Funciones Exponenciales 48282q
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FUNCIONES EXPONENCIALES Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos. 1) f(x) = 2x 8 6 4 2 0 -4
x
( )
1 2) f ( x ) = = 2 −1 2
x
-2
0
2
4
0
2
4
= 2−x 8 6 4 2 0 -4
-2
Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1). Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. El eje de x es la asíntota horizontal. Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x. Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. La función f es una función uno a uno.
Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales: 1) Leyes de los exponentes:
a )(a x )(a y ) = a x + y b)
ax = a x− y y a
( )
c) a x
y
= a xy
d )(ab) x = a x b x x
ax a e) = x b b 2) ax = ay si y sólo si x = y 3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.
Ejemplo para discusión: siguientes ecuaciones: 1) 2) 3) 4)
Usa las propiedades para hallar el valor de x en las
2x = 8 10x = 100 4x-3 = 8 5 2 - x = 125
Ejercicio de práctica: Halla el valor de x: 1) 2x = 64 2) 27 x + 1 = 9
La función exponencial de base e Al igual que π, e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Definición: Para un número real x, exponencial de base e.
la ecuación f(x) = ex
define a la función
Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex. La gráfica de f(x) = ex es:
25 20 15 10 5 0 -4
-2
0
2
4
El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos. La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:
30 25 20 15 10 5 0 -4
-2
0
2
4
En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b. Ejemplos: Simplifica.
( )
1) e 2 x 2)
4x
=
e 3x = e 3 x −8
Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1 Práctica: 1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x – 5) 2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x
La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es:
25 20 15 10 5 0 -4
-2
0
2
4
F. RACIONAL Definición: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:
f ( x) =
P( x) Q( x )
se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.
Ejemplos:
f ( x) =
1 x−3 , g( x) = , h ( x ) = 3x 2 − 1 x x +1
El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero. Ejemplo para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?
1) f ( x ) =
1 x
2 x +1 2x − 3 3)h( x ) = 2 x −4 1 4) f ( x ) = 2x − 1
2) g ( x ) =
Teorema: Sea f una función racional definida de la forma:
f ( x) =
P( x) Q( x )
donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x).
Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones:
1) f ( x ) =
1 x
2 x +1 2x − 3 3)h( x ) = 2 x −4 1 4) f ( x ) = 2x − 1
2) g ( x ) =
Teorema: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,
a m x m +...+ a1 x + a 0 f ( x) = bn x n +...+b1 x + b0 entonces: 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Ejemplos para discusión: siguientes funciones:
1) f ( x ) =
Halla las asíntotas horizontales para cada una de las
1 x
2 x +1 2x − 3 3)h( x ) = 3x + 1 3x 3 4) f ( x ) = 2 x +1
2) g ( x ) =
Gráfica de funciones racionales Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales.
Ejemplos para discusión: Dibuja la gráfica de:
1) f ( x) =
1 x
1 x +1 2x 3)h( x) = x −3 3 4) f ( x ) = 2 x −1 3x + 6 5) g ( x) = x −1 2) g ( x ) =
Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las siguientes funciones. Dibuja la gráfica.
3x x+2 1 2) f ( x ) = 2 x
1) f ( x ) =
Teorema: Si f es una función definida de la forma:
f ( x) =
P( x) Q( x )
donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:
f ( x ) = mx + b +
r ( x) Q( x )
donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f. Ejemplo para discusión: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:
f ( x) = Dibuja la gráfica.
x 2 − 3x − 4 x−2
Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:
Dibuja la gráfica.
x2 + 5 f ( x) = x +1
Funciones Exponenciales Las funciones exponenciales son aquellas, que tienen una base constante y un exponente variable, la base más común es "e" (e=2.7182), pero cualquier base es válida, siempre y cuando sea positiva y diferente de 1. Esto significa, que también son permisibles las bases fraccionarias mayores a cero y menores que 1. Las funciones exponenciales se pueden graficar a partir de la gráfica de la función exponencial básica, haciendo posteriormente las transformaciones adecuadas. La más común de las funciones exponenciales es la de base "e". Si se analizan los valores de la función para los distintos valores de "x", se llega a la conclusión, que la función nunca es negativa, por lo tanto no tiene intersección con el eje "x". Otra característica importante (misma que se comprobará calculando límites) es que tiene una asíntota horizontal unilateral (sólo para valores muy negativos de "x") en y = 0; y que para valores grandes de "x" va a crecer indefinidamente. La intersección con el eje "y" es cuando x=0, y y=1 Se pueden tener funciones exponenciales con cualquier base.También en estos casos se hacen las transformaciones después de tener una función base. Si la base es mayor a 1, lo que cambia es la forma de la gráfica, no cambia el valor de la intersección con el eje"y", ni el hecho de que sea positivo siempre el valor de la función. ; cuya base es menor que "e", crece más lentamente que la gráfica de base "e". (gráfica roja) ; cuya base es mayor que "e", crece más rápidamente que la gráfica de base "e". (gráfica azul) ¡Compárelas! A partir de esta función básica, se pueden hacer transformaciones, algunas de las cuales se estudiarán aquí (no todas las posibilidades, esto se deja al estudiante). Una de las transformaciones interesantes de las funciones son los desplazamientos a la izquierda o hacia la derecha de una función. Estos desplazamientos se obtienen, cuando es modificado el valor de "x". En el ejemplo presente,cuando x = -1, se tendrá el mismo valor de la función que cuando x era igual a cero en la gráfica anterior. Por lo tanto, se recorre la gráfica hacia la izquierda una unidad. Esto implica que no hay intersección con el eje "x", ya que sólo se recorrió hacia la izquierda, lo cual no hace que los valores de "y" sean negativos.
