy pequeña de la misma. Esta última manera de proceder suele ser muy habitual pero es poco recomendable, porque produce una parcialización excesiva del conocimiento adquirido y, en general, los estudiantes


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encuentran muchas dificultades a la hora de integrarla en un todo coherente. Si se programa de esta manera, los estudiantes reciben mucha información fragmentada y suele tener muchas dificultades para integrarla en lo que saben, que suele tener un sesgo más general. La planificación de una UD nos obligará a tomar decisiones sobre la temática que tratar y sobre el equilibrio que debe mantenerse entre los diferentes bloques de contenidos de currículo, tal y como expusimos al hablar del PCC.

La UD como unidad de currículo: los pasos que dar a la hora de construir una UD Habitualmente se ha relacionado, incluso confundido, la UD con la hoy en día, prácticamente, desaparecida «lección». Sin embargo, y como veremos a lo largo de estas páginas, la UD, por ser la unidad básica de programación y tener en cuenta todos los elementos intervinientes en la misma, es un instrumento con más potencialidad de programación que la lección ya que, entre otras razones, no pierde de vista los objetivos del área para la etapa y tiene sentido desde esa perspectiva más global. Los elementos que componen la UD y que explicaremos a continuación son los siguientes: presentación, contextualización, objetivos didácticos, contenidos, actividades con sus variables metodológicas (tipología de agrupación, recursos, tiempo y espacio) y propuesta de evaluación. Como puede verse, esta estructura repite, adaptándolos a las necesidades de la PA, los elementos estructurales del currículo. Es por esta razón que se le llama unidad, ya que sirve de patrón de medida del currículo al integrar al nivel del aula los mismos elementos que se han utilizado en los diferentes niveles de desarrollo del currículo: objetivos, contenidos, metodología y evaluación. Al nivel de la UD la estructura es algo diferente por razones que luego citaremos, pero en lo sustancial se adecua a la utilizada en los niveles de planificación más amplios.

Presentación En este apartado lo que se busca es, valga la redundancia, presentar la UD. Para ello conviene escribir un breve texto en el parece razonable que se indiquen, por lo menos, las siguientes cuestiones: • Los tópicos de Matemáticas que se van a estudiar, es decir, la parte del temario que se va a proponer. • La relevancia de los aprendizajes que se proponen, tanto desde el punto de vista de la construcción del conocimiento matemático como de su aplicación para el desarrollo de la competencia matemática. • Su relación con otros tópicos de las Matemáticas y de otras áreas de conocimiento.


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Contextualización Todas las personas para ser conscientes y potenciar nuestro aprendizaje necesitamos un mapa para saber dónde estamos y a dónde vamos. La contextualización es la hoja de ruta del alumnado, sirve para situarnos y visualizar hacia donde les proponemos ir. Antes de empezar a trabajar en una determinada UD con el alumnado es interesante, por tanto, aclarar una serie de cuestiones. • Saber qué es lo que el alumnado conoce de los contenidos de la nueva UD que se va a trabajar. • Indicarles de manera breve qué conocimientos previos son necesarios y averiguar si es necesario hacer algún repaso de los mismos. • Indicarles de manera breve, sobre esta cuestión habrá que volver una y otra vez, los aprendizajes que vamos a desarrollar en esta UD.

Objetivos didácticos El objetivo es una meta de aprendizaje, un fin que nos proponemos como profesionales para que nuestro alumnado aprenda. En esta definición tan sencilla se recogen dos rasgos fundamentales del tipo de programación que estamos proponiendo. Por una parte, decimos que el objetivo debe ser de aprendizaje del alumno. Esto es, el fin que nos marcamos no es lo que yo quiero enseñar sino que es lo que el alumnado tiene que aprender. Esta cuestión que parece sencilla de entender es la que hace que muchas de las programaciones del profesorado no pasen el primero y más básico de los controles de calidad en programación. A la hora de definir los objetivos, por tanto, hay que tener en cuenta qué es lo que el alumnado tiene que aprender y no qué es lo que el profesorado quiere o debe enseñar. El segundo de los rasgos que queremos subrayar es el relativo al profesorado como profesional. El profesional, como trabajador de alta capacitación, tiene un control sobre el contenido de su trabajo y la organización del mismo. El profesorado tiene que ser capaz de definir unos objetivos didácticos ajustados, imaginativos y estimulantes. Tiene que saber transmitirlo, para que el alumnado se encuentre motivado en la consecución de las metas de su propio aprendizaje, y istrar la dosis adecuada del mismo, para que sea logrado por parte del alumnado de una manera eficaz. Dentro de la programación didáctica existe una diversidad de objetivos que hace que en algunas ocasiones se denomine de la misma manera a fines o metas de muy distinto rango. El objetivo didáctico es aquel que corresponde al nivel de programación más básico, aquel que nos proponemos como profesores para la práctica de aula y que podemos comprobar su consecución mediante alguna actividad de evaluación. Además de estos objetivos didácticos, en la literatura de ingeniería curricular podemos encontrar, como mínimo, los objetivos generales de etapa (nos sirven especialmente para transmitir las intenciones educativas


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que como centro nos planteamos hacia las familias y la sociedad), de ciclo y de área (que nos ayudan a planificar como departamento de una manera eficaz) (cuadro 5). Cuadro 5. Niveles de generalidad o de concreción en la planificación

MÁS GENERAL

TIPOLOGÍA DE OBJETIVO

Informa sociedad y familias.

General de etapa.

Informa centro y departamentos.

General de área.

Informa alumnado y profesorado.

Didácticos.

El objetivo didáctico es el instrumento pedagógico que recoge las intenciones educativas de una manera clara y precisa, de modo que permite ser comprendida por el estudiante y que, además, permite al profesorado gestionar su planificación de manera técnicamente coherente y profesional. Existen muchas maneras de expresar esas intenciones educativas; entre todas ellas, aquella que a nosotros nos parece más adecuada para una buena planificación de la acción es la que recoge los siguientes componentes: el tipo de operación que queremos que realice el alumnado, sobre qué contenido concreto queremos que opere, qué procedimiento y/o con qué tecnología queremos que lo haga y qué actitud, con qué grado de perfección queremos que lo logre. Definamos brevemente cada uno de esos apartados: • Tipo de operación que el alumnado tiene que realizar: identificar, clasificar, definir, formular, deducir, inducir, sintetizar, planificar, aplicar, etc. Es importante desde el punto de vista formal que siempre formulemos esta acción en forma de verbo en infinitivo. • El contenido sobre el que queremos que el alumnado ejerza la operación anteriormente mencionada. Éste es un ámbito en el que el profesorado se ha sentido más cómodo ya que tiene que ver con los contenidos que maneja del área: álgebra, proporcionalidad, polinomios, ecuaciones… Los contenidos, a su vez, suelen desglosarse en conceptuales y procedimentales. Los contenidos conceptuales hacen referencia a los términos que se usan en Matemáticas: número fraccionario, magnitud, polígono, media estadística, ecuación, elipse, etc. Los procedimientos en Matemáticas suelen conocerse con los nombres de algoritmos, en el caso en los que hay que proceder a la aplicación de reglas ya establecidas, y de estrategias o heurísticos cuando la acción que se va a desarrollar no puede ser regulada de manera tan exacta y precisa. • La tecnología a través de la que se le pide al alumnado que realice el trabajo en Matemáticas, hoy en día conviene que se precise los recursos tecnológicos que se van a utilizar a la hora de realizar los procedimientos, sobre todo como es lógico los algorítmicos. El papel y lápiz ya no pueden ser considerados como el único recurso y hay que precisar, a la hora de indicar los aprendizajes, si además deben usarse otros como pueden ser la calculadora, la hoja de cálculo, el ordenador, etc.


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• La actitud tiene que ver con la forma de actuación o de comportamiento que le pedimos al alumnado a la hora de desarrollar el objetivo. Suelen ser comunes el tipo de actitudes que tiene que ver con el cuidado en la resolución de la tarea o la precisión, eficacia, rapidez, etc. Un ejemplo de objetivo didáctico que por tener en cuenta todos los elementos anteriores podemos considerarlo como bien redactado sería el siguiente: calcular, partiendo de una serie de datos dados, con la precisión adecuada, el grado de correlación entre la altura de un observatorio y la temperatura media anual utilizando una hoja de cálculo e interpretar ese valor a la hora de relacionar ambas variables climáticas. Obsérvese cómo se utilizan los elementos más arriba descritos: • Operación: en este caso se proponen dos: calcular e interpretar. Resulta evidente que este objetivo podría descomponerse en dos, pero es aconsejable que aquellos aprendizajes que consideremos deban estar unidos se formulen de manera conjunta para evitar una excesiva fragmentación del currículo. • Contenidos: en el caso de la primera operación, calcular, el contenido conceptual fundamental es el de correlación lineal entre dos variables, y el contenido procedimental, el algoritmo de cálculo de este coeficiente. En este caso como se pide que el cálculo se haga mediante una hoja de cálculo, el algoritmo que seguir supone una serie de pasos que dar en la citada hoja, de manera que puede verse la relación entre procedimiento y tecnología, de este modo, la segunda condiciona claramente a la primera. En el caso de la segunda operación, interpretar, el contenido conceptual hace referencia a variables y a las relaciones de cambio y/o dependencia entre ellas. Aquí no existe un procedimiento algorítmico establecido y no hemos indicado si la interpretación se hará verbalmente o por escrito, y en este último caso por medio de qué recurso. Es un buen ejemplo para mostrar que la escritura de un objetivo no puede acotar todos los elementos de un aprendizaje aunque debemos intentar que abarque la mayoría de los mismos. Escribir un objetivo es siempre aproximarse a la realidad y hacerlo con la máxima precisión posible. • Tecnología: en el caso comentado queda claro cómo aparece la tecnología de manera precisa en una parte del objetivo y, de manera más ambigua y menos precisa, en la segunda parte del mismo. • Actitud: en este caso, la actitud que aparece de manera expresa es la precisión, entendiendo que el cálculo preciso es importante de cara a poder interpretar con corrección el valor obtenido. No lo hemos puesto, por no alargar la redacción, pero también la interpretación puede estar unida a actitudes reguladoras.


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Actividad 6 Extrae los objetivos de una de las unidades didácticas del libro de texto y realiza una reescritura de los mismos teniendo en cuenta los elementos y las pautas que para ello se te ofrecen en el apartado anterior.

Actividades En esta parte de la UD tenemos que proponer aquellas tareas que consigan que el alumnado logre exitosamente los objetivos didácticos propuestos como metas que alcanzar. Las tareas pueden ser de naturaleza muy variada y las clasificaciones son muchas en función del tipo de criterio que utilicemos para hacerlo. Los tipos de tareas que son más habituales en las clases de Matemáticas son las siguientes: ejercicios, experiencias, investigaciones, juegos, problemas y actividades de elaboración de la información. No es éste el lugar de exponer con el detalle y la atención que merecen cada una de esas tareas y de sus posibilidades didácticas. Bastará indicar que lo importante en este momento es relacionarlas correctamente con los objetivos propuestos de manera que exista una relación de adecuación pertinente entre objetivos que lograr y tareas que proponer. Variables metodológicas incluidas en el desarrollo de las actividades La propuesta de tareas debe estar acompañada de una descripción de las mismas que conviene considere las siguientes variables. • Agrupamiento: dentro de las posibilidades que nos ofrece cada situación educativa y del tipo de actividades propuestas podremos optar, por lo menos, entre los tres tipos de agrupamiento más habituales: el grupo clase en su totalidad, el de grupos pequeños de alumnos (entre 3 y 5 alumnos en cada uno) y el del agrupamiento individual. Según el tipo de actividad cada uno de los agrupamientos serán más recomendado para: - El grupo clase: actividades de iniciación, de exploración o sondeo, de recapitulación final y presentación. - El grupo pequeño: actividades de aplicación, de investigación, de evaluación o reflexión. - El trabajo individual: ejercicios, elaboración de la información… • Espacios: será necesario realizar precisiones en relación con esta variable, sobre todo cuando el lugar en el que se desarrolle la UD o algunas de sus actividades exija la utilización de espacios diferentes al aula. Los lugares más habituales en los que se suelen realizar actividades de enseñanza-aprendizaje son: el laboratorio, el salón de actos o sala de proyecciones, el aula multimedia, la biblioteca o las visitas concretas a centros específicos (museo de la ciencia, parque tecnológico, empresas, etc.).


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• Tiempo: es recomendable que además del tiempo general asociado al conjunto de la UD se especifiquen los tiempos que se corresponden a cada uno de los objetivos didácticos propuestos, de manera que este tiempo sirva de referencia para el trabajo de las tareas asociadas al correspondiente objetivo. Recuérdese que el tiempo hace referencia al tiempo que debe destinar el estudiante a conseguir este aprendizaje. • Recursos materiales: conviene que antes de comenzar a trabajar una UD se disponga de la relación de los recursos materiales que los estudiantes necesitan para poder llevarla a cabo. Actividad 7 Realiza el diseño de actividades posibles de aprendizaje y la metodología (agrupamiento, espacio, tiempo y recursos materiales) que exigiría la programación de uno de los objetivos redactados en la tarea anterior.

Evaluación La evaluación, al ser uno de los elementos esenciales del currículo lo es también de la UD (Escamilla, 1995). Como elemento fundamental de la programación, podremos analizarlo desde, por lo menos, tres parámetros: qué evaluar, cuándo evaluar y cómo evaluar. Qué evaluar Aunque son muchos los componentes del proceso de aprendizaje que podremos evaluar en una UD el primero y fundamental de ellos hace referencia a la consecución por parte de nuestro alumnado de los objetivos planteados en esa unidad. Para llevar a cabo esta labor conviene que: • Se evalúen todos los objetivos de manera independiente, aunque posteriormente se combinen los resultados obtenidos para lograr una única calificación. • A cada objetivo se le asigne un instrumento de evaluación o tarea por medio de la cual comprobar el logro de los aprendizajes, aunque puede darse el caso de que se use un único instrumento para más de un objetivo, tiene que ser posible identificar en este instrumento común las partes que corresponden a cada objetivo. • Se asocie a cada objetivo e instrumento unos criterios de evaluación que indiquen los aspectos que se van a tener en cuenta a la hora de calificar el logro del aprendizaje en la tarea (instrumento) elegida. • Se decida sobre la escala que se va a utilizar para calificar cada uno de los objetivos. • Se decida si se va a exigir o no un mínimo en cada objetivo como condición de superación del conjunto de la UD.


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Cuándo evaluar Existen distintos momentos para la evaluación que acompañan a todo el proceso y tres de ellos son los que no pueden faltar en la UD: • La evaluación inicial: es siempre interesante plantearnos alguna actividad inicial cuyo objetivo consiste en detectar qué es lo que nuestro alumnado sabe de los contenidos de la unidad didáctica que vamos a comenzar a trabajar. A través de esta evaluación inicial, que habitualmente realizamos el profesorado de viva voz, perseguimos saber, además de qué es lo que ya saben, qué creen que van a aprender. Éste es un buen momento para situarles en el mapa de su aprendizaje y de ofrecerles la hoja de ruta sobre los objetivos y el camino que seguir. Es imprescindible, por tanto, incluir alguna actividad de evaluación inicial que nos ayude a detectar los preconceptos. • La evaluación procesal: desarrollada durante el proceso de enseñanza-aprendizaje como una parte integrante del mismo. Nos ayuda a detectar cualquier posible desviación durante el proceso de aprendizaje. La vamos realizando sobre aquellos objetivos que se plantean como básicos para conseguir los siguientes, y el tipo de información que nos ofrece nos puede hacer ralentizar el proceso hasta la consecución de esos objetivos. • La evaluación final: tiene como objetivo la verificación del logro de cada uno de mis alumnos y alumnas en la consecución de los objetivos propuestos para la UD o conjunto de UD del periodo de evaluación. Lo más habitual es que la calificación final dependa de datos obtenidos durante el proceso y los que se logran en la evaluación final. Cómo evaluar Se trata de especificar en cada uno de los objetivos por evaluar, y teniendo en cuenta cada criterio, qué tipo de instrumento de evaluación me permite asegurar un correcto desarrollo de esta función. Existen distintos y variados instrumentos para la evaluación de la distinta tipología de objetivos que nos planteamos en una UD. Por tanto, aunque el instrumento más habitual en educación secundaria sea el examen, éste no debe ser el único que utilicemos para realizar la medición. Sin ánimo de ser exhaustivo y sólo con el interés de ofrecer el variado panorama que ofrece este instrumental, en el cuadro 6 de la página siguiente se muestra una de las numerosas listas que se han incorporado a algunos proyectos curriculares en los que hemos colaborado.


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Cuadro 6. Instrumentos y tipologías de evaluación

INSTRUMENTO

TIPOS

Pruebas convencionales

• Orales. • Escritas (estructurados en niveles). • Prácticas (aplicación a una situación nueva).

Pruebas objetivas

• De respuesta breve. • De completar. • De alternativas binarias. • De alternativas múltiples. • De emparejamiento. • De ordenamiento. • De analogías.

Observación

• Asistemática o casual. • Sistemática.

Situaciones-problema Actividades aisladas Portfolio (conjunto de actividades)

• Exploración (evidencias de todo tipo). • Investigación (evidencias de todo tipo). • Aplicación (evidencias de todo tipo). • Evaluación (evidencias de todo tipo). • Evidencias de entrevistas y autoevaluación.

Entrevistas

• Estructurada. • Semiestructurada-orientadora. • Abierta-transaccional.

Técnicas evaluación grupal

• Autoevaluación. • Heteroevaluación.

Está claro para todo el profesorado que cada tipo de aprendizaje es susceptible de ser mejor evaluado a través de un cierto tipo de instrumento. Así, para evaluar un contenido actitudinal no parece que la «prueba objetiva» sea el mejor instrumento que utilizar y, sin embargo, «la entrevista» sí que puede serlo. Por el contrario, para valorar un contenido conceptual o de procedimiento parecen muy interesantes instrumentos como las «pruebas convencionales», siempre que estén bien diseñadas, o «situación-problema» en la que a través de una situación se le pide al alumnado que resuelva un problema que se plantea. Al profesional de la educación también se le plantea la situación inversa. Decide a través de qué instrumento quiere evaluar, muchas veces porque quiere situar al alumnado


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en disyuntivas concretas. En este caso es interesante tener en cuenta aquella máxima de McLuhan: «el medio es el mensaje» porque el instrumento a través del cual voy a realizar la medición condiciona el propio proceso y el tipo de aprendizaje que realizar. Recapitulando. Con cada uno de los objetivos didácticos que nos hemos planteado tendremos que proponer un criterio (o más) de evaluación y el instrumento a través del cual se puede comprobar la consecución de su aprendizaje. Además, resulta un requisito imprescindible ofrecer a nuestro alumnado una rica variedad de instrumentos de evaluación y de recogida de información (cuadro 7). Cuadro 7. Correspondencia entre los objetivos didácticos y los criterios e instrumentos de evaluación 1.er Objetivo didáctico

2.º Objetivo didáctico

Criterio de evaluación.

Instrumento de evaluación.





Actividad 8 Escribe los criterios de evaluación así como los instrumentos de evaluación para cada criterio de tres de los objetivos redactados en la actividad 6.

