Marcos Nascimento Magalhães. Probabilidade E Variáveis Aleatórias. Ed.2. Edusp. 2006 (o.c.r.) 1o3s5j

José Mindlin Laura de Mello e Souza Brasflio João Sallum Júnior Carlos Alberto Barbosa Dantas Carlos Augusto Monteiro Franco Maria Lajolo Guilherme Leite da Silva Dias Plinio Martins Filho

Diretora Editorial Diretora Comercial Editores-as.'iistentes

Silvana Biral )vete Silva Marilena Vizentin

Carla Fernanda Fontana Marcos Bernardini

I I

Conteúdo Copyright © 2004 by Marcos Nascimento Magalhães

...... ;;; Prefácio ............................................................................................................ I' edição 2004 (IME-USP) 2' edição 2006 (Edusp)

.... 1 1. Conceitos Básicos em Probab ilidade ............................................................

Ficha catalográfica elaborada pelo Departamento Técnico do Sistema Integrado de Bibliotecas da USP Magalhães, Marcos Nascimento. Probabilidade e Variáveis Aleatórias I Marcos Nascimento Magalhães . - 2. ed. - São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2006. 428 p.; 16 lt 23 em. Inclui bibliografia. Inclui índice remissivo. Apêndice: A. Tabela normal, Resumo de distribuições, Sumário de eltpressões matemáticas - B. Respostas de ellercícios. ISBN 85-314-0945-4 I. Matemática. 2. Probabilidade. L Título. CDD-519.2

... 1 1.1 Introdução.......................................................................................... I ........ ............ ............ ............ ............ ............ atória 1.2 Conjuntos e Combin O 1 .. ............ ............ ............ ............ ............ ............ 1.3 Probabilidade ............ 46 1.4 Exercícios ............................................................................................

..... 63 2. Variáveis Aleatórias ....................................................................................

63 2.1 Introdução........................................................................................... 63 .... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ias 2.2 Variáveis Aleatór . 81 2.3 Principais Modelos Discretos ............................................................ 94 ............ ............ ............ ............ ............ os Contínu s 2.4 Principais Modelo lO? ...... ............ ............ ............ ............ ............ ~ ........... 2.5 Exercícios ............

...... 115 3. Vetores Aleatórios ....................................................................................

I 15 3 . I Introdução......................................................................................... 115 3.2 Vetores Aleatórios ............................................................................ l41 ....... ............ ............ ............ ............ ias Aleatór is Variáve de 3.3 Funções 169 3.4 Exercícios ..........................................................................................

4. Valor Espera do ............................................................................................... Direitos reservados à Edusp- Editora da Universidade de São Paulo Av. Prof. Luciano Gualberto, Travessa J, 374 6" andar- Ed. da Antiga Reitoria- Cidade Universitária 05508-90 0- São Paulo - SP- Brasil Divisão Comercial: Te I. (Ou I I) 3091-4008 I 3091-4 I50 SAC (Oxx 11 ) 3091-291 I -Fax (Oxx I I) 3091-415 I www.usp .br/edusp - e-mail: [email protected] Printed in Brazil 2006 Foi feito o depósito legal

l79

179 4.1 Introdução ......................................................................................... ISO 4.2 Valor Esperado .................................................................................. l99 4.3 Valor Esperado- Integral de Lebesgue-Stieltjes ................................ 213 4.4 Propriedades do Valor Esperado....................................................... 234 ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ 4.5 Exercícios ............

.. 241 5. Momentos, Espera nça Condicional e Funções Auxiliares ........................

241 5.1 Introdução......................................................................................... 24 1 ...... 5.2 Momentos .................................................................................... 260 ......... 5.3 Esperança Condicional. ............................................................ 266 ........ 5.4 Função Geradora de Momentos ................................................ 276 ............ 5.5 Função Característica............................................................ 290 5.6 Exercícios ..........................................................................................

(

-· ii

Conteúdo

6. Convergên cia de Variáveis Aleatórias ......................................................... 299 6. 1 Introdução......................................................................................... 299 6.2 Modos de Convergência................................................................ ,... 300 6.3 Leis dos Grandes Números ............................................................... 323 6.4 Teorema Central do Limite............................................................... 337 6.3 Exercícios .......................................................................................... 350 Apêndice A ........................................................................................................ 359 Tabela Normal .......................................................................... :............ 36l Resumo de Distribuiç ões ...................................................................... 362 Sumário de Expressões Matemátic as .................................................. 365 Apêndice B -Resposta s de Exercícios ...............................................................371 Bibliograf ia......................................................................................................... 403 Índice Remissivo................................................................................................. 407