Otra de las transformaciones es la traslación hacia arriba o hacia abajo de la gráfica de la función. Si a partir de la gráfica básica, hay un desplazamiento hacia abajo, evidentemente si va a haber intersección con el eje "x".Esta función sufrió una traslación hacia abajo en dos unidades, que se nota debido a la resta de dos unidades, a la función original. OJO: No es lo mismo restar 2 unidades a la función original (lo que provoca el recorrimiento hacia abajo), que una transformación del valor de x, elevando "e" a la "x+1" (que recorre la gráfica hacia la izquierda). Si analizamos esta gráfica con respecto a la gráfica básica, no damos cuenta, que es la imagen, reflejada en el eje "y". El exponente negativo, nos dice que lo que antes era el valor de "y" en las "x" positivas, ahora estará en las "x" negativas correspondientes y viceversa. Siendo una reflexión con respecto al eje "y", nos damos cuenta, que tampoco tiene intersección con el eje "x", y la intersección con el eje "y" es en y = 1. El secreto de esta gráfica radica en un hecho algebraico o de exponentes, ya que:
Todas las funciones exponenciales con base fraccionaria entre 0 y 1, son reflexión de las funciones correspondientes con la base inversa.
En este espacio hemos graficado exclusivamente funciones exponenciales con base "e", si se quisieran graficar funciones exponenciales con otra base, sólo hay que tener en cuenta la función básica en la otra base. Tratemos de graficar la función:
¿Gráfica? En primer lugar, la función exponencial está multiplicada por -1, por lo tanto, hay que hacer una reflexión de la gráfica hacia abajo; posteriormente hay que trasladar la gráfica 3 unidades hacia arriba. Analicemos la siguiente función:
¿Gráfica? En esta gráfica además de hacer una reflexión hacia abajo (todos los valores son negativos), se multiplica por 2, esto provoca una forma diferente de la gráfica. La intersección con el eje "y" es en y = -2; cuando "x" adopta valores muy negativos, el valor de la función tiende a "0", nadamás que en este caso se tiene que acercar por abajo a ese
valor, ya que viene de valores siempre negativos. Y por último la función:
Esta función modifica el valor de x, por lo tanto también su apariencia ¿Gráfica? es diferente. Si x = 0, el valor de la función es 2 (1 de la parte exponencial + 1), de ahí en fuera crece más rápido para valores positivos en "x", y decrece más rápido para valores negativos de "x". Otro detalle es, que la función tiene como valor mínimo el 1 (asíntota horizontal en y = 1).
MAS GRAFICAS Gráfico Exponencial, Polinominal y Cuadrático Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1 F(x)= 2^x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
Comparación entre F(x)= 2^x y F(x)= -2^x
Características de F(x)= -2^x
•
Dom: R
•
Rec: R-
•
F(x):decreciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia abajo
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,-1)
F(x) = 3^ x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
Comparacion entre F(x)= 2^x y F(x) = 3^x
Grafico de la función exponencial y= a^x, con 0 < a < 1 F(x)=( ½) ^x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
F(x) = (!) ^x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
Comparación entre F(x)=( ½) ^x y F(x) = (!) ^x
Grafico de la función F(x)= a^1, con a= 1
•
Dom : R
•
Rec : [ 1 ]
•
F(x) constante
•
Recta
•
Asintótica al eje X
•
El punto de intersección con el eje Y es el punto (0,1)
Conclusiones: Si a > 1:
•
La curva asociada a esta función exponencial intersecta al eje y en el punto (0,1)
•
La función es creciente para todo valor de X
•
Mientras a es mayor, mas se aproxima al eje Y
•
La curva es asintótica al eje X (se acerca indefinidamente a el sin llegar a tocarlo)
Si a < 0 :
•
La curva asociada a esta función intersecta al eje Y en el punto (0, -1)
•
La función es decreciente para todo valor de X
•
Al igual que en el caso anterior la curva es asíntota al eje X
•
La curva se presenta como un reflejo de su inverso aditivo
Si 0 < a < 1:
•
La curva asociada a esta función exponencial intersecta al eje Y en el punto (0,1)
•
La función es decreciente para todo valor real de X
•
Mientras “a” se acerca mas a 1, la curva se hace mas recta alejándose del eje Y.
•
La curva es asintótica al eje X
Si a = 1
•
Se observa que para todo valor real de x se tiene y= 1, de lo cual resulta una recta paralela al eje X, es decir, se trata de una función constante.
