Fenomena 494q2z

2. Untuk pipa dengan diameter R dan

ρ 2)f

(II,36) Biasanya yang diukur bukan Fk, akan tetapi selisih tekanan p0 – pL dan selisih tinggi permukaan cairan h0 – hL. Kalau dibuat suatu neraca gaya pada fluida dalam pipa itu antara 0 dan L , maka untuk aliran yang sudah berkembang sepenuhnya dalam pipa datar didapat : Fk = {( p0 – pL) +

ρ g(h – h )} vR2 = ( p – p ) vR2 0 L 0 L

(II,37)

Eliminasi Fk antara persamaan (II,36) dan (II,37) menghasilkan : p0 – p L L ρ< v >2 2 f=k( ) d ¿¿ L

(II.38)

f dalam bentuk di atas disebut FAKTOR GESEKAN FANNING. Persamaan (II,38) menunjukkan bagaimana f dapat dihitung dari data yang diperoleh dari percobaan.

POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

39

FENOMENA PERPINDAHAN

Jika digunakan penyebaran kecepatan untuk aliran laminar (pers.II.24), maka penerapan pers.(II,17) untuk memberikan :

=

( p 0 – p L) R 8 μL

2

Kalau dipakai untuk mengeliminasikan ( p0 – pL) dari persamaan (II.38) akan didapat : μ f = 16( ρ< v >d ¿ atau

f=

16 ℜ

(II.39) Pengalaman menunjukkan, bahwa persamaan (II,39) memang berlaku dalam praktek operasi teknik kimia. Dengan demikian faktor gesekan untuk aliran laminar dapat dihitung, jika diketahui bilangan Reynoldsnya. Cara penentuan faktor gesekan untuk aliran bergolak akan dibicarakan kemudian. Dari analisa dimensi dapat ditunjukkan, bahwa baik untuk aliran laminar maupun bergolak, faktor gesekan f L ¿ merupakan fungsi bilangan Reynolds dan bilangan tak berdimensi ( d , yaitu : f = ∅ (Re,L/d)

(II.40)

Grafik hasil percobaan untuk faktor gesekan yang diperoleh dalam operasi teknik kimia memang sesuai dengan persamaan (II,40). Bentuk fungsi

∅

tergantung

dari sistem yang sedang menyalurkan aliran. Bentuk Re harus pula disesuaikan dengan sistem. Tegangan geser yang bekerja pada dinding pipa menimbulkan gesekan pada permukaan itu. Kalau ingin diketahui besarnya tegangan geser pada dinding, maka perlu diketahui lebih dahulu penyebaran τ

τ . Untuk aliran berlapis dalam pipa penyebaran

telah diturunkan dalam contoh II.2a, yaitu :


40


τ

=

rz

( p 0 – p L) 2L

r

Selanjutnya dapat dihitung tegangan geser pada dinding : τ

w=

τ

|

rz r=R

=

( p 0 – p L) R 2L

Dan gaya yang bekerja pada seluruh permukaan pipa sepanjang L : Fw = τ

w.

(2 π RL) = ( p0 – pL) vR2

(II.41) Persamaan (II,41) memperlihatkan, bahwa besarnya gaya pada dinding sama dengan selisih tekanan kali luas penampang, atau selisih gaya antara kedua ujung pipa. Selama mengalir di dalam pipa sepanjang L itu, aliran kehilangan gaya sama besar dengan yang digunakan untuk mengatasi gesekan pada dinding. Gaya itu sebenarnya bukan musnah, akan tetapi berubah menjadi panas yang akan menaikkan entalpi dinding pipa. Kehilangan energi karena gesekan (viscous energy dissipation) tidak hanya terjadi antara fluida dan dinding, akan tetapi juga antara molekul-molekul fluida sendiri. Dalam masalah-masalah aliran dalam saluran pendek kehilangan energi karena gesekan itu kecil sekali., jika dibandingkan dengan perubahan yang lain (tekanan, energi kinetis, tekanan hidrostatis), akan tetapi gesekan bertambah besar jika saluran bertambah panjang.

11.7 ALIRAN BERGOLAK Dalam aliran laminar arah perpindahan momentum dapat diketahui dengan pasti, yaitu tegak lurus pada arah kecepatan linear. Ini disebabkan karena semua kecepatan setempat mempunyai arah yang sama. Dalam aliran bergolak vector kecepatan diberbagai bagian aliran tidak lagi searah. Di semua titik, kecuali dekat sekali pada dinding saluran. kecepatan setempat selalu berubah dari saat ke saat. setiap kecepatan setempat dapat diuraikan dalam tiga suku urai sesuai dengan system sumbu yang digunakan. Dengan demikian tegangan geser dalam aliran bergolak juga berubah-ubah arah. tegangan geser dan juga fluksi momentum dapat dibagi menjadi 2 jenis. Satu jenis tegangan geser itu ditimbulkan oleh suku kecepatan yang searah dengan arah alir aliran dan disebut Tegangan Geser Aliran POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

41


Laminar. salah satu persamaan newton yang berhubungan dengan ini sudah dikenallebih dahulu (persamaan 11.1). sebenarnya semuanya ada 9 persamaan, masingmasing untuk satu suku tensor. (lihat lampiran 111). Selain tegangan geser aliran berlapis itu ada lagi tegangan geser yang ditimbulkan oleh suku kecepatan ke kedua arah sumbu yang lain. Tegangan geser ini disebut Tegangan Geser Aliran Bergolak. Menganalisa tegangan geseran aliran bergolak sampai sekarang menemui kesukaran-kesukaran yang belum semuanya dapat diatasi. Sekarang dikenal berbagai persamaan untuk itu, yang semuanya diperoleh dari pengalaman percobaan(persamaan empiris) untuk memperoleh fungsi penyebaran kecepatan dalam aliran bergolak tidak dapat ditempuh jalan analisa lengkap, akan tetapi terpaksa digunakan juga persamaan hasil percobaan diatas. 

Dari hasil analisa dapat diperoleh penyebaran kecepatan untuk Aliran Laminar dalam Pipa : Vz V zmaks

= [1 – (

r R

2

) ];

¿V z>

¿ Vz , maks ¿

=

1 2

(11.42) Untuk aliran bergolak dalam pipa maka dari hasil percobaan telah didapat penyebaran kecepatan secara kasar yang berlaku hanya untuk billangan Reynold antara 10.000 dan 100.000 : Vz V z , maks

= (1 –

r R

1/7

) ;

¿V z>

¿ Vz , maks ¿

= 4/5

(11.43) Perbandingan penyebaran kecepatan dalam aliran laminar dan bergolak dalam pipa dapat dilihat pada gambar 11.11


42


Gambar 11.11 penyebaran kecepatan aliran laminar dan bergolak dalam pipa Gejolak kecepatan yang meninggalkan arah alir utama. Juga disebut turbulensi.berkurang jika semakin mendekati dinding. Hal ini menjadi sebab munculnya Teori Lampiran Batas Yang Laminar. Teori ini mengemukakan, bahwa dari aliran bergolak bagian yang dekat dinding merupakan lapisan tipis yang mengalir secara laminar. Dapat dimisalkan, bahwa ada bagian setebal 6 yang mengalir secara laminar dan mempunyai gradient kecepatan yang tetap.berbatasan dengan bagian yang mengalir secara bergolak dan mempunyai gradient kecepatan yang besarnya hamper nol. Besarnya tegangan geser pada dinding ialah: τ

w

= -µ

dv z ∨¿ dr r=R = µ

¿V z> ¿ δ ¿

Jika besarnya faktor gesekan f diketahui.maka untuk aliran dalam pipa 6 dapat diperkirakan dari persamaan hasil analisa dimensi yang berikut : τ

w

= f.

1 2

ρ.

2

< Vz > = µ

¿ Vz> ¿ A ¿

untuk aliran laminar dalam pipa telah diketahui dari pengamatan percobaan.

Bahwa hubungan f dan bilangan Reynolds f =

16 . ℜ hanya berlaku sampaibilangan

Reynolds 2100. Ini berarti bahwa aliran dalam pipa, yang mempunyai bilangan Re < 2100, selalu laminar. Jadi, bilangan Reynolds dapat dipakai sebagai petunjuk tentang sifat aliran. Ingat, bahwa batas Re- 2100 hanya berlaku untuk aliran dalam pipa. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

43


Untuk bilangan Reynolds yang lebih besar dari 2100 sampai kira-kira 4000 terdapat daerah peralihan yang memperlihatkansifat kecepatan yang tidak mantap.dalam daerah peralihan aliran kadang-kadang bersifat laminar.kadang-kadang bergolak.untuk aliran bergolaktelah diperoleh harga-harga faktor gesekan,yang dengan menggunakan persamaan(11.43) dapat diubah menjadi rumus Blasius(11.44).  f = ------f=

maka didapat hubungan-hubungan yang berikut : 16 ℜ

: Re < 2100

Mantap

: 2100 < Re < ± 4000 0.0791 ℜ

(11.39)

Tak Mantap

: 4000 < Re < 100.000

Perkiraan

(11.44) Untuk harga bilangan Reynolds lebih besar dari 100.000, tidak dapat dipakai rumus,tetapi harus digunakan data percobaan seperti pada gambar 11.12

Gambar 11.12 Hubungan f dan Re aliran dalam pipa 11.8 SELISIH TEKANAN ALIRAN DALAM PIPA Perhitungan selisih tekanan dalam pipa yang lurus untuk aliran laminar, dapat dilakukan dengan mudah dengan lebih dahulu menurunkan pe persamaan penyebaran kecepatan (pers 11.24) . POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

44

rsamaannya

dari


penurunan itu akan menghasilkan persamaan untuk laju alir Q : Q =

( P 0−P L )−πR 4 8µ L

(11.45) Persamaan ini terkenal sebagai HUKUM HAGEN-POISEUILLE, menurut nama kedua orang ilmuwan yang berhasil menyusunnya untuk pertama kali. Persamaan (11.45) menyatakan hubungan antara laju alir Q. ukuran pipa (R, L) dan gaya-gaya yang menimbulkan aliran { (P0 – PL) – (P0 – PL) +

ρ g (Z – Z ) }. Kesemua besaran ini 0 L

dapat diukur karena dalam penurunan persamaan (11.45) gesekan tidak diperhitungkan. Maka Hukum Hagen-Polseuille hanya berlaku untuk saluran yang pendek dimana gesekan dapat diabaikan. Jika diketahui Q maka persamaan (11.45) dapat dipakai untuk memperkirakan selisih tekanan dalam pipa lurus. Cara ini tidak dapat digunakan terhadap suatu system perpipaan, yang memuat berbagai jenis sambungan yang beberapa kali berubah arah. Karena neraca momentum itu akan menjadi rumit jika dikerjakan secara matematis meliputi ketiga arah kedalam system sumbu. Bernoulli telah menyelesaikan masalah ini dengan menurunkan suatu persamaan dari neraca momentum, yang sebenarnya adalah suatu Neraca Energi Mekanis. Persamaan itu disebet persamaan Bernoulli, dan dapat diterapkan pada bagian pipa antara penampang 1 dan 2. 2

(

1

∫ 1ρ

dp + g (h2 – h1) + 2 (< V2 >2 - < V1 >2) G ) = 0

1

(11.46) Dalam mana G = Laju Alir Massa Dalam bentuk aslinya seperti diatas persamaan Bernoulli berlaku untuk fluida yang tidak menunjukkan gesekan antara molekul-molekulnya. Untuk keperluan penggunaan dalam teknik pers.(11.46) diperluas hingga dapat dipakai untuk fluida yang mempunyai viskositas, menjadi :


45


2

1

∫ 1ρ

dp + g (h2 – h1) + 2 (< V2 >2 - < V1 >2) + ѿ + Ĕ = 0

1

(11.47) Dalam nama : Q = usaha mekanis yang di berikan oleh fluida per satuan massa kepada E = energy mekanis per satuan massa yang diubah menjadi panas karena gesekan molekul Persamaan (11.47) seringkali juga disebut persamaan Bernoulli yang diperluas bentuk integral dalam persamaan (11.47) dapat dihitung kalau diketahui persamaan keadaan fluida itu. Jadi, kalau diketahui sebagai fungsi P atau sebaliknya dalam perhitungan sering dipakai anggapan bahwa fluida itu memenuhi salah satu dari keadaan batas yang berikut : 2

Gas ideal padatemperatur tetap

:

2 1 RT RT P2 dp= dp= ln ∫ 2 ∫ MP M P1 1 1 2

Fluida yang tak termampatkan :

∫ 1ρ dp= 1ρ 1

( P2 – P1 )

Besarnya E tidak dapat dihitung, akan tetapi harus ditetapkan dengan percobaan. Sekarang terdapat banyak daftaratau grafik untuk memperkirakan Rugi-Gesekan Ĕ. Karena rugi gesekan itu besarnya tergantung pada kecepatan, maka

dinyatakan sebagai fungsi energy kinetis

1 2

dapat

2, dalam hal ini ada dua perumusan.

Untuk bagian pita yang lurus dipakai : 1

L

Ĕ = 2 2 . Rn f (11.48) L adalah panjang pipa. F faktor gesekan dan R n jari-jari hidrolisis yang didefinisi sebagai berikut :


46


Luas Penampang Keliling Yang Terbasahi

Rn =

Untuk selokan, sambungan pipa dan katup digunakan : 1

Ĕ = 2 2 . ev

(11.49)

ev disebut faktor rugi gesekan dan untuk aliran bergolak dapat diperkirakan dari daftar yang dimuat sebagai lampiran IV. 11.9

ALIRAN DALAM SALURAN DENGAN LUAS PENAMPANG YANG BERUBAH Dalam teknik kimia sering dihadapi aliran dalam saluran yangluas

penampangnya tidak tetap. Saluran itu mungkin bagian dari alat atau sebuah alat sendiri. Untuk penyelesaian soal-soal macam ini, tersedia tiga buah persamaan. Dibawah ini ketiga persamaan itu akan dibahas untuk keadaan mantap. Jadi, tidak ada akumulasi. Cairan yang ditinjau tidak termampatkan, dengan tetap.

Gambar 11.13 saluran dengan luas penampang yang berubah Perhatikan gambar 11.13. pertama-tama dapat digunakan nerasa massa : ρ

A1 =

ρ

Kalau laju alir massa disebut G, maka : POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

47

A2

ρ

dan u


ρ A = 1 1

G =

ρ

A2

Kemudian dapat dipakai neraca momentum untuk keadaan mantap. Yang dapat diturunkan dengan menggunakan persamaan (1.1) untuk perpindahan momentum. Seperti pada neraca massa diatas, yang digunakan sebagai volume dinding ialah bagian alat itu yang terletak antara penampang 1 dan 2. Cara kerja ini disebut pembuatan neraca secara makro.dalam hal ini momentum yang ditinjau ialah momentum yang ρvv

berpindah secara konveksi.

dan gaya-gaya yang bekerja ialah tekanan.

Grafitasi dan gaya F oleh permukaan padat terhadap fluida. Yang terakhir ini adalah gaya reaksi terhadap gaya gesekan fluida -Fk pada permukaan padat. Tanda kurang untuk Fk ialah karena Fk keluar dari system. Maka neraca momentum itu dapat ditulis sebagai berikut : 0=

ρ 2 A 1 1

ρ

2 A2 + P1A1 – P2A2 + mt g + F

(11.50)

Jika mt adalah massa total yang ada dalam volum-banding itu. Persamaan ketiga yang dapat digunakan adalah persamaan Bernoulli yang diperluas : 2

∫ρ 1

1 2

dp + g (h1 – h2) +

( 2 - 2) + ѿ + Ĕ = 0

(11.47) Yang

berlaku

untuk

satu-satuan

massa.

Untuk

mendapatkan

harga

keseluruhannya, tiap besaran harus dikalikan dengan G. Untuk saluran yang Datar atau Pendek pengaruh gravitasi dapat diabaikan, sehingga persamaan (11.50) menjadi : -F =

ρ 2 A 1 1

ρ 2 A + P A – P A 2 2 1 1 2 2

Untuk saluran datar dan tanpa penggunaan energy persamaan (11.47) menjadi : 1

∫ 1ρ 2

dp +

1 2

(< V2 >2 -1 < V2 >2 ) + Ĕ = 0

Penerapan persamaan-persamaan itu akan dijelaskan dalam contoh-contoh di bawah ini: a

Pipa Lurus


48


Jika luas penampang dikedua ujung sama, maka A1 = A2 dan Neraca Massa menjadi : < V1 > = < V2 > Neraca Momentum menjadi : F = - (P1 – P2) A karena cairan hanya memberikan gaya berupa tegangan geser pada dinding pipa, maka F = - Fk = - τ

:

w

. SL

(11.51)

Jika S adalah keliling penampang pipa dan L panjang pipa. Berdasarkan persamaan (11.36) :

1 ρ 2 2

F = - f (SL)

Dalam hal ini perlu diadakan pembedaan yang jelas antara Fk dari persamaan (11.36), yaitu gaya yang diberikan oleh cairan terhadap permukaan padat, dan F dari persamaan (11.51) dan (11.52) yaitu gaya yang diberikan oleh permukaan padat terhadap cairan. Fk searah dengan τ

w

dan searah dengan energy kinetis, sedangkan F

berlawanan arahnya. Berdasarkan hukum aksi-reaksi, maka: Fk = - F Jika F dihilangkan dari persamaan (11.51) dan (11.52) dan digunakan juga persamaan

(11.47), diperoleh

:

τ

w.

SL = f (SL)

P1 −P 2 ρ

= f

1 2

1 2

ρ

2

2 = (P1 – P2) A SL A

Untuk pipa lurus persamaan Bernoulli menjadi : 1 ρ

Ĕ =

Kalau diingat, bahwa

A S

(P1 – P2) + Ĕ = 0 P1 −P 2 ρ

= f

1 2

2

= Rn , maka persamaan (11.53) itu adalah tidak lain

dari pada Rugi-Gesekan untuk pipa lurus, persamaan (11.48). POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

SL A

49


Kalau persamaan (11.53) dibandingkan dengan persamaan (11.49), maka dapat SL A

ev = f

ditulis, bahwa pipa lurus :

dari contoh ini menjadi jelas bahwa dengan menggunakan ketiga persamaan :   

Neraca Massa Neraca Momentum Secara Makro Persamaan Bernoulli yang diperluas

Dapat diperkirakan besarnya rugi-gesekan E , asal dapat ditemukan pernyataan tentang besarnya gaya yang diberikan oleh cairan terhadap permukaan padat. Pernyataan tentang besarnya gaya itu dapat disusun dari keterangan, bahwa besarnya gaya itu sama dengan tegangan geser pada dinding,

τ

w

dikalikan dengan luas

permukaan dinding. b Pelebaran Mendadak Dalam hal pelebaran mendadak seperti digambarkan oleh gambar 11.14, akan terjadi gejolak-gejolak yang akan memperbesar rugi-gesekan.

Gambar 11.14 pelebaran mendadak pada pipa. Untuk keadaan mantap Neraca Massa adalah : ρ A = 1 1

=

A2 A1

ρ

A2

=

1 β

(11.54) Dan Neraca Momentum :


50


-F =

ρ

ρ

2 A1 -

2 A2 + P1A1 – P2A2

(11.55)

Besarnta F dapat diperkirakan, kalua gesekan pada dinding diabaikan dan tekanan segera sesudah pelebaran (pada bidang 3) dianggap sama besar dengan tekanan di bidang “I”. besarnya F itu akan sama dengan tekanan kali selisih luas permukaan : -F = -P1 (A2 – A1) Yang dengan persamaan (11.54) dan (11.55) menghasilkan : P2−¿ P ρ ¿

1 = 2 ( β

1

– 1)

(11.56) Persamaan Bernoulli untuk pelebaran mendadak dapat ditulis sebagai berikut : 1 2

(P2 –P2) +

1 2

( 2 - 2 + Ĕ - 0

(11.57) Dengan memasukkan persamaan (11.56) kedalam persamaan (11.57) dan lagi menggunakan persamaan (11.54) diperoleh :

Ĕ =

1 2

1 2 ( β

- 1 )2

(11.58) Dengan memasukkan persamaan (11.56) sesuai dengan hasil percobaan. Kalua deperlihatkan, bahwa 1 β

β

< 1, maka :

1 > 1 dan ( β

- 1 ) > 0 , sehingga persamaan (11.56) memberi

kesimpulan : P2 – P1 > 0 Yang berarti sesudah pelebaran mendadak ada kenaikan tekanan. c Aliran Cairan Melalui Orifis POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

51


Sebuah orifis adalah sebuah lubang pada sebuah lempeng, yang dipasang tegak lurus pada arah alir didalam pipa. Selisih tekanan yang timbul digunakan untuk mengukur besarnya aliran yang lewat.

Gambar 11.15 Aliran Lewat Orifis Pada lubang orifis luas penampang mendadak menjadi kecil dan energy kinetis menjadi besar. Sesudah lewat lubang luas penampang lebih dahulu mengecil untuk segera menjadi besar dan akhirnya memenuhi pipa.tempatsesudah setelah lubang dengan luas penampang terkecil disebut VENA CONTRACTA. Segera sesudah orifis aliran “terlepas” dari dinding dan ditempat itu menjadi banyak gejolak, yang menyebabkan banyak energy yang hilang. Ditempat ini tekanan turun terhadap tempat sebelum orifis. Untuk keadaan mantap Neraca Massa menghasilkan (lihat gambar 11.15) ρ A = 1 1 Karena

ρ A 2 2

A1 = A2 , maka =

Persamaan Bernoulli memberikan : 1 ρ

(P2 –P1) +

1 a2

1 2

2 -

ev = 0


52

1 a1

1 2

2 +

1 2

2


=

G=

ρ

1−¿ P2 P¿ ¿ 2 ¿ ρ ¿ √¿

A = ρ

1−¿ P2 P¿ ¿ 2 A ¿ ρ ¿ √¿

(11.59)

a2 dan a1 adalah faktor-faktor koreksi.karena sebenarnya < V2 >2 dan < V1 >2 adalah penyederhanaan dari : ¿ v 2> ¿ 3 ¿ v2 > ¿ ¿ ¿

dan

¿ v 2> ¿ 3 ¿ v2> ¿ ¿ ¿

selanjutnya dianggap : ev = 0 a1 = 1 A a2 = ( A 0

)2

dalam nama A0 adalah luas penampang lubang orifis. Persamaan 11.59 menjadi :

G = A0

P1−P2 ¿ A0 2 ¿ A ¿ 1−¿ 2ρ¿ ¿ √¿

Untuk mengimbangi kesalahan-kesalahan yang telah dibuat dalam ketiga anggapan diatas,maka dalam teknik biasa ditambahkan satu koefisien – buang.Yaitu Cd :


53


G = CdA0

P1−P2 ¿ A0 2 ¿ A ¿ 1−¿ 2ρ¿ ¿ √¿

(11.60)

Besarnya Cd tergantung dari A0/A. ukuran pipa dan letak titik “2 “ . suku-suku tentang alat-alat pengukur aliran biasanya memuat daftar harga Cd. d Tabung Venturi Dalam tabung venture atau venture tube perubahan diameter dibuat lambat laun supaya aliran dapat mengikuti batas pipa tanpa menimbulkan gejolak yang akan memperkecil energy yang hilang.

Gambar 11.16 Tabung Venturi Biasanya dalam teknik dipakai untuk tabung venture persamaan yang serupa dengan orifismeter, akan tetapi dengan koefisien-buang yang lain :


54


P1−P2 ¿ A0 2 ¿ A ¿ 1−¿ 2ρ¿ ¿ √¿

Gm = C’dA0

e

(11.61)

Rotameter Sebuah rotameter ialah alat pengukur aliran. Yang terdiri dari sebuah pipa dengan

diameter yang mengecil kebawah, dan sebuah pelampung.

Gambar 11.17 Rotameter Tekanan terhadap sebelah bawah penampung sepanjang pipa itu tetap P1 dan tekanan dari atas tetap P2. Sehingga selisih tekanan melewati pelampung P1 – P2 . dengan demikian, gaya terhadap pelampung setimbang dengan berat semu pelampung. Kalau laju alir membesar, pelampung akan didesak keatas sehingga luas penampang sesuai dengan besarnya laju alir.kesetimbangan dapat ditulis sebagai berikut : F = (P1 – P2) Ap F = VPg (

ρ

P–

(P1 – P2) Ap = Vp g (

ρ

c

ρ

) P–

ρ

c

)

(11.62) Jika

Ap = luas penampang terbesar pelampung Vp = volum pelampung


55


ρ

ρ

p

= berat jenis pelampung

c

= berat jenis cairan

Kalau persamaan 11.62 disubstitusikan kedalam persamaan orifismeter 11.60 diperoleh :

G = C’rAs

Jika

AS 2 ¿ } At ¿ A p {1−¿ 2 ρc V p g( ρ p−Pc ) ¿ √¿

As = At - Ap At = Luas Penampang Tabung Pada Tempat Pembacaan

Faktor

AS 2 ¿ } At {1−¿ √¿

biasa disatukan dengan koefisien rotameter Cr.

