Fisica I 294g64

U3. Cap. 7

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Preliminares Física

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Física I Carlos Gutiérrez Aranzeta Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Colegio Indoamericano

ERRNVPHGLFRVRUJ

México • Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa Madrid • Nueva York • San Juan • Santiago • Auckland • Londres Milán • Montreal • Nueva Delh • San Francisco • Singapur St. Louis • Sydney • Toronto


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Publisher de la división escolar: Jorge Rodríguez Hernández Director editorial: Ricardo Martín del Campo Editora de desarrollo: Talia Delgadillo Santoyo Supervisora de producción: Selene Corona Vallejo Diagramación: Xlibris. Lilia Barajas Diseño de portada: Giovanni Troconi Diseño de interiores: Servicios Editoriales 6N’s

Física I Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2006, respecto a la primera edición por: McGRAW-HILL / INTERAMERICANA EDITORES S.A DE C.V A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015 Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN 970-10-5760-0 (ISBN 970-10-3283-7 Edición 2002) 1234567890 Impreso en México

09875432106 Printed in Mexico


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Acerca del autor

Carlos Gutiérrez Aranzeta es egresado de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del Instituto Politécnico Nacional. Cuenta con más de 35 años de experiencia en el área docente y ha impartido clases en diversas instituciones educativas de nivel medio superior, como el ITESM campus Estado de México, el Colegio de Bachilleres y el Colegio Indoamericano, y a nivel universitario en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica unidad Zacatenco. Por su experiencia académica ha participado en la formación y actualización de profesores de nivel medio superior en la Universidad Autónoma de Nayarit, la Universidad Autónoma de Querétaro, el Colegio de Bachilleres y el Instituto Politécnico Nacional. Asimismo, ha intervenido en la elaboración de los programas de estudio de la asignatura de Física en diversas instituciones tanto de nivel medio superior como superior. La carrera profesional de Carlos Gutiérrez Aranzeta le ha permitido colaborar en la elaboración de reactivos para el Colegio de Bachilleres, la Universidad Tecnológica de México, el Instituto Politécnico Nacional, las preparatorias abiertas de la SEP y el Ceneval. Su experiencia editorial es amplia, pues ha publicado 25 libros, algunos de los cuales son de texto y otros de divulgación científica.

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A mis padres Ignacio Gutiérrez Arellano y Consuelo Aranzeta Servin por su cariño y ejemplo que me han servido de guía.

A mi esposa Sandra María Gaytán Olivas por su comprensión y compañía durante estos últimos 34 años de mi vida y por su amor que me ha impulsado a ser lo que soy.

A mis hijos Carlos, Sandra y Raúl por su amor y por ser, al igual que mi esposa, los motores de mi vida.

A mi nieto José Carlos por ser una luz que me motiva a estar vivo.

A la maestra Yolanda Cortés de Núñez por su apoyo y confianza.


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Contenido Unidad I Introducción al conocimiento de la física. . .

1

Evaluación diagnóstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Capítulo 1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Qué es la física? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Por qué es importante estudiar física? . . . . . . . . Bosquejo histórico de la física . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La física y su relación con otras ciencias . . . . . . . Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arma tu mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluación formativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pasatiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Te habías imaginado que… . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Creatividad en la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 5 7 10 11 14 15 16 18 19 20 22 22

Capítulo 2 Magnitudes físicas y su medición. . 23 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El método científico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnitudes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El proceso de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unidad de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformación de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . Notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Errores en las mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Incertidumbre experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . Incertidumbre de medidas reproducibles . . . . . . . Incertidumbre de medidas no reproducibles . . . . Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tablas de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción a la graficación de resultados . . . . . Elaboración de gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arma tu mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluación formativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 24 25 26 27 27 29 31 33 35 35 36 37 38 39 40 42 43 45 47 48 50 52

Pasatiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Te habías imaginado que… . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Creatividad en la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 55 59 60 60

Capítulo 3 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnitudes escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . Clasificación de los vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . Vector deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vector fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma de vectores colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . Algunas propiedades de los vectores . . . . . . . . . . . Igualdad de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedad conmutativa de la suma . . . . . . . . . Propiedad asociativa de la suma . . . . . . . . . . . Negativo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma de vectores perpendiculares . . . . . . . . . . . . Método del teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . Método de la ley de coseno y la ley de senos . . . Ley de cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplicación de un vector por un escalar . . Vector unitario o versor . . . . . . . . . . . . . . . . . . Componentes de un vector . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de vectores expresados en función de los vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma de vectores por el método de las componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arma tu mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluación formativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pasatiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Te habías imaginado que… . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Creatividad en la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 62 63 64 64 65 65 67 68 68 68 68 68 69 69 70 70 71 71 72 72 73 74 75 78 79 80 81 83 85 87 88 90 90 91

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Unidad II Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Evaluación diagnóstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Capítulo 4 Movimiento en una dimensión . . 95 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Breve historia del estudio del movimiento . . . . . . 96 Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Posición de un objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Vector de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Distancia y desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Rapidez y velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Rapidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Rapidez media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Velocidad instántanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Movimiento rectilíneo uniforme . . . . . . . . . . . . . . 108 ¿Cómo se describe el movimiento rectilíneo uniforme? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Movimiento rectilíneo con aceleración constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Caída libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Tiro vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Arma tu mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Evaluación formativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Pasatiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 ¿Te habías imaginado que… . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Los físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Creatividad en la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Capítulo 5 Movimiento en dos dimensiones . .151 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Tiro horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Tiro oblicuo o movimiento parabólico . . . . . . . . . . 155 Velocidad de disparo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Posición del proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Velocidad del proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Tiempo en que un proyectil alcanza la altura máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Tiempo de vuelo de un proyectil . . . . . . . . . . . . . . 159 Alcance horizontal de un proyectil . . . . . . . . . . . . 159

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Altura máxima del proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Velocidad lineal (tangencial) . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Aceleración centrípeta (radial) . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Desplazamiento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Velocidad angular instantánea . . . . . . . . . . . . . . . 169 Movimiento circular uniformemente acelerado . . 171 Relación entre cantidades angulares y lineales . . 173 Relación entre velocidad lineal y velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Relación entre aceleración tangencial y aceleración angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Relación lineal total de un punto de un cuerpo en rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Aceleración lineal total de un punto de un cuerpo de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Arma tu mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Evaluación formativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Pasatiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 ¿Te habías imaginado que… . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Los físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Creatividad en la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Unidad III Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Trabajo, potencia y energía mecánica Evaluación diagnóstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Capítulo 6 Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . 195 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Fuerza de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Fuerza de fricción estática (fs) . . . . . . . . . . . . . 199 Fuerza de fricción dinámica o cinética (fk) . . . 199 Fuerza de fricción por rodamiento (o por rodadura) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Coeficiente de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Masa inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Primera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 La aceleración es inversamente proporcional a la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Diagrama de cuerpo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208


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El peso de un cuerpo. Caso especial de la segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Consistencia entre la primera ley de Newton y la segunda ley del movimiento . . . . . . . . . . . 211 Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Fuerza centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Estrategia para la solución de problemas en los que se aplican las leyes de Newton . . . 215 Bloque sobre un plano inclinado sin fricción . 215 Bloque sobre un plano inclinado con fricción 217 Movimiento combinado de un bloque . . . . . . 218 Máquina de Atwood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Solución alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 El auto que da vuelta en un camino plano . . 223 Fuerza de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Ley de la gravitación universal . . . . . . . . . . . . 224 Fuerza gravitacional entre dos cuerpos de un kilogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Arma tu mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Evaluación formativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Pasatiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 ¿Te habías imaginado que… . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Los físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Creatividad en la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Plano inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Poleas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Torno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Transmisión como poleas y bandas . . . . . . . . . . . . 277 Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Arma tu mapa conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Evaluación formativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Pasatiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 ¿Te habías imaginado que… . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Los físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Creatividad en la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Apéndice A Cifras significativas . . . . . . . . . . Apéndice B Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . Apéndice C Constantes físicas . . . . . . . . . . . Apéndice D Datos astronómicos . . . . . . . . . . Apéndice E Factores de conversión . . . . . . . . Soluciones a los problemas . . . . . . . . . . . . . Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

307 307 311 311 312 313 319

Capítulo 7 Trabajo, potencia y energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Energía potencial gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . 257 Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Teorema de trabajo-energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . 263 Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Aplicaciones del principio de conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Energía potencial elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Potencia y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Máquinas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Palanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

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Prólogo En la actualidad, el ser humano necesita contar con una sólida formación científica para poder comprender el mundo que lo rodea. Esto le permitirá no sólo obtener un mayor beneficio en el uso y aplicaciones de los aparatos e instrumentos tecnológicos de su entorno, sino además tomar mejores decisiones en beneficio de sí mismo, la sociedad y la naturaleza. Esta formación científica incluye el aprendizaje de la física, disciplina considerada por muchos el pilar de la ciencia y la tecnología modernas. La física es la ciencia natural que ha logrado los mayores avances en la explicación de una gran cantidad de fenómenos y además representa el mejor ejemplo de cómo el conocimiento humano ha progresado. Por estas razones, su estudio se incluye como una materia básica en bachillerato. En virtud de la importancia que tiene la física para cualquier persona y para la sociedad en general, el aprendizaje de esta disciplina a nivel medio superior debe comprenderse como una actividad cultural que requiere de la adquisición de conocimiento y habilidades, cierta experiencia en actividades científico-investigadoras y por último, actitudes y valores que posibiliten al alumno, y al docente, reconocer los beneficios de la ciencia y los inconvenientes del uso irresponsable de los conocimientos científicos. Este libro ha sido elaborado para: 3 Atender los más recientes cambios en el programa de estudios de la asignatura Física I del Bachillerato General. 3 Incluir las tendencias mundiales en la enseñanza de la física al promover en el estudiante la compresión de los conceptos y leyes que rigen esta ciencia a partir de sus conocimientos previos, intuiciones y la presentación de aplicaciones de la física en la vida cotidiana. 3 Demostrar que la física es una ciencia que ayuda a comprender los fenómenos que ocurren a nuestro alrededor y que es precisamente esta compresión lo que nos permitirá vivir de manera racional y efectiva. 3 Presentar algunos de los avances más sobresalientes de la física para despertar el interés de los alumnos por esta ciencia. Esta información ayudará al joven a entender el comportamiento real del universo y la posibilidad de vivir de manera diferente en el futuro. 3 Responder a las características y nivel de conocimientos de los estudiantes que ingresan al nivel medio superior, así como a las necesidades que tienen los profesores de contar con un texto que los apoye de manera efectiva en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la física. 3 Despertar el interés del estudiante por el aprendizaje de la física al valorar la relación de esta ciencia con el desarrollo tecnológico y su vida cotidiana. Además de lo anterior, este libro presenta las siguientes características: 1. Está organizado de acuerdo al número de unidades que propone el nuevo plan de estudios de la materia Física I : Unidad I Introducción al conocimiento de la Física En esta unidad se proporcionan los elementos básicos para abordar los temas fundamentales de la Física. viii


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Unidad II Movimiento En esta unidad se analizan los movimientos en una y dos dimensiones. Unidad III Leyes de Newton, trabajo, potencia y energía. En esta unidad el alumno podrá interpretar las leyes de Newton, la ley de la gravitación universal, las condiciones en que se produce un trabajo mecánico y la rapidez con la que se realiza al estudiar la potencia mecánica. Además, estudiará la energía mecánica tanto potencial como cinética, así como la ley de conservación de la energía. 2. El lenguaje empleado es claro y sencillo. Cuando un término se utiliza en la vida cotidiana con un significado diferente al que tiene en física, se presenta la aclaración pertinente. 3. La presentación de contenidos se inicia a partir de las experiencias cotidianas de los estudiantes y, conforme se desarrollan a lo largo de la obra, el nivel y profundidad de éstos aumenta, de manera que los conocimientos que adquieren los alumnos en este texto les permitirá continuar sin dificultad el curso de Física II, así como resolver satisfactoriamente los reactivos de mecánica que aparecen en los exámenes de ingreso al nivel superior. 4. El texto incluye gran cantidad de imágenes y diagramas que dirigen y mantienen la atención de los alumnos. La idea de incluir estas ilustraciones y figuras es permitir la explicación, en términos visuales, de lo que sería difícil comunicar en forma verbal. Para cumplir el propósito de apoyar al alumno en su aprendizaje y al profesor en su trabajo en clase, el libro incluye las siguientes secciones: Introducción Este primer texto pretende despertar el interés de los alumnos por los contenidos que estudiará al presentar un breve panorama de éstos, así como una valoración de su importancia en la vida cotidiana. Evaluación diagnóstica En este apartado se presenta una serie de preguntas que permitirán determinar y valorar el conocimiento previo que tienen los alumnos con respecto a los contenidos que se estudiarán en la unidad. Descubre la física Estas pequeñas notas presentan de manera breve y curiosa situaciones cotidianas o fenómenos que tienen una explicación científica gracias al conocimiento que se tiene de los conceptos y leyes de la física. Problemas ejemplo Con el propósito de que el alumno refuerce los conceptos que se analizan en el texto y sobre todo, comprenda los pasos que se deben seguir en la solución de problemas, en cada capítulo se presentan problemas resueltos en los que se incluyen el planteamiento, la solución y la aplicación práctica. Glosario Esta sección aparece al final de cada capítulo y en ella se incluyen los principales términos y conceptos que se manejaron en el contenido. Este apartado también define los principios y leyes de la física. Arma tu mapa conceptual En esta novedosa sección se invita al alumno a completar un mapa conceptual con la ayuda de un recuadro de términos clave. La dinámica de esta actividad consiste en hacer reflexionar al estudiante de manera más concreta sobre conceptos básicos de física. ix


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Evaluación formativa Esta sección aparece al final de cada capítulo y tiene como objetivo principal identificar las deficiencias en el aprendizaje de los alumnos cuando todavía se está en posibilidad de remediarlas. Todas las evaluaciones formativas se conforman de diversas clases de reactivos. Formulario En esta sección se concentran todas las fórmulas que aparecen en el capítulo, así como una serie de pequeñas notas que sirven como “acordeón” para los estudiantes. La estructura que conservan estos formularios parte de las ideas y sugerencias hechas por muchos de mis alumnos. Problemas Aparecen en cada capítulo y su objetivo es que el alumno los pueda resolver con las herramientas que el texto le ofrece. Algunos de los problemas que aparecen en esta sección son semejantes a los que se analizan en la sección Problemas ejemplo; sin embargo, hay otros que requieren de un conocimiento más profundo y de aplicaciones más complejas. Los problemas por resolver sólo requieren del empleo de las unidades del Sistema Internacional de Unidades. Pasatiempos Este apartado representa una de las características más significativas de esta obra, ya que se presentan ejercicios y problemas en forma de juegos o crucigramas. Algunas de las dinámicas que se presentan en esta sección son sólo una forma de repaso, pero hay otras que requieren de la aplicación de los conocimientos desarrollados en el capítulo. Cada ejercicio o juego presenta distintas reglas que despiertan el ingenio e interés de los alumnos. Actividades Dado que la física es una ciencia experimental, las actividades que se sugieren en estas secciones, ubicadas al final de cada capítulo, invitan a los alumnos a realizar experimentos con materiales sencillos y de bajo costo. Además, ofrecen la ventaja de poderse realizar en el aula, en el laboratorio o en su casa. El hecho de que los alumnos puedan llevar a cabo experimentos sencillos mejora considerablemente el aprendizaje significativo de los alumnos. Entre los objetivos de estas actividades se encuentra el de impulsar tanto su capacidad de observación y análisis como su creatividad. ¿Te habías imaginado que… En la mayoría de los libros de texto se deja de lado presentar al estudiante las aplicaciones prácticas, y sorprendentes, que tienen las disciplinas que estudia. En esta obra se busca que el lector ubique en su contexto cotidiano las aplicaciones que tiene la física; por esta razón, este apartado presenta de manera breve y clara los diversos usos que áreas como la medicina, la biología y la química hace de la física. Los físicos En esta sección se incluyen biografías de algunos científicos que dejaron un legado importante en la física. Los textos de estas secciones permiten comprender que los seres humanos pueden llegar a trascender a través de sus descubrimientos y que las ciencias, como la física, son el producto de la inteligencia humana. Creatividad en la física Dadas las actuales reformas a los planes de estudio para la materia de Física, se hace necesario incluir en los libros de texto actividades que desarrollen las capacidades de los alumnos para trabajar en equipo, tomar x


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decisiones y construir un proyecto novedoso y didáctico. El objetivo de este apartado es que los estudiantes, a partir de sus conocimientos de la disciplina, diseñen un periódico mural en el que, a través de la investigación documental y de campo muestren las aplicaciones reales e inmediatas de la materia. Evaluación sumativa Esta clase de evaluación se compone de 20 reactivos de opción múltiple que el alumno debe responder para evaluar lo que aprendió de los capítulos que integran la unidad. La calificación, o promedio, que el alumno obtenga le proporcionará mayor información para determinar qué tan preparado está para resolver las evaluaciones que posteriormente aplicará el profesor. El libro cuenta con seis apéndices: 3 Respuestas a los problemas 3 Cifras significativas 3 Matemáticas (que incluye, entre otros temas, símbolos, funciones trigonométricas, álgebra y ecuaciones) 3 Constantes físicas 3 Datos astronómicos 3 Factores de conversión Estos apéndices representan un apoyo que puede ser consultado por los estudiantes cuando sea necesario. La manera en la que está integrada esta obra promueve la participación activa de los alumnos en su aprendizaje; además, les ayuda a desarrollar habilidades que les serán útiles en sus estudios y en su vida personal. El desarrollo de los contenidos se ha hecho de tal manera de que el alumno reconozca que la física es una ciencia natural, fácil de comprender y aprender. Espero que este texto cumpla con el propósito con el cual fue escrito de manera que sea un apoyo tanto para los alumnos como para mis compañeros profesores. Finalmente, quiero a agradecer a todas aquellas personas que participaron de una manera u otra en la elaboración de esta obra.

Carlos Gutiérrez Aranzeta

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Unidad Introducción al conocimiento de la física Objetivo de la unidad Al término de esta unidad, los estudiantes podrán resolver problemas de medición y aplicación de las magnitudes fundamentales, derivadas, escalares y vectoriales de la física, con base en la aplicación del método científico, la observación, explicación y valoración de situaciones de la vida cotidiana.

Contenido Capítulo 1 Generalidades Capítulo 2 Magnitudes físicas y su medición Capítulo 3 Vectores

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Física 1 • Unidad I

Evaluación diagnóstica Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Qué estudia la física?

2. ¿De qué manera contribuye la física al mejoramiento de nuestro nivel de vida?

3. ¿Qué relación existe entre la física y las otras ciencias naturales?

4. Menciona cuatro científicos que hayan contribuido al desarrollo de la física

5. ¿Qué es el método científico?

6. ¿Por qué es importante medir?

Para responder estas preguntas estudiaremos… • Qué es la física

7. ¿Cómo se debe expresar el resultado de una medición?

• Importancia de la física • Bosquejo histórico de la física • Clasificación de la física

8. ¿Qué características deben tener ciertas magnitudes físicas para poder ser representadas por un vector?

• La física y su relación con otras ciencias • Qué es la ciencia

9. ¿El desplazamiento es una magnitud vectorial?

10. ¿Por qué es diferente sumar magnitudes vectoriales que sumar magnitudes escalares?

• Errores en las mediciones • Incertidumbre en las medidas • Tablas y gráficas • Análisis dimensional • Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales

• El método científico

• Clasificación de los vectores

• Propiedades de la materia

• Propiedades de los vectores

• Magnitudes físicas

• Desplazamiento

• El proceso de medición

• Suma de vectores

• Unidad de medida

• Resta de vectores

• Transformación de unidades

• Multiplicación de un vector por un escalar

• Notación científica

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Capítulo

1 Generalidades Objetivo Objetivo

Al término de este capítulo, los estudiantes reconocerán la importancia de la física, los métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia y la tecnología con base en el análisis de los beneficios que le aportan en su vida cotidiana.

Introducción

Introducción

Actualmente el ser humano depende de una gran cantidad de aparatos para realizar muchas de sus actividades cotidianas. Por ejemplo, una persona para comunicarse con un amigo que se encuentra a cientos de kilómetros de donde vive emplea un teléfono; para prepararse una salsa con jitomates, cebolla y cilantro, emplea una licuadora; para transportarse de donde vive a la playa utiliza un automóvil; para poder leer este libro en ausencia de luz solar emplea la luz producida por una lámpara. En fin, se puede hacer una lista interminable de aparatos que el hombre ha construido para hacer más placentera y fácil su vida, y cuyos principios de operación se basan en leyes de la física. Por otra parte, el hombre siempre se ha interesado por entender la naturaleza, ya que su comprensión le ha permitido obtener beneficios para alimentarse, para cambiar su lugar de residencia a lugares más cálidos y con agua; para identificar las principales propiedades de los materiales para su beneficio. Por ejemplo, en un principio el hombre se interesó, entre otras cosas, en la

construcción de una espada más resistente y ligera que le permitiera tener ventajas al enfrentarse a un depredador o a otro hombre armado con una espada menos resistente y más pesada; del mismo modo, en la actualidad al ser humano le interesa la elaboración de materiales que tengan una resistencia eléctrica tan baja que permitan la circulación de la corriente eléctrica desde la planta generadora de energía eléctrica hasta el sin pérdidas de energía. Pues bien, la física es una ciencia que se preocupa lo mismo por la comprensión de muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza que de la identificación de las propiedades de los materiales no tan sólo para satisfacer su curiosidad, sino para obtener beneficios. En este capítulo iniciaremos el estudio de la física, señalaremos su importancia y su relación con otras ciencias; asimismo, presentaremos una breve reseña histórica de esta ciencia.

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¿Qué es la física? En la naturaleza ocurren una gran cantidad de fenómenos; vemos que la mayoría de los objetos al ser soltados cerca de la superficie terrestre se mueven verticalmente hacia abajo, que el Sol sale todos los días por el oriente y se oculta por el occidente; que las plantas crecen si se riegan con agua, pues de lo contrario se secan, etcétera. Estos ejemplos nos permiten evidenciar que los fenómenos que se presentan en la naturaleza son diferentes. Ante tal diversidad de fenómenos, el ser humano agrupó aquellos que son parecidos. Así, por ejemplo, los fenómenos que están relacionados con el Sol, los planetas y las estrellas son agrupados y estudiados por la astronomía. De la misma manera, los fenómenos que se relacionan con los animales, las plantas, las bacterias y las células son agrupados y estudiados por la biología. La caída de los cuerpos, la propagación del sonido en el agua, la refracción de la luz al pasar por una lente, la formación del arco iris, la fusión del hielo, etcétera, son fenómenos estudiados por la física (Figura 1.1).

Figura 1.1 La caída de los cuerpos y el arco iris son fenómenos estudiados por la física.

La agrupación de los fenómenos en diversas ciencias fue hecha por el ser humano para simplificar y reducir el campo de estudio de la naturaleza y para poder profundizar en él. Sin embargo, muchos de esos fenómenos tienen que ser estudiados por dos o más ciencias simultáneamente. Por ejemplo, la biología estudia a la célula, pero el movimiento de las sustancias a través de la membrana de la célula es un fenómeno físico estudiado por la biofísica, la cual es una combinación de biología y física. En la actualidad muchas

ciencias necesitan los conceptos y leyes de la física para poder estudiar sus campos respectivos. Ya sabemos que la física es una ciencia que permite explicar algunos hechos que se presentan en la naturaleza, pero, ¿qué es la física? Dar una respuesta precisa acerca de qué es la física no es sencillo, toda vez que abarca el estudio de múltiples fenómenos naturales, sin embargo podemos decir que la física es una ciencia natural ya que se encarga del estudio y comprensión de algunos fenómenos que ocurren en la naturaleza. También podemos señalar que es una ciencia basada en observaciones, mediciones, hipótesis, leyes y teorías. La física está en constante evolución; se ha desarrollado con el trabajo de científicos como Aristóteles, Arquímedes, Galileo, Newton, Maxwell, Einstein y muchos más. Es una ciencia que ha contribuido tanto al actual desarrollo tecnológico como a la evolución y crecimiento de otras ciencias (Figura 1.2). La física es una ciencia cuyo dominio incluye el estudio de objetos tan pequeños como los quarks y tan enormes como el propio Universo. Finalmente, podemos decir que la física es una ciencia comunicable que se enseña, se aprende, se desarrolla y se aplica. Para dar respuesta a qué es la física se pueden dar las siguientes definiciones, las cuales son las que se presentan con mayor frecuencia en los libros especializados en esta ciencia: 3 La física es la ciencia que estudia la energía, sus manifestaciones y transformaciones, y su relación con la materia. 3 La física es la ciencia natural que trata del comportamiento y la comprensión de la materia y de sus interacciones en el nivel más fundamental. A primera vista estas definiciones de física parecen no tener nada en común. Sin embargo, la realidad es otra, ya que en dichas definiciones se establece que a la física le interesa predecir y explicar el comportamiento de la materia. Con el fin de justificar esta última afirmación consideremos en primer lugar que la materia es todo cuanto existe en el Universo y se halla constituida por partículas fundamentales (como los electrones y protones), generalmente agrupados en átomos y moléculas. Para poder explicar cómo es que se agrupan las partículas fundamentales, los átomos y las moléculas hay que hacerlo en función de las interacciones (fuerzas) entre las partículas fundamentales, los átomos y las moléculas. La equivalencia entre dichas definiciones también se justifica cuando en años re-

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Capítulo 1 • Generalidades

otras ciencias como la

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química biología

La física ha influido en

geología

astronomía

el hogar actividades humanas vinculadas con

las comunicaciones

la industria la educación el campo

cientes los físicos han comprobado que la materia y la energía son dos aspectos de una misma realidad física y que una puede convertirse en otra como veremos más adelante. Con el propósito de responder de manera más precisa a la pregunta ¿qué es la física? podemos afirmar que es una ciencia natural que estudia el movimiento de los cuerpos, los fenómenos térmicos, la luz, el sonido, la electricidad, el magnetismo y la estructura de la materia. La física actual es capaz de explicar con el mismo conjunto de leyes con resultados satisfactorios el comportamiento de objetos tan diversos como las partículas fundamentales, las estrellas lejanas, los automóviles en movimiento o los satélites de comunicación que giran alrededor de la Tierra, porque se enfoca en cuestiones que son verdaderamente esenciales en cuanto a la manera en que se comporta la naturaleza.

¿Por qué es importante estudiar física? Esta pregunta puede tener diferentes respuestas, según los intereses de quien la responda. Por ejemplo, un profesor de física puede decir que se debe estudiar esta ciencia porque le gusta impartir sus clases a muchos alumnos, pero si se trata de un alumno que pretende ser ingeniero, dirá que el estudio de la física le proporciona conocimientos que le permitirán comprender a fondo los temas de su especialidad. También habrá estu-

Figura 1.2 La física es una ciencia que ha contribuido al progreso de otras ciencias y muchas actividades humanas.

diantes que piensen que deben aprender los contenidos de los cursos de física porque necesitan acreditarlos para continuar con sus estudios superiores. Estas respuestas son válidas; sin embargo, no son las únicas, pues existen otras razones igualmente importantes por las cuales vale la pena estudiar física. Entre las llamadas ciencias naturales, la física es la que ha logrado mayores avances en cuanto a la explicación de la forma en que se comporta el mundo que nos rodea. También es el mejor ejemplo de la manera en que ha progresado el conocimiento humano. Por ello no resulta exagerado decir que la física tiene una importancia cultural innegable e imposible de ignorar en el mundo actual. Tan inculta debería considerarse a la persona que no tiene una idea, aunque sea vaga, sobre quiénes fueron Napoleón, Cervantes de Saavedra y Picasso, como aquella que no sabe, aunque sea vagamente, qué descubrimientos hizo Galileo o por qué la Luna puede girar en torno a la Tierra sin un motor que la impulse. Esto justifica el porqué todo ciudadano debe aprender lo fundamental de la física. El estudio de esta ciencia les permite a los seres humanos comprender mejor el mundo que les rodea, con lo que dejan de tener temores y creencias supersticiosas. Por ejemplo, aquellas personas que no han tenido la oportunidad de estudiar física, consideran en muchas ocasiones que un eclipse de Sol es un mal presagio en sus vidas. Sin embargo, una persona que ha estudiado física, sabe que un eclipse de Sol es un fenómeno natural que se presenta cuando se encuentran alineados el Sol, la Luna y la Tierra, y la Luna está ubicada entre el Sol y la Tierra como se muestra en la

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figura 1.3. Es decir, que un eclipse de Sol se presenta cuando una pequeña región de la Tierra se oscurece porque la Luna se interpone en el camino de la luz solar. El único peligro que se puede presentar durante un eclipse de Sol es que las personas se dañen los ojos por observarlo directamente, pero sería el mismo daño en los ojos que si observaran directamente el Sol, aunque no haya eclipse. No cabe duda que el estudio de la física contribuye a Tierra Luna Sol que los seres humanos seamos más libres y tengamos una vida más plena. El estudio de la física nos proporciona el conocimiento necesario para poder comprender muchos Figura 1.3 Eclipse de Sol. La fenómenos naturales. Luna se encuentra entre el Sol y Por ejemplo, se ha la Tierra. observado que los cocodrilos engullen piedras. En un principio los biólogos pensaron que lo hacían con el propósito de mejorar su digestión, pero después de diversas observaciones y estudios, los propios biólogos, con ayuda de los físicos, concluyeron que el hecho de que los cocodrilos engullan piedras se debe a que así controlan su línea de flotación. Es decir, aumentan su masa y por tanto su densidad, con lo cual provocan un mayor hundimiento y que sólo una parte pequeña de su cuerpo emerja del agua, con lo que camuflajean su presencia en los lagos y ríos (Figura 1.4a). Todos hemos visto ascender y descender a los peces en el seno del agua, pero, ¿cómo lo consiguen? La respuesta se obtiene con los conocimientos que proporciona la física. Para poder nadar, los peces poseen

Figura 1.4a Al aumentar la densidad de los cocodrilos por engullir piedras y ser mayor que la densidad del agua, éstos se hunden más.

la vejiga natatoria que está llena de oxígeno y nitrógeno procedentes de la sangre; al variar la cantidad de gas contenido en la vejiga, el volumen total del pez se modifica sin cambiar su masa y con ello ajusta su densidad según desee ascender o descender en el agua (Figura 1.4b). Es decir, si el volumen del pez aumenta, disminuye su densidad del agua, por lo que éste asciende. Por el contrario, si el volumen del pez disminuye, aumenta su densidad a un valor mayor que el de la densidad del agua, por lo que éste desciende. Con el fin de ilustrar cómo es posible que un objeto cualquiera puede flotar o hundirse en el agua, realiza la actividad correspondiente al final del capítulo.

Figura 1.4b Gracias a la vejiga natatoria, los peces controlan sus ascensos y descensos en el agua.

Sin los conocimientos que proporciona la física, estos hechos serían conocidos, pero no comprendidos. La física es una ciencia natural cuyos conceptos, principios, leyes y teorías son aprovechados por el ser humano para diseñar y construir una gran cantidad de aparatos que hacen más cómoda nuestra vida. Por ejemplo, el horno de microondas nos permite calentar los alimentos en pocos minutos o segundos con sólo apretar un par de botones. Si no existiera este aparato,

Figura 1.5 El horno de microondas reduce el tiempo de cocción y de calentamiento de los alimentos.

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tardaríamos más tiempo en calentar los alimentos (Figura 1.5). La secadora elimina el agua de la ropa en unos cuantos minutos, de manera que una persona que se haya caído en una alberca y mojado su ropa no tiene más que meterla en la secadora, esperar unos minutos y ponérsela nuevamente ya seca. Éstos y otros aparatos que se emplean en el hogar fueron diseñados tomando en cuenta las leyes de la física. Los conceptos y leyes de la física han sido utilizados para comunicarnos y transportarnos con más facilidad, comodidad y rapidez. Por ejemplo, la aplicación de las leyes del electromagnetismo y otras leyes físicas permitió a los ses poner en servicio comercial, en 1981, el tren de gran velocidad (TGV) de París a Lyon, el cual puede viajar a una velocidad máxima de 380 km/h. A pesar de que esta velocidad nos puede parecer enorme, no es suficiente para el ser humano, pues el transrapid —que es un vehículo de sustentación magnética diseñado por los alemanes— puede viajar a una velocidad de 412.6 km/h. No cabe duda que la física es una ciencia que le ayuda al hombre a materializar muchos de sus sueños.

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Descubre la física Gracias a la física sabemos que las moscas vuelan igual en tu habitación que en el interior de tu auto cuando éste se desplaza a una velocidad constante.

futuras innecesariamente, contribuyendo así a su propio bienestar. Una adecuada comprensión de lo que es la física, en particular, y de lo que son las ciencias naturales, en general, ayudaría a los profesionales “no científicos” como economistas, es y abogados, que ocupan cargos de importancia, a tomar decisiones racionales y bien fundamentadas en materias tan vitales como el desarrollo energético, el empleo de los recursos naturales y el control de la contaminación ambiental. La falta de una buena formación en ciencias naturales de muchos mandatarios ha provocado que sus decisiones, aunque sean tomadas con la mejor intención, generen un agotamiento de los recursos naturales, un incremento en la contaminación y una mayor pobreza de la población que gobiernan. Podemos concluir que la física es una ciencia que debemos estudiar porque está presente en una gran cantidad de objetos e instrumentos que nos rodean, en actividades que realizamos cotidianamente y en hechos que observamos en la naturaleza.

Bosquejo histórico de la física

Figura 1.6 El esfigmomanómetro se emplea para medir la presión máxima y mínima del corazón.

Asimismo, la comprensión de los conceptos y leyes de la física le ha permitido al hombre construir dispositivos como la balanza, el termómetro, el esfigmomanómetro que le hacen posible medir su masa, temperatura y presión sanguínea, respectivamente (Figura 1.6). La mayoría de los aparatos de medición que se emplean en la actualidad basan sus principios de operación en leyes físicas. Otra razón que justifica la importancia del estudio de la física es que esta ciencia puede ayudar al ser humano a interactuar con la naturaleza de tal modo que no ponga en peligro el bienestar de las generaciones

La física es una ciencia que surge cuando el ser humano siente la necesidad de explicar el porqué ocurren los hechos que suceden a su alrededor y cuando intenta dar respuestas a interrogantes como ¿por qué el Sol emite luz?, ¿por qué el día y la noche?, ¿por qué existe el arco iris?, ¿por qué los peces nadan y las aves vuelan? Se cree que el ser humano tuvo más tiempo para pensar en las respuestas a éstas y otras interrogantes cuando se volvió sedentario y pudo relacionar las posiciones de los astros en el cielo con el crecimiento de plantas como el trigo y el maíz. Estos conocimientos le permitieron sembrar y cosechar suficientes granos para alimentar a su familia durante un año. Este hecho le permitió, entre otras cosas, disponer de más tiempo libre para reflexionar en las interrogantes anteriores y en otras más como ¿cuál es la causa de la regularidad en el movimiento de los objetos celestes?, ¿de qué está hecha la Tierra?, ¿qué es el hombre?, etcétera. Es a par-

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tir de estas interrogantes acerca del mundo y del ser humano que nace la filosofía. Es decir, la filosofía se origina en los pueblos primitivos cuando ellos tratan de encontrar una explicación racional sobre el mundo y lo que en él acontece sin recurrir a los mitos ni a la magia. Como resultado de lo anterior, las civilizaciones prehelénicas que se desarrollaron en Mesopotamia, en Egipto y en el Mediterráneo Oriental, nos han dejado numerosos testimonios de sus conocimientos “físicos”: observaciones astronómicas, intentos de explicación del Universo por medio de hipótesis mitológicas, así como recetas técnicas para el establecimiento de las primeras unidades de longitud, peso y capacidad, y la medición del tiempo. Los historiadores occidentales de la ciencia señalan que únicamente los conocimientos astronómicos de las culturas prehelénicas tienen un valor comparable a los de la ciencia griega. Todas las corrientes separadas de conocimiento del mundo antiguo confluyeron en Grecia, donde fueron filtradas, purificadas y canalizadas en cauces nuevos y mucho más aprovechables, gracias al genio maravilloso de aquella raza, que fue la primera de Europa en salir de la oscuridad. Los primeros filósofos griegos intentaron comprender el mundo por el doble camino de la observación de los hechos y del razonamiento. Se puede considerar que la física nace en el mundo occidental cuando los griegos tratan de responder interrogantes relacionadas con la estructura del mundo en que vivimos. Sabemos que estos filósofos propusieron diversas soluciones para explicar la estructura del mundo, entre ellas, la del agua (Tales de Mileto), la de los cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua (Empédocles), o la de los átomos (Leucipo, Demócrito y Epicuro). Otros, sin embargo, centraron sus intereses en casos más concretos como la óptica (Euclides) o la hidrostática y estática (Arquímedes). Muchos de los historiadores coinciden al considerar a Arquímedes (287-212 a.C.) como el gran físico de la Antigüedad (Figura 1.7) ya que pudo combinar las matemáticas con la investigación experimental. La obra de Arquímedes es considerable y atañe tanto a las matemáticas como a la física. Se le atribuye la teoría de la palanca (“De un punto de apoyo y levantaré al mundo”), y los fundamentos de la estática de los sólidos y de la hidrostática (el principio de Arquímedes). Además, contribuyó en el diseño de diversos dispositivos técnicos como la rueda dentada y el

Figura 1.7 Arquímedes dejó una decena de trabajos, dos de ellos (sobre los centros de gravedad y el tratado de los cuerpos flotantes) dedicados a cuestiones de física y el resto son tratados matemáticos.

tornillo hidráulico. Sin embargo, los albores de la ciencia en general estuvieron dominados por la autoridad de Aristóteles (384-322 a.C.). El avance científico iniciado por los griegos se detuvo en Europa en el siglo V d.C. cuando las hordas bárbaras la invadieron y destruyeron todo lo que encontraron a su paso, e introdujeron el oscurantismo. En esa época, otras culturas como la china, la árabe y la maya avanzaban en el conocimiento de las matemáticas, la astronomía y disciplinas como la medicina. La invasión islámica iniciada en el siglo X a España reintrodujo a Europa la ciencia de los griegos. Esto permitió, en el siglo XIII, la creación de las primeras universidades europeas. Este mismo siglo presenció la obra triunfante y aplaudida de Tomás de Aquino (1225-1274) quien fue el máximo exponente de la filosofía escolástica, así como la vida trágica de Roger Bacon (1214-1294), el único hombre de la Europa medieval, por cuanto se sabe, que tenía una visión clara de que sólo los métodos experimentales pueden garantizar la certeza en materias científicas. El primer gran cambio en el enfoque científico fue obra de Nicolás Copérnico (1473-1543), matemático y

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astrónomo polaco, ya que enseñó a los seres humanos a mirar el mundo desde una nueva luz. Lejos de constituir el centro del Universo, como se creía entonces, la Tierra descendió en su sistema hasta el lugar ínfimo, a la categoría de un planeta de tantos, lo cual afectó en su momento la mentalidad y las creencias humanas en otros aspectos importantes. El nacimiento de la física clásica se ubica en el siglo XVII, cuando se enunció la teoría acerca del magnetismo terrestre por William Gilbert (1544-1603), asimismo, se establecieron las bases de la dinámica y se formularon las leyes de la caída libre de los cuerpos por Galileo Galilei (1564-1642). La física galileana tiene como objetivo el establecimiento de leyes matemáticas simples que enuncian relaciones constantes entre magnitudes físicas. Por su parte, Isaac Newton (1642-1727) estableció el concepto de masa, resumió las leyes del movimiento y formuló la teoría de la gravitación universal en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Además, creó el formalismo necesario para su tratamiento matemático y demostró la validez de las leyes del movimiento de los planetas obtenidas empíricamente por Johannes Kepler (15711630). La física newtoniana descansa sobre dos ideas nuevas en esa época: la importancia de la noción de fuerza, concebida como causa del movimiento y la introducción del cálculo infinitesimal en los trabajos sobre el movimiento de los cuerpos. Se puede considerar el siglo XVII como el siglo que presenció el florecimiento de la mecánica de los sólidos y de la mecánica de los fluidos (ecuaciones de Euler y de Lagrange para la hidrodinámica); también asistió al naciente desarrollo de la calorimetría y de la termometría cuando D.G. Fahrenheit (1686-1736) y A. Celsius (17011744), crearon las escalas para medir la temperatura y cuando se formularon las leyes de la calorimetría por Joseph Black (1728-1799), Antoine Lavoisier (17431794) y Pierre Laplace (1749-1827). Por su parte la óptica recibió un fuerte impulso con los trabajos de Cristian Huygens (1629-1695).

Descubre la física Gracias a la física sabemos que a una persona que está parada sobre una superficie carente de rozamiento le será imposible desplazarse, ya sea andando o reptando.

En el siglo XVIII se produjo un especial desarrollo como continuación de los trabajos de Isaac Newton en

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el área de la mecánica clásica. Además, la electricidad, que hasta entonces no había pasado de ser un objeto de exhibición, experimentó un enorme desarrollo gracias a los trabajos de Charles Coulomb (1736-1806). La termodinámica experimentó un desarrollo espectacular con la formulación del segundo principio de la termodinámica, en 1824, por Sadi Carnot (17961832), la formulación del primer principio de la termodinámica por R. Meyer (1814-1878) y por la creación del concepto de entropía por Rudolf Clausius (18221888). En el siglo XIX, las investigaciones se dirigieron hacia el estudio de la corriente eléctrica destacándose los trabajos de G. Simon Ohm (1787-1854). El vínculo entre la electricidad y el magnetismo fue descubierto experimentalmente por Oersted (1777-1851). Otros científicos como A. Ampere (1775-1836) y Michael Faraday (1791-1867) descubrieron las leyes del electromagnetismo que han servido de base para construir motores, generadores y transformadores eléctricos. La confirmación de la teoría ondulatoria de la luz por parte de Thomas Young (1773-1829) y A.J. Fresnel (1788-1827) dio lugar a que J.C. Maxwell (1831-1879) unificara, en 1865, la electricidad y el magnetismo mediante la formulación de la teoría electromagnética, la cual es la primera teoría unificada de la física. Dicha teoría estableció que la luz es una onda electromagnética, lo cual fue confirmado experimentalmente en 1887, por Henry Hertz (1857-1894). Muchos físicos a finales del siglo XIX consideraban que la física había culminado su desarrollo con la integración de la mecánica y la termodinámica con la mecánica estadística y de la electricidad, el magnetismo y la óptica con la teoría electromagnética. Sin embargo, ciertos fenómenos como el carácter corpuscular de la electricidad, la constancia de la velocidad de la luz y la radiación del cuerpo negro, obligaron al replanteamiento de muchas leyes y conceptos físicos, dando lugar al nacimiento de lo que hoy conocemos como física moderna. La física moderna surge con la formulación de la hipótesis de los cuantos de Max Planck (1858-1947) a lo que le siguen el descubrimiento de los rayos x por Wilhelm Roentgen (1845-1923), el estudio de la radiactividad natural por los esposos Curie y el efecto fotoeléctrico explicado por A. Einstein (1879-1955), mediante la hipótesis del cuanto de luz (fotón). La nueva física quedó formalizada mediante los enunciados de las teorías de la relatividad especial (1905) y general (1915) dictados por Einstein y el modelo atómico de Niels Bohr (1885-1962), así como por

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el desarrollo de la llamada mecánica cuántica por varios científicos, entre ellos: Louis De Broglie (18921956) y su dualidad onda-partícula; E. Schrödinger (1887-1961) y la aplicación del concepto de probabilidad de la onda asociada a un corpúsculo; W. Heisemberg (1901-1976), quien formuló el principio de incertidumbre. Con el descubrimiento de más de doscientas partículas elementales, en la actualidad se trabaja en la física moderna para unificar las cuatro interacciones fundamentales conocidas: la gravitatoria, la débil, la fuerte y la electromagnética. Si bien estas tres últimas han permitido realizar enormes avances en cuanto a la unificación, la primera aún resiste este proceso, que intenta cerrarse mediante una teoría de la gran unificación.

Descubre la física Las cerdas de un pincel sucio permanecen separadas cuando está seco, pero vuelven a juntarse cuando éstas se humedecen. El cambio se debe a las fuerzas de atracción producidas por la tensión superficial del líquido en que se moja el pincel.

Los avances en campos como la fisión nuclear, la superconductividad, la física del estado sólido y el rayo láser contribuyen a que el futuro de la física parezca muy prometedor.

Clasificación de la física La curiosidad del ser humano lo impulsó para tratar de averiguar cómo funciona la naturaleza. Puesto que al principio sus únicas fuentes de información fueron sus sentidos, clasificó los fenómenos observados de acuerdo con la manera como los percibía. Así surgieron las siguientes áreas de la física, reunidas bajo el nombre genérico de física clásica. 1. La mecánica fue el área de la física que primeramente se desarrolló. Estudia el movimiento y el equilibrio de los cuerpos sólidos y los fluidos. La caída libre, el movimiento del agua en una tubería, el movimiento de la Luna y las condiciones de equilibrio de una barra soportada por un pivote, son analizadas por esta área. 2. La termodinámica es el estudio de la temperatura, la transferencia de calor, las propiedades de los sistemas de muchas partículas y la transfor-

mación de calor en trabajo y viceversa. Algunos fenómenos de esta área fueron relacionados con el tacto. La fusión del hielo, la solidificación de los metales líquidos, la radiación emitida por los cuerpos calientes y el principio de funcionamiento del calorímetro y del refrigerador son revisados en esta parte de la física. 3. El electromagnetismo es el estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos, y de la relación entre ellos. Las cargas eléctricas en reposo y en movimiento, las propiedades de un imán, la producción de una descarga eléctrica, y el funcionamiento de la pila son algunos de los aspectos que explora esta área de la física. El electromagnetismo no está relacionado directamente con ningún sentido del ser humano capaz de detectar los fenómenos eléctricos y magnéticos, a pesar de ser responsable de una gran cantidad de fenómenos cotidianos. 4. La óptica es el área de la física que estudia los fenómenos relacionados con la luz: su naturaleza, su propagación, su interacción con la materia, las maneras de producirla, de captarla y de analizarla, sus propiedades y su comportamiento en general. El arco iris, la reflexión de la luz, las lentes y la fibra óptica son analizados por esta área, la cual está relacionada con la visión. 5. La acústica es el área de la física que estudia los fenómenos relacionados con la generación, propagación y recepción de sonidos. El eco, las escalas musicales, la velocidad del sonido y el ultrasonido son algunos de los aspectos revisados por esta área vinculada con la audición. Estas cinco áreas abarcan virtualmente todos los fenómenos físicos que nos son familiares. Sin embargo, a finales del siglo XIX, y durante el siglo XX, se descubrieron una serie de fenómenos que no podían ser explicados por los conceptos y leyes de la física clásica. Esto provocó el surgimiento de nuevas áreas de la física capaces de explicar los nuevos descubrimientos. Se trata de la física relativista, la mecánica cuántica, la física del estado sólido, la física nuclear, la física del plasma, entre otras, agrupadas bajo el nombre de física moderna. A continuación se describen cuatro áreas de la física moderna que permiten explicar una serie de fenómenos que escapan de la comprensión de la física clásica. 1. Física relativista. Es el estudio de los fenómenos en el que intervienen velocidades lo suficientemente altas o fuerzas de gravedad tan intensas como para que las leyes de la mecánica clásica

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dejen de ser válidas y cedan el paso a las teorías de la relatividad de Einstein. 2. Física atómica. Es el área de la física moderna dedicada al estudio de las propiedades de los átomos, su estructura, transformaciones e interacciones con la radiación y con el medio que los rodea. 3. Mecánica cuántica. Esta área de la física es aplicable al estudio de fenómenos relacionados con la estructura de la materia, la relación entre la materia y la radiación, y las reacciones nucleares, es decir, del micromundo. De acuerdo con esta área, la energía solamente puede ser emitida o absorbida por cantidades discontinuas llamadas cuantos. Esta parte de la física transformó nuestra visión acerca del funcionamiento de la naturaleza. 4. Física nuclear. Es el área de la física que se encarga del estudio de todos los fenómenos relacionados con el núcleo atómico y las partículas subatómicas. Por ejemplo: la fusión nuclear o la interacción de un núcleo con la radiación o partículas que lo afectan. Es importante señalar, por una parte, que siempre habrá una física moderna, puesto que continuamente habrá una física contemporánea en proceso de actualización y desarrollo; por otra parte, tanto la física clásica como la moderna están relacionadas por un pequeño número de leyes y teorías, de modo que la física permite adquirir una visión unitaria de la naturaleza.

La física y su relación con otras ciencias La física es una ciencia importante porque además de contribuir a la comprensión de la naturaleza y forma de vivir del ser humano, ha influido en el desarrollo de otras ciencias como la astronomía, química, biología, etcétera. La física es importante para muchas ciencias naturales no sólo porque proporciona la base conceptual y la estructura teórica sobre la cual se fundan, sino porque aporta técnicas e instrumentos de medición que pueden utilizarse en la solución de sus problemas. La astronomía es una ciencia que da origen a la física mediante el estudio del movimiento regular de las estrellas y de las irregularidades de algunos planetas. Sin embargo, con el avance de la física, se desarrollan

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nuevas técnicas y aparatos de observación que permiten concluir que las estrellas y planetas están hechos de átomos de la misma naturaleza que los que se encuentran en la Tierra. La interacción entre la astronomía y la física da origen a la astrofísica como una ciencia que utiliza las leyes de la física para el estudio de los astros, su origen, comportamiento, estructura, evolución e interacción con el medio. Asimismo, la física tiene una extensa historia de asociación con la medicina. En los siglos XVII y XIX las principales universidades estaban relacionadas con la religión y la medicina; además no existían escuelas de ingeniería de alguna importancia. Muchos de los primeros descubrimientos importantes de la física pueden atribuirse a hombres preparados en escuelas de medicina. La relación entre la medicina y la física se ha mantenido hasta el siglo XX; una muestra de esto lo constituye el hecho de que en 1962 el premio Nobel de fisiología y medicina fuera otorgado a F. Crick, M. Wilkins y J. Watson por sus trabajos sobre la estructura del ácido desoxirribonucleico (ADN) y el mecanismo del código genético. Pues bien, el norteamericano Watson era biólogo, pero los británicos Crick y Wilkins, físicos. La historia de la ciencia señala que siempre ha existido una estrecha correlación entre los descubrimientos de la física y su uso en la práctica médica. Por ejemplo, a los pocos días que se descubrieron los rayos x, éstos se empezaron a utilizar en los hospitales para localizar fracturas de huesos, obstrucciones y objetos extraños en el cuerpo (Figura 1.8). Los desarrollos de la biología han avanzado al mismo ritmo que la física. Por ejemplo, cuando en el siglo XVIII se perfeccionó el microscopio óptico, la biología incrementó sus conocimientos. Asimismo, las leyes de la física han permitido conocer cómo se llevan a cabo procesos como la circulación de la sangre, la transmisión nerviosa, la audición, la visión y muchos otros fenómenos biológicos. Los laboratorios de investigación biológica actualmente están llenos de instrumentos ópticos y electrónicos cuyo funcionamiento se basa en leyes físicas. Sin estos instrumentos no hubiera sido posible el avance de la genética. La interacción entre la biología y la física dio origen a la biofísica, la cual es una disciplina en la que se aplican las leyes de la física para la comprensión de diversos fenómenos biológicos. La química es otra ciencia natural estrechamente vinculada con la física. Por ejemplo, la teoría de los átomos fue comprobada en gran parte con experimen-

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Los avances que se han tenido en la física no han sido suficientes para que la geología o la meteorología puedan responder interrogantes como ¿cuándo se formará un maremoto?, ¿qué pasa en el interior de la Tierra?, ¿cada cuándo se formará un volcán? Tenemos que reconocer que todavía falta mucho camino por recorrer para comprender el planeta que habitamos. La física, a partir de sus descubrimientos y teorías, propone una visión de la naturaleza y del hombre, y la filosofía reflexiona sobre dicha Figura 1.8 Radiografía de una mano tomada con rayos x; éstos también son utilizados visión. La física y la filosofía para destruir células cancerosas. no deben ni pueden estar separadas. De hecho, la filosofía tos químicos. La tabla periódica de Mendeleev fue expermea la actividad misma de los físicos; por ejemplo, plicada por la mecánica cuántica, de manera que la cuando se aceptan ciertas explicaciones como científicas, química teórica, según Richard Feynman y otros físipero la reflexión que hacen acerca de qué es una explicacos, es física. La interacción entre la física y la químición científica es en realidad una reflexión filosófica. ca dio origen a la fisicoquímica. La física es una ciencia que está presente en activiLa ciencia de los materiales es una aplicación de la dades como los deporfísica y la química que estudia, entre otras cosas, la mates y los juegos. Hoy teria, en tanto es útil para alcanzar un determinado oben día los deportistas jetivo. Desde tiempos muy antiguos, el hombre se ha Cadera de alto rendimiento son interesado por tener mejores materiales para cubrir entrenados de acuerdo sus necesidades. Es el caso de los materiales resiscon los conocimientos tentes y ligeros a la vez, así como los medicamentos que se tienen en anatoo los materiales que pueden ser utilizados como prómía, fisiología y física tesis sin que sean rechazados por el cuerpo humano Prótesis para sacar el mayor (Figura 1.9). provecho de sus cualiLa ciencia de los materiales incluye el estudio de los dades y de las propiesemiconductores, los combustibles que se emplean en un dades del equipo que reactor nuclear, los materiales que se emplean en la Fémur emplean. construcción de satélites para la comunicación, entre La música es un arotros. te que tiene mucho de Las ciencias de la Tierra, como la geología, la mefísica. Esta ciencia nos teorología y la sismología dependen en la actualidad de dice cómo vibra una instrumentos como el termómetro, el pluviómetro, el cuerda de una guitarra sismógrafo, el barómetro y el gravitómetro, cuyo funo el cuero de un tamcionamiento está basado en leyes físicas. bor. La construcción de La relación entre la geología y la física dio origen instrumentos, el estu- Figura 1.9 Los implantes que a la geofísica, la cual es una disciplina que aplica las dio de las resonancias y se utilizan deben ser resistentes leyes de la física al estudio de fenómenos relacionados cualidades de los soni- al desgaste y al impacto. con la Tierra.

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dos, así como la escala musical tienen que ver con la física. Los instrumentos electrónicos no se hubieran podido construir si la física no hubiese avanzado en el conocimiento. La física es una ciencia que de manera indirecta ha influido en la generación y solución de muchos problemas económicos, sociales y políticos que ha vivido y vive la humanidad. Por ejemplo, la producción de la industria textil en 1800 se incrementó notablemente debido a la utilización de las máquinas de vapor y de hilar. Este logro trajo, entre otros beneficios, que el producto (telas) fuera más barato, pero también acarreó problemas sociales, pues la utilización de máquinas generó desempleo. Asimismo, la física es una ciencia que ha dado lugar a muchas aplicaciones tecnológicas. Por ejemplo, cuando la cantidad de información que se generaba por teléfono, computadora o vía télex estaba agotando las capacidades de los cables de cobre para transportarla, se empezaron a utilizar cables de fibra óptica que con su gran capacidad, reducido tamaño y nula interferencia eléctrica, son en la actualidad parte de la clave del desarrollo de las comunicaciones. Una sola fibra óptica es capaz de transmitir por segundo unas 32 000 conversaciones simultáneas. Del mismo modo, la física ha influido en el diseño de nuevos dispositivos para transformar las energías solar, eólica y de los mares a energía eléctrica o mecánica en beneficio del ser humano. Este aprovechamiento de las fuentes de energía tiene tanta importancia para la ciencia como para la sociología, la economía y la política.

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Finalmente, hay que señalar que existe una estrecha relación entre la física y las matemáticas, ya que las leyes de la física se formulan con matemáticas. Éstas constituyen el lenguaje que le sirve a la física para expresar las leyes de la naturaleza y las herramientas que le permiten expresar de manera abstracta razonamientos organizados. No todas las matemáticas se emplean en la física, sólo una parte de sus conceptos y operaciones le resultan útiles. Asimismo, se debe resaltar que algunas ramas de las matemáticas se desarrollaron a partir de la necesidad de hacer física. El cálculo diferencial es un ejemplo.

Descubre la física Gracias a la física sabemos que es posible hervir agua en un recipiente de papel. El calor que la flama trasmite al papel es rápidamente absorbido por el agua, lo que provoca que el papel no alcance su temperatura de ignición.

En síntesis, podemos decir que la física ha contribuido al desarrollo de otra ciencias y que sus instrumentos y técnicas han impulsado el avance de disciplinas como la medicina, la arquitectura y el arte, entre otras. En fin, en todas las actividades humanas, tanto intelectuales como materiales, la física está presente.

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Glosario En esta sección se presentan los principales términos y conceptos que aparecen en el capítulo. El estudio de este glosario te permitirá enfrentar con más recursos cualquier evaluación sobre lo que es la física y su clasificación. Aristóteles. Filósofo y científico de la antigua Grecia (384-322 a.C.) considerado por muchos una de las grandes figuras intelectuales de todos los tiempos. Astronomía. Ciencia que estudia los astros, sus agrupaciones y el espacio en que se mueven. Átomo. Es la mínima porción que puede existir de un elemento. Biofísica. Disciplina en la que se aplican las leyes de la física para la comprensión de diversos fenómenos biológicos. Biología. Ciencia dedicada a investigar los organismos vivos. Calor. Forma de energía que se transmite de los cuerpos de mayor temperatura a los de menor temperatura. Celsius, escala. Escala utilizada para medir temperaturas, se le conoce también como escala centígrada. Ciencia. Cuerpo de conocimientos metódicamente ordenados y sistematizados que permiten explicar y predecir lo que acontece en la naturaleza. Compuesto. Sustancia hecha de dos o más elementos químicos. Densidad. Es la masa de una sustancia que cabe en una unidad de volumen. Dilatación. Es el cambio de tamaño que una sustancia experimenta cuando cambiamos su temperatura. Dureza. Propiedad de los sólidos que consiste en la resistencia a ser penetrados o rayados por otros cuerpos. Eco. Efecto que se produce cuando un sonido se refleja en una superficie sólida. Electromagnetismo. Es el estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos. Energía. Se define como la capacidad de un cuerpo o de un sistema para realizar trabajo. Fenómeno. Es todo cambio que acontece en la naturaleza. Física. Ciencia natural y experimental. Estudia el movimiento de los cuerpos, los fenómenos térmicos, la luz, el sonido, la electricidad, el magnetismo y la estructura de la materia.

Física cuántica. Sinónimo de mecánica cuántica. Es la teoría físico-matemática desarrollada para explicar el comportamiento de los sistemas atómicos y moleculares. Física nuclear. Es la rama de la física que se encarga del estudio de todos los fenómenos relacionados con el núcleo atómico. Física relativista. Es el estudio de los fenómenos físicos en los que intervienen velocidades suficientemente altas o fuerzas de gravedad tan intensas que las leyes de la mecánica clásica dejan de ser válidas. Geología. Disciplina que aplica las leyes de la física al estudio de fenómenos relacionados con la Tierra. Ley. Una ley física es una afirmación que nos dice con exactitud cómo se comporta un sistema físico en ciertas condiciones. Materia. Puede decirse que la materia es todo aquello que tiene masa. Mecánica. Rama de la física que se ocupa del movimiento y equilibrio de los cuerpos y de las leyes que los gobiernan. Medicina. Disciplina que tiene por objeto la conservación y el restablecimiento de la salud. Óptica. Parte de la física que estudia todos los fenómenos relacionados con la luz. Quark. Partícula de la que están formados los protones, los neutrones, los piones y otras partículas llamadas hadrones. Química. Ciencia que trata de la composición de los cuerpos, según la índole, número y disposición de los átomos en sus moléculas, así como de las transformaciones que experimentan las sustancias al variar aquella composición cuando dos o más reaccionan al ser puestas en o. Termodinámica. Parte de la física que estudia todo lo relacionado con el calor y su interacción con la materia y las otras formas de energía.

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Arma tu mapa conceptual 1. Para tener un resumen esquemático de lo que has aprendido en este capítulo, completa el siguiente mapa conceptual. Coloca en cada uno de los espacios en blanco el concepto o término correcto. Te recomendamos que utilices las palabras que aparecen en el recuadro. Compara tu mapa con el de tus compañeros de clase y muéstraselo a tu profesor.

Física se relaciona con

es una

se clasifica en

ciencia

astronomía

clásica integrada por

se divide en

mecánica física relativista

Conceptos clave 3 3 3 3

Medicina Biología Geología Química

3 3 3 3

Música Experimental Natural Moderna

3 3 3 3

Física atómica Mecánica cuántica Física nuclear Termodinámica

3 Electromagnetismo 3 Óptica 3 Acústica

2. Elabora en equipo otro mapa conceptual sobre la física. Procura que incluya los campos que estudia y en qué métodos se basa. Preséntalo al resto de tus compañeros para que lo analicen en clase junto con tu profesor.

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Evaluación formativa I. De los términos que se encuentran entre paréntesis, subraya la opción correcta que complete los siguientes enunciados. 1 La física es una ciencia (natural/social) que puede explicar algunos fenómenos que ocurren en el Universo. 2 La (física/química) es una ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos y la formación del arco iris. 3 La (física/biología) es una ciencia que se ocupa sólo de aquello que puede medirse. 4 Los principios de operación del teléfono se basan en leyes (físicas/astronómicas). 5 La caída de los cuerpos es estudiada por la (geología/física). II. Coloca en el paréntesis de cada afirmación la letra de la opción que corresponda al enunciado. 1 ( ) Con este nombre se designa a la física que incluye la mecánica cuántica y la relatividad. a) física moderna b) física clásica c) física contemporánea d) física general 2 ( ) Esta área de la física estudia los fenómenos relacionados con la generación, propagación y recepción del sonido. a) óptica b) mecánica c) acústica d) termodinámica 3 ( ) Rama de la física que estudia los fenómenos relacionados con la luz. a) óptica b) mecánica c) acústica d) termodinámica 4 ( ) Rama de la física que estudia todo lo relacionado con el calor y su interacción con la materia, y las otras formas de energía. a) óptica b) mecánica c) acústica d) termodinámica 5 ( ) Rama de la física que estudia el movimiento y equilibrio de los cuerpos. a) óptica b) mecánica c) acústica d) termodinámica

III. Coloca en el paréntesis una V si el enunciado es verdadero y una F si es falso. 1 ( ) La óptica es el área de la física que estudia entre otras cosas la formación de imágenes en un espejo y la difracción de las radiaciones. 2 ( ) Para explicar el comportamiento de la naturaleza la física se basa en mitos y leyendas. 3 ( ) El esfigmomanómetro es un instrumento que mide la presión sanguínea. 4 ( ) Arquímedes es considerado como el primer gran físico de la Antigüedad. 5 ( ) Roger Bacon es considerado como el único hombre de la Europa medieval que consideraba que sólo los métodos experimentales pueden garantizar la certeza en materias científicas. 6 ( ) William Gilbert enunció en el siglo teoría de la gravitación universal.

XVIII

la

7 ( ) El segundo principio de la termodinámica fue formulado por Newton. 8 ( ) Maxwell formuló la teoría electromagnética. 9 ( ) La biofísica es la disciplina en la que se aplican las leyes de la física para la comprensión de diversos fenómenos biológicos. 10( ) La química es la ciencia que dio origen a la física. IV. Define los siguientes conceptos o términos. Escribe tus respuestas en las líneas. 1 Física

2 Mecánica

3 Electromagnetismo

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4 Óptica

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VI. Línea del tiempo. Los científicos y la mecánica Investiga los años en que nacieron y murieron los científicos que aparecen en la columna de la izquierda y traza con colores líneas horizontales al lado del nombre de cada uno de ellos, de acuerdo con su respectivo periodo de vida (toma como referencia el eje del tiempo). Asimismo, investiga cuáles fueron sus contribuciones en la mecánica para que puedas responder las preguntas que se te hacen una vez que hayas llenado el cuadro de la línea del tiempo.

5 Acústica

6 Geofísica

Científicos

7 Astronomía

Galileo Newton

8 Medicina

Huygens Einstein

9 Física nuclear Año

1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000

1 ¿De qué manera el trabajo de Galileo influyó en Newton?

10 Física relativista

2 ¿Quién dedujo por primera vez el teorema de la energía cinética? V. Escribe en los espacios de la columna derecha al menos una aportación (ley, método o instrumento) que haya hecho cada uno de los científicos que aparecen en la columna izquierda de la siguiente tabla. Aportaciones de algunos científicos a la física Científico 1. Arquímedes 2. Galileo 3. Newton 4. Maxwell 5. Meyer 6. Bohr

Aportación

3 ¿La relatividad especial es una teoría más general que la dinámica de Newton? ¿Por qué? VII. Investiga, piensa y responde de manera breve a las siguientes preguntas. 1 ¿Consideras que la física es una ciencia importante? ¿Por qué? 2 ¿Qué aparatos cuyos principios de operación se basen en leyes físicas empleas cotidianamente en tu hogar? 3 ¿Qué influencia ha tenido la física en la tecnología? 4 ¿Por qué las matemáticas son importantes para la física? 5 ¿Crees que en el futuro se descubran nuevas leyes? ¿Por qué?

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Pasatiempos Ramas de la física En cada enunciado se define una rama de la física, identifícala y escríbela en las casillas correspondientes. A cada letra le corresponde una casilla. 1 2

3

4

5

6

7

Vertical 1. Rama de la física que estudia todo lo relacionado con el calor y su interacción con la materia.

Horizontales 2. Rama de la física que estudia los fenómenos eléctricos y magnéticos. 3. Área de la física que estudia el movimiento de los cuerpos.

4. Área de la física que estudia la dilatación de los cuerpos, la fusión de las sustancias y la medición de la temperatura. 5. Rama de la física que estudia la caída libre y el equilibrio de los cuerpos. 6. Parte de la física que estudia los fenómenos relacionados con la luz: su naturaleza, su propagación y su interacción con la materia. 7. Área de la física dedicada al estudio del sonido y todos los fenómenos relacionados con éste.

Padre de la física Este científico nació en 1564 en Pisa y es considerado por muchos historiadores como el auténtico “padre” de la física, pues fue el primero en aplicar lo que se conoce como el método científico y expresar sus resultados en forma de relaciones matemáticas, uniendo así dos ciencias: la física y las matemáticas. Si quieres saber de quién se trata coloca en las casillas las letras correspondientes siguiendo las líneas que las unen.

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Actividad ¿Por qué flota un cuerpo? En esta actividad podrás constatar que un cuerpo más denso que el agua cae al fondo y que un cuerpo menos denso flota en la superficie del agua.

¿Qué necesitas?

3. Vuelve a repetir esta operación de manera que el frasquito contenga agua hasta una cuarta parte de su volumen. 4. Repite este proceso cuando el frasco tenga agua hasta la mitad de su volumen y cuando esté lleno. ¿Qué observas en cada caso? Repite todo el proceso anterior, pero en lugar de ponerle agua al frasquito, ponle arena.

• Un frasco pequeño con tapa • Un frasco grande con boca ancha • Agua • Arena

¿Qué debes hacer? 1. Tapa el frasco pequeño y colócalo en el frasco de boca ancha, el cual deberá contener agua hasta tres cuartas partes de su volumen (Figura 1.10). ¿Qué observas? 2. Saca el frasquito del vaso grande y viértele agua hasta una quinta parte de su volumen y colócalo en el agua del frasco grande, ¿qué observas?

Figura 1.10 El frasco vacío y tapado flota en el agua.

Discusión y conclusiones 1. ¿El volumen del frasquito cambió durante esta actividad?

2. ¿La masa del frasquito varió durante esta actividad? ¿Por qué?

3. Si la densidad se define como masa sobre volumen, ¿la densidad del frasquito aumentó o disminuyó durante la actividad?

4. ¿En qué condiciones el frasquito se hundió? ¿Por qué?

5. ¿Qué concluyes de esta actividad?

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¿Te habías imaginado que… Una clase de partículas fundamentales: los quarks D urante mucho tiempo el ser humano consideró a los átomos como los constituyentes indivisibles de la materia. Sin embargo, con los descubrimientos realizados al inicio del siglo XX, a partir de 1932, los físicos imaginaban a toda la materia compuesta de sólo tres partículas constituyentes: electrones, protones y neutrones. Es decir, el átomo dejó de ser indivisible, ya que se consideró que estaba integrado por estas partículas. Pero, a principios de 1945 se descubrieron muchas nuevas partículas durante experimentos que incluyeron choques de alta energía entre partículas conocidas. Las características de estas nuevas partículas son que son muy inestables y tienen vidas medias muy cortas que oscilan entre 10–6 s y 10–23 s. Hasta ahora se han descubierto más de 300 partículas. Como resultado de esta situación los físicos permanecieron confundidos durante mucho tiempo. En 1963, Murray Gell-Mann y George Zweig propusieron que muchas de estas partículas, en especial las agrupadas con el nombre genérico de hadrones eran partículas compuestas de dos o tres constituyentes fundamentales llamados quarks. Gell-Mann tomó la palabra quark del capítulo “Tres quarks para Muster Mark” de la novela titulada Finnegan’s Wake de James Joyce, escritor irlandés. En el modelo original de quarks, había tres tipos de quarks designados por los símbolos u, d y s. A éstos se les daban los nombres arbitrarios up (arriba), down (abajo) y sideways (lateral) (o ahora más comúnmente conocido como extraño). De acuerdo con este modelo, los protones y neutrones que durante mucho tiempo se consideraron indivisibles, estaban constituidos por tres quarks como se ilustra en la Figura 1.11. En este modelo, los leptones* como el electrón no contienen quarks. Una propiedad característica de los quarks es que tienen cargas eléctricas fraccionarias. Los quarks u, d y s tienen cargas de +2/3 e, –1/3 e y –1/3 e, respectivamente. Asociado a cada quark está un antiquark (u, d y s) de carga opuesta. La composición de todos los hadrones (partículas integradas por mesones y bariones que interactúan por medio de la fuerza fuerte) conocidos, cuando Murray Gell-

Mann y Zweig presentaron su teoría, dependía sólo de tres quarks y sus respectivos antiquarks. Sin embargo, en 1967, para hacer corresponder los resultados experimentales con una clasificación más precisa se propuso la existencia de un cuarto quark, el quark encantado (e), el cual tendría una carga +2/3 e. Más tarde, en 1975, como resultado de nuevos descu-

Protón (carga + e)

Neutrón (sin carga)

Figura 1.11 Composición de quarks del protón y el neutrón.

brimientos, se propuso la existencia de dos nuevos quarks: superior (t) e inferior (b). Hasta ahora, sólo se requieren de seis quarks y seis antiquarks para conformar a los hadrones. En la Tabla 1.1 se presenta a los descubridores de los quarks y la fecha en que lo hicieron. En la Tabla 1.2 se presenta la composición de diversos hadrones (mesones y bariones). Es conveniente hacer notar que sólo dos de los quarks, u y d, están contenidos en los hadrones (protón y neutrón) encontrados en la materia ordinaria. De la Tabla 1.2 se deduce que los mesones se componen de un quark y un antiquark y que los bariones están integrados por tres quarks. A pesar de los grandes esfuerzos experimentales que se han realizado, no ha sido posible observar ningún quark aislado. La teoría de cómo interactúan los quarks entre sí recibe el nombre de cromodinámica cuántica. Es importante hacer notar que además de los quarks, la materia está integrada por otras partículas fundamentales llamadas leptones (también son seis). De esta manera, el deuterio está integrado como se muestra en la figura 1.12.

* Los leptones son un grupo de partículas que participan en la interacción débil. El electrón y el neutrino son ejemplos de leptones.

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Partícula Up y anti-up (arriba)

Down y anti-down (abajo)

Strange y anti-strange (extrañeza)

Charm y anti-charm (encanto)

Bottom y anti-bottom (superior)

Top y anti-top (inferior)

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Tabla 1.1

Tabla 1.2

Quarks

Composición en quarks de varios hadrones

Símbolo Descubridor y fecha Cómo se descubrió u u–

d – d

s –s

c –c

b – b t – t

Murray Gell-Mann y George Zweig. Modelo del quark 1964

Murray Gell-Mann y George Zweig. Modelo del quark 1964

En el SLAC, a partir de la dispersión de electrones, y en el CERN, de la dispersión de neutrinos (1968-1972). En el SLAC, a partir de la dispersión de electrones, y en el CERN, de la dispersión de neutrinos (1968-1972).

Murray Gell-Mann En el SLAC, a partir de la dispersión de y George Zweig electrones, y en el 1964

CERN, de la dispersión de neutrinos (1968-1972).

Burton Richter y equipo del SLAC. Sam Ting y equipo del BNL, 1974

Deducido de la partícula J/ψ (1974), barión encantado (1975) y espectroscopía del charmonium.

Leon Lederman y equipo del Fermilab 1977

Deducido de las partículas epsilon () y de la espectroscopía del bottonium.

Carlo Rubia y equipo del UA1 del CERN 1995

Deducido del decaimiento de las partículas W.

Partícula

Símbolo

Familia

Pión –

π–

Mesón

Kaón 0

K

Mesón

Composición – ud – ud – ds

Pión

π

Mesón

Protón

p

Barión

uud

Neutrón

n

Barión

udd

Lambda 0

Λ

Barión

uds

Omega –

Ω–

Barión

sss

+

+

0

0

Al hurgar en la materia con diversos dispositivos se revelan estructuras que varían en tamaño desde el ser vivo pequeño, un virus, hasta un quark, el cual no se ha observado como una partícula aislada. Por ahora los quarks parecen ser el último eslabón de las partículas elementales. ¿Habrá algo más pequeño que los quarks? (Figura 1.13).

Siglas: BNL. Brookhaven National Laboratory SLAC. Stanford Berkeley Acelerator Center CERN. Conseil Europeen pour la Recherche Nucléaire UA1. Underground Area 1

u= quark arriba d= quark abajo g= gluón Figura 1.12 Nuevo modelo del átomo deuterio a partir de los quarks.

Figura 1.13 ¿Son los quarks las partículas más pequeñas?

U. Cap. 1

8/5/06

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Página 22

Arquímedes (287-212 a.C.) Arquímedes nació en Siracusa, Sicilia. Fue el científico más importante de la Edad Antigua. Arquímedes era un aristócrata y un hombre de propósitos independientes que no necesitaba de apoyo económico para su trabajo. Aunque Estratón, otro físico griego, ya había hecho uso del principio de la palanca (Figura 1.14), fue Arquímedes el que la estudió con detalle. Demostró que un peso ligero a gran distancia del apoyo de palanca levantaría un gran peso colocado cerca de dicho apoyo, y se mantendría una relación inversa entre pesos y distancias de apoyo. De este modo fundó la estática, además de adelantarse doscientos años a sus contemporáneos al

observar en forma científica aplicaciones de medidas, pesos y longitudes. En efecto, cuando sus obras fueron traducidas al latín, en 1544, fueron Stevin y Galileo los que se inspiraron en ellas para dar un nuevo avance a sus trabajos. Arquímedes se destacó en matemáticas. Por ejemplo, calculó el valor del número π que superó todos los descubiertos en el mundo clásico. Se cuenta también que Arquímedes construyó grandísimas lentes para incendiar los barcos de la flota romana que sitiaba a Siracusa.

Figura 1.14 Con una pequeña fuerza se puede levantar un objeto pesado si se emplea una palanca.

Creatividad en la física Introducción al conocimiento de la física Elabora un periódico mural sobre la importancia de la física Bajo la supervisión de tu profesor, organiza un equipo de trabajo para que juntos elaboren un periódico mural sobre la importancia de la física. Los del equipo deberán realizar investigaciones documentales y de campo sobre: 3 Qué es la física. 3 Por qué es importante esta disciplina 3 La física en la vida cotidiana 3 La física y su impacto en la tecnología Los mejores murales, por ser los más completos, creativos, interesantes y mejor ilustrados, serán seleccionados para ocupar uno de los muros del salón de clases o bien, ser exhibidos en algún lugar de la escuela, bajo previa autorización de profesores y directivos.

Capítulo

2 Magnitudes físicas y su medición Objetivo Objetivo

Al término de este capítulo los estudiantes podrán medir diferentes magnitudes físicas y derivadas a partir del manejo de unidades de medidas en los sistemas internacional, CGS e inglés. Asimismo, podrán determinar la precisión de diversos instrumentos de medida para reducir los tipos de errores que ocurren en la medición.

Introducción

Introducción

E l avance que la física ha experimentado en los últimos tiempos ha permitido una mejor comprensión de muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, así como cambios en la forma de vivir del ser humano. Este avance se ha debido, entre otros factores, a la metodología empleada para obtener el conocimiento científico, o para verificar una hipótesis, y al perfeccionamiento de las técnicas utilizadas en la medición. En el presente capítulo reflexionaremos acerca de las características de la ciencia y el método científico.

También resaltaremos la importancia y particularidades del proceso de medición. Asimismo, presentaremos algunas técnicas para organizar las observaciones y datos obtenidos en la naturaleza y el laboratorio. De esta forma podremos responder a las siguientes preguntas: ¿qué es la ciencia?, ¿por qué es importante medir?, ¿cómo se estima el error experimental cometido en las mediciones?, ¿qué es una unidad de medida?, ¿cómo se organizan los datos?, entre otras.

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Física I • Unidad I

La ciencia Seguramente te has preguntado ¿por qué el Sol emite luz?, ¿por qué objetos como este libro al ser soltados caen al piso?, ¿por qué el cielo despejado se ve azul?, ¿por qué las fresas son rojas y los limones verdes?, entre otras. Las respuestas a éstos y otros cuestionamientos que el ser humano se ha hecho para comprender su entorno han sido la base para construir lo que llamamos ciencia. La ciencia es una forma de ver y comprender el Universo, que ha sido construida por hombres y mujeres de diversas nacionalidades y épocas. La ciencia es un conjunto de conocimientos en constante evolución que proporciona una base confiable para interpretar y describir el Universo. Cuando el ser humano es capaz de dar una explicación sobre algún fenómeno se percata de que al conocerlo, lo puede manejar, controlar, utilizar, e incluso predecir. Explicar y predecir los fenómenos son las dos funciones básicas de la ciencia creada por el hombre para satisfacer su impulso natural de conocer y controlar el Universo que tanto ira. La ciencia intenta explicar los fenómenos y para ello no se conforma con describirlos, sino que se pregunta cómo son, por qué ocurren así las cosas y no de otra manera. La ciencia nos ha liberado de miedos y temores antiguos; nos ha revelado un Universo caracterizado por la simetría y el orden matemático; nos ha dado profundos conocimientos acerca de fenómenos directamente perceptibles por nuestros sentidos, como el movimiento, la fuerza y la luz; nos ha dado un vasto saber de varios fenómenos no perceptibles a simple vista, como el magnetismo, los átomos y las ondas electromagnéticas. Sin embargo, el conocimiento que la ciencia ha puesto a nuestra disposición es de doble filo; por un lado, su realización tiene la capacidad de proporcionar un bien ilimitado y, por otro, de hacer un mal incalculable. Por medio de la influencia de la tecnología se ha tratado de dar el mayor bienestar a la humanidad (Figura 2.1). Sin embargo, también tenemos ahora la capacidad de destruir la vida sobre la Tierra por medio de la bom-

1

ba nuclear y, aunque estamos lejos de tal magnitud de aniquilación, apenas comenzamos a suponer el terrible daño que podríamos ocasionar con los venenos químicos y radiactivos sobre nuestros genes (moléculas complejas que determinan la herencia genética, así como la evolución biológica de la raza humana).

Figura 2.1 La ciencia y la técnica aplicadas a la medicina han mejorado mucho el nivel de vida.

La ciencia ve al Universo como algo natural que se desarrolla de acuerdo con las relaciones internas que prevalecen entres sus partes constituyentes, sin tener en cuenta los deseos del hombre. Podemos descubrir estas relaciones fundamentales, que se denominan leyes, pero no se pueden cambiar, aunque sí es posible usarlas para alterar el curso de los acontecimientos. El conocimiento científico es parte del saber que debemos incorporar a nuestra cultura para ser más libres, más creativos y más participativos dentro de la sociedad. Es importante señalar que por medio de la ciencia es posible elevar la capacidad de comprensión de la naturaleza de todo un país; con ciudadanos mejor educados se incrementa la conciencia civil y es factible llevar a cabo programas más efectivos para mejorar la calidad de vida de todos. La ciencia combate el fatalismo y la aceptación fácil de la derrota; enseña que no hay tal “destino” ni “maldición” inexorable sino que el hombre es capaz de modelar su vida de acuerdo con sus aspiraciones e intereses. La ciencia produce conocimiento y éste libera al hombre del oscurantismo engendrado por la ignorancia.1

Ruy Pérez Tamayo, Cómo acercarse a la ciencia, Conaculta-Limusa, 1996.

Capítulo 2 • Magnitudes físicas y su medición

Las ciencias, en general, han contribuido al actual desarrollo tecnológico que vive la humanidad, pero la física, en particular, ha desempeñado un papel relevante.

El método científico El trabajo desarrollado por el científico recibe el nombre de investigación científica. El conjunto de procedimientos ejecutados con este fin se denomina método científico. El método científico no es una receta que garantice la solución de cualquier problema; pero tampoco puede negarse que la mayor parte de los científicos trabajan de acuerdo con ciertas reglas generales que por medio de la experiencia han demostrado ser útiles. La descripción de estas reglas es lo que se conoce como método científico. La palabra método viene de la fusión de las palabras griegas meta y odos, que significan, respectivamente, hacia y camino. Así, literalmente, el método es el camino que nos lleva hacia un fin. Este fin, en relación con la ciencia, es la explicación coherente y sistemática de algo. Lo que distingue al método científico de los demás métodos es precisamente su objetivo. El método científico se identifica por los siguientes aspectos: a) Sugerir un orden en las actividades que realiza el científico y en los conocimientos adquiridos. b) Orientar la investigación hacia un fin, en un proceso. En la realidad estos aspectos están unidos; esto es, no se pueden dar el uno sin el otro. El científico, ya sea un físico, un ingeniero o cualquier otro profesionista debe saber qué es lo que busca y planear la mejor manera de lograrlo, así como elegir los recursos idóneos y aplicar los procedimientos más adecuados en cada caso. Para ello se sirve de reglas y técnicas que han resultado eficaces en el pasado, las cuales mejora a la luz de la experiencia y del análisis racional. Es importante destacar que la originalidad, siempre presente en el pensamiento científico, puede sugerirle caminos hasta ahora imprevisibles. Dadas sus características, el método científico es un proceso que se produce en el tiempo y que comprende varias fases generales, cada una de las cuales incluye y necesita de la anterior. Dichas fases y pautas generales son:

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1. Planteamiento del problema. 2. Formulación de la hipótesis. 3. Comprobación de la hipótesis (experimentación). 4. Construcción de leyes, teorías y modelos. Para que ocurra este proceso es necesario emplear procedimientos racionales (deducción, inducción e inferencia por analogía) y empíricos (observación y experimentación), los cuales se ponen en juego en el momento que se requieren. Las ciencias formales, como la lógica y las matemáticas, sólo hacen uso de los procedimientos racionales (específicamente la deducción), pero las ciencias factuales como la física y la biología requieren también de los procedimientos empíricos (observación y experimentación). A continuación se definen éstos: La deducción consiste en el paso de lo universal a lo particular. Es el procedimiento racional más seguro. Por ejemplo, si se sabe que el producto de dos números pares es un número par, entonces si los números 4 y 6 son pares, su producto también será par.

Descubre la física La nanotecnología es una disciplina que se practica en el orden de los nanómetros (10-9 m). Esta tecnología implica la fabricación o construcción de cosas átomo por átomo o molécula por molécula. La nanotecnología presenta la posibilidad de construir dispositivos moleculares con capacidades extraordinarias. Por ejemplo, se podría inyectar una nanoestructura en el cuerpo humano para atacar un tumor canceroso y así se suministre el medicamento de manera directa sin dañar el resto de los sistemas.

La inducción consiste en el paso de lo particular a lo universal; dicho de otra manera, consiste en ir de las partes al todo. Por ejemplo: si el cobre se dilata y el aluminio también, podemos afirmar que todos los metales se dilatan. La inferencia por analogía consiste en deducir, a partir de cierta similitud entre cosas que se comparan, la semejanza que pueden tener en otros aspectos. Por ejemplo, a partir de conocer la ecuación de la fuerza de atracción entre dos masas, se puede inferir la ecuación de la fuerza entre dos cargas eléctricas.

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La observación es el procedimiento empírico en el que se fija la atención en un objeto o fenómeno para percibirlo por medio de los sentidos o instrumentos diseñados para tal fin. Este procedimiento empírico es importante en la actividad científica. La experimentación consiste en cambiar las condiciones en que se presenta normalmente un fenómeno con el objeto de conocer nuevos datos para ratificar la hipótesis. De acuerdo con esto, el experimento es el proceso científico en que se provoca deliberadamente algún cambio y se observa e interpreta su resultado con alguna finalidad cognoscitiva. A pesar de la gran cantidad de experimentos que se pueden realizar y de la variedad de sus objetivos, todos ellos tienen mucho en común, como tratar de eliminar los efectos de ciertas variables, reducir y controlar el número de variables a investigar, realizar mediciones precisas, estimar el error experimental, organizar e interpretar en forma objetiva los resultados. La actividad básica de la ciencia se dirige a descubrir regularidades entre los fenómenos; dichas regularidades deben ser “significativas”, en el sentido de que puedan servir para explicar esos fenómenos. Una hipótesis científica es una afirmación sobre la existencia de una de esas regularidades o sobre las causas de la misma. Cuando una hipótesis es suficiente, general o importante y ha salido victoriosa de uno o varios procesos de comprobación, va siendo considerada gradualmente como una ley científica. Ejemplo de leyes científicas son la ley de Boyle-Mariotte, la segunda ley de Newton, la tercera ley de Kepler, entre otras.

Figura 2.2 Estructura de los elementos de la ciencia.

