Expresiones Algebraicas 6w5y6z

Capítulo 3.-EXPRESIONES ALGEBRAICAS OBJETIVOS INSTRUCTIVOS Que el alumno: • • •

Distinga la clasificación de las expresiones algebraicas. Aprenda las operaciones con monomios y polinomios y aplicaciones a situaciones operativas más complejas, como expresiones algebraicas fraccionarias. Ejercite su memoria relacionante con el aprendizaje demostraciones elementales para los teoremas fundamentales álgebra, tales como el teorema del factor y el teorema del resto.

sus las de del

DEFINICIÓN DE EXPRESIÓN ALGEBRAICA Una expresión algebraica es una expresión matemática que contiene operaciones entre números y letras que representan a números. La parte de la matemática que se ocupa del estudio de las expresiones algebraicas y de las operaciones que con ellas se pueden efectuar, es el Algebra. CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas se clasifican en: a) racionales; b) irracionales. EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Definición: una expresión algebraica es racional, si no tiene afectada su parte literal con radicales. Ejemplos:

12 x 3 − 7 ; 4x − 1

−

1 4 x + 3 x − 241 . 6

EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES Definición: una expresión algebraica es irracional, si tiene afectada su parte literal con radicales. Ejemplos:

54 x;

3x 2 − 11 3 x 2 x−2

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Las expresiones algebraicas racionales se clasifican en: a1) enteras;

a2) fraccionarias.

28

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS Definición: una expresión algebraica es entera si no contiene divisores literales. Las expresiones algebraicas enteras, a su vez, se clasifican en: a11) monomios; a12) polinomios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Definición: una expresión algebraica es fraccionaria si tiene divisores literales. Ejemplos:

2 ; x+3

5 x 2 − 3x + 7 . x2 −1

En este capítulo, estudiaremos en principio expresiones algebraicas enteras en una sola letra o variable (x), para luego ocuparnos sin detalles de las expresiones algebraicas fraccionarias y de modo menos frecuente, de las expresiones algebraicas irracionales. MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica racional entera, de un solo término. Ej.: 6a2b POLINOMIO Un polinomio es una expresión algebraica entera, de varios términos. Ej.: 5x3- 2x2+ 9x - 19 GRADO DE UN MONOMIO El grado de un monomio es el número ordinal que corresponde a la suma de los exponentes de su parte literal. Ejemplos: 6a2b es un monomio de 3er. grado, pues los exponentes de la parte literal suman: 2 + 1 = 3. 1 4 x 3

es un monomio de 4to. grado.

Nota: los monomios exclusivamente numéricos, también llamados terminos independientes, son de grado 0 (cero).

29

GRADO DE UN POLINOMIO El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado que él contiene. Ej. 1: Ej. 2:

3x5- 2x + 4 12x2- 8x4+ 2x - 9

es un trinomio de 5to. grado. es un cuatrinomio de 4to. grado.

COEFICIENTE DE UN MONOMIO En un monomio, el factor numérico recibe el nombre de coeficiente. Así, en el monomio 12 x 2 , el coeficiente es 12. Debe entenderse que el coeficiente indica la “cantidad de veces” que se debe contar a su parte literal. Ejemplo: 12 x 2 debe entenderse como que “ x 2 ” se debe contar 12 veces. COEFICIENTE PRINCIPAL DE UN POLINOMIO Se llama coeficiente principal de un polinomio, al coeficiente de su término de mayor grado. En el polinomio 3x5- 2x + 4, el coeficiente principal es 3. En el polinomio 12x2- 8x4+ 2x - 9, el coeficiente principal es -8. POLINOMIO HOMOGENEO Un polinomio es homogéneo si tiene todos los términos del mismo grado. Ej.: 9x2-6xy +y2 es un trinomio homogéneo de 2do. grado. ORDENAMIENTO DE POLINOMIOS Un polinomio se puede ordenar, según el grado de sus términos, en dos formas: a) decreciente b) creciente. Ej.: 3x2 - 4x3 + 5 - 2x + 11x4 se ordena generalmente en forma decreciente: 11x4 - 4x3 + 3x2 – 2x + 5 Este ordenamiento facilita la lectura del grado y del coeficiente principal. Además, facilita el cálculo en los algoritmos de la multiplicación y de la división de polinomios. El mismo polinomio, ordenado en forma creciente, es 5 − 2 x + 3x 2 − 4 x 3 + 11x 4 SEMEJANZA DE MONOMIOS Dos o más monomios se dicen semejantes, cuando tienen la misma parte literal (afectada con los mismos exponentes).