Atención a la diversidad Aunque esta cuestión es de mucho calado y exigiría un trabajo monográfico, vamos a dar unas pinceladas sobre el mismo desde el punto de vista de la programación. Nuestro alumnado es heterogéneo en cuanto a sus capacidades, origen, medio socioeconómico del que procede etc. y nuestra labor profesional nos exige, específicamente en secundaria obligatoria, atender a todos. Además de esta heterogeneidad habitual podemos encontrarnos con otra diversidad determinada que nos exija responder a la misma adoptando medidas curriculares extraordinarias: repetición de curso, adaptación de los contenidos de aprendizaje, de los medios y/o de los criterios de evaluación. Pueden ser varias las medidas que el centro adopte ante la diversidad para que sea atendida con eficacia y profesionalidad y parece conveniente que, para que sea real, tengamos un apartado específico en nuestras unidades didácticas para esta cuestión. Desde la práctica diaria se responde muchas veces a la diversidad del alumnado con refuerzos, apoyos verbales y escritos, atención personalizada, etc. Desde el punto de vista de la programación de aula, nos parece interesante fijarnos, por lo menos, en dos elementos


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fundamentales que nos pueden ayudar a situar la diversidad más habitual en el aula: objetivos didácticos y criterios de evaluación. Una de las acciones que más pueden contribuir a orientar al profesorado en esta cuestión es tener establecidos objetivos básicos para el curso, esto es, establecer aquellos que deben ser conseguidos por todo el alumnado. Si se consigue determinar esto, no siendo siempre fácil, ya que tendemos a inflar este apartado, resulta más ágil poder estipular sobre qué tienen que incidir o aprender ciertos alumnos y a partir de dónde pueden profundizar otros. El otro elemento que contribuye a responder a la diversidad desde la programación es la que tiene que ver con la evaluación. La evaluación es un proceso que nos permite establecer desde un primer momento la adecuación de nuestra enseñanza al aprendizaje del alumnado. A realizar esta función contribuyen todos los tipos de evaluación, aunque especialmente la formativa. Existe, además, un tipo de evaluación, la denominada criterial, que relaciona el progreso del alumno desde el presupuesto de la diversidad ya que se fijan metas graduales en función de la tipología de alumnado (contenidos impartidos y objetivos establecidos). Evaluamos al alumno en función de criterios previamente establecidos para él y, desde ese momento, su progreso particular es la norma y no la marcha general de clase. Así, podemos fijar unos objetivos de muy alto nivel para alumnos especialmente aventajados, y serán sus propios logros los que le evalúen y no la norma general de la clase. Por el otro extremo, podemos establecer criterios de evaluación inferiores a los del grupo general para uno o varios alumnos y los valoraremos en función del criterio establecido y no por el rasero general de la clase.


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTÚNEZ, S., y otros (2006). Del proyecto educativo a la programación de aula: el qué, el cuándo y el cómo de los instrumentos de la planificación didáctica. Barcelona: Graó. ESCAMILLA, A. (1995). Unidades didácticas, una propuesta de trabajo en el aula. Madrid: Edelvives. ESCAMILLA, A. y LLANOS, E. (1995). La evaluación del aprendizaje y de la enseñanza en el aula. Madrid: Edelvives. ZABALA, A. y CARMEN, L.M. (1997). Del currículum oficial al currículum en l'acció: el projecte curricular del centre. Barcelona: Universitat Oberta de Catalunya.

Normativa legal REAL DECRETO 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. Boletín Oficial del Estado (5 enero 2007), núm. 5, pp. 677-773.


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6. APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA CONTENIDO DE CAPÍTULO • • • • •

Componentes del aprendizaje de las matemáticas Lo conceptual y lo procedimental La reflexión y la comunicación matemática Los procesos de simbolización y representación Conjeturar, argumentar y procesos de probar en educación secundaria

Julia Valls Universidad de Alicante Salvador Llenares Universidad de Alicante

Componentes del aprendizaje de las matemáticas La relación entre la enseñanza y el aprendizaje no es lineal ni fácilmente comprendida. En particular, aunque el aprendizaje se puede ver como una construcción individual del estudiante, recientemente se está asumiendo que el contexto social en el que se da la actividad matemática ayuda a determinar lo que se aprende y la forma en la que se aprenden las matemáticas. Desde esta perspectiva de interrelación entre lo individual y lo social, relativa al aprendizaje de las matemáticas, hemos identificado diferentes procesos considerados relevantes en el aprendizaje de las matemáticas que organizan este capitulo: • La relación entre lo conceptual y lo procedimental. • La reflexión y la comunicación como componentes del aprendizaje de las matemáticas.


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• Los procesos de simbolización y representación considerando dos ámbitos: el uso de las letras y las gráficas en educación secundaria, y el uso de los símbolos matemáticos para pensar y comunicar matemáticas. • El desarrollo de los procesos de conjeturar y argumentar como elementos claves del aprendizaje de la actividad matemática.

Lo conceptual y lo procedimental El desarrollo de la idea de competencia matemática ha empezado a permeabilizar en los últimos años las reflexiones sobre la enseñanza de las matemáticas. Una manera de aproximarse a esta idea es considerarla como la habilidad para desarrollar y aplicar el razonamiento matemático con el fin de resolver diversos problemas en situaciones cotidianas. Un aspecto de esta caracterización es la capacidad de «usar el conocimiento» matemático y, por tanto, de determinar la pertinencia de su uso en situaciones de resolución de problemas. La competencia matemática está vinculada al uso flexible del conocimiento y a la transferencia de lo aprendido en un contexto a otro contexto. Esta perspectiva vincula la competencia matemática a la comprensión conceptual y a ser experto con los procedimientos (NCTM, 2000). La comprensión conceptual hace que la aplicación de los procedimientos sea más flexible e incluso ayuda a su uso idóneo como instrumento para la resolución de los problemas (Socas, 1997). Esta conexión entre lo procedimental y los significados conceptuales se pone de manifiesto a través de la habilidad de explicar y justificar los procesos y resultados de los problemas. El uso adecuado del conocimiento matemático en la resolución de problemas en situaciones cotidianas se apoya en su comprensión. Es decir, la comprensión conceptual se vincula a la posibilidad de establecer relaciones entre conceptos y procedimientos matemáticos en la resolución de los problemas. En este sentido, el desarrollo de la comprensión matemática está vinculado a la manera en la que se aprende. Esta forma de entender el aprendizaje matemático nos lleva a determinar y caracterizar cómo los estudiantes de educación secundaria establecen relaciones o conexiones entre lo que conocen para resolver los problemas. Es decir, favorecer el aprendizaje matemático se apoya en el establecimiento de relaciones. Cuando los estudiantes memorizan los procedimientos sin comprenderlos, pueden no ser capaces o pueden no estar seguros de cuándo usar lo que conocen, tal como se observa en la reducción de expresiones, en el contexto de las potencias, realizada por Alba, estudiante de 3.º de educación secundaria (ejemplo 1).


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APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA

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Ejemplo 1 Durante la resolución de la actividad anterior se dio el siguiente intercambio entre el profesor (P) y Alba (A): Tarea sobre reducción de expresiones:

32 ⋅ 4 3 ⋅ 23 = 92 ⋅ 62

A: —Copio lo de arriba… [escribe el 4 como 22] significa que he desarrollado el 4. Sigo copiando igual. Abajo… tres elevado a dos. Abajo dos por tres… [escribe 2 x 3 en vez del 6] 2 2 3 32 ⋅ 4 3 ⋅ 23 3 ⋅ ( 2 ) ⋅ 2 = 2 92 ⋅ 62 (32 ) ⋅ ( 2 ⋅ 3)2 3

Paso 1:

P: —¿Por qué lo haces así? A: —para desarrollar el 6. Todo tiene que estar desarrollado. Arriba copio igual y hago el paréntesis [señala(22 )3]…, que es 2 elevado a 5 [se refiere a hacer (22 )3 = 25] P: —¿Por qué? A: —Porque los exponentes se suman… y debajo igual [(32)2] es tres elevado a cuatro, porque hemos sumado el 2 y el 2 [señala los dos doses que hay en (32)2 y a continuación escribe (2 · 3)2 = 22 · 32 ] 2 2 3 32 ⋅ 4 3 ⋅ 23 3 ⋅ ( 2 ) ⋅ 2 32 ⋅ 25 ⋅ 23 = 2 2 = 4 2 2= 2 2 2 9 ⋅6 (3 ) ⋅ ( 2 ⋅ 3) 3 ⋅ 2 ⋅ 3 3

Paso 2:

P: —Una pregunta, ¿por qué se suman los exponentes cuando tienes dos elevado al cuadrado y todo al cubo? A: —Porque… el número tiene que ser igual (se refiere a la base)… y los exponentes se suman, porque las potencias se suman, porque si son así se suman. P: —Entonces, dos elevado al cuadrado y todo al cubo, ¿qué significa? Si tuvieras que escribirlo sin las potencias, ¿cómo lo harías? A:... — P: —Bueno, continúa. A: —Ahora tenemos tres elevado al cuadrado por dos, y esos dos se restan… [señala el dos elevado a cinco y el dos elevado al cubo del numerador] P: —¿Por qué se restan? A: —Porque es la misma base pero diferente exponente. P: —¿Qué quiere decir dos elevado a cinco? A: —Pues dos por dos por dos… cinco veces. P: —y, ¿dos elevado al cubo? A: —Pues, dos por dos y por dos. Tres veces. P: —¿Quieres escribirlo en la parte de abajo?


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Alba escribe: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 Significado de potencia de exponente natural: 2 · 2 · 2 = 23 Alba conoce el significado de las potencias de exponente un número natural. Sin embargo, ha memorizado, sin comprender, las operaciones con dichas potencias: producto de potencias con la misma base y exponente natural, 25 · 23; potencia de potencia, (22)3; división de potencias de la misma base y exponente natural, 25/23. Esta situación genera inseguridad y deficiencias en el aprendizaje matemático pretendido.

P: —Entonces, cuando tienes dos elevado a cinco por dos elevado a tres, ¿qué tienes? A: —Dos potencias diferentes. P: —Bueno, escríbelo. Dos elevado a dos elevado a tres por dos elevado a cinco. Alba escribe: Significado para Alba de producto de potencias de exponente natural: 25 · 23 = 22

A: —¿Se restan?... P: —Bueno sigue… A: —Abajo lo mismo que he hecho arriba con el dos. El tres lo hago igual, y resto las potencias que son… dos elevado a dos. [Alba se para a pensar] P: —¿Qué está pasando? A: —Creo que me he equivocado. P: —¿Por qué? A: —Porque no se tiene que restar. […] Es una multiplicación […] y en una multiplicación se… divide… (empieza a dudar). ¡No! En la multiplicación se suma [Alba está intentando recordar las reglas para multiplicar y/o dividir potencias de la misma base] P: —¿Por qué? A: —Porque en la multiplicación se tiene que sumar (se refiere a los exponentes) con la misma base. P: —¿Tú sabrías por qué? A: —¿Si? P: —Si tuvieras que contarle a un compañero por qué en la multiplicación de potencias de la misma base los exponentes se suman, ¿por qué se puede hacer eso? ¿Cómo se lo explicarías? A: —Misma base… exponentes diferentes… se suma. P: —¿Por qué? A: —Porque las propiedades lo dicen, porque las propiedades del producto lo dicen. […]


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Finalmente lo que queda escrito es: 2 2 3 32 ⋅ 4 3 ⋅ 23 3 ⋅ ( 2 ) ⋅ 2 32 ⋅ 25 ⋅ 23 32 ⋅ 28 26 = 2 2 = = = 2 2 9 ⋅6 (3 ) ⋅ ( 2 ⋅ 3)2 34 ⋅ 22 ⋅ 32 36 ⋅ 22 34 3

En este caso, el significado de la idea de potencia de un número natural con exponente natural no ha sido conectado al significado de las operaciones. La comprensión conceptual no está vinculada al desarrollo de los procedimientos al no haber observado regularidades y patrones para ampliar significados y vincular lo conceptual a lo procedimental (Martínez y Penalva, 2006). El aprendizaje con comprensión facilita el aprendizaje posterior, ya que se apoya en la realización de conexiones de manera significativa entre lo nuevo y lo que ya se conoce (NCTM, 2000). Este hecho es relevante en estos momentos en los que los avances tecnológicos permiten el uso de calculadoras y software en las aulas para realizar muchos de los procedimientos que formaban parte del currículo. Por tanto, los usos de tecnología en las aulas obligan a prestar más atención a la construcción de los significados de las ideas matemáticas para favorecer su uso flexible en nuevas situaciones. Una manera de favorecer los vínculos entre lo conceptual y lo procedimental en el aprendizaje de las matemáticas, por ejemplo, en este caso de las operaciones con las potencias, hubiera sido fomentar la posibilidad de observar patrones y regularidades, apoyado en las reflexiones sobre las estructuras matemáticas. De esta manera, el vínculo entre lo conceptual y lo procedimental puede favorecer la ampliación de nuevas ideas, como el desarrollo de la abstracción de la idea de potencia incorporando significados al nuevo sistema de símbolos cuando se amplía al caso de exponentes fraccionarios. Actividad 1 Lee con atención tanto la conversación mantenida como el análisis que de la misma se hace en el ejemplo 1 y haz una reflexión sobre la misma, indicando qué aprendizajes se promueven especialmente.


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La reflexión y la comunicación matemática Para centrar nuestra atención en cómo los estudiantes de educación secundaria realizan conexiones entre los elementos matemáticos que conocen cuando están resolviendo problemas, nos fijaremos en dos procesos que desempeñan papeles importantes en el aprendizaje de las matemáticas en educación secundaria. Uno de estos procesos tiene que ver con la dimensión personal del aprendizaje y está relacionado con la consciencia con la que los estudiantes usan y relacionan los elementos matemáticos para resolver el problema y, por tanto, con su capacidad para reflexionar sobre lo que se está haciendo. Algunas perspectivas psicológicas denominan abstracción reflexiva al proceso por el cual se desarrollan nuevas estructuras cognitivas desde las previamente existentes. Los procesos cognitivos a través de los cuales los estudiantes generan estas nuevas estructuras cognitivas se apoyan en el registro de experiencias previas que se crean al resolver diferentes problemas (Llinares, 1994). Por ejemplo, en el caso de Alba descrito anteriormente, sería la posibilidad de generar significados para las operaciones con potencias de números naturales con exponente natural a partir del significado de la idea de potencia. El segundo proceso que hay que tener en cuenta en el desarrollo del aprendizaje tiene que ver con la dimensión social y la capacidad de generar un discurso matemático adecuado para explicar, argumentar y debatir sobre lo que se ha realizado en la resolución del problema. Es decir, la capacidad de desarrollar procesos de comunicación matemática como aspecto clave en el aprendizaje de las matemáticas. La habilidad de comunicar, explicar y argumentar matemáticamente se apoya en reflexionar sobre los significados de los procedimientos; compartir lo realizado implica no sólo «mostrar» el procedimiento seguido, sino explicar y justificar. El foco de atención para entender el aprendizaje considerando su dimensión social se traslada en estos momentos a las características de la interacción en el aula de matemáticas entre los estudiantes y entre el profesor y los estudiantes. Esta situación subraya la importancia de crear espacios para que los estudiantes puedan proponer y argumentar ideas cuya discusión pueda favorecer el establecimiento de conexiones entre las ideas matemáticas y la reorganización del conocimiento, entendido como un aspecto del proceso de aprendizaje. El ejemplo 2, procedente de una clase de alumnos de tercer curso de educación secundaria, permite ejemplificar la presencia de estas características de la comunicación e interacción matemática en el aula como componentes fundamentales del aprendizaje. Ejemplo 2 Antonio, profesor de tercer curso de secundaria, está iniciando con sus alumnos el desarrollo del tema de transformaciones geométricas: la simetría. Antonio ha introducido el tema buscando regularidades


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en la naturaleza que le permitan identificar figuras simétricas para hacer conscientes a sus estudiantes de dichas regularidades, al considerar que una buena comprensión de la simetría puede ayudar a vincular el campo de las matemáticas, el arte y la estética, y la naturaleza. Estas actividades iniciales en el tema de la simetría le permitieron a Antonio no sólo poder hablar de la idea de modelización matemática sino también plantearse la posibilidad de introducir a sus alumnos en un proceso matemático como es el de «definir» a partir de las ideas intuitivas de los estudiantes y de sus experiencias previas.

En la fase inicial de la lección Antonio guió a sus alumnos para reconocer y describir simetrías en la naturaleza, empezó a introducir un vocabulario específico y a identificar aspectos relevantes de las figuras simétricas. Posteriormente, se planteó como un objetivo de enseñanza el que los estudiantes generaran definiciones matemáticas, lo que implica ser capaces de identificar las características esenciales del objeto matemático que permita diferenciarlo. En la clase de hoy, Antonio tiene como objetivo intentar que sus estudiantes modelen la simetría como transformación a través de la identificación de las características relevantes que permitan generar una definición cambiando la posición y el tamaño de los objetos de manera sistemática. Para ello, puso, en primer lugar, a sus estudiantes a trabajar en parejas, mientras él se trasladaba de mesa en mesa respondiendo a sus preguntas y tomando notas de las diferentes aproximaciones que realizaban los estudiantes para tener información sobre cómo organizar la puesta en común posterior. Hacer que los estudiantes verbalizaran ejemplos de regularidades en la naturaleza le permitió centrarse en los de simetría, e introducir los términos «punto simétrico» y «figura simétrica» para hablar sobre un tipo determinado de figuras. Posteriormente, Antonio planteó una actividad con la clase entera. Ésta consistía en mostrarles dibujos de objetos simétricos y pedirles que verbalizaran las características de dichos objetos con el fin de generar una definición de simetría axial. Para que los alumnos no sólo presentaran su solución, sino que también avanzaran y compararan significados utilizando diferentes ejes, pidió a distintos alumnos que salieran a la pizarra. Estas actividades permitirán a Antonio generar situaciones en las que podría pedir a sus alumnos que visualizaran y describieran las relaciones entre el eje de simetría (reflexión) y las posiciones de los puntos y sus imágenes. Por ejemplo, que cada punto simétrico está a igual distancia del eje de simetría que el punto original. Para iniciar la actividad, Antonio dibujó un trozo de recta en la pizarra y una figura esquemática y dio la oportunidad a sus alumnos para que obtuviesen la figura simétrica a la dada. A continuación, pidió a Rubén, uno de sus alumnos, que saliera y dibujara el simétrico y explicara por qué la figura dibujada


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cumplía la condición de ser simétrica de la figura inicial. Es decir, que explicara el método seguido. Rubén salió a la pizarra y realizó la figura que se muestra.

A partir de este momento se generó el siguiente intercambio entre Antonio y sus alumnos: PROFESOR: —Rubén, ¿has seguido algún criterio? Quiero decir, cuando haces el dibujo simétrico, ¿te sale o has intentado seguir algún método? RUBÉN: —He hecho como si pusiera un espejo en el centro e imaginándome la figura.

En este momento Antonio introdujo una variación en el problema inicial para intentar generar algún tipo de argumento matemático en la exposición del método seguido. Antonio, al observar en la anterior resolución una aproximación sistemática en la que se hace explícito, en cierta medida, los elementos de la definición de figuras simétricas respecto a una recta, pidió a otro de sus estudiantes, Alberto, que saliese a la pizarra para resolver la tarea: PROFESOR: —Ah, en este caso no ha habido demasiado problema. Bien. ¿Qué pasaría ahora, Alberto, si cambiamos el eje y lo ponemos ya no horizontal o vertical sino de esta forma [dibuja un eje inclinado en relación con el marco de la pizarra]? Por ejemplo. Ahora te lo pongo más fácil, una simple L [Antonio dibuja una L en la pizarra]. A ver. ¿Cuál sería en este caso la figura simétrica?

Alberto realizó el dibujo y Antonio preguntó a la clase si tenían alguna cuestión para él.

PROFESOR: —¿Qué opináis? ¿Sería esa?

