Independencia Lineal 5ou5h

INDEPENDENCIA LINEAL Definicion 1. DEPEDNDENCIA E INDEPENDENCIA LIENAL Sea S = { V1 , V2 , ………. , Vn} un subconjunto de vectores distintos de un espacio vectorialV. Diremos que el conjunto S es LINEALMENTE DEPENDIENTES (l. d.) si existen escalares todos cero , tales que: +

+ ……….. +

,….. ,

, no

=0 vector nulo

Un conjunto S que no es linealmente dependiente se define linealmente independiente. Dicho de otra manera: S={

, ……, } es O es LINEALMENTE INDEPENDIENTE (l .i) si la ecuación

, +

+ …… +

=O

Si S tiene solo un numero finito de vectores , ,….. se dice, a veces, que ,….., son dependientes ( o independientes), en vez de decir que S es dependiente (o independiente).

EJEMPLO 01 : Dado los vectores l,i, o l.d? +

= (3, -8) y

= (-2,3) dos vectores de IR2, ¿Son los vectores

= (0,0)

(3 , -8) +

(-2 ., 3) = (0,0) (

)

(

)

{ Al resolver el sistema, obtenemos: =0 , =0 Afirmamos que los vectores , son l.i. BASES Y DIMENSIONES Definicion 2. BASE Sea V in IK-espacio vectorial y S = {

,

, . . . , } un subconjunto de V.

y

Diremos que el conjunto de vectores S = { 1. { 2. {

, ,

,

, . . . , } es una BASE del espacio vectorial V , si:

, . . . , } es linealmente independiente , . . . , } genera V . Esto es V = L * , . . . ,

}

el espacio V es de dimendiones finita si tiene una base finita. EJEMPLO 02: Sea V = IR2 EJEMPLO 2. Si: V = IR2 una espacio vectorial sobre IK = IR , Sea u = (a,b) y v = (c,d) vectores de V , tal que ad – bc 0. Probar qye u y v cinstituyen una base de V. Demostración: Debo probar 2 afirmaciones: 1. Que los vectores u y v son l.i. ( ) Debo probar que Veamos: ) ( ) ( Supongos que ( ( )

) (

)

( ) ( ) Aquí se tiene un sistema lineal homogéneo con dos incognitas. {

El determinante de los coeficientes ,que es, |A| = |

| = ad – bc es diferente de cero.

Por lo tanto afirmamos que la única solución es la trivial, esto es: que y v son l.i.

=0 ,

= 0 . Lo cual implica

2. Ahora debo probar que los vectores u y v generan a IR2. Veamos: Sea (x,y) un vector cualquiera de V = IR2, debo probar que el vector (x,y) sea una combinación lineal de u y v. Es decir: (x,y) = mu + nv , m IR , N IR = m(a,b) + n(c,d) Donde los escalares “m” y “n” son únicos y deben estar expresados en función de “x” e “y”. (x,y) = (ma + nc ,mb + nd) ( ) { ( ) { { n(ad – bc) = ay – bx n= ,,, ad – bc 0

{ { m (ad – bc) = dx –cy m=

, ad – bc 0

PROBLEMA 03: Sea V = IR3 un espacio vectorial sobre IK = IR ,probar que ⃗ = (1,3,5) , (2, -2, 3) , ⃗⃗ = (3,2,-5) forma una base de IR3. Prueba: Debo probar dos afirmaciones: 1) Que: ⃗ , , ⃗⃗ sonl.i. 2) Que: ⃗ , , ⃗⃗ generan a IR3. Veamos: 1. Supongamos ⃗⃗⃗ + ⃗⃗ = (0,0,0), debo probar que = = =0 Pero: (1,3,5) + (2, -2,3) + (3,2,-5) = (0,0,0) implica: ( ) ( ) (I) { ( ) El conjunto de ecuaciones en (I) es un sistema de ecuaciones lineales homogeneas con 3 ecuaciones y 3 incognitas. Se puede resolver de varias maneras: por suma y restas, por determinadas o por matrices. Resolver por suma y restas, reduciendo el sistema a la forma triangular: -5 +

-3

+

( ) ( ) ( )

{

( ) ( ) ( )

{

-7 8

{

( ) ( ) ( )

=

De (3): De (2): De (1): Otra forma: Si probamos que det(A) 0 , entonces 2. Si ⃗⃗⃗ ,

=

=

, ⃗⃗ generan a IR3, entonces cualquier vector (x,y,z)

Es combinación lineal de ⃗⃗⃗ ,

=0 IR3

, ⃗⃗ .

Es decir: (x,y,z) = a⃗⃗⃗ + b + c ⃗⃗ =a (1,3,5) + b(2,-2,3) + c(3,2,-5) =(a + 2b + 3c , 3a – 2b + 2c , 5a + 3b – 5c) ( ) {

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{

( ) ( )

{

( ) ( ) ( ) ( )

{

De (3) obtenemos: c =

(19x + 7y – 8z)

De (2)

(25x – 20y + 7z)

De (1)

b= (

)

) PROBLEMA 04: Sea W= *( ( ) los vectores (2,0,0,-2) , (2,0,-2,0) y (8,-2,-4,-2) forman una base de W. Demostraciones: Para que dichos vectores formen una base, debe cumplir dos condiciones:

+ probar que

1. Que los vectores ⃗⃗⃗ = (2,0,0) , = (2,0,-2,0) y ⃗⃗ = (8,-2,-4,-2) sonl.i. Veamos: ) ) ( Sea ( (2,0,-2,0) + ( ) ( ) = 0 …………….. (2) ( ) -2 -2 = 0 ……………….(4) De (2) : = 0 De (3) : = 0 De (4) : = 0 2. Ahora, debo probar que los vectores ⃗⃗⃗ , , ⃗⃗ generan a W. Veamos: Sea = ( ) un vector cualquiera de V4(IR), debo probar que el vector sea combinación lineal de los vectores ⃗⃗⃗ , y ⃗⃗ ;sea: ( ) ( ) (2,0,-2,0) + (8,-2,-4,-2)

-2 -2

……………(1) = ……………(2) = ……………(3) = ……………(4)

-2

+0 0 - 0 0 + 0

Ordenar las 4 ecuaciones

De (4): En (3):

= -- 4 = =

= -2

- 4(

-2

+

) 2

=

= (2x2 – x3) En(2):

-2

– 2(

-2

+

) = (

= (1) 2 (

)

) (

)

⌈

⌉

= Esta igualdad cumple la Condición definidas en W.

Por tanto , los vectores ⃗⃗⃗ ,

, ⃗⃗ forman una base de W.

PROBLEMA 05: Demostrar que los siguientes conjuntos de vectores de IR3. A = {(1,0,-1) , (0,-2,1)} B = {(1,-2,0) , (2,-2,-1)} Generan el mismo subespacio. Obtener una base y la dimensión de dicho subespacio. Solucion: a) Si el conjunto A genera un subespacio W, entonces cualquier vector ( ) IR3es combinación lineal de los vectores (1,0,-1) y (0,-2,1).

Si el conjunto B genera un subespacio, entonces cualquier vector ( combinación lineal de los vectores (1,-2,0) y (2,-2,-1).

)

IR3es

Es

decir:

De

(3):

De

(2):

Sustituir en

Esta igualdad implica que el conjunto B genera es subespacio: U= Como vemos los resultados obtenidos en a) y b) nos indican que los conjuntos A Y B generan el mismo subespacio. b) Una base de W se obtiene del siguiente modo. De la ecuación Obteniéndose:

Una base de W, es Luego, dim W = 2.

PROBLEMA 06:

Demostración: Debo probar dos cosas: