Estadisticos De Orden 3u5v3f

Estadísticos de Orden José Alfonso Urbina: Ricaul Castellon Sánchez 28 de octubre de 2014 Denición: Los estadísticos de orden para una muestra aleatoria X1 , . . ., Xn son valores muestrales colocados en orden ascendente. Son denominados por X(1) , . . ., X(n) . Los estadísticos de orden son variables aleatorias que satisfacen X(1) ≤ X(2) ≤. . . ≤ X(n) . Los siguientes son algunos estadísticos que están denidos en términos de estadísticos de orden.

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Rango

El rango de la muestra R = X(n) − X(1) , es la distancia entre la observación mas grande y la mas pequeña. Esta es una medida de dispersión de la muestra y debe reejar la dispersión de la población.

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Mediana

La mediana muestral la cual denominamos por M, es un numero tal que la mitad de las observaciones están por debajo de M y la otra mitad son mayores. En términos de estadísticos de orden M es denido por ( M=

X((n+1)/2) (X(n/2) + X(n/2+1)/2

si n es impar Si n es impar

La mediana muestral es una medida de locación y puede ser considerada una alternativa a la media muestral. Una ventaja de la mediana muestral sobre la media muestral es que esta es menos afectada por las observaciones extremas.

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(100)ka-esimo percentil

Para cualquier numero p entre 0 y 1la (100)pe-esima muestra percentil es la observación tal que el numero aproximado np de las observaciones son menos que esta observación y n(1-p) son mayor que esta observación. El 50k-esimo percentil es la mediana de la muestra, 25k-esimo percentil se le llama el primer cuartil y el 75k-esimo se le llama el tercer cuartil, una medida de dispersión que se usa algunas vece es el rango intecuartil, que es la distancia entre el primer y tercer cuartil. 1

Teorema 5.3.4

Sea X1 , . . .,Xn una muestra aleatoria de una distribución discreta con pmf fX (xi ) = pi , donde x1 < x2 < . . .son los posibles valores de Xen orden ascen-

dente. Se dene

Po = 0 P1 = p1 P2 = p1 + p2

.. . Pi = p1 + p2 + . . . + pi

Sea X(1) , . . .,X(n) el estadístico de orden de la muestra. Entonces P (X(j) ≤ xi ) =

n X n ( )Pik (1 − Pi )n−k k

k=1

P (X(j) = x) =

n X k k ( )[Pik (1 − Pi )n−k − Pi−1 (1 − Pi−1 )n−k ] n k=j

Demostración Fijando i , y sea Y la variable aleatoria de los números menores que o igual a xi ; para cada Xi , . . .,Xn llame al evento {Xj ≤ xi } un éxito y {Xj > xi }un fracaso. Entonces Yes el numero de éxitos en n intentos. Por consiguiente, Y ∼ binomial(n, Pi ). El evento {Xj ≤ xi } es equivalente a {Y > j} es decir, al menos j valores muestrales son menos que o igual a xi . Las dos ecuaciones están entonces establecidas. Teorema 5.4.4

Sea X(1) , . . .,X(n) el estadístico de orden de una muestra aleatoria X1 , . . .,Xn proveniente de una población continua con cdf FX (x) y pdf fX (x ). Entonces la pdf de X(j) es fX(j) (x) =

n! fX (x)[FX (x)]j−1 [1 − FX (x)]n−j (j − 1)(n − j)!

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Ejemplo (pdf de un estadístico de orden uniforme) Sea X1 , . . .,Xn ∼ unif orme(0, 1), de manera que fX (x ) = 1 para todo x ∈ (0, 1) y FX (x) = x para x ∈ (0, 1). Entonces, la pdf del j-esimo estadístico de orden es iid

fX(j) (x) =

n! xj−1 (1 − x)n−j (j − 1)(n − j)!

para todo x ∈ (0 , 1 ). Entonces X(j) ∼ Beta(j, n − j + 1). De esto se puede concluir que EX(j) = V arX(j) =

j n+1

j(n − j + 1) (n + 1)2 (n + 2)

Teorema 5.4.6

Sea X(1) , . . .,X(n) el estadístico de orden de una muestra aleatoria de una población continua con cdf FX (x) y fX (x ). Entonces la pdf de la conjunta de X(i) y X(j) , 1 ≤ i < j ≤ n , es fX(i) fX(j) (u, v) =

n! fX (u)fX (v)[FX (u)]i−1 [FX (v)−FX (x)]j−1−i [1−FX (v)]n−j (i − j)!(j − 1 − i)!(n − j)!

para −∞ < u < v < ∞. La pdf conjunta de tres o mas estadísticos de orden puede ser derivada usando argumentos similares pero un poco mas complejos. Quizas el otro pdf mas usado es fX(1 ) , . . . , fX(n) (x1 , . . . , xn ), que es la pdf conjunta de todos los estadísticos de orden dado por ( fX(1) , . . . , fX(n) (x1 , . . . , xn ) =

n!fX (x1 ) . . . fX (xn ) para − ∞ < x1 < . . . < xn < ∞ 0 de de otra manera

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