Ante esta petición algunos estudiantes indicaron que no entendían por qué el dibujo realizado por Alberto era el simétrico del inicial. Alberto intentó explicar lo que es posible ver si se colocara un es-


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pejo en el eje, sin embargo, le resultaba difícil ir más allá. Aunque su dibujo estaba bien, su explicación no convencía a algunos de sus compañeros. En ese momento, Raquel preguntó por el procedimiento seguido para dibujar los puntos simétricos. Alberto entonces, para apoyar su explicación, dibujó un segmento que unía dos puntos simétricos (A, A’) y explicó que los puntos eran simétricos porque el segmento que los unía era perpendicular al eje y los puntos estaban a la misma distancia de éste. Entonces, otro compañero indicó que al estar el eje inclinado deberían usar papel cuadriculado o milimetrado para hacer los dibujos. En ese momento Juan, el compañero de Alberto, dijo que en este caso el eje de simetría era la mediatriz del segmento AA’, porque recordaba del curso anterior que la mediatriz de un segmento era la perpendicular por el punto medio. En ese instante, Antonio preguntó si había alguna cuestión más para Juan y Alberto. Raquel dijo que no terminaba de entender cómo estaban considerando los puntos simétricos. Entonces Antonio sugirió a Alberto y Juan que usaran otra figura y otro eje para explicar cómo habían usado la idea de mediatriz. Antonio intentó que se generalizase el procedimiento seguido, modificando la figura y señalando diferentes puntos y promoviendo un debate en el que intervinieron varios alumnos, con el objetivo de explicitar las condiciones por las cuales dos puntos pueden considerarse simétricos en relación con un eje independientemente de la posición y orientación del eje. Antonio pretendió implicar a toda la clase intentando que sus estudiantes empezasen a incorporar en las exposiciones de sus argumentos la idea de mediatriz de un segmento, punto medio, igual distancia al eje, ideas que constituyen los elementos de la definición de figuras simétricas respecto a un eje. Es decir, Antonio construyó un contexto comunicativo para facilitar el aprendizaje de los objetivos matemáticos pretendidos.

El aprendizaje de las matemáticas en contextos con estas características se apoya en la generación paulatina y progresiva de una comunicación matemáticamente más rica (en el ejemplo descrito se muestra esta progresión con la transición, desde construir un discurso apoyado con la idea del espejo y su reflejo al uso de la idea de mediatriz de un segmento para manejar la idea de que dos puntos son simétricos si el eje forma la mediatriz del segmento que los une). Además, el aprendizaje generado está vinculado a los procesos por los cuales los alumnos pueden llegar a compartir sus ideas y pedir y dar explicaciones y aclaraciones hasta llegar a comprender. Un contexto con estas características vincula los procesos de reflexión sobre la propia comprensión y los procesos de comunicación de las ideas a los demás, constituyéndose en componentes del aprendizaje matemático. Otra característica del aprendizaje matemático generado en este tipo de situaciones es que la comunicación matemática se ha vinculado a una tarea relevante como es buscar una caracterización (una definición) para las figuras simétricas.


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Actividad 2 Lee con atención tanto la conversación mantenida como el análisis que de la misma se hace en las líneas anteriores y haz una reflexión indicando qué aprendizajes se promueven especialmente.

Los procesos de simbolización y representación Las gráficas, las expresiones numéricas y los símbolos están empezando a ser considerados instrumentos en el aprendizaje de las matemáticas ya que ayudan a la comprensión de las ideas matemáticas por los estudiantes, así como para comunicar a los demás su comprensión y cómo han pensado. De ahí que los procesos de simbolización que se puedan generar en las aulas de matemáticas son elementos relevantes para el aprendizaje (Castro y Castro, 1997). Sin embargo, estos procesos no son fáciles de generar debido tanto a la complejidad de las representaciones como a la de los procesos de simbolización en aulas de matemáticas en las que los estudiantes trabajan juntos para resolver los problemas. Aquí entenderemos representación como proceso y también como producto tanto de lo que se puede ver (lo que escriben y dicen los estudiantes) como de lo que se puede inferir que son sus procesos y productos cognitivos (su forma de dotar de significado a las ideas matemáticas y lo que finalmente llegan a comprender) (NCTM, 2000). En esta sección se subrayará el papel de las diferentes formas de representación –diagramas, gráficas, expresiones simbólicas– como instrumentos para aprender y hacer matemáticas. Existen perspectivas sobre el aprendizaje de las matemáticas que subrayan el papel que desempeñan los recursos físicos, como los ordenadores y los materiales didácticos, en el aprendizaje de las matemáticas. Pero también se ha empezado a reconocer que el lenguaje usado, los signos y sistemas de símbolos matemáticos y el conocimiento previo son considerados como variables que determinan la forma que puede adoptar el proceso de aprendizaje de las matemáticas. Todos estos elementos (recursos materiales, conocimiento previo, sistemas de símbolos matemáticos) pueden ser entendidos como instrumentos que favorecen el aprendizaje. Instrumentos en el sentido de que apoyan la realización de las actividades matemáticas, facilitando el registro de las mismas, comunicar y, más importante, facilitando medios con los que pensar sobre las matemáticas. Desde este posicionamiento, los estudiantes tienen que aprender a construir y usar estos instrumentos como parte del proceso de aprendizaje.


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Proceso de simbolización en educación secundaria: las letras y las gráficas Una de las actividades relevantes de los estudiantes de educación secundaria para el aprendizaje de las matemáticas es el proceso de simbolización. En particular, durante la simbolización de relaciones numéricas generales en las que hay que representar cantidades que no se conocen, cantidades que varían, y sus relaciones mediante el uso de letras, ecuaciones y gráficas. Aquí, las representaciones algebraicas se tratan como enunciados generalizados de las operaciones aritméticas y empiezan a tratarse como objetos matemáticos sobre los cuales se pueden realizar ciertas operaciones estructurales (combinar términos, factorizar o restar un término a ambos lados de la igualdad) (Kieran, 1992 y 2006). Un supuesto desde esta aproximación es asumir que los estudiantes de educación secundaria aprenderán a ver las semejanzas y equivalencias estructurales en las expresiones y ecuaciones que transforman. Sin embargo, el hecho de que los signos y símbolos en álgebra deben ser interpretados de manera diferente de cómo fueron interpretados en la aritmética crea dificultades en el aprendizaje. La dificultad para representar cantidades no conocidas y sus relaciones se ponen de manifiesto de diferentes maneras (ejemplos 3, 4 y 5). Ejemplo 3 Durante la resolución de problemas como el siguiente, en 2.º curso de la educación secundaria obligatoria (ESO): Hemos cambiado un determinado número de monedas de un céntimo por monedas de 5 céntimos y ahora tenemos 60 monedas menos. ¿Cuántas monedas de un céntimo teníamos? ¿Cuántas monedas de 5 céntimos tenemos ahora?

En la resolución del problema, los estudiantes suelen representar por x el número de monedas de 1 céntimo, y por y el número de monedas de 5 céntimos, y simbolizan la relación entre ellas mediante la expresión 5x = y En vez de x = 5y, mostrando la interferencia del lenguaje natural y el algebraico.

Actividad 3 Inventa unas cuantas situaciones en la que la letra represente una cantidad desconocida. Comenta las dificultades de tipo cognitivo que aprecies en la tarea.

Por otra parte, el uso de las letras para simbolizar algunas situaciones pone de manifiesto diferentes usos de las letras y que los estudiantes deben llegar a manejar (Hart, 1981), como se muestra en el ejemplo 4 en la página siguiente.


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Ejemplo 4 Escribe una expresión para el perímetro de cada una de las figuras. I

II

III

IV u

h e

2

u

2

h 2

e h

e

h

5

t

5

6

Ítems para identificar los significados de los diferentes usos de las letras. Las respuestas y los porcentajes de aciertos se muestran a continuación: Respuestas y porcentajes de éxito en la tarea de la figura 10. I

II

III

IV

3e

4h+t 4h+1t

2u+16 U+u+16 2u+10+6

2n n2

94%

68%

64%

38%

Fuente: Hart (1981).

Estas situaciones ponen de manifiesto que a veces es posible usar las letras para indicar generalización o descripción de patrones, representar cantidades que no se conocen y constantes. Pero, a veces, también representan la variabilidad o cambios simultáneos en términos de comparación entre cantidades (que pueden representarse de distintas maneras: tablas, gráficas, algebraicamente). Aquí podemos identificar tres usos distintos de la variable que determinan características de cómo los estudiantes aprenden a simbolizar cantidades y relaciones. Los usos son: • Como incógnitas. • Como números generales. • Como relaciones funcionales. Para comprender el uso de la variable como incógnita y como número general se debe reconocer que en ciertas situaciones «está involucrada una cantidad cuyo valor no conocemos pero que es posible conocer tomando en consideración los datos proporcionados (incógnita)», y que en otras es necesario «distinguir entre los aspectos invariantes y los que varían en una multiplicidad de situaciones con el objetivo de reconocer patrones, hallar reglas, deducir métodos generales… (número general)» (Ursini y otros, 2005-2008) En el ejemplo 5 de la página siguiente se muestra el uso de la variable como incógnita.


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Ejemplo 5 A1. Una caja en forma de prisma rectangular tiene 4,5 cm de ancho y 3 cm de alto, y su volumen es de 81 cm3. ¿Cuánto mide de largo? B1. Resuelve la ecuación 8x + 19 = 139

En la tarea A1 se debe reconocer e identificar la existencia de algo desconocido que se puede determinar (longitud de la caja) y simbolizar lo desconocido. En la tarea B1 se debe interpretar la letra x como la representación de una cantidad desconocida. En las actividades propuestas en el ejemplo 6, aparecen otros usos para las letras. Ejemplo 6 A2. Escribe la expresión que representa el área de la siguiente figura: 5 x

B2. Dada la siguiente lista de números, si denotamos con la letra x un lugar cualquiera de la lista, ¿qué número estará en ese lugar? LUGAR 1 2 3 . . . x · ·

NÚMERO 30 60 90 . . . . .

C2. Desarrolla la expresión (x + 7)(x- 3) + 2x D2. Observa las siguientes figuras:

1

4

9

• ¿Cuántos puntos hay en la figura que ocupa la cuarta posición? • Dibuja la figura que ocupa la posición quinta y sexta y da el total de números de cada una de ellas. • Imagina que puedes seguir dibujando figuras hasta la figura x. ¿Cuántos puntos en total tendrá esa figura?

En las tareas A2, C2 y D2 se debe interpretar la letra x como un número general. En las tareas B2 y D2 se debe: • Reconocer el patrón que rige cada una de las relaciones que se dan. • Deducir la regla general distinguiendo lo que permanece invariante y lo que varía.


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• Simbolizar la regla general usando el símbolo dado para representar el número general. Actividad 4 Inventa unas cuantas situaciones en las que la letra represente una cantidad variable. Comenta las dificultades de tipo cognitivo que aprecies en la tarea. Señala las diferencias con el caso en el que la letra es una cantidad.

El uso de la variable como relación funcional conlleva reconocer que en ciertas situaciones: • Están involucradas cantidades cuyos valores están relacionados y que esta correspondencia entre dos variables y su carácter relacional se puede presentar en forma verbal, tabular, gráfica y analíticamente. • La variación de una cantidad afecta a la variación de la otra. En el ejemplo 7 se muestran diferentes propuestas. Ejemplo 7 A4. El peso de la mercancía que se compra en el mercado se mide con una báscula. En el puesto de don José, por cada kilogramo de peso, la charola de la báscula se desplaza 4 cm. Encuentra la relación entre el peso de la compra y el desplazamiento de la charola. Si la charola se desplaza 10,5 cm, ¿cuántos kilogramos pesa la mercancía? B4. Considera la expresión 5 – x = y. Si los valores de x varían entre –4 y 5, ¿cuándo alcanza y su valor máximo y mínimo? C4. Dada la siguiente gráfica:

• ¿Qué ocurre con los valores de y cuando los valores de x crecen? • ¿Para qué valores de x los valores de y son positivos, son negativos?

En las tareas A4, B4 y C4 se debe: • Reconocer que las variables involucradas en cada una de las situaciones dadas están en correspondencia. • Determinar los valores de una de las variables cuando se conoce el valor de la otra.


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Por su parte, en las tareas B4 y C4 se debe reconocer la variación conjunta de las dos variables involucradas. En el caso de las gráficas y el uso de las letras como variables, podemos identificar diferentes tipos de demandas que están relacionadas con el proceso de simbolización y lo que significa en cada ámbito. Así, las demandas pueden ser de interpretar, construir o traducir (traslaciones entre los modos de representación). La interpretación se refiere a la acción de dotar de sentido a la gráfica, a una ecuación funcional o a una situación. La interpretación de una gráfica depende en gran medida de lo que ésta representa y por lo tanto puede requerir trasladarse desde una forma de representación a otra (la situación o la ecuación, trasladarse entre modos de representación). Por ejemplo, en la siguiente tarea de 3.º de ESO, (ver ejemplo 8), la interpretación de la gráfica implica trasladarse desde la representación gráfica a la propia situación. En esta tarea la interpretación puede ser local, cuando se centra la atención en un punto, punto a punto (por ejemplo las preguntas 1 y 2), o puede ir de lo local a una perspectiva más global, esto es, la lectura de un intervalo (por ejemplo, las cuestiones 3 y 4), o una perspectiva global de manera general (la cuestión 6) que implica una interpretación global de la gráfica. Por otra parte, una interpretación cualitativa de una gráfica requiere mirar la gráfica entera (o parte de ella) y hacer explícito el significado de la relación entre las dos variables y, en particular, el modelo de covariación (cómo cambia una variable en función del cambio de la otra). Ejemplo 8 El peso de Enrique y Rosa está representado en el siguiente gráfico: Enrique

kg

Rosa 70 60 50 40 30 20 10 5

10

15

20

1. ¿Cuál es el peso de Enrique a los 9 años? ¿Y el de Rosa a los 6? 2. ¿A qué edad pesaba Rosa 20 kg? ¿Y Enrique 50? 3. ¿Cuándo pesaba Enrique más que Rosa? ¿Cuándo pesaba igual? 4. ¿Cuál fue el aumento de peso de Rosa entre los 10 y los 15 años? 5. ¿Cuándo aumentó Rosa más rápidamente de peso?

Años


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Por otra parte, la interpretación cualitativa de las gráficas permite apoyar la idea de que las matemáticas pueden proporcionar instrumentos para ayudar a explicar fenómenos físicos, (ver ejemplo 9). Esta dimensión también es subrayada con el uso de las calculadoras gráficas que permiten recoger multitud de datos de algún fenómeno físico (a través de sensores) que introducen a los estudiantes en el mundo de la modelización (de tabla a gráfica e interpretar la relación entre las variables) entendido como un proceso de simbolización. Ejemplo 9 Elige la gráfica que mejor se ajuste a cada una de las diez situaciones descritas abajo. Algunas gráficas pueden ajustarse a más de una situación. Pon nombre a los ejes y explica tu elección, indicando todas las suposiciones que hagas. 1. Los precios están subiendo ahora más despacio que en cualquier otro momento de los últimos años. 2. Me gusta bastante la leche fría y la leche caliente, pero ¡detesto la leche templada! 3. Cuanto más pequeñas son las cajas, más podemos cargar en la camioneta. 4. Después del concierto hubo un silencio abrumador. Entonces una persona de la audiencia empezó a aplaudir. Gradualmente los que estaban alrededor se le unieron y pronto todo el mundo estaba aplaudiendo y vitoreando. 5. Si las entradas del cine son muy baratas, los dueños perderán dinero. Pero si son demasiado caras, irá poca gente y también perderán dinero. Por lo tanto, un cine debe cobrar un precio moderado para obtener beneficio. En las siguientes situaciones tienes que decidir tú lo que pasa. Explícalo claramente por escrito y elige la mejor gráfica. 6. ¿Cómo depende el precio de una bolsa de patatas de su peso? 7. ¿Cómo varía el diámetro de un globo cuando sale aire lentamente de él? 8. ¿Cómo depende la duración de una carrera de su longitud? 9. ¿Cómo varía la velocidad de una niña en un columpio? 10. ¿Cómo varía la velocidad de una pelota cuando bota?


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Fuente: Mathematical Education (1990).

Finalmente, una actividad clave en los procesos de simbolización la constituyen las traslaciones entre los modos de representación. Muestras de estos procesos de traducción son: • La representación de una situación mediante una ecuación (en el contexto de la resolución de problemas de álgebra) y en el contexto de las gráficas funcionales. • El acto de reconocer la misma función en diferentes modos de representación. • Identificar un cambio específico de una función en una representación y su correspondiente transformación en otra representación. • Construir una representación de una función desde un modo de representación diferente. En particular, los procesos de construir se refieren al acto de generar algo nuevo: construir una gráfica a partir de una ecuación, construir una gráfica a partir de una tabla de datos o desde la descripción de una situación (actividad 5), o construir una ecuación a partir de una gráfica y/o tabla de datos. Actividad 5 Resuelve los siguientes problemas y comenta su resolución teniendo en cuenta las diferentes demandas cognitivas que la resolución de los mismos supone. El coste de una ventana cuadrada depende de su tamaño. El precio del cristal es de 12 euros por dm2, y el marco 24 euros por dm: • ¿Cuánto costará una ventana de 7 dm, de 1 m y de 1,5 m? • Construye una tabla, con los datos anteriores y otros que elijas, que dé el coste según la longitud del lado de la ventana. • Sitúa los valores de la tabla anterior en una gráfica. • Escribe una fórmula que dé el coste conocida la longitud del lado. Fuente: Azcarate y Deulofeu (1990).


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Este tipo de tareas son «aligeradas» en estos momentos por el uso de las calculadoras gráficas, pero permiten moverse hacia una interpretación de una conducta global y de generalización desde una gráfica o desde un número determinado de gráficas que comparten una característica común. Algunos de estos procesos de traducción requieren que los estudiantes presten una atención particular a los ejes, sus escalas y unidades. Este tipo de tarea tiene especial relevancia cuando se usan calculadoras gráficas. Una completa comprensión de las representaciones gráficas implica que las características visuales de la gráfica no cambian cuando se cambian las escalas (actividad 6, por ejemplo, los puntos de corte con los ejes). Actividad 6 Resuelve el siguiente problema y comenta su resolución teniendo en cuenta las diferentes demandas cognitivas que la resolución de los mismos supone. Las cuatro gráficas adjuntas corresponden a una función lineal que ha sido representada en ejes con distintas escalas. Elige la expresión algebraica que le corresponde a cada una de las gráficas. Explica en cada caso el porqué de la elección.

–10

10

20

5

10

5

–5

10

–10

–5

–5

–10

10

20

–20

2) Y = 4x

1) Y = 1/2x

2) Y = 4x

3) Y = 2x

4) Y = 10x

3) Y = 2x

4) Y = 10x

20

10

10

5

2.5

–2.5

10

–10

1) Y = 1/2x

–5

5

5

–20

–10

–10

–5

–10 1) Y = 1/2x

2) Y = 4x

1) Y = 1/2x

2) Y = 4x

3) Y = 2x

4) Y = 10x

3) Y = 2x

4) Y = 10x

Fuente: Leinhardt, Zaslavsky y Stein (1990).


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El uso de los símbolos matemáticos para pensar y comunicar En este apartado vamos a centrarnos en el papel que desempeñan los símbolos matemáticos, considerados como instrumentos, en el proceso de aprendizaje de las matemáticas en la educación secundaria. Para ver los diferentes roles que desempeñan los sistemas de símbolos matemáticos para registrar la actividad matemática de los estudiantes, para comunicar lo que se está haciendo y como instrumento para pensar, usaremos un ejemplo de aula. El uso de los sistemas de símbolos, en estos tres papeles, permite que los estudiantes aprendan a evaluar formas alternativas de representar sus ideas y de poder juzgar la idoneidad de las representaciones usadas por otros (ejemplo 10). Ejemplo 10 Silvia e Inés están en segundo de educación secundaria. Han sido introducidas al lenguaje algebraico y han estado estudiando las expresiones algebraicas, y están empezando a resolver problemas con ecuaciones de primer grado. En esta sesión ya han resuelto sin dificultad los siguientes problemas: P1. La suma de dos números es 55 y uno de ellos es la cuarta parte del otro. Halla los números. P.2. La suma de tres números es 330. El primero es el doble del segundo y el segundo es el triple del tercero. Calcula dichos números.