G = Cr ( At – Ap )

√

2 ρc V p g( ρ p−Pc ) Ap

(11.62)

Seperti pada orifismeter dan tabung venture, koefisien-buang rotameter berubah dengan kecepatan alirdan sifat fluida,lagi pula untuk rotameter tergantung pada bentuk pelampung. f

Tabung Pitot Tabung pitot terdiri dari dua pipa konsentris.pada mulut tabung dipasang tegak

lurus pada arah alir, akan timbul perbedaan tekanan yang menunjukkan besarnya aliran ditempat sekitar mulut tabung.


56


Gambar 11.18 tabung pitot Mula-mula cairan mengalir masuk mulut tabung pitot. Sampai kenaikan tekanan didalam tabung mengimbangi kecepatan alir cairan, tepat didepan mulut tabung, cairan itu berhenti mengalir.tekanan statis pada tempat pengukuran diukur pada lubang lain yang sejajar dengan arah alir. Penerapan persamaan Bernoulli menghasilkan: 1 2

(v2 2 – v1 2) +

1 ρ

(P2 – P2) + Ĕ = 0

Jika Ĕ dianggap sebagai sebagian dari suatu tetapan C p dan < V2 > dinyatakan sebagai perbandingan terhadap < V1 >, yang juga ditampung dalam tetapan. Maka diperoleh persamaanuntuk tabung pitot : V1 =

√

2(P2−P 1) Pc

(11.63) Jika

Cc = Berat Jenis Cairan Yang Diukur = Koefisien-Buang Tabung Pitot V1 = Kecepatan Alir Setempat

g).

Aliran Melalui Bendung Aliran dalam hal ini dapat dinyatakan sebagai fungsi dari tinggi permukaan

cairan diatas bibir bendung.


57


Gambar 11.19 weir atau bending

Tekanan pada tempat-tempat setinggi h dari bibir bending adalah P0 + Pg (5- h). jika P0 tekanan sekeliling. Diatas bending cairan mulai mengalir lebih cepat dan tekanan ditempat itu boleh dianggap sama dengan P0. Lebih kehulu kecepatan alir tidak seberapa dan untuk mudahnya dapat diabaikan. Dengan anggapan-anggapan ini, penerapan persamaan Bernoulli antara suatu tempat di sebelah hulu dan tempat diatas bending, keduanya setinggi h, memberikan : 1 2 Jika

{ < vh >2 - < v’ >2 ) +

1 p

( P0 – P0 –

ρ g ( δ−h ¿ }=0

Vh = Kecepatan Alir diatas Bendung Pada h = n V’ = Kecepatan alir disebelah Hulu

Jika V’ diabaikan, akan diperoleh : < vh > =

√ 2 g( δ−h)

Yang menunjukkan, bahwa < Vh > = 0 pada h = dan itu maksimum pada h = 0. Jika lebar bending itu w, maka besarnya kecepatanalir volume setempat adalah : dQ = Vh . W. dh sehingga kecepatan alir keseluruhan menjadi : δ

∫ V h dh

Q = w

0

√2g

Q = w

−h δ¿ ¿ ¿ dh δ

∫¿ 0

Q =

2 3

w

√2 g δ3

karena terjadi kontruksi dan rugi-gesekan, maka dipakai rumus praktek : POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

58


Q = 0.59 w

√2 g δ3

(11.64) 11.10 BEBERAPA CONTOH SOAL SOAL a

Turunkan suatu hubungan antara faktor gesekan dan bilangan Reynolds untuk laminar cairan yang mengalir kebawah secara laminar pada sebuah dinding tegaklurus.

ANALISA Karena soal tidak memberikan batas geometri yang jelas, maka batas itu harus ditetapkan lebih dahulu.yaitu seperti gambar dibawah ini :

Hubungan untuk f didapat dari persamaan (11.35) dan besarnya Diambil :

Fk = τ

w.

A

A = WL K=

1 2

ρ

2

RENCANA Untuk dapat menggunakan persamaan (11.35) perlu diketahui < V z >, dan supaya dapat menurunkan persamaan untuk perludiketahui penyebaran Vz . karena itu untuk system ini harus dibuat neraca momentum lebih dahulu. Sebagai volum-banding diambil suatu bagian dengan panjang L, Lebar W dan Tebal , dengan system koordinat tegak lurus seperti pada gambar arah perpindahan momentum adalah kearah Y positif. PENYELESAIAN POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

59


¿WL y=δ

+ (WL δ )

τ

=

WL

yz

¿ y=0

–

ρg

Dibagi WL δ δ

d ( ρ vz ) dt

(WL δ )

Neraca Momentum :

d ( ρ vz ) dt

:

τ yz ¿ y=0−τ yz ¿ y=δ

dibuat kecil sekali, menjadi dy dan d ( ρ vz ) dt

=

τ yz ¿ y=0 −τ yz ¿ y=δ δ

dτ yz dy

= -

+ ρ g

menjadi -d τ

yz

+ ρ g

Untuk keadaan mantap : dτ yz dy

= ρ g

Diintegrasikan dua kali : τ yz

ρ gy + C 1

= ρg 2μ

Vz = -

Syarat batas :

1.

Y = 0

2.

y =

y2 -

τ yz

→ δ

→

vz = 0

C1 = 0

Sehingga :

τ yz


ρg 2μ

=

=

δ2

ρgy

60

y+ C

= 0 →

Substitusi kedua syarat batas memberikan hasil :

C2

C1 μ

2

d vz dy

= 0

τ

yz


Vz

δ ¿ ¿ – y2) ¿

ρg 2μ

=

Dan w δ

∫∫ v z dxdy 0 0 w δ

=

=

∫∫ dxdy

ρgδ 3μ

δ

2

0 0

Persamaan 11.35 memberikan 1 2

Fk = f . (WL) τ

Fk = τ

Jadi, (

w

ρ g δ )(WL) = f (WL)

jika,

w

τ

= 1 2

. WL |

yz

ρ

τ y=δ

=

ρ g δ

2

f =

ρgδ 1 2 ρ ¿ v2 ¿ 2

f =

ρ ¿ v 2 >¿=¿ δμ ¿

ρ ¿ v2> ¿ μ ¿

ρ 2 z

= =

ρgδ 1 ρgδ 2 ρ ¿v ¿ 2 3μ 2

δ ℜ

= Re

Perhatikan bahwa hubungan untuk f diatas berbeda dari hubungan untuk aliran laminar dalam pipa. SOAL b

Melalui pipa mendatar yang licin ditekan air sebanyak 1 kg/detik (Re = 2.10 4). selisih tekanan antara kedua ujung pipa dalam 2.105 N/m2. Berapa besarkah energy p yang diperlukan? Kalua dianggap tidak ada perpindahan panas dengan keliling, hitunglah kenaikan temperature air.


61


ANALISA

Batas geometri yang diberikan dalam soal adalah seperti gambar diatas. RENCANA Dalam soal ditanyakan energy p dan diberikan selisih tekanan yang juga suatu bentuk energy. Hal-hal ini memberi saran, bahwa persamaan Bernoulli dapat dipakai karena persamaan itu merupakan neraca energy mekanis. PENYELESAIAN Persamaan Bernoulli 1 ρ

(P2 – P1) + g (h2 – h1) +

1 2

( 2 - 2) + Q + Ĕ

= 0

Diketahui bahwa : P2 – P1 = - 2.105

N/m2

g (h2 – h1) = 0, karena h2 = h1 1 2

( 2 - 2) = 0, karena 2 = 2

Q = 0, karena pompa terletak diluar system yang ditinjau jadi, energy p diperlukan hanya untuk mengatasi gesekan – Ĕ : -Ĕ =

P2 −P 1 ρ

ρ

.|

| G

= 1 kg/detik

P = -Ĕ = -G . Ĕ =


H2O = 1000 kg/m3

1.2 x 105 3 10

62

= 200 N m/detik = 200 Watt


Panas yang timbul dalam peristiwa ini hanya mungkin datang dari energy yang hilang karena gesekan dengan dinding pipa. Namun panas itu dalam hal ini dianggap tidak diserap oleh pipa tetapi hanya oleh air. Jadi, panas yang timbul = -Ĕ = 200 Watt Panas yang diserap oleh air ialah : G = . ∆ τ

= 200 Watt

= 4,19.103 J/kg oC 1.4,19. 103 ∆τ

∆τ

= 200

200 3 4,19 .10

=

= 0.048 oC

SOAL c

Berapa daya kuda diperlukan untuk memompa air dalam system dalam diagram dibawah ini? Air harus disalurkan kedalam tangki atas sebanyak 340 liter per menit. Semua pipa berpenampang lingkaran dan licin dengan diameter dalam 10 cm. µ air = 1.0 .

ρ

air = 1000 kg/m3 . g = 9,81 m/det2

ANALISA Daya penggerak aliran merupakan salah satu suku persamaan Bernoulli (11.47). penggunaan persamaan Bernoulli memang khas untuk perhitungan aliran dalam pipa. Selain itu akan dipakai daftar faktor rugi-gesekan (lampiran IV). POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

63


RENCANA Besarnya daya kuda dapat dihitung secara aljabar dengan persamaan Bernoulli. Dengan lebih dahulu menghitung semua suku yang lain.

PENYELESAIAN Sifat aliran harus diketahui dulu. Yaitu laminar atau bergolak. Untuk itu harus dihitung Re. kecepatan rata-rata dihitung sebagai berikut : =

Q π R2

Re =

¿ v >d μ

0,340/60 π 25.10−4

=

= 0,722 m det-1

( 1000 )( 0.722 ) (0.10) 0.001

=

= 7,22 x 104

Re > 4000 Jadi, aliran adalak bergolah dan lampiran IV dapat dipakai persamaan Bernoulli : 2

∫ 1ρ 1

dp + g (h2 –h1) +

1 2

( 2 - 2 + Q + Ĕ = 0

(11.47) Mula-mula harus ditetapkan : Bidang 1 : permukaan air dalam sumber Bidang 2 : permukaan air dalam tangka Semua suku dalam persamaan Bernoulli yang sudah diketahui harus dihitung. rugi-gesekan dihitung dalam dua bagian. Bagian pipa yang lurus dan sambungansambungan. Untuk bagian pipa yang lurus dipakai persamaan (11.48) : L = 2 – 90 + 36 + 24 +12 = 164 m Rn =

πR 2 2 πR

=


1 2

R=

1 2 64

d = 0.025 m =

1 40

m


0.0791

Dari persamaan (11.44) : f =

Jadi,

72200

1 2

L Rn

= 0.0048

Ĕ1 =

1 2

2 .

=

1 2

(0.722)2 (164) (0.0048) (40) = 8,21 m2 det-2

f

Rugi-gesekan sambungan dihitung dengan persamaan 11.49 sebagai berikut : Ujung pipa hisap

:

ev

Ujung pipa tekan

:

e v = 12

3 belokan 90o

:

ev = 3x0.5

´ Ĕ

Jadi,

2 =

= Ĕ

1 2

1 2

= 0.45 = 1 =

1,5 2,95

2 ev

(0,722)2 (2,95) = 0,77 m2 det-2

= Ĕ1 + Ĕ2 = 8,21 +0,77 = 8,98 m2 det-2

Kemudian dihitung suku-suku lain : 2

∫ 1ρ 1

dp +

1 2

(P2 – P1) = 0, karena P1 = P2 = 1 a cm

g (h2 –h1) = 9,81 (2 + 36 – 12) = 255 m2 det-2 1 2

( 2 - 2) = 0, karena 2 = 2 = 0

Kalau semua suku dimasukkan ke dalam persamaan bernoulli akan diperoleh : 0 – 255 + 0 + Q + 8,98 = 0 Q = -255 – 8,98 = -264 m2 det-2 (per kg) Ini adalah usaha yang dibawa oleh aliran keluar. Pompa itu sendiri melakukan usaha + 264 m2 det-2 untuk setiap satuan massa aliran atau 264/9,81 = 26,91 kgf m/kgm


65


0,340× 1000 60

G = Q0 =

= 5,67 kgm det-1

Daya yang harus diberikan oleh pompa ialah : -w = -G . w´

= (5,67) (26,91) = 152,58 kgf m det-1

= 152,58 : 75 = 2,03 = 2 daya kuda SOAL d Pada dasar tangki yang berisi air, ada lubang yang menyerupai orifice berpinggir tajam. Luas penampang tangki yang berbentuk silinder itu adalah 0,5 m 2, tinggi air h = 3 m, dan luas lubang = 5 . 10-4 m2 Hitunglah waktu yang diperlukan sampai semua air habis keluar dari lubang. Koefisien-buang orifice c = 0,632 dianggap tidak terpengaruh oleh perubahan tinggi air. ANALISA Tinggi permukaan air akan merupakan gaya pendorong. Untuk mengalirnya air keluar orifis. Tinggi permukaan air ini akan berkurang, sehingga laju alir keluar orifis akan berkurang juga, bergantung pada waktu. Jadi, laju alir akan merupakan fungsi waktu RENCANA Persamaan laju alir harus dicari, yang memuat tinggi permukaan air dan waktu. Persamaan ini umumnya berbentuk persamaan diferensial. Integrasi akan menghasilkan waktu yang ditanyakan PENYELESAIAN Terlebih dahulu perlu dicari hubungan antara laju alir volum dengan ukuran tangka. Misalkan :

Laju alir volum = Q Luas penampang tangki = A1 Luas lubang = A0

Maka diperoleh persamaan : Q= A1

dh dt


66


Persamaan ini harus dihubungkan dengan persamaan orifis (II. 60) G=

ρ< v> A 0=ρ . Q=C A 0

√

2 ρ( p1− p2 ) 2

1−( A0 / A1 )

Dalam persamaan diatas : 2 ( A0 / A1 ) diabaikan karena

(

2

5. 10−4 =10−6=0 −1 5 .10

)

Q dihilangkan dari kedua persamaan diatas, yang menghasilkan : dh Q = -A1 dt

√

= C A0

2( p1 −p 2) ρ

Diketahui bahwa : P1 = tekanan pada dasar tangki P2 = tekanan luar Sehingga diperoleh : ρ gh P1 - P2 = ρ gh P1 = P2 +

Substitusi memberikan : -

Integrasi memberikan :

dh dt

=

dt=

C . A0 √ 2 gh A1

− A1 h1 /2 dh C . A 0 √2 g

t=

=

−A 1 C . A0√2 g

2 h1/ 2+ c 1

−2 .5 .10−1 1/ 2 h + c1 1 /2 −4 0,632.5 . 10 ( 2.9.81 ) 1 /2

t = -714,4 h +c 1 dengan syarat batas diperoleh

t=0+h=3 c1


=1237 67


1 /2

t = 1237 - 714,4 h

air dalam tangki akan habis pada waktu h = 0, sehingga diperoleh t = 1237 detik II.11 RINGKASAN DAN SOAL-SOAL RINGKASAN PASAL II.4 s/d II.10 Analisa dimensi -

Persamaan harus mempunyai dimensi homogen Bagaimana melakukan analisa dimensi Keuntungan dan kerugian analisa dimensi Memperkirakan pembesaran alat

-

Faktor gesekan fanning Gaya pada dinding saluran f merupakan fungsi Re Hukum Hagen-Poiseuille, kapan berlaku ? Persamaan bernoulli, sebutkan berbagai kegunaannya Sebutkan berbagai macam alat ukur alir

Aliran dalam saluran

SOAL-SOAL 1. hubungan antara faktor gesekan dan bilangan reynold dalam suatu aliran cairan berlapis : a Antara dua lempeng datar b Dalam sebuah saluran tegaklurus, yang berpenampang persegi, lebar 2A x 2A Jawab :

a.

f=

12 ℜ

b.

f=

6 ℜ

2. Dua buah silinder yang berporos sama, memuat suatu cairan newton dalam ruang anulusnya. Silinder-luar diam, sedang silinder-dalam berputar dengan kecepatan sudut yang tetap, sehingga menimbulkan aliran tangensial yang berlapis. Nyatakan faktor gesekan sebagai fungsi bilangan reynold. Gunakan kecepatan putar silinder-dalam sebagai kecepatan sistem Jawab :

f=

4 ℜ

3. hitunglah selisih tekanan melalui sebuah alat ukur aliran yang kapilar. Dengan dinding licin, jika kecepatan udara yang melaluinya : a 5 m detik-1 b. 100 m detik-1 Panjang pipa kapiler 10 cm, diameter 1 mm POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

68


Udara

:

p = 2 . 10-5 N det m-2 ρ = 1,2 kg m-3

Jawab

:

a)

∆ p = 3,2 . 102 N m-2 ∆ p = 2,2 . 104 N m-2

b)

4. Melalui pipa baja yang panjangnya 60 m, dipompakan air hingga mencapai laju alir volum 120 m3/jam pada ujung pipa yang letaknya 25 m lebih tinggi. Berapakan selisih tekanan antara kedua ujung pipa, kalau : a) pipa mempunyai penampang bulat dengan diameter 10 cm b) pipa mempunyai penampang bujur sangkar, 10 x 10 cm c) air dialirkan melalui anulus dengan d1 = 14 cm, d2 = 10 cm jawab :

a)

3,2 . 105 N m-2

b)

3,15 . 105 N m-2

c)

6,3 . 105 N m-2

5. Sebuah pipa 8 inci menghubungkan sebuah saringan putar dengan tempat, yang terletak 3,75 m dibawahnya, untuk mengalirkan bubur selulosa. Panjang pipa 15 m, memuat 2 belokan pendek 90 °

dan 1 gate valve. Berapakah laju alir

volum aliran bubur itu ? kekentalan bubur selulosa = 5 . 10 -3 N det/m2 pada 20 ℃ , densiti bubur 1200 kg/m3

Jawab :

Q = 557 m3 jam-1

6. air ditekan melalui pipa datar yang licin (Re = 2 . 10 4), sehingga terjadi selisih tekanan sebesar 2. 105 N/m2. Berapakah energi yang diperlukan untuk menekan itu, jika 1 kg/detik air ditekan melalui pipa yang 1,5 kali lebih sempit Jawab : 7.

1370 watt

Air mengalir dari pipa datar. Diameter 10 cm dengan kecepatan 2 m/detik. Menyembur dinding lebar yang dipasang tegaklurus dekat ujung pipa. Hitunglah gaya sembur air yang bekerja pada dinding itu, jika dianggap bahwa sesudah kena dinding, air mengalir kesamping melewati permukaan dinding Jawab :

31,4 N 8. Suatu alat memberikan aliran yang tetap, disusun seperti gambar disebelah bawah ini ke dalam botol terbuka B dialirkan larutan encer garam dalam air sedemikian banyaknya, hingga tinggi permukaan


69


dalam botol tetap 30 cm dan kelebihan larutan terbuang melalui pipa p1. Jika pipa kaca p2 berdiameter 10 mm dan panjangnya 200 cm. Berapakah laju alir yang keluar dari pipa p2 ? Q = 0,041 m3 det-1

jawab : 9.

hitunglah berapa rugi energi mekanis total E. G, per satuan waktu bergantung pada laju alir volum dalam :

a. orifismeter b. rotatometer jawab :

a)

E.G ( ; ) Q3

b)

E. G (; ) Q

10. apakah sebuah rotatometer yang telah ditera oleh air dapat digunakan untuk mengukur laju alir alkohol tanpa meneranya kembali ? kalau dapat, hitunglah faktor konversinya ρ alkohol = 760 kg/m3; Jawab :

ρ pelampung = 7000 kg/m3

0,89

11. sebuah tangki minyak, diameter 5 m dan tinggi 5 m, terisi penuh dengan minyak kelapa ( ρ

= 900 kg m-3, p = 7.10-2 N det m-2). Dalam suatu serangan udara

tangki itu terkena peluru dan terdapat lubang pada sisinya. Diameter 2 cm dan tinggi titik tengah 101 cm dari dasar tangki. Dalam berapa waktu minyak akan berhenti keluar, jika selama itu lubang tidak disumbat ? C untuk lubang = 0,52 Jawab :

6351 detik

12. Suatu cairan newton mengalir secara bergejolak (Re = 10 4) melalui suatu pipa datar yang licin. Kalau laju alir dilipatkan tiga, berapa lipatkah selisih tekanannya ? Supaya pada laju alir yang lipat tiga itu, selisih tekanannya sama dengan semula, pipa itu harus diganti dengan pipa berdiameter berapa ? Jawab :

∆ p menjadi 6,83 x ; d = 1,5 d 2 1


70


13. penyaring dari no. 5a. Mempunyai palung, yang pada salah sebuah sisinya ada palang selebar 2,85 m, bubur selulosa yang mengalir melewati palang itu biasanya tingginya 2,5 cm diatas bibir palang. Hitunglah banyaknya selulosa yang mengalir Jawab :

75 m3 jam-1

14. Gas hasil bakar dialirkan kedalam cerobong dengan tekanan 250 N m -2 di bawah tekanan luar. Cerobong dibuat dari baja, berupa silinder dengan diameter dalam 1,68 m. Gas hasil bakar dialirkan sebanyak 15 ton jam-1 dengan temperatur ratarata 260 ℃ . Temperatur udara luar adalah 21 ℃ Densiti gas hasil bakar pada 25 ℃

ρ

= 1,27 kg m-3 dan p = 15,6 . 10-6 N

det m-2. Perkirakan tinggi cerobong Jawab :

44 m

IV. PERPINDAHAN PANAS (ENERGI)

IV.1

PENDAHULUAN


71

dan tekanan 1 bar.


Energi dikenal dalam berbagai bentuk. Beberapa dijumpai dalam bidang teknik kimia diantaranya sebagai berikut :     

Energi dalam Energi kinetik Energi potensial Energi mekanik Energi panas (kalor)

Dalam bidan teknik kimia didapati banyak masalah perpindahan panas. Pengetahuan tentang mekanisme perpindahan panas mutlak diperlukan untuk dapat memahami peristiwa yang berlangsung didalam pemanasan, pendinginan, pengeringan, distilasi, evaporasi, kondensasi dan lain-lainnya. Ada tiga cara perpindahan panas yang mekanismenya sama sekali sangat berlainan, yaitu :   

Secara molekuler Secara aliran Secara gelombang elektromaknit

: disebut KONDUKSI : disebut KONVEKSI : disebut RADIASI

Dalam zat yang tidak bergerak misalnya padatan. Panas berpindah hanya secara konduksi. Dalam hal ini panas berpindah karena getaran molekul dari satu molekul ke molekul yang lain. Besarnya fluksi panas antara dua tempat dalam padatan dinyatakan dengan HUKUM FOURIER : Q=−kA

   

dTx dx

(Persamaan IV.1)

Q adalah laju perpindahan kalor (Watt) dT adalah selisih temperatur antara dua tempat dx adalah jarak antara dua tempat tersebut k disebut koefisien konduksi panas tersebut, yang hanya berubah harganya jika temperatur padatan berubah dengan satuan dalam SI yaitu Watt (m-1)(OK-1) atau kkal (m-2) (jam-1) (OC/m)-1 dalam satuan teknik.