30

15 2 a b y 2,75 a2b son monomios semejantes. 4 Debe entenderse que tienen la misma parte literal, a 2 b , aunque difieren en el coeficiente. Ejemplo 1: 6a2b, -

Ejemplo 2: 12x3, -43x3, 0,2 x3 y -

3 3 x son monomios semejantes. 4

OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS SUMA DE MONOMIOS a) Suma de monomios semejantes: La suma de dos o más monomios semejantes es otro monomio semejan te a ellos, con coeficiente igual a la suma de los coeficientes de los monomios dados. Ej. 1: 6a2b + ( −

15 2 15 a b) + 2,75 a2b = (6 − +2,75)a2b = 5 a2b 4 4

Ej. 2: 12x3-43x3+0,2x3-

3 3 3 x = (12-43+0,2- )x3 = -31,55x3 4 4

b) Suma de monomios no semejantes: La suma de dos o más monomios no semejantes es el polinomio que resulta de dejar indicada la suma de los monomios dados. Ej.: (12x3)+(-5x)+(46) = 12x3-5x+46 Dicho de otro modo: para efectuar una suma de monomios, es necesario y suficiente que sean semejantes. Si los monomios son no semejantes, su suma queda indicada. SUMA DE POLINOMIOS Para sumar dos o más polinomios, se suman por grupos de monomios semejantes. El polinomio resultado es el que surge de indicar la suma de los resultados de cada grupo. Ej.: (-2x3+5x2-3x+8) + (6x4+7x3+11x-12) = = 6x4+(-2+7)x3+5x2+(-3+11)x+(8-12) = 6x4+5x3+5x2+8x-4 RESTA DE POLINOMIOS Definición: para restar de un polinomio P, llamado minuendo, otro polinomio Q, llamado sustraendo, se cambian los signos del polinomio sustraendo Q, y se suman: P - Q = P + (-Q) Ej.: (8x2-2x+1) - (3x2-12x+9) = (8x2-2x+1) + (-3x2+12x-9) = 5x2+10x-8

31

MULTIPLICACION DE MONOMIOS Y POLINOMIOS Se presentan varios casos: a) multiplicación de monomios; b) multiplicación de un polinomio por un monomio; c) multiplicación de dos polinomios. Nota: recordar que cada uno de los elementos que conforman una multiplicación se llama factor, y el resultado, producto. Asimismo, como un monomio es una multiplicación indicada entre un número (coeficiente) y letras que representan a números, tanto aquél como éstas son factores dentro del monomio al que conforman. Ejemplo: en el monomio 6a2b , hay tres (3) factores distintos: - un factor numérico o coeficiente, 6; - dos factores literales, a2 y b. Como consecuencia de estas observaciones, resultan las siguientes normas o reglas: MULTIPLICACION DE MONOMIOS Debemos tener presente que, como un monomio es una multiplicación indicada entre factores numéricos y literales, soporta a las conocidas propiedades de la multiplicación: las propiedades conmutativa, asociativa y la existencia de elementos neutro (el 1) y absorbente (el 0). Así, el monomio 5x2a puede ordenarse en virtud de la propiedad conmutativa, y escribir: 5ax2 . Respetaremos la siguiente norma: En un monomio, el primer factor que se anota es el coeficiente y luego los factores literales, ordenados alfabéticamente. Si se tiene la multiplicación de dos o más monomios, como por ejemplo: 5ax2 . (-3a2x3) por aplicación de la propiedad conmutativa de la multiplicación es válido escribir: 5ax2 . (-3a2x3) = 5.(-3).a.a2.x2.x3 , y teniendo en cuenta la propiedad asociativa del producto y la propiedad de la potenciación que se refiere al producto de potencias de igual base, resulta: 5ax2 . (-3a2x3) = 5.(-3).a.a2.x2.x3 = -15a3x5 De modo que: El producto de dos o más monomios es otro monomio, cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal se conforma al multiplicar las partes literales de los monomios dados, pero respetando las propiedades de la potenciación.

32

MULTIPLICACION DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Como la multiplicación es distributiva con respecto a la suma (El producto de una suma por un número es igual a la suma de los productos entre cada término de la suma y ese número.), resulta que: El producto entre un polinomio y un monomio es el polinomio que se obtiene al sumar los productos entre cada término del polinomio y el monomio. Ej.: (3x4-2x2+8).(-2x3) = 3x4.(-2x3)+(-2x2).(-2x3)+8.(-2x3) = -6x7 + 4x5 -16x3 MULTIPLICACION DE DOS POLINOMIOS Sea multiplicar (3x2-2x+1).(x2+8x-2) Para simplificar la notación, llamemos A al 2do. polinomio: A = x2+8x-2 ; resulta: (3x2-2x+1).(x2+8x-2) = (3x2-2x+1).A , con lo que la operación se transforma en la multiplicación de un polinomio y un monomio, es decir: (3x2-2x+1).(x2+8x-2) = 3x2.A-2x.A+1.A ; si reemplazamos A por su valor, tenemos: (3x2-2x+1).(x2+8x-2) = 3x2.(x2+8x-2)-2x.(x2+8x-2)+1.(x2+8x-2) , o sea que tenemos tres productos entre un monomio y un polinomio. Entonces, aplicando reiteradamente la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: (3x2-2x+1).(x2+8x-2) = (3x4+24x3-6x2)+(-2x3-16x2+4x)+(x2+8x-2); finalmente, sumando por grupos de términos semejantes: (3x2-2x+1).(x2+8x-2) = 3x4+22x3-21x2+12x-2 En síntesis: El producto de dos polinomios es igual al polinomio que resulta de sumar todos los productos que se pueden formar entre cada término del primero y cada término del segundo polinomio. CASOS PARTICULARES DE LA MULTIPLICACION DE POLINOMIOS CUADRADO DE UN BINOMIO Es el caso en que se multiplica un binomio (cualquiera) por si mismo.

