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Universidad de El Salvador Facultad Multidisciplinaria Oriental Departamento de Ingeniería y Arquitectura Mecánica de los Solidos III
Esfuerzos Combinados Esfuerzos en Recipientes de Pared Delgada Transformación de Esfuerzos en un Punto Superposición de Esfuerzos
Ciclo I-2012
Ciudad Universitaria Oriental, 25 de Mayo de 2012
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados INDICE
INTRODUCCION….…………………………………………………………………...2 OBJETIVOS………………………………..…………………..……………………….. 3 ESFUERZOS COMBINADOS..………….…………………..……………………….. 4 1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA……………….. 5 1.1 RECIPIENTES ESFERICOS SOMETIDOS A PRECION………………… 5 1.2 RECIPIENTES CILINDRICOS SOMETIDOS A PRESION…………….….. 8 2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO………………… 10
2.1 ESFUERZOS PRINCIPALES Y CORTANTES MAXIMOS……………….. 13 2.2 ESFUERZO CORTANTE MAXIMO EN EL PLANO……………………... 16 2.3 CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO…...…………………… 17 3. SUPERPOSICION DE ESFUERZOS……….……………………...…...……. 20 3.1 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS AXIALES Y FLEXION……………. 21 3.2 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS FLEXION Y TORSION…………... 22 EJEMPLOS TEORICOS……………………………………………………………….. 25 PROBLEMAS DE APLICACION…………………………………………………….. 32 CONCLUSIONES……………………………………………………………………… 42 RECOMENDACIONES…………………………………………………………….…. 43 BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………… 44 REFERENCIA……………………………………………………………………...45 ANEXOS………………………………………………………………………………… 46
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
INTRODUCCION El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar. Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación de varios esfuerzos que son aplicados a un elemento siendo estos esfuerzos de carga axial, esfuerzo por carga de flexión o esfuerzo por carga de torsión. Su determinación es de mucha utilidad en todas las ramas de la ingeniería, ya que por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera simultánea. También es un método para seleccionar y dimensionar el material adecuado en un proceso de construcción. A continuación se hace un análisis de lo que son los recipientes a presión de pared delgada (recipientes cilíndricos y esféricos) los cuales representan una importante aplicación en el análisis de esfuerzo principalmente en el análisis de esfuerzo plano. A La transformación de esfuerzo la cual representa la relación de esfuerzos sobre diferentes planos que pasan por un punto. Y el método de superposición de esfuerzos que sirve para determinar por separado cada una de las fuerzas que son aplicadas sobre el miembro en análisis, para posteriormente combinar sus resultados y obtener la solución del problema.
Los esfuerzos combinados son usados frecuentemente sin darnos cuenta ya sea en nuestras casas que están hechas de vigas, que combinado distintos materiales, soportan algunos mejor la flexión y otros mejor la compresión hasta las grandes construcciones en donde las vigas son de hierro y cemento. Para una mejor aplicación se presentan problemas reales, donde se ven involucrados los temas antes mencionados, de manera que en el diseño de estructuras y elementos sometidos a múltiples cargas se deben tener en cuenta una serie de cálculos y elementos, para el análisis de los mismos.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
OBJETIVOS
General Investigar la teoría de Esfuerzos Combinados aplicables
en superficies de pared
delgada, transformaciones en un punto y superposición de esfuerzos, además de analizar la interacción de esfuerzos al combinarse entre sí al ser aplicado a elementos estructurales, determinando su intensidad.
Específicos Conocer el procedimiento para encontrar los esfuerzos combinados en superficies de pared delgada, transformación en un punto y superposición de esfuerzo.
Analizar la manera en que se relacionan los esfuerzos por carga axial, por carga de torsión y por carga de flexión cuando actúan conjuntamente, para determinar el esfuerzo neto.
Resolver tres problemas prácticos en los que sea aplicable el método de superposición de esfuerzo.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
ESFUERZOS COMBINADOS
Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación del esfuerzo de carga axial, esfuerzo por carga de flexión y esfuerzo por carga de torsión. En la representación de los esfuerzos combinados, por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera simultánea, es por ello que con la finalidad de localizar el punto en donde la estructura llegaría a fallar (punto crítico en la estructura), se analiza la interacción de todos los esfuerzos a los que está sometido el elemento. También es un método para dimensionar y seleccionar el material adecuado para el elemento. En los esfuerzos combinados existen cuatro combinaciones posibles de carga:
ESFUERZOS COMBINADOS
Carga axial y flexión
Carga axial, torsión y flexión
Carga axial y por torsión
Carga axial y flexión
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA
Los recipientes a presión son estructuras cerradas que contienen líquidos o gases a presión, ejemplo de ello son los tanques esféricos para almacenamiento de agua, los tanques cilíndricos para aire comprimido, tubos a presión y globos inflados, las calderas de vapor, los tanques de almacenamiento de líquidos o gases a presión, los tanques de agua, los tanques de almacenamiento de gramos y las tuberías entre otros. Se
consideraran
recipientes de
pared delgada
los
contenedores de forma cilíndrica o esférica en los que el espesor de la pared es pequeño comparado con el radio y su longitud, y en tales casos se encuentran en la clase general de estructuras conocidas como “cascarones”. (Figura 1.0).
Recipientes
esféricos
sometidos
a
presión. Un tanque de forma esférica es el recipiente ideal para resistir presión interna. Algunos ejemplos conocidos son tanques, tubos y cabinas de presión en aeronaves y vehículos espaciales. Cuando los recipientes a presión tienen pared delgada en comparación a sus dimensiones
Figura 1.0
generales, se les incluye dentro de la categoría más general de cascarones. (Figura 1.0c).
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados El término de pared delgada no es preciso, pero una regla general es que la relación de radio al espesor de la pared debe de ser mayor que 10 a fin que podamos determinar los esfuerzos en las paredes con exactitud razonable mediante únicamente estática. Una segunda limitación es que la presión interna debe de ser mayor que la externa; de lo contrario, el cascaron puede fallar por colapso debido al pandeo de las paredes. A fin de hallar los esfuerzos en un recipiente esférico, cortamos a través de la esfera según un plano diametral vertical y aislamos la mitad del cascaron junto con su contenido de fluido como un solo cuerpo libre (figura 1.1a). Sobre este cuerpo libre actúan los esfuerzos de tensión σ en la pared y la presión p del fluido que permanece dentro del hemisferio. El peso del tanque y su contenido se omiten en este análisis. La presión actúa horizontalmente sobre el área circular plana formada por el corte y uniforme,
la
fuerza
dado que la presión en
resultante
de
la
presión es:
donde
es el radio interior de la esfera. Obsérvese que la
presión
es la presión interna neta, o presión manométrica
(esto es, la presión por encima de la presión atmosférica, o
Figura 1.1
presión externa). Debido a la simetría del recipiente y su carga (figura 1.1-b), el esfuerzo de tensión σ
es uniforme alrededor de la
circunferencia, además como la pared es delgada podemos suponer con buena precisión
que el esfuerzo está
distribuido uniformemente a través del espesor t. Página 6
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados La exactitud de esta aproximación se incrementa según se vuelve más delgado el cascaron, y se reduce según se vuelve más grueso. La fuerza obtenida a partir del esfuerzo normal es , donde
es el espesor y
⁄
es el radio medio del cascaron
Por
supuesto, dado que nuestro análisis únicamente es válido para cascarones muy delgados, podemos considerar que
; entonces, la fuerza resultante se convierte en
.
Ec. 1.0 Como es evidente a partir de la simetría de un cascaron esférico, esta misma ecuación para el esfuerzo σ se obtendrá si se pasa un plano a través de la esfera en cualquier dirección. Por lo tanto, concluimos que una esfera “presurizada” está sometida a esfuerzos uniformes a tensión σ en todas las direcciones. Esta condición de esfuerzo se representa en la (Fig. 1.2b) por el pequeño elemento con esfuerzos σ que actúan en direcciones mutuamente perpendiculares. En la superficie exterior de un recipiente esférico a presión, no actúan esfuerzos normales a la superficie, por lo que la condición de esfuerzos es un caso especial de esfuerzo biaxial es el que y
son iguales (Fig. 1.2-a). Así, el círculo de Mohr para esta condición de esfuerzo se
reduce a un punto, y cada plano inclinado es un plano principal. Los esfuerzos principales son:
Ec. 1.1 También, el esfuerzo cortante máximo en el plano es cero. Sin embargo, se debe advertir el elemento es tridimensional y que el tercer esfuerzo principal (en la dirección ) es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto, originado mediante una rotación de
del elemento respecto a
cualquiera de los o , es
Ec. 1.2
Figura 1.2
En la superficie interior de la pared del recipiente esférico, el elemento esforzado tiene los mismos esfuerzos de membrana (Ec. 1.0), pero, adicionalmente, actúa un esfuerzo de
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados compresión en la dirección ,
(Fig. 1.2-b). Estos tres esfuerzos normales son los esfuerzos
principales:
Ec .1.3 El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero el esfuerzo cortante fuera del plano (producido mediante una rotación de
alrededor de cualquiera de los ejes y ) es:
Ec. 1.4 Si la relación de ⁄ es suficientemente grande, el último término de esta ecuación puede omitirse. Entonces la ecuación se convierte en la misma Ec.1.3, y se puede suponer que el esfuerzo cortante máximo es constante a través del espesor del cascaron. Todo tanque esférico utilizado como recipiente a presión tendrá al menos una abertura en la pared, así como varios rios y soportes. Esta característica origina distribuciones no uniformes de esfuerzos que no pueden analizarse mediante métodos simples. Cerca de las discontinuidades se generan grandes esfuerzos en el cascaron, por lo que reforzarse tales regiones.