Con el desarrollo de la ciencia, muchas de las leyes científicas se organizan y sistematizan por su generalidad, su subordinación, etcétera. Se llega entonces a una teoría científica, por tanto un sistema de leyes integrado es una teoría. Por ejemplo, la teoría de la relatividad, la teoría electromagnética, etcétera. Es importante señalar que tanto las hipótesis como las teorías, son sometidas a juicio de los hechos mediante la experimentación, la cual las consolida o las descalifica (Figura 2.2). También se debe destacar que el método científico no siempre ha sido la clave de los descubrimientos y de los avances de las ciencias. Muchos casos de ensayo y error, experimentación sin conjeturas y simples descubrimientos accidentales explican en gran parte el desarrollo de ciencias como la física. El éxito en este tipo de materias tiene que ver más con una cierta actitud científica que con un método en particular; tal actitud es una disposición que busca soluciones serias con métodos apropiados para los problemas que enfrentan.

Propiedades de la materia Las personas, los animales, las plantas, las bacterias, las piedras, los lagos, las casas, el aire, los planetas, las estrellas y el Sol son diferentes formas de lo que los científicos llaman materia. Por materia se entiende todo aquello que integra los cuerpos, que ocupa un lugar en el espacio y que puede encontrarse en estado sólido, líquido, gaseoso o plasma (Figura 2.3).

Figura 2.3 La materia puede encontrarse en estado sólido, líquido, gaseoso o en forma de plasma.


No tenemos dificultades para reconocer ciertas formas de materia. Podemos ver y tocar los sólidos (como la madera, el aluminio o el fierro) y también los líquidos (como el agua, la gasolina, el aceite y la leche). No es tan fácil identificar a la materia en estado gaseoso porque muchos gases, como el aire, son incoloros e inodoros, pero si soplamos sobre la palma de la mano podremos sentir la presión de los gases contenidos en nuestros pulmones. Podemos diferenciar la madera del aluminio por sus atributos o por las cualidades que los caracterizan; es decir, por sus propiedades. Identificamos algunas propiedades por nuestros sentidos: el color, el sabor, el olor y el sonido. A este tipo de propiedades las denominamos organolépticas. Existe otro tipo de atributos que en general no es posible obtener directamente a través de nuestros sentidos. Las propiedades las clasificamos en: 1. Propiedades generales. Son comunes a todos los cuerpos. Por ejemplo: la masa, el volumen, la inercia, etcétera. 2. Propiedades particulares. Sólo las poseen algunos cuerpos. Por ejemplo: la dureza, la maleabilidad, la ductilidad, entre otras. A las propiedades organolépticas de los cuerpos se les puede considerar como propiedades particulares. 3. Propiedades específicas. Permiten diferenciar los cuerpos y las sustancias. Entre estas propiedades podemos mencionar: la temperatura de fusión, la densidad y la resistividad eléctrica. (Tabla 2.1).

Tabla 2.1 Propiedades específicas del agua. Propiedades específicas del agua (medidas al nivel del mar) Punto de fusión

0 °C

Calor latente de fusión

80 cal/g

Punto de ebullición

100 °C

Densidad a 4 °C

1 g/cm3

Calor específico

1 cal/g °C

Magnitudes físicas Es posible medir algunos atributos o cualidades (propiedades) de las personas, animales, plantas, objetos y

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sustancias; otros no se pueden medir. Entre los primeros se encuentran la masa, el volumen, la temperatura y el peso. Algunos de los que no se pueden medir son la belleza, el patriotismo, el miedo o el dolor. La física es la ciencia que se encarga, entre otras cosas, de los atributos medibles de los cuerpos. En esta ciencia denominamos magnitud física a cualquier característica de los cuerpos que es posible medir. Las magnitudes o magnitudes físicas se han clasificado en magnitudes fundamentales y magnitudes derivadas. Las fundamentales son las que se pueden definir con independencia de las demás. El Comité Internacional de Pesas y Medidas estableció siete magnitudes fundamentales: longitud, masa, tiempo, corriente, temperatura, intensidad luminosa y cantidad de sustancia. Éstas son las estrictamente necesarias para definir todas las demás magnitudes de la física. Las magnitudes derivadas son las que se obtienen con la combinación adecuada de las magnitudes fundamentales. Entre éstas se encuentran el área, el volumen, la velocidad y la densidad. (Figura 2.4).

Figura 2.4 Las magnitudes derivadas se definen en función de las magnitudes fundamentales; por ejemplo, la velocidad se obtiene al combinar dos magnitudes fundamentales: la longitud y el tiempo (longitud/tiempo).

En la mecánica se utilizan tres magnitudes fundamentales: longitud, masa y tiempo. Combinándolas en forma adecuada, obtenemos las demás magnitudes derivadas: velocidad, aceleración, fuerza, trabajo y potencia.

El proceso de medición La respuesta a muchas preguntas de la vida cotidiana depende, en gran medida, de las indicaciones de un aparato de medida. ¿Qué hora es? (reloj) ¿Qué temperatura tiene el niño? (termómetro clínico) ¿Qué tan alto eres? (cinta métrica) ¿Cuál es la presión en esa ciudad?

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(barómetro) ¿Se han desinflado las llantas? (manómetro) ¿Voy demasiado rápido? (velocímetro) ¿Cuánto pesa el papel periódico? (dinamómetro) ¿Qué volumen de agua hay que agregarle? (probeta), entre otras más. La tendencia a medirlo todo se ha acentuado en nuestra sociedad, debido a que cada vez es más fácil obtener aparatos de medición y a que reconocemos que al tener una información más precisa de lo que nos interesa, podremos decidir qué acción es la más adecuada. El médico, para estar seguro de que el paciente tiene fiebre, emplea un termómetro. No se conforma con colocar su mano sobre la frente del enfermo porque el tratamiento que le istre dependerá de la medición obtenida con el termómetro. Asimismo, en los intercambios comerciales entre fabricantes, empresas y consumidores se tienen que realizar mediciones. Cuando vamos de compras al mercado (por verduras, leche, harina, carne), pagamos por la cantidad de lo que recibimos, medida previamente establecida por el comerciante. El papel que desempeña la “medida” en nuestras vidas es cada vez más importante. Al grado que dependemos de ella en muchas actividades, porque vivimos en una sociedad donde todo es medido. Medir ha sido siempre una necesidad para el hombre. El cazador tiene que calcular la distancia que lo separa de su presa; el optometrista debe determinar la graduación de los lentes del paciente. El topógrafo tiene que calcular las superficies y la demarcación de los terrenos. El inspector de pesas y medidas se encarga de revisar los instrumentos adquiridos por los industriales y los comerciantes. En fin, el hombre para poder conocer, necesita medir. La medición es una de las nociones que la ciencia ha tomado del sentido común. El uso cotidiano de la idea de medida es tan natural en la conducta del hombre que a menudo pasa inadvertida. Y es que ésta surge de la comparación, que es algo que el hombre, con conciencia o sin ella, hace continuamente. Comparar unas cosas con otras es algo tan natural en el hombre como respirar. La comparación es la base de la medida. Hacemos comparaciones que van desde las muy sencillas y naturales, como que la niña es más pequeña que su hermano o que el perro pesa más que el gato, hasta comparaciones expresadas en términos de medidas numéricas precisas, como que la caja tiene una masa de 80 kilogramos, lo que quiere decir que la masa de la caja es 80 veces mayor que la de 1 kilogramo.

Al hacer una comparación general de dos objetos, primero debemos identificar alguna propiedad común que nos proporcione una base para equipararlos. De esta manera, al comparar el largo de la mesa con el metro, lo que confrontamos son las longitudes de ambos cuerpos. En la ciencia y en la técnica, medición es el proceso por el cual se asigna un número a una propiedad física de algún cuerpo o fenómeno con propósito de comparación. En el proceso de medición intervienen los siguientes elementos: 1. El cuerpo, objeto de la medición. 2. El sistema de medición, o sea el instrumento de medición. 3. La unidad empleada. 4. El operador que realiza la medición.

Figura 2.5 Medir es comparar una cantidad con otra.

Con respecto a la palabra medida, es conveniente señalar que ésta tiene muchos significados. Por ejemplo, en política significa una disposición; en música la subdivisión de una composición musical. Sin embargo, en las ciencias la palabra medida la reservamos para denotar el número de unidades de la propiedad dada. Las medidas de una mesa son: 1 metro de ancho, 3 metros de largo y 1 metro de altura. De acuerdo con lo anterior, medir una cantidad es compararla con otra de la misma magnitud tomada como referencia. Las mediciones se pueden clasificar en directas o indirectas, según las características del objeto, el instrumento empleado y la técnica utilizada para hacer la medición.


Una medición directa se realiza comparando la magnitud que se desea conocer con las unidades de una escala material y contando el número de veces que la unidad está contenida en la magnitud a medir. Estimar el ancho de este libro con una regla es un ejemplo de medición directa. Una medición indirecta es la que supone una medida directa (de algo que no es lo que se mide) y cómputo. En este tipo de medición para obtener el valor de la magnitud que se desea conocer se tiene que emplear una fórmula o ecuación. Por ejemplo, para determinar el área de esta página se tienen que realizar mediciones directas del largo y ancho de la página y sustituir estas medidas en la fórmula: área = largo ancho. Algunas magnitudes se pueden medir tanto por métodos directos como indirectos y otras, como la masa de la Tierra, solamente por métodos indirectos.

Descubre la física El 14 de junio de 1928 se decretó en México la Ley sobre Pesos y Medidas. Con esta ley se estableció como obligatorio el uso de todas las medidas del Sistema Nacional de Unidades de Medida basado en el sistema métrico decimal. En cuanto al Sistema Internacional de Unidades (SI), México lo adoptó por conducto de la Dirección General de Normas (DGN).

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son aquellas que corresponden a las magnitudes fundamentales. Las unidades derivadas se forman de la combinación de las unidades fundamentales y otras derivadas. Las definiciones de las unidades evolucionaron para poder seguir los progresos de la técnica. Así, en 1960, durante la 11ª Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM) llevada a cabo en París, se elaboró (tomando como base el Sistema Métrico Decimal) un nuevo sistema denominado Sistema Internacional de Unidades (SI). En la actualidad este sistema es aceptado mundialmente, incluso en los Estados Unidos de América. El Sistema Internacional de Unidades está constituido por: 1. Los patrones de medida. 2. Un método para formar unidades mayores y menores. 3. Las definiciones de las magnitudes derivadas (como la energía, la potencia y la fuerza). Las unidades fundamentales del SI son siete; sus unidades y símbolos aparecen en la Tabla 2.2. Las definiciones de las unidades fundamentales han cambiado constantemente a lo largo de la historia. Las definiciones que se dan a continuación corresponden a las aceptadas en la actualidad. El kilogramo (kg) se define como la masa de un cilindro fabricado con una aleación de platino-iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sèvres, Francia.

Tabla 2.2 Unidades fundamentales del SI

Unidad de medida Para efectuar una medida es preciso disponer de una unidad, que será de la misma naturaleza que la magnitud que se desea calcular. Establecida la unidad, se determinarán las veces que dicha unidad está contenida en aquella magnitud para medirla. El resultado será un número que reflejará las veces que es mayor o menor que la unidad escogida. Durante su historia, el hombre ha inventado numerosas unidades antes de crear un sistema internacional. Naturalmente, para cada clase de magnitud debe fijarse una unidad de medida. Así, hay unidades de longitud, masa, tiempo, densidad absoluta, etcétera. Las unidades se pueden clasificar en unidades fundamentales y derivadas. Las unidades fundamentales

Magnitud física

Unidad

Símbolo

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

Temperatura

kelvin

K

Intensidad luminosa

candela

cd

Cantidad de sustancia

mol

mol

Este patrón de masa se estableció en 1889 y no se ha cambiado, ya que la aleación de platino-iridio es extraordinariamente estable. El metro (m) es la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de 1/299 792 458 de segundo.

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Esta nueva definición del metro se formuló en 1983, en la 17ª CGPM. Esta definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es de 299 792 458 m/s. El segundo (s) es el tiempo que requiere un átomo de cesio 133 para realizar 9 192 631 770 vibraciones, que corresponden a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental. Esta definición se dio en 1967 en la 13ª CGPM. El kelvin (K) se define como la fracción 1/273.16 de la temperatura triple del agua. El punto triple del agua, corresponde a la temperatura y presión únicas en las que el agua, el vapor de agua y el hielo pueden coexistir en equilibrio. También esta definición se estableció en 1967, en la 13ª CGPM. El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita y de sección circular despreciable, separados por una distancia de un metro y situados en el vacío, produce entre dichos conductores una fuerza de 2 10-7 newton por cada metro de longitud. La fuerza producida se debe a los campos magnéticos de los conductores. Esta unidad fue denominada así en honor del físico francés André Marie Ampere, desde 1948. El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene un número de entidades elementales equivalente a la cantidad de átomos que hay en 0.012 kg de carbono 12. Cuando se utiliza el mol, hay que especificar las entidades elementales, ya que éstas pueden ser átomos,

Figura 2.6b El esterradián es el ángulo sólido cuyo vértice está en el centro de una esfera subtendida por un área de la superficie esférica igual al área de un cuadrado con lados de longitud igual al radio.

moléculas, iones, electrones y otras partículas. La definición de mol fue aceptada desde 1971. La candela (cd) es la intensidad luminosa en una dirección dada de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 1012 hertz y cuya intensidad energética en esa dirección es 1/683 watt por esterradián. Dicha unidad fue aceptada desde 1979 en la 16ª CGPM. El SI también está integrado por dos unidades suplementarias: el radián, para medir ángulos en un plano (Figura 2.7a), y el esterradián, para medir un ángulo sólido (Figura 2.7b). Las unidades derivadas en el SI se forman con la combinación de las unidades fundamentales, las unidades suplementarias y otras unidades derivadas, de acuerdo con la ecuación algebraica que las relaciona. Así, la unidad de la densidad absoluta se obtiene de considerar la ecuación que la define (ρ = m ) y también V de sustituir las unidades de las magnitudes que aparecen en ella (o sea que la unidad de la densidad absoluta es kg/m3).

Tabla 2.3 Unidades derivadas con nombres especiales

Figura 2.6a El radián es el ángulo cuyo vértice se encuentra en el centro de la circunferencia y cuyos lados tienen el valor del radio y una longitud del arco igual a la longitud del radio.

Magnitud física

Unidad

Fuerza

Newton

N

Presión

Pascal

Pa

Trabajo, energía Joule Potencia

Símbolos

J Watt

W


Las unidades derivadas que reciben nombres especiales y que se emplearán en este texto se muestran en la Tabla 2.3. En la vida cotidiana y en la ciencia no siempre se expresa el resultado en términos de las unidades fundamentales o derivadas de ellas. Para expresar la distancia de la Ciudad de México a la ciudad de Guadalajara se utilizan kilómetros y no metros; para hablar de la longitud de un lápiz lo hacemos en términos de centímetros. En otras palabras, muchos resultados se expresan en términos de múltiplos (cantidades mayores que la unidad) y submúltiplos (cantidades menores que la unidad) de las unidades. En el SI se emplean ciertos prefijos (letra o sílaba que se coloca delante de algunas palabras para añadir algo a su significación) antepuestos a la unidad para indicar los distintos múltiplos y submúltiplos. Cada uno de ellos tiene un símbolo determinado como se ilustra en la Tabla 2.4. La utilidad de los múltiplos y submúltiplos radica en su forma práctica de expresar cantidades grandes o pequeñas, como se aprecia en la Tabla 2.5.

Nombre yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro mano pico femto atto zepto yocto

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Tabla 2.5 Cantidades expresadas en un múltiplo o submúltiplo de la unidad La cantidad expresada en escritura común

La cantidad expresada como un múltiplo o submúltiplo de la unidad

4000 m

4 km

0.001 s 4600 000 m 0.01 m

1 ms 4.6 Mm 1 cm

Transformación de unidades

En la vida cotidiana puedes emplear diversas unidades para medir la misma magnitud. Así, para medir el tiempo que vive una persona empleas años, mientras que para medir el tiempo que dura un partido de fútbol empleas minutos. De este modo, al emplear diversas unidades para distintas actividades y trabajos es necesario convertir la cantiTabla 2.4 dad expresada en una unidad determiPrefijos del SI nada a otra unidad. En la conversión de unidades se presentan dos tipos geneSímbolo Valor rales de problemas, a saber: 24 Y 10 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1. Conversión entre unidades que 21 Z 10 = 1 000 000 000 000 000 000 000 pertenecen al mismo sistema. En 18 este caso, la conversión se realiza de E 10 = 1 000 000 000 000 000 000 15 una unidad mayor a otra menor, o P 10 = 1 000 000 000 000 000 12 viceversa: de centímetro (cm) a kiT 10 = 1 000 000 000 000 9 lómetro (km); de segundo (s) a G 10 = 1 000 000 000 6 microsegundo (µs), etcétera. M 10 = 1 000 000 3 k 10 = 1 000 2. Conversión entre unidades de dis2 h 10 = 100 tintos sistemas: convertir libras 1 (lb) del Sistema Inglés a kilograda 10 = 10 -1 mos (kg) del SI, etcétera. d 10 = 0.1 -2 c 10 = 0.01 En cualquiera de ambos casos es -3 m 10 = 0.001 suficiente ejecutar una operación arit-5 µ 10 = 0.000 001 mética; basta con multiplicar la canti-9 n 10 = 0.000 000 001 dad que se desea cambiar por un factor -12 p 10 = 0.000 000 000 001 de conversión. -15 ¿Qué es y de dónde se obtiene dicho f 10 = 0.000 000 000 000 001 -18 factor de conversión? Para dar una resa 10 = 0.000 000 000 000 000 001 -21 puesta, primero necesitamos recordar z 10 = 0.000 000 000 000 000 000 001 -24 algunos razonamientos algebraicos. y 10 = 0.000 000 000 000 000 000 000 001

32


1. Las unidades se pueden manejar algebraicamente igual que los números. Esto es, se suman, restan, multiplican y dividen de la siguiente manera: 2 cm + 1 cm = 3 cm (2 cm)(3 cm2) = 6 cm3 2

10 cm

5cm1

= 2 cm

2. Exceptuando el cero, cualquier número dividido entre sí mismo da uno (1). De igual manera, cualquier unidad dividida entre sí misma da uno (1). Por ejemplo: Si 5 = 5, entonces 5 = 1 5 Si 4 kg = 4 kg, entonces

4 kg = 4 kg 1

3. Con base en lo anterior, cualquier unidad dividida entre su equivalencia también da uno (1). A la razón algebraica que resulta se le da el nombre de factor de conversión. Es decir, el factor de conversión es un cociente que es igual a uno y que se obtiene a partir de la equivalencia entre unidades. Por ejemplo: Si la equivalencia es:

El factor de conversión es:

1 m = 100 cm

1m = 1, o bien, 100 cm =1 100 cm 1m ,

1 kg = 1 000 g

1kg = 1, o bien, 1000g =1 1000 g 1 kg 3 1L = 1, o bien, 1dm =1 3 1dm 1L

1 L = 1 dm3

Para obtener el factor de conversión se debe conocer la equivalencia entre unidades. Por esta razón, en la Tabla 2.6 se incluyen algunas equivalencias de longitudes.

Tabla 2.6 Algunas equivalencias de unidades de longitud 1 m = 10

10

Angstrom

1 pie = 12 pulgadas

1 m = 100 cm

1 yarda = 3 pies

1 pulgada = 2.54 cm

1 milla = 1 609 m

4. Cualquier número multiplicado por uno (1) da el mismo número; esto es, el número original no se altera en su magnitud. De igual manera, cualquier medida multiplicada por uno (1) da la misma medida, es decir, la medida original no se altera. Por ejemplo: número → 460 x 1 = 460 medida → 20 N x 1 = 20 N A partir de este razonamiento, es fácil comprender que es válido multiplicar cualquier medida por un factor de conversión, sin que por ello afecte su magnitud. Recordemos que todo factor de conversión siempre es igual a uno (1). Ahora sí podemos afirmar que cualquier problema de conversión de unidades puede reducirse a multiplicar la cantidad por el factor de conversión apropiado. Veamos los siguientes ejemplos:

Problemas ejemplo 2.1 ¿A cuántos kilómetros corresponden 4728 m? Solución Lo que se pide aquí es convertir la unidad de metros a kilómetros. En primer lugar, tenemos que buscar el factor de conversión adecuado a partir de la equivalencia. Dicho factor de conversión deberá tener en el divisor (abajo de la línea) la unidad m y en el dividendo (arriba de la línea) la unidad km. Así, considerando que la equivalencia es 1 km = 1000 m, entonces el factor de conversión deberá ser el siguiente: 1 km 1000 m Después, multiplicamos la cantidad original por el factor que acabamos de establecer; esto es: 4728 m

1 km 4728 km 4.728 km 1000 = = m 1000

El factor se escogió de manera que la unidad del metro se eliminara. Por tanto, la respuesta es: 4728 m = 4.728 km


2.2 Un campo tiene un largo de 100 yardas. Expresa el largo de dicho campo en metros. (Supón que sólo conoces las equivalencias que se dan en la Tabla 2.6.) Solución En la Tabla 2.6 encuentras las siguientes equivalencias: 1 yarda = 3 pies 1 pie = 12 pulgadas 1 pulgada = 2.54 cm 100 cm = 1 m Cuando no sabemos la equivalencia directa entre una unidad y otra, como en este caso, podemos utilizar relaciones intermedias. Así tenemos: 100 yardas

pies 13yarda = 300 pies

12 pulgadas 300 pies = 3600 pulgadas 1 pie 3600 pulgadas

9144 cm

2.54 cm = 9144 cm 1 pulgada

1001 mcm = 91.44 m

Por tanto, la respuesta es: 100 yardas = 91.44 m

Notación científica En la naturaleza existen objetos tan pequeños como los quarks; objetos muy alejados de la Tierra, como la galaxia Andrómeda; sucesos cuya duración es muy corta, como la duración de vida de las partículas menos estables, o muy larga, como la vida del Sol; objetos con una masa tan pequeña como la del átomo de hidrógeno, o muy grande, como la de Saturno. Pero, ¿cómo hacemos para expresar una distancia muy grande o una muy pequeña? El radio de un protón es del orden de 0.000 000 000 000 001 m, la galaxia Andrómeda se encuentra a 10 000 000 000 000 000 000 000 m de distancia de la Tierra.

33

Es en estos casos cuando surge la necesidad de emplear la notación científica, que nos permite expresar cantidades grandes o pequeñas con mayor facilidad. En la notación científica todas las cantidades se escriben como el producto de un número entero con o sin decimales por una potencia de base 10. Recordemos que cuando un número se eleva a una potencia, ésta nos indica las veces en que el número se multiplica por sí mismo. Ejemplos: 1. 62 = 6 6 2. 63 = 6 6 6 3. 65 = 6 6 6 6 6 Los números 2, 3 y 5 corresponden a los exponentes de la base 6. En el primer ejemplo, el número 6 está elevado a la segunda potencia, mientras que en el tercer ejemplo está elevado a la quinta potencia. En el caso de las potencias de base 10, siempre será el diez el que esté elevado a una potencia. Veamos los siguientes ejemplos: 1. 101 = 10 (a la primera potencia) 2. 102 = 10 10 = 100 (a la segunda potencia) 3. 103 = 10 10 10 = 1000 (a la tercera potencia) Si observamos cada caso nos daremos cuenta de que cuando la base 10 está elevada a una potencia positiva, el resultado es igual al número uno (1) seguido de tantos ceros como indique la potencia (exponente). Es decir, si el número 10 está a la sexta potencia (106) podemos escribir este número como 1 000 000 (como un uno seguido de seis ceros). Para expresar cantidades pequeñas hay que elevar la base 10 a un número negativo. Esto equivale a dividir 1 entre 10, elevado a esa misma potencia, pero con signo positivo. Veamos los siguientes ejemplos: 1. 2. 3. 4.

10±1 = -1

1 1

101 1

= 0.1

1 = 0.01 10 100 1 1 -3 10 ±3 = 3 = = 0.001 10 1000 1 1 -4 10 ±4 = 4 = = 0.0001 10 10 000

10±2 = -2

22

=

Observa que cuando la base 10 está elevada a una potencia negativa, la cantidad se puede expresar como un número decimal, en donde el punto decimal a partir

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de uno se recorre hacia la izquierda tantas veces como lo señale la potencia negativa (exponente). Por tanto, 10–6 se puede expresar como 0.000 001 (el punto decimal se recorrió seis posiciones de derecha a izquierda a partir del uno); de la misma manera, 10–3 se puede expresar como 0.001. En la notación científica 4 103 significa que hay que multiplicar el 4 por 103, que, como vimos antes, es igual a 4 1000 (el uno seguido de tres ceros). Así, 4 103 = 4 1000 = 4000. En la Tabla 2.7 se muestran algunas medidas de longitudes expresadas en notación científica.

multiplicar 3 104 con 2 105 el resultado es igual a: (3104)(2105)=(32)(104)(105)=6104 + 5=6109 3. Cuando se dividen dos números escritos con notación científica, se dividen los factores de las potencias de base 10 y dicho cociente se multiplica por la base 10 con un exponente que se obtiene de restar el exponente del divisor del exponente del dividendo. Por ejemplo, al dividir 4 106 entre 2 103 el resultado es el siguiente:

Tabla 2.7

4106 4 106 = = 2106-3 = 2103 2103 2 103

Longitudes expresadas en notación científica Longitud

Valor medido (m)

Distancia a la galaxia Andrómeda

2 1022

Distancia a la estrella Próxima Centauro

4 1016

Radio del Sol

7 108

Altura del monte Everest

9 103

Altura de una persona

1.8 10

Espesor de una página de este libro

1 10–4

Tamaño de un virus típico

1 10–6

Radio de un protón

1 10–15

0*

4. Para sacar la raíz cuadrada de un número escrito con notación científica, el exponente debe ser un número par; si no es así, se hace el cambio correspondiente para obtener un exponente par. Lo primero que se hace es extraer la raíz del factor de la potencia de base 10, después se multiplica dicho resultado por la base 10 con un exponente que resulta de dividirlo entre dos. Así, la raíz cuadrada de 81 104 es igual a: 81 104 = 9 104/2 = 9 102 81 104 =

* El número 100 es igual a uno (1).

Cuando se realizan cálculos con números expresados en notación científica, se deben atender las siguientes recomendaciones: 1. Para que se puedan sumar o restar dos o más números expresados en notación científica, deberán tener el mismo exponente (misma potencia). El resultado se obtiene de sumar o restar (según sea el caso) los factores de las potencias y de multiplicar este resultado por la potencia correspondiente de base 10. Por ejemplo, al sumar 3 10 4 con 5 104, sumamos los factores de las potencias de base 10 (o sea 3 + 5), ya que ambos tienen la misma potencia; de manera que el resultado se puede expresar como: 3 104 + 5 104 = (3 + 5) 104 = 8 104

4 × 106

4 106

= × dos = 2 × 106±3 = 2 × 2. Cuando se multiplican 3 3 números escritos con 2 2 × 10 10 notación científica, se multiplican los factores de las potencias de base 10; luego, a dicho resultado se le multiplica por la base 10 con un expoqueresulta resultadedesumar sumar exponentes de nente que loslos exponentes de las las potencias ambosnúmeros. números.Por Porejemplo, ejemplo, al potencias de de ambos

Problema ejemplo 2.3 ¿Cuál es el área de una lámina rectangular que tiene un largo de 3 104 cm y un ancho de 2 103 cm? Solución Datos

Fórmula

b = 3 10 cm a = 2 103 cm A=? 4

Área de un rectángulo: A=ab

Sustitución

Resultado

A = (2 10 ) (3 10 ) A = (2 3) (103 104) A = 6 103 + 4 3

4

A = 6 107 cm2


Errores en las mediciones Podemos contar el número total de bolillos que se han elaborado en una panadería y afirmar que el resultado es exacto. Sin embargo, si tratamos de medir la masa de cada uno de los bolillos, no obtendremos una respuesta exacta. Esto se debe a que la medición es diferente al conteo. En general, el valor numérico obtenido en la medición no corresponde al valor real de la magnitud que se mide. Los resultados que se obtienen en el proceso de medición son aproximados, debido a la presencia del error experimental. El error experimental es inherente al proceso de medición y su valor solamente se puede estimar. Dicho error está definido como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero de la cantidad medida. Matemáticamente, esto se expresa por la siguiente ecuación: e = Vm – Vv

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que lo provoca o si se introduce la corrección correspondiente en el resultado. Los errores aleatorios o accidentales se deben, por lo general, a la combinación de un gran número de perturbaciones individuales y fluctuaciones que dan lugar a que la repetición de una misma medición dé como resultado, en cada ocasión, un valor distinto. Estos errores siempre están presentes en las mediciones y, en ausencia de los errores sistemáticos, son la causa de que los valores obtenidos en mediciones sucesivas se dispersen alrededor del valor real de la magnitud medida (Figura 2.7).

Error = valor medido – valor verdadero Debido a que los errores pueden surgir por muy distintas causas, los científicos los clasifican para su análisis en dos amplias categorías: Errores

Sistemáticos Aleatorios o accidentales

Los errores sistemáticos son los que se pueden evitar, corregir o compensar. Este tipo de errores alteran la medida por no tomar en cuenta alguna circunstancia que siempre afecta de la misma manera al resultado, dando lugar a un alejamiento del sentido del valor verdadero. Se les llama sistemáticos porque cuando se presentan siempre se obtienen valores más altos o más bajos que el valor verdadero. Los errores sistemáticos se pueden originar por: 1. Defectos o falta de calibración del instrumento empleado en la medición. 2. Las condiciones del medio ambiente en que se realiza la medición. 3. Malos hábitos y una forma peculiar de realizar las observaciones por parte del experimentador. 4. Por el empleo de constantes cuyos valores no corresponden al lugar en donde se realizan las mediciones y cálculos. Este tipo de error puede ser eliminado, compensado o corregido en las mediciones si se elimina la fuente

Figura 2.7 Los errores aleatorios provocan que al repetir varias veces una medición, los resultados se dispersen alrededor del valor real.

En general, los errores aleatorios no se pueden eliminar, pero sí estimar por métodos estadísticos. Es conveniente señalar que el error sólo se puede estimar, ya que en cualquier medición experimental no es posible conocer el valor real de la magnitud medida. Al ignorar este valor, no es factible aplicar la ecuación para determinar el valor del error.

Incertidumbre experimental El avance científico y tecnológico ha generado la construcción de instrumentos cada vez más precisos y el empleo de nuevos métodos para medir con el fin de disminuir el error en las mediciones. Desafortunadamente, este avance no ha eliminado dichos errores, ni ha conseguido establecer un método para calcularlos. Hoy en día sólo es posible determinar la incertidumbre

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experimental: el valor posible que puede tener el error experimental. Esta cuantificación es importante para poder expresar los límites del intervalo dentro de los que se está seguro de capturar el valor verdadero en una medición. Así, la medición de la altura (h) de una mesa expresado como: h = (90.4 0.1) cm indica que el valor más probable de la altura de la mesa es 90.4 cm; sin embargo, debido a la presencia de los errores, el valor real de h está entre los valores extremos 90.3 y 90.5 cm. Si se conociera el valor real de la altura de la mesa (que es de 90.35 cm), se constataría que dicho valor se encuentra entre los valores extremos, que son límites del intervalo de incertidumbre (Figura 2.8). Existen varios criterios para asociar la incertidumbre experimental con una medida.

medida. Por tanto, la incertidumbre absoluta de un volumen se representa por δV. La incertidumbre absoluta generalmente es igual a la mitad de la división más pequeña de la escala del instrumento. De esta manera, si al medir repetidas veces la longitud del cuerpo con una regla graduada en milímetros, se obtiene δ = 124 mm, no se debe concluir que no se cometieron errores o que la incertidumbre absoluta es cero, porque los errores quedan ocultos al ser menores que la incertidumbre asociada con la regla, la cual es δd = 0.5 mm. En consecuencia, el resultado se debe indicar así: d = (124 0.5) mm El intervalo de incertidumbre va de 123.5 mm a 124.5 mm. La asociación de una incertidumbre igual a la mitad de la división más pequeña de la escala con las lecturas obtenidas en instrumentos sencillos se debe a que la mayoría de los fabricantes garantizan que sus instrumentos están diseñados y construidos de tal manera que la incertidumbre absoluta que pueden introducir no sea mayor de ese valor. Si al medir repetidas veces la masa de un vaso en una balanza cuya mínima escala es de 0.1 g se obtiene siempre 45.2 g, la incertidumbre absoluta (m) será de 0.05 g (la mitad de la mínima graduación en la escala) y el resultado se reportará como: m = (45.2 0.05) g

Figura 2.8 El valor real se deberá encontrar dentro del intervalo de incertidumbre.

Incertidumbre de medidas reproducibles Si a pesar de la presencia de los errores no se detecta variación alguna de una medición a otra, quiere decir que la variación no rebasa la mitad de la magnitud entre dos graduaciones consecutivas de la escala del instrumento de medición. En otras palabras, cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no se repite la medición o cuando al hacer una serie de medidas se obtiene el mismo valor para la magnitud medida, a la lectura resultante en general se le asocia una incertidumbre absoluta, la cual se representa con la letra δ (delta) del alfabeto griego y el símbolo de la magnitud

Como puedes observar, el resultado de una medición consta de un número, la unidad y un indicador de la precisión de la medición. En los ejemplos que hemos visto se ha manejado la incertidumbre absoluta como un elemento que señala la precisión en la medición, considerando que dicha incertidumbre absoluta representa los límites de confianza (alrededor del 99%) dentro de los que se está seguro de que el valor real o verdadero se encuentra en dicho intervalo. Con frecuencia se utiliza como indicador de precisión de una medición a la incertidumbre relativa, la cual da una idea de la significación del valor de la incertidumbre absoluta en la medida. La incertidumbre relativa se define como el cociente que resulta entre la incertidumbre absoluta y la magnitud medida, es decir:

δr x = Ir ( x ) =

δx x0

donde: rx = Ir(x) = incertidumbre relativa de la magnitud x. x = incertidumbre absoluta de la magnitud x. xo = valor medido de la magnitud x.


La incertidumbre relativa es una magnitud adimensional. Su importancia se ilustra en el siguiente problema.

37

ID(%) = Ir(D)(100%) = (0.021)(100) = 2.1% Ih(%) = Ir(h)(100%) = (0.00055)(100) = 0.055% En estas condiciones las medidas del diámetro y de la altura se pueden expresar de la siguiente forma:

Problema ejemplo 2.4 Con una cinta métrica cuya mínima graduación es de 0.1 cm se midió primero el diámetro de una moneda y se obtuvo un resultado de D = 2.4 cm 0.05 cm. Posteriormente, se midió la altura de una mesa, lo que dio el siguiente resultado: h = 90.4 cm 0.05 m. ¿Cuál es el valor de la incertidumbre relativa para cada medida? Solución Si la incertidumbre relativa se define como:

Ir (x ) =

δx x0

Entonces, para el diámetro:

I r ( D) =

δ D 0.05 = = 0.021 D0 2.4

y para la altura:

I r (h ) =

δ h 0.05 = = 0.00055 h0 90.4

Como se puede observar, la incertidumbre relativa para la altura es mucho menor, lo que significa que la incertidumbre absoluta (0.05 cm) no es tan significativa en la medición de la altura como en la medición del diámetro.

El índice más comúnmente usado para especificar la precisión de una medición es la incertidumbre porcentual la cual se define como el producto de la incertidumbre relativa por 100%. Es decir: Ix(%) = Ir(x)(100%) donde Ix(%) = Incertidumbre porcentual de la magnitud x. De acuerdo con esto, la incertidumbre porcentual para el diámetro de la moneda y altura de la mesa del problema ejemplo anterior es:

Diámetro:

D = 2.4 cm 2.1%

Altura:

h = 90.4 cm 0.055%

Incertidumbre de medidas no reproducibles Cuándo se mide varias veces una magnitud en las mismas condiciones y las medidas obtenidas resultan diferentes en general, no es posible decidir cuál de éstas corresponde al valor real de la magnitud medida. Ante esto surgen dos preguntas: 1. ¿Cuál es el valor que se debe reportar? 2. ¿Qué incertidumbre se debe asignar al resultado? Para responder a la primera pregunta aceptaremos por el momento que el valor más representativo es el promedio o media aritmética ( x o x m ) , que se calcula con la siguiente ecuación:

xm = x =

x1 + x 2 + … + x n n

en donde x1, x2, ..., xn son las lecturas o medidas realizadas de la magnitud x ; n es el número de lecturas y x es el valor más probable o representativo del conjunto de lecturas realizadas (media aritmética). En cuanto a la segunda pregunta, en este curso asignaremos como incertidumbre a la desviación absoluta máxima (d.a.m.), que es simplemente la mayor de las diferencias absolutas entre el valor promedio y las lecturas obtenidas. Por ejemplo, al medir el tiempo que tarda un atleta en recorrer una distancia de 300 m, en diversas oportunidades y en las mismas condiciones, se obtuvieron los resultados que se muestran en la Tabla 2.8. El tiempo más probable del corredor se obtiene mediante el cálculo del promedio:

t=

t1 + t 2 + t 3 + t 4 + t 5 5

sustituyendo valores:

38


t=

35.4+ 30.2+ 33.0+ 29.6+ 32.8 = 32.2 s 5

Los valores extremos son 35.4 s y 29.6 s. La mayor de las diferencias con respecto a t, ocurre con 35.4 s, ya que: 35.4 s – 32.2 s = 3.2 s. Este valor sería la desviación absoluta máxima (d.a.m.). En este curso, consideraremos a la d.a.m. como un indicador de la precisión en las mediciones.

Tabla 2.8 Tiempo de recorrido por el atleta Carrera

Tiempo (s)

1

35.4

2

30.2

3

33.0

4

29.6

5

32.8

Cifras significativas El valor numérico que se obtiene en las mediciones directas es leído en muchas ocasiones en un instrumento analógico en el que aparecen una o varias escalas (Figura 2.10). Al expresar la lectura sólo se deberán reportar aquellas cifras que pueden leerse directamente en la escala respectiva del instrumento. Reportar el resultado de una medición con el número correcto de cifras indica en forma implícita la mínima escala del instrumento empleado en la medición y esto a su vez permite identificar la incertidumbre que se debe asociar con la medida. Cada una de las cifras o dígitos que se obtienen en una medición y que el operador está razonablemente seguro de obtener en el instrumento respectivo se denominan cifras significativas. Estas cifras están integradas por aquéllas de las que se está seguro y una cifra estimada, si es que el índice o extremo del objeto a medir queda entre dos divisiones y la distancia entre ambas es lo suficientemente amplia para que el operador la pueda apreciar.

La incertidumbre asociada en esta serie de mediciones es entonces 3.2 s; de manera que el tiempo empleado por el atleta en la carrera de 300 m se reporta oficialmente como: t = (32.2 3.2) s Es importante que adquieras cierta habilidad en la asignación de incertidumbres en los resultados de las mediciones que realices, ya que durante los experimentos encontrarás diferencias entre los resultados reales y los que aparecen en los textos. Asimismo, al asignar la incertidumbre correspondiente, comprobarás que el valor reportado en el texto se encuentra dentro del intervalo de incertidumbre y sentirás que el experimento “sí funcionó” (Figura 2.9).

_

_

t–δt = 29.0 s

t+δt = 35.4 s

Figura 2.10 En la lectura de 12.5 las primeras cifras (1 y 2) son seguras y la tercera cifra (el 5) es estimada. Las tres cifras son significativas.

En el caso de las mediciones indirectas, al hacer las operaciones correspondientes para obtener el resultado, se debe tener precaución de citar el resultado final con el número correcto de cifras significativas, pues cuando no se tiene experiencia, es muy fácil expresar el resultado de la operación con más dígitos de los necesarios. Por ejemplo, si un auto recorre 17.0 m en 3.0 s su rapidez obtenida en la calculadora reporta un

t =(32.2±3.2) s Figura 2.9 La asignación de la incertidumbre es fundamental para desterrar el “cuchareo” de los datos por parte de muchos estudiantes. El valor reportado oficialmente indica el intervalo de incertidumbre.


valor de 5.666666667 m/s, pero éste no es el resultado que se debe reportar. Un análisis de la incertidumbre de la distancia y el tiempo da los elementos para establecer que la rapidez del auto se debe reportar como 5.7 m/s. En la obtención de este resultado, se tuvieron que eliminar cifras decimales debido a que no eran significativas, es decir, se recurrió al redondeo de cifras, proceso derivado del tratamiento estadístico de datos que se resume en unas cuantas reglas que aparecen en el apéndice de cifras significativas. Una vez que se haya obtenido la incertidumbre del resultado final se debe plantear el problema del número de cifras significativas que se deben conservar en el resultado. Un criterio que puede seguirse es el de no dejar en el resultado más que a la primera cifra incierta estimada. Por ejemplo, (16.42751 0.3) cm debe reportarse como (16.4 0.3) cm, porque si 4 es incierto, las cifras 2751 lo son mucho más. Sin embargo, si se conoce la incertidumbre con mayor precisión, puede estar justificado el retener una cifra más. De este modo, si la incertidumbre en lugar de ser 0.3 cm es 0.35 cm, sería válido reportar el resultado como (16.42 0.35) cm. Finalmente, es fundamental recordar que el resultado y su incertidumbre se deben reportar de tal manera que sean consistentes con respecto al número de cifras signficativas.

Tablas de resultados Los científicos y técnicos emplean la tabla de resultados para presentar un conjunto de observaciones y resultados experimentales afines. Estas tablas se usan para registrar y comunicar con todo detalle los resultados de un experimento, de modo que se tenga toda la información completa y relevante en forma organizada. Los aspectos más importantes que se deben considerar en la organización de las tablas son su sencillez y uniformidad. Una tabla consta de los siguientes elementos: 1. El número de la tabla. 2. Su título o encabezado, que identifica el contenido de la tabla.

39

3. Las cabezas de las columnas (o renglones), o sea los títulos que identifican las columnas verticales. No sólo se debe registrar el nombre de la magnitud o variable sino indicar también tanto la unidad en que fue medida, como el símbolo correspondiente. 4. El campo, es decir, las columnas (o renglones) de los datos o resultados. Una vez que la unidad se ha especificado en la cabeza de la columna, no es necesario repetirla en cada dato o medición. 5. Las referencias y observaciones importantes, si las hubiera, deben señalarse mediante asteriscos y escribir las notas respectivas al pie de la tabla. 6. Es conveniente que los números que se registren en la tabla de resultados estén aproximadamente en el rango 0.1 a 1 000, para lo cual se utiliza la conveniente potencia de 10 como se muestra en la Tabla 2.9.

Tabla 2.9 Densidad de algunas sustancias Sustancia

Densidad

103 (kg/m3)

Hielo

0.917

Agua = 20 °C y 1 atm

0.998

Agua = 20 °C y 50 atm

7.000

Agua de mar = 20 °C y 1 atm

1.024

Sangre

1.060

Hierro

7.8

Mercurio

13.6

7. Si la incertidumbre es la misma para toda una columna (o renglón), conviene escribirla en la cabeza de la misma. Si la incertidumbre no es común a las medidas de la columna, hay que ponerla en otra aparte (con la cabeza adecuada) o añadirla a cada valor.

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Introducción a la graficación de resultados

Problema ejemplo 2.5 En la medición de la masa de una esfera realizada por diferentes personas, se obtuvieron los siguientes valores: 2.0, 1.9, 2.1, 2.2, 2.0, 2.0, 1.9, 2.1, 2.4, 2.1, 2.0, 2.3, 2.5, 2.3, 2.0, 2.4, 1.9, 2.0, 2.1, 2.4, 1.9 y 2.4 g. Organiza en una tabla la frecuencia con que aparece cada medida. Solución Primero escribimos cada medida diferente y enfrente de ella colocamos una marca (raya o paloma) cada vez que se repita: Medida

En la ciencia, en la tecnología y en muchas otras actividades con frecuencia se prefiere analizar los datos por medio de gráficas y no mediante tablas o métodos analíticos (Figura 2.11).

Número de veces que aparece

1.9 g

√

√

√

√

2.0 g

√

√

√

√

2.1 g

√

√

√

√

2.2 g

√

2.3 g

√

√

2.4 g

√

√

2.5 g

√

√

√

√ Figura 2.11 Es más fácil visualizar el comportamiento de un fenómeno por su gráfica que por los datos tabulados.

√

Una vez que se conoce el número de veces que aparece cada medida, la tabla de resultados se organiza como se muestra a continuación.

Tabla 2.10 Medición de la masa de una esfera Masa (g)

Frecuencia

1.9

4

2.0

6

2.1

4

2.2

1

2.3

2

2.4

4

2.5

1

Las gráficas son una forma de presentar de una manera clara y compacta los datos de una investigación o experiencia. Cuando se manejan grandes volúmenes de información, las gráficas son un aliado importante del ser humano en la comprensión de los fenómenos y su explicación. Las gráficas son representaciones de las relaciones que existen entre una y otra (o diversas) variables. Por ejemplo, entre la distancia que recorre un niño en bicicleta y el tiempo en que lo hace. Las gráficas pueden ser circulares, de barras, de puntos o de líneas (Figura 2.12). Las principales ventajas de las gráficas (con respecto a las tablas) son: • Mediante una gráfica es más fácil conseguir la atención, ya que al igual que un dibujo vale más que mil palabras, una gráfica vale más que mil números. • Es más fácil comparar una gráfica con otra que comparar una tabla con otra. • Las gráficas revelan, en forma más rápida, ciertos rasgos que mediante una inspección de la tabla no se podrían obtener con facilidad. Entre ellos se encuentran:


41

o del número de estudiantes, según su edad, en una escuela primaria (Figura 2.13). Gráfica de barras. En esta gráfica también se expone la frecuencia con que aparecen los datos o una serie de mediciones, pero dicha representación se hace mediante barras paralelas colocadas en forma horizontal o vertical entre los ejes del plano horizontal. Estas barras tienen todas la misma base, pero su altura es proporcional a la frecuencia (Figura 2.12).

Figura 2.12 Gráfica de barras que muestra la producción anual de frijol en Nayarit.

a) valor máximo, b) valor mínimo, c) periodicidad (si se repite un determinado valor), y d) variaciones de la pendiente (si la inclinación de la gráfica lineal varía respecto a la horizontal).

Figura 2.14 Gráfica que relaciona la deformación de un resorte por una fuerza.

Las gráficas que más se utilizan en la ciencia son las denominadas gráficas funcionales. En este tipo de gráficas las variables se relacionan mediante una función matemática (ecuación). En la figura 2.14 se muestra un ejemplo de una gráfica funcional. En ella se puede deducir rápidamente en qué punto de la línea el comportamiento deja de ser lineal, así como el grado de dispersión de los datos. La gráfica representa la relación entre el alargamiento de un resorte y la fuerza que lo produce. El hecho de que la fuerza se haya representado en el eje de las abscisas y el alargamiento del resorte en el eje de las ordenadas no es accidental, sino resultado del análisis de quien realiza el experimento. La convención establece que la variable independiente, es decir, la que el experimentador controla, se debe graficar en el eje de las abscisas (el eje horizontal), mientras que la variable dependiente, cuyo valor se determina en función del valor de la otra variable independiente, se representa en el eje vertical. Una variable puede considerarse dependiente o independiente según las condiciones del experimento y el criFigura 2.13 Gráfica poligonal del número de estudiantes por edad de terio del experimentador. una escuela primaria.

Las gráficas que se emplean en la ciencia pueden ser de barras, poligonales, funcionales, etcétera. Gráfica poligonal. Es una gráfica lineal; en ésta se representa el número de veces que aparecen los datos o una serie de mediciones. En uno de los ejes se representa la frecuencia o número de veces que se encuentra cada dato o medición y en el otro, los datos y mediciones. Estas gráficas son especialmente útiles para estudiar la evolución de diversos procesos: variación del precio de la gasolina, de la temperatura de un sistema

42


Las gráficas se utilizan para obtener lecturas entre los puntos experimentales mediante el proceso denominado interpolación. Se hace una interpolación al predecir, a partir de una tabulación o de una gráfica, un valor desconocido que se encuentra entre dos valores conocidos. Al investigar el alargamiento de un resorte cuando se le aplica una fuerza de 17 N, ya que este valor se encuentra entre dos conocidos (10 N y 20 N), la deformación de dicha fuerza deberá estar entre las deformaciones producidas por las fuerzas de 15 N y 20 N. Así, en la gráfica de la Figura 2.14 se traza una línea vertical auxiliar por el punto 17 N hasta que intercepte a la línea inclinada de la gráfica en un punto P, y por ese punto se traza otra línea auxiliar horizontal hasta el eje vertical. El punto de intersección con el eje vertical corresponde al alargamiento para la fuerza de 17 N, en este caso de 8.5 cm. Puesto que a partir de la gráfica se predijo un valor desconocido, se realizó una interpolación. El proceso opuesto, la extrapolación, consiste en prolongar la gráfica para obtener valores fuera del intervalo experimental. La extrapolación no es un proceso seguro, por lo que se debe tener cuidado en su utilización. La estimación que se hace de la deformación que experimentará el resorte cuando se le aplica una fuerza mayor de 35 N, que es la última fuerza aplicada al resorte, es un proceso conocido como extrapolación. Tanto la interpolación como la extrapolación suponen itir que el comportamiento que la gráfica describe es regular. Particularmente en el caso de la extrapolación, es preciso proceder con cierta cautela a la hora de generalizar las conclusiones a cualquier rango de variación de las cantidades investigadas, ya que la ley física investigada será válida sólo dentro de ciertos límites. En tal caso, una extrapolación más allá de sus propias posibilidades sería errónea.

Elaboración de gráficas La elaboración de gráficas es una tarea sencilla si se toma en cuenta lo siguiente: 1. Elección del papel adecuado. El más común es el papel milimétrico. 2. Elección de la escala. No necesariamente debe iniciar en cero y se selecciona de manera que todos los puntos experimentales queden dentro de los límites del papel que se utilice.

3. Trazo de los puntos experimentales. Una vez elegidas las escalas y el papel, se procede a la localización de los puntos experimentales, lo cual se consigue haciendo coincidir las líneas imaginarias perpendiculares con los ejes que pasan por las coordenadas de los datos experimentales (como se muestran en la Figura 2.15).

Figura 2.15 El plano cartesiano está integrado por dos rectas perpendiculares entre sí. Un punto P en el plano cartesiano es localizado por sus coordenadas (4, 3). La primera coordenada representa la abscisa, porque es la que se encuentra sobre el eje de las abscisas; la que está en segundo lugar es la coordenada del punto P, también llamada ordenada de P, porque es la que se encuentra sobre el eje de las ordenadas.

4. Ajuste de la curva por los puntos experimentales. Una vez localizados los datos experimentales, se procede a trazar una curva que se adapte a través de los puntos obtenidos. No es necesario que la curva o recta pase por todos los puntos experimentales. 5. Obtención de la ecuación matemática de la gráfica. En física es muy frecuente determinar la ecuación que relaciona las dos variables a partir de la gráfica. En este texto se obtendrá la ecuación cuando los datos experimentales se representen por una línea recta. De la geometría analítica se sabe que una línea recta se puede expresar por la siguiente ecuación: y = mx + b donde: y = variable dependiente x = variable independiente


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b = ordenada al origen m = pendiente de la recta La pendiente m de una línea recta se define como el cociente entre la elevación y el avance en dos puntos P1 y P2 cualesquiera sobre la recta. Es decir:

m=

elevación avance

En función de los puntos P1 y P2 de la gráfica de la figura 2.16 la pendiente de la recta se define por: y ±y m= 2 1 x 2 ± x1 donde: (x1, y1) = coordenadas del punto P1 (x2, y2) = coordenadas del punto P2

Figura 2.17 Gráfica del movimiento.

Solución De la gráfica se observa que la ecuación de la recta debe ser de la forma: y = mx + b En nuestro caso, en lugar de y se escribe la variable d y en lugar de x la variable t: d = mt + b También se observa en la gráfica que la ordenada al origen (b) es 2 m. De la definición de pendiente: y ±y m= 2 1 x 2 ± x1 En este caso, la pendiente se obtiene de las coordenadas de los puntos P1 y P2, es decir:

Figura 2.16 La ecuación de una recta está dada por y = mx + b.

La ordenada al origen (b) de una línea recta es el valor de la variable dependiente donde la línea recta cruza al eje vertical, es decir, donde la variable independiente tiene un valor de cero. En virtud de las características de las gráficas, científicos, es, ingenieros, médicos y otros profesionistas las consideran poderosas herramientas.

m=

y 2 ± y1 d 2 ± d1 20m ±14m 6m = = = = 6m m/s x 2 ± x 1 t 2 ± t1 3s ± 2s 1s

Al sustituir los valores de m y b en la ecuación de la recta, se obtiene: d = 6t + 2 donde la distancia d se expresa en metros y el tiempo t en segundos.

Análisis dimensional Problema ejemplo 2.6 En la figura 2.17 se presenta la gráfica del movimiento de un corredor en una pista recta, ¿cuál es la ecuación que describe su movimiento?

El análisis dimensional es una valiosa herramienta que permite a los científicos e ingenieros investigar las relaciones entre las variables que intervienen en un sistema físico, así como predecir el comportamiento de dichos sistemas por medio del estudio de modelos menos complicados. Sin embargo, en este libro sólo será utilizado para verificar que las ecuaciones empleadas sean dimensionalmente compatibles.

44


A cada cantidad medida o calculada se le asocia una dimensión. Por ejemplo, el diámetro de una esfera, la profundidad de un pozo y la distancia recorrida por un corredor tienen la dimensión de una longitud. Es decir, la dimensión denota la naturaleza física de una cantidad. Las unidades en las que se expresan las cantidades no afectan la dimensión de las mismas, así la profundidad de un pozo sigue siendo una longitud, esté expresada en metros, kilómetros, centímetros, yardas o en cualquier otra unidad de longitud. La dimensión es simplemente la expresión de una cantidad general y, por tanto, de una característica de la magnitud física correspondiente. Cada nueva magnitud física da origen a una nueva dimensión, como la masa, temperatura, entre otras. O sea que hay tantas dimensiones como magnitudes físicas existen. Así como se establecieron las magnitudes fundamentales, se eligió un juego de dimensiones fundamentales, de manera que éstas correspondieran a las de las magnitudes fundamentales. En la Tabla 2.11 se indican cuáles son y sus símbolos.

Para hacer referencia a la dimensión de determinada magnitud se utiliza el corchete [ ] como abreviatura de la “dimensión de”. Por ejemplo, para el caso de la dimensión del diámetro [D] de una esfera se tiene: [D] = L De la misma manera, la dimensión de la masa de la esfera se representa por: [m] = M Puesto que en el sistema internacional sólo hay siete magnitudes fundamentales, todas las demás son resultado de la combinación de éstas. Por tanto, la dimensión de las magnitudes derivadas son función de las dimensiones de las magnitudes fundamentales. En la Tabla 2.12 se presentan las dimensiones de algunas magnitudes derivadas. Existen magnitudes cuya dimensión es 1 y se denominan adimensionales. Entre estas magnitudes se encuentra el ángulo plano.

En la ciencia, las ecuaciones deben ser dimensionalmente compatibles, esto es, todos los términos de las Tabla 2.11 ecuaciones físicas deben tener las mismas Dimensiones fundamentales y símbolos dimensiones. El poner atención a las dimensiones puede a menudo evitar que se comeMagnitud fundamental Dimensión fundamental Símbolo tan errores al escribir las ecuaciones. L Longitud Longitud El análisis dimensional utiliza el hecho Masa Masa M de que las dimensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas, es decir, se Tiempo Tiempo T pueden sumar, restar o multiplicar. Temperatura Temperatura t Una ecuación física para ser correcta Intensidad de corriente eléctrica Intensidad de corriente eléctrica I debe satisfacer lo siguiente: Intensidad luminosa

Intensidad luminosa

Ie



mol

Tabla 2.12 Dimensiones de magnitudes derivadas Magnitud derivada

Definición

Dimensión

Área

Área = (Longitud) (Longitud)

[A] = L2

Volumen

Volumen = (Longitud) (Longitud) (Longitud)

[V] = L3

.

[] = ML–3

Densidad

Rapidez

Densidad =

Rapidez =

Masa Volumen

Distancia Tiempo

[v] = LT–1

1. Las dimensiones de las magnitudes físicas a ambos lados del signo de la igualdad deben ser las mismas. 2. Sólo pueden sumarse o restarse magnitudes físicas de la misma dimensión.


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Problema ejemplo 2.7 La fórmula que se emplea para relacionar las velocidades de un móvil con su aceleración y desplazamiento es v2 = v02 + 2ad, ¿es dimensionalmente homogénea? Solución Sustituyendo las dimensiones de cada magnitud en la ecuación se tiene: v2 = v02 + 2ad [v]2 = [v0]2 + [2][a][d] 2 2 ⎛ L⎞ ⎛ L⎞ ⎛ L⎞ ⎜⎝ T ⎟⎠ = ⎜⎝ T ⎟⎠ + (1) ⎜ 2 ⎟ ( L ) ⎝T ⎠

ya que la dimensión del número 2 (o de cualquier otro número) es 1. Por tanto: L2 L2 L2 = + T2 T2 T 2

Como cada término tiene la misma dimensión, la ecuación v2 = v02 + 2ad es dimensionalmente homogénea.

Glosario En esta sección se presentan los principales términos y conceptos que aparecen en el capítulo. El estudio de este glosario te permitirá enfrentar con más recursos cualquier evaluación sobre lo que es la ciencia y el proceso de medición. Ciencia. Cuerpo de conocimientos metódicamente ordenados y sistematizados que permiten explicar y predecir lo que acontece en la naturaleza. Ciencia factual. Disciplina que se encarga de estudiar hechos naturales. Ciencia formal. Disciplina que se encarga de estudiar ideas. La lógica y las matemáticas son ciencias formales. Dato. Se llama así a cada una de las magnitudes referidas en el enunciado de un problema y que permite encontrar el valor de las incógnitas; también es la información donde puede fundarse una investigación o razonamiento. Desviación absoluta máxima. Se define como la mayor de las diferencias absolutas entre el valor pro-

medio y las lecturas obtenidas de una misma magnitud, la cual ha sido medida varias veces. Ecuación. Igualdad entre cantidades conocidas y desconocidas que solamente puede resolverse cuando los símbolos de las incógnitas han sido reemplazados por los números que corresponden a su valor exacto. Permite expresar una ley física en términos matemáticos. Exactitud. Término que se utiliza para señalar la proximidad del valor medido con el valor real. Mientras más pequeña sea esta desviación, mayor será la exactitud. Error. Se define como la diferencia entre el valor verdadero y el valor medido de la magnitud. Experimento. Experiencia científica en que se provo-

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ca deliberadamente algún cambio y se observa e interpreta su resultado con alguna finalidad cognoscitiva. Fenómeno. Todo cambio que acontece en la naturaleza. Gráfica. Representación de datos en forma de curvas o de otro dibujos. Hipótesis. Suposición comprobable que se basa en el conocimiento preciso y con la cual se pretende dar solución a un problema. Incertidumbre absoluta. Representa los límites de confianza dentro de los cuales se puede estar seguro de que el valor verdadero se encuentra en dicho intervalo. Incertidumbre porcentual. Índice que más se usa para especificar la exactitud de una medida. Se define como la incertidumbre relativa por cien. Incertidumbre relativa. Cociente de la incertidumbre absoluta y el valor medido. Instrumento de medición. Dispositivo o aparato propio para efectuar mediciones. Kilogramo. Unidad fundamental de masa en el SI. Se define como la masa de un cilindro de platino-iridio guardado cerca de París, Francia. Magnitud. Todo aquello que puede aumentar o disminuir de tamaño. Magnitud física. Toda aquella magnitud que puede medirse. Masa. Medida de la cantidad de materia o, equivalentemente, una medida de la resistencia que opone un cuerpo a cambiar su estado de reposo o movimiento. Joule. Unidad de medida del trabajo y la energía en el SI. Media aritmética. Se define como el cociente de la suma de todas las medidas y el número de medidas. Medición. Proceso por el cual se asigna un número a una propiedad física de algún objeto con el propósito de compararlo. Es la acción de medir. Medición directa. Se realiza comparando la magnitud que interesa medir con un patrón o con las unidades de una escala material y contando el número de veces que la unidad está contenida en la magnitud por medir.

Medición indirecta. Es la que supone medición directa y cómputo. Medida. En relación con una magnitud, es el cociente entre su valor y el de la magnitud del mismo tipo tomada como unidad de medida. Medir. Es comparar una cantidad con otra de la misma magnitud o dimensión tomada como referencia (unidad). Método. Modo de hacer algo ordenadamente; es el camino que nos lleva hacia un fin. Método científico. Guía ordenada de los pasos que ayuda al investigador a encontrar la senda correcta en la solución de problemas. Metro. Unidad de medida de las longitudes, que desde 1983 se define como la distancia recorrida en el vacío por la luz en un intervalo de 1/299 792 458 de segundo. Observación. Registro o contemplación pasiva de los fenómenos. Precisión. Se emplea para indicar la reproductibilidad de los resultados de una medición. Problema. Cuestión que se trata de solucionar o aclarar. Proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son conocidos. Radián. Unidad de medida de los ángulos planos igual a 57.2958º. Sistema Internacional (SI). Es el sistema de unidades de medida que se utiliza fundamentalmente en la actualidad en las mediciones internacionales. Tecnología. Conjunto de los conocimientos propios de los oficios y artes industriales. Resulta de la aplicación de la ciencia. Teoría. Conjunto de hipótesis, reglas o leyes que sirven de base a una ciencia para explicar los hechos o fenómenos observados en la misma. Unidad de medida. Magnitud a la que se refieren todas las demás magnitudes del mismo tipo. Unidad derivada. Es la unidad que se forma de la combinación de unidades fundamentales. Unidad fundamental. Es la unidad asociada a una magnitud fundamental. En el Sistema Internacional de unidades son siete. Variable. Magnitud que puede tomar diferentes valores.


47

Arma tu mapa conceptual 1. Para tener un resumen esquemático de lo que has aprendido en este capítulo, completa el siguiente mapa conceptual. Coloca en cada uno de los espacios en blanco el concepto o término correcto. Te recomendamos utilices las palabras que aparecen en el recuadro. Compara tu mapa con el de tus compañeros de clase y muéstraselo a tu profesor.

Cuerpo tiene propiedades cuando pueden medirse son

pueden ser

magnitudes físicas

particulares tienen una

pueden ser

medida

derivada como longitud

como área

tiene asociación

en la que intervienen

error experimental densidad

instrumentos de medición

cuya estimación es la

temperatura puede ser fundamental

Conceptos clave 3 3 3 3 3 3 3 3

Generales Específicas Incertidumbre Cuerpo Unidad Derivada Newton Pascal

3 3 3 3 3 3 3 3

Segundo Kilogramo Fundamental Tiempo Masa Volumen Fuerza Operador

como

como

metro

Joule

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2. Subraya los conceptos más relevantes que aparecen en esta sección y que no fueron incluidos en el mapa conceptual anterior. Con ellos elabora otro mapa conceptual en tu cuaderno. 3. Compara tu mapa conceptual con el de tus compañeros y en equipos de cuatro integrantes obtengan un nuevo mapa conceptual. Preséntelo al resto de la clase y a su profesor.

Evaluación formativa I. Subraya la palabra que se encuentra entre paréntesis yIII. Subraya la palabra que se encuentra entre paréntesis y que completa correctamente cada enunciado. que completa correctamente cada enunciado. 1 (Materia/área) es todo aquello que constituye los cuerpos.

1 El Sistema Internacional es un sistema de (unidades/leyes).

2 Las propiedades (generales/particulares) son comunes a todos los cuerpos.

2 El (múltiplo/submúltiplo) es una cantidad mayor que la unidad.

3 Todas las características de los cuerpos que se pueden medir son (magnitudes físicas/cantidades).

3 Las unidades fundamentales del SI son (tres/siete).

4 Las magnitudes (fundamentales/derivadas) son aquellas que se han escogido como referencia para expresar las demás en función de éstas. 5 La masa, el tiempo y la longitud son magnitudes (fundamentales/derivadas). 6 El área, la velocidad y la densidad son magnitudes (fundamentales/derivadas).

4 La unidad fundamental del tiempo es el (día/segundo). 5 El newton es una unidad (derivada/fundamental). 6 El prefijo deci representa (diez/un décimo). 7 El radián es una unidad (derivada/suplementaria) del SI. 8 La unidad de la potencia es el (joule/watt).

7 La (ciencia/magia) es el cuerpo de conocimientos me- 9 La cantidad 4 103 m representa (4 000 m/400 m). tódicamente organizados que permiten explicar y predecir lo que acontece en la materia. 10 El factor de conversión es una razón algebraica de dos cantidades distintas con diferentes unidades de la mis8 La (ciencia/hipótesis) es una suposición comprobable ma magnitud, cuyo cociente es (cero/uno). que se basa en el conocimiento previo, con la cual se pretende dar solución a un problema. 11 El número 100 es igual a (1/10). 9 La (masa/belleza) es una magnitud física.

12 El número 1000 expresado en notación científica es igual a (104/103).

10 (La hipótesis/El método) es el modo de hacer algo ordenadamente. 13 El número 0.01 expresado en notación científica es igual a (10–2/10–1). II. Coloca en el paréntesis una F si la magnitud es fundamental y una D si la magnitud es derivada. 14 Al sumar dos números expresados en notación científica los exponentes de la base 10 deben ser (igua1 ( ) longitud 6 ( ) tiempo les/diferentes). 2 ( ) área 7 ( ) velocidad 15 El exponente 4 del número 104 indica el número 3 (

) aceleración

8(

) fuerza

4 (

) trabajo

9(

) temperatura

5 (

) corriente eléctrica

10 (

) volumen

de veces que hay que (sumar/multiplicar) la base 10. 16 El valor del error (si/no) se puede conocer.

Capítulo 2 • Magnitudes físicas y su medición 49

17 Los errores (sistemáticos/aleatorios) son los que, en principio se pueden eliminar, compensar o corregir.

2

18 Son cifras (significativas/estimadas) todas aquellas que pueden leerse directamente en el instrumento de medición. 19 La (extrapolación/interpolación) consiste en prolongar la gráfica para obtener valores fuera del intervalo experimental. 20 El número 0.46 tiene (tres/dos) cifras significativas. IV. Escribe sobre la línea el número de cifras significativas de las siguientes cantidades: 1 46.8 m

______________________

2 30.4 m

______________________

3 0.04 m

______________________

4 4.01 m

______________________

5 4.008 m

______________________

V. Escribe la medida con el número de cifras significativas correcto para cada carátula del instrumento en donde aparecen las flechas.

x = _________

3

x = _________

VII. Contesta brevemente las siguientes preguntas: 1 ¿Qué es el método científico?

2 ¿Cuál es la diferencia entre una medición directa y una indirecta?

1 cm

3 ¿Cómo se debe expresar el resultado de una medición?

2

4 ¿Qué es una gráfica funcional? 3

5 ¿Cómo se define el promedio o media aritmética? VI. Escribe en el espacio la incertidumbre absoluta que se asociaría a las mediciones que se hicieron con las siguientes reglas. 1

x = _________

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Problemas 1. Realiza las siguientes conversiones: a) 10 m a mm

(

)

5 3 e) (8 × 10 ) 4 × 10 = (6 × 10±2-2)

b) 20 cm a m

f) 81 106

c) 6 m a m

g) 4.9 105

d) 10 000 000 000 m a Gm

h) (4 103) + (3 103) =

e) 0.0004 m a m

i) (3 103) + (0.5 102) =

f) 30 min a s g) 2 h a s h) 30 km/h a m/s i) 10 m/s a km/h j) 4 Em a m 2. La Luna tiene una masa aproximada de 70 000 000 000 000 000 000 000 kg. Expresa dicha cantidad en exakilogramos . 3. La magnitud de la velocidad de la luz en el vacío es de 300 000 000 m/s, expresa dicha constante en km/s. 4. Realiza las siguientes operaciones y escribe tu respuesta con el número correcto de cifras signficativas.

6. Determina la longitud de uno de los lados de un terreno de forma cuadrada cuya área es igual a 3.6 107 km2. Expresa el resultado en notación científica . 7. Un técnico midió el volumen de un troquel y encontró que éste es igual a 208.6 cm3. Si el valor real del volumen del troquel es de 210 cm3 suponiendo que es posible conocer el valor real. ¿Cuál es el valor del error de dicha medición? . 8. En la medición de la masa de una esfera por diferentes personas se obtuvieron los siguientes valores: 2.0, 1.9, 2.1, 2.2, 2.0, 2.0, 1.9, 2.1, 2.4, 2.1, 2.0, 2.3, 2.3, 2.0, 2.4, 1.9 y 2.0 g. Organiza en una tabla la frecuencia con que aparece cada medida.

a) 4.6 cm + 4.82 cm + 3.06 cm = b) 36.831 m – 4.1 m = c) (36.2 m) (4.4 m) = d) (421 m) (2.8 m) = e) 4621m = 2.8m 5. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica. a) (4 106) (3 106) = b) (3 102) (5 104) = c) (4 10–2) (5 104) (3 103) = d) 2 × 10±2 = 4 × 103

9. Una regla graduada en milímetros es empleada para medir el largo de una hoja. Si el valor obtenido es de 24.6 cm. a) ¿Cuánto vale la incertidumbre absoluta de la medición? b) ¿Cuánto vale la incertidumbre relativa? 10. Al medir con una cinta métrica la altura de la mesa, Sandra señala que no es mayor de 92.6 cm, ni menor de 92.2 cm. a) Escribe esta medición como: valor central ± incertidumbre absoluta.


b) Calcula la incertidumbre relativa de la medición. c) Determina la incertidumbre porcentual de la medición. 11. Al dejar caer una pelota de una altura de 1 m, diferentes personas midieron el tiempo que tardó en tocar el piso y obtuvieron los siguientes valores: 0.45, 0.44, 0.46, 0.44, 0.46, 0.47, 0.45, 0.44 y 0.47 s. Calcula: a) La media aritmética

.

b) La desviación absoluta máxima

.

12. Varios técnicos midieron el voltaje entre las terminales de una fuente. La siguiente tabla muestra los valores registrados:

13. Al conocer el número de veces que aparecen las medidas de la masa de una esfera medidas por diferentes técnicos (Tabla 2.13), realiza una gráfica poligonal para representar estos datos.

Tabla 2.13 Masa de las esferas Medida (g)

Frecuencia

1.9

3

2.0

6

2.1

3

2.2

1

2.3

2

2.4

2

14. Los datos que aparecen en la tabla 2.14 muestran la posición de un objeto para diferentes tiempos:

Número de medición

Voltaje (V)

1 2

116 115

3

114

4

116

5

116

6

113

7

115

8

110

9

115

Distancia (m)

2

5

8

11

14

17

10

114

Tiempo (s)

0

1

2

3

4

5

Calcula: a) La media aritmética. b) La desviación absoluta máxima. c) Expresa el resultado en función de la media aritmética y la desviación absoluta máxima.

51

a) En una hoja de papel milimétrico grafica estos datos en un sistema de coordenadas cartesianas. b) Determina la ecuación de la línea que se ajusta a los datos.

Tabla 2.14 Distancia de un objeto en función del tiempo

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Formulario Subtema Error experimental

Fórmulas

Notas

e = Vm – Vv

Vm = valor medido Vv = valor verdadero e = error absoluto

Incertidumbre

Incertidumbre Máximo valor = del error experimental absoluta

La incertidumbre absoluta de la magnitud x se representa por x.

Incertidumbre relativa:

x = incertidumbre absoluta xm = valor medido de la magnitud x Ir = incertidumbre relativa

Ir =

δx xm

Incertidumbre porcentual: I% = Ir(100)

Valor promedio o media aritmética Desviación absoluta máxima (d.a.m.)

x + x + x +… x n x = xm = 1 2 3 n Es la mayor de las diferencias absolutas entre el valor promedio y las lecturas obtenidas d.a.m. = x ± x e

Ir = incertidumbre relativa I% = incertidumbre porcentual x1, x2, ... xn = lecturas o mediciones particulares xm = x = valor promedio n = número de mediciones xe = valor más alejado de x de un conjunto de lecturas


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Pasatiempos Algo sobre magnitudes Resuelve el siguiente crucigrama de acuerdo con las claves que se presentan a continuación:

Verticales

Horizontales

1. Magnitud fundamental que se mide en segundos. 2. Esta magnitud se puede definir como la cantidad de materia de un cuerpo. 3. Magnitud derivada definida como el espacio que ocupa un cuerpo. 5. Medida de extensión de una superficie.

4. Unidad empleada para medir la masa. 5. Magnitud derivada cuya unidad es el m2. 6. Magnitud fundamental que también se puede definir como una medida de la inercia.

2

1

3

4

5

6

Múltiplos y submúltiplos del metro El metro, que es la unidad fundamental de longitud en el SI, corresponde a la escala de lo que mide el hombre en la vida diaria (mesas, casas y distancias cortas). Sin embargo, a veces se tienen que medir longitudes para las que el metro resulta demasiado pequeño o demasiado grande. El metro es muy pequeño para expresar la distancia entre la Tierra y el Sol, pero resulta muy grande para medir una bacteria. Los múltiplos y submúltiplos del metro se expresan por medio de prefijos de aceptación universal.

Instrucciones

Múltiplos

Submúltiplos

Usa las letras del alfabeto para completar las palabras, las cuales corresponden a múltiplos y submúltiplos del metro.

D _ _A M _T _ _ _ILO_E__O H_C_O_E_R_ M_GAM__R_

M _ L _ _ _T _ O D _ C _ _ E_ _ O C _ _T_ _ _ _ R _ P I C O_ _ T _ O

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Factores de conversión En la conversión de unidades hay que multiplicar la cantidad que se desea cambiar por el factor de conversión conveniente. Convierte las unidades a las que se te solicitan en la segunda columna de la izquierda.

Tabla 2.15 Conversión de unidades Número

Convertir

Equivalencia

Ejemplo

40 km a m

1 km = 1000 m

1

40 libras a g

1 libra = 453.6 g

2

14 pulgadas a cm

1 pulgada = 2.54 cm

3

20 calorías a joules

1 caloría = 4.186 J

4

45 kg a gramos

1 kg = 1 000 g

5

3.4 h a segundos

1 h = 3 600 s

Factor de conversión Conversión ⎛ 1000m ⎞ 40km ⎜ ⎝ 1km ⎟⎠

1000m 1km

Resultado 40 000 m

Las fuentes de error Los errores en las mediciones surgen de diferentes fuentes. Si quieres conocerlas, coloca de manera adecuada las letras i, e y o en los espacios en blanco que aparecen en las siguientes frases. 1. L__ qu__ s__ m__d__ 2. __l __nstrum__nt__ d__ m__d__c__ __n 3. __l __bs__rvad__r 4. __l m__t__d__ __mpl__ad__ 5. __l m__d__ __ amb__ __nt__

Sistema CGS Coloca la palabra correcta en los espacios vacíos del siguiente párrafo sobre el sistema CGS. Te recomendamos que utilices las palabras que aparecen en el recuadro. El sistema CGS tiene como unidades fundamentales el ____________ (1), el __________(2) la masa y el ____________ (3) de tiempo medio. Fue propuesto en 1795 y adoptado por ___________(4) el 10 de diciembre de 1799. Durante mucho tiempo tuvo gran aceptación a nivel internacional y se utilizó en todas las ramas de la _________ (5). Entre las objeciones que se le hicieron y que provocaron que finalmente

dejara de emplearse se encuentran las siguientes: Los _____________ (6) correspondían a submúltiplos de las unidades y no a las unidades mismas. Las unidades derivadas de _____________(7) y ______________ (8) eran demasiado pequeñas para fines prácticos y no correspondían con las unidades _______________ (9) prácticas para formar un sistema de unidades ______________ (10).

Conceptos clave 1. Centímetro 2. Gramo

3. Segundo 4. Francia

5. Ciencia 6. Patrones

7. Fuerza 8. Energía

9. Eléctricas 10. Completo


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Actividad La medición y la unidad En esta actividad comprenderás que el resultado de una medición depende de la unidad que se emplea.

¿Qué necesitas?

3. Repite el procedimiento anterior, pero ahora emplea la escala graduada en pulgadas. 4. Registra en pulgadas la medida que obtuviste. Compara tus medidas.

• Un lápiz. • Una regla con escalas graduadas en milímetros y pulgadas.

¿Qué debes hacer? 1. En la figura 2.18 se muestran dos puntos: a y b. Sitúa la regla graduada en milímetros de modo que el cero de la escala coincida con a y que su borde pase por b. 2. Registra en milímetros la distancia obtenida.

0

a

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

b

Figura 2.18 ¿Cuánto vale la distancia entre a y b?

Resultados Longitud

Medida en mm

Medida en pulgadas

ab

Discusión y conclusiones

Anota las conclusiones de esta actividad. ¿Cómo son los resultados de las mediciones efectuadas para la misma longitud?, ¿por qué se obtienen valores diferentes?, ¿de qué depende el número que representa la medida?

56


Actividad Radián En esta actividad verificarás que el radián es un ángulo que siempre tiene el mismo valor para diferentes circunfencias.

¿Qué necesitas? • Un lápiz. • Un transportador. • Un compás. • Una regla. • Un trozo de hilo. • Tijeras. • Una hoja de papel.

¿Qué debes hacer?

2. Recorta tres trozos de hilo de 4, 5 y 6 cm de longitud. 3. Coloca cada trozo de hilo sobre el arco de la circunferencia correspondiente, de manera que coincidan, y marca cada extremo del hilo sobre el arco de la misma. A partir de dichas marcas, traza líneas que unan a las marcas con el centro de la circunferencia (Figura 2.19). 4. Mide los ángulos formados por las líneas trazadas para cada circunferencia. Registra sus medidas en la tabla de resultados y compara dichos valores. 5. Pasa el alfiler por el centro de cada circunferencia. Primero clava la circunferencia de mayor diámetro, enseguida la de menor diámetro y así sucesivamente, ¿qué observas?

1. Sobre la hoja traza tres circunferencias de radios iguales a 4, 5 y 6 cm, respectivamente. Figura 2.19 El radián es el ángulo formado por un arco cuya longitud es igual a la de su radio.

Tabla 2.16

Resultados Circunferencia de radio igual a: (cm)

Ángulo medido e igual a un radián expresado en grados

4 5 6

Discusión y conclusiones Si se comparan los resultados de la tabla, se encuentra que para cada circunferencia el ángulo formado por un arco de longitud igual a su radio, es aproximadamente igual a 57.3°, es decir, a un radián. Si no se obtuvo esto, ¿a qué crees que se deba?


57

Actividad Error experimental En esta actividad comprenderás que en una medición se cometen errores experimentales.

¿Qué necesitas? • Regla de 1 m de longitud. • Una pelota pequeña.

¿Qué debes hacer? 1. Coloca la pelota como se muestra en la figura 2.20 y después déjala caer desde una altura de 1 m. 2. Mide la altura de rebote y registra dicho valor en la tabla. 3. Pide a cinco compañeros que realicen lo mismo.

Tabla 2.17 Medición de la altura de rebote ¿Quién midió?

Figura 2.20 Medición de la altura de rebote.

Discusión y conclusiones 1. ¿Resultaron iguales los valores de la altura de rebote?

2. ¿Puedes decir cuál es el valor verdadero de la altura de rebote?

3. ¿Se cometieron errores en las mediciones?

4. Explica cuáles son las fuentes de error.

¿Cuánto midió?

58


Actividad Medición con diferentes instrumentos En esta actividad compararás las mediciones realizadas al mismo objeto con diferentes instrumentos de medición.

¿Qué necesitas? • Una regla graduada en centímetros. • Una regla graduada en milímetros. • Un vernier. • Tres monedas de diferentes tamaños.

¿Qué debes hacer? 1. Mide el diámetro y el grosor de cada moneda con la regla graduada en centímetros (regla a la que le faltan los milímetros). Registra las mediciones en la tabla de resultados. 2. Asocia a tu medición la incertidumbre correspondiente. 3. Repite el proceso anterior, pero ahora emplea la regla graduada en milímetros y el vernier. 4. Elabora una tabla de resultados para cada moneda.

Figura 2.21 Medición del grosor y del diámetro de la moneda.

Tabla 2.18 Medición del diámetro y grosor de una moneda. Instrumento empleado

Diámetro Valor medido (cm)

Incertidumbre (cm)

Grosor Valor medido (cm)

Incertidumbre (cm)

Discusión y conclusiones Anota en tu cuaderno tus conclusiones sobre esta actividad. ¿Con qué instrumento se dificulta más la medición? . ¿Con qué instrumento son más precisas las mediciones? . ¿Qué criterio empleaste para asociar la incertidumbre a cada medición? .

Capítulo 2 • Magnitudes físicas y su medición 59

¿Te habías imaginado que… Los antiguos griegos midieron la circunferencia de la Tierra L os conocimientos que tenían los antiguos griegos sobre geometría les permitieron medir la circunferencia de la Tierra sin necesidad de dar una vuelta completa alrededor de la superficie terrestre. Originalmente los griegos tenían la misma idea que sus antepasados, de que la Tierra era un disco sostenido por cuatro elefantes erguidos sobre una enorme tortuga marina. Sin embargo, más tarde supusieron que el planeta era esférico; esta idea fue postulada en el año 500 a.C. por los seguidores de Pitágoras, que consideraban a la esfera como la forma perfecta. Al astrónomo griego Eratóstenes se le atribuye haber medido por primera vez, en el año 230 a.C., la circunferencia terrestre. Él razonó que si el planeta era una esfera, entonces la línea que une a dos lugares cualesquiera forzosamente es un arco. Si lograba medir la longitud de éste como una proporción de 360 grados (un círculo completo), obtendría una medida a partir de la cual podría calcular la circunferencia total. Ya se tenía conocimiento de que al mediodía del solsticio de verano (hacia el 21 de junio) el Sol caía a plomo sobre Siene, Egipto (la Asuán moderna), porque iluminaba el fondo de un pozo que había allí. En esa misma fecha Eratóstenes midió el ángulo del Sol a partir de la vertical en Alejandría (situada a muchos kilómetros de Siene) y encontró que medía un cincuentavo de un círculo (7.2° en medidas modernas). Sólo restaba averiguar la distancia que había en línea recta entre ambas ciudades. Una manera de calcularla era mediante el tiempo de viaje de los camellos. Un camello cargado podía caminar a razón de unos cien estadios por día (un estadio equivalía a unos 185 m), y

una caravana de camellos tardaba casi cincuenta días en desplazarse de Alejandría a Siene. Eratóstenes calculó la distancia en 5 000 estadios (unos 925 km) y la circunferencia terrestre en 250 000 estadios (46 250 km). Por lo rudimentario de sus técnicas, resulta en verdad notable que Eratóstenes haya llegado a una cifra que excede en menos de 15% a las mediciones modernas. Si hubiera conocido la distancia exacta que había entre Alejandría y Siene (847 km en línea recta), su cálculo habría sido de casi 230 000 estadios (unos 42 550 km), con un margen de error de sólo 6%. Hoy en día sabemos que nuestro planeta es aplanado en los polos y que la circunferencia en el Ecuador es aproximadamente de 40 075 km.

Figura 2.21 La distancia entre Alejandría y Siene es 1/50 de la circunferencia de la Tierra.

Roger Bacon Este sabio inglés nació en Ilchester, Inglaterra en 1214 y murió en Oxford en 1294. Ingresó a la edad de 12 años a la Universidad de Oxford. Allí estudió lo que se conocía entonces como las siete artes liberales: gramática, retórica, lógica, aritmética, música, geometría y astronomía. Por su arduo trabajo en la universidad fue nombrado profesor en 1250. Bacon era un hombre de ideas audaces y gran confianza en sí mismo. En 1266 apeló al Papa Clemente IV para que le ayudara a modificar la enseñanza en las escuelas cristianas, con el fin de que se hiciera mayor hincapié en la observación y la experimentación. Bacon intentó escribir una enciclopedia universal (Opus majus) de sabiduría, pero ya en su tiempo tal tarea resultaba imposible. Si bien es cierto que Bacon copió algunos elementos de la obra de otros, la suya es importante porque agregó algo propio a cada uno de ellos. Formuló interesantes observaciones sobre la propagación, reflexión y refracción de la luz.

Construyó además diferentes lupas y experimentó con la pólvora. Expresó ideas muy exactas acerca del calor, el cual consideró como resultado del movimiento interno de la materia. Bacon se atrevió a expresar que las matemáticas son la clave de toda ciencia y que se requería de la experimentación para efectuar las investigaciones sugeridas por la deducción matemática. También señaló que el conocimiento científico sólo podía obtenerse mediante la experimentación, ya que únicamente por este medio podía llegarse a la certeza y que todo lo demás eran sólo conjeturas. Por desgracia su influencia disminuyó debido a que sus libros fueron prohibidos durante mucho tiempo. A la muerte del Papa Clemente IV, Nicolás III condenó a Bacon a prisión perpetua por escribir cosas nuevas, peligrosas y sospechosas.

Creatividad en la física Magnitudes físicas y su medición Elabora un periódico mural sobre las mediciones y los errores experimentales Bajo la supervisión de tu profesor, organiza un equipo de trabajo para que juntos elaboren un periódico mural sobre las mediciones y los errores experimentales. Los del equipo deberán realizar investigaciones documentales y de campo sobre: Qué es una medición. Tipos de mediciones. Diferentes tipos de errores y su influencia en las mediciones. Instrumentos empleados en un consultorio médico, una carpintería y un laboratorio de análisis clínicos. Tipos de medidas que se realizan en un mercado, un taller mecánico y un taller eléctrico. Unidades fundamentales de los sistemas CGS e inglés, así como sus equivalencias con el Sistema Internacional de Unidades. Los mejores murales, por ser los más completos, creativos, interesantes y mejor ilustrados, serán seleccionados para ocupar uno de los muros del salón de clases o bien, ser exhibidos en algún lugar de la escuela, bajo previa autorización de profesores y directivos. 3 3 3 3 3 3

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Capítulo

3 Vectores Objetivo Objetivo

Al término de este capítulo los estudiantes podrán resolver problemas relacionados con el uso de sistemas de vectores de distinta naturaleza mediante el análisis descriptivo, la interpretación y la representación de sistemas de vectores observables en su vida cotidiana.

