Funciones Trascendentes Funciones Trigonometricas Y Funciones Exponenciales j2y3o

2.2. Funciones Trascendentes. 2.2.1. Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.

Funciones Trascendentes No siempre se puede modelar con funciones del tipo algebraico; esto ha dado lugar al desarrollo de otro tipo de funciones, las funciones trascendentes, las cuales se clasifican en: las trigonométricas y sus inversas, relacionadas con el triángulo rectángulo; y las logarítmicas y exponenciales, más asociadas a una variación en progresión geométrica (crecimiento poblacional, por ejemplo). Definición: Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes

son las siguientes:

Algebraicas Funciones

Logarítmicas Trascendentes

Trigonométricas Exponenciales

Funciones Trigonométricas Directas. Función trigonométrica Directas: Las funciones trigonométricas son el resultado del cociente de dos números (cateto sobre hipotenusa, hipotenusa sobre cateto, cateto sobre cateto). Esto hace necesario, para el dominio de definición, restringir el eje en aquellos números que anulen el denominador.

Seno

La función seno es la asociación entre un

f (x) = sen x

Coseno

ángulo dado x y el valor de su seno La función coseno es la asociación entre un

f(x) = cos x

Tangente

ángulo dado x y el valor de su coseno. La función tangente es la asociación entre un

f(x) = tg x

Cotangente

ángulo dado x y el valor de su tangente. La función cotangente es la asociación entre

f(x) = cotg x

Secante

un ángulo dado x y el valor de su cotangente. La función secante es la asociación entre un

f(x) = sec x

Cosecante

ángulo dado x y el valor de su secante. La función cosecante es la asociación entre

f(x) = cosec x

un ángulo dado x y el valor de su cosecante.

La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y tangente con cotangente.

También, tenemos que: tan α =

senα cos α cot gα = cos α ; senα

Dominio de las Funciones Trigonométricas Directas Función f(x) = sen x

Dominio Todo eje real

Contradominio. El denominador es la hipotenusa, la cual

-∞<x<∞

siempre es diferente de cero, no así los catetos del triángulo

f(x) = cos x f(x) = tg x

Todo eje real.

La misma razón que el primer caso.

-∞ < x < ∞ π 3π 5π

x ≠±

2

;±

2

;±

2

Se restringe el dominio de manera que el

;......

f(x) = cotg x

denominador debe ser cos x ≠ 0. x ≠0;±π;±2π;±3π;......... Se restringe el dominio de manera que el

f(x) = sec x

denominador debe ser sen ≠ 0. Se restringe el dominio de manera que el

f(x) = cosec x

x ≠±

π 2

;±

3π 5π ;± ;...... 2 2

denominador cos x ≠ 0. x ≠0;±π;±2π;±3π;...... Se restringe el dominio de manera que el denominador sen ≠ 0.

Gráficas de las Funciones Trigonométricas Directas •

Gráfica de y = sen x

•

Gráfica de y = cos x

•

Gráfica de y = tg x

•

Gráfica de y = cotg x

PERÍODO: π DOMINIO: Todos los números reales, con excepción de los de la forma kπ, siendo k un entero. RANGO: R • Función impar (simétrica con respecto al origen). • Función decreciente entre las asíntotas. • Discontinua para kπ, siendo k entero.

•

Gráfica de y = sec x

PERÍODO: 2π DOMINIO: Todos los números reales, con excepción de los de la forma π/2 + kπ, siendo k un entero. RANGO: (-∞, -1] U [1, ∞) • Función par (simétrica con respecto al eje y). • Discontinua en π/2 + kπ, siendo k entero.

•

Gráfica de y = cosec x

PERÍODO: 2π DOMINIO: Todos los números reales, con excepción de los de la forma kπ, siendo k un entero. RANGO: (-∞, -1] U [1, ∞) • Función impar (simétrica con respecto al origen). • Discontinua para kπ, siendo k entero.

Función Exponencial. Definición:

a un número real positivo y distinto de 1. Definimos la función exponencial de base a como aquella que tiene la forma: Función exponencial: sea

f ( x) = a x

en donde x es cualquier número real.

“Los términos exponenciales son en sí aquellas potencias cuya base es un número fijo y el exponente es una variable”. En la siguiente tabla se presentan algunos ejemplos de funciones exponenciales.

Función f(x) = 10x f(x) = 2x

Título Función exponencial de base 10 Función exponencial de base 2

Gráficas Exponenciales Típicas x

1  Es útil comparar las gráficas de y = 2 x , y =   = 2−x , trazando ambas 2

en el mismo sistema coordenado (figura 34.a). La gráfica de:

a > 1 (Figura 34.b)

f ( x) = a x

se parece mucho a la gráfica de y = 2x y la gráfica de: 0 < a < 1 (Figura 34.b)

f ( x) = a x x

1 se perece mucho a la gráfica de y =   . Nótese en ambos casos que el eje x 2

es una asíntota horizontal que nunca toca las gráficas.

y

Tipo básico 1

8 x

 1 y =   = 2− x  2

y

6 4

y = 2x

2 -2 -1 0 1 2

a

OBSERVACIONES:

y = ax 0< a< 1

Tipo básico 2

y = ax a>1 1 Contradominio = (0,∞)

Dominio = R

b

a

b

Note que cuando la base exponencial

a es mayor que 1, la función

(figura a) no está acotada superiormente. Es decir,

crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es,

tiende a cero (0), cuando x toma valores

grandes pero negativos. Igualmente, cuando la base 0 < a < 1, la función exponencial (figura b) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, valores grandes, pero negativos y

crece sin límite, al tomar x

tiende a cero, cuando la variable x toma

valores grandes positivos. El hecho de ser la función exponencial

con a > 1, estrictamente

creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284…., la función exponencial se denota por

, se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, Exp(x) =

. Se llaman funciones exponenciales a las

funciones de la forma f(x) = ax o y = ax, donde la base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable x.

Dominio y Contradominio de la Función Exponencial. Función exponencial de

Dominio

Contradominio

Todo número real -∞ < x < ∞

0< y < ∞

base a f ( x) = a x

EJERCICIOS: Calcule el dominio y contradominio de las siguientes funciones. Realizar la gráfica de las funciones. 1) f(x) = (1/3)x 2) f(x) = 5x

RESUMEN: La función exponencial De finición.-Sea a un número real positivo. La aplicación que a cada número real

x le asigna la potencia ax se denomina función exponencial de base a. Funciones exponenciales

Df: - ∞<x<∞ Cf: 0 <∞

Función exponencial:

,

,

Donde

. Esta función es creciente en todo su dominio si

y decreciente si

.

f(x) = ax (0 <1)

f(x) = ax (a rel="nofollow">1)

• La imagen de

es

.

Propiedades: • ax > 0 para todo x є R. • La función exponencial de base a>1 es estrictamente creciente, mientras que la de base a<1 es estrictamente decreciente. • La función exponencial de base mayor que 1 no está acotada superiormente aunque si lo está inferiormente en R. • Si 0 < a < 1 la función exponencial de base a no está acotada superiormente aunque si lo esta inferiormente en R. • Si 0 < a < b entonces: ax < bx si x > 0 y bx < ax si x < 0. Cualquiera que sea el número real positivo y existe un único número real x tal que ax = y. El número x se llama logaritmo en base a de y y se representa