Division De Polinomios Cocientes Notables 1x472m

INSTITUCION EDUCATIVA SECUNDARIA

“JORGE BASADRE” LLUCHUBAMBA

MATEMATICA 2º secundaria FICHAS DE TRABAJO

UNIDAD Nº. DIVISION DE POLINOMIOS ALUMN@: PROFESORA: Cruz Alejandrina Castillo Marquez

2011.

I.E.”JORGE BASADRE”

UNIDAD DIVISION DE POLINOMIOS ¿Para qué aprendemos?

Para: •

Analizar los diversos modos que existen para calcular el COCIENTE y el RESIDUO en una división de polinomios, ya sea efectuando la división o no.

•

Resolver problemas aplicando los métodos de división.

CONTENIDOS 1. METODOS DE DIVISION DE POLINOMIOS. Ley de exponentes División de monomios División de polinomio entre monomio División de polinomios Propiedades de la división Métodos de la división CLASICO HORNER RUFFINI PRACTICA 2. MODOS DIRECTOS DE HALLAR EL RESIDUO Y EL COCIENTE. Teorema del Resto Practica Cocientes notables; casos Practica EVALUACION.

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1. METODOS DE DIVISION DE POLINOMIOS. LEY DE EXPONENTES

a m ÷ a n = a m −n ; ∀a ∈ R − {0}

x 12 Ejm. 5 = x

DIVISIÓN DE MONOMIOS Primero dividimos los coeficientes y luego las partes literales. Ejm. (-24x7) : (+3x2) =

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO Dividimos cada uno de los términos cada uno de los términos del polinomio entre el monomio dado, empleando lo que acabamos de aprender en división de monomios. Ejm. (8x10y7 – 28x12y8) : (2x3y2) =

DIVISIÓN DE POLINOMIOS Los 4 elementos de la división deben ser POLINOMIOS y los representamos así: Dividendo Divisor Cociente Resto o Residuo

: D(x) : d(x) : Q(x) : R(x)

DIVISION INEXACTA:

D(x)=d(x).Q(x)+R(x)

DIVISION EXACTA:

D(x)=d(x).Q(x)

PROPIEDADES DE LA DIVISION EL GRADO DE COCIENTE se obtiene EL GRADO MÁXIMO DEL RESIDUO es restando los grados del dividendo y del una unidad menos que el grado del divisor. divisor. [Q(x)]º = [D(x)]º - [d(x)]º Ejm. Ejm. (7x8-3x4+x+6) : (x3-x+1) [Q(x)]º = [D(x)]º - [d(x)]º =

(7x8-3x4+x+6) : (x3-x+1) Grado Máx.R(x) = [d(x)]º - 1 =

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METODOS DE LA DIVISION

CLASICO

HORNER

RUFFINI

IMPORTANTE; AL OPERAR LA DIVISION DE POLINOMIOS POR CUALQUIER MÉTODO, ANTES DE APLICAR EL RESPECTIVO PROCEDIMIENTO SE COMPLETA CON CEROS Y SE ORDENA LOS POLINOMIOS.

MÉTODO CLÁSICO Primero se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra, luego se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, con lo que tendremos el primer término del cociente, que se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo. Se escribe cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo, se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor. Dividimos el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. Se procede de igual forma. Ejemplos: a) Dividir 3x

2

3x 2 + 2x – 8 entre x + 2

+ 2x - 8

x+2

-3x 2 – 6x 3x – 4 ____________ – 4x - 8 4x + 8 _______ 0x + 0 b) Dividir 2x 3 - 2 - 4x entre 2 + 2x Al ordenar el dividendo y el divisor debemos tener presente que en el dividendo falta el término en x 2, por lo que debemos dejar un lugar para ese término: 2x 3 – 4x – 2 3 2 -2 x – 2 x _________________ –2x2 – 4x–2 2x2+2x ______________ -2x -2 2x +2 ________ 0x+ 0