Introducción

Introducción

La física es una ciencia natural cuyos conceptos y leyes se pueden expresar en términos matemáticos, por lo cual se dice que las matemáticas son el lenguaje de la física. En el estudio de ciertos fenómenos naturales resulta que hay magnitudes físicas importantes para describirlos y comprenderlos, las cuales tienen características especiales, como las magnitudes físicas vectoriales, que pueden ser representadas por entes matemáticos llamados vectores.

En este capítulo estudiaremos las propiedades de los vectores. Asimismo, expondremos una introducción al álgebra vectorial que incluye la suma y resta de vectores, así como la multiplicación de un vector por una magnitud escalar. Este estudio nos facilitará la comprensión y manipulación de magnitudes físicas vectoriales como el desplazamiento, la velocidad y la fuerza.

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Magnitudes escalares y vectoriales La distancia recorrida por un atleta queda muy clara cuando decimos que recorrió 5000 m. De la misma manera, el tiempo que empleó en el recorrido queda totalmente especificado cuando decimos que el recorrido lo hizo en 20.4 min. Asimismo, el volumen de agua en un tinaco queda completamente especificado cuando decimos que el tinaco contiene 1000 L. Pues bien, la distancia, el tiempo y el volumen reciben el nombre de magnitudes físicas escalares o simplemente escalares. Una magnitud escalar es una magnitud que queda completamente definida por su magnitud, es decir, por un número y la unidad. Además de las magnitudes físicas escalares mencionadas existen otras como la temperatura, el área, la densidad, la masa, la energía, entre otras, que también quedan completamente definidas por un número y la unidad. Por otra parte, si te encuentras cerca del monumento conocido como el Ángel de la Independencia en la Ciudad de México y le hablas por teléfono a tu hermano para que se encuentre contigo, no bastará con que le digas a qué distancia del monumento te encuentras, sino que le tendrás que indicar la dirección para que te pueda localizar, es decir, que hay magnitudes que, para quedar completamente definidas, tienen que reportar no sólo su valor numérico y

Posición en la que te encuentras

A

BB

Figura 3.1 Si te encuentras a 100 m de distancia del monumento del Ángel de la Independencia, no te podrán localizar si solamente indicas la distancia y no das la dirección.

unidad, sino también su dirección y otras características, como el sentido y el punto de partida u origen. Estas magnitudes reciben el nombre de magnitudes físicas vectoriales o simplemente magnitudes vectoriales (Figura 3.1).

Descubre la física La física es una ciencia natural cuyos conceptos y leyes pueden expresarse en forma matemática; por eso se dice que las matemáticas son el lenguaje de la física. El lenguaje de las matemáticas es un lenguaje impersonal, público, preciso, rico y riguroso.

Una magnitud vectorial es aquella que para quedar completamente definida, además de dar su magnitud expresada en números y el nombre de la unidad, requiere que se dé la dirección, el sentido y el origen (o punto de aplicación). Ejemplos de magnitudes vectoriales son el desplazamiento, la fuerza, la aceleración, la velocidad, la cantidad de movimiento, entre otras. Las magnitudes vectoriales se representan por medio de vectores. Un vector es un ente matemático que consta de origen, dirección, sentido y magnitud (módulo o intensidad). Simbólicamente los vectores y las magnitudes vectoriales se representan por letras negritas (d) o por letras sobre las cuales se coloca → una flecha pequeña (d ). La magnitud de una magnitud vectorial se representa por la letra sin la flecha arriba (d) o por la letra con la flecha arriba entre dos → líneas verticales (⏐d⏐). Un vector se representa gráficamente por un segmento de recta dirigida (Figura 3.2) y sus características son: 1. El origen del vector. Es el punto donde se inicia el segmento de recta (punto 0 en la figura 3.2). 2. La dirección del vector. Ésta queda representada por la recta sobre la que se encuentra el vector (línea punteada en la figura 3.2). 3. El sentido del vector. Está indicado por la punta de la flecha. 4. La magnitud o módulo del vector. Es el tamaño de la flecha, es decir, su longitud del origen a la punta (en la figura 3.2 corresponde a 6 unidades).

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Capítulo 3 • Vectores

ten dos posibles sentidos para la dirección de L (Figura 3.3 b). Esto permite concluir que dos sentidos son iguales, o contrarios, si se está haciendo esta comparación en una misma dirección. Para representar gráficamente la magnitud de un vector se emplea una escala adecuada de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que se le desee dar en el papel. Si queremos representar un vector en una cartulina no emplearemos la misma escala que si lo hacemos en una hoja tamaño carta. Por ejemplo, una fuerza de 100 N se puede representar por un vector que tenga una longitud de 10 cm en nuestro cuaderno, si la escala es 1 cm = 10 N, pero si la escala hubiera sido 1 cm = 20 N, el vector se hubiera representado por un segmento de recta de 5 cm de longitud (Figura 3.4). En general es recomendable usar escalas de 1:1, 1:10, 1:100, siempre que sea posible. 1

0

Magnitud (d=6 unidades) Figura 3.2 Características de un vector; magnitud, dirección, sentido y origen.

Para aclarar los conceptos de dirección y sentido de un vector, consideremos las cuatro líneas rectas L1, L2, L3 y L4 que se muestran en la figura 3.3 a). Cada línea determina una dirección, las líneas paralelas L1 y L2 tienen la misma dirección, las líneas L2, L3 y L4 tienen diferente dirección. Esto quiere decir que las líneas rectas paralelas tienen la misma dirección. Por ejemplo: los corredores de 100 m viajan en la pista de carreras en la misma dirección, aunque corran en carriles diferentes.

a)

L1 L2

L3

Figura 3.4 De acuerdo con la escala seleccionada, la longitud → que representa la magnitud del vector F puede ser grande o pequeña.

L4

b)

L1

Figura 3.3 a) Las líneas rectas L1 y L2 tienen la misma dirección, L3, L4 y L2 tienen diferente dirección; b) La línea recta L1 tiene dos sentidos posibles.

Consideremos ahora una dirección determinada, por ejemplo la dada por la línea L1. Es claro que por dicha línea una hormiga puede ir de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, es decir, que exis-

Clasificación de vectores Los vectores se pueden clasificar de acuerdo con diversos criterios. Un criterio toma en cuenta las dimensiones en que se encuentran ubicados. De acuerdo con esto, los vectores se clasifican en: colineales, coplanares y espaciales (Figura 3.5). A su vez, los vectores coplanares y espaciales se pueden clasificar en función de sus direcciones y orígenes en: vectores concurrentes, vectores paralelos y vectores ni concurrentes ni paralelos (Figura 3.6).

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→

→

a

a

→

→

b

→

c

b

a

y

→

→

→

d

c

x

→

c

→

b

z a)

c)

b)

Figura 3.5 Los vectores se pueden clasificar en función de sus dimensiones en colineales, coplanares y espaciales.

→

→

→

c

c

d

→

a

→

→

→

b

b

a

→

c

→

b

→

a

c)

b) a)

Figura 3.6 Los vectores coplanares y espaciales se pueden clasificar en vectores concurrentes, vectores paralelos y vectores ni concurrentes ni paralelos. →

Existen otros tipos de vectores que conviene describir porque aparecen con frecuencia en algunas situaciones; entre éstos se encuentran los vectores deslizantes y los vectores fijos.

Vector deslizante Es el vector que se puede trasladar a lo largo de su dirección a un punto arbitrario de la recta en que se en→ cuentra. En la figura 3.7, la fuerza F se puede representar por un vector deslizante, ya que la caja experimenta el mismo efecto, ya sea que la empujen o la jalen.

Vector fijo Es el vector que está ligado al origen o punto de aplicación. Un ejemplo de vector fijo es el vector de posición que permite localizar un punto o un objeto en el plano o el espacio con respecto al origen del sistema de coordenadas cartesianas (Figura 3.8).

→

F

F

A

L

B

→ Figura 3.7 La fuerza F se puede aplicar en A o en B a lo lar→ go de la línea L, es decir, la fuerza F se puede representar por un vector deslizante.

y

P

→

r

x

→ Figura 3.8 El vector r es un vector fijo que permite localizar la posición de P con respecto al origen del sistema de coordenadas.

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Desplazamiento

Suma de vectores

Para ilustrar las principales operaciones del álgebra vectorial utilizaremos el vector desplazamiento, pero primero expliquemos qué es el desplazamiento El desplazamiento es una magnitud física que puede ser representada por un vector. El desplazamiento de un cuerpo nos indica el cambio de posición del mismo durante su movimiento, o sea que el desplazamiento nos permite saber qué tan lejos y en qué dirección se movió el cuerpo de su posición inicial. El origen del vector que representa al desplazamiento se ubica en la posición inicial y el extremo, o punta del vector, se localiza en la posición en la cual el desplazamiento ter→ mina. El desplazamiento se representa por d y su magnitud por d. La longitud del vector desplazamiento que une el punto de origen o salida con el de llegada es igual a la magnitud de dicho vector (Figura 3.9).

Antes de iniciar el estudio de la suma de vectores es conveniente recordar que la gran mayoría de las magnitudes escalares se suman de acuerdo con las reglas de la aritmética ordinaria. Así, al colocar en una canasta 3 kg de manzanas y después otros 4 kg de la misma fruta, se tendrá un total de 7 kg, resultado que se obtiene de sumar: 3 kg + 4 kg = 7 kg Sin embargo, para sumar vectores se debe tomar en cuenta tanto su magnitud como su dirección y sentido. Para ilustrar esto, consideremos la siguiente situación: → una hormiga tiene un desplazamiento ( d1 ) de 4 cm ha→ cia el este y después un desplazamiento ( d2 ) de 3 cm hacia el norte como se muestra en la figura 3.10. Si el desplazamiento fuera una magnitud escalar, se podría decir que el desplazamiento total de la hormiga fue de 7 cm; pero, como el desplazamiento es una magnitud vectorial, el desplazamiento total de la hormiga tiene una magnitud de 5 cm, ya que dicho desplazamiento es un vector que va de la posición inicial de la hormiga a la posición final de ésta como se observa en la fi→ gura 3.10. El efecto final del desplazamiento total dt de la hormiga representa un desplazamiento equiva→ → lente a los desplazamientos d1 y d2 de la misma. Simbólicamente la suma de los dos desplazamientos se representa por:

→

d

B

A

→

→ =→

Figura 3.9 La magnitud del vector desplazamiento d es la longitud de la línea que une los puntos A y B.

dt

→

d1 + d2

P

P →

d2

→

d2

dt

→

→

d1

d1

r

Figura 3.10 El desplazamiento total de la hormiga es d t y tiene una magnitud igual a 5 cm. Puedes verificar este resultado con la ayuda de una regla.

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La forma en que se sumaron los dos desplazamientos en la figura 3.10 es válida para cualquier otra magnitud vectorial. Generalizando, podemos decir que sumar vectores consiste en hallar un vector (conocido como vector suma o vector resultante) cuyo efecto sea el mismo que el que correspondería a todos los vectores (vectores sumandos o vectores componentes) cuya suma queremos efectuar si actuaran simultáneamente. El vector suma o simplemente resultante es el vector que tiene su origen en el origen del primer vector (punto 0 en la figura 3.10) y el extremo o punta en el extremo del último vector que se sumó (en el punto P en la figura 3.10). Es importante señalar que cuando se efectúa la suma de dos o más vectores, todos deben tener las mismas unidades, es decir, no se pueden sumar vectores desplazamiento con vectores fuerza, y que cuando se sumen vectores desplazamiento (o vectores fuerza) deberán tener las mismas unidades. Existen métodos analíticos (o matemáticos) y métodos gráficos para sumar vectores; el que describimos a continuación es el método gráfico (Figura 3.11). 1. Representar las magnitudes vectoriales por medio de vectores (flechas) previa selección de la escala adecuada. 2. Con origen en un punto arbitrario del espacio (o en un punto determinado según el problema) se traza el primer vector, el cual se escoge arbitrariamente, y en el extremo de éste se dibuja el segundo vector, mismo que deberá conservar su magnitud, dirección y sentido, y cuyo origen deberá coincidir con el extremo del primero. 3. Continuar el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el extremo o punta del vector precedente, hasta que todos los vectores del problema hayan sido dibujados. 4. Trazar el vector resultante o vector suma, de manera que su origen coincida con el origen del primer vector y su extremo con el extremo del último vector que se sumó. 5. Finalmente, medir con regla y transportador la magnitud y el ángulo del vector resultante para expresar su valor y dirección de acuerdo con la escala seleccionada. El vector suma (resultante) o cualquier otro vector se especifica con frecuencia mediante un par de letras: R y ; la primera corresponde a la magnitud del vec-

→ →

d1 d2

→

d3

→

→

→

d2

d1

d3

→

→

d2

→

d2

→

d1

d3

→

d1

→

d1

→

d2

→

→

d3

→

d1

→

dt Rt

→

→ → →

dt

d1 d2 d3

→ → Figura 3.11 Proceso seguido para sumar los vectores d1, d2 → y d3 por el método gráfico. Cuando los vectores son concurrentes, este método se conoce como el método del polígono.

tor y la segunda a su dirección. El ángulo se acostumbra medir a partir del eje x positivo y en sentido contrario a las manecillas del reloj. Por ejemplo, si el desplazamiento total de un cuerpo es de 20.0 m y forma un ángulo de 60 con la horizontal, el vector desplazamiento o simplemente desplazamiento se puede representar simbólicamente por las siguientes formas: →

dt = 20.0 m 60

→

dt = (20.0 m, 60)

y en forma gráfica como se ilustra en la figura 3.12.

y →

dt

x Figura 3.12 Representación gráfica del vector desplaza→ miento dt = 20.0 m 60°.

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total es la suma aritmética de las magnitudes de cada desplazamiento (200 m + 100 m = 300 m), su dirección y sentido se saben de antemano, ya que debe tener la misma dirección y sentido que los vectores. La forma en que se puede expresar esta suma vectorial se muestra a continuación:

Suma de vectores colineales La situación más simple que se presenta en la suma de vectores ocurre cuando los vectores tienen la misma dirección, es decir, cuando son colineales. Por ejemplo, cuando una persona se desplaza 200 m a lo largo de una calle recta, en la figura 3.13 del punto 0 al punto A, y luego de un descanso se desplaza 100 m en la misma dirección y sentido, es decir, del punto A al punto B. → Los dos desplazamientos correspondientes son d1 → y d2. La suma vectorial de estos desplazamientos per→ mite obtener el vector de desplazamiento total dt, que correspondería a un desplazamiento de la persona de 0 a B. → → Como los dos vectores d1 y d2 son colineales y del mismo sentido, la magnitud del vector desplazamiento

→

dt = 300 m, en dirección este.

Si la persona en la figura 3.13 después del primer des→ plazamiento d1 , se mueve en sentido contrario como se ilustra en la figura 3.14, la magnitud del vector de desplazamiento total se obtiene en este caso de restar a la mag→ → nitud de d1 la magnitud de d2 (200 m–100 m = 100 m), → siendo el sentido de dt igual al del vector de mayor mag→ nitud (en este caso de d1).

→

→

d1

d2

→

→

d1

d2

→

dt

→

dt

→

→

dt = d1 + d2

→

→

→

Figura 3.13 El desplazamiento total dt tiene la misma dirección y sentido que los desplazamientos d 1 y d2. La mag→

→

→

nitud de dt es igual a la suma aritmética de las magnitudes de d 1 y d2.

→

d1

→

→

dt

d2

dt

→

→

67

→

dt = d1 – d2

Figura 3.14 Al sumar dos vectores de diferente sentido y misma dirección, la magnitud del vector resultante se obtiene de la resta de los vectores.

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Propiedad conmutativa de la suma

Problema ejemplo 3.1 Una caja es desplazada sobre una superficie horizontal una distancia de 20 m pero, al día siguiente se desplaza 10 m en sentido contrario. Calcula la magnitud del desplazamiento total. Solución La caja realiza dos desplazamientos como se ilustra en el esquema.

Se dice que la suma vectorial es conmutativa, es decir, que el orden en que se sumen los vectores no altera el valor, dirección y sentido del vector resultante (figura 3.15). Simbólicamente, esta propiedad se expresa por: →

→

→

→

d1 + d2 = d2 + d1

→

→

d1

d2

→

d1

Datos → →

d1 = 20 m

d2

→

d1

→

→

d1

d1

→

d2 = 10 m

→

→

dt = ?

dt

→

d2

Figura 3.15 El orden en que se sumen los vectores

→

→

d1 y d2

no altera las características del vector resultante, es decir: → → → →

d1 + d2 = d2 + d1

Al ser los desplazamientos colineales y de sentido contrario, la magnitud del desplazamiento total o resultante se calcula de: →

→

→

dt = d1 – d2 es decir, → dt = 20m – 10m Resultado → dt = 10 m

Algunas propiedades de los vectores

Propiedad asociativa de la suma La suma vectorial obedece a la propiedad asociativa, es decir, que en la suma de más de dos vectores, por ejemplo para sumar tres vectores, se pueden sumar → → primero dos (los vectores d1 y d2 ) y la resultante ob→ tenida de éstos se suma con el tercer vector ( d3 ) para obtener el vector resultante. Pero este vector resul→ tante se pudo obtener de sumar el primer vector ( d1 ) con → → la resultante de sumar d2 y d3 . Esto se expresa de la siguiente manera: →

→

→

→

→

→

( d1 + d2 ) + d3 = d1 + ( d2 + d3 )

Negativo de un vector Igualdad de dos vectores →

→

Dos vectores ( d1 y d2 ) son iguales si tienen la misma magnitud, la misma dirección, el mismo sentido y el mismo origen. Si los dos vectores no tienen el mismo → → origen, se dice entonces que los dos vectores ( d1 y d2 ) son equipolentes.

→

→

Se define como aquel vector ( – d ) que sumado a d → → da cero, esto es, d + ( – d ) = 0. El negativo de cualquier vector tiene la misma dirección y magnitud que éste, pero su sentido es contrario (figura 3.16).

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→

a

→

b

→

→

d

→

–d

→

–a

69

dades y las fuerzas. Sin embargo, son métodos poco exactos. Si queremos conocer con precisión el vector resultante en una suma de vectores, debemos emplear métodos matemáticos.

–b

Método del teorema de Pitágoras →→ →

Figura 3.16 El negativo de los vectores d , a y b son los vec→ →

→

tores – d, – a y – b , respectivamente.

Suma de vectores perpendiculares En física es frecuente encontrar situaciones en las que participen dos vectores perpendiculares entre sí. Un método gráfico muy empleado para obtener el vector resultante es el método del paralelogramo, el cual consiste en: 1. Dibujar los dos vectores que pueden representar las magnitudes vectoriales, previa selección de la escala adecuada, haciendo coincidir sus orígenes. 2. Trazar líneas auxiliares paralelas a cada vector por los extremos de éstos. 3. Dibujar el vector resultante o vector suma de tal manera que su origen sea el de los dos vectores sumandos y su extremo, el punto de intersección de las líneas auxiliares (Figura 3.17).

Este método matemático se emplea para sumar dos vectores concurrentes que forman entre sí un ángulo → → de 90°. Al sumar gráficamente los vectores d1 y d2 , co→ mo se ilustra en la figura 3.18 el vector resultante dt dibujado entre el origen del primer vector y el extremo del segundo vector, será la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los tres vectores. La magnitud del vector resultante se puede determinar mediante el teorema de Pitágoras que relaciona las → → magnitudes de los vectores d1 y d2 (catetos) con la magnitud del vector resultante (hipotenusa) por la siguiente ecuación: dt = d1 + d2 2

Para determinar la dirección del vector resultante se puede emplear el transportador para medir el ángulo que forma dicho vector con respecto a uno de los vectores sumando y en forma matemática mediante la inversa de la función tangente. Es decir: ⎛ cateto opuesto ⎞ θ = tan –1 ⎜ ⎝ cateto adyacente ⎟⎠ en nuestro caso ⎛d ⎞ θ = tan –1 ⎜ 2 ⎟ ⎝ d1 ⎠

4. Con ayuda de regla y transportador, medir respectivamente la magnitud y dirección del vector resultante y expresar simbólicamente éste.

→

→

→

d1

d1 →

d1

→

d2

→

→

dt

dt

→

d2

→

d2

→

2

d2

→

Figura 3.17 Suma de los vectores d 1 y d 2 por el método del pa→

→

ralelogramo. El vector dt es el vector resultante.

Es cierto que los métodos gráficos nos ayudan a visualizar y a comprender cómo se suman las magnitudes vectoriales como los desplazamientos, las veloci-

d1 →

Figura 3.18 El vector resultante dt corresponde a la hipote→

→

nusa cuando d 1 y d2 son perpendiculares entre sí. La dirección →

de d t está dada por .

U. Cap. 3

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Método de la ley de coseno y la ley de senos

Problema ejemplo 3.2 Un auto se desplaza 8.0 km hacia el oeste de A a B; luego, el automóvil se desplaza 6.0 km hacia el norte de B a C. Calcula el desplazamiento total del automóvil. Solución Datos

Fórmulas

d = 8 km

Magnitud de dt

d = 6 km

d = d +d

En este método se emplean la ley de cosenos y la ley de senos para determinar la magnitud y dirección del vector resultante de dos vectores concurrentes cuando el ángulo entre ellos es diferente de 90°, aunque también se pueden emplear estas leyes cuando el ángulo entre los dos vectores es de 90° (figura 3.19).

→

1

2

2

t

1

Dirección de dt

=?

⎛d ⎞ θ = tan –1 ⎜ 2 ⎟ ⎝ d1 ⎠

t

→

→

d2

d1 →

→

d2

dt

→

d2

→

d1

→

d2

→

d1

b)

→

dt

d2

→

d=?

→

→

a)

2

2

d1

→

dt

→

Figura 3.19 Para determinar la magnitud y dirección del → → → vector resultante d t cuando el ángulo entre los vectores d1 y d 2 es diferente de 90° se pueden emplear la ley de cosenos y la ley de senos.

d1

Operaciones dt = 8 + 6 = 64 + 36 ⎛ 6⎞ θ = tan –1 ⎜ ⎟ ⎝ 8⎠ 2

2

Resultado dt = 10 km

= 36.9°

→

dt

=10 km, 36.9°

Ley de cosenos

→

La magnitud del vector resultante dt se puede determinar por la ley de cosenos, la cual establece: en un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble del producto de los mismos por el coseno del ángulo que forman entre sí. Matemáticamente se expresa por la siguiente ecuación: dt2 = d12 + d22 – 2d1d2 cos o lo que es lo mismo: dt = d12 + d22 – 2d1d2 cos

U. Cap. 3

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71

Ley de senos La dirección del vector resultante se puede determinar mediante la ley de senos, la cual establece: en un triángulo cualquiera los lados son proporcionales al seno de los ángulos opuestos (Figura 3.20). Matemáticamente se expresa por la siguiente ecuación: d1

d2

dt

sen β sen α sen

Problema ejemplo 3.3 Determina el vector resultante del sistema de dos vectores que se muestra en el siguiente esquema. Solución → →

d2

dt

→

→

β

dt

α

→

d2

d1

= 150° d2 = 7.0

d1 = 4.0

→

d1

Figura 3.20 La ley de senos relaciona en un triángulo los la→ dos con sus ángulos opuestos. La dirección de dt se puede dar por el ángulo a.

Fórmula → La magnitud de d1 se obtiene de: dt = d12 + d22 – 2d1d2 cos →

La dirección de dt se obtiene de:

Resta de vectores En la física se presentan situaciones en las que para obtener un efecto o resultado determinado se emplea la resta de vectores. Esta operación recurre a la definición del negativo de un vector, de manera que la resta entre dos vectores se convierta en la suma del primer vector y el negativo del segundo, es decir, que la operación → → → d1 – d2 se puede definir como la suma de d1 y el nega→ tivo de d2 (Figura 3.21). Matemáticamente se expresa por: →

→

→

→

→ →

d1

→

→

d1 – d2

→

(–d2)

– d2 →

→

dt

→

d2

→

→

dt

sen α sen Sustitución Para la magnitud d = 42 + 72 – 2(4)(7) cos 150° t

d = 113.497 = 10.6 t

7 10.6 = senα sen 150°

→

d1

d2

Para la dirección

d1 – d2 = d1 + (– d2)

→

d2

→

d1 + (–d2)

⎛ 7 sen 150° ⎞ α = sen–1 ⎜ ⎝ 10.6 ⎟⎠ α = 19.2°

→

Figura 3.21 La resta de d 1 – d 2se convierte en la suma de d 1 → → → y el negativo de d2, es decir, d1 + (–d 2).

Por tanto, el vector resultante es: dt = 10.6 con un ángulo de 19.2°

→

U. Cap. 3

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m →

d

→

m

→

d1 = d2

m

→

→

→

d2 = 3d

→

d3 = 1/2d

→

Figura 3.22 Multiplicación de un vector d por una cantidad escalar m que puede tomar diferentes valores.

y

Multiplicación de un vector por un escalar En muchas situaciones físicas se requiere efectuar una multiplicación entre magnitudes escalares y magnitu→ des vectoriales. Si un vector d se multiplica por una → cantidad escalar m, el producto m d es otro vector que → tiene la misma dirección que d , magnitud igual a md y el mismo sentido o el opuesto, según que la cantidad escalar sea positiva o negativa. En la figura 3.22 se → ilustra el producto del vector d y una cantidad que puede tomar diferentes valores.

ˆj î kˆ z Figura 3.23 Los vectores î , ˆj y kˆ tienen una magnitud igual a uno.

Vector unitario o versor El vector unitario es un vector de magnitud (o módulo) igual a uno. Este vector se emplea para especificar una dirección dada. Se puede representar por û. Si → d ≠ 0 se cumple que: → û = d d lo que quiere decir que cualquier vector se puede escribir en función de un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que él, de la siguiente forma: → d = ûd

x

Problema ejemplo → 3.4 Representa gráficamente el vector d = 6 î . Solución →

El vector d debe tener la misma dirección y sentido que el vector î , pero su magnitud debe ser seis veces → mayor que î . De acuerdo con esto, el vector d se encuentra a lo largo del eje x como se ilustra en la figura 3.24.

Los vectores unitarios en las direcciones de los ejes cartesianos se conocen como vectores î , ˆj y kˆ en la figura 3.23 se ilustra su dirección y sentido.

ˆj

→

d = 6iˆ

kˆ →

Figura 3.24 Representación del vector d .

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→

a) Sistema de coordenadas cartesianas y

→

b) Suma de dx y dy y

→

dy

→

d

→

dy

→

d

→

dx

x

x

→

dx →

Figura 3.26 a) Componentes rectangulares del vector d . b) Suma de los componentes rectangulares.

El concepto de componentes vectoriales es muy importante en física, ya que nos ayuda a comprender algunas situaciones cotidianas y fenómenos que ocurren en la naturaleza. Así como es posible sustituir dos o más vectores por un vector resultante que provoque el mismo efecto que éstos, también es posible descomponer un vector cualquiera en componentes, de manera que éstas produzcan el mismo efecto que el vector que sustituyen. Las componentes de un vector actúan en direcciones distintas a la del vector (Figura 3.25a). Una de las características fundamentales de las componentes es que su suma es igual al vector original. De acuerdo con lo que aparece en la figura 3.25b se tiene: Componentes →

→

→

dx + dy = d

Así, los componentes de un vector se pueden utilizar en lugar del mismo vector en cualquier cálculo que convenga hacerlo.

→

→

→

dy

d

d

a)

dx

b) →

→

dy

dx

Figura 3.25a) Los vectores d y y dx son los vectores compo→

nentes en las direcciones 1 y 2 del vector d. → → → b) Al sumar d x y dy se obtiene d .

→

d = dx + dy Se puede ampliar esta definición para incluir a los vectores en tres dimensiones, pero no se requiere para el nivel educativo al que va dirigido este libro. Al sumar gráficamente las componentes rectangulares y el vector original se forma un triángulo rectángulo, como se observa en la figura 3.26b. A partir de esta figura y las funciones trigonométricas seno y coseno se pueden determinar matemáticamente las magnitudes de las componentes rectangulares. De la figura 3.26b se deduce que: cos θ =

dx d

sen θ =

dy d

Por tanto, las magnitudes de las componentes rectangulares se obtienen de: dx = d cos y dy = d sen En el problema ejemplo 3.5 se ilustra cómo aplicar las ecuaciones anteriores para determinar las magnitudes de los componentes rectangulares de un vector. Los componentes rectangulares de un vector se expresan con frecuencia en términos de los vectores → unitarios î , ˆj y kˆ. Es decir, que el vector d del problema ejemplo se puede expresar en el plano como: →

→

→

→

73

Las componentes de un vector de mayor interés son las componentes cartesianas, ya que son las más utilizadas y corresponden a las proyecciones del vector sobre los ejes del sistema de coordenadas cartesianas, y como estos componentes forman un ángulo recto entre sí, se les conoce también como componentes rectangulares. De acuerdo con lo anterior, las componentes rectangulares de un vector en dos dimensiones (en el plano) se determinan gráficamente trazando por el extremo del vector dos líneas perpendiculares a los ejes x, y del sistema de coordenadas, como se ilustra en la figura 3.26a. → Las componentes rectangulares de un vector d son otros → → dos vectores dx y dy perpendiculares entre sí y paralelos a los ejes x y y, que al sumarse vectorialmente cumplen con la siguiente condición: → →

Componentes de un vector

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d = dxî + dyˆj

en función de las magnitudes de los resultados obtenidos, el resultado final se puede expresar como: → d = ( 86.6 î + 50.0ˆj )m Muchos problemas físicos donde intervienen magnitudes vectoriales pueden simplificarse o comprenderse mejor al reemplazar la magnitud vectorial original por sus componentes. En el problema ejemplo 3.5 se ilustra esta idea.

U. Cap. 3

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Problemas ejemplo 3.5 Un vector que representa el desplazamiento

Suma y resta de vectores expresados en función de los vectores unitarios

→

d tiene una magnitud de 100 m y forma un ángulo de 30° con respecto al eje x, como se observa en el esquema. Determina las magnitudes de las componentes x y y de este vector. Solución Datos d = 100 m = 30° dx = ? dy= ?

→

→

Cuando se desea sumar o restar los vectores a y b , en → donde a tiene las componentes rectangulares axi y → ay ˆj , y b las componentes rectangulares bxî y b ˆj , el procedimiento consiste en sumar o restar separadamente las componentes x y y de los vectores, de manera que → la resultante R para la suma y la resta de dichos vectores se obtiene de: Suma: y

Resta:

→ → → R = a + b = (ax + bx ) î + (ay + by) ˆj → → → R = a – b = (ax – bx ) î + (ay – by) ˆj

Fórmulas

Sustitución

dx = d cos dy = d sen Resultados dx = dx= 86.6m dy = 50.0 m

d = 100 cos 30° d = 100 sen 30°

Para explicar la aplicación de estas ecuaciones se presenta el siguiente ejemplo.

x y

Problema ejemplo 3.7 Un insecto realiza los siguientes desplaza→ → mientos d1 = (2iˆ + 0.5 ˆj )m y d2 = (3iˆ + 2 ˆj )m .

3.6 ¿Por qué una caja se desliza más rápido en un plano más inclinado que en uno menos inclinado? Solución Si se consideran los componentes del peso de la caja que se desliza sobre los planos inclinados, podrá comprenderse la causa de que su rapidez dependa de la inclinación del plano. Sólo hay que observar en los siguientes esquemas que a mayor inclinación del plano, más grande se vuelve la magnitud → de la componente Px y más rápido se desliza la ca→ ja. La componente Px de la caja en la posición b) es mayor que en la posición a).

¿Cuál es el desplazamiento total? Solución →

El desplazamiento total dt se obtiene al sumar →

→

vectorialmente d1 y d2. Es decir: →

→

→

dt = d1 + d2

Sustituyendo valores: →

dt = (2iˆ + 0.5jˆ) + (3iˆ + 2jˆ)

Reordenando: →

dt = (2 + 3)î + (0.5 + 2)ˆj

Finalmente: →

dt = (5iˆ + 2.5ˆj ) m

x

y y

x

Este desplazamiento se muestra en el siguiente esquema.

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75

4. Determinar el ángulo de cada vector con respecto al eje x como se ilustra en la figura 3.27. 5. Registrar la magnitud y dirección de cada vector en la tabla de valores.

y →

0

6. Calcular las magnitudes de las componentes cartesianas de cada vector mediante las siguientes ecuaciones:

dt

ˆj

î

x

Componente x:

Componente y:

V = V cos

V = V sen

x

y

Esquema 3.1 Desplazamiento total

Suma de vectores por el método de las componentes

y

En muchas situaciones físicas hay que sumar dos o más magnitudes vectoriales concurrentes (por ejemplo, fuerzas). En estos casos para obtener la resultante se emplea el método de las componentes, el cual es un método general para sumar este tipo de magnitudes vectoriales. Para este método se emplea la siguiente estrategia: 1. Dibujar un esquema de los vectores que se van a sumar. 2. Seleccionar el sistema de coordenadas cartesianas que facilite los cálculos, además de que su origen coincida con el origen de los vectores concurrentes. 3. Hacer una tabla que concentre los datos, cálculos y resultados con los siguientes encabezados:

x

Figura 3.27 El ángulo que da la dirección de cada vector se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. Este ángulo nos da la dirección del vector correspondiente.

donde:

r

V = magnitud de la componente de Vra lo largo del eje x. V = magnitud de la componente de V a lo largo del eje y. V = magnitud del vector. r = ángulo que forma el vector V con el eje x. x

Vector

Magnitud

Dirección Componente x Componente y

y

7. Registrar los resultados obtenidos en la tabla de valores. 8. Sumar las magnitudes de las componentes de cada eje de coordenadas, tomando en cuenta el signo algebraico.

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Esto, matemáticamente, se expresa por: R =V x

x

R = V + V + ... x

1x

2x

9. Calcular la magnitud del vector resultante r ( R ) mediante el teorema de Pitágoras.

y

R =V

y

R = V + V + ...

y

y

y

1y

R = R +R 2

2

x

y

2y

r

10. Calcular la dirección del vector resultante ( R) mediante la siguiente ecuación trigonométrica:

donde: R = magnitud de la componente de la resultante a lo largo del eje x.

θ = tan –1

x

R = magnitud de la componente de la resultante a lo largo del eje y. y

indica suma de...

y

y

→

V2

V2

→

→

V2y

→

V1

→

→

V1y

V1

→

x

c)

Rx

Este método de las componentes se ilustra en la figura 3.28 y en el siguiente problema ejemplo.

b)

a)

Ry

V1x

→

x

V2x

d)

y

y →

Ry

→

V2y

→

Ry

→

V1y →

V1x →

→

V2x

x

→

R

→

x

Rx

Rx

Figura 3.28 Suma de vectores por el método de las componentes. a) Se muestran los vectores concurrentes que se van a sumar. b) Se obtienen las componentes de los vectores que se van a sumar. c) Se suman las componentes de cada eje. d) Se obtiene el vector suma o resultante.

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Problema ejemplo 3.8 Calcula la resultante de los cuatro vectores mostrados en la figura 3.29. Sus caraterísticas son los siguientes: y

V = 100m ; = 30° 1

V2

V = 200m ; = 60° 2

V = 75m 3

→

1

→

→

V3

2

; = 140°

R 3

V1

1

3

4

V = 120m ; = 250° 4

→

2

4

x

0

→

V4

Figura 3.29 Determinar la resultante de este sistema de vectores.

Solución r r Para obtener la magnitud del vector resultante VR o R y su dirección organizamos los datos y cálculos en la Tabla 3.1: Tabla 3.1 Vector →

Magnitud (m)

Dirección

Componente x (m)

Componente y (m)

V1

100

30.0°

100 cos 30.0° = 86.6

100 sen 30.0° = 50.0

V2

200

60.0°

200 cos 60.0° = 100

200 sen 60.0° = 173

V3

75

140°

75.0 cos 140° = -57.5

75.0 sen 140° = 48.2

V4

120

250°

120 cos 250° = -41.0

120 sen 250° = -112.7

Rx = Vx = 88.1

Ry = Vy = 158.6

→ → →

eje x mediante la siguiente ecuación:

La magnitud de la resultante es: R = Rx + Ry 2

2

θ = tan –1

R = (88.1) + (158.7) R = 181.51m 2

Ry Rx

2

La dirección del vector resultante se obtiene deterr minando el ángulo que forma el vector R con el

θ = tan –1

158.7 88.1

= 60.9° Por lo tanto, la resultante es igual al: r 0 R =181.51m 60.9

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Glosario En este glosario se resumen los principales términos y conceptos que aparecen en el capítulo. El estudio de este glosario te permitirá enfrentar con más recursos cualquier evaluación sobre magnitudes vectoriales. Ángulo. Figura formada por dos líneas llamadas lados, que parten de un mismo punto llamado vértice. Ángulo entre dos vectores. Ángulo más pequeño formado por dos vectores concurrentes. Cateto. Con este nombre se conocen los lados del triángulo rectángulo que forman un ángulo de 90º. Componentes cartesianas o rectangulares. Proyecciones del vector sobre los tres ejes que constituyen el sistema cartesiano. Componentes de un vector. Vectores cuya acción simultánea sobre un cuerpo produce el mismo efecto que el vector que sustituyen. La suma vectorial de los componentes del vector es igual a éste. Coordenadas. Cada uno de los elementos que sirven para determinar la posición de un punto en un plano o en el espacio. Dirección. Rumbo seguido por un cuerpo en su movimiento. Dirección de un vector. Línea del segmento de recta sobre la cual se encuentra el vector. Escala. Relación entre la longitud real de una cosa (o valor de una magnitud) y la longitud que se le atribuye en un dibujo, mapa, maqueta u otra representación. Función coseno. En un triángulo rectángulo es la relación del cateto adyacente y la hipotenusa. Función seno. Ordenada del extremo de un arco en el círculo trigonométrico. En un triángulo rectángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Función tangente. En un triángulo rectángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. También se define como el cociente del seno entre el coseno de un ángulo. Hipotenusa. En los triángulos rectángulos es el lado opuesto al ángulo recto.

Línea de acción. Línea sobre la que se encuentra el vector. Magnitud. Todo aquello que puede aumentar o disminuir de tamaño. Magnitud escalar. Magnitud física que queda completamente definida por su magnitud y la unidad. Magnitud física. Todo aquello que puede medirse. Se pueden clasificar en escalares y vectoriales. Magnitud vectorial. Magnitud física que puede representarse con un vector. Para poder caracterizarla es necesario conocer su magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación. Sistema cartesiano en el plano o en el espacio. Sistema integrado por dos o tres rectas llamadas ejes, que se cortan perpendicularmente entre sí en un punto llamado origen. Permiten determinar la posición de un punto en un plano o en el espacio. Sentido de un vector. Se representa por la punta de la flecha en el correspondiente extremo del vector. Triángulo rectángulo. Triángulo que tiene un ángulo interior de 90º. Vector. Ente matemático que consta de magnitud, dirección, sentido y origen. Puede representar una magnitud física. Vectores colineales. Vectores que se encuentran a lo largo de una misma línea recta. Vectores concurrentes. Vectores que tienen el mismo origen y forman un ángulo entre sí. Vectores coplanares. Vectores que se encuentran en un plano. Vectores paralelos. Vectores cuyas líneas de acción son paralelas entre sí. Vectores unitarios. Vectores cuya magnitud vale la unidad.

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Magnitud física puede ser vectorial como

como se representa por un

desplazamiento

consta de

se clasifican en

distancia

temperatura

sentido

colineales

coplanares

fijos

se clasifican en ni concurrentes ni paralelos Conceptos clave 3 3 3 3

Escalar Velocidad Fuerza Aceleración

3 3 3 3

Vector Origen Dirección Magnitud

3 3 3 3

Tiempo Masa Área Espaciales

3 Concurrentes 3 Paralelos 3 Deslizantes

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2. Subraya los conceptos más relevantes que aparecen en este capítulo y que no fueron incluidos en el mapa conceptual anterior. Con ellos elabora otro mapa conceptual en tu cuaderno. 3. Compara tu mapa conceptual con el de tus compañeros y en equipos de cuatro integrantes obtengan un nuevo mapa conceptual. Preséntelo al resto de la clase y a su profesor.

Evaluación formativa I. Subraya en color rojo la opción correcta que se encuentra entre paréntesis. 1 Las cantidades físicas que quedan completamente especificadas por su magnitud reciben el nombre de (escalares/vectoriales). 2 El desplazamiento es una magnitud (escalar/ vectorial). 3 Cuando se efectúa la suma de dos vectores, éstos (no deben/deben) tener el mismo tipo de unidades. 4 La (masa/velocidad) es una magnitud escalar. →

5 El negativo del vector a es otro vector que suma→ → do a a da un resultado igual a (2a /cero). 6 Si al multiplicar una cantidad escalar por un vector se obtiene un vector mayor y de sentido contrario, la cantidad escalar es (negativa/positiva). 7 El vector unitario û tiene una magnitud (igual/diferente) de cero. 8 Los componentes rectangulares de un vector forman entre sí un ángulo de (90º/180º). 9 Los vectores unitarios î y ˆj forman un ángulo de (90º/270º) entre sí. II. Coloca en los paréntesis una V si el enunciado es verdadero o una F si es falso. 1 ( ) La distancia es una magnitud escalar.

8 ( )La magnitud de la componente ax de un → vector a que forma un ángulo θ con el eje x se obtiene de: ax = a sen θ. III. Lee con atención cada enunciado o pregunta. Selecciona de entre las opciones la que consideres va más de acuerdo con tu punto de vista. Coloca en el paréntesis tu respuesta. → 1 ( ) Si el vector a tiene una magnitud de 3 m y el → vector b tiene una magnitud de 4 m. Su suma no puede ser: a) 7 m

c) 1 m

b) 5 m

d) 8 m

2 ( ) Las componentes rectangulares de un vector… a) son colineales entre sí b) no pueden restarse c) se expresan en newton d) tienen las mismas dimensiones 3 ( ) El vector unitario û se puede expresar como: → → → a) A = → c) A-A = µ µ A → → A =→ b) → d) A(A) = µ µ A → 4 ( ) El vector 3Aen el diagrama es igual a...

2 ( ) El vector es un ente matemático. 3 ( ) Dos vectores son iguales cuando tienen igual magnitud y diferente sentido. 4 ( ) Los vectores paralelos tienen la misma dirección, pero no son colineales. 5 ( ) Los vectores concurrentes forman un ángulo entre sí. 6 ( ) La suma de dos vectores es conmutativa. →

7 ( )El vector 4 a tiene la misma dirección y sentido de î .

→

→

→

→

→

→

a) v1 + v2

c) –v1 + v2

b) –v2 + v1

d) –v1 – v2

→

→

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5 ( ) ¿Qué magnitud se representa por un vector? a) masa b) temperatura

3 Vector deslizante:

c) fuerza d) volumen

IV. Escribe la definición de los siguientes términos. Escribe las respuestas en las líneas. 1 Vector:

4 Desplazamiento:

5 Vector unitario: 2 Magnitud escalar:

Problemas 1. Determina la resultante (magnitud y dirección) cuando se suman por métodos gráficos de los siguientes sistemas de vectores. Cada división de los vectores representa una magnitud de 2 m.

→

a

→

a)

→

→

a

b)

a)

b

→

b

c

b)

→

a

→

a

→

b

→

b

c)

c)

→

a

→

a

a

→

b

→

b

b

2. Determina la resultante (magnitud y dirección) cuando se suman por métodos matemáticos de los sistemas de vectores que aparecen a la derecha.

d)

ˆj

î

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3. Determina las componentes de un vector cuya magnitud es 20 m y que forma un ángulo de 40 con el eje x positivo. 4. El vector resultante forma un ángulo de 60 con la r componente horizontal ( ax ) cuya magnitud es de 5m. Determina la magnitud del vector resultante y la magnitud de la componente vertical de dicho vector. 5. Determina las magnitudes de las componentes vertical y horizontal de una fuerza de 100 N cuya dirección es tal que forma un ángulo de 150 con respecto a la horizontal. 6. ¿Qué desplazamiento se debe sumar a otro de 60 cm en la dirección + x para que el desplazamiento resultante sea de 90 cm a 30? 7. Un alpinista camina 30 al norte del oriente una distancia de 20 km. ¿Cuánto caminaría otro alpinista si camina primero al norte y luego al oriente para llegar al mismo lugar? 8. Un vector v tiene una magnitud de 12.0 unidades, el cual forma un ángulo de 60 con el eje x positivo. El vector v tiene una magnitud de 10.0 unidades y esta dirigido a lo largo del eje x negativo. Empleando uno de los métodos gráficos determina, a) la suma vectorial v +v y b) la diferencia vectorial v -v .

a)

y a = 6m

b = 5m

x c = 2m

b)

y c = 10m

b = 20m a = 30m x

1

2

1

1

c)

y

d1 = 20m

2

2

d2 = 10m

→ → → → 9. Calcula a + b si a = 4iˆ + 3jˆ y b = 8iˆ - 2jˆ.

x

→ →

→ → → → 10. Calcula a – b si a = 6iˆ + 3jˆ y b = 2iˆ + 2jˆ.

d3 = 20m

d4 = 15m

→ 11. Si m = 4 y n = 2, y el vector, a = 3iˆ + 2iˆ calcula: →

a) ma

→

→

b) ma + na →

c) – ma

→

d) mn(a) 12. Determina el valor de la resultante (magnitud y dirección) por métodos matemáticos para los siguientes sistemas de vectores.

13. Un avión sale del aeropuerto A y vuela 400 km al oriente, luego 300km a 40 al poniente del norte, y luego 200 km al norte para llegar finalmente al aeropuerto B. Si otro avión vuela directamente de A a B en línea recta, ¿qué distancia viajará dicho avión en vuelo directo?

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Formulario Subtema Componentes de un vector

Fórmulas

Notas →

ax = a cos ay = a sen

a x y ay Magnitudes de las componentes rectangulares de un vector.

→

a x = ax î

Componentes rectangulares de un vector en función de los vectores unitarios.

→

a y = ay ˆj

→ →

→

Vector a expresado en función de sus componentes.

a = ax + ay →

a

→

ay

→

ax

Vector unitario

Vector en función del vector unitario. a = ⏐a⏐û

→

→

û

uˆ = vector unitario cuya magnitud es igual a uno.

→

a

y

Vector en función de los vectores unitarios î , ˆj y kˆ. ˆj

î = ˆj = kˆ = 1 → →ˆ

a = axi + ayˆj + az kˆ

Suma de vectores

x

kˆ

Teorema de Pitágoras c = a2 + b 2

Magnitud del vector suma o resultante.

a b

Dirección del vector suma o resultante.

θ = tan –1 →

c

Métodos analíticos

z

î

→

a

→

b Métodos de la ley de cosenos y la ley de senos

→

Ley de cosenos para obtener la magnitud c.

c = a2 + b2 –2ab cos

→

c

a sen α

b c sen β sen

a

→

b

→

Ley de senos para obtener la magnitud .

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Formulario Subtema

Fórmulas

Suma de vectores

Método de componentes

Método analítico

Rx = V1x + V2x + ... Vnx Ry = V1y + V2y + ... Vny

Notas

r Componentes del vector suma o resultante R .

Magnitud del vector suma en función de sus componentes rectangulares.

R = Rx + Ry 2

θ = tan –1

2

Dirección del vector suma en función de sus componentes rectangulares.

Ry Rx

En función de sus componentes →

→

A + B = (Ax + Bx) î + (Ay + By) ˆj

Producto de un escalar y un vector

si n > 1

A y A son las magnitudes de las componentes → rectangulares del vector A. B y B son las magnitudes de las componentes → rectangulares del vector B.

r na es negativo

→

y

x

y

Cambio de tamaño y sentido cuando se multiplica un escalar por un vector.

si n < 1

na es positivo

x

r a = vector

n = escalar

→

na

(+)

→

(+)

na →

cuando a =

En función de las componentes

( )

( ) ˆj + n(A ) kˆ

nA = n Ax î + n Ay

z

Producto de una escalar n por un vector expresado en función de sus vectores unitarios.

U. Cap. 3

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Pasatiempos Escala de un vector En virtud de que la longitud del vector representa los valores de las magnitudes vectoriales, es conveniente señalar la escala empleada para representarlas gráficamente. De acuerdo con lo anterior, escribe en los espacios vacíos el valor de la magnitud física representada por los siguientes vectores. Toma en cuenta la longitud del vector dibujado, pues la distancia entre dos marcas consecutivas representa un centímetro. Escala

Vector

Valor de la magnitud física representada por el vector →

1 cm = 20 N

F

→

1 cm = 20 m/s

1 cm = 50 N

v=

v

→

F=

F

→

1 cm = 10 m

F=

d

d=

Magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes físicas se pueden clasificar en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Con el fin de identificar de la lista de la derecha qué magnitudes físicas son escalares y cuáles son vectoriales, relaciona las dos columnas.

Escalar Vectorial

Área Volumen Fuerza Tiempo Velocidad Aceleración Torque Energía Impulso Masa

• ¿Cuántas magnitudes son vectoriales? Escríbelas.

• ¿Cuáles son las magnitudes escalares?

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Operaciones con vectores Resuelve los siguientes problemas y registra los resultados numéricos en el crucigrama. Si las soluciones de los problemas son correctas, las operaciones indicadas en el crucigrama se deberán cumplir. A cada casilla le corresponde un dígito.

1. Determina la magnitud de la suma de dos vectores colineales del mismo sentido cuyas magnitudes son 6 y 4.

6. Determina la magnitud de la componente horizontal de un desplazamiento que tiene una magnitud de 80 m y forma un ángulo de 60 con la horizontal.

2. ¿Cuál es la magnitud de tres vectores colineales verticales y del mismo sentido cuyas magnitudes son respectivamente 7, 10 y 3?

7. Al sumar dos vectores de igual magnitud que forman un ángulo de 90 entre sí, se determinó que la magnitud de la resultante es 2450, ¿cuál es la magnitud de cada vector?

3. Una persona se desplaza 40 m hacia el este, luego se desplaza 10 m hacia el oeste. ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento total? 4. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento total de una persona que se desplaza 40 m hacia el norte y después de un breve descanso, regresa sobre el mismo camino 15 m? 5. Determina la magnitud de la componente vertical de un vector que tiene una magnitud de 30 y forma un ángulo de 30 con la horizontal.

8. Un vector cuya magnitud es 7 m, se multiplica por el número 5. ¿Cuál es la magnitud del nuevo vector resultante de dicho producto? 9. Si se suman 10 vectores colineales iguales y del mismo sentido. ¿Cuál es la magnitud del vector resultante? Cada vector tiene una magnitud de 7 m.

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Actividad ¿Cuánto vale la resultante de la suma de dos vectores? En esta actividad podrás constatar que la magnitud de la resultante de la suma de dos vectores depende también de la dirección de los vectores.

¿Qué necesitas? • Un alfiler. • Una regla de 1 m. • Tijeras. • Dos cartulinas. • Un transportador.

2. Para representar la suma de los dos vectores une las dos tiras como se muestra en la figura 3.30. r 3. La magnitud del vector resultante ( R ) se mide del origen del primer vector al extremo del segundo vector, como se ilustra en la figura 3.30. 4. Con ayuda de la regla y el transportador determina la magnitud de la resultante cuando el ángulo entre los vectores está dado por el que aparece en la Tabla 3.2.

¿Qué debes hacer? 1. Recorta dos tiras de 3 cm de ancho de las siguientes magnitudes: 31 cm y 41 cm. Cada tira representará un vector. Una de las tiras representará un vector de 30 cm y la otra tira representará un vector de 40 cm. A lo largo de cada tira traza una línea recta que la divida en dos.

→

R

→

d2

θ →

d1

Discusión y conclusiones

Figura 3.30 La tira de 30 cm representa el →

→

→

1. ¿Cuál es el valor más pequeño de la suma de d1 + d2?

vector d 1 y la tira de 40 cm representa el vector

→

d 2.

Tabla 3.2 2. ¿Cuál es el valor más grande posible de la suma de →

Magnitud de la resultante

→

d1 + d2?

Ángulo θ entre →

→

los vectores d 1 y d 2 ()

3. ¿Qué concluyes de esta actividad? 0 45 90 150 180

Magnitud del vector →

resultante ( R ) (cm)

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¿Te habías imaginado que… La carrera de los 100m, las matemáticas y la física. La física es la ciencia natural que logró avances impresionantes cuando sus conceptos y leyes pudieron expresarse en forma matemática. Las matemáticas es una ciencia formal, considerada así porque estudia ideas, que permite expresar mediante una ecuación, o una grafica, la relación entre las variables de un determinado fenómeno. Así mismo, las matemáticas pueden predecir lo que le sucederá a una variable cuando se modifica la otra de dicho fenómeno. Muchas situaciones y fenómenos se entienden mejor cuando intervienen las matemáticas. Este hecho es bien conocido por los entrenadores deportivos, ya que en la actualidad se analizan los movimientos, tiempos y características de los triunfadores para preparar a los atletas que mejorarán o podrán igualar las marcas de los más destacados. En el atletismo, una de las competencias que más llama la atención es la carrera de 100m, pero, ¿cómo es la velocidad y la aceleración de los atletas durante esta carrera? Hoy en día sabemos que hay atletas que han logrado registrar menos de 9.80 segundos en una carrera de 100m. Sin embargo, para hacer este análisis supondremos que un atleta recorre la distancia en 10 segundos. Si la rapidez media se define como el cociente de la distancia total recorrida y el tiempo total empleado en el recorrido, entonces: Rapidez media =

Los corredores de baja estatura tienen una mayor aceleración, pero con una rapidez máxima menor que la de los corredores de mayor estatura. Los atletas exitosos que corren los 100m alcanzan su máxima velocidad entre los 10 y los 20 metros del recorrido. Esto implica que la rapidez máxima de los corredores es mayor que la rapidez media de 10m/s. Si el corredor alcanza su máxima rapidez en 2.1s y con una rapidez media constante de 5.5m/s habrá recorrido 11.55ms. Suponiendo que en este lapso alcanza la máxima rapidez de 11.196m/s., la cual además se mantiene constante, entonces durante el tiempo de 7.9s se recorren 88.45m. Es decir: d = v1t1+ v2t2 Al sustituir los valores se obtiene: d = 5.5m/s(2.1s) + 11.196m/s (7.9s) d = 11.55m + 8.45m d = 100m Estas ideas se pueden visualizar al graficar la rapidez del corredor contra el tiempo recorrido de la carrera (10s). Observa la siguiente gráfica.

Distancia total recorrida = Tiempo total del recorrido

100 m 10 s

= 10

m s

La rapidez media indica que por cada segundo se recorre una longitud de 10m; obviamente tenemos que considerar que durante la carrera la rapidez no es constante, pues al inicio de la carrera la rapidez es de 0m/s y al corredor le toma un tiempo alcanzar su máxima velocidad. El objetivo de todos los corredores es alcanzar su máxima rapidez en el menor tiempo posible y mantenerla durante el resto de la carrera.

Gráfica A Gráfica de la rapidez contra el tiempo de un atleta hipotético que recorre los 100m en 10s.

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De la grafica A se observa que la rapidez media del corredor (5.5m/s) durante los primeros 2.1s es aproximadamente la mitad de la magnitud de la velocidad (11.196m/s) que alcanza durante el resto de la carrera. La aceleración promedio durante los primeros 2.1s es de 5.4m/s2 y para el resto de la carrera es de aproximadamente 0 m/s2. Si se elabora una gráfica de la rapidez, contra el tiempo del recorrido por el atleta durante la carrera de 100m, obtendríamos algo como lo que se muestra a continuación:

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Una vez que se seleccionó al atleta con las características morfológicas adecuadas para la carrera de 100m, el conocimiento de la rapidez que debe tener en cada instante durante la carrera de acuerdo a la gráfica A le permite al entrenador establecer la mejor estrategia de entrenamiento. No cabe duda que tanto las matemáticas como la física tienen diversas aplicaciones en el deporte y en muchas otras actividades de la vida cotidiana.

No hay aceleración (rapidez máxima)

Variación de la aceleración

Desaceleración constante

Nuevamente en reposo

Gráfica B. Gráfica de la rapidez contra el tiempo durante el recorrido real de un corredor de los 100m.

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Johann Kart Friedrich Gauss Gauss nació en la ciudad de Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777 y murió a los 78 años en Gotinga la madrugada del 23 de septiembre de 1855. Gauss creció en una familia muy pobre y desde pequeño se caracterizó por ser muy respetuoso y obediente. Todo parece indicar que el genio de Gauss y sus primeros estímulos intelectuales provienen de su familia materna. Gauss fue un niño prodigio en matemáticas y así permaneció el resto de su vida. Aprendió incluso a leer solo y aunque nadie le hablara de aritmética en sus primeros años, conocía los números y podía identificarlos sin problemas. Para Gauss, las matemáticas y la aritmética eran las reinas de las ciencias. Antes de cumplir los veinte años, Gauss hizo algunos descubrimientos importantes entre los que destacan el método de los mínimos cuadrados. Según este método es posible trazar la curva que más se adapte a un número determinado de observaciones (medidas) de manera que el error experimental sea elevado al mínimo. Este trabajo despertó el interés de Gauss por la teoría de errores. Empleando el método de los mínimos cuadrados y

con sólo unas cuantas observaciones pudo localizar la órbita de Ceres, un asteroide localizado entre Marte y Júpiter. También pudo determinar la órbita de Pallas con mucha precisión. Estos éxitos le valieron a Gauss reconocimiento y fama; por ello, en 1807 fue nombrado director del observatorio de Gotinga. Entre otras de sus obras se encuentra la construcción de un polígono equilátero de 17 lados con la ayuda de una regla y un compás; la demostración del teorema fundamental del álgebra y el teorema fundamental de la aritmética. Gauss también realizó estudios sobre magnetismo terrestre y estableció un sistema lógico para los fenómenos magnéticos. Cuando el barón de Humboldt le preguntó al célebre matemático y astrónomo francés Laplace (1749-1827) quién era el matemático más grande de Alemania, éste respondió que Pfaff. Cuando Humboldt preguntó por Gauss, Laplace contestó: “No, Johann es el mejor matemático del mundo”.

Creatividad en la física Vectores Elabora un periódico mural sobre las matemáticas en la ciencia Bajo la supervisión de tu profesor, organiza un equipo de trabajo para que juntos elaboren un periódico mural sobre las matemáticas en las ciencias. Los del equipo deberán realizar investigaciones documentales y de campo sobre: 3 Las matemáticas 3 Las matemáticas en las ciencias naturales 3 Las matemáticas en las ciencias sociales 3 Los vectores y la física 3 Operaciones entre dos vectores 3 Importancia de las matemáticas Los mejores murales, por ser los más completos, creativos, interesantes y mejor ilustrados, serán seleccionados para ocupar uno de los muros del salón de clases o bien, ser exhibidos en algún lugar de la escuela, bajo previa autorización de profesores y directivos.

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Evaluación sumativa Elige el inciso correcto y escríbelo en el paréntesis. 1. ( ) Parte de la física que se encarga del estudio del movimiento y el equilibrio de los cuerpos. a) Astronomía b) Termodinámica c) Mecánica d) Acústica

7. ( ) ¿Cuál es la unidad de longitud en el SI? a) Metro b) Centímetro c) Kilómetro d) Milímetro 8. ( ) El prefijo tera equivale a:

2. ( ) Área de la física moderna que se especializa en el estudio de las propiedades de los átomos, su estructura, transformaciones e interacciones con la radiación y con el medio que los rodea. a) Electromagnetismo b) Física nuclear c) Física atómica d) Relatividad 3. ( ) Ejemplo de una ciencia formal. a) Física b) Lógica c) Química d) Biología 4. ( ) Ejemplo de una propiedad general. a) Densidad b) Peso específico c) Temperatura de ebullición d) Masa 5. ( ) Es una magnitud fundamental. a) Peso b) Área c) Volumen d) Masa 6. ( ) Es una magnitud derivada a) Masa b) Longitud c) Tiempo d) Velocidad

a) 10 b) 10 c) 10 d) 10

12 9

6 -9

9. ( ) Ejemplo de una unidad derivada a) Mol b) Joule c) Kelvin d) Candela 10. ( ) Un centímetro equivale a: a) 0.01 m b) 0.1 mm c) 0.1 m d) 0.01 mm 11. ( ) La cantidad 26 000 m en notación científica se expresa por: a) 2.6 104 m b) 2.6 105 m c) 2.6 103 m d) 2.6 10-4 m 12. ( ) Con una regla graduada en milímetros se midió la longitud de un cilindro, ¿cuál es el valor de la incertidumbre asociada a la longitud del cilindro? a) 2 mm b) 1 mm c) 0.5 mm d) 0.25 mm

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13. ( ) La altura de una mesa fue medida por cuatro personas, cuyos valores fueron: 0.90 m, 0.86 m, 0.91 m y 0.90 m. La media aritmética de dichos valores es:

18. ( ) Determina el valor magnitud del vector resultante del sistema de vectores mostrado en la siguiente figura. Punto de llegada

a) 0.90 m b) 0.91 m c) 0.86 m d) 0.89 m

15. ( ) Una hormiga se desplaza 8 m hacia el norte y después 6 m hacia el oriente. ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento? a) 2 m b) 8 m c) 10 m d) 14 m 16. ( ) Un baúl se desplaza en línea recta sobre una superficie horizontal una distancia de 36 m, pero a la siguiente hora se desplaza 12 m en sentido contrario. ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento total? a) 432 m b) 48 m c) 24 m d) 12 m 17. ( ) ¿Cuál es la magnitud de la componente de un vector cuya magnitud es 40 m y que forma un ángulo de 60° con la horizontal? a) 2400 m b) 40 m c) 34.64 m d) 20 m

d2 = 4m

Punto de partida

14. ( ) La dimensión de la densidad es: a) L3M3 b) ML3 c) M-1L-3 d) ML-3

→

120°

→ d 1 = 3m

a) 7.00 m b) 6.08 m c) 5.56 m d) 5.00 m 19. ( ) Un vector de 6 m de magnitud se suma con otro vector de 4 m de magnitud. ¿Cuál es la mínima magnitud posible de la suma de dichos vectores? a) b) c) d)

24 m 11 m 2m 1m

20. ( ) ¿Cuál es la magnitud del vector resultante al sumar los vectores mostrados en la siguiente figura? F1 = 6N

60°

F2 = 6N

30°

a) 18 N b) 12 N c) 5 N d) 0 N

F3 = 6N

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II

Unidad Movimiento

Objetivo de la unidad Al término de esta unidad, los estudiantes podrán realizar predicciones respecto al comportamiento de cuerpos móviles en una y dos dimensiones, por medio de la observación sistemática de las características de los patrones de movimiento que se muestran en ambos tipos.

Contenido Capítulo 4 Movimiento en una dimensión Capítulo 5 Movimiento en dos dimensiones

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Física I • Unidad II

Evaluación diagnóstica Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Cómo defines el movimiento de los cuerpos? 2. ¿Un cuerpo puede estar en reposo y en movimiento simultáneamente? 3. ¿Qué tan rápido corre el ser humano?

4. ¿Cuáles son las variables que permiten describir el movimiento de los cuerpos? 5. ¿Cuáles son las características del movimiento rectilíneo? 6. ¿Cómo se determina la rapidez con la que se desplaza un cuerpo? 7. ¿En qué momento se considera que un auto está acelerado? 8. ¿Qué es la caída libre? 9. ¿El tiempo que tardan en caer dos cuerpos de diferente masa es el mismo si se dejan caer simultáneamente desde la misma altura? 10. ¿Qué tipo de trayectoria describe una pelota cuando es pateada por un jugador de fútbol americano para anotar un gol de campo? 11. ¿Cuáles son las características de un movimiento parabólico? 12. ¿Es posible que las aspas de una licuadora puedan llegar a tener un movimiento circular uniforme?

Para responder estas preguntas estudiaremos… 13. ¿Cuáles son las diferencias entre un movimiento circular uniforme y un movimiento circular uniformemente acelerado? 14. ¿Cómo se relacionan las velocidades angular y tangencial en un movimiento circular uniforme? 15. ¿Qué distancia mínima segura debe existir entre dos autos que viajan a 100 km/h cada uno?

• Breve historia del estudio del movimiento • El movimiento • Partícula • Trayectoria • Posición de un objeto • Distancia y desplazamiento • Rapidez y velocidad • Movimiento rectilíneo uniforme • Aceleración

• Movimiento rectilíneo con aceleración constante • Caída libre • Tiro vertical • Tiro horizontal • Movimiento parabólico • Movimiento circular uniforme • Movimiento circular uniformemente acelerado • Relación entre cantidades angulares y lineales

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Capítulo

4 Movimiento en una dimensión Objetivo Objetivo

Al término de este capítulo, los estudiantes calcularán el lugar en el cual se encuentra un cuerpo, la velocidad que alcanza después de cierto tiempo, su aceleración y el lapso de llegada a su destino por medio de la observación, descripción e interpretación gráfica del movimiento en una dimensión que efectúan algunos cuerpos.

Introducción

Introducción

Uno de los fenómenos que desde siempre ha llamado la atención del ser humano es el movimiento de los cuerpos. Los cuerpos celestes, como la Luna, el Sol y las galaxias, se encuentran en movimiento. Asimismo, los cuerpos terrestres como las nubes, las ramas de los árboles, las aves y los niños en los juegos se encuentran en movimiento. El movimiento es un fenómeno que siempre ha estado presente en el entorno del ser humano, por lo que fue estudiado en un principio por curiosidad y, más tarde, por necesidades prácticas. El estudio de las diferentes clases de movimiento sin atender las causas que lo producen recibe el nombre de cinemática. En este capítulo estudiaremos el movimiento de los cuerpos a lo largo de una línea recta considerándolos

partículas, es decir, estudiaremos el movimiento rectilíneo. Iniciaremos el estudio del movimiento de los cuerpos con la revisión de los conceptos básicos que permiten describirlo tanto cualitativa como cuantitativamente. Continuaremos con la descripción del movimiento rectilíneo uniforme. Después, revisaremos el movimiento rectilíneo uniformemente variado, en particular, la caída libre de los cuerpos. Es importante señalar que gracias al conocimiento que tiene el ser humano para describir y predecir el movimiento de los cuerpos es que ha podido conocer mejor el Universo, así como utilizar este conocimiento para hacer que naves espaciales puedan explorar la superficie de otros planetas.

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Breve historia del estudio del movimiento El movimiento es algo que ha inquietado a los hombres desde tiempos ancestrales; aunque es es algo muy natural para nosotros: como seres humanos giramos junto con la Tierra (aunque ni cuenta nos demos) en sus movimientos de rotación y de traslación alrededor del Sol; a su vez, el Sol se mueve dentro de nuestra Galaxia; y la Vía Láctea se mueve dentro del Universo (Figura 4.1).

Figura 4.1 La Galaxia, el Sol y la Tierra, junto con nosotros, se mueven por el Universo a velocidades impresionantes.

Nuestro corazón, pulmones y cada una de nuestras células se mueven en forma continua dentro de nosotros. Los átomos son parte de cada una de las células y de todo lo que nos rodea: los electrones, que forman parte del átomo, circulan a grandes velocidades alrededor del núcleo del átomo, al mismo tiempo que los átomos se mueven constantemente y chocan entre sí. El movimiento está en todas partes. Pero, ¿cómo se mueven los objetos?, ¿qué es lo que hace que se muevan?, ¿cómo comenzó el hombre a estudiar el movimiento de los cuerpos? Hagamos un viaje en el tiempo, a la época de los griegos, hace aproximadamente 2 400 años. Aristóteles, filósofo y matemático griego, fue el primero que empezó a estudiar seriamente el movimiento de los cuerpos y lo dividió en dos clases: el natural y el violento. El movimiento natural era el que tenían todos los objetos por naturaleza: un puñado de tierra cae al suelo cuando lo soltamos porque pertenece a la super-

ficie, una bocanada de humo se eleva por los aires porque pertenece al aire, las estrellas se mueven en círculos porque ése es su movimiento natural, lógico, ¿no? El movimiento violento es el que se produce al empujar o jalar un objeto, es decir, al obligarlo a moverse: el cargar tu mochila (cuando ésta quiere quedarse en el suelo) y empujar el carrito del supermercado son ejemplos del movimiento violento (Figura 4.2). Aristóteles pensaba que todos los movimientos eran sólo una combinación de los movimientos naturales con los violentos y que todos los cuerpos, excepto las estrellas, tendían a estar en reposo.

Figura 4.2 Al empujar el carrito del supermercado, lo estás obligando a moverse. Para Aristóteles, éste era el movimiento violento.

Durante más de dos mil años, la humanidad tomó las ideas de Aristóteles como válidas y nunca se preocupó por ver si se cumplían. Sin embargo, las ideas de Aristóteles tenían algunas fallas. Por ejemplo, ¿qué pasa cuando lanzamos una pelota hacia arriba? Ésta sigue moviéndose aunque ya no la empujemos ni la jalemos (movimiento violento) y además, se mueve en contra de su movimiento natural. Éstas y otras preguntas fueron las que llevaron a Galileo Galilei (1564-1642), científico italiano, a desarrollar nuevas ideas acerca del movimiento. Muchos de estos conceptos fueron resultado de los experimentos que él realizó. Aristóteles también estableció las bases de la dinámica y formuló las leyes de la caída de los cuerpos. Isaac Newton retomó los trabajos de Galileo y en 1867 enunció las leyes del movimiento. Una de las ideas básicas de Newton es que una vez iniciados

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Capítulo 4 • Movimiento en una dimensión

ciertos movimientos, no necesitan de una fuerza para continuar. Con Albert Einstein y su teoría de la relatividad planteada en 1905, se revolucionó nuevamente la concepción de movimiento y sus consecuencias, ya que transformó las ideas intuitivas que se tenían sobre el espacio y el tiempo, así como las que tenían acerca de la energía y la masa.

Movimiento Si lanzamos una mirada a nuestro alrededor, nos percataremos de que vivimos en un mundo en continuo movimiento. La gente se mueve, los automóviles se mueven, las plantas crecen, cosas tan pequeñas como el polvo y tan grandes como las galaxias también se mueven. Este libro, que al momento de leerlo parece estar en reposo, está formado por átomos que se encuentran en continuo movimiento, oscilando alrededor de una posición de equilibrio. Incluso la Tierra se mueve en el espacio, alrededor del Sol, con una velocidad de 30 000 m/s (¡108 000 km/h!). Pero ¿qué es el movimiento? En física decimos que un cuerpo está en movimiento con respecto a otro cuando su posición respecto a ese cuerpo está cambiando al transcurrir el tiempo. Por ejemplo, se dice que quien conduce un automóvil se encuentra en movimiento con respecto a un árbol, cuando, al transcurrir el tiempo, la posición del conductor con respecto a ese árbol va cambiando (Figura 4.3). Por otra parte, si la posición de un cuerpo con respecto a otro no cambia al transcurrir el tiempo decimos que ese cuerpo se encuentra en reposo. El conductor del automóvil se encuentra en reposo con respecto a uno de sus pasajeros si al transcurrir el tiempo su posición no cambia con respecto a aquél (Figura 4.3). El reposo y el movimiento son conceptos relativos; esto es, dependen del cuerpo que se emplee como referencia. En nuestro caso, el conductor está en reposo

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con respecto al pasajero, pero en movimiento con respecto al árbol. Para describir el movimiento de un cuerpo es necesario seleccionar un sistema de referencia que es cualquier cuerpo o punto que se selecciona para describir la posición o el movimiento de otros cuerpos. Es conveniente señalar que la elección de nuestro sistema de referencia puede complicar o simplificar la descripción del movimiento del cuerpo que se estudia. Por ello, es recomendable elegir aquel sistema de referencia que nos facilite la descripción del movimiento; así, para describir el movimiento de la Luna se selecciona a la Tierra y no a otros planetas (Figura 4.4).

Figura 4.4 La Luna, con respecto a la Tierra, tiene una trayectoria más fácil de describir que con respecto a otros planetas.

Partícula Si observas atentamente el movimiento de un cuerpo, como el de una pelota de béisbol, verás que ésta gira sobre su propio eje mientras se desplaza. De igual manera, al observar el movimiento de la caída de una hoja que fue arrancada de un árbol por el viento, veremos que la hoja gira y se enrosca mientras se desliza hacia la izquierda y hacia la derecha, como flotando,

Figura 4.3 El conductor está en movimiento cuando su posición, al transcurrir el tiempo, está cambiando con respecto al árbol. El conductor está en reposo con respecto al pasajero, ya que su posición relativa no cambia.

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durante su descenso. La descripción de este tipo de movimiento es muy complicada. Un cuerpo también puede vibrar durante su movimiento (como es el caso del motor de un automóvil sin afinar). Esto hace evidente la variedad y complejidad del movimiento de los cuerpos. Las complicaciones pueden evitarse si se considera a los cuerpos como partículas. Una partícula es un cuerpo de dimensiones muy pequeñas que tiene masa. En los esquemas, puede representarse por un punto (Figura 4.5).

Figura 4.5 Un cuerpo cualquiera puede ser representado como un cuerpo idealizado llamado partícula.

Ahora bien, ¿bajo qué condiciones debe tratarse como una partícula a un cuerpo? Un cuerpo puede ser representado como una partícula cuando: 1. Sus dimensiones son muy pequeñas en comparación con la distancia recorrida. En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, la Tierra puede considerarse como el movimiento de una partícula. 2. Su movimiento sea de traslación, es decir, cuando cada segmento del cuerpo se mantenga paralelo a sí mismo durante su movimiento (Figura 4.6).

Trayectoria Un cuerpo puede seguir diversos caminos al pasar de un lugar a otro. El camino que sigue ese cuerpo al cambiar su posición es lo que llamamos trayectoria. La trayectoria es la línea descrita por el cuerpo durante su movimiento. La trayectoria de un auto que viaja de la ciudad de Guadalajara a Veracruz se obtiene al unir todos los puntos por los que pasó el auto durante su viaje. La trayectoria es una de las características del movimiento y depende del sistema de referencia empleado. Así, un objeto que se deja caer de un avión en pleno vuelo tendrá una trayectoria recta para el piloto, pero la trayectoria del objeto para una persona en la superficie será una curva conocida como parábola (Figura 4.7). En general, se selecciona el sistema de referencia en donde el cuerpo tenga la trayectoria más fácil de describir. Los movimientos se pueden clasificar, según el tipo de trayectoria que describen en: movimientos rectilíneos y movimientos curvilíneos. Un movimiento es rectilíneo si la trayectoria del cuerpo es una línea recta; por ejemplo, un cuerpo en caída libre tiene una trayectoria recta. Un movimiento es curvilíneo si la trayectoria del cuerpo es una línea curva (Figura 4.8). Dentro de los movimientos curvilíneos los más comunes son: a) El movimiento circular. Es un movimiento en el cual la trayectoria del cuerpo forma una circunferencia; como el movimiento de una pelusa en un disco. b) El movimiento elíptico. Es un movimiento donde la trayectoria del cuerpo forma una elipse; por ejemplo, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol. c) El movimiento parabólico. Es un movimiento en el que la trayectoria del móvil forma una parábola; un proyectil lanzado por un cañón describe un movimiento de este tipo.

Figura 4.6 El papalote tiene un movimiento de traslación, porque, en las tres posiciones, su contorno se mantiene paralelo al segmento de recta AB. De esta manera, su movimiento puede ser descrito por el movimiento de uno de sus puntos; por ejemplo, el punto A.

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Figura 4.7 La trayectoria del objeto es una línea recta para el piloto, no así para la persona que está en la superficie.

derecha o a la izquierda del origen se asigna de manera convencional un signo a la distancia medida a partir de dicho punto. Si es positivo (+) está a la derecha y si es negativo (-) está a la izquierda. De esta manera en la figura 4.9, la posición del tesoro es +200 metros.

Trayectoria

Figura 4.8 El movimiento de la mariposa es curvilíneo.

Posición de un objeto Al ser humano le ha interesado conocer la posición de los objetos, ya sea que se encuentren en movimiento o en reposo. Para responder a preguntas como ¿dónde se encuentra el tesoro?, ¿cuál será la posición del satélite a las 16:00 horas del día 5 de mayo del 2020? Lo que se hace primero es seleccionar un objeto de referencia y a partir de éste se describe la posición del tesoro o del satélite, midiendo la distancia del segmento de recta que tiene como origen, el objeto de referencia y como extremo, el objeto localizado. Si suponemos que el objeto de referencia y el tesoro a localizar están a lo largo de una línea recta, se acostumbra llamar origen o punto cero la posición del objeto seleccionado como referencia, porque a partir de él se localiza la posición de cualquier otro objeto. Pero, para saber si el tesoro está a la

Figura 4.9 El tesoro con respecto al objeto de referencia (árbol) se encuentra a 200 m de la línea recta que los une, mientras que la piedra está a –100 m.

Para describir la posición de un objeto, como el satélite, se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas; en este sistema, los ejes se cortan perpendicularmente en un punto 0 llamado origen, el cual coincide con el objeto de referencia. Si el objeto y el satélite se encuentran en el mismo plano, la posición del satélite se determina dando sus coordenadas x y y, es decir, dando su abscisa y su ordenada como se ilustra en la figura 4.10.

Vector de posición Para definir la posición del satélite o de cualquier otro objeto, una vez elegido el sistema de coordenadas r cartesianas, se puede trazar el vector r que une el origen 0 con el punto P, que indica la posición del

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100 Física I • Unidad II

Figura 4.10 La posición del satélite con respecto al árbol es 6

6

(4 10 km, 3 10 km) en el sistema de coordenadas cartesianas seleccionado.

r satélite en ese instante. El vector r , al estar definido r por su magnitud o módulo r y su dirección y sentido con respecto a los ejes de coordenadas cartesianas, determina completamente la posición del satélite; este vector recibe el nombre de vector de posición (Figura 4.11).

r = 5 106 km

Distancia y desplazamiento En el lenguaje cotidiano empleamos indistintamente las palabras “desplazamiento” y “distancia”. Sin embargo, en la física estas palabras tienen significados diferentes, aunque en ciertas condiciones pueden tener el mismo valor. La distancia recorrida por un móvil es la longitud del camino recorrido. Para determinar la distancia de un auto que viaja a lo largo de una carretera se mide la longitud de su trayectoria (Figura 4.12). Si la trayectoria del móvil es una línea recta, la distancia recorrida (s) se puede determinar en función de las posiciones inicial (xo) y final (x) por la siguiente ecuación: s = x – xo la cual también se puede expresar como:

Figura 4.11 La posición del satélite, en determinado instante, está expresada por su vector de posición

r r

, cuya magnitud

6

está dada por 5 10 km y su dirección por el ángulo que forma

r r

d = x – xo donde: d = s = distancia recorrida por el móvil de xo a x

con el eje x, el cual es de 36.87°.

Generalmente, para definir la posición de un objeto o partícula, cuando la trayectoria es una línea recta, se elige un sistema de coordenadas cartesianas, de tal modo que uno de sus ejes coincida con la trayectoria del objeto; así la posición de éste queda definida por la distancia que existe entre él y el origen. Dicha distancia recibe el nombre de coordenada de posición.

Figura 4.12 Para determinar la distancia recorrida por un móvil hay que medir la longitud de la trayectoria.

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Por otro lado, el desplazamiento de un cuerpo nos indica el cambio de posición del mismo durante su movimiento. El desplazamiento se representa por un vector cuyo origen se ubica en la posición inicial y cuyo extremo señala la posición final del cuerpo en el instante de interésr (Figura 4.13). El desplazamiento se representa por d y su magnitud por d. La longitud de la línea que une el punto de partida con el de llegada es igual a la magnitud del desplazamiento. En el SI, se mide en metros. La longitud del desplazamiento no siempre coincide con la distancia recorrida.

101

Asimismo, si decimos que un móvil tiene desplazamiento igual a cero en un intervalo de 20 segundos, se puede pensar que no se ha movido, pero también puede significar que se movió de un punto inicial y regresó al mismo punto; por tanto, aunque haya recorrido una distancia, su desplazamiento al final de su viaje fue cero. El desplazamiento se puede definir en función de los vectores de posición (Figura 4.14a) por: →

→ → →

r = d = r – r0 donde: →

r0 = vector de posición que indica la posición inicial

→

r = vector de posición que indica la posición final →

→

r = d = desplazamiento Si el cambio de posición se da a lo largo de una línea recta, el desplazamiento se define en función de → → los vectores de posición x y x0 por →

→ →

d = x – x0

Figura 4.13 El desplazamiento se representa por un vector cuyo origen coincide con la posición inicial del móvil y su extremo con la posición final. En este ejemplo, la magnitud del desplazamiento es diferente a la distancia recorrida.

En estas condiciones, la magnitud del desplazamiento se obtiene de la diferencia de las coordenadas de posición (Figura 4.14b), es decir: d = x – xo donde: d = es la magnitud del desplazamiento.

y →

d

→

r0 →

r

x

→

→

Figura 4.14 a) El desplazamiento se define como el cambio de posición del móvil ( r – r0 ) b) La magnitud del desplazamiento se obtiene de x – x , en este caso, es 10 m – 4 m = 6 m. 0

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Problema ejemplo 4.1 Si una hormiga se mueve como se muestra en la figura 4.15a, determina: a) La distancia recorrida. b) El desplazamiento total recorrido. Solución

a)

Supongamos que un auto y un autobús parten del mismo punto y se desplazan por una carretera recta. Una hora después, observaremos que el auto recorrió una distancia mayor que el autobús (Figura 4.16). El auto recorrió 100 km, mientras que el autobús 60 km. Esto quiere decir que el auto se movió más rápidamente que el autobús, ya que en el mismo intervalo de tiempo (1 hora), la distancia recorrida por el auto fue mayor que la recorrida por el autobús. La magnitud física que indica qué tan lento o rápido se mueve un cuerpo es la rapidez. La rapidez es simplemente la razón de la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla; esto es

d = AB = 6 m d = BC = 8 m a) distancia = ? b) desplazamiento = ? 1 2

b)

a) Como la distancia es la longitud del camino recorrido, entonces: distancia = AB + BC distancia = 6 m + 8 m = 14 m Es decir: La distancia recorrida es de 14 m. b) Como el desplazamiento es una magnitud vectorial que va de la posición inicial a la final (segmento AC) y puesto que el ángulo entre los vectores es de 90°, empleamos el teorema de Pitágoras para calcur lar la magnitud de d en funcion de d y d . 1

d = d12 + d22

distancia

Rapidez =

tiempo

La rapidez se expresa en m/s en el SI, aunque en la vida cotidiana se acostumbra expresarla en km/h. Sabiendo cómo se puede determinar la rapidez de un cuerpo; ¿cuál fue la rapidez del auto y del autobús de la figura 4.16? Consideremos primero el auto, el cual recorrió una distancia de 100 km en una hora. Por tanto:

Sustituyendo los valores conocidos:

Fórmula (Teorema de Pitágoras)

En la descripción del movimiento de los cuerpos no es suficiente que se indique su trayectoria, distancia o desplazamiento recorrido; también habrá que definir nuevos conceptos para caracterizar y diferenciar los diferentes tipos de movimientos que pueden tener los cuerpos.

Rapidez

Datos

Figura 4.15 a) La hormiga se mueve como se muestra en la figura. b) El desplazamiento de la hormiga va de la posición inicial a la posición fir nal. La magnitud de d se obtiene al aplicar el teorema de Pitágoras.

Rapidez y velocidad

2

Sustitución

Rapidez del auto =

100 km km = 100 1h h

o sea que el auto se movió con una rapidez de 100 km/h. Por otra parte, el autobús recorrió una distancia de 60 km en el tiempo de una hora. En consecuencia: Rapidez del autobús =

d = 62 + 82 d = 100 d = 10 m

La magnitud del desplazamiento total es igual a 10 m.

60 km km = 60 1h h

por tanto, la rapidez del autobús fue de 60 km/h. Al comparar las rapideces, se observa que la rapidez del auto fue mayor que la del autobús.

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A las 8:00 horas

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11 12 1 10 9

2 3 4

8 7

6

5

11 12 1

A las 9:00 horas

10 9 8

2 3 4 7

6

5

Figura 4.16 El auto recorrió una mayor distancia que el autobús en el mismo tiempo, es decir, el auto es más rápido que el autobús.

Problema ejemplo 4.2 Una persona recorre 40 metros en 8 segundos. ¿Cuál es su rapidez? Solución Datos

Rapidez media =

distancia total recorrida tiempo empleado en el recorrido

Empleando símbolos:

Fórmula

distancia = 40 m tiempo = 8 s rapidez = ? Sustitución Rapidez =

La rapidez media se define como la distancia total recorrida por el móvil dividida por el tiempo empleado en recorrerla. Matemáticamente se expresa por:

40 m 8s

Rapidez =

dis tan cia tiempo

rm =

xt tt

o r = dt m tt

donde: Resultado Rapidez = 5 m/s

Rapidez media Si el auto que recorrió los 100 km en una hora lo hizo de manera que a la mitad del recorrido se detuvo para que el conductor recogiera un paquete, luego avanzó muy lentamente durante un tramo de su recorrido, pero en la parte final del trayecto incrementó su rapidez. Esto quiere decir que la rapidez del auto estuvo cambiando a lo largo de la trayectoria, pero, debido a que no conocemos con precisión su rapidez a cada instante, lo que se da para caracterizar su movimiento es su rapidez media.

rm = rapidez media xt = dt = distancia total tt = tt = tiempo total Si se conocen las posiciones iniciales y finales del movimiento de un cuerpo a lo largo de una trayectoria recta (Figura 4.17), la rapidez media se puede expresar de la siguiente manera: rm =

x – x0 t – t0

o por:

donde: x = x = posición inicial i

0

x = x = posición final f

t = t = tiempo inicial i

0

t = t = tiempo final f

rm =

xf – xi tf – ti

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t=t–t

Tabla 4.1

0

x – x0 rm = t ± t0

t

0

t

Rapidez de algunos cuerpos

0 x

Cuerpo

x=x–x

0

Rapidez media (aproximada)

0

(km/h)

x

Hombre al caminar Hombre al correr Liebre Guepardo Auto de carreras Sonido en el acero Luz en el vacío

Figura 4.17 La rapidez media es una magnitud escalar que nos indica la distancia recorrida por unidad de tiempo de un cuerpo en movimiento.