33

Sea a + b un binomio cualquiera; como (a + b)2 = (a + b).(a + b) , tenemos: (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + ab+ ab + b2 ;

y sumando términos semejantes:

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b2 El polinomio resultado se conoce con el nombre de trinomio cuadrado perfecto. CUBO DE UN BINOMIO Como (a + b)3 = (a + b)2.(a + b) ,

resulta, teniendo en cuenta el resultado anterior, que:

(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2).(a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 y, sumando los términos semejantes: (a + b )3 = a3 + 3 a 2 b + 3 ab2 + b3 El polinomio resultado se conoce con el nombre de cuatrinomio cubo perfecto. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS Definición: dos binomios se dicen conjugados cuando uno de ellos es la suma de dos términos cualesquiera y el otro binomio es la diferencia entre esos mismos términos. Sus formas algebraicas son a + b y Sea entonces: (a + b).( a - b) ; distributiva:

a - b , respectivamente. resulta, por aplicación de la propiedad

(a + b).(a - b) = a2 + ab – ab - b2 . Como consecuencia de la suma de términos opuestos, siempre se cancelan ab y -ab. Por ello: (a + b).(a - b) = a 2 - b2 En lenguaje vulgar: El producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos que los conforman. DIVISION ENTERA Definición: dada una expresión algebraica entera "D", llamada dividendo, y otra "d", llamada divisor, existen otras dos expresiones algebraicas enteras, "Q", llamada cociente, y "R", llamada resto, que satisfacen la relación:

34

D R

⇔

d Q

D=d.Q+R

DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS Igualmente que en la multiplicación, se presentan varios casos: a)División de dos monomios; b)División de un polinomio por un monomio; c)División de dos polinomios; En los casos a) y b), se procede de modo análogo a la multiplicación, pero teniendo en cuenta la regla referida al cociente de potencias de igual base. Ejs.: (-2/3 x3y7):(1/5 xy4) = -10/3 x2y3 (1/2 x3-3/4 x2+1/3 x):(-6/5 x)= -5/12 x2+5/8 x - 5/18 En cambio, en el caso c) de división de dos polinomios, el procedimiento práctico para encontrar los polinomios cociente(Q) y resto (R) se conoce con el nombre de algoritmo de la división entera y su aprendizaje se ejercitará durante el desarrollo del curso, paralelamente al contenido de este resumen. También se conoce una mecánica de obtención del cociente y del resto para el caso en que el dividendo sea un polinomio en una variable, D(x), y el divisor sea un binomio de la forma x+a, llamada REGLA DE RUFFINI, cuyos pasos son: 1ero.- Ordenar y completar el polinomio dividendo, D(x). 2do.- Distribuir los coeficientes y el cálculo en el siguiente ábaco operativo: coeficientes de D(x) debe entenderse "a" cambiado de } signo

-a cálculos auxiliares ──────────────────────── coeficientes del cociente Q(x)

3ero.- Una vez determinados los coeficientes del polinomio cociente se lo completa de modo que resulte de un grado una unidad menor que el grado del dividendo, en razón de que el divisor es un binomio de primer grado. TEOREMA DEL RESTO Enunciado: el resto de dividir un polinomio D(x) por un binomio de la forma x + a, es el valor numérico que toma el dividendo D(x) cuando en él se reemplaza x por -a. En símbolos:

D(x) R

x+a Q(x)

⇒ R = D(-a)

35

Demostración: si se parte de la definición de división entera, se debe cumplir que (x + a).Q(x) + R = D(x). Si en esta identidad se reemplaza x por -a, resulta: (-a+ a).Q(-a)+ R = D(-a); pero -a + a = 0, luego: (-a + a). Q(-a) = 0 y en consecuencia, R = D(-a), como se quería demostrar. RAIZ DE UN POLINOMIO Recibe este nombre todo número real x0 que asigna a ese polinomio el valor numérico 0 (cero). En símbolos: x0 es raíz de P(x) ⇔ P(x0) = 0 Ej.: Los números reales 2 y 3 son raíces del polinomio x2-5x+6 pues: P(2) = 22-5.2+6 = 0, y P(3) = 32-5.3+6 = 0 TEOREMA DEL FACTOR Si x0 es una raíz de un polinomio en una variable P(x), éste contiene al binomio x x0 como factor. Demostración: Si x0 es una raíz de P(x), resulta P(x0) = 0. -IPor otra parte, el resto de P(x):(x - x0) es, según el teorema respectivo: R = P(x0) -II- ; De -I- y -II-:

R = 0,

de modo que el cociente P(x) : (x - x0) es exacto. Luego, si anotamos P(x) : (x - x0) = Q(x) , resulta por pasaje de términos: P(x) = (x - x0).Q(x), lo que muestra que P(x) contiene al binomio (x - x0) como factor, como se quería demostrar.

36