Logam memiliki koefisien konduksi panas yang besar harganya dan penghantar panas yang baik. Sebaliknya asbes memiliki koefisien konduksi panas yang kecil harganya dan insulasi panas yang baik. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

72


Didalam fluida terjadi juga konduksi panas, akan tetapi panas lebih banyak dipindahkan secara konveksi. Dalam hal ini panas berpindah karena terbawa massa fluida yang bergerak sebagai aliran. Jadi konveksi hanya dapat terjadi dalam suatu fluida.  Berdasarkan gerakan fluida, terdapat dua cara konveksi 1) Konveksi Alamiah Dalam konveksi alamiah, gerakan fluida disebabkan oleh perbedaan densitas antara beberapa tempat karena adanya selisih antara tempat-tempat tersebut. 2) Konveksi Paksa Dalam konveksi paksa, gerakan fluida disebabkan usaha dari luar terhadap fluida umpamanya oleh sebuah pompa atau kompresor. TAHANAN terhadap perpindahan panas secara konveksi berpusat ditempat pertemuan fluida dengan permukaan padat. Fluks panas dinyatakan dengan persamaan hukum “Pendinginan Newton” : Q=h ∙ ( T padatan−T fluida )

(Persamaan IV.2)

h disebut koefisien pindah panas untuk permukaan itu dengan satuan W (m-2) (OK-1) dalam satuan SI dan kkal (m-2) (OC-1). Terlihat bahwa h bukanlah sifat fisis karena h selalu menyangkut dua zat, yaitu permukaan padat dan fluida. RADIASI adalah perpindahanpanas secara gelombang elektromagnit antara dua permukaan berbeda temperatur. Untuk radiasi tidak diperlukan zat-antara, akan tetapi supaya terjadi radiasi zat antara dua permukaan harus tembus cahaya inframerah. Menurut hukum STEFAN-BOLTMANN, semua permukaan hitam memancarkan panas menurut persamaan : I =e ∙ σ ∙ T 4


(Persamaan IV.3)

73


  

I adalah intensitas radiasi pada permukaan benda hitam T adalah suhu mutlak benda σ adalah tetapan Stefan-Boltmann dengan nilai 5,67 x 10-8 Wm-2K-4 dalam satuan SI dan 1,355 x 10-12 kal detik-1 cm-2 K-4 Panas selalu berpindah dari tempat dengan temperatur tinggi ke tempat dengan

temperatur rendah. Untuk perpindahan panas, selisih temperatur itu merupakan gaya geraknya. IV.2

PERSAMAAN ENERGI Untuk penurunan persamaan energi akan dipakai lagi unsur volum silinder Gb.

IV. 1. Berdasarkan apa yang telah dibahas dalam pendahuluan, neraca energi akan dibuat untuk bentuk-bentuk energi yang dijumpai dalam teknik kimia dan disusun sebagai berikut : (laju akumulasi energi dalam dan energi kinetis) = (selisih laju alir energi dalam dan kinetis antara yang masuk dan keluar oleh konveksi) + (selisih laju perpindahan panas karena konduksi) + jumlah usaha yang dikerjakan oleh lingkungan pada sistem).

(Persamaan IV.4)

Lebih dahulu masing-masing suku dalam persamaan laju akumulasi energi dalam dan energi kinetis akan dihitung satu demi satu. laju akumulasi=r ∙ ∆ θ ∙ ∆ r ∙ ∆ z


∂ 1 ρ⋅Ū + ρ v 2 ∂t 2

(

74

)

(Persamaan IV.5)


Disini Ū adalah jumlah energi dalam persatuan massa sehingga persamaan akumulasi menyatakan perubahan energi dalam dan energi kinetis per satuan waktu dalam unsur volume. 

Selisih laju alir energi dalam dan energi kinetis karena konveksi adalah :

{(

)| (

)|

}

{(

)| (

)|

}

Ke-arah r

:

1 1 r ∆ θ ∙ ∆ z v r ρŪ + ρ v 2 r−v r ρŪ + ρ v 2 r +∆ r 2 2

Ke-arah θ

:

1 1 ∆ r ∙ ∆ z v θ ρŪ + ρ v 2 θ−v θ ρ Ū + ρ v 2 θ+ ∆ θ 2 2

{(

)| (

)|

1 2 1 2 Ke-arah z : r ∆ θ ∙ ∆ r v z ρŪ + 2 ρ v z−v z ρ Ū + 2 ρ v z+ ∆ z

}

+

+

(Persamaan IV.6)

Selisih laju perpindahan panas karena konveksi adalah : r ∆ θ ∙ ∆ z { qr|r −q r|r +∆ r }+ ∆ r . ∆ z { qθ|θ−qθ|θ+ ∆ θ }+r ∆ θ . ∆ r { q z|z −q z| z+ ∆ z }

(Persamaan IV.7) USAHA yang dilakukan lingkungan terhadap unsur volume terdiri atas dua bagian, yaitu usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya permukaan (tekanan dan tegangan geser) dan usaha usaha yang dilakukan oleh gaya volume (gravitasi). Untuk memudahkan memahami yang diuraikan dibawah ini perlu dingat, bahwa : Usaha = (gaya) x (jarak dalam arah gaya) Laju pengerjaan usaha = daya = (gaya) x (kecepatan ke arah gaya) Selisih usaha oleh tekanan adalah : r ∆ θ ∙ ∆ z { ( p v r )|r −( p v r )|r + ∆ r }+ ∆ r ∆ z {( p v θ )|θ−( p v θ )|θ+ ∆ θ }+ r ∆θ ∙ ∆ r { ( p v z )| z−( p v z )| z+ ∆ z } (Persamaan IV.8) Selisih usaha oleh tegangan geser adalah :

r ∆ θ ∆ z {( τ rr v r +τ rθ v θ + τ rz v z )|r −( τ rr v r +τ rθ v θ + τ rz v z )|r + ∆ r }+ ∆ r ∆ z {( τ θr v r +τ θθ v θ +τ θz v z )|θ− ( τ θr v r + τ (Persamaan IV.9) POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

75


Selisih usaha oleh gravitasi adalah : z v r g r +v θ gθ +v z g ¿ +r ∆ θ ∆ r ∆ z ∙ ρ ¿

(Persamaan IV.10)

Kalau dari persamaan (IV.5) s/d (IV.10) disusun neraca, kemudian neraca itu dibagi dengan volume r ∆ θ ∆ r ∆ z suku pada waktu ∆ θ , ∆ r

dan akhirnya diambil limit dari masing-masing

dan ∆ z

mendekati nol.

Maka diperoleh persamaan energi : ∂ 1 ρŪ + ρ v 2 =¿ ∂t 2

(

)

z v r g r +v θ g

{ (

−

)} (

∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ v ρŪ + ρ v 2 + v ρŪ + ρ v 2 + v z ρŪ + ρ v 2 − q+ q + q − pv + ∂r r 2 ∂θ θ 2 ∂z 2 ∂r r ∂θ θ ∂z z ∂r r ∂

)

(

)

(

)(

(Persamaan IV.11) Persamaan IV.11 dapat ditulis lebih singkat dalam simbol-simbol vektor tensor sebagai berikut :

) {

)}

∂ 1 1 ρŪ + ρ v 2 =− ∇ ∙ ρ ⃗v Ū + v 2 − ( ∇ ∙ ⃗q )− ( ∇ ∙ ρ ⃗v )−(∇ ∙ ( τ ∙ ⃗v ) )+ ρ( ⃗v ∙ ⃗g ) ∂t 2 2

(

(

(Persamaan IV.12) Bentuk diatas dari persamaan energi berlaku untuk unsur volum yang tetap letaknya didalam ruang. Kalau suku pertama dalam ruas kanan dipindahkan ke ruas kiri dan diferensial itu dilakukan, maka diperoleh bentuk lain dari persamaan energi.


76


ρ

[ (

)] (

)[

]

∂ 1 1 1 ∂ Ū + v 2 +v ∙ ∇ Ū + v 2 + Ū + v 2 + ( ∇ ∙ ρ ⃗v ) =−( ∇ ∙ q⃗ )−( ∇ ∙ ρ ⃗v )−( ∇ ∙ [ τ ∙ ⃗v ] )+ ρ( ⃗v ∙ ⃗g ) ∂t 2 2 2 ∂t

)

(

(Persamaan IV.13) Suku kedua dalam ruas kiri adalah persamaan KONTINUITAS dikalikan

(Ū + 12 v ) 2

Jika

ρ

. Sehingga harganya sama dengan nol.

dc ∂ y = +v ∙∇c , maka persamaan IV.13 dapat ditulis sebagai berikut : dt ∂ x

D 1 Ū + v 2 =−( ∇ ∙ q⃗ )−( ∇ ∙ p ⃗v ) −(∇ ∙ [ τ ∙ ⃗v ] )+ p( ⃗v ∙ ⃗g ) Dt 2

(

)

(Persamaan IV.14)

Persamaan IV.14 adalah bentuk lain persamaan energi yang berlaku jika unsur volum ikut bergerak dengan aliran fluida. Kedua bentuk persamaan energi (IV.12) dan (IV.14) masih belum memenuhi keperluan operasi teknik kimia. Oleh karena itu persamaan

ini

haruslah

diubahsehingga

merupakan

fungsi

dari

temperatur

sehinggadapat digunakan untuk menghitung penyebaran temperatur.



Jika dalam persamaan (IV.14) masing-masing suku dikalikan dengan v⃗ ,

diperoleh

ρ

D 1 2 v =−( ∇ p ∙ ⃗v )−( ⃗v ∙ [ τ ∙ ∇ ] ) + ρ ( ⃗v ∙ ⃗g ) Dt 2

( )

(Persamaan IV.15)

Atau D 1 2 ρ v =ρ ( ∇ ∙ ⃗v )−( ∇ ∙ p ⃗v )−( ∇ ∙ [ τ ∙ ⃗v ] ) + ( τ : ∇ ⃗v ) + p( ⃗v ∙ ⃗g ) Dt 2

( )

(Persamaan IV.16) Kalau persamaan (IV.14) dikurangi dengan (IV.16), diperoleh neraca energi dalam ( Ū¿ : POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

77


ρ

D Ū =−( ∇ ∙ ⃗q )− p∙ ( ∇ ∙ ⃗v )+ ( τ :∇ ⃗v ) Dt

(Persamaan IV.17)

Energi dalam (Ū ) sebenarnya fungsi ∇ danT . Sehingga dapat ditulis : d Ū=

∂Ū ∂p Td ∇+ ( Td ∇= −p+T ( ∇ d ∇ + C´ dT ( ∂Ū ) ) { ∂∇ ∂∇ ∂T ) }

(Persamaan

v

IV.18) Dari persamaan (IV.18) dapat dibentuk perkalian p dan

ρ

{

D Ū Dt

( )}

DŪ ∂p D∇ DT = −p+T ∇ ρ + ρ C´ v Dt ∂T Dt Dt

Suku

ρ

menjadi :

(Persamaan IV.19)

D∇ D 1 −1 −1 Dρ =ρ =ρ = Dt Dt ρ ρ∙ 2 ρ Dt

() ( )

Berdasarkan persamaan kontinuitas : −1 Dρ D∇ =( ∇ ∙ ⃗v )=ρ ρ Dt Dt

(Persamaan

IV.20) Kalau persamaan (IV.20) dimasukkan kedalam persamaan (IV.19) dan disubstitusikan ke persamaan (IV.17), didapat persamaan energi dengan temperatur fluida. ´v ρC

{ ( )

}

DT ∂p ´ =−( ∇ ∙ ⃗q ) – p+ T V ∙ ( ∇ ∙ ⃗v ) −( τ :∇ ⃗v ) Dt ∂T

(Persamaan IV.21)

Persamaan (IV.21) mengatakan bahwa temperatur suatu unsur fluida yang bergerak berubah karena : a b

( ∇ ∙ ⃗q ) T

( ∂∂Tp )V´ ∙ ( ∇ ∙ ⃗v )


: konduksi panas : pengaruh ekspansi

78


( τ :∇ ⃗v )

c

molekul

: timbulnya panas karena gesekan fluida

Untuk dapat menggunakan persamaan (IV.21) yang digunakan untuk mencari penyebarantemperatur, maka tiap suku dalam ruas kanan perlu diuraikan lebih lanjut. ⃗q

perlu diganti dengan komponen fluksi energi

⃗q yang sesuai. Dibawah ini

diberikan bentuk q⃗ untuk semua sistem koordinat. KOMPONEN-KOMPONEN FLUKSI ⃗q Tegak Lurus ∂T q x =−k ∂x

Silinder ∂T q r=−k ∂r

q y =−k

∂T ∂y

qθ =

q z=−k

∂T ∂z

q z=−k

Untuk menyelasaikan

( ∂∂Tp ) V´

Bola ∂T q r=−k ∂r

−k ∂T r ∂θ

qθ =

∂T ∂z

q ϕ=

perlu diketahui fungsi p = p (T). Suku

−k ∂T r ∂θ

−k ∂ T ∙ r ∙ sinθ ∂θ

( τ :∇ ⃗v )

dapat dijabarkan menjadi : ( τ :∇ ⃗v )=μ ∙ ϕ v ϕ v =fungsi disipasi

(Persamaan IV.22)

Dalam persamaan energi (IV.21) dijabarkan secara lengkap dalam ketiga sistem koordinat, untuk fluida Newtonian dengan ρ dan

μ yang tetap.

Beberapa bentuk khusus yang sederhana untuk persamaan energi diberikan dibawah ini. Konduktivitas panas dianggap tetap.

a) Untuk gas ideal

( ∂∂Tp ) V´ = Tp


dan persamaan IV.21 berubah menjadi :

79


´v ρC

DT 2 =k ∇ T − p ( ∇ ∙ ⃗v ) Dt

(Persamaan IV.23)

b) Untuk suatu fluida pada tekanan tetap, dalam mana kehilangan panas karena gesekan diabaikan didapat : ´p ρC

DT =k ∇ 2 T Dt

(Persamaan IV.24)

c) Untuk suatu fluida yang tak termampatkan, p = tetap,

´ p =C ´v C

dan

( ∇ ∙ ⃗v ) =0 , diperoleh : ´p ρC

DT =k ∇ 2 T Dt

(Persamaan IV.25)

d) Untuk suatu fluida yang tak termampatkan, p = tetap,

( ∇ ∙ ⃗v ) =0 , diperoleh : ´ p DT =k ∇ 2 T ρC Dt

´ p =C ´v C

dan

(Persamaan IV.26)

e) Untuk padatan, p = tetap dan v =0 , diperoleh : ´v ρC

DT =k ∇ 2 T Dt

(Persamaan

IV.27) IV.3

PENERAPAN PERSAMAAN ENERGI Sifat-sifat perpindahan menentukan mudah atau tidaknya penyelesaian soal.

Karena konduksi dan aliran berlapis dapat diselesaikan secara analisa. Jika ada konveksi tidak mungkin lagi diadakan perhitungan yang tepat. a

Konduksi melewati padatan tunggal


80


SOAL Sebuah lempeng padatan setebal d, kedua permukaannya pada temperatur T 1 dan T2. Temperatur lingkungan pada kedua permukaan itu adalah Ta dan Tb, seperti pada gambar diatas. ANALISA Contoh ini dan semua contoh dalam fasal ini adalah soal konduksi dan akan menggunakan persamaan IV.26 (padatan). Karena semua contoh itu serupa, maka analisa dan rencana penyelesaian tidak akan diulang dalam contoh-contoh yang berikut.Untuk soal ini dipilih system koordinat tegak lurus. RENCANA Penyesuaian persamaan energi sebenarnya sudah dilakukan pada persamaan IV.26.

i ii iii

Sesuaikan persamaan energi pada batas-batas sistem Tetapkan syarat-syarat dan integrasikan persamaan differensial Substitusikan nilai tetapan integrasi

PENYELESAIAN Kalau hanya ditinjau dari konduksi panas melalui padatan tadi. Berlaku persamaan IV.26, yang menjadi ´p ρC

DT d2 T =k Dt d x2

(Persamaan IV.27)

“ATAU”


81


DT d2T =α Dt d x 2 Kalau

k =α , difusivitas termal. ρ C´ p

Untuk keadaan mantap diperoleh

d2T =0 d x2

(Persamaan

IV.28) Persamaan IV.23 dapat diselasaikan dengan syarat batas : 1 2

X = 0 T = T1 X = d T = T2

Dan menghasilkan penyebaran T dalam padatan : T −T 1 x = T 2−T 1 d

(Persamaan

IV.29) Penyebaran T dalam fluida sekitar permukaan lempeng hanya dapat diselesaikan dengan analisa, kalau diketahui penyebaran kecepatan kecepatan fluida ditempat itu. PENILAIAN Perpindahan panas pada kedua permukaan dengan lingkungan berlangsung secara konveksi dan dapat diselesaiakan dengan persamaan empiris IV.2 yang menghasilkan : Pada permukaan 1 : q1 = h1 (ra – T1)

(Persamaan IV.30)

Pada permukaan 2 : q2 = h2 (r2 – Tb)

(Persamaan IV.31)

Karena terdapat keadaan mantap, maka : q1 =q1−2=q2 Namun cara ini tidak dapat memberikan fungsi sekitar permukaan lempeng secara jelas. b

Konduksi melewati beberapa lapisan padatan


82


SOAL Sebuah batang terdiri dari tiga lapis padatan yang sejajar. Ketiga padatan berlainan bahannya dan memiliki ukuran seperti gambar diatas. Temperatur lingkungan adalah Ta dan pada permukaan 1 dan Tb pada permukaan 2. Buatlah analisa tentang perubahan temperatur dalam sistem ini. PENYELESAIAN Analisa soal disatukan dengan penyelesaiaannya. Dalam masing-masing lapisan berlaku apa yang telah diperoleh dalam contoh sebelum ini, yaitu bahwa perubahan temperatur dalam masing-masing lapisan adalah linear (IV.29), sehingga dapat ditulis : q=k

dT dx 2

q1−2=−k ∫ 1

dT dx

q1−2=k 12

(T 1−T 2) (x 2−x 1)

(Persamaan IV.32)

q 2−1=k 23

( T 2−T 3) ( x 3−x 2 )

(Persamaan IV.33)

q3 −4=k 34

(T 3−T 4 ) (x 4 −x3 )

(Persamaan IV.32)

Karena keadaan mantap, maka :


83


q1−2=q2−3=q3−4 =q1 Sehingga persamaan IV.32 s/d IV.33 dapat diubah menjadi : T 1 −T 2=

T 2 −T 3= T 3 −T 4=

(q1 ) (x −x ) k 12 2 1

( q1 ) k 23

( q 1) k 34

(Persamaan IV.35)

( x 3−x 2 )

(Persamaan IV.36)

( x 4−x 3 )

(Persamaan IV.37)

Untuk perpindahan panas pada kedua permukaan dapat ditulis : (q1 ) h1

T a−T 1=

T 4−T b=

(Persamaan IV.38)

(q1 ) h4

(Persamaan IV.39)

Kalau persamaan IV.35 s/d IV.39 dijumlahkan akan diperoleh : T a−T b=q 1

{

1 x2 −x1 x 3−x 2 x 4 −x3 1 + + + + h1 k 12 k 23 k 34 h4

}

Yang juga dapat ditulis dalam bentuk : q1 =

T a−T b

{

1 x 2−x 1 x 3− x2 x 4 −x 3 1 + + + + h1 k 12 k 23 k 34 h4

}

(Persamaan IV.40)

Dalam teknik kimia, persamaan IV.40 biasanya ditulis dalam bentuk : q'=

T a−T b

{

1 U 1 ∙ A1

} atau '

q =(T a−T b )∙ U 1 A 1 POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

(Persamaan IV.41) 84


Dimana : q’ adalah LAJU PINDAH PANAS U1 adalah KOEFISIEN PERPINDAHAN PANAS KESELURUHAN A1 adalah LAJU PERMUKAAN Dalam bentuk yang dinyatakan dalam persamaan IV.41, maka (T a−T b)

disebut GAYA GERAK PANAS dan

1 U1

disebut TAHANAN PANAS.

Berrdasarkan persamaan (IV.40) dan (IV.41) maka tahanan panas keseluruhan 1 U1

dapat dianggap sebagai jumlah masing-masing tahanan panas setempat. Untuk penjumlahan itu diperlukan penyesuaian luas permukaan untuk masing-

masing tahanan panas. Untuk konveksi diambil luas permukaan dimana konveksi itu terjadi, Untuk konveksi diambil luas rata-rata antara kedua permukaan yang membatasi lapisan. Kalau luas rata-rata antara permukaan 1 dan 2 disebut A12, dst . dapat ditulis :

{

x 2−x 1 x 3−x 2 x 4−x 3 1 1 1 = + + + + U 1 h1 A k 12 A 12 k 23 A 23 k 34 A 34 h4 A 4

}

(Persamaan IV.42)

Untuk menghitung penyebaran temperatur dalam masing-masing lapisan, maka persamaan IV.29 diterapkan pada lapisan yang bersangkutan. Seperti dalam persamaan IV.32 s/d IV.34 c

Konduksi panas melewati dinding pipa


85


SOAL Dalam hal aliran fluida dalam pipa yang diinsulasi sekurang-kurangnya ada 4 tahanan panas, yaitu permukaan dalam pipa, dinding pipa, lapisan insulasi dan permukaan luar insulasi. Kalau temperatur fluida pada keadaan mantap lebih tinggi dari temperatur lingkungan, maka panas berpindah keluar ke arah radial. Buatlah analisa tantang penyebaran temperature. ANALISA Batas-batas sistem diterangkan pada gambar diatas. Dipilihlahsistem koordinat silinder. PENYELESAIAN Karena gradien temperatur pada permukaan selalu tidak diketahui dengan jelas, maka seluruh sistem seakan-akanterdiri dari padatan. Seperti pada contoh sebelum ini. Maka berlaku persamaan energi untuk keadaan mantap : k ∇ 2 T =0 Dengan menggunakan sistem silinder dapat diturunkan : k d dT r∙ =0 r dr dr

(

“ATAU”

)

(

d r∙

(Persamaan IV.43)

dT =0 dr

)

Integrasu sekali memberikan : r∙

dT =C1 dr

(Persamaan IV.44)

Dengan syarat batas : r=R 1 → rq=r 1 q1 r 1 q1=−rk

|

dT r=R1 dr

Diperoleh


C1 =r

86

−r q dT R 1= 1 1 dr k

|


Maka persamaan IV.44 berubah menjadi : r∙

dT −r 1 q1 = =C 1 dr k

(Persamaan IV.45)

Dalam persamaan IV.45 mengapa yang diambil sebagai harga tetap dalam pemilihan syarat batas 1,

r 1 q1

Dalam hal bentuk, silinder

q1

dan bukannya

q1

seperti contoh sebelumnya?.

tidak tetap karena luas permukaan lapisan tidak

sama. Luas permukaan itu berbanding seperti jari-jari yang bersangkutan, karena panjangnya pipa sama. Ke arah nilai r yang besar fluksi panas menurun. q3 < q2 A2 > A1 yang tetap ialah: r 1 q1=r 2 q 2=r 3 q3 Integrasi persamaan IV.45 dan penggunaan syarat batas

r=R 1 →T =T 1

,

memberikan penyebaran temperatur sebagai berikut : T −T 1 =

r 1 q1 R ln 1 k r

( )

(Persamaan IV.46)

Kalau dalam soal ini dilakukan hal yang sama seperti pada contoh IV.3.b, maka didapat : r 1 q1 R ln 2 k 12 R1

(Persamaan IV.47)

r 1 q1 R3 ln k 23 R2

(Persamaan IV.48)

T 1 −T 2=

T 2 −T 3=

( )

( )

dan

T a−T 1=

q1 r1 q1 ln h1 r 1 h1


( )

(Persamaan IV.49)

87


T 3 −T b =

q3 r q ln 1 1 h3 r3 h3

( )

(Persamaan IV.50)

Penjumlahan persamaan IV.47 s/dIV.50 menghasilkan : q' =2r 1 Lq1=

T a−T b

{

1 + r 1 h1

ln

R2 R1

R3 R2

( ) ( ) k 12

ln

+

k 23

+

1 r 3 h3

}

“ATAU” q' =U 1 A1 ( T a−T b )

(1 -

ε

2

)

∂θ ∂ϵ

=

(Persamaan IV.51) 1 ∂ εθ =( ε ) ε ∂ε ∂ε



Syarat batas 1. Pada

ε




ε =1 .

∂θ =1 - ∂ε




ε =0 .

θ=0



Syarat batas 3 sepintas memang layak dipakai, akan tetapi kalau ditinjau lebih

= 0.

θ=terhingga

dalam tidak akan dapat dipenuhi seluruhnya. Pada z = 0 dan r < R memang T = T0, akan tetapi pada z = 0 dan r = R, ada

fluksi panas yang tetap q =

−k

θΤ θr

. jadi ada gradien temperatur atau ada

perubahan temperatur, memang hal ini adalah keadaan batas, namun dengan demikian syarat batas 3 tidak dapat dipenuhi seluruhnya.