La rapidez media se expresa con las mismas unidades que la rapidez. En la Tabla 4.1 se muestran algunas rapideces medias de algunos cuerpos.

5 36 65 100 320 18000 108 X 107

Problema ejemplo 4.3 Determina la rapidez media de un auto que al pasar por el poste telefónico número 1, localizado a 50 m de un árbol, el cronómetro marca 10 s y que al pasar por el poste telefónico número 2, localizado a 300 m del árbol, el cronómetro marca 15 s. t = 10 s

t = 15 s

0

1

x = x = 50 m i

0

2

x = x = 300 m f

x-x = 250 m t-t = 5 s 0

0

Figura 4.18 Posición del auto en dos momentos diferentes.

Solución Datos: x x t t

0

0

= 50 m = 300 m = 10 s = 15 s

Fórmula: rm =

x – x0 t ± t0

Sustituyendo valores: rm =

300 m – 50 m 15 s – 10 s

rm =

250 m 5s

rm = 50

Resultado:

rm = 50 m s

m s

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Para resolver el problema anterior se pudo seleccionar el poste telefónico número 1 como el sistema de referencia, de manera que cuando el auto pasa en frente de él, x = 0 m y t = 0 s. Por tanto, cuando pasa por el poste telefónico número 2, x = 250 m y t = 5 s. Esto, matemáticamente, se expresa de la siguiente manera: De la definición de rapidez media: 0

0

rm =

x – x0 t ± t0

como x = 0 m y t = 0 s, la ecuación anterior se convierte en: 0

0

rm =

Al sustituir los valores se obtiene el valor de rapidez media que ya se había obtenido

rm =

Velocidad En el lenguaje cotidiano, las palabras “rapidez” y “velocidad” se emplean como sinónimos, pero, desde el punto de vista científico existe una diferencia entre ellas. Cuando se dice que el auto viaja a una razón de 80 kilómetros por hora, se está especificando su rapidez. Pero, si se dice que se mueve a 80 kilómetros por hora hacia el sur, se está hablando de su velocidad. Cuando se describen la rapidez del cuerpo, la dirección y el sentido en que se mueve, se habla de su velocidad. La velocidad se define como el desplazamiento que experimenta un cuerpo por unidad de tiempo. Matemáticamente se expresa por:

x t

donde: x = distancia total o distancia entre los dos postes t = tiempo total o tiempo que emplea el auto al pasar del poste 1 al poste 2.

250 m = 50 m / s 5s

Descubre la física En el atletismo existen competencias que llaman mucho la atención de los aficionados. Entre ellas se encuentran las carreras de 100 y 400 metros, las cuales permiten conocer al hombre o a la mujer más veloces del mundo. Las marcas mundiales se dan a conocer en función del tiempo empleado en el recorrido. La rapidez media con la que un hombre corre 100 metros es de 10.21 m/s, mientras que la mujer más rápida lo hace en 9.53 m/s. Así, la rapidez media con que un hombre corre 400 metros es de 9.24 m/s, mientras que la mujer lo hace en 8.40 m/s. A medida que la ciencia se aplica al deporte, es posible que los competidores corran más rápido.

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→

v=

→

d t

donde: →

v = velocidad d = desplazamiento → t = tiempo →

La velocidad es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento. La magnitud de la velocidad se expresa en las mismas unidades que la rapidez. La velocidad, por ser una magnitud vectorial, para estar completamente definida se deberá conocer su magnitud (valor), dirección y sentido. La magnitud de la velocidad se representa por v.

Velocidad media Si un auto que se mueve en una carretera recta se detiene en algunos lugares del trayecto y en otros avanza más rápido, podemos asegurar que el valor de su velocidad no fue el mismo en cada instante. Sin embargo, para caracterizar su movimiento, es posible pensar que viajó a una misma velocidad para hacer el recorrido en el mismo tiempo. Esta velocidad es la velocidad media. La velocidad media se define como el desplazamiento total de un móvil, dividido por el intervalo de tiempo empleado, que se expresa en forma de ecuación por:

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→

→

vm =

donde

dt tt

o por

→

x vm = →t tt

→

r →

vm = velocidad media

→

dt

tt

→

Es importante hacer notar que la rapidez media no siempre coincide con el valor (magnitud) de la velocidad media, excepto cuando el móvil viaja en línea recta y en el mismo sentido. En este caso, la magnitud de la velocidad media coincide con el valor de la rapidez media.

= xt = desplazamiento total = tt = tiempo total

Problema ejemplo 4.4 Un automóvil viaja en una carretera recta. Durante la primera hora la magnitud de su velocidad es de 100 km/h y durante las dos siguientes horas viajó con una magnitud de velocidad de 80 km/h, ¿cuál es la magnitud de la velocidad media en todo el trayecto? Solución Datos v = 100 km/h t =1h v = 80 km/h t =2h 1

1

2

2

Se hace un esquema para visualizar el problema (Figura 4.19):

Figura 4.19 El auto cambia su velocidad durante el trayecto.

Se determina la distancia recorrida en cada tramo. El valor del desplazamiento es igual a la distancia recorrida y la magnitud de la velocidad en cada tramo es igual a su respectiva rapidez. Para la primera hora:

v1 =

d1 km ⇒ d1 = v1t 1 = 100 (1 h) = 100 km h t1

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107

Para las dos siguientes horas:

d2 km ⇒ d 2 = v 2t 2 = 80 ( 2 h) = 160 km t2 h

v2 =

r Lar distancia total recorrida es igual a la magnitud del desplazamiento total, ya que los desplazamientos d1 y d son colineales y del mismo sentido, es decir 2

d = d + d = 100 km + 160 km = 260 km t

1

2

Como el tiempo total de recorrido se calcula por: t = t + t = 1.0 h + 2.0 h = 3.0 h t

1

2

La magnitud de la velocidad media se calcula por: vm =

Sustituyendo valores: vm =

dt tt

260 km 3h

Resultado: v = 86.6 km/h m

Velocidad instantánea La velocidad media de un móvil no siempre corresponde a su velocidad en cada posición; por tanto, no es adecuada para una descripción precisa de su movimiento. Una manera de obtener la velocidad de un móvil en una determinada posición es medir su velocidad media para desplazamientos muy pequeños durante intervalos de tiempo cada vez más pequeños, es decir su velocidad la cual es definida como el límite r instantánea, r de ∆x / ∆t (o ∆d / ∆t ) conforme t tiende a ser cero. Matemáticamente se expresa como: r r ∆x v = lím∆ t→0 ∆t Con el fin de ilustrar cómo se puede determinar la magnitud de la velocidad instantánea, tomemos como

ejemplo el caso de un atleta que corre 100 m en 10 s y del cual se quiere conocer la velocidad con que llega a la meta, es decir, la magnitud de esa velocidad instantánea en ese momento. Con ayuda de buenos cronómetros electrónicos medimos el tiempo que emplea el corredor en correr los últimos 50 m, 10 m, 2 m y 1 m. Los resultados se presentan en la tabla 4.2.

Tabla 4.2 Velocidad media de un corredor de 100 m en diferentes distancias de la meta Desplazamiento (m)

Tiempo (s)

Velocidad (m/s)

100 50 10 2 1

10 4.17 0.81 0.18 0.08

10 12 12.3 12.5 12.5

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De los resultados de esta tabla, se observa que conforme disminuyen los desplazamientos y los intervalos de tiempo, la velocidad media se acerca a un valor que no varía mucho y que en este caso es de 12.5 m/s. Eso significa que la velocidad media llega a un límite que es igual a 12.5 m/s en la meta. Podemos concluir que la velocidad instantánea es la razón del desplazamiento, conforme el intervalo de tiempo correspondiente tiende a cero. Generalmente, en la descripción del movimiento de un cuerpo, se está más interesado en su velocidad instantánea que en la velocidad media. El velocímetro de un auto marca la magnitud de la velocidad instantánea en cada momento.

Descubre la física Los aviones comerciales tienen vuelos en tramos rectos y en vuelos de crucero. Particularmente durante estos últimos, el avión mantiene una velocidad constante y las sensaciones que experimentan los pasajeros son las mismas que se presentan cuando el avión está en reposo sobre la pista de despegue. Por el contrario, cuando el avión viaja a velocidad constante, las sensaciones de los pasajeros no dependen de la velocidad que llegue a alcanzar el aparato; en realidad lo que les puede llegar a provocar vértigo son los cambios bruscos en el valor de la velocidad, lo cual ocurre únicamente durante el despegue y el aterrizaje.

Movimiento rectilíneo uniforme El movimiento más simple que pueden tener los objetos es el movimiento rectilíneo uniforme. Este movimiento se presenta cuando un auto que viaja en una carretera recta mantiene una velocidad constante. En la industria, la mayoría de las bandas transportadoras de material o productos se mueven a velocidad constante (Figura 4.20).

Figura 4.20 En las empacadoras, muchas de las bandas que transportan los productos viajan a velocidad constante.

Las características de un móvil con movimiento rectilíneo uniforme son las siguientes: 1. La velocidad es constante. Esto indica que si el valor de la velocidad es de 80 km/h, tendrá ese mismo valor durante todo el recorrido, además de que su dirección también deberá ser la misma, por ejemplo de norte a sur durante el viaje. 2. El móvil o cuerpo en movimiento recorre distancias iguales en tiempos iguales. Por ejemplo, si un cuerpo recorre 80 km en la primera hora, recorrerá 80 km en la siguiente hora, de manera que una vez que hayan transcurrido tres horas, el móvil habrá recorrido una distancia de 240 km en total. 3. La velocidad y el desplazamiento tiene la misma dirección y el mismo sentido. Observa la figura 4.21. 4. La magnitud del desplazamiento coincide con la distancia recorrida. 5. La magnitud de la velocidad coincide con la rapidez.

Posición inicial

Posición final

Figura 4.21 La velocidad y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido.

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¿Cómo se describe el movimiento rectilíneo uniforme? Para poder dar respuesta a esta pregunta, vamos a proceder como lo hubiera hecho Galileo: observando y midiendo. Para ilustrar cómo se puede describir el movimiento rectilíneo uniforme, consideremos el movimiento de una botella colocada en una banda transportadora que viaja a velocidad constante (Figura 4.22). En primer lugar, medimos las distancias recorridas y los tiempos de recorrido de la botella.

Figura 4.22 La botella se encuentra en una banda transportadora que se mueve a velocidad constante.

Luego, organizamos las medidas obtenidas en la Tabla 4.3. Es importante señalar que las medidas de las distancias recorridas y los tiempos empleados por la botella se hicieron a partir de la posición A (Figura 4.22); es decir, que cuando alcanzó la posición B, la distancia recorrida fue de 5 m y el tiempo transcurrido fue de 2.5 s. Cuando alcanzó la posición C, la distancia recorrida desde A hasta C fue de 10 m y el tiempo de 5 s. Si nos preguntan ¿cuál es la distancia recorrida por la botella a los 10 s?, la respuesta se obtiene al observar la tabla de valores. En este ejemplo, la botella recorrió 20 m. Así, el movimiento rectilíneo uniforme puede ser descrito mediante una tabla de resultados. En virtud de que la información que se obtiene mediante la Tabla 4.3 no nos permite visualizar de manera rápida las características del movimiento rectilíneo de la botella, podemos describir dicho movimiento mediante una gráfica de las mediciones del tiempo y distancias recorridas. Para esto, ubicamos el tiempo en el eje horizontal y la distancia en el eje vertical (Figura 4.23).

109

Tabla 4.3 Distancia y tiempo de recorrido de la botella Posición

Distancia (m)

Tiempo (s)

A B C D E F

0 5 10 15 20 25

0 2.5 5 7.5 10.0 12.5

Al graficar los datos de las distancias recorridas de la Tabla 4.3 en función del tiempo y unir los puntos, se obtiene una línea recta. De esta gráfica podemos obtener la magnitud de la velocidad, mediante el cálculo de la inclinación de la línea recta, o sea de su pendiente. La pendiente es una medida de la inclinación de la línea recta de la gráfica con respecto a la horizontal y se define como el cambio vertical o elevación dividido entre el cambio horizontal o avance entre dos puntos cualesquiera de la gráfica. De esta manera, entre los puntos D y E de la figura 4.23, la elevación es 20 – 15 = 5 m. El avance es 10 s – 7.5 s = 2.5 s. Usando estos dos puntos para determinar la pendiente, es igual a: pendiente =

elevación 5 m = = 2m s 2.5 s avance

Esto quiere decir que la magnitud de la velocidad de la botella es de 2 m/s.

Figura 4.23 Gráfica de la distancia–tiempo del movimiento de la botella.

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Como la gráfica es una línea recta, la pendiente es la misma a lo largo de ella. Si comparamos la magnitud de la velocidad de la botella con la pendiente, concluimos que la pendiente de la gráfica distancia-tiempo corresponde a la magnitud de la velocidad. Entre más inclinada sea la pendiente de una gráfica distancia-tiempo, mayor es la rapidez. En la figura 4.24 se muestra la gráfica distancia-tiempo para dos aviones. Uno viaja a 100 m/s, el otro lo hace a 200 m/s. La pendiente de la línea que representa al avión más rápido es más inclinada que la pendiente de la línea que representa al avión más lento. Avión

Figura 4.25 La gráfica rapidez-tiempo para la botella que se mueve con rapidez constante es paralela al eje del tiempo.

Avión

Figura 4.24 La pendiente del avión A, que es más rápido, es mayor que la del avión B, que es más lento.

Si ahora calculamos la magnitud de la velocidad (rapidez) para la botella, para cada par de posiciones obtendremos los valores que se presentan en la Tabla 4.4.

Tabla 4.4 Rapidez de la botella Posición

Distancia (m)

A B C D E F

0 5 10 15 20 25

Tiempo (s) 0 2.5 5 75 10.0 12.5

La gráfica rapidez-tiempo es útil porque el área entre la curva y el eje del tiempo representa la distancia recorrida por la botella (o cualquier otro móvil). Así, el área sombreada de la gráfica de la figura 4.25 es la distancia recorrida por el móvil a los 5 s. El área sombreada corresponde a la de un rectángulo y el área de un rectángulo se obtiene de multiplicar largo por ancho; en nuestro caso, el área será (2 m/s) ( 5 s), cuyo resultado es igual a la distancia recorrida de 10 m. El área sombreada bajo la línea horizontal de la gráfica de la figura 4.25, representa la distancia recorrida para un tiempo de 5 s. Podemos concluir que las gráficas distancia-tiempo y rapidez-tiempo son otra alternativa para describir el movimiento rectilíneo uniforme. Por último, podemos describir el movimiento de la botella sobre la banda transportadora mediante una ecuación (fórmula). Esta ecuación la podemos obtener de la ecuación de la pendiente de la gráfica distanciatiempo. De la definición de pendiente:

Rapidez (m/s) 2 2 2 2 2 2

Si se hace una gráfica de la magnitud de la velocidad (rapidez)-tiempo, obtendremos una línea recta paralela al eje horizontal, como se ilustra en la figura 4.25; esto se debe a que, para todo instante, la rapidez o magnitud de la velocidad se mantuvo constante.

Pendiente =

elevación avance

De la figura 4.23 podemos concluir que: 1. Elevación = d 2. Avance

Por tanto:

=t

3. Pendiente = v

v=

d o sea d = vt t

Esta ecuación es característica del movimiento rectilíneo uniforme cuando la velocidad es constante. Para nuestro ejemplo de la botella sobre la banda

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transportadora, como la magnitud de la velocidad es constante e igual a v = 2 m/s, la ecuación que representará dicho movimiento es:

t = 5 s, la distancia recorrida es: d =2

m (5 s) = 10 m s

d = 2t En esta ecuación, d se mide en metros y t en segundos. Con esta ecuación se puede describir el movimiento de la botella, ya que es posible calcular la distancia recorrida para cualquier instante. Así, para

Este valor coincide con el obtenido en la gráfica rapidez-tiempo para t = 5 s y el que aparece en la Tabla 4.3.

Problema ejemplo 4.5 Un autobús viajó a lo largo de una carretera recta; si su movimiento se representó por la gráfica que aparece en la figura 4.26: d (km)

Figura 4.26 Gráfica de la distancia recorrida–tiempo del autobús en una carretera recta.

t (h)

a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad media del autobús en la primera hora? Solución La solución se puede calcular si se conocen las coordenadas de los puntos A y B. Si éstas son A(t , d ) y B(t , d ). De acuerdo a los datos de la gráfica, A(0 h, 0 km) y B(1 h, 100 km). El valor de la velocidad (rapidez) se calcula por medio de la siguiente ecuación: 1

2

2

v=

distancia tiempo

En función de sus coordenadas por: v=

d–d t–t 2

2

1

1

Sustituyendo valores: v=

100 km – 0 km 1h– 0 h

v = 100 km/h

1

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b) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento del autobús durante las primeras cuatro horas? Solución El valor del desplazamiento se determina identificando las coordenadas de las posiciones inicial y final del autobús, es decir, las coordenadas de los puntos A y E en la gráfica: Posición inicial: A (0 h, 0 km) Posición final: E (4 h, 50 km) El valor del desplazamiento se obtiene de: Magnitud del desplazamiento = posición final – posición inicial = x – x0

Sustituyendo valores: dt = 50 km – 0 km dt = 50 km c) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad media del autobús durante el recorrido de cuatro horas? Solución La magnitud de la velocidad se puede calcular de: Magnitud del desplazamiento

Magnitud de la velocidad media =

Tiempo total

Puesto que se conocen los valores del desplazamiento total (dt) y el tiempo total (tt), el valor de la velocidad media (vm) es: vm =

50 km 4h

vm = 12.5 km/h d) ¿En qué intervalo el autobús permaneció en reposo? Solución De la gráfica se observa que después de una hora de iniciado el movimiento hasta la segunda hora, la posición del autobús permaneció a 100 km de su posición de partida. A partir de las coordenadas de los puntos B y C se comprueba que la magnitud de la velocidad del autobús es cero. Coordenadas de los puntos B y C: Posición inicial: B (1 h, 100 km) Posición final: C (2 h, 100 km) La rapidez entre estas posiciones se obtiene de: v =

d2 – d1 t2 – t1

Sustituyendo valores de las coordenadas de los puntos B y C: 100 km – 100 km v= 2 h–1 h v = 0 km/h

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e) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el autobús? Solución La distancia total recorrida por el autobús se obtiene calculando primero las longitudes recorridas en cada hora y sumando después dichas longitudes. Estas longitudes se obtienen de la gráfica y se concentraron en la Tabla 4.5.

Tabla 4.5 Longitud recorrida por el autobús En el intervalo de: (h)

La longitud recorrida es: (km)

0 a 1.0 1.0 a 2.0 2.0 a 3.0 3.0 a 4.0

100 0 100 150 Distancia total recorrida: 350 km

Con el fin de aclarar cómo se obtienen las longitudes en cada intervalo, consideremos el intervalo de 3.0 h a 4.0 h. Para esto, determinemos las ordenadas de los puntos D(50 km) y E(200 km) en la gráfica y efectuemos la diferencia entre éstas, es decir:

distancia recorrida de la tercera a la cuarta hora

=

ordenada de la posición final

–

ordenada de la posición inicial

d = 50 km – 200 km d = –150 km El signo menos indica que el autobús regresó en dicho intervalo de tiempo, o sea que se movió en sentido contrario al asignado como positivo. En la tabla se registró el valor positivo, puesto que se trata de la distancia recorrida. Por esta razón la distancia total recorrida no coincide con el valor del desplazamiento del autobús. f) ¿Cuál es el valor de la rapidez media del autobús durante todo el recorrido? Solución distancia total Puesto que la rapidez media se define como: Rapidez media = tiempo total Como la distancia total del recorrido es de 450 km y el tiempo total de 4 h, la rapidez media es: Rapidez media 450 km =

4h

Rapidez media = 112.5 km/h Dadas las características del movimiento del autobús, el valor de la rapidez media de éste no coincide con el valor de su velocidad media.

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a)

→

→

v0

v

→

a

b)

→

→

–v0

v

→

→ →

v = v – v0 →

a

→

v

→

→

a = v → t

Figura 4.27 a) Un auto aumenta su velocidad al ser acelerado. b) La aceleración a tiene la misma dirección y el r r r ∆v = .v – v0 mismo sentido que el cambio de velocidad

r

Aceleración En la vida cotidiana, la mayoría de los movimientos que observamos son bastante más complejos que el movimiento rectilíneo uniforme. Por ejemplo, si viajas en un autobús que se desplaza a lo largo de una carretera recta, podrás observar que conforme empieza a moverse, el velocímetro marca a cada instante un valor de velocidad (rapidez) mayor. Asimismo, conforme el autobús está a punto de llegar a su destino, el velocímetro marca en cada momento un valor de velocidad cada vez menor hasta llegar al reposo. En estas situaciones, nos interesa saber qué tan aprisa cambia la magnitud de la velocidad (rapidez). Si un conductor en otro autobús quisiera adelantar al autobús en donde viajas, durante el arranque tendría que aumentar el valor de su velocidad en el menor tiempo posible. En otras palabras, dicho autobús tendría que tener un mayor cambio del valor de velocidad en el mismo intervalo de tiempo que el de tu autobús. La razón de cambio de la velocidad recibe el nombre de aceleración. Ya que la aceleración, es una medida de qué tan aprisa cambia la velocidad de un cuerpo en un cierto tiempo. Matemáticamente la aceleración se expresa por: r r ∆v a= ∆t

donde:

r a = aceleración r ∆v = cambio de velocidad

t = intervalo de tiempo

El cambio de velocidad ∆v se define como la diferencia entre la velocidad final y la velocidad inicial del móvil. Es decir: r r r r r r v - v o v ∆ =∆ v ∆ ∆ =∆v -∆v 0

f

i

donde: r r ∆v =∆v = velocidad final r r ∆v =∆v = velocidad inicial f

i

0

Es importante señalar que la aceleración es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y el mismo sentido que el cambio de velocidad (Figura 4.27 b). La unidad de aceleración es una unidad de velocidad dividida por una unidad de tiempo. Por tanto, la unidad de aceleración es una unidad de longitud dividida entre una unidad de tiempo al cuadrado, o sea m/s en el Sistema Internacional. Cuando la trayectoria del móvil es una línea recta, la magnitud de la aceleración se puede calcular por: 2

a=

∆v ∆t

o por la siguiente ecuación: a=

v – v0 t – t0

donde: v = v – v t = t – t t = tiempo en que el móvil tiene un valor de velocidad v (o v ) 0

0

f

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t = tiempo en que el móvil tiene un valor de velocidad v (o v ) Si t = 0 s, la ecuación anterior se convierte en v – v0 a= t

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0

0

Problema ejemplo

i

0

De acuerdo con esto, para calcular la aceleración de un objeto hay que tomar la diferencia entre su velocidad final y su velocidad inicial, y dividir dicha diferencia entre el tiempo transcurrido. Por ejemplo, si una moto que se mueve a 20 m/s, aumenta su valor de velocidad a 25 m/s en 5 s, tendrá un valor de aceleración igual a: ∆v 25 m s – 20 m s 5 m s a= = = = 1 m s2 ∆t 5s 5s Este valor indica que la moto aumenta el valor de su velocidad en 1 m/s cada segundo. Si la moto que se mueve a 25 m/s disminuye su valor de velocidad a 15 m/s, en 5 s, tendrá un valor de aceleración igual a: ∆v 15 m s – 25 m s –10 m s a= = = = –2 m s 2 ∆t 5s 5s Este valor indica que la magnitud de la velocidad disminuyó a un ritmo de 2 m/s cada segundo. De acuerdo con estos resultados, el término aceleración se aplica tanto a qué tan aprisa aumenta o disminuye la velocidad en un cierto tiempo. Los frenos de un auto pueden producir una gran disminución por segundo del valor de la velocidad. A menudo a esto se le conoce como desaceleración o aceleración negativa. El término aceleración se aplica tanto a los cambios de valores de velocidad (rapidez) como a los cambios de dirección y sentido de la velocidad. Por ejemplo, si el autobús en el que viajas se encuentra con una curva y la recorre con una rapidez constante de 80 km/h, sentirás el efecto de la aceleración como una tendencia a inclinarte hacia el exterior de la curva. El autobús recorre la curva con rapidez constante, pero su velocidad no será constante porque su dirección está cambiando a cada instante (Figura 4.28). La aceleración será mayor entre más grande sea el cambio de dirección y entre menor sea el tiempo en que éste se produzca.

4.6 Un automóvil en una carretera recta acelera de 2.18 m/s a 16.66 m/s en 8.0 s ¿cuál es el valor de aceleración en dicho intervalo? Solución Datos v = 2.18 m/s 0

v = 16.66 m/s t – t = t = 8.0 s 0

De la definición de aceleración: v – v0 a= ∆t Sustituyendo valores:

a=

16.66 – 2.18 8

Resultado: a = 1.81 m/s

2

Figura 4.28 Cuando el autobús toma una curva, puede mantener el valor de su velocidad (rapidez) constante; sin embargo, la velocidad no será constante debido a que cambia de dirección a cada instante, es decir, el autobús está acelerado.

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Movimiento rectilíneo con aceleración constante Después del movimiento rectilíneo uniforme, el que le sigue en sencillez es el movimiento rectilíneo con aceleración constante. En este movimiento, la magnitud de la velocidad aumenta o disminuye en forma constante. Un ejemplo de este tipo de movimiento se presenta cuando un autobús inicia su movimiento a lo largo de una carretera recta partiendo del reposo (v = 0 m/s) e incrementa el valor de su velocidad uniformemente (Figura 4.29). Los valores que marca el velocímetro del autobús durante los primeros 8 segundos se presentan en la Tabla 4.6. El valor de la velocidad también se expresa en m/s.

a m s

2

a

t(s)

Figura 4.30 Gráfica aceleración-tiempo del autobús.

0

Descubre la física Si te preguntaran cuántos aceleradores tiene un auto, seguramente contestarías “sólo uno, el pedal de la gasolina”. Todos sabemos que a esta parte del automóvil se le conoce como acelerador; sin embargo es un hecho que en física el término aceleración se emplea para indicar un cambio en la velocidad en una unidad de tiempo. Por tanto, el pedal del freno también debería considerarse un acelerador, ya que al pisarlo el valor de la velocidad cambia (disminuye). El otro acelerador en el automóvil sería el volante de la dirección, el cual cambia la dirección de la velocidad.

Tabla 4.6 Velocidad del autobús. Tiempo (s) Velocidad

0

2.0

4.0

6.0

8.0

(km/h)

0

20.0

40.0

60.0

80.0

(m/s)

0

5.55

11.11 16.66

22.22

Al ser la aceleración del autobús constante, la gráfica de la aceleración con función del tiempo (gráfica aceleración-tiempo) es una línea recta horizontal que indica que la aceleración no cambia (Figura 4.30) Si se construye una gráfica velocidad-tiempo con los valores de la Tabla 4.6, se obtiene una de las gráficas características del movimiento rectilíneo con aceleración constante del autobús, la cual se muestra en la figura 4.31.

La gráfica de la figura 4.31 muestra que la velocidad no es constante, sino directamente proporcional al tiempo que transcurre, o sea que los cambios en la magnitud de la velocidad son los mismos para iguales intervalos de tiempo, por eso se obtiene una línea recta inclinada.

Figura 4.29 La velocidad del autobús se incrementa con el tiempo.

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Si calculamos la pendiente de esta gráfica, obtenemos la aceleración. Recordemos que: Pendiente =

elevación avance

Para la gráfica de la figura 4.31 la pendiente se obtiene de: Pendiente = ∆v ∆t Si se compara esta expresión con la definición de aceleración: ∆v a= ∆t

117

en función del tiempo se puede describir por medio de una tabla de valores o por una gráfica, pero también es posible describirla por medio de una ecuación. Para encontrar esta ecuación partimos de la definición de aceleración, es decir: r r ∆v a= ∆t o lo que es lo mismo, pero en forma escalar: v – v0 a= t – t0 Si consideramos que la magnitud de la velocidad es v0 cuando t0 = 0 s, la ecuación anterior se convierte en: v – v0 a= t o lo que es lo mismo: v = v + at 0

Figura 4.31 Gráfica de la velocidad-tiempo del autobús.

Podemos concluir que en una gráfica de velocidadtiempo, la pendiente de la curva en cada punto es igual a la magnitud de la aceleración del movimiento. Hemos visto que en este movimiento, su velocidad

Esta expresión permite conocer la magnitud de la velocidad para cualquier instante de un móvil cuando se conocen sus valores de la aceleración y la velocidad inicial. Como en el caso de la figura 4.31 v0 = 0m/s y a = 2.77m/s, entonces la ecuación anterior se convierte en v = 2.77t . Ecuación que permite conocer la velocidad del autobus en cualquier instante.

¿Cómo podemos calcular la distancia que recorre el

Problemas ejemplo 4.7 Un auto de carreras partió del reposo con una aceleración de 6 m/s , ¿cuál será la magnitud de su velocidad (rapidez) después de 10 s? El auto se mueve a lo largo de una carretera recta. 2

Solución Datos v = 0 (reposo) a = 6 m/s t = 10 s v=? 0

2

Puesto que se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, se empleará la siguiente ecuación: v = v0 + at Sustituyendo valores: v = 0 + 6 m/s (10 s) v = 60 m/s 2

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4.8 En la siguiente figura se muestra la gráfica velocidad-tiempo de una atleta, ¿cuál es el valor de su aceleración? v (m/s)

Figura 4.32 Gráfica velocidad-tiempo de una atleta durante los primeros cinco segundos de la carrera.

t (s)

Solución Para determinar la magnitud de la aceleración, seleccionamos dos puntos de la gráfica, por ejemplo los puntos A y B cuyas coordenadas son A(2 s, 4 m/s) y B(4 s, 8 m/s) y determinamos la pendiente de la gráfica, es decir: Pendiente =

∆v v – v 0 = ∆t t – t 0

Pendiente pendiente =

8m s– 4m s = 2 m s2 4s–2s

Sustituyendo valores:

Como en este tipo de gráfica la pendiente de la recta es igual a la magnitud de la aceleración, la velocista corre con una aceleración de 2 m/s durante los primeros cinco segundos. 2

autobús en movimiento si sólo disponemos de los valores de la Tabla 4.6? Para responder a esta pregunta tendríamos que recordar que en el movimiento rectilíneo uniforme, el área bajo la gráfica velocidad-tiempo proporciona la distancia recorrida para un cuerpo que se mueve a velocidad constante. Como esto también es válido para la gráfica velocidad-tiempo de un cuerpo que tiene un movimiento rectilíneo con aceleración constante, entonces la respuesta a la pregunta sería la siguiente: • Primero, hacer la gráfica de velocidad-tiempo con los datos de la tabla 4.6. En este caso en particular corresponde a la gráfica de la figura 4.31. • Segundo, calcular el área bajo la curva de la gráfica velocidad-tiempo. En este ejemplo se determinará el área de un trián-

gulo (Figura 4.33). Como sabemos, dicha área es igual a la base por la altura dividida entre dos, es decir: Área =

( base )( altura) 2

En el caso de la gráfica de la figura 4.33, será: Área =

t (v ) 2

Si v = at, ya que v = 0 m/s para t = 0 s, entonces: 0

Área =

0

t ( at ) 2

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Área =

at 2 2

Como el área es igual al valor de la distancia recorrida, se tiene: at d= 2

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Tabla 4.7 Distancia recorrida por el autobús Tiempo (s)

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

Distancia (m)

0.0

5.54

22.16

49.86

88.64

2

d(m)

Descubre la física La dificultad que experimentan muchos alumnos para diferenciar entre velocidad y aceleración tiene su origen en: 1) No saber diferenciar entre velocidad y variación de la velocidad. 2) No tener en cuenta que la aceleración depende de la variación de velocidad y del intervalo de tiempo en el que se ha producido esa variación, pues los alumnos consideran únicamente la variación de velocidad.

t(s) Figura 4.34 En una gráfica distancia-tiempo, para un movimiento rectilíneo con aceleración constante, la línea obtenida al unir los puntos es una curva llamada parábola. Éste es el caso para el movimiento del autobús.

Si el autobús (o cualquier otro móvil) hubiera tenido un valor de velocidad inicial diferente de cero (v0 = 2 m/s) en el tiempo t0 = 0 s y una aceleración constante (por ejemplo, 2.77 m/s ), la gráfica de velocidad-tiempo sería como la que se muestra en la figura 4.35. 2

Figura 4.33 El área bajo la curva corresponde a la de un triángulo y es igual a la distancia recorrida.

Esta ecuación permite conocer, para cualquier instante, la distancia recorrida por un móvil que parta del reposo y tenga un movimiento rectilíneo con aceleración constante. Con esta ecuación calculamos las distancias recorridas por el autobús durante los primeros ocho segundos, las cuales se presentan en la Tabla 4.7. Si se grafican los datos de la Tabla 4.7 obtendremos la gráfica distancia-tiempo característica del movimiento del autobús, o sea la de un móvil con un movimiento rectilíneo uniforme con aceleración constante que parte del reposo (Figura 4.34).

v(m/s)

v0

t(s) Figura 4.35 Gráfica de velocidad-tiempo para un móvil (autobús) que tiene una velocidad inicial v para un tiempo t0 y 0

una aceleración constante.

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La distancia recorrida por este nuevo autobús (o cualquier otro móvil) se puede determinar calculando el área bajo la curva de su gráfica velocidad-tiempo que ilustra en la figura 4.35. De esta figura se observa que el área total es igual a la suma del área de un triángulo más el área de un rectángulo, es decir: distancia = recorrida

Es decir: d = v0t +

(base altura) 2

a=

∆v t

y sustituirlo en la ecuación anterior, se obtiene la siguiente ecuación: d = v 0 t + 1 at 2

De la gráfica de la figura 4.35 se obtiene: distancia recorrida = t (v 0 ) +

2

Al despejar v de la definición de aceleración:

área del área del rectángulo + triángulo

distancia recorrida = (largo ancho)

t ( ∆v )

2

Esta expresión nos permite conocer la distancia recorrida por un móvil en cualquier instante, cuando se conocen los valores de la velocidad inicial y su aceleración.

t ( ∆v ) 2

Problema ejemplo 4.9 Calcula la distancia recorrida por el autobús durante los primeros ocho segundos. La gráfica velocidad-tiempo se muestra en la figura 4.35. Solución De la observación de la gráfica se obtienen los siguientes datos: v0 = 2 m/s, v = 24.2 m/s y t = 8 s. Para determinar la distancia recorrida durante los primeros ocho segundos, se emplea la siguiente ecuación: 1 d = v 0t + at 2 2 Para poder sustituir todos los valores de las variables del segundo miembro de la ecuación hay que determinar la aceleración por: v – v0 a= t es decir: a=

24.2 m s – 2 m s = 2.775 m s 2 8s

Por tanto, la distancia recorrida por el autobús, al sustituir todos los valores en la ecuacion correpondiente, es:

d =2

m ( 8s ) + s

m⎞ 1⎛ 2 ⎜⎝ 2.775 2 ⎟⎠ ( 8s ) s 2

d = 16 m + 88.8 m d = 104.8 m

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Así como el autobús del problema anterior, existen otros cuerpos con movimiento rectilíneo con aceleración constante, en los cuales se conocen sus velocidades en cualquier instante, y de los que se desea conocer la distancia recorrida o la posición en cualquier instante. Para deducir una expresión matemática que permita calcular la distancia recorrida en función de la rapidez y el tiempo para los cuerpos acelerados, partimos de las siguientes ecuaciones: 1 d = v 0t + at 2 2 a=

v – v0 t

Sustituyendo la magnitud de la aceleración en función de las magnitudes de las velocidades en la primer ecuación se obtiene: 1 (v – v 0 ) 2 t d = v 0t + 2 t

1 1 d = v 0t + vt – v 0t 2 2 Reordenando y simplificando obtenemos otra de las ecuaciones fundamentales del movimiento rectilíneo con aceleración constante: v + v0 d= t 2

( )

El problema ejemplo anterior se pudo haber resuelto de manera más rápida empleando esta última ecuación. Verificaremos esta afirmación sustituyendo los datos del problema en la siguiente ecuación, es decir: d=

( )

d=

(

v + v0 t 2 24.2m/s + 2m/s 2s

)( ) 8s

d = 104.8 m Como se puede observar, es la misma distancia que la obtenida mediante la otra solución. La magnitud de la velocidad media (vm) de un cuerpo con movimiento rectilíneo con aceleración constante se obtiene de: Distancia total Tiempo total

Velocidad media =

v =

Es decir:

m

d t

t

t

Despejando d se obtiene: t

d =vt t

m t

Se compara esta ecuación con: d=

( )

v + v0 t 2

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podemos concluir que: v+v v= 2 0

m

pues, se consideró que d = d y t = t t

t

O sea, que la magnitud de la velocidad media depende de los valores de las velocidades inicial y final del intervalo de tiempo considerado. Esto quiere decir que en un movimiento rectilíneo con aceleración constante, la velocidad media no es constante, es diferente para cada intervalo de tiempo (o distancia recorrida). También existen situaciones en las que se necesita conocer el valor de la velocidad de un cuerpo en movimiento a una cierta distancia (d) en particular. Para obtener la expresión matemática que permita conocer el valor de la velocidad en función de la distancia recorrida, se debe eliminar el tiempo de las anteriores ecuaciones cinemáticas. Para hacer esto, partamos de la ecuación que relaciona la magnitud del desplazamiento o distancia recorrida con las velocidades inicial y final y de la ecuación que permite conocer la velocidad en cualquier instante en función de la aceleración, es decir: ⎛ v + v0 ⎞ d =⎜ t ⎝ 2 ⎟⎠

y

v = v 0 + at

Reordenando y eliminando t se obtiene: ⎛ v + v0 ⎞ ⎛ v − v0 ⎞ d =⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ a ⎟⎠

d=

v 2 − v02 2a

Despejando v2 se obtiene otra de las ecuaciones fundamentales del movimiento rectilíneo con aceleración constante, es decir: v2 = v02 + 2ad Esta ecuación se emplea para determinar el valor de la velocidad v de un cuerpo en movimiento en función de su distancia recorrida, cuando se conoce su aceleración y la velocidad inicial.

Problema ejemplo 4.10 Un camión viaja sobre una carretera recta a 22.5 m/s (81 km/h) y frena con una aceleración constante de 2.27 m/s . ¿Cuánto viaja antes de detenerse? Solución Se trata de un movimiento rectilíneo con aceleración constante en el que la magnitud de la velocidad inicial (v = 22.5 m/s) disminuye hasta que la velocidad del camión llega a tener un valor igual a cero (v = 0 m/s). Cuando la magnitud de la velocidad disminuye, se le asocia un signo menos a la magnitud de la aceleración (a = –2.27 m/s ). La ecuación que se emplea para calcular la distancia recorrida (o magnitud del desplazamiento) es: 2

0

2

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Descubre la física

v = v0 + 2ad 2

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2

Sustituyendo valores: 0 = (22.5) – 2(2.27)d 2(2.27)d = (22.5) 2

2

( 22.5) d= 2 ( 2.27 ) 2

Resultado: d = 111.5 m

La altura que pueden alcanzar los animales en un salto vertical se puede determinar aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado. Los animales saltan doblando sus piernas y extendiéndolas rápidamente. La distancia de aceleración es en general algo más corta que las piernas del animal. Para los seres humanos esta distancia es aproximadamente de 0.5 metros, para la rana de 0.09 metros y para la pulga 0.0008 metros, alcanzando alturas verticales de 1.0, 0.30 y 0.1 metros, respectivamente. Las aceleraciones de despegue de cada uno de estos seres m son 19.6 m/s2, 32.6 m2/s y 1225 s , respectivamente. ¿No es sorprendente? 2

En resumen, las siguientes ecuaciones son las que se pueden usar en la solución de problemas que impliquen un movimiento rectilíneo uniforme con aceleración constante: v = v0 + at d = v t + 1 at 2

2

0

v2 = v02 + 2ad d=

v=

v+v 2

m

v+v 2

0

t

0

Estas ecuaciones pueden ser utilizadas independientemente de que la aceleración tenga un signo positivo o negativo. Si la aceleración varía con el tiempo, técnicas más avanzadas deberán ser usadas para determinar la velocidad y la posición del cuerpo en movimiento.

Caída libre El ejemplo más común del movimiento rectilíneo con aceleración constante corresponde al de caída libre. Un cuerpo en caída libre se define como un cuerpo que se mueve verticalmente a partir del reposo bajo la ac-

ción de la gravedad en un lugar en donde la resistencia del aire es despreciable. Este tipo de movimiento nos es familiar, pues lo hemos observado cuando una moneda se deja caer al piso o cuando una fruta madura se cae del árbol, pero, ¿cómo sabemos que la caída libre de un cuerpo es un movimiento rectilíneo con aceleración constante? En la antigüedad, la caída libre de los cuerpos era un tema de interés. Aristóteles y sus seguidores afirmaban que los objetos caían debido a que su lugar natural era el piso y que hacían todo lo posible por llegar a él. También sostenían que los cuerpos más pesados deberían llegar antes al piso que los cuerpos ligeros, cuando se soltaban simultáneamente desde la misma altura. Durante muchas décadas estas ideas prevalecieron. Siglos más tarde, Galileo Galilei explicó correctamente y en forma matemática la caída libre de los cuerpos. Él fue el primero en proponer que todos los cuerpos, grandes o pequeños, ligeros o pesados, en ausencia de fricción (debida a la resistencia del aire), caen en la Tierra con la misma aceleración y con la misma velocidad cuando son soltados de la misma altura. Galileo identificó a la caída libre de los cuerpos como un movimiento rectilíneo vertical con aceleración constante, por lo que todos los cuerpos en ausencia de aire caerán al mismo tiempo si se sueltan desde la misma altura. A esta aceleración se le conoce como aceleración de la gravedad y se le representa por la letra g. Su magnitud al nivel del mar es de 9.8 m/s , su dirección es vertical con sentido hacia abajo. El valor de g en la Tierra varía según la altitud y la región en donde se mida, como se muestra en la Tabla 4.8. 2

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En 1971, el astronauta David Scott soltó simultáneamente desde la misma altura una pluma y un martillo en la Luna y observó que los dos cuerpos llegaban al mismo tiempo a la superficie lunar. Hay que señalar que en la Luna no hay atmósfera y por lo tanto, tampoco resistencia en la caída de los cuerpos (Figura 4.36).

La gráfica del desplazamiento (o distancia recorrida) contra el tiempo del balín de la figura 4.37 es una parábola, como se ilustra en la figura 4.38. Esta gráfica es característica de un movimiento rectilíneo con aceleración constante. Puesto que en este caso la velocidad aumentó a cada instante, se dice que el movimiento es uniformemente acelerado. Si se efectúa el cociente d/t para cada uno de los valores que aparecen en la figura 4.37 y se registran en la Tabla 4.9, se observa que dicho cociente es constante e igual a 4.9 m/s , es decir: 2

Tabla 4.8 Aceleración de la gravedad

2

Lugar París Ecuador Polo Norte Monte Blanco San Francisco Ciudad de México

Valor de g (m/s ) 2

9.81 9.78 9.83 9.79 9.79 9.78

Figura 4.36 Los objetos que se dejan caer en la Luna desde la misma altura caen con la misma velocidad y al mismo tiempo.

Hoy en día, para estudiar la caída libre de los cuerpos se recurre a la fotografía estroboscópica (Figura 4.37), la cual consiste en tomar la exposición de un suceso iluminado con una lámpara (estroboscopio) que emite luz a intervalos regulares de tiempo y de muy corta duración. En la figura 4.37 se observa que los desplazamientos de un balín en caída libre aumentan conforme el tiempo pasa. En este caso las imágenes del balín fueron tomadas cada segundo.

d = 4.9 t2 o lo que es lo mismo: d = 4.9t

2

Figura 4.37 La caída libre de un balín es tomada mediante una fotografía estroboscópica. Las posiciones corresponden a los primeros cinco segundos de caída del balín.

Tabla 4.9 Relación entre d y t en la caída libre t (s)

d (m)

d/t2 (m/s2)

1 2 3 4 5

4.9 19.6 44.1 78.4 122.5

4.9 4.9 4.9 4.9 4.9

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v0=0 m/s

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v=9.8 m/s

v1=9.8 m/s v=9.8 m/s

v2=19.6 m/s v=9.8 m/s

t (s)

v3=29.4 m/s

Figura 4.38 Gráfica del dezplazamiento (o distancia recorrida) contra el tiempo de la caida libre del balín en ausencia de fricción.

Si se compara esta expresión con la ecuación característica de la gráfica distancia-tiempo de la figura 4.38, se encuentra que la aceleración de la caída libre del balín es de 9.8 m/s . Es decir: 2

Para el movimiento de caída libre del balín

Para un movimiento rectilíneo con aceleración constante

1 d = at 2 2

d = 4.9t2

Figura 4.39 El balín incrementa su velocidad 9.8 m/s cada segundo.

Las mismas ecuaciones encontradas para describir el movimiento rectilíneo de un cuerpo con aceleración constante sirven para describir el movimiento de caída libre de un cuerpo, con las diferencias de que en este caso la aceleración se representa por g y que la velocidad inicial es cero. Para que puedas identificar sus semejanzas y diferencias, observa la Tabla 4.10.

1 4.9 = a 2

Tabla 4.10 Ecuaciones del movimiento rectilíneo con aceleración constante y de la caída libre

Por lo tanto: a = 9.8 m/s

2

Puesto que esta aceleración se representa por g, se tiene entonces que: g = 9.8 m/s . 2

Esto quiere decir que la ecuación que relaciona la distancia que recorre un cuerpo en caída libre con el tiempo que emplea en recorrerlo está dada por:

Ecuaciones del movimiento rectilíneo con aceleración constante

Ecuaciones de la caída libre

1 d = v 0t + at 2 2 v = v + at

1 d = gt 2 2 v = gt

v = v + 2ad

v = 2gd

0

2

d=

1 d = gt 2 2 El que la aceleración sea 9.8 m/s , significa que el cuerpo en caída libre incrementa el valor de su velocidad 9.8 m/s cada segundo, como se muestra en la figura 4.39. 2

2 0

( )

vm =

v + v0 2

v + v0 2

2

t

d=

vt 2

vm =

v 2

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a) y

b) y

Problema ejemplo

(+)

4.11 Una persona se cae de una tabla que cruza por encima de un arroyo y golpea el agua 1.2 s después. ¿Cuál es la altura de la tabla sobre el arroyo? Solución Como se trata de una caída libre, la ecuación que relaciona la distancia recorrida con el tiempo es la siguiente: 1 d = gt 2 2

Considerando que g = 9.8 m/s y que el tiempo es 1.2 s, la altura de la tabla se obtiene de: 2

(

–d

–g –v

Figura 4.40 a) En este sistema de referencia los desplazamientos, velocidades y aceleraciones son positivos cuando su sentido es hacia abajo. b) Otros autores consideran que los desplazamientos, velocidades y aceleraciones son negativos cuando su sentido es hacia abajo. Esto se debe al sistema de referencia empleado.

)

2 1 9.8 m s 2 (1.2 s ) 2 d = 7.05 m

d=

x

x

La altura de la tabla con respecto al arroyo es igual a la distancia recorrida por la persona que cae desde la tabla hasta tocar el agua del arroyo.

Es importante señalar que, en este libro, cuando se trate de problemas de caída libre, se tomará como positivo el sentido del movimiento cuando el cuerpo se mueve hacia abajo; o sea, que las velocidades y desplazamientos serán también positivos. Otros autores les asignan signos negativos. Recuerda que esto es convencional (Figura 4.40). Asimismo, vale la pena señalar que muchos autores en lugar de emplear la letra d para representar la distancia recorrida emplean la letra y, es decir, que la ecuación que relaciona la magnitud del desplazamiento vertical recorrido con el tiempo empleado en recorrerlo se convierte en: 1 y = gt 2 2 Este criterio es empleado más adelante cuando se estudia el movimiento parabólico de un cuerpo.

Problema ejemplo 4.12 Un ladrillo cae desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad con que se impacta contra el piso? b) ¿Cuánto tiempo tarda en caer? Solución a) Como se trata de una caída libre, la ecuación que permite conocer la velocidad en función del desplazamiento es: v = 2dg 2

Sustituyendo valores: v = 2(9.8)(50) v = 31.3 m/s b) Para determinar el tiempo que tarda en caer el ladrillo se emplea la siguiente ecuación: 1 d = gt 2 2


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50 =

1 (9.8)t 2 2

Despejando t: t=

2 ( 50 ) 9.8

t = 3.19 s Es importante señalar que los cuerpos cerca de la superficie terrestre están sometidos a la fuerza de fricción del aire; por esta razón, cuando son arrojados desde grandes alturas (como las gotas de lluvia) no incrementan su velocidad indefinidamente, sino que alcanzan una velocidad constante llamada velocidad terminal (o rapidez terminal).

Tiro vertical Otro movimiento rectilíneo con aceleración constante es el del tiro vertical. El tiro vertical es un movimiento vertical ascendente, sometido a la aceleración de la gravedad, en el cual el objeto alcanza su altura máxima cuando la magnitud de su velocidad es cero (Figura 4.41).

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describir este movimiento se acostumbra seleccionar el origen del sistema de referencia en el punto donde es arrojado o lanzado el cuerpo. Asimismo,r se asigna un r signo positivo a las magnitudes ( v y d ) que tengan un sentido hacia arriba y un signo negativo a las magnitudes que tengan un sentido hacia abajo, o sea, la aceleración tendrá asociado un signo negativo. De acuerdo con esto, las ecuaciones de un tiro vertical son las mismas que la de un movimiento rectilíneo con aceleración constante, pero en lugar de aparecer a aparece –g. Esto se muestra en la Tabla 4.11.

Tabla 4.11 Ecuaciones del movimiento rectilíneo con aceleración constante y del tiro vertical Ecuaciones del movimiento rectilíneo con aceleración constante

Tiro vertical

1 d = v 0t + at 2 2

1 d = v 0t – gt 2 2

v = v + at

v = v0 – gt

v = v + 2ad

v = v – 2gd

⎛ v + v0 ⎞ d =⎜ t ⎝ 2 ⎟⎠

⎛ v + v0 ⎞ d =⎜ t ⎝ 2 ⎟⎠

0

2

2

2 0

vm =

v + v0 2

2 0

vm =

v + v0 2

Problema ejemplo

Figura 4.41 En el tiro vertical la altura máxima se alcanza cuando v = 0.

En este movimiento de ascenso, los desplazamientos y velocidades son de sentidos contrarios a la aceleración de la gravedad. En este movimiento la velocidad disminuye conforme asciende el cuerpo. Por esta situación se dice que el tiro vertical es un movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. Un ejemplo de tiro vertical es el movimiento de una pelota que es arrojada verticalmente hacia arriba. Para

4.13 Una pelota es arrojada verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 10 m/s. a) ¿Cuál es la máxima altura que alcanzará? b) ¿Cuánto tiempo emplea en alcanzar dicha altura? Solución a) Como se trata de un tiro vertical, la ecuación que se emplea para determinar la altura máxima en función de la velocidad inicial es: v = v0 - 2gd Recuerda que v = 0 en el caso de la altura máxima y que v0 = 10 m/s. Sustituyendo estos valores se obtiene: 2

2

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0 = 10 – 2(9.8)d 2(9.8)d = 10 2

2

d=

100 19.6

d = 5.10 m

Es importante señalar que en ausencia de fricción se ha comprobado lo siguiente: • La magnitud de la velocidad del cuerpo durante el descenso es igual a la magnitud de la velocidad para el ascenso, como se muestra en la figura 4.42. • El tiempo que tarda en ascender el cuerpo es igual al tiempo que tarda en descender.

Este valor es la altura máxima. b) Para determinar el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima en función de la velocidad inicial se emplea la siguiente ecuación: v = v – gt 0

Sustituyendo valores: 0 = 10 – (9.8)t 9.8t = 10

t= Resultado:

10 9.8

t = 1.02 s

Cuando arrojamos un objeto verticalmente hacia arriba, tarde o temprano regresa. En este caso, el movimiento de ascenso es un tiro vertical y el de descenso es una caída libre. Para analizar la combinación de estos movimientos se recomienda asignar un signo negativo a la aceleración y al punto de disparo del cuerpo el origen del sistema de referencia.

Figura 4.42 La magnitud de la velocidad durante el ascenso es diferente en cada punto, pero de igual valor a la magnitud de la velocidad durante el descenso en cada punto de la trayectoria.

Problema ejemplo 4.14 Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con un valor de velocidad inicial de 10 m/s. a) ¿Cuánto tiempo tarda en regresar al punto donde fue lanzada? b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la pelota cuando regresa a la posición de lanzamiento? Solución y (+) a) Se hace un esquema de esta situación en el que se asocia un sistema de coordenadas, de manera que su origen coincida con el punto de lanzamiento de la pelota (Figura 4.43).

–g Figura 4.43 Cuando la pelota regresa a la posición de donde fue arrojada, se dice que el desplazamiento es cero.

Desplazamiento igual a cero

v

0

v

x (+)

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Puesto que en esta situación el desplazamiento es cero, la ecuación que se utiliza para determinar el tiempo que tarda en regresar la pelota es la siguiente: 1 d = v 0t − gt 2 2


1 0 = 10t − 9.8t 2 2

Reordenando tenemos: 1 9.8t 2 = 10t 2 4.9t = 10

t=

10 4.9

t = 2.04 s b) Para determinar la magnitud de la velocidad de regreso de la pelota se puede emplear la siguiente ecuación: v = v – gt 0

Sustituyendo valores: v = 10 – 9.8(2.04) v = –10 m/s Como se observa, tiene el mismo valor que la velocidad inicial, pero de sentido contrario; el signo negativo indica esta situación.

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Glosario En esta sección se presentan los principales términos y conceptos que aparecen en el capítulo. El estudio de este glosario te permitirá enfrentar con más recursos cualquier evaluación sobre movimiento. Aceleración. Magnitud que expresa la rapidez de la variación de la velocidad de un objeto con relación r a la unidad de tiempo. Se representa con la letra a. Aceleración constante. Se dice que un móvil lleva aceleración constante si su velocidad cambia siempre de la misma manera, es decir, que en tiempos iguales el cambio de la velocidad es el mismo. Aceleración de la gravedad. Aceleración a la que está sometido un cuerpo que cae bajo la acción de la fuerza de gravedad (o en general de la gravedad de cualquier cuerpo celeste). Aceleración media. Es el cambio de velocidad instantánea, dividido entre el tiempo necesario para que ocurra dicho cambio. Aceleración negativa. Es aquella que tiene una dirección opuesta a la velocidad (considerada positiva) o en la dirección del eje negativo de un sistema de coordenadas. Caída libre. Movimiento de un cuerpo sometido únicamente a la fuerza de gravedad. Cinemática. Parte de la mecánica que estudia los distintos tipos de movimientos de los cuerpos, sin tener en cuenta las causas que los producen o modifican. Circunferencia. Línea curva cerrada y plana que limita al círculo, cuyos puntos son equidistantes del centro de éste. Desplazamiento. Magnitud física que representa el cambio de posición de un cuerpo en movimiento. Se representa por un vector. Distancia. Longitud del camino recorrido por un móvil. Duración. Intervalo temporal, es decir, magnitud que corresponde al intervalo comprendido entre dos instantes. Longitud. Es una de las magnitudes fundamentales. Con ella se miden distancias e indirectamente áreas y volúmenes, es decir, la extensión de los cuerpos. Movimiento. Cambio de posición de un cuerpo con respecto a otro, al transcurrir el tiempo. Movimiento rectilíneo. Este movimiento se presenta cuando la trayectoria del móvil es una línea recta. Movimiento rectilíneo uniforme. En este movimiento el móvil además de desplazarse en línea recta, su velocidad es constante. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Es un movimiento en línea recta en el que la aceleración

es constante. Partícula. Término que, genéricamente, es sinónimo de corpúsculo. También se dice que una partícula es un cuerpo que tiene masa, pero cuyas dimensiones son tan pequeñas que matemáticamente se le trata como un punto. Rapidez media. Se define como la distancia total recorrida por el móvil entre el tiempo empleado en recorrerla. Rapidez terminal. Rapidez en la cual la aceleración de un objeto que cae se vuelve cero porque la fricción equilibra el peso. Sistema de referencia. Desde el punto de vista matemático se individualiza por un sistema de coordenadas que permite determinar el estado de un sistema (coordenadas espaciales y temporales). Desde el punto de vista físico corresponde a un observador. Sistema de referencia inercial. Sistema de referencia sobre el que no actúa fuerza alguna; se encuentra en reposo con respecto a la Tierra o se mueve a velocidad constante. Sistema de referencia no inercial. Sistema de referencia acelerado. Tiro vertical. Movimiento vertical ascendente en el cual el móvil parte con una velocidad inicial v0 y cuya aceleración es la de la gravedad. Trayectoria. Curva descrita por un cuerpo en su movimiento. Velocidad. Magnitud física que expresa la variación de la posición de un cuerpo en movimiento en la unidad de tiempo. Se representa por un vector. Velocidad de la luz. Máxima velocidad alcanzable. Es igual a 3 108 m/s. Velocidad instantánea. Cuando el intervalo temporal en que se mide la velocidad media se aproxima a cero, la velocidad media es igual a la velocidad instantánea del cuerpo en ese momento. Velocidad media. Cociente que resulta de dividir el desplazamiento total recorrido por el tiempo invertido en recorrerlo. Velocidad relativa. Tratándose de un cuerpo en movimiento y otro inmóvil, o de los dos en movimiento, es la velocidad con que se acercan o separan uno del otro.

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Movimiento

es estudiado por la

de un cuerpo se describe por su

se puede clasificar en función de su

trayectoria en

aceleración en

se divide en

estática

uniformemente variado

dinámica

como

tiempo

como

caída libre tiro vertical

circular

Conceptos clave 3 Mecánica 3 Cinemática 3 Rectilíneo

3 Curvilíneo 3 Parabólico 3 Uniforme

3 Trayectoria 3 Desplazamiento 3 Velocidad

3 Aceleración

2. Localiza los conceptos más importantes de este capítulo que estén relacionados con los movimientos que analizamos en este capítulo. Elabora un mapa conceptual que los relacione según el tipo de movimiento y muéstralo a tu profesor.

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Evaluación formativa I. Subraya la palabra correcta de las que se encuentran entre paréntesis en los siguientes enunciados: 1 La (dinámica/cinemática) es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin atender las causas que los producen. 2 (El desplazamiento/La distancia) es una magnitud física que puede representarse por un vector. 3 La (velocidad/rapidez) se puede representar por un vector. 4 Cuando se habla de (velocidad/distancia) se deberá indicar su dirección. 5 La (aceleración/rapidez) se mide en m/s2 en el SI. 6 La (trayectoria/distancia) es la curva descrita por el cuerpo durante su movimiento. 7 La magnitud de la velocidad media es (cero/constante) en un movimiento rectilíneo uniforme. 8 En el movimiento rectilíneo uniforme, el móvil recorre distancias (iguales/diferentes) para iguales intervalos de tiempo. 9 En un movimiento rectilíneo uniforme, el desplazamiento y la velocidad tienen (igual/diferente) dirección y sentido. 10 Un cuerpo que recorre 8 m en 2 s en una trayectoria recta tiene una rapidez constante de (16 m/s/4 m/s). 11 En un movimiento rectilíneo uniformemente variado, la aceleración es (cero/constante). 12 En un movimiento rectilíneo uniformemente variado, la aceleración tiene un sentido (igual/diferente) al del vector que representa al cambio de velocidad del móvil. 13 En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado los cambios de velocidad son (iguales/ diferentes) para iguales intervalos de tiempo. 14 En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la velocidad media es (diferente/igual) a la velocidad instantánea a cada momento. 15 La caída libre es un movimiento rectilíneo uniformemente (desacelerado/acelerado). II. En los paréntesis escribe una F si el enunciado es falso y una V si es verdadero. 1 ( ) La gráfica de posición-tiempo para un objeto que se mueve a una velocidad constante es una línea recta que puede pasar por el origen.

2 ( ) La pendiente de una gráfica de posicióntiempo es igual a la magnitud de la aceleración del objeto. 3 ( ) Si la gráfica de velocidad-tiempo es paralela al eje del tiempo, la aceleración es cero. 4 ( ) Una pendiente negativa en una gráfica distancia-tiempo indica que un objeto se mueve en un sentido opuesto al sentido considerado como positivo. 5 ( ) Cuando se lanza un objeto hacia arriba, la aceleración que actúa durante el ascenso es diferente a la aceleración del descenso del objeto. 6 ( ) La magnitud de la velocidad con que se arroja un cuerpo es igual a la magnitud de la velocidad con que regresa dicho cuerpo. 7 ( ) Cuando un objeto es arrojado hacia arriba, la velocidad en el punto más alto es cero. 8 ( ) Cuando un objeto es arrojado hacia arriba, su aceleración es cero en el punto más alto. III. Marca con una cruz la respuesta correcta a cada pregunta. 1 Observa la siguiente gráfica distancia-tiempo de dos autos con diferentes velocidades.

a) ¿Cuál tiene mayor velocidad? ( ) El auto A ( ) El auto B b) ¿Cuánto vale la velocidad del auto A? ( ) 6 m/s ( ) 4 m/s ( ) 2 m/s c) ¿Cuánto vale la velocidad de auto B? ( ) 4 m/s ( ) 2 m/s ( ) 8 m/s

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2 Observa la gráfica rapidez-tiempo que se muestra a continuación:

a) ¿Con qué velocidad viaja el tren? ( ) 25 km/h ( ) 0 km/h ( ) 50 km/h b) ¿Qué distancia recorrió durante 1 h? ( ) 50 km ( ) 25 km ( ) 1 km c) ¿Cuál es la velocidad a las 3 h? ( ) 50 km/h ( ) 25 km/h (

) 0 km/h

3 Un auto se movió a lo largo de una carretera recta. Su gráfica posición contra tiempo se muestra a continuación:

133

4 La gráfica de velocidad-tiempo de un ciclista que se mueve en un camino recto se presenta a continuación:

a) ¿Cuál es su aceleración a los 2 s? ( ) 4 m/s ( ) 1 m/s ( ) 2 m/s b) ¿Cuál es el valor de su velocidad a los 4 s? ( ) 4 m/s ( ) 2 m/s ( ) 8 m/s c) ¿Cuál es el valor de su velocidad a los 0 s? ( ) 0 m/s ( ) 2 m/s ( ) 1 m/s d) ¿Cuál es el valor de su aceleración a los 4 s? ( ) 0 m/s ( ) 1 m/s ( ) 2 m/s 2

2

2

2

2

2

IV. Escribe la definición de los siguientes conceptos. 1 Movimiento

2 Distancia

3 Trayectoria

4 Rapidez a) ¿En qué intervalo permaneció en reposo? ( )A ( )B ( )C ( )D b) ¿En qué intervalo la magnitud de su rapidez es mayor? ( )A ( )B ( )C ( )D

5 Velocidad

6 Aceleración

c) ¿Cuál es el valor de su desplazamiento total? ( ) 20 km ( ) 100 km ( ) 80 km ( ) 7 km d) ¿En qué intervalo su velocidad es negativa? ( )A ( )B ( )C ( )D

7 Partícula

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V. Escribe la diferencia entre cada par de conceptos.

r r 2 ¿En qué tipo de movimientos rectilíneos, a y v tienen igual dirección?

1 Desplazamiento y distancia

2 Rapidez y velocidad

3 Aceleración y velocidad

3 ¿Permanece la aceleración constante en la caída libre? Explica.

4 ¿En qué casos la magnitud de la velocidad medida por diferentes observadores es constante? Explica.

4 Velocidad media y velocidad instantánea 5 ¿Por qué los peritos de tránsito deben saber cinemática? VI. Responde en forma breve a las siguientes preguntas. 1 Si un cuerpo se mueve sobre una recta, recorriendo un metro cada segundo, ¿se puede asegurar que se trata de un movimiento rectilíneo uniforme? Explica.

2 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba, ¿durante el ascenso su aceleración disminuye? y ¿su rapidez?

Problemas 1. Una niña camina hacia el oeste en línea recta 10 km, posteriormente 20 km en la misma dirección y sentido. a) ¿Cuál es la distancia total recorrida? b) ¿Cuánto vale la magnitud de su desplazamiento total? 2. Un camión que se desplaza a lo largo de un camino recto se encuentra a las 8:00 h a 10 km de una estación y a las 9:00 h a 90 km de dicha estación. ¿Cuál es el valor de la distancia recorrida? 3. Un individuo camina 8 km hacia el norte y en seguida, 6 km hacia el este.

a) ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento? b) ¿Cuál es el valor de la distancia recorrida? 4. Un piloto desea volar a velocidad constante en línea recta. Si pretende volar 2000 km en 4 horas, ¿cuál es el valor de la velocidad media en km/h? 5. Una bala sale de un rifle con una rapidez de 720 m/s. ¿Cuánto tiempo le tomará a la bala impactar un blanco que se encuentra a 3240 m de distancia? Considera que la bala viaja en línea recta con rapidez constante.

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6. Alejandro camina 250 m en línea recta durante 5 minutos y regresa por el mismo camino a su punto de partida en 7 minutos. a) ¿Cuál es la distancia total recorrida? b) ¿Cuál es su rapidez media en m/s? c) ¿Cuánto vale su desplazamiento total? d) ¿Cuánto vale la velocidad media de Alejandro? 7. Un automóvil que viaja a 60 km/h a lo largo de un camino recto acelera a 80 km/h en 5 s. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración en m/s ?

135

c) ¿Cuál es su posición en t = 6 s? d) ¿Cuál es su posición final?

t (s)

Figura 4.44 Gráfica distancia-tiempo del niño.

2

8. Un corredor incrementa su velocidad (∆v) 10 m/s en 4 s, ¿cuál es el valor de su aceleración? 9. Si la rapidez del sonido en el agua es de 1450 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 200 m en el fondo de un lago? 10.Un atleta recorre los 100 m en 10 s, y otro atleta corre el maratón (41.195 km) en 2 horas 36 minutos. a) ¿Cuáles son las magnitudes de sus velocidades medias? b) Si el maratonista corriera los 100 m con la rapidez media con que corre el maratón, ¿cuánto tiempo emplearía? 11. Un atleta corre 400 m a 10 m/s y luego corre 600 m a 8 m/s a lo largo de una pista recta. ¿Cuál es la magnitud de su velocidad media de todo el recorrido? 12.Un automóvil sube una pendiente con un valor de velocidad constante de 65 km/h y retorna cuesta abajo a su misma posición con un valor de velocidad de 80 km/h. Calcula la magnitud de la velocidad media del viaje redondo. 13.Un automovilista quiere recorrer 120 km en 2 horas. Si su valor de velocidad media durante la primera hora y media es de 70 km/h, ¿qué valor de velocidad media habrá de mantener durante el resto del tiempo? 14.Un niño se movió a lo largo de una recta. Su gráfica distancia-tiempo aparece en la figura 4.44. a) ¿Cuál es su posición inicial? b) ¿En qué intervalo de tiempo no se mueve?

15.Un atleta después de su entrenamiento graficó la distancia recorrida en función del tiempo. La gráfica obtenida se presenta en la figura 4.45. a) ¿Qué distancia recorrió durante los primeros diez minutos? b) ¿Con qué rapidez se movió el atleta durante los primeros 10 minutos? c) ¿En qué intervalo su rapidez fue de 200 m/min? d) ¿En qué intervalo permaneció en reposo?

Figura 4.45 Gráfica distancia-tiempo del atleta.

16.Un atleta corre durante 20 min en una carretera recta. La gráfica de su velocidad contra el tiempo se muestra en la figura 4.46. a) ¿Qué distancia recorrió los primeros 10 min, b) ¿Qué distancia recorrió durante 20 min? c) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad media durante los 20 min? d) ¿Cuál es el valor de la velocidad media a los 10 min?

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Figura 4.46 Gráfica velocidad-tiempo del atleta durante la carrera.

17.Un auto para pasar a otro aumenta su velocidad de 4 m/s a 16 m/s en un tiempo de 2 segundos. ¿Cuál es su aceleración en m/s2? Considera que la aceleración es constante. 18.Un trineo que parte del reposo resbala hacia abajo por una colina con aceleración uniforme. En los primeros cuatro segundos recorre 16 m. ¿Cuánto vale su aceleración? 19.La velocidad de un avión al momento de aterrizar es de 200 km/h y debe desacelerarse hasta llegar al reposo en una longitud de 2 km. Calcula la desaceleración en km/h suponiendo que ésta es uniforme.

23.Un automóvil que se mueve con aceleración constante cubre la distancia entre dos puntos que distan entre sí 60 m en 4 s. Su velocidad cuando pasa por el segundo punto es de 15 m/s. a) ¿Cuál es el valor de su velocidad en el primer punto? b) ¿Cuál es el valor de su aceleración? 24.Una pelota se deja caer desde la azotea de un edificio. Si tarda 4 s en caer, ¿cuál es la altura del edificio? 25.Una cubeta se deja caer en un pozo. Si tarda en caer 1.0 s. a) ¿Cuál es la profundidad del pozo? b) ¿Con qué velocidad se impactará en el fondo? 26.Desde lo alto de una torre de 40 m se deja caer un objeto. a) ¿Con qué velocidad se impactará en el piso? b) ¿Cuánto tiempo tardará en caer dicho objeto?

2

20.En una carretera seca, un automóvil puede frenar con una aceleración de 5 m/s . a) ¿Qué tanto le toma al automóvil que viajaba inicialmente a 60 km/h, llegar al reposo? 2

27.Un tren tiene una gráfica velocidad-tiempo como la que se ilustra en la figura 4.47. a) ¿Cuál es su aceleración? b) ¿Qué distancia recorrerá en los primeros 20 s? c) ¿Qué distancia recorrerá en los primeros 40 s?

b) ¿Qué tan lejos viajó en ese tiempo? c) ¿Qué distancia hubiera recorrido si el valor de su velocidad inicial fuera de 120 km/h? 21.Un auto a partir del reposo acelera uniformemente con una aceleración de 10 m/s . a) ¿Qué tan lejos viaja en 20 s? b) ¿Cuál es la rapidez del auto en ese tiempo? 2

22.Una bala que viaja con una rapidez de 30 m/s choca contra el tronco de un árbol y lo penetra a una profundidad de 6.0 cm antes de detenerse. Considerando una desaceleración constante, ¿cuánto tiempo después de haber chocado con el árbol se detuvo?

Figura 4.47 Gráfica velocidad-tiempo del tren.

28.Dos autos que tienen aceleración constante tienen gráficas de velocidad-tiempo como las que se ilustran en la figura 4.48.

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a) ¿Cuál de los dos autos tiene mayor aceleración? Justifica tu respuesta. b) ¿Cuál de los dos autos tiene mayor velocidad a las 2 h de iniciado el movimiento? Justifica tu respuesta .

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33.Una pulga salta verticalmente hasta 0.1 m. a) ¿Con qué valor de velocidad vertical despega? b) ¿En cuánto tiempo alcanza esta altura? 34.a) ¿Con qué velocidad se debe lanzar verticalmente una pelota para que alcance una altura de 10 m? b) ¿Para qué alcance una altura de 50 m? 35.Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 15 m/s. ¿Qué altura habrá alcanzado una vez que haya reducido a la mitad su velocidad inicial? 36.Un proyectil antiaéreo se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad de 200 m/s. a) Calcular la altura máxima que alcanzará.

Figura 4.48 Gráficas velocidad-tiempo de los autos A y B.

29.Un estudiante está parado en la orilla del techo de un edificio de 100 m de altura. Si deja caer una piedra: a) ¿Qué distancia habrá recorrido en el primer segundo? b) ¿Qué distancia habrá recorrido durante los tres primeros segundos de su caída? c) ¿Qué distancia recorrió la piedra entre el primer y el tercer segundo? 30.Se deja caer libremente desde el reposo una pelota de una ventana que se encuentra a 8 m de la banqueta. a) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 0.5 s? b) ¿Qué velocidad tendrá en ese instante? c) ¿Qué tiempo tardará en tocar la banqueta? 31.a) ¿Desde qué altura se deja caer el agua para golpear una pala de una turbina con una velocidad vertical de 30 m/s? b) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer la mitad de la altura desde la cual se dejó caer? 32.Un chico lanza hacia arriba un balón con una velocidad inicial de 10 m/s. a) ¿A qué altura llegará el balón? b) ¿Cuánto tardará en alcanzar la altura máxima?

b) ¿Cuánto tardará en regresar si falla, a partir de que fue disparado? 37.Un muchacho lanza hacia arriba un balón con una velocidad inicial de 12.0 m/s. a) ¿A qué altura llegará el balón? b) ¿Con qué valor de velocidad regresará el balón al muchacho? 38.Un auto que parte del reposo se desplaza en línea recta con una aceleración de 20 m/s durante los primeros dos segundos, después viaja a velocidad uniforme (constante) los siguientes dos segundos. Calcula la distancia recorrida por el auto durante los cuatro segundos. 39.Un auto se mueve con velocidad constante de 20 m/s y la mantiene durante 20 s. Se le aplica una aceleración y aumenta su velocidad a 40 m/s, recorriendo durante el cambio de velocidad una distancia de 200 m. a) ¿Cuál es la distancia total recorrida? b) ¿Cuál es el tiempo empleado en el recorrido total? 40.Un joven en la azotea de un edificio de 30 m de altura deja caer una piedra sobre un auto que va pasando por el edificio a una velocidad constante de 3 m/s. a) ¿A qué distancia detrás del auto cae la piedra al suelo? b) ¿Cuánto tiempo antes tendría que dejar caer la piedra para que ésta golpee al auto? 2

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Formulario Subtema Distancia

Fórmulas

Notas

En función de sus posiciones inicial y final (trayectoria recta). d=s=x–x

d = s = distancia recorrida x = posición inicial x = posición final 0

0

Desplazamiento

En función de los vectores de posición.

r r = vector que indica la posición inicial del móvil r r = vector que indica la posición final del móvil r d = r = desplazamiento 0

r r r r d = r = r - r

0

Si el movimiento es a lo largo del eje x.

x = coordenada que indica la posición inicial del móvil 0

x = coordenada que indica la posición final del móvil d = magnitud del desplazamiento Cuando la trayectoria es recta, la magnitud del desplazamiento llega a ser igual a la distancia recorrida.

La magnitud de d es: d=x–x

0

Rapidez

Definición:

Esta magnitud determina qué tan rápido se está moviendo el cuerpo. Rapidez =

distancia tiempo

xt = dt = distancia total recorrida por el móvil

Rapidez media: rm =

∆x t tt

tt = tiempo total o intervalo de tiempo empleado en el recorrido de la distancia

También se puede expresar como:

vm = v =

dt tt

rm = vm = v = rapidez media

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Subtema

Fórmulas

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Notas

En función de sus posiciones:

x = x = posición final x = x = posición inicial t = tiempo inicial t = tiempo final f

x – x0 x – xi o rm = f rm = t – ti t – t0 Rapidez instantánea: Es la rapidez que tiene un objeto en un instante.

Velocidad

Velocidad =

desplazamiento tiempo

i

0

0

Es la rapidez que registra el velocímetro de un automóvil.

Esta medida determina qué tan rápido cambia de posición un móvil.

r vm = velocidad media

Velocidad media: r dt r vm = r tt

r dt = desplazamiento total

También se puede expresar por:

r r ∆d v= ∆t

t = tt = tiempo total o intervalo de tiempo empleado en el recorrido.

En forma escalar: vm =

dt tt r

Velocidad instantánea: r

r ∆d v = lím ∆t→0

∆t

A lo largo del eje x (escalar):

v = lím

∆t→0

Aceleración

La magnitud de la velocidad instantánea en un punto es igual a la rapidez instantánea en el mismo punto.

∆x ∆t

Definición:

Aceleración =

Cuando el intervalo temporal ( ∆v t) en que se mide la velocidad media se aproxima a cero, la velocidad media es igual a la velocidad instantánea en ese momento.

cambio de velocidad tiempo

Aceleración media: r r ∆v a= r ∆t

La aceleración se presenta ya sea que cambie la magnitud, la dirección o ambas características de la velocidad.

r ∆v

= cambio de velocidad

t = intervalo de tiempo r a = aceleración

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Subtema

Fórmulas

Notas r v0 = velocidad inicial

o lo que es lo mismo: r r r v – v0 a= t – t0

t = tiempo inicial 0

t = tiempo final o tiempo en el que el móvil tiene una velocidad v.

Si t = 0, entonces: 0

r r r v – v0 a= t

r a = aceleración media

r Si v0 = 0, entonces:

r r v a= t

En forma escalar:

Cuando la aceleración es constante, la aceleración es la misma en cualquier instante.

v – v0 a= t – t0

Si t = 0 s 0

a=

Movimiento rectilíneo uniforme

v – v0 t

Ecuación del movimiento: r r d v= t

En función de las magnitudes: v=

d t

En función de las posiciones inicial y final: v=

x – x0 t – t0

ya que:

r v = velocidad r d = desplazamiento r t = tiempo

En este movimiento el cuerpo recorre distancias iguales en tiempos iguales. Es decir, su velocidad es constante.

En este caso, la magnitud del desplazamiento y de la velocidad son iguales a la distancia y rapidez del móvil respectivamente.

x = posición inicial del móvil x = posición final del móvil 0

d=x–x

0

Movimiento rectilíneo con aceleración constante (uniformemente variado)

Ecuaciones del movimiento: v = v + at 0

v = magnitud de la velocidad final v = magnitud de la velocidad inicial 0

a = magnitud de la aceleración t = tiempo

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Subtema

Fórmulas

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Notas

1 2 d = v 0t + at at 2

d = magnitud del desplazamiento

2

v = magnitud de la velocidad media m

v = v 2 + 2ad 2

0

⎛ v + v0 ⎞ d =⎜ t ⎝ 2 ⎟⎠

vm =

En este movimiento, el móvil experimenta cambios iguales de velocidad para intervalos iguales de tiempo, es decir, su aceleración es constante.

v + v0 2

Caída libre

La caída libre es un ejemplo del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Se emplean las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado con a = g (o –g según el sistema de referencia empleado).

Tiro vertical

En este movimiento la aceleración y la velocidad tienen la misma dirección y el mismo sentido.

El tiro vertical es un ejemplo del movimiento rectilíneo uniformemente retardado o desacelerado.

En este movimiento la aceleración y la velocidad cuando el cuerpo asciende tienen la misma dirección, pero sentidos contrarios.

Se emplean las ecuaciones del movimiento rectilíneo con aceleración constante con a = –g.

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Pasatiempos Problemas sobre la aceleración Resuelve los siguientes problemas y registra los valores numéricos de los resultados en el crucigrama. A cada casilla le corresponde un dígito. Si las soluciones son correctas las operaciones indicadas en el crucigrama se deberán cumplir.

1. Un coche experimenta un cambio de velocidad de 40 m/s en 4 s. ¿Cuál es su aceleración? 2. Un corredor que parte del reposo con una aceleración de 4 m/s , ¿en qué tiempo alcanza un valor de velocidad de 8 m/s? 3. Si un cohete experimentó un cambio de velocidad de 60 m/s en 3 s, ¿cuál fue su aceleración? 4. Alejandro acelera uniformemente su automóvil a razón de 2 m/s durante 10 s. Si la velocidad inicial del automóvil es de 10 m/s, ¿cuál será su velocidad final? 5. El auto de carreras de Brenda acelera uniformemente a 4 m/s durante 10 s. Si la magnitud de su velocidad inicial es de 20 m/s, ¿cuál será el valor de su velocidad final? 2

2

2

6. Una nave espacial es acelerada uniformemente a 6 m/s durante 6 s. Si la magnitud de su velocidad inicial es de 54 m/s, ¿cuál será el valor de su velocidad final? 7. Sandra aceleró uniformemente su auto con una aceleración de 4 m/s . Si alcanzó un valor de velocidad final de 60 m/s en 10 s, ¿con qué valor de velocidad partió? 8. El tren expreso de Tokio acelera uniformemente desde el reposo a 1 m/s , ¿en qué tiempo alcanzará una rapidez de 9 m/s? 9. Durante una emergencia, un conductor acelera uniformemente su automóvil a 0.5 m/s . Si partió del reposo, ¿en cuánto tiempo alcanzará una rapidez de 14.5 m/s? 2

2

2

2

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Pasatiempos Problemas de caída libre Resuelve los siguientes problemas y registra los resultados numéricos en el crucigrama. A cada casilla le corresponde un dígito. Si las soluciones son correctas las operaciones indicadas en el crucigrama se deberán cumplir. Considera que la magnitud de g es 10 m/s . 2

1. Calcula el tiempo que tarda en caer una manzana que llega al piso con una velocidad de 100 m/s. 2. Una piedra tarda 100 s en caer. Calcula la velocidad con la que llega al piso. 3. Calcula la magnitud de la velocidad media de una piedra que se deja caer desde un acantilado y llega al fondo con una velocidad de 2020 m/s. 4. ¿Qué tiempo tarda en caer un objeto que se suelta desde una altura de 125 m? 5. Una canica tarda en caer 0.4 s. ¿Con qué valor de velocidad llega al suelo? 6. ¿Qué distancia recorre un móvil en 2 s cuando se le suelta de un edificio de 100 m de altura? 7. Una torre tiene una altura de 245 m. ¿Qué tiempo tarda en caer un objeto que se suelta desde su punto más alto?

8. Un costal se deja caer desde un globo. ¿Qué tiempo tarda en recorrer 2000 m? 9. Un cuerpo se suelta desde una altura de 180 m. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? 10.¿Con qué velocidad llega al suelo una pelota que tarda 18.1 s en caer (se le suelta del reposo)? 11.Una bomba que se deja caer desde un helicóptero llega al suelo con una rapidez de 1870 m/s. ¿Qué tiempo tardó en caer? 12.Calcula la magnitud de la velocidad media de una pelota que llega al suelo con una rapidez de 40 m/s. (Se deja caer verticalmente.)

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Actividad Desplazamiento y distancia En esta actividad diferenciarás el desplazamiento de la distancia.

¿Qué necesitas? • Gis • Tres ladrillos o cualquier otro objeto • Cinta métrica • Catorce metros de hilo cáñamo • Brújula

3. Con otro hilo une los “puntos de partida y de llegada”, auxíliate con los ladrillos. Este hilo materializa la dirección y longitud del desplazamiento. Mide la longitud de este hilo. El valor obtenido representa la magnitud del desplazamiento. En este caso la magnitud del desplazamiento es igual a:_______ _________________________________________

¿Qué debes hacer? 1. Marca en el centro del patio una cruz y la leyenda “punto de partida”. En seguida camina tres metros hacia el este. Al llegar a este punto, recorre cuatro metros hacia el norte. En esta posición marca otra cruz y la leyenda “punto de llegada”. 2. Con el hilo y los tres ladrillos auxíliate para materializar la trayectoria seguida como se ilustra en la figura 4.49. La longitud de la trayectoria recorrida se conoce como distancia. En este caso la distancia recorrida tiene una longitud de: _______________ _________________________________________

Figura 4.49 La trayectoria recorrida se materializa con el hilo.

Discusión y conclusiones 1. ¿El desplazamiento entre dos puntos depende de la trayectoria seguida?

2. ¿La distancia recorrida por un móvil depende de su trayectoria?

3. ¿En qué condiciones la magnitud del desplazamiento coincide con la longitud recorrida por un móvil?

4. Escribe tus conclusiones sobre esta actividad.

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Actividad Rapidez media

¿Qué debes hacer?

En esta actividad obtendrás la rapidez media con que corren tus compañeros.

¿Qué necesitas? • Cronómetro o reloj • Cinta métrica • Gis

1. En el patio de la escuela, o en un parque, mide una longitud de 50 m sobre un tramo recto. 2. Marca el inicio y la meta sobre el piso. 3. Pide a uno de tus compañeros que corra dicha longitud y toma el tiempo que tarda en hacerlo. 4. Solicita lo mismo a otros cuatro compañeros. Registra los datos en la tabla que se muestra a continuación. 5. Calcula el cociente distancia recorrida/tiempo empleado para cada uno de ellos y registra el valor obtenido en la tabla.

Tabla 4.12 Rapidez de mis compañeros Nombre de mis compañeros (m)

Distancia recorrida

Tiempo empleado en el recorrido (s)

Distancia recorrida tiempo empleado (m/s)

Discusión y conclusiones 1. ¿Qué representa el cociente distancia recorrida/tiempo empleado? ¿Qué nombre recibe dicho cociente?

2. ¿Quién es más lento?

3. ¿Quién es el más rápido?

4. ¿Qué tipo de movimiento describieron al correr? Expresa su rapidez en km/h y compárala con los valores de la Tabla 4.1.

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Actividad Movimiento rectilíneo con aceleración constante En esta actividad evidenciarás que la velocidad de un objeto en un plano inclinado va aumentando conforme va descendiendo.

extremo de ésta sobre los dos libros, como se muestra en la figura 4.50. 2. Suelta el balín desde su posición en reposo en la parte superior, para que ruede rápidamente hasta abajo, produciendo un golpe audible cuando pasa por cada trozo de cinta. Disminuye la pendiente de la regla y repite el procedimiento anterior. ¿Qué detectaste?

¿Qué necesitas? • Un balín • Cinta adhesiva • Una regla acanalada • Un canal de una longitud mínima de 32 cm o una regla acanalada de 40 cm • Dos libros

¿Qué debes hacer? 1. Pega la mitad del ancho de la cinta adhesiva a los 2 cm, 8 cm, 18 cm y 32 cm de la regla, y coloca un

Figura 4.50 El tiempo de recorrido en cada tramo es el mismo.