Recipientes cilíndricos sometidos a presión. Los recipientes cilíndricos con sección transversal circular se encuentran en instalaciones industriales (tanques de aire comprimidos y motores de cohete, en casas de habitación (extinguidores de incendios y latas de rociadores) y en granjas (tanques de propanos y silos de granos). Los tubos a presión, los utilizados para el abastecimiento de agua y las tuberías de carga, también se clasifican como recipientes cilíndricos a presión. Considérese ahora un tanque cilíndrico circular de pared delgada con extremos cerrados y presión interna
(Fig. 1.3). En la figura se muestra un elemento esforzado cuyas caras son
paralelas y perpendiculares al eje del tanque. Analizaremos los esfuerzos en un tanque circular de pared delgada sometido a presión interna. Los esfuerzos normales en un tanque
y
que actúan sobre las caras laterales de este
elemento son esfuerzos de membrana en la pared. Por lo tanto, los esfuerzos
y
son
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados esfuerzos principales. Debido a su dirección, el esfuerzo circunferencial o esfuerzo tangencial; en forma similar,
se denomina esfuerzo
es el esfuerzo longitudinal o
esfuerzo axial. Cada uno de estos esfuerzos puede calcularse a partir del equilibrio mediante el empleo de diagramas de cuerpo libre apropiados. Para determinar el esfuerzo cincunferencial
,
aplicamos dos cortes (mn y pq) perpendiculares al eje longitudinal y separamos una distancia b (Figura 1.3-a). Luego efectuamos un tercer corte en un plano vertical a traves del eje longitudinal del tanque con lo cual resulta el diagrama de cuerpo libre expuesto en la figura 1.3-b. Este cuerpo libre no consiste solamente en la pieza longitudinal del tanque, sino tambien el el fluido contenido dentro de los cortes. Los esfuerzos circunferenciales
y la presion
interna p actuan sobre el corte longitudinal (mnpq). Los esfuerzos circunferenciales
que actuan en la pared
del recipiente tiene una resultante igual a
, donde t
es el espesor de la pared. Además, la fuerza resultante
de
la presión interna es igual a PdA=2pb , donde es el radio interior del cilindro. Haciendo equilibrio de las ecuaciones antes mencionadas se obtiene lo siguiente (El esfuerzo circunferencial para un cilindro a presión):
Ec. 1.5 El esfuerzo longitudinal
se obtiene del equilibrio de
un cuerpo libre de la parte del recipiente a la izquierda de la sección transversal mn (fig. 1.3-c), donde al igual que en el análisis anterior no solo la parte del tanque, sino también su contenido. Los esfuerzos
Figura 1.3
actúan en sentido
Página 9
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados longitudinal y tiene la fuerza resultante igual a . La fuerza resultante igual a
la presión interna es
. Realizando el equilibrio de fuerzas de la fig. 1.3-c y despejando para p
se obtiene: Ec.1.6 La deducción de las ecuaciones (1.6, 7) se supuso que los esfuerzos de membrana a través de las paredes del recipiente eran uniformes.
2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO La transformación del esfuerzo significa la variación, con la dirección de las componentes de esfuerzo en un punto. EL estudio de este tema se refiere principalmente a casos
Figura 2.1
bidimensionales, pero también se dan algunos resultados importantes para estados de esfuerzos tridimensionales. Este tema es importante en la determinación de los esfuerzos máximos en un punto de un elemento y en las determinaciones de esfuerzos que producen la falla de un elemento. Hasta ahora hemos visto los esfuerzos únicamente en ciertos planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo. Por ejemplo, la formula σ = P/A para varillas cargadas axialmente da el esfuerzo normal en una varilla únicamente en los planos cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la varilla como se muestra en la figura 2.1a: Los esfuerzos en planos cortantes orientados de distinta manera fig 2.1b son diferentes. En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los esfuerzos en un punto de un cuerpo son diferentes. En algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos significativamente mayores que otros. El siguiente estudio se refiere a esta variación del esfuerzo en un punto y trata principalmente el caso de esfuerzo biaxial, en dos dimensiones. En primer lugar se consideran diferentes Página 10
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados representaciones de los esfuerzos en el mismo punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2a representa un elemento aislado por dos planos cortantes infinitamente cercanos y mutuamente perpendiculares que son normales a los ejes de las coordenadas X-Y. la figura 2.2b muestra un elemento aislado de manera semejante por planos cortantes normales a los ejes orientados de manera diferente, X´-Y´. los esfuerzos en las caras opuestas de cada uno de estos elementos son iguales y opuestos, y son los mismos que actúan sobre los lados opuestos de un plano cortante único. Cada uno de los elementos aislados en la figura 2.2 esta sometido a la acción de esfuerzos diferentes en el mismo punto. Cada elemento tiene asociados tres elementos de esfuerzos. En la figura 2.2a, las componentes se designan σx,σy Y τxy en las coordenadas X-Y. las de la figura 2.2b se designan σx´,σy´ Y τx´y´ en las coordenadas X´-Y´. Estos dos conjuntos de componentes de esfuerzo no son los únicos que existen en ese punto.
Figura 2.2
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados El infinito número de conjuntos de componentes de esfuerzos que se describió, no son independientes. Las componentes en un sistema arbitrario de coordenadas X/ - Y/están relacionadas con las del sistema x-y. Las ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos en diferentes sistemas de coordenadas o, lo que es lo mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un punto, se llaman ecuaciones de transformación del esfuerzo. Las ecuaciones de transformación del esfuerzo se obtienen de
Figura 2.3
las condiciones de equilibrio de un elemento de tamaño infinitesimal como el que se muestra en la siguiente figura. (fig.2.3) esta formada por planos cortantes normales a los ejes de referencia X,Y y por un tercer plano cortante normal a un eje inclinado X´ que forma un ángulo arbitrario θ con el eje x. Los esfuerzos en la cara inclinada son las dos componentes σx´ y τx´τy´asociados a las coordenadas x´,y´.
Se consideran
cantidades positivas si tienen los sentidos indicados y negativas si tienen los sentidos opuestos. Las condiciones ∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan mas adelante. A partir de estas ecuaciones de equilibrio se obtienen las fuerzas en elemento efectuando los productos de cada esfuerzo por el área de la cara sobre la cual actúa. Se supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor unitario normal al plano X,Y el área de la cara inclinada se designa por dA. Entonces, la cara opuesta y la cara adyacente al ángulo θ tiene áreas dAsenθ y dAcosθ, respectivamente. También se hace uso de las identidades trigonométricas. Y finalmente tenemos: (
)
(Ec.2-1)
O, finalmente: (Ec.2-2) Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de transformación de esfuerzos para el caso bidimensional y dan valores de
σx´, τx´y´para cualquier ángulo θ en función de σx,σy,τxy. La
componente de esfuerzo, σy´ está dada por la ecuación 2-1, aumentando el ángulo θ en 90º. Página 12
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados Estas ecuaciones dan el esfuerzo en cualquiera del infinito número de planos cortantes que pueden pasar por un punto de un cuerpo, en función de un conjunto arbitrario de componentes de esfuerzos x-y. Así, uno solo del infinito número de conjunto de componentes de esfuerzos en un punto, utilizado como conjunto de referencia junto con las ecuaciones de transformación de esfuerzo, es suficiente para describir completamente los esfuerzos en u punto. Se puede demostrar que las ecuaciones 2-1 y 2-2 también son aplicables si el elemento de la figura 2.3 tiene aceleración. De modo que las ecuaciones 2-1 y 2-2 son aplicables bajo las condiciones estáticas y dinámicas de un cuerpo.
ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS.
Las ecuaciones de transformación para esfuerzos planos muestran que el esfuerzo normal esfuerzo cortante y
, y el
varían en forma continua según se gira el elemento en un ángulo . Con
fines de diseño, usualmente son necesarios lo valores máximos tanto positivos como negativos. Para determinar los esfuerzos normales máximos y mínimos, que se conocen como esfuerzos principales, empezamos con la expresión
: (Ec.2-3)
Al tomar la derivada de
para los cuales
con respecto a
e igualar a cero, se obtiene una ecuación para los valores
es máximo o e mínimo: (
)
De la cual obtenemos: (Ec.2-4) De la ecuación (2-4) pueden obtenerse dos valores de valores difieren en y
, estando el valor mas pequeños entre
. Por lo tanto, el ángulo
el otro entre
en el intervalo entre
y
y
tiene dos valores que difieren en
. Para uno de estos ángulos el esfuerzo
. Estos
y el valor mas grane entre , uno entre
y
,y
es un esfuerzo principal
Página 13
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados máximo; para el otro,
es un esfuerzo principal mínimo. Como los dos valores de
difiere en
, concluimos que los esfuerzos principales ocurren en planos mutuamente perpendiculares.
Los valores de los esfuerzos principales pueden calcularse fácilmente al sustituir cada uno de los dos valores de
en la
ecuación de la transformación de esfuerzos(ec.2-3) y despejar . Mediante este procedimiento podemos conocer también cuales de los dos esfuerzos principales se asocia a cada uno de los dos ángulos principales
En donde : √(
)
(Ec.2-5)
Se sustituyen las expresiones para
y
en la ecuación 2-3 se obtienen el valor algebraico
mayor de los dos esfuerzos principales, denotado por
√(
)
El más pequeño de los esfuerzos se denota por
Puesto que
:
determina por la la condición
actúan sobre planos perpendiculares.
√(
)
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Luego, las formulas anteriores pueden combinarse en una sola fórmula para los esfuerzos principales: √(
)
(Ec.2-6)
Este resultado de los esfuerzos principales, designados por , en función de las componentes de referencia, . Donde se especificó anteriormente
,
,y
y
. Los esfuerzos principales siempre representan los valores mayor y menor de
, en un punto.
Los planos principales para elementos en estados de esfuerzos axial y biaxial son los mismos planos x y y (Fig. 2.5), ya que (véase Ec. 2-4), y por consiguiente, los dos valores de
son 0° y 90°
Figura 2.5
Para un elemento en cortante puro (Fig. 2.6 a), los planos principales están orientados a 45° respecto al eje x (Fig. 2.6 b), ya que tan de
es infinito y, por consiguiente, los dos valores
son 45° y 135°. Si
principales son
es positivo, los esfuerzos
y
El estudio de esfuerzos principales anterior se refiere únicamente a la rotación del elemento esforzado en el plano xy(esto es, rotación alrededor del eje z) (Fig. 2.6) Los dos esfuerzos principales determinados a partir de la Ec. (2-6) al-
Figura 2.6
gunas veces se denominan esfuerzos principales en el plano.
Página 15
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados Mediante un análisis tridimensional más completo, puede demostrarse que los tres planos principales para un elemento en esfuerzo plano son los dos planos principales que se han descrito, más la cara z del elemento. Estos planos principales se muestran en la Fig.2.7b, donde el elemento esforzado de la Fig.2.7a ha sido girado respecto al eje z un ángulo
, que es
uno de los dos ángulos determinados por la Ec. (2-4). Los esfuerzos principales son la Ec. (2-6) y
, donde
y
resultan de
es igual a cero. F Figura 2.7
ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO EN EL PLANO. La orientación de un elemento que está sometido a esfuerzo cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la Figura 2.8
derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e igualando a cero el resultado. Se obtiene (
)
(Ec.2-7)
Las dos raíces de esta ecuación
, se pueden
determinar con los triángulos de la figura 2.8, cada raíz de esta a 90° de
. Así las raíces de
y
forman 45° entre
ellas, y el resultado es que los planos del esfuerzo cortante máximo se pueden determinar orientando a un elemento a 45° con respecto a la posición de un elemento que defina los planos del esfuerzo principal. Usando cualquiera de las raíces
, se puede determinar el esfuerzo cortante máximo sacando
los valores trigonométricos de sen
y cos
en la figura 2.8, y sustituyéndola en la ecuación (2-
2). El resultado es:
√(
)
(Ec.2-8)
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados calculado con la ecuación (2-8) se llama “esfuerzo cortante máximo en
El valor de
el plano”, porque actúa sobre el elemento en el plano x-y. si se sustituyen los valores de sen cos
y
en la ecuación (2-1),se ve que también hay un esfuerzo normal sobre los planos de esfuerzo
cortante máximo en el plano. Se obtiene: (Ec.2-9)
CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO El circulo de usado para obtener algunas ecuaciones básicas
Figura 2.9
relativas a la transformación de esfuerzo en un plano. Este método se basa en consideraciones geométricas simples y no requiere el uso de ecuaciones especializadas. Considere un elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano (figura 2-9a), y sean,
las componentes
del esfuerzo ejercido sobre el elemento. Dibuje un punto X de coordenadas
y
(figura2-9). Si
y un punto Y de coordenadas
y
es positivo, como se supone en la figura
2-9 a, el punto X está situado debajo del eje
y el punto Y
encima, como se muestra en la figura 2-9 b. Si
es negativo,
X se sitúa encima del eje
y Y debajo. Uniendo X y Y mediante
una línea recta se define el punto C de intersección de la línea XY con el eje
y se dibuja el círculo de centro en C y diámetro
XY. Al observar que la abscisa de C y el radio del círculo son respectivamente iguales a las cantidades
y R definidas
por las ecuaciones (2-5, 2-9), se concluye que el círculo obtenido es el círculo de Mohr para esfuerzo plano. Así, las abscisas de los puntos A y B, en donde el círculo interseca el eje , representan respectivamente los esfuerzos principales
y
en el punto considerado.