Casos particulares de Funciones Exponenciales Entre las funciones exponenciales merecen especial atención aquellas que tienen como base los números e y 10 F(x)= e ^ x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
F(x)= 10^ x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
Conclusiones: Ambas curvas presentan las mismas características de una función exponencial con a > 1. Gráficos de las Funciones Potenciales F(x)= x ²
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x) creciente en su recorrido (parábola)
•
Cóncava hacia arriba
•
Intersecta el eje X e Y en el punto (0,0)
•
La funcion y = x ², es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x
F(x) = x ³
•
Dom: R
•
Rec: R
•
F(x) creciente para toda medida angular a su dominio
•
Intersecta el eje X e Y en el punto (0,0)
•
La función y = x ³, impar, pues (-x) = - y, por lo tanto es simétrica respecto del origen
F(x)= x^4
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x) creciente en su recorrido en los intervalos [ -½, "[, [ ½, "[
•
Intersecta el eje X e Y en los puntos (0,0), (-½, 0), (½, 0)
•
La funcion y = x ², es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x
F(x) = x ² + 1
•
Dom: R
•
Rec: R+ salvo el intervalo entre el 0 y el 1
•
F(x) creciente en su recorrido (parábola)
•
Cóncava hacia arriba
•
Intersecta el eje Y en el punto (0,1)
•
La funcion y = x ² + 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x
F(x)= x ² - 1
•
Dom: R
•
Rec: R+ [ 0,-1]
•
F(x) creciente en su recorrido (parábola)
•
Cóncava hacia arriba
•
Intersecta el eje X en los puntos ( -1, 0) y (1,0) y al eje Y en el punto (0,-1)
•
La funcion y = x ² - 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x
F(x) = x ² + 2x+1
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x) creciente en su recorrido (parábola)
•
Cóncava hacia arriba
•
Intersecta el eje X en el punto ( -1, 0) y al eje Y en el punto (0,1)
•
La funcion y = x ² - 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x
Conclusiones
•
Para toda función cuadrática el dominio serán R
•
El recorrido puede variar dependiendo si el existe una suma o resta, de esta manera : o Si sumamos 1 la curva se desplaza 1 lugar de hacia arriba de su posición original volviéndose asintótica o Si restamos 1 se desplaza 1 lugar hacia debajo de su posición original intersectando al eje X en dos puntos
•
En el caso de encontrarnos con una ecuación cuadrática la curva se corre un lugar hacia la izquierda de su posición original (F(x) = x ² + 2x+1)
Grafico de la Función Logarítmica Grafica de la función logarítmica y = b log x , con b> 1 F(x)= x log2
•
Dom : R+
•
Rec: R
•
F(x) creciente en se dominio
•
Asintótica al eje Y
•
Cóncava hacia abajo
•
El punto de intersección con el eje X es el punto (1, 0)
F(x)= x log 3
•
Dom : R+
•
Rec: R
•
F(x) creciente en se dominio
•
Asintótica al eje Y
•
Cóncava hacia abajo
•
El punto de intersección con el eje X es el punto (1, 0)
Grafica de la función logarítmica y = b log x , con 0 < b < 1 F(x)= x log !
•
Dom : R+
•
Rec: R
•
F(x) creciente en se dominio
•
Asintótica al eje Y
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección con el eje X es el punto (1, 0)
F(x) = x log !
•
Dom : R+
•
Rec: R
•
F(x) creciente en se dominio
•
Asintótica al eje Y
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección con el eje X es el punto (1, 0)
Conclusiones: Si b > 1:
•
La curva asociada a la funcion logarítmica intersecta al eje X en el punto (1,0)
•
La función es creciente para todo valor de x
•
La curva es asintótica al eje Y
Si 0 < b < 1
•
La curva asociada a la funcion logarítmica intersecta al eje x en el punto (1,0)
•
La función es decreciente para todo valor real de x
•
La curva es asintótica al eje Y
En síntesis: Las características de las funciones logarítmicas y = x log b, con b perteneciente a los reales positivos incluido el -1, son:
•
El dominio es el conjunto de los números reales positivos
•
El recorrido es el conjunto de los números reales
•
La curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje X en el punto (1,0)
•
Si b> 1, entonces la función es creciente
•
Si 0<1, entonces la función es decreciente
Gráficos de Funciones trigonométricas. F(x) = Sen
•
Dom: R
•
Rec : [ -1, 1]
•
La función seno toma entre -1 y 1, por lo tanto esta definida por todos los Números Reales entre estos dos números.
•
El comportamiento de la curva esta representada en el siguiente cuadro
Cuadrante
Comportamiento de y= sen x
Valores que toma y = sen x
I
Creciente positiva
0< sen x < 1
II
Decreciente positiva
1> sen x > 0
III
Creciente negativa
0 > sen x > -1
IV
Decreciente negativa
-1< sen x < 0
•
Es una función impar, pues (-x) = - sen x, ðð x "Dom (funcion seno), por lo tanto es simétrica respecto del origen
•
Es periódica de periodo t = 2 ð
•
Es creciente en los intervalos como ] -2 ð, - 3ð / 2[ ; ] - ð / 2, ð / 2[ , ...
•
Es decreciente en los intervalos como ] 3ð / 2 , ð / 2[; ] ð / 2 , 3 ð / 2 [, ...
