Reseña Historica Conjunto De Los Reales 4k1d1v

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería

“Reseña Histórica: Conjunto de los Reales”

Asignatura: Algebra

Ciclo escolar 2014-1

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería

“Reseña Histórica: Conjunto de los Reales”

Asignatura: Algebra

Ciclo escolar 2014-1 HISTORIA DE LOS NUMEROS REALES En la era primitiva, a causa de la necesidad de representar cantidades y así resolver los problemas que se representaban en su entorno, muchos años más tarde así es como diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía, fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como los egipcios, romanos, griegos, la India, babilonia… Los egipcios utilizaron el sistema 10 que consistía en contar de 10 en 10 y no utilizaban un símbolo para representar el cero, para su numeración se usaron símbolos y cada símbolo tenían la posibilidad de repetirse hasta 9 veces, utilizaban siete símbolos y podían ser escritos de derecha a izquierda o de izquierda a derecha y no importaba el orden, sus agrupamientos eran de diez en diez y no se basaba en un sistema posicional. Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. de C. Los romanos, si existe un sistema de numeración que ha perdurado en el tiempo, ese es el romano. En relación con los símbolos, los romanos utilizaron letras mayúsculas para representar cantidades, así tenemos:

El sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 a. de C. era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas (los símbolos se acumulan sin importar el orden, aunque, para mantener

cierto entendimiento racional, se opta por una determinada disposición preferencial).

De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios. Se sabe que alrededor del 500 a. de C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, y no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal.

Los Números reales: Los números reales están formados por los números racionales y los irracionales, es decir, el conjunto de todos los números decimales, siendo los decimales exactos, puros y mixtos los que corresponden a los racionales, y los restantes a los irracionales. Es el conjunto que agrupa a todos los conjuntos: números naturales N , números enteros Z , números racionales

Q

y números irracionales

I . Puede ser considerado un conjunto universal.

Números Naturales: Son los números que utilizamos para contar y son infinitos N = {1, 2, 3, 4…, 59, 60…, 9000…}, es el que sirve para decir la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, el cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Se pueden sumar y multiplicar y con ambas operaciones el resultado es, en todos los casos, un número natural. Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Números Enteros: Número entero, cualquier elemento del conjunto formado números naturales y sus opuestos Z = {… -2, -1, 0, 1, 2…}

por

los

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como las deudas) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas inferiores a 0 grados etc.…). El valor absoluto de un número negativo siempre va a ser positivo 

si a > 0, |a| = a; por ejemplo, |5| = 5;



si a < 0, |-a| = a; por ejemplo, |-5| = 5.

Vemos que el valor absoluto de un número siempre va a ser positivo

Números Racionales: Número racional es todo valor que puede ser expresado mediante una fracción. Todas las fracciones equivalentes entre sí expresan el mismo número racional. Es decir, todo número que se pueda poner en forma de fracción se dice que es un número racional. Los números racionales son números fraccionarios, es decir que puede escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número a racial ( b ) Incluye fracciones que al convertirlos en decimales son finitos (1.25), periódicos (0.333333…) Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q . Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Ejemplos de números racionales: 5 4

,

−7 8 ,

√ 25 ,

Números Irracionales

Se le llama números irracionales a todos aquellos que no pueden escribirse en forma de fracción debido a que el decimal sigue indefinidamente sin repetirse.

Se expresan de la forma no periódico.

a b

donde

b ≠ 0 , pero su decimal es infinito,

√ 2 = 1.41421356…

π = 3.1415926535…

Como hemos visto, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Se logro la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX (como ya se mencionaba anteriormente no se ocupaban los números en Europa sino hasta el siglo XVII y el XVIII) por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia no de manera espontánea, sino echando mano de todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, entre otros.