Discusión y conclusiones 1. ¿Los golpes están espaciados uniformemente? ¿Existe alguna diferencia si la regla tiene una pendiente pronunciada o no?

2. ¿Los golpes son igualmente espaciados? ¿Por qué?

3. Si la distancia que recorre el balín entre cada tramo de la regla aumenta, ¿el tiempo que se emplea en el recorrido también aumenta? ¿Cambia la rapidez del balín durante su descenso sobre la regla?

4. Si no se varía la inclinación de la regla, ¿la aceleración del balín permanecerá constante durante el recorrido sobre la regla? ¿Por qué?

5. Escribe tus conclusiones.

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Actividad Caída libre En esta actividad comprobarás que los cuerpos tardan el mismo tiempo en caer cuando se disminuye la resistencia del aire durante su caída.

¿Qué necesitas? • Dos hojas de papel del mismo tamaño • Una pelota • Una canica

2. Ahora arruga una de los hojas para formar una pequeña bola de papel. Déjala caer simultáneamente, desde la misma altura, junto con la otra hoja. Observa y registra lo que sucedió. ¿A qué crees que se debe la diferencia? 3. Finalmente, toma la hoja arrugada y la canica, déjalas caer de la misma altura y al mismo tiempo. Observa lo que sucede. Repite la misma experiencia, pero ahora, en lugar de la canica, utiliza la pelota. Registra lo que observas. ¿Influyó la masa de cada objeto en el tiempo de caída?

¿Qué debes hacer? 1. Toma una de las hojas y déjala caer, primero, junto con la canica y, después, junto con la pelota. En ambas ocasiones, déjalas caer simultáneamente desde la misma altura. Observa y registra lo que sucede. ¿Influye la masa de los cuerpos?

Discusión y conclusiones 1. ¿Llegan al suelo al mismo tiempo la pelota, la canica y la hoja de papel cuando se dejan caer simultáneamente desde la misma altura?

2. ¿Por qué tarda más tiempo en caer la hoja extendida que una hoja hecha bola?

3. Escribe tus conclusiones.

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¿Te habías imaginado que… Relación entre la cinemática y el tránsito en una carretera Seguramente has observado que en las carreteras los autos viajan más rápido cuando hay poco tránsito, pero viajan más lentamente cuando se incrementa. ¿Por qué se presenta este comportamiento en las carreteras y principales avenidas de las ciudades? Para responder a esta pregunta tenemos que aplicar la física, en particular las ecuaciones del movimiento con aceleración constante. Para simplificar la respuesta a esta pregunta, supondremos que la carretera tiene una longitud de 4290 m y que la máxima velocidad con que pueden viajar los autos en ella es de 100 km/h. Asimismo, consideremos que los autos tienen una longitud promedio de 4 m y una aceleración de frenado de -8 m/s . Esta es mayor que la que tienen en la actualidad el promedio de los autos. Como la seguridad de los automovilistas es un elemento que se debe considerar, conviene saber cuántos autos pueden circular de manera segura por la carretera de 4290 m. Además de la longitud del auto, se debe determinar la distancia más pequeña que requiere para frenar cuando viaja inicialmente a 100 km/h (27.77 m/s). Esta distancia se determina por medio de la siguiente ecuación.

Antes de aplicar los frenos, el auto se mueve durante algunos segundos a la velocidad de 100 km/h debido al tiempo de reacción de la persona. Considerando el tiempo promedio de reacción (t ) de los conductores (pilotos) es de aproximadamente 0.5 s, más del doble que tenemos los individuos comunes. La distancia (d ) que recorre el auto debido al tiempo de reacción del conductor, antes de que se apliquen los frenos, se calcula mediante la siguiente ecuación: R

R

v0 =

dR tR

2

v = v + 2ad 2

Se considera un movimiento rectilíneo uniforme, pues durante este tiempo el auto se mueve con una rapidez constante. Sustituyendo valores: d 27.7 = R 27.77 0.5 d = 13.88 m R

La distancia total (d ) necesaria para que cada auto pueda viajar y frenar de manera segura en la carretera es igual a: t

2

0

Puesto que el auto frena, la magnitud de v es cero y la aceleración negativa, entonces la distancia de frenado (d ) se obtiene por:

dt =

F

0 = v – 2ad

longitud distancia recorrida distancia recorrida del auto + durante el tiempo + al aplicar los frenos de reacción

2

0

dF =

F

dt = dA + dR + dF Para nuestro caso:

v 02 2a

dt = 4m + 13.8m + 48.2m dt = 66.0 m

Sustituyendo valores: dF =

( 27.77 m s )2

(

2 8m s

2

)

dF = 48.2 m

Esta longitud corresponde a la distancia mínima segura que debe existir entre dos autos consecutivos, en una carretera segura (Figura 4.51). Puesto que un auto necesita de una distancia segura dt para detenerse, n autos necesitarán de una longitud nd . Si comparamos esta longitud con la longitud de la carretera (L) podemos concluir que n autos pueden T

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dA

dR →

dA

dF

dR

v0

v0

dt

d = 33 m

dF →

dt

Figura 4.51 La distancia dt es la distancia que debe existir entre dos autos en movimiento para evitar que choquen, si es que el que se encuentra adelante se frena.

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t

Es decir, la longitud que debe existir entre dos autos consecutivos es de 33 m. Para determinar el valor de la velocidad a que deben viajar los 130 autos de manera segura se debe emplear la siguiente ecuación: d =d +d +d t

A

R

F

Como d = 33 m y d = 4 m, entonces: t

viajar de manera segura en la carretera cuando se cumple la siguiente ecuación: nd = L

A

33 = 4 + dR + d

F

y puesto que d = v t y d = v0 /2a, entonces: 2

R

0 R

F

T

v 02 29 = v 0t R – 2a

Es decir: n=

L dT

Si a = –8 m/s y tR = 0.5 s: 2

29 = 0.5 v0 +

Sustituyendo los valores:

n=

4290 66.0

n = 65 autos El número máximo de autos que pueden viajar de manera segura a 100 km/h en una carretera de 4290 m es 65. Pueden viajar menos autos y la carretera será segura, siempre y cuando los conductores mantengan una distancia mínima de 66.0 m entre los vehículos. Si el número de autos se duplica en la carretera y mantienen una rapidez constante de 100 km/h, el riesgo de que se produzca una colisión es muy grande si uno de ellos se ve obligado a frenar bruscamente, ya que la distancia entre ellos es menos de 66 m. Esta situación ha provocado la colisión de una gran cantidad de autos en las carreteras. Para que los 130 autos pueda viajar de manera segura en la carretera de 4290 m, éstos deben viajar a una menor velocidad. Para determinar el valor de esta velocidad emplearemos la siguiente ecuación: L n= d t

Sólo que en esta ocasión n = 130 autos. Por lo tanto: d= t

4290 130

v02 16

v0 + 8v0 – 464 = 0 2

Esta ecuación puede ser resuelta por: v0 =

–8 ± 64 + 4 ( 464 ) 2

v = 17.90 m/s v = 64.47 km/h. 0 0

Los 130 autos para poder viajar de manera segura en la carretera de 4290 m deben hacerlo a 64.4 km/h. En otras palabras, al aumentar el número de autos por una carretera o avenida, éstos deben disminuir su velocidad si quieren que su viaje sea seguro. Esto explica lo que se observa en las carreteras cuando se incrementa el número de autos que circulan por ellas y da respuesta a la pregunta que se planteó inicialmente en esta sección. Por cierto, si el número de autos fuera de 300 en la carretera, ¿cuál sería su rapidez si quieren viajar de manera segura? Si se considera el tiempo de reacción de 0.18s y la aceleración de frenado de 6.8 m/s , ¿Cúal es la distancia mínima que requiere un auto a 100 km/h para frenar? 2

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Galileo Galilei Galileo Galilei (1564-1642) fue un astrónomo y físico italiano originario de la ciudad de Pisa. Sus padres deseaban que fuera médico porque era una ocupación lucrativa. Sin embargo, en contra de sus deseos, inició los estudios de medicina en la universidad, pero como los detestaba acabó por abandonarlos completamente. Contrariamente, se pasaba todo el tiempo estudiando con entusiasmo la física de Aristóteles y de Arquímedes. Galileo fue un científico que no se conformaba con observar; medía todo y observaba los objetos para buscar alguna relación matemática que describiera el fenómeno con simplicidad y generalidad. En 1586 publicó un libro que contenía el proyecto de fabricación de una balanza hidrostática que había inventado. Esto fue lo primero que le abrió camino a la fama entre el mundo de los sabios.

Al estudiar el comportamiento de los cuerpos en caída libre, demostró que la aceleración de caída no era proporcional al peso del cuerpo, como lo afirmaba Aristóteles. Él conjeturó que todos los cuerpos deberían caer con la misma velocidad cuando se dejan caer desde la misma altura. Sus experimentos revolucionaron la física aristotélica. Mediante un telescopio construido por él mismo descubrió que la Luna tenía montañas, que Júpiter tenía a su alrededor varios satélites girando, así como las fases de Venus. Sus descubrimientos y teorías fueron publicados en Diálogo sobre los dos mayores sistemas del mundo y Sidereus Nuncios (“Mensajero sideral”). Galileo descubrió las leyes de caída libre de los cuerpos y las leyes del péndulo; además de ser el creador de la dinámica y establecer las bases del método científico.

Creatividad en la física Movimiento Elabora un periódico mural sobre el movimiento en una dimensión Bajo la supervisión de tu profesor, organiza un equipo de trabajo para que juntos elaboren un periódico mural sobre el movimiento en una dimensión. Los del equipo deberán realizar investigaciones documentales y de campo sobre: 3 3 3 3 3 3

Qué es el movimiento Características de los principales movimientos rectilíneos Velocidades máximas y aceleraciones de los automóviles Rapidez máxima de algunos peces, aves y mamíferos Cuál es la máxima velocidad que se puede alcanzar en el Universo Con qué velocidad caen las gotas de lluvia

Los mejores periódicos murales, por ser los más completos, creativos, interesantes y mejor ilustrados serán seleccionados para ocupar uno de los muros del salón de clases o bien, ser exhibidos en algún lugar de la escuela, bajo previa autorización de profesores y directivos.

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Capítulo

5 Movimiento en dos dimensiones Objetivo Objetivo Al término de este capítulo los estudiantes podrán resolver problemas prácticos a partir del análisis funcional y la descripción de las características del movimiento en dos dimensiones.

Introducción

Introducción

Cuando vemos un partido de fútbol, observamos que el balón al ser pateado no siempre se mueve sobre el piso, sino que se eleva a través del aire cayendo en un punto distante de donde fue golpeado, es decir, el balón describe una curva en un plano perpendicular al piso como se muestra en la figura 5.1. Pero, ¿de qué depende la altura que alcanza el balón?, ¿qué tan lejos puede viajar antes de tocar el piso? Estas preguntas se responderán cuando estudiemos el movimiento parabólico.

Figura 5.1 El balón después de haber sido pateado se mueve a lo largo de un plano describiendo una curva llamada parábola.

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Figura 5.3 La trayectoria de una pelota lanzada con una velocidad inicial horizontal es una parábola.

Figura 5.2 Las trayectorias circulares de los puntos en el disco compacto durante el movimiento se encuentran en el mismo plano.

Por otra parte, al colocar un disco compacto en un reproductor portátil y hacerlo funcionar, observamos que el disco gira alrededor de un eje, de manera que cualquier marca en el disco se mueve en una trayectoria circular. Asimismo, una segunda letra o marca sobre el disco se moverá también en una trayectoria circular, pero ambas trayectorias estarán en el mismo plano como se muestra en la figura 5.2. ¿Qué punto del disco se mueve más rápido? ¿de qué depende este cambio de velocidad? ¿son periódicos los movimientos circulares? ¿qué tipo de movimiento realizan las llantas del automóvil? Estas preguntas se responderán a partir del movimiento circular. En este capítulo revisaremos las principales características de los movimientos parabólico y circular.

Tiro horizontal El movimiento de una pelota lanzada horizontalmente desde una altura h y con una velocidad inicial v y el de un paquete con víveres que se deja caer desde un avión en pleno vuelo son ejemplos del movimiento conocido como tiro horizontal. La trayectoria descrita por estos objetos es la de una parábola. Por esta razón, estos movimientos se conocen con el nombre de movimientos parabólicos (figura 5.3). En estas condiciones, la pelota y el paquete con víveres reciben el nombre de proyectiles. Entendiéndose por proyectil cualquier cuerpo u objeto que arrojado 0

mediante un impulso continúa en movimiento en virtud de su inercia y de la aceleración de la gravedad. En este movimiento, la aceleración es constante y perpendicular a la dirección de la velocidad inicial. Para el caso de objetos que son arrojados cerca de la superficie terrestre, la aceleración a la que están sometidos es la aceleración de la gravedad. Para describir el movimiento de un objeto en un tiro horizontal, se necesita conocer su posición, velocidad y aceleración en todo momento a lo largo de la trayectoria. →

v0

→

v1

→

g

→

g=

→

→

g

→

v2

g

Figura 5.4 La aceleración y la velocidad del cuerpo en el tiro horizontal no tienen la misma dirección.

Para esto, asociemos primeramente un sistema de coordenadas cartesianas, de manera que su origen coincida con la posición inicial del objeto cuando es arrojado horizontalmente como se muestra en la figura 5.5 Una vez que se ha asociado el sistema de coordenadas cartesianas, consideremos que dos observadores desde distintas posiciones muy alejadas del movimiento, como se muestra en la figura 5.5, describen e informan lo que ellos ven. El observador A ve que la trayectoria de dicho objeto es una línea recta vertical, ya que para él el objeto se encuentra en caída libre, o sea, que el movimiento del objeto visto por él es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con velocidad inicial vertical igual a cero. Este observador no se percata de que el objeto avanza horizontalmente. Ante esto, dicho observador empleará las ecuaciones del

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Capítulo 5 • Movimiento en dos dimensiones

Según el observador B (Eje x)

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Según el observador A (Eje y) 1 y = gt 2 2

x = vt 0

donde: x = distancia recorrida por el proyectil según el observador B y = distancia recorrida por el proyectil según el observador A v = magnitud de la velocidad horizontal con que es arrojado el objeto o proyectil. g = aceleración de la gravedad 0

Figura 5.5 El origen del sistema de coordenadas coincide con la posición inicial del objeto. Las velocidades y desplazamiento se consideraran positivas si su sentido es hacia abajo o hacia la derecha.

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (caída libre) para describir el movimiento.Por otra parte, el observador B que se encuentra a una gran altura respecto del objeto en movimiento, cree que dicho objeto se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal a velocidad constante. Este observador no se percata de que el objeto además de avanzar horizontalmente también desciende. Ante esto, el observador B emplea las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme para describir el movimiento del objeto.

Para conocer la distancia que hay entre el objeto y el origen del sistema de coordenadas (magnitud del vector de posición) desde nuestra posición, tomando en cuenta las coordenadas x y y, se utiliza la siguiente ecuación: r= x 2 + y2 donde r es la magnitud del vector de posición que va del origen a la posición del objeto (Figura 5.6).

Descubre la física Si en una llanura un soldado dispara una bala horizontalmente desde una altura de 1.80 metros y al mismo tiempo otro soldado deja caer, desde la misma altura, una bola de billar teniendo cuidado de que el momento de salida de la bala y el de la bola de billar coincidan, contra todo lo que se puede pensar, la bola llegará al mismo tiempo que la bala, si se desprecia desde luego la fricción.

En estas condiciones, el observador A describe el movimiento del objeto a lo largo del eje y, mientras que el observador B lo hace a lo largo del eje x, de manera que la distancia recorrida por el objeto según A se denotará por y, y la distancia recorrida según B se denotará por x. La comunicación entre los observadores permite conocer con precisión la posición real del objeto: sus coordenadas en el plano cartesiano. Es decir:

Figura 5.6 A partir del teorema de Pitágoras se determina la distancia entre el objeto y el origen del sistema de coordenadas.

La velocidad medida por el observador B se denotará por v y las velocidades inicial y final, para cualquier instante, vistas por A, se denotarán por v y v respectivamente. De acuerdo con esta convención la velocidad del objeto es: Según el observador B Según el observador A (Eje x) (Eje y) v = gt v =v donde: v = magnitud de la velocidad según el observador A v = magnitud de la velocidad según el observador B Para un observador que ocupa una posición igual a la nuestra como lectores del libro, la magnitud de la r velocidad v en función de las magnitudes de las velor r cidades de v x y v y (Figura 5.7) se obtiene de: x

0y

x

0

y

y

x

y,

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v =v +v 2

2

x

2

y

Figura 5.7 La velocidad desde nuestra posición es tangente a la trayectoria y su magnitud se obtiene de aplicar el teorema de Pitágoras.

Solución Si consideramos que el tiempo que tarda la pelota en tocar el piso en su movimiento parabólico es igual al tiempo que emplearía si se hubiera dejado caer verticalmente desde la misma altura, entonces la ecuación que permitirá calcular el tiempo de caída es la siguiente: 1 y = gt 2 2 Sustituyendo valores: 20.0 m =

(

)

1 9.80 m / s 2 t 2 . . . 2

Resultado:

20.0 m =t 4.90 m s 2

t = 2.02 s

v = v +v 2

x

2

y

donde v es la magnitud de la velocidad. r La dirección de la velocidad v desde nuestra posición de lectores se obtiene de: vy = tan–1 v x

voy = Caída libre

Tiro horizontal vox ≠ 0

( )

r r donde es el ángulo entre v y v x . La descripción del movimiento del objeto se completa cuando se da la aceleración del objeto en cada instante. Para el observador B Para el observador A (Eje x) (Eje y) a =g a =0 Es decir, un objeto arrojado horizontalmente a cierta altura de la superficie terrestre está sometido a la aceleración de la gravedad. Es importante destacar que si se toman dos esferas iguales mantenidas al mismo nivel y una de ellas se deja caer mientras que la otra es impulsada horizontalmente, las dos llegarán al piso al mismo tiempo, como se ilustra en la figura 5.8. En la actividad que se encuentra al final del capítulo podrás verificar este hecho. x

y

Problema ejemplo 5.1 Una pelota es arrojada de modo horizontal con una rapidez de 30.0 m/s desde un edificio de 20.0 m de altura. ¿Cuánto tiempo emplea, desde que se arrojó, en tocar el piso?

Figura 5.8 La distancia vertical de caída es independiente de cualquier distancia de movimiento horizontal asociada. Las dos esferas tocarán el piso al mismo tiempo.

Problema ejemplo 5.2 Una esfera de acero se arroja horizontalmente a 30.0 m/s desde lo alto de un edificio de 50.0 m de altura. a) ¿A qué distancia de la base del edificio caerá la esfera de acero?, b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad con que se impacta la esfera de acero en el piso? Solución Primero hacemos un esquema de lo que se plantea en el enunciado.

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b) Para conocer la magnitud de la velocidad con que se impacta la esfera en el piso, te recordamos que necesitamos conocer vx y v . Puesto que v = v = 30 m/s, entonces determinamos v de la ecuación: v = gt Sustituyendo valores: v = (9.8 m/s2)(3.19 s) v = 31.26 m/s Entonces, de la siguiente ecuación se determina la magnitud de la velocidad: v = vx + vy Sustituyendo valores y simplificando se tiene: y

x

0

y

y

y

y

2

v=

Figura 5.9 ¿Cuáles son los valores de x y de v ?

a) Para determinar x, primero determinamos t (tiempo de la caída) de la ecuación: 1 y = gt 2 2 Sustituyendo valores: 50.0 m =

(

2

(30.0 m/s) + (31.26 m/s) v = 43.3 m/s 2

2

Tiro oblicuo o movimiento parabólico Un movimiento que se presenta con frecuencia tanto en la vida cotidiana como en algunos procesos industriales es el movimiento parabólico. Por ejemplo, cuando un beisbolista arroja con una cierta inclinación la pelota o cuando se patea el balón de fútbol soccer en un despeje, la trayectoria que describen estos objetos es una parábola (Figura 5.10).

)

1 9.80 m / s 2 t 2 2

50 m m 50 t t m2= = 4.9 4.9 ms ________ ___

2

t = 3.19 s Para conocer la distancia del punto de impacto de la esfera con la base del edificio se emplea la ecuación: x = vt Sustituyendo valores: x = (30 m/s)(3.19 s) x = 95.8 m 0

Figura 5.10 La trayectoria de las pelotas de béisbol y de fútbol es una parábola.

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El tiro oblicuo de un objeto es un movimiento parabólico que se caracteriza porque el móvil es arrojado con una velocidad cuya dirección forma un ángulo con la horizontal. Al igual que en el tiro horizontal, en el tiro oblicuo, la velocidad y la aceleración del objeto no tienen la misma dirección (Figura 5.11).

miento horizontal. Además, para dicho observador no existe ninguna aceleración horizontal. Por su parte, el observador A que ve el movimiento del objeto en forma lateral, observa que el objeto asciende verticalmente (tiro vertical) hasta alcanzar su altura máxima, y a partir de ese instante desciende, también en forma vertical (caída libre), con una aceleración constante durante todo el trayecto e igual a 9.8 m/s , en el caso de un movimiento cerca de la superficie terrestre. Este observador no se percata de que el objeto también avanza horizontalmente. En la práctica, para simplificar las ecuaciones que se emplean para describir el movimiento del objeto (proyectil) en el tiro oblicuo, se selecciona un sistema de coordenadas cartesianas, de manera que coincida su origen con la posición inicial del proyectil, mientras que a la aceleración de la gravedad se le asocia un signo negativo por tener un sentido contrario al seleccionado como positivo (Figura 5.13). 2

Figura 5.11 En el tiro oblicuo la trayectoria es parabólica. La velocidad y la aceleración del objeto forman un ángulo entre sí.

Este movimiento puede ser analizado si se le considera como la composición de dos movimientos rectilíneos independientes: uno vertical (movimiento rectilíneo uniformemente variado) y otro horizontal (movimiento rectilíneo uniforme), tal como vimos en el tiro horizontal, donde dos observadores distantes del movimiento lo describen como se muestra en la Figura 5.12.

Figura 5.13 El sistema de coordenadas se escoge de manera que su origen coincida con la posición inicial del proyectil.

Figura 5.12 Trayectorias vistas por los observadores A y B de un objeto en tiro oblicuo.

Es decir, el observador B que ve el movimiento desde arriba, ve sólo un movimiento rectilíneo uniforme, ya que debido a la distancia desde la cual observa el tiro oblicuo, no le permite detectar que el objeto o proyectil también asciende y desciende durante su movi-

Por tanto, las fórmulas para describir el movimiento de un objeto en un tiro oblicuo (movimiento parabólico) están integradas por ecuaciones correspondientes al movimiento rectilíneo uniformemente variado para el movimiento vertical, según el observador A y ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme para el movimiento horizontal, según el observador B.

Velocidad de disparo La velocidad con que un proyectil es impulsado en el movimiento parabólico recibe el nombre de velocidad de disparo (v ). o

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Si el objeto o proyectil es lanzado con una rapidez de disparo igual a v y a un ángulo 0 (conocido como ángulo de disparo) sus componentes a lo largo de los ejes del sistema de coordenadas cartesianas se obtienen, de acuerdo con la figura 5.13, de las siguientes ecuaciones: 0

Eje x

Eje y

(según el observador A)

(según el observador B)

v0x = v0 cos

v0y = v0 sen 0

0

Posición del proyectil La posición del objeto o proyectil, en cada instante, se obtiene al determinar sus coordenadas (x, y) de las siguientes ecuaciones: En el eje x (según el observador B) x = v0xt es decir: x = (v0x cos 0)t En el eje y (según el observador A)

es decir:

1 y = v 0 yt – gt 2 2

1 y = (v 0senθ0 )t – gt 2 2 A partir de las ecuaciones anteriores al sustituir el tiempo t que aparece en x = v0xt en la ecuación y = v0yt –1/2gt , se obtiene la ecuación que relaciona las coordenadas x y y del proyectil durante su movimiento, es decir: ⎛ g ⎞ y = ( tan θ0 ) x – ⎜ 2 ⎟ x 2 ⎝ 2v 0 ⎠ 2

90˚

r Figura 5.14 El vector de posición r se obtiene de la suma vectorial de las coordenadas cartesianas y cuya magnitud se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

Velocidad del proyectil La velocidad del proyectil en cada instante se obtiene determinando las componentes de la velocidad v y v , cuyos valores se pueden calcular por: x

y

Eje x (según el observador B) vx = v0x es decir: vx = v0 cos 0 Eje y (según el observador A) vy = v0y – gt es decir: vy = v0 sen 0 – gt La magnitud y dirección de la velocidad en cada instante para un observador ubicado en nuestra posición de lectores del libro se obtienen por: v = vx + vy 2

2

y

θ = tan −1

vy vx

Los términos encerrados en el paréntesis son constantes, por lo que la ecuación es de segundo grado y corresponde a la de una parábola. La distancia entre el origen y el proyectil en función de sus coordenadas (posiciones) x y y determinadas por los observadores A y B respectivamente, se obtiene de acuerdo con la figura 5.14 por: r = x +y 2

2

Donde r es la magnitud del vector de posición o distancia entre el proyectil y el origen.

Figura 5.15 La velocidad en cada instante de un objeto en r

r

movimiento tiene las componentes v x y v y .

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Problema ejemplo 5.3 Un atleta de salto de longitud se despega del suelo a un ángulo de 19.0° con la horizontal y con una rapidez de 11.0 m/s. a) ¿Cuál es su posición a los 0.2 s? b) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad en dicha posición? Solución Datos

= 19° v = 11 m/s t = 0.2 s 0

0

Figura 5.16 Salto del atleta.

La posición del atleta se determina empleando las siguientes ecuaciones del movimiento parabólico: x = (v cos )t 1 y = (v 0senθ0 )t – gt 2 2 0

0

Sustituyendo los valores: x = (11.0 m/s)(cos 19°)(0.2 s) = 2.08 m y = (11.0 m/s)(sen 19°)(0.2 s) –1/2 (9.8 m/s )(0.2 s) = 0.52 m 2

2

Es decir, se encuentra a 2.08 m del punto de donde saltó y a una altura de 0.52 m. La magnitud de la velocidad del atleta se calcula empleando la siguiente ecuación: v = vx + vy 2

2

A su vez, las componentes de la velocidad se calculan a partir de las ecuaciones del movimiento parabólico: vx = v0 cos 0 vy = v0 sen 0 – gt Se sustituyen los valores para calcular en primer lugar las componentes de la velocidad: v = (11.0 m/s)(cos 19.0°) = 10.40 m/s x

vy = (11.0 m/s)(sen 19.0°) – (9.8 m/s2)(0.2 s) = 1.62 m/s Debido a que la componente v es positiva, el atleta debe estar ascendiendo, pues no ha alcanzado la altura máxima. Finalmente, la magnitud de la velocidad del atleta se obtiene de: y

v = (10.40 m/s)2 + (1.62 m/s)2 v = 10.54 m/s

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Tiempo en que un proyectil alcanza la altura máxima

Sustituyendo v0y = v0 sen 0 en la ecuación anterior, se obtiene: v senθ 0 th = 0 g

En algunas situaciones se desea conocer el tiempo que tarda un proyectil en alcanzar su altura máxima cuando tiene un movimiento parabólico (por ejemplo, tiro oblicuo), ya que este conocimiento le permitirá saber si acertará en el blanco (Figura 5.17).

Tiempo de vuelo de un proyectil

Trayectoria del proyectil si no da en el blanco

El tiempo de vuelo de un proyectil es el tiempo que permanece en el aire, desde que fue impulsado hasta que alcanza de nuevo el nivel desde el cual fue lanzado. Para conocer este tiempo, ubiquémonos otra vez como observadores en la superficie, muy alejados de dicho movimiento. En estas condiciones, para nosotros y = 0 y el tiempo que tarda en “subir y bajar” sería el tiempo de vuelo tv. Para obtenerlo empleamos la siguiente ecuación: 1 y = v 0 yt – gt 2 2 Como y = 0, el tiempo será igual a tv:

Figura 5.17 ¿Cuánto tiempo emplea el proyectil para alcanzar su altura máxima y dar en el blanco? Es importante señar lar que la componente vertical ( v y ) del proyectil en este punto es cero.

Para determinar el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la altura máxima, ubiquémonos como un observador lateral en la superficie muy alejado del disparo. Lo que veríamos sería un proyectil en tiro vertical, el cual alcanzaría su altura máxima cuando vy = 0. De acuerdo con la ecuación:

1 0 = v 0 yt v – gt v 2 2

tv =

2v 0 y

g Es decir, que tv = 2th (lo que significa que el tiempo de vuelo es igual al doble del tiempo que emplea un proyectil para alcanzar la altura máxima). Como v0y = v0 sen 0, la ecuación anterior se convierte en: tv =

2v 0 y senθ 0

g

vy = v0y – gt Cuando vy = 0 se tiene: 0 = v0y – gt Despejando el tiempo, que en estas condiciones sería el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima (th), se tiene: v0 y th = g donde t es el tiempo que tarda el proyectil en un tiro oblicuo en alcanzar la altura máxima. h

Alcance horizontal de un proyectil El alcance horizontal (R o xmáx) es la distancia horizontal que recorre el proyectil desde el punto de donde fue arrojado hasta el punto donde se impacta. Dichos puntos se encuentran, en este caso, al mismo nivel. El conocimiento del alcance horizontal es importante en muchas actividades.

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Por ejemplo, al jugador encargado de patear la pelota le interesa lanzarla lo más lejos posible y para lograrlo, debe combinar adecuadamente la magnitud de la rapidez de disparo con la dirección, o sea, con el ángulo de disparo. Para conocer el alcance máximo (R), se sustituye en x = (v0 cos 0) t, el tiempo de vuelo tv y x = R, es decir:

se deduce que a mayor ángulo de disparo, mayor altura y tiempo de vuelo (Figura 5.18).

R = (v0 cos 0)t

v

Sustituyendo t se tiene: v

(

)(

R = v0 cos 0

R=

2v0 sen 0 g

)

2v 0 2 cos θ 0 senθ 0 g

Si se emplea la identidad trigonométrica sen 20 = 2 sen0 cos0 , la ecuación del alcance máximo se convierte en: v 2 sen 2θ 0 R= 0 g

Descubre la física La mayoría de las personas piensan que el aire, el cual no somos capaces de percibir cuando caminamos, es un factor que difícilmente puede afectar la trayectoria de una bala. Sin embargo, no es así. Si por un momento nos imaginamos que no hay aire en la atmósfera y que una bala se dispara con una velocidad de 626 m/s a un ángulo de 45° con respecto a la horizontal, su alcance será, de acuerdo con la ecuación correspondiente, de 40 km. Pero, si en condiciones normales se dispara una bala con el mismo ángulo de elevación y la misma velocidad, ésta tendrá un alcance de 4 Km. Este razonamiento comprueba que el aire representa un obstáculo de considerable importancia para la trayectoria de una bala o de cualquier otro proyectil.

Para una determinada rapidez de disparo, la ecuación anterior te permite conocer el ángulo 0, en donde el alcance es máximo. Puesto que sen 2 varía de –1 a 1, el valor máximo de 1 se logra cuando 0 = 45. De acuerdo con esto, el alcance es máximo cuando 0 = 45 (Figura 5.18). Del análisis de esta ecuación se deduce también que cualquier proyectil lanzado con un ángulo 0 con respecto a la horizontal, tiene el mismo alcance que cuando es arrojado con un ángulo de (90 – 0), siempre y cuando tengan la misma rapidez de disparo. Asimismo, 0

Figura 5.18 Cualquier proyectil arrojado con una rapidez de v0 tiene el mismo alcance cuando los ángulos de disparo son 0 y 90° – 0. El alcance es máximo cuando 0 = 45°.

Altura máxima del proyectil La altura máxima (hmáx) que alcanza un proyectil en un tiro oblicuo dadas la velocidad y el ángulo de disparo, se obtiene al sustituir el tiempo th obtenido con anterioridad en la ecuación: 1 y = v 0 yt – gt 2 2 es decir: 1 hmáx = v 0 yt h − gt h2 2

hmáx = v0y

( )

( )

v0y g

v0y 1 – g 2 g

2

hmáx =

v 0y2 g

2

2

−

v 0 y2 2g

2

1 v 0 y2 h= 2 g o lo que es lo mismo:

h=

v 0 2 ( senθ 0 )

2

2g

Al analizar esta ecuación se deduce que entre mayor sea el ángulo de disparo 0, mayor será la altura máxima alcanzada para una v0 fija.

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Problema ejemplo 5.4 Una pelota de golf al ser golpeada sale impulsada a una velocidad de 25 m/s con un ángulo de 30° respecto a la horizontal. Determina: a) La altura máxima que alcanza b) El tiempo que permanece en el aire c) El alcance máximo d) el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. Solución Datos v0 = 25 m/s 0 = 30° g = 9.8 m/s a) h = ? b) tv = ? c) R = ? d) th = ?

2

máx

Figura 5.19 Movimiento de la pelota de golf

a) Para obtener la altura máxima: Fórmula

hmnx =

Sustitución

v 0 2 ( senθ 0 ) 2g

2

hmnx =

252 ( sen 30° )

Resultado 2

2 ( 9.8 )

h = 7.97 m máx

b) El tiempo que permanece en el aire se obtiene: Fórmula

Sustitución

Resultado

2 ( 25 ) sen 30° 2v 0 sen θ 0 tv = 9.8 g c) Para obtener el alcance máximo se utiliza la siguiente ecuación:

t = 2.55 s

Fórmula

Sustitución

Resultado

( 25) R=

R = 55.23 m

tv =

R=

v 0 2 sen 2θ 0 g

2

v

sen 2 ( 30° )

9.8 d) Para determinar el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima: Fórmula

th =

v 0 sen θ 0 g

Sustitución

th =

Resultado

25 sen 30° 9.8

t = 1.27 s h

Si se compara este tiempo con el tiempo de vuelo, se constatará que t = 2t . v

h

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Problema ejemplo 5.5 Desde la azotea de un edificio se patea un balón hacia arriba, a un ángulo de 30° y con una velocidad inicial de 25 m/s, como se muestra en la figura 5.20. Si la altura del edificio es de 49 m, a) ¿cuánto tiempo permanece el balón en el aire? y b) ¿dónde golpea el balón el suelo? Solución Datos

0 = 30° v0 = 25 m/s h1 = 49 m a) t = ? b) x = ?

= h1

Figura 5.20 Balón pateado desde la azotea de un edificio

Lo primero que se hace es elegir un sistema de coordenadas cuyo origen coincida con la azotea del edificio. Realizado esto se determinan las componentes de la velocidad de disparo de la siguiente manera: Fórmulas v0x = v0 cos 0 v0y = v0 sen 0

Sustitución v0x = 25 cos 30° v0y = 25 sen 30°

a) Para determinar el tiempo que permanece el balón en el aire, emplearemos la ecuación: 1 y = v 0 yt – gt 2 2 En este caso, de acuerdo con el esquema, y = – 49 m y v0y = 12.5 m/s, es decir: 1 ±49.0 m = (12.5 m s )t ± 9.8 m s 2 2

(

reordenando y simplificando: 4.9t2 – 12.5t – 49.0 = 0 Para resolver esta ecuación cuadrática se emplea:

t=

–b ± b 2 – 4ac 2a

Al sustituir los valores de a = 4.9, b = – 12.5 y c = – 49.0, se obtiene que el tiempo es:

Resultado v0x = 21.65 m/s v0y = 12.5 m/s

t=

– ( –12.5 ) ±

( ±12.5 ) ± 4 ( 4.9)(-49 2 ( 4.9 ) 2

12.5 ± 33.40 9.8 tomando el signo positivo, ya que no hay tiempos negativos, se obtiene: t = 4.68 s

t=

b) Para determinar qué tan lejos golpea el balón el piso a partir de la base del edificio, empleamos la siguiente ecuación: x = v0xt Puesto que se conoce v0x y t, se sustituyen los valores. Recuerda que el tiempo t corresponde al tiempo que tarda el balón en tocar el piso desde que fue pateado. x = (21.65 m/s)(4.68 s) x = 101.32 m

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Movimiento circular uniforme En la vida cotidiana se presentan una gran cantidad de situaciones en las que los cuerpos se mueven en trayectorias circulares. Por ejemplo, las aspas de la licuadora, las manecillas del reloj, las llantas y el volante del auto, entre otras cosas más. En la industria, este movimiento también está presente en una gran cantidad de mecanismos como en el rotor de los motores, las piedras de las esmeriladoras, entre otras. El movimiento de rotación o circular es aquel en el que cada parte del cuerpo describe una trayectoria circular con respecto a un eje de giro (Figura 5.21).

163

Como en la circunferencia se cumple que a arcos iguales le corresponden ángulos centrales iguales, podemos definir el movimiento circular uniforme (MCU) como aquel en el que el móvil describe ángulos iguales en tiempos iguales (Figura 5.22). Se dice que el movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, ya que se repite a intervalos iguales de tiempo, es decir, el tiempo que emplea en cada vuelta es el mismo. El tiempo que emplea el móvil en dar una vuelta completa en un movimiento circular uniforme recibe el nombre de periodo. Esta magnitud se representa por la letra T y se mide en segundos (s) en el SI. Cuando el periodo de un movimiento circular uniforme es muy pequeño, se prefiere caracterizar dicho movimiento por su frecuencia, la cual se define como el número de vueltas que el móvil da en la unidad de tiempo (un segundo). Esta magnitud física se simboliza por f y se mide en el SI en hertz (Hz). La relación entre el periodo y la frecuencia está dada por: 1 T

f = Figura 5.21 Los puntos A y B de una de las aspas de un ventilador describen trayectorias circulares con respecto al eje de giro.

Problema ejemplo El movimiento de rotación más simple es el movimiento circular uniforme. Este movimiento de rotación se caracteriza no tan sólo porque su trayectoria sea circular, sino porque el móvil (objeto en movimiento) recorre arcos iguales en tiempos iguales (Figura 5.22).

5.6 La frecuencia de giro del eje de un motor es de 60 Hz, ¿cuál es el valor del periodo del eje? Solución Utilizamos la siguiente ecuación para calcular el periodo de giro del eje del motor:

f =

1 T

Al sustituir el valor de f obtenemos: 60 =

1 T

Despejando T:

T=

1 60

Resultado: T = 0.016 s Figura 5.22 En el movimiento circular uniforme, el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales, o lo que es lo mismo ángulos iguales en tiempos iguales.

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Descubre la física Una persona que se encuentra de pie en un punto situado en el ecuador terrestre recorre diariamente, debido al movimiento de rotación de la Tierra, una longitud aproximida de 4.02 x 107m, que corresponde a la circunferencia ecuatorial. El valor de la velocidad con que se mueve es de 465 m/s, la cual se obtiene al dividir la distancia que recorre (4.02 x 107 m) entre el tiempo que tarda en recorrerla (1 día = 86400s). La aceleración centrípeta que experimenta, debido a este movimiento de rotación, tiene un valor de 0.034 m/s2. Los seres humanos estamos acostumbrados tanto al movimiento de rotación de la Tierra sobre su propio eje como al que tiene alrededor del Sol.

vt = magnitud de la velocidad lineal o tangen-

cial, también se puede representar sólo por v De esta ecuación se concluye que conforme aumenta el radio de la trayectoria circular (r), la magnitud de la velocidad lineal también aumenta. Si no se conoce el periodo de un movimiento circular uniforme, pero sí su frecuencia, entonces la magnitud de la velocidad lineal (rapidez lineal) se puede calcular por: vt = 2rf

Velocidad lineal (tangencial) Seguramente has observado que si cuatro niños se toman de la mano como se muestra en la figura 5.23 y uno de ellos queda fijo como pivote y los demás empiezan a correr a su alrededor, tarde o temprano el niño más alejado se tiene que soltar para evitar caerse, ¿por qué tiene que soltarse? La respuesta es que no puede mantener su rapidez, la cual es mayor que la de los demás niños. A pesar de que todos den el mismo número de vueltas en el mismo intervalo de tiempo, la rapidez de cada uno de ellos es diferente. Esto se debe a que cada niño recorre una distancia diferente (el perímetro del círculo que describen en su movimiento en cada vuelta). El niño más alejado, al correr un mayor perímetro que los demás en el mismo intervalo de tiempo, tiene mayor rapidez. Con el fin de justificar este razonamiento, partamos de la definición de rapidez, la cual establece que: Rapidez =

distancia tiempo

Si la distancia recorrida por uno de los niños es igual al perímetro del círculo (2r) y el periodo (T) es el tiempo en que tarda en recorrer dicho perímetro, entonces la rapidez conocida en este caso como rapidez lineal o magnitud de la velocidad lineal (v ) es igual a: 2π r vt = T donde: r = radio del círculo T = periodo t

Trayectoria circular Figura 5.23 Al correr los niños alrededor de uno de ellos, el más alejado tendrá una mayor rapidez lineal que los demás.

Problema ejemplo 5.7 Calcula la rapidez lineal de un niño que corre de manera uniforme alrededor de una pista que tiene una trayectoria circular de radio igual a 50 m. El tiempo que emplea en dar una vuelta completa es de 40 s. Solución Datos r = 50 m T = 40 s v =? La rapidez lineal (o tangencial) se obtiene de: 2π r vt = T 2π ( 50 m) Sustituyendo valores: v t = 40s t

Resultado:

vt = 7.85 m/s

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a)

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b)

Figura 5.24 a) La velocidad lineal o tangencial tiene una dirección diferente en cada posición de la trayectoria circular al ser perpendicular al radio de curvatura. b) La velocidad lineal o tangencial representa la velocidad que llevaría un móvil que saliera disparado de la trayectoria circular.

En un movimiento circular uniforme la rapidez lineal del móvil es constante, pero su velocidad lineal (o tangencial) no lo es, ya que su dirección está cambiando en cada punto de la trayectoria, al ser tangente a la circunferencia recorrida por el móvil (cuerpo o partícula), representa la velocidad que llevaría éste si saliera disparado como se ilustra en la figura 5.24. r La velocidad lineal o tangencial ( vt ) es una magnitud vectorial que tiene una magnitud igual a la rapidez lineal.

a)

0

→

A

→

ac

→

v2

ac

B →

v1

Aceleración centrípeta (radial) r El hecho de que la velocidad lineal vt simplemente no sea constante en el movimiento circular uniforme implica que debe existir una aceleración. Como la magnitud de la velocidad tangencial es constante, pero no su dirección, la aceleración no es colineal con dicha velocidad, sino perpendicular a ella. En consecuencia, en el movimiento circular uniforme (MCU) la aceleración está dirigida siempre hacia el centro, como se ilustra en la figura 5.24a, por lo que se le llama centrípeta (este término significa que busca el centro y fue inventado por Isaac Newton). Para determinar la magnitud de la aceleración centrípeta consideremos un móvil que tiene un movimiento circular uniforme y cuyas velocidades en dos posiciones se muestran en la r figura 5.25. Puesto que la aceleración es igual a ∆v ∆t , entonces en la figura se r muestra el vector resultante ∆v de las velocidades en las dos posiciones (puntos A y B). Conforme el inter-

b) R →

–v1 →

→

ac

Q

v

→

v2

P Figura 5.25 La aceleración en un movimiento circular uniforme es radial y de magnitud constante. tiene la misma r direccion y sentido que ∆v

valo de tiempo se hace pequeño (t →0), el camr más r r bio de velocidad ∆v ( v 2 – v1 ) señala hacia el centro del círculo. Por tanto, la aceleración que produce el cambio de velocidad debe tener el mismo sentido que r ∆v . Al considerar que el intervalo de tiempo t, entre los puntos A y B es muy pequeño, la longitud del arco

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de la circunferencia entre dichos puntos es prácticamente igual a la longitud de la cuerda entre los puntos A y B. Por lo que al hacer un análisis de los dos triángulos semejantes OAB y QPR de la figura 5.25, podemos obtener lo siguiente: OA QP = AB PR Como OA = r, AB = d = vt, QP = v = v y PR = v, entonces: r v = v ∆t ∆v 2

reordenando la ecuación, tenemos: ∆v v 2 = ∆t r

Desplazamiento angular Para describir el movimiento circular de un móvil se pueden emplear cantidades angulares como el desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular. Cuando un móvil se mueve a lo largo de una trayectoria circular al pasar de una posición a otra, el radio de curvatura se mantiene constante, no así el ángulo que describe dicho radio. De acuerdo con esto, el cambio de posición de un móvil con movimiento circular se puede describir mediante el desplazamiento angular (Figura 5.26).

Puesto que v/t representa la aceleración (conocida como aceleración centrípeta) a , entonces: c

v2 r La unidad de la aceleración centrípeta en el SI, es el m/s . ac = c

2

Problema ejemplo 5.8 Una pelota unida a una cuerda gira en un círculo de radio r = 1 m con una rapidez lineal constante de 4 m/s. ¿Cuál es el valor de su aceleración centrípeta? Solución Como se trata de un movimiento circular uniforme, la magnitud de la aceleración centrípeta se obtiene de la siguiente ecuación: ac = c

v2 r

Puesto que v = 4 m/s y r = 1 m, entonces, al sustituir estos valores, la magnitud de la aceleración centrípeta es:

( 4 m s) =

2

aac c

1m

ac = 16 m/s2

Figura 5.26 El desplazamiento angular () es el ángulo central recorrido por el móvil en una trayectoria circular.

El desplazamiento angular () es una magnitud física que representa una medida de la cantidad de rotación que experimenta un móvil y se define como el ángulo central recorrido por el móvil en una trayectoria circular en un determinado intervalo de tiempo. La unidad para medir el desplazamiento angular en el SI es el radián. Un radián se define como el ángulo central que forma un arco de circunferencia de longitud igual al radio (Figura 5.27a). La medida en radianes se obtiene mediante el cociente entre la longitud del arco (s) y longitud del radio (r), es decir: s θ= r donde es el ángulo central expresado en radianes (rad).

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a)

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b)

Figura 5.27 a) El radián. b) Si un cuerpo gira en sentido contrario a las manecillas del reloj se le asigna al desplazamiento angular un signo positivo; si gira en sentido del movimiento de las menecillas, el desplazamiento angular será negativo.

El desplazamiento angular se considera positivo si el móvil gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo si gira en el mismo sentido que las manecillas del reloj. (Figura 5.27b) Es común que el desplazamiento angular se exprese en grados sexagesimales () y revoluciones (rev), por lo tanto, es conveniente conocer las equivalencias entre grados, revoluciones y radianes para poder efectuar las conversiones necesarias. La equivalencia entre estas unidades es la siguiente: 1 rev = 360 = 2 rad Es común expresar el desplazamiento angular en función de radianes. En la Tabla 5.1 se muestran algunas equivalencias en grados y radianes, expresados éstos últimos en función de .

Tabla 5.1 Ángulo central expresado en grados y radianes Grados

Problema ejemplo 5.9 Un cuerpo gira sobre su propio eje un ángulo de 72° en sentido contrario a las manecillas del reloj, ¿cuál es el valor de su desplazamiento angular en radianes? Solución Datos

= 72° = ? rad Para determinar el valor del desplazamiento angular en radianes, empleamos el factor de conversión conveniente a partir de la siguiente equivalencia: 360° = 2 rad es decir:

Radianes

18°

/10

30°

/6

45°

/4

90°

/2

150°

5/6

180°

270°

3/4

360°

2

⎛ 2π rad ⎞ θ = 72° ⎜ ⎝ 360° ⎟⎠

= 0.4 rad = 1.25 rad

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Problema ejemplo 5.10 Una pista circular es recorrida por dos atletas. Uno de ellos corre por el carril que tiene un radio de 88 m y el otro, por el carril que tiene un radio de 91 m (Figura 5.28). Si el desplazamiento angular de ambos atletas es, 1.4 rad. a) ¿quién recorrió la mayor distancia?, b) ¿cuál es el valor de la diferencia entre las distancias recorridas por ambos atletas? Solución Datos Atleta 1: r = 88 m = 1.4 rad s =? Atleta 2: r = 91 m = 1.4 rad s =? 1

1

2

2

Figura 5.28 Los dos atletas tienen el mismo desplazamiento angular, pero diferente longitud de arco recorrida.

a) Para determinar la longitud de arco recorrida sobre la pista por cada atleta se emplea la siguiente ecuación: s = r Sustituyendo valores: Atleta 1: s = 1.4(88) s = 123.2 m

Atleta 2: s = 1.4(91) s = 127.4 m

1

2

1

2

De acuerdo con los resultados, el atleta 2 recorrió una mayor longitud. b) Para determinar la diferencia entre las longitudes recorridas por ambos atletas hacemos la siguiente diferencia: s – s = 127.4 – 123.2 s – s = 4.2 m 2

1

2

1

Este resultado permite señalar que el atleta que está más alejado del centro de la pista recorrió 4.2 m más que el atleta más cercano al centro.

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Finalmente, habrá que señalar que para describir el cambio de posición de un cuerpo que tiene un movimiento de rotación, se prefiere hablar de su desplazamiento angular, ya que cada una de sus partes experimenta el mismo desplazamiento angular durante dicha rotación.

ωm =

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θt tt

donde: = magnitud de la velocidad angular media = magnitud del desplazamiento angular total t = tiempo total m

t t

Velocidad angular Seguramente has observado que las aspas de una licuadora pueden girar con mayor o menor rapidez según el botón que se oprima. Para caracterizar la rapidez de rotación de las aspas o de cualquier otro cuerpo que tenga un movimiento de rotación, se emplea la velocidad angular. La velocidad angular se define como el desplazamiento angular dividido entre el tiempo empleado en realizarlo. Matemáticamente su magnitud se puede obtener por: ∆θ θ – θ 0 ω= = ∆t t – t 0 donde:

= magnitud de la velocidad angular = magnitud del desplazamiento angular t = intervalo de tiempo = magnitud del desplazamiento angular inicial = magnitud del desplazamiento angular final t = tiempo inicial t = tiempo final 0

0

Si el cuerpo inicia su rotación en t = 0 s cuando = 0 rad, la magnitud del desplazamiento angular (rapidez angular) se puede calcular por la siguiente expresión matemática: θ ω= t 0

0

La unidad de la velocidad angular en el SI es el radián/segundo (rad/s), aunque a menudo también se emplean otras unidades como revoluciones por minuto (r.p.m. o rev/min). Un cuerpo en rotación puede ser caracterizado por su velocidad angular media o su velocidad angular instantánea. La velocidad angular media se define en forma análoga a la velocidad media del movimiento rectilíneo, como el desplazamiento angular total dividido entre el tiempo total requerido, es decir:

Velocidad angular instantánea Si el desplazamiento angular se hace más y más pequeño, el tiempo transcurrido también; podemos definir la magnitud de la velocidad angular instantánea en un movimiento dado como el límite de la razón /t, cuando t tiende a cero, es decir: ∆θ ω m = lím ∆t→0 ∆t En un movimiento circular uniforme, la velocidad angular media es igual a la velocidad angular instantánea. Esto quiere decir que en un movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante. Cuando un cuerpo se mueve a lo largo de una trayectoria circular puede hacerlo en dos sentidos (Figura 5.29a). Se acostumbra asignar un signo positivo a la magnitud de su velocidad angular si gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y un signo negativo si gira en el mismo sentido del movimiento de las manecillas del reloj. Como la velocidad angular es una magnitud vectorial, el vector que la representa es perpendicular al plano de giro del cuerpo y su sentido está dado por la regla de la mano derecha ilustrada en la Figura 5.29b. Cuando los dedos de tu mano derecha se doblan en el sentido del movimiento circular tu dedo pulgar extendido indicará el sentido de . En muchos problemas, en donde se quiere conocer la magnitud de la velocidad angular de un cuerpo que gira y en el que sólo se conoce el periodo, se puede emplear la siguiente ecuación:

θt tt Esta ecuación se obtiene de ωm =

ω=

θ t

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Solución Lo primero que se hace es convertir las cinco vueltas (revoluciones) en radianes a partir del factor de conversión correspondiente:

a)

⎛ 2π rad ⎞ = 10π rad θ = 5 rev ⎜ ⎝ 1 rev ⎟⎠

b)

Figura 5.29 a) Si el cuerpo gira en sentido del movimiento de las manecillas del reloj se le asigna a la velocidad angular un signo negativo, si gira en sentido contrario se le asocia a un signo positivo. b) Regla de la mano derecha para determinar el sentido de .

al considerar que cuando t = T, el desplazamiento angular es igual a 2. Si no se conoce el periodo, pero sí la frecuencia, la magnitud de la velocidad angular también se puede calcular por: = 2f

Problemas ejemplo 5.11 Un cilindro da cinco vueltas en 2 segundos, calcula: a) la magnitud de su velocidad angular en rad/s; b) su periodo, y c) su frecuencia.

= 31.41 rad Para determinar el valor de la velocidad angular se emplea la siguiente ecuación: θ ω= t Al sustituir los valores: 31.41 rad ω= = 15.70 rad s 2s a) El periodo de rotación del cilindro se determina por: 2π ω= T Al sustituir los valores y despejar T se obtiene: 2π rad 15.70 rad s = T T = 0.40 s b) La frecuencia de rotación del cilindro se determina por: 1 f = T Al sustituir los valores: 1 f = = 2.5 Hz 0.40s 5.12 ¿Cuál es el valor de la velocidad angular de un satélite cuyo periodo de rotación es de 24 h? Solución Lo primero que se hace es convertir las horas en segundos, es decir: T = 24 h = 86 400 s El valor de su velocidad angular se obtiene de la siguiente ecuación: 2π ω= T Al sustituir los valores: 2π rad ω= = 7.27 × 10 –5 rad s 86 400s

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Movimiento circular uniformemente acelerado Cuando se conecta un motor a la energía eléctrica, su eje incrementa uniformemente su velocidad angular desde cero hasta obtener un cierto valor, para esto transcurre cierto tiempo. Decimos entonces que el eje del motor tiene una aceleración angular. Existen muchos casos de aceleración angular. Por ejemplo, un disco compacto incrementa su velocidad angular de manera continua hasta alcanzar su velocidad angular de funcionamiento. Cuando la magnitud de la velocidad angular cambia de un valor inicial en el instante t a un valor final en el instante t, la magnitud de la aceleración angular se define como el cambio del valor de la velocidad angular dividido entre el tiempo transcurrido. Matemáticamente se calcula por: 0

α=

0

ω – ω 0 ∆ω = ∆t t ± t0

donde: = magnitud de la aceleración angular = magnitud de la velocidad angular inicial en el instante t = magnitud de la velocidad angular final en el instante t = magnitud del cambio de velocidad angular t = t – t = tiempo transcurrido Si se da en el instante t = 0 s, la ecuación anterior se convierte en: ω – ω0 α= t La unidad de la aceleración angular en el SI es el rad/s . Cuando un móvil tiene una aceleración angular de 4 rad/s significa que la magnitud de la velocidad angular del móvil que gira cambia 4 radianes por segundo durante cada segundo de aceleración. 0

0

0

0

0

2

2

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Problema ejemplo 5.13 La tornamesa de un fonógrafo acelera desde el reposo hasta alcanzar una rapidez angular de 33.3 rev/min (r.p.m.) en 0.8 s. ¿Cuál es el valor de su aceleración angular? Solución Datos t0 = 0 s 0 = 0 rad/s t = 0.8 s = 33.3 rev/min Lo primero que se hace es convertir las rev/min en rad/s de la siguiente manera:

ω = 33.3

rev ⎛ 1 min ⎞ ⎛ 2π rad min ⎜⎝ 60 s ⎟⎠ ⎜⎝ 1 rev

= 3.48 rad/s La magnitud de la aceleración angular del tornamesa se obtiene de: ω – ω0 α= t ± t0 Al sustituir los valores:

α=

rad rad –0 s s 0.8 s – 0 s

3.48

α = 4.35 rad/s

2

La aceleración angular es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección que el cambio r r y sentido r ∆ ω = ω – ω de velocidad angular 0 , como se ilustra en la figura 5.30. Al igual que en el movimiento rectilíneo (o lineal), el movimiento circular puede ser uniformemente acelerado (MCUA) o retardado (MCUR). En el primer caso, la velocidad angular aumenta uniformemente y en el segundo caso disminuye de manera uniforme. En ambos movimientos la aceleración angular es constante. Dadas las semejanzas entre los movimientos cirFigura 5.30 La aceleración angular tiene la misma dirección y sentido que el cambio de velocidad angular. Esta aceleración es perpendicular a la aceleración centrípeta.

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culares (rotacionales o angulares) y rectilíneo, en la Tabla 5.2 se muestran los símbolos empleados para representar las variables que describen las características de un cuerpo en movimiento.

Tabla 5.2 Símbolos utilizados en la cinemática lineal y rotacional Variable

Movimiento rectilíneo Movimiento rotacional (magnitud) (magnitud)

Desplazamiento

d, r

Velocidad inicial

v0

0

Velocidad final

v

Aceleración

a

Tiempo

t

t

Tabla 5.3 Comparación de las ecuaciones de los movimientos rectilíneo y circular con aceleración constante Movimiento rectilíneo con Movimiento circular con aceleración constante aceleración angular constante

d = v 0t + 2

1

ω = ω 0 + αt at

2

2

2

v = v 0 + 2ad

⎛ v + v0 ⎞ t ⎝ 2 ⎟⎠

d =⎜

vm =

v + v0 2

1 2 θ = ω 0t + αt 2 2

2

ω = ω 0 + 2αt

⎛ ω + ω0 ⎞ t ⎝ 2 ⎟⎠

θ=⎜

ωm =

5.14 Una rueda gira con aceleración angular constante de 4 rad/s2. Si la velocidad angular inicial tiene un valor de 2 rad/s en el instante t0 = 0 s, a) ¿cuál es el valor del desplazamiento angular a los 20 s?, y b) ¿con qué rapidez angular gira a los 20 s? Solución Datos t0 = 0 s 0 = 2 rad/s = 4 rad/s 2

Las semejanzas entre el movimiento rectilíneo con aceleración constante y el movimiento circular con aceleración angular constante nos permiten obtener por analogía las ecuaciones necesarias para el estudio del movimiento circular con aceleración angular constante. La Tabla 5.3 ilustra las similitudes entre las ecuaciones del movimiento rectilíneo y el movimiento circular (o rotacional). Al aplicar las ecuaciones del movimiento circular se deben elegir las unidades apropiadas para cada cantidad y conservar la convención para asignar a cada cantidad los signos apropiados según el sentido de rotación del cuerpo.

v = v0 + at

Problema ejemplo

ω + ω0 2

t = 20 s a) = ? b) = ? a) Como se trata de un movimiento circular con aceleración angular constante, el valor del desplazamiento angular se puede obtener de la siguiente ecuación: 1 θ = ω 0t + αt 2 2 Al sustituir los valores: 1 θ = ( 2 rad s )( 20 s ) + 4 rad s 2 ( 20 s 2 = 840 rad

(

)

b) La magnitud de la velocidad angular (rapidez angular) de la rueda a los 20 s se obtiene por: = 0 + t Al sustituir los valores: = 2 rad/s + (4 rad/s2)(20 s) = 82 rad/s

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Relación entre cantidades angulares y lineales Cuando una cuerda se desenrolla de un carrete o cuando una llanta al girar sobre su eje se desplaza a lo largo del pavimento, se producen movimientos rotacional y lineal simultáneamente (Figura 5.31)

Figura 5.32 La rapidez con que se mueve la partícula P sobre la polea se puede expresar en función de una cantidad lineal (vt) o de una cantidad angular ().

Figura 5.31 Ciertos cuerpos en ciertas condiciones pueden experimentar movimientos de traslación y rotación simultáneamente.

Por otra parte, cuando un cuerpo rígido gira con respecto a un eje fijo, cada partícula del cuerpo se mueve a lo largo de trayectorias circulares. La descripción del movimiento de cada partícula se puede hacer ya sea en cantidades angulares (variables angulares) o en cantidades lineales (Figura 5.32). El conocimiento de la relación entre cantidades lineales y angulares permite ir y venir de una descripción a la otra, así como comprender o describir mejor cierto tipo de fenómenos con una determinada descripción. Las ecuaciones que permiten relacionar los dos tipos de movimiento; angular y lineal para un cuerpo que sólo tenga movimiento de rotación o para un cuerpo que además del movimiento de rotación tenga uno de traslación, son las siguientes: s = r donde: s = longitud del arco = desplazamiento angular (ángulo central) r = radio Esta ecuación relaciona el desplazamiento angular y el radio de la trayectoria circular con la distancia lineal s conocida también como distancia tangencial, la cual corresponde a la longitud del arco que tiene un ángulo central igual a . Conviene señalar que debe estar expresado en radianes.

Para el caso de un móvil que además de tener un movimiento de traslación gira sobre su propio eje, el ángulo que gira un punto en su superficie circular equivale a un recorrido sobre la trayectoria circular igual a su distancia tangencial (s), pero también equivale a un recorrido sobre la trayectoria rectilínea igual a la distancia tangencial s, como se ilustra en la Figura 5.33.

Figura 5.33 Durante el giro, una llanta recorre sobre la superficie plana una distancia igual a la longitud del arco s.

Problema ejemplo 5.15 Una rueda de ruleta de 1.6 m de diámetro tiene en su borde dos números separados por una distancia tangencial de 10 cm. Determina el ángulo subtendido en el centro de la rueda que forman los dos números como se muestra en la figura 5.34.

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Solución Datos Diámetro = 1.6 m Radio (r) = 0.8 m Distancia tangencial (s) = 10 cm = 0.1 m = ? rad La relación entre la distancia tangencial y el desplazamiento angular (ángulo central) está dada por la siguiente fórmula: s = r Al sustituir los valores: 0.1 m = (0.8 m) por tanto:

θ=

Figura 5.35 La velocidad tangencial en cada uno de los puntos de un cuerpo que gira es diferente.

0.1 m = 0.125 rad 0.8 m

Problema ejemplo 5.16 Un auto recorre una pista circular cuyo radio es de 250 m. Si el automóvil se mueve con una rapidez constante de 30 m/s, calcula la rapidez angular del auto. Solución Datos r = 250 m v= vt = 30 m/s La magnitud de la velocidad angular se obtiene de la siguiente ecuación: v = r

Figura 5.34 Ruleta en movimiento.

Relación entre velocidad lineal y velocidad angular De manera análoga se relaciona la magnitud de la velocidad angular con la magnitud de la velocidad tangencial o lineal v (o v) y el radio de la trayectoria, por la ecuación: v = r Esta ecuación establece que la rapidez tangencial de un punto en un cuerpo rígido que gira es igual a la distancia a la que se encuentra ese punto respecto al eje de rotación multiplicada por la magnitud de la velocidad angular. Por tanto, aunque todos los puntos de un cuerpo rígido tengan la misma velocidad angular, no todos tienen la misma rapidez tangencial v como se ilustra en la figura 5.35.

Al sustituir los valores: 30 m/s = (250 m)

ω=

30 m s 250 m

= 0.12 rad/s

t

t

Figura 5.36 Un auto en una pista circular.

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Relación entre aceleración tangencial y aceleración angular Para encontrar la relación entre la aceleración angular y la aceleración tangencial o lineal, consideremos que un móvil se desplaza en un círculo de radio r y supongamos que la magnitud de la velocidad lineal o tangencial cambia de cierto valor inicial v al valor final v en un tiempo t. De acuerdo con esto, la magnitud de la aceleración tangencial a de dicho móvil está dado por: v ± v0 aat = t 0

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La aceleración angular se puede obtener de la siguiente ecuación: at = r Al sustituir los valores: 2 m/s2 = (0.40 m) α=

2 m s2 0.40 m

α=5

rad s2

t

t

Podemos expresar la a en función de las magnitudes de la velocidad angular aprovechando la relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal, se obtiene: ω r ± ω 0r ⎛ ω – ω 0 ⎞ r at = =⎜ t ⎝ t ⎟⎠ t

t

como

ω – ω0 =α t la ecuación anterior se convierte en: a = r t

es decir, la magnitud de la aceleración tangencial de un punto del cuerpo que gira es igual a la distancia a la que se encuentra dicho punto respecto del eje de rotación multiplicada por la magnitud de la aceleración angular.

Problema ejemplo 5.17 ¿Cuál es la magnitud de la aceleración angular de una rueda de radio igual a 40 cm de un vehículo, cuando éste tiene una aceleración tangencial de 2 m/s2? Solución Datos at = 2 m/s2 r = 40 cm = 0.40 m =?

Figura 5.37 Rueda girando de manera no uniforme.

Aceleración lineal total de un punto de un cuerpo de rotación Consideremos el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria circular donde la velocidad lineal cambia tanto en magnitud como en dirección. Puesto que el cambio de dirección de la velocidad se debe a la aceleración centrípeta y el cambio en la magnitud de la velocidad se debe a la aceleración tangencial, debe existir una aceleración lineal total que combine las dos aceleraciones como se muestra en la figura 5.38. Al formar entre sí un ángulo de 90 las aceleraciones tangencial y angular, la magnitud de la aceleración lineal total a se puede obtener a partir de aplicar el teorema de Pitágoras por: a = at + ac 2

2

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Problema ejemplo

(perpendicular a la aceleración lineal) Figura 5.38 Las aceleraciones tangencial y centrípeta forman r un ángulo de 90º entre sí. La aceleración lineal total a es igual a r r a + a. c

t

5.18 Un cilindro de 0.35 m de diámetro que inicia su rotación a partir del reposo es acelerado de manera que en un instante determinado su aceleración centrípeta es de 0.0137 m/s2 y su aceleración tangencial es de 0.007 m/s2, ¿cuál es el valor de la aceleración lineal total en dicho instante? Solución Datos a = 0.0137 m/s a = 0.007 m/s a=? 2

c

2

t

La aceleración lineal total se obtiene de la siguiente ecuación: a = a +a 2

Es importante señalar que en un movimiento circular uniforme a = 0, por lo que la única aceleración que actúa es la aceleración centrípeta. t

t

2

c

Al sustituir los valores: a = (0.007 m/s ) + (0.0137 m/s ) 2 2

2 2

a = 0.0154 m/s

2

Figura 5.39 Cilindro girando.

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Glosario En este glosario se resumen los principales términos y conceptos que aparecen en el capítulo. El estudio de este glosario te permitirá enfrentar con más recursos cualquier evaluación sobre movimiento en un plano. Aceleración angular. Magnitud que expresa la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo. Aceleración centrípeta. Componente radial de la aceleración de una partícula o un objeto que se mueve siguiendo una circunferencia y se puede representar por un vector dirigido hacia el centro de la circunferencia. Aceleración tangencial. Aceleración que tiene un móvil a lo largo de la trayectoria que describe; es decir, es la medida de cuánto cambia su rapidez con el tiempo, sin importar si su velocidad cambia de dirección. Alcance. Distancia horizontal recorrida por un proyectil. Circunferencia. Línea curva cerrada y plana que limita al círculo, cuyos puntos equidistan del centro de éste. Desplazamiento angular. Es el ángulo descrito por un objeto en movimiento de rotación. Se mide en radianes de acuerdo al SI. Frecuencia. Magnitud física definida como el número de los ciclos realizados en la unidad de tiempo y referida a fenómenos periódicos. Frecuencia de rotación. Número de vueltas que da en un segundo un cuerpo que gira, ya sea sobre su propio eje o describiendo una circunferencia al trasladarse. Grado sexagesimal. Unidad de medida de los ángulos planos, definida como la 180ava parte del ángulo plano. Periodo de rotación. Tiempo que tarda un cuerpo en rotación en dar una vuelta completa.

Misil. Objeto cuyo fin es ser enviado contra un blanco y está dotado de un sistema propulsor autónomo. Movimiento circular. Movimiento de un cuerpo cuando su trayectoria describe una circunferencia. Movimiento circular uniforme. Ocurre cuando un móvil tiene trayectoria circular y además recorre ángulos iguales en tiempos iguales. Movimiento parabólico. Movimiento de un cuerpo cuando su trayectoria es una parábola. Movimiento periódico. Es aquel que se repite en intervalos iguales de tiempo. Parábola. Trayectoria curva seguida por un proyectil que está bajo la influencia de la fuerza de gravedad. Periodo. Duración de un solo ciclo en un fenómeno periódico. Se mide en segundos. Su inversa es la frecuencia. Proyectil. Cualquier objeto que sea proyectado por alguna fuerza y continúe en movimiento en virtud de su propia inercia. Radián. Unidad de medida de los ángulos planos, igual a 57.2958º. Es el ángulo subtendido por un arco de longitud igual al radio. Satélite. Cuerpo que gira alrededor de otro y se mantiene en órbita por efecto de la fuerza de gravedad. Velocidad angular. Cambio en el tiempo del desplazamiento angular. Su magnitud se define como el cociente del ángulo descrito (desplazamiento angular) y el tiempo empleado en describirlo.

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Arma tu mapa conceptual 1. Para tener un resumen esquemático de lo que has aprendido en este capítulo, completa el siguiente mapa conceptual. Coloca en cada uno de los espacios en blanco el concepto o término correcto. Te recomendamos utilices las palabras que aparecen en el recuadro.

Movimiento curvilíneo puede ser

Movimiento circular

Movimiento parabólico

se caracteriza por

puede ser un:

su trayectoria es una

tiro oblicuo tener una

puede ser:

se caracteriza por

uniformemente acelerado

su trayec- se puede describir toria es por cantiuna dades

velocidad inicial

lineales no tienen la misma dirección

como

como velocidad angular

velocidad lineal

Términos clave 3 Parábola 3 Aceleración constante

3 Tiro horizontal 3 Uniforme

3 Circunferencia 3 Angulares

3 Aceleración angular 3 Aceleración centrípeta

2. Localiza los conceptos más importantes de los movimientos circular uniforme y circular uniformemente acelerado. Elabora un mapa conceptual y preséntalo a tu profesor.

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Evaluación formativa I. Subraya la palabra correcta. 1 En el tiro horizontal, el tiempo que tarda en llegar al piso el proyectil es independiente de (la altura/la componente horizontal de la velocidad). 2 La trayectoria de un proyectil en un tiro horizontal es una (parábola/línea recta). 3 En el movimiento parabólico, la velocidad del proyectil tiene (igual/diferente) dirección que su aceleración. 4 La aceleración de un proyectil que describe una trayectoria parabólica, cerca de la superficie terrestre es (constante/variable). 5 La componente horizontal de la velocidad de un proyectil que describe una trayectoria parabólica (cambia/no cambia) al transcurrir el tiempo. 6 La velocidad angular en el SI se mide en (rad/s rev/s ). 7 La aceleración tangencial es (perpendicular/colineal) a la aceleración centrípeta en el movimiento circular uniformemente acelerado. 8 En el movimiento circular uniforme la (velocidad/aceleración) angular es constante. 9 En un movimiento circular uniforme la aceleración tangencial es (cero/constante). 10 La aceleración tangencial es paralela a la velocidad (angular/tangencial). 2

4 En el movimiento circular uniforme la aceleración centrípeta se calcula por: c) v/r a) r d) v r b) /r 5 En un movimiento circular uniforme la es constante. a) aceleración angular c) aceleración tangencial b) velocidad angular d) velocidad tangencial 2

2

2

III.En el paréntesis coloca una V si el enunciado es verdadero y un F si es falso. 1 ( ) En el movimiento parabólico de un proyectil cerca de la superficie terrestre, la aceleración es igual a la aceleración de la gravedad. 2 ( ) En el tiro horizontal la componente vertical de la velocidad se mantiene constante. 3 ( ) El alcance máximo de un proyectil en un movimiento parabólico para una rapidez dada se logra cuando el ángulo de disparo es de 45°. 4 ( ) La altura máxima de un proyectil en un tiro oblicuo se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad es cero. 5 ( ) Un proyectil en un tiro oblicuo para una misma rapidez tendrá un alcance mayor cuando el ángulo de disparo es de 60° que cuando es de 30°. IV. Responde de manera breve a las siguientes preguntas.

II.Subraya la opción que completa el enunciado o responde a la pregunta. 1 Un objeto en un movimiento circular viaja una distancia de ________ durante un periodo de su movimiento. a) 2r c) 4r d) r b) r 2 Para un objeto en un movimiento circular uniforme, la dirección de la aceleración centrípeta... a) es tangente a la trayectoria. b) está a lo largo de la trayectoria. c) se aleja del centro de la circunferencia. d) se dirige hacia el centro de la circunferencia. 3 En el movimiento circular, su frecuencia se mide en el SI en: a) segundos c) hertz b) radianes d) revoluciones 2

1 ¿Por qué se dice que el movimiento circular uniforme es un movimiento periódico? 2 ¿Por qué se dice que en un movimiento circular uniforme la velocidad tangencial no es constante? 3 ¿Qué clase de movimiento es el de un avión que vuela a una altura fija a una rapidez constante y sin cambiar de latitud? 4 ¿Qué clase de movimiento es el de un cuerpo que tiene una aceleración constante en magnitud y perpendicular a la trayectoria? 5 ¿Por qué en el movimiento circular uniforme la aceleración tangencial es cero?

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Problemas 1. Una piedra se lanza horizontalmente con una rapidez de 15.0 m/s desde lo alto de un risco de 100 m de altura. ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en caer al fondo del risco? Despreciar la resistencia del aire . 2. De una mesa de un metro de altura se arroja horizontalmente una canica con una rapidez de 2 m/s. ¿Qué tan lejos de la base de la mesa se impactará la canica en el piso? 3. Una pelota es arrojada horizontalmente con una rapidez de 8.0 m/s desde lo alto de un edificio. Si tarda 4 s en tocar el piso desde que fue arrojada, ¿cuál es la altura del edificio? 4. De una mesa de un metro de altura se arroja horizontalmente una canica. Si la canica golpea el piso a una distancia de 3.0 m de la base de la mesa, ¿cuál es la magnitud de la velocidad con que fue arrojada? 5. Una flecha se dispara horizontalmente con una rapidez de 60.0 m/s desde una altura de 1.70 m sobre el terreno horizontal, ¿a qué distancia del arquero llegará la flecha? Desprecia la resistencia del aire. 6. Un avión supersónico está volando horizontalmente a una altura de 10 km y con una rapidez horizontal de 2000 m/s cuando libera una caja de acero. a) ¿Cuánto tardará la caja en tocar el piso? b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la caja a los 2 s? 7. Una persona tira una piedra desde lo alto de un risco, con una rapidez horizontal de 12 m/s. Si la piedra cae a 30 m de la base del risco, a) Determina la posición de la piedra a los 0.5 s y b) ¿Cuál es la altura del risco? 8. Un proyectil se dispara con una rapidez inicial de 150 m/s a un ángulo de 450 con respecto a la horizontal. Calcula las componentes horizontal y vertical de la rapidez inicial. 9. Una pelota de golf se golpea y sale impulsada con una rapidez de 20 m/s a un ángulo de 450 con respecto a la horizontal. a) ¿Cuál es su posición cuando han transcurrido 0.4 s? b) ¿Cuál es la componente horizontal de su velocidad a

los 0.4 s? 10. Una bala se dispara a un ángulo de 450 con respecto a la horizontal. La magnitud de la velocidad inicial de la bala es de 200 m/s. a) Calcula el tiempo que la bala permanece en el aire, y b) Calcula la posición de la bala cuando alcanza la altura máxima. 11. Un canguro puede saltar una altura máxima de 1 m, si despega con un ángulo de 450 con respecto a la horizontal, ¿cuál es la magnitud de la velocidad de despegue? 12. Se lanza una pelota de béisbol con un ángulo de disparo de 200 con respecto a la horizontal y la pelota recupera su altura original a 100 m del punto de donde fue golpeada. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad inicial? b) ¿Cuál es el valor de la velocidad con que se impacta en el piso? 13. Una rana salta con una rapidez de 2 m/s a un ángulo de 450 con la horizontal. a) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire antes de tocar el piso? b) ¿Cuál es su alcance? c) ¿Cuál es la altura máxima de su salto? 14. Un balón de futbol que se patea a un ángulo de 600 con la horizontal, recorre una distancia horizontal de 50 m antes de chocar con el suelo. a) Determina la magnitud de la velocidad inicial del balón. b) Si el balón se patea a un ángulo de 300 con la misma rapidez, ¿cuál es la distancia horizontal que recorrerá antes de tocar el piso? c) ¿Cuáles son los tiempos de vuelo del balón para dichos ángulos del piso. 15. El periodo de un movimiento circular uniforme es 2 s, ¿cuál es su frecuencia? 16. La frecuencia del eje de un motor es de 60 Hz, ¿cuál es su periodo? 17. Si el eje de un motor da 100 vueltas en un minuto, ¿cuál es el desplazamiento angular del eje?

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18. Un disco gira 600, expresa dicho valor en: a) radianes b) revoluciones 19. Una polea gira 80 radianes, ¿cuántas revoluciones dio? 20. Un disco gira 60 radianes en 1.5 min, ¿cuál es la magnitud de su velocidad angular en rad/s?

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c) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento de la masa? 30. Una esfera atada a una cuerda de 1.2 m experimenta una aceleración centrípeta de 20 m/s durante su movimiento circular uniforme, ¿cuál es la magnitud de la velocidad tangencial? 31. Un disco inicia su movimiento de rotación a partir del reposo con una aceleración angular de 5 rad/s , ¿cuál es el valor de su velocidad angular de rotación a los 20 s? 32. Un plato de fonógrafo acelera a partir del reposo y alcanza una rapidez angular de 33 r.p.m. (rev/min) en 0.015 min. ¿Cuál es el valor de su aceleración angular en rad/s ? 33. Una rueda de ruleta se detiene en 10 s. Si la rueda da 4 rev en ese tiempo, ¿cuál es el valor de su velocidad angular inicial en rad/s? 34. Un engranaje comienza a rotar desde el reposo con una aceleración angular de 0.6 rad/s . ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular cuando completa cuatro giros? 35. Una partícula en la orilla de un disco de 0.4 m de radio tenía una rapidez tangencial de 4 m/s. Después de 6 s cambia su rapidez tangencial a 22 m/s. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración tangencial en dicho intervalo? 36. Determina la magnitud de la aceleración lineal resultante de una partícula que se mueve en un circulo de 0.5 m de radio, en el instante en que su aceleración centrípeta es 8 m/s2 y su aceleración tangencial es de 6 m/s2. 37. Una esfera de 40 cm de diámetro tiene dos puntos en su superficie separados 6 cm. ¿Cuál es el ángulo subtendido en el centro de la esfera por los dos puntos? 38. Un camión se desplaza por la carretera a 20 m/s. Si el diámetro de las ruedas es de 1.20 m, ¿con qué rapidez angular están girando las ruedas? Expresa el resultado en r.p.m. 39. Si se está levantando un objeto con una cuerda enrollada en el borde de un cilindro cuyo diámetro mide 40 cm y el cilindro se acelera 0.4 rev/s , ¿cuál es el valor de la aceleración tangencial del objeto en m/s ? 2

2

21. Calcula la magnitud de la velocidad tangencial de un móvil que describe una circunferencia de 20 cm de radio en 0.8 s. 22. El periodo de un movimiento circular uniforme es 4 s, ¿cuál es la magnitud de su velocidad angular? 23. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular de la Tierra en su movimiento de traslación alrededor del Sol? 24. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular del minutero? Expresa tu resultado en rad/s. 25. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular de una esfera que gira a velocidad angular constante si su desplazamiento angular es de 90 rad en un minuto? Expresa el resultado tanto en rad/s como en r.p.m. 26. Un disco gira una vuelta en 20 s. Si el radio es de 4 m, a) ¿cuál es la magnitud de su velocidad angular? b) ¿cuál es la magnitud de su velocidad tangencial? 27. El periodo de una polea es de 4 s. a) ¿Cuál es el valor de su velocidad tangencial en su extremo, si su radio es de 10 cm? b) Si el radio de la polea fuera de 20 cm, ¿cuál sería el valor de la velocidad tangencial en su extremo? 28. Determina la aceleración radial (centrípeta) en la periferia de un disco de 50 cm de radio, si en un punto de la periferia la magnitud de la velocidad tangencial es de 3 m/s. 29. Una masa de 2.0 kg se ata a una cuerda de 2.0 m de longitud y se hace girar en círculos horizontales. La masa completa una vuelta completa cada 0.8 s. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad tangencial? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la masa?

2

2

2

2

40. Una llanta de 0.040 m de radio gira a una rapidez constante de 150 rev/min. Determina la rapidez tangencial de una piedra incrustada en el borde exterior de la llanta.

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Formulario Subtema Tiro horizontal

Fórmulas

Notas x = coordenada horizontal de la posición del proyectil y = coordenada vertical de la posición del proyectil

Posición del proyectil:

y=

x = vt 0

1

gt

2

2

r v 0 = magnitud velocidad horizontal (inicial) r g = magnitud de la aceleración de la gravedad

Distancia entre el origen y la posición del proyectil: r = magnitud del vector de posición

r = x2 + y2 Componentes de la velocidad del proyectil: v =v v = gt x

0

y

v x = magnitud de la componente horizontal de la velocidad r vy

Magnitud de la velocidad: v = v2 + v2 Aceleración del proyectil: a =0 a =g x

x

Movimiento parabólico

y

y

= magnitud de la componente vertical de la velocidad

a = magnitud de la componente horizontal de la aceleración a = magnitud de la componente vertical de la aceleración x

y

Ecuaciones del movimiento del tiro oblicuo r v0

= velocidad de disparo inicial = ángulo de disparo inicial r v0 x = componente horizontal de la velocidad de disparo 0

g

r v0 y

= componente vertical de la velocidad de disparo

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Subtema

Fórmulas

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Notas

Componentes de la velocidad de disparo: v = v cos v = v sen 0x

0

0

0y

0

0

Posición del proyectil

y = v 0 yt –

x=v t 0x

1

gt

2

2

x = coordenada horizontal de la posición del proyectil y = coordenada vertical de la posición del proyectil

Distancia entre el origen y la posición del proyectil r = magnitud del vector de posición

r = x +y 2

2

Componentes de la velocidad del proyectil v =v x

v = v – gt

0x

y

0x

v = magnitud de la componente horizontal de la velocidad v = magnitud de la componente vertical de la velocidad x

y

Magnitud de la velocidad en cualquier instante v = magnitud de la velocidad del proyectil

v = v +v 2 x

2 y

Dirección de la velocidad en cualquier instante −1

⎛ vy ⎞ ⎟ ⎝ vx ⎠

θ = tan ⎜

= ángulo que forma la velocidad con la horizontal

Ecuación de la trayectoria del proyectil

(

)

⎛ g ⎞ 2 x 2 ⎟ ⎝ 2v ox ⎠

Esta ecuación corresponde a la de una parábola.

y = tan θ 0 x – ⎜ Altura máxima del proyectil

hmáx =

2 v0

( senθ0 )

2

máx

máx

y

2g

Alcance máximo

v 0 sen 2θ 0 2

x máx = R =

Para una rapidez dada, el alcance máximo se obtiene cuando: = 45 xmáx = R = alcance 0

g

Tiempo de vuelo

v = magnitud de la velocidad de disparo o inicial t = tiempo de vuelo g = aceleración de la gravedad (magnitud) 0

tv =

Movimiento circular uniforme

La altura máxima (h = y ) se alcanza cuando: v =0

2v 0 sen θ 0

v

g

= constante v = constante

r v = velocidad tangencial r ω

= velocidad angular r = radio

r ac

= aceleración centrípeta o radial r r v y ω son perpendiculares entre sí

r = radio de la circunferencia

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Subtema

Fórmulas Características del movimiento: Magnitud de la velocidad tangencial 2πr v= T

Relación entre la frecuencia y el periodo

f =

T = periodo V = v magnitud de la velocidad tangencial y

f = frecuencia T = periodo

1 T

Magnitud de la velocidad angular θ ω= t Para una vuelta completa: 2π ω= T Relación entre v y :

Notas

= magnitud de la velocidad angular = magnitud del desplazamiento angular

v = r a = magnitud de la aceleración centrípeta c

Aceleración centrípeta ac

ac =

v2 r

También se puede calcular por: ac = r 2

Movimiento circular uniformemente variado

Características del movimiento = constante

r ω r vt

= velocidad angular = aceleración angular

r α =

r v

= velocidad tangencial r α c = aceleración centrípeta o radial r at = aceleración tangencial r = radio α y ar son colineales t

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Subtema

Fórmulas 0

1 2 θ = ω 0t + αt 2 = + t = + 2 0

2

Notas t

Ecuaciones del movimiento

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= magnitud de la velocidad angular inicial = magnitud de la velocidad angular final = magnitud del desplazamiento angular = tiempo = magnitud de la aceleración angular

2 0

⎛ ω + ω0 ⎞ t ⎝ 2 ⎟⎠

θ=⎜

Relación entre las cantidades lineales y angulares s = r v = r a = r Aceleración lineal y aceleración tangencial

t = tiempo r = radio s = longitud del arco que tiene un ángulo central = ángulo central o desplazamiento angular expresado en radianes.

→

a

→ →

at

→

ac

Magnitud de la aceleración tangencial a = at + ac 2

2

a = aceleración lineal resultante ac = aceleración centrípeta → at = aceleración tangencial →

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Pasatiempos ¿Cuál es la trayectoria? A la salida del laberinto encontrarás el nombre de la trayectoria que describe un proyectil que se acelera en forma vertical mientras se desplaza horizontalmente.

Escribe en este espacio la trayectoria que describe el proyectil

Alcance horizontal y altura vertical en un movimiento parabólico El alcance horizontal y la altura vertical de un proyectil que describe una trayectoria parabólica dependen de su velocidad inicial y su ángulo de disparo. En la siguiente figura se muestran las trayectorias de diferentes proyectiles, todos con la misma rapidez, pero con diferentes ángulos de disparo. Escribe en los círculos que aparecen en blanco el número que corresponde a los ángulos de disparo citados, previa selección de los números que se muestran en la clave. Una vez realizado esto, responde brevemente las preguntas.

Clave: Ángulos de disparo 5°,

15°,

30°,

45°,

60°,

75°,

80°,

Figura 5.40 Alcances y alturas de un proyectil disparado con la misma rapidez a diferentes ángulos de disparo.

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Preguntas 1. ¿A qué ángulo el alcance del proyectil es máximo?