•
No es inyectiva: ð x ð x tal que sen x = sen x
•
No es Sobreyectiva Rec( función seno) = [ -1, 1]
•
Por lo tanto no es biyectiva y no tiene función inversa
•
Alcanza un valor : o Máximo y = 1 o Minimo y = -1
F(x) = cos
•
Dom : R
•
Rec : [ -1, 1]
•
Es una función par, pues cos (x)= cos (- x), por lo tanto, es simétrica respecto del eje Y
•
Es periódica, de periodo t = 2ð
•
Es creciente en intervalos como ] ð, 0 [ , ] ð, 2ð [, ....
•
Es decreciente en intervalos como ] -2 ,- ð [, ] 0, ð [, ....
•
Es continua en R
•
No es inyectiva : ð x ð x tal que cos x = cos x
•
No es Sobreyectiva Rec( función coseno) = [ -1, 1]
•
Por lo tanto no es biyectiva y no tiene función inversa
•
Alcanza un valor : o Máximo y = 1 o Minimo y = -1
- Su comportamiento se puede resumir en el siguiente cuadro: Cuadrante
Comportamiento de y= cos x
Valores que toma y = cos x
I
Decreciente positiva
1> sen x > 0
II
Decreciente negativa
0 > sen x > -1
III
Creciente negativa
-1< sen x < 0
IV
Creciente positiva
0< sen x < 1
F(x) = Tan
•
Dom : R - {ð / 2 ± k ð} ; k"N
•
Rec: R
•
Es una funcion impar, pues (-x) = - tan x, ðð x "Dom (funcion tangente), por lo tanto es simétrica respecto del origen
•
Es periódica, de periodo = ð
•
Es creciente para toda medida angular a su dominio
•
Es continua en Dominio( función tangente).
•
No es inyectiva : ð x ð x tal que tan x = tan x
•
No es Sobreyectiva Rec( función tangente) = [ -1, 1]
•
Por lo tanto no es biyectiva y no tiene función inversa
•
No es una función acotada, ya que puede tomar cualquier valor real
•
Es cero o nula para medidas angulares múltiplos de ð, tales como: o -2ð, -ð, 0, ð, 2ð,... es decir: tan (kð) = 0 ; ðð k " Z
F(x) = cosec x
F (x) = cot x
•
Dom : R - {ð / 2 ± k ð} ; k"N
•
Rec: R
•
Es una funcion impar, pues (-x) = - tan x, ðð x "Dom (funcion tangente), por lo tanto es simétrica respecto del origen
•
Es periódica, de periodo = ð
•
Es decreciente para toda medida angular a su dominio
•
Es continua en Dominio( función tangente).
•
No es inyectiva : ð x ð x tal que tan x = tan x
•
No es Sobreyectiva Rec( función tangente) = [ -1, 1]
•
Por lo tanto no es biyectiva y no tiene función inversa
•
No es una función acotada, ya que puede tomar cualquier valor real
•
Es cero o nula para medidas angulares múltiplos de ð, tales como: o -2ð, -ð, 0, ð, 2ð,... es decir: tan (kð) = 0 ; ðð k " Z
F(x) = sec
F(x) = 2 sen x
•
Dom: R
•
Rec : [ -2, 2]
•
La función seno toma entre -2 y 2, por lo tanto esta definida por todos los Números Reales entre estos dos números.
•
El comportamiento de la curva esta representada en el siguiente cuadro
Cuadrante
Comportamiento de y= sen x
Valores que toma y = sen x
I
Creciente positiva
0< sen x < 2
II
Decreciente positiva
2> sen x > 0
III
Creciente negativa
0 > sen x > -2
IV
Decreciente negativa
-2< sen x < 0
•
Es una función impar, pues (-x) = - sen x, ðð x "Dom (funcion seno), por lo tanto es simétrica respecto del origen
•
Es periódica
•
Es creciente en intervalos y decreciente por intervalos
•
No es inyectiva: ð x ð x tal que sen x = sen x
•
No es Sobreyectiva Rec( función seno) = [ -1, 1]
•
Por lo tanto no es biyectiva y no tiene función inversa
•
Alcanza un valor : o Máximo y = 2 o Minimo y = -2
F(x) = 2 sen ( x+ ð)
F(x) = 2 sen (2x + ð)
Conclusiones
•
El dominio de las funciones seno y coseno es todo R. Mientras tanto, en la definición de tangente y de secante aparece la abscisa x en el denominador, por lo tanto deben excluirse de su dominio todos los valores de q para los cuales x = 0; es decir hay que excluir los ángulos de medida, donde n es un número entero. El dominio de la tangente y la secante es entonces:
R- Están excluidos, por ejemplo, valores tales como: ð , -ð /2, 3ð /2, -3ð /2, 5ð /2, -5ð /2
(todos los "múltiplos impares" de ). Por otro lado, en la definición de cotangente y cosecante aparece la ordenada y en el denominador. De manera que el dominio de estas dos funciones excluye todos los valores de la forma p , con n entero. Quedan fuera, por ejemplo, los números: 0, ð , -ð , 2ð , -2ð (todos los "múltiplos de p "). Sistemas: x ² + y ² = 36 xy=6
Las ecuaciones de este sistema corresponden a una circunferencia y una hipérbola.
Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos. 1) f(x) = 2x 8 6 4 2 0 -4
x
( )
1 2) f ( x ) = = 2 −1 2
x
-2
0
2
4
0
2
4
= 2−x 8 6 4 2 0 -4
-2
Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1). Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. El eje de x es la asíntota horizontal. Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x. Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. La función f es una función uno a uno.
Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales: 1) Leyes de los exponentes:
a )(a x )(a y ) = a x + y b)
ax = a x− y y a
( )
c) a x
y
= a xy
d )(ab) x = a x b x x
ax a e) = x b b 2) ax = ay si y sólo si x = y 3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.
Ejemplo para discusión: siguientes ecuaciones: 1) 2) 3) 4)
Usa las propiedades para hallar el valor de x en las
2x = 8 10x = 100 4x-3 = 8 5 2 - x = 125
Ejercicio de práctica: Halla el valor de x: 1) 2x = 64 2) 27 x + 1 = 9
La función exponencial de base e Al igual que π, e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Definición: Para un número real x, exponencial de base e.
la ecuación f(x) = ex
define a la función
Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex. La gráfica de f(x) = ex es:
25 20 15 10 5 0 -4
-2
0
2
4
El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos. La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:
30 25 20 15 10 5 0 -4
-2
0
2
4
En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b. Ejemplos: Simplifica.
( )
1) e 2 x 2)
4x
=
e 3x = e 3 x −8
Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1 Práctica: 1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x – 5) 2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x
La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es:
25 20 15 10 5 0 -4
-2
0
2
4
F. RACIONAL Definición: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:
f ( x) =
P( x) Q( x )
se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.
Ejemplos:
f ( x) =
1 x−3 , g( x) = , h ( x ) = 3x 2 − 1 x x +1
El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero. Ejemplo para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?
1) f ( x ) =
1 x
2 x +1 2x − 3 3)h( x ) = 2 x −4 1 4) f ( x ) = 2x − 1
2) g ( x ) =
Teorema: Sea f una función racional definida de la forma:
f ( x) =
P( x) Q( x )
donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x).
Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones:
1) f ( x ) =
1 x
2 x +1 2x − 3 3)h( x ) = 2 x −4 1 4) f ( x ) = 2x − 1
2) g ( x ) =
Teorema: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,
a m x m +...+ a1 x + a 0 f ( x) = bn x n +...+b1 x + b0 entonces: 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Ejemplos para discusión: siguientes funciones:
1) f ( x ) =
Halla las asíntotas horizontales para cada una de las
1 x
2 x +1 2x − 3 3)h( x ) = 3x + 1 3x 3 4) f ( x ) = 2 x +1
2) g ( x ) =
Gráfica de funciones racionales Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales.
Ejemplos para discusión: Dibuja la gráfica de:
1) f ( x) =
1 x
1 x +1 2x 3)h( x) = x −3 3 4) f ( x ) = 2 x −1 3x + 6 5) g ( x) = x −1 2) g ( x ) =
Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las siguientes funciones. Dibuja la gráfica.
3x x+2 1 2) f ( x ) = 2 x
1) f ( x ) =
Teorema: Si f es una función definida de la forma:
f ( x) =
P( x) Q( x )
donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:
f ( x ) = mx + b +
r ( x) Q( x )
donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f. Ejemplo para discusión: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:
f ( x) = Dibuja la gráfica.
x 2 − 3x − 4 x−2
Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:
Dibuja la gráfica.
x2 + 5 f ( x) = x +1
Funciones Exponenciales Las funciones exponenciales son aquellas, que tienen una base constante y un exponente variable, la base más común es "e" (e=2.7182), pero cualquier base es válida, siempre y cuando sea positiva y diferente de 1. Esto significa, que también son permisibles las bases fraccionarias mayores a cero y menores que 1. Las funciones exponenciales se pueden graficar a partir de la gráfica de la función exponencial básica, haciendo posteriormente las transformaciones adecuadas. La más común de las funciones exponenciales es la de base "e". Si se analizan los valores de la función para los distintos valores de "x", se llega a la conclusión, que la función nunca es negativa, por lo tanto no tiene intersección con el eje "x". Otra característica importante (misma que se comprobará calculando límites) es que tiene una asíntota horizontal unilateral (sólo para valores muy negativos de "x") en y = 0; y que para valores grandes de "x" va a crecer indefinidamente. La intersección con el eje "y" es cuando x=0, y y=1 Se pueden tener funciones exponenciales con cualquier base.También en estos casos se hacen las transformaciones después de tener una función base. Si la base es mayor a 1, lo que cambia es la forma de la gráfica, no cambia el valor de la intersección con el eje"y", ni el hecho de que sea positivo siempre el valor de la función. ; cuya base es menor que "e", crece más lentamente que la gráfica de base "e". (gráfica roja) ; cuya base es mayor que "e", crece más rápidamente que la gráfica de base "e". (gráfica azul) ¡Compárelas! A partir de esta función básica, se pueden hacer transformaciones, algunas de las cuales se estudiarán aquí (no todas las posibilidades, esto se deja al estudiante). Una de las transformaciones interesantes de las funciones son los desplazamientos a la izquierda o hacia la derecha de una función. Estos desplazamientos se obtienen, cuando es modificado el valor de "x". En el ejemplo presente,cuando x = -1, se tendrá el mismo valor de la función que cuando x era igual a cero en la gráfica anterior. Por lo tanto, se recorre la gráfica hacia la izquierda una unidad. Esto implica que no hay intersección con el eje "x", ya que sólo se recorrió hacia la izquierda, lo cual no hace que los valores de "y" sean negativos.