Sebagai penggantinya diambil syarat 3 berdasarkan neraca panas : Panas yang masuk melalui dinding pipa = selisih panas dalam fluida antara z = 0

dan z = 1. Atau POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

88


2x R

∫∫ o ć

-2 –Rzq1 =

p

o o

atau dalam perubahan tanpa dimensi

(T-To) vz rdrd θ

:

2

θ ( ε , θ ) ( 1−ε 2 ) εdε syarat batas 3’ : −ε=∫ o persamaan (IV. 71) akan diselesaikan dengan cara pemisahan perubahan dan dianggap bahwa θ merupakan jumlah dua fungsi : θ=¿

co ε +(ε )

(IV. 72)

Penggunaan persamaan (VI.72) mengubah persamaan (VI.71) menjadi : 1 d d ε =c o (1−ε 2 ) ε dε dε

( )

(VI.73)

Integrasi dua kali dan penggunaan syarat batas 1, 2 dan 3’ menghasilkan : 1 7 θ=−4 ε – ε 2 ε 4 + 4 + 24 (IV.74) Dari persamaan (IV.74) dapat dihitung T dan juga dapat diturunkan besaranbesaran lain. Dalam aliran fluida, dengan

ρ

tetap, ada dua pengertian temperatur

rata-rata, yaitu : 2x R

∫∫ T ( r ) rdr dθ =

o

o 2x R

∫∫ rdr dθ o o

2x R

∫∫ v z ( r ) T ( r ) rdr dθ =

o

o 2x R

=T b

∫∫ v z ( r ) rdr dθ o o

Baik maupun Tb merupakan fungsi z. Tb disebut BULX TEMPERATURE, dan kadang-kadang juga CUP-MIXING TEMPERATURE atau FLOW-AVERAGE TEMPERATURE. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

89


b. konveksi bebas dalam contooh ini, suatu fluida berada antara dua permukaan tgak, yang berjarak 2b. Dinding pada y = -b temperaturenya din pertahankan pada T1 dan temperature dinding pada y = +b dipertahankan pada T 2. Fluida mula-mula diam, akan tetapi karena ada gradien temperatur fluida dekat dindning panas naik dan fluida dekat dinding dingin turun. Dianggap, bahwa laju alir volum fluida ke atas sama dengan laju alir volum ke bawah. Kemudian dianggap pula bahwa, bagian dinding yang ditinjau terletak jauh dari tempat tepinya, sehingga temperatur dapat dianggap merupakan fungsi y saja. Untuk k yang tetap penerapan persamaan energi memberikan : d2T k 2 =0 dy

(IV.75)

syarat batas 1. Pada y = -b, T = T1 syarat batas 2. Pada y = +b, T = T2 dan diperoleh penyelesaian yang berikut : 1 v T =T m− Δ T ( ) 2 b

(IV.76)

Penyebaran kecepatan dapat diperoleh dengan membuat neraca momentum, yang menghasilkan :

ρ

d 2 v z dp = +ρ dyz dz

g

(IV.77)

Viskositas dianggap tetap.

Fungsi perubahan

ρ

dicari dengan menggunakan

ρ

dalam deret taylor

´ sekitar suatu temperatur bandingan T , yang untuk sementara belum ditentukan : POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

90


ρ= ρ¿ T´

∂ρ ¿ ∂T T´

+

β´

= ´ρ− ´ρ

´ ( Τ - T ) +........ ´ g( Τ - T )

+........ (IV.78)

´ρ

´ adalah density pada T

dan

β´

´ adalah koefisien pemuaian volume T .

Dalam deret taylor di atas suku ketiga dst. Diabaikan. Jika persamaan (IV.78) disubstitusikan ke dalam persamaan (IV.77), diperoleh : 2 d vy z dp μ = + ´ρ β´ g 2 dz dy

´ρ ´β g ( Τ - T´ )

(IV.79) Kalau dianggap, bahwa gradien tekanan itu hanya disebabkan oleh berat fluida di antara dua dinding itu.

dp =−´ρ g dz

Maka :

Dan persamaan (IV.79) berubah menjadi : 2 d v μ 2z =dy

´ρ ´β

´ g ( Τ - T )

(IV.80) Yang berarti, bahwa gya gesekan molekul tepat diimbangi oleh gaya apung. Persamaan (IV.80) dan menghasilkan : 2 d vz μ 2 =dy

y ´ρ ´β g {( T m−T´ ) −ΔT ( ) } p (IV.81)

Dengan menggunakan kedua syarat batas : Syarat batas 1 : pada y = -b, vz = 0 Syarat batas 2 : pada y = +b, vz = 0 Persamaan (IV.81) dapat diselesaikan menjadi : v z= Dalam mana : n=

´ρ ´β gb2 ΔΤ 3 { n −An2−n+ A } 12μ

y p


91

(IV.82)


T m− T´ Ϭ A= ∆T T´ atau A dapat dicari, kalau digunakan anggapan, bahwa laju alir volum ke atas

sama dengan ke bawah, atau laju alir volum total ke arah z sama dengan nol. +1 ʃ vz dn =0 -1

(IV.83)

Kalau persamaan (IV.82) disubstitusikan ke dalam persamaan (IV.83) dan dilakukan integrasinya, maka didapat :

−2 A+ 4 A=0 3 T´

Yang menghasilkan A=0 atau

v z=

=

T m . Akhirnya penyebaran kecepatan v menjadi : z

´ρ ´β gb2 ΔΤ 3 ( n −n ) 12μ

(IV.84)

Persamaan (IV.84) dapat juga dinyatakan dalam perubah dan bilangan tanpa dimensi a =

b v z ρ´ μ

n =

y b

Gr =

,

,

:

kecepatan tanpa dimensi jarak tanpa dimensi

´ρ2 β´ g b 3 ∆T , bilangan grashof μ2 n

Sehingga menjadi

:

=

1 Gr ¿ 3- n) 12

(IV.85)

c. Persamaan empiris Koefisien pindah pans permukaan h merupakan sifat kemmampuan memindahkan panas untuk tempat pertemuan suatu permukaan dan fluida, yang selain dipengaruhi oleh sifat-sifat permukaan dan fluida, juga masih bergantung pada aliran dan temperatur. Karena banyaknya faktor yang berpengaruh, tidak ada jalan lain untuk memperoleh nilai h dari pada melakukan percobaan untuk menentukannya. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

92


Banyakan sekali percobaan yang telah dilakukan berbagai peneliti dengan tujuan memeperolah persamaan empiris yang dapat dipakai untuk memperkirakan nilai h dalam masalah yang serupa, misalnya untuk keperluan perancangan alat. Dialakukannya percobaan-percobaan itu juga di dorong oleh pentingnya diketahui nilai h yang dapat diandalkan, untuk keperluan perhitungan perpindahan panas. Hasil penelitian berbagai orang sudah banyak yang disatukan dalam persamaan yang telah diterima dan dipakai banyak orang. Persamaan-persamaan itu biasanya berlaku dalam batas-batas aliaran tertentu atau untuk keadaan tertentu. Persamaan dinyatakan dalam bilangan Nusselt sebagai fungsi dari bilangan Prandantl dan satu bilangan tanpa dimensi yang khusu berhubungan dengan sifat aliran : bilangan Reynold untuk konveksi paksa, dan bilangan Grashof untuk konveksi bebas. Di bawah inni diberikan ringkasan beberapa bilangan-bilangan tanpa dimensi dan beberapa contoh persamaan empiris. Dalam menggunakan persamaan empiris perlu di ingat, bahwa persamaan itu adalah hasil percobaan dan karena itu akan memuat kesalahan-kesalahan percobaan itu.

Bilangan Nusselt Bilangan Prandtl

= Nu =

hd k

= Pr =

C´ p k

μ

Bilangan Reynolds = Re =

ρvd ∆ G = μ rμd

Bilangan Grashof

ρ gb ∆ T ρ gb ∆ T = μ2 μ2

2

untuk aliran berlapis dalam pipa berlaku Nu μb

= 1.86

(

= Gr =

3

:

d ℜ. Pr . L

1 /3

μb μw

0.14

)( )

(IV.86) Tb

dihitung untuk temperatur rata-rata fluida

untuk temperatur dinding. jika tidak banyak perbedaan anatara μb / μw

3

dan μb

dan

μw

dihitung μw

, faktor

boleh dihilangkan.

Untuk aliran yang sangat bergolak (Re > 20.000) 0.14 0,8 1/ 3 μ b Nu = 1.86 ( ℜ) ( Pr ) μ w

:

( )

Sering juga persamaan empiris itu disajikan dalam bentuk grafik. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

93

(IV.87)


Dalam perhitungan perpindahan panas secara konveksi untuk pipa, dengan menggunakan hukum pendinginan Newton : q' =hA ( T permukaan−T fluida )

Orang menghadapi beberapa pillihan dalam menentukan ∆T

∆T .

Karena

itu berubah sepanjang pipa (lihat persamaan (IV.74)). Definisi untuk h dengan

demikian bergantung pada pemilihan ∆ T . Di bawah ini disebut beberapa definisi untuk h.

Dalam teknik kimia dipakai

h1 n

karena nilainya makin tetap. Bila

makin panjang. Juga koefisien pindan panas keseluruhan

U1n

L d

yang dipakai dalam

teknik kimia, sehingga persamaan perpindahan panas untuk teknik kimia adalah : q' =U 1 n A ( ∆ T )1 n Atau biasanya diakai :

(IV.88)

q' =UA ( LMTD )

Dalam mana LMTD = logarithmic mean temperature difference. IV. RADIASI Berbeda dari konduksi dan konveksi, dalam radiasi energi berpindah tanpa memerlukan zat pengantar. Radiasi adalah pancaran energi secara gelombang elektromaknit dengan kecepatan cahaya. Daerah panjang gelombang yang dapat POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

94


disebut radiasi panas terutama terletak antara 0,1-10 mikron. Daerah ini hanya sebagian kecil dari keseluruhan radiasi elektromaknit. Kalau λ adalah panjang gelombang dan c kecepatan cahaya dan v frekuensi., maka berlaku hubungan : λ=

c v (IV.89) 10

c = 2,9979. 10 cm/detik suatu gelomabang elektromaknit dengan frekuensi v biasanya digambarkan sebagai gerakan foton, yaitu “benda” dengan massa nol, muatan nol dan energi sebesar

c

= hv (IV.90) h = tetapan planck = 6,624.10-27 erg. Detik. Energi foton itu dapat dipancarkan (emisi). Dapat diserap (absorpsi) oleh suatu

c, dengan hubungan :

permukaan dan dapat juga dipantulkan (refleksi). Dalam radiasi panas dikenal beberapa benda bandingan. Suatu benda atau permukaan yang terkena radiasi panas, biasanya hanya sebagian dari energi yang sampai, dengan hubungan

: a

A=

c : m av = q

qv qv

( a)

(IV.91)

( m)

a = KOEFISIEN ABSORT ( a)

q =energi yang diserap . (m )

q =energi yang masuk . Untuk benda-benda nyata av tidak sama untuk berbagai frekuensi. BENDA KELABU (gray body) ialah benda hipocetis yang mempunyai a v yang sama, tetapi lebih kecil dari 1, untuk semua frekuensi dan semua temperatur. BENDA HITAM (black body) ialah benda hipotetis yang mempunyai a v frekuensi dan temperatur. Semua permukaan padat selain menyerap

= 1 untuk semua

juga memancarkan panas. Jika

dibandingkan dengan pancaran benda hitam, bagian yang dipancarkan oleh suatu permukaan disebut KOEFISIEN EMISI e q (e ) : e = qb( e ) ev =


( e)

qv

qbv

(e )

95

(IV.92)


jika

q

(e )

q b( e )

= energi yang dipancarkan benda biasa. = energi yang dipancarkan benda hitam.

Perpindahan panas secara radiasi untuk benda hitam telah dirumuskan dalam HUKUM STEFAN-BOLTZMAN sebagai berikut q (e ) = σ Τ 4 Dalam mana

: (IV.93) −8

σ =tetapan Stefan−Boltzman=5,67.10

Untuk benda tak-hitam energi yang dipancarkan ialah (e ) 4 q = eσ Τ

,,,/(m2)(oK4). :

(IV.94) Hukum stefan-boltzman menyatakan ENERGI TOTAL yang dipancarkan oleh suatu benda dari seluruh permukaannya ke semua arah. Untuk teknik yang penting ialah energi yang DIPERTUKARKAN antara dua benda atau dua permukaan. Karena sering sekali tidak semua permukaan suatu benda menghadap ke benda yang lain, maka dari pancaran total benda pertama hanya sebagian sampai pada benda kedua. Benda kedua menyerap sebagian dari energi yang sampai padanya dan bagian yang lain dipancarkan kembali ke benda pertama. Pancaran benda kedua itu sebagian di serap oleh benda pertama dan sebagian dipancarkan kembali, begitu seterusnya.  Pertukaran energin antara dua benda hitam dinyatakan oleh persamaan yang berikut: q12= A 1 F 12 σ ( T 14−T 24 ) = A2 F21 σ ( T 14−T 24 )

(IV.95)

Keterangan : q12 = Energi yang dipertukarkan antara benda hitam 1 dan 2. A1 = Luas permukaan total benda 1. A2 = Luas permukaan total benda 2. F12 = Bagian dari radiasi A1 yang sampai pada A2, F21 = Bagian dari radiasi A2 yang sampai pada A2, F12 dan F21 disebut faktor penglihatan (view factors). A1 F12 = A2 F21 Menghitung F sangat sukar. Untuk beberapa hubungan geometri dalam buku W.H. McAdams, Heat Transmission, McGraw-Hill, 1954, terdapt nomogramnomogram untuk F. Jika nilai F diketahui, perhitungan pertukaran radiasi panas tidaklah sukar. Untuk dua benda tak-hitam pertukaran radiasi panasnya dapat dihitung seperti di bawah ini. Perhitungan semacam ini hanya mungkin dilakukan untuk benda kecil yang CEMBUNG permukaannya (benda 1, temperatur T1), yang SELUPUHNYA POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

96


DILINGKUNGI oleh permukaan lingkungan pada T2. Laju energi yang di pancarkan oleh benda 1 : q12=e1 A 1 σ T 14 Laju energi yang diserap oleh permukaan 1 dari lingkungan

q12=a1 A 1 σ T 1

4

Di sini F12 diambil sama dengan 1, karena permukaan 1 itu cembung dan diliputi oleh permukaan 2 sehingga seluruh pancarannya diterima oleh lingkungan dan tidak ada yang diterima kembali oleh 1. Selisih energi yang dipertukarkan menjadi

:

q12=σ A 1 ( e1 T 14 −a 1 T 24 )

(IV.96)

e1 ialah nilai koefisien emisi permukaan 1 pada T1, a1 diperkirakan sama dengan nilai e untukpermukaan 1 pada T. A. Contoh: kehilangan panas karena radiasi dan konveksi bebas. SOAL Sebuah pipa terpasang secara mendatar dalam sebuah ruangan. Pipa itu dari luar diinsulasi dengan asbes sampai diameter insulasi itu 15 cm. Permukaan insulasi temperaturnya 37 ℃ (310 ° K ), sedang temperatur udara dalam ruangan dan dinding ruangan adalah 27oC (300oK). Perkirakan panas yang hilang karena radiasi dan konveksi bebas per satuan panjang pipa. Konveksi bebas pada pipa mendatar yang panjang mengikuti persamaan: 1

Nu

= 0,525 ( Gr . Pr ) 2

(IV.97)

PENYELESAIAN Umpamakan, bahwa permukaan insulasi adalah permukaan “1” dan dinding ruangan adalah permukaan “2”. Untuk sistem dari soal ini dapat dipakai persamaan (IV.96) :

q12=σ A 1 ( e1 T 14 −a 1 T 24 )

Keterangan yang dapat dikumpulkan ialah : σ =5,67.10−8 w ( m )−2 (° K )−4 POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

97


A 1=¿ dL = ,, . 0,15 .1 m2 e1 = 0,93 untuk 310 ° K a1 = e1 pada 300 ° K = 0,93 T1 = 310 ° K T2 = 300 ° K Jika nilai-nilai din atas dimasukan dalam persamaan (IV.96) diperoleh q'r=q '12=5,67.10−8 . v . 0,15. ( 0,93. 3104 −0,93. 3004 ) =28 watt .

:

Untuk konveksi bebas dapat dikumpulkan keterangan udara (dinilai pada temperatur lapisan udara sebesar 305 ° K sebagai berikut

:

−6

μ=17. 10 N . detik m−2 ρ=1,20 kg m−3 c´ p=1,03. 103 J ( kg )−1 ( ℃ )−1 k =0,025 W ( m)−1 ( ℃ )−1 β=

1 1 = ° K −1 T f 305

Keterangan lain yang diperlukan ialah d=0,15 m

:

∆ T =10 ° K g = 9,81 m detik-2 jika dimasukan ke dalam persamaan (IV.97) di dapat 1 2 3 hd ρ βg d ∆ T ć p μ 2 Nu= =0,525 . 2 k k μ

(

¿ 0,525

(

)

1,202 . 9,81 . 0,153 . 10 1,03 .103 . 0,025 305 . 17 .10−6 1 6 2

¿ 0,525 ( 3,79 .10 ) ¿ 23,2

k 0,025 −2 −1 h= Nu= .25,2=3,87 W ( m ) ( ° K ) d 0,15


:

98

)

1 2


hilangnya panas karena konveksi bebas per satuan panjang pipa adalah ' q k =h . A . ∆T =h . vd ∆ T

:

¿ 3,87 . v .0,15 . 10=18 watt .

Panas total yang hilang ialah : q' =q'r + q'k =28+18=46 watt . Perhatikan, bahwa panas yang hilang karena radiasi lebih besar cari pada yang disebabkan konveksi bebas. IV.8

 

RINGKASAN DAN SOAL-SOAL RINGKASAN FASAL IV,5 S/D IV,7.

Konduksi panas gtakmantap : - Lempeng setengah takterhingga - Lempeng dengan tebal terhingga Konveksi panas : -

Konveksi paksa

-

Konveksi bebas

-

Koefisien pindah panas

Radiasi : ' 4 4 q12= A 1 F 12 ( T 1 −T 2 ) σ

q'12=σ A 1 ( e1 T 14 −a 1 T 24 ) q=h ( T p−T f )

SOAL-SOAL 1 Dua buah lempeng dari bahan a dan b, masing-masing mempunyai temperatur merata Ta dan Tb.’ Kedua lempeng itu dihubungkan secara erat satu dengan yang lain. Buktikan, bahwa pada saat itu juga terjadi temperatur kontak Tc pada permukaan itu, yang mengikuti persamaan T a−T c ( kρC p )b = T c −T b ( kρC p )a

:

√

2

Dari persamaan (IV.61) turunkan persamaan untuk besarnya flukasi panas pada permukaan sebuah lempeng setengah tak terhingga pada waktu tertentu. k q y ¿ y=0 = ( T 1−T o ) Jawab : √ rσC

3

Melalui pipa datar yang tidak diinsulasi mengalir dari 50 ℃. Udara sekitar pipa temperaturnya 20 ℃. Tahanan panas melalui dinding pipa diabaikan.


99


Panas yang hilang karena konveksi bebas besarnya 100 w. Kemudian dialirkan . Berapa besarkah panas yang hilang sekarang? air dengan temperatur 80 ℃

Untuk soal ini berlaku

Nu=0,17 ( Gr . Pr )1/3

Untuk menghitung Gr. Gunakan

4

β=1/T f 1

Tf = ½ (Tpipa + Tudara). Semua sifat fisis dinilai pada Tf. Jawab : 0,24 kW. Pipa yang tidak diinsulasi, panjang 2 m dan diameter 10 cm, berada dalam udara dingin. Di dalam pipa ada uap yang mengembun. Untuk konveksi panas

ini berlaku Nu= 0,55

( Gr . Pr )1 /2 untuk 103 < 108. Jika

g.∆ ρ =3.10 6 , aμ

hitunglah perbandingan laju pengembunan bila pipa dipasang mendatar dan

5

tegak lurus. Jawab : datar : tegaklurus = 2, 1 : 1. Sebuah alat penukar panas terdiri dari dua pipa konsentri, keduanya sepanjang 2 m. Pipa yang dalam berdiameter-dalam 25 mm dan dilewati air dengan Re = 1500, yang pada waktu masuk mempunyai temperatur rata-rata 20 ℃. Di luar pipa ini mengembun uap air sedemikian hingga temperatur permukaan-luar . pipa merata 100 ℃

Abaikan tahanan panas dinding pipa. Hitunglah

temperatur air waktu keluar. . Jawab : 39,8 ℃ 6

Peluru timbal dibuat dengan meneteskan timbal

( ρ=11.340 kg m−3 ) melalui

. Berapa tinggi timbal itu harus di jatuhkan udara. Jika temperatur udara 20 ℃ supaya tetes yang berdiameter 2 mm tepat menjadi padat seluruhnya pada waktu sampai di bawah? Segera sesudah dilepaskan tetes-tetes itu mencapai kecepatan akhir yang tetap. Konduktivitas panas untuk timbal begitu tinggi sehingga temperatur tetes itu merata dan sama dengan titik leleh timbal (=327 ℃).

Panas peleburan timbal = 23,5 . 103 J kg-1. Gunakan persamaan yang berikut :


100


μ μ hd ρvd =2,0+ 1,3 0,15+0,66 0,50 0.33 untuk 1< Ra<104 k k μ k

( )

7

( ) ( )

Jawab : 14,8 m. Suatu cairan dalam sebuah bejana berbentuk silinder mendatar (d = 1m, L = 3m) yang diberi insulasi pada alasnya, diaduk dengan daya 4 kW. Dari bawah tegaklurus pad aporos bejana dihembuskan udara dengan kecepatan 9 m/detik. Bejana terisi penuh dengan air. Jika pada waktu t=0, T=T o=Tudara, bagaimanakah perubahan temperatur air dengan waktu. Gunakan persamaan yang berikut : μ μ hd ρ vd =0,42 0,20+0,57 0,50 0,33untuk 1< ℜ<104 . k k μ k

( )

Jawab 8

:

( ) ( )

T −T o=41,8 { 1−exp (−9,7. 10−6 t ) }

Sebuah batang yang panjang (diameter 11mm, koefisien emisi 0,8, temperatur permukaan 327 ℃) berada secara mendatar dalam udara yang tenang (temperatur 27 ℃). Hhitunglah berapa bagian dari laju pindah panas

9

disebabkan oleh konveksi bebas dan berapa bagian oleh radiasi. Jawab : Konveksi bebas 47% Radiasi 53% Jika antara dua lempeng, yang lebar dengan koefisien emisi yang sama, diletakan lempeng ketiga, maka laju pindah panas karena radiasi menjadi

separuh dari semula. Buktikan. 10 Sifat benda hitam dapat didekati dengan membuat lubang kecil dalam suatu rongga dengan permukaan yang kasar. Koefisien emisi lubang itu sendiri dapat ditentukan dengan rumus yang berikut e e lubang= e+ f (1−e) Jika

:

e

= Koefisien emisi permukaan rongga.

f

= Perbandingan luas lubang terhadap luas seluruh rongga.

Sebuah bola tipis berongga terbuat dari tembaga yang permukaannya sebelah dalam telah dioksidasi. Diameter bola 15 cm. Hitunglah berapa besar lubang yang harus dibuat pada permukaan bola itu untuk mencapai koefisien absorpsi sebesar 0,999. e = 0,57 untuk tembaga yang dioksidasi. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

101


Jawab :

jari-jari lubang = 5,5 mm.


102




Kalau dalam soal ini dilakukan hal yang sama seperti pada contoh ( IV.3.b ) maka didapat : T 1 −T 2=

r 1 q1 R2 ln k 12 R1

T 2 −T 3=

r 1 q1 R3 ln k 23 R2 Dan



T a−T 1=

q1 r 1 q 1 = h1 r 1 h1

T 3 −T b =

q3 r 1 q 1 = h3 r 3 h3

Penjumlahan persamaan ( IV. 47 ) s/d ( IV . 50 ) menghasilkan : q' =

T a−T b R R ln 2 ln 3 R1 R2 1 1 + + + r 1 h1 k 12 k 23 r 3 h 3 T (¿ ¿ a−T b ) Atau ' q =U 1 A1 ¿

d

konduksi panas bersama-sama dengan pembangkitan panas oleh arus listrik. Dalam penurunan persamaan energi tidak ditinjau pembangkitan panas lain daripada karena gesekan antara molekul. Sumber pembangkitan panas lain itu mungkin arus listrik, reaksi kimia atau reaksi inti. SOAL


103


Seutas kawat listrik mempunyai penampang linkaran dengan jari-jari R dan konduktivitas listrik arus sebesar I ampere

ke

−1

−1

(ohm) (cm)

(cm)−2 ,

. Kalau kawat ini dilewari

maka sebaian dari arus itu diubah menjadi

panas secara irreversible. Laju pembangkitan panas per satuan voum ialah : Re =

I2 ke

PENYELESAIAN

Persamaan energi ( IV . 21 ) harus ditambah dengan satu suku yaitu Re

. Penyesuaian dengan batas-batas sistem menghasilkan :

0=

k d dT (r )+ Re r dr dr

d (r

dT Re ) rdr dr k

T=

Integrasi dua kali menghasilkan :

Dengan syarat batas : 1). 2).