2. ¿A qué ángulo de los que aparecen en la figura la altura es máxima?

3. ¿Para qué ángulos de la figura el alcance del proyectil es el mismo?

Movimiento circular uniformemente acelerado Resuelve los siguientes problemas y registra los resultados numéricos en el crucigrama. A cada casillas le corresponde un dígito. Si las soluciones de los problemas son correctas, las operaciones indicadas en el crucigrama se deberán cumplir.

1. Calcula la aceleración angular de un disco que inicia su rotación a partir del reposo, si después de 2 s el valor de su velocidad angular es de 20 rad/s. 2. ¿Cuántas revoluciones da un carrusel que a partir del reposo, alcanza una rapidez angular de 0.2 rev/s (rps) en un tiempo de 600 s? Expresa el resultado en revoluciones. 3. Una rueda de un alfarero se acelera a 2 rad/s2 a partir del reposo. ¿Cuánto tiempo requiere para que su desplazamiento angular sea 4900 rad? 4. Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular con una aceleración angular constante de 4 rad/s2. ¿Cuánto tiempo requiere para incrementar su rapidez angular de 0 a 200 rad/s? 5. Una rueda de esmeril gira inicialmente a una rapidez angular de 2 rad/s con una aceleración angular de 1 rad/s2. ¿Qué rapidez angular alcanzará a los 38 s?

6. Un engranaje comienza a rotar desde el reposo con una aceleración angular de 3 rad/s2 , ¿cuál es la magnitud de la rapidez angular cuando han transcurrido 30 s? 7. El eje de un motor que giraba inicialmente a 10 rad/s, es acelerado a 20 rad/s2, ¿cuál será su desplazamiento angular a los 2 s? Expresa el resultado en radianes. 8. Cierta rueda de ruleta se detiene en 10 s. Si la rueda gira 100 rad en ese tiempo, ¿cuál era el valor de su velocidad angular inicial? 9. ¿Cuántas revoluciones da una rueda a partir del reposo si después de 4 s su rapidez angular es de 20 rps? Expresa el resultado en revoluciones. Considera que la aceleración angular es constante.

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Actividad Tiro horizontal En esta actividad evidenciarás que el tiempo en la caída libre de un cuerpo es el mismo que emplea dicho cuerpo para llegar al piso cuando es arrojado horizontalmente desde la misma altura.

¿Qué necesitas? • Dos reglas. • Dos monedas.

¿Qué debes hacer? 1. Coloca en la orilla de la mesa una de las monedas y la otra moneda en el extremo de la regla que sobresale del borde de la mesa como se muestra en la figura 5.41a.

2. Dale a la regla apoyada sobre la mesa un golpe rápido con la otra regla, mientras sostienes el otro extremo con la mano (Figura 5.41b). 3. En estas condiciones, la moneda sobre la regla tendrá un movimiento de caída libre y la moneda sobre la mesa tendrá un movimiento parabólico. 4. El sonido que se produce al golpear la moneda en el piso se puede utilizar para saber cuál de las dos monedas llegará primero al suelo. 5. De acuerdo con esto, ¿qué moneda llega primero al piso?, ¿por qué? 6. Repite esta experiencia, por lo menos dos veces más, antes de que des una conclusión.

Figura 5.41 a) Una de las monedas está en el borde de la mesa y en o con la regla y la otra encima del extremo de la regla que sobresale del borde de la mesa. b) Una de las monedas sigue una trayectoria rectilínea y la otra, parabólica.

Discusión y conclusiones •¿Por qué la moneda que se encuentra encima de la regla tiene un movimiento vertical al quitarla?

• ¿Qué moneda, cuando es golpeada la regla, sigue una trayectoria parabólica?

• ¿Es igual el tiempo que tardan en tocar el piso las dos monedas? ¿Por qué?

• ¿Qué concluyes de esta actividad?

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¿Te habías imaginado que… El movimiento parabólico y su relación con el salto de los animales S abemos que existen animales como las ranas, los canguros y las langostas, que se desplazan a saltos. Es probable que el principal uso de esta habilidad sea el de escapar de sus depredadores o de alejarse lo más que pueden del sitio en donde se impulsaron para dar el salto. Para estudiar el movimiento de estos animales, los biólogos se apoyan en la física, al emplear las fórmulas del movimiento parabólico. Estas fórmulas describen adecuadamente el salto de estos animales en el aire si se desprecia la resistencia del mismo. Por ejemplo, en el caso de una rana que ve a un halcón acercarse, ella debe saltar y alejarse tan lejos como pueda. Ante esto, ella sabe por “experiencia” que si el ángulo con que salta es pequeño o muy grande no llegará lejos como se ilustra en la Figura 5.42. Pero, si la velocidad con que se impulsa forma un ángulo de 45° con respecto a la horizontal (curva 3 en la figura 5.42) logrará su máximo alcance que en promedio es de aproximadamente 90 cm. En fotografías tomadas a las ranas se observa que ellas efectivamente saltan a un ángulo de 45° para lograr el máximo alcance, tal y como lo predice la ecuación que permite calcular el máximo alcance de un proyectil disparado a una determinada rapidez.

x máx = R =

De esta ecuación se deduce que para una determinada rapidez inicial v , el alcance es máximo cuando, sen 2 =1, es decir, cuando = 450, calculándose entonces dicho alcance por la siguiente ecuación. o

0

0

x =R= max

v g

2 0

Es conveniente destacar que los animales pueden saltar a un ángulo diferente de los 45°, por razones relacionadas con sus necesidades o su estructura. Por ejemplo, las langostas con frecuencia saltan al aire y luego se ponen a volar. En este caso, no tiene importancia el alcance, pero el tiempo que tarda en iniciar el vuelo puede ser significativo. Vuelen o no, las langostas en general saltan con un ángulo de 55° aproximadamente, de manera que su alcance llega a ser de 0.8 m. Este alcance se logra si las langostas saltan con una rapidez de 2.9 m/s o lo que es lo mismo a 10.4 km/h. Los canguros, por su parte, saltan 8 m de longitud a 45° cuando su rapidez de despegue es 31.8 km/h.

v 02 sen 2θ 0 g

Figura 5.42 El alcance máximo de la rana se logra con un salto de 45°.

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Pierre Simon Laplace Este científico nació en Beaumont-en-Auge, el 28 de marzo de 1749 y murió en París el 5 de marzo de 1827. Laplace descendía de una familia pobre, pero unos vecinos de posición acomodada lo ayudaron para que recibiera educación. Fue uno de los científicos más influyentes en su época. De su vida productiva se distinguen cuatro etapas: de 1768 a 1789, realizó una serie de Memorias sobre el cálculo integral, cosmología, teoría de los juegos de azar y la casualidad. De 1778 a 1789, escribió sus Tratados acerca de la mecánica celeste y las probabilidades, además de dedicarse a los temas de transformadas integrales, función exponencial y experimentar acerca de la teoría del calor. Colaboró con Lavoisier en la determinación de calores específicos de numerosas sustancias. Entre los dos demostraron que la cantidad de calor que se requería para descomponer una sustancia es igual a la que se

desprende al formarse dicha sustancia a partir de sus elementos. De 1789 a 1805, se encargó de problemas de orden sociocientífico, como el cambio del sistema educativo y el establecimiento del sistema métrico. Finalmente, durante 1805-1827, se ocupó de la teoría del calor, la óptica corpuscular y la velocidad del sonido. Laplace llegó a demostrar (al igual que Lagrange) que la excentricidad total de las órbitas de los planetas del Sistema Solar permanecía constante. Es decir, que si la órbita de un planeta aumenta en excentricidad, las órbitas de los demás tenderían a disminuirla para mantener el equilibrio. Se dice que Napoleón, al hojear la obra Mecánica celeste, le dijo a Laplace que no hacía alusión alguna a Dios a lo largo de la misma, a lo que el autor respondió: “No tuve necesidad de tal hipótesis.”

Creatividad en la física Movimiento en dos dimensiones Elabora un periódico mural sobre el movimiento en dos dimensiones Bajo la supervisión de tu profesor, organiza un equipo de trabajo para que juntos elaboren un periódico mural sobre el movimiento en dos dimensiones. Los del equipo deberán realizar investigaciones documentales y de campo sobre: 3 Movimiento en un plano 3 Movimiento circular y sus características 3 Velocidad angular de diferentes aparatos, como una licuadora, un taladro, los motores eléctricos, así como la rueda de la fortuna, entre otros. 3 Movimiento parabólico y sus características 3 Movimiento parabólico y el deporte Los mejores periódicos murales, por ser los más completos, creativos, interesantes y mejor ilustrados serán seleccionados para ocupar uno de los muros del salón de clases o bien, ser exhibidos en algún lugar de la escuela, bajo previa autorización de profesores y directivos.

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Evaluación sumativa Elige el inciso correcto y colócalo en el paréntesis. 1. ( ) Estudio de los cuerpos en movimiento sin importar las causas que lo producen o modifican. a) Dinámica c) Cinética b) Estática d) Cinemática 2. ( ) Se define como el cambio de posición de un cuerpo con respecto a otro, al transcurrir el tiempo. a) Distancia c) Desplazamiento b) Movimiento d) Velocidad

8. ( ) Determina la rapidez media de un auto que al pasar por el poste telefónico número 1, localizado a 100 m de un árbol, el cronómetro ubicado en dicho poste marca 10 , pero al pasar por el poste telefónico número 2, ubicado a 140 m del árbol, el cronómetro ubicado en este poste marca 14 . Los cronómetros se encuentran sincronizados a) 4 m/s c) 10 m/s b) 8 m/s d) 14 m/s s

s

9. ( ) Un auto de carreras partió del reposo con una aceleración de 8m/s . ¿Cúal será el valor de su velocidad a los 4 s? a) 2m/s c) 16 m/s b) 32 m/s d) 64 m/s 2

3. ( ) La rapidez en el SI se mide en: a) m c) s/m b) m/s d) m/s 2

4. ( ) Se considera que un automóvil está acelerado cuando: I) la velocidad aumenta II) la velocidad disminuye III) la velocidad cambia de dirección IV) la velocidad permanece constante a) sólo I c) I, II y III b) sólo II d) I, III y IV 5. ( ) ¿Cuál es la magnitud física que indica el cambio de posición de un cuerpo durante su movimiento? a) velocidad c) rapidez b) desplazamiento d) aceleración 6. ( ) Las características del movimiento rectilíneo uniforme son: I velocidad constante II aceleración constante III aceleración cero IV recorre distancias iguales en tiempos iguales a) I y II c) I, II y IV b) II y III d) I, III y IV 7. ( ) ¿Cuál es la expresión matemática que permite conocer la magnitud de la velocidad para cualquier instante de un móvil cuando se conocen sus valores de la aceleración y velocidad inicial? c) v = v + ad a) v = v + at d) v = v + a/2 t b) v = v + 2ad 0

0

2

0

0

10.( ) Una persona deja caer una pelota y golpea el piso 1.0 después de haberse soltado. ¿A qué altura del piso se encontraba la pelota? a) 9.8 m c) 19.6 m b) 4.9 m d) 1.0 m s

11. ( ) Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 6 m/s cuando alcanza su altura máxima, su velocidad es: a) cero c) 9.8 m/s b) 6 m/s d) máxima 12. En la siguiente gráfica v Vs. t se representa: v(m/s)

t(s) a) Un cuerpo que cae libremente b) Un cuerpo en movimiento uniforme c) Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba d) El descenso de un cuerpo en un plano inclinado 13. ( ) Un autobús viajó por una carretera recta; si su movimiento se presentó por la gráfica que aparece a continuación, ¿cuál es el valor del desplazamiento total recorrido?

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192 Física I • Unidad II d(km)

17. ( ) Una pelota unida a una cuerda gira en un círculo de radio r = 0.8 m con una rapidez lineal constante de 10m/s, ¿cuál es el valor de la aceleración centrípeta? c) 15.62 m/s a) 125 m/s b) 12.5 m/s d) 8 m/s

200 150

2

100

2

2

2

50 1

a) 450 km b) 250 km

2

3

4

5

t(h)

c) 200 km d) 150 km

14. ( ) En el tiro horizontal la velocidad inicial y la aceleración de la gravedad forman un ángulo de: a) 180° c) 45° b) 90° d) 0° 15. ( ) En el tiro oblicuo cuando el cuerpo alcanza la altura máxima su velocidad es c) (V0 cos 0) t a) V0 sen 0 d) cero b) V0 cos 0 16. ( ) Una pelota al ser golpeada sale impulsada a una velocidad de 30m/s con un ángulo de 45° respecto a la horizontal. Determina el alcance máximo. a) 22.9 m c) 91.8 m b) 4.32 m d) 45.9 m

18. ( ) En el movimiento circular uniforme: a) la aceleración centrípeta es cero b) la velocidad tangencial es cero c) la velocidad angular es constante d) la aceleración angular es constante 19. ( ) Una rueda gira con aceleración angular constante de 2 rad/s . Si la velocidad angular inicial tiene un valor de 1 rad/s en el instante t = 0s. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular en 10s? a) 5 rad/s c) 10 rad/s b) 6 rad/s d) 21 rad/s 2

20. ( ) Un automóvil recorre una pista circular de radio igual a 200 m. Si el automóvil se mueve con una rapidez de 40 m/s, determina el valor de su velocidad angular. a) 8000 rad/s c) 5 rad/s b) 400 rad/s d) 0.2 rad/s

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III

Unidad Leyes de Newton Trabajo, potencia y energía mecánica Objetivo de la unidad: Al término de esta unidad, los estudiantes podrán resolver problemas prácticos relacionados con las leyes de Newton, el trabajo potencia y la energía mecánica, por medio del empleo correcto de conceptos y modelos matemáticos, aplicando de manera científica sus conocimientos en múltiples fenómenos físicos observables en su vida cotidiana.

Contenido Capítulo 6 Leyes de Newton Capítulo 7 Trabajo, potencia y energía mecánica

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194 Física I • Unidad III

Evaluación diagnóstica Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Qué es lo que provoca que un carrito de supermercado que inicialmente está en reposo se mueva? 2. ¿Qué es una fuerza? 3. ¿Qué efectos puede producir una fuerza sobre un carrito de supermercado? 4. ¿Cuál es la diferencia entre una fuerza de o y una fuerza de acción a distancia? 5. ¿Qué es una fuerza gravitacional? 6. ¿De qué manera la fuerza de fricción no es útil a los seres humanos? 7. ¿En qué momento se considera que la inercia de un jugador de fútbol americano es grande? 8. Para que un cuerpo se mueva a velocidad constante, ¿crees que se le debe aplicar una fuerza constante? 9. ¿De qué variable depende la aceleración de un cuerpo? 10. ¿Por qué son importantes las leyes de Newton? 11. ¿De qué depende la velocidad máxima con que un automóvil puede desplazarse en una curva?

Para responder estas preguntas estudiaremos… 12. ¿Cuándo se realiza un trabajo desde el punto de vista de la física? 13. ¿En qué unidad se mide el trabajo en el SI? 14. ¿Qué se quiere decir cuando se señala que la potencia de una máquina es mayor que la de otra máquina? 15. ¿Cómo se define la potencia? 16. ¿A qué se le llama energía? 17. ¿Cuántos tipos de energía conoces? 18. ¿Qué es la energía mecánica? 19. ¿Qué establece el principio de conservación de la energía?

• Concepto de fuerza • Clasificación de las fuerzas • Fuerza de fricción • Masa inercial • Primera ley de Newton • Segunda ley de Newton • Diagrama de un cuerpo libre • Consistencia entre la primera ley de Newton y la segunda ley del movimiento • Tercera ley de Newton • Fuerza centrípeta • Estrategia para la solución de problemas en los que se aplican las leyes de Newton • La fuerza de gravedad • La ley de gravitación

universal • Trabajo • Potencia • Energía • Energía potencial gravitacional • Energía cinética • Conservación de la energía mecánica • Conservación de la energía • Energía potencial elástica • Potencia y energía • Máquinas • Máquinas simples • Palanca • Plano inclinado • Poleas • Torno • Transmisión con poleas y bandas

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Capítulo

6 Leyes de Newton Objetivo Objetivo

Al término de este capítulo, los estudiantes podrán resolver problemas de aplicación relacionados con las leyes de Newton a partir del análisis y descripción de las características de dichas leyes, valorando así su utilidad en la comprensión de múltiples fenómenos.

Introducción

Introducción

En los capítulos 4 y 5 estudiamos el movimiento de los cuerpos, con énfasis en el movimiento a lo largo de una línea recta y en un plano. Por medio de los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración comprobamos que era posible describir el movimiento de los cuerpos, sin preocuparnos de su causa. En el presente capítulo consideraremos las causas del movimiento y la relación entre éstas, y el movimiento que en consecuencia adquieren los cuerpos. Es decir, estudiaremos una parte de la física llamada dinámica. La dinámica es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos y las fuerzas que lo provocan o modifican. En este capítulo estudiaremos los conceptos de fuerza y masa, para luego continuar con las leyes de

Newton del movimiento. También analizaremos las fuerzas de fricción y centrípeta. Finalizaremos con la aplicación de las leyes de Newton a cuerpos sometidos a fuerzas en diversas situaciones. Los físicos actuales consideran a las leyes de Newton del movimiento como las leyes que permiten describir y predecir el movimiento de los cuerpos cuando su velocidad es mucho menor que la velocidad de la luz (c = 3 108 m/s). La comprensión de las leyes de la dinámica (leyes de Newton) le ha permitido al ser humano, entre muchas otras cosas, enviar astronautas a la Luna y poner en órbita alrededor de la Tierra los satélites que han mejorado las comunicaciones entre los individuos.

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Fuerza Una señora desea mover un carrito del supermercado que se encuentra inicialmente en reposo, ¿qué es lo que debe hacer para lograrlo? La respuesta es simple: debe empujarlo o jalarlo para que se mueva en la dirección que ella lo desee. En física decimos que se ejerce una fuerza sobre el carrito para provocar un movimiento.

Figura 6.2 Las fuerzas se pueden representar por vectores.

2. Las fuerzas ocurren en parejas. Si un objeto A (mano) ejerce una fuerza sobre un objeto B (muro), también B (muro) ejerce una fuerza sobre A (mano), como se ilustra en la siguiente figura.

Figura 6.1 Una fuerza aplicada sobre un cuerpo provoca una aceleración, es decir, un cambio de velocidad.

Aunque las fuerzas no son visibles, sí podemos observar los efectos que producen. Por ejemplo, al jalar un extremo de una liga y mantener el otro extremo fijo, se causa una deformación. Asimismo, al empujar una caja en reposo, se le provoca un movimiento. A veces una fuerza puede provocar en un cuerpo tanto una deformación como un cambio en su estado de movimiento; esto sucede al patear un balón, ya que éste se deforma y acelera simultáneamente. A pesar de la gran variedad de fuerzas que existen en la naturaleza, se ha encontrado, a partir de la experiencia cotidiana, que todas tienen las siguientes propiedades. 1. Las fuerzas se caracterizan por su magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación. Por ejemplo, cuando aplicas una fuerza al émbolo de una jeringa, éste saldrá o se introducirá en ella, dependiendo del sentido de la fuerza. Asimismo, el movimiento que tendrá una bola de billar al ser golpeada por el “taco” no sólo depende de la magnitud de la fuerza aplicada, sino del punto en donde se aplica. Debido a estas características, las fuerzas se representan por vectores. (Figura 6.2.)

Figura 6.3 Así como la palma de la mano ejerce una fuerza sobre el muro, el muro ejerce al mismo tiempo una fuerza sobre la palma de la mano.

3. Una fuerza sobre un cuerpo puede deformarlo. Cuando aprietas un trozo de plastilina, ésta se deforma bajo la acción de la fuerza que ejerces sobre ella. 4. Una fuerza sobre un objeto puede producirle un cambio en la velocidad, es decir, una aceleración. Si empujas un baúl en reposo sobre una superficie pulida, éste adquirirá una velocidad, ya que está siendo acelerado. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se pueden clasificar en fuerzas internas y externas. Las fuerzas internas son las que existen entre las partes (moléculas y átomos) del mismo cuerpo, es decir, las fuerzas que mantienen unidas a las moléculas o átomos del cuerpo. Las fuerzas externas son las fuerzas que ejercen otros objetos sobre el cuerpo en estudio. Cuando empujas un auto las fuerzas externas son la fuerza que tú ejerces sobre el auto, la fuerza de atracción que ejerce la Tierra y las fuerzas que ejerce el piso sobre el auto y que evitan que se hunda en él, así como la fuerza de fricción entre las llantas y el piso.

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Capítulo 6 • Leyes de Newton 197

planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Debido a esta fuerza, cada objeto atrae al resto de los objetos del Universo (Figura 6.6).

Figura 6.4 Fuerzas externas que actúan sobre un auto que es empujado.

Las fuerzas también se pueden clasificar en fuerzas de o y de acción a distancia. La fuerza de o es aquella que se presenta cuando hay o físico entre los cuerpos que interactúan. Por ejemplo, cuando jalas un carro o cierras una puerta con tu mano, las fuerzas que aparecen son de o. Es importante señalar que la fuerza de o es el resultado de la interacción electromagnética entre los átomos superficiales de los dos cuerpos. Por el contrario, las fuerzas de acción a distancia se manifiestan cuando entre dos cuerpos como la Tierra y la Luna, hay una interacción sin que exista o físico entre ellos o sin que exista un medio material entre ellos. La fuerza que se presenta entre dos imanes es un ejemplo de una fuerza de acción a distancia (Figura 6.5).

Figura 6.6 El satélite Solidaridad gira alrededor de la Tierra debido a la fuerza de atracción gravitacional.

La fuerza electromagnética es la responsable de las interacciones entre algunas de las partículas elementales que componen la materia. Por ejemplo, proporciona la fuerza de atracción que mantiene a los electrones cerca de los protones en el átomo. Esta fuerza se debe a la propiedad de la materia llamada carga eléctrica; puede ser atractiva o repulsiva (Figura 6.7). Como lo indica su nombre, la fuerza electromagnética incluye las fuerzas magnética y eléctrica. El alcance de dicha fuerza es ilimitado.

Figura 6.5 La fuerza entre imanes se presenta sin que exista o entre ellos.

Las fuerzas en función de sus orígenes se han clasificado en: 1. Fuerza gravitatoria o gravitacional 2. Fuerza electromagnética 3. Fuerza nuclear fuerte 4. Fuerza nuclear débil A continuación describimos sus características básicas. La fuerza gravitatoria o gravitacional es la fuerza de atracción que se presenta entre dos cuerpos debido a sus masas; en teoría su alcance es ilimitado. Esta fuerza es universal, ya que no sólo nos sujeta a la superficie de la Tierra, sino que además mantiene a los

Figura 6.7 La fuerza eléctrica entre dos cargas puede ser atractiva o repulsiva.

La fuerza nuclear fuerte es la responsable de que los protones y neutrones permanezcan unidos en el núcleo del átomo. Sin esta fuerza los núcleos no existirían. Es la fuerza fundamental más intensa que se encuentra en la naturaleza. El alcance de esta fuerza es limitado, ya que no actúa fuera del núcleo.

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La fuerza nuclear débil es la responsable de que se produzca la desintegración beta;* también es responsable de la interacción entre ciertas partículas llamadas leptones. Debido al control que ejerce esta fuerza en las reacciones nucleares que ocurren en el Sol, determina la vida media de éste. En la Tabla 6.1 se muestra una comparación entre las fuerzas fundamentales. En esta tabla se evidencia que la fuerza más débil de las fundamentales es la fuerza gravitacional; a pesar de este hecho, es la fuerza dominante en la experiencia cotidiana puesto que estamos más conscientes de su existencia. En la actualidad se está en la búsqueda de una sola fuerza fundamental que agrupe a las cuatro fuerzas anteriores. La medición de las fuerzas se puede efectuar con dinamómetros, como el que se ilustra en la figura 6.8. Estos instrumentos consisten en un resorte contenido en un cilindro de plástico o metal con dos ganchos, uno en cada extremo. En el cilindro aparece marcada una escala. Al colgar el objeto por el gancho inferior, el cursor del dinamómetro se mueve a lo largo de la escala para indicar el valor de la fuerza. En la vida cotidiana, el valor de la fuerza puede ir desde 10 N, que es la fuerza promedio necesaria para mover el interruptor que enciende la luz de la recámara, hasta la fuerza de 150 000 N, que es la fuerza producida por un motor de propulsión a chorro.

Fuerza de fricción

Figura 6.8 El dinamómetro se emplea para medir la magnitud de las fuerzas. Puede estar graduado en newtons o en kilogramos fuerza.

Figura 6.9 Puedes caminar gracias a la fricción.

Cuando intentamos deslizar una caja sobre el piso aparece una fuerza entre éste y la caja que se opone a dicho movimiento. La fuerza que se opone al deslizamiento de la caja recibe el nombre de fuerza de fricción. Sin la presencia de esta fuerza muchos fenómenos ordinarios no se presentarían. Para empezar, no podríamos ni caminar, ya que la fuerza de fricción es la fuerza que nos impulsa cuando intentamos deslizar los pies sobre el piso (Figura 6.9).

Fuerza que ejerce el piso sobre la persona debido a la fricción

Fuerza que ejerce el pie sobre el piso

Tabla 6.1 Alcance e intensidad de las fuerzas fundamentales Fuerza Intensidad

Gravitacional

Electromagnética

Nuclear débil

Nuclear fuerte

10–39

10–2

10–5

1

Infinito

Infinito

<10–16 m

10–15 m

o magnitud Alcance

* En la desintegración beta () el átomo radiactivo se transforma en otro átomo emitiendo una partícula beta (puede ser un electrón o un positrón) y un antineutrino o neutrino.

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La fricción ocurre en todas partes entre dos medios que se hallan en o: sólido con sólido (baúl y suelo), sólido y líquido (el frenado que sufre una bala al entrar en o con el agua), sólido y gas (el frenado del paracaídas al descender), etcétera. En este capítulo consideraremos sólo la fricción entre superficies sólidas. Todas las superficies sólidas, por muy lisas que se vean o se sientan, son microscópicamente rugosas. Los primeros investigadores pensaban que la fricción se debía a la trabazón mecánica de irregularidades superficiales llamadas asperezas. Sin embargo, las investigaciones modernas sugieren que la mayor parte de la fricción generada entre las superficies de o de los sólidos ordinarios (metales en particular), se debe a la adhesión local entre las superficies. Cuando dos superficies son presionadas una contra otra, en las asperezas que están en o se forman puntos de alta presión (pues el área de o es muy pequeña), lo cual provoca fusión o cohesión locales entre las superficies. Si se quiere deslizar una superficie sobre otra, estos puntos de fusión (o soldado) deben romperse (Figura 6.10). Algunos estudios demuestran que esta unión es la que contribuye en mayor grado a la resistencia friccional: hasta en un 80% para el caso de superficies metálicas. Los primeros investigadores formularon las siguientes leyes: 1. La fuerza de fricción actúa siempre en sentido opuesto al movimiento o a la fuerza que intenta producir el movimiento. 2. La fuerza de fricción es independiente del área de o de los dos cuerpos o medios en o.

3. La fuerza de fricción es proporcional al peso (carga). 4. La fuerza de fricción es independiente de la rapidez del deslizamiento entre los cuerpos. Para su estudio, las fuerzas de fricción se clasifican en fuerzas de fricción secas y viscosas. Las viscosas serán estudiadas cuando se analicen los fluidos. Las secas, a su vez, se dividen en fuerza de fricción estática, dinámica y de rodamiento. Aquí discutiremos estas últimas.

Fuerza de fricción estática (fs)* Es la que te impide mover con facilidad una mesa pesada o un refrigerador (Figura 6.11). Este tipo de fricción evita el movimiento entre superficies secas y limpias (no lubricadas) de sólidos en o. Para deslizar cualquier objeto sobre una superficie, antes debe vencerse a la fuerza de fricción estática (fs).

Fuerza de fricción estática Figura 6.11 La fuerza de fricción estática (fs) impide que podamos deslizar fácilmente un refrigerador u otro objeto pesado.

Fuerza de fricción dinámica o cinética (fk)** Esta fuerza aparece una vez que se ha vencido a la fricción estática y se ha iniciado el movimiento. En general, es menor que la fuerza de fricción estática máxima. Es por esto que requieres menos esfuerzo para seguir deslizando un refrigerador que para empezar apenas a moverlo (Figura 6.12). Figura 6.10 Rozamiento o fricción debido a la cohesión de empalmes de las superficies en o. * El subíndice s de la fuerza de fricción estática proviene de la palabra en inglés static, y así se utilizará en esta obra. ** El subíndice k de la fuerza de fricción dinámica o cinética se deriva de la palabra en inglés kinetic, y así aparecerá en toda la obra.

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rodamiento (fr) es menor que la fuerza de fricción dinámica (Figura 6.14).

Coeficiente de fricción Fuerza de fricción cinética Figura 6.12 En general, la fuerza de fricción dinámica o cinética (fk o fd) es menor que la fuerza de fricción estática (fs).

Es importante señalar que cuando no se está aplicando ninguna fuerza sobre el refrigerador (o cualquier otro cuerpo), la fuerza de fricción estática es cero, pero cuando se le quiere mover, la fuerza de fricción estática va creciendo de manera que siempre contrarresta, hasta cierto límite, la fuerza externa que se aplica sobre el refrigerador; es decir, la fuerza de fricción estática es igual y opuesta a la fuerza aplicada, dado que no hay movimiento. Cuando la fuerza externa excede el valor máximo ( fs máx) que la fuerza de fricción estática puede ejercer entre las superficies en o para que no haya movimiento, aparece la fuerza de fricción dinámica, la cual es menor que fs máx como se ilustra en la figura 6.13.

Es mucho más fácil deslizar un refrigerador sobre una pista de hielo que sobre un piso de cemento rugoso, a pesar de que en ambos casos el área de o y el cuerpo que movemos es el mismo. Esta dificultad o facilidad que presentan las superficies para que se deslice un cuerpo por ellas se mide con los llamados coeficientes de fricción ().

Figura 6.14 La fuerza de fricción por rodamiento (fr) se opone al movimiento de rotación de una esfera o un cuerpo cilíndrico.

A mayor coeficiente de fricción, mayor fuerza de fricción. Como habrás deducido, el hielo tiene un coeficiente de fricción menor que el cemento. Por otro lado, es mucho más fácil deslizar por el suelo una hielera de poco peso que un refrigerador. De aquí concluimos que la fricción también depende de la fuerza normal entre el refrigerador y el peso. (Figura 6.15).

Descubre la física Figura 6.13 Gráfica de las fuerzas de fricción estática y dinámica sobre un cuerpo.

Fuerza de fricción por rodamiento (o por rodadura) Esta fuerza se presenta cuando un cuerpo cilíndrico o una esfera se mueve a lo largo de una superficie plana o cuando dos cuerpos cilíndricos en o se mueven uno con respecto al otro. La fuerza de fricción por

Si el rozamiento no existiera, muchas de las situaciones ordinarias no se podrían desarrollar. Por ejemplo, si el rozamiento desapareciera, un vaso y un plato sobre una mesa ligeramente inclinada no podrían permanecer en ella. Tampoco se podría sujetar una botella con las manos y mucho menos caminar. Del mismo modo, la Tierra sería una gran esfera sin rugosidades, o sea sin montañas. El paisaje que veríamos sería completamente diferente al que estamos acostumbrados. No cabe duda que el rozamiento es importante en la naturaleza y en nuestras vidas.

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a)

→

N

b)

Tabla 6.2 →

Coeficientes de fricción

N

→

→

W

W

Materiales

s

k

r

Madera–madera

0.4

0.3

0.0020

Acero–acero

0.8

0.5

0.0025

→

W

Figura 6.15 La fuerza de fricción entre dos cuerpos depende de la fuerza normal (N o fN) entre las dos superficies en o. La fuerza normal es perpendicular a las superficies de o. En a) N=W y en b) N=Wcos

De acuerdo con esto último, la fuerza de fricción (f ) entre dos objetos en o es proporcional a la fuerza normal (N) que se ejerce entre las superficies en o de los dos objetos y al coeficiente de fricción () característico de dichas superficies, es decir:

Descubre la física ¿Por qué hay que dar pasos cortos al caminar sobre una superficie con poca fricción? Porque debido a que el coeficiente de fricción estático es muy pequeño, las únicas fuerzas exteriores que actúan entre las personas son su peso y la fuerza normal del piso sobre dichas personas. Por tanto, para mantener el equilibrio, la línea vertical que pasa por el centro de gravedad de cada persona tiene que caer sobre la superficie de sus pies o entre la superficie que existe entre sus dos pies. Al avanzar, se debe procurar que la línea vertical no caiga fuera de la base de sustentación (pie y área entre los pies).

f = N donde es característico de las superficies en o; es una magnitud adimensional y menor que 1. Puesto que existen diferentes tipos de fuerzas de fricción, existen también diferentes tipos de coeficientes de fricción (Tabla 6.2) que están relacionados por las siguientes ecuaciones: Fuerza de fricción estática máxima: fs máx = s N Fuerza de fricción dinámica o cinética: fk = k N Fuerza de fricción por rodamiento: fr = r N Para el mismo par de superficies en o se ha confirmado que: fs máx > fk > fr Si se considera que la fuerza normal entre dichas superficies en o es la misma, entonces para que se cumpla lo anterior se necesita que:

s > k > r

Así como la fuerza de fricción es la responsable de que un balón de fútbol se detenga después de haber recorrido cierta distancia por el piso, también es la responsable de las diversas formas de locomoción (caminar, correr y reptar). Sin embargo, la fricción no siempre es buena; a causa de ella, mucha de la energía mecánica necesaria para mover objetos y máquinas se transforma en calor y pierde su utilidad. Por esta razón, los ingenieros procuran evitar el rozamiento en las máquinas por medio de lubricantes, como el aceite. Las fuerzas de fricción entre superficies sólidas pueden reducirse considerablemente al lubricar las superficies en o. La lubricación es esencial en el trabajo de cualquier máquina y ello se aplica también a la máquina humana. Las articulaciones se encuentran lubricadas mediante el fluido sinovial (Figura 6.16). De igual forma, cuando una patinadora presiona con sus patines el hielo de la pista, la presión que ejerce provoca que una capa pequeña de hielo se funda debajo de las cuchillas.

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Figura 6.16 Las articulaciones humanas se lubrican con el fluido sinovial.

Figura 6.17 La baja fricción permite a la patinadora deslizarse una gran distancia antes de detenerse.

Esta agua actúa como un lubricante que disminuye la fuerza de fricción entre los patines y el hielo. De aquí que la patinadora parece moverse sin esfuerzo alguno sobre la pista de hielo (Figura 6.17).

Problemas ejemplo 6.1 Se quiere mover un bloque de madera sobre un piso de madera , pero antes de hacerlo se desea conocer la fuerza de fricción estática máxima que existe entre dichas superficies. Se sabe que s = 0.4 y que la fuerza normal (N) entre dichas superficies es de 80 N. ¿Qué valor tiene la fuerza de fricción estática máxima? Solución Datos s = 0.4

Fórmula

Sustituyendo valores

fs máx = sN

fs máx = (0.4)(80 N)

N = 80 N

Resultado

fs máx = ?

fs máx = 32 N

6.2 Si el bloque de madera del problema anterior se mueve a velocidad constante sobre el piso de madera (k = 0.3), ¿cuál es el valor de la fuerza de fricción dinámica? Solución Datos

k = 0.3

Fórmula

Sustituyendo valores

fk = k N

fk = (0.3)(80 N)

N = 80 N

Resultado

fk = ?

fk = 24 N

Esta fuerza es menor que fs máx.

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Masa inercial Cuando empujamos un baúl sentimos que éste se opone a iniciar su movimiento; de la misma manera, si se intenta cambiar la velocidad de un auto, éste también se opondrá a dicho cambio. La resistencia que, en general, presentan los objetos a cambiar su estado de movimiento o de reposo recibe el nombre de inercia. Esta es una propiedad de los objetos y se trata de una medida de la respuesta de un objeto a una fuerza externa. Si a un baúl vacío se le aplica una fuerza, éste adquirirá una determinada aceleración, pero si el baúl se llena con piezas de acero, se requerirá aplicarle una fuerza mayor para darle la misma aceleración; por tanto, el baúl vacío tiene menos inercia que el baúl lleno. (Figura 6.18)

Figura 6.18 El baúl con las piezas de acero tiene mayor inercia que el baúl vacío.

La masa inercial o simplemente masa es una medida de su inercia; es decir, cuanto mayor sea la inercia de un cuerpo, tanto mayor será su masa. Por ejemplo, cuando es mayor la masa de un cuerpo, tanto menor es la aceleración de ese cuerpo bajo la acción de una fuerza aplicada (Figura 6.19).

La masa de un cuerpo es una constante característica del mismo, ya que no se altera si cambia su temperatura, forma o estado. Es una magnitud escalar, que obedece las reglas de la aritmética y que no depende del método usado para medirla. La unidad de masa en el SI es el kilogramo. Sin embargo, en los países de habla inglesa se utiliza el slug cuya equivalencia con el kilogramo es la siguiente: 1 slug = 14.59 kg La masa de un cuerpo puede ser medida por una balanza, pero, en una región del espacio sideral donde el cuerpo estuviese aislado, lejos de cualquier cuerpo celeste, es decir, en una región carente de gravedad, no se puede medir la masa con la balanza. Sin embargo, en estos lugares se puede medir la masa de un cuerpo comparando las aceleraciones que una fuerza determinada produce sobre dicho cuerpo y el cuerpo cuya masa se toma como referencia. Supongamos que una fuerza actúa sobre un cuerpo de masa m1 produce una aceleración de a1, y si la misma fuerza actúa sobre un cuerpo de masa m2 produce una aceleración de a2. La proporción de las dos masas se define como la razón inversa de las magnitudes de las aceleraciones producidas por la misma fuerza.

m1 a2 = m2 a1 Si m2 es la masa patrón de 1 kg, la masa m1 puede obtenerse de las mediciones de las aceleraciones (Figura 6.20).

Figura 6.19 Una fuerza dada que actúa sobre una masa de 4 kg produce una aceleración de 2 m/s2 y la misma fuerza aplicada de una masa de 8 kg producirá una aceleración de 1 m/s2.

a)

a1 = 2 m/s2

a2 = 6 m/s2

b) F

1 kg

F

m1 = ?

r Figura 6.20 Bajo una fuerza F, una masa m2 de 1 kg experimenta una aceleración de 6 m/s2. Bajo la misma fuerza, una masa m1, se acelera a 2 m/s2, por tanto el valor de m1 puede obtenerse de: m1 1 kg lo que da por resultado m1 = 3 kg.

=

6 m/ s

2

2m/ s

2

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Descubre la física La masa de un cuerpo es una medida que calcula el grado en el que éste se resiste a ser acelerado cuando se le aplica una fuerza. El rango de masas en el universo es muy amplio; por ejemplo, la masa de un electrón es de alrededor 9.1 x 10-31 kg, la de una molécula de penicilina es de 10-18 kg, la de un colibrí de 10-2 kg, la de un perro de 101 kg, la de la ballena azul de 105 kg, la de la Luna de 7 x 1022 kg y la de la galaxia a la que pertenece la Tierra de 22 x 1041 kg.

las masas de cada componente aislado. 2. La masa de un cuerpo es una magnitud constante que no depende del movimiento de éste. Sin embargo, cuando los cuerpos se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de la luz (c = 3 108 m/s), la masa ya no es independiente del movimiento del cuerpo, pues de acuerdo con la teoría de la relatividad de Einstein, la masa de un cuerpo depende de su rapidez () por la siguiente ecuación: m=

m0 1±

v2 c2

donde:

Problemas ejemplo 6.3 Si un bloque de 1 kg experimenta una aceleración de 4 m/s2 cuando actúa sobre él una determinada fuerza. Determina la masa de un baúl que experimenta una aceleración de 0.25 m/s2 cuando actúa la misma fuerza. Solución Datos m2 = 1 kg m1 = ? a2 = 4 m/s2 a1 = 0.25 m/s2 Fórmula

m1 a2 = m2 a1

Sustitución

m1 4 m / s2 = 1 kg 0.25 m / s 2

Resultado m1 = 16 kg

En la mecánica clásica de Newton, la masa de un cuerpo posee dos importantes propiedades: 1. La masa es una magnitud aditiva, es decir la masa de un cuerpo compuesto es igual a la suma de

m0 = masa del cuerpo en reposo m = masa del cuerpo a una rapidez v = rapidez del cuerpo c = rapidez de la luz en el vacío (3 108 m/s) Para los movimientos ordinarios de la mecánica clásica, v << c, la ecuación anterior establece que m m0, es decir, que la propiedad de la constancia de la masa es válida para rapideces pequeñas del cuerpo.

Primera ley de Newton Iniciaremos el estudio de la primera ley de Newton considerando las siguientes situaciones: 3 Supongamos que un libro se encuentra sobre la mesa. Es evidente que el libro permanecerá sobre ella en reposo, mientras no exista alguna influencia (fuerza externa no balanceada) sobre él. 3 Imaginemos que ahora empujas el libro con una fuerza horizontal, lo suficientemente considerable para vencer la fuerza de fricción entre el libro y la mesa. En esta situación el libro se pone en movimiento. De acuerdo con lo anterior, un libro, o cualquier otro objeto inanimado, no salta, ni vuela, ni se mueve por sí mismo, ya que un cuerpo en reposo permanecerá en reposo y continuará en esta condición mientras no se ejerza una fuerza sobre él (Figura 6.21). Esta propiedad de los cuerpos corresponde a la primera parte de la primera ley de Newton, la cual es tan básica

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Figura 6.21 El libro que está sobre la mesa permanecerá en reposo mientras no actúe ninguna fuerza externa no balanceada sobre él.

que parece trivial e innecesaria. Sin embargo, la segunda parte del enunciado de la primera ley de Newton no es tan fácil de visualizar. Esta parte establece que un cuerpo en movimiento a velocidad constante continuará moviéndose a velocidad constante, mientras no actúe ninguna fuerza externa no balanceada sobre él. Esto contradice nuestro sentido común, pues sabemos que si aplicamos una fuerza al libro al darle un empujón, éste se moverá pero no de manera indefinida, ya que se detiene casi de inmediato. Sin embargo, si el libro es empujado horizontalmente cuando se encuentre sobre la superficie de hielo de un lago, recorrerá una gran distancia antes de detenerse. La fuerza de fricción que actúa sobre el libro debido al hielo es mucho menor que la que actúa cuando se encontraba sobre la mesa. Mientras exista esta fuerza, por muy pequeña que sea, el libro (o cualquier otro objeto) se detendrá. Por el contrario, si imaginamos que el libro se encuentra sobre una superficie pulida, sin fricción, éste se moverá de manera indefinida a velocidad constante, inmediatamente después del empujón que se le haya dado (Figura 6.22), mientras no actúe una fuerza externa neta sobre él. Antes del siglo XVII, los científicos creían que el estado natural de los cuerpos en la Tierra era el reposo. Galileo fue en esa época el que planteó un enfoque diferente acerca del movimiento y el estado natural de los cuerpos. Llegó a conclusiones importantes al imaginar experiencias como la que acabamos de describir para un libro sobre una superficie sin fricción; parece que no es la naturaleza de un objeto detenerse una vez que se pone en movimiento, más bien, su naturaleza es oponerse a cambios en su movimiento. En sus propias palabras: “Cualquier velocidad, una vez adquirida por un

Figura 6.22 En ausencia de una fuerza externa no balanceada (fuerza neta), el libro se moverá indefinidamente a velocidad constante, después de haberlo empujado de manera horizontal.

cuerpo en movimiento, se mantendrá estrictamente, siempre que las causas externas de retardo se eliminen”. Este enfoque del movimiento fue retomado y formalizado por Newton en su primera ley del movimiento: Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo con velocidad constante, mientras no actúe sobre él una fuerza que modifique su estado de reposo o de movimiento. Un ejemplo de un cuerpo con un movimiento rectilíneo con velocidad constante es el de una nave espacial bastante alejada de cualquier planeta o cuerpo celeste que viaja en el espacio. La nave requiere de algún sistema de propulsión para cambiar su velocidad. Cuando se apaga el sistema de propulsión de la nave, ésta se moverá a una velocidad constante, ya que no se requiere de ningún sistema de propulsión para que la nave se mantenga en movimiento a velocidad constante, lo cual confirma la primera ley de Newton. La primera ley de Newton, también conocida como ley de la inercia, define también lo que llamamos un sistema de referencia inercial. Un sistema de referencia inercial es un cuerpo que se encuentra en reposo o moviéndose en línea recta a velocidad constante con respecto a otro cuerpo que se encuentre ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. En un sistema de referencia inercial se cumple la primera ley de Newton. Por ejemplo, un tren que se mueve en línea recta a velocidad constante es un sistema de referencia inercial, ya que en él, un cuerpo en reposo permanecerá en reposo, y una canica que se deslice sobre una mesa sin fricción, se moverá en línea recta a velocidad constante con respecto al tren, independientemente de la velocidad de éste. (Figura 6.23).

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Figura 6.23 Un tren que viaje a velocidad constante es un sistema de referencia inercial, en el que una canica en reposo con respecto al tren, continuará en reposo, independientemente de la velocidad del tren.

Segunda ley de Newton A lo largo de nuestra vida vemos que los cuerpos cambian su estado de movimiento; los objetos como los autos, inicialmente en reposo pueden estar más tarde en movimiento. De la misma manera, los objetos en movimiento, como una canica arrojada horizontalmente sobre el piso, se detienen después de transcurrido cierto tiempo; otros, por su parte, cambian su dirección al interactuar con otro cuerpo, como una bola de billar en movimiento al chocar contra otra. La mayor parte del movimiento que observamos es el resultado de una o más fuerzas aplicadas. Nuestra experiencia también nos dice que es más difícil cambiar la rapidez o la dirección del movimiento de un objeto con una masa grande que la de un objeto con menor masa. Estas experiencias fueron resumidas por Isaac Newton en su segunda ley del movimiento. Esta segunda ley establece la relación que existe entre tres magnitudes básicas para el estudio del movimiento: fuerza, masa y aceleración, y señala las relaciones existentes entre las acciones sobre los cuerpos y los cambios en el movimiento que le producen. Para mostrar los elementos esenciales de tal relación, podemos recurrir a los experimentos que se pueden realizar con el dispositivo experimental que se muestra en la figura 6.24.

En este dispositivo, la acción de las pesas en el platillo se transmite a lo largo del hilo y provoca una fuerza sobre el carrito, la cual, según la deformación constante que se aprecia en el resorte del dinamómetro, es constante. En estas condiciones es relativamente fácil determinar la aceleración del carrito mediante el uso de la ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, d = v0t + 1/2at2, en la que habrá que hacer mediciones directas de d y t para calcular a, ya que v0 = 0. Los experimentos que se realizan con este dispositivo demuestran que para un valor de fuerza fijo (constante), el valor de la aceleración del carrito también permanece constante. Otro resultado que se obtiene con los experimentos que se pueden realizar con el dispositivo experimental de la figura 6.24, es que la aceleración del carrito es proporcional a la fuerza aplicada, como se ilustra en la figura 6.25. Matemáticamente se expresa por: aF

Figura 6.25 Relación lineal entre la fuerza aplicada a un cuerpo y su aceleración.

La gráfica de la figura anterior describe el nexo que existe entre la fuerza aplicada a un cuerpo dado y los cambios en el estado de movimiento que se generan en él. Sin embargo, se debe generalizar este resultado al analizar lo que sucede cuando la masa del cuerpo sujeto Figura 6.24 Dispositivo experimental para estudiar la relación entre la fuerza aplicada, la aceleración y la masa de un cuerpo.

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a la fuerza varía; es decir, debe estudiarse la relación entre la fuerza aplicada y la aceleración cuando la masa del carrito varía al agregarle pesas (Figura 6.26).

La aceleración es inversamente proporcional a la masa En síntesis, los resultados anteriores nos permiten afirmar que la aceleración que resulta de aplicarle una fuerza a un cuerpo depende del valor de la fuerza aplicada y de la masa que el cuerpo posee. Newton encontró que la relación entre la masa, la fuerza y la aceleración está dada por el siguiente enunciado que se conoce como segunda ley de Newton.

Figura 6.26 Se le agregan pesas al carrito para incrementar su masa y poder determinar la relación entre la aceleración y la masa de un cuerpo, para una fuerza aplicada a éste.

La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa, y tiene la dirección de la fuerza neta. En forma matemática esta ley se expresa por:

En estas nuevas condiciones, al repetirse los experimentos descritos anteriormente, se obtiene que existe de nuevo una dependencia lineal entre la fuerza aplicada y la aceleración que ésta produce, pero con la diferencia de que al aumentar la carga (masa) del carrito, los valores de la aceleración disminuyen con respecto a los obtenidos previamente. Esto se ilustra en la figura 6.27. a

r F a= m

r →

o en función de sus magnitudes por: aa =

F m

Esta ecuación nos indica que si F aumenta, a también aumenta; pero si m aumenta, a disminuye. También señala que si la fuerza aplicada tiene la misma dirección y sentido del movimiento del cuerpo su rapidez se incrementará. Aplicada en sentido contrario, reducirá la rapidez del cuerpo. Aplicada en forma perpendicular provocará un cambio en la dirección de su velocidad. La unidad de fuerza en el SI, es el newton, que es una unidad derivada que depende de las siguientes unidades fundamentales: kilogramo, metro y segundo. La dependencia se obtiene de la segunda ley de Newton: F = ma

Figura 6.27 Relación entre fuerza y aceleración para diferentes valores de la masa del cuerpo.

Este resultado nos indica que la aceleración que resulta de la aplicación de una fuerza sobre un cuerpo, no sólo depende del valor de ésta, sino también de la masa del cuerpo, ya que mientras mayor sea la masa que posee un cuerpo, menor será la aceleración que adquiera cuando una fuerza constante actúa sobre él. La expresión matemática es:

a αa

1 m

↓ 1 N = (1 kg)(1 m/s2) Esto quiere decir que una fuerza de 1 N provoca en un cuerpo de masa igual a 1 kg una aceleración de 1 m/s2. Puesto que la ecuación de la segunda ley de Newton es una ecuación vectorial, en dos dimensiones (plano), esta ecuación se puede escribir en forma equivalente como dos ecuaciones: una para las componentes x de la r r r) y otra, fuerza neta y de la aceleración ( r ∑rFx = rR x y a x para las componentes y ( ∑ Fy = R y y a) es decir: r r r R x = ∑ Fx = ma x r r r R y = ∑ Fy = ma y

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El símbolo es el signo de la sumatoria e indica que en la primera ecuación hay que sumar las componentes en x de las fuerzas individuales, lo mismo que las componentes en y en la otra ecuación. Al efectuar la suma es necesario tener presente los signos de las componentes de las fuerzas.

a)

b)

Problemas ejemplo 6.4 Un baúl de 60 kg sobre una superficie sin fricción es arrastrado horizontalmente por medio de una cuerda con una fuerza de 240 N. ¿Cuál es la aceleración del baúl? Solución Datos m = 60 kg F = 240 N a=? Fórmula Puesto que a y F tienen la misma dirección y sentido: F a= m Sustitución

a=

240 N 60 kg

Resultado

Figura 6.28 a) Esquema de la situación real. b) Diagrama de cuerpo libre del baúl.

Una vez que se ha dibujado dicho diagrama, se puede emplear cualquier método para sumar vectorialmente las fuerzas y obtener así la fuerza neta o fuerza resultante. La elaboración correcta de diagramas de cuerpo libre es fundamental en la aplicación de la segunda ley de Newton, lo que implica reconocer todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo o sistema en estudio. En la figura 6.29 se presentan varios sistemas mecánicos junto con sus diagramas de cuerpo libre correspondientes con el objeto de familiarizar al estudiante con éstos.

Cuerpo o sistema

Diagrama de cuerpo libre

a = 4 m/s2

Diagrama de cuerpo libre Cuando queremos determinar la fuerza neta o fuerza resultante sobre un cuerpo que está sometido a la acción de varias fuerzas, se acostumbra dibujar un diagrama de cuerpo libre de dicho cuerpo, pero ¿qué es un diagrama de cuerpo libre? Es un dibujo del cuerpo en estudio en el que se eliminan todos los detalles y en el cual se muestran las fuerzas externas que actúan sobre él. En la figura 6.28 se muestra un diagrama de cuerpo libre de un baúl que se encuentra sobre una mesa y el cual es arrastrado horizontalmente por una cuerda.

Figura 6.29 Varios sistemas con sus respectivos diagramas de cuerpo libre.

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Problema ejemplo 6.5 Dos personas empujan una camioneta atascada como se observa en el esquema. La masa de la camioneta es de 1400 kg. Una persona aplica una fuerza de 250 N sobre la camioneta, mientras que la otra aplica una fuerza de 300 N. Ambas fuerzas actúan en la misma dirección y sentido. Sin embargo, sobre la camioneta actúa una tercera fuerza de 200 N en sentido contrario a las fuerzas ejercidas por las personas. Esta fuerza corresponde a la fricción entre el pavimento y las llantas de la camioneta. ¿Cuál es el valor de la aceleración de la camioneta? Solución Datos F1 = 250 N F2 = 300 N f = 200 N m = 1400 kg a=? Lo primero que hacemos es dibujar un diagrama de cuerpo libre de la camioneta y asignarle un sistema de coordenadas cartesianas.

Para determinar la aceleración aplicamos la segunda ley de Newton, en función de sus componentes. r ∑ Fx r ax = m r ∑ Fy r ay = m

r Como no hay movimiento vertical ( a y = 0 ), entonces la aceleración sólo tiene valor a lo largo del eje x. A partir del esquema determinamos la fuerza neta sobre la camioneta y dado que son fuerzas colineales (misma dirección), la magnitud de ésta se obtiene de: Fx = F1 + F2 – f = 250 + 300 – 200 = 350 N Fx = Fn = 350 N

En estas condiciones la aceleración de la camioneta se obtiene de: F a = ax = n m 350 N Sustituyendo valores: a= 1400 kg

a = 0.25 m/s2

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Descubre la física Un elevador que hace un recorrido del piso 1 al 20 inicia su ascenso acelerando y después continúa a velocidad constante hasta que se aproxima al piso 20. Durante la aceleración hacia arriba, una persona que se encuentra en el interior se sentirá más pesada de lo habitual. De manera análoga, cuando la aceleración se dirige hacia abajo, es decir cuando el elevador comienza a disminuir su velocidad por que está por llegar al piso deseado, la persona tendrá la sensación de perder peso. El peso es la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre la persona. A pesar de que el peso no se modifica por el hecho de encontrarse dentro de un elevador en movimiento, la percepción de la persona está determinada por la fuerza que sobre ella ejerce el suelo del ascensor que la soporta.

lugar en donde se mida. Por ejemplo, al ser la aceleración de la gravedad en la Luna (gL) un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre (g); el peso de cualquier cuerpo pesará seis veces menos en la Luna que en la Tierra. La unidad que se emplea para medir el peso en el SI es el newton. Sin embargo, en las transacciones comerciales para medir el peso, se emplea el kilogramo fuerza (kgf). Esta unidad corresponde a la fuerza con que es atraído un cuerpo de masa igual a un kilogramo, por la Tierra en un lugar donde g = 9.8m/s2 (Figura 6.30). La equivalencia entre el newton y el kilogramo fuerza, es la siguiente: 1 kgf = 9.8 N En este texto la palabra kilogramo se empleará para denotar la unidad de masa.

El peso de un cuerpo. Caso especial de la segunda ley de Newton Si se suelta un lápiz, éste se dirigirá verticalmente hacia la superficie de la Tierra con r una aceleración igual a la aceleración de la gravedad (g). De acuerdo con la segunda ley de Newton, un cuerpo de masa m que tenga una aceleración se debe a la presencia de una fuerza neta sobre él. Entonces, si se aplica la segunda ley de Newton al lápiz: r r F = ma r Considerando que la aceleración a es la aceleración de la gravedad de magnitud igual a g, la segunda ley de Newton se puede escribirrcomo: r F = mg Puesto que la fuerza gravitacional es la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que la rodean, llamada peso, la segunda ley de Newton puede escribirse como: W = mg donde: W = magnitud del peso también se puede representar por P g = magnitud de la aceleración de la gravedad (g = 9.8 m/s2) De acuerdo con esta ecuación, el peso de un cuerpo depende del valor de g, es decir, depende del

Figura 6.30 El kilogramo fuerza es una unidad de fuerza.

Problema ejemplo 6.6 Una bolsa de arroz tiene marcado en su etiqueta que contiene una masa de 5 kg, ¿cuál es entonces su peso? Solución Datos m = 5.0 kg g = 9.8 m/s2 W=? Fórmula El peso se calcula por: W = mg Sustitución W = (5 kg)(9.8 m/s2)

Resultado W = 49 N

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Consistencia entre la primera ley de Newton y la segunda ley del movimiento En esta sección se evidenciará la consistencia entre la primera y la segunda ley de Newton. Empezaremos con la expresión matemática de la segunda ley de Newton: F = ma Si la fuerza es constante, la aceleración que provoca también es constante, la cual se puede obtener por: v − v0 a= t Combinando las dos últimas ecuaciones, se obtiene: ⎛ v − v0 ⎞ F =m⎜ ⎝ t ⎟⎠ Reordenando esta ecuación se tiene:

F t = v − v0 m Para algunos profesores, esta ecuación es otra forma de expresar la segunda ley de Newton.

Si la fuerza neta es cero (F = 0), la ecuación anterior se convierte en: ⎛0 t⎜ ⎝m

⎞ ⎟⎠ = v − v 0

Simplificando: 0 = v – v0 v0 = v Es decir, al ser la fuerza neta cero sobre un cuerpo, la velocidad final de éste será igual a su velocidad inicial. Esto, en esencia, corresponde a la primera ley de Newton: un cuerpo en movimiento a velocidad constante continuará en movimiento con la misma velocidad mientras no actúe ninguna fuerza sobre él. La primera ley de Newton también establece que un cuerpo permanecerá en reposo, mientras no actúe ninguna fuerza sobre él. Lo cual es un caso particular cuando v0 = 0 m/s, esto es: v = v0 = 0 m/s Es decir, que un cuerpo inicialmente en reposo permanecerá así (v = v0 = 0) mientras que la fuerza neta sobre él sea cero. De acuerdo con esto, la primera ley de Newton es consistente con la segunda ley del movimiento.

Problemas ejemplo 6.7 Un bloque de hielo de 10 kg colocado en una superficie lisa es arrastrado por una fuerza de 4.0 N, como se muestra en la figura 6.31. Determina: a) la magnitud de la aceleración del bloque; b) la magnitud de la velocidad del bloque a los 6 s, y c) la distancia recorrida a los 6 s. Solución Datos m = 10 kg F = 4.0 N t = 10 s v0 = 0 m/s Figura 6.31 El bloque de hielo es arrastrado con una fuerza de 4.0 N.

a) La magnitud de la aceleración del bloque se determina aplicando la segunda ley de Newton: F a= m

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a=

4.0 N = 0.40 m / s 2 10kg

Esta aceleración tiene la misma dirección que la fuerza. b) El valor de la magnitud de la velocidad del bloque se puede obtener de la siguiente ecuación:

a= Al sustituir los valores:

v ± v0 t

0.40 m / s 2 =

v ±0 m / s 6s

v = 2.4 m/s Si la fuerza se dejara de aplicar al bloque a los 6 s, éste continuaría moviéndose a 2.4 m/s. c) La distancia recorrida por el bloque se calcula por: 1 d = v 0t + at 2 2 Sustituyendo valores:

d = ( 0 m / s )( 6 s ) +

(

)

2 1 0.40 m / s 2 ( 6 s ) 2

d = 7.2 m En este problema se dejó bien en claro que una vez conocida la aceleración, la distancia recorrida y la velocidad de un cuerpo, éstas pueden ser determinadas para cualquier instante por las ecuaciones cinemáticas respectivas.

Tercera ley de Newton Cuando un niño en patines empuja una pared que está enfrente de él, ejerce una fuerza sobre ella y, a su vez, la pared ejerce una fuerza sobre él. Ésta es la fuerza que hace que el niño se aleje rodando sobre sus patines (Figura 6.32). Se acostumbra llamar a la fuerza que ejerce r el niño sobre la pared, acción o fuerza de acción ( Fa ) y a la fuerza que ejerce larpared sobre el niño, reacción o fuerza de reacción ( Fr). De la misma manera, al disparar con un rifle, éste ejerce una fuerza sobre la bala, que provoca que la bala salga hacia delante a gran velocidad. A su vez, la bala ejerce una fuerza sobre el rifle (que es la que provoca que el rifle se haga para atrás y golpee el hombro de quien lo dispara). La fuerza ejercida por el rifle sobre la bala es la acción y la fuerza que ejerce la bala sobre el rifle es la reacción. Estas dos

fuerzas tienen el mismo valor (Fa = Fr), pero sentidos contrarios; actúan en cuerpos diferentes, pero en forma simultánea.

Fr

Fa

Figura 6.32 El niño ejerce una fuerza Fa sobre la pared y, simultáneamente, la pared ejerce sobre él una fuerza Fr en sentido contrario, que hace que el niño se aleje de la pared.

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Estos ejemplos muestran que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce siempre sobre el primero una fuerza de la misma magnitud, pero de sentido contrario. Esta propiedad fue establecida por Newton en su tercera ley, de la siguiente forma:

r Fba ba = fuerza ejercida en el cuerpo b debido al cuerpo a También se puede expresar como:

r

A toda fuerza de acción, le corresponde una fuerza de reacción de igual magnitud y dirección, pero dirigidas en sentido contrario.

donde: r Fa = fuerza de acción

r Fr = fuerza de reacción

Matemáticamente, esta ley se expresa por: r r Fab ab = – Fab ba

en donde: r fuerza ejercida en el cuerpo a debido al Fab ab = cuerpo b

r

(Fa = -Fr)

Esta ecuación señala que todas las fuerzas en la naturaleza existen en pares.

Problema ejemplo 6.8 ¿Cuál es la fuerza de reacción de un cuerpo de 1 kg en caída libre? Solución Datos m = 1 kg g = 9.8 m/s2

Figura 6.33 Fuerzas de acción y reacción entre la Tierra y un cuerpo cerca de la Tierra.

La fuerza con que es atraído un cuerpo es su peso, es decir, la fuerza con que la Tierra atrae al cuerpo de 1 kg es: W = mg = (1 kg)(9.8 m/s2) = 9.8 N De acuerdo con la tercera ley de Newton, la fuerza con que el cuerpo de 1 kg atrae a la Tierra (fuerza de reacción) tiene el mismo valor de su peso, es decir: Fr = 9.8 N Pero, esta fuerza es de sentido contrario al peso como se ilustra en la figura 6.33.

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Fuerza centrípeta En el movimiento circular uniforme la dirección de recorrido del móvil siempre es variable, ya que la dirección de la velocidad del móvil cambia a cada instante, como se muestra en la figura 6.34.

Figura 6.35 La fuerza centrípeta provoca el cambio de velocidad de la pelota.

La fuerza centrípeta necesaria para hacer que la pelota (o cualquier otro objeto) siga una trayectoria circular depende de varios factores. Por ejemplo, la pelota de la figura 6.35 requiere un valor de la fuerza centrípeta mayor si se: Figura 6.34 La rapidez de la pelota en el movimiento circular uniforme es constante (v1=v2), pero su velocidad está cam-

r r

biando porque varía su dirección (v1= v2).

El cambio de la velocidad del móvil en un movimiento circular uniforme se debe al cambio de dirección de su velocidad, el cual se produce por una aceleración; la aceleración centrípeta.

Descubre la física En la actualidad sabemos que la fuerza es la medida de la interacción entre dos cuerpos. Sin embargo, para muchos estudiantes esta forma de definir lo que es la fuerza les es difícil de comprender porque consideran que la fuerza es algo que reside dentro de los cuerpos. Esta confusión provoca que sólo identifiquen una de las fuerzas de la pareja (acción y reacción) que existe en toda interacción. La comprensión de la tercera ley de Newton permitirá aclarar que la fuerza no es una propiedad que únicamente posee un cuerpo.

La pelota de la figura 6.34 sigue una trayectoria circular, ya que existe una fuerza hacia el centro que la obliga a seguir dicha trayectoria. La tensión de la cuerda suministra esta fuerza. A la fuerza necesaria para hacer que la pelota siga una trayectoria circular se le llama fuerza centrípeta. Es de hecho la fuerza que da a la pelota su aceleración hacia el centro (aceleración centrípeta), como se muestra en la figura 6.35.

1. Aumenta la masa de la pelota 2. Se reduce el radio del círculo 3. Aumenta la rapidez de la pelota Esto se sintetiza si la magnitud de la fuerza centrípeta, en términos de la segunda ley de Newton, se puede expresar como: mv 2 Fc = mac = r donde: ac = magnitud de la aceleración centrípeta v = magnitud de la velocidad tangencial r = radio de la trayectoria circular m = masa del objeto (pelota) Fc = magnitud de la fuerza centrípeta La fuerza centrípeta puede suministrarse al móvil por una fuerza de tensión en una cuerda, por atracción gravitacional o mediante una fuerza de fricción. Esta fuerza se representa por un vector cuyo sentido apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria circular del cuerpo en movimiento. Cuando un automóvil se maneja sobre una curva pronunciada en un camino perfectamente nivelado, la fuerza de rozamiento entre las llantas y el camino proporciona la fuerza centrípeta. Si esta fuerza no es adecuada, el automóvil puede deslizarse fuera del camino. El valor máximo de la fuerza de rozamiento determina la rapidez máxima con la cual un automóvil puede salvar una curva de un radio determinado (Figura 6.36). De la misma manera, la fuerza de atracción gravitacional proporciona la fuerza centrípeta necesaria para hacer que un satélite siga una trayectoria circular alrededor de la Tierra.

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Estrategia para la solución de problemas en los que se aplican las leyes de Newton No existe una forma única para la solución de problemas. Sin embargo, la siguiente estrategia general se recomienda para abordar problemas que requieren la aplicación de las leyes del movimiento de Newton. 1. Lee con atención el enunciado del problema. 2. Dibuja un diagrama simple y claro del sistema.

Figura 6.36 La fuerza de fricción es la fuerza centrípeta que permite cambiar la dirección del auto en una curva.

Problemas ejemplo 6.9 Un automóvil cuya masa es de 2500 kg describe una curva de 100 m de radio con una velocidad de 36 km/h. Calcula la fuerza centrípeta aplicada al automóvil. Solución Datos m = 2500 kg r = 100 m v = 36 km/h = 10 m/s

3. Identifica el, o los cuerpos, del sistema que se van a analizar; por lo general, cada uno se trata de manera independiente. 4. Traza un diagrama de cuerpo libre del cuerpo que vas a analizar. En sistemas que contienen más de un cuerpo, se trazan diagramas de cuerpo libre separados para cada uno de ellos. Recuerda que un diagrama de cuerpo libre es un diagrama que muestra todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. 5. Asocia un sistema de coordenadas a cada cuerpo, de manera que los ejes de coordenadas coincidan con la dirección del movimiento y determina las componentes de las fuerzas a lo largo de los ejes. 6. Aplica la segunda ley de Newton al sistema como un todo, cuando sea posible o bien, a cada parte del sistema. 7. Resuelve el sistema de ecuaciones de las componentes para la cantidad desconocida (o incógnitas). Recuerda que hay que tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas existan para poder obtener una solución completa. A continuación se presentan diversas situaciones en las que se aplica esta estrategia para la solución de problemas que involucran las leyes de Newton.

La fuerza centrípeta a la que está sometido el auto se calcula con la siguiente fórmula. mv 2 Fc = r Al sustituir los valores:

Fc

( 2500 kg )(10 m / s) = 100m

Fc = 2500 N

2

Bloque sobre un plano inclinado sin fricción Supongamos que estamos interesados en determinar la aceleración de un bloque de masa m, que se desliza a lo largo de un plano inclinado sin fricción. Lo primero que se hace es dibujar un diagrama simple y claro del sistema como el que se muestra en la figura 6.37.

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Al aplicar la segunda ley de Newton a cada eje del sistema de coordenadas, tenemos: 3 A lo largo del eje y:

ay =

∑ Fy

m Como no hay movimiento vertical, ay = 0. Entonces: 0 = N – Wy es decir:

Figura 6.37 Bloque sobre un plano inclinado.

Identificamos que el objeto de estudio es el bloque de masa m sobre el plano inclinado. En seguida se traza un diagrama de cuerpo libre del bloque (Figura 6.38).

r r F a= m

N = Wy = W cos 3 A lo largo del eje x: ∑ Fx m

Wx W senθ = m m Al no tener la aceleración componente en el eje y, se tiene que a = a, x es decir ax =

a= Por lo tanto:

Figura 6.38 Diagrama de cuerpo libre del bloque de masa m sobre el plano inclinado.

Se le asocia después un sistema de coordenadas al bloque de manera que el eje x coincida con la dirección del movimiento del bloque y se determinan las componentes de las fuerzas que actúan sobre el bloque.

⇒ ax =

Wx mg senθ = m m a = g sen

De acuerdo con lo anterior, la aceleración de un bloque que se desliza hacia abajo por un plano inclinado se obtiene de:

a = g sen Esta ecuación indica que la aceleración es independiente de la masa del bloque, situación similar a la de los cuerpos en caída libre. Un análisis de esta ecuación indica que si = 0 (superficie horizontal) la aceleración es cero.

Problema ejemplo

x

Figura 6.39 Componentes de la fuerza a lo largo de los ejes coordenados. Nota: El ángulo formado por W y Wy es igual al ángulo formado por el plano inclinado y la horizontal.

6.10 Un bloque de 20 kg es colocado en un plano inclinado sin fricción de 10 m de largo, que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Calcula: a) la magnitud de la aceleración del bloque, y b) la magnitud de la velocidad que adquiere al llegar al extremo inferior del plano inclinado si parte del reposo del otro extremo.

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Bloque sobre un plano inclinado con fricción

Solución Datos m = 20 kg = 30° d = 10 m v0 = 0 m/s a=? v=?

Supongamos que ahora estamos interesados en determinar la aceleración de un bloque de masa m, que se desliza a lo largo de un plano inclinado con fricción. Lo primero que se hace es dibujar un diagrama simple y claro del sistema como el que se muestra en la figura 6.39. De nueva cuenta, el objeto de estudio es el bloque de masa m sobre el plano inclinado. A continuación se traza un diagrama de cuerpo libre del bloque (Figura 6.40).

a) La magnitud de la aceleración la podemos determinar con la siguiente ecuación: a = g sen Sustituyendo valores: a = (9.8 m/s2)(sen 30°) a = 4.9 m/s2 b) Como se considera que la aceleración es constante, la magnitud de la velocidad del bloque en cualquier instante sobre el bloque inclinado se puede calcular de las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, es decir:

Figura 6.40 Diagrama de cuerpo libre del bloque.

Se le asocia un sistema de coordenadas al bloque, de manera que el eje x coincida con la dirección del movimiento y se determinan las componentes de las fuerzas que actúan sobre el bloque (Figura 6.41).

v 2 = v02 + 2ad Sustituyendo valores: v 2 = (0 m/s)2 + 2(4.9 m/s2)(10 m) v = (98 m2/s2) v = 9.89 m/s

Figura 6.41 Componentes de las fuerzas a lo largo de los ejes coordenados.

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Si aplicamos la segunda ley de Newton para las fuerzas actuantes sobre el bloque en cada eje del sistema de coordenadas cartesianas, tendremos:

bloque que se encuentra suspendido verticalmente como se muestra en la figura 6.42.

3 A lo largo del eje y:

r r F a= m

∑ Fy

⇒ a y = N – W cos θ m Como no hay movimiento vertical, ay = 0, se obtiene:

ay =

N = W cos 3 A lo largo del eje x:

ax =

∑ Fx m

⇒ ax =

Wx – f k m

De este análisis se observa que la aceleración a del bloque corresponde a la ax, es decir:

a = ax =

Wx – f k m

Si Wx = W sen y fk = kN, entonces:

W senθ – µk N a= m Si reducimos esta expresión al considerar que W = mg y que N = W cos obtenemos: m g senθ – µk m g cos θ a= m Simplificando: a = g sen – k g cos a = g (sen – k g cos ) Del análisis de esta ecuación se deduce que la aceleración del bloque es independiente de su masa y que si se reduce la fricción (k = 0), la expresión matemática se convierte en la expresión para la aceleración de un bloque sobre un plano inclinado sin fricción.

Movimiento combinado de un bloque sobre un plano horizontal sin fricción y bloque en caída unido al primero mediante una cuerda Supongamos que estamos interesados en determinar la aceleración de un bloque sobre una superficie lisa (sin fricción) y horizontal que está conectado mediante una cuerda que pasa por la garganta de una polea a otro

Figura 6.42 Movimiento combinado de los dos bloques.

En la determinación de la aceleración del bloque sobre la mesa, reconocemos que los dos bloques (m1 y m2) al estar unidos por la cuerda tendrán el mismo valor de aceleración. Por tanto, dibujaremos un diagrama de cuerpo libre para cada bloque (Figura 6.43). a)

b)

Figura 6.43 Diagramas de cuerpo libre de los bloques m1 y

m2. Donde T y T ’ son la tensión de la cuerda.

Si le asignamos a cada bloque, como se muestra en la figura 6.44, un sistema de coordenadas cartesianas, de manera que a toda magnitud física que apunte hacia arriba o hacia la derecha se le asociará un signo positivo y por el contrario, si la magnitud física apunta hacia la izquierda o hacia abajo se le asociará un signo negativo. Al aplicar la segunda ley de Newton a cada eje del sistema de coordenadas cartesianas para cada bloque se obtiene:

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Para el bloque de masa m1: 3 A lo largo del eje y:

a1 y = r r F a1 = m1

∑ Fy

m1

⇒ a1 y =

N 1 ± W1 m1

Como no hay movimiento vertical, a1 y = 0, es decir, que N1 = W1. 3 A lo largo del eje x:

a1 x =

∑ Fx m1

⇒ a1 x =

Como la cuerda pasa por una polea fija, cuya función es sólo cambiar la dirección de la fuerza, entonces las magnitudes de las tensiones T y T ’ deben ser iguales (simplemente T). De acuerdo con esto, igualamos las dos expresiones en donde aparece T.

a= T m1

Como a1 x será la aceleración del sistema, la denominaremos simplemente a.

Bloque de masa m2

Bloque de masa m1

T m1

±a =

T ± W2 m2

m1a Sustituyendo m1a por T se obtiene:

±a = Para el bloque de masa m2:

m1a ± W2 m2

–am2 – m1a = –W2 3 A lo largo del eje y: ∑ Fy T© ± W2 a2 y = ⇒ ± a2 y = m2 m2 r r F a2 = m2

3 A lo largo del eje x:

a2 x =

∑ Fx =0 m2

–a(m1 + m2) =–W2

Si W2 = m2g, entonces: –a(m1 + m2) =–m2g

(Ya que no hay fuerza a lo largo del eje x.) Como a2 y corresponde a la aceleración del sistema, se le denominará simplemente a.

Despejando la aceleración±a: ⎛ m2 ⎞ a=⎜ ⎟g ⎝ m2 + m1 ⎠ Para conocer la tensión de la cuerda sustituimos esta última expresión en: T=m1a

a)

b)

obtenida de:

a=

T m1

es decir: ⎛ m m ⎞ T = ⎜ 1 2 ⎟g ⎝ m2 + m1 ⎠

Figura 6.44 Sistemas de coordenadas cartesianas asociadas a los bloques.

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Problema ejemplo 6.11 En el siguiente esquema se muestra un libro de 500 g sujeto por una cuerda que pasa por una polea sin masa ni fricción. El otro extremo de la cuerda está sujeta a un cuaderno de 300 g. Si se desprecia la fricción, ¿cuál es la aceleración del libro? Solución Datos m1 = 500 g = 0.500 kg m2 = 300 g = 0.300 kg g = 9.80 m/s2 a=?

Si suponemos que el bloque de m2 tiene una mayor masa que la del bloque de m1 y que estamos interesados en determinar la aceleración del sistema, el conocer el valor de la aceleración de los bloques nos permitirá conocer su posición y velocidad en cualquier instante. Los diagramas de cuerpo libre de los bloques se muestran en la figura 6.46.

Figura 6.45 Diagrama simplificado de la máquina de Atwood.

De acuerdo con lo que estudiamos en esta sección, la aceleración de este sistema se puede calcular por:

a) Bloque 1

b) Bloque 2

⎛ m2 ⎞ a=⎜ ⎟g ⎝ m2 + m1 ⎠ Sustituyendo valores:

a=

(

0.30 0 kg 9.80 m / s 2 0.500 kg + 0.300 kg

)

a = 3.675 m/s2

Máquina de Atwood Figura 6.46 Diagramas de cuerpo libre de los dos bloques.

La máquina de Atwood es un sistema que consiste en una polea fija sobre la cual pasa una cuerda, en cuyos extremos se encuentran unidos dos bloques, como se muestra en la figura 6.45. Esta máquina fue desarrollada en el siglo XVIII por el inglés George Atwood en Cambridge, Inglaterra.

A partir de los diagramas de cuerpo libre se percibe que la aceleración de cada bloque no tendrá componente horizontal. Aplicando la segunda ley de Newton a cada bloque se obtiene:

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Si se igualan las dos expresiones anteriores para obtener la aceleración se obtiene: T=T

Para el bloque m1:

a1 =

F1 m1

m1a + W1 = W2 – m2a

donde: a1 = magnitud de la aceleración del bloque 1 m1 = masa del bloque 1 F1 = magnitud de la fuerza neta sobre el bloque 1 Puesto que m2 > m1 , entonces T > W1, la aceleración se obtiene de:

a1 =

como W1 = m1g y W2 = m2g, se tiene: m1a + m1g = m2g – m2a Reordenando: m1a + m2a = m2g – m1g

T ± W1 m1

⎛ m – m1 ⎞ a=⎜ 2 ⎟g ⎝ m1 + m2 ⎠

F2 m2

De esta expresión se deduce que si m2 >> m1 la aceleración del sistema será igual a la aceleración de la gravedad. De la misma manera, si m2 = m1, la aceleración del sistema será cero. La tensión de la cuerda se puede obtener sustituyendo esta expresión en:

Para el bloque m2:

a2 = donde:

a2 = magnitud de la aceleración del bloque 2 m2 = masa del bloque 2 F2 = magnitud de la fuerza neta sobre el bloque 2 Como m2 > m1 , entonces W2 > T, la aceleración se obtiene de:

W2 ± T ′ m2 (NOTA: Se toma en cuenta el signo de las fuerzas y la aceleración con respecto al sistema de referencia.) ± a2 =

Ya que la polea fija sólo cambia la dirección de la fuerza, entonces la magnitud de la tensión de la cuerda para ambos bloques es la misma (T = T) y se representará simplemente por T. Por otra parte, al estar unidos los bloques, la aceleración que experimente un bloque será la misma que experimente el otro, es decir, a = a1 = a2. De acuerdo con esto, las aceleraciones de los bloques se pueden expresar por: a) Bloque 1 T ± W1 a= m1 m1a + W1 = T

b) Bloque 2

± a=

W2 ± T m2

W2 – m2a = T

m1a + W1 = T o en W2 – m2a = T Es decir: W2 – m2a = T ⎛ m ± m1 ⎞ m2 g – m2 ⎜ 2 ⎟ g =T ⎝ m1 + m2 ⎠ ⎡ ⎛ m2 ± m1 ⎞ ⎤ ⎢1– ⎜ ⎟ ⎥ m2 g = T ⎢⎣ ⎝ m1 + m2 ⎠ ⎥⎦ Simplificando: ⎛ 2m1 m2 ⎞ ⎜ m + m ⎟ g =T ⎝ 1 2 ⎠

Solución alternativa En esta solución se parte del hecho de que la polea fija sólo cambia la dirección de la fuerza, pero su magnitud se mantiene constante y de que es posible cambiar dicho sistema por otro equivalente, como se ilustra en la figura 6.47. Se cambio por un sistema equivalente integrado por dos bloques cuyas fuerzas sobre éstos son horizontales.

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Problema ejemplo

Figura 6.47 Cómo pasar de la máquina de Atwood a un sistema equivalente formado por dos bloques unidos sometidos a dos fuerzas colineales horizontales.

6.12 En una máquina de Atwood, el bloque del lado izquierdo es de 4 kg y el bloque del lado derecho es de 10 kg, ¿cuál es el valor de la aceleración del sistema? Solución Datos m1 = 4 kg m2 = 10 kg g = 9.8 m/s2 a=?

Para este nuevo sistema integrado por los dos bloques unidos sometidos a dos fuerzas (W1 y W2), se aplica la segunda ley de Newton, de manera que la aceleración se puede obtener de: fuerza neta Aceleración = masa total Fn a= mt La fuerza neta de este nuevo sistema es igual a: Fn = W2 – W1 = m2g – m1g En este caso se supuso que W2 es mayor que W1 Asimismo, la masa del sistema es: mt = m1 + m2 Por tanto:

a=

W2 – W1 m2 g – m1 g = mt m1 + m2

⎛ m – m1 ⎞ =⎜ 2 ⎟g ⎝ m1 + m2 ⎠

Esta expresión es idéntica a la que se obtuvo con anterioridad, resultado que permite suponer que es posible simplificar un sistema por otro más simple, pero equivalentes.

El valor de la aceleración del sistema se obtiene de la siguiente ecuación: ⎛ m – m1 ⎞ a= ⎜ 2 ⎟g ⎝ m1 + m2 ⎠ Sustituyendo valores: ⎛ 10 kg – 4 kg ⎞ 9.8 m / s 2 a= ⎜ ⎟ 10 kg 4 kg + ⎠ ⎝

(

a = 4.2 m/s2

)

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El auto que da vuelta en un camino plano El hecho de que un auto dé vuelta en la esquina de una calle es una situación a la que estamos acostumbrados, pero ¿cuál es la fuerza que provoca dicho cambio de dirección del auto? y, ¿por qué cuando llueve es más difícil para el auto dar la vuelta? Para responder a estas preguntas consideremos que el auto da la vuelta a una rapidez v a lo largo de un arco de círculo de radio r. Si se considera que el auto se mueve con un movimiento circular uniforme, debe existir una fuerza centrípeta, que provoque el cambio de dirección como se ilustra en la figura 6.48.

Si consideramos que la fuerza centrípeta del auto es originada por la fuerza de fricción, entonces la fuerza neta es igual a la fuerza de fricción estática (ya que no hay movimiento radial), es decir: Fn = fs ma = sN Puesto que la fuerza normal sobre el auto es igual a su peso, se tiene entonces: ma = sW ma = smg a = sg Como s < 1, la aceleración del auto en estas condiciones debe ser menor que la aceleración de la gravedad. Asimismo, se deduce que entre mayor sea s, mayor será la aceleración del auto. Puesto que la fuerza centrípeta es originada por la fuerza de fricción entre las llantas del auto y el pavimento, podemos igualarlas: Fc = fs

mv 2 = µ sN r Como N = mg: Figura 6.48 El auto al dar la vuelta a la esquina puede hacerlo con un movimiento circular uniforme.

Si se aplica la segunda ley de Newton al auto durante la vuelta que da en una esquina se obtiene: Fn = ma

mv 2 = µ smg r v2 = µ sg r

como en este caso la fuerza neta es igual a la fuerza centrípeta se tiene:

srg v =

Fn = Fc

Esta expresión señala que la rapidez con que un auto puede dar una vuelta depende del radio de curvatura, es decir, entre más pequeño sea este menos rápido podrá el auto avanzar. Asimismo, señala que entre menor sea el coeficiente de fricción s, menor será la rapidez con que el automóvil podrá dar la vuelta.

ma =

mv 2 r

v2 r Lo cual significa que la magnitud de la aceleración del auto que provoca el cambio de dirección de la velocidad depende de la rapidez del auto y del radio de curvatura de su trayectoria. a=

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Fuerza de gravedad El fenómeno de que las cosas puedan caer al suelo al ser liberadas lo conocemos casi desde que nacemos. Una “fuerza invisible” atrae a todos los cuerpos hacia la superficie de la Tierra. A veces pensamos que esa fuerza es demasiado molesta, ya que nos impide flotar por los aires a nuestro antojo (uno de los más grandes deseos del ser humano desde tiempos inmemorables) o porque nos mantiene atados a un mismo sistema solar. La realidad es que si no existiera la fuerza de gravedad nuestro mundo sería totalmente distinto y es probable que ni siquiera existiera. No habría aire, debido a que la atmósfera habría escapado y seguramente la Tierra no sería redonda. La fuerza de gravedad es una fuerza que se presenta entre dos cuerpos debido a su masa. La ley de la gravitación universal dice que todos los cuerpos se atraen entre sí debido a su masa, (Figura 6.49).

sientes, ya que es la que te hace regresar a la superficie terrestre cuando saltas, tal parece que la Tierra es el único cuerpo conocido que tuviera gravedad.

Ley de la gravitación universal Isaac Newton unió la mecánica terrestre de los objetos que se mueven por la superficie de la Tierra, o que caen a la misma, y la mecánica celeste de los planetas que giran alrededor del Sol, y demostró que ambas están regidas por la ley de la gravitación universal, la cual publicó en 1668 en sus Principios matemáticos de filosofía natural. La ley de la gravitacional universal establece que: Toda partícula en el Universo atrae a otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Si las partículas tienen masas m1 y m2 y están separadas por una distancia r, la magnitud de la fuerza gravitacional que existe entre ellas está dada por: Gm1m2 F = r2 donde G es la constante de gravitación universal cuyo valor en el SI es 6.67 10-11 N · m2/kg2. Es importante señalar que las fuerzas gravitacionales entre dos partículas son un par acción-reacción. La primera partícula ejerce una fuerza sobre la segunda, que se dirige hacia la primera a lo largo de la línea que las une. De igual forma, la segunda partícula ejerce una fuerza sobre la primera, que se dirige hacia la segunda. Estas fuerzas son de igual magnitud pero de sentidos contrarios (Figura 6.50).