Página 17
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados Se nota también que como tan
,el ángulo XCA
es igual en magnitud a uno de los ángulos ecuaciones (2-4). Así, el ángulo
que satisfacen las
que define la figura (2.9)la
orientación del plano principal correspondiente al punto A en la figura 2.9 puede obtenerse dividiendo entre la mitad el ángulo XCA medido en el círculo de Mohr. Observe además que si >0, como en el caso considerado aquí, la rotación que trae CX a CA es en sentido contrario a las agujas del reloj. Pero en ese caso el ángulo
obtenido de la ecuación (2-4), el
cual define la dirección de la normal Oaal plano principal, es positivo; por ello la rotación que trae Oxa Oaes también en sentido contrario al de las agujas del reloj. Se concluye que los sentidos de rotación en ambas partes de la figura 2.9 son los mismos. Si se requiere un giro
para llevar CX a CA en el
círculo Mohr, una rotación en sentido contrario al de las agujas del reloj
llevará Oxa Oaen la figura 2.9a.
Como el círculo de Mohr está definido en forma única, el mismo
círculo
componentes,
puede
obtenerse
considerando
, correspondiente a los ejes
la figura 2.10a. El punto X' de las coordenadas punto Y´ de coordenadas
y
y
las de ., y el
están, por tanto, localizadas
en el círculo de Mohr y el ángulo X'CA de la figura 2.10 debe ser el doble del ángulo x'Oade la figura 2.10a. Como el ángulo XCA es el doble del ángulo xOa, se sigue que el ángulo XCX' de la figura 2.10b es el doble del xOx' de la figura 2-10a. Así el diámetro X'Y que define los esfuerzos normales y cortantes , puede obtenerse girando el diámetro XY un ángulo igual al doble del ángulo formado por los ejes x' y x de la figura 2.10a. Se observa que la rotación que hace coincidir el diámetro .XY con el diámetro X'Y', en la figura 2-10, tiene igual sentido que la rotación que superpone los ejes xya los ejes x'y'
Figura 2.10
en la figura 2-10a. Página 18
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados La propiedad que se acaba de indicar puede usarse para
a)
verificar el hecho de que los planos de esfuerzo cortante máximo están a 45° de los planos principales. Ciertamente, recuerde que los puntos D y E del círculo de Mohr corresponden a los planos de esfuerzo cortante máximo, mientras A y B corresponden a los planos principales (figura 2.11b). Puesto que los diámetros AB y DE del círculo de Mohr están a 90° el uno del otro, se tiene que las caras de los elementos correspondientes están a 45° la una de la otra (figura2.11a). La construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano se simplifica mucho si se considera separadamente cada cara del elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. De
b)
las figuras 2.9 y 2.10 observe que cuando el esfuerzo cortante ejercido sobre una cara dada tiende a hacer girar el elemento en el sentido de las agujas del reloj, el punto correspondiente a esa cara está colocado por encima del eje
el círculo de Mohr.
Cuando el esfuerzo cortante en una cara tiende a hacer girar el elemento en el sentido contrario a las agujas del reloj, el punto correspondiente a esa cara está localizado debajo del eje (Fig. 2.11). En cuanto a los esfuerzos normales, se usa la convención usual, es decir, un esfuerzo de tensión se considera positivo y se gráfica a la derecha, mientras una compresión es negativa y se gráfica hacia la izquierda.
Figura 2.11
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
3. SUPERPOCICION DE ESFUERZOS
En la práctica
de la ingeniería, se usa a menudo el
principio de superposición en la solución de problemas. Cuando tenemos un miembro que está sujeto a un sistema de carga completo que involucra un cierto número de fuerzas de diferentes tipos, podemos determinar el efecto de
cada
fuerza
del
sistema
sobre
el
miembro
separadamente. Después, los resultados de cada una de ellas se combinan para obtener la solución del problema. El principio de superposición es fácil de entender y aplicar. Solamente se necesita asegurarse que sea válido combinar los resultados. Si los resultados combinados no son lineales, la superposición no es válida. Existen tres tipos de esfuerzos básicos: 1-
P/A solamente se consideran cargas axiales
aplicadas a través del centroide de la sección. 2- Tc/J solamente carga de torsión sobre ejes de sección circular. 3- c/I solamente cargas aplicadas perpendicularmente al eje transversal Con estos métodos pueden resolverse una amplia clase de problemas. Pero podemos ampliar esta clase combinando adecuadamente estos tipos básicos de carga. En la práctica frecuentemente se encuentran cargas que no concuerdan con las condiciones bajo las cuales las teorías básicas son Página 20
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados válidas como se muestra en las figuras a la derecha las cuales muestran varios ejemplos de problemas de este tipo. Sin embargo, estos problemas pueden resolverse mediante una combinación adecuada de los métodos ya estudiados. Existen tres combinaciones principales de esfuerzos combinados: Axial y flexion. Flexion y torsión. Axial y torsión. En este trabajo solamente se abordaran las dos primeras combinaciones de esfuerzos que se analizaran por el método de superposición.
SUPERPOSICIÓN
DE
ESFUERZOS
AXIALES
Y
FLEXIÓN
Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a una carga inclinada P, como se muestra en la siguiente figura 3.1(a). Esta carga no produce flexión ni carga axial solamente, sino una combinación de las dos. Si se descompone esta fuerza en sus componentes horizontal y vertical, como en la figura 3.1(b) y 3.1(c), estas componentes actúan en las direcciones que permiten aplicar la teoría de carga axial y flexión respectivamente. La fuerza axial Px sección (b) de la figura 3.1, produce esfuerzos directos de tensión P/A en todas las fibras. La fuerza Py sección (c) produce esfuerzos de flexión Mc/I. Como ambos esfuerzos actúan para alargar o acortar las fibras, pueden combinarse algebraicamente. Figura 3.1 Página 21
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados El hecho de que ambas cargas producen esfuerzos que tienen la misma línea de acción confirma que la superposición de esfuerzos es válida. Los esfuerzos en cualquier fibra pueden calcularse como: ±
(Ec.3-1)
Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión son negativos, Esta convención de signos nos ayuda a determinar la naturaleza de los esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las fibras externas. Los esfuerzos calculados mediante la ecuación de esfuerzo mostrada anteriormente no son enteramente correctos. La carga Py producen una deflexión (no mostrada) que, cuando se multiplica por la fuerza axial Px, producen un pequeño momento secundario. En estos casos de tensión axial y flexión, este momento secundario tiende a reducir el momento total, y por consiguiente, puede despreciarse. Si la fuerza axial es de compresión, el momento secundario incrementa el momento total, y el despreciar este término no resulta conservativo. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de esfuerzos combinados, el efecto de este término es pequeño y puede despreciarse. En el caso de vigas columnas esbeltas, el efecto puede no ser despreciable.
FLEXIÓN Y TORSIÓN COMBINADAS A veces se necesita que los estructurales soporten conjuntamente cargas de flexión de torsión, Por ejemplo ejes o arboles circulares que trasmiten un par o momento de rotación suelen estar sometidos tantos a momentos de flexión, como a torsión. Tales condiciones es posible realizar el análisis de esfuerzos sin ninguna dificultad esencial siempre que se conozcan las resultantes de los esfuerzos estas pueden comprender momentos Flexionarte pares de torsión y fuerzas cortantes. Los esfuerzos debidos a cada resultante de esfuerzo se pueden determinar en cualquier punto de la sección recta por Página 22
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados medio de las formulas apropiadas. Entonces el estado completo de esfuerzos en el punto elegido se investiga utilizando las relaciones deducidas anteriormente o por medio del CIRCULO DE MOHR. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos. De este modo se efectúan el análisis en cualquier número de situaciones críticas en el elemento y, con todos los resultados, puede establecerse si el diseño es adecuado o bien, realizar uno nuevo Como una ilustración simplificada de la flexión y torsión combinadas, considere la barra circular de la figura en esta viga Cantiléver actúa un momento de torsión, T, con respecto al eje longitudinal y una fuerza transversal o lateral, Q. En una sección recta de la barra a la distancia X del empotramiento la resultante de esfuerzos se pueden encontrar por Estática. Tales resultantes son: 1) Un momento Flexionante , M , esto igual a Q( L – x ), donde L es la longitud de la viga; 2) Una fuerza cortante, V igual a Q, y. 3) Un momento torsionante T. Observe que en este caso el momento flector
se considera positivo
cuando produce tracción en la parte superior de la viga si ahora examinamos un elemento localizado en la superficie superior de la barra (Elementos A en la Figura 3.2), Vemos que este elemento estará sometido a los esfuerzos de flexión, M y a los esfuerzos cortantes,
X
Debido a
Debidos a T
(Figura). Estos esfuerzos se obtienen con las ecuaciones
X
=
y
Respectivamente,en
el caso de un árbol circular de diámetro d, esta ecuaciones se convierte en. (Ec.3-3)
x=
(Ec.3-2)
; Figura 3.2
Página 23
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados Conociendo
x
y
Se pueden determinar los esfuerzos en un elemento girado cualquier
ángulo que se desee en el punto A. Los esfuerzos principales en A se hayan por la ecuación. √
1,2=
)+
(Ec.3-4)
Así mismo, el esfuerzo cortante máximo encontrado por la ecuación anterior es: =
√
)+
.