2 + 2x 2

x -x-1

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c) Dividir 3a 5 + 10a 3b 2 + 64a 2b 3 - 21a 4b + 32ab 4 Al colocar en orden descendente respecto a a:

entre

a 3 - 4ab 2 - 5a 2b

3a 5 - 21a 4b + 10a 3b 2 + 64a 2b 3 + 32ab 4

a 3 -5a 2b - 4 ab 2

- 3 a5 +15 a4b+ 12 a3 b 2 ____________________________________ - 6a 4b + 22a 3b 2 + 64a 2b 3

3a 2 - 6ab - 8b 2

6a4b - 30a 3b 2 - 24a 2b 3 _____________________________ -8a 3b 2 + 40a 2b 3 + 32ab

4

8a3b2 – 40 a 2 b 3 – 32 ab 4 __________________________________

0a3b2 +

0 a 2 b 3 + 0 ab 4

d) Dividir x 12 + x 6y 6 - x 8y 4 - x 2y 10 entre

x 8 + x 6y 2 - x 4y 4 - x 2 y6

Al ordenar el dividendo tenemos x 12 - x 8y 4 + x 6y 6 - x 2y 10 . Se Observa que faltan los términos en x 10y 2 y y x 4y 8, por lo que dejaremos un espacio para ellos: − x 8y 4 + x 6y 6

x 12

− x 2 y 10

− x 12 − x 10 y 2 + x 8 y 4 + x 6 y 6 − x 10 y 2

x8 + x6y2 − x4y4 −x2y6 x4 −x2y2 + y4

+ 2x 6 y 6

x 10 y 2 + x 8 y 4 + x 8y 4 +

x 6y 6 − x4y 8

x 6 y 6 − x 4 y 8 − x 2 y 10

− x 8 y 4 − x 6 y 6 + x 4 y 8 + x 2 y 10

e) Dividir 11a 3 - 3a 5 - 46a 2 + 32 entre 8 - 3a 2 - 6a Se ordena en forma ascendente para que el primer término del divisor sea positivo, lo cual siempre es más cómodo. Además, como en el dividendo faltan los términos en a 4 y en a, se dejan los lugares vacíos correspondientes y obteniendo: 32

− 46a 2 + 11a 3

− 3a 5

−32 + 24a + 12a 2

8 − 6a − 3a 2 4 + 3a − 2 a 2 + a 3

24a + 34a 2 + 11a 3 −24a + 18a 2 + 9a 3 16a 2 + 20a 3 −16a 2 + 12a 3 − 6 a 4 8a 3 − 6a 4 − 3a 5 −8a 3 + 6a 4 + 3a 5 0a 3 + 0 a 4 + 0 a 5

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MÉTODO HORNER La división de polinomios se efectúa colocando los coeficientes en el siguiente ESQUEMA de HORNER: D IVISOR

D

I

V

I

D

E

N

COCIENTE

D O

RESIDUO

Ejm 1. Dividir: (6x5-20x4-13x3+25x2-12x+7) : (3x2-x+1) 3

6

+1

-20

-13

+2

-2

-1

-6

2 2x3 Rpta:

25

-6

Q(x) = 2x3 - 6x2-7x+8 R(x) = 3x-1

Q(x) = R(x) =

-7

+7

8

+8 3

+8

Ejm 2. Dividir: (x6+6x3-2x5-7x2-4x+6) : (x4-3x2+2)

Rpta:

7

6

-7

-6x2 -7x

-12

3x

-8 -1 -1

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MÉTODO DE RUFFINI Esta regla, es un caso particular del METODO DE HORNER. Se aplica en general par dividir un P(x) entre un divisor que tenga la forma: x ± b. ESQUEMA RE RUFFINI D I V I D E N D

O

COCIENTE

RESTO

TERMINO INDEPENDIENTE

1. Efectuar: (2x5+x3+3x+2) : (x+1) 2

0

1

0

3

2

-2

2

-3

3

-6

-2

3

-3

6

-4

2x4 -2x3 +3x2 -3x

+6

-1 (x)

Rpta:

2

Q(x) = 2x4-2x3+3x2-3x+6 R(x) = - 4

2. Efectuar: (3x6+2x4-3x3+5) : (x-2)

Rpta:

