Hsc Exam Questions (trigonometric Ratios) p4j4p

HSC  Exam  Questions  (Trigonometric  Ratios)   Note  to  students:  For  those  who  have  yet  to  study  radians,  2𝜋 = 360°.  

 

1995  HSC  Q3(b)   A  horizontal  bridge  is  built  between  points  𝐴  and  𝐵.  The  bridge  is  ed  by  cables   𝑆𝑃  and  𝑆𝑅,  which  are  attached  to  the  top  of  a  vertical  pylon  𝑆𝑇.    

 

 

4  

  The  section  of  the  pylon,  𝑆𝑄,  above  the  bridge  is  8  metres  long  and  ∠𝑆𝑅𝑄 = 52°.   (i)

Find  the  length  of  the  cable  𝑆𝑅.  

(ii)

Find  the  size  of  ∠𝑆𝑃𝑄  to  the  nearest  degree.  

  1997  HSC  Q7(a)   By  expressing  sec 𝜃  and  tan 𝜃  in    of  sin 𝜃  and  cos 𝜃,  show  that  

 

 

2  

 

 

2  

 

4  

sec ! 𝜃 − tan! 𝜃 = 1     1998  HSC  Q1(e)   Find  the  exact  value  of  sin

! !

+ sin

!! !

.    

 

 

 

  1999  HSC  Q3(c)   In  the  diagram,  𝐴𝐶  is  parallel  to  𝐷𝐵,  𝐴𝐵  is  6  cm,  𝐵𝐶  is  3  cm  and  𝐴𝐶  is  7  cm.  

  (i)

Use  the  cosine  rule  to  find  the  size  of  ∠𝐴𝐶𝐵,  to  the  nearest  degree.  

(ii)

Hence  find  the  size  of  ∠𝐷𝐵𝐶,  giving  reasons  for  your  answer.    

2000  HSC  Q1(c)   !

What  is  the  exact  value  of  cos ! ?  

 

 

 

 

 

 

 

1  

 

 

 

 

 

 

 

2  

  2000  HSC  Q5(a)   Solve  tan 𝑥 = 2  for  0 < 𝑥 < 2𝜋.  

Express  your  answer  in  radian  measure  correct  to  two  decimal  places.     2000  HSC  Q9(c)   The  diagram  shows  a  square  𝐴𝐵𝐶𝐷  of  side  𝑥  cm,  with  a  point  𝑃  within  the  square,  such   that  𝑃𝐶 = 6  cm,  𝑃𝐵 = 2  cm  and  𝐴𝑃 = 2 5  cm.  

 

 

 

 

  Let  ∠𝑃𝐵𝐶 = 𝛼.   ! ! !!"

(i)

Using  the  cosine  rule  in  triangle  𝑃𝐵𝐶,  show  that  cos 𝛼 =

(ii)

By  considering  triangle  𝑃𝐵𝐴,  show  that  sin 𝛼 =

(iii)

Hence,  or  otherwise,  show  that  the  value  of  𝑥  is  a  solution  of  

! ! !!" !!

𝑥 ! − 56𝑥 ! + 640 = 0   (iv)

Find  𝑥 .  Give  reasons  for  your  answer.  

     

 

!!

.  

.  

 

7  

2001  HSC  Q3(d)   The  diagram  shows  a  triangle  with  sides  7  cm,  13  cm  and  𝑥  cm,  and  an  angle  of  60°  as   marked.  

  !

Use  the  cosine  rule  to  show  that  𝑥 − 7𝑥 = 120,  and  hence  state  the  exact  value  of  𝑥 .  4       2002  HSC  Q2(c)   In  the  diagram,  𝑋𝑌𝑍  is  a  triangle  where  ∠𝑍𝑌𝑋 = 45°  and  ∠𝑍𝑋𝑌 = 60°.   !

Find  the  exact  value  of  the  ratio  !.    

 

 

 

 

 

 

3  

 

 

2  

    2002  HSC  Q4(b)   Find  all  values  of  𝜃,  where  0° ≤ 𝜃 ≤ 360°,  that  satisfy  the  equation:   cos 𝜃 − Give  your  answer(s)  to  the  nearest  degree.              

2 = 0   5

2002  HSC  Q4(c)   In  the  diagram,  𝐿𝑀𝑁  is  a  triangle  where  𝐿𝑀 = 5.2  metres,  𝐿𝑁 = 8.9  metres  and  angle   𝑀𝐿𝑁 = 110°.  

  (i)

Find  the  length  of  𝑀𝑁.  

 

 

 

 

 

 

 

2  

(ii)

Calculate  the  area  of  triangle  𝐿𝑀𝑁.    

 

 

 

 

 

2  

    2003  HSC  Q4(a)   In  the  diagram,  the  point  𝑄  is  due  east  of  𝑃.  The  point  𝑅  is  38  km  from  𝑃  and  20  km  from   𝑄.  The  bearing  of  𝑅  from  𝑄  is  325°.  

  (i)

What  is  the  size  of  ∠𝑃𝑄𝑅?    

 

 

 

 

 

 

1  

(ii)

What  is  the  bearing  of  𝑅  from  𝑃?    

 

 

 

 

 

3  

Solve  2 sin! 𝑥 − 3 sin 𝑥 − 2 = 0  for  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.    