Si se conocen los valores isibles
(Ec.3-5)
w
y
de los esfuerzos normal y cortante
sustitúyanse en la dos ecuaciones anteriores en lugar de
1
y
2
y
, y luego despéjese
“d” el diámetro requerido de la barra circular. Desde luego se obtendrán los esfuerzos máximos cuando el elemento A seleccione al extremo de la barra donde el momento Flexionante M tiene el valor el máximo la descripción anterior supuso que se selecciona un elemento en la parte superior de la barra. Un procedimiento similar puede seguirse para analizar los esfuerzos en la parte inferior de la misma. Los esfuerzos máximos se producirán por lo general donde los esfuerzo de flexión son mayores, es decir en la parte superior o en l parte inferior de la viga en la sección recta del máximo momento Flexionarte sin embargo a veces es necesario considerar otras posibilidades. Por ejemplo a la fuerza cortante V= Q produce un esfuerzo máximo de cortadura en el eje neutro. Por consiguiente se debe considerar también un elemento seleccionado sobre el lado de la barra, en su eje neutro (Elemento B). Tal elemento se hallará
en estado de cortadura pura (figura),
constando el esfuerzo cortante de dos partes: 1) El esfuerzo de cortadura debido al momento T, obtenido de la formula y 2) El esfuerzo cortante debido a V que se obtiene de la formula y
. Los
esfuerzos principales en tal elemento ocurren en planos a 450 con el eje. Estos esfuerzos pueden compararse con los obtenidos para elementos en la parte superior y en la inferior de la viga, a fin de determinar el esfuerzo normal máximo a utilizar en el cálculo. Los esfuerzos cortantes máximos en la viga pueden hallarse también Página 24
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados comparándose los valores obtenidos para los elementos A y B. Si la viga esta empotrada de madera más complicada o si la forma de la sección recta no es circular a un se puede analizar los esfuerzos en diversos puntos de la barra y compararlos. Al hacerlo es natural seleccionar puntos de la barra donde sea máximo el esfuerzo normal o el cortante. Comparando los esfuerzos obtenidos en todos los puntos donde es probable que haya un esfuerzo máximo se podría estar razonablemente seguro de obtener los esfuerzos máximos absoluto.
EJEMPLOS TEORICOS RECIPIENTES DE PARED DELGADA
EJEMPLO 1.1 Cuando se llena a toda su capacidad el tanque no pasteurizado que se representa en la figura, contiene agua hasta un nivel de 15.5m arriba de su base. Sabiendo que la porción inferior del tanque tiene un espesor de pared de 16mm encuentre: a) El esfuerzo normal máximo b) El esfuerzo cortante máximo (La densidad del agua es de 1000 kg/m3)
del
tanque
DATOS
Página 25
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Para determinar el Peso específico:
Encontrando la presión del agua en el nivel de 15.5 m arriba de su base
Haciendo un corte en la región media del recipiente cilíndrico ∑
(
)
Página 26
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Esfuerzo longitudinal en el elemento A.
∑
Sustituyendo datos:
(
)
Debe observarse que el tercer esfuerzo principal es cero en la superficie exterior del cilindro pero en la superficie interna es igual al esfuerzo longitudinal.
Página 27
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados ESFUERZOS EN UN PUNTO
Ejemplo 1.2 El eje de un automóvil esta sometido a las fuerzas y al par que se muestra en la figura. Si se sabe que el diámetro del eje solido es de 1.25in, Determine a) los planos principales en el punto H localizado en la parte superior del eje b) el esfuerzo cortante máximo ejercido en el mismo punto.
Encontrando Inercia
Encontrando el momento
∑
Encontrando esfuerzo
Con torsion encontramos el esfuerzo cortante
⁄
Página 28
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados a) Esfuerzos Principales:
√(
)
√(
)
b) Esfuerzo Cortante Maximo
ESFUERZOS COMBINADOS Ejemplo 1.3 Una fuerza horizontal de 500 lb actúa en el punto D de un cigüeñal AB, que se mantiene en equilibrio gracias a un par giratorio T y a las reacciones A y B. Sabiendo que los cojinetes se alinean automáticamente y no ejercen pares sobre el eje, determine los esfuerzos normal y cortante en los puntos H, J, K, L, que se ubican en los extremos de los diámetros vertical y horizontal de una sección transversal localizada a 2.5 in a la izquierda del cojinete B.
Página 29
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados SOLUCION:
∑ ⁄ ∑ ∑
:
DCL Cigüeñal completo
Se reemplaza la seccion B y el par giratorio T por un sistema de par de fuerzas equivalentes en el centro C de la seccion transversal que contiene a H, J, K y L.
La fuerza V produce un momento en el eje y:
Las propiedades geométricas de la seccion de 0.9 in de diametro son:
Usando la ecuacion
Fuerzas internas en sección trnasversal
la
⁄ se determinan los esfuerzos
cortantes en los puntos H, J, K, L, se ilustran en la figura a.
Esfuerzos producidos por un par giratorio T.
Página 30
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados La fuerza cortante V no produce esfuerzos cortantes J y L. Primero se calcula Q para los puntos H y L para un semicirculo respecto de un diametro vertical y despues se calcula el esfuerzo cortante producido por la fuerza cortante V = 250 lb. Estos esfuerzos se muestran en la figura b. (
)( )
Esfuerzos producidos por la fuerza cortante V.
Como el par flector actua en un plano horizontal, no produce esfuerzos en H y K. Con el uso de la ecuación |
|
se determinan los esfuerzos normales en los puntos J y L,
se ilustran en la figura c. |
|
Se suman los esfuerzos que se muestran y se obtienen los esfuerzos total normal y cortante en los puntos H, J, K, L. En el punto H:
Esfuerzos producidos por el par flector My.
En el punto J:
En el punto K: En el punto L:
Página 31
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
PROBLEMAS DE APLICACION RECIPIENTES DE PARED DELGADA Problema 1.1 Un tanque de gas propano de la empresa Z Gas con capacidad de 1000 litros, descansa sobre dos soportes fijos. El tanque esta hecho de ACERO SA GRADO C con longitud L de 2.253m y consiste de un cuerpo cilíndrico con espesor de placa de 6.35 mm y diámetro interior de 79 cm. El cilindro esta soldado en los extremos a dos cabezas esféricas con un espesor de 4.76 mm para cada una. El gas dentro del tanque se encuentra a una presión de 20 PSI. Determine: a) Los esfuerzos longitudinal y transversal en las cabezas esféricas b) Los esfuerzos longitudinal y transversal en el cuerpo cilíndrico del tanque (Considerando que los soportes fijos no ejercen ninguna reacción sobre el tanque)
Solución Datos
⁄
Página 32
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
a)
Analizando las cabezas esféricas
∑
-
Sustituyendo datos
⁄
⁄
Debido a la simetría de las cabezas el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo tangencial son iguales. Página 33
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados b)
Analizando el cuerpo cilíndrico - Para el eje x
∑
- Sustituyendo datos
⁄
-
⁄
Para el eje Z
∑
Página 34
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados (
)
⁄
⁄
Se puede observar que el esfuerzo transversal es dos veces el esfuerzo longitudinal
ESFUERZOS EN UN PUNTO Problema 1.2
Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto M de una tuerca de la llanta de un automóvil si se necesita
ajustar
para
que
funcione
correctamente por medio de una llave cruz. El diámetro de la tuerca es de 16mm.
Sustituyendo la fuerza en A y C en un momento par en D
Encontrando el momento.
∑
∑
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Encontrando esfuerzos en el plano
Inercia
Encontrando cortante
Obtuvimos:
a) Esfuerzos Principales
√(
)
√
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
b) Esfuerzo Cortante Maximo
ESFUERZOS COMBINADOS. Problema 1.3 Una lámpara de alumbrado eléctrico público de 16.5 kg, diámetro 11 in y altura 7 in en la parte inferior y 6.5 in de diámetro y altura 7 in en la parte superior, esta soportada por un poste de concreto con una altura L de 240 in y con diámetro de 10.186 in. La lámpara tiene una excentricidad de 25.593 in desde la línea central del poste, y se encuentra conectada al poste a 225 in. arriba del suelo. Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en el punto P y Q. (el peso específico ⁄ ) del concreto reforzado es de Datos
Página 37
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados Área de la sección transversal del poste A=
=
- Encontrando el Peso del poste (Ec.1)
Donde:
(
)
1- Analizando W1 para los puntos P y Q Siendo W1 =
Página 38
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados 2- Analizando W2 para los puntos P y Q El peso de la lámpara produce una fuerza de compresión F1= peso de la lámpara = y un momento: in) = 1130.8524 lb.in
I=
=
(
)
3- Analizando los puntos P y Q para la presión del viento La presión del viento contra la lámpara produce una fuerza resultando Fv (
)
La Fv es la fuerza cortante a lo largo del poste V = Fv = 23.275 lb Esta fuerza ocasiona un momento flexionante M2
Un par de tensión T
Página 39
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Sumando los efectos de cada fuerza tenemos: - En el punto P:
±√
= =
+√
=
-√
-0.3857 psi
=√
Página 40
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados √(
)
15.9604 psi
- En el punto Q:
±√
= =-
+√
=-
-√
-
=√ √(
)
15.6 psi
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
CONCLUSIONES Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en el análisis de estructuras, es más comprensible el comportamiento de las mismas bajo cargas soportadas.
Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en un punto de una estructura, esto proporciona los elementos necesarios para el diseño de las mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el esfuerzo es máximo para que la estructura se mantenga estable. Los recipientes cilíndricos o esféricos sirven como calderas o tanques que son de uso común en la industria. Estos soportan cargas en todas sus direcciones cuando se someten a presión, pero pueden ser analizados de manera simple siempre y cuando tengan una pared delgada. Con esta suposición se analizo el esfuerzo en un recipiente de presión cilíndrico que contenía oxigeno, a fin de encontrar los esfuerzos longitudinal y circunferenciales que actúan sobre este, a través de las ecuaciones determinadas para su resolución.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
RECOMENDACIONES
Es importante recordar que a la hora del análisis de una determinada estructura el conocimiento teórico del fenómeno es indispensable, por lo cual se debe hacer una investigación previa del comportamiento promedio del problema a analizar.
Para recipientes cilíndricos y esféricos, se debe tomar en cuenta la presión a la que van a ser sometidos, puesto que de esto dependerá la elección del material y el espesor del mismo, para que resista los esfuerzos longitudinales y circunferenciales.
Para diseñar una estructura, primero se debe realizar un cálculo profundo, para saber de manera exacta los puntos donde deben ser colocados los apoyos o soportes, para que la estructura no esté sometida a esfuerzos de falla; de lo contrario sufriría una deflexión que podría deformarla permanentemente (deflexión permanente).
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
BIBLIOGRAFIA Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 5ta edición 2010. Editorial McGraw-Hill.
Hibbeler, R. C., Mecánica de Materiales, 6ta edición, México, 2006. Editorial PEARSON EDUCACION.
James M. Gere, Mecánica de Materiales, 7ma. Edición, 2009. Cengage Learning Editores, S.A de C.V.