El siguiente problema que su profesor les ha planteado es: En una clase hay 3/7 de chicos y las chicas son 16. ¿Cuántos chicos hay en la clase? Después de leer el problema se genera la siguiente interacción: INÉS: —Pues entonces, es… tres séptimos de chicos. Entonces, más, cuatro partido siete es igual a dieciséis más x PROFESOR: —¿Por qué? INÉS: —Porque no sabes cuantos chicos hay. PROFESOR: —A ver, pues escríbelo.

3 4 + = 16 + x 7 7 SILVIA: —[leyendo] Tres partido siete más cuatro partido siete… INÉS: —Es igual a dieciséis x. SILVIA: —No, más x. INÉS: —Bueno, ahora tenemos que hacer… SILVIA: —Siete partido siete… INÉS: —No, el mínimo común múltiplo son 14... [Escribiendo y repitiendo en voz alta]

7 ⎛ 3⎞ 4 + 7 ⎛ ⎞ = 112 + 7 x 7 ⎝ 7⎠ 7 ⎝ 7⎠ Y luego siguen escribiendo: 3 + 4 = 112 + 7 x ; − 7 x = 112 − 7 INÉS: —Sería 112, 105. Son menos 1. … menos quince. ¿Menos quince? (¡!)

−7 x = 105; x =

105 ; x = −15 −7

SILVIA: —¿Y cómo puede haber menos quince chicos en la clase?


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En esta situación Silvia e Inés han representado «En una clase hay 3/7 partes de chicos» mediante el símbolo 3/7, sin registrar nada más. Usando la idea parte-todo de fracción, han sido capaces de representar la unidad (sea ésta la que sea) como 3/7 + 4/7, asumiendo que la unidad está formada por 7/7. Así, de manera legítima, el «todo» formado por la clase entera es 16 (chicas) más x (chicos), representando la cantidad desconocida (número de chicos) por x. De esta manera, el símbolo 3/7 no lleva necesariamente el significado de «3/7 de», de operador actuando sobre una cantidad. A partir de ese momento, Silvia e Inés han usado los símbolos para pensar sobre la situación. Es decir, la manera en la que Silvia e Inés están usando los símbolos indica que están forzando el significado que tienen de 3/7 al usarlo en ese momento del símbolo para comprender la situación planteada. En la situación descrita, el significado que Inés y Silvia le asignan a 3/7 guía su pensamiento y determina la manera en la que piensan sobre la traducción de la situación a la expresión algebraica, pero al mismo tiempo este tipo de situaciones pueden ser usadas para desarrollar significados adecuados para los símbolos. Una manera de hacer esto es intentar llevar a los estudiantes a usar los propios símbolos para pensar sobre cómo y por qué las cosas funcionan. Por ejemplo, aprovechando la situación de asombro de Silvia e Inés cuando su manipulación de los símbolos genera como resultado algo en contra del sentido de la situación. Posiblemente, ampliar el significado del símbolo 3/7 para incorporar la idea de operador, «3/7 de», que conlleva la necesidad de hacer visible la unidad (el todo sobre el que actúa), deba constituirse como un objetivo para el aprendizaje. De esta manera, la construcción de significado más amplio para 3/7 posiblemente esté vinculada a tener que resolver este tipo de situaciones. Desde el punto de vista del aprendizaje, un objetivo explícito debe ser que los estudiantes construyan significado para los símbolos, y esto debe ser el resultado de usar los símbolos en la resolución de problemas. Por ejemplo, la situación descrita antes debe ser vista como un contexto de aprendizaje para ampliar el significado dado a «3/7». De esta manera, la relación entre construir el significado de los símbolos y usarlos en la resolución de problemas son dos caras de la misma moneda que caracterizan el aprendizaje de las matemáticas. Actividad 7 Haz un breve comentario de las ideas que te sugiere la lectura del ejemplo de Silvia e Inés.


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Conjeturar, argumentar y procesos de probar en educación secundaria Existe un creciente reconocimiento del papel que deberían desempeñar los contextos de conjeturar, argumentar y probar para el aprendizaje de las matemáticas (NCTM, 2000). Este reconocimiento se apoya en una mejor comprensión de cómo los estudiantes de educación secundaria dotan de sentido a las ideas y procesos matemáticos (Ortega e Ibáñez, 2001). Así, aprender matemáticas se vincula al desarrollo de la capacidad de razonar matemáticamente y no sólo a la memorización de procedimientos y aplicación de reglas. Recientemente, el significado dado al razonamiento matemático, como la realización de inferencias –generando conjeturas– y probando las conjeturas, se complementa al considerar el razonamiento matemático como una actividad de grupo en la que los estudiantes interactúan entre ellos para resolver problemas –énfasis sobre la actividad de probar en contextos sociales– (García y Llinares, 2001). Desde esta perspectiva, la función de verificar que algo es verdad, asignada a la demostración matemática, se complementa con otras funciones como explicar y comunicar, así como descubrir, sistematizar, exploración de definiciones, etc. El desarrollo de la capacidad de los estudiantes para identificar estructuras en las situaciones –generar conjeturas– puede vincularse a la realización de problemas de generalización. En estos problemas el estudiante debe identificar, analizar, y describir patrones y producir generalizaciones apropiadas. Al realizar estos procesos cognitivos, los estudiantes detectan similitudes y diferencias, las simbolizan y conjeturan y argumentan sobre las relaciones numéricas. De esta manera, los estudiantes deberían tener la oportunidad de examinar patrones y estructuras; formular generalizaciones y conjeturas acerca de las regularidades observadas; evaluar las conjeturas realizadas; y construir y evaluar argumentos matemáticos. Estas actividades pueden ser ejemplificadas en el contexto de las sucesiones de números naturales mediante tareas de generalización de patrones en las que es posible desarrollar el razonamiento inductivo como un proceso que permite obtener información desde la organización de casos particulares. Sabemos que los estudiantes de educación secundaria en un primer momento suelen apoyarse en casos particulares y generar estrategias recursivas; luego, la organización de la información a partir de los casos particulares les permite iniciar la búsqueda de un patrón. La conjetura generada en este proceso puede ser posteriormente verificada (Roig y Llinares, 2008; Cañadas, Castro y Castro, 2008). En el problema que se presenta en el ejemplo 11 de la página siguiente, la dificultad de algunos estudiantes en despegarse de las estrategias recursivas inicialmente seguidas, se pone de manifiesto en la siguiente respuesta cuando el estudiante realiza las primeras tareas siguiendo una estrategia recursiva, pero continúa apoyándose en ella para intentar calcular los términos 25º y 50º.


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Ejemplo 11. Problema: la sucesión En un documento antiguo se ha encontrado la siguiente representación:

• Continúa la sucesión gráfica hasta el término 5º. • Expresa con números los cinco primero términos de esta sucesión. • ¿Cuál es el número que está en la posición 10ª? • ¿Cuál es el número que está en la posición 25ª? ¿Y en la 50ª? • ¿Cuál es el término que ocupa el lugar n? • Resuélvelo y explica cómo lo has hecho.

Este tipo de estudiantes necesitan listar todos los términos de la sucesión hasta el 50º, pero tienen dificultades en identificar algún patrón. Puedes ver la estrategia que utiliza un alumno para solucionar el problema.

Al pedirles que encuentren un término alejado (por ejemplo, el de la posición 1000, puede darse el diálogo entre la profesora (I) y un alumno (E34): I: —¿Qué número ocuparía la posición 1000? ¿Sabrías cómo hacerlo? E34: —Tendría que ir poniendo de dos en dos, ¿no? I: —Irías poniendo… irías escribiendo. E34: —Claro.


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Un elemento diferenciador se da cuando el estudiante, a partir de casos particulares, sí es capaz de abstraer el patrón y usarlo para calcular los nuevos términos. Este salto cualitativo se convierte en evidencias del desarrollo de la generalización. Por ejemplo, el estudiante E34 sigue una estrategia recursiva para calcular los primeros términos, pero es capaz de obtener una regularidad que inicialmente desconocía: E34: —Al principio estaba sumando […] 3, 4, 5… 11. Éste es el quinto [término], ¿no? I: —Si, este es el quinto [término] E34: —El sexto [término], el sexto sería así, el séptimo [término será] así… I: —Ajá. Añadiendo dos. E34: — El octavo [término será] así, el noveno [término será] así y el [décimo]... así. O sea, que he sumado 5 veces 2.

La nueva regularidad «sumar 5 veces 2» para calcular el término 10º se aplica para el cálculo de otros términos. E34 pasa de sumar recursivamente 2, a multiplicar por 2. En este caso la abstracción viene motivada por el intento de abreviar la estrategia recursiva inicial.

Estos ejemplos muestran elementos que los podemos considerar partes de un razonamiento matemático como es: • Formular una conjetura plausible. • Comprobarla. • Presentar el razonamiento seguido para que pueda ser evaluado por los demás. Al incorporar una perspectiva social para caracterizar los procesos de argumentar y probar como componentes del aprendizaje de las matemáticas, es posible generar implicaciones en la forma que debe adoptar una enseñanza que enfatiza este tipo de razonamiento. Desde esta perspectiva, explicar y justificar son aspectos clave de la actividad matemática de los estudiantes para el desarrollo del razonamiento como componente del aprendizaje. Sin embargo, los estudiantes tienen que aprender a dar explicaciones y justificaciones matemáticas. Estos procesos que forman parte del razonamiento son transversales a los diferentes dominios temáticos del currículo. Así, por ejemplo, en el ámbito de la geometría, de los triángulos y sus elementos notables, podemos encontrar la siguiente descripción de por qué el proceso de construcción de la bisectriz de un ángulo produce realmente una recta que divide al ángulo en dos partes iguales (véase ejemplo 12 en la página siguiente).


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Ejemplo 12 Traza la bisectriz de un ángulo utilizando regla y compás.

B B

B Q

O

Q

P

A

Traza un arco cualquiera PQ con centro en O.

O

M

Q P

A

Con el mismo radio, dibuja un arco con centro en Q.

O

P

A

Con el mismo radio, dibuja un arco con centro en P. El punto de intersección es M y OM es la bisectriz del ángulo dado.

Los triángulos OMP y OMQ son iguales por tener los tres lados iguales. Por tanto, los ángulos AOM y BOM son iguales y OM es la bisectriz.

Los significados de este proceso de construcción se apoyan en identificar que los pasos dados permiten construir dos triángulos congruentes al tener los tres lados iguales. Sin embargo, las situaciones del tipo «si… entonces…», que caracterizan el inicio de las cadenas lógicas en los razonamientos deductivos, no son fácilmente reconocidas como relevantes por los estudiantes. En este sentido, el uso de este tipo de situaciones permite crear contextos en el aula en los que se potencian las funciones explicativas y comunicativas de la prueba. Esto es así porque a priori el proceso de construcción de la bisectriz de un ángulo no conlleva necesariamente el significado de que el objeto geométrico construido de esa forma divida al ángulo en dos partes iguales. En particular, las tareas de construcción pueden fomentar el desarrollo de razonamiento matemático en el momento que el proceso de construcción realizado permite explicitar a los estudiantes «el conocimiento geométrico» que lo justifica. Desde ese punto de vista, el significado de la «construcción geométrica» emerge desde la forma en que se realiza la actividad de construir, y la actividad de discusión matemática relacionada. El profesor puede contribuir a la negociación continua de lo que es aceptable, como una explicación en el aula de matemáticas, cuando se describen las acciones sobre los «objetos matemáticos», como en este caso con el uso del compás para visualizar y determinar puntos que equidistan y, por tanto, determinar segmentos de la misma longitud (los lados de los triángulos construidos). Sin embargo, la generación y aceptación de los estudiantes de determinadas cadenas lógicas que constituyen las pruebas matemáticas dependen del conocimiento de los estudiantes de los objetos matemáticos que intervienen, es decir, de la comprensión conceptual de las ideas matemáticas que articulan la prueba.


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Considerar las acciones de probar como componentes del proceso de aprendizaje matemático no es una tarea fácil. Además de la propia dificultad intrínseca a la actividad de probar para los estudiantes de secundaria en sus diferentes aspectos de realizar conjeturas y probarlas, y generar o seguir cadenas deductivas lógicas, aparece la cuestión de su relación con el razonamiento cotidiano o la intuición. Debido a que el razonamiento cotidiano y el razonamiento matemático pueden diferir, es comprensible que los métodos formales en las actividades de probar puedan llegar a ser desafiantes para los estudiantes. En este caso, situar a los estudiantes ante afirmaciones que deberían ser probadas pero que son intuitivas, puede generar conflictos. De ahí que la elección de las situaciones para probar debe tener cierta demanda cognitiva (desafío) para los estudiantes y, al mismo tiempo, que el foco debería estar colocado inicialmente sobre los procesos de razonamiento y no tanto sobre la forma escrita de la prueba (que puede dejarse para momentos posteriores). Estas situaciones pueden ayudar a los estudiantes a ver «la necesidad de la prueba», pero generar en el aula este tipo de situaciones no es fácil. En este contexto, el uso de software de geometría dinámica o programas de hojas Excel puede ayudar a los estudiantes a plantear conjeturas que deben ser probadas. Sin embargo, algunas veces, el uso de estos instrumentos no necesariamente les ayuda a distinguir las evidencias empíricas de las demostraciones. Actividad 8 Lee con atención la situación descrita en las siguientes líneas y responde a las preguntas del final de la descripción. «El caso de Sara • La clase: 3.º ESO (14-15 años). • El problema “Traslación de situación a gráfica (actividad: construir)”. La tarea presentada por Sara “Vais a dibujar las gráficas para indicar la altura que alcanza con relación al volumen”.

Vaso 1

Vaso 2

Vaso 3

La situación de la clase La situación se inicia con los alumnos trabajando en grupo la tarea de las vasijas y la profesora, Sara, yendo de grupo en grupo. Después de unos momentos iniciales, Sara se encuentra ante un grupo de alumnos que tiene dibujada en unos ejes una línea recta. Sara les indica que pueden dibujar el resto de las gráficas en los mismos ejes. En la interacción, Sara intenta, en primer lugar,


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establecer el significado de los puntos de la recta a través de preguntas puntuales (uno de los significados asociados a la noción de función lineal). Para ello, Sara pide a sus alumnos que justifiquen y expliquen sus respuestas. Un alumno dice que la gráfica está en función de la forma de la vasija. En segundo lugar, Sara se centra en la búsqueda inductiva de la regla pensando desde las gráficas. En este sentido, Sara (S) usa las gráficas como el medio para hacer visible a sus alumnos (A) el significado de la noción de gradiente (pendiente de una recta) (velocidad de cambio de la altura del líquido).

S: —¿Por qué son rectas? A(1): —...[porque] no tienen ninguna forma [refiriéndose a las vasijas]. S: —¿Qué estamos relacionando en los ejes? A(2): —[varios] La altura y el volumen. S: —[Señalando un punto en una gráfica dibujada por un alumno] ¿Este punto qué significa? A(¿): —Por ejemplo, tres vasos tendría esta altura. [repite con otros puntos en la recta (gráfica)] A(1): —... que hemos metido 1 vaso y tiene medio cm de altura. Sara: —¿Y el 2.º vaso? A(2): —1 cm. S: —¿Y 3 vasos? A(2): —1 cm y medio S: —¿Y 20 vasos? A: —10 cm. S: —¿Por qué? A(3): —...porque al meter 20 vasos... cada vaso es medio cm. S: —¿Y esto se produciría en una vasija que no tuviera esta forma? [dibuja una vasija con bordes curvos]. A(1): —No. A(2): —No, porque si echas un vaso, por aquí [señalando la parte estrecha] tienen menos volumen... [y señalando el otro, el alumno indica que siempre va subiendo lo mismo]. S: —[Sigue con la comparación de la gráfica y la forma de la vasija, señalando el dibujo de una vasija de bordes rectos, pero más estrecha] ¿Subiría lo mismo? A(2): —No, subiría más. S: —¿Podéis encontrar alguna relación en la gráfica entre el número de vasos que metemos y la altura? Pensad esto. Sara deja planteada la cuestión de la generalización antes de cambiar de grupo. La primera cuestión planteada por Sara va dirigida al significado global de la relación vista en el contexto gráfico. La recta, como gráfica de la relación, se ve por los alumnos como una consecuencia de la naturaleza de la relación funcional que subyace en la situación planteada


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(vasijas de forma cilíndrica). La gráfica de la relación, una recta, y la posibilidad de mostrar varias relaciones lineales vinculadas a la misma situación pero variando la anchura de las vasijas, es utilizada por Sara en este intercambio como un instrumento para mostrar el significado de la pendiente de la recta (el significado geométrico de «a» en la expresión y = ax). La intervención del alumno en la línea 6, como respuesta a la cuestión planteada por Sara, nos indica que los alumnos han utilizado supuestos concretos para pensar «numéricamente» el significado de pendiente. La intervención de Sara en la línea 15 tiene como objetivo que los alumnos expliciten verbalmente la relación numérica que han supuesto en la situación que están describiendo. En esta situación, la gráfica ha permitido mostrar la linealidad global de la relación (haciéndola visible), y ha sido utilizada para inducir una relación numérica (con lo que la gráfica se hace invisible como medio de interacción). El uso por parte de los alumnos de una primera relación entre el número de vasos y la altura del líquido en una vasija particular, da lugar a la primera de las generalizaciones pretendidas (y =1/2 x), lo que permite a Sara plantear con la cuestión de la línea 17 el inicio de la segunda generalización (la del significado del parámetro «a» en la expresión general y = ax) apoyada sobre la noción de linealidad. Las cuestiones planteadas introducen la comparación entre la gráfica y la forma de la vasija. Lo que importa aquí subrayar es que esta segunda generalización se hace utilizando el modo gráfico como instrumento, a través del cual se gestiona el proceso de construcción de la comprensión de la expresión y = ax por parte de los estudiantes, centrando la atención en la velocidad de crecimiento de la altura del líquido. Finalmente, la intervención de Sara en las líneas 17 y 20 puede ser entendida como el significado instrumental que tienen las gráficas en estos momentos para el objetivo instruccional: intentar introducir la gráfica en la interacción presentándola como un instrumento para resolver la cuestión plantada. Por otra parte, la intervención de los alumnos puede ser entendida como que están utilizando el modo gráfico como un medio para poder hablar de otra cosa, «la velocidad de crecimiento», es decir, la noción de pendiente de una recta. En este sentido, podemos considerar que en esta interacción el modo gráfico es transparente para el objetivo instruccional del profesor de construir el significado de la pendiente de una recta. De esta manera, podemos entender que el modo de representación gráfico desempeña una función mediadora entre la noción matemática (pendiente de una función lineal) y los dominios familiares a los alumnos (la situación de llenado de vasijas).»

Realiza las siguientes tareas: • Identifica los rasgos característicos de la acción de la profesora para potenciar el significado gráfico de la pendiente de una recta en y = mx + b. - ¿Cuáles son las dificultades de los estudiantes que la profesora intenta superar? - ¿En qué momento? - ¿De qué manera? • Identifica los rasgos característicos de la acción de la profesora para ayudar a los estudiantes a construir e interpretar gráficas que representan situaciones.