Prefácio Este livro busca contribuir para a formação de estudantes que tenham interesse em aprofundar os conceitos de probabilidade e de variáveis aleatórias. Em especial, poderia ser útil para estudantes de pós-graduação em ínicio de Mestrado nas áreas de exatas, em particular, de Matemática e Estatística. O nível dos pré-requisitos necessários à leitura e a formalização envolvida no texto, podem ser considerados similares ao livro excelente (e, de certa forma, já clássico em nosso país) de autoria de Barry James. A seqüência do conteúdo e a escolha dos tópicos refletem minha experiência, adquirida nos vários anos em que fui responsável por disciplinas correlatas, no curso de Pós-Graduação do Departamento de Estatística do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP). Este livro traz inúmeros exemplos ilustrativos e uma quantidade expressiva de exercícios. Isto busca realçar, para os leitores, a necessidade de praticarem os conceitos através da resolução de exercícios. Muitas vezes, a aparente frustração de ficar horas tentando resolver um exercício pode esconder os grandes benefícios que essa persistência tem em nossa formação, pois, como na vida, nem todos os problemas são resolvidos no tempo em que gostaríamos que o fossem. Como é comum em textos desse tipo, muitos desses exercícios foram adaptados de o"utros livros e/ou sugeridos por colegas. Vários fora m criados e outros tantos coletados de provas e exames que organizei, ao longo da carreira acadêmica. Os exercícios são apresentados ao fim de cada seção e em uma seção específica ao final de cada capítulo. Quero expressar minha gratidão aos colegas e estudantes que deram sua colaboração na feitura deste livro. A professora Elisabeti Kira leu praticamente todos os capítulos e fez inúmeras sugestões e comentários. Também auxiliou na discussão de vários exercícios. Os professores Francisco Miraglia e Luis Gustavo Esteves leram alguns capítulos e, também, deram várias sugestões importantes. A professora Zara I. Abud forneceu algumas referências de Análise Matemática e a professora Maria Izabel R. Martins auxilou na solução de vários exercícios que envolviam integração. Os estudantes Thomas L. Ritchie, Geraldine G. Bosco e Juvêncio S. Neto deram sugestões em capítulos específicos. Para preparar as respostas dos exercícios, foram muito úteis as soluções que os estudantes Fernando C. Cordeiro, Grazielle Y. Soldá, Juvêncio S. Neto e Mariana M. Ribeiro iii

Prefácio

iv

e gentilmente disponibilizaram. Gostaria de agradecer, em especial, ao estudant como bem , Nelio P. Machado pela organização de exercícios, ajuda na digitação em na edição dos apêndices. O professor Antonio Carlos P. de Lima auxiliou-me, como texto um de vários momentos, na escolha das diversas opções que a redação a este sempre traz. A professora Maria Cecilia Camargo Magalhães, com Ricardo Luis texto. do tradicional competência e rapidez, auxiliou na correção e a Camara, da ADUSP- Associação dos Docentes da USP, preparou a capa Mônica e Kira i Elisabet ras formatação da Tabela da Normal. As professo Carneiro Sandoval utilizaram a 1a. edição em seus cursos e deram várias o sugestões incorporadas nessa nova edição. A todos eles meu profund agradecimento. Para a segunda edição foram corrigidos, na medida que foram encontrados, os erros ortográficos e os erros em respostas de exercícios. Alguns s enunciados de exemplos, definições, proposições e exercícios foram alterado lmente, Eventua redação. a para sanar pequenos erros e/ou tornar mais clara a pequenas modificações de redação também foram feitas para ajustar A edição. segunda nessa es diagramação. Em resumo, não há grandes alteraçõ . grande motivação para esta nova edição foi o fato da la. edição ter se esgotado anterior edição a usando r continua Desse modo, os estudantes e colegas podem das após consulta à www.ime.usp.br/-marcos que contém uma descrição atualizações. Por maior esforço que se possa ter feito, alguns erros vão aparecer e são de minha responsabilidade. Agradeceria receber críticas e sugestões que possam contribuir para a melhoria do texto em novas edições. São Paulo, fevereiro de 2006 Marcos N. Magalhães [email protected]

Capítulo 1

Conceitos Básicos em Probabilidade

1.1 Introdução Neste capítulo, são apresentadas as idéias básicas de probabilidade. Incluímos, também, vários exemplos para ilustrar técnicas importantes que devem , ser exercitadas pelos leitores. Muitos dos problemas apresentados são clássicos de estudo do história da parte fazem e área, da textos estão presentes em vários is probabilidade. Apresen tamos, na Seção 1.2, um sumário dos principa o 1.3, Seção na seguida, Em tória. Combina resultados em Teoria dos Conjuntos e ico axiomát e o usando ado apresent é. conceito formal de probabilidade rigoroso introduzido pelo matemático russo A. N. Kolmogorov. A notação e irá utilizada procurou ser a mais usual dentre as várias alternativas possíveis io. sendo introduzida conforme necessár