Nicholas Willems, Resistencia de materiales, 1988. Editorial McGraw-Hill.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
REFERENCIAS Los ejemplos teóricos fueron plasmados de los libros antes mencionados específicamente de:
Ejemplo 1.1 Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 3er edición. Editorial McGraw-Hill. Capítulo 7 Sección 7.9 Esfuerzos en recipientes de pared delgada Bajo presión
Ejemplo 1.2 Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill. Capítulo 7 TRANSFORMACIONES DE ESFUERZO Y DEFORMACIONES
Ejemplo 1.3 Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill. Capítulo 8 ESFURZOS PRINCIPALES BAJO UNA CARGA DADA
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Esfuerzos Combinados Esfuerzos en Recipientes de Pared Delgada Transformación de Esfuerzos en un Punto Superposición de Esfuerzos
Ciclo I-2012
Ciudad Universitaria Oriental, 25 de Mayo de 2012
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados INDICE
INTRODUCCION….…………………………………………………………………...2 OBJETIVOS………………………………..…………………..……………………….. 3 ESFUERZOS COMBINADOS..………….…………………..……………………….. 4 1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA……………….. 5 1.1 RECIPIENTES ESFERICOS SOMETIDOS A PRECION………………… 5 1.2 RECIPIENTES CILINDRICOS SOMETIDOS A PRESION…………….….. 8 2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO………………… 10
2.1 ESFUERZOS PRINCIPALES Y CORTANTES MAXIMOS……………….. 13 2.2 ESFUERZO CORTANTE MAXIMO EN EL PLANO……………………... 16 2.3 CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO…...…………………… 17 3. SUPERPOSICION DE ESFUERZOS……….……………………...…...……. 20 3.1 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS AXIALES Y FLEXION……………. 21 3.2 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS FLEXION Y TORSION…………... 22 EJEMPLOS TEORICOS……………………………………………………………….. 25 PROBLEMAS DE APLICACION…………………………………………………….. 32 CONCLUSIONES……………………………………………………………………… 42 RECOMENDACIONES…………………………………………………………….…. 43 BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………… 44 REFERENCIA……………………………………………………………………...45 ANEXOS………………………………………………………………………………… 46
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
INTRODUCCION El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar. Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación de varios esfuerzos que son aplicados a un elemento siendo estos esfuerzos de carga axial, esfuerzo por carga de flexión o esfuerzo por carga de torsión. Su determinación es de mucha utilidad en todas las ramas de la ingeniería, ya que por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera simultánea. También es un método para seleccionar y dimensionar el material adecuado en un proceso de construcción. A continuación se hace un análisis de lo que son los recipientes a presión de pared delgada (recipientes cilíndricos y esféricos) los cuales representan una importante aplicación en el análisis de esfuerzo principalmente en el análisis de esfuerzo plano. A La transformación de esfuerzo la cual representa la relación de esfuerzos sobre diferentes planos que pasan por un punto. Y el método de superposición de esfuerzos que sirve para determinar por separado cada una de las fuerzas que son aplicadas sobre el miembro en análisis, para posteriormente combinar sus resultados y obtener la solución del problema.
Los esfuerzos combinados son usados frecuentemente sin darnos cuenta ya sea en nuestras casas que están hechas de vigas, que combinado distintos materiales, soportan algunos mejor la flexión y otros mejor la compresión hasta las grandes construcciones en donde las vigas son de hierro y cemento. Para una mejor aplicación se presentan problemas reales, donde se ven involucrados los temas antes mencionados, de manera que en el diseño de estructuras y elementos sometidos a múltiples cargas se deben tener en cuenta una serie de cálculos y elementos, para el análisis de los mismos.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
OBJETIVOS
General Investigar la teoría de Esfuerzos Combinados aplicables
en superficies de pared
delgada, transformaciones en un punto y superposición de esfuerzos, además de analizar la interacción de esfuerzos al combinarse entre sí al ser aplicado a elementos estructurales, determinando su intensidad.
Específicos Conocer el procedimiento para encontrar los esfuerzos combinados en superficies de pared delgada, transformación en un punto y superposición de esfuerzo.
Analizar la manera en que se relacionan los esfuerzos por carga axial, por carga de torsión y por carga de flexión cuando actúan conjuntamente, para determinar el esfuerzo neto.
Resolver tres problemas prácticos en los que sea aplicable el método de superposición de esfuerzo.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
ESFUERZOS COMBINADOS
Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación del esfuerzo de carga axial, esfuerzo por carga de flexión y esfuerzo por carga de torsión. En la representación de los esfuerzos combinados, por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera simultánea, es por ello que con la finalidad de localizar el punto en donde la estructura llegaría a fallar (punto crítico en la estructura), se analiza la interacción de todos los esfuerzos a los que está sometido el elemento. También es un método para dimensionar y seleccionar el material adecuado para el elemento. En los esfuerzos combinados existen cuatro combinaciones posibles de carga:
ESFUERZOS COMBINADOS
Carga axial y flexión
Carga axial, torsión y flexión
Carga axial y por torsión
Carga axial y flexión
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA
Los recipientes a presión son estructuras cerradas que contienen líquidos o gases a presión, ejemplo de ello son los tanques esféricos para almacenamiento de agua, los tanques cilíndricos para aire comprimido, tubos a presión y globos inflados, las calderas de vapor, los tanques de almacenamiento de líquidos o gases a presión, los tanques de agua, los tanques de almacenamiento de gramos y las tuberías entre otros. Se
consideraran
recipientes de
pared delgada
los
contenedores de forma cilíndrica o esférica en los que el espesor de la pared es pequeño comparado con el radio y su longitud, y en tales casos se encuentran en la clase general de estructuras conocidas como “cascarones”. (Figura 1.0).
Recipientes
esféricos
sometidos
a
presión. Un tanque de forma esférica es el recipiente ideal para resistir presión interna. Algunos ejemplos conocidos son tanques, tubos y cabinas de presión en aeronaves y vehículos espaciales. Cuando los recipientes a presión tienen pared delgada en comparación a sus dimensiones
Figura 1.0
generales, se les incluye dentro de la categoría más general de cascarones. (Figura 1.0c).
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados El término de pared delgada no es preciso, pero una regla general es que la relación de radio al espesor de la pared debe de ser mayor que 10 a fin que podamos determinar los esfuerzos en las paredes con exactitud razonable mediante únicamente estática. Una segunda limitación es que la presión interna debe de ser mayor que la externa; de lo contrario, el cascaron puede fallar por colapso debido al pandeo de las paredes. A fin de hallar los esfuerzos en un recipiente esférico, cortamos a través de la esfera según un plano diametral vertical y aislamos la mitad del cascaron junto con su contenido de fluido como un solo cuerpo libre (figura 1.1a). Sobre este cuerpo libre actúan los esfuerzos de tensión σ en la pared y la presión p del fluido que permanece dentro del hemisferio. El peso del tanque y su contenido se omiten en este análisis. La presión actúa horizontalmente sobre el área circular plana formada por el corte y uniforme,
la
fuerza
dado que la presión en
resultante
de
la
presión es:
donde
es el radio interior de la esfera. Obsérvese que la
presión
es la presión interna neta, o presión manométrica
(esto es, la presión por encima de la presión atmosférica, o
Figura 1.1
presión externa). Debido a la simetría del recipiente y su carga (figura 1.1-b), el esfuerzo de tensión σ
es uniforme alrededor de la
circunferencia, además como la pared es delgada podemos suponer con buena precisión
que el esfuerzo está
distribuido uniformemente a través del espesor t. Página 6
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados La exactitud de esta aproximación se incrementa según se vuelve más delgado el cascaron, y se reduce según se vuelve más grueso. La fuerza obtenida a partir del esfuerzo normal es , donde
es el espesor y
⁄
es el radio medio del cascaron
Por
supuesto, dado que nuestro análisis únicamente es válido para cascarones muy delgados, podemos considerar que
; entonces, la fuerza resultante se convierte en
.
Ec. 1.0 Como es evidente a partir de la simetría de un cascaron esférico, esta misma ecuación para el esfuerzo σ se obtendrá si se pasa un plano a través de la esfera en cualquier dirección. Por lo tanto, concluimos que una esfera “presurizada” está sometida a esfuerzos uniformes a tensión σ en todas las direcciones. Esta condición de esfuerzo se representa en la (Fig. 1.2b) por el pequeño elemento con esfuerzos σ que actúan en direcciones mutuamente perpendiculares. En la superficie exterior de un recipiente esférico a presión, no actúan esfuerzos normales a la superficie, por lo que la condición de esfuerzos es un caso especial de esfuerzo biaxial es el que y
son iguales (Fig. 1.2-a). Así, el círculo de Mohr para esta condición de esfuerzo se
reduce a un punto, y cada plano inclinado es un plano principal. Los esfuerzos principales son:
Ec. 1.1 También, el esfuerzo cortante máximo en el plano es cero. Sin embargo, se debe advertir el elemento es tridimensional y que el tercer esfuerzo principal (en la dirección ) es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto, originado mediante una rotación de
del elemento respecto a
cualquiera de los o , es
Ec. 1.2
Figura 1.2
En la superficie interior de la pared del recipiente esférico, el elemento esforzado tiene los mismos esfuerzos de membrana (Ec. 1.0), pero, adicionalmente, actúa un esfuerzo de
Página 7
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados compresión en la dirección ,
(Fig. 1.2-b). Estos tres esfuerzos normales son los esfuerzos
principales:
Ec .1.3 El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero el esfuerzo cortante fuera del plano (producido mediante una rotación de
alrededor de cualquiera de los ejes y ) es:
Ec. 1.4 Si la relación de ⁄ es suficientemente grande, el último término de esta ecuación puede omitirse. Entonces la ecuación se convierte en la misma Ec.1.3, y se puede suponer que el esfuerzo cortante máximo es constante a través del espesor del cascaron. Todo tanque esférico utilizado como recipiente a presión tendrá al menos una abertura en la pared, así como varios rios y soportes. Esta característica origina distribuciones no uniformes de esfuerzos que no pueden analizarse mediante métodos simples. Cerca de las discontinuidades se generan grandes esfuerzos en el cascaron, por lo que reforzarse tales regiones.