−Re 2 r +C 1 lnr +C 2 4k

r = 0 , T = tak hingga

r=R,T=

T0

( temperatur permukaan yang tetap )

2

2 R R r T −T 0 = e ( 1−( ) ) 4k R

Dari penyebaran temperatur ini dapat diturunkan besaran-besaran lain. 

Kenaikan temperatur tertinggi adalah pada r =0.


104


R R T maka−T 0 = e 4k 

2

Kenaikan temperatur rata-rata 2=R ∫ ‹ T ›−T 0=

∫ ( T(r) -

T0

) rdrdѲ

₀₀ 2=R ∫ ∫ rdrdѲ ₀₀ R e R2 ‹T ›−T 0= 8k



Laju pindah panas pada permukaan q' ⃒ =2 RL. q r ⃒ r =R

qr ⃒

r=R

r=R

di dapat dari integrasi dari persamaan (IV.52), penggunaan syarat batas

pertama dan memberi harga R pada r, sehingga diperoleh : R R qr ⃒ = e 2 r=R

q' ⃒ =−R2 L R e r =R

Contoh ini memberikan analogi dengan penyelesaian aliran dalam pipa. Bentuk matematiknya dan bacaannya sama, yang berbeda hanya perubahannya, sifat fisis dan besaran lainnya. Dengan ini ditunjukan adanya kemungkinan untuk menggunakan satu soal yang telah diketahui, sebagai penyelesaian soal lain, yang secara matematis sama, untuk itu hanya diperlukan mengganti perubahannya. 

Perhatikan daftar berikut :


Aliran

Arus

dalam

dalam kawat

105

listrik


pipa Integrasi

pertama

memberikan penyebaran Integrasi kedua memberikan penyebaran

Syarat batas pada r = 0 Syarat batas pada r = R Sifat fisis mengenai perpindahan

q rz

qr

vz

T −T 0

q rz =t erhingga

q r=terhingga

v z=0

T −T 0 =0

U (

K

P0−P L Suku tentang sumber

)/L

Anggapan

U = tetap

IV.4



Cara-cara panas berpindah ; - Konduksi : q = k v T T −T f - Konveksi : q = h ( p -



RINGKASAN DAN SOAL-SOAL RINGKASAN PASAL IV.1 s/d IV.3

Radiasi

)

4 :q=α T

Persamaan energi : Α Cv

DT ∂P =−( v . q )−T V ( v . v ) uv Dt ∂T


( )

106

Re K,

k e =tetap


Penggunaan persamaan energi dalam teknik kimia. Penyelesaian secara analogi. 1. Carilah bentuk-bentuk persamaan energi yang berlaku umum dalam pasal IV.2 dalam diktat ini ? Jawab :

ada tiga

2. Sebuah pipa logam yang diinsulasi, dilalui uap air yang teap tekanannya. T1

Temperatur pipa sebelah dalam adalah merata dan tetap

T2

temperatur insulasi bagian luar adalah merata dan tetap pada

. Sedang . Besarnya

temperatur ditempat lain tidak diketahui, cari temperatur penyebaran dalam dinding pipa dan lapisan insulasi. r 0 q0 R r0 q 0 R 2 Jawab : pipa, T 1−T ❑= k p ln R1 ,insulasi , T −T 2= k ¿ ln R 3. Dalam soal nomor 2, diketahui,

T 1 =110 ͠ ᵒC

dan

T 2 =40 ᵒC

.

a) Hitunglah temperatur permukaan antara pipa dan insulasi b) Hitunglah rugi-panas per meter pipa’ Keterangan : Diameter dalam pipa = 20,0 cm Diameter luar pipa = 23,0 cm Tebal insulasi = 11,5 cm −1 −1 ᵒC K logam = 25,0 W m −1

= 0.2 W m

K insulasi a. 109,9 ᵒC

Jawab :

−1

ᵒC

b. 126,7 W

4. Carilah penyebaran temperatur t(r) dalam suatu fluida taktermampatkan, yang mengalir berlapis dan mantap,dalam suatu pipa dengan jari-jari R. Temperatur dinding pipa tetap pada

T0

dan

T0

< T. Dan k fluida tidak berubah

dengan temperatur nyatakan jawaban anda dnegan menggunakan bilangan brinkman : 2 a. Br =uV z , maks /k (T maka−T 0) 4

b.

r 1−( ) R T −T 0 Br = ¿ T maka−T 0 4


107


5. Carilah penyebaran temperatur t(r) dalam suatu fluida taktermampatkan, yang R1

dan

T 1
,u

mengalir secara berlapis,dalam suatu saluran anulus dengan jari-jari R2

. Temperatur dinding anulus tetap pada

T1

T2

dan

(

dan k fluida tetap abaikan panas yang timbul karena gesekan, T 1 −T ln R1−lnr = Jawab T 1−T 2 ln R1 −ln R2 6. Hitunglah panas yang ditimbulkan per meter pipa, oleh gesekan molekular dalam sistem aliran soal nomor 4, jika fluidanya air,

T 0 =50 ᵒC −2

cm, air mengalir dengan selisih tekanan sebesar 100 N m

dan R = 5

per 1000 m pipa.

Bandingkan jawaban anda dengan besarnya rugi-panas pada soal nomor 3. Hitunglah bilangan Brinkman −4 Jawab : 2. 10

W, Br = 4

7. Jika udara di sekitar pipa uap air dalam soal nomor 3 mempunyai temperatur rata-rata sebesar 25ᵒC, hitunglah besarnya koefisien pindah panas h untuk permukaan insulasi. −1 0,058 W m

Jawab :

ᵒC−1

8. Hitunglah selisih temperatur rata-rata dan temperatur maksimun fluida dalam soal nomor 6 Jawab

T maks−T =0,53 ᵒC

9. Suatu cairan mengakir secara berlapis dalam sebuah pipa sepanjang L. Yang dari luar dipanasi oleh uap air. Aliran masuk pipa dengan temperatur yang merata

T1

, uap air memanaskan pipa secara merata, sehingga temperatur

dinding pipa sebelah dalam, di semua tempat dan pada setiap saat, adalah T ' , T ' >T 2 . Perubahan temperatur ke arah z ( = sepanjang pipa ) di anggap linear. Tekanan aliran sewaktu masuk pipa = PL

P0

. Dan sewaktu keluar =

.

Kalau keadaan mantap, carilah penyebaran temperatur dalam aliran itu pada waktu meninggalkan pipa. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

108


r 2R ¿ ¿ r 2R ¿ ¿ kz

Jawab :

+¿ R2 v z .m T −T 1 16 = ¿ ' T −T 1 3 10. Dengan menggunakan hasil perhitungan soal nomor 8, hitunglah besarnya koefisien pindah panas kepada permukaan pipa sebelah dalam dari soal nomor 6. Jawab :

IV.5

−4 5,4 . 10

−1 W m

ᵒC−1

KONDUKSI PANAS SECARA TAKMANTAP Dalam teknik dijumpai beberapa operasi dan masalah yang menyangkut

konduksi panas secara takmantap. Di sini hanya akan dibahas dua contoh yang sederhana. Dengan bekal pengetahuan ini kiranya tidak sukar untuk mempelajari soal ini secara lebih mendalam dan lebih luas. Dalam kedua buku yang dianjurkan atau buku-buku lazim. a

pemanasan lempeng yang stengah takterhingga.

SOAL Sebuah lempeng padatan yang terletak antara y = 0 dan v = takhhingga, mula-mula mempunyai temperatur merata

T0

. Pada waktu t = 0 permukaan

pada y = 0 mendadak melonjak temperaturnya menjadi

T1

dan bertahan

ANALISA pada temperatur itu untuk seterusnya ( t > 0 ). Carilah fungsi penyebaran temperatur yang bergantung pada waktu T ( y , t ).


109


Fungsi penyebaran temperatur bergantung pada dua perubahan y dan t. Karena itu penyelesaian persamaan diferensialnya akan lebih sukar dari yang jika hanya ada satu perubahan. Skema sistem adalah seperti pada gambar di bawah ini. Sistem koordinat dipilih sistem tegak lurus. Batas-batas sistem adalah sebagai berikut ; -

tidak ada aliran, V = 0 ∂P tidak ada tekanan, ∂T =0

-

densiti tetap

RENCANA

Dalam cara penyelesaian akan diperkenalkan cara penggunaan perubah tanpa dimensi. Persamaan energi harus disesuaikan dengan batas-batas sistem, seperti dilakukan dengan persamaan gerak. Persamaan gerak tidak perlu di analisa. Karena persamaan energi sudah memuat V, rencana penyelesaian adalah sebagai berikut : I II III IV

Sesuaikan persaman energi pada batas-batas sistem. Tetapkan syarat-batas. Dengan menggunakan perubah tanpa dimensi, susun persamaan diferensial baru dan syarat-batas baru. Integrasikan dan selesaikan persamaan yang baru.

PENYELESAIAN


110


Dengan memasukan batas-batas sistem ke dalam persamaan energi diperoleh persamaan diferensial parsial berikut ; ∂T 2 o =k v T ∂t Dalam penyelesaian persamaan-persamaan diferensial parsial sering digunakan penggantian perubah menjadi perubah tanpa dimensi, agar bentuk persamaan itu menjadi sederhana. Disini akan dipakai :

Untuk

memasukan

α=

k o

ɵ=

T −T 0 T 1 −T 0

perubah-perubah

baru

kedalam

sebelumnya, diperlukan persamaan-persamaan pengubah, yakni ; ∂ ɵ=

∂T T 1−T 0

∂T ∂ɵ =(T 1−T 0) ∂t ∂t

72 T menjadi

2

∂ T ∂ y2

∂T ∂ɵ =( T 1−T 0 ) ∂y ∂y ∂2 T ∂2 ɵ =(T −T ) 1 0 ∂ y2 ∂ y2 Persamaan tersebut di subtitusikan ke dalam persaman diatas. Dengan demikain persamaan berubah menjadi :



Syarat-syarat batas untuk sistem ini adalah ;


111

∂ɵ ∂2 ɵ =α ∂t ∂ y2

persamaan


-

syarat awal : pada t = 0, ɵ = 0, untuk semua y syarat batas 1 : pada y = 0, ɵ = 1, untuk semua t > 0 syarat batas 2 : pada y = takhingga. ɵ = 1, untuk semua t > 0 Persamaan-persamaan diferensial yang mengandung dua perubah bebas

dapat diselesaikan menurut salah satu dari dua cara, yaitu :

- penyatuan

perubah, atau - pemisahan perubah Contoh ini akan diselesaikan dengan cara PENYATUAN MEMISAH, yaitu y dan t disatukan menjadi perubah baru, yang dianggap satu fungsi. Supaya persamaan diatas dapat diubah dengan mudah menjadi persamaan dalam t dan ɵ, maka harus persamaan-persamaan pengubah. ɵ= y / √ 4 αt −1

−1

1 dɵ=(4 αt ) 2 dy − y (4 α ) 2 . t 3 /2 dt 2

|dɵdt |

=

| |

=( 4 αt ) 2 =

y=tetap

dɵ dy

−y −ɵ = 2 t √ 4 αt 2 t −1

y=tetap

ɵ y

∂ ɸ ' ∂ ɵ ∂ t −2 tɵ ɸ =ɵ = = ∂n ∂t ∂n nɵt ∂ ɸ −n ' = ɵ ∂t 2t 2

2

2

2

2

∂ t ∂ ɵ ∂y y ∂ ɵ =ɵ' ' = 2 = 2 2 2 2 ∂n ∂ y ∂n n ∂ y ∂ 2 ɵ n2 ' ' = 2ɵ 2 ∂y y


112


dɵ dɸ n ' = = ɵ dt dt 2t ∂2 ɵ ∂2 ɸ n2 '' = 2= 2 ɵ 2 ∂y ∂y y Perubahan persamaan dengan pengubah diatas didapatkan persamaan; ɵ' ' +2 nɸ=0 Syarat batas yang baru dibentuk dengan memasukan syarat awal ke dalam syarat batas kedua : Syarat batas 1 : pada n = 0, ɸ = 1 Syarat batas 2 : pada n = tak hingga, ɸ = 0 ' '' ' ɵ =ɸ ɵ =ɸ Kalau digunakan : “dan “ Dan di subtitusikan dengan persamaan sebelumnya,akan diperoleh persamaan diferensial orde kesatu. '

ɵ +2 nɸ=0 Yang sesudah integrasi memberikan penyelesaian : ' −n ɸ = ɵ =C1 e 2

integrasi kedua memberikan penyelesaian ; n

2

e−n dr +C 2 ɸ = C1∫ 0 penggunaan kedua syarat batas memberikan : n

∫ e−n

2

n T −T 0 2 =ɸ=1− 0͂ −n =1− ∫ e−n dn T 1−T 0 √ɸ 0 ∫e 2

2

0

Karena ɵ = ɸ

=

T −T 0 T 1−T 0

Suku kedua dalam ruas kanan persamaan diatas di sebut fungsi kesalahan (error function) disingkat erf n.Seluruh ruas kanan, jadi 1- erf n,disebut komplemen fungsi kesalahan (complementary error function), POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

113


disingkat erfc n. Fungsi kesalahan adalah fungsi kontinu yang nilainya berubah dari 0 sampai 1 fungsi ini sering di pakai dan nilainya untuk berbagai nilai n sudah dimasukan daftar yang dimuat dalam beberapa buku, sehingga dapat dihitung dengan mudah. b Pemanasan lempang dengan tebal terhingga SOAL Sebuah lempeng padat yang terletak antara y = -b dan y = +b, mulamula mempunyaitemperatur merata

T0

. Pada waktu t = 0 kedua permukaan

pada y = -b dan y = +b mendadak melonjak temperaturnya men jadi

T1

dan

PENYELESAIAN bertahan pada temperatur itu untuk seterusnya, carilah fungsi penyelesaian temperatur T (y,t).

Karena sama dengan soal IV.5a. ANALISA dan RENCANA ditiadakan. Lagi pula PENYELESAIAN dibuat singkat. Harap uraian ini diikuti dengan menghitung sendiri bagian-bagian dilampaui. Batas-batas sistem pada contoh soal IV.5a berlaku juga disini, dengan menggunakan perubah-perubah tanpa dimensi yang berikut: ɵ=

T −T 0 T 1 −T 0

, temperatur tanpa dimensi

n=

y b

, jarak tanpa dimensi

2t b2

, waktu tanpa dimensi

t=

Diperoleh persamaan diferensial yang sederhana bentuknya :


114


2

∂ɵ ∂ ɵ = ∂T ∂ n2 Syarat awal, pada t = 0, ɵ = 1 Syarat batas 1&2 pada n = ± 1, ɵ = 0 Persamaan diatas diselesaikan

dengan

cara

PEMISAHAN

PERUBAHAN. Untuk pemisahan itu DI ANGGAP, bahwa fungsi yang di cari merupakan HASIL PERKALIAN FUNGSI sebagai berikut : ɵ ( n , T ) = f (n) . g ( T ) Dengan menggunakan persamaan diatas, persamaan sebeumnya diubah menjadi : 2

1 dg 1 d f = g dT f d n 2 Untuk persamaan diatas dipersilahkan menambahkan dan membaca buku Bird dkk. Penyelesaiannya berbentuk deret takterhingga, yaitu : 2

T 1 −T (−1)n −(n+ 12 ) π =2 I e T 1−T 0 n 0 1 ( n+ )π 2

2

αt /b2

1 πy cos( n+ ) 2 b

Deret ini juga disajikan dalam bentuk nomogram, selain untuk lempeng juga untuk silinder,bola dll. Nomogram-nomogram itu antara lain dimuat dalam kedua buku yang berikut :

-

W.H. McAdams, Heat Tranmission,

McGraw-Hill.1954 -

H.S Carslaw & J . C Jaeger. Conuuction of Heat in solids. Oxford University Press. 1959.

IV.6

PERPINDAHAN PANAS SECARA KONVEKSI Pada pembatasan permuakaan padat dan fluida, panas yang dipindahkan

secara KONVEKSI. Dalam fasal IV.3 hal ini sudah disinggung. Dalam menyusun syarat batas pada pertemua permukaan padat dan fluida akan dijumpai salah satu atau lebih dari padat dan fluida akan dijumpai salah satu atau lebih dari hal-hal di bawah ini. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

115


I

Temperatur permukaan itu diketahui tetap, misalnya T =

T0

.

II

Fluksi panas pada permukaan itu diketahui, misalnya q =

q0

.

III

Fluksi panas pada permukaan padat dan fluida, mengikuti persamaan : T −T fluida ¿ q = n ( padat

IV

Fluksi panas dan temperatur pada pertemuan dua permukaan padat diketahui. Dalam fasal ini akan di bahas hal ke III saja; perpindahan panas secara

konveksi. Dalam konveksi panas dikenal dua cara perpindahan yang merupakan kedua batas perpindahan secara konveksi yaitu:  

Konveksi paksa, dan Konveksi bebas atau alamiah.

Dalam konveksi paksa sudah tentu konveksi bebas mungkin terjadi juga, akan tetapi pengaruhnya dapat di abaikan terhadap pengaruh konveksi paksa. Pada halaman berikut ini kedua cara itu di bandingkan. Konveksi paksa Panas dipindahkan

karena

Konveksi bebas Panas dibawa serta oleh fluida

yang

yang bergerak ke atas karena

dialirkan oleh satu alat Sifat aliran ditentukan oleh satu

pembacaan temperatur. Sifat aliran ditentukan oleh gaya

alat.

apung

Penyebaran

desinti. Penyebaran

dibawa

oleh

massa

kecepatan

dicari

fluida

yang kecepatan

berbeda dan

lebih dulu, kemudian baru dicari

temperatur saling berhubungan.

penyebaran temperatur. Bilangan nusselt bergantung

Bilangan nusselt bergantung pada

pada bilangan Reynolds dan

bilangan Grashof dan bilangan

bilangan Prandtl.

Prandtl.

A. konveksi paksa. Sebagai contoh akan dibahas perpindahan panas secara konveksi paksa dalam KEADAAN MANTAP dari suatu fluida dalam pipa. Suatu fluida dengan sifat-sifat fisis yang tetap mengalir secara berlapis dalam pipa dengan jari-jari


116


R. Pada daerah z < 0, temperatur fluida itu merata

T0

. Dalam daerah z > 0

sampai z = L pada permukaan dinding pipa masuk fluksi panas yang tetap q1

. Karena mendapat pemanasan tetap sepanjang L. Bagaimanakah

penyebaran temperatur dalam fluida sepanjang L itu ?. Lebih dahulu dicari penyebaran kecepetan. Hal itu dapat diperoleh dengan mudah dengan menggunakan persamaan gerak. Hasilnya ialah : r R ¿ 1−(¿ ¿2 ) 2 ( P0−P L ) R v z= ¿ 4 πL r R ¿ 1−(¿ ¿ 2 ) v z=v zmaks ¿

Atau

Dalam menerapkan persamaan energi harus diingat, bahwa panas selain berpindah secara berpindah secara RADIAL ( AKSIAL (

qz ¿

qr¿

juga berpindah secara

sehingga belaku kedua komponen hukum Acurier.

q r=−k

∂T ∂r

q z=−k

∂T ∂z

Persamaan diferensial yang diperoleh ialah : ∂q ∂T −1 ∂ = r qr)= z ( ∂z r ∂r ∂z


117


Dengan pertolongan persamaan (II.24),(IV.66) dan (IV.67) maka persamaan (IV.68) diubah menjadi ;

r q ¿ ∂T 1 ∂ ∂ T ∂2 T 1−( ¿¿ 2 ) =k ( r + ) ∂z r ∂ r ∂ r ∂ z2 αC p v m ¿

( )

v m =v z .maks Pengaruh konduksi ke arah z biasana kecil jika di bandingkan dengan 2

∂T konveksi ke z. Kerena itu ∂ z 2

dapat di abaikan terharap

∂T ∂ r . ( ingat

bahwa hal ini tidak selalu dapat dilakukan). Hal ini sebenarnya sama dengan menganggap bahwa perubahan temperatur ke-z liniar. T(z)=αz + f. Maka diperoleh; r q ¿ ∂T k ∂ ∂T 1−( ¿¿ 2 ) = r ∂ z r ∂r ∂r αC p v m ¿

( )

 

Syarat batas 1. Pada r = 0, T= takhingga ∂T k =q 1=tetap Syarat batas 2. Pada r = R, ∂r



Syarat batas 3. Pada z = 0, T =

T0

Dengan menggunakan perubah-perubah tak berdimensi yang berikut. Persamaan (IV.70) diubah menjadi persamaan (IV.71). T −T 0 ɵ= R q1 K ɵ=

r R ɵ=

(1 -

ε

2

)

∂θ ∂ϵ


zk αC p v m R 2 =

1 ∂ εθ =( ε ) ε ∂ε ∂ε

118





ε

θ=terhingga




ε =1 .

∂θ =1 - ∂ε




ε =0 .

θ=0

= 0.

Syarat batas 3 sepintas memang layak dipakai, akan tetapi kalau ditinjau lebih dalam tidak akan dapat dipenuhi seluruhnya. Pada z = 0 dan r < R memang T = T 0, akan tetapi pada z = 0 dan r = R, −k

ada fluksi panas yang tetap q =

θΤ θr

. jadi ada gradien temperatur atau

ada perubahan temperatur, memang hal ini adalah keadaan batas, namun dengan demikian syarat batas 3 tidak dapat dipenuhi seluruhnya. 

Sebagai penggantinya diambil syarat 3 berdasarkan neraca panas : Panas yang masuk melalui dinding pipa = selisih panas dalam fluida antara z = 0 dan z = 1. Atau 2x R

-2 –Rzq1 =

∫∫ o ć o o

p

(T-To) vz rdrd θ

atau dalam perubahan tanpa dimensi : 2

θ ( ε , θ ) ( 1−ε 2 ) εdε syarat batas 3’ : −ε=∫ o persamaan (IV. 71) akan diselesaikan dengan cara pemisahan perubahan dan dianggap bahwa θ merupakan jumlah dua fungsi : θ=¿ c ε +(ε ) o

(IV. 72)

Penggunaan persamaan (VI.72) mengubah persamaan (VI.71) menjadi : 1 d d ε =c o (1−ε 2 ) ε dε dε

( )

Integrasi dua kali dan penggunaan syarat batas 1, 2 dan 3’ menghasilkan :


119

(VI.73)


θ=−4 ε –

ε

2

+

1 4

ε

4

+

7 24 (IV.74)

Dari persamaan (IV.74) dapat dihitung T dan juga dapat diturunkan besaranbesaran lain. Dalam aliran fluida, dengan

ρ

tetap, ada dua pengertian temperatur

rata-rata, yaitu : 2x R

∫∫ T ( r ) rdr dθ =

o

o 2x R

∫∫ rdr dθ o o

2x R

∫∫ v z ( r ) T ( r ) rdr dθ =

o

o 2x R

=T b

∫∫ v z ( r ) rdr dθ o o

Baik maupun Tb merupakan fungsi z. Tb disebut BULX TEMPERATURE, dan kadang-kadang juga CUP-MIXING TEMPERATURE atau FLOW-AVERAGE TEMPERATURE. b. konveksi bebas dalam contoh ini, suatu fluida berada antara dua permukaan tgak, yang berjarak 2b. Dinding pada y = -b temperaturenya din pertahankan pada T1 dan temperature dinding pada y = +b dipertahankan pada T2. Fluida mula-mula diam, akan tetapi karena ada gradien temperatur fluida dekat dindning panas naik dan fluida dekat dinding dingin turun. Dianggap, bahwa laju alir volum fluida ke atas sama dengan laju alir volum ke bawah. Kemudian dianggap pula bahwa, bagian dinding yang ditinjau terletak jauh dari tempat tepinya, sehingga temperatur dapat dianggap merupakan fungsi y saja. Untuk k yang tetap penerapan persamaan energi memberikan : d2 T k 2 =0 dy (IV.75)  

syarat batas 1. Pada syarat batas 2. Pada

y = -b, T = T1 y = +b, T = T2


120


dan diperoleh penyelesaian yang berikut : 1 v T =T m− Δ T ( ) 2 b

(IV.76)

Penyebaran kecepatan dapat diperoleh dengan membuat neraca momentum, yang menghasilkan : d 2 v z dp ρ = +ρ g dyz dz Fungsi perubahan

ρ

(IV.77)

Viskositas dianggap tetap. dicari dengan menggunakan

ρ

dalam deret taylor

´ sekitar suatu temperatur bandingan T , yang untuk sementara belum ditentukan :

ρ= ρ¿ T´

∂ρ ¿ ∂T T´

+

β´

= ´ρ− ´ρ

´ ( Τ - T ) +........