Otra de las transformaciones es la traslación hacia arriba o hacia abajo de la gráfica de la función. Si a partir de la gráfica básica, hay un desplazamiento hacia abajo, evidentemente si va a haber intersección con el eje "x".Esta función sufrió una traslación hacia abajo en dos unidades, que se nota debido a la resta de dos unidades, a la función original. OJO: No es lo mismo restar 2 unidades a la función original (lo que provoca el recorrimiento hacia abajo), que una transformación del valor de x, elevando "e" a la "x+1" (que recorre la gráfica hacia la izquierda). Si analizamos esta gráfica con respecto a la gráfica básica, no damos cuenta, que es la imagen, reflejada en el eje "y". El exponente negativo, nos dice que lo que antes era el valor de "y" en las "x" positivas, ahora estará en las "x" negativas correspondientes y viceversa. Siendo una reflexión con respecto al eje "y", nos damos cuenta, que tampoco tiene intersección con el eje "x", y la intersección con el eje "y" es en y = 1. El secreto de esta gráfica radica en un hecho algebraico o de exponentes, ya que:
Todas las funciones exponenciales con base fraccionaria entre 0 y 1, son reflexión de las funciones correspondientes con la base inversa.
En este espacio hemos graficado exclusivamente funciones exponenciales con base "e", si se quisieran graficar funciones exponenciales con otra base, sólo hay que tener en cuenta la función básica en la otra base. Tratemos de graficar la función:
¿Gráfica? En primer lugar, la función exponencial está multiplicada por -1, por lo tanto, hay que hacer una reflexión de la gráfica hacia abajo; posteriormente hay que trasladar la gráfica 3 unidades hacia arriba. Analicemos la siguiente función:
¿Gráfica? En esta gráfica además de hacer una reflexión hacia abajo (todos los valores son negativos), se multiplica por 2, esto provoca una forma diferente de la gráfica. La intersección con el eje "y" es en y = -2; cuando "x" adopta valores muy negativos, el valor de la función tiende a "0", nadamás que en este caso se tiene que acercar por abajo a ese
valor, ya que viene de valores siempre negativos. Y por último la función:
Esta función modifica el valor de x, por lo tanto también su apariencia ¿Gráfica? es diferente. Si x = 0, el valor de la función es 2 (1 de la parte exponencial + 1), de ahí en fuera crece más rápido para valores positivos en "x", y decrece más rápido para valores negativos de "x". Otro detalle es, que la función tiene como valor mínimo el 1 (asíntota horizontal en y = 1).
MAS GRAFICAS Gráfico Exponencial, Polinominal y Cuadrático Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1 F(x)= 2^x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
Comparación entre F(x)= 2^x y F(x)= -2^x
Características de F(x)= -2^x
•
Dom: R
•
Rec: R-
•
F(x):decreciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia abajo
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,-1)
F(x) = 3^ x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
Comparacion entre F(x)= 2^x y F(x) = 3^x
Grafico de la función exponencial y= a^x, con 0 < a < 1 F(x)=( ½) ^x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
F(x) = (!) ^x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
Comparación entre F(x)=( ½) ^x y F(x) = (!) ^x
Grafico de la función F(x)= a^1, con a= 1
•
Dom : R
•
Rec : [ 1 ]
•
F(x) constante
•
Recta
•
Asintótica al eje X
•
El punto de intersección con el eje Y es el punto (0,1)
Conclusiones: Si a > 1:
•
La curva asociada a esta función exponencial intersecta al eje y en el punto (0,1)
•
La función es creciente para todo valor de X
•
Mientras a es mayor, mas se aproxima al eje Y
•
La curva es asintótica al eje X (se acerca indefinidamente a el sin llegar a tocarlo)
Si a < 0 :
•
La curva asociada a esta función intersecta al eje Y en el punto (0, -1)
•
La función es decreciente para todo valor de X
•
Al igual que en el caso anterior la curva es asíntota al eje X
•
La curva se presenta como un reflejo de su inverso aditivo
Si 0 < a < 1:
•
La curva asociada a esta función exponencial intersecta al eje Y en el punto (0,1)
•
La función es decreciente para todo valor real de X
•
Mientras “a” se acerca mas a 1, la curva se hace mas recta alejándose del eje Y.
•
La curva es asintótica al eje X
Si a = 1
•
Se observa que para todo valor real de x se tiene y= 1, de lo cual resulta una recta paralela al eje X, es decir, se trata de una función constante.
