Ecuaciones Diferenciales De Variables Separables 603hr

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES: Sería muy bueno contar con una fórmula explícita para una solución de una ecuación diferencial. Por desgracia, esto no siempre es posible. Analizaremos cierto tipo de ecuaciones diferenciales que pueden resolverse de manera explícita. Una ecuación separable es una ecuación diferencial de primer orden en la cual la expresión se puede factorizar como una función de x multiplicada por una función de y. En otras palabras se puede escribir en la forma:

dy M ( x)  dx N ( y)

si N ( y )  0

El nombre separable proviene del hecho de que la expresión del segundo miembro se puede “separar” en una función de x y otra de y. Para resolver esta ecuación, la escribimos en la forma M ( x)dx  N ( y)dy de modo que todas las y están en uno de los y todas las x están en el otro. Entonces integramos los dos de la ecuación: , esta ecuación define y de manera implícita en términos de x. Si en cambio tenemos:

f1 ( x) g1 ( y)dx  f 2 ( x) g 2 ( y)dy  0 (producto de funciones de x e y), la

ecuación que resulta se llama con variables separables. Para resolverla, dada la ecuación diferencial: f1 ( x) g1 ( y)dx  f 2 ( x) g 2 ( y)dy  0

agrupamos en un mismo miembro las funciones de una misma variable con su respectivo diferencial y en el otro miembro las funciones de la otra variable con su respectivo diferencial: f 1 ( x) g ( y) dx   2 dy f 2 ( x) g1 ( y )

Integrando obtenemos la solución general: f 1 ( x) g ( y) dx   2 dy  C ( x ) g1 ( y ) 2

f



Ejemplo: Hallar la solución general de y  

y x 1

La ecuación dada es ( x  1)dy  ydx  0 Separando las variables:

dy dx   y x 1



dy  y

 x  1  C  ln y  ln(x  1)  ln C  y  C( x  1) dx

solución general. Observe que la solución general se obtuvo en el último paso, aplicando propiedades de logaritmo, recuérdelas.

EJERCICIOS: 1º) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables:

a) xydx  (a  x 2 )( y  b)dy  0 dy  x 2  yx 2  0 dx y c) e (1  y )  1

b) ( y 2  xy 2 )

d ) (1  y 2 )dx  xdy e) (1  y 2 )dx  xy dy  0 f ) y (1  x 2 )  1  y 2  0 g ) senx.cos y dx  senx cos y dy  0 h) z.dt  (t  a 2 )dz  0 2

2º) Hallar la solución de la ecuación y.y’ = -x tal que y(0) = 1. Describa geométricamente la solución del problema. Modelos de crecimiento de poblaciones:

Un modelo para el crecimiento de una población se basa en la hipótesis de que ésta crece a una rapidez proporcional a su tamaño. Es una hipótesis razonable para una población de bacterias o de animales en condiciones ideales. Identifiquemos y nombremos las variables en este modelo: t = tiempo (variable independiente) P = cantidad de individuos en la población (variable dependiente)

La rapidez (tasa) de crecimiento de una población es la derivada

. De modo que la rapidez

de crecimiento de esa población (hipótesis) es proporcional a su tamaño se escribe como la ecuación: donde k es la constante de proporcionalidad.

Esta ecuación es el primer modelo para el crecimiento de las poblaciones; es una ecuación diferencial porque contiene una función desconocida P y su derivada

.

Algunas de las consecuencias que derivan de esta ecuación, serían que si descartamos una población 0, entonces P(t) >0 para todo t. De modo que si, k>0, entonces la ecuación indica que para todo t. Esto significa que la población crece siempre, pues a medida que P(t)

aumenta,

se vuelve más grande, en otras palabras la tasa de crecimiento aumenta al

incrementarse la población. La resolución de esta ecuación utiliza el método de separación de variables:

dP  kP dt dP  kdt P dP  k  dt  ln P  kt  P  e kP  P  e k e P P  de donde P  Ce P De donde C=

es una constante arbitraria.

Veamos un ejemplo: Un cultivo tiene una cantidad inicial P0 de bacterias. Cuando t = 1 h la cantidad media de bacterias es 3/2 P0. Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias presentes P(t) en el momento t , calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos . Solución: Primero planteamos la ecuación diferencial de acuerdo al enunciado la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias presentes P(t) en el tiempo t se traduce como : dP  kP dt

A continuación usaremos el hecho de que si t = 1, P (t)=3/2 P0 para determinar la constante de proporcionalidad k. Sabemos que es una ecuación de variables separables y para encontrar la constante k, en la integración usaremos como límites de integración los siguientes datos: en el tiempo inicial: t = 0 , la condición inicial es P = P0 en

t = 1 la condición es

P (t)=3/2 P0

Primero separamos variables y utilizamos las condiciones anteriores como límites de integración: dP  kdt  P ln

3 2

P0

P0

3 / 2 P0



P0

 k  ln

1

3 P dP  k dt  ln P P2 0  k t 10  ln 32 P0  ln P0  k1 0 P

 0

3 2

 k  0.4055  k

Una vez que encontramos el valor de k volvemos a plantear la ecuación con ese valor encontrado para encontrar el momento en que se triplica la cantidad de bacterias para ello ahora teniendo en cuenta la constante usamos como límites de integración los otros datos :

En el tiempo inicial t = 0, la condición inicial era P = P0, ahora buscamos el tiempo t = x donde la población se triplica, es decir cuando P= 3 P0, en consecuencia planteamos nuestro problema como: dP  0.04055dt  P

ln



3 P0

P0

x dP 3P  0.04055 dt  ln P P 0  0.04055t 0x  ln 3P0  ln P0  0.04055x 0 0 P



3P0  0.04055x  ln 3  0.04055x  x  2.71h P0

Luego el tiempo requerido para triplicar una población inicial por ejemplo de 100 o 100000 de bacterias siempre es aproximadamente de 2.71 horas. Ejercicio:Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. a) Si la población se duplicó en cinco años. ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?.b) Suponga que la población de la comunidad es de 10.000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial?¿Cuál será la población en diez años?-