´ g( Τ - T )

+........

(IV.78) ´ρ

adalah density pada

T´

dan

β´

adalah koefisien pemuaian volume

T´ .

Dalam deret taylor di atas suku ketiga dst. Diabaikan. Jika persamaan (IV.78) disubstitusikan ke dalam persamaan (IV.77), diperoleh : 2 d vy z dp μ = + ´ρ β´ g 2 dz dy

´ρ ´β g ( Τ - T´ ) (IV.79)


121


Kalau dianggap, bahwa gradien tekanan itu hanya disebabkan oleh berat fluida di antara dua dinding itu.

dp =−´ρ g dz

Maka :

Dan persamaan (IV.79) berubah menjadi

:

2

μ

d vz dy

2

=-

´ρ ´β g ( Τ - T´ )

(IV.80)

Yang berarti, bahwa gaya gesekan molekul tepat diimbangi oleh gaya apung. Persamaan (IV.80) dan menghasilkan: d2 v z μ 2 dy

=-

´ρ ´β

y ´ −ΔT ( ) g {( T m−T ) p } (IV.81)

Dengan menggunakan kedua syarat batas :  Syarat batas 1 : pada y = -b, vz = 0  Syarat batas 2 : pada y = +b, vz = 0 Persamaan (IV.81) dapat diselesaikan menjadi v z=

Dalam mana :

n=

:

´ρ ´β gb2 ΔΤ 3 { n −An2−n+A } 12μ

(IV.82)

y p

T m− T´ Ϭ A= ∆T T´ atau A dapat dicari, kalau digunakan anggapan, bahwa laju alir volum ke atas sama dengan ke bawah, atau laju alir volum total ke arah z sama dengan nol. +1 ʃ vz dn =0 (IV.83) -1 Kalau persamaan (IV.82) disubstitusikan ke dalam persamaan (IV.83) dan −2 A+ 4 A=0 3

dilakukan integrasinya, maka didapat: ´ Yang menghasilkan A=0 atau T POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

=

Tm

. 122


Akhirnya penyebaran kecepatan vz menjadi : ´ρ ´β gb2 ΔΤ 3 ( n −n ) v z= 12μ

(IV.84)

Persamaan (IV.84) dapat juga dinyatakan dalam perubah dan bilangan tanpa dimensi : b v z ρ´ a = , kecepatan tanpa dimensi μ n = Gr =

Sehingga menjadi

:

y b

,

jarak tanpa dimensi

´ρ2 β´ g b 3 ∆T , μ2

n 1 = Gr ¿ 3- n) 12

bilangan grashof

(IV.85)

c. Persamaan empiris Koefisien pindah pans permukaan h merupakan sifat kemmampuan memindahkan panas untuk tempat pertemuan suatu permukaan dan fluida, yang selain dipengaruhi oleh sifat-sifat permukaan dan fluida, juga masih bergantung pada aliran dan temperatur. Karena banyaknya faktor yang berpengaruh, tidak ada jalan lain untuk memperoleh nilai h dari pada melakukan percobaan untuk menentukannya. Banayakm sekali percobaan yang telah dilakukan berbagai peneliti dengan tujuan memeperolah persamaan empiris yang dapat dipakai untuk memperkirakan nilai h dalam masalah yang serupa, misalnya untuk keperluan perancangan alat. Dialakukannya percobaan-percobaan itu juga di dorong oleh pentingnya diketahui nilai h yang dapat diandalkan, untuk keperluan perhitungan perpindahan panas. Hasil penelitian berbagai orang sudah banyak yang disatukan dalam persamaan yang telah diterima dan dipakai banyak orang. Persamaan-persamaan itu biasanya berlaku dalam batas-batas aliaran tertentu atau untuk keadaan tertentu. Persamaan dinyatakan dalam bilangan Nusselt sebagai fungsi dari bilangan Prandantl dan satu bilangan tanpa dimensi yang khusu berhubungan dengan sifat aliran : bilangan Reynold untuk konveksi paksa, dan bilangan Grashof untuk konveksi bebas. Di bawah inni diberikan ringkasan beberapa bilangan-bilangan tanpa dimensi dan beberapa contoh persamaan empiris. Dalam menggunakan persamaan empiris perlu di ingat, bahwa persamaan itu adalah hasil percobaan dan karena itu akan memuat kesalahan-kesalahan percobaan itu. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

123


Bilangan Nusselt Bilangan Prandtl

= Nu =

hd k

= Pr =

C´ p k

ρvd ∆ G = μ rμd

Bilangan Reynolds = Re = Bilangan Grashof

μ

= Gr =

ρ2 gb3 ∆ T ρ gb3 ∆ T = μ2 μ2 untuk aliran berlapis dalam pipa berlaku Nu μb

= 1.86

:

(

d ℜ. Pr . L

1 /3

μb μw

0.14

)( )

dihitung untuk temperatur rata-rata fluida

(IV.86) Tb

untuk temperatur dinding. jika tidak banyak perbedaan anatara μb / μw

μw

dan μb

dan

dihitung μw

, faktor

boleh dihilangkan.

Untuk aliran yang sangat bergolak (Re > 20.000) : 0.14 0,8 1/ 3 μ b ℜ ( Pr ) ( ) Nu = 1.86 μw

( )

(IV.87)

Sering juga persamaan empiris itu disajikan dalam bentuk grafik. Dalam perhitungan perpindahan panas secara konveksi untuk pipa, dengan menggunakan hukum pendinginan Newton : q' =hA ( T permukaan−T fluida ) Orang menghadapi beberapa pillihan dalam menentukan ∆T

∆T .

Karena

itu berubah sepanjang pipa (lihat persamaan (IV.74)). Definisi untuk h dengan

demikian bergantung pada pemilihan

∆ T . Di bawah ini disebut beberapa definisi

untuk h.


124


Dalam teknik kimia dipakai

h1 n

karena nilainya makin tetap. Bila

makin panjang. Juga koefisien pindan panas keseluruhan

U1n

L d

yang dipakai dalam

teknik kimia, sehingga persamaan perpindahan panas untuk teknik kimia adalah : q' =U 1 n A ( ∆ T )1 n

(IV.88)

Atau biasanya diakai : '

q =UA ( LMTD ) Dalam mana LMTD = logarithmic mean temperature difference. IV. RADIASI ,, Berbeda dari konduksi dan konveksi, dalam radiasi energi berpindah tanpa memerlukan zat pengantar. Radiasi adalah pancaran energi secara gelombang elektromaknit dengan kecepatan cahaya. Daerah panjang gelombang yang dapat disebut radiasi panas terutama terletak antara 0,1-10 mikron. Daerah ini hanya sebagian kecil dari keseluruhan radiasi elektromaknit. Kalau λ adalah panjang gelombang dan c kecepatan cahaya dan v frekuensi., maka berlaku hubungan

: λ=

c v

(IV.89) c = 2,9979. 1010 cm/detik POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

125


suatu gelomabang elektromaknit dengan frekuensi v biasanya digambarkan sebagai gerakan foton, yaitu “benda” dengan massa nol, muatan nol dan energi sebesar c, dengan hubungan : c = hv h = tetapan planck = 6,624.10-27 erg. Detik.

(IV.90)

Energi foton itu dapat dipancarkan (emisi). Dapat diserap (absorpsi) oleh suatu permukaan dan dapat juga dipantulkan (refleksi). Dalam radiasi panas dikenal beberapa benda bandingan. Suatu benda atau permukaan yang terkena radiasi panas, biasanya hanya sebagian dari energi yang sampai, dengan

hubungan : a c A = qm : av =

Keterangan : q ( a) =energi yang diserap .

qv qv

( a)

(IV.91)

( m)

a = KOEFISIEN ABSORT

q (m )=energi yang masuk .

Untuk benda-benda nyata av tidak sama untuk berbaai frekuensi. BENDA KELABU (gray body) ialah benda hipocetis yang mempunyai a v yang sama, tetapi lebih kecil dari 1, untuk semua frekuensi dan semua temperatur. BENDA HITAM (black body) ialah benda hipotetis yang mempunyai a v frekuensi dan temperatur. Semua permukaan padat selain menyerap

= 1 untuk semua

juga memancarkan panas. Jika

dibandingkan dengan pancaran benda hitam, bagian yang dipancarkan oleh suatu permukaan disebut KOEFISIEN EMISI e : ( e) qv q (e ) : e = qb( e ) ev = qbv (e ) jika

q (e ) qb

(e )

(IV.92)

= energi yang dipancarkan benda biasa. = energi yang dipancarkan benda hitam.

Perpindahan panas secara radiasi untuk benda hitam telah dirumuskan dalam HUKUM STEFAN-BOLTZMAN sebagai berikut : (e ) 4 q = σΤ (IV.93) POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

126


Dalam mana

−8

σ =tetapan Stefan−Boltzman=5,67.10

Untuk benda tak-hitam energi yang dipancarkan ialah q (e ) = eσ Τ 4

,,,/(m2)(oK4). :

(IV.94) Hukum stefan-boltzman menyatakan ENERGI TOTAL yang dipancarkan oleh suatu benda dari seluruh permukaannya ke semua arah. Untuk teknik yang penting ialah energi yang DIPERTUKARKAN antara dua benda atau dua permukaan. Karena sering sekali tidak semua permukaan suatu benda menghadap ke benda yang lain, maka dari pancaran total benda pertama hanya sebagian sampai pada benda kedua. Benda kedua menyerap sebagian dari energi yang sampai padanya dan bagian yang lain dipancarkan kembali ke benda pertama. Pancaran benda kedua itu sebagian di serap oleh benda pertama dan sebagian dipancarkan kembali, begitu seterusnya. Pertukaran energin antara dua benda hitam dinyatakan oleh persamaan yang berikut: q12= A 1 F 12 σ ( T 14−T 24 ) = A2 F21 σ ( T 14−T 24 )

(IV.95)

Keterangan : q12 = Energi yang dipertukarkan antara benda hitam 1 dan 2. A1 = Luas permukaan total benda 1. A2 = Luas permukaan total benda 2. F12 = Bagian dari radiasi A1 yang sampai pada A2, F21 = Bagian dari radiasi A2 yang sampai pada A2, F12 dan F21 disebut faktor penglihatan (view factors). A1 F12 =

A2 F21

Menghitung F sangat sukar. Untuk beberapa hubungan geometri dalam buku W.H. McAdams, Heat Transmission, McGraw-Hill, 1954, terdapt nomogramnomogram untuk F. Jika nilai F diketahui, perhitungan pertukaran radiasi panas tidaklah sukar. Untuk dua benda tak-hitam pertukaran radiasi panasnya dapat dihitung seperti di bawah ini. Perhitungan semacam ini hanya mungkin dilakukan untuk benda kecil yang CEMBUNG permukaannya (benda 1, temperatur T1), yang SELUPUHNYA DILINGKUNGI oleh permukaan lingkungan pada T2. Laju energi yang di pancarkan oleh benda 1 :

q12=e1 A 1 σ T 14

Laju energi yang diserap oleh permukaan 1 dari lingkungan 4 q12=a1 A 1 σ T 1 POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

127


Di sini F12 diambil sama dengan 1, karena permukaan 1 itu cembung dan diliputi oleh permukaan 2 sehingga seluruh pancarannya diterima oleh lingkungan dan tidak ada yang diterima kembali oleh 1. Selisih energi yang dipertukarkan menjadi : q12=σ A 1 ( e1 T 14 −a 1 T 24 )

(IV.96)

e1 ialah nilai koefisien emisi permukaan 1 pada T1, a1 diperkirakan sama dengan nilai e untukpermukaan 1 pada T. a Contoh: kehilangan panas karena radiasi dan konveksi bebas. SOAL Sebuah pipa terpasang secara mendatar dalam sebuah ruangan. Pipa itu dari luar diinsulasi dengan asbes sampai diameter insulasi itu 15 cm. Permukaan insulasi temperaturnya 37 ℃ (310 ° K ), sedang temperatur udara dalam ruangan dan dinding ruangan adalah 27 oC (300oK). Perkirakan panas yang hilang karena radiasi dan konveksi bebas per satuan panjang pipa. Konveksi bebas pada pipa mendatar yang panjang mengikuti persamaan

:

1

Nu

= 0,525 ( Gr . Pr ) 2

(IV.97)

PENYELESAIAN Umpamakan, bahwa permukaan insulasi adalah permukaan “1” dan dinding ruangan adalah permukaan “2”. Untuk sistem dari soal ini dapat dipakai persamaan (IV.96) :

q12=σ A 1 ( e1 T 14 −a 1 T 24 )

Keterangan yang dapat dikumpulkan ialah

σ =5,67.10−8 w ( m )−2 (° K )−4

:

A 1=¿

dL = ,, . 0,15 .1 m2

e1 = 0,93 untuk 310 ° K a = e pada 300 ° K = 0,93 1

1

T1 = 310 ° K T = 300 ° K 2

Jika nilai-nilai din atas dimasukan dalam persamaan (IV.96) diperoleh POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

128

:


q'r=q '12=5,67.10−8 . v . 0,15. ( 0,93. 3104 −0,93. 3004 ) =28 watt . Untuk konveksi bebas dapat dikumpulkan keterangan udara (dinilai pada temperatur lapisan udara sebesar 305 ° K sebagai berikut : −6

−2

μ=17. 10 N . detik m −3

ρ=1,20 kg m

3

−1

−1

c´ p=1,03. 10 J ( kg ) ( ℃ ) −1

−1

k =0,025 W ( m) ( ℃ ) β=

1 1 −1 = °K T f 305 d=0,15 m

Keterangan lain yang diperlukan ialah :

∆ T =10 ° K g

= 9,81 m detik-2

jika dimasukan ke dalam persamaan (IV.97) di dapat : 1 hd ρ2 βg d3 ∆ T ć p μ 2 Nu= =0,525 . 2 k k μ

(

)

1,202 . 9,81 . 0,153 . 10 1,03 .103 ¿ 0,525 . 0,025 305 . 17 .10−6

(

)

1 2

1 6 2

¿ 0,525 ( 3,79 .10 ) ¿ 23,2

k 0,025 h= Nu= .25,2=3,87 W ( m )−2 ( ° K )−1 d 0,15 hilangnya panas karena konveksi bebas per satuan panjang pipa adalah : q'k =h . A . ∆T =h . vd ∆ T ¿ 3,87 . v .0,15 . 10=18 watt .

Panas total yang hilang ialah : '

'

'

q =qr + qk =28+18=46 watt . POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

129


Perhatikan, bahwa panas yang hilang karena radiasi lebih besar cari pada yang disebabkan konveksi bebas.

IV.8 1 2

RINGKASAN DAN SOAL-SOAL RINGKASAN FASAL IV,5 S/D IV,7. Konduksi panas tak mantap : - Lempeng setengah takterhingga - Lempeng dengan tebal terhingga Konveksi panas : -

Konveksi paksa

-

Konveksi bebas

-

Koefisien pindah panas

Radiasi : ' 4 4 q12= A 1 F 12 ( T 1 −T 2 ) σ

q'12=σ A 1 ( e1 T 14 −a 1 T 24 ) q=h ( T p−T f )

SOAL-SOAL 11. Dua buah lempeng dari bahan a dan b, masing-masing mempunyai temperatur merata Ta dan Tb.’ Kedua lempeng itu dihubungkan secara erat satu dengan yang lain. Buktikan, bahwa pada saat itu juga terjadi temperatur kontak Tc pada permukaan itu, yang mengikuti persamaan : T a−T c ( kρC p )b = T c −T b ( kρC p )a

√

12. Dari persamaan (IV.61) turunkan persamaan untuk besarnya flukasi panas pada permukaan sebuah lempeng setengah tak terhingga pada waktu tertentu. k q y ¿ y=0 = ( T 1−T o ) Jawab : √ rσC 13. Melalui pipa datar yang tidak diinsulasi mengalir dari 50 ℃. Udara sekitar pipa temperaturnya 20 ℃. Tahanan panas melalui dinding pipa diabaikan.


130


Panas yang hilang karena konveksi bebas besarnya 100 w. Kemudian dialirkan . Berapa besarkah panas yang hilang sekarang? air dengan temperatur 80 ℃

Nu=0,17 ( Gr . Pr )1/3

Untuk soal ini berlaku

Untuk menghitung Gr. Gunakan

β=1/T f 1

Tf = ½ (Tpipa + Tudara). Semua sifat fisis dinilai pada Tf. Jawab : 0,24 kW. 14. Pipa yang tidak diinsulasi, panjang 2 m dan diameter 10 cm, berada dalam udara dingin. Di dalam pipa ada uap yang mengembun. Untuk konveksi panas

( Gr . Pr )1 /2 untuk 103 < 108. Jika

ini berlaku Nu= 0,55

g.∆ ρ =3.10 6 , aμ

hitunglah perbandingan laju pengembunan bila pipa dipasang mendatar dan tegak lurus. Jawab : datar : tegak lurus = 2, 1 : 1. 15. Sebuah alat penukar panas terdiri dari dua pipa konsentri, keduanya sepanjang 2 m. Pipa yang dalam berdiameter-dalam 25 mm dan dilewati air dengan Re = 1500, yang pada waktu masuk mempunyai temperatur rata-rata 20 ℃. Di luar pipa ini mengembun uap air sedemikian hingga temperatur permukaan-luar . pipa merata 100 ℃

Abaikan tahanan panas dinding pipa. Hitunglah

temperatur air waktu keluar. Jawab :

. 39,8 ℃

16. Peluru timbal dibuat dengan meneteskan timbal

( ρ=11.340 kg m−3 ) melalui

. Berapa tinggi timbal itu harus di jatuhkan udara. Jika temperatur udara 20 ℃ supaya tetes yang berdiameter 2 mm tepat menjadi padat seluruhnya pada waktu sampai di bawah? Segera sesudah dilepaskan tetes-tetes itu mencapai kecepatan akhir yang tetap. Konduktivitas panas untuk timbal begitu tinggi sehingga temperatur tetes itu merata dan sama dengan titik leleh timbal (=327 ℃).

Panas peleburan timbal = 23,5 . 103 J kg-1. Gunakan persamaan yang berikut :


131


μ μ hd ρvd =2,0+ 1,3 0,15+0,66 0,50 0.33 untuk 1< Ra<104 k k μ k

( )

( ) ( )

Jawab : 14,8 M 17. Suatu cairan dalam sebuah bejana berbentuk silinder mendatar (d = 1m, L = 3m) yang diberi insulasi pada alasnya, diaduk dengan daya 4 kW. Dari bawah tegaklurus pad aporos bejana dihembuskan udara dengan kecepatan 9 m/detik. Bejana terisi penuh dengan air. Jika pada waktu t=0, T=T o=Tudara, bagaimanakah perubahan temperatur air dengan waktu. Gunakan persamaan yang berikut μ μC p hd ρvd =0,42 0,20+0,57 0,50 0,33 untuk 1< ℜ<10 4 k k μ k

( )

Jawab :

( ) ( )

T −T o=41,8 { 1−exp (−9,7. 10−6 t ) }

18. Sebuah batang yang panjang (diameter 11mm, koefisien emisi 0,8, temperatur permukaan 327 ℃) berada secara mendatar dalam udara yang tenang (temperatur 27 ℃). Hhitunglah berapa bagian dari laju pindah panas disebabkan oleh konveksi bebas dan berapa bagian oleh radiasi. Jawab : Konveksi bebas 47% Radiasi 53% 19. Jika antara dua lempeng, yang lebar dengan koefisien emisi yang sama, diletakan lempeng ketiga, maka laju pindah panas karena radiasi menjadi separuh dari semula. Buktikan. 20. Sifat benda hitam dapat didekati dengan membuat lubang kecil dalam suatu rongga dengan permukaan yang kasar. Koefisien emisi lubang itu sendiri dapat

ditentukan dengan rumus yang berikut : Jika

e lubang=

e e+ f (1−e)

e

=

Koefisien emisi permukaan rongga.

f

=

Perbandingan luas lubang terhadap luas seluruh rongga.

Sebuah bola tipis berongga terbuat dari tembaga yang permukaannya sebelah dalam telah dioksidasi. Diameter bola 15 cm. Hitunglah berapa besar lubang yang harus dibuat pada permukaan bola itu untuk mencapai koefisien absorpsi sebesar 0,999. e = 0,57 untuk tembaga yang dioksidasi. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

132


Jawab :

V V.1

jari-jari lubang = 5,5 mm.

PERPINDAHAN MASSA DIFUSI Juga dalam perpindahan massa dikenal dua cara perpindahan,yaitu konveksi dan

difusi. Massa berpindah secara konveksi karena terbawa aliran dan aliran disebabkan oleh gaya dari luar sistem. Dalam difusi molekul-molekul bergerak satu terhadap yang lain karena adanya gaya penggerak di dalam sistem, yaitu perbedaan konsentrasi . Perpindahan massa karena konveksi sudah dijumpai lebih dulu dalam pembahasan perpindahan momentum. Pangkal analisa adalah hukum kekalan massa yang sudah diturunkan menjadi persamaan kontinuitas (III.2). Dalam semua masalah aliran ada perpindahan massa karena konveksi. Analisa soal aliran selalu dimulai dengan persamaan kontinuitas (lihat contoh II. 1 dalam fasal III.4). Akan tetapi selama ini yang ditinjau hanya massa secara makro secara eseluruhan. Dalamm persamaan (III.2) laju perpindahan masaa dinyatakan sebagai fluksi massa d ( ρ

vz) dan laju akumulasi sebagai perubahan density. Kalau dihadapi

suatu campuran dari dua penyusun atau lebih. Maka lebih sesuai kalau semua besaran dinyatakan secara molar : 

laju akumulasi zat A dinyatakan sebagai perubahan konsentrasi.

dc A dt 

laju perpindahan zat A sebagai fluksi A. NA. mol (luas)-1 (waktu)-1 Kalau diinginkan hanya meninjau neraca massa zat A. Maka persamaan (III.2) perlu di ubah dengan jalan membagi semua suku dengan berat molekul zat A.


133


Sehingga diperoleh persammaan kontinuitas untuk Zat A (dalam kordinat tegak lurus) : ∂C A ∂ N AX ∂ N AY ∂ N AZ + + + ∂ ∂X ∂Y ∂Z

=

RA

(V.1) Dalam persamaan (V.1) selain ditinjau akumulasi zat A berdasarkan konveksi. Juga dimuat perubahan banyaknya zat A itu oleh suatu reaksi R A yang menyatakan besarnya laju pembangkitan atau pengurangan A dalam satuan volume.

Untuk mendapat pengertian yang lebih baik dari

masalahperpindahan sering

memperlihatkan kemiripan antara perpindahan

ketigajenis besaran itu. Kemiripan- kemiripan ini akan dibahas kemudian. Gambaran pertama dapat diperoleh dengan meninjau perbedaan antara ketiga perpindaha itu. Perhatikan contoh –contoh dibawah ini. 1. Pembangkitan massa (karena reaksi kimia) bergantung secara rumit sekali pada konsentrasi molar dan temperatur pada pembangkitan momentum dan panas tidak besar. 2. Permukaan antarafasa yang dilewati oleh massa biasanya bergerak (antara dua cairan, atau antara gas dan cairan) sedangkan pada perpindahan momentum sering sekali dan pada perpindahan panas hampir selalu ditemui permukaan antar fasa yang berupa dinding padat. 3. Tingkat besarnya nilai koefisien difusi D untuk cairan dan padatan lebih α

kecil dari difusivitas termal

atau viskositas kinematis v. Ini berarti

bahwa menjalarnya massa dalam cairan dan padatan lebih kecil dari pada menjalarnya momentum atau panas. Contoh – contoh dibawah ini mungkin dapat menjelaskan sifat diatas. Perbandingan ketiga perpindahan

α =k /o Zat

2

-1

DH (m det )

(m2 det

v=

μ/ ρ

-1

- 1

)

(m2 det

)

Udara

2. 10-5

20.10-6

14,2 . 10-6

Air

5.10-9

0.143. 10-6

1. 10-6


134


Baja tahan karat

7,45 . 10-6

-

-

Untuk dapat melihat keasaman antara ketiga perpindahan. Marilah kita tinjau lebih dalam mekanisme difusi. Molekul-molekul zat A bergerak satu arah diantara molekul-molekul zat B umpamanya. Sedangkan molekul-molekul zat B mungkin diam atau bergerak dengan arah yang berlawanan. Gerakan molekul-molekul ini ditimbulkan oleh adanya perbedaan konsentrasi dan menuju dari tempat dengan konsentrasi tinggi ke tempat dengan konsentrasi rendah. Kalau perpindahan massasecara konveksi dikuasai oleh sifat aliran. Difusi tergantung pada besarnyan gradien konsentrasi hukum fick yang pertama. NAX = - DA

C CA dx

. untuk difusi berlaku

dcA DX

(7.2)

Sekali lagi dijumpai satu hukum dalam bentuk persamaan laju alir : Fluksi = koefisien x gradien Dalam persamaan (V.2) DA merupakan sifat fisis molekul-molekul zat A. Dan persamaan (V.2) merupakan definisi koefisien difusi atau difusivitas. Sebenarnya D didefinisikan sedemikian hingga hasil neto perpindahan itu melalui suatu bidang yang tetap adalah nol. Jika hal ini diterapkan pada campuran berpenyusuan dua (biner). Maka dapat disimpulkan bahwa untuk setiap mol zat A yang melewati bidang x = x. Ada satu mol zat B yang melalui bidang itu ke arah yang berlawanan. 