Casos particulares de Funciones Exponenciales Entre las funciones exponenciales merecen especial atención aquellas que tienen como base los números e y 10 F(x)= e ^ x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
F(x)= 10^ x
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
•
Asintótica al eje X
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
Conclusiones: Ambas curvas presentan las mismas características de una función exponencial con a > 1. Gráficos de las Funciones Potenciales F(x)= x ²
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x) creciente en su recorrido (parábola)
•
Cóncava hacia arriba
•
Intersecta el eje X e Y en el punto (0,0)
•
La funcion y = x ², es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x
F(x) = x ³
•
Dom: R
•
Rec: R
•
F(x) creciente para toda medida angular a su dominio
•
Intersecta el eje X e Y en el punto (0,0)
•
La función y = x ³, impar, pues (-x) = - y, por lo tanto es simétrica respecto del origen
F(x)= x^4
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x) creciente en su recorrido en los intervalos [ -½, "[, [ ½, "[
•
Intersecta el eje X e Y en los puntos (0,0), (-½, 0), (½, 0)
•
La funcion y = x ², es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x
F(x) = x ² + 1
•
Dom: R
•
Rec: R+ salvo el intervalo entre el 0 y el 1
•
F(x) creciente en su recorrido (parábola)
•
Cóncava hacia arriba
•
Intersecta el eje Y en el punto (0,1)
•
La funcion y = x ² + 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x
F(x)= x ² - 1
•
Dom: R
•
Rec: R+ [ 0,-1]
•
F(x) creciente en su recorrido (parábola)
•
Cóncava hacia arriba
•
Intersecta el eje X en los puntos ( -1, 0) y (1,0) y al eje Y en el punto (0,-1)
•
La funcion y = x ² - 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x
F(x) = x ² + 2x+1
•
Dom: R
•
Rec: R+
•
F(x) creciente en su recorrido (parábola)
•
Cóncava hacia arriba
•
Intersecta el eje X en el punto ( -1, 0) y al eje Y en el punto (0,1)
•
La funcion y = x ² - 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x
Conclusiones
•
Para toda función cuadrática el dominio serán R
•
El recorrido puede variar dependiendo si el existe una suma o resta, de esta manera : o Si sumamos 1 la curva se desplaza 1 lugar de hacia arriba de su posición original volviéndose asintótica o Si restamos 1 se desplaza 1 lugar hacia debajo de su posición original intersectando al eje X en dos puntos
•
En el caso de encontrarnos con una ecuación cuadrática la curva se corre un lugar hacia la izquierda de su posición original (F(x) = x ² + 2x+1)
Grafico de la Función Logarítmica Grafica de la función logarítmica y = b log x , con b> 1 F(x)= x log2
•
Dom : R+
•
Rec: R
•
F(x) creciente en se dominio
•
Asintótica al eje Y
•
Cóncava hacia abajo
•
El punto de intersección con el eje X es el punto (1, 0)
F(x)= x log 3
•
Dom : R+
•
Rec: R
•
F(x) creciente en se dominio
•
Asintótica al eje Y
•
Cóncava hacia abajo
•
El punto de intersección con el eje X es el punto (1, 0)
Grafica de la función logarítmica y = b log x , con 0 < b < 1 F(x)= x log !
•
Dom : R+
•
Rec: R
•
F(x) creciente en se dominio
•
Asintótica al eje Y
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección con el eje X es el punto (1, 0)
F(x) = x log !
•
Dom : R+
•
Rec: R
•
F(x) creciente en se dominio
•
Asintótica al eje Y
•
Cóncava hacia arriba
•
El punto de intersección con el eje X es el punto (1, 0)
Conclusiones: Si b > 1:
•
La curva asociada a la funcion logarítmica intersecta al eje X en el punto (1,0)
•
La función es creciente para todo valor de x
•
La curva es asintótica al eje Y
Si 0 < b < 1
•
La curva asociada a la funcion logarítmica intersecta al eje x en el punto (1,0)
•
La función es decreciente para todo valor real de x
•
La curva es asintótica al eje Y
En síntesis: Las características de las funciones logarítmicas y = x log b, con b perteneciente a los reales positivos incluido el -1, son:
•
El dominio es el conjunto de los números reales positivos
•
El recorrido es el conjunto de los números reales
•
La curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje X en el punto (1,0)
•
Si b> 1, entonces la función es creciente
•
Si 0<1, entonces la función es decreciente
Gráficos de Funciones trigonométricas. F(x) = Sen
•
Dom: R
•
Rec : [ -1, 1]
•
La función seno toma entre -1 y 1, por lo tanto esta definida por todos los Números Reales entre estos dos números.
•
El comportamiento de la curva esta representada en el siguiente cuadro
Cuadrante
Comportamiento de y= sen x
Valores que toma y = sen x
I
Creciente positiva
0< sen x < 1
II
Decreciente positiva
1> sen x > 0
III
Creciente negativa
0 > sen x > -1
IV
Decreciente negativa
-1< sen x < 0
•
Es una función impar, pues (-x) = - sen x, ðð x "Dom (funcion seno), por lo tanto es simétrica respecto del origen
•
Es periódica de periodo t = 2 ð
•
Es creciente en los intervalos como ] -2 ð, - 3ð / 2[ ; ] - ð / 2, ð / 2[ , ...
•
Es decreciente en los intervalos como ] 3ð / 2 , ð / 2[; ] ð / 2 , 3 ð / 2 [, ...