Figura 6.49 Todos los cuerpos poseen gravedad y se atraen entre sí debido a sus masas. Las fuerzas con que la Tierra y la Luna se atraen son de magnitudes iguales pero de sentido contrario.

¿Pero cómo es posible esto, si nosotros no nos sentimos atraídos unos por otros? Pues sí, en este momento tú estás siendo atraído por cada uno de tus compañeros, por este libro y por tu banca. Lo que pasa es que esa fuerza es tan pequeña que no la notas. La Tierra te atrae de igual manera, pero debido a que su masa es muy grande en comparación con la de tus compañeros y objetos que te rodean, dicha fuerza de atracción sí la

r Figura 6.50 La fuerza F1 ejercida sobre m1 debido a m2 es r de igual magnitud, pero de sentido contrario a la fuerza F2 ejercida sobre m2 debido a m1.

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La constante gravitacional G no se debe confundir con la aceleración de la gravedad g, ya que la primera 3 2 tiene las dimensiones L /MT y es una escalar, mientras que la segunda es una magnitud vectorial que tie2 ne las dimensiones L/T , la cual no es ni constante ni universal. Al no depender G del medio, se ha comprobado que la fuerza entre dos partículas permanece inmutable independientemente del medio en que estén inmersas. Otro hecho que debemos destacar es cómo se comporta la fuerza gravitacional de una masa esférica de tamaño finito como la Tierra sobre una partícula próxima a dicha esfera: es como si toda la masa de la esfera estuviera concentrada en su centro. Por ejemplo, la fuerza ejercida por la Tierra sobre una partícula de masa m en la superficie tiene la magnitud:

F =

GmmT rT 2

donde: mT = masa de la Tierra rT = radio de la Tierra. La ley de la gravitacional universal se conoce como una ley del inverso al cuadrado debido a que la magnitud de la fuerza varía con el cuadrado del inverso de la separación de las partículas; es decir, si la distancia entre dos partículas aumenta al doble, la fuerza disminuye cuatro veces, pero si la distancia entre las partículas aumenta al triple, la fuerza disminuye nueve veces, y así sucesivamente (Figura 6.51).

Problema ejemplo 6.13 Calcula la fuerza de atracción gravitacional que ejerce la Tierra sobre una persona de 80 kg que se encuentra sobre la superficie terrestre. Solución Si la masa de la Tierra es mT = 5.98 1024 kg y el radio medio de la Tierra es rT = 6.37 106 m, entonces la fuerza de atracción gravitacional entre la persona y la Tierra se obtiene de la siguiente ecuación: GmmT F = rT 2 Al sustituir valores, se obtiene: F =

(6.67 × 10

−11

) (80 kg ) (5.98 × 10 (6.37 × 10 m)

N • m2 / kg 2

6

24

kg

)

2

F = 786.4 N Este valor de la fuerza de atracción gravitacional es igual al peso de la persona en un lugar de la Tierra donde g = 9.82 m/s2.

Como la fuerza de atracción gravitacional entre un cuerpo de masa m en la superficie de la tierra es igual al peso de éste, entonces: W=F o sea

mg=

GmmT rT2

Simplificando g=

GmT rT2

De esta ecuación se deduce que la aceleración de la gravedad depende de la masa y el radio de la Tierra. Figura 6.51 Al aumentar la distancia entre las partículas, la fuerza disminuye como el cuadrado de la distancia.

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Problema ejemplo 6.14 La fuerza de atracción gravitacional entre dos partículas es de 480 N. Si la distancia entre ellas aumenta cuatro veces más, ¿qué fuerza experimentará cada partícula? Solución De la ley de la gravitacional universal:

Gm1m2 r2 como se conoce la fuerza entre las dos partículas F1 se tiene entonces: Gm1m2 480 N = (1) r12 F =

Al aumentar la distancia entre ellas (r2 = 4r1), la nueva fuerza entre ellas F2 se obtiene de: Gm1m2 F2 = 2 ( 4 r1 ) Reordenando: 1 Gm1m2 (2) F2 = 16 r12 Sustituyendo el valor de la fuerza de la ecuación (1) en la ecuación (2) se tiene: 1 F2 = ( 480 N ) 16 F2 = 30 N O sea que la fuerza entre las partículas disminuye dieciséis veces, cuando la distancia entre ellas aumentó cuatro veces.

Fuerza gravitacional entre dos cuerpos de un kilogramo De acuerdo con la ley de la gravitación universal entre dos cuerpos, debido a sus masas existe una fuerza de atracción entre ellos. Si estos cuerpos son dos pesas de 1 kg separadas una distancia de un metro sobre una mesa, como se muestra en la figura 6.52, éstas deberían desplazarse hasta juntarse por la acción de la fuerza gravitacional. Pero, ¿qué es lo que se observa? Que las dos pesas permanecen inmóviles separadas a una distancia de un metro. Entonces, ¿es incorrecta la ley de la gravitación universal? Figura 6.52 Dos pesas de un kilogramo sobre una mesa.

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Para responder esta pregunta realicemos los siguientes cálculos: 1. Determinemos primero la fuerza de atracción gravitacional entre dichos cuerpos:

F =

(

)

6.67 × 10−11 N • m2 / kg 2 (1 kg )(1 kg ) Gm1m2 = 2 r2 (1 m)

F = 0.000 000 000 0667 N

Como se observa, la fuerza de atracción entre dichas pesas es muy pequeña. 2. Determinemos ahora la fuerza de fricción estática máxima entre las pesas y la superficie de la mesa, ya que esta fuerza es la fuerza máxima que se opone al movimiento de las pesas. Si esta fuerza de fricción es menor que la fuerza de atracción gravitacional entre las pesas, éstas deberán moverse, si por el contrario, la fuerza de fricción estática máxima puede tener un valor igual o mayor que la fuerza de atracción entre ellas, las pesas permanecerán inmóviles.

Se observa que esta fuerza de fricción es mucho mayor que la fuerza de atracción gravitacional. Esto quiere decir que, para mover las pesas sobre la superficie, la fuerza de atracción gravitacional debería ser igual o mayor de 4.41 N. Por lo tanto, la fuerza de fricción estática corresponde a la fuerza de atracción gravitación con una magnitud igual a 0.000 000 000 0667 N. Sin embargo, si estas pesas se encontraran en el espacio separadas una distancia de un metro, éstas se moverían la una sobre la otra, aunque lentamente, ya que la fuerza de atracción gravitacional entre ellas es mínima. En síntesis, la fuerza de fricción es la responsable de que las dos pesas no se muevan y no es porque la ley de la gravitación formulada por Newton sea incorrecta. Es importante señalar que la razón de que la fuerza de atracción gravitacional entre las dos pesas de 1 kg sea pequeña, se debe principalmente al hecho de que la constante de gravitación universal es muy pequeña comparada con las masas involucradas. En cambio, si consideramos la fuerza de atracción entre una pesa de 1 kg y la Tierra, cuya masa es enorme, esta fuerza deja de ser despreciable, por lo que la pesa de 1 kg se moverá hacia la Tierra.

La fuerza de fricción estática máxima la calculamos a partir del análisis de las fuerzas que actúan sobre una de las pesas (Figura 6.54). De la definición de fuerza de fricción estática: fs máx = sN donde s es el coeficiente de fricción estática entre la pesa y la mesa. Si N = W = mg, entonces: fs máx = smg Suponiendo que s = 0.45, se tiene: fs máx = (0.45)(1 kg)(9.8 m/s2) fs máx = 4.41 N

Descubre la física No en todas las ciudades los atletas en las competencias tienen que hacer el mismo esfuerzo. Existen ciudades que en el terreno deportivo es más fácil batir un récord de atletismo. Por ejemplo, en la ciudad de Melbourne es más fácil vatir un récord olímpico que en la ciudad de Helsinki, pues al encontrarse a diferente latitud, el valor de g en Helsinki es mayor que en Melbourne. Ante esto, el atleta pesa menos en Melbourne, lo que le permite dar saltos de mayor altura y longitud con el mismo esfuerzo, así como lanzar la jabalina a mayor distancia.

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Glosario En esta sección se presentan los principales términos y conceptos que aparecen en el capítulo. El estudio de este glosario te permitirá enfrentar con más recursos cualquier evaluación sobre las leyes de Newton. Balanza. Aparato para medir la masa de los objetos. Centro de gravedad. Punto de un cuerpo en el que se considera aplicado el peso del mismo. Constante de gravitación universal. Constante de proporcionalidad G que aparece en la ley de gravitación universal. Su valor en el SI es 6.67 x 10-11 N . m2/kg2. Cuerpo rígido. Cuerpo cuya forma no cambia. Dina. Unidad de fuerza en el Sistema Cegesimal o CGS (centímetros, gramo, segundo). Dinámica. Estudio del movimiento de los cuerpos y de los sistemas de partículas en relación con las fuerzas que lo provocan o modifican. Dinamómetro. Instrumento empleado para medir la fuerza. Eclipse. Fenómeno astronómico que corresponde al paso de un cuerpo por la sombra proyectada por el otro. Equilibrio. Estado de un cuerpo en el que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es nula. Equilibrio dinámico. Estado de un cuerpo en el que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero y se encuentra en movimiento rectilíneo uniforme. Equilibrio estático. Estado de un cuerpo en el que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero y se encuentra en reposo. Fricción. Fuerza de resistencia que surge para oponerse al movimiento o intento de movimiento de un objeto con respecto a otro con el cual está en o. Fuerza. Acción que ejerce un cuerpo sobre otro. Una fuerza puede provocar un cambio en el movimiento del cuerpo sobre el que actúa o una deformación. Fuerza centrífuga. Fuerza que tiende a provocar que un cuerpo se aleje del centro de curvatura de su trayectoria. Fuerza centrípeta. Fuerza que tiende a atraer un cuerpo hacia el centro de curvatura de su trayectoria.

Fuerza constante. Fuerza que tiene siempre el mismo valor, la misma dirección y el mismo sentido. Fuerza de fricción dinámica (cinética). Fuerza entre las superficies en o, opuesta a la dirección del movimiento deslizante. Es paralela a las superficies en o. Esta fuerza se presenta cuando hay movimiento entre las dos superficies en o. Fuerza de fricción estática. Fuerza paralela a las superficies y puede asumir cualquier valor hasta cierta cantidad máxima, a partir de la cual, las superficies comienzan a deslizarse. Se presenta cuando todavía no hay movimiento relativo entre las dos superficies en o. Fuerza neta. Suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Fuerza normal. Fuerza entre dos superficies en o, se caracteriza por ser perpendicular a las superficies. Se representa por N. Fuerza nuclear. Fuerza que actúa en el interior del núcleo del átomo. Se conocen dos tipos: fuerza nuclear fuerte y fuerza nuclear débil. Gramo. Unidad de masa equivalente a una milésima de kilogramo. Inercia. Tendencia de un objeto en reposo a permanecer en reposo y de un objeto en movimiento a seguir en movimiento con su velocidad original. Una manera de medir la inercia es mediante la masa. Inercia, ley de la (primera ley de Newton). Un cuerpo sobre el que no actúa fuerza alguna o cuya fuerza neta es cero está en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme. Kepler, primera ley de. Los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo elipses, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Kepler, segunda ley de. La línea imaginaria que une a un planeta con el Sol y barre áreas iguales en tiempos iguales. Kepler, tercera ley de. Los cubos de las distancias medias de los planetas al Sol son proporcionales a los cuadrados de sus periodos de revolución.

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Kilogramo. Unidad de masa en el SI. Ley de la gravitación universal. Toda partícula en el Universo atrae a otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Masa. Magnitud física fundamental que a nivel intuitivo puede considerase como la medida de la cantidad de materia de la que está constituido un cuerpo. Es una medida de la inercia. Materia. Todo aquello que tiene masa y ocupa un lugar en el espacio. Newton. Unidad de medida de la fuerza en el SI. Es la fuerza que dará a un objeto de masa de 1 kg una aceleración de 1 m/s2. Newton, leyes de. Nombre con el que se conocen las leyes fundamentales de la Dinámica. Órbita. Trayectoria de un cuerpo cuando está influido por otro mediante una fuerza de gravedad o una fuerza eléctrica. Periodo de rotación. Tiempo que tarda un cuerpo en rotación en dar una vuelta completa. Peso. Fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre un cuerpo.

Satélite. Cuerpo que gira alrededor de otro y se mantiene en órbita por efecto de la fuerza de gravedad. Slug. Unidad de masa en el sistema inglés en donde a la libra se le considera como unidad de fuerza. Un slug es equivalente a 14.607 kg. Segunda ley de Newton. La aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. Tercera ley de Newton. Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste, a su vez, ejerce sobre el primero una fuerza de igual intensidad y en la misma dirección, pero de sentido contrario. Tensión. Fuerza con que se jala un objeto, aplicada por medio de una cuerda, una liga, etcétera. Teoría geocéntrica. Teoría acerca del Sistema Solar en la que se consideraba que la Tierra era el centro del sistema planetario. Teoría heliocéntrica. Teoría acerca del Sistema Solar, la cual confirma que el Sol está en el centro del sistema planetario. Tierra. Tercer planeta del Sistema Solar.

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Arma tu mapa conceptual 1. Para tener un resumen esquemático de una parte de lo que has aprendido en este capítulo, completa el siguiente mapa conceptual. Coloca en cada uno de los espacios en blanco el concepto o término correcto. Te recomendamos que utilices las palabras que aparecen en el recuadro. Compara tu mapa con el de tus compañeros de clase y muéstraselo a tu profesor.

Fuerza se puede clasificar

al actuar en un cuerpo

de acuerdo a su origen

fuerza interna

de acuerdo a si hay o no o

fuerza de o como la

fuerza gravitacional

como el

Términos clave 3 Fuerza electromagnética 3 Interacción débil 3 Interacción fuerte

3 Peso 3 Fuerza externa 3 Fuerza de acción a distancia

3 Fuerza de fricción

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2. Para que tengas una mejor comprensión de las características de la fuerza, completa los espacios en blanco del siguiente mapa conceptual con los términos clave que aparecen en el recuadro.

Fuerza

sus efectos en un cuerpo son

con un aparato

deformación

es una

se mide

en el SI en

se caracteriza por su

magnitud vectorial

se representa por un

un cambio en su

punto de aplicación

Términos clave 3 Movimiento 3 Reposo

3 Dinamómetro 3 Newton

3 Vector 3 Magnitud

3 Dirección 3 Sentido

3. Subraya los conceptos más relevantes que aparecen en este capítulo y que no fueron incluidos en los dos mapas conceptuales anteriores. Con ellos elabora otro mapa conceptual en tu cuaderno.

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Evaluación formativa I. Coloca una V en el paréntesis si el enunciado es correcto o una F si es falso. 1 ( ) El movimiento de un cuerpo tiene siempre la misma dirección que la fuerza aplicada. 2 ( ) La inercia es una fuerza a vencer. 3 ( ) La fuerza de reacción anula la fuerza de acción. 4 ( ) Si un cuerpo está en reposo, la fuerza neta sobre él es cero. 5 ( ) Si un cuerpo se mueve con velocidad constante, la fuerza neta aplicada sobre él es cero. 6 ( ) Los seres vivos no necesitan de ninguna fuerza externa para desplazarse. 7 ( ) Todas las fuerzas en la naturaleza son de interacción: siempre vienen en pares de igual magnitud, pero de sentido opuesto. 8 ( ) Si se ejerce una fuerza sobre un cuerpo que está en reposo y éste no se mueve, debe existir al menos otra fuerza que se oponga a la primera. 9 ( ) La aceleración que experimenta un cuerpo tiene la misma dirección que la fuerza neta aplicada sobre él. 10 ( ) Si un cuerpo se mueve con velocidad constante, la fuerza neta aplicada sobre él también es constante. II. Subraya la palabra correcta que se encuentra entre paréntesis y completa correctamente cada enunciado. 1 La fuerza de fricción (estática/dinámica) es la fuerza que hay que vencer para que dos superficies en o empiecen a resbalar una sobre otra. 2 La fuerza de fricción depende directamente (del peso/de la fuerza normal) que existe entre las superficies en o. 3 La fuerza de fricción es (dependiente/independiente) del área superficial. 4 Cuando un cuerpo es empujado y no se mueve, se debe a que la fuerza de fricción es (mayor/ menor/igual) a la fuerza que empuja el cuerpo. 5 El coeficiente de fricción dinámico es (mayor/ menor/igual) que el coeficiente de fricción estático para un mismo par de superficies.

6 La fuerza de fricción sobre un cuerpo tiene (el mismo sentido/sentido contrario) que el sentido del movimiento del cuerpo que se desliza sobre una superficie. 7 La fuerza de fricción en general es (dependiente /independiente) a la rapidez del deslizamiento de un cuerpo sobre una superficie horizontal. 8 El coeficiente de fricción estática es (mayor/menor /igual) a la unidad. 9 El coeficiente de fricción dinámica es (mayor/ menor/igual) a la unidad. 10 La fuerza de fricción estática máxima es (mayor /menor/igual) que la fuerza de fricción dinámica para el mismo par de superficies en o. III. Coloca en los espacios en blanco las palabras o conceptos faltantes que completen cada enunciado. 1 La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la ___________ aplicada e inversamente proporcional a la ___________ del objeto. 2 La unidad de fuerza en el SI es el_____________. 3 La unidad de masa en el SI es el _____________. 4 La ___________ es medida con un instrumento llamado dinamómetro. 5 Si se aumenta la fuerza aplicada a un cuerpo de masa constante la _____________ también aumenta de acuerdo con la segunda ley de Newton. 6 Cuando la aceleración de un objeto es cero se dice que dicho objeto está en _____________. 7 La aceleración de un objeto siempre ocurre en la misma dirección y sentido que la _____________ aplicada. 8 La _____________ es una medida de la inercia. 9 Un _____________ es la fuerza que dará a un objeto de 1 kg de masa una aceleración de 1 m/s2. 10 Un cuerpo se mueve a velocidad constante cuando la fuerza neta sobre él es _____________.

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IV. Define con tus propias palabras los siguientes términos. 1 Masa

VI. Si el bloque, en cada caso de la figura 6.53, se mueve cambiando su velocidad en la dirección de su movimiento, dibuja en color rojo sobre cada bloque la fuerza neta correspondiente.

2 Peso

3 Fuerza

4 Fuerza neta

5 Fricción

Figura 6.53 Los bloques se mueven en la dirección que indica la flecha.

6 Inercia

VII. Responde en forma breve a las siguientes preguntas:

7 Diagrama de cuerpo libre

1 Dos fuerzas de igual magnitud actúan sobre una caja, como se muestra en la figura 6.55, ¿la caja es acelerada en estas condiciones? Explica.

V. Enuncia con tu propias palabras las siguientes leyes. 1 Primera ley de Newton

Figura 6.54 ¿Cuál es la aceleración de la caja?

2 Segunda ley de Newton 2 ¿La inercia es una fuerza?

3 Tercera ley de Newton

3 Si la fuerza de fricción ejercida por el piso sobre una silla es igual en magnitud a la fuerza ejercida por una persona que la empuja, ¿es posible que la silla se encuentre en movimiento? Explica.

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4 Una persona pesa 800 N en la Tierra. a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de reacción correspondiente?

7 Dos cajas de masas iguales conectadas por un hilo sin masa e inextensible, son colocadas sobre una polea sin fricción como se muestra en la Figura 6.56. ¿Este sistema en estas condiciones está acelerado? Explica.

b) ¿En dónde se aplica esta fuerza de reacción?

5 Si un cuerpo cuya masa es de 1 kg se acelera a 1 m/s2 por medio de una fuerza de 1 N, ¿cuál será la aceleración sobre un cuerpo de 4 kg sobre el que actúa una fuerza de 4 N?

8 Si das un golpe fuerte con tu mano a un muro, ¿por qué te puede lastimar?, ¿cuál de las leyes de Newton es la más aplicable en este caso? Explica.

6 Si se observa una caja de 10 kg que no se mueve, aunque se sabe que sobre ella actúa una fuerza, ¿qué puede inferirse de ello?

Figura 6.55 Dos cajas iguales unidas por medio de una cuerda que pasa por una polea “sin masa”.

Problemas 1. ¿Qué fuerza neta se necesita para dar a un automóvil de 1400 kg una aceleración de 6 m/s2. 2. Una pelota de béisbol de 0.16 kg es golpeada por un bat con una fuerza de 500 N, ¿cuál es la aceleración que experimenta la pelota como resultado del golpe?

5. Una caja cuya masa es de 20 kg se halla sobre una superficie horizontal sin fricción y es sometida a la acción de las fuerzas que se indican en la figura 6.56. Cada fuerza tiene un valor de 10 N. ¿Qué aceleración experimenta la caja en cada caso?

3. Una fuerza neta de 2000 N sobre un autobús hace que éste acelere a 0.5 m/s2. ¿Cuál es la masa del autobús? 4. Una fuerza de 300 N se aplica a un cuerpo de 100 kg que se encuentra en reposo. Suponiendo que no hay fricción, determina la aceleración que experimenta el cuerpo.

Figura 6.56 El cuerpo A en cada caso está sometido a la fuerza o fuerzas que se muestran en la figura.

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6. Un baúl tiene una masa de 100 kg y está sujeto a dos fuerzas colineales horizontales con el mismo sentido. Si sus valores son 200 N y 300 N respectivamente, ¿cuál es el valor de la aceleración de la masa? 7. Una caja de 20 kg se encuentra inicialmente en reposo. Si se le aplica una fuerza neta de 40 N durante 2 s, ¿cuál será el valor de la velocidad a los 2 s? 8. Un automóvil de 1500 kg de masa está en reposo. Si a los 15 s alcanza una rapidez de 16.6 m/s, ¿cuál es la magnitud de la fuerza neta que lo impulsó? 9. Un automóvil se desplaza hacia el oeste con una rapidez inicial de 18 m/s. Al cabo de 8 s el automóvil disminuye su velocidad a 4 m/s. Si la masa del automóvil es 1200 kg, determina la magnitud y sentido de la fuerza neta que produce la desaceleración.

14.Si un astronauta pesa 900 N sobre la Tierra, ¿cuál será su peso en Júpiter, en donde la aceleración debido a la gravedad es de 25.9 m/s2? 15.Una bala que pesa 0.4 N sale de la boca de un rifle con una rapidez de 200 m/s. ¿Qué valor de la fuerza es ejercida sobre la bala durante su recorrido por el cañón del rifle, si partió del reposo y recorrió una longitud de 0.4 m por el cañón? 16.La fuerza de o (N) entre un baúl y el piso en el cual se encuentra apoyado es de 600 N. Si el valor de la fuerza de fricción estática máxima entre las superficies del baúl y el piso es de 100 N. ¿Cuál es el valor del coeficiente de fricción? 17.Determina el valor de la fuerza que ejerce el piso sobre el que está apoyado la caja de 10 kg que se muestra la figura 6.57.

10.¿Cuál es la magnitud de la fuerza neta requerida para detener uniformemente en una distancia de 60 m, un automóvil de 1400 kg que viaja a 100 km/h? 11.Determina el peso de Sandra si su masa es de 60 kg. Considera g = 9.8 m/s2. 12.Una masa de 80 kg se coloca en un dinamómetro que marca en su escala un peso de 288 N. ¿Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar donde se hizo la medición? 13.La aceleración de la gravedad sobre la superficie de Marte es de 3.62 m/s2. ¿Cuánto pesaría en Marte un perro que sobre la Tierra pesa 390 N?

Figura 6.57 Determina el valor de la fuerza normal sobre la caja en cada caso.

18.Un caballo de 4000 N de peso puede ejercer una fuerza de rozamiento horizontal de 2000 N para poder caminar, ¿cuál es el coeficiente de fricción estático entre el suelo y las pezuñas del caballo? Considera que la magnitud del peso del caballo es igual a la magnitud de la fuerza normal (N).

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19.Un refrigerador pesa 1500 N. Se aplica una fuerza horizontal de 500 N, pero el refrigerador no se mueve. a) ¿Cuánto vale la fuerza de fricción estática?

25.Una masa de 6 kg se ata a una cuerda de dos metros de longitud y se hace girar en una superficie horizontal con una velocidad lineal de 2 m/s. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

b) Si la fuerza de fricción estática máxima fs máx es de 600 N, ¿cuánto vale µs?

26. Un electrón gira en una órbita circular alrededor del núcleo, con un radio de 6 10-7 m y su masa es de 9.1 10-31 kg. La rapidez del electrón es de 3 105 m/s. Calcula el valor de: a) la aceleración centrípeta

20.Un sofá de 50 kg se mueve a velocidad constante sobre una superficie cuyo coeficiente de fricción dinámica entre ella y las patas del sofá es de 0.40, ¿cuál es la magnitud de la fuerza para mantener al sofá en movimiento a velocidad constante? 21.Se quiere arrastrar por el suelo un baúl de 40 kg de manera que recorra 20 m en 10 s a partir del reposo con una aceleración constante. Si el coeficiente de rozamiento vale 0.4, calcula la magnitud de la fuerza horizontal que se debe aplicar. 22.Se lanza una caja de madera de 2 kg por una superficie horizontal con una rapidez inicial de 5 m/s. El coeficiente de rozamiento es 0.3. ¿Qué distancia recorrerá el cuerpo hasta pararse? 23.Un disco de hockey sobre un lago congelado se golpea y adquiere una velocidad inicial de 30 m/s. Si el disco siempre permanece sobre el hielo y se desliza 130 m antes de detenerse, determina el coeficiente de fricción entre el hielo y el disco. 24.El ángulo necesario entre un plano inclinado y la horizontal para que una caja situada sobre la superficie del plano inclinado comience a deslizarse es de 30°. a) ¿Cuánto vale el coeficiente de fricción estática entre la caja y el plano inclinado? b) ¿Cuánto vale el coeficiente de fricción dinámica si la caja se desliza a velocidad constante cuan do el ángulo que forma el plano inclinado es de 25°?

b) la fuerza centrípeta 27.Una pelota de 0.2 kg sujeta al extremo de una cuerda de 1 m de longitud se hace girar sobre una mesa en un círculo horizontal con una rapidez de 3 m/s. ¿Cuál es el valor de la tensión de la cuerda? 28.Un cazador utiliza una pequeña piedra sujeta al extremo de una cuerda como honda. La hace girar por arriba de su cabeza en una circunferencia horizontal de 1 m de diámetro y con una rapidez de 6 m/s. Si la piedra tiene una masa de 0.3 kg, ¿qué valor tiene la fuerza centrípeta que experimenta? 29.¿Cuál es la máxima rapidez a la cual un automóvil puede salvar una curva de 200 m de radio sin derraparse, si el coeficiente de fricción estática es de 0.6? Expresa el resultado en km/h. 30.¿Cuál debe ser el coeficiente de fricción entre la carretera y las llantas de un auto, para que viajando a 90 km/h en una curva de 120 m de radio, no se derrape? 31.Una caja de 50 kg se hace descender por medio de una cuerda con una aceleración hacia abajo de 2 m/s2. ¿Cuál es la tensión en la cuerda? 32.Si dos masas cuelgan verticalmente sobre una polea sin rozamiento, se obtiene lo que se conoce como máquina de Atwood.

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a) Determina el valor de la aceleración de la masa m1 que tiene un valor de 6 kg. La masa m2 tiene un valor de 4 kg.

36. Determina la magnitud de la aceleración del cuerpo de masa m2 y la tensión de la cuerda que suspende a m2 de la siguiente máquina de Atwood.

b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda? 33.Una fuerza vertical de 100 N se aplica hacia arriba sobre una caja que tiene una masa de 0.60 kg. Calcula: a) El peso de la caja. b) La magnitud de la fuerza neta sobre la caja. c) El valor de la aceleración de la caja. 34.Un elevador tiene una masa de 9000 kg. La tensión en el cable que sostiene al elevador es de 7500 N, hacia arriba. a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración. b) ¿En qué sentido se mueve el elevador? 35.Determina la magnitud de la aceleración del cuerpo de masa m1 en la máquina de Atwood de la figura 6.58.

Figura 6.59 Máquina de Atwood del problema 36.

37. Un bloque de masa m1 sobre una superficie horizontal lisa se conecta a un segundo bloque de masa m2 por medio de una cuerda de peso despreciable sobre una polea sin fricción de peso también despreciable, como se muestra en la figura 6.60. a) Determina la magnitud de la aceleración de los bloques. b) Calcula el valor de la tensión de la cuerda.

Figura 6.58 Máquina de Atwood del problema 35.

Figura 6.60 Máquina del problema 37.

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38. Dos bloques de masas m1 y m2 situados sobre una superficie horizontal sin fricción se conectan mediante una cuerda sin masa. Una fuerza F = 100 N, se ejerce sobre una de las masas como se muestra en la figura 6.61. a) Determina la aceleración del sistema. b) Calcula la tensión de la cuerda.

Figura 6.61 Problema 38.

39. En la figura 6.62 se muestran tres bloques conectados sobre una mesa. Sus masas son de 4, 1 y 2 kg, respectivamente. Las poleas no producen fricción y su masa es despreciable. Entre la mesa y el bloque de 1 kg la fricción es despreciable. a) ¿Cuál es la aceleración del sistema? b) ¿Cuál es la magnitud de la tensión de la cuerda que sostiene al bloque de masa m3?

b) Si el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano inclinado es de 0.50, ¿cuál es la nueva aceleración del bloque? 41.Se coloca una maleta en una rampa plana inclinada de 40°. Cuando se libera del reposo, la maleta se acelera hacia abajo de la rampa con una aceleración de 0.20 m/s2. ¿Cuál es el coeficiente de fricción entre la rampa y la maleta? 42.Al mover un escritorio de 40 kg a lo largo de un salón, un estudiante encuentra que se necesita una fuerza horizontal de 280 N para poner en movimiento el escritorio y una fuerza de 200 N para conservarlo en movimiento con rapidez constante. ¿Cuáles son los valores de los coeficientes de: a) la fricción estática b) la cinética entre el escritorio y el piso? 43.Una caja resbalaba de un plano pulido que tiene una inclinación de = 10°. Si la caja parte del reposo desde la parte superior del plano que tiene una longitud de 2 m. Calcula: a) la aceleración de la caja b) la magnitud de la velocidad de la caja cuando llega a la parte inferior. Considera que la caja tiene un peso de 980 N y que la fricción es despreciable.

Figura 6.62 ¿Cuál es la aceleración del sistema?

40.Un bloque de madera de 10 kg se coloca sobre un plano inclinado de madera que forma un ángulo de 40° con la horizontal. a) Si se desprecia la fricción, ¿cuál es el valor de la aceleración del bloque? Figura 6.63 Problema 43.

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44.Un bloque de 4 kg situado sobre el plano inclinado que forma un ángulo de 20° con la horizontal, está unido a otro bloque de masa m2 = 3 kg como se muestra en la figura 6.64. Considerando que no hay fricción y que la masa de la cuerda es despreciable, calcula la aceleración del sistema.

46.Determina el valor de la fuerza gravitacional con la que se atraen Sandra y Marco cuando están separados 1 m. La masa de Sandra es de 50kg y la de Marco de 60 kg. ¿Por qué no son capaces de sentir esa atracción? Explica tu respuesta. 47.Calcula con qué fuerza atrae el Sol a la Tierra. La distancia promedio de la Tierra al Sol es de 1.50 1011 m y la masa del Sol es de 1.99 1030 kg (unas 340 000 veces más grande que la masa de la Tierra).

Figura 6.64 Problema 44.

45.Calcula la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas de 2kg y 3kg, separados a una distancia de 5cm; es decir, 0.05m.

48.Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie de los planetas cuyas masas y diámetros aparecen en la Tabla 6.3.

Tabla 6.3 Masas y diámetros de algunos planetas Planeta

Masa (kg)

Diámetro (km)

Mercurio

0.324 1024

4880

Marte Neptuno

0.64 1024 102.86 1024

49 500

6787

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Formulario Subtema

Fórmulas

Notas

Masa inercial

m1 m2

=

m2 = masa del cuerpo tomado como referencia (1 kg) a2 = valor de la aceleración del cuerpo de referencia a1 = valor de la aceleración del cuerpo de masa m2 m1 = masa a determinar

a2 a1

r r F a= m

Segunda ley de Newton

r a = aceleración r r F = fuerza neta (Fn) m = masa del cuerpo

En forma escalar:

a=

F

La aceleración tiene la misma dirección que la fuerza.

m Otra forma de presentación:

r

r r Ft v − v0 = m r r r r Fn = F1 + F2 + F3 + ...

Fuerza neta

r v=

= velocidad final del cuerpo r v0 == velocidad inicial del cuerpo t = tiempo que actúa la fuerza

r r r F1 , F2 , F3 = fuerzas externas aplicadas al cuerpo

Se sustituye por: r r Fn o FR = fuerza neta o resultante r r Fn = FR r r W = mg

Peso

En forma escalar: W = mg

Fuerzas de fricción

Fuerza de fricción estática

m= masa r g = aceleración de la gravedad r W = peso del cuerpo g = magnitud de la aceleración de la gravedad

Por otra parte: fs máx = sN

fs = magnitud de la fuerza de fricción estática N = magnitud de la fuerza normal s = coeficiente de fricción estática fs máx = magnitud de la fuerza de fricción estática máxima

Fuerza de fricción dinámica fk = kN donde: k < k

fk = magnitud de la fuerza de fricción dinámica o cinética N = magnitud de la fuerza normal k = coeficiente de fricción dinámica

fs sN donde:

s < 1

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Subtema

Fórmulas

Notas

Fuerza de fricción por rodadura fr = rN donde: r < k

Fuerza centrípeta

Máquina de Atwood

Ffcc =

mv

Fr = magnitud de la fuerza de fricción por rodadura N = magnitud de la fuerza normal r = coeficiente de fricción por rodadura

Fc = magnitud de la fuerza centrípeta v = rapidez r = radio de la trayectoria m = masa del móvil

2

r

Aceleración del sistema ⎛ m – m1 ⎞ a=⎜ 2 ⎟ g ⎝ m1 + m2 ⎠

Tensión de la cuerda

g = magnitud de la aceleración de la gravedad m1 = masa del cuerpo 1 m2 = masa del cuerpo 2 Se supuso que m2 > m1.

T = magnitud de la tensión de la cuerda

⎛ 2 m1 m2 ⎞ g ⎝ m + m ⎟⎠

T =⎜

1

Bloque en un plano inclinado

2

Sin fricción: a = g sen

Con fricción: a = g sen – k g cos

a = magnitud de la aceleración del bloque k = coeficiente de fricción entre el bloque y el plano inclinado = ángulo del plano inclinado

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Pasatiempos Fuerza total En general, la fuerza que uno puede aplicar a un cuerpo no es la única fuerza que se ejerce sobre éste; pueden existir otras fuerzas que actúen sobre él. La suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas da como resultado una fuerza única conocida como fuerza total, fuerza neta o resultante. Esta fuerza es la que provoca la aceleración del cuerpo. Determina la magnitud de la fuerza neta sobre el cuerpo A para las diferentes situaciones que se muestran en la Tabla 6.4. Escribe en los espacios en blanco el valor de dicha fuerza. Se presenta un ejemplo para que identifiques lo que debes hacer. Ejemplo:

Puesto que las dos fuerzas tienen el mismo sentido y dirección, la magnitud de la fuerza neta o resultante se obtiene mediante la suma de las magnitudes.

Tabla 6.4 Fuerza neta de un sistema de fuerzas Sistema de fuerzas

Fuerza neta o resultante

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

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Pasatiempos Segunda ley de Newton Newton fue el científico que señaló en su libro los Principios matemáticos de la filosofía natural que la aceleración que experimenta un cuerpo no depende únicamente de la fuerza aplicada, sino también de la masa. Si quieres conocer el enunciado que resume lo anterior, escribe en las líneas las palabras que faltan de acuerdo con el número que aparece en dicho espacio y en la clave que aparece en el recuadro. La 1____________ que adquiere un objeto por efecto de una 2____________ neta o total es directamente proporcional a la magnitud de la 2____________ neta, tiene la misma dirección que la 2____________ neta y es inversamente proporcional a la 3____________ del objeto considerado. Palabras clave: 1. Aceleración 2. Fuerza 3. Masa

Acción y reacción De acuerdo con la tercera ley de Newton, en toda interacción entre dos cuerpos aparecen dos fuerzas: la de acción y la de reacción. Estas fuerzas no se pueden anular porque se aplican a cuerpos diferentes. En las situaciones que se presentan en la Tabla 6.5 coloca el número que corresponde al valor de la fuerza en la que aparece un espacio en blanco, en donde se representan las interacciones entre dos cuerpos (donde FA es la magnitud de fuerza de acción y FR es la magnitud de la fuerza de reacción). Observa el ejemplo. Ejemplo:

Puesto que FA = 100 N, entonces FR = 100 N, ya que las dos fuerzas deben tener la misma magnitud.

Tabla 6.5 Fuerza de acción y de reacción

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Pasatiempos Segunda ley de Newton Resuelve los problemas y registra los resultados numéricos en el crucigrama. Si las soluciones de los problemas son correctas, las operaciones indicadas en el crucigrama se deberán cumplir. A cada casilla le corresponde un dígito.

1. Si un carrito de 20 kg es impulsado por una fuerza de 400 N, ¿cuál es el valor de la aceleración que adquiere? 2. Si a un balón de 0.5 kg se le aplica una fuerza de 15 N, ¿cuál es el valor de la aceleración que adquiere? 3. Una pelota de 0.4 kg es golpeada con fuerza de 20 N, ¿cuál es el valor de su aceleración? 4. Un carrito de 30 kg tiene una aceleración de 1 m/s2, ¿cuál es el valor de la fuerza aplicada? 5. Un cuerpo de 0.1 kg tiene una aceleración de 200 m/s2, ¿cuál es el valor de la fuerza aplicada? 6. Si un cuerpo experimenta una aceleración de 10 m/s2, cuando se le aplica una fuerza de 100 N, ¿cuánto vale su masa?

7. Un proyectil de 2 kg que parte del reposo alcanzó una rapidez de 100 m/s en 4 s. ¿Qué valor tiene la fuerza que se le aplicó? 8. Si a una pesa de 1 kg inicialmente en reposo, se le aplica una fuerza neta de 5 N durante 2 s, ¿qué rapidez tendrá a los 2 s? 9. Un bloque de 1 kg experimenta un cambio de velocidad de 4 m/s en un tiempo de 0.1 s. ¿Cuál es el valor de la fuerza aplicada?

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Actividad Un objeto en el interior de un autobús en movimiento El vecino de Sandy, quien es chofer de un autobús foráneo, le hizo la siguiente pregunta: ¿Cómo podría conocer un pasajero, sin ayuda de ningún instrumento de medida, si el autobús en que viaja está moviéndose o no con velocidad constante en una carretera recta? Sandy le contestó lo siguiente: Bastaría con colocar en el piso del autobús una tabla de madera pulida en forma horizontal y sobre ella una canica. En tanto que el autobús llevara una velocidad constante, la canica permanecería estacionaria sobre la tabla. Cualquier cambio en la velocidad del autobús, es decir, cualquier aceleración daría lugar a un desplazamiento de la canica en la tabla. Para que su vecino se convenza, Sandy te pide que hagas el siguiente experimento y le reportes tus observaciones y los resultados obtenidos.

3 Sobre una mesa de formaica o un vidrio horizontal (representaría la carretera) coloca un libro de pasta suave (representaría el autobús) y sobre el libro coloca con cuidado una canica (Figura 6.65). 3 Una vez que hayas inmovilizado la canica, empuja horizontalmente y de manera muy suave el libro en línea recta, de manera que la canica no se mueva con respecto al libro. ¿Lo lograste?

Figura 6.65 Si se empuja, o jala, suavemente el libro de manera que su rapidez sea constante, ¿permanecerá la canica en su lugar?

3 Realizado lo anterior, da un tirón horizontal al libro, es decir aceléralo, ¿se movió la canica? Si se movió, ¿en que dirección lo hizo?

3 En el siguiente espacio dale a conocer al chofer los resultados y observaciones:

3 ¿Qué opinas de la propuesta que le hizo Sandy al chofer para saber cuándo cambia la velocidad del autobús sin ver ningún instrumento de medición? ¿Cuáles son las leyes de Newton involucradas en este experimento?

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Actividad Máquina de Atwood En esta actividad verificarás la segunda ley de Newton a través de la máquina de Atwood.

¿Qué necesitas?

9. Repite todo lo anterior para el tercer valor de n1 y n2 dado en la Tabla 6.6. 10.Deduce en el siguiente espacio la ecuación anterior de la aceleración del sistema mostrado en la figura 6.66 a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton.

• Dos popotes • Dieciséis canicas • Cinta adhesiva • Dos vasos de papel • Hilo cáñamo • Un cronómetro • Dos sillas

a)

b)

¿Qué debes hacer? 1. Ata los dos vasos a los extremos del hilo como se ilustra en la figura 6.72a). 2. Coloca los dos popotes sobre los respaldos de las sillas y sujétalos con cinta adhesiva como se ilustra en la figura 6.72b). 3. Pasa el hilo por los popotes como se ilustra en la figura 6.72c) para construir una máquina de Atwood.

c)

4. Luego coloca seis canicas (n1 = 6) en un vaso y cuatro (n2 = 4) en el otro y libéralos. 5. Mide el tiempo que el vaso con más canicas tarda en tocar el piso si la distancia entre el vaso y el piso es de 50 cm. 6. Registra tu resultado en la Tabla 6.6. 7. Agrega dos canicas más al vaso más pesado y repite el experimento. Si consideramos que las canicas tienen la misma masa, la aceleración del sistema se puede calcular de: n –n a= 1 2 g n2 + n1 donde : a = aceleración de los vasos g = aceleración de la gravedad n1 = número de canicas en el vaso 1 n2 = número de canicas en el vaso 2 8. Registra tus cálculos de la aceleración de los vasos en la tabla de resultados.

Figura 6.66 a) Ata el hilo a los dos vasos. b) Los popotes se apoyan sobre los respaldos de las sillas. c) Este sistema constituye una máquina de Atwood.

Tabla 6.6 Aceleración de la máquina de Atwood n1

n2

t

a

(canicas)

(canicas)

(s)

(m/s2)

6

4

8

4

10

6

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Deducción

Discusión y conclusiones 1. ¿De qué dependió el tiempo de descenso del vaso con mayor número de canicas?

2. ¿En qué caso de los experimentos realizados, la aceleración fue mayor? ¿Por qué?

3. ¿De qué manera influyó la fricción en los resultados?

4. ¿Qué conclusiones obtuviste de esta actividad?

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¿Te habías imaginado que… Lanzamiento de una pelota y la segunda ley de newton Seguramente has tenido la oportunidad de lanzar horizontalmente una pelota y saber que si el movimiento de tu brazo al arrojarla es grande, la pelota recorrerá una mayor distancia, pero ¿por qué?. La respuesta a esta pregunta la da la segunda ley de Newton, a partir de la cual sabemos que debemos aplicar una fuerza a la pelota para que adquiera una aceleración. Cuando se tiene la pelota en la mano, como se indica en la figura 6.67, la pelota está en reposo, ya que su velocidad inicial es cero (v0 = 0 m/s). Si ahora se ejerce una fuerza F sobre la pelota al mover el brazo a lo largo de la distancia d, la pelota es acelerada por el brazo de v0 = 0 a la velocidad final v al término del recorrido, cuando deja la mano. Suponiendo que la aceleración es constante, la velocidad de la pelota cuando deja la mano se puede calcular por la siguiente a)

b)

ecuación: v2 = v02 + 2ad Como v0 = 0, la velocidad v se obtiene de: v = 2ad Puesto que la magnitud de la aceleración se puede obtener por: F a= m Entonces, se puede sustituir esta expresión en la anterior, de manera que se obtiene:

v=

2Fd m

Al analizar esta ecuación, se deduce que la velocidad de la pelota depende de su masa, de la fuerza que el brazo ejerce sobre ella y de la distancia que recorre la pelota mientras se le aplica la fuerza. Puesto que no siempre es posible que un lanzador cambie la fuerza F que su brazo es capaz de aplicar, así como cambiar la masa de la pelota, la única forma en que se puede incrementar la velocidad con que es arrojada la pelota, consiste en incrementar la distancia d lo más que se pueda. Esto explica la manera en que los pitchers lanzan las pelotas en los juegos de béisbol. >

>

Figura 6.67 Entre mayor sea la distancia recorrida por la pelota en el brazo del lanzador, mayor será su alcance.

Figura 6.68 La velocidad de la pelota al dejar la mano de quien la arroja depende de su masa, la fuerza aplicada y la distancia d.

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Los cinco pecados capitales y los diez mandamientos del buen newtoniano* Los cinco pecados capitales 1. Pensar que siempre hay una fuerza en la dirección del movimiento. 2. Considerar a la inercia como una fuerza a vencer. 3. Creer que los seres vivos y los vehículos no necesitan ninguna fuerza externa para desplazarse. 4. Considerar a la fricción como un obstáculo a vencer. 5. Pensar que la reacción anula a la acción.

Los diez mandamientos 1. Si un cuerpo está en reposo, la fuerza neta, o sea la suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas sobre él, es cero. 2. Si un cuerpo se mueve con velocidad constante, la fuerza neta aplicada sobre él es cero. 3. La velocidad impartida a un cuerpo, cambia sólo en la medida que una fuerza neta aplicada sobre él, la haga cambiar. 4. Cualquier objeto que se desprenda de un cuerpo en movimiento, conserva la velocidad que tenía al desprenderse y sólo la cambiará por la acción de una fuerza aplicada sobre él. 5. No se requiere la acción de una fuerza para mantener un movimiento, sólo para cambiarlo. 6. La aceleración que sufre un cuerpo es en la dirección de la fuerza total aplicada sobre él. 7. Si se ejerce una fuerza sobre un cuerpo que está en reposo y éste no se mueve, debe existir por lo menos otra tal que la suma de ambas sea cero (es decir, que la contrarrestre). 8. Todas las fuerzas en la naturaleza son de interacción. Siempre vienen en pares de igual magnitud, pero de sentido opuesto. 9. El par de fuerzas acción-reacción actúa siempre sobre dos cuerpos diferentes; una fuerza sobre cada uno de los cuerpos que interactúan. 10.Las fuerzas de interacción nunca se equilibran o anulan, pues nunca actúan sobre el mismo cuerpo.

* Extracto del artículo de Silvia Bravo publicado en el Boletín de enseñanza, núm. 13, 1987, de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

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Isaac Newton Este científico nació el 25 de diciembre de 1642 y murió en Londres el 20 de marzo de 1727. Newton es uno de los grandes científicos de la humanidad, pues hizo aportaciones importantes a las matemáticas, la física y la astronomía. En el área de las matemáticas desarrolló el Teorema del binomio, que lleva su nombre, y el cálculo diferencial e integral. Newton era una persona distraída, muy sensible a la crítica e infantil en sus reacciones frente a ella. Más de una vez decidió no publicar sus trabajos científicos. En el área de la óptica, Newton descubrió que la luz es la combinación de luces de todos los colores. Los experimentos de Newton con la luz y el color le condujeron a enunciar la Teoría corpuscular de la luz. En 1668 inventó el telescopio de reflexión. En 1684, el astrónomo Edmund Halley visitó a Newton para pedirle que le ayudara a aclarar el concepto de la gravitación como fuerza de la naturaleza. Se sorprendió cuando Newton le dijo que los problemas de la gravitación los había resuelto en 1666, año de la peste en Londres. Halley lo convenció de que comprobara de nuevo sus

resultados con los datos más recientes sobre el radio de la Tierra y de que publicara su trabajo. Después de dos años escribió lo que resultó ser uno de los libros más importantes que se han producido en el mundo científico: Principios matemáticos de la filosofía natural, el cual está integrado por tres volúmenes. En el primero, recopiló los hallazgos de Galileo en tres leyes del movimiento. En el segundo, extiende la validez de sus tres leyes a los cuerpos que se mueven en medios resistentes, como son los líquidos y los gases. En el tercero, demuestra que el movimiento de los cuerpos celestes puede explicarse con base en las leyes mecánicas de la mesoescala. Formuló además la Ley de la Gravitación Universal, que explicaba el movimiento de los cuerpos celestes, tal y como eran conocidos en ese entonces. Newton fue un científico respetado durante su vida. Al morir fue enterrado en la Abadía de Westminster junto a los héroes de Inglaterra. Newton fue una persona modesta, lo cual reflejó, entre otras cosas, cuando dijo: “He visto más lejos que otros hombres porque he estado en los hombros de gigantes.”

Creatividad en la física Leyes de Newton Elabora un periódico mural sobre las leyes de Newton Bajo la supervisión del profesor, tú y tus compañeros del grupo elaborarán un periódico mural sobre las Leyes de Newton. Tus compañeros y tú deberán realizar investigaciones documentales y de campo sobre:

3 Leyes de Newton 3 Leyes de Kepler 3 Leyes de gravitación Universal 3 Las aceleraciones de gravedad y sus efectos en los astronautas 3 Importancia y limitaciones de las Leyes de Newton. Los mejores periódicos murales, por ser los más completos, creativos, interesantes y mejor ilustrados serán seleccionados para ocupar uno de los muros del salón de clases o bien, ser exhibidos en algún lugar de la escuela, bajo previa autorización de profesores y directivos.

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Capítulo

7 Trabajo, potencia y energía mecánica Objetivo Objetivo

Al término de este capítulo los estudiantes podrán resolver problemas relacionados con los temas de trabajo, potencia y energía mecánica. Asimismo, harán uso de conceptos, modelos matemáticos y de la clara interpretación de la ley de conservación de la energía.

Introducción

Introducción

La historia de la humanidad puede considerarse como la historia de la conquista de la energía. Desde siempre, el ser humano la ha utilizado y transformado; sin embargo, el concepto de energía es reciente y lo encontramos en todas las ramas de la ciencia. La energía es algo abstracto e intangible que se tardó mucho en entender y en poder controlar parcialmente. Tras varias crisis energéticas y después del descubrimiento del motor de vapor, la electricidad, el motor de combustión interna, la energía nuclear y mejores

dispositivos de almacenamiento, el transporte y aprovechamiento de la energía han crecido en gran escala. Hay energía en nosotros y en las cosas, pero sólo observamos sus efectos cuando se transforma de un tipo de energía a otro. Su comprensión ha tenido gran influencia en la sociedad. Este capítulo está dedicado al estudio de la energía, el trabajo, la potencia, el principio de conservación de la energía y las principales características de las máquinas simples.

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Trabajo En la vida cotidiana, trabajo significa casi todo lo que la gente hace. Por ejemplo, un taxista dirá que trabajo es lo que él hace cuando conduce por las calles de una ciudad y un mecánico dirá que él realiza un trabajo cuando arregla un auto (Figura 7.1)

El trabajo mecánico o simplemente trabajo realir zado por una fuerza constante Fwsobre un cuerpo se define como: T = Fd donde: T = trabajo F = magnitud de la fuerza d = magnitud del desplazamiento o distancia. Esta definición sólo se aplica cuando la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido (Figura 7.3).

r r Figura 7.3 La fuerza F y el desplazamiento d tienen la misma dirección y sentido. Figura 7.1 El concepto de trabajo para un mecánico es diferente al concepto que se tiene en física.

En física, la palabra trabajo tiene un significado diferente y más preciso: se realiza trabajo siempre que la fuerza produzca movimiento. Cuanto mayor sea la fuerza aplicada y más grande la distancia recorrida, mayor será el trabajo efectuado (Figura 7.2). Situación 1

Situación 2

Figura 7.2 En la situación 2 se realizó un mayor trabajo ya que se le aplicó una fuerza mayor a lo largo de un desplazamiento mayor.

Si la fuerza es medida en newtons (N) y la magnitud del desplazamiento en metros (m), el trabajo se mide en joules (J), es decir: Joule = (newton)(metro) Un joule corresponde al trabajo que debe realizarse cuando la fuerza aplicada es de 1 newton y la magnitud del desplazamiento recorrido por el cuerpo es de 1 m. En el sistema inglés, la unidad del trabajo es el pielibra (ft-lb). La equivalencia de esta energía con el joule es: 1 ft-lb = 1.36 J Ahora, consideraremos un cuerpo que experimenta r un desplazamiento d a lo largo de una línear recta mientras actúa sobre élr una fuerza constante F , que forma un ángulo con d , como se ilustra en la figura 7.4.

Figura 7.4 Si la fuerza

r F que actúa sobre el cuerpo forma un

r ángulo con el desplazamiento d , el trabajo realizado por dicha fuerza es Fd cos .

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Capítulo 7 • Trabajo, potencia… 253

En este caso, el trabajo realizado por un agente que ejerce la fuerza constante es el producto de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento y la magnitud del desplazamiento, es decir: T = Fd cos Al analizar esta ecuación se concluye que no se hace trabajo sobre el cuerpo, si éste no se mueve (d = 0). Por ejemplo, si una persona empuja una barda, ejerce una fuerza sobre ésta, pero no realiza trabajo porque la barda no se mueve. También se advierte que el trabajo es cero si la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 90°. Por ejemplo, el trabajo hecho por el peso del cuerpo de la figura 7.4 cuando éste se desplaza horizontalmente es cero. Es conveniente señalar que el trabajo es positivo si el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es menor de 90° y es negativo si el ángulo es mayor de 90°, pero no mayor de 180°. El Trabajo es una magnitud escalar que se obtiene de multiplicar dos vectores: fuerza y desplazamiento, por lo que el trabajo se puede definir de manera general como un producto escalar de dos vectores, es decir: r r T= F• d

La fuerza mínima que requiere el hombre para levantar a su compañera es igual a la magnitud del peso de su compañera, es decir, F = W = 509.6 N. Como el desplazamiento y la fuerza aplicada tienen la misma dirección y sentido, el trabajo realizado por el hombre se calcula por: T = Fd Sustituyendo valores: T = 509.6 (0.50) Se obtiene: T = 254.8 J Cuando son varias fuerzas las que actúan sobre un cuerpo, el trabajo hecho por cada una se puede calcular por separado, de manera que el trabajo total o neto es la suma algebraica de los trabajos de cada una de las fuerzas. El trabajo total también se puede calcular si primero se determina la fuerza neta o resultante sobre el cuerpo y luego se calcula el trabajo que efectuaría dicha fuerza. Los dos métodos para determinar el trabajo sobre un cuerpo son equivalentes y arrojan el mismo resultado.

Problema ejemplo Problema ejemplo 7.1 Un hombre levanta a su compañera, quien tiene un peso de 52 kg, hacia arriba en línea recta una distancia de 0.50 m, ¿cuál es el trabajo que realiza? Solución Datos m = 52 kg g = 9.8 m/s d = 0.50 m T=?

7.2 Se empuja un escritorio a una distancia de 2.5 m a lo largo de una superficie horizontal por medio de una fuerza de 600 N. La fuerza de fricción dinámica que aparece entre el escritorio y la superficie horizontal es de 100 N. a) ¿Qué trabajo realizó la fuerza de 600 N? b) ¿Qué trabajo realizó la fuerza de fricción? c) ¿Cuánto trabajo neto se realizó sobre el escritorio?

2

Lo primero que se hace es determinar el valor del peso de la mujer, es decir: W = P = mg Sustituyendo valores: W = 52(9.8) = 509.6 N

Solución Datos F1 = 600 N f = 100 N d = 2.5 m = 180° Figura 7.5 Fuerzas sobre el escritorio.

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r a) El trabajo T1 realizado por F1 sobre el escritorio se calcula por: T1 = F1d

Si se selecciona como nivel de referencia el extremo del resorte cuando no es deformado (x0 = 0), la ecuación anterior se convierte en: F = kx

Sustituyendo valores se obtiene: T1 = (600)(2.5) T1 = 1500 J b) El trabajo realizado por la fuerza de fricción se calcula por: T2 = fd cos Sustituyendo valores se obtiene: T2 = 100 (2.5) cos 180° T2 = -250 J Ya que la fuerza de fricción y el desplazamiento forman un angulo de 180°. c) El trabajo total (T ) sobre el escritorio se calcula por: TT = T1 + T2 T

Sustituyendo valores se obtiene TT = 1500 – 250 TT = 1250 J

El cálculo del trabajo que se ha hecho hasta aquí se limitó al caso de fuerzas constantes. Sin embargo, en muchos casos, las fuerzas son variables, esto es, cambian con el tiempo o la posición. Un ejemplo de una fuerza variable que hace un trabajo es un resorte que se estira. (Figura 7.6.) Conforme éste se estira o comprime, la fuerza de restauración del resorte se hace más grande, por lo que la fuerza aplicada se incrementa, es decir, la fuerza aplicada es directamente proporcional a la deformación del resorte. Esto se puede expresar por la ecuación

r r Figura 7.6 Las fuerzas F y F1 estiran el resorte, lo que hace que el resorte ejerza una fuerza igual y opuesta.

De la figura anterior se observa que el resorte ejerce una fuerza igual opuesta, Fe = –kx (x es la deformación del resorte). El signo menos indica que la fuerza que ejerce el resorte está en la dirección opuesta al desplazamiento del resorte, ya sea que se estire o comprima. Esta ecuación es conocida como ley de Hooke, en honor de Robert Hooke (1635-1703), contemporáneo de Newton. La gráfica correspondiente a la ley de Hooke es una recta que pasa por el origen y con una pendiente igual a – k (Figura 7.7).

F = k(x – x0) donde: F = magnitud de la fuerza aplicada que varía con x k = constante de restitución del resorte medida en N/m en el SI x0 = posición del resorte cuando no es deformado x = posición del resorte cuando está deformado.

Figura 7.7 Gráfica de la fuerza contra la deformación para un resorte de constante de restitución k. El área sombreada es igual al trabajo necesario para deformar el resorte.

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El trabajo realizado para vencer esta fuerza está dado por el área bajo la curva de la figura 7.7. Por tanto, el trabajo realizado para vencer esta fuerza y estirar el resorte desde x = 0 hasta x se calcula por: 1 T = kx 2 2 donde: 0

T = trabajo que la fuerza aplicada efectúa en contra de la fuerza que ejerce el resorte x = deformación del resorte. k = constante del resorte o coeficiente de restitución.

Problema ejemplo 7.3 Un resorte cuyo coeficiente de restitución es 4900 N/m es comprimido 0.10 m. ¿Cuánto trabajo se necesitó para comprimirlo? Solución Datos k = 4900 N/m x = 0.10 m T=? Fórmula

T =

1 2 kx 2

Sustituyendo valores: 2 1 4900 )( 0.10 ) ( 2 Resultado

T =

do en la vida cotidiana y tengas una idea muy parecida a la que se tiene en el campo de la física. Desde un punto de vista práctico, es interesante conocer no sólo el trabajo realizado sobre un cuerpo, sino también el tiempo durante el cual se efectúa el trabajo. La rapidez con la cual se realiza un trabajo recibe el nombre de potencia. Matemáticamente se expresa por: T P = t donde: P = potencia T = trabajo t = tiempo La unidad de la potencia en el SI es el joule por segundo (J/s), llamada watt (W) en honor del ingeniero escocés James Watt (1736-1819). Se dice que la potencia es de un watt cuando se realiza un trabajo de 1 joule en 1 segundo. Hay otras unidades de potencia que nos han quedado como herencia del tiempo de las carretas, los caballos y las bestias de tiro. Cuando se empezaron a desarrollar las primeras máquinas de vapor, se comparaba su potencia con la de los caballos, así surgieron dos unidades: el caballo de vapor (cv) y el caballo de fuerza (hp). Se decía, por ejemplo, que una máquina de 10 caballos de fuerza sustituía el trabajo de 10 caballos robustos. La equivalencia entre estas unidades y el watt es la siguiente: 1 cv = 735 W 1 hp = 746 W Cuando una fuerza constante actúa sobre un cuerpo en la dirección del movimiento del cuerpo, la potencia se puede expresar en función de la velocidad media del cuerpo, es decir:

P =

T Fd Fd = = t t t

T = 24.5 J Si

d = v , entonces: t P = Fv

Potencia

donde:

En física, un concepto muy importante es el de potencia. Probablemente este concepto ya lo hayas escucha-

F = magnitud de la fuerza constante v = magnitud de la velocidad media P = potencia

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Problema ejemplo 7.4 Una fuerza de 5000 N mantiene a un automóvil moviéndose a una velocidad media de 90 km/h en la misma dirección y sentido de la fuerza aplicada. ¿Cuál es la potencia del automóvil? Solución Datos F = 5000 N v = 90 km/h = 25 m/s P=? Fórmula P = Fv Sustituyendo valores: P = (5000 N)(25 m/s) Resultado P = 125 000 W

muestra de muy distintas formas: como calor, como luz, como sonido, como electricidad, como movimiento, como energía nuclear, etcétera (Figura 7.8). También puede transformarse de un tipo de energía a otro, por ejemplo, en un foco, la energía eléctrica que recibe se transforma en energía calorífica y energía luminosa. Asimismo, la energía puede transferirse de uno a otro cuerpo, por ejemplo, cuando una bola de billar en movimiento golpea a otra en reposo, puede transferirle su energía cinética, haciendo que la que se encontraba en reposo sea la que se mueva, y la que tenía el movimiento inicial quede en reposo.

Descubre la física Los seres humanos obtenemos energía de los alimentos que consumimos. Esta energía se almacena, se transforma y por último se utiliza como combustible para llevar a cabo muchas de las funciones básicas de nuestro organismo. Gracias a la energía, nuestros músculos tienen movimiento, los huesos se fortalecen y podemos realizar muchas actividades. Algo de esta energía es liberada en forma de calor para así mantener la temperatura del cuerpo.

Energía Cuando se levanta un cuerpo, éste adquiere la capacidad de realizar un trabajo al caer. Al oprimir un resorte, el mismo adquiere la capacidad de empujar y desplazar cuerpos. Al cargar una batería, ésta adquiere la capacidad de mover un motor que a su vez puede desplazar un automóvil, por ejemplo. En todos estos casos, el cuerpo, el resorte y la batería han adquirido algo que les permite posteriormente realizar un trabajo. Este algo que permite a los cuerpos realizar un trabajo, recibe el nombre de energía. De acuerdo con lo anterior, la energía puede ser definida como la capacidad de un cuerpo o sistema para realizar un trabajo. La energía se mide en joules, al igual que el trabajo, en honor a James Prescott Joule (1818-1889), quien descubrió la relación entre el calor y la energía al afirmar que una cantidad de trabajo siempre produce una cantidad particular de calor, como si no fueran más que dos formas de una misma realidad. La energía se

Figura 7.8 Formas de energía

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En la actualidad se conocen más fuentes de energía de las que se conocían en épocas de físicos tan notables como Mayer (1814-1878), Joule (1818-1889) y Helmholtz (1821-1894), quienes hicieron importantes contribuciones para entender el concepto de energía.

Energía potencial gravitacional La energía potencial es la energía almacenada que posee un cuerpo en virtud de su posición o condición. La energía potencial es la que contiene el agua de un río antes de caer por una cascada, la que se encuentra en un resorte comprimido y la que posee una maceta antes de caer de lo alto de un edificio. La energía potencial es energía almacenada. Un cuerpo con energía potencial tiene los elementos para hacer trabajo en un futuro, y de ahí se deriva su nombre. La energía potencial de un cuerpo puede deberse a su elevación, a su compresión o distensión, o a la posición de sus moléculas a nivel microscópico. También hay energía potencial en los combustibles y los alimentos, la cual queda disponible cuando se altera la posición de las cargas eléctricas dentro de las moléculas y entre las mismas, esto es, cuando ocurre un cambio químico en las sustancias. La energía potencial que tiene un cuerpo debido a su elevación recibe el nombre de energía potencial gravitacional y ésta mide el trabajo que se tuvo que realizar contra la gravedad para llevar al cuerpo a cierto punto. Dicho trabajo es igual a la fuerza que se requiere para moverlo hacia arriba multiplicado por la distancia vertical que recorre. La fuerza aplicada tiene una magnitud igual a la del peso del cuerpo. La energía potencial gravitacional también es igual al trabajo

Trabajo relizado por el peso del cuerpo = mgh

que se realizaría si el cuerpo se dejara caer al suelo. La energía potencial gravitacional del cuerpo de masa m puede determinarse al considerar la fuerza necesaria para levantarlo y la altura h que tuvo que alzarse (Figura 7.9), es decir: 3 Fuerza sobre el cuerpo cerca de la superficie terrestre: W = mg 3 Fuerza externa que se debe aplicar para que el cuerpo se eleve sin acelerar, tiene una magnitud igual a su peso, es decir: F = mg 3 Si la distancia que se eleva es h, entonces el trabajo realizado por la fuerza F es igual a: T = Fh o lo que es lo mismo: T = mgh Por lo tanto, un cuerpo de masa m a una altura vertical h por encima del nivel de referencia, puede ser el suelo, tiene una energía potencial gravitacional mgh; es decir: Ep = mgh donde: m = masa del cuerpo Ep = energía potencial gravitacional del cuerpo h = distancia vertical entre el nivel de referencia y la posición alcanzada por el cuerpo. De esta ecuación se deduce que la energía potencial gravitacional depende de su peso (mg). Dados dos objetos a la misma altura, tendrá mayor energía potencial gravitacional aquel que tenga mayor peso.

Trabajo relizado por la fuerza externa sobre el cuerpo = mgh

Figura 7.9 La energía potencial es igual al trabajo por una fuerza mg para mover el cuerpo una distancia h.

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La energía potencial gravitacional también depende de la altura vertical h, la cual depende a su vez del nivel de referencia empleado. Por ejemplo, el cuerpo de la Figura 7.10, tiene una energía potencial gravitacional mgh con respecto al piso, pero con respecto al banco su energía potencial gravitacional es mgh1 (h1 < h), y con respecto a la superficie de la mesa tiene una energía potencial gravitacional igual a mgh2 (h2 < h). La energía potencial gravitacional en una posición en particular depende del nivel de referencia que se emplee. A pesar de esto, el cambio en la energía potencial gravitacional (Ep) asociada con dos posiciones es la misma sin importar el nivel de referencia seleccionado. También son posibles las energías potenciales gravitacionales negativas. Por ejemplo, consideremos que el nivel de referencia en la figura 7.10 es el piso y que el cuerpo se encuentra en el punto O a una profundidad h3, La energía potencial gravitacional del cuerpo en dicha posición será negativa, lo que quiere decir que el cuerpo tiene menos energía potencial gravitacional debajo del piso que sobre él. Por otra parte, la energía potencial gravitacional es independiente de la trayectoria seguida por el cuerpo para alcanzar una determinada posición. Por ejemplo, la energía potencial gravitacional del cuerpo de la figura 7.11 es independiente de que el cuerpo se haya levantado verticalmente o se haya desplazado sobre la superficie del plano inclinado. La unidad de la energía potencial gravitacional en el Sistema Internacional de Unidades se expresa en joules (J).

Descubre la física La unidad de energía reconocida por el Sistema Internacional de Unidades es el joule. Sin embargo, esta unidad tiene un valor muy pequeño que representa únicamente la energía que sería necesaria para elevar un cuerpo de 7 kg a una altura de 10.2 centímetros. Por esta razón, cuando se habla de grandes cantidades de energía, como las que produce una central eléctrica, se utiliza el kilowatt-hora, medida que equivale a 3600 000 joules.

Figura 7.11 La energía potencial gravitacional del cuerpo es la misma, ya sea que se haya elevado verticalmente o se haya empujado a lo largo del plano inclinado hasta la plataforma.

Problema ejemplo

Figura 7.10 La selección del nivel de referencia es arbitraria, de manera que la energía potencial gravitacional en una determinada posición puede tener diferentes valores.

7.5 Una bolsa de 1 kg de arroz se encuentra en una alacena a 1.60 m del piso. La superficie de una mesa está a 1.10 m sobre el piso. ¿Cuál es la energía potencial gravitacional de la bolsa de arroz con respecto a: a) el piso, y b) la superficie de la mesa? Solución Datos m = 1 kg g = 9.8 m/s2 h1 = 1.60 m h2 = 1.10 m

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Descubre la física

Fórmula Para determinar la energía potencial gravitacional se emplea: Ep = mgh

Hoy en día, el estilo de vida de los habitantes de los países desarrollados se caracteriza por el derroche de energía. Esto sucede porque los hábitos de vida de miles de personas se desarrollaron cuando la energía era abundante y barata, y no existía la conciencia global de cuidar el ambiente. Sin embargo, es importante que todos los que vivimos en este planeta cambiemos nuestra posición en cuanto al consumo y uso de energía. Debemos aprender a ahorrar energía por medio del reciclaje de materiales, así como promover el aumento en la eficiencia del consumo de energía.

a) Con respecto al piso: Ep1 = mgh1 = 1(9.8)(1.60) Ep1 = 15.68 J b) Con respecto a la superficie de la mesa: Ep2 = mgh = 1(9.8)(0.50) Como h= 1.60 m – 1.10 m = 0.50 m entonces: Ep2 = 4.9 J

Figura 7.12 La bolsa de arroz se encuentra a 1.60 m del piso, pero a 0.50 m de la mesa.

Energía cinética

La energía cinética de un cuerpo depende de su rapidez, esto es, la energía cinética es mayor entre mayor sea la rapidez con que se desplaza el cuerpo. Un autobús, por ejemplo, que viaja a 100 km/h tiene mayor energía cinética que cuando viaja a 80 km/h. La energía cinética también depende de la masa del cuerpo, de manera que al ser mayor la masa, mayor será su energía cinética. Debido a esto, la bola de boliche al tener una mayor masa que la pelota de tenis tendrá una mayor energía cinética cuando ambas se mueven a la misma rapidez. De acuerdo con lo anterior, la energía cinética de un objeto depende tanto de su masa como de su rapidez: es igual al producto de la mitad de la masa por el cuadrado de su rapidez, es decir, 1 E c = mv 2 2 donde: E = energía cinética del cuerpo m = masa del cuerpo v = rapidez o magnitud de la velocidad del cuerpo. C

Una pelota se tenis rodando posiblemente no pueda derribar un bolo de boliche, pero una bola de boliche a la misma rapidez sí puede hacerlo (Figura 7.13), ¿por qué? Esto se debe a que la bola de boliche posee mayor energía cinética que la de la pelota de tenis. Pero, ¿qué es la energía cinética? La energía cinética es la que posee un cuerpo debido a su movimiento. a)

Al analizar esta ecuación podemos concluir que si a un cuerpo se le duplica su rapidez, entonces su energía se cuadruplica. Pero si al cuerpo se le duplica su masa y se mantiene constante su rapidez, la energía cinética sólo se duplica.

b) Figura 7.13 La bola de boliche puede derribar el bolo debido a su energía cinética.

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La energía cinética, al igual que cualquier otra forma de energía, se mide en joules en el SI. Una energía cinética de 1 joule corresponde a la energía de un cuerpo de 1 kilogramo que se mueve a una rapidez de 1 m/s.

Problema ejemplo 7.6 ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil de 1400 kg que se mueve a una rapidez 50 m/s (180 km/h)? Solución Datos m = 1400 kg v = 50 m/s E =? C

Fórmula 1 E c = mv 2 2 Sustituyendo valores: 2 1 E c = (1400 )( 50 ) 2 Resultado E = 1750 000 J = 1.75 MJ

Figura 7.14 El trabajo realizado sobre el cuerpo en movimiento a lo largo de una superficie horizontal, sin fricción, es igual al cambio de su energía cinética.

El trabajo realizado sobre el cuerpo por la fuerza F es igual a: T = Fd Según la segunda ley de Newton, la fuerza neta produce una aceleración cuya magnitud está dada por a = F/m. Por consiguiente, el trabajo se puede expresar por: T = mad El término ad del segundo miembro de la igualdad anterior se puede relacionar con las rapideces iniciales (v0) y final (v) mediante el empleo de la siguiente ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: v = v + 2ad 2

2

0

al despejar ad de esta ecuación y sustituir el resultado en T = mad y reordenado se obtiene:

C

T =

Teorema de trabajo-energía

1 2 1 m v – m v0 2 2 2

1 2

1 2

0

T = E – Ec c

En física, cuando una fuerza realiza un trabajo sobre un cuerpo, esto siempre tiene alguna consecuencia. Una de estas consecuencias es un cambio de la energía cinética del cuerpo. El trabajo y el cambio de la energía cinética se relacionan por el teorema trabajo-energía. Para comprender mejor el teorema trabajo-energía consideremos un cuerpo en movimiento de masa m sobre el que actúa una fuerza neta constante F a lo largo de un desplazamiento d como se muestra en la figura 7.14.

2

Como E c = mv2 y E c = mv0 , entonces: 0

o lo que es lo mismo: T = E

c 0

donde: Ec = Ec – Ec . 0

0

Esta ecuación se denomina teorema de trabajoenergía y relaciona el trabajo realizado sobre un cuerpo con el cambio en su energía cinética. Esto es, el trabajo realizado sobre un cuerpo por una fuerza neta externa es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo.

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Según el teorema trabajo-energía, un cuerpo en movimiento tiene energía cinética porque se ha efectuado un trabajo para acelerarlo desde el reposo hasta una rapidez v. Por lo contrario, un cuerpo con energía cinética puede realizar trabajo si se le permite empujar o jalar a otro cuerpo. De acuerdo con este teorema, se

puede afirmar que el trabajo es una medida de la transferencia de energía. Si el trabajo realizado por la fuerza neta es positivo, entonces aumenta la energía cinética del cuerpo. Si el trabajo efectuado por la fuerza neta es negativo, entonces disminuye la energía cinética.

Problemas ejemplo 7.7 Una caja de 10 kg inicialmente en reposo es jalada hacia la derecha a lo largo de una superficie horizontal sin fricción por una fuerza horizontal de 60 N, como se muestra en la figura 7.15. Determina la rapidez de la caja después de que se ha movido 2.0 m. Solución Datos F = 60 N v0 = 0 d=2m m = 10 kg Figura 7.15 La caja es movida por una fuerza constante de 60 N.

La fuerza neta sobre el bloque es la fuerza horizontal de 60 N. El trabajo realizado por la fuerza neta se obtiene por: T = Fd r r Puesto que F y d tienen la misma dirección y sentido, sustituyendo los valores: T = (60 N)(2 m) T = 120 J Para determinar la rapidez se aplica el teorema trabajo-energía, es decir:

T =

1 2 1 m v – m v0 2 2 2


120 J =

2 1 1 10 kg ) v 2 – (10 kg )( 0 m / s ) ( 2 2

120 J = (5 kg) v

v=

120 J 5 kg

Resultado v = 4.89 m/s

2

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7.8 Un automóvil de 1200 kg viaja a 16.0 m/s y tras soltar el acelerador viaja 70.0 m sobre un camino plano antes de detenerse. ¿Cuál es la fuerza de fricción media que actúa sobre el automóvil? Solución Datos m = 1200 kg v0 = 16.0 m/s v = 0 m/s d = 70.0 m f=?

Figura 7.16 La fuerza de fricción movimiento del automóvil.

r f se opone al

La fuerza neta sobre el automóvil es la fuerza de fricción. El trabajo que debe realizar la fuerza de fricción se obtiene mediante T = fd cos Puesto que = 180°, ya que la fuerza de fricción y el desplazamiento están en sentidos opuestos, entonces: T = –fd Para poder conocer el valor de la fuerza de fricción se aplica el teorema trabajo-energía, es decir: 1 1 T = m v2 – m v0 2 2 En este caso,

± fd =

1 2 1 m v – m v0 2 2


± f (70.0 m ) =

2 2 1 1 1200 kg )( 0 m / s ) – (1200 kg ) (16.0 m / s ) ( 2 2

–f(70.0 m) = –(600 kg)(16.0 m/s)

f =

2 600 kg 16.0 m / s ) ( 70.0 m

Resultado f = 2194.28 N

2

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La relación entre el trabajo y la energía potencial gravitacional se obtiene de manera semejante a como se obtuvo la relación entre el trabajo y la energía cinética. Por tanto, sus ecuaciones son semejantes, es decir:

Em =

1 2 m v + mgh 2

donde Em es la energía mecánica.

T = mgh – mgh0 Como EP = mgh y Ep = mgh0, la ecuación anterior se puede expresar como: 0

Problema ejemplo

T = Ep – Ep

0

o lo que es lo mismo: T = Ep Esta ecuación señala que el trabajo realizado sobre un cuerpo por una fuerza neta externa es igual al cambio en la energía potencial del cuerpo. Por ejemplo, cuando el cuerpo de la figura 7.17 se desplaza desde un punto a una altura h0 del nivel de referencia hasta otro punto h, la fuerza externa (de igual magnitud al peso del cuerpo) realiza un trabajo igual a la diferencia entre las energías potenciales del cuerpo en esos puntos.

7.9 Calcula la energía mecánica de un pájaro de 350 g que viaja a 40 m/s y a una altura de 40 m del piso. Solución Datos m = 350 g = 0.350 kg h = 40 m g = 9.8 m/s2 Em = ? v = 10 m/s La energía mecánica se puede obtener de:

Em =

1 2 m v + mgh 2

Sustituyendo valores: 2 1 E m = ( 0.350 )(10 ) + ( 0.350 )( 9.8 )( 40 ) 2 E = 17.5 + 137.2 m

Resultado Em = 154.7 J Figura 7.17 Al cambiar la posición del cuerpo de masa m de h0 a h se realiza un trabajo igual al cambio de energía potencial.

Energía mecánica Un cuerpo puede poseer tanto energía cinética como energía potencial gravitacional. Por ejemplo, un avión en vuelo posee ambos tipos de energía. La suma de la energía cinética y la energía potencial gravitacional recibe el nombre de energía mecánica. Matemáticamente se expresa por: Em = Ec + Ep en función de la rapidez y la posición del cuerpo, por

Conservación de la energía mecánica Por experiencia se sabe que cuando se lanza una pelota hacia arriba va perdiendo rapidez y, por tanto, energía cinética. Sin embargo, también va ganando energía potencial, pues su altura se va incrementando. Cuando llega al punto más alto, su energía potencial es máxima (Figura 7.18a). Durante el descenso, el proceso se invierte y la energía potencial se va transformando gradualmente en energía cinética (Figura 7.18b). Si se ignoran factores como la resistencia del aire, toda la energía potencial que la pelota pierde cuando regresa a la posición donde fue lanzada aparece como energía cinética.

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En otras palabras, la suma de las energías cinética y potencial, conocida como energía mecánica (E ), permanece constante en el tiempo. Es decir: m

E = E + E = constante m

C

p

Esta ecuación comprueba que mientras se conserve la suma de las energías cinética y potencial en cualquier punto, las dos formas se pueden intercambiar o transformarse una en otra. Esto se conoce como el principio de conservación de la energía mecánica.

En el caso de un cuerpo en caída libre la fuerza de gravedad es la única fuerza que actúa sobre él, entonces la energía mecánica total del cuerpo es constante. Por tanto, el principio de conservación de la energía para dicho cuerpo puede expresarse como: 1 1 m v12 + mgh1 = m v22 + mgh2 2 2 o como: Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2 Esta última ecuación puede reescribirse como: Ec2 – Ec1 = –(Ep2 – Ep1) Ec = –Ep o lo que es lo mismo: EC + EP = 0 donde:

E C1 =

1 m v 2 = energía cinética en la posición 1 o 2 1 inicial

EC2 =

1 m v22 = energía cinética en la posición 2 o 2 final

EP1 = mgh1 = energía potencial gravitacional en la posición 1 o inicial EP2 = mgh2 = energía potencial gravitacional en la posición 2 o final Ec = Ec2 – Ec1 = cambio de la energía cinética Ep = Ep2 – Ep1 = cambio de la energía potencial

Figura 7.18 a) Durante el ascenso la energía cinética de la pelota disminuye y la energía potencial aumenta. b) Durante el descenso de la pelota, su energía potencial disminuye, mientras que su energía cinética se incrementa. La suma de las energías cinética y potencial en cada posición es 100 J.

Esta última ecuación establece que cualquier aumento (o disminución) en la energía potencial se acompaña por una disminución (o aumento) igual en la energía cinética. Los cuerpos o sistemas en los que se cumple el principio de conservación de la energía mecánica se dice que son conservativos y las fuerzas que actúan en dichos sistemas, como la fuerza de gravedad, son fuerzas conservativas. Una característica de estas fuerzas conservativas es que el trabajo realizado sobre un cuerpo es cero cuando el cuerpo se desplaza en una trayectoria cerrada, es decir, si empieza y termina en el mismo sitio.

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Problemas ejemplo 7.10 En la figura 7.19 se ilustra cómo se deja caer una bola 200 g desde una altura de 1.60 m sobre el suelo. Determina la magnitud de la velocidad en el preciso instante en que se impacta en el suelo. Ignora la resistencia del aire. Solución Datos V1 = 0 m/s m = 200g = 0.200kg h1 = 1.60 m h2 = 0

Figura 7.19 Energías cinética y potencial en las posiciones inicial y final de una pelota en caída libre.

Como la pelota se encuentra en caída libre, la única fuerza que actúa es la fuerza de gravedad; podemos emplear el principio de conservación de la energía mecánica, es decir, E +E =E +E 1 1 m v12 + mgh1 = m v22 + mgh2 2 2 c1

p1

c2

p2

Como h2 = 0 y v1 = 0, se obtiene: 1 mgh1 = m v22 2 Simplificando y despejando v2: v2 = 2gh1 Esta ecuación es igual a la ecuación de la caída libre. Sustituyendo valores: v2 = 2(9.8)(1.60) Resultado v = 5.6 m/s 7.11 Un motociclista intenta saltar de la plataforma A al plano inclinado B de la figura 7.20. Cuando el motociclista abandona el acantilado, la rapidez de la motocicleta es de 60 m/s. Determina la rapidez de la motocicleta cuando hace o con el plano inclinado. No consideres la resistencia del aire.

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Solución Datos h1 = 80 m h2 = 40 v1 = 60 m/s g = 9.8 m/s2 v2 = ?

Figura 7.20 El motociclista salta de la plataforma A al plano inclinado B.

Una vez que el motociclista salta, la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza de gravedad; por lo tanto, se puede aplicar el principio de conservación de la energía mecánica para conocer la velocidad de la motocicleta en el plano inclinado, es decir: 1 1 m v12 + mgh1 = m v22 + mgh2 2 2 Puesto que m aparece en cada término de la igualdad se puede eliminar, quedando: 1 2 1 v1 + gh1 = v22 + gh2 2 2 Sustituyendo valores y despejando v se obtiene: 2

2 1 1 60 ) + 9.8 ( 80 ) = v22 + 9.8 ( 40 ) ( 2 2

1 2584 = v22 + 392 2 v2 = 2(2584 – 392) Resultado v2 = 66.2 m/s = 238.36 km/h

Conservación de la energía Además de la energía cinética y la energía potencial gravitacional existen otros tipos de energía. Por ejemplo, la energía eléctrica se emplea para hacer funcionar la computadora, el refrigerador, la licuadora, entre otros aparatos domésticos. La energía térmica se emplea para cocinar los alimentos o el agua con la que uno se baña. La energía luminosa nos permite ver los objetos en la oscuridad. Existen muchas otras formas en las que se puede presentar la energía: sonora, nuclear, eólica, química y hidráulica. El ser humano busca métodos cada vez más ingeniosos para

transformar un tipo de energía en otra. Por ejemplo, la pila transforma la energía química en energía eléctrica, la máquina de vapor transforma energía calorífica en energía mecánica y el molino de viento transforma la energía eólica en energía mecánica. (Figura 7.21). Figura 7.21 Los molinos de viento transforman la energía eólica en energía mecánica.

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El estudio de las diversas formas de energía y de sus transformaciones condujo a una de las mayores generalizaciones de la física conocida como principio de conservación de la energía, el cual establece que la energía no se crea ni se destruye; se puede transformar de una forma en otra, pero la cantidad total de energía se conserva. En cualquier sistema considerado en su totalidad, ya sea simple como la caída de una pelota o tan complejo como el Universo se conserva la energía. Si una parte del Universo gana energía en alguna forma, otra parte debe perder una cantidad igual de energía. No se ha encontrado ninguna violación a este principio.

Se resolverá este problema aplicando en primer lugar, la segunda ley de Newton; sin embargo, antes de aplicarla, debemos hacer un diagrama de cuerpo libre de la caja (Figura 7.23).

Descubre la física Cuando una pelota se deja caer desde una altura determinada y cuando rebota ésta no alcanza la misma altura, se dice que el principio de conservación de la energía mecánica no se conserva. Sin embargo, sigue cumpliéndose el principio de la energía total, ya que en cada rebote de la pelota hay una transformación de energía mecánica en calor debido a los rozamientos, deformaciones y energía sonora.

Aplicaciones del principio de conservación de la energía Muchos problemas físicos cuya solución no es fácil de obtener se simplifican si se aplica el principio de conservación de la energía. De hecho, en física avanzada se resuelven la mayoría de los problemas al aplicar el principio de conservación de la energía. Para ilustrar la utilidad de este principio de conservación consideremos el siguiente ejemplo. Una caja, inicialmente en reposo, inicia su movimiento desde la parte más alta del plano inclinado que se muestra en la figura 7.22. ¿Cuál es la rapidez de la caja en la parte más baja del plano inclinado? Se considera que la fricción es despreciable.

Figura 7.23 Diagrama de cuerpo libre de la caja sobre el plano inclinado.

La aceleración de la caja de acuerdo con la segunda ley de Newton se obtiene por: F a= m puesto que la fuerza neta es W sen , entonces W sen θ a= m como el peso es W = mg, se obtiene: mg sen θ a= m a = g sen

Figura 7.22 ¿Con qué velocidad llegará la caja a la parte más baja del plano inclinado?