Recipientes cilíndricos sometidos a presión. Los recipientes cilíndricos con sección transversal circular se encuentran en instalaciones industriales (tanques de aire comprimidos y motores de cohete, en casas de habitación (extinguidores de incendios y latas de rociadores) y en granjas (tanques de propanos y silos de granos). Los tubos a presión, los utilizados para el abastecimiento de agua y las tuberías de carga, también se clasifican como recipientes cilíndricos a presión. Considérese ahora un tanque cilíndrico circular de pared delgada con extremos cerrados y presión interna
(Fig. 1.3). En la figura se muestra un elemento esforzado cuyas caras son
paralelas y perpendiculares al eje del tanque. Analizaremos los esfuerzos en un tanque circular de pared delgada sometido a presión interna. Los esfuerzos normales en un tanque
y
que actúan sobre las caras laterales de este
elemento son esfuerzos de membrana en la pared. Por lo tanto, los esfuerzos
y
son
Página 8
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados esfuerzos principales. Debido a su dirección, el esfuerzo circunferencial o esfuerzo tangencial; en forma similar,
se denomina esfuerzo
es el esfuerzo longitudinal o
esfuerzo axial. Cada uno de estos esfuerzos puede calcularse a partir del equilibrio mediante el empleo de diagramas de cuerpo libre apropiados. Para determinar el esfuerzo cincunferencial
,
aplicamos dos cortes (mn y pq) perpendiculares al eje longitudinal y separamos una distancia b (Figura 1.3-a). Luego efectuamos un tercer corte en un plano vertical a traves del eje longitudinal del tanque con lo cual resulta el diagrama de cuerpo libre expuesto en la figura 1.3-b. Este cuerpo libre no consiste solamente en la pieza longitudinal del tanque, sino tambien el el fluido contenido dentro de los cortes. Los esfuerzos circunferenciales
y la presion
interna p actuan sobre el corte longitudinal (mnpq). Los esfuerzos circunferenciales
que actuan en la pared
del recipiente tiene una resultante igual a
, donde t
es el espesor de la pared. Además, la fuerza resultante
de
la presión interna es igual a PdA=2pb , donde es el radio interior del cilindro. Haciendo equilibrio de las ecuaciones antes mencionadas se obtiene lo siguiente (El esfuerzo circunferencial para un cilindro a presión):
Ec. 1.5 El esfuerzo longitudinal
se obtiene del equilibrio de
un cuerpo libre de la parte del recipiente a la izquierda de la sección transversal mn (fig. 1.3-c), donde al igual que en el análisis anterior no solo la parte del tanque, sino también su contenido. Los esfuerzos
Figura 1.3
actúan en sentido
Página 9
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados longitudinal y tiene la fuerza resultante igual a . La fuerza resultante igual a
la presión interna es
. Realizando el equilibrio de fuerzas de la fig. 1.3-c y despejando para p
se obtiene: Ec.1.6 La deducción de las ecuaciones (1.6, 7) se supuso que los esfuerzos de membrana a través de las paredes del recipiente eran uniformes.
2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO La transformación del esfuerzo significa la variación, con la dirección de las componentes de esfuerzo en un punto. EL estudio de este tema se refiere principalmente a casos
Figura 2.1
bidimensionales, pero también se dan algunos resultados importantes para estados de esfuerzos tridimensionales. Este tema es importante en la determinación de los esfuerzos máximos en un punto de un elemento y en las determinaciones de esfuerzos que producen la falla de un elemento. Hasta ahora hemos visto los esfuerzos únicamente en ciertos planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo. Por ejemplo, la formula σ = P/A para varillas cargadas axialmente da el esfuerzo normal en una varilla únicamente en los planos cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la varilla como se muestra en la figura 2.1a: Los esfuerzos en planos cortantes orientados de distinta manera fig 2.1b son diferentes. En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los esfuerzos en un punto de un cuerpo son diferentes. En algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos significativamente mayores que otros. El siguiente estudio se refiere a esta variación del esfuerzo en un punto y trata principalmente el caso de esfuerzo biaxial, en dos dimensiones. En primer lugar se consideran diferentes Página 10
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados representaciones de los esfuerzos en el mismo punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2a representa un elemento aislado por dos planos cortantes infinitamente cercanos y mutuamente perpendiculares que son normales a los ejes de las coordenadas X-Y. la figura 2.2b muestra un elemento aislado de manera semejante por planos cortantes normales a los ejes orientados de manera diferente, X´-Y´. los esfuerzos en las caras opuestas de cada uno de estos elementos son iguales y opuestos, y son los mismos que actúan sobre los lados opuestos de un plano cortante único. Cada uno de los elementos aislados en la figura 2.2 esta sometido a la acción de esfuerzos diferentes en el mismo punto. Cada elemento tiene asociados tres elementos de esfuerzos. En la figura 2.2a, las componentes se designan σx,σy Y τxy en las coordenadas X-Y. las de la figura 2.2b se designan σx´,σy´ Y τx´y´ en las coordenadas X´-Y´. Estos dos conjuntos de componentes de esfuerzo no son los únicos que existen en ese punto.
Figura 2.2
Página 11
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados El infinito número de conjuntos de componentes de esfuerzos que se describió, no son independientes. Las componentes en un sistema arbitrario de coordenadas X/ - Y/están relacionadas con las del sistema x-y. Las ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos en diferentes sistemas de coordenadas o, lo que es lo mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un punto, se llaman ecuaciones de transformación del esfuerzo. Las ecuaciones de transformación del esfuerzo se obtienen de
Figura 2.3
las condiciones de equilibrio de un elemento de tamaño infinitesimal como el que se muestra en la siguiente figura. (fig.2.3) esta formada por planos cortantes normales a los ejes de referencia X,Y y por un tercer plano cortante normal a un eje inclinado X´ que forma un ángulo arbitrario θ con el eje x. Los esfuerzos en la cara inclinada son las dos componentes σx´ y τx´τy´asociados a las coordenadas x´,y´.
Se consideran
cantidades positivas si tienen los sentidos indicados y negativas si tienen los sentidos opuestos. Las condiciones ∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan mas adelante. A partir de estas ecuaciones de equilibrio se obtienen las fuerzas en elemento efectuando los productos de cada esfuerzo por el área de la cara sobre la cual actúa. Se supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor unitario normal al plano X,Y el área de la cara inclinada se designa por dA. Entonces, la cara opuesta y la cara adyacente al ángulo θ tiene áreas dAsenθ y dAcosθ, respectivamente. También se hace uso de las identidades trigonométricas. Y finalmente tenemos: (
)
(Ec.2-1)
O, finalmente: (Ec.2-2) Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de transformación de esfuerzos para el caso bidimensional y dan valores de
σx´, τx´y´para cualquier ángulo θ en función de σx,σy,τxy. La
componente de esfuerzo, σy´ está dada por la ecuación 2-1, aumentando el ángulo θ en 90º. Página 12
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados Estas ecuaciones dan el esfuerzo en cualquiera del infinito número de planos cortantes que pueden pasar por un punto de un cuerpo, en función de un conjunto arbitrario de componentes de esfuerzos x-y. Así, uno solo del infinito número de conjunto de componentes de esfuerzos en un punto, utilizado como conjunto de referencia junto con las ecuaciones de transformación de esfuerzo, es suficiente para describir completamente los esfuerzos en u punto. Se puede demostrar que las ecuaciones 2-1 y 2-2 también son aplicables si el elemento de la figura 2.3 tiene aceleración. De modo que las ecuaciones 2-1 y 2-2 son aplicables bajo las condiciones estáticas y dinámicas de un cuerpo.
ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS.
Las ecuaciones de transformación para esfuerzos planos muestran que el esfuerzo normal esfuerzo cortante y
, y el
varían en forma continua según se gira el elemento en un ángulo . Con
fines de diseño, usualmente son necesarios lo valores máximos tanto positivos como negativos. Para determinar los esfuerzos normales máximos y mínimos, que se conocen como esfuerzos principales, empezamos con la expresión
: (Ec.2-3)
Al tomar la derivada de
para los cuales
con respecto a
e igualar a cero, se obtiene una ecuación para los valores
es máximo o e mínimo: (
)
De la cual obtenemos: (Ec.2-4) De la ecuación (2-4) pueden obtenerse dos valores de valores difieren en y
, estando el valor mas pequeños entre
. Por lo tanto, el ángulo
el otro entre
en el intervalo entre
y
y
tiene dos valores que difieren en
. Para uno de estos ángulos el esfuerzo
. Estos
y el valor mas grane entre , uno entre
y
,y
es un esfuerzo principal
Página 13
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados máximo; para el otro,
es un esfuerzo principal mínimo. Como los dos valores de
difiere en
, concluimos que los esfuerzos principales ocurren en planos mutuamente perpendiculares.
Los valores de los esfuerzos principales pueden calcularse fácilmente al sustituir cada uno de los dos valores de
en la
ecuación de la transformación de esfuerzos(ec.2-3) y despejar . Mediante este procedimiento podemos conocer también cuales de los dos esfuerzos principales se asocia a cada uno de los dos ángulos principales
En donde : √(
)
(Ec.2-5)
Se sustituyen las expresiones para
y
en la ecuación 2-3 se obtienen el valor algebraico
mayor de los dos esfuerzos principales, denotado por
√(
)
El más pequeño de los esfuerzos se denota por
Puesto que
:
determina por la la condición
actúan sobre planos perpendiculares.
√(
)
Página 14
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Luego, las formulas anteriores pueden combinarse en una sola fórmula para los esfuerzos principales: √(
)
(Ec.2-6)
Este resultado de los esfuerzos principales, designados por , en función de las componentes de referencia, . Donde se especificó anteriormente
,
,y
y
. Los esfuerzos principales siempre representan los valores mayor y menor de
, en un punto.
Los planos principales para elementos en estados de esfuerzos axial y biaxial son los mismos planos x y y (Fig. 2.5), ya que (véase Ec. 2-4), y por consiguiente, los dos valores de
son 0° y 90°
Figura 2.5
Para un elemento en cortante puro (Fig. 2.6 a), los planos principales están orientados a 45° respecto al eje x (Fig. 2.6 b), ya que tan de
es infinito y, por consiguiente, los dos valores
son 45° y 135°. Si
principales son
es positivo, los esfuerzos
y
El estudio de esfuerzos principales anterior se refiere únicamente a la rotación del elemento esforzado en el plano xy(esto es, rotación alrededor del eje z) (Fig. 2.6) Los dos esfuerzos principales determinados a partir de la Ec. (2-6) al-
Figura 2.6
gunas veces se denominan esfuerzos principales en el plano.
Página 15
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados Mediante un análisis tridimensional más completo, puede demostrarse que los tres planos principales para un elemento en esfuerzo plano son los dos planos principales que se han descrito, más la cara z del elemento. Estos planos principales se muestran en la Fig.2.7b, donde el elemento esforzado de la Fig.2.7a ha sido girado respecto al eje z un ángulo
, que es
uno de los dos ángulos determinados por la Ec. (2-4). Los esfuerzos principales son la Ec. (2-6) y
, donde
y
resultan de
es igual a cero. F Figura 2.7
ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO EN EL PLANO. La orientación de un elemento que está sometido a esfuerzo cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la Figura 2.8
derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e igualando a cero el resultado. Se obtiene (
)
(Ec.2-7)
Las dos raíces de esta ecuación
, se pueden
determinar con los triángulos de la figura 2.8, cada raíz de esta a 90° de
. Así las raíces de
y
forman 45° entre
ellas, y el resultado es que los planos del esfuerzo cortante máximo se pueden determinar orientando a un elemento a 45° con respecto a la posición de un elemento que defina los planos del esfuerzo principal. Usando cualquiera de las raíces
, se puede determinar el esfuerzo cortante máximo sacando
los valores trigonométricos de sen
y cos
en la figura 2.8, y sustituyéndola en la ecuación (2-
2). El resultado es:
√(
)
(Ec.2-8)
Página 16
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados calculado con la ecuación (2-8) se llama “esfuerzo cortante máximo en
El valor de
el plano”, porque actúa sobre el elemento en el plano x-y. si se sustituyen los valores de sen cos
y
en la ecuación (2-1),se ve que también hay un esfuerzo normal sobre los planos de esfuerzo
cortante máximo en el plano. Se obtiene: (Ec.2-9)
CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO El circulo de usado para obtener algunas ecuaciones básicas
Figura 2.9
relativas a la transformación de esfuerzo en un plano. Este método se basa en consideraciones geométricas simples y no requiere el uso de ecuaciones especializadas. Considere un elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano (figura 2-9a), y sean,
las componentes
del esfuerzo ejercido sobre el elemento. Dibuje un punto X de coordenadas
y
(figura2-9). Si
y un punto Y de coordenadas
y
es positivo, como se supone en la figura
2-9 a, el punto X está situado debajo del eje
y el punto Y
encima, como se muestra en la figura 2-9 b. Si
es negativo,
X se sitúa encima del eje
y Y debajo. Uniendo X y Y mediante
una línea recta se define el punto C de intersección de la línea XY con el eje
y se dibuja el círculo de centro en C y diámetro
XY. Al observar que la abscisa de C y el radio del círculo son respectivamente iguales a las cantidades
y R definidas
por las ecuaciones (2-5, 2-9), se concluye que el círculo obtenido es el círculo de Mohr para esfuerzo plano. Así, las abscisas de los puntos A y B, en donde el círculo interseca el eje , representan respectivamente los esfuerzos principales
y
en el punto considerado.
