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1 Ejercicios de dependencia e independencia lineal

1. Determina si cada uno de los siguientes sistemas de vectores de R5 son o no linealmente independientes. Si no lo son, escoge de entre ellos un conjunto de vectores linealmente independientes, con el mayor n´ umero de elementos posible: (a) B1 = {(1, 1, 1, 1, −1), (0, 1, 0, 0, 0)} (b) B2 = {(1, 1, 1, 1, −1), (−1, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 2, 2, 2, 0)} (c) B3 = {(1, 1, 1, 1, −1), (−1, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)} 2. Determina cu´al de los siguientes sistemas de vectores forman una base de R3 . Los que no lo sean, quita o a˜ nade alg´ un vector para convertirlos en una base: (a) B1 = {(1, 2, 1), (0, −1, 0), (1, 1, 0), (3, 2, 1)} (b) B2 = {(−1, 1, 0), (2, 1, 9), (0, 0, 1)} (c) B3 = {(1, , 1, 1), (−1, −1, −1), (2, 1, −1)} 3. Escribe dos bases distintas B1 = {v1 , v2 , v3 , v4 } y B2 = {w1 , w2 , w3 , w4 } de R4 . Construye una aplicaci´on lineal f : R4 → R4 tal que f (vi ) = wi . Determina su matriz M . Determina, en funci´on de M , la matriz de g : R4 → R4 que asigna g(wi ) = vi . 4. Escribe el vector (1, 1, 1) como combinaci´on lineal de los elementos de la base B = {(0, 0, 1), (1, −1, 1), (1, 1 − 2)} de R3 . 5. En R5 considera el subespacio S definido por las ecuaciones homog´eneas ( x1 + x5 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0 Determina una transformaci´on lineal que tenga S como n´ ucleo. Determina una base y la dimensi´on de S. 6. La matriz



0 2 −3 −4

 M =  1 6 −3 1 0 0



 2   2

define una transformaci´on lineal f . Determina su n´ ucleo mediante unas ecuaciones impl´ıcitas y mediante unas param´etricas. Da una base de ker(f ). ´Idem con la imagen de f

2 7. En R5 se considera el subespacio S generado por los vectores {(1, 1, 1, 1, 1), (−1, 2, 1, −1, 0), (2, 1, 2, 1, −1), (2, 4, 4, 1, 0)}. Determina si son linealmente independientes. Determina una base y la dimensi´on de S. 8. Escribe una f´ormula que permita escribir cualquier vector (x, y) ∈ R2 como combinaci´on lineal de (1, 1) y (−1, 1). 9. Completa los siguientes sistemas de vectores hasta una base de R3 y da unas ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas de los subespacios que generan: (a) B1 = {(1, 1, 0), (−1, 1, 0)} (b) B2 = {(1, 0, 1), (2, 0, 2), (−1, 1, 1)} (c) B3 = {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (−1, 1, 0)}