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7. INTERACCIÓN COMUNICATIVA Y LENGUAJE EN LA CLASE DE MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CAPÍTULO • • • • •

De la información a la comunicación La comunicación en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas La interacción con y entre estudiantes como base de la acción didáctica El lenguaje matemático como mediador en la comunicación El lenguaje geométrico y los gráficos

Jesús María Goñi Universidad del País Vasco Nuria Planas Universidad de Barcelona Este capítulo consta de dos partes principales. La primera parte está dedicada a la reflexión sobre cuestiones de interacción comunicativa en la clase de Matemáticas, mientras que la segunda trata algunas de las relaciones más significativas entre aprendizaje matemático y tipos de lenguaje usados en el aula. Ambos temas están muy conectados entre ellos puesto que, por un lado, para que haya una buena interacción entre participantes se tiene que aprender a usar adecuadamente tanto los lenguajes naturales como los matemáticos y, por otro lado, para el uso adecuado de los distintos lenguajes tiene que haberse creado un clima propicio de comunicación en el aula.

De la información a la comunicación La educación matemática, como toda la educación, se basa en la comunicación. (Callejo, Valls y Llinares, 2007), Ésta es una afirmación capital y a su explicación y justificación


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destinamos este primer apartado. Suele afirmarse que la comunicación es un proceso interactivo entre sujetos que pretenden compartir significados. Por eso, comunicación es más que información. La información puede ser unidireccional, aunque siempre requiera algún tipo de intercambio. Tradicionalmente se habla de emisor y receptor para indicar de dónde parte y a dónde llega esa información, como puede verse en el cuadro 1 donde representamos cómo un docente «explica» a un estudiante qué es un triángulo por medio de una definición. Cuadro 1. Información unidireccional Emisor

Un triángulo es un polígono de tres lados

Receptor

Información-esquema: intercambio entre emisor y receptor

Por su parte, la comunicación exige interacción, es decir, flujo de información en dos o más direcciones, tal como hemos simplificado en el cuadro 2. Cuadro 2. Interacción en la comunicación de la información Emisor

Un triángulo es un polígono de tres lados

Receptor

Comunicación-esquema: intercambio entre emisor y receptor

¿Entonces por qué no se llama trilátero?

Supongamos que un estudiante preguntara a su profesor por el origen de la palabra triángulo, mostrando extrañeza por el hecho de que el nombre del triángulo haga relación al número de ángulos y no al de lados. Estaríamos en ese caso, o en cualquier otro en el que se pregunte al docente sobre algo que haya explicado o simplemente descrito, en una situación de intercambio de información donde se han invertido las funciones de emisor y receptor. A procesos de este tipo les llamamos interactivos. Es decir, los procesos en los que la información fluye en dos o más sentidos. Los contenidos de la información, si se digitalizan, se pueden medir en unidades denominadas byte y sus múltiplos; no obstante, para medir la comunicación todavía no se ha conseguido ninguna unidad de medida, por la gran complejidad de las interacciones que conlleva y porque no sólo tiene que ver con contenidos. La comunicación no busca únicamente compartir información, es decir, intercambiar bytes, inputs, estímulos, o como quiera que le llamemos, va más allá. La TV puede citarse como el caso de una tecnología que ha propiciado el aumento y extensión de la información, pero que tiene limitado poder comunicativo por su escaso nivel de interactividad con el televidente. La comunicación busca algo más, lo que busca es sobre todo compartir los significados del intercambio de información para conseguir dar sentido a lo que


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hacemos. Porque comprender, objetivo final de la comunicación (o si se prefiere comprenderse) no es grabar información sino acceder a su significado. Es, desde este punto de vista, algo más profundo y significativo que el mero intercambio de estímulos. La comunicación implica, entre otros aspectos, complicidad entre las partes. Tienen que cumplirse como mínimo cuatro principios para que esta complicidad se mantenga: • Principio de la calidad, según el cual la información que se emite debe ser verdadera y fiable. • Principio de la cantidad, según el cual no debe proporcionarse ni demasiada información ni demasiado poca. • Principio de la relación, según el cual las respuestas deben ser ajustadas a las preguntas que se pretenden responder. • Principio de la modalidad, según el cual deben usarse varios recursos para conseguir claridad, orden y brevedad. Decíamos que la comunicación no sólo tiene que ver con los contenidos de la interacción. Conviene no olvidar la relevancia del contexto en el que se da la acción comunicativa para asignar significado a la información que se recibe. El sentido de la acción comunicativa es siempre contextual y con esto queremos decir que no puede normalmente accederse a su significado por completo sin tener en cuenta el contexto (medio social, cultural, geográfico, etc.) en el que se materializa. Supongamos una vez más que el estudiante del cuadro 1 ha leído la información sobre la noción de triángulo en un libro, y que está en casa. Asaltado por la misma duda le pregunta a su madre por el «trilátero». Supongamos que su madre sabe de esto y le contesta. Es razonable pensar que mientras no ponga en duda lo que le contestó el docente puede suceder que discuta con su madre y cuestione su explicación. Para el estudiante la respuesta del docente está cargada con un halo de autoridad que probablemente no otorgará a lo que diga su madre sobre matemáticas. Lo que ha cambiado es el contexto en el que se da el acto comunicativo y con este cambio la comunicación se altera sustancialmente. Hay muchos y variados ejemplos sobre la influencia del contexto en los procesos comunicativos. Cuando el contexto es la escuela, el acto comunicativo queda fuertemente caracterizado por las características de la institución y las funciones sociales que cumple. En este caso, las conversaciones no son sobre hacer amigos o comprar y vender, sino sobre aprender y enseñar. De ahí que los actos comunicativos más simples –en el sentido de breves–, incluyan aspectos evaluativos, valorativos y, en general, de establecimiento de diferencias entre los interlocutores. Es interesante prestar atención a las dos situaciones que se describen en el ejemplo 1. En la situación donde alguien pide la hora a María, sería extraño pensar que una persona que no sea profesor pueda responder con un enfático «¡Muy bien!»; el primer diálogo parece propio


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del contexto de clase, donde la pregunta del profesor no busca obtener información sobre la hora sino más bien confirmar que María entiende bien lo que dice su reloj. En la situación donde alguien hace notar a otra persona que llega tarde, si ese alguien fuera el profesor, se estuviera dentro de un aula y quien llega tarde fuera un estudiante, la respuesta «Sí, lo sé» resultaría inapropiada e incluso provocativa; el significado, sin embargo, no sería el mismo si el diálogo fuera entre amigos. Hay, por tanto, un primer contexto de tipo institucional que condiciona los significados del acto comunicativo dentro de la escuela y que configura en parte cómo se van a interpretar otros contextos, tales como el lingüístico con los idiomas representados en el aula, o el social con las relaciones entre familias y escuela. Ejemplo 1 P1: María, ¿qué hora es? P2: Las tres y media. P1: Gracias. P1: Llegas muy tarde. P2: He ido al médico. P1: María, ¿qué hora es? P2: Las tres y media. P1: ¡Muy bien, María! P1: Llegas muy tarde. P2: Sí, lo sé.

Para terminar con la presentación y definición de los términos que vamos a ir utilizando en este capítulo, introducimos el concepto de proceso comunicativo. Hablamos de proceso comunicativo en relación con la sucesión en el tiempo de una serie de actos comunicativos. En el epígrafe anterior hemos descrito qué es un acto comunicativo, pero la enseñanza-aprendizaje es un proceso, es decir una serie de actos que se suceden en el tiempo; en consecuencia, debemos entender que la comunicación con fines educativos es un proceso orientado a finalidades y que se organiza en el tiempo, es decir, se organiza en la forma de un proceso comunicativo. Al hablar del currículo y su desarrollo es común utilizar expresiones como estrategias docentes, tareas, actividades, etc., para mencionar cuestiones similares a las que aquí estamos citando. Para no dispersarnos conviene clarificar que lo que llamamos proceso comunicativo desde las teorías de la comunicación puede asimilarse a las estrategias educativas, mientras que el acto comunicativo se refiere a las actividades o tareas de clase. Son aspectos similares aunque no iguales, porque están mirados desde ángulos distintos. En resumen, hablamos de comunicación para referirnos a los procesos de intercambio de información entre sujetos con el objeto de acceder al significado de la información intercambiada.


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Llamamos acto comunicativo a la situación en la que se establece la comunicación, siendo la información, la interactividad y el contexto los elementos básicos. Y, por último, llamamos proceso comunicativo a la sucesión ordenada en el tiempo de actos comunicativos con una o varias finalidades. Actividad 1 Describe un acto comunicativo relativo a la enseñanza de las matemáticas e identifica los elementos básicos. Ahora cambia el contexto e indica de qué manera afecta ese cambio a la comunicación que se establece.

Actividad 2 Organiza y ordena una serie de actos comunicativos formando un proceso comunicativo. Observa que cambiar el orden en el que se desarrollan altera el proceso.

Actividad 3 Recuerda y describe algún acto comunicativo reciente en el que hayas participado, donde no se hayan respetado alguno de los principios de calidad, cantidad, relación y/o modalidad.

La comunicación en la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas Cuando docentes y estudiantes, o estudiantes entre sí, interactúan en un medio social o contexto como un aula, e intercambian información relativa a tópicos de las matemáticas, decimos que están en clase de Matemáticas (Planas e Iranzo, 2009). Lo que hace que esa situación sea reconocida como clase de Matemáticas es que la información que se intercambia se piensa como perteneciente a tópicos curriculares de las Matemáticas: números, figuras geométricas, funciones, límites, etc. Por eso despistan aquellas situaciones multidisciplinarias en las que los tópicos que se tratan provienen de diversas materias y cuesta saber en qué clase estamos. De todos modos, a pesar de que los tópicos curriculares son determinantes para identificar a qué materia pertenece una clase, si queremos saber qué se puede enseñar y aprender, y cómo hacerlo, tenemos que caracterizar la clase de Matemáticas de formas más complejas, donde además de tener en cuenta la materia se consideren aspectos comunicativos.


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El hecho de no tener lo bastante en cuenta la dimensión comunicativa de la clase de Matemáticas, dificulta la comprensión sobre qué sucede en el aula y sobre cómo se construyen los aprendizajes. Ni la comprensión de la clase de Matemáticas puede reducirse al conocimiento de sus contenidos, ni la comprensión del proceso comunicativo al seguimiento de la transmisión de estos contenidos. Desde luego que no hay clase de Matemáticas si la información objeto del acto comunicativo no pertenece a esta ciencia; sin embargo, para que exista un proceso de enseñanza-aprendizaje de Matemáticas es condición necesaria que el tópico que se trate pertenezca a esta ciencia y que, a su vez, se den los elementos para que tenga lugar el proceso comunicativo, que está en la base misma de cualquier proceso de enseñanza-aprendizaje. Los procesos comunicativos, como son procesos interactivos, pueden verse desde, por lo menos, dos perspectivas simplificadas: la que corresponde al docente y la que corresponde al estudiante. Cuando miramos el proceso desde el punto de vista del docente, ponemos el énfasis en la enseñanza. Cuando lo miramos desde el punto de vista del estudiante, ponemos el énfasis en el aprendizaje. Como sucede en geometría con las perspectivas para definir bien un objeto, suele hacer falta más de una vista. Por supuesto, unas y otras vistas o perspectivas están muy relacionadas, y cualquier intento de presentarlas por separado debe entenderse como una manera de centrar la atención en aspectos distintos pero complementarios de los procesos comunicativos. Veamos la manera de aplicar algunas de estas ideas a un proceso comunicativo que puede darse en un aula. Para hacerlo nos serviremos de una tabla de dos columnas con la idea de que puedan observarse a la vez, en la misma fila, el mismo acto comunicativo visto desde la doble perspectiva citada. El cuadro 3 hace referencia a una clase en un curso de 3.º de la educación secundaria obligatoria (ESO) con un docente y un grupo de estudiantes que trabajan la resolución de ecuaciones de primer grado con coeficientes racionales. Cuadro 3. Ejemplo de proceso de enseñanza-aprendizaje

PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Perspectiva del docente: enseñanza

Perspectiva del estudiante: aprendizaje

• Explicar el tópico y los procedimientos y contestar a preguntas de los estudiantes. Hacer hincapié en las propiedades de las operaciones y detallar, con ejemplos, el algoritmo que hay que seguir. • Proponer ejercicios de aplicación. Pedir el ajuste a procedimientos indicados sin exigir que se citen las propiedades aplicadas. • Corregir en gran grupo los ejercicios de los estudiantes haciendo hincapié en la precisión de los resultados obtenidos.

• Escuchar la explicación del profesor y preguntar lo que no se entiende. • Realizar los ejercicios propuestos por el profesor de manera individual, parte en clase y parte como trabajo fuera del aula. • Corregir de manera individual el trabajo realizado y preguntar aquello que no se ha sabido hacer.


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Esta tabla ayuda a analizar el proceso comunicativo que se da en el aula desde una doble perspectiva. Por ahora, lo único que queremos señalar es que es ingenuo pensar que indicar el tópico matemático del que estamos tratando (por ejemplo, resolución de ecuaciones de primer grado) es suficiente para saber qué se aprende, qué se enseña y cómo se hace. Para poder entender qué se aprende tenemos que considerar además de los contenidos de la enseñanza, las formas de interacción en torno a estos contenidos. En general, para poder entender y actuar responsablemente en la práctica educativa, es imprescindible tener en cuenta todos los elementos del proceso comunicativo y no solamente el tipo de información que se intercambia. Pero esto es algo que analizaremos más adelante. Por el momento, es importante darse cuenta de hasta qué punto en la lectura del proceso de enseñanza-aprendizaje del cuadro 3 estamos asumiendo que se cumplen los principios básicos para que se mantenga la comunicación, que han sido introducidos en el apartado anterior. En primer lugar, habremos asumido que el profesor del ejemplo tiene un buen conocimiento de los procesos de resolución de ecuaciones de primer grado con coeficientes racionales y que en ningún caso explicará procedimientos erróneos a los estudiantes (principio de la calidad). En segundo lugar, habremos asumido que la enseñanza de estos contenidos curriculares se habrá organizado de forma dosificada, de modo que se facilite un proceso gradual de adquisición, sin sobrecarga ni aburrimiento (principio de la cantidad). En tercer lugar, es probable que hayamos asumido que las respuestas del profesor a las preguntas de estudiantes serán pertinentes y, por tanto, servirán para esclarecer dudas (principio de la relación). Por último, habremos asumido que el profesor explicará los procedimientos por orden, que la secuencia con los ejercicios de aplicación seguirá criterios de dificultad o bien que se irán presentando las propiedades correspondientes de forma justificada (principio de la modalidad). Ninguno de estos supuestos tiene que ver con el contenido matemático de enseñanza y, sin embargo, si estas condiciones no se cumplen, puede no llegarse a aprender a resolver ecuaciones de primer grado. Una cuestión clave que todo profesor de Matemáticas debe tener clara es que el cumplimiento de estos principios no es fácil. Actividad 4 Introduce alguna modificación en el proceso de interacción descrito en el cuadro 1 (p. 168), por ejemplo, que todos los ejercicios se hacen en clase. Indica cómo puede cambiar la interacción entre docentes y estudiantes con tus modificaciones.

Actividad 5 Imagina un proceso comunicativo en una clase en torno a un contenido matemático y analízalo desde la doble perspectiva de la enseñanza-aprendizaje utilizando una tabla similar a la de este apartado. Repite la tarea con diferentes procesos comunicativos y contenidos.


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Actividad 6 Piensa por qué motivos un profesor podría estar transgrediendo alguno de los principios de calidad, cantidad, relación o modalidad durante una sesión de clase dedicada al trabajo de la resolución de ecuaciones de primer grado.

Acciones e intenciones en la enseñanza-aprendizaje Para entender mejor algunos de los aspectos comunicativos que intervienen en la configuración de los procesos de enseñanza-aprendizaje y que dificultan o facilitan el cumplimiento de los principios de calidad, cantidad, relación y modalidad, nos vamos a referir al concepto clave de acción. En una primera aproximación, podemos definir toda acción como un comportamiento cargado de intención. El comportamiento ha sido considerado por las escuelas de psicología como objeto de estudio por tener un carácter empírico del que carecen otros objetos que, a su vez, se reclamaban como fundamentos de esta ciencia: alma, pensamiento, espíritu, etc. De ahí el conductismo como corriente que domina la psicología de corte científico durante la primera mitad del siglo XX y el asociacionismo como teoría que explica los procesos de aprendizaje. El declive de estas corrientes y el auge de las teorías cognitivas, si bien han servido para reorientar la forma de entender el aprendizaje, no parece haber proporcionado una teoría alternativa con capacidad para comprender en toda su profundidad los procesos de enseñanza-aprendizaje. Reconociendo y valorando las inestimables aportaciones que ha hecho la psicología a la comprensión y mejora de los procesos de enseñanza-aprendizaje, algunas veces sentimos que necesitamos algo más. La sociología, a través de lo que Habermas (1981) afirma que «una teoría de la sociedad planteada en términos de teoría de la comunicación», puede completar otras visiones y resultar en muchos aspectos esclarecedora. En su libro Teoría de la acción comunicativa, este autor dice que: «Sólo si se permite el “sentido” como concepto sociológico básico podemos distinguir entre acción y comportamiento» (Habermas, 1984, p. 20). Esto significa que los comportamientos se constatan (cuentan, miden…), mientras que las acciones se comprenden adjudicándoles un sentido y, sobre todo, una intención. Desde esta aproximación sociológica, la práctica educativa es un acto social y que debe ser entendido para encontrar su intención. La interpretación de la práctica educativa no puede reducirse únicamente a la psicología porque es un acto social y los actores del mismo no pueden entenderlo, ni entenderse, fuera de las pautas culturales que permiten interpretaciones intersubjetivas. Es ahí donde las explicaciones que nos aporta la psicología resultan insuficientes y necesitamos de una teoría que tenga en cuenta el contexto social en el que se produce el hecho educativo y las pautas culturales que ofrecen una comprensión compartida (entre docentes y estudiantes).


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Cuando docentes y estudiantes se afanan en el aula en enseñar y aprender, están desarrollando un acto social que, según la teoría comunicativa, sólo puede entenderse si ambos son capaces de compartir su sentido y reconocerse mutuamente en las intenciones y expectativas depositadas en la interacción. El propio Habermas (1981) dice en el libro Acción comunicativa I, en la página 124: Finalmente, el concepto de acción comunicativa se refiere a la interacción de al menos dos sujetos capaces de lenguaje y acción que entablan (ya sea con medios verbales o extraverbales) una relación interpersonal. Los actores buscan entenderse sobre una situación de acción para poder así coordinar de común acuerdo sus planes de acción y con ello sus acciones. El concepto aquí central, el de interpretación se refiere primordialmente a la negociación de definiciones de la situación susceptibles de consenso. En este modelo de acción el lenguaje ocupa, como veremos un puesto prominente.

Según esta teoría, las cosas suceden más o menos así. El docente actúa promovido por una intención que se ajusta a parámetros aceptables por el medio social (escolar, profesional, institucional…), y los estudiantes reciben la acción y la interpretan buscando el sentido de lo que se les quiere decir; esta interpretación es subjetiva e individual y depende del propio sujeto y de su mundo interior. Los estudiantes reaccionan actuando con intenciones que deberían estar ajustadas a parámetros aceptados en el medio social. Estas reacciones son interpretadas por el docente para recoger su sentido, entenderlas y sancionarlas positiva o negativamente de acuerdo con códigos de valores, que son a la vez subjetivos y fruto de la apropiación de normas sociales. A partir de aquí este esquema se itera una y otra vez. El docente vuelve a actuar, el estudiante vuelve a actuar, etc. Para que el intercambio interactivo de información genere un nexo comunicativo, es necesario que los sentidos asignados a las acciones recíprocas entren en sintonía, por lo que coincidan en parte. O lo que es lo mismo, que las subjetividades respectivas (de docente y estudiantes) asignen sentidos similares a las acciones recíprocas dando lugar a la intersubjetividad, que en esta teoría consiste en compartir significados de las acciones recíprocas. Dicho en pocas palabras, deben sintonizar el dial de sus respectivas radios en la misma frecuencia de onda. Transcribimos en el ejemplo 2 un relato que describe un proceso comunicativo imaginario tal y como viene en el libro 32 – 2 ideas clave para el desarrollo de la competencia matemática (Goñi , 2008, p. 116). Ejemplo 2 La situación que vamos a analizar comienza con las palabras del docente pidiendo a sus estudiantes que hagan las divisiones. Si esas divisiones están escritas en la pizarra, sólo hay que copiarlas antes de comenzar la actividad. Bien pudiera ser que los estudiantes formularan algunas preguntas antes de comenzar: «¿Con cuántos decimales hay que calcular el resultado?; ¿hay qué hacerlas todas o las corregiremos de una en una? Etc.»; pero es una situación muy simple y no parece que se necesiten muchas más explicaciones para saber qué quiere el docente que hagan los estudiantes.