Página 17
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados Se nota también que como tan
,el ángulo XCA
es igual en magnitud a uno de los ángulos ecuaciones (2-4). Así, el ángulo
que satisfacen las
que define la figura (2.9)la
orientación del plano principal correspondiente al punto A en la figura 2.9 puede obtenerse dividiendo entre la mitad el ángulo XCA medido en el círculo de Mohr. Observe además que si >0, como en el caso considerado aquí, la rotación que trae CX a CA es en sentido contrario a las agujas del reloj. Pero en ese caso el ángulo
obtenido de la ecuación (2-4), el
cual define la dirección de la normal Oaal plano principal, es positivo; por ello la rotación que trae Oxa Oaes también en sentido contrario al de las agujas del reloj. Se concluye que los sentidos de rotación en ambas partes de la figura 2.9 son los mismos. Si se requiere un giro
para llevar CX a CA en el
círculo Mohr, una rotación en sentido contrario al de las agujas del reloj
llevará Oxa Oaen la figura 2.9a.
Como el círculo de Mohr está definido en forma única, el mismo
círculo
componentes,
puede
obtenerse
considerando
, correspondiente a los ejes
la figura 2.10a. El punto X' de las coordenadas punto Y´ de coordenadas
y
y
las de ., y el
están, por tanto, localizadas
en el círculo de Mohr y el ángulo X'CA de la figura 2.10 debe ser el doble del ángulo x'Oade la figura 2.10a. Como el ángulo XCA es el doble del ángulo xOa, se sigue que el ángulo XCX' de la figura 2.10b es el doble del xOx' de la figura 2-10a. Así el diámetro X'Y que define los esfuerzos normales y cortantes , puede obtenerse girando el diámetro XY un ángulo igual al doble del ángulo formado por los ejes x' y x de la figura 2.10a. Se observa que la rotación que hace coincidir el diámetro .XY con el diámetro X'Y', en la figura 2-10, tiene igual sentido que la rotación que superpone los ejes xya los ejes x'y'
Figura 2.10
en la figura 2-10a. Página 18
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados La propiedad que se acaba de indicar puede usarse para
a)
verificar el hecho de que los planos de esfuerzo cortante máximo están a 45° de los planos principales. Ciertamente, recuerde que los puntos D y E del círculo de Mohr corresponden a los planos de esfuerzo cortante máximo, mientras A y B corresponden a los planos principales (figura 2.11b). Puesto que los diámetros AB y DE del círculo de Mohr están a 90° el uno del otro, se tiene que las caras de los elementos correspondientes están a 45° la una de la otra (figura2.11a). La construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano se simplifica mucho si se considera separadamente cada cara del elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. De
b)
las figuras 2.9 y 2.10 observe que cuando el esfuerzo cortante ejercido sobre una cara dada tiende a hacer girar el elemento en el sentido de las agujas del reloj, el punto correspondiente a esa cara está colocado por encima del eje
el círculo de Mohr.
Cuando el esfuerzo cortante en una cara tiende a hacer girar el elemento en el sentido contrario a las agujas del reloj, el punto correspondiente a esa cara está localizado debajo del eje (Fig. 2.11). En cuanto a los esfuerzos normales, se usa la convención usual, es decir, un esfuerzo de tensión se considera positivo y se gráfica a la derecha, mientras una compresión es negativa y se gráfica hacia la izquierda.
Figura 2.11
Página 19
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
3. SUPERPOCICION DE ESFUERZOS
En la práctica
de la ingeniería, se usa a menudo el
principio de superposición en la solución de problemas. Cuando tenemos un miembro que está sujeto a un sistema de carga completo que involucra un cierto número de fuerzas de diferentes tipos, podemos determinar el efecto de
cada
fuerza
del
sistema
sobre
el
miembro
separadamente. Después, los resultados de cada una de ellas se combinan para obtener la solución del problema. El principio de superposición es fácil de entender y aplicar. Solamente se necesita asegurarse que sea válido combinar los resultados. Si los resultados combinados no son lineales, la superposición no es válida. Existen tres tipos de esfuerzos básicos: 1-
P/A solamente se consideran cargas axiales
aplicadas a través del centroide de la sección. 2- Tc/J solamente carga de torsión sobre ejes de sección circular. 3- c/I solamente cargas aplicadas perpendicularmente al eje transversal Con estos métodos pueden resolverse una amplia clase de problemas. Pero podemos ampliar esta clase combinando adecuadamente estos tipos básicos de carga. En la práctica frecuentemente se encuentran cargas que no concuerdan con las condiciones bajo las cuales las teorías básicas son Página 20
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados válidas como se muestra en las figuras a la derecha las cuales muestran varios ejemplos de problemas de este tipo. Sin embargo, estos problemas pueden resolverse mediante una combinación adecuada de los métodos ya estudiados. Existen tres combinaciones principales de esfuerzos combinados: Axial y flexion. Flexion y torsión. Axial y torsión. En este trabajo solamente se abordaran las dos primeras combinaciones de esfuerzos que se analizaran por el método de superposición.
SUPERPOSICIÓN
DE
ESFUERZOS
AXIALES
Y
FLEXIÓN
Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a una carga inclinada P, como se muestra en la siguiente figura 3.1(a). Esta carga no produce flexión ni carga axial solamente, sino una combinación de las dos. Si se descompone esta fuerza en sus componentes horizontal y vertical, como en la figura 3.1(b) y 3.1(c), estas componentes actúan en las direcciones que permiten aplicar la teoría de carga axial y flexión respectivamente. La fuerza axial Px sección (b) de la figura 3.1, produce esfuerzos directos de tensión P/A en todas las fibras. La fuerza Py sección (c) produce esfuerzos de flexión Mc/I. Como ambos esfuerzos actúan para alargar o acortar las fibras, pueden combinarse algebraicamente. Figura 3.1 Página 21
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados El hecho de que ambas cargas producen esfuerzos que tienen la misma línea de acción confirma que la superposición de esfuerzos es válida. Los esfuerzos en cualquier fibra pueden calcularse como: ±
(Ec.3-1)
Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión son negativos, Esta convención de signos nos ayuda a determinar la naturaleza de los esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las fibras externas. Los esfuerzos calculados mediante la ecuación de esfuerzo mostrada anteriormente no son enteramente correctos. La carga Py producen una deflexión (no mostrada) que, cuando se multiplica por la fuerza axial Px, producen un pequeño momento secundario. En estos casos de tensión axial y flexión, este momento secundario tiende a reducir el momento total, y por consiguiente, puede despreciarse. Si la fuerza axial es de compresión, el momento secundario incrementa el momento total, y el despreciar este término no resulta conservativo. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de esfuerzos combinados, el efecto de este término es pequeño y puede despreciarse. En el caso de vigas columnas esbeltas, el efecto puede no ser despreciable.
FLEXIÓN Y TORSIÓN COMBINADAS A veces se necesita que los estructurales soporten conjuntamente cargas de flexión de torsión, Por ejemplo ejes o arboles circulares que trasmiten un par o momento de rotación suelen estar sometidos tantos a momentos de flexión, como a torsión. Tales condiciones es posible realizar el análisis de esfuerzos sin ninguna dificultad esencial siempre que se conozcan las resultantes de los esfuerzos estas pueden comprender momentos Flexionarte pares de torsión y fuerzas cortantes. Los esfuerzos debidos a cada resultante de esfuerzo se pueden determinar en cualquier punto de la sección recta por Página 22
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados medio de las formulas apropiadas. Entonces el estado completo de esfuerzos en el punto elegido se investiga utilizando las relaciones deducidas anteriormente o por medio del CIRCULO DE MOHR. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos. De este modo se efectúan el análisis en cualquier número de situaciones críticas en el elemento y, con todos los resultados, puede establecerse si el diseño es adecuado o bien, realizar uno nuevo Como una ilustración simplificada de la flexión y torsión combinadas, considere la barra circular de la figura en esta viga Cantiléver actúa un momento de torsión, T, con respecto al eje longitudinal y una fuerza transversal o lateral, Q. En una sección recta de la barra a la distancia X del empotramiento la resultante de esfuerzos se pueden encontrar por Estática. Tales resultantes son: 1) Un momento Flexionante , M , esto igual a Q( L – x ), donde L es la longitud de la viga; 2) Una fuerza cortante, V igual a Q, y. 3) Un momento torsionante T. Observe que en este caso el momento flector
se considera positivo
cuando produce tracción en la parte superior de la viga si ahora examinamos un elemento localizado en la superficie superior de la barra (Elementos A en la Figura 3.2), Vemos que este elemento estará sometido a los esfuerzos de flexión, M y a los esfuerzos cortantes,
X
Debido a
Debidos a T
(Figura). Estos esfuerzos se obtienen con las ecuaciones
X
=
y
Respectivamente,en
el caso de un árbol circular de diámetro d, esta ecuaciones se convierte en. (Ec.3-3)
x=
(Ec.3-2)
; Figura 3.2
Página 23
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados Conociendo
x
y
Se pueden determinar los esfuerzos en un elemento girado cualquier
ángulo que se desee en el punto A. Los esfuerzos principales en A se hayan por la ecuación. √
1,2=
)+
(Ec.3-4)
Así mismo, el esfuerzo cortante máximo encontrado por la ecuación anterior es: =
√
)+
.