Dengan demikian laju alir neto = 0 dan

ρ

= tetap.

Kalau diartikan, bahwa :  Maka :

DAB = koefisien difusi untuk gerakan zat A diantara zat B DBA = koefisien difusi untuk gerakan zat B diantara ra zat A.

Untuk difusi dalam campuran berpenyusun dua, persamaan (V.2) dapat ditulis sebagai berikut: Untuk A : NA = - DAB

dc A dx

(V.3)

Untuk A : NB = - DBA

dc B dx

(V.4)

Berdasarkan definisi maka : POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

135


NA + NB = 0 Dan DAB = DBA Dari persamaan (V.3) dapat disimpulkan bahwa D merupakan dimensi L2 t-1 atau dalam sistem SI m2 detik

-1

. dalam hubungan itu dapat diperhatikan kemiripan antara

ketiga perpindahan momentum. Panas dan massa. Hukum yang berlaku untuk masingmasing perpindahan dapat dinyatakan dalam persamaan fluksi yang serupa.



Hukum Newton(





Hukum Fourier(

Hukum Fick (

ρ

ρ tetap):

ρ

Tetap) :

z ρ v¿ ¿ d¿ yz=−v ¿ τ¿

qy =

Tetap) : N Ay = DAB

(V.5)

pT ρ c¿ ¿ d¿ −α ¿

(V.6)

A d c¿ ¿ dy

(V.6)

Dari persamaan-persamaan itu dapat disimpulkan sebagai berikut : a. Suku dalam ruas kiri merupakan fluksi : fluksi momentum. Fluksi panas dan fluksi molar zat A b. Ruas kanan berupa hasil kali suatu koefisien dan suatu gradien μ c. Semua koefisien berdimensi sama m2 detik -1, yaitu v = ρ ,

α

=

k ρc p

dan

DAB d. Semua gradien adalah gradien ”konsentrasi “ besaran-besaran yang disebut pada a. V. 2 PERPINDAHAN MASSA Dalam operasi teknik kimia hampir selalu terjadi perpindahan massa karena konveksi dan difusi. Hukum fick pertama. Yang dalam bentuk persamaan ( V.7) hanya berlakuuntuk difusi dapat diubah kedalam bentuk lain yang meliputi konveksi dan difusi Kalau : Maka :

v = kecepatan aliran campuran yang tetap c = konsentrasi total campuran. NAX = VAX CA = Fluksi A mol. (luas)-1 (waktu)-1 vc = NAX + NBX

Sehingga : POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

136


VAX CA = -DAB

dC A dx

(V.8)

Dalam persamaan (V.8) vA dinyatakan dengan system koordinat yang tetap tempatnya dalam ruang. Kalau diambil sebagai bandingan suatu titik yang ikut bergerak sama cepat dengan kecepatan campuran v, maka kecepatan molekul-molekul A menjadi (vA-v) dan persamaan (V.8) berubah menjadi : dC A (VAX-V) CA = -DAB dx (V.9)

VAX CA-NAX = -DAB

“ATAU” dC A + (NAX + NBX ) dx

(V.10)

(difusi) (konveksi) Persamaan (V.10) disebut hukum fick yang kedua. Suku pertama dalam ruas kanan persamaan (V.10) menyatakan besarnya perpindahan massa oleh difusi dan suku kedua ialah banyaknya mol A yang dipindahkan oleh aliran. Supaya dapat menyelesaikanpersamaan (V.10), perlu diketahui hubungan antara NA dan NB. dalam hal ini diketahui ada dua bacaan kemungkinan, yaitu: 1. NAX + NBX = 0. Keadaan ini disebut equimolar counter diffusion(difusi II.

jumlah mol yang sama dalam arah yang berlawanan). NBX = 0. Keadaan ini disebut difusi zat A melalui zat B yang diam. Dalam praktek sering dijumpai keadaan di antara kedua batas itu. Akan tetapi karena perbedaan antara kedua keadaan itu sering kecil. Sering dapat diadakan perkiraan dengan menggunakan salah satu dari kedua keadaan itu. I.

NAX + NBX = 0

Persaamaan (V.10) dapat disederhanakan menjadi:

NAX = -DAB

dC A dx

(V.3) Persamaan (V.3) diatas dapat juga diturunkan dari persamaan kontinuitas untuk penyusun A (V.1). dengan menggunakan syarat- syarat berikut :


137

-

Keadaan mantap

-

Hanya ditinjau difusi ke arah x Tidak ada reaksi


Hasil yang diperoleh ialah :

d N AX dX

=0

(V.11)

Yang sesudah integrasi memberikan:

NAX = c1 = tetap

(V.12) Jika persamaan (V.12) dibandingkan dengan persamaan (V.3) dapat diambil kesimpulan bahwa DAB = tetap dan gradient konsentrasi juga tetap Penyebaran konsentrasi dapat diperoleh dengan jalan mengintegrasikan persamaan (V.3) dengan menggunakan syarat batas:  

Syarat batas 1: pada x = x1 =CA = CA1 Syarat batas 2 : pada x = x2 CA = CA2

Yang menghasilkan fungsi linear yang berikut : C A −C X 2− X = X 2−X C A 1−C A 2 A2

(V.13)

1

Dari persamaan (V.13) dapat diturunkan besarnya fluksi A kea rah x, NAX dC A dx

dengan jalan menghitung gradient konsentrasi

dan memasukkannyake dalam persamaan (V.3) menjadi : C A 1−C NAX = DAB X 2−X

dari persamaan (V.13)

A2

1

(V.14)

Ternyata, Bahwa difusi searah dapat dipersamakan dengan konduksi panas,asal dilakukan pergantian perubah seperti berikut: Q T A

NA CA DAB

Analogi konduksi dan difusi : Konduksi panas dT Cy = - k dy

Difusi searah dCA NAy = -DAB dy C A 1−C

NAX = DAB


138

X 2−X

A2

1


C1-2 = k12

T ¿ 1−T 2 ¿¿ ¿ ¿ ¿

Kesamaan itu berlaku untuk konduksi panas searah dan difusi searah. Persamaan-persamaannya dapat dipertukarkan dengan melakukan pergantian perubah seperti di atas. Cara-cara berdasarkan analogi ini dapat diperluas dengan keadaan lain, umpamanya memperoleh sifat-sifat difusi di sekeliling bola atau silinder dari persamaan-persamaan konduksi di sekitar benda yang sama untuk itu harap dibaca buku-buku yang dianjurkan.

II.

NBX = 0

Persamaan (V.10) dalam hal ini berubah menjadi dC A NAX = -DAB dx

NAX = -DAB

C C−C A

+ NAX

CA C

ATAU” dC A dx

“

(V.15)

Jika diturunkan dari neraca massa persamaan (V.1) diperoleh hal yang sama dengan difusi ekuimolar, yaitu persamaan (V.12). jadi juga di sini fluksi A itu tetap , yang sesuai dengan keadaan mantap Dengan mengintegrasikan persamaan (V.15) dan menggunakan syarat batas yang sama :  

Syarat batas 1 : pada x = x1 =CA = CA1 Syarat batas 2 : pada x = x2 = CA = CA2

Diperoleh penyebaran konsentrasi

C−C A A C−C A 1

=

(

C−C A 2 C−C A 1

)

X − X1 X 2−X 1

Kedua penyebaran konsentrasi (V.13) dan (V.16) digambarkan pada gambar (V.1)


139


Gambar V.I Penyebaran Konsentrasi Pada Difusi Ekimolar (I) dan pada Difusi V.3

Melalui Fluida yang Diam (II). KOEFISIEN PINDAH MASSA Bahwa terdapat kemiripan (analogi) antara perpindahan momentum, panas dan

massa sudah dijumpai lebih dahulu dalam fasal V.1 tentang difusi. Dalam fasal ini dan fasal berikutnya akan dibahas kemiripan yang lebih lanjut Untuk perpindahan panas antara sebuah permukaan padat dan fluida di sekitarnya, dikenal “hukum pendinginan newton” Q = h (Tpermukaan – Tfluida) Dimana h disebut koefisien pindah panas Untuk perpindahan massa antara suatu permukaan antarfasa dan fluida sekitarnya, dapat juga digunakan suatu KOEFISIEN PINDAH MASSA k yang didefinisikan dalam persamaan yang berikut : Dalam mana :

NA = KA (CAB-CAF)

N

- fluksi molzat A. Mol m-2 det-1 - koefisien pindah massa zat A. M det-1 - konsentrasi zat A dalam fluida. Mol m-3 Persamaan (IV.2) berlaku untuk konversi panas, begitu juga persamaan (V.17) A k A c Aa

berlaku untuk konveksi massa. Baik h maupun kA adalah besaran-besaran yang nilainya harus ditetapkan dengan percobaan, bukan suatu sifat fisis tetapi menyatakan besarnya perpindahan pada permukaan tempat pertemuan dua fase. Dari selisih temperatur dalam persamaan (IV.2) dan selisih konsentrasi dalam persamaan (V.17) , satu besaran terdapat pada permukaan antar fasa itu sendiri ( Tp, c

Ab) , sedang yang lain diukur di tengah fluida. Dengan anggapan bahwa keadaan

dalam fluida itu homogen, yaitu sama di semua tempat. Baik untuk temperatur maupun untuk konsentrasi hal diatas adalah sama dengan menganggap bahwa gradien itu lurus dan terletak dekat permukaan antar fase dan penyebaran dalam fluida adalah merata. Penyebaran yang sebenarnya adalah kontinu, seperti digambarkan pada gambar V.2 untuk perpindahan massa . untuk

menampung kesalahan yang ditimbulkan oleh

perbedaan penyebaran ini maka h dan kA harus ditentukan secara percobaan. Antara perpindahan panas dan perpindahan massa terdapat perbedaan jika dihadapi beberapa tahanan berturut-turut seperti dalam perpindahan antar fase. Untuk perpindahan panas temperatur pada permukaan antar fase berlaku untuk kedua fase. Jadi kalau fasenya dan maka pada pemukaan antar fase itu.

T’a - T”a Gambar V.2 Penyebaran Konsentrasi


140


Karena itu tahanan panas keselurahan adalah jumlah dari masing-masing tahanan panas parsial Tidak demikianlah pada perpindahan massa. Konsentrasi dalam kedua fasa seberang-menyeberang permukaan antar fasa biasanya tidak sama, kalu kedua fasa itu berada dalam keadaan setimbang maka hubungan kedua konsentrasi dapat diperoleh dari percobaan. Utnuk perpindahan massa antar fasa yang sudah mantap penyebaran konsentrasi dapat digambarkan pada gambar V.3.

Gambar v.3

Penyebaran konsentrasi seberang-menyebrang permukaan

antar fasa. Dalam masing-masing fasa berlaku :

Fasa G : NAG = kAG (cAG - cAaG) Fasa L : NAL = kAL (cAaL - cAaL) Karena keadaan mantap, maka :

NAG = NAL = kAG (cAG - cAaG) = kAL (cAL - cAaL)

(V.18) Umpamakan hubungan kesetimbangan antara kedua fasa dapat dinyatakan dengan : C mc (V.19) AaG AaL Hubungan yang sama dengan persamaan (V.19) itu dapat dijumpai pada campuran yang encer, seperti dinyatakan oleh hukum henry y* mx. Dengan menggunakan persamaan (V.19) persamaan (V.18) dapat diubah menjadi. :

NA = kAG (CAG -

mc AaL

)= kAL (cAL - cAaL)

c

Kemudian AaL dihilangkan karena tidak dapat diukur.

NA =

C AG −mc AL m 1 1 − mk AG k AL

=

C AG −c AL m 1 k AL

(V.20) Dengan cara yang sama dapt diperoleh juga.


141


NA =

C AG −c AL m 1 1 − mk AG k AL

C AG −c AL m 1 k AL

=

(V.21)

Coba lakukan sendiri penurunan persamaan (V.20) dan (V.21). Dalam bentuk persamaan (V.20) dan (V.21) semua suku yang merupakan penyebut dinamakan tahanan difusi atau tahanan pindah massa.



Tahanan dalam fasa gas

1 kAG

dan

1 mk AG



Tahanan dalam fasa cair

m k AG

dan

1 k AL

Tahanan keseluruhan

1 k AG



1 k AL

Atau

1 k AG

-

1 mk AG

–

+

+

m k AL 1 k AL

Jadi dari persamaan (V.20) dan (V.21) ternyata bahwa kalau selisih konsentrasi dinyatakan secara keseluruhan maka tahanan pindah massa merupakan jumlah tertentu dari tahanan parsial. Dengan menggunakan hubungan kesetimbagan. Jumlah ini dinamkan tahanan pindah massa keseluruhan 1/K. Juga bahwa K harus dinyatakan terhadap salah satu fasa., jadi kAG atau kAL. Dalam operasi teknik kimia teknan parsial sudah biasa digunakan orang untuk mrnyatakan konsentrasi dalam fasa gas. Pada konsentrasi molar. Umpamanya : N A

– kAg (PAag - PAg)

Dalam mana : k

Ag

-

(V.22)

k AG RT

Karena itu dengan maksud supaya persamaan tetap homogen dimensinya, maka untuk perpindahan cairan-gas konsentrasi dalam fluida diganti dengan konsentrasi semu kesetimbangan berikut :

C ÅG

-

mc AL

(V.23)

C AG

-

mc ÅL

(V.24)

Dengan persamaan kesetimbangan (V.23) dan (V.24) ruas terakhir persamaan (V.20) dan (V.21) dapat diubah menjadi :


142


NA = kAG (

C A G−C ÅG ¿

(V.25)

NA = kAL (

C AL −C ÅL ¿

(V.26)

V. 4 Teori Lapisan ( Film Theory) Dalam masalah aliran dan perpindahan panas dipakai TEORI LAPISAN BATAS,yang menyatakan bahwa dapat dianggap ada lapisan tips zat dekat permukaan antarfasa, yang memuat seluruh tanaman terhadap perpindahan itu. Juga dalam hal perpindahan massa teori ini digunakan, biasanya dengan teori lapisan. Lapisan batas setebal ϐ itu dapat diturunkan mempunyai hubungan yang berikut: d f Perpindahan momentum : = ϐV 2 Re (V.28) Perpindahan panas :

d ϐT

= Nu

d ϐC

= Sh

(V.29) Perpindahan massa: (V.30) Dalam perpindahan massa antara dua fluida, umpamanya cairan-gas, lapisan batas itu dianggap ada pada kedua belah sisi permukaan antarfasa dan tahanan terhadap perpindahan massa ada pula dalam masing-masing lapisan

dalam kedua fasa. Karena adanya dua lapisan yang sebelah-menyebelah itu teori tadi juga disebut TEORI DUA-LAPISAN (TWO-FILM THEORY).


143


Dari persamaan (V.20) dan (V.21) dapat diturunkan: l l m = + K AG K AG K AL (V.31)

l K AG

=

l m + mK AG K AL

(V.32) Dalam kedua persamaan di atas masing-masing suku di ruas kanan merupakan tahanan dalam fasa yang bersangkutan. Untuk keperluan perhitungan dan percobaan, perlu dikemukakan adanya pengaruh nilai m terhadap persamaan (V.31) dan (V.32). Dalam grafik dengan konsentrasi dalam fasa gas sebagai ordinat dan konsentrasi dalam fasa cair sebagai absis, m merupakan kemiringan (slope) garis grafik yang bersangkutan. Untuk sistem gas yang mudah larut, seperti HCl-Air, m merupakan sedemikian kecil nilainya sehingga suku kedua dalam ruas kanan persamaan (V.31) dapat diabaikan. Hal ini merubah persamaan (V.31) menjadi: l K AG

=

l K AG

Dalam perpindahan massa yang menyangkut sistem semacam ini, TAHANAN DALAM FASA GAS YANG MENENTUKAN. Sebaliknya, untuk sistem gas yang sukar larut, seperti O2-Air, nilai m besar sekali, yang membuat tahanan dalam fasa gas kecil sekali dan dapat diabaikan. Karena itu dalam sistem semacam ini TAHANAN DALAM FASA CAIR YANG MENENTUKAN dan persamaan (V.32) dapat ditulis:


144


l K AG

=

l K AL

V.5 Penyebaran Konsentrasi Penyebaran konsentrasi dapat dihitung dengan menggunakan persamaan kontinuitas (V.1). Untuk itu persamaan ini harus dijabarkan lebih lanjut. Persamaan (V.1) dalam bentuk singkat adalah : ∂C A ∂t

v´ N A =R A

+

(V.1) Dari persamaan (V.9) dapat diturunkan bentuk umum: v ( v A −¿ c ¿ A = - DAB v´ cA NA

=

v A cA

=v

cA

’=

D AB ´v c A

(V.33)

Substitusi persamaan (V.33) ke dalam persamaan (V.1) memberikan : ∂C A ∂t

+

v´ ∙ v −´v D AB ´v c A =R A ¿ cA)

(V.34)

Kalau densiti massa dan densiti molar, begitu juga koefisien difusi, dianggap tetap, maka persamaan (V.34) dapat diubah menjadi: ∂C A ∂t Perlu diingat, bahwa ( v´

+

2 v´ ∙ v −D AB ´v c A =R A ¿ cA)

. v) = 0 untuk fluida yang tak termampatkan (ρ

tetap). Akhirnya didapat untuk sistem koordinat tegaklurus:


(V.35)

145


∂C A ∂t

vX

+

∂cA ∂X

2

D AB

{

2

∂ CA ∂X

∂ cA v y + ∂y

+

2

∂ CA ∂y

2

∂cA v Z + ∂Z

=

2

+

∂ CA ∂z

2

} + RA

(V.36) Untuk sistem koordinat silinder: ∂C A ∂t

D AB

∂cA + { vr ∂ r

∂C A 1 ∂ { r ∂ r (r ∂ r )

RA

v0 ∂ c A r ∂θ

+

1 + r2

∂cA + vZ ∂ Z 2

∂ CA 2 ∂ϴ

=

2

+

∂ CA 2 ∂z } +

(V.37)

Untuk sistem koordinat bola: ∂C A ∂t

D AB

+Ra

∂cA v r +{ ∂r

{

+

1 ∂ 2 ∂C A (r ) ∂r r2 ∂ r

v0 ∂ c A r ∂θ

+

+

v∅ ∂ cA r sinθ ∂ ∅ ) =

v∅

∂ 2 (sinθ ∂∅ r sinθ

∂ cA ∂∅ ) +

2

∂ cA 1 2 2 2 r sin θ ∂∅

}

(V.38) Persamaan (V.36).(V.37) dan (V.38) adalah bentuk-bentuk persamaan kntinuitas untuk penyusunan A. yang dapat digunakan untuk mencari

penyebaran konsentrasi. Jika diterapkan terhadap difusi searah yang mantap melalui fluida yang diam, tanpa reaksi kimia, maka persaan (V.36) menjadi: 2

D AB

d cA dx

2

=0

Inilah adalah keadaan perpindahan massa yang tersederhana. Jika diintergrasika dan digunakan syarat batas: 

Syarat batas 1: pada x = 0 -


c A =c A 0 146

(V.19)




Syarat batas 2: pada x =

δ c −c A=c A 1

Diperoleh penyebaran konsentrasi yag berikut: c A −c A 1 x =1− (V .40) c A 0−c A 1 δc Jika ingin dihitung dalam system ini, maka dari persamaan ( V.17) dan (V.3) diperoleh: dc N A =k A ( c A 0−c A 1 ) =−D AB A |x =0 (V.41) dx Subsitusi persamaan (V.40) ke dalam persamaan (V.41) menghasilkan: D k A AB δc Yang seterusnya memberikan: k d d Sh= A = (V .30) D AB δ c Jika persamaan (V.38) diterapkan terhadap difusi yang serupa disekitar suatu permukaan yang berbentuk bola. Maka diperoleh: Sh = 2 (V.42) Penerapan persamaan energy terhadap konsuksi panas sekitar sebuah bola memberikan persamaan yangm mirip Nu = 2 V.6

(V.43)

DIFUSI SECARA TAKMANTAP Jika persamaan kontinuitas untuk zat A persamaan (V.36) dibandingkan dengan persamaan energy (IV.21) dalam sisitem koordinat tegaklurus untuk

fluida yang tak termanpatkan: ∂ cA ∂c ∂c ∂c ∂2 c A ∂ 2 c A ∂2 c A + v x A + v y A + v z A =D AB + + + RA ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2

(

oτ p

(

)

∂T ∂T ∂T ∂T ∂2 T ∂2 T ∂2 T + vx +v +v =k + + +q H ∂τ ∂ x y ∂x z ∂z ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z2

) (

)

(V.36) (V .21)

Maka terlihat adanya kemiripan. Persamaan (V.36) dapat diubah dari persamaan (IV.21) dengan membuat pergantian perubah yang berikut: ρτ p T → c A α=

k → D AB ρτ p

qH → RA


147


Berdasarkan kemiripan ini DIFUSI SECARA TAKMANTAP dapat dibahas denga cara nalogi dengan masalah KONDUKSI SECRA TAKMANTAP. Hasil penyelesaia yang telah diperoleh untuk konduksi takmantap akan diterima sebagi

peyelesaian

difusi

takmantap

yang

sesuai

mengadakan pergantian perubah yang berikut: ρ τ p T o → c Ao

systemnya,

dengan

ρτ p T 1 → c AB

Perlu diingat, bahwa permukaan antar fase dalam hal difusi harus dianggap TETAP dan TIDAK BERGERAK, seperti pada konduksi panas. Dalam contoh-contoh dibawah ini fluida I, yang dimisalkan cairan, semula mempunyai konsentrasi merata

c Ao

.

pada t=0 konsentrasi pada permukaan sekonyong-konyong berubah menjadi : a

Difusi ke dalam lempeng yang setengah takterhingga Dalam hal ini diperoleh persamaan diferensial: 2

∂ cA ∂ cA =D AB 2 ∂t ∂y

(V.44)

Dengan syarat-syarat batas: 

Syarat awal:

pada t = 0, c A =c Ao( untuk semua y )



Syarat Batas 1:

pada y = 0, c A =c Ao( t>0)



Syarat Batas 2:

pada y = =, c A =c Ao( t>0)

Lihat persamaan (IV.57) dengan syarat batasnya. Hasil penyelesaiannya menjadi: c A −c Ao v =1−erf ⁡( ) c AB −c Ao √ 4 D AB

(V.45)

Bandingkan dengan persaman (IV.61). kalau hendak dihitung koefisien pindah massa , ditempuh cara yang berikut: N A =−D AB ¿+ D AB .

dc A | y =0 dy

1 (c AB −c Ao) √ μ D AB 0


148


¿

√

D AB ( c −c ) (V .46 ) μt AB Ao

Dari persamaan (V.46) didapat : D AB k A= (V .47) −t

√

Persamaan (V.47) dapat dipakai untuk memperkirakan WAKTU PENETRAS

td

lempeng itu. Dari

, yang diperlukan untuk mencapai kedalam tertentu dalam kA

, yang besarnya tergantung pada waktu, dapat dihitung

nilai rata-ratanya sebagai berikut: td

√

√

D AB D AB 1 ¿ k A≥ ∫ dt=2 t d o −t −t d

(V.48)

Jika dari persamaan (V.65) digamgar grafiknya, maka ternyata bahwa grafik komplemen fungsi kesalahan ini pada awalnya lurus. Kalau dibuat garis singgung pada titik awalya (y=0) dan dihitung tangens sudut arah garis singgung itu, diperoleh: dc A c −c c −c | y =0= Aa Ao = Aa Ao (V .49) dy √ 4 D AB t 0−√ 4 D AB t Seperti yang telah digunakan untuk persamaan (V.46). persamaan (V.49), memperlihatkan, bahwa garis singgung itu memotong sumbu absis pada titik