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Los estudiantes comienzan a realizar sus propias actividades. Algunos lo hacen en silencio, rápidamente. Estos interactúan poco con el profesor o profesora, ya «saben» y apenas aprenden. Utilizan los esquemas de acción correctamente y avanzan en la tarea sin detenerse. Puede que se aburran, pero el éxito apacigua ese sentimiento con la mejora de la autoestima. La actividad ha sido poco instructiva pero resulta gratificante para el docente, que la considera un éxito y para los estudiantes, aunque puede que no para todos ellos. El docente puede «entender» que esos estudiantes necesitan retos más complejos y puede tener esta idea en cuenta o no. Los estudiantes «entienden» que para el docente ya es suficiente y si no les propone otra cosa ya saben que con quedarse como están les irá bien. La comunicación establecida hace que compartan el significado de sus acciones y que los sentimientos recíprocos resulten positivos, el docente se sentirá satisfecho y sus estudiantes valorados. Otros dudan y resoplan pero trabajan, alguno pide ayuda al profesor porque se ha atascado. Este grupo aprende y el nexo comunicativo funciona, interpretan correctamente qué deben hacer, y aunque se equivoquen están dispuestos a modificar sus esquemas de acción y a ajustarlos progresivamente. Lo intentan una y otra vez y la inducción funciona. Este grupo ha convertido la tarea en una actividad que les permite aprender. El docente «entiende» las dificultades de los estudiantes y sentirá el deseo de ayudarles, se sentirá estimulado y gratificado. Los estudiantes «sienten» que el docente espera un poco más de ellos y que deben esforzarse. Sienten que avanzan, que mejoran, se sienten motivados y valorados. El nexo comunicativo está establecido y la inducción funciona, pero puede romperse o fortalecerse según actúen ambas partes. Es un grupo en el que la labor didáctica del docente es clave. Otros no hacen nada pero disimulan o copian de sus compañeros, lo más probable es que no recuerden qué deben hacer pero no están dispuestos a «comunicarse» con el docente por razones varias: les cuesta trabajar, les cuesta concentrarse, se sienten a disgusto en el grupo... La tarea no se ha convertido en actividad y lo que hacen (copiar, poner algo para disimular, etc.) no les sirve para aprender. La tarea se ha pervertido y la actividad resultante es puro activismo inútil. Además, el estudiante pretende engañar al docente, es decir, que le envía información para que interprete, por la apariencia, lo contrario de lo que realmente es. Puede conseguir el engaño y equivocar al docente sobre sus intenciones, pero en todo caso la perversión de la tarea hace que el trabajo sea inútil. La inducción comunicativa no funciona. No se comparten los significados de las acciones y los esquemas de actuación de los estudiantes no se modifican. El docente, en cuanto descubra el engaño «entenderá» que el estudiante ni sabe ni quiere aprender y «sentirá» rabia y decepción, sentimientos que no favorecerán la comunicación. El estudiante, cuando sea descubierto, «entenderá» que está actuando mal, sentirá «vergüenza». No ha existido auténtica comunicación y el flujo de sentimientos ha resultado negativo y desmotivador. Otros no hacen nada abiertamente y se dedican a molestar a sus compañeros. Directamente se niegan a convertir la tarea en actividad y no se preocupan en disimularlo. Los estudiantes de este grupo no aprenden porque se niegan explícitamente a la comunicación cognitiva aunque su actitud sí está enviando un mensaje cargado de intenciones. El docente «entenderá» que no saben, que no quieren aprender y que desafían su autoridad en clase, se sentirá cuestionado y agredido y si esta situación se prolonga, desesperanzado y deprimido. Los estudiantes según sea la actitud del docente sabrán, si el desafío a la autoridad ha hecho mella en el docente. En todo caso se sienten incomprendidos, marginados, olvidados y despreciados.


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En estas líneas puede verse la interpretación de una situación de clase (proceso de enseñanzaaprendizaje, proceso comunicativo) desde la perspectiva de la teoría comunicativa. La narración muestra la estrecha dependencia entre enseñanza-aprendizaje, comunicación e intenciones de las distintas partes implicadas. Obsérvese cómo, según este relato, los intercambios entre docentes y estudiantes no se reducen al intercambio de esquemas cognitivos y cómo la enseñanza y el aprendizaje se corresponden con un conjunto holístico donde lo emocional es determinante. Se ve cómo para algunos estudiantes la intención comunicativa es fundamentalmente agradar al profesor y es esta intención la que supone un estímulo para el aprendizaje. Para otros estudiantes, la intención comunicativa se expresa enviando el mensaje de no estar interesado en la actividad, aunque pueda haber otras intenciones más o menos ocultas relativas a no querer ser objeto de evaluación. En unos y otros casos, el docente tiene que estar preparado para dejar claro qué quiere lograr con la comunicación: cuáles son sus intenciones particulares. De este modo, explicando lo que se quiere lograr, podrán obtenerse más fácilmente los resultados esperados ya que, en general, se acostumbra a estar más dispuesto a participar en los «juegos» cuyas reglas se conocen. En resumen, defendemos que la acción humana no puede reducirse a la conducta empírica porque no es comprensible sin la intención que la acompaña y la intención no es empírica. Por otro lado, la comprensión de los actos humanos supone interpretarlos a partir de las acciones e intenciones de quienes intervienen. Se ha llamado sentido de la acción a la asignación de intención al acto, siendo este sentido de carácter subjetivo. Se ha dicho también que la comunicación es posible en la medida que se crea una interpretación compartida intersubjetivamente y los actores intercambian sus intenciones en sintonía; sin sintonía, si no se comparten los sentidos de las acciones recíprocas, se rompe la comunicación. Para que las intenciones se interpreten en sintonía es preciso que los actores se atengan a las normas que regulan los actos sociales, ya que es en ese contexto donde es posible asignar un sentido compartido. Actividad 7 Describe una situación de enseñanza-aprendizaje –si es una situación que hayas vivido mejor–, e interpreta qué sentido le dan docentes y estudiantes a cada una de sus acciones recíprocas. Escribe un relato que describa la situación.

Actividad 8 Indica brevemente la diferencia entre conducta y acción. Explica por medio de algún ejemplo por qué esta diferencia ayuda a comprender los actos sociales.


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Actividad 9 Piensa cuáles son las intenciones comunicativas que pueden estar detrás de la elaboración de este capítulo. Reflexiona sobre qué motivos pueden tener los dos autores para haber aceptado el encargo editorial.

Las intenciones de los docentes como parte de la acción didáctica Podemos imaginar, y así sucede en la realidad en la mayoría de los casos, que el proceso de enseñanza-aprendizaje comienza en la práctica de aula (dejando de lado en este momento la planificación) por medio de una propuesta de trabajo (tarea) que el docente encarga a sus estudiantes (esta tarea formará seguramente una parte de la estrategia docente). Como ya hemos dicho, la propuesta de una tarea no puede entenderse si dejamos de lado la intención que la anima. Por lo tanto, una pregunta que parece pertinente es: ¿Quién asigna y cómo las intenciones a las acciones de los docentes? Esta pregunta tiene diferentes respuestas porque tiene que ver con los distintos tipos de profesores y de contextos donde se ejerce la práctica profesional. Si adoptamos una postura extrema con un contexto escolar genérico y dos únicos tipos de profesores bajo la influencia de sistemas de creencias esencialmente opuestos, tenemos lo siguiente: • Tipo 1: el profesor de Matemáticas como garante del rigor de la disciplina y ejecutor de las normas de la institución escolar. • Tipo 2: el profesor de Matemáticas como mediador entre los estudiantes y la disciplina e intérprete de las normas de la institución escolar. Los profesores del primer tipo actúan por mera rutina y ajustan sus comportamientos a intenciones establecidas institucionalmente. Se podría afirmar que el nivel de conciencia de las intenciones que guían sus acciones es bajo o nulo. Actúan como correa de transmisión de las intenciones de otros sin conciencia de hacerlo. Esto no evita que sus actos estén cargados de intenciones porque siempre es así; lo que sucede es que actúan mecánicamente siguiendo rutinas y sin cuestionar apenas el sentido de sus actos. Si la institución en la que trabajan aprecia este tipo de profesor traslúcido, estarán bien integrados y puede que se sientan cómodamente instalados en un medio que los valora como cumplidores de lo normativo. La institución desde luego no es innovadora ni tampoco lo es el docente. No debe leerse en estas líneas una crítica a seguir las intenciones institucionalmente establecidas, lo cual parece razonable y hasta positivo. Se critica la falta de conciencia de esa realidad y la probable escasa adhesión a esas intenciones. Porque sólo aquello que es conscientemente aprehendido puede llegar a ser algo con lo uno llegue a identificarse. La crítica no se dirige, por tanto, hacia los docentes que comparten intenciones institucionales, porque hay que hacerlo, sino hacia los que carecen de la conciencia de compartirlas.


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Cuando se pregunta a un docente por qué propone una tarea a sus estudiantes y contesta que no lo sabe pero que siempre se hizo así o porque es lo que viene en los libros de texto, estamos ante un caso con características del primer tipo. Otros indicadores para reconocer al docente poco consciente de sus intenciones vienen dados por la ausencia de explicaciones previas sobre qué hay que aprender, así como la asunción de programas basados en la enseñanza donde el temario es el centro del currículo. Estos posicionamientos acaban llevando a prácticas educativas donde no se explican lo bastante las propuestas didácticas ante los estudiantes, porque se espera de ellos que actúen también con fe ciega en lo institucionalmente establecido. Este tipo de profesor no se plantea qué aspecto le gustaría que tuvieran sus clases porque no piensa que tenga el grado de libertad necesario para transformar la enseñanza ni introducir cambios. Por supuesto, hay muchas otras clases donde la intención reflexiva constituye la norma, con profesores más cercanos a los del segundo tipo. Aquí, los docentes recogen las intenciones de propuestas curriculares diversas y, a pesar de que muchas veces no hayan intervenido en su elaboración, las aprenden a conocer, las revisan y llegan a apropiarse en parte de ellas. Dentro de este tipo existe, a su vez, un amplio abanico porque el grado de análisis de esas intenciones y el nivel de apropiación pueden llegar a ser muy diferentes. Es importante resaltar, de todas maneras, que los actos comunicativos estarán condicionados por estas intenciones. La hipótesis más plausible es que a mayor nivel de conciencia más rica podrá ser la comunicación ya que la competencia de análisis del docente aumentará con el nivel de conciencia de las intenciones que guían sus actos. En este proceso gradual de adquisición de mayor conciencia, se encuentran la mayoría de profesores, que no pertenecen al tipo 1 ni al 2, sino que son el resultado de un tipo híbrido, con una cierta autonomía profesional pero también con varias presiones que condicionan el desarrollo de sus acciones comunicativas en el aula. La preparación profesional de los docentes debiera considerar la importancia de la reflexión sobre la intención en las acciones didácticas como medio para la mejora en el nivel de consciencia de las mismas. Las guías didácticas de los materiales curriculares son documentos clave en este ámbito porque suelen ser el lugar en el que los autores de los materiales explican sus intenciones didácticas. Una adecuada utilización de las guías que acompañan a los materiales curriculares resulta fundamental, porque utilizar tareas propuestas por «otros» sin el proceso reflexivo que implica hacerse con las intenciones que las orientan disminuye el nivel de conciencia. Es posible que muchos de los profesores sientan que reciben una gran presión desde la institución escolar para no superar niveles medios de conciencia y reflexión sobre sus intenciones comunicativas en clase. Hay presiones que vienen de otros agentes más cercanos, como por ejemplo las que se experimentan al percibir unas determinadas expectativas de


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los estudiantes en cuanto al aprendizaje. Otra de las fuentes de presión son las creencias mismas de los docentes sobre sus oportunidades en la enseñanza y las oportunidades de los estudiantes en el aprendizaje. Todo esto es crucial. Uno de los resultados más sólidos en el área de la investigación en didáctica de las Matemáticas es precisamente el hecho de que las percepciones de los profesores influyen en los métodos de enseñanza de la materia y en los niveles de rendimiento de los estudiantes. Actividad 10 Recuerda algún caso de un docente que no te entregó el programa al inicio de curso y piensa si eso condicionó tu actitud y tu aprendizaje. Razona tu respuesta.

Actividad 11 Recuerda una asignatura que hayas cursado recientemente como alumno. ¿Qué importancia dio el docente a explicar los objetivos del curso? ¿Los explicó con detalle o pasó por encima? Razona si eso condicionó tu actitud y tu aprendizaje.

Actividad 12 Reflexiona sobre por qué puede ser útil imaginar dos tipos extremos e hipotéticos de profesores de matemáticas para comprender mejor otros tipos de existencia real.

La interacción con y entre estudiantes como base de la acción didáctica Una vez que la tarea propuesta en clase se ha iniciado, su realización por parte de los estudiantes supone poner en marcha un proceso interactivo en el que docente y estudiantes intercambian información e intenciones a las que deben asignar sentido de manera intersubjetiva para asegurar la comunicación. Este proceso, como ya hemos indicado, tiene dos caras según nos fijemos en los estudiantes (aprendizaje) o en el docente (enseñanza). En la terminología pedagógica, a esta función de los docentes se le llama función de mediación o función mediadora (Iranzo y Planas, 2009; Socas, 2002). La función de mediación supone ocuparse de la enseñanza y ayudar a los estudiantes en su proceso de aprendizaje para que progresivamente se hagan cargo del mismo. Por ello, la


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labor del docente no debiera reducirse a la enseñanza y en mayor o menor medida, dependiendo del nivel de madurez y autonomía de los estudiantes, debiera compartir el desarrollo de los procesos de aprendizaje. La calidad de la enseñanza, su valor formativo, tiene que ver con la calidad de esta interacción y con la competencia del docente para interpretar el sentido de las acciones de los estudiantes. A mayor capacidad para afinar en el sentido de lo que hacen y dicen los estudiantes y en su valor cognitivo, afectivo, etc., mayor calidad de la interacción y en consecuencia de la enseñanza. Analicemos una situación y veamos cómo podemos evaluar su potencial educativo teniendo en cuenta la calidad de la interacción comunicativa. Supongamos el caso de una persona que está jugando a un vídeo-juego con una consola. La primera pregunta es si se dan las condiciones para que exista un acto comunicativo. ¿Existe intercambio de información? Sí, ya que la consola envía estímulos visuales, auditivos, etc., que son recogidos por el jugador, mientras que éste envía estímulos a la consola, según pulse un botón u otro del mando. ¿Existe un intercambio de significados para el intercambio de intenciones? Veamos de qué tipo. La interpretación que la máquina hace de la información enviada está regida por el código del juego, es decir por la lógica del software. Es una lógica simple que se basa en el código binario y que sólo permite moverse en un espacio virtual, normalmente la pantalla, y elegir entre dos opciones: acierto o error. La máquina interpreta el estímulo y utilizando la lógica binaria reacciona, teniendo que decidir y asignando intención y valor a la acción del jugador. El jugador recibe e interpreta la respuesta, pero no según una lógica binaria porque el cerebro humano no funciona así. Se produce una regulación para ajustar los movimientos de la mano y desarrollar esquemas sensoriomotrices en la persona. Posteriormente, estos esquemas se automatizan y parece que la máquina hace (se mueve) lo que pensamos; lo único que sucede es que los procesos de regulación se han vuelto automáticos e inconscientes. Por otra parte el jugador deberá interpretar hasta qué punto las acciones son o no correctas para modificar los movimientos de la mano y acertar. La profundidad de este análisis es escasa ya que la interpretación de las acciones de la máquina resulta transparente. Ya al empezar a jugar hay poco que aprender, porque la asignación de intenciones es fácil y la regulación de procesos comunicativos se establece con rapidez. Cuando un docente elige una tarea para llevarla a clase está actuando, poniendo en marcha los primeros pasos de una acción compleja, porque el tipo de tarea elegida marca necesariamente una intención, ya sea implícita o explícita. La intención implícita está influenciada por la costumbre, la rutina, por lo que viene en el libro, por lo que preguntan en la prueba de la selectividad, etc. La intención explícita se escoge de manera voluntaria y consciente: propongo esta tarea de resolución de ecuaciones porque pienso que el dominio del cálculo algebraico es básico. Ésta es la primera de una serie de acciones que se deberán poner en marcha durante la enseñanza y el aprendizaje.


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En principio no existe un criterio claro que determine qué intenciones son mejores, porque lo importante con relación a las intenciones es que: • El docente sea consciente de las mismas, ya sea porque son propias o porque se ha apropiado consciente y convenientemente según las intenciones de otros. • Sean adecuadas a los fines del proceso de enseñanza-aprendizaje que se persigue. Las intenciones conscientes pueden ser objeto de reflexión y mejora, pero no sucede lo mismo con las que no lo son. Gran parte de la rutina, pobreza comunicativa y fracaso de las acciones escolares viene determinada por el escaso nivel de conciencia de las intenciones que guían a sus actores. Si en lugar de las intenciones de la acción didáctica entre docente y estudiantes, nos fijamos en el caso entre estudiantes sin la intervención directa del docente, la situación todavía resulta más compleja. Cuando quienes interactúan son los estudiantes, no acostumbra a quedar claro cómo se asume la función mediadora que debe asegurar logros en la comunicación y el aprendizaje. En realidad, la comunicación entre estudiantes es distinta de la comunicación entre docente y estudiantes ya que las intenciones y expectativas que entran en juego son distintas en los dos casos. Obsérvense en el ejemplo 3 las conversaciones que se mantienen en una clase y véanse las diferencias en las intenciones y los tipos de mensajes. Ejemplo 3 Interacción entre profesor y estudiantes: LAURA: —¿Cómo lo ves? PROFESOR: —Has hecho un buen trabajo, con una síntesis clara y un análisis detallado. Aunque tal vez deberías haber pensado en otras maneras alternativas de solucionar el problema y no haberte conformado con una sola. LAURA: —Pensé que con una manera bastaría. PROFESOR: —Ahora estate atenta a otras resoluciones y pregunta lo que necesites.

Interacción entre estudiantes: LAURA: —¿Cómo lo ves? PEDRO: —Yo bien. Y tú, ¿cómo lo ves? LAURA: —Creo que está bien. He intentado resumirlo lo mejor posible con esta tabla. Si salgo a la pizarra, la explicaré. PEDRO: —Bueno, a lo mejor no te toca a ti esta vez.