 

 

 

 

2  

  2004  HSC  Q9(a)                  

2004  HSC  Q3(c)   The  diagram  shows  a  point  𝑃  which  is  30  km  due  west  of  the  point  𝑄.     The  point  𝑅  is  12  km  from  𝑃  and  has  a  bearing  from  𝑃  of  070°.  

  (i)

Find  the  distance  of  𝑅  from  𝑄.  

 

 

 

 

 

 

2  

(ii)

Find  the  bearing  of  𝑅  from  𝑄.  

 

 

 

 

 

 

2  

 

 

 

  2004  HSC  Q8(a)   (i)

Show  that  cos 𝜃 tan 𝜃 = sin 𝜃.  

 

 

 

1  

(ii)

Hence  solve  8 sin 𝜃 cos 𝜃 tan 𝜃 = cosec 𝜃  for  0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.    

 

 

2  

 

 

 

2  

  2005  HSC  Q2(a)   Solve  cos 𝜃 =

! !

 for  0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.  

 

 

 

 

  2005  HSC  Q3(b)   The  lengths  of  the  sides  of  a  triangle  are  7  cm,  8  cm  and  13  cm.   (iii)

Find  the  size  of  the  angle  opposite  the  longest  side.  

 

 

 

2  

(iv)

Find  the  area  of  the  triangle.  

 

 

 

1  

 

2  

 

 

 

  2006  HSC  Q1(d)   Find  the  value  of  𝜃  in  the  diagram.  Give  your  answer  to  the  nearest  degree.  

     

2007  HSC  Q4(a)   Solve   2 sin 𝑥 = 1  for  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.      

 

 

 

 

 

 

2  

 

 

 

 

 

 

3  

!

 

 

2  

  2008  HSC  Q6(a)   !

Solve  2 sin! ! = 1  for  – 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.       2009  HSC  Q1(d)  

Find  the  exact  value  of  𝜃  such  that  2 cos 𝜃 = 1,  where  0 ≤ 𝜃 ≤ ! .     2010  HSC  Q5(b)   (i)

Prove  that  sec ! 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥 =

(ii)

Hence  prove  that  

 

 

!!!"# ! !"#! !

 

.    

 

 

 

 

1  

 

 

 

 

 

1  

 

2  

 

2  

sec ! 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥 = (iii)

1   1 − sin 𝑥

Hence  use  the  table  of  standard  integrals  to  find  the  exact  value  of   ! ! !

1 𝑑𝑥   1 − sin 𝑥

  2011  HSC  Q2(b)   Find  the  exact  values  of  𝑥  such  that  2 sin 𝑥 = − 3,  where  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.                            

2011  HSC  Q8(a)   In  the  diagram,  the  shop  at  𝑆  is  20  kilometres  across  the  bay  from  the  post  office  at  𝑃.   The  distance  from  the  shop  to  the  lighthouse  at  𝐿  is  22  kilometres  and  ∠𝑆𝑃𝐿  is  60°.   Let  the  distance  𝑃𝐿  be  𝑥  kilometres.  

  (i)

Use  the  cosine  rule  to  show  that  𝑥 ! − 20𝑥 − 84 = 0.  

(ii)

Hence,  find  the  distance  from  the  post  office  to  the  lighthouse.  Give  your  answer   to  the  nearest  kilometre.  

 

 

 

 

  2012  HSC  Q6   What  are  the  solutions  of   3 tan 𝑥 = −1  for  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋?   (A)  

!!

(B)  

!!

(C)  

!!

(D)  

!!

             

! ! ! !

!!

 and   !   !!

 and   !   !!

 and   !      and  

!!! !

 

   

   

   

1   2    

2013  HSC  Q14(c)   The  right-­‐angled  triangle  𝐴𝐵𝐶  has  hypotenuse  𝐴𝐵 = 13.  The  point  𝐷  is  on  𝐴𝐶  such  that   !

𝐷𝐶 = 4,  ∠𝐷𝐵𝐶 = !  and  ∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑥.  

 

 

  Use  the  sine  rule,  or  otherwise,  find  the  exact  value  of  sin 𝑥.  

 

 

 

3  

  2014  HSC  Q7   How  many  solutions  of  the  equation   sin 𝑥 − 1 tan 𝑥 + 2 = 0  lie  between  0  and  2𝜋?     (A)  

1  

(B)  

2  

(C)  

3  

(D)  

4  

                       

2014  HSC  Q13(d)   Chris  leaves  island  𝐴  in  a  boat  and  sails  142  km  on  a  bearing  of  078°  to  island  𝐵.  Chris   then  sails  on  a  bearing  of  191°  for  220  km  to  island  𝐶 ,  as  shown  in  the  diagram.  

  (i)

Show  that  the  distance  from  island  𝐶  to  island  𝐴  is  approximately  210  km.  

(ii)

Chris  wants  to  sail  from  island  𝐶  directly  to  island  𝐴.  On  what  bearing  should   Chris  sail?  Give  your  answer  correct  to  the  nearest  degree.  

2  

 

 

3    

 

 

3  

  2014  HSC  Q15(a)   Find  all  solutions  of  2 sin! 𝑥 + cos 𝑥 − 2 = 0,  where  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.