Si se conocen los valores isibles
(Ec.3-5)
w
y
de los esfuerzos normal y cortante
sustitúyanse en la dos ecuaciones anteriores en lugar de
1
y
2
y
, y luego despéjese
“d” el diámetro requerido de la barra circular. Desde luego se obtendrán los esfuerzos máximos cuando el elemento A seleccione al extremo de la barra donde el momento Flexionante M tiene el valor el máximo la descripción anterior supuso que se selecciona un elemento en la parte superior de la barra. Un procedimiento similar puede seguirse para analizar los esfuerzos en la parte inferior de la misma. Los esfuerzos máximos se producirán por lo general donde los esfuerzo de flexión son mayores, es decir en la parte superior o en l parte inferior de la viga en la sección recta del máximo momento Flexionarte sin embargo a veces es necesario considerar otras posibilidades. Por ejemplo a la fuerza cortante V= Q produce un esfuerzo máximo de cortadura en el eje neutro. Por consiguiente se debe considerar también un elemento seleccionado sobre el lado de la barra, en su eje neutro (Elemento B). Tal elemento se hallará
en estado de cortadura pura (figura),
constando el esfuerzo cortante de dos partes: 1) El esfuerzo de cortadura debido al momento T, obtenido de la formula y 2) El esfuerzo cortante debido a V que se obtiene de la formula y
. Los
esfuerzos principales en tal elemento ocurren en planos a 450 con el eje. Estos esfuerzos pueden compararse con los obtenidos para elementos en la parte superior y en la inferior de la viga, a fin de determinar el esfuerzo normal máximo a utilizar en el cálculo. Los esfuerzos cortantes máximos en la viga pueden hallarse también Página 24
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados comparándose los valores obtenidos para los elementos A y B. Si la viga esta empotrada de madera más complicada o si la forma de la sección recta no es circular a un se puede analizar los esfuerzos en diversos puntos de la barra y compararlos. Al hacerlo es natural seleccionar puntos de la barra donde sea máximo el esfuerzo normal o el cortante. Comparando los esfuerzos obtenidos en todos los puntos donde es probable que haya un esfuerzo máximo se podría estar razonablemente seguro de obtener los esfuerzos máximos absoluto.
EJEMPLOS TEORICOS RECIPIENTES DE PARED DELGADA
EJEMPLO 1.1 Cuando se llena a toda su capacidad el tanque no pasteurizado que se representa en la figura, contiene agua hasta un nivel de 15.5m arriba de su base. Sabiendo que la porción inferior del tanque tiene un espesor de pared de 16mm encuentre: a) El esfuerzo normal máximo b) El esfuerzo cortante máximo (La densidad del agua es de 1000 kg/m3)
del
tanque
DATOS
Página 25
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Para determinar el Peso específico:
Encontrando la presión del agua en el nivel de 15.5 m arriba de su base
Haciendo un corte en la región media del recipiente cilíndrico ∑
(
)
Página 26
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Esfuerzo longitudinal en el elemento A.
∑
Sustituyendo datos:
(
)
Debe observarse que el tercer esfuerzo principal es cero en la superficie exterior del cilindro pero en la superficie interna es igual al esfuerzo longitudinal.
Página 27
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados ESFUERZOS EN UN PUNTO
Ejemplo 1.2 El eje de un automóvil esta sometido a las fuerzas y al par que se muestra en la figura. Si se sabe que el diámetro del eje solido es de 1.25in, Determine a) los planos principales en el punto H localizado en la parte superior del eje b) el esfuerzo cortante máximo ejercido en el mismo punto.
Encontrando Inercia
Encontrando el momento
∑
Encontrando esfuerzo
Con torsion encontramos el esfuerzo cortante
⁄
Página 28
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados a) Esfuerzos Principales:
√(
)
√(
)
b) Esfuerzo Cortante Maximo
ESFUERZOS COMBINADOS Ejemplo 1.3 Una fuerza horizontal de 500 lb actúa en el punto D de un cigüeñal AB, que se mantiene en equilibrio gracias a un par giratorio T y a las reacciones A y B. Sabiendo que los cojinetes se alinean automáticamente y no ejercen pares sobre el eje, determine los esfuerzos normal y cortante en los puntos H, J, K, L, que se ubican en los extremos de los diámetros vertical y horizontal de una sección transversal localizada a 2.5 in a la izquierda del cojinete B.
Página 29
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados SOLUCION:
∑ ⁄ ∑ ∑
:
DCL Cigüeñal completo
Se reemplaza la seccion B y el par giratorio T por un sistema de par de fuerzas equivalentes en el centro C de la seccion transversal que contiene a H, J, K y L.
La fuerza V produce un momento en el eje y:
Las propiedades geométricas de la seccion de 0.9 in de diametro son:
Usando la ecuacion
Fuerzas internas en sección trnasversal
la
⁄ se determinan los esfuerzos
cortantes en los puntos H, J, K, L, se ilustran en la figura a.
Esfuerzos producidos por un par giratorio T.
Página 30
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados La fuerza cortante V no produce esfuerzos cortantes J y L. Primero se calcula Q para los puntos H y L para un semicirculo respecto de un diametro vertical y despues se calcula el esfuerzo cortante producido por la fuerza cortante V = 250 lb. Estos esfuerzos se muestran en la figura b. (
)( )
Esfuerzos producidos por la fuerza cortante V.
Como el par flector actua en un plano horizontal, no produce esfuerzos en H y K. Con el uso de la ecuación |
|
se determinan los esfuerzos normales en los puntos J y L,
se ilustran en la figura c. |
|
Se suman los esfuerzos que se muestran y se obtienen los esfuerzos total normal y cortante en los puntos H, J, K, L. En el punto H:
Esfuerzos producidos por el par flector My.
En el punto J:
En el punto K: En el punto L:
Página 31
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
PROBLEMAS DE APLICACION RECIPIENTES DE PARED DELGADA Problema 1.1 Un tanque de gas propano de la empresa Z Gas con capacidad de 1000 litros, descansa sobre dos soportes fijos. El tanque esta hecho de ACERO SA GRADO C con longitud L de 2.253m y consiste de un cuerpo cilíndrico con espesor de placa de 6.35 mm y diámetro interior de 79 cm. El cilindro esta soldado en los extremos a dos cabezas esféricas con un espesor de 4.76 mm para cada una. El gas dentro del tanque se encuentra a una presión de 20 PSI. Determine: a) Los esfuerzos longitudinal y transversal en las cabezas esféricas b) Los esfuerzos longitudinal y transversal en el cuerpo cilíndrico del tanque (Considerando que los soportes fijos no ejercen ninguna reacción sobre el tanque)
Solución Datos
⁄
Página 32
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
a)
Analizando las cabezas esféricas
∑
-
Sustituyendo datos
⁄
⁄
Debido a la simetría de las cabezas el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo tangencial son iguales. Página 33
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados b)
Analizando el cuerpo cilíndrico - Para el eje x
∑
- Sustituyendo datos
⁄
-
⁄
Para el eje Z
∑
Página 34
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados (
)
⁄
⁄
Se puede observar que el esfuerzo transversal es dos veces el esfuerzo longitudinal
ESFUERZOS EN UN PUNTO Problema 1.2
Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto M de una tuerca de la llanta de un automóvil si se necesita
ajustar
para
que
funcione
correctamente por medio de una llave cruz. El diámetro de la tuerca es de 16mm.
Sustituyendo la fuerza en A y C en un momento par en D
Encontrando el momento.
∑
∑
Página 35
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Encontrando esfuerzos en el plano
Inercia
Encontrando cortante
Obtuvimos:
a) Esfuerzos Principales
√(
)
√
Página 36
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
b) Esfuerzo Cortante Maximo
ESFUERZOS COMBINADOS. Problema 1.3 Una lámpara de alumbrado eléctrico público de 16.5 kg, diámetro 11 in y altura 7 in en la parte inferior y 6.5 in de diámetro y altura 7 in en la parte superior, esta soportada por un poste de concreto con una altura L de 240 in y con diámetro de 10.186 in. La lámpara tiene una excentricidad de 25.593 in desde la línea central del poste, y se encuentra conectada al poste a 225 in. arriba del suelo. Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en el punto P y Q. (el peso específico ⁄ ) del concreto reforzado es de Datos
Página 37
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados Área de la sección transversal del poste A=
=
- Encontrando el Peso del poste (Ec.1)
Donde:
(
)
1- Analizando W1 para los puntos P y Q Siendo W1 =
Página 38
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados 2- Analizando W2 para los puntos P y Q El peso de la lámpara produce una fuerza de compresión F1= peso de la lámpara = y un momento: in) = 1130.8524 lb.in
I=
=
(
)
3- Analizando los puntos P y Q para la presión del viento La presión del viento contra la lámpara produce una fuerza resultando Fv (
)
La Fv es la fuerza cortante a lo largo del poste V = Fv = 23.275 lb Esta fuerza ocasiona un momento flexionante M2
Un par de tensión T
Página 39
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Sumando los efectos de cada fuerza tenemos: - En el punto P:
±√
= =
+√
=
-√
-0.3857 psi
=√
Página 40
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados √(
)
15.9604 psi
- En el punto Q:
±√
= =-
+√
=-
-√
-
=√ √(
)
15.6 psi
Página 41
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
CONCLUSIONES Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en el análisis de estructuras, es más comprensible el comportamiento de las mismas bajo cargas soportadas.
Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en un punto de una estructura, esto proporciona los elementos necesarios para el diseño de las mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el esfuerzo es máximo para que la estructura se mantenga estable. Los recipientes cilíndricos o esféricos sirven como calderas o tanques que son de uso común en la industria. Estos soportan cargas en todas sus direcciones cuando se someten a presión, pero pueden ser analizados de manera simple siempre y cuando tengan una pared delgada. Con esta suposición se analizo el esfuerzo en un recipiente de presión cilíndrico que contenía oxigeno, a fin de encontrar los esfuerzos longitudinal y circunferenciales que actúan sobre este, a través de las ecuaciones determinadas para su resolución.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
RECOMENDACIONES
Es importante recordar que a la hora del análisis de una determinada estructura el conocimiento teórico del fenómeno es indispensable, por lo cual se debe hacer una investigación previa del comportamiento promedio del problema a analizar.
Para recipientes cilíndricos y esféricos, se debe tomar en cuenta la presión a la que van a ser sometidos, puesto que de esto dependerá la elección del material y el espesor del mismo, para que resista los esfuerzos longitudinales y circunferenciales.
Para diseñar una estructura, primero se debe realizar un cálculo profundo, para saber de manera exacta los puntos donde deben ser colocados los apoyos o soportes, para que la estructura no esté sometida a esfuerzos de falla; de lo contrario sufriría una deflexión que podría deformarla permanentemente (deflexión permanente).
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
BIBLIOGRAFIA Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 5ta edición 2010. Editorial McGraw-Hill.
Hibbeler, R. C., Mecánica de Materiales, 6ta edición, México, 2006. Editorial PEARSON EDUCACION.
James M. Gere, Mecánica de Materiales, 7ma. Edición, 2009. Cengage Learning Editores, S.A de C.V.
Nicholas Willems, Resistencia de materiales, 1988. Editorial McGraw-Hill.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
REFERENCIAS Los ejemplos teóricos fueron plasmados de los libros antes mencionados específicamente de:
Ejemplo 1.1 Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 3er edición. Editorial McGraw-Hill. Capítulo 7 Sección 7.9 Esfuerzos en recipientes de pared delgada Bajo presión
Ejemplo 1.2 Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill. Capítulo 7 TRANSFORMACIONES DE ESFUERZO Y DEFORMACIONES
Ejemplo 1.3 Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill. Capítulo 8 ESFURZOS PRINCIPALES BAJO UNA CARGA DADA
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