Guia -conjunto De Los Irracionales 4j316s

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL REUVEN FEUERSTEIN

UNA EDUCACIÓN PARA LA TRANSFORMACIÓN DE LA PERSONA

Logros:  Comprender el concepto de número irracional y distinguirlos de los racionales  Identificar los números irracionales y ubicarlos en la recta numérica  Simplificar expresiones con números irracionales operando correctamente con ellos

Profesor: Jorge E Barón H. Grado: 8 Periodo I Estudiante: ____________________________________________________

Para comenzar el desarrollo del curso estudiaremos los conceptos del conjunto numérico de los números irracionales. Miraremos como se representan estos números, su ubicación en la recta numérica, analizaremos las diferencias entre un número irracional y un número racional, también comprenderemos como descomponer, en factores, una cantidad subradical para operar con radicales irracionales. Recuerda que los números racionales se pueden escribir como una fracción donde el numerador y el denominador son números enteros y/o también como decimales exactos o decimales infinitos periódicos (puros o mixtos) Al examinar la relación entre los conjuntos de números, estudiados anteriormente, con la recta real, encontramos que en ella hemos podido ubicar los naturales ( ), los enteros ( ) y los racionales ( ), pero notamos que entre estas ubicaciones quedan “huecos” por llenar en la recta real. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables. Definición de números irracionales Se define al número irracional como un decimal infinito no periódico. Ejemplo, el número racional 1,414213562 es solo una aproximación del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas. Luego podemos decir que el número raíz cuadrada de dos se aproxima a 1,414213562 en 9 decimales, pero la mejor notación de este número es 1,414213562… o también 1,4142…, lo mismo sucede con 7 el cual podemos escribir como 2.645751..., estos dos números son decimales infinitos no periódicos, por lo tanto son números irracionales Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado una unidad según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número 2 En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto de los números racionales resulta insuficiente. Así, por ejemplo, al considerar el problema de determinar la medida de la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente, que no existe un número en lo racionales que verifique esta última ecuación. En n

yn general, una ecuación de la forma x a , con a , carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tenga solución.

Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), , 2 etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en , como sucede, por ejemplo, con la 2 , que no son números racionales. ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x Los números irracionales es un conjunto de números que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. Así

Hay números irracionales muy famosos e importantes por lo cual se les llaman con nombres especiales, tal es el caso de 3,141592653589… al cual se le ha llamado pi y se representa con esa letra griega (  ), por lo general a este

1

número se le aproxima a los racionales 3,14 o 3,1416. Este número es el resultado de dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro r)=3.14159265...

Longitud de la circunferencia (2 Diámetro (D)

Radio

En los decimales no hay ningún periodo y no se puede escribir ninguna fracción cuyos elementos, (numerador y denominador), sean ambos números enteros y cuyo cociente sea el valor Pi Otro número famoso y muy importante es el número de Euler que tiene un valor de 2,718281828459045…, este número se representa por el símbolo “ e ”. Este número es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier). El valor de (1 + 1/n)n se aproxima a e cuanto más grande es n. Otra manera de encontrar una gran aproximación de e es con la expresión 1

1 , donde “!” Significa factorial n!

Notas: 1. si se quiere recordar el valor de e con 10 cifras decimales, se debe memorizar la siguiente expresión “el trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago”. Basta solo con contar las letras de cada palabra, en su orden, para escribir este número, recordando que después del primer número se debe escribir una como o un punto. 2. Otra forma de recordar este número es dándote cuenta que al examinar e después de 2,7 se aparece dos veces 182 y luego el valor de los ángulos del triángulo rectángulo isósceles 45, 90, 45. Así que podemos escribir 2,7182182459045… 3. Las raíces cuadradas de los números primos son números irracionales (si puedes encontrar la raíz de un número primo que se pueda escribir como el cociente de dos números enteros muéstranoslo y tendrás un 100% en tu nota de investigación) UBICACIÓN DE LOS NUMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA Para ubicar los irracionales en la recta numérica debemos proceder de la siguiente manera: 1. Trazamos la recta -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2. Sobre la unidad siguiente al cero trazamos un segmento, igual a la unidad, perpendicular sobre la recta y tomamos con una abertura de compás la distancia que hay entre el cero y la parte superior del segmento trazado 3. Hacemos centro con el compás en el cero y trazamos un arco de circunferencia, desde la parte superior del segmento hasta la recta 4. Donde el arco corte a la recta allí ubicamos el número irracional correspondiente, que en este caso es así: -4