√ 4 D AB t , c Ao

. Jarak

y=√ 4 D AB t

adalah jarak yang dicapai oleh difusi itu

selama waktu t. kalau seluruh difusi berlangsung selama waktu

td

,maka

jarak penetrasi adalah: y=√ 4 D AB t d (V .50) Karena kecilnya nilai dan pendeknya waktu kontak, maka biasanya jarak peentrasi itu kecil sekali. Jika jarak penetrasi ini lebih kecil dari pada separuh POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

149


d 1

ukuran “benda” yang terkecil (

∑¿¿

, benda tadi dapat dianggap sebagai

4

benda yang setengah takterhingga, dan uraian diatas berlaku juga dalam hal ini. Jadi syarat untuk sifat setengah tektehingga itu ialah: 1

√−D AB t ≪ ∑ d 4

Yang sering ditulis dengan bilangan fourier, Fo : D AB

Fo=

d

2

2

≪0,1

fo ¿ 0,05

“Atau”

2

jarak penetrasi Fo mengandung arti ( tebal bahan ) t = Waktu kontak untuk

waktu

kontak

yang

pendek

dan

terutama

dalam

hal

PERMUKAAN ANTAR FASA itu SELALU DIPERBAHARUI karena ada aliran, lebih baik dipakai teori penetrasi daripada teori dua lapisan untuk menerangkan mekanisme kejadian difusi. Persamaan ( v. 48) memang juga dapat diturunkan berdasarkan teori penetrasi. Teori penetrasi tidak dibahas di sini. Berdasarkan kemiripan itu, maka perpindahan massa dengan waktu kontak yang pendek, dapat dihitung dengan menggunakan persamaan konduksi tak mantap yang sesuai. Sifat tak mantapnya difusi dapat dilihat dari apakah dipenuhi : V.7

Fo ¿ 0,05

perpindahan massa secara konveksi a) anologi antara perpindahan massa dan panas perpindahan massa secara konveksi antara suatu permukaan dan aliran dapat diperlakukan dengan cara analisa yang sama dengan perpindahan panas secara konveksi paksa. Asalkan campuran yang tersangkut ancer dan tiada reaksi

kimia, pergantian perubah dilakukan sebagai berikut : ρ C P T →C A


150


α → D AB Q=N A H →KA ρC P anologi ini dapat dilanjutkan dengan penggunaan persamaan-persamaan tanpa dimensi perpindahan panas untuk perhitungan perpindahan massa dengan susunan geometri yang sama. Dengan memakai pergantian Nu

Sh

Pr

μ μ Sc = ρD = D

bilangan schmidt sc merupakan perbandingan antara lapisan batas hidrodinamis dan lapisan batas konsentrasi. Nilai Sc berkisar antara 100-1000 dan cepat mengecil jika temperatur naik. Bilangan-bilangan tanpa dimensi dibawah ini digunakan baik untuk perpindahan panas maupun perpindahan massa. Re Fo

Gr

αx Gz = ¿ v >d 2 = bilangan graetz

Dalam pengguanaan hasil analisa perpindahan panas untuk perpindahan massa, harus diperiksa dengan teliti apakah perpindahan massa itu seluruhnya berjalan mirip dengan perpindahan panas. Untuk dapat melakukan pergantian perubah maka batas-batas nilai Re untuk berlakunya persamaan itu harus samadengan batas-batas nilai Pr. Untuk perpindahan massa dalam fasa gas pergantian perubah iting dapat dilakukan, karena Sc ¿ Pr. Untuk perpindahan massa dalam fasa cair Sc ≫

Pr dengan akibat hanya kadang-kadang dapat dilakukan pergantian

perubah itu. Salah satu persoalan semacam itu ialah perpindahan massa antara permukaan padat dengan aliran bergolak untuk 2 x 103 ¿ pipa. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

151

5 re ¿ 10

dalam


8 1 /3 Nu =0,026 ( ℜ) (Pr)

8

1/ 3

Sh =0,026 ( ℜ) (Sc)

(IV.87) (V.52 )

Contoh lain ialah kemiripan antara konduksi panas dan difusi sekitar sebuah permukaan berbentuk bola. Jika tiada aliran, telah dijumpai terlebih dulu. Nu = 2 Sh = 2

(V.43) (V.42)

Jika ada aliran sekitar bola itu : 1/ 2 1 /3 Nu =2+ 0,60 (ℜ) (Pr)

(V.53)

1/ 2 1/ 3 Sh =2+ 0,60 (ℜ) (Sc )

(V.54)

Contoh-contoh diatas dapat diperluas dengan beberapa lagi yang dapat dicari dalam pustaka. Dalam hal keadaan perpindahan panas tidak mirip benar dengan perpindahan massa yang bersangkutan. Maka sekurang-kurangnya persamaan Dimensi perpindahan panas itu dapat dipakai untuk memperkirakan besarnya koefisien pindah massa. Seperti yang diperlihatkan oleh contoh-contoh persamaan diatas. Perhitungan berdasarkan analogi dapat juga untuk menghitung koefisien pindah massa rata-rata dengan menggunakan data percobaan pindah panas dan sebaliknya, jika nilai Re tidak terlalu rendah persamaan-persamaan dari jenis yang berikut dapat digunakan untuk perhitungan koefisien perpindahan dalam susunan geometri yang sama. Nilai m berubah dari 1/3( untuk aliran berlapis dalam pipa), 0,5 ( untuk aliran sekitar bola) sampai 0,8(untuk aliran bergolak dalam pipa), nilai n biasanya agak tetap dan berkisar sekitar 1/3. Kemiripan ini telah digunakan oleh chilton dan colburn untuk mengembangkan cara penyajian yang lebih menonjolkan analogi. Telah didefinisikan suatu besaran. Pindah panas dan suatu besaran pindah massa JH POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

JD

JH

. Yang berikut

−1 1/ 3 = Nu ( ℜ) ( Pr)

152

(V.55)


JD

−1 1/ 3 = Nu (ℜ) (Pr)

(V.56)

Dengan kedua besaran diatas, analogi antara perpindahan panas dan massa untuk susunan geometri yang sama, dan nilai Re yang tidak terlalu rendah, dapat ditulis JH

=

m−1

JD

= =C (ℜ)

(V.57) Untuk aliran bergolak dalam pipa dan aliran melewati lempeng datar dapat ditulis pula: JH J = D = =1/2 ϵ (V.58) Dalam mana f ialah faktor gesekan fanning b). perpindahan massa sekitar bola 1. fluida diam Sebagai contoh akan ditinjau perpindahan massa sekitar permukaan yang berbentuk bola. Masalah perpindahan massa sekitar suatu bola dalam fluida yang diam sudah dibahas lebih dahulu secara anologi. Persamaan neraca massa dalam hal ini menjadi : 1 d 2 ( r N AR )=0 2 r dr

(V.59)

Integrasi dua kali dan penggunaan syarat batas : 

Syarat batas 1: pada r = R=



Syaat batas 2 : pada r=

CA

CA

=

=

C Aa CA

Memberikan penyebaran konsentrasi A. Untuk

NA

+

N B =0,

N A =−D AB

CA C A − C Aa Ca

C Aa

dc A dr

R

= r

(V.60)

Sehingga :


153


N A= K A=

−D AB (C Aa−C A ) R

−D AB R

Sh=2

Untuk: NB=0, N A =−D AB

C C−C A

dc A dr

Jika dalam aliran berlapis NB = 0 dan NA =

D AB

diperoleh persamaan neraca massa penyusun A yang berikut : D AB d r2 d c A =0 r 2 r 2 c−c A dr ¿

(

)

C dcA c−cA dr

akan

(V.65)

Dengan syarat batas : 1) pada r = R, CA= CAa 2) pada r = ∞, CA= CA∿ Persamaan V.65 akan memberikan penyebaran CA seperti dalam masalah fluida yang diam : R c−c A c−c Aa r = c−c A ∿ c −c A

(

)

Juga disini perhitungan fluksi A dilakukan dengan mengambil persamaan V. 54. Untuk melihat apakah difusi di sekitar bola itu mantab, harus dihitung Fo. Untuk t waktu yang diperlukan untuk melewati 1 x diameter bola. Selain soal-soal tersebut di atas, keadaan perpindahan massa selalu menjadi lebih rumit, yang penyelesaiannya secara analisa menjadi lebih sukar. Keadaan-keadaan yang disebut di bawah ini yang sering dijumpai dalam perpindahan massa sekitar bentuk bola, sehingga menyebabkan bertambahnya kerumitan itu. -

Selain ke arah r, adapula gradien konsentrasi ke arah Dalam aliran bergolak ada kecepatan v dan v r Kecepatan yang besar menimbulkan riak pada permukaan bola sehingga luas

-

permukaan sulit diperkirakan Permukaan mengalami perputaran (rotasi), jadi Ada V Koefisien difusi bertambah besar karena perubahan kecepatan Kecepatan yang makin besar mengubah bentuk bola menjadi gepeng, setengah bola, mangkok terbalik, dst.


154


Semua keadaan di atas membuat semua penyelesaian soal perpindahan massa menjadi sukar dan tidak dapat dilakukan dengan analisa semata-mata.

E. Contoh soal Soal Penguapan tetes Yang jatuh secara bebas Suatu tetes air Yang berbentuk bulat dengan diameter 2,0 cm sedang jatuh dengan kecepatan akhir 200 cm/detik melalui udara Yang kering pada tekanan 1 atmosfer. Temperatur permukaan tetes adalah 20°C dan temperatur udara adalah 30°C. Tekanan uap pada temperatur 20°C adalah 0,0231 atm. Perkirakan laju penguapan dengan menganggap keadaan mantap. Analisa Campuran uap air Dan udara dianggap sebagai campuran penyusun (A: Air , B : Udara). Kelarutan udara dalam air sangat kecil Dan dapat diabaikan, sehingga NB = 0. Jika dianggap pula, bahwa konsentrasi uap air itu kecil sekali, maka sifat sifat fisis udara tidak dipengaruhi oleh adanya uap air. Rencana Penyebaran konsentrasi A dapat diperkirakan seperti yang dinyatakan oleh persamaan V. 61 dan koefisien perpindahan massa dapat dihitung dark persamaan V. 54. Semua besaran harus dinyatakan sesuai dengan persaman fluksi Yang dipakai, yaitu : N AB = k AG (PAa – PA~) (V. 52) Penyelesaian Persamaan V. 54 harus dinilai pada.temperatur lapisan batas. Ketentuanketentua yang Sudah diketahui adalah : Ta=20 ℃ → P AB=0,0231 atm T ∞=30 ℃ → P A ∞=0 atm Tl=

20+ 30 =25 ℃ 2 Untuk substitusi ke dalam persamaan (V.54) telah diperoleh keterangan

dari pustaka sebagai berikut : Sifat-sifat fisis udara pada 25°C ρ=1,18 kg m−3 POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

155


−5

μ=1,837. 10 Ndet m −5

v =1,552.10 m det −5

2

D AB=2,58. 10 m det

−1

−1

−1

Substitusi memberikan : −3 vρd 2,1.10 ℜ= = =1,29. 10−2 −5 μ 1,552.10 S C=

μ 1,552. 10−5 = ρ D AB 1,18.2,58 . 10−5

129 ¿ ¿ 0,6 ¿ ¿ 2+0,60¿ Sh. D 2,58. 10−5 k A= = ¿ d 10−3 AB

R=8,2.10−5 m3 atm . mol K −1 k Ag=

kA 0,2 = =8,18 mol det −1 m−2 atm−1 R T l 8,2. 10−5 .298

N A =8,18 ( 0,0231−0 ) =0,1890 mol de t −1 m−2 Laju penguapan =

NA.d

2

= 0,1890.10-6 = 5.94.10-7 mol.det-1

V.8 PERPINDAHAN PANAS DAN MASSA SECARA BERSAMAAN Perpindahan massa dari satu fasa ke dalam fasa yang lain selalu diikuti oleh sejumlah panas. Misalnya jika suatu gas melarut dalam cairan, akan dilepaskan panas pelarutan. Juga jika cairan, berubah menjadi uap akan diperlukan panas penguapan. Jika terjasi reaksi kimia akan ditimbulkan atau diserap panas reaksi. Terjadinya perubahan panas itu akan berakibat pada temperatur permukaan antar fasa. Selanjutnya temperatur permukaan antar fasa akan mempengaruhi umpamanya kecepatan absorpsi gas ke dalam cairan, karena kelarutan gas itu tergantung pada temperature. Dalam hal-hal seperti ini perpindahan panas dan massa bergantung satu pada yang lain. Jika sudah tercapai keadaan mantap perubahan panas akan sama besar dengan jumlah panas Yang timbul atau diserap pada perpindahan massa. Dua operasi teknik kimia yang termasuk jenis kejadian ini ialah: PENGERINGAN dan HUMIDIFIKASI. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

156


a

Pengeringan Dalam pengeringan biasanya padatan yang basah diberi aliran udara, yang tidak jenuh dengan uap air. Karena udara itu belum jenuh, maka akan terjadi penguapan cairan dari permukaan cairan-gas. Untuk penguapan itu diperlukan panas penguapan, yang diambil dari cairan itu sendiri, sehingga temperatur cairan turun. Penurunan temperatur cairan memperbesar selisih temperatur antara cairan dan gas, dan akan memperbesar pulapanas yang dipindahkan. Akhirnya akan tercapai KEADAAN MANTAP, yang akan mengakibatkan semua temperatur menjadi tetap dan tidak ada lagi, perubahan entalpi terhadap waktu. Dalam hal ini seluruh panas yang diperlukan untuk penguapan diberikan oleh fasa gas dan LAJU PENGUAPAN TETAP. Maka

berlaku neraca energi yang berikut : Q = NA . λA (V.63) Dalam mana λA = panas penguapan 1 mol. A pada temperatur permukaan Ta Untuk perpindahan panas antara cairan dan gas. Jika Tg , Ta dan udara dianggap tidak mendifusi, dapat ditulis : Q = h ( Tg . Ta) Untuk perpindahan massa dapat ditulis : NA = kAg (PAa – Pag) Dalam mana : kAg = dan Tm = ½ (Ta + Tg).

(V.64) (V.65)

Kalau persamaan (V.64) dan (V.65) disubstitusikan Ke dalam persamaan (V.63) , diperoleh : (Tg – Ta) = ( PAa – PAg)

(V.66)

Dalam mana PAa adalah tekanan uap zat A pada temperatur Ta . Pada pengeringan keadaan mantap akan berlangsung terus, selama masih terdapat AIR YANG TAKTERIKAT, yaitu jumlah air yang mempunyai tekanan uap yang sama dengan tekanan uap cairan murni. Selama tahap ini laju pengeringan , yaitu banyaknya air yang teruapkan per satuan waktu persatuan luas, akan tetap pula. Jika pengeringan dilanjutkan, pada sesuatu saat laju pengeringan akan berkurang, yaitu kalau air yang takterikat sudah habis teruapkan dan tinggal AIR YANG TERIKAT. Air yang terikat mempunyai tekanan uap kesetimbangan kurang dari tekanan uap jenuh, dan besarnya tekanan uap itu tergantung pada kadar air padatan pada temperatur padatan, berdasarkan kurva kesetimbangan kelembaban : POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

157


Dalam mana : PA = f (x) (V.67) P A= tekanan uap kesetimbangan X = kadar air, gram air/gram padatan kering Pengeringan dalam tahap ini mengalami LAJU PENGERINGAN YANG MENGURANG. Air yang menguap dalam hal ini mengurangi kadar air padatan, dan hal ini menurunkan pula tekanan uap kesetimbangan. Yang selanjutnya MEMPERKECIL FLUKSI uap air yang pindah ke fasa gas. Menurunnya banyaknya air yang menguap disebabkan karena makin lamanya waktu yang diperlukan air untuk berdifusi melalui pori-pori padatan, dari lapisan yang makin dalam. Hal ini akan berlangsung terus sampai besarnya kadar air padatan mencapai nilai KADAR AIR KESETIMBANGAN yang sesuai dengan kelembaban nisbi udara yang melewati permukaan. Di sini laju pengeringan menjadi nol. Jika dalam pengeringan itu fluksi uap air kecil, sehingga PAg dan Tg boleh dianggap tidak begitu berubah, maka dalam persamaan (V.66) perbandingan h/k Ag dapat diganti dengan perbandingan nilai rata-rata masing-masing koefisien meliputi seluruh luas permukaan, / . Nilai perbandingan yang terakhir dapat dihitung berdasarkan analogi antara perpindahan panas dan massa. Karena keduanya berlaku untuk system geometri yang sama dan keadaan aliran yang sama. Kalau persamaan (IV.87) dibagi oleh persamaan (V.52) akan diperoleh : =

2/3 “

ρ ( =

atau”

2/3 ρ (Le)

(V.68) Dalam mana : Le = bilangan Lewis =

2/3

=

atau =

. at = mol-1 оK-1

R = 8,2 . = ½ (Tg + Ta)

Dan semua sifat fisis dinilai pada Tm Grafik pengeringan biasanya digambarkan sesuai dengan kurva kesetimbangan (V.67) antara tekanan, parsial uap air dalam udara, yang POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

158


dinyatakan sebagai kelembaban nisbi

, dan kadar air dalam padatan

X, Seperti pada Gambar V.6.

k Gambar V.6 Grafik Pengeringan b

Temperatur bola-basah dan bola-kering Pengaruh pendinginan pada penguapan cairan terdapat pada peristiwa lain. Dua buah termometer dialiri udara yang sama seperti pada gambar V.7. aliran udara ini sudah mengandung uap air. Tetapi tidak jenuh. Sebuah termometer diselubungi sehelai perca basah, yang selalu berhubungan dengan tempat persediaan air. Air baru akan terus mengalir dengan gaya kapilar dan membuat parca itu selalu basah. Dari keadaan ini dapat diturunkan persamaan antara komposisi udara dan kedua temperatur termometer itu. Jika temperatur air semula sama dengan temperatur udara, maka oleh penguapan temperatur air akan turun, dan akhirnya akan mencapai temperatur yang tetap, pada mana panas yang diperlukan untuk penguapan tepat diimbangi oleh panas yang dipindahkan secara konveksi dari udara ke permukaan air (perca basah). Termometer yang diselubungi akan menunjukkan temperatur kesetimbangan

ini

(yang

disebut

TEMPERATUR

BOLA-BASAH)

dan

termometer yang tidak diselubungi menunjukkan temperatur udara (yang disebut TEMPERATUR BOLA-KERING) . dalam hal ini berlaku neraca massa yang berikut : NA . xdL . λA = h x dL (Tg – Tb) KAg λA (PAb - PAg) = h (Tg – Tb) POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

159

(V.69) (V.70)


( P Ab−P Ag ) h = (T g−T b ) k Ag λ A Persamaan (V.70) sama dengan persamaan (V.69). perasamaan (V.70) digunakan untuk menentukan PAg, jika PAb adalah tekanan uap air jenuh pada Tb, secara sudah penentuan kelembaban udara secara ini dapat dilakukan dengan diagram kelembaban udara-air.

Gambar V.7 Temperatur bola-basah dan bola-kering. Jika PAb atau PAa diangap kecil bila dibandingkan dengan tekanan total. Maka dalam persamaan (V.70) dan (V.66) dapat diadakan anggapan, bahwa sifat udara tidak berubah dan untuk perhitungan h/kAg dapat digunakan sifat – sifat udara murni. Dengan anggapan ini persamaan (V.70) dapat digambarkan grafiknya dengan mudah, dengan mengambil tekanan parsial PA sebagai ordinat dan temperatur T sebagai absis, menurut persamaan yang disederhanakan : (PAb – PAg) = -

h k Ag λ A

(Tb – Tg)

Persamaan (V.70) adalah persamaan garis lurus den gan kemiringan

(V.70) h k A g λA

,

yang melalui titik – titik (Tg . PAb) dan (Tg . PAg) karna selalu PAb > PAg dan Tg > Tb , maka kemiringan itu selalu negatif. POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

160


Untuk memudahkan pemakaian, maka dalam teknik kimia persamaan (V.70) diubah sehingga tekanan parsial dinyatakan sebagai kelembaban mutlak, yaitu gram uap pergram udara kering, H. (Hb – Hg) = - (Tetapan) (Tb – Tg)

(V.71)

Gambar V.5 Digram kelembaban udara-air (disederhanakan) Penggunaan persamaan (V.71) dilakukan dengan diagram kelembaban udara-air. Dalam suatu operasi teknik kimia yang dinamakan humidifikasi. Dalam humidifikasi udara dan air dihubungkan dengan maksud mencapai salah satu dari dua tujuan di bawah ini : -

Memberi kelembaban tertentu udara untuk keperluan proses atau

-

ruangan (alat pengatur udara). Mendinginkan air dalam jumblah yang banyak (menara pendingin dalam pabrik).

Gambar

V.8 menggambarkan diagram kelembaban urada-air yang

disederhanaka. Garis – garis yang tidak tersangkut dalam pembicaraan di bawah ini, sengaja dihilangkan, karana dalam operasi teknik kimia diagram ini akan dipelajari lebih mendalam. Umpamakan, bahwa udara ingin dijenuhkan dengan uap air untuk itu udara dihubungkan dengan tetes – tetes air selama waktu tertentu. Keadaan udara semula dinyatakan dengan titik G pada Gambar V.8 , yaitu kelembaban Hg , temperatur Tg ,


161


sewaktu sudah jenuh kedaan udara dinyatakan dengan

titik B (kelembaban H b ,

temperatur Tb) Garis BG menyatakan jalannya operasi penjenuhan itu persamaan (V.71) adalah persaan untuk garis BG. Keadaan udara yang dicapai pada titik B adalah sama dengan keadaan sekitar dicapai perca basah pada termometer bola-basah. Kedua kedaan itu jenuh, dengan tekanan total yang sama, yaitu tekanan udara. Untuk memecahkan penentuan kelembaban udara, maka dalam diagram kelembaban dibuat banyak garis – garis semacam BG, untuk memungkinkan interpolasi dengan mudah garis – garis itu hampir sejajar satu dengan yang lain. V.9

RINGKASAN DAN SOAL – SOAL RINGKASAN BAB V. 1

Difusi :

Dc A + ∇ . NA = RA Dt

1

2 2

dcA dx

NAˍX = - DAˍB

Analongi : a Perpindahan massa molekular

b

NAX + NBX = 0

→

NA = ?

NBX = 0

→

NA = ?

Perpindahan massa konveksi NA = KAg (PAg – PAg)

3

Teori dua-lapisan. a Persamaan kontinuitas untuk A : Dc A Dt b

c

2

= DA ∇

c A+ RA

Analongi perpindahan massa-panas.  Difusi takmantap - komduksi takmantap  Konveksi massa - konveksi – paksa Perpindahan panas dan massa.  Pengeringan : makanisma  Humidifikasi : temperatur bola basah temperatur bola kering diagram kelembaban.

Soal – Soal POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

162


1

Jika konsentrasi dinyatakan sebagai fraksi mol, tulislah lagi persamaan (V.13)

2

untuk cairan. Carilah penyebaran konsentrasi dalam fasa cair, gas NH 3 yang mendifusi ke dalam air. NH3 berada dalam campuran dengan udara. Air yang tidak mengalir mendak berhubungan dengan campuran NH3- udara. Lakukan baik dengan anilisa, maupun analong, Jawab :

√ 4 Dt , dalam mana

c/c

= erfc y/

c c

= konsentrasi NH3 dalam air = konsentrasi NH3 dalam air yang setimbang dengan tekanan parsial NH3 dalam udara.

D 3

= koefisien difusi NH3 – H2O dalam cairan.

sebuah buret gas yang tertutup, telah diisi dengan gas murni dan cairan murni dalam jumlah volume yang sama. Mula- mula tekanannya 1 asmofir dan temperaturnya temperatur kamar. Sesudah dikocok baik – baik tekannya menjadi 2/3 atmosfir pada temperatur yang tetap. Hitunglah koefisien penyebaran m dan gas itu dalam cairan. Jawab :

m=

Konsentrasi dalam cairan Konsentrasi cairan gas


163

= 0.5


164

Fenomena 494q2z

Overview 26281t

More details 6y5l6z

Related Documents 3h463d

Fenomena 494q2z

Fenomena-histeresis 2h6s4k

Fenomena Kuantum 334f21

Fenomena Sosial 68x31

Fenomena Icu 5l154h

Fenomena Geosfer 3m1b1p

More Documents from "trisnadewi" 343q44

Fenomena 494q2z