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En la primera conversación, la función mediadora del profesor en el aprendizaje de Laura se ejerce por medio del mensaje sobre cómo continuar y profundizar en la resolución del problema prestando atención a otras resoluciones alternativas. El profesor muestra, por una parte, una intención claramente personalizada y explicativa y, por otra, una intención social y comunicativa al recomendar la escucha atenta del trabajo matemático del resto de estudiantes. En la segunda conversación, sin embargo, Pedro no asume la misma función mediadora en el aprendizaje de Laura, ni tampoco emite mensajes sobre los logros o dificultades de su compañera, a pesar de que ella le interpela directamente para conocer su punto de vista. En la interacción con el profesor, a Laura se le facilitan elementos para la autorregulación de su proceso de aprendizaje al sugerirle que debe profundizar más en la comprensión del problema; mientras que en la interacción con Pedro sólo hay elementos de estímulo social y comunicativo, pero sin referencias a la actividad. Precisamente una de las intenciones del profesor debería ser conseguir que los estudiantes aprendieran a ejercer la función mediadora en el aprendizaje con sus compañeros, tal como ocurriría si la conversación hubiera sido como la que se muestra en el ejemplo 4. Ejemplo 4 Interacción entre estudiantes: LAURA: —¿Cómo lo ves? PEDRO: —Yo bien. Creo que la tabla que has realizado resume bien todos los datos. De todos modos, yo tal vez hubiera puesto todos los casos para que se viera mejor todo lo que has tenido que calcular. LAURA: —He intentado resumirlo lo mejor posible con la tabla, y me ha parecido que ponerlo todo podría confundir. PEDRO: —Pues yo pienso que lo que confunde es no explicarlo todo.

Aunque parezca difícil conseguirlo, se tiene que intentar que los estudiantes aprendan a ejercer de «profesores» entre ellos. Cuando decimos que la participación de los estudiantes en el aula de matemáticas es adecuada, asumimos que esta participación tiene que ir acompañada de la generación de contenidos matemáticos y no únicamente de estímulos y muestras de compañerismo. Las estructuras complejas de participación con y entre estudiantes no siempre van ligadas a conversaciones matemáticas y por tanto debe haber intenciones explícitas por parte del profesor para que así sea. En general, es muy importante que el profesor tenga claro que las estructuras de participación que regulan la actividad social en el aula también tienen que encargarse de regular la actividad argumentativa y mental de quienes participan.


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Actividad 13 Imagina que un docente elige una serie de ejercicios para resolver ecuaciones y que otro elige la resolución de un problema relacionado con la variación en el precio de los combustibles. ¿Qué intenciones didácticas llevan a una u otra decisión? ¿Qué puedes decir sobre la adecuación de esas intenciones?

Actividad 14 Piensa en qué tipo de acciones debería promover un profesor en el aula para que los estudiantes se sintieran cómodos ejerciendo de profesores entre ellos.

Actividad 15 Redacta una conversación donde dos estudiantes contribuyen a establecer un clima favorable de comunicación pero con contenidos de bajo nivel y otra donde el clima favorable va acompañado de logros en el aprendizaje.

El lenguaje matemático como mediador en la comunicación Decir que la comunicación educativa en matemáticas está mediada por el lenguaje que se utiliza para expresar las ideas es una obviedad a la que no se ha dado la suficiente relevancia (Alcalá, 2003; Fernández, 1994). Conviene que se reflexione sobre el hecho de que la matemática es, junto con la música, la única área de conocimiento que posee un lenguaje propio: el denominado lenguaje matemático o lenguaje formal. Este lenguaje formal no es sólo un lenguaje para las matemáticas, sino que se ha considerado como el mejor medio de expresar ideas de otras ciencias, de manera palmaria en las ciencias experimentales y con balbuceos y aproximaciones en escuelas de las ciencias sociales y humanas. Por otra parte, se trata de un lenguaje que según el dominio de las matemáticas en el que se centre, da lugar a diversos lenguajes: algebraicos, aritméticos, geométricos… Es conocida la doble representación de los números cuadrados con lenguaje aritmético y con lenguaje geométrico, tal como muestran las dos imágenes del cuadro 4 de la página siguiente. Las dos representaciones están hechas con lenguaje matemático, pero sin duda ambas son muy distintas e ilustran bien la idea de la pluralidad de lenguajes dentro de las matemáticas.


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Cuadro 4. Representación de los números cuadrados Lenguaje geométrico

Lenguaje aritmético 1

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N

Ahora acompañemos estas figuras con la regularidad (1 + 2 +… + (k–1)) x2 + k = k2, 1 = 12 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 Tenemos un tercer ejemplo de lenguaje, el algebraico, de nuevo muy distinto al aritmético y el geométrico, y especialmente recomendable para expresar con transparencia y generalidad un patrón interesante. Tal vez la archiconocida fórmula de la teoría de la relatividad de Einstein, E = mc2, resuma mejor lo que queremos decir. La relación existente entre la masa m, que desaparece en una reacción nuclear, y la energía E, que se desprende como resultado de esa pérdida de masa, se podría expresar de muchas maneras, pero seguramente de ninguna tan sencilla y unívoca como por medio de esta fórmula. La fórmula dice que la energía desprendida es directamente proporcional a la masa desaparecida, siendo la constante de proporcionalidad el cuadrado de la velocidad de la luz en el vacío, c2. Las matemáticas tienen un lenguaje (o, si se prefiere, lenguajes) construido a lo largo de varias centurias para expresar las ideas matemáticas. Como decíamos, este lenguaje es, además, un modelo para expresar ideas de otras ciencias. Sin embargo, esto no significa que no se puedan expresar ideas matemáticas de otra manera que no sea por medio del lenguaje formal; es cierto que es el tipo de lenguaje más depurado y que permite una expresión más rigurosa de lo que se quiere decir, pero no es el único capaz de expresar ideas matemáticas.


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De hecho, el lenguaje matemático formal, tal y como lo conocemos, es reciente, producto de una depuración progresiva que comienza en los escritos de matemáticos del renacimiento europeo. Los matemáticos griegos comunicaban sus ideas matemáticas y fueron capaces de desarrollar grandes descubrimientos sin un lenguaje formal tal y como lo entendemos actualmente. El lenguaje formal de las matemáticas es un logro cultural producto de una larga refinación (todavía podría mejorarse, por ejemplo evitando expresar las potencias como superíndices que resultan engorrosos con procesadores de texto). Si esto es cierto en referencia al desarrollo sociocultural, también lo es en referencia al desarrollo psicológico individual, de manera que la comprensión del lenguaje formal y su uso autónomo suponen un largo camino de maduración. Pensar que el lenguaje formal como resulta claro, sencillo y diáfano para quienes lo dominan tiene a la fuerza esas mismas características para quienes se están iniciando en él, es un error didáctico. No se debe olvidar que el lenguaje formal no es un lenguaje natural y, por tanto, su aprendizaje es costoso. ¿Por qué tendría que ser fácil leer la expresión del razonamiento reversible representada con lenguaje formal, p → q ⇔ ¬q → ¬p? Ni el lenguaje formal es fácil de aprender, ni su dominio significa que se dominan las ideas matemáticas que representa. Entender bien el significado del razonamiento reversible, por ejemplo, puede ser más complicado que saber representarlo con símbolos adecuados. Todavía otro ejemplo, más sencillo y paradigmático, viene dado por la comprensión de que la suma y la resta son operaciones inversas, junto con las dificultades para representar matemáticamente esta relación inversa por medio de la expresión a + b = c ⇔ a = c − b. Es, además, sabido el uso de la complejidad del lenguaje matemático para hacer intencionadamente que los estudiantes caigan en trampas que luego tendrán que descubrir: x=y x2 = xy x2 – y2 = xy – y2 (x + y)(x – y) = y(x – y) x+y=y x+x=x 2x = x → por lo que 2 = 1 Puede decirse, sin ánimo de exagerar, que la dificultad en la comprensión del lenguaje matemático reside una de las razones por la que tantos estudiantes fracasan en matemáticas. No entienden qué se les quiere decir cuando se les presenta una fórmula y son incapaces de utilizarlas para expresar lo que piensan. Para asegurar la comprensión significativa y el uso autónomo del lenguaje formal, tiene que haberse trabajado antes con lenguajes más intuitivos y con la traducción progresiva de unos lenguajes a otros. Tiene,


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además, que haberse trabajado el aprendizaje por separado de las partículas básicas de este lenguaje ( Π, ∅, 0, %, ≤, ± , ∓ , ∑ , etc.), para poder luego combinarlas entre ellas e ir construyendo frases más o menos complejas. Para el buen uso del lenguaje matemático no basta con el conocimiento de estos símbolos básicos (que Pimm llama logogramas, 1990), pero sin ellos tampoco es posible manejar este tipo de lenguaje formal. Un símbolo que se parezca gráficamente mucho a otro, no puede ser sustituido en un enunciado matemático sin que se modifique sustancialmente el significado inicial. Junto con la simbología del lenguaje formal y su combinación para formar frases matemáticamente correctas, este lenguaje está constituido por términos para la presentación de contenidos matemáticos mediante enunciados de distinta índole, entre ellos: axioma, definición, teorema, proposición, lema, demostración o corolario. Es en realidad difícil de entender que todo enunciado matemático está relacionado con uno de estos términos. El propio significado del término «axioma» como tesis que no necesita ser demostrada y que, sin embargo, sirve de punto de partida para demostrar otras tesis, resulta confuso para muchos estudiantes. Lo mismo ocurre con el término «definición», ya que a menudo en las primeras edades las definiciones son ostensivas, basadas en ejemplos de lo que es definido, o bien extensivas, basadas en listas de todo lo que cae dentro de la definición; esto provoca que más tarde cueste avanzar hacia una comprensión más estricta de lo que significa una definición en matemáticas. Actividad 16 Escribe con símbolos la afirmación «Dado un número real, su cuadrado siempre es un número real positivo». Reflexiona sobre las dificultades que tú u otra persona podría experimentar al hacer esta traducción.

Actividad 17 Piensa un ejemplo de utilidad del lenguaje matemático que pueda servir para mostrar que la complejidad de este lenguaje se ve recompensada por su claridad y precisión en la presentación de hechos matemáticos.

Actividad 18 Piensa un ejemplo en el cual el tratamiento simbólico dificulte la comprensión de aspectos conceptuales de las matemáticas, en comparación con la utilización de otros tratamientos.


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El lenguaje geométrico y los gráficos El lenguaje geométrico con gráficos o lenguaje gráfico, que representa las ideas por medio de imágenes, es un lenguaje básico en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Si su valor como modo de justificar rigurosamente una ley o teorema puede cuestionarse, su valor didáctico queda fuera de toda duda porque resulta obvio que una imagen apela a nuestra intuición de manera más directa que una fórmula. El lenguaje gráfico, como cualquier otro tipo de lenguaje, tiene unas unidades básicas para la formación de sus expresiones o sistemas gráficos. En este caso, las unidades vienen dadas por las representaciones de segmentos (líneas rectas y líneas curvilíneas), puntos y planos. Las combinaciones de estas unidades dan lugar a un referente que siempre es físico o que se manifiesta por medio de un objeto dibujado, a diferencia de lo que ocurre con otros lenguajes matemáticos, como por ejemplo el lenguaje algebraico usado para representar nociones que evocan ideas y no necesariamente objetos. La imagen que tenemos exige poca explicación y muchos estudiantes la relacionan rápidamente con las palabras «redondo», «circunferencia» y/o «círculo». En clase de matemáticas se intenta depurar progresivamente el significado de los términos y así se dice que «redondo» es una cualidad de los objetos que no tienen esquinas y que no es un término muy preciso. Se enseña a distinguir entre «circunferencia» que es una línea, un perímetro, y «círculo» que es una figura plana, una superficie; etc. Pero el inicio del proceso del aprendizaje está en la imagen y en su capacidad para generar una referencia intuitiva en quien la mira. Si suponemos que el centro del círculo está situado en un punto de coordenadas (a, b) y que el radio es r, podremos escribir que: • La fórmula (x – a)2 + (y – b)2 = r2 representa a todos los pares de valores (x, y) situados sobre la circunferencia y por eso se le llama ecuación de la circunferencia. • La fórmula (x – a)2 + (y – b)2 < r2 representa a todos los pares de valores (x, y) interiores a la circunferencia y que por lo tanto forman parte del círculo. Tenemos, como mínimo, dos maneras de expresar las mismas ideas (circunferencia, círculo): una de ellas intuitiva (imagen) y otra formal (fórmula). Lo importante desde el punto de vista didáctico es la capacidad de trasmitir significado de una a la otra de manera que cuando se «vea» la fórmula se esté viendo la imagen de la circunferencia asociada a ella y viceversa. Tanto la imagen, como la fórmula, como la palabra o expresión permiten evocar las


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otras representaciones en su ausencia, siempre y cuando se tenga una comprensión clara de las relaciones entre las distintas representaciones de una misma idea matemática. Esta capacidad de evocar otro modo expresivo en su ausencia es fundamental en la progresiva construcción de los lenguajes. Imaginemos que queremos saber si las circunferencias expresadas mediante las fórmulas: x2 + y2 = 9; y x2 + y2 = 16 son concéntricas, se tocan o se cortan. Supongamos que tengamos un estudiante con gran imaginación y sea capaz de ver esas circunferencias incluso sin dibujarlas: las dos tienen el centro en el punto (0, 0) ya que a y b son cero pero una tiene un radio de 3 unidades (9 es el cuadrado de 3) y la otra de 4 unidades. Podemos «ver» dos circunferencias concéntricas, aunque habrá quién necesite dibujarlas. En todo caso, esta posibilidad de relacionar figuras geométricas con fórmulas algebraicas es una manera de dar sentido a expresiones formales de alto valor didáctico. La representación gráfica de las ideas matemáticas, y el lenguaje asociado a las mismas, es uno de los caminos más transitados para adentrarse en las matemáticas y una de las estrategias más usadas. La asignación de sentido a una imagen suele ser algo intuitivo y marca el inicio de un proceso; posteriormente y de manera gradual habrá que ir construyendo los puentes que lo relacionen con las expresiones formales que sirven para representarlo. Siempre con la idea clara de que lo formalmente más exacto no es siempre lo más significativo para el estudiante, puesto que el sentido es algo subjetivo. Es decir siempre relativo al sujeto que aprende. Lo importante para la enseñanza-aprendizaje no es «qué son las cosas» sino «qué sentido se asocia a la representación de esas cosas». Y este sentido es subjetivo y propio del que aprende. La aproximación de ese sentido subjetivo al intersubjetivo propio de la comunidad de expertos marca el aprendizaje de muchos conceptos matemáticos. La utilización de dibujos, gráficos, diagramas, esquemas, etc., como forma de expresar las ideas matemáticas es algo que hay que explotar de manera sistemática en cualquier proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas y la puerta de entrada natural para la mayoría de los estudiantes. Los diagramas más conocidos como los de Venn, Lewis-Carroll, diagrama de árbol, diagrama de grafos, etc., son recursos heurísticos de alto valor tanto epistemológico como didáctico y conviene que sean enseñados y utilizados en la resolución de problemas. De hecho, los esquemas gráficos de representación de situaciones, es decir, las representaciones gráficas de carácter más personal que sirven de pauta a los procesos de resolución de problemas es un ámbito de trabajo en la dinámica de la resolución de problemas. Hoy en día la expresión gráfica o icónica de las matemáticas se ha extendido mucho hasta invadir los espacios sociales y convertirse en un tipo de expresión lingüística universal; la extensión de las tecnologías de la información y su presencia en todos los ámbitos sociales ha dado mayor relevancia a este ámbito informacional. Pero, junto con la relevancia social del lenguaje


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gráfico, no debe olvidarse que éste es un lenguaje de tipo matemático. Esto significa que, más allá de su utilización para persuadir y convencer sobre temas cotidianos, debe ser tenido en cuenta como herramienta para contribuir a argumentar y desarrollar razonamientos precisos. Actividad 19 Imagina una situación expresada con lenguaje gráfico donde un mal dibujo pueda llevar a concluir erróneamente sobre una propiedad o característica de la figura.

Actividad 20 Los diagramas de Venn sirven para representar agrupaciones por medio de círculos. A veces se incluye un rectángulo alrededor de este diagrama y otras veces no. ¿Qué puede estar representando la inclusión de un rectángulo?

Actividad 21 Reflexiona sobre las propiedades de las funciones matemáticas que pueden observarse más fácilmente en su representación con ejes cartesianos que en su representación algebraica y/o por medio de una tabla de valores numéricos.

El lenguaje matemático verbal El lenguaje verbal, el que se usa para escribir estas líneas, ha sido, hasta la popularización entre los matemáticos del lenguaje algebraico, la manera más común de exponer ideas matemáticas. Aun así, los textos que indican ideas matemáticas, en general suelen ser especiales y bastante más precisos y sintéticos que los utilizados para exponer otro tipo de ideas, donde se acostumbran a permitir expresiones más literarias. En el lenguaje verbal no matemático se puede decir que un teorema es una herramienta útil para la resolución de problemas; sin embargo, en el marco del lenguaje verbal matemático estricto debiera decirse que un teorema es una tesis cuya verdad puede demostrarse dentro de una teoría. El peligro de tender a usar expresiones demasiado literarias y matemáticamente poco precisas llevó a que se buscaran otros lenguajes. El lenguaje algebraico es, sin duda, una de las razones de la rápida expansión del conocimiento matemático en los últimos siglos, porque además de permitir la expresión de las ideas matemáticas posibilita el cálculo y, desde este punto de vista, es un avance en el propio desarrollo de las matemáticas y su enseñanza. Pero el propio triunfo encierra en sí, muchas veces, la


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penitencia. Es tal la potencialidad del lenguaje algebraico, tal su capacidad expresiva, y sobre todo operativa, que tiende a anular otras formas expresivas por ser menos precisas, más prolijas e inútiles respecto a la realización de operaciones matemáticas (cuadro 5). Cuadro 5. Diferentes expresiones matemáticas de circunferencia EXPRESIÓN ALGEBRAICA

CIRCUNFERENCIA EXPRESIÓN GRÁFICA

EXPRESIÓN VERBAL

(x – 2)2 + y2 = 9 (–1,0)

(2,0)

(5,0)

Lugar geométrico de los puntos que están a tres unidades de distancia del punto con coordenadas (2, 0).

Si volvemos al ejemplo de la circunferencia, lo podremos entender mejor. Hasta el momento hemos presentado tres maneras de representar esa idea: con lenguaje verbal, con lenguaje algebraico y con lenguaje gráfico. En el apartado anterior, sin embargo, no hemos desarrollado en su totalidad la expresión con lenguaje verbal ya que sólo hemos recurrido a la palabra que designa la idea, sin añadir otras palabras combinadas en frases para expresar qué entendemos por circunferencia. Existe una definición clásica de circunferencia, la que dice que: «circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro que se llama centro», a esa distancia común se le llama radio. Ésta es una forma expresiva, en principio, equivalente a las anteriores.» Las tres expresiones de el cuadro 5 anterior indican lo mismo, pero su valor no es idéntico. Desde un punto de vista matemático, la expresión algebraica es la de mayor valor porque permite decir de qué circunferencia estamos hablando y por mero cálculo saber la pendiente de la curva en cualquiera de sus puntos (valor de la derivada en el punto), saber con rapidez si un punto pertenece o no a la curva, calcular las coordenadas de los puntos de corte con los ejes y muchas otras posibles propiedades matemáticas de la curva. No obstante, valor matemático no equivale a valor didáctico, porque éste último reside en la posibilidad de asignar sentido a lo que se construye y desde luego, desde un punto de vista intuitivo e imaginativo, es más fácil asignar sentido a una imagen que a una fórmula. El valor didáctico no coincide necesariamente con el valor matemático porque lo que se busca en un caso y en el otro es distinto: • En el caso de las matemáticas buscamos simplicidad, precisión, facilidad de cálculo, univocidad, etc. • En el caso de la enseñanza buscamos favorecer el aprendizaje y esto pasa por que el sujeto que aprende pueda dotar de sentido a la expresión que se utiliza.


