Examens Normale De Maths Semestre S1 2015 Fsjes Guelmim Guelmim - Groupe C 1p294b

la correction d'examen de F S J E de guelmim session normale 2015 grpe C Questions de cours 1) énoncer brièvement le théorème des accroissements finis (dans le cours) 2)répondre par vrai ou faux a) toutes suite réelle convergente est bornée vrai b)toute suite réelle strictement positive convergente, converge vers une limites strictement positive vrai Exercice 1 1) calculer les intégrales suivantes 1

1

1 dx ; J = 2 x C10 x C25

I= 0

2 x C13 dx x C10 x C25 2

0

on sais que 1 1 = 2 = 2 x C10 x C25 x C2$ 5 x C52 1

0

1 x C5 1

J= 0

1

=K 0

=K

1'$ x C5 K1$ x C5 ' = x C5 2

'

'dx =

= 1

0

1 30

3 dx x C10 x C25

=

2

1

2 x C10 C3 dx x2 C10 x C25 1

0

2 x C10 dx+ x C10 x C25

=

2

0

2 x C5 dx C x C5 2

1

1

3 dx 2 x C10 x C25

0 1

=2 0

x C5 dx C3 x C5 2

1

1 dx x C10 x C25

=

2

0

C

=

2

3 30

2) en déduire la valeur de la limite suivante n

2 k C13 n > k C10 k n C25 n

x /CNk = 1 2

2 0

1 dx x C10 x C25 0

C3

lim

K1 x C5

0

1 1 K 6 5

2 x C13 dx = 2 x C10 x C25

1 x C5

K

1

0

2

1

1 dx = 2 x C10 x C25

I= =K

1 x C5

2

=

1 dx C x C5

2 ln x C5

1 0 C3

I = 2 ln 6 K2 ln 5

n

lim

>

>

2 k C13 n = lim k n C25 n2 x /CNk = 1

x /CNk = 1 k2 C10

2k C13 n 2 k C10 C25 n

n

n

n2

k n

= 1

1 lim x /CN n

n

>

k n

k= 1

2k C13 n 1 K0 = lim 2 x /CN n k C10 C25 n

n

>

k= 1

k n

2k C13 n = 2 k C10 C25 n

2 t C13 dt t C10 t C25 2

0

= 2 ln 6 K2 ln 5 C

1 10

t=k/n

3) donner le développement limité au voisinage de 0 à l'orde 3 de la fonction qui à x fait correspondre ln x2 C1 t2 t3 DL30 ln t C1 est ln t C1 = t K C Co t4 2 3 2 poser x = t

Problème x

f x =

e K1 x

1) a)domaine de définition de f est : Df==\{0}=]-∞;0[W]0;+∞[ b) ca2df on a xlim f(x)=f(a) donc f est continue sur df /a ex K1 ex K1 = lim =1 x/0 x/0 x x

2)lim f x = lim x/ 0

donc lim f x = 1 donc f est prolongeable par continuité en 0 x/ 0

remarque f devient d'après la question N°2 : f(x)=

f x

ex K1 x

f 0 = 1 3) a) dérivabilité de f en 0 f x Kf 0 x/ 0 x K0 lim

= lim

x/0

ex K1 K1 x ex K1 Kx 1 = lim = 2 x/ 0 2 x x

b) domaine de dérivabilité de f est = 4)

x s0 si x = 0

ex K1 x ex K1 '$x Kx'$ ex K1 xexKex C1 f' x = = x2 x2 on sait que f '(0)=1/2 d'après la question 3b xexKex C1 1 lim f ' x = lim = 2 x/ 0 x/0 2 x lim f ' x = f ' 0 f x =

f' x =

x/ 0

5/ f 'est continue sur IR donc f est de classe 1 bonne chance!! Barhanja

xexKex C1 x2