5 Dependencia E Independencia Lineal Wr 2a3p49

3.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano Definición Se dice que es un conjunto de funciones

es linealmente

independiente en un intervalo I si no es linealmente dependiente en el intervalo. En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las únicas constantes para las cuales

para toda x en un intervalo, son

.

Es fácil entender estas definiciones en el caso de dos funciones

. Si

las funciones son linealmente dependientes en un intervalo, entonces existen constantes , no siendo ambas nulas, tales que para todo x del intervalo . Por lo tanto, si se supone que

, se infiere que

. Esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es simplemente un múltiplo constante de otra. Recíprocamente si para alguna constante se tiene que entonces.

para todo x de un intervalo. Por lo tanto, las funciones son linealmente dependientes puesto que al menos una de las constantes (a saber, ) no es nula se concluye que dos funciones son linealmente independientes cuando

ninguna es ningun multiplo constante de la otra en un intervalo. Ejemplo Las funciones

y

en el intervalo

puesto que

se satisface para todo x real si elegimos (Recuérdese la identidad trigonométrica

son linealmente dependientes

. ).

Ejemplo Las funciones

f1  x y f 2  x son linealmente dependientes en el intervalo

Un examen cuidadoso de la figura 2.1 debería convencer al lector de que ninguna de las dos funciones es un múltiplo constante de la otra. Para tener para todo x real, debemos elegir

Figura 2.1

El intervalo en el cual las funciones están definidas es importante en las consideraciones sobre dependencia e independencia lineal. Las funciones en el ejemplo anterior son linealmente dependientes en el intervalo

ya que

c1 x  c2 x  c1 x  c2 x  0 se satisface para cualquier valor no nulo de

Ejemplo

tal que

Las

funciones

,

linealmente dependientes en el intervalo

son

ya que

cuando . Se hace notar que

y que

Un conjunto de funciones

. es linealmente dependientes en un

intervalo si al menos una función puede expresarse como combinación lineal no trivial de las restantes funciones.

Ejemplo Las

funciones

linealmente dependientes en el intervalo

son ya que

para todo x en el intervalo.

El wronskiano El siguiente teorema proporciona una condición suficiente para la independencia lineal de n funciones en un intervalo. Cada función se supone diferenciable por lo menos veces.

Teorema 3.5.3

Supóngase que

tiene al menos

derivadas. Si el

determinante no es cero por lo menos en un punto de intervalo I, entonces las funciones son linealmente independientes en el intervalo. El determinante que aparece en el teorema 2.3 se designa por

y se llama wronskiano de las funciones.

Colorario Si

tienen por lo menos

derivadas y son linealmente

dependientes en , entonces

para todo

del intervalo.

Ejemplo Las funciones en

son linealmente dependientes . (¿Por que?) Por el colorario precedente, se observa que

=2

Ejemplo Para

W (em1x , em2 x ) 

em1x m1em1x

em2 x  (m2  m1 )e( m1 m2 ) x  0 m2em2 x

para todo valor real de . Por lo tanto

son linealmente independientes en

cualquier intervalo del eje .

Ejemplo Si

son números reales,

entonces

son

linealmente independientes en cualquier intervalo del eje

puesto que

. Nótese que haciendo

se ve que

, son también

linealmente independientes en cualquier intervalo del eje .

Ejemplo Las

funciones

independientes en cualquier intervalo del eje x puesto que

son

linealmente

no es cero para ningún valor real de

Ejemplo son linealmente independientes en embargo, no es posible calcular el wronskiano ya que

no es derivable en

; sin .