Q(x) = R(x) =

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PRACTICA 1. Completa el siguiente cuadro: DIVIDENDO D(x) 2x3 – 1 + x – 2x2 7x8 – 3x2 + x5 – x + 4

DIVISOR d(x) x+1

[D(x)]º

[d(x)]º

[Q(x)]º

[R(x)]ºmáx.

x-1 -1 + x

2x3 – x2 + 2 x5 + x2 + x3 + 6x4 + 13x 6x5 – 3x3 + 3x + 6

x2 + 6x + 1 1+x x+2

3 – x +2x4 – 2x3 30m5 + 18m2 – 7m3 + 2 + m z5 + z4 + 2 + 3z3 + 2z2 y7 + 5y6 + 6y3 + y5 + 8y4 – 4y - 7 6a11+ 12a4 +2a8 + 3a7 +6 -a

10m3 + 6 + m 3+z2+z y4 + 5y3 - 4 3a7 – 5 + a4

2. Halla el COCIENTE y el RESIDUO respectivo; empleando HORNER ó RUFFINI y comprobar por el método clásico. DIVISION DE POLINOMIOS 3

2

( 2x – 1 + x – 2x ) : (x + 1) (7x8 – 3x2 + x5 – x + 4) : (x – 1) (2x3 – x2 + 2) : (-1 + x) (x5 + x2 + x3 + 6x4 + 13x) : (x2 + 6x + 1) (6x5 – 3x3 + 3x + 6) : (1 + x) (3 – x +2x4 – 2x3) : (x + 2) (30m5 + 18m2 – 7m3 + 2 + m) : (10m3 + 6 + m) (z5 + z4 + 2 + 3z3 + 2z2) : (3+z2+z) (y7 + 5y6 + 6y3 + y5 + 8y4 – 4y – 7) : (y4 + 5y3 – 4) (6a11+ 12a4 +2a8 + 3a7 +6 –a) : (3a7 – 5 + a4)

Q(X)

R(X)

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3. MODOS DIRECTOS DE HALLAR EL RESIDUO Y EL COCIENTE. Teorema del Resto Es un modo directo de hallar el RESIDUO o RESTO de una división de polinomios; siempre y cuando el DIVISOR tenga la forma: ax ± b.

R = P(-b/a) Ejm 1. Halla el Residuo de dividir: P(x)=3x3+x+1 entre (3x-6) Solución: Primero: igualamos el divisor a CERO:

Segundo: Reemplazamos (x = 2) en:

3x – 6 = 0 3x= 6 x= 6/3 x=2 P(x) = 3x3+x+1 P(2) = 3(2)3+(2)+1 = 27

Rpta: R(x) = 27

PRACTICA •

Utilizando el TEOREMA del RESTO halle el resto de cada una de las siguientes divisiones:

1. Halle el Resto de: (x7 + 1) : (x – 1)

R = P(-b/a) Solución: Primero: igualamos el divisor a CERO:

Segundo: Reemplazamos (x =

Rpta: R(x) = ________

) en:

I.E.”JORGE BASADRE”

2. Halle el Resto de: (a10 – 2) : (a + 1)

R = P(-b/a) Solución: Primero: igualamos el divisor a CERO:

Segundo: Reemplazamos (x =

) en:

Rpta: R(x) = ________

3. Halle el Resto de: (y8 – 8) : (3y + 3)

R = P(-b/a) Solución: Primero: igualamos el divisor a CERO:

Segundo: Reemplazamos (x =

) en:

Rpta: R(x) = ________

4. Halle el Resto de: (5x4 – 3x3 – 6) : (10x + 10)

I.E.”JORGE BASADRE”

R = P(-b/a) Solución: Primero: igualamos el divisor a CERO:

Segundo: Reemplazamos (x =

) en:

Rpta: R(x) = ________

5. Halle el Resto de: (6m3 – 3m + 1) : (m + 2)

R = P(-b/a) Solución: Primero: igualamos el divisor a CERO:

Segundo: Reemplazamos (x =

) en:

Rpta: R(x) = ________ 6. Halle el Resto de: (x58 + 85) : (8x – 8)

R = P(-b/a)

I.E.”JORGE BASADRE”

Solución: Primero: igualamos el divisor a CERO:

Segundo: Reemplazamos (x =

Rpta: R(x) = ________

) en:

I.E.”JORGE BASADRE”

COCIENTES NOTABLES COCIENTES NOTABLES. Son resultados de ciertas divisiones que por poseer características especiales, se pueden escribir directamente SIN EFECTUAR la división.