•
No es inyectiva: ð x ð x tal que sen x = sen x
•
No es Sobreyectiva Rec( función seno) = [ -1, 1]
•
Por lo tanto no es biyectiva y no tiene función inversa
•
Alcanza un valor : o Máximo y = 1 o Minimo y = -1
F(x) = cos
•
Dom : R
•
Rec : [ -1, 1]
•
Es una función par, pues cos (x)= cos (- x), por lo tanto, es simétrica respecto del eje Y
•
Es periódica, de periodo t = 2ð
•
Es creciente en intervalos como ] ð, 0 [ , ] ð, 2ð [, ....
•
Es decreciente en intervalos como ] -2 ,- ð [, ] 0, ð [, ....
•
Es continua en R
•
No es inyectiva : ð x ð x tal que cos x = cos x
•
No es Sobreyectiva Rec( función coseno) = [ -1, 1]
•
Por lo tanto no es biyectiva y no tiene función inversa
•
Alcanza un valor : o Máximo y = 1 o Minimo y = -1
- Su comportamiento se puede resumir en el siguiente cuadro: Cuadrante
Comportamiento de y= cos x
Valores que toma y = cos x
I
Decreciente positiva
1> sen x > 0
II
Decreciente negativa
0 > sen x > -1
III
Creciente negativa
-1< sen x < 0
IV
Creciente positiva
0< sen x < 1
F(x) = Tan
•
Dom : R - {ð / 2 ± k ð} ; k"N
•
Rec: R
•
Es una funcion impar, pues (-x) = - tan x, ðð x "Dom (funcion tangente), por lo tanto es simétrica respecto del origen
•
Es periódica, de periodo = ð
•
Es creciente para toda medida angular a su dominio
•
Es continua en Dominio( función tangente).
•
No es inyectiva : ð x ð x tal que tan x = tan x
•
No es Sobreyectiva Rec( función tangente) = [ -1, 1]
•
Por lo tanto no es biyectiva y no tiene función inversa
•
No es una función acotada, ya que puede tomar cualquier valor real
•
Es cero o nula para medidas angulares múltiplos de ð, tales como: o -2ð, -ð, 0, ð, 2ð,... es decir: tan (kð) = 0 ; ðð k " Z
F(x) = cosec x
F (x) = cot x
•
Dom : R - {ð / 2 ± k ð} ; k"N
•
Rec: R
•
Es una funcion impar, pues (-x) = - tan x, ðð x "Dom (funcion tangente), por lo tanto es simétrica respecto del origen
•
Es periódica, de periodo = ð
•
Es decreciente para toda medida angular a su dominio
•
Es continua en Dominio( función tangente).
•
No es inyectiva : ð x ð x tal que tan x = tan x
•
No es Sobreyectiva Rec( función tangente) = [ -1, 1]
•
Por lo tanto no es biyectiva y no tiene función inversa
•
No es una función acotada, ya que puede tomar cualquier valor real
•
Es cero o nula para medidas angulares múltiplos de ð, tales como: o -2ð, -ð, 0, ð, 2ð,... es decir: tan (kð) = 0 ; ðð k " Z
F(x) = sec
F(x) = 2 sen x
•
Dom: R
•
Rec : [ -2, 2]
•
La función seno toma entre -2 y 2, por lo tanto esta definida por todos los Números Reales entre estos dos números.
•
El comportamiento de la curva esta representada en el siguiente cuadro
Cuadrante
Comportamiento de y= sen x
Valores que toma y = sen x
I
Creciente positiva
0< sen x < 2
II
Decreciente positiva
2> sen x > 0
III
Creciente negativa
0 > sen x > -2
IV
Decreciente negativa
-2< sen x < 0
•
Es una función impar, pues (-x) = - sen x, ðð x "Dom (funcion seno), por lo tanto es simétrica respecto del origen
•
Es periódica
•
Es creciente en intervalos y decreciente por intervalos
•
No es inyectiva: ð x ð x tal que sen x = sen x
•
No es Sobreyectiva Rec( función seno) = [ -1, 1]
•
Por lo tanto no es biyectiva y no tiene función inversa
•
Alcanza un valor : o Máximo y = 2 o Minimo y = -2
F(x) = 2 sen ( x+ ð)
F(x) = 2 sen (2x + ð)
Conclusiones
•
El dominio de las funciones seno y coseno es todo R. Mientras tanto, en la definición de tangente y de secante aparece la abscisa x en el denominador, por lo tanto deben excluirse de su dominio todos los valores de q para los cuales x = 0; es decir hay que excluir los ángulos de medida, donde n es un número entero. El dominio de la tangente y la secante es entonces:
R- Están excluidos, por ejemplo, valores tales como: ð , -ð /2, 3ð /2, -3ð /2, 5ð /2, -5ð /2
(todos los "múltiplos impares" de ). Por otro lado, en la definición de cotangente y cosecante aparece la ordenada y en el denominador. De manera que el dominio de estas dos funciones excluye todos los valores de la forma p , con n entero. Quedan fuera, por ejemplo, los números: 0, ð , -ð , 2ð , -2ð (todos los "múltiplos de p "). Sistemas: x ² + y ² = 36 xy=6
Las ecuaciones de este sistema corresponden a una circunferencia y una hipérbola.
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