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Al ser esta aceleración constante, la magnitud de la velocidad en la parte más baja del plano inclinado se puede obtener de: v = v0 + 2ad 2

2

Como v0 = 0 y a = g sen , la ecuación anterior se convierte en:

Supongamos que existe una fuerza de fricción f cuando la caja de la figura 7.22 se desliza sobre el plano inclinado. Esto quiere decir que, además de W sen , se encuentra presente la fuerza de fricción f. La energía mecánica total de la caja en la parte más alta del plano inclinado es exclusivamente energía potencial, es decir:

v = 2(g sen ) d

Emtotal= mgh

2

h De la figura 7.22 se observa que sen θ = , por d tanto: h v2 = 2g d d despejando v: v = 2gh como se observa en esta última ecuación, la rapidez de la caja en la parte baja del plano inclinado depende de la altura de éste y de la aceleración de la gravedad. Ahora se resolverá este problema aplicando el principio de conservación de la energía. De acuerdo con este principio, podemos afirmar que la energía mecánica total de la caja en la parte más alta del plano inclinado debe ser igual a la energía mecánica total de la caja en la parte más baja del plano inclinado, es decir: (Energía de la caja en la parte más alta) = (Energía de la caja en la parte más baja) E =E 1

2

En función de la posición y la rapidez de la caja, el principio de conservación de la energía mecánica de la caja se puede expresar como: 1 1 mv12 + mgh1 = mv2 2 + mgh2 2 2

De acuerdo con los datos del enunciado del problema v = 0, y h = 0, entonces: 1

2

mgh1 =

1 m v2 2

Reduciendo términos semejantes (m) y considerando h = h y v = v, y despejando v, se obtiene: 1

2

v = 2gh Esta ecuación es igual a la obtenida por el otro método; sin embargo, ésta se obtuvo de una manera más sencilla. Ahora aplicaremos el principio de conservación de la energía para una situación en la que está presente la fuerza de fricción.

Cuando la caja alcanza el punto más bajo del plano inclinado, la energía potencial es cero, por lo que la energía en dicho punto es en su totalidad energía cinética, es decir: 1 E C = m v2 2 Debido a la presencia de la fuerza de fricción, la energía mecánica no se conserva, es decir: 1 mgh ≠ m v2 2 La fuerza de fricción (f ) a lo largo del plano inclinado realizó un trabajo f d que provoca el calentamiento de las superficies en o, de manera que al aplicar el principio de conservación de la energía se debe cumplir: d

d

Energía mécanica = total inicial

Energía cinética en la parte más baja del plano inclinado

+

Trabajo realizado por la fuerza de fricción

En forma matemática: 1 mgh = mv 2 + f d d 2 Puesto que fd = dmg cos , entonces: 1 mgh = mv 2 + µ d mgd cos θ 2 Despejando v se obtiene: v = 2(gh – gd cos ) d

donde = coeficiente de fricción dinámica. d

Al analizar esta ecuación se observa que si = 0, la velocidad se convierte en: d

v = 2gh Asimismo, se observa que cuanto mayor sea , menor será la rapidez de la caja en la parte más baja del plano inclinado. d

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Descubre la física La forma en la que los seres humanos consumimos y producimos energía está ocasionando serios daños al medio ambiente. La demanda de energía va en aumento a medida que la población mundial crece. Este crecimiento desmedido ocasiona que haya más contaminación y que la velocidad con la que se terminan los recursos no renovables aumente. Por esta razón, es importante que todos comencemos a consumir energía en una forma más considerada y responsable.

Energía potencial elástica La energía potencial elástica es la energía almacenada en el resorte deformado (ya sea que esté comprimido o extendido a partir de su posición de equilibrio). A fin de visualizar esto, considera el resorte sin deformar de la figura 7.24a. Cuando se empuja al bloque contra el resorte (Figura 7.24b) y lo comprime una distancia x, la energía potencial elástica almacenada en el resorte es igual a: 1 E PE = kx 2 2 donde:

Figura 7.24 a) Resorte sin deformar sobre una superficie horizontal sin fricción. b) El bloque de masa m se empuja contra el resorte comprimiéndolo una distancia x. c) Al soltar el bloque, la energía potencial almacenada en el resorte se transfiere al bloque en la forma de energía cinética.

la fuerza que ejerce el resorte, la cual es una fuerza conservativa. Por lo tanto, en este sistema se conserva la energía mecánica, es decir, 1 1 1 1 m v12 + kx 12 = m v22 + kx 22 2 2 2 2 donde:

E = energía potencial elástica k = constante de restitución del resorte x = deformación del resorte

1 m v12 = energía cinética inicial o en la posición 1 2

PE

Cuando el bloque se libera desde el reposo, el resorte recupera su longitud original y la energía potencial elástica almacenada se convierte en energía cinética del bloque (Figura 7.24c). La energía potencial elástica almacenada en el resorte es cero cuando el resorte no está deformado. La energía potencial se almacena en el resorte sólo cuando éste está comprimido o alargado. Además, la energía potencial elástica es un máximo cuando el resorte ha alcanzado su extensión o compresión máxima. La energía potencial elástica siempre es positiva en un resorte deformado, ya que es proporcional a x . Para un sistema formado por un cuerpo de masa m y un resorte, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es 2

1 m v 2 = energía cinética final o en la posición 2 2 2 1 2 kx = energía potencial elástica inicial o en la 2 1 posición 1 1 kx 2 = energía potencial elástica final o en la 2 2 posición 2 Esta ecuación también se puede expresar como = E +E E +E c1

PE1

c2

PE2

–(E – E )

= E –E

–E

= E

PE2

PE1

PE

c1

c

E + E c

c2

PE

= 0

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Con lo que hemos revisado hasta este punto podemos decir que cuando en un sistema sólo están presentes las fuerzas de un resorte y de gravedad, el principio de conservación de la energía mecánica se puede expresar como: E + E + E = 0 c

p

pe

Es decir, que la energía mecánica total incluye la energía cinética y ambas formas de energía potencial: gravitacional y elástica.

Puesto que en este sistema las fuerzas actuantes son fuerzas conservativas, se cumple el principio de la conservación de la energía mecánica. La energía total inicial del sistema es la energía potencial elástica almacenada en el resorte: 1 E PE = kx 2 2 Cuando el proyectil alcanza la altura máxima, la energía total en dicha posición es: E = mgh P

Problema ejemplo 7.12 El mecanismo de disparo de una pistola de juguete se compone de un resorte cuya constante de restitución (k = ?) se quiere determinar. Cuando el resorte se comprime a 0.050 m, la pistola es capaz de lanzar un proyectil de 20.0 g hasta una altura máxima de 3.0 m cuando se dispara verticalmente desde el reposo. Ignora las fuerzas disipativas. Solución Datos x = 0.050 m m = 20 g = 0.020 kg h = 3.0 m g = 9.8 m/s k=? 2

Como la energía mecánica de dicho sistema (resorte–proyectil) es constante, se debe cumplir 1 2 kx = mgh 2 Sustituyendo valores: 2 1 k (0.050 ) = 0.020 ( 9.8 )( 3.0 ) 2

k=

2 ( 0.588 )

(0.050)

2

k = 470.4 N/m

Potencia y energía La potencia también se puede definir como la rapidez con que cambia la energía. Matemáticamente se define por: E P = t donde: P = potencia E = energía t = tiempo

Figura 7.25 La energía potencial elástica del resorte se convierte en energía potencial gravitacional del proyectil cuando alcanza la máxima altura.

Esto quiere decir que la potencia de una máquina no sólo se puede interpretar como la rapidez con que se realiza un trabajo, sino como la rapidez con que transforma o transfiere la energía. De acuerdo con esta definición de potencia, una unidad de energía puede definirse ahora en términos de la unidad de potencia. Un kilowatt-hora (kW-h) es la ener-

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gía convertida o consumida en 1 h a la tasa constante de 1 kW. Esta unidad equivale a: 1 kW–h = 10 W(3600 s) = 3.6 10 J 3

6

El kilowatt-hora es una unidad de energía que se emplea para expresar el consumo de energía eléctrica de las viviendas, oficinas e industrias.

Problema ejemplo 7.13 ¿Cuál es la potencia de un motor que transfiere 360 000 J de energía mecánica en una hora? Solución Datos E = 360 000 J t = 1 h = 3600 s

3 Cambiar la dirección de la fuerza. 3 Reemplazar al ser humano en trabajos corporales. 3 Mejorar la precisión en la realización de actividades o elaboración de productos. 3 Transformar un tipo de energía en otro tipo de energía. La cantidad de trabajo útil producido por una máquina no puede ser mayor que el trabajo que se le ha suministrado. En las máquinas siempre habrá alguna pérdida debido a las fuerzas disipativas (Figura 7.26). Puesto que no todas las máquinas realizan la misma cantidad de trabajo útil cuando se les ha proporcionado la misma cantidad de trabajo, se define su eficiencia para diferenciarlas. La eficiencia ε de una máquina se define como la relación del trabajo de salida entre el trabajo de entrada. Matemáticamente se expresa por: T ε= s Te donde:

Fórmula E P = t

Sustitución 360 000 J P = 3600 s

Resultado P = 100 W

ε = eficiencia T = trabajo de salida T = trabajo de entrada s

e

La eficiencia es una magnitud adimensional que se puede expresar en forma porcentual por: T % ε = s (100 %) Te

( )

Máquinas En nuestra vida cotidiana empleamos una gran cantidad de máquinas, algunas complejas como los automóviles, otras sencillas como el abrelatas. Las máquinas han permitido al ser humano realizar actividades que sin ellas no se hubieran podido llevar a cabo, como viajar al espacio, cocinar alimentos en segundos, levantar un objeto que tenga una masa de 5000 kg aplicando una fuerza muy pequeña, etcétera. Muchas máquinas complejas están constituidas por máquinas simples básicas. Las máquinas nos facilitan la realización de muchas tareas, pero no nos permiten disminuir el consumo de energía para realizar dichas tareas. En este texto consideraremos que una máquina es un dispositivo que permite: 3 Aumentar la velocidad de la operación. 3 Multiplicar la fuerza aplicada.

Figura 7.26 En una máquina entra cierta cantidad de trabajo, una parte se pierde al realizar trabajo contra las fuerzas disipativas y la otra es trabajo útil.

Es conveniente señalar que a la eficiencia también se le conoce como rendimiento y también puede definirse en función de las potencias de salida y de entrada si se considera que la potencia se define como tra-

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bajo por unidad de tiempo, es decir: Potencia =

trabajo ∴ trabajo = ( potencia ) ( tiempo) tiempo

en forma matemática: T = Pt La eficiencia en términos de la potencia de entrada (P ) y potencia de salida (P ) está dada por: T Pt ε= s = s Te Pet e

s

e

e

e

e

e

s

o lo que es lo mismo:

ε

las fuerzas motrices para vencer las fuerzas de resistencia. La palanca, la polea, el plano inclinado y el torno son ejemplos de máquinas simples. Estas máquinas simples son importantes en la industria moderna ya que muchas de las máquinas que utilizan son una combinación de máquinas simples. La operación de cualquier máquina simple se puede representar mediante el diagrama que se muestra en la figura 7.27. En una máquina simple la fuerza de entrada F (o fuerza motriz) actúa a través de una distancia d , realizando un trabajo de F d (T ). Al mismo tiempo, una fuerza de salida F (o fuerza resistiva o resistente) actúa a lo largo de una distancia d , realizando el trabajo útil F d (T ). s

P = s Pe

s

s

s

Problema ejemplo 7.14 Una máquina cuya eficiencia es del 30% realiza un trabajo externo de 1000 J, ¿qué trabajo de entrada se requiere? Solución Datos Fórmula T = 1000 J T % ε = s (100 %) (%)ε = 30% Te Te = ?

( )

s

Sustitución 1000 J 30 % = (100 %) Te Despejando T : Te = 1000 J e

(100 %) ( 30 %)

Fe

Fs

Figura 7.27 En la máquina simple, durante su funcionamiento, una fuerza de entrada actúa a través de una distancia (de); mientras que una fuerza de salida actúa a través de una distancia ds.

En muchas ocasiones las máquinas simples dan una ventaja definitiva al hacer el trabajo mediante la multiplicación de la fuerza. Esto se expresa en términos de ventaja mecánica, que es el factor o magnitud de la multiplicación de la fuerza. La ventaja mecánica real (VMR) de una máquina se define como el cociente de la fuerza de salida F entre la fuerza de entrada F . Matemáticamente: F VMR = s Fe s

Resultado T = 3333.33 J e

Máquinas simples Las máquinas simples son dispositivos sencillos que permiten desempeñar ciertos tipos de tareas realizando menor esfuerzo. En estas máquinas se aprovechan

e

La mayoría de las máquinas tienen valores mayores que uno para la VMR. Por ejemplo, una máquina que tenga una ventaja mecánica real de 3 significa que si la fuerza de entrada es de 10 N, la fuerza de salida será de 30 N. Puesto que sabemos que en una máquina simple en ausencia de fuerzas disipativas se debe cumplir que el

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trabajo de entrada (F d ) debe ser igual al trabajo de salida (F d ), o sea que: e

s

e

s

Fd = Fd e

e

s

s

En esta situación ideal, se prefiere hablar de la ventaja mecánica ideal (VMI) la cual es definida matemáticamente por: d VMI = e ds La ventaja mecánica ideal de una máquina simple es igual a la relación de la distancia que recorre la fuerza de entrada entre la distancia que recorre la fuerza de salida. La ventaja mecánica ideal es la máxima ventaja que se puede esperar de una máquina si se eliminan las fuerzas disipativas. Es particularmente útil cuando se diseña una máquina, puesto que puede obtenerse a partir de consideraciones geométricas. Tanto la ventaja mecánica real como la ventaja mecánica ideal son magnitudes adimensionales. La eficiencia de una máquina está estrechamente vinculada con su VMR y VMI, de manera que esta puede expresarse por: Fs Fd VMR F ε = s s = de = Fed e VMI e ds o sea que:

ε

=

VMR VMI

Problema ejemplo 7.15 Un técnico desea diseñar una máquina, de manera que la distancia de entrada sea 12 cm y la distancia de salida, o aprovechada, sea de 4 cm. a) ¿Cuál es su VMI? b) Si la fuerza de entrada o aplicada es 200.0 N, ¿cuál es la fuerza de salida? Solución Datos de = 12 cm ds = 4 cm Fe = 20 N Fs = ?

a) Para determinar la ventaja mecánica ideal se emplea la siguiente ecuación: de VMI = ds Sustituyendo valores: 12 cm VMI = 4 cm =3 b) Para calcular la fuerza de salida se emplea la siguiente ecuación: VMI

Fede = Fsds Sustituyendo valores: (20N)(12 cm) = Fs(4 cm) 20N(12 cm) Fs = ___________ 4 cm Fs = 60 N

Palanca La palanca es una máquina simple muy eficiente. Consiste en una barra rígida apoyada en un soporte, alrededor del cual puede girar. La palanca puede ser utilizada para levantar una carga aplicando una fuerza pequeña. Los elementos de la palanca son: 3 El punto de apoyo llamado fulcro. 3 El peso del cuerpo que se va a cargar, el cual recibe el nombre de fuerza resistente (Fr). Es la fuerza de salida. 3 La fuerza aplicada es la fuerza motriz (Fm). Es la fuerza de entrada 3 La distancia entre el fulcro y la fuerza resistente recibe el nombre de brazo resistente (br). 3 La distancia entre el fulcro y la fuerza motriz recibe el nombre de brazo motriz (bm).

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Palanca de segundo género. La fuerza resistente se encuentra entre la fuerza motriz y el fulcro. También se le conoce como interresistente. La carretilla es un ejemplo de este tipo de palanca (Figura 7.29b). Palanca de tercer género. La fuerza motriz se encuentra entre el fulcro y la fuerza resistente, se le conoce con el nombre de interpotente. La pinza para depilar es un ejemplo de este tipo (Figura 7.29c). Figura 7.28 Elementos de una palanca.

La ecuación que caracteriza a la palanca se puede obtener al aplicar la condición de equilibrio de rotación y la cual se expresa por: Fmbm = Frbr donde: Fm Fr bm br

= magnitud de la fuerza motriz = magnitud de la fuerza resistente = brazo motriz = brazo resistente.

Las palancas se clasifican en tres tipos, de acuerdo con las localizaciones del fulcro, fuerza motriz y fuerza resistente.

Problema ejemplo 7.16 Se quiere mover una caja que pesa 400.0 N con una palanca de primer género de 1 m de longitud. Si el fulcro se encuentra a 0.20 m del extremo en donde se encuentra la caja: a) Calcula la magnitud de la fuerza motriz si ésta se aplica en el otro extremo de la barra. b) ¿Cuál es la ventaja mecánica real de la palanca? Solución Datos F = 400.0 N b = 0.20 m b = 0.80 m F =? r

r

m

m

a) De la ecuación de la palanca: Fmbm = Frbr Sustituyendo valores y despejando Fm:

Fm =

A

Figura 7.29 Tipos de palancas. a) Palanca de primer género b) Palanca de segundo género c) Palanca de tercer género.

Palanca de primer género. El fulcro se encuentra entre las fuerzas motriz y resistente. También se le conoce con el nombre de interapoyada. Las tijeras son palancas de este tipo (Figura 7.29a).

( 400.0 N)(0.20 m ) 0.80 m

Fm = 100.0 N b) La ventaja mecánica real se puede calcular por: Fs VMI = Fe Si Fs = Fr y Fe = Fm, entonces: VMI

=

400.0 N 100.0 N

VMR

=4

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Plano inclinado Otra de las máquinas simples es el plano inclinado, que es una rampa. Esta máquina se emplea para elevar una carga aplicando una fuerza menor a su peso, ya que es más fácil empujar un objeto para subirlo por un plano inclinado que levantarlo verticalmente. El valor de la fuerza que tenemos que aplicar depende de la inclinación del plano. Mientras más cercano a la horizontal esté nuestro plano, menor es la fuerza aplicada. Para elevar el cuerpo a la misma altura, esta fuerza se deberá aplicar a lo largo de una distancia mayor (Figura 7.30).

el cuerpo es de 0.5 m, determina la magnitud de la fuerza motriz que se va a aplicar. Solución Datos d = 3.0 m W = 1200.0 N h = 0.5 m F=? Aplicando la ecuación del plano inclinado: Fd = Wh Despejando F y sustituyendo valores:

F =

(1200 N ) (0.5 m) 3.0 m F = 200 N

Figura 7.30 Plano inclinado.

Si se desprecia la fricción, el trabajo necesario para empujar la carga hacia arriba del plano es el mismo que el trabajo requerido para levantarlo verticalmente. Es decir, Trabajo de entrada = trabajo de salida Fd = Wh donde F = magnitud de la fuerza paralela al plano (fuerza de entrada) W = magnitud del peso del cuerpo (fuerza de salida) h = altura del plano d = longitud de la rampa.

Problema ejemplo 7.17 Sobre un plano inclinado de 3.0 m de largo se quiere levantar un cuerpo cuyo peso es de 1200 N. Si la altura a la que hay que elevar

Poleas Las poleas son otro tipo de máquinas simples que nos encontramos en la vida cotidiana y en una gran cantidad de máquinas complejas. Una polea es un disco acanalado que puede girar alrededor de un eje que pasa por su centro. Por el canal pasa una cuerda o cable, en cuyos extremos se aplican la fuerza resistente y la fuerza motriz. Las poleas pueden ser fijas o móviles. La polea fija sólo cambia la dirección de la fuerza, en este caso Fm = Fr (Figura 7.31a). La polea móvil (Figura 7.31b) además de cambiar la dirección de la fuerza aplicada o fuerza motriz su valor es igual a la mitad de la fuerza resistente, es decir, F Fm = r 2 donde: Fm = magnitud de la fuerza motriz o fuerza de entrada Fr = magnitud de la fuerza resistente o fuerza de salida.

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Figura 7.31 a) Polea fija b) Polea móvil.

Existen sistemas de poleas fijas y móviles que además de cambiar la dirección de la fuerza requieren de una fuerza motriz pequeña para equilibrar una fuerza resistente grande. Polipasto es un sistema de poleas fijas y móviles como el que se ilustra en la figura 7.32a. Mientras más poleas tenga este sistema menor será la fuerza motriz. El valor de esta fuerza se obtiene por F Fm = r n donde: F = magnitud de la fuerza motriz o fuerza de entrada F = magnitud de la fuerza resistente o fuerza de salida n = número de poleas del sistema. m

r

Aparejo es un sistema integrado por varias poleas móviles y una polea fija (Figura 7.32b). En este sistema, entre más poleas móviles lo integren, menor será la fuerza aplicada (fuerza motriz). El valor de esta fuerza se obtiene de la siguiente ecuación: F Fm = nr 2 donde n es el número de poleas móviles en el sistema.

Figura 7.32 a) Polipasto. b) Aparejo.

Problema ejemplo 7.18 ¿Cuál es la magnitud de la fuerza motriz que hay que aplicar para un sistema como el de la figura 7.32b, si la carga (F ) es igual a 2000 N? Solución Datos F = 2000.0 N n = 2 (poleas móviles) F =? r

r

m

Dado que es aparejo, la ecuación para determinar F es m

Fm =

Fr 2n


Fm =

2000 22

Se obtiene Fm = 500.0 N.

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Torno El torno consiste en un cilindro de radio r y una manivela de radio R>>r, unidas sólidamente. La fuerza motriz y la fuerza resistente se aplican tangencialmente (Figura 7.33a). El torno se puede considerar como una palanca de primer género, como se ilustra en la figura 7.33b. Los taladros manuales son un ejemplo de torno. La ecuación característica de esta máquina simple es la siguiente: Fr r = FmR donde: Fr Fm r R

= magnitud de la fuerza resistente = magnitud de la fuerza motriz = radio del tambor = radio de la manivela

Como el largo de la manivela por lo general es mayor que el radio del tambor, la fuerza motriz que se debe aplicar es menor que la fuerza resistente.

Transmisión con poleas y bandas En una gran cantidad de aplicaciones mecánicas, el trabajo se realiza por medio de la transmisión del momento de fuerza de un mecanismo a otro. Por ejemplo, se puede transmitir el momento de fuerza entre dos poleas mediante una banda o correa que pasa por ellas como se ilustra en la figura 7.34. En ausencia de fuerzas disipativas se debe cumplir: F1r1 = F2r2 Al estar unidas las dos poleas mediante la banda o correa, la magnitud de la velocidad tangencial es la misma en ambas poleas, es decir: v1 = v2 donde: v1 = magnitud de la velocidad tangencial en la polea 1 v2 = magnitud de la velocidad tangencial en la polea 2 Si expresamos las magnitudes de las velocidades tangenciales en función de los radios y las magnitudes de las velocidades angulares de cada polea, se obtiene: donde:

1r1 = 2r2

r1 = radio de la polea 1 r2 = radio de la polea 2 1 = magnitud de la velocidad angular de la polea 1 o de entrada 2 = magnitud de la velocidad angular de la polea 2 o de salida La polea de entrada se denomina polea impulsora o motriz y la polea de salida se denomina polea impulsada. Figura 7.33 a) Torno b) El torno se puede considerar como una palanca de primer género.

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Descubre la física

Figura 7.34 Transmisión por banda. La velocidad tangencial en cada polea es la misma.

Problema ejemplo 7.19 ¿Qué carga se puede levantar con una fuerza de 80.0 N, si el torno tiene un tambor con un radio de 12.0 cm y una manivela con un radio de 48.0 cm? Solución Datos r = 12.0 cm R = 48.0 cm Fm = 80.0 N Fr = ? De la ecuación del torno: Fr r = FmR Despejando Fr y sustituyendo valores:

Fr =

(80.0)( 48.0) 12.0

Se obtiene Fr = 320.0 N.

Si se quiere levantar una caja a cierta altura y se dispone de varios planos inclinados de diferente longitud, ¿con cuál de ellos se realizará el ascenso con menor esfuerzo y trabajo? El menor esfuerzo (menor fuerza aplicada) se realizará con el plano de mayor longitud, pero el trabajo será el mismo para todos ellos, pues hay que elevar la caja a la misma altura; es decir, proporcionarle la misma energía potencial gravitacional.

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Glosario En esta sección se presentán los principales términos y conceptos que aparecen en el cápitulo. El estudio de este glosario te permitirá afrontar con más recursos cualquier evaluación sobre los temas de trabajo, potencia y energía mecánica. Eficiencia. Porcentaje del trabajo de entrada en una máquina, que se convierte en trabajo útil de salida. Energía. Capacidad de un cuerpo o de un sistema para realizar un trabajo. La energía se presenta en varias formas. Energía cinética. Energía que tiene un cuerpo por el hecho de estar en movimiento. Energía mecánica. Se define como la suma de la energía potencial y la energía cinética de un cuerpo. Energía nuclear. Es la energía liberada en las diferentes reacciones nucleares, entre las que se encuentran la fisión y fusión nuclear. Energía potencial elástica. Es la energía potencial de un cuerpo cuando está bajo la acción de un resorte. Energía potencial gravitacional. Es la energía que posee un cuerpo en virtud de su posición cuando está en presencia de un campo gravitatorio. Energía térmica. Es la energía interna de una sustancia asociada al movimiento aleatorio de sus átomos o moléculas. Erg o ergio. Unidad de energía o de trabajo en el sistema CGS. Su equivalencia con el joule es 107 ergios = 1 joule. Fisión nuclear. Reacción nuclear que consiste en la separación de un núcleo atómico pesado en dos partes (núcleos atómicos más ligeros), con la liberación de energía. Fuerza conservativa. Una fuerza es conservativa si el trabajo realizado por ella es independiente de la trayectoria que ésta sigue entre dos puntos. Fuerza disipativa. Fuerza que al actuar sobre los cuerpos provoca que la energía mecánica no se conserve, porque se pierde parcialmente en forma de calor. Joule. Unidad de medida del trabajo y de la energía en el SI. Ley de la conservación de la energía. La energía no se crea ni se destruye, puede transformarse de una forma a otra, pero la cantidad total de energía nunca cambia. Ley de la conservación de la energía mecánica. En ausencia de fuerzas disipativas, la energía mecáni-

ca de un sistema se conserva en el supuesto de que nada más la fuerza de gravedad realice trabajo neto sobre el sistema. Máquina. Término que se aplica a numerosos tipos de dispositivos formados por cuerpos rígidos o resistentes que facilitan la realización de un trabajo. Máquina simple. Es una máquina sencilla que permite desempeñar ciertos tipos de tareas realizando el menor esfuerzo. Mecánica clásica. Es el estudio del movimiento de los cuerpos sobre la base de las leyes de Newton, en las que se sintetizan todas las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos. Mecánica relativista. Es el estudio del movimiento de los cuerpos que se desplazan a velocidades cercanas a la de la luz o en presencia de campos gravitacionales muy intensos. Palanca. Es una barra rígida apoyada en uno de sus puntos al que se le llama fulcro, con la que pueden realizarse diversas tareas. Plano inclinado. Superficie plana, resistente, que forma un ángulo agudo con la horizontal y por medio de la cual se facilita la elevación o el descenso de cuerpos. Polea. Es cualquier disco acanalado que puede girar alrededor de un eje que pasa por su centro. Potencia. Capacidad de producir o consumir energía por unidad de tiempo. También expresa la capacidad de desarrollar un trabajo en la unidad de tiempo. Ventaja mecánica ideal. Para una máquina simple es igual a la relación de la distancia que recorre la fuerza de entrada entre la distancia que recorre la fuerza de salida. Ventaja mecánica real. Para una máquina se define como la relación de la fuerza de salida entre la fuerza de entrada. Trabajo. Producto de la fuerza y la distancia a través de la cual se mueve la fuerza. Watt. Unidad de potencia en el SI.

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Energía puede ser

es una

se mide en

en el universo es una

se relaciona con el

constante

depende de energía calorífica

energía eólica

integrada por

energía potencial puede ser

elástica

Términos clave 3 Energía química 3 Energía mecánica

3 Energía eléctrica 3 Energía cinética

3 Magnitud escalar 3 Joules 3 Gravitacional

3 Trabajo 3 Fuerza 3 Desplazamiento

2. Localiza los conceptos más relevantes en en este capítulo y que no aparecieron en el mapa conceptual anterior y elabora un nuevo mapa conceptual con éstos y preséntaselo a tu profesor o profesora.

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Evaluación formativa I. En los siguientes enunciados coloca en los paréntesis una V si son verdaderos y una F si son falsos. 1 ( ) El trabajo es una magnitud vectorial. 2 ( ) La unidad empleada para medir el trabajo en el sistema inglés es la libra. 3 ( ) La fuerza es una forma de trabajo. 4 ( ) El trabajo siempre es una magnitud positiva. 5 ( ) El joule, el erg y el pie-libra son unidades de trabajo. 6 ( ) La definición del trabajo como una fuerza multiplicada por la distancia recorrida es válida sólo cuando la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido.

20 ( ) El watt es la unidad para medir la energía potencial. II. Coloca en el paréntesis la letra que corresponda a la opción que completa correctamente el enunciado. 1 ( ) El trabajo se puede definir por: a) Fd b) Fv c) Ft d) Fa 2 ( ) La potencia se define por: a)

t W

7 ( ) El trabajo realizado sobre un objeto por las fuerzas de rozamiento es siempre negativo.

b) Wt

8 ( ) El trabajo realizado es máximo cuando la fuerza aplicada forma un ángulo de 90° con el desplazamiento.

d) Fv

9 ( ) Un joule es el trabajo que ejerce una fuerza de un newton sobre un cuerpo a lo largo de una distancia de un metro. 10 ( ) La potencia en el SI se mide en watts. 11 ( ) La potencia se define como el trabajo realizado por la unidad de tiempo. 12 ( ) Al sostener una pesa de 100 kg sobre nuestra cabeza durante cinco minutos realizamos un trabajo sobre la pesa en dicho intervalo de tiempo. 13 ( ) Una unidad de potencia es el kilowatt-hora. 14 ( ) Un aumento de la energía cinética ocurre como resultado de un trabajo positivo.

c) Wv 3 ( ) El kilowatt-hora sirve para medir: a) Potencia b) Fuerza c) Energía d) Aceleración 4 ( ) La energía potencial gravitacional dependen de: a) la masa y la velocidad b) sólo la masa del cuerpo c) la masa y la altura d) la potencia 5 ( ) La energía cinética depende de: a) la masa y la velocidad

15 ( ) La energía cinética también puede tener un valor negativo.

b) sólo la masa del cuerpo

16 ( ) La energía cinética se mide en joules en el SI.

d) la potencia

17 ( ) La energía potencial es la energía que posee un cuerpo en función de su posición. 18 ( ) La energía cinética es una cantidad vectorial. 19 ( ) Si la velocidad de un objeto se duplica, su energía cinética se cuadriplica.

c) la masa y la altura 6 ( ) La energía se conserva: a) en cualquier sistema b) en cualquier sistema cerrado

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c) en cualquier sistema cerrado y no disipativo

3 Potencia

d) sólo en casos especiales 7 ( ) La energía potencial gravitacional se define por: a) mgh

4 Trabajo

b) mg c) mgv d) mgt

IV.Responde las siguientes preguntas:

8 ( ) La energía cinética se define como: a)

1 2 mv 2

1 ¿En qué condiciones una fuerza aplicada a un objeto no realiza trabajo?

b) mv2 c)

1 mv 2 1 2

d) m 2v 2 9 ( ) El trabajo es una medida de la transferencia: a) de la energía b) de la masa

2 ¿En cuál de las siguientes situaciones se realiza un mayor trabajo? Justifica tu respuesta. a) Se levanta una caja de 30 kg a una altura de 2 m. b) Se levanta un baúl de 15 kg a una altura de 4 m.

c) de la cantidad de movimiento d) del impulso 10 ( ) La energía potencial elástica en un resorte se define por:

3 Un auto en movimiento, ¿qué tipo de energía posee?

1 2

a) kx 2 b) kx2 c) 2kx2 d)

k 2x 2

4 ¿Cuál de las siguientes autos tiene mayor energía cinética? Justifica tu respuesta. a) Un auto de 1200 kg que se mueve a 60 km/h. b) Un auto compacto de 600 kg que viaja a 120 km/h.

III. Define con tus propias palabras los siguientes términos. 1 Energía cinética

2 Energía potencial gravitacional

5 ¿En qué caso la pesa tiene una mayor energía potencial? a) La pesa de 10 kg se encuentra a un metro del piso de una casa a nivel del mar. b) La pesa de 10 kg se encuentra a un metro del piso de una casa que se encuentra a 1000 m de altura sobre el nivel del mar.

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Explica tu respuesta cuidadosamente.

6 ¿En qué caso la potencia es mayor? Justifica tu respuesta. a) Una caja de 5 kg es levantada 2 m en 4 s. b) Una caja de 3 kg es levantada 4 m en 3 s.

7 Una persona lleva un bulto de 4 kg en el hombro por un camino horizontal, ¿realiza o no trabajo físico?

8 Se va a levantar un cuerpo a cierta altura y disponemos de varios planos inclinados de diferente longitud. a) ¿Con cuál de ellos se realiza la operación con menor esfuerzo? b) ¿En cuál se realiza menos trabajo?

9 Cuando una pelota se deja caer de 1 m altura y no rebota, ¿falla el principio de conservación de energía? Justifica tu respuesta.

10 Imagina que se conserva la energía mecánica total de un objeto a) Si disminuye la energía cinética, ¿qué le sucede a su energía potencial? b) Si su energía potencial disminuye, ¿qué le sucede a la energía cinética?

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Problemas 1. Una fuerza horizontal de 300 N se emplea para empujar un baúl una distancia de 4 m a lo largo del piso horizontal de un pasillo. Calcula el trabajo realizado.

6. Una mujer empuja horizontalmente una silla con una fuerza de 200 N. Calcula el trabajo realizado sobre la silla si: a) Ésta se mueve 1 m paralelamente a la fuerza b) La silla no se mueve

2. Un remolcador ejerce una fuerza constante de 5000 N sobre un submarino y lo mueve en la misma dirección y sentido una distancia de 50 m a través del puerto, ¿qué trabajo realizó el remolcador?

3. ¿Qué trabajo se realiza al subir 10 m un elevador con una fuerza vertical neta de 2000 N?

4. Un trabajador sube una caja con una fuerza paralela de 60 N a una rampa de 4 m de longitud que forma un ángulo de 25° con la horizontal, ¿qué trabajo realiza la fuerza?

7. Se empuja un escritorio 4 m a lo largo de una superficie horizontal por medio de una fuerza horizontal de 80 N. La fuerza de rozamiento que se desarrolla es de 30 N. a) ¿Qué trabajo realizó la fuerza de 80 N? b) ¿Qué trabajo realizó la fuerza de rozamiento? c) ¿Cuánto trabajo neto se realizó sobre el escritorio? 8. Una fuerza de 800 N es aplicada a un automóvil para detenerlo a lo largo de una distancia de 40 m ¿cuánto trabajo se realizó para detener el auto? (Figura 7.36)

5. Un baúl es jalado 10 m por una superficie horizontal por una cuerda que forma un ángulo con la horizontal como se muestra en la figura 7.35. ¿Si la fuerza ejercida por la cuerda es de 150 N; determina el trabajo realizado en cada caso.

Figura 7.36 La fuerza de fricción detiene el movimiento del auto.

9. Un cuerpo de 0.5 kg se desliza 0.60 m a lo largo de una mesa horizontal. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza de fricción sobre el cuerpo si el coeficiente fricción entre la mesa y el cuerpo es de 0.30? 10.Una caja de 10 kg cae 30 cm. ¿Cuánto trabajo realizó la fuerza de gravedad sobre la caja durante la caída? Figura 7.35 Baúl jalado por una cuerda que forma diferentes ángulos con respecto a la horizontal.

11.Calcula la potencia de una máquina que realiza un trabajo de 600 J en 4 s para levantar una carga.

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12.Calcula la potencia de un motor que levanta 400 kg a una altura de 2.0 m en un tiempo de 20 s.

automóvil compacto de 1200 kg que aumenta su velocidad de 60.0 km/h a 90.0 km/h?

13.Dos jóvenes levantaron una pesa de 200 N hasta una altura de 6 m, valiéndose de una polea. Uno de ellos tardó 10 s; el otro tardó 20 s, ¿qué potencia desarrollaron cada uno?

23.¿Cuál es el cambio de energía cinética de un automóvil de 1500 kg que disminuye su velocidad de 100 km/h a 20 km/h?

14.Un motor tiene una potencia de 12 hp. ¿Cuál es su potencia expresada en watts? 15.Se aplica una fuerza de 4000 N para mantener un automóvil en movimiento a 60 km/h. ¿Cuál es la potencia consumida por el automóvil? 16.¿A qué velocidad máxima debe levantar una grúa una carga de 1 tonelada. La potencia de la grúa es de 30 hp? 17.Una máquina tiene una potencia de 2500 W. Expresa dicha potencia en kW y hp. 18.Un motor de montacargas tiene una potencia de 6000 W. ¿A qué velocidad puede levantar una carga de 1000 kg? 19.Una persona de 60 kg viaja a 2 m/s. ¿Cuál es el valor de su energía cinética? 20.La energía cinética de un cuerpo de 2.0 kg es 16 J, ¿con qué rapidez se mueve? 21.¿Cuál es la energía de: a) Un balín de 8 g que se mueve a una velocidad de 12 m/s?

24.La cabeza de un martillo de 0.5 kg se mueve con una rapidez de 20.0 m/s en el momento en que golpea un clavo. ¿Cuál es la energía de la cabeza del martillo justamente antes de golpear el clavo? 25.Un bloque de 1.0 kg se desliza sobre una superficie horizontal con fricción con una rapidez inicial de 2.0 m/s. Se mueve una distancia de 80 cm y queda en reposo. Determina la fuerza de fricción promedio que retarda el movimiento del bloque aplicando el teorema trabajo-energía. 26.Un automóvil que viaja a 80 km/h es llevado hasta el reposo en una distancia de 3.0 m. ¿Cuál es la fuerza promedio que ejerce el cinturón de seguridad sobre un pasajero de 60 kg en el automóvil cuando es detenido? 27.¿Qué magnitud debe tener una fuerza para detener un automóvil de 1200 kg en 15 m, si éste viajaba inicialmente con una rapidez de 20 m/s? 28.Un trineo de 100 kg es jalado por una fuerza horizontal de 90 N a lo largo de una pista que presenta una fuerza de fricción de 20 N. Si el trineo recorre una distancia de 50 m a partir del reposo. Calcula: a) El trabajo realizado por la fuerza horizontal de 90.0 N. b) El trabajo total realizado sobre el trineo.

b) Un auto de 1500 kg que viaja a 100 km/h? c) La energía cinética a los 50.0 m. c) Un auto de 1500 kg que viaja a 200 km/h? d) La magnitud de la velocidad a los 50.0 m. 22.¿Cuál es el cambio de energía cinética de un

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29.Un automóvil de 1400 kg recorre una carretera con una magnitud de velocidad de 80 km/h. a) ¿Qué trabajo deben realizar los frenos para que el automóvil se detenga. b) Si = 0.6, ¿cuál es la distancia de frenado del automóvil? k

30. Un libro de 1.5 kg se encuentra a 1.20 m del piso, ¿cuál es su energía potencial gravitacional? 31.En una librería, un libro de 0.6 kg colocado inicialmente en un estante a 40 cm sobre el suelo, fue movido a otro estante con una altura de 1.30 m. a) ¿Cuál es la energía potencial del libro a una altura de 40 cm? b) ¿Cuál es su energía potencial a 1.30 m?

36.Un resorte extendido posee una energía potencial elástica de 150 J. Si su constante de restitución es 3 de 2.5 10 N/m, ¿cuánto se extendió el resorte? 37.Una piedra que pesa 1kg se dejó caer desde una altura de 10.0 m. a) ¿Cuál es su energía potencial a dicha altura? b) ¿Cuál es su energía cinética al llegar al piso? c) ¿Con qué velocidad se impacta en el piso? 38.Un ave de 300 g viaja a 40 km/h a una altura de 20 m. ¿Cuál es el valor de su energía mecánica? 39.Un bloque que pesa 120 N se deja caer desde una altura de 4 m. a) ¿Cuál es su energía potencial a dicha altura?

c) ¿Cuál es el cambio de energía potencial? b) ¿Cuál es su energía potencial a 2 m? 32.¿Cuánto trabajo se realiza sobre una caja fuerte de 400 kg por una fuerza externa cuando a) Es levantada con una rapidez constante a una altura de 2 m? b) Si se baja a esa misma altura? c) ¿Cuál es la energía potencial de la caja fuerte a 2 m de altura?

c) Cuál es su energía cinética a 2 m? d) ¿Cuál es el valor de su energía mecánica a 2 m? 40.Calcula la energía cinética de la caja de 10.0 kg en la posición B cuando se deja caer a partir del reposo de una rampa desde la posición A como se muestra en la figura 7.37.

33.Una caja fuerte de 90 kg es empujada hacia arriba 10 m a lo largo del plano inclinado que forma un ángulo de 20° con la horizontal. ¿Cuál es el cambio de energía potencial? 34.Un globo de 6 kg desciende de 20 m a 2 m de la superficie del piso. ¿Cuál es el cambio de energía potencial del globo? 35.Un resorte con una constante de 4 N/m se comprime 10 cm desde su posición de equilibrio. ¿Cuánta energía potencial se almacena en el resorte?

Figura 7.37 La caja se deja caer de la posición A a lo largo de la rampa.

41.¿Con qué velocidad llega la caja del problema 40 a la posición B?

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42.Una niña de 30 kg se sienta en un columpio cuyo peso es despreciable. Si la velocidad del columpio en la parte más baja es de 6 m/s ¿a qué altura se elevará?

b) ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción si el valor de la velocidad de la caja en el punto B es 10 m/s? c) ¿Cuánta energía se pierde por la fricción?

43.Una niña de 40 kg se desplaza sobre una resbaladilla curva de 6.00 m de altura, como la que se muestra en la figura 7.38. La niña parte del reposo en la parte superior. Determina el valor de la velocidad de la niña en la parte inferior. No consideres la fricción.

Figura 7.40 Caja deslizándose sobre la rampa.

46.Para las tres palancas que se muestran en la figura 7.41. Determina en cada caso la fuerza vertical Fm que se requiere para sostener la carga Fc = 100 N. No consideres el peso de la palanca.

Figura 7.38 Niña deslizándose sobre la resbaladilla.

44.Una caja de 6 kg en reposo se suelta desde un punto A (Figura 7.39). Determina, a) La energía cinética en los puntos B y C. b) El valor de la velocidad de la caja en los puntos B y C.

Figura 7.39 Caja deslizándose sobre la colina.

45.Una caja de 10 kg se desliza a partir del reposo a lo largo de la rampa. (Figura 7.40). a) ¿Cuál es el valor de su velocidad en los puntos B y C si se desprecia la fricción? Figura 7.41 Diferentes tipos de palanca.

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47.El plano inclinado que se muestra en la figura 7.42 tiene 12 m de longitud y 3.0 m de altura. ¿Cuál es el valor de la fuerza F paralela al plano inclinado que se requiere para deslizar hacia arriba una caja de 10 kg, si la fricción es despreciable?

50.¿Cuál es la magnitud de la fuerza motriz que hay que aplicar para un sistema como el de la figura 7.45 si la carga (Fr) es igual a 500 N?

Figura 7.45 Poleas móviles: aparejo.

Figura 7.42 Caja ascendiendo por el plano inclinado.

51.¿Cuál es la ventaja mecánica de la palanca que se muestra en la figura 7.46?

48.Tienes unas pinzas que miden 22 cm de largo como las que se muestran en la figura 7.43. Para cortar un alambre que colocaste a 1 cm del punto A se requiere una fuerza de 50 N. ¿Qué fuerza tendrás que aplicar sobre las pinzas en el punto B a 19 cm del punto A?

Figura 7.46 La carga se levanta mediante la palanca.

52.¿Cuál es la ventaja mecánica de la rampa que se ilustra en la figura 7.47? Desprecia la fricción. Figura 7.43 Pinzas para cortar alambre.

49.¿Qué fuerza habrá que aplicar si se tiene que elevar una carga de 1000 N por medio de una polea móvil, como se muestra en la figura 7.44?

Figura 7.47 Problema 52. Figura 7.44 Poleas móviles: polipasto.

53.Una máquina consume 900 W y desarrolla 600 W. a)¿Cuál es su eficiencia? b) ¿Cuánta energía pierde en 5 minutos de operación?

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Formulario Subtema Trabajo

Fórmulas

Notas

La fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido →

T = trabajo realizado por la fuerza F = magnitud de la fuerza aplicada d = magnitud del desplazamiento

→

F

F →

d

T = Fd La fuerza y el desplazamiento tienen diferente dirección

= ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.

→

F

→

d

T = Fd cos . Trabajo resultante → F2

TR = TT = trabajo resultante T1, T2, T3 = trabajos de cada una de las fuerzas aplicadas.

→ F3 → F1

→

d

TR = T1 + T2 + T3

Potencia

En función del trabajo: T P= t

P = potencia T = trabajo t = tiempo

En función de la energía:

P=

E = energía

E t

En función de la velocidad:

F = magnitud de la fuerza v = magnitud de la velocidad

P = Fv

Energía cinética

Energía cinética (clásica) 1 2 E c = K = mv 2

→ v

Ec = K = energía cinética m = masa del cuerpo v = magnitud de la velocidad o rapidez

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Subtema

Fórmulas

Notas

Energía cinética (relativista) E c = mc

1

2

1–

Equivalencia masa-energía Energía potencial

v c

2

–1

c = magnitud de la velocidad de la luz (3 108 m/s)

2

E = energía m = masa c = rapidez de la luz

E = mc2

Energía potencial gravitatoria EP m h g

= energía potencial = masa del cuerpo = altura = aceleración de la gravedad

E = mgh P

Energía potencial elástica EPE = energía potencial elástica x = deformación k = constante de restitución

E PE =

1 2

kx

2

Energía mecánica Em = energía mecánica Ec = energía cinética Ep = energía potencial m v g h

= masa del cuerpo = magnitud de la velocidad = magnitud de la aceleración de la gravedad = altura a la que se encuentra el cuerpo

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Subtema

Fórmulas

Notas

Ley de conservación de la energía mecánica Para un sistema: Em = constante Expresado de otra manera: Ec0 + Ep0 = Ecf + Epf o + Ep1 = Ec2 + Ep2

Ec1

En función de las magnitudes de las velocidades y las alturas. mgh1 +

Esto es válido en ausencia de fuerzas disipativas. Em = energía mecánica Ec1 = Ec0 = energía cinética inicial Ec2 = Ecf = energía cinética final Ep1 = Ep0 = energía potencial inicial Ep2 = Epf = energía potencial final Ec = cambio de energía cinética Ep = cambio de energía potencial

1 1 m v 2 = mgh2 + m v2 2 1 2

también se puede expresar como: mgh0 +

1 1 m v 2 = mghf + m vf 2 2 0 2

o de esta forma: E + E = 0 C

Teorema del trabajo-energía

P

T = E + E Si EP = 0 se tiene: T = Ec es decir: c

T=

p

T = trabajo de la fuerza neta Ep = cambio de energía potencial Ec = cambio de energía

1

1 2 2 m v – m v0 2 2

Si Ec = 0 se tiene: T = Ep es decir: T = mgh – mgh0

Máquinas

Eficiencia

ε = eficiencia

ε

Ts = trabajo de salida Te = trabajo de entrada

T = s Te

Eficiencia porcentual Ts % ε= 100 % Te

( )

(

)

La eficiencia de una máquina real es menor de 1 (o de 100%).

En función de las potencias:

ε=

Ps Pe

Ps = potencia de salida Pe = potencia de entrada

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Subtema

Fórmulas

Notas

Ventaja mecánica real VMR

=

Fe

Ventaja mecánica ideal de VMI = ds

Máquinas simples

= ventaja mecánica real Fs = magnitud de la fuerza de salida Fe = magnitud de la fuerza de entrada

VMR

Fs

ds = distancia de salida de = distancia de entrada

Palanca Fm Fr bm br

= magnitud de la fuerza motriz = magnitud de la fuerza resistente = brazo motor = brazo resistente

Fmbm = Frbr Plano inclinado F = magnitud de la fuerza paralela al plano d = distancia recorrida a lo largo del plano W = magnitud del peso h = altura del plano inclinado

Fd = Wh Polea fija Fm = magnitud de la fuerza motriz Fr = magnitud de la fuerza resistente

Fm = Fr

Polea móvil Fm = magnitud de la fuerza motriz Fr = magnitud de la fuerza resistente

Fm =

Fr 2

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Subtema

Fórmulas

Notas

Polipasto Fm = magnitud de la fuerza motriz Fr = magnitud de la fuerza resistente n = número de poleas del sistema

Fm =

Fr n

Aparejo n = número de poleas móviles

Fm =

Fr 2

n

Torno F = magnitud de la fuerza motriz F = magnitud de la fuerza resistente r = radio del tambor R = radio de la manivela m

r

Fr = F R r

m

Transmisión

1 = magnitud de la velocidad angular de la polea 1 2 = magnitud de la velocidad angular de la polea 2 r1 = radio de la polea 1 r2 = radio de la polea 2 La magnitud de la velocidad tangencial de cada polea es la misma.

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Pasatiempos Adivina quién es Este científico nació en Edimburgo el 5 de julio de 1820 y murió en Glasgow el 24 de diciembre de 1872. Estudió física, pero decidió especializarse en ingeniería civil. Diseñó una escala de temperaturas que lleva su nombre. En 1850 definió la energía como la capacidad de producir trabajo y demostró la diferencia entre la energía potencial y la energía cinética. Si quieres conocer el apellido de este científico, acomoda de manera correcta las letras que aparecen en el círculo en las casillas en blanco.

RE AI

Trabajo y potencia Resuelve los siguientes problemas y registra los resultados en el crucigrama. A cada casilla le corresponde un dígito. Si los resultados son correctos, las operaciones indicadas en él se deberán cumplir.

1. A un automóvil se le aplica una fuerza constante de 5 N durante 4 m. ¿Cuál es el valor del trabajo realizado? 2. Una caja se empuja con una fuerza de 5 N a lo largo de un desplazamiento de 2 m. ¿Qué trabajo se realiza sobre la caja? La fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido. 3. ¿Qué fuerza horizontal se aplica sobre un baúl, si éste recorrió por el piso una distancia de 2 m y el trabajo efectuado sobre dicho baúl es de 60 J? 4. ¿Qué distancia recorre un auto sobre una carretera cuando la fuerza horizontal de 10 N que se le aplica realiza un trabajo de 150 J?

5. Un motor de 250 W realiza un trabajo de 1000 J. ¿En qué tiempo realizó este trabajo? 6. Calcula la potencia de una máquina que realiza un trabajo de 11 joules en un segundo. 7. ¿Qué trabajo realiza un motor pequeño de 8 W durante 2 s? 8. Si un hombre realiza un trabajo de 40 J al aplicarle a una caja una fuerza de 10 N. ¿Qué distancia recorrió la caja? 9. Sobre una caja se aplica una fuerza de 32 N durante 4 m en 2 s. ¿Cuál es la potencia proporcionada?

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Energía cinética Resuelve los problemas y registra los resultados en el crucigrama. Si las soluciones son correctas, las operaciones indicadas en el crucigrama se deberán cumplir. A cada casilla le corresponde un sólo dígito.

1. Calcula la energía cinética de una pequeña caja que viaja a una rapidez de 8 m/s y tiene una masa de 2 kg. 2. Determina la energía cinética de una esfera de 2 kg que viaja a una rapidez de 6 m/s. 3. Determina la energía cinética de una caja de 14 kg que viaja a una rapidez de 2 m/s. 4. ¿Qué valor tiene la energía cinética de un carrito de 2 kg que se mueve con un valor de velocidad de 7 m/s? 5. ¿Cuál es el valor de la masa del objeto que viaja a una velocidad de 3 m/s y tiene una energía cinética de 27 J?

6. Un proyectil de 2 kg viaja con una magnitud de velocidad de 43 m/s. ¿Cuál es su energía cinética? 7. ¿Con qué rapidez viaja un proyectil de 4 kg que tiene una energía cinética de 1250 J? 8. Una pelota de 2 kg posee una energía cinética de 81 J, ¿con qué magnitud de velocidad viaja? 9. Determina la masa de un perro que viaja con una rapidez de 2 m/s y posee una energía cinética de 32 J.

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Actividad Trabajo Con esta actividad podrás determinar el trabajo que se realiza cuando se levanta verticalmente un cuerpo.

¿Qué necesitas? • Un dinamómetro graduado en newtons • Una regla de 1 m o cinta métrica • Un gis y diversos objetos con gancho o hilo.

fuerza aplicada al cuerpo y que indica el dinamómetro. 4. Calcula el trabajo realizado para elevar el cuerpo a dicha altura, registra el resultado en la tabla de resultados. 5. Repite lo anterior, pero en esta ocasión el cuerpo deberá ser levantado a una altura de 1.6 m. 6. Finalmente, repite todo lo anterior para los otros objetos.

¿Qué debes hacer? 1. En un muro marca con el gis las alturas de 0.8 m y 1.6 m con respecto al piso. 2. Engancha uno de los objetos con el dinamómetro y levántalo verticalmente de manera uniforme desde el piso hasta una altura de 0.8 m (Figura 7.48). 3. Registra en la tabla de resultados 7.1 el valor de la

Figura 7.48 Levanta verticalmente y de manera uniforme el objeto con el dinamómetro.

Tabla 7.1 Trabajo realizado para elevar un objeto Objetos (descripción)

Fuerza aplicada (N)

Trabajo (T1) para subirlo 0.8 m (J)

Trabajo (T2) para subirlo 1.6 m (J)

Discusión y conclusiones • ¿Qué ecuación se utiliza para determinar el trabajo?

• ¿En qué caso se realiza más trabajo para levantar el mismo objeto?

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• De los objetos que se levantaron hasta 0.8 m, ¿en cuál el trabajo realizado fue mayor? ¿De qué depende?

• ¿De qué depende el trabajo?

• ¿Qué conclusiones obtuviste?

Actividad Potencia Con esta actividad comprenderás que la potencia depende del tiempo que se emplea para realizar un trabajo.

¿Qué necesitas? • Un kilogramo de arroz o de cualquier otro producto • Un reloj con cronómetro • Una cinta métrica y unas escaleras (para subir de la planta baja al primer piso).

¿Qué debes hacer? Realiza esta actividad en tu casa o en la escuela en compañía de tres compañeros de clase. 1. Con la cinta métrica mide la altura que existe entre la planta baja y el primer piso. (Figura 7.49)

3. Calcula el trabajo que se requiere para subir el kilogramo de arroz de un piso al otro y regístralo en la Tabla 7.2. 4. Solicita a uno de tus compañeros que suba el kilogramo de arroz de un piso al otro mientras mides el tiempo que emplea en el ascenso (Figura 7.50). Registra este tiempo en la tabla de resultados. 5. Calcula la potencia desarrollada por tu compañero para subir el kilogramo de arroz y registra dicho valor en la tabla de resultados. 6. Pide a dos compañeros más que realicen la misma actividad que la del primero, pero con diferente rapidez. 7. Registra los resultados obtenidos. a)

b) Figura 7.49 Medición de la distancia entre la planta baja y el primer piso.

2. Determina el peso del kilogramo de arroz y exprésalo en newtons. Este valor corresponde a la mínima fuerza que se requiere para elevar el kilogramo de arroz.

Figura 7.50 a) Se toma el kilogramo de arroz y se echa a andar el cronómetro b) Se deja el kilogramo de arroz en el piso del siguiente nivel y se detiene la marcha del cronómetro.

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Tabla 7.1 Trabajo realizado para elevar un objeto Nombre de tu compañero de clase

Fuerza para subir el kilogramo (N)

Altura entre los pisos (h) (m)

Trabajo realizado (J)

Tiempo de ascenso (s)

Discusión y conclusiones 1. ¿Qué ecuación se utiliza para determinar el trabajo?

2. ¿Qué ecuación se utiliza para determinar la potencia?

3. ¿El trabajo desarrollado por tus compañeros depende de la trayectoria seguida?

4. ¿Cuál de tus compañeros subió en menos tiempo el kilogramo de arroz?

5. ¿Cuál de tus compañeros subió el kilogramo de arroz con mayor potencia?

6. Escribe las conclusiones que obtuviste de esta actividad.

Potencia desarrollada (W)

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Actividad Balanza romana En esta actividad construirás una balanza romana y podrás identificarla como una palanca.

¿Qué necesitas? • Un popote rígido • Tres clips • Un alfiler • Un vaso térmico • Cinta adhesiva

• Plumín • Canicas iguales • Una regla • Harina

¿Qué debes hacer? 1. Con el alfiler perfora el popote a una distancia de un centímetro de uno de sus extremos. 2. Engancha un clip en dicha perforación y del otro extremo del clip el vaso térmico (el cual deberá contener una canica). 3. A los tres centímetros de la perforación haz otra en el popote y engancha el otro clip como se muestra en la figura 7.51a.

4. Al tercer clip únele la canica con la cinta adhesiva y colócalo en el popote como se muestra en la figura 7.51b y deslízalo a lo largo del popote hasta que se encuentre en posición horizontal y en equilibrio, mientras se sostiene por el segundo popote. 5. Marca con el plumín, el popote en la posición en la que el clip con una canica equilibró al vaso. 6. Repite esto último conforme en el vaso vas agregando canicas. 7. Una vez que se ha calibrado la balanza, retira las canicas del vaso menos una. En esta balanza, la masa de una canica se considerará la unidad de masa. 8. Para determinar la cantidad de harina con una masa igual a la de dos canicas, coloca el clip con canica en la tercera marca y agrega poco a poco harina en el vaso hasta que el popote se equilibre. 9. Para comprobar que tu balanza romana es una palanca de primer género haz un diagrama de cuerpo libre en el espacio que aparece en la figura 7.52 y compáralo con el diagrama de la palanca que aparece en dicha figura.

Diagrama de cuerpo libre de la balanza:

Figura 7.51 a) Engancha dos de los popotes a uno y cinco centímetros. b) Desliza el clip con la canica hasta que se equilibre el popote. c) Al agregar otra canica al vaso, el clip con canica se desliza hacia una nueva posición.

Figura 7.52 ¿Crees que la balanza romana es una palanca?

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Discusión y conclusiones 1. ¿Por qué se puede considerar la balanza romana una palanca?

2. ¿Cuál es la ecuación de una palanca?

3. ¿Cómo varía la distancia entre el clip con canica y el clip por el cual cuelga el popote conforme se van agregando canicas en el vaso térmico?

4. ¿Cuáles son las principales fuentes de error en la medición de masas con esta balanza?

5. ¿Cuáles son las conclusiones que se obtienen de esta actividad?

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¿Te habías imaginado que… Equivalencia masa-energía Hasta antes de 1905, para los científicos la masa y la energía eran dos conceptos independientes. Asimismo, estas cantidades se conservaban de manera separada. Es decir, la masa era la misma antes y después del proceso. En 1905, Einstein presentó su teoría de la relatividad especial, en la cual uno de sus resultados señalaba que la masa es otra forma de energía. La equivalencia entre masa y energía está expresada por su famosa ecuación: E = mc2 donde: E = energía del objeto m = masa del objeto c = rapidez de la luz (3 108 m/s) La energía intrínseca de la masa es enorme. Por ejemplo, si se pudiera convertir 1 kg de masa (en reposo) en energía se tendría: E = (1 kg)(3 108 m/s)2 = 9 1016 J Esta energía es igual al consumo de energía que se registró en un día de 1980 por la población de los Estados Unidos, uno de los países que más energía consume por habitante. Si la energía de la materia pudiera liberarse fácilmente, como trabajo útil, los recursos energéticos serían ilimitados. Sin embargo, esto no es así; por ejemplo, en la fisión nuclear, cerca de 0.1% de la masa original de un núcleo pesado (por ejemplo del U235) se convierte en energía. Mientras que en la física clásica se tenían dos principios de conservación separados: la conservación de la masa (clásica), como en las reacciones químicas, y la conservación de la energía. En relatividad (física moderna), éstos se funden en un solo principio de conservación: el de la conservación de la masa-energía. Los dos principios de conservación clásica pueden considerarse como casos especiales del principio de conservación de la masa-energía.

La ecuación de Einstein que relaciona la masa con la energía implica que los cambios en la energía de un objeto están acompañados por cambios en su masa. La conversión de masa a energía ya se ha observado en el laboratorio, en un proceso llamado aniquilación materia-antimateria. Este fenómeno ocurre cuando choca un electrón y un positrón (antipartícula del electrón), ambas dejan de existir para dar origen a dos rayos gamma (energía). Las mediciones de la energía total de los rayos gamma indican que es exactamente igual a la masa total del protón y el electrón originales multiplicadas por c2. El proceso inverso, es decir, la creación del electrón y el protón ha sido observada a partir de radiaciones gamma. La energía asociada a la masa en reposo mc2 es la energía total de un objeto en reposo, sin tomar en cuenta la energía potencial. Cuando el objeto se mueve, su energía total es mayor y la energía adicional que este objeto posee en su energía cinética, la cual, de acuerdo con la energía total y la energía de su masa en reposo, está dada por: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 – 1⎟ E c = mc 2 ⎜ ⎜ v2 ⎟ ⎜ 1– 2 ⎟ ⎝ ⎠ c

donde v es la velocidad del objeto. Esta ecuación no se parece a la ecuación clásica de la energía cinética dada por:

Ec =

1 2 mv 2

Sin embargo, si el objeto se mueve a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz, la ecuación relativista para la energía cinética se reduce a la expre1 sión clásica 2 mv , como se puede demostrar si se considera la siguiente igualdad matemática: 2

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1–

( ) ( ) 2

1

v2 c2

=11 ++

11⎛ v 2 ⎞v2 3 ⎛3v 2 ⎞ v2 + ....+… + + + 22⎜⎝ c 2 ⎟⎠c2 8 ⎜⎝8c 2 ⎟⎠ c2 2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 ⎛ v2 ⎞ ⎞ 1 2⎜ 2 ⎟ – 1 = mc ⎜ 1 + ⎜ 2 ⎟ –1⎟ E c = mc ⎜ ⎟ ⎝ 2⎝c ⎠ ⎠ v2 ⎜ 1– 2 ⎟ ⎝ ⎠ c

Dado que c >> v entonces: 1 1–

v2 c2

=11 ++

( )

11⎛ v ⎞v + 22⎜⎝ c 2 ⎠c2 2

2

al sustituir esto último en la ecuación de la energía cinética relativista se tiene:

Reduciendo términos se obtiene:

Ec =

1 2 mv 2

que es la forma conocida por la física clásica para la energía cinética. Este resultado comprueba que la relatividad especial es una teoría más general que la mecánica clásica (o newtoniana).

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Julius Robert Meyer Meyer nació el 25 de noviembre de 1814 en Heilbron, Württemberg, Alemania y murió en esa misma ciudad el 20 de marzo de 1878. Meyer estudió formalmente medicina, pero también empezó a interesarse en el campo de la física y la investigación alrededor de 1840. En 1842 presentó una cifra para el equivalente mecánico del calor y declaró su creencia en la conservación de la energía al señalar: “Las energías son entidades indestructibles y convertibles. En realidad no hay una sola y única energía. La energía una vez que existe no puede ser aniquilada, solamente puede cambiar de forma. Entonces surge la pregunta: ¿qué otra forma de energía aparte de las que ya conocemos (cinética y potencial) es capaz de tomar? Solamente la experiencia nos da la solución: el calor. Si la energía cinética y potencial son equivalentes al calor, este debe ser

naturalmente equivalente a la energía cinética y potencial. Aunque Meyer logró publicar su obra, no inspiró ningún interés y fue Joule (1818-1889) el que recibió el honor del descubrimiento del equivalente mecánico del calor, debido a estar respaldado por una gran fama experimental. Por su parte, Helmholtz (1821-1849) tuvo el honor de que se le reconociera como el primero en enunciar la ley de la conservación de la energía por haberlo hecho de forma más sistemática. Meyer fue un científico incomprendido y poco reconocido en su época, lo que lo afectó de tal forma que lo llevó a un intento de suicidio. Durante un tiempo estuvo recluido en un hospital mental, mientras que Tyndall (1820-1893) y Liebeg (1803-1873) daban conferencias sobre sus descubrimientos.

Creatividad en la física Trabajo, potencia y energía mecánica Elabora un periódico mural sobre la energía Bajo la supervisión de tu profesor, organiza un equipo de trabajo para que juntos elaboren un periódico mural sobre la energía. Los del equipo deberán realizar investigaciones documentales y de campo sobre: 3 3 3 3 3 3

¿Qué es la energía? Tipos de energía Fuentes de energía Principales países consumidores de energía Energía eléctrica que se consume en los hogares La energía y la contaminación

Los mejores periódicos murales, por ser los más completos, creativos, interesantes y mejor ilustrados serán seleccionados para ocupar uno de los muros del salón de clases o bien, ser exhibidos en algún lugar de la escuela, bajo previa autorización de profesores y directivos.

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Evaluación sumativa Elige el inciso correcto y coloca en el paréntesis la letra correspondiente. 1. ( ) Magnitud física que se caracteriza por su magnitud dirección, sentido y punto de aplicación. a) Distancia b) Masa c) Fuerza d) Energía 2. ( ) Fuerzas de atracción que se presentan entre dos cuerpos debido a sus masas. a) Fuerza nuclear b) Interacción fuerte c) Interacción débil d) Fuerza gravitacional 3. ( ) La fuerza de fricción es… I. proporcional a la fuerza normal II. independiente de la naturaleza de las superficies en o III. actúa en el mismo sentido que el del movimiento a) sólo I b) sólo II c) I y II d) II y III 4. ( ) Una medida de la inercia. a) Peso b) Energía c) Fuerza d) Masa 5. ( ) La aceleración es: a) directamente proporcional a la fuerza aplicada b) inversamente proporcional a la fuerza aplicada

c) directamente proporcional a la masa d) igual a la fuerza aplicada 6. ( ) Se aplica a un cuerpo de 2 kg de masa una fuerza de 8 N situada sobre el eje x. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración? a) 16 m/s2 b) 8 m/s2 c) 4 m/s2 d) 0.25 m/s2 7. ( ) El enunciado que establece que todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, mientras no actúe sobre él ninguna fuerza que modifique su estado de reposo o de movimiento corresponde a la: a) Primera Ley de Newton b) Segunda Ley de Newton c) Tercera Ley de Newton d) Ley de Gravitación Universal 8. ( ) Si una bolsa de frijol es de 2 kg, ¿cuál es su peso? a) 20 N b) 19.6 N c) 9.8 N d) 2 N 9. ( ) Un bloque de madera que pesa 40 N se mueve a velocidad constante sobre una superficie horizontal que tiene un coeficiente de fricción dinámica de 0.2. ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción dinámica? a) 8 N b) 40 N c) 80 N d) 200 N

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10. ( ) Determina la aceleración del bloque 1 mostrado en la siguiente figura. Desprecia la fricción y las masas de la polea y los hilos. m1 = 4 kg

zontal. ¿Cuál es el valor del trabajo realizado? a) 800 J b) 692.8 J c) 400 J d) 346.4 J 14. ( ) ¿En cuánto tiempo realizará un trabajo de 1000 J una máquina que tiene una potencia de 500 W?

m2 = 4 kg

a) 4.9 m/s2 b) 9.8 m/s2 c) 3.29 m/s2 d) 1.47 m/s2

a) 500000 s b) 2 h c) 2 s d) 0.5 s 15. ( ) Un halcón de 1 kg de peso viaja a 40 km/h. ¿Cuál es el valor de su energía cinética?

11. ( ) ¿Cuál de las tres cajas que se dejaron caer a partir del reposo en el plano inclinado sin fricción que se muestra en la siguiente figura se desliza con mayor aceleración?

a) 800 J b) 61.72 J c) 1600 J d) 5.55 J 16. ( ) Un libro de 450 g se encuentra en un librero a una altura de 1.60 m, ¿cuál es el valor de su energía potencial?

1 2 3

a) La caja 1 b) La caja 2 c) La caja 3 d) Todas caen con la misma aceleración 12. ( ) ¿Cuál de las siguientes magnitudes puede tener un valor negativo? a) Trabajo b) Energía cinética c) Tiempo d) Masa 13. ( ) Un carrito es arrastrado 10 m sobre una superficie horizontal, sin fricción, con una fuerza de 80 N que forma un ángulo de 60° con la hori-

a) 7056 J b) 705.6 J c) 720 J d) 7.056 J 17. ( ) Una pelota de 200 g se deja caer de una altura de 2m, ¿con qué valor de energía mecánica se impacta en el piso? a) 400 J b) 392 J c) 3.92 J d) 0.40 J 18. ( ) Un cuerpo cuya masa es de 2 kg está separado por una distancia de 3 m de otro cuerpo de 9 kg, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de atracción gravitacional entre dichos cuerpos? a) 6.67 x 10-11 N b) 13.34 x 10-11 N c) 3.33 x 10-11 N d) 18.00 x 10-11 N

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19. ( ) Un bulto que pesa 20 kg se encuentra en el borde de la azotea de un edificio y se deja caer libremente. Al llegar al suelo su energía cinética es de 1600 J. I. Su energía potencial al llegar al suelo es de 0J II. Su energía potencial a la mitad de su caída es de 1600 J III. Su energía potencial cuando se encuentra en el borde de la azotea es de 1600 J. a) sólo I b) sólo II c) sólo III d) I y III

20. ( ) La energía que posee un cuerpo en función de su movimiento recibe el nombre de: a) Energía potencial b) Energía cinética c) Energía elástica d) Energía solar

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Apéndice A

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APÉNDICE A Cifras significativas Las cifras significativas de una medida son los números seguros (que se leen directamente en el instrumento de medición y de los cuales se está seguro) y el primer dígito o cifra estimada. Si dos medidas se expresan por 4.6 m y 4.60 m, la primera es menos precisa, pues sólo tiene dos cifras significativas, mientras que la segunda tiene tres. Multiplicación y división. Cuando las cantidades que se multiplican o se dividen fueron obtenidas mediante mediciones, el resultado de dicha multiplicación o división tendrá el mismo número de cifras significativas que la cantidad con menor número de ellas. Suma y resta. Cuando se suman o restan cantidades que fueron obtenidas mediante mediciones, el resultado se debe expresar con tantos decimales como corresponden a la cantidad que menos decimales contiene.

Redondeo de datos. Para obtener el número correcto de cifras significativas de un cálculo, el número se redondea al número de cifras significativas deseadas, eliminando uno o más dígitos a la derecha, dígitos superflujos. 3 Cuando el primer dígito que se elimina es menor que 5, el último dígito que se retiene permanecerá sin cambio. 3 Cuando el primer dígito que se va a eliminar es mayor que 5, al último dígito retenido se le suma 1. 3 Cuando el dígito que se elimina es 5 o 5 seguido de ceros, el dígito anterior sube si es impar y se conserva si es par.

APÉNDICE B Matemáticas I. Simbolos Símbolo

Significado

= > < x |x|

Igual a No es igual a Mayor que Menor que Aproximadamente igual Cambio en x o variación en x Valor absoluto de x Proporcional a Suma de

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308 Física I

II. Constantes matemáticas = 3.1415926535... e = 2.7182818284...

radián = 1° =

2 = 1.4142135623...

180° = 57.29577...° w π

π radianes = 0.0174532925... radianes 180

III. Fórmulas geométricas de áreas y volúmenes 1. Rectángulo

2. Triángulo 1 3 Área = bh 2 3 Perímetro = a + b + c

3 Área = ab 3 Perímetro = 2a + 2b

b

a 3. Círculo 3 Área = r

2

3 Perímetro = 2 r

4. Sector de un círculo 1 2 3 Área = r θ (θ en radianes) 2 Longitud del arco ⇒ s = rrθ 3

5. Paralelepípedo

6. Esfera

3 Volumen = abc

4 3 3 Volumen= πr 3

3 Área de la superficie = 2(ab + ac + bc)

3 Área = 4p r2

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Apéndice B

7. Cilindro

8. Cono 1 2 πr h 3 3 Área de la superficie lateral = rL

3 Volumen = r h

3 Volumen =

2

3 Área de la superficie lateral = 2 rh

IV. Funciones trigonométricas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. sen2 + cos2 = 1

a c b cos θ = c a tan θ = b b cot θ = a c sec θ = b c csc θ = a sen θ tan θ = cos θ senθ =

9. sen(A ± B) = sen A cos B ± cos A sen B 10. cos(A ± B) = cos A cos B ± sen A sen B 11. sen 2 = 2 sen cos

V. Álgebra 1. (x ± y) = x ± 2xy + y 2

2

6. x x = x n

2

2. (x ± y) = x ± 3x y + 3xy ± y 3

3

2

3. x – y = (x + y)(x – y) 2

2

2

2

Solución ± b ± b – 4 ac

n+m

3

7.

4. Ecuación cuadrática ax + bx + c = 0

m

xn = x n− m m x

8. (x ) = x n m

9.

nm

x n = x n/2

2

x=

2a

5. 1 = x − n xn

10.

n

x m = x m/ n

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310 Física I

VI. Ecuaciones En los problemas de física es posible conocer algunas variables a partir del enunciado, pero otras no. Esto implica que hay que resolver la ecuación que relaciona dichas variables, de manera que una de las variables que se desconoce se exprese en términos de las variables conocidas. Durante el proceso de solución de una ecuación, cualquier cambio efectuado en uno de los lados del signo igual deberá llevarse a cabo en el otro miembro de la igualdad. Por ejemplo, considera la ecuación:

F P= A

Luego se dividen por P ambos de la igualdad:

AP F = P P Se obtiene:

A=

Se puede comprobar que las manipulaciones algebraicas efectuadas para resolver una ecuación son correctas, al sustituir la respuesta en la ecuación original, es decir:

de la cual se conocen la presión (P) y la fuerza (F) y se quiere conocer el área (A). Para despejar A se empieza por multiplicar A en ambos :

( A ) P = A (A)

F P

P=

F

F F PF = = =P A F F P

Como P = P, se concluye que las manipulaciones algebraicas fueron correctas.

Simplificando: AP = F

VII. Alfabeto griego

alfa

eta

nu

tau

beta

theta

xi

ípsilon

gamma

iota

ómicron

!

fi

"

delta

#

$

kappa

%

pi

&

'

ji

(

)

épsilon

*

+

lambda

,

-

rho

.

/

psi

0

1

zeta

2

mu

3

sigma

4

omega

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311

Apéndice C

APÉNDICE C Constantes físicas Constante física

Símbolo

Valor

Rapidez de la luz en el vacío

c

2.99792458 108 m/s

Constante de gravitación universal

G

6.67259 10-11 N • m2/kg2

Aceleración de la gravedad

g

9.807 m/s2

Carga del electrón

e

1.6022 10–19 C

Masa en reposo del electrón

me

9.109 10–31 kg

Masa en reposo del protón

mp

1.6726 10–27 kg

Masa en reposo del neutrón

mn

1.6749 10–27 kg

Equivalente mecánico del calor

4.186 J/cal

Número de Avogadro

NA

6.022141 1023 mol–1

Constante de Planck

h

6.626068 10–34 J • s

APÉNDICE D Datos astronómicos Masa de la Tierra = 5.98 1024 kg Masa de la Luna = 7.36 1022 kg Masa del Sol = 1.99 1030 kg Radio medio de la Tierra = 6.37 106 m Radio medio de la Luna = 1.74 106 m Radio medio del Sol = 6.96 108 m

Velocidad de escape de la Tierra = 11.2 km/s Periodo de rotación de la Tierra = 23 h 56 min Distancia de la Tierra a la Luna = 3.82 108 m Distancia de la Tierra al centro de nuestra galaxia = 2.2 1020 m

Algunas características de los planetas. Planeta Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón

Distancia promedio

Masa

g en el ecuador

al Sol (km)

(kg)

(m/s )

5.8 10 1.08 10 1.50 10 2.28 10 7.80 10 1.43 10 2.88 10 4.52 10 5.91 10

3.24 10 4.86 10 5.98 10 6.40 10 1.89 10 5.67 10 8.67 10 1.02 10 6.6 10

10

11

11

11

11

12

12

12

12

2

23

24

24

23

27

26

25

26

23

3.95 8.72 9.78 3.84 23.16 8.77 9.46 13.66 5.23

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312 Física I

APÉNDICE E Factores de conversión 3 Ángulo plano 1 radián = 57.29° 1 revolución = 360°

3 Presión 1 atmósfera = 1.013 10 Pa = 760 mm Hg 1 tor = 1 mm de Hg 1 bar = 10 N / m 5

5

3 Longitud 1 m = 100 cm 1 pulgada = 2.54 cm 1 pie = 30.48 cm 1 angstrom = 10–10 m 1 parsec = 3.084 1013 km 1 m = 3.281 pie 1 milla = 1609 m 1 año luz = 9461 1015 m 3 Masa 1 kg = 1000 g 1 slug = 14.59 kg 1 uma = 1.661 10–27 kg 1000 kg = 1 t (tonelada)

2

3 Energía 1 J = 0.738 pie . lb 1 erg = 10 J 1 caloría = 4.186 J 1 eV = 1.6 10 J 1 Btu = 252 cal –7

–19

3 Potencia 1 hp = 746 W 1 cv = 736 W 1 Btu / h = 0.293 W 3 Área 1 m = 10 000 cm 1 pie = 0.0929 m 1 pulg = 6.452 cm 2

2

2

3 Tiempo 1 día = 24 horas 1 h = 3600 s 1 min = 60 s

2

2

2

3 Volumen 1 m = 10 cm 1 L = 1 000 cm 1 gal = 3.786 L 3

6

3

3

3 Fuerza 1 dina = 105 N 1 kgf* = 9.807 N 1 kgf = 2.2 1 N = 0.2248 lb 1 lb = 4.448 N

* Un kilogramo-fuerza de atracción que esperimenta un kilogramo en París.

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Soluciones a los problemas Capítulo 2

8.

1

Medidas (g)

a) 10 000 mm b) 0.20 m c) 6 10-6 m d) 10 Gm e) 400 m f ) 1800 s g) 7200 s h) 8.33 m/s i ) 36 km/h j) 4 1018 m 2

7 104 Ekg

3

300 000 km/s

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

1.2 1013 1.5 107 6.0 106 5 10-6 5.33 1010 9 103 7 102 7 103 3.05 103

5

6

6 103 km

7

1.4 cm3

3

2.0

6

2.1

3

2.2

1

2.3

2

2.4

2

a) 0.5 m b) 2 10-3 10

12.5 cm 32.7 m 16 10 m2 12 102 m2 17 102

1.9

9

4 a) b) c) d) e)

Frecuencia

a) (92.4 5 0.2) cm b) 2.16 10-3 c) 0.216 %

11 a) 0.453 s b) 0.017 s 12 a) 114.4 V b) 1.6 V c) (114.4 5 1.6) V 13 f 7 6 5 4 3 2 1

(g) 1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

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314 Física I

14. d(m) 14 12 10 8 6 4 2

7

1.11 m/s2

8

2.5 m/s2

9

0.138 s

10 a) 10 m/s, 4 m/s b) 22.72 s t(s) 1

2

3

Capítulo 3

4

5

11 8.70 m/s 12 0 km/h 13 30 km/h 14

1 a) 12 m b) 20.59 c) 19.31 2

a) b) c) d)

0m De 4s a 8s 20 m 30 m

a) b) c) d)

1000 m 1.66 m/s Intervalo D Intervalo B

a) b) c) d)

1000 m 1700 m 1.41 m/s 1.66 m/s

15 a) b) c) d)

100 km 13.12 m 49.27 m 1.41

3

15.32 m, 12.85

4

10, 8.66

5

-86.6 N, 50 N

16

Capítulo 4

17 6 m/s2

1

18 2 m/s2 a) 30 km b) 30 km

2

80 km

19 -10 000 km/h2 20 a) 3.33 s b) 27.26 m c) 6.66 s

3 a) 10 km b) 14 km 4

500 km/h

5

4.5 s

21 a) 2000 m b) 200 m/s 22 4 10-3 s

6 a) b) c) d)

500 m 0.694 m/s 0m 0 m/s

23 a) 15 m/s b) 0 m/s2

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Soluciones a los problemas

24 78.4 m

37 a) 7.34 m b) 12 m/s

25 a) 4.9 m b) 9.8 m/s 26

38 120m 39

a) 28 m/s b) 2.85 s 27

a) 600 m b) 26.66 s 40

a) 0.5 m/s b) 400 m

a) 7.42 m b) 2.47 s

a) Auto A b) auto A

Capítulo 5

28

29 a) 4.9 m b) 44.1 m c) 39.2 m 30 a) 1.225 m b) 4.9 m/s c) 1.27 s 31

1

4.51 s

2

0.90 m

3

78.4 m

4

6.65 m/s

5

35.34 m

6 a) 45.17 s b) 2000.09 m/s

a) 45.91 m b) 2.16 s

7

a) 5.10 m b) 1.02 s

8

32

a) 24 m, 19.6 m b) 30.62 m

9 a) 5.65 m, 4.872 m b) 14.14 m/s

33 a) 1.4 m/s b) 0.142 s

10 a) 28.86 s b) 2040.71 m, 1020.41 m

34 a) 14 m/s b) 31.3 m/s

106.06 m/s, 106.06 m/s

11 6.26 m/s

35 8.60 m 12

36 a) 2040.8 m b) 40.88 s

a) 39.05 m/s b) 39.05 m/s

315

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316 Física I

13

34 5.49 rad/s a) 0.35 s b) 0.35 m c) 0.15 m

35 3 m/s2 36 10 m/s 37 0.15 rad

14 a) 22.3 m/s b) 50 m c) 2.93 s, 3.49 s 15 0.5 Hz 16 0.0167 s 17 628.32 rad 18 a) 1.05 rad b) 0.167 rev 19 12.73 rev 20 2.09 rad /s

38 318 rpm 39 0.503 m/s2 40. 6.28 m/s

Capítulo 6 1

8400 N

2

3125 m/s2

3

4000 kg

4

3 m/s2

5 a) b) c) d) e) f) g) h) i)

21 1.57 m/s 22 1.57 rad/s 23 1.99x10-7 rad/s 24 1.75x10-3 rad/s 25 14.32 rpm 26 a) 0.314 rad/s b) 1.257 m/s 27 a) 0.157 m/s b) 0.314 m/s 28 18 m/s2

0.5 m/s2 1.0 m/s2 1.5 m/s2 0.433 m/s2 0.354 m/s2 0.087 m/s2 0 m/s2 0.5 m/s2 0.354 m/s2

6

5 m/s2

7

4 m/s

8

1660 N

9

2100 N Este

10 -9002.05 N 11 588 N

29 a) 15.7 m/s b) 123.37 m/s2 c) 1.25 Hz 30 4.89 m/s

12 3.6 m/s2 13 144.06 N 14 2378.57 N

31 100 rad/s

15 2050 N

32 3.84 rad/s2

16 0.166

33 5.03 rad/s

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Soluciones a los problemas

35 3.26 m/s2

17 a) b) c) d) e)

98 N 84.87 N 69.29 N 73 N 123 N

36 3.26 m/s2, 65.33 N 37 a) 3.92 m/s2, b) 23.52 N

18 0.5 38 a) 1.25 m/s2 b) 62.5 N

19 a) 500 N b) 0.4 20 196 N

39 a) 2.8 m/s2 b) 25.2 N

21 172.8 N 22 4.25 m

40 a) 6.29 m/s2 b) 2.536 m/s2

23 0.35 24 a) 0.58 b) 0.47 25 12 N 26 a) 1.5x1017 m/s2 b) 13.65x10-14 N 27 1.8 N

Capítulo 7 1

1200 J

2

250 000 J

3

20 000 J

4

240 J

5 a) b) c) d) e)

28 21.6 N 29 123.45 km/h 30 0.53

1409.5 J 1299.04 J 750 J 388.23 J 0J

31 390 N 6

32

a) 200 J b) 0 J

a) 1.96 m/s2 b) 47.04 N 7

33

a) 320 J b) -120 J c) 200 J

a) 5.88 N b) 94.12 N c) 156.86 m/s2 34 a) 8.97 m/s2 b) Se mueve hacia abajo

8

-32 000 J

9

-1.47 J

10 29.4 J

317

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318 Física I

11 150 W

33 3016.61 J

12 392 W

34 -823.2 J

13 120 W, 60 W

35 0.02 J

14 8952 W

36 0.346 m

15 66666.66 W

37 a) 98 J b) 98 J c) 14 m/s

16 2.28 m/s = 8.22 km/h 17 a) 2.5 kW b) 3.35 hp 18 0.612 m/s

38 77.318 J 39 a) b) c) d)

19 120 J 20 4 m/s 21 a) 0.576 J b) 578703.7 J c) 2314814.82 J

480 J 240 J 240 J 480 J

40 670.36 J 41 11.58 m/s 42 1.84 m

22 208 466.64 J

43 10.84 m/s

23 -555277.8 J

44 a) 2646 J b) 14 m/s

24 100 J 25 -2.5 N

45 a) 14 m/s , 14 m/s b) 41.57N c) 480 J

26 -4938.27 N 27 -16 000 N 46

28 a) b) c) d)

4500 J 3500 J 3500 J 8.36 m/s

29 41.99 m 30 17.64 J

a) 42.86 N b) 25 N c) 200 N 47 24.5 N 48 2.63 N 49 333.33 N 50 125 N

31 a) 2.352 J b) 7.644 J c) 5.292 J 32 a) 7840 J b) -7840 J c) 7840 J

51 0.375 52 0.166 53 a) 66.6% b) 9 104 J

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Bibliografía

Bibliografía

3 Bueche, Frederick y Jerde, David, Fundamentos de física, t. I, McGraw-Hill, México, 1996. 3 Cutnell, John y Johnson, Kenneth, Física, Limusa-Noriega Editores, México, 1998. 3 Gutiérrez, Carlos, Introducción a la metodología experimental, Limusa-Noriega Editores, México, 1999. 3 Gutiérrez, Carlos, Mecánica y calor, Limusa-Conalep, México, 1998. 3 Halliday, David, et al., Fundamentos de física I, Compañía Editorial Continental, México, 2001. 3 Maiztegui, A. y Sabato, J., Introducción a la física I, Kapelusz, Argentina, 1988. 3 Máximo, A. y Alvarenga, B., Física general con experimentos, Oxford University Press, México, 1997. 3 Noreña, Francisco, Física de emergencia, Pangea, México, 1995. 3 Tippens, Paul, Física, conceptos y aplicaciones, McGraw-Hill, México, 2001. 3 Tippler, Paul, Física para la ciencia y la tecnología, vol. 1, Editorial Reverté, España, 1999.

319

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