CASOS: CASO I:

xn − an = x n −1 + x n −2 a + x n −3 a 2 + ... + a n −1 x −a

; con

" n" par ó impar .

; con

" n" impar .

Ejm. x5 − a5 = x 4 + x 3 a + x 2 a 2 + xa 3 + a 4 x−a

CASO II:

xn + an = x n −1 − x n −2 a + x n −3 a 2 − ... + a n −1 x+a

Ejm. x5 + a5 = x 4 − x 3 a + x 2 a 2 − xa 3 + a 4 x+a

CASO III:

xn − an = x n−1 − x n −2 a + x n −3 a 2 − ... + a n −1 x+a

Ejm. x4 − a4 = x 3 − x 2 a + xa 2 − a 3 x+a

; con

" n" PAR .

I.E.”JORGE BASADRE”

PRACTICA Escribir directamente los cocientes notables (CN) de las siguientes divisiones: NRO. DIVISION C.N. 01 3 3 x −y x−y

02

a4 −b4 a −b

03

m 4 − 16 m−2

04

x 3 −1 x −1

05

x5 + y 5 x+y

06

a3 + b3 a +b

07

y 5 + 32 y +2

08

a 20 − b 5 a4 − b

09

x 10 + y 20 x2 − y4

10

m 70 − t 42 m10 − t 6

11

x 21 + m 28 x3 + m4

12

t 20 − m 80 t 2 + m8

EVALUACION. 1. ¿Cuánto debemos aumentar al polinomio P(x) =x4+3x-x2+1; para que al dividirlo entre (x+1) el residuo resulte 40? a) b) c) d) e)

-42 -17 42 -20 38

2. ¿Cuánto hay que aumentar a P(x) para que al dividirlo entre (x-2) el resto sea 24? P(x)=2x5-5+x2+2x3 a)

19

I.E.”JORGE BASADRE”

b) c) d) e)

79 11 21 13

3. ¿Cuánto se debe disminuir a P(x) para que al dividirlo entre (x+1) el resto sea nulo? P(x)=x6+2x4-1+x2 a) b) c) d) e)

3 -3 -1 -2 2

4. Calcular el residuo de dividir:

a) b) c) d) e)

( x + 3)12 + 2 x − 7 4x + 8

8 4 6 -10 -12

5. Hallar la suma de coeficientes del cociente que resulta de dividir: (x3+5x2+10x+10) : (x2+2x+1) a) b) c) d) e)

1 2 3 4 -6

6. Calcular el residuo de dividir:

a) b) c) d) e)

-1 -7 5 8 -5

x 73 + 2 x 49 + x −1 7x + 7

7. Hallar el C.N. correspondiente a la división: (x3+1) : (x+1) a)

x2+x+1

I.E.”JORGE BASADRE”

b) c) d) e)

x2-x-1 x3+x-1 x2+1 x2-x+1

8. Calcular el C.N. en: (x25+1) : (x5+1) a) b) c) d) e)

x24+x23+x22+1 x20+x15+x10+x5+1 x20-x15+x10-x5+1 x20+1 no hay C.N.

9. Calcular el valor de “n” si se sabe que la siguiente división tiene 5 por residuo.

a) b) c) d) e)

6 10 12 8 15

2 x 3 + nx 2 + nx + 1 nx + 2n

10. Dar la suma de coeficientes del cociente que resulta de efectuar: [x3+5x2+10x+10] : [x2+2x+1] a) b) c) d) e)

0 1 2 3 4