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2

El anterior procedimiento, se debe a que la distancia de cero a uno, el segmento perpendicular construido sobre el uno y la distancia desde el cero hasta la parte superior del segmento perpendicular forman un triángulo rectángulo cuyos catetos miden uno por lo tanto aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos

12 12

d

2 , que es el valor de la hipotenusa de dicho triángulo, al llevar esta distancia hacia la recta, haciendo

centro en el cero, encontramos la ubicación de 2 en la recta. Para ubicar raíz cuadrada de tres que es el siguiente irracional conocido después de raíz de dos, procedemos de la misma manera, pero el segmento perpendicular lo levantamos ahora sobre raíz de dos, así

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Siguiendo esta rutina logramos ubicar todas las raíces cuadradas que sean números irracionales. Para ubicar  y e lo que debemos hacer es aproximarlos al racional más cercano, logrando así una muy buena ubicación casi exacta de dichos números. Las aproximaciones que podemos hacer para ubicar estos números en la 3.14 que es un acercamiento por defecto recta son: e = 2,72 que es un acercamiento por exceso y Propiedades de los números irracionales Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como: Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π + ϕ = ϕ+ π; así como en la multiplicación, π×ϕ = ϕ×π. Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ + π) + e = ϕ + (π + e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ × π) × e=ϕ × (π × e). Propiedad cerrada o clausurativa: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación. Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π – π = 0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ × 1/ϕ = 1. La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3 + 2) π = 3π + 2π = 5π. TALLER 1. En la expresión n , simboliza el conjunto de: A. B. C. D.

Racionales Naturales Enteros Irracionales.

2. Expresa el valor 356,6 como una fracción 3. ¿El número 18,5 es un número racional? Explica por qué. 4. La expresión A.

1 8

5. La suma 5

3

1 2

2

1 2

2

es igual a

1 B. 2 3 4 es igual a 10 1000

1

C. 16

1

D. 32

A.

12 1000

B. 5.34

C. 5.304

D. 0.012

2 3

6. Con los 3/5 de un tarro de pintura se pintan el 66 % de un muro. ¿Con cuanta pintura se termina el trabajo?

A.

3 4

B.

4 9

C.

1 3

D.

3 10

E.

9 10

7. Indica cuál de los siguientes números es irracional y cual es racional, escribiendo al frente de cada uno Q o Q’, según corresponda A. 3.257 B. 3.141596… C. 3.14 3 D. 25 5 E. 8 F. 7.433333...

G.

H. I. J. K. L. M. N. O. P. Q. R.

5 125

3.3424242… 25.3618888… 252/36 3.14159… -46 0.3333… 5/3 235426.18 2.71828182182459045… –π/2 e/4 l) 0.25340120161…

8. Ubique los siguientes números en la recta numérica

7

8 3

5

10

4

1 2

9. Halla los números indicados en cada caso A. Do número irracionales entre 22 y 0 2 y B. Dos números irracionales entre C. Tres números irracionales entre 4 y 5 10. Resuelve las siguientes operaciones a 5 2, b 8 5, c 2 3 5, entonces cuanto es Si A. 3a 2c, B. a 2b c, C. (4b c) 5a, D. (a b) ( c)

El silencio es el templo de la sabiduría Blaise Pascal 4