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Obsérvese que el primer caso busca objetividad mientras que el segundo depende de la subjetividad del que aprende y de la capacidad que posea de asignar sentido. El valor didáctico es relativo a lo que sabe el que está aprendiendo, y en diferentes estadios de ese aprendizaje varía, ya que la misma persona que al inicio del proceso no podrá dotar de significado a una expresión, lo podrá hacer más tarde cuando haya avanzado hacia una comprensión más profunda. Por estas razones las personas no duchas en matemáticas se suelen quedar con las imágenes con más facilidad que con las fórmulas. Los profesores de matemáticas en la etapa secundaria y el bachillerato usan con profusión dos tipos de lenguajes: el algebraico y el gráfico. El lenguaje verbal queda, de esta manera, un tanto devaluado porque es largo y poco preciso en muchas ocasiones. Además su valor didáctico, tal y como se usa habitualmente, es discutible porque diversas expresiones en los libros de texto suelen ser tan crípticas como las propias fórmulas y con frecuencia resulta difícil darles significado. Existe, además, una «literatura» matemática en forma de apuntes que obvia todo este tipo de florituras y va directamente al grano, trabajando casi únicamente la expresión formal por medio de ejercicios precedidos por un brevísimo texto de apenas una línea. La mayor utilización de lenguaje verbal para expresar y representar ideas matemáticas se observa en los medios de comunicación, sobre todo en prensa escrita e Internet y en su versión oral en la radio. En estos medios es habitual tener que comunicar informaciones que contienen valores numéricos. En la prensa se utiliza mucho lo que podemos denominar textos mixtos, es decir, textos en los que se combinan texto escrito y gráficos de apoyo. Las actividades en las pruebas PISA son un ejemplo de este tipo de textos, ya que los enunciados de las tareas que realizar suelen estar formados por la combinación de texto y gráficos, tal como se ve en el ejemplo 5. Ejemplo 5 La estatura media de los chicos y las chicas de Holanda en 1998 está representada en el siguiente gráfico. Desde 1980 la estatura media de las chicas de 20 años ha aumentado 2,3 cm, hasta alcanzar los 170,6 cm. ¿Cuál era la estatura media de las chicas de 20 años en 1980? 190 180 170 160 150 140 130 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


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Para la representación de la actividad ejemplificada, se han asumido varias reglas de uso común dentro del lenguaje gráfico, como el hecho de disponer los dos ejes de forma perpendicular, con uno horizontal y el otro vertical respecto de los márgenes de la hoja. Estas reglas no son propias de la disciplina matemática puesto que los ejes y las escalas en ellos pueden representarse de formas distintas, todas ellas matemáticamente válidas. Se trata de reglas más bien propias de la actividad matemática en el aula, institucionalizadas por medio de lo que ha venido siendo habitual durante muchas décadas en los libros de texto y en las prácticas del profesorado. Los estudiantes tienen que aprender a manejar tanto las reglas del lenguaje matemático como las reglas de la actividad de aula en torno al uso de este lenguaje. Esto es especialmente importante en lo que respecta a la comprensión del lenguaje matemático expresado de forma verbal. En las primeras edades, se acepta que el estudiante diga que «dentro de la caja hay una galleta», para indicar que efectivamente hay una galleta, y no dos, ni tres, ni ninguna. Sin embargo, en las edades más avanzadas, el estudiante tiene que aprender una nueva regla de la actividad matemática en el aula según la cual tiene que decir que «dentro de la caja hay una y sólo una galleta». Las reglas del habla matemática en la clase han cambiado, pero la expresión del estudiante continúa siendo matemáticamente correcta. Actividad 22 Se suele decir que el lenguaje verbal usado en los enunciados es especialmente relevante en la resolución de problemas aritméticos de adición y sustracción. Piensa en motivos que justifiquen esta afirmación.

Actividad 23 Razona por qué podría resultar contraproducente y/o ventajosa la poca concreción del lenguaje matemático en las primeras edades de escolarización.

Actividad 24 Escribe cómo explicarías a otra persona con ejemplos para qué es importante introducir los símbolos de las cifras, cuando ya se dispone de los símbolos para designar las palabras asignadas a los números.


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Confusión entre lenguaje(s) matemático(s) y lenguajes naturales El término lenguaje es bastante ambiguo, ya que se usa tanto para denotar la función comunicativa entre personas como para denotar un particular sistema de símbolos. Aunque el lenguaje natural también es por definición un sistema simbólico, como el lenguaje matemático, los símbolos del primer caso han sido interiorizados por las personas desde su nacimiento, e incluso hay quien dice que desde su periodo de gestación. Por ello, tiene sentido distinguir entre lenguaje(s) matemático(s) y lenguajes naturales, como dos tipos esencialmente distintos que coexisten durante los procesos de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas. Acabamos este capítulo con una breve discusión sobre los importantes conflictos de aprendizaje que pueden derivarse de no tratar de forma suficientemente explícita las diferencias entre lenguaje matemático y lenguaje natural en el aula. Hay muchas palabras específicas del lenguaje matemático que no forman parte del lenguaje natural y que se acostumbran a oír por primera vez en el ámbito escolar; algunos ejemplos son los términos «hipotenusa», «coseno» y «helicoide». Sin embargo, hay muchas otras palabras que tienen significados distintos según en que lenguaje se ubiquen; algunos ejemplos son los términos «(número) primo», «límite» (de una función) y «probabilidad» (de un suceso). Todavía hay un tercer grupo de palabras que mantienen el mismo significado en el lenguaje matemático y en el natural; algunos ejemplos son los términos «más», «menos» y «cantidad». Incluso en este último caso, es preciso hacer hincapié en los significados de los términos y dedicar parte del tiempo de clase a clarificar el vocabulario. Es habitual el error didáctico de no dedicar tiempo de clase a enseñar, por ejemplo, los conectores lógicos, porque se piensa que su comprensión es trivial. Sin ir más lejos, la comprensión matemática de la disyunción o es bastante compleja porque en el lenguaje natural habitualmente no se usa de la misma manera, o como mínimo se usa mucho menos. En el mundo del lenguaje matemático tiene pleno sentido decir «Me llamo Núria o Jesús», pero en el mundo del lenguaje natural esta expresión es del todo absurda. Hay muchos otros ejemplos de uso de conectores lógicos, tales como la expresión «1 es mayor o igual que 1», completamente válida en el lenguaje matemático pero de nuevo absurda en el lenguaje natural. David Pimm (1990) explica varias situaciones sobre las dificultades y confusiones en torno al lenguaje matemático ya en las primeras edades, que muestran que la adquisición de los elementos compartidos en el lenguaje matemático y el natural no es fácil. Es interesante darse cuenta de que una instrucción aparentemente tan sencilla como «contar desde el tres», puede ser interpretada por niños de 8 años como «contar de tres en tres». En esta confusión se mezclan muchos aspectos, no sólo de comprensión del lenguaje sino también de conocimiento situado de la cultura de clase. Aunque un niño pueda entender bien, fuera del


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contexto de aula, qué significa «contar desde el tres», si está familiarizado con «contar de tres en tres», podrá cambiar el significado textual de la consigna que se le da. Debe tenerse siempre en cuenta, por tanto, que la dotación de significado a los textos expresados con cualquier lenguaje está fuertemente influenciada por las características más globales de la comunicación en el contexto correspondiente. Es especialmente importante tener en cuenta el caso de la combinación de lenguajes matemáticos y naturales que hay en la mayoría de enunciados de problemas. En muchos enunciados aparecen palabras de uso común en el lenguaje natural, palabras con significado propio dentro del lenguaje matemático y un tercer grupo de palabras que según el contexto del problema tienen que saber interpretarse en uno u otro lenguaje. Para la comprensión del problema, tendrán que activarse aspectos de las competencias lingüística y matemática, junto con un buen conocimiento de la cultura de clase. Si se lee el enunciado siguiente, pueden encontrarse varias palabras de uso común: padre, hijos, hermanos, etc. Hay también varias palabras con significado propio dentro de las matemáticas como «el doble que», que habitualmente se traduce de forma automática por medio de la expresión «2 · ( )». Pero luego hay palabras como «repartir» que pueden asociarse a la operación de división si se piensa en el reparto en partes iguales, o bien a cuestiones de proporcionalidad si se piensa en el reparto desigual (ejemplo 6). Ejemplo 6 Un padre dejó a sus tres hijos ocho propiedades y quiso que el hijo mayor recibiera el doble que sus hermanos porque tenía una situación económica mucho más complicada. ¿Cómo se repartieron las propiedades?

Aunque la mayoría de los repartos en la vida real son desiguales, los estudiantes pueden tener alguna objeción con semejante reparto de la herencia, sobre todo si en su propia familia ellos no son el hijo mayor. El problema con varios de los enunciados verbales de problemas es que se supone que comunican informaciones, cuando algunas de estas informaciones simplemente se dan a entender para aquellos estudiantes que conocen bien la cultura establecida en el aula. Si un estudiante tiene claro que los valores asociados a los enunciados de los problemas no deben modificarse ni cuestionarse, entonces no hay duda de que debe aplicarse una técnica de reparto desigual. Para que sea efectivo el proceso comunicativo entre docente y estudiantes en torno a la resolución del problema anterior, tiene que haberse establecido con precisión con los enunciados y los contextos evocados por los problemas. Para los enunciados que se muestran en el ejemplo 7 (en la página siguiente), puede pensarse el vocabulario de uso común, el vocabulario escrito o sugerido propio de las matemáticas y el vocabulario dado por el contexto que de algún modo necesita ser


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interpretado para que las decisiones durante el proceso de resolución del problema sólo dependan de las matemáticas. Ejemplo 7 2000 pájaros tienen sus nidos en árboles de un bosque al que llegan 10 cazadores y empiezan a disparar. Después de acertar con 25 pájaros, ¿cuántos pájaros permanecen en su nido? 228 personas quieren subir al último piso de un edificio donde hay una fiesta. Si el edificio tiene un único ascensor con capacidad máxima para 24 personas. ¿Cuántos viajes serán necesarios? Alberto y Jordi son buenos amigos desde hace tiempo y van a la misma clase. Organizan una fiesta de cumpleaños conjunta donde van los diez amigos de Alberto y los nueve de Jordi. ¿Cuánta gente en total habrá en la fiesta?

Actividad 25 Para el enunciado «Encontrar dos números cuya suma sea 30 y cuya diferencia sea 12», piensa qué palabras pueden tener significados distintos en el lenguaje matemático y en castellano.

Actividad 26 Reflexiona sobre si las expresiones «Dos números cuya diferencia es 12» y «Dos números que difieren en 12» tienen la misma dificultad.

Actividad 27 Redacta con lenguaje algebraico la expresión «La suma es independiente del orden de los términos» y discute la claridad de ambas formulaciones.


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALCALÁ, M. (2003). La construcción del lenguaje matemático. Barcelona: Graó. CALLEJO, M.L., VALLS, J. y LLINARES, S. (2007). Interacción y análisis de la enseñanza: aspectos clave en la construcción del conocimiento profesional. Investigación en la Escuela, 61, 5-22. FERNÁNDEZ, M. (1994). Sobre los diversos lenguajes matemáticos y del paso de unos a otros. SUMA-Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, 16, 35-47. GOÑI, J.M. (2008). 32–2 ideas clave para el desarrollo de la competencia matemática. Barcelona: Graó. HABERMAS, J. (1981). Teoría de la acción comunicativa. Madrid: Taurus. IRANZO, N. y PLANAS, N. (2009). Las preguntas en la clase de matemáticas de secundaria. En N. Planas y À. Alsina (coords.), Educación matemática y buenas prácticas (pp. 187197). Barcelona: Graó. SOCAS, M. (2002). Las interacciones entre iguales en clase de matemáticas: consideraciones acerca del principio de complementariedad en educación matemática. RELIME-Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 5(2), 199-216. PIMM, D. (1990). El lenguaje matemático en el aula. Madrid: Morata -MECD. PLANAS, N. y IRANZO, N. (2009). Cuestiones metodológicas para la interpretación de procesos de interacción en el aula de matemáticas. RELIME-Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 12(2), 7-28.


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FUENTES Y RECURSOS Revistas Revista de Didáctica de las Matemáticas: UNO. www.grao.com/home/default.asp • Contenidos del capítulo con el que está relacionado: con todos los capítulos de este volumen ya que al tratarse de una revista de didáctica de las matemáticas recorre todos los tópicos relacionados con esta temática. • Resumen descriptivo: esta referencia nos dirige a la revista UNO de didáctica de las Matemáticas donde podremos encontrar artículos relacionados con las distintas cuestiones didácticas tratadas a lo largo de todo este volumen. • Valoración: es una de las revista de referencia en el ámbito de la lengua española. Cabe destacar que en cada número la revista trata de una temática de manera monográfica. • Recomendaciones de uso: conviene que se consulte periódicamente esta publicación trimestral ya que permite a los docentes actualizar sus conocimientos en los diferentes temas de los que se ocupa la didáctica. SUMA. Es la revista de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas. www.revistasuma.es • Contenidos del capítulo con el que está relacionado: con todos los capítulos de este volumen por ser una revista de didáctica de las matemáticas de tipo general. • Resumen descriptivo: es la revista de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, que es a su vez una referencia interesante ya que en la página web de esta asociación(http://fespm.es/spip) puede encontrarse información muy interesante sobre la profesión docente. Es una buena fuente de información para saber cuándo se celebran congresos, reuniones profesionales etc. Desde esta dirección se puede acceder al resto de revistas que editan diferentes sociedades regionales (NÚMEROS, SIGMA….) • Valoración: es una revista que recoge aportaciones de profesores y, desde este punto de vista, refleja bien las preocupaciones de este colectivo. Es una revista de calidad y alto interés profesional. • Recomendaciones de uso: es recomendable para todos los docentes y puede servir de fuente de información para la realización de trabajos a los estudiantes del máster.

Recursos web REDEMAT. www.recursosmatematicos.com/redemat.html • Contenidos del capítulo con el que está relacionado: la información contenida en esta página abarca prácticamente todos los tópicos tratados en este volumen. De destacar algún capítulo en particular, habría que hacerlo con el relacionado con las tareas, ya


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que existen abundantes referencias a lugares desde los que obtenerlas. • Resumen descriptivo: esta página contiene abundante información sobre todo tipo de cuestiones relacionadas con la enseñanza de las matemáticas. • Valoración: es una página muy interesante por lo variado y completo de la información contenida en sus páginas. • Recomendaciones de uso: es recomendable para todos los profesionales de la enseñanza de las matemáticas y fuente de información para los estudiantes del máster que podrán encontrar aquí información de casi cualquiera de los temas tratados en este volumen. Instituto vasco de evaluación: ISEI –IVEI. www.isei-ivei.net • Contenidos del capítulo con el que está relacionado: la información contenida en esta página se relaciona fundamentalmente con el capítulo de evaluación. • Resumen descriptivo: desde esta página web puede accederse a mucha información sobre evaluación. Tal vez lo más interesante y específico sean los ítems liberados de PISA que pueden dar una idea aproximada del tipo de tareas que se usan en este proyecto de evaluación. • Valoración: la información es de calidad y los informes pueden ayudar a recabar información sobre los resultados de las evaluaciones tanto nacionales como internacionales. • Recomendaciones de uso: En principio su uso es recomendable para cualquier docente de matemáticas, ya que orienta bien sobre los tipos de evaluaciones y sus resultados. NCTM – Nacional Council of Teachers of Mathematics. www.nctm.org • Contenidos del capítulo con el que está relacionado: esta página web pertenece a una de las instituciones internacionales más prestigiosas en la educación matemática. Está, por lo tanto, relacionada con todos los contenidos de este volumen. • Resumen descriptivo: en esta página web puede encontrarse información variada sobre educación matemática. De todas formas lo más conocido de esta institución son sus propuestas de currículo, los conocidos como «estándares del NCTM». • Valoración: estamos, sin duda, ante una de las referencias clave en la educación matemática. La calidad de la misma es del máximo nivel. • Recomendaciones de uso: es una fuente de recursos del máximo interés para todas las personas interesadas en educación matemática. Puede usarse como fuente de información para los estudiantes del máster. Los lectores pueden consultar las siguientes páginas sobre pruebas de diagnóstico: • www.ediagnostikoak.net/ediag/cas/itemliberados/ESO_definitivo/2ESO_defini tivo_4_matematicas.pdf


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FUENTES Y RECURSOS

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www.ctv.es/S/aspopa/documentos/mathematikoi.pdf http://dpto.educacion.navarra.es/publicaciones/pdf/Marcoteorico2.pdf www.redined.mec.es/oai/indexg.php?registro=008199400004 www.juntadeandalucia.es/educacion/nav/contenido.jsp?pag=/Contenidos/OEE/ evaluacion/informe_evaluacion_diagnostico_2007

VOLÚMENES COMPLEMENTARIOS Vol. I. Matemáticas. Complementos de formación disciplinar Vol. III. Matemáticas. Investigación, innovación y buenas prácticas

VOLÚMENES CORRESPONDIENTES AL MÓDULO GENÉRICO Y AL PRÁCTICUM Vol. I. Desarrollo, aprendizaje y enseñanza en la educación secundaria Vol. II. Procesos y contextos educativos: enseñar en las instituciones de educación secundaria Vol. III. Sociología de la educación secundaria Vol. IV. Aprender a enseñar en la práctica: procesos de innovación y prácticas de formación en la educación secundaria

VOLÚMENES CORRESPONDIENTES A ORIENTACIÓN EDUCATIVA Vol. I. Orientación educativa. Modelos y estrategias de intervención Vol. II. Orientación educativa. Atención a la diversidad y educación inclusiva Vol. III. Orientación educativa. Procesos de innovación y mejora de la enseñanza

Vol. II. Procesos y contextos MA122:Layout 2 8/6/11 12:53educativos: Página 1 enseñar en las instituciones de educación secundaria

Vol. IV. Aprender a enseñar en la práctica: procesos de innovación y prácticas de formación en la educación secundaria

VOLÚMENES CORRESPONDIENTES A ORIENTACIÓN EDUCATIVA Vol. I. Orientación educativa. Modelos y estrategias de intervención Vol. II. Orientación educativa. Atención a la diversidad y educación inclusiva Vol. III. Orientación educativa. Procesos de innovación y mejora de la enseñanza

FORMACIÓN DEL PROFESORADO. EDUCACIÓN SECUNDARIA

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FORMACIÓN DEL PROFESORADO. EDUCACIÓN SECUNDARIA

II Esta colección tiene por objetivo principal contribuir a la formación del profesorado y reflejar una visión coherente de la educación secundaria (obligatoria y bachillerato), tanto en lo que concierne a las finalidades de las etapas y enseñanzas que la conforman como a los planteamientos curriculares, didácticos y psicopedagógicos. Asimismo, sugiere nuevos enfoques en la formación del profesorado compaginando el rigor científico de los contenidos con una presentación práctica de los mismos, que puede ser útil tanto para el futuro profesor (Máster de Secundaria) como para el docente en ejercicio que desee potenciar su desarrollo profesional. Este libro está escrito pensando en la acción didáctica de los docentes desde el punto de vista de su práctica profesional. Se centra en la lógica de las acciones profesionales unidas a la práctica docente en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas; por ello desarrolla los siguientes apartados: las finalidades, la propuesta de tareas, la evaluación, la planificación curricular, los procesos de aprendizaje y la acción comunicativa.

Jesús María Goñi (coord.) Universidad del País Vasco


Vol. III. Sociología de la educación secundaria


Fernando Corbalán Coordinador del Programa «Matemática Vital». Gobierno de Aragón Joaquín Giménez Universidad de Barcelona Irene López-Goñi Universidad Pública de Navarra Salvador Llinares Universidad de Alicante

Jesús María Goñi (coord.) Fernando Corbalán, Joaquín Giménez, Jesús María Goñi, Irene López-Goñi, Salvador Llinares, M.ª Carmen Penalva, Nuria Planas, Julia Valls, Yuly M. Vanegas

M.ª Carmen Penalva Universidad de Alicante Nuria Planas Universidad de Barcelona Julia Valls Universidad de Alicante Yuly M. Vanegas Universidad de Barcelona

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Vol. II

Didactica De La Matematica 234923

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