1.2 Conjuntos e Combinatória Encontramos, na natureza, muitas situaç.ões que envolvem incertezas. por Elas são denominadas de fenômenos ou experimentos aleatórios. A busca estudo no s objetivo dos avaliar as diversas probabilidades de ocorrência é um desses fenômenos. O espaço amostrai é o conjunto de todos os resultados possíveis de um ou experimento aleatório e é representado por n. Ele pode ser enumerável, finito números os com ca bi-unívo infinito, se pode ser colocado em correspondência naturais. Caso contrário, será não enumerável, como a reta real. Cada resultado UI. pOSSSÍVel é denominado ponto OU elemento de f! e denotado genericamente por conjunto o n. em está UI Assim, escrevemos UI E n para indicar que o elemento sem elementos é o conjunto vazio, denotado por 0. Os subconjuntos de n, serão etc. denotados por letras latinas maiúsculas do ínicio do alfabeto, tais como A, B, espaço do nto subconju é A que Além disso, escrevemos A C n para indicar

amostrai n. Exempl o 1.1: Uma rede de computadores está em operação contínua, mas pode a sofrer avaria a qualquer momentó. Na ocorrência de falha, o tempo de colocar a e extensão a do envolven rede novamente em operação depende de vários fatores 1

( (

Capítulo 1: Conceitos Básicos em Probabilidadt•

2

(

J

causa da falha, entre outras. Se estivermos interessados no número de falhas diárias temos como espaço amostrai:

n=

( ( (

A e B disjuntos {::} A n B = 0.

f2 = { w E IR : O :::; w :::; 24}.

I

Temos, assim, um conjunto não enumerável. Se a unidade de tempo for minutos ou segundos, o intervalo de valores se modifica adequadamente. Observe que, para um mesmo fenômeno aleatório, pudemos associar amostrais. A escolha de qual é adequado depende do interesse do espaços yários vezes, é possível trabalhar com mais de um espaço amostrai. O muitas e, estudo (

(

A notação utilizada para as operações básicas entre subconjuntos é apresentada a seguir: (i) A c ou A é o complementar de A, isto é, todos os elementos de de A; n

U AJ é a

(ii) A1 U A2 ... U A,. ou

(iii) A1

união de A 1, A2, ... , A,. e representa os

n que pertencem a pelo menos um desses subconjuntos;

n A2 ... nA" ou

n Ai n j=l

Diremos que A 1 , A2, ... , A, formam uma partição de e se sua união é n, ou seja:

n se são disjuntos

n

UA; =

n,

com A; nAj = 0, Vi =I= j.

i=l

o conjunto das partes de n é formado por todos os subconjuntos de n. Denotaremos esse conjunto por nP, mas são comuns outras notações tais como P{n} (que foi evitada aqui para não confundir com probabilidade, definida adiante). Se um número infinito de subconjuntos estiver envolvido nas operações acima mencionadas, elas são definidas de maneira análoga. Exemplo 1.2: Leis de Morgan

Um conjunto de relações entre umao e intersecção de conjuntos, conhecido como Leis de Morgan, auxilia na demonstração de vários resultados. Elas são dadas por:

n exceto os

j= l

pontos de

Diremos que dois subconjuntos são disjuntos ou mutuamente exclusivos se sua intersecção é o vazio. Assim,

{0, 1, 2,. ··,m}.

Nesse caso, n é um conjunto enumerável finito, sendo m o limite máximo de falhas estabelecido pelo da rede. É claro que se esse limite não é fixado, poderíamos considerar n como sendo enumerável infinito. Em uma análise estatística do funcionamento da rede, poderia haver interesse em avaliar o valor de m para estabelecer políticas de manutenção preventiva. Supondo, agora, que o interesse é observar a hora do dia em que ocorre falha, o espaço amostrai seria

(

3

1.2 Conjuntos e Combinatória

ou, ainda, simplesmente A1A2 ... A,. é a

intersecção de A 1 , A 2 , .•• , A 11 e representa a ocorrência simultânea desses subconjuntos;

(iv) A- B ou A n B" = ABc é a diferença entre A e B, isto é, todos os elementos de A, exceto os que também estejam em B ;

Vamos verificar a relação (i) e deixamos ao leitor a demonstração da outra parte, que é análoga. O caminho usual, para demonstrar igualdades entre conjuntos, é provar que cada um deles está contido no outro. Dessa forma, temos duas partes a serem verificadas:

n n )cc nA~ (parte I)

( UA; i"=l

Suponha que w E

( UA;) i=l

i=l

Prova da Parte 1:

n .

e

(9 A;)

c.

Então w

nA;· n

c

:J

(parte 2).

i=l

~;ºA; e, ainda, w ~A; para todo

1

nAj. 11

(v) A!::::.B ou ABc U Ar B é a diferença simétrica entre A e B, isto é, todos os elementos de A U B exceto os que estejam em A n B.

(

i. Dessa forma w E Aj para todo i e, consequentemente, w E

i=l

Capítulo 1: Conceitos Básicos em Probabilidade

4

5


Definição 1.1: o--álgebra

Prova da Parte 2:

n

Suponha que w E

nAf. Então w E Af para todo i e, ainda, w rf- A; para i =l

todo i. Dessa forma w rf- iº l A; e, consequentemen te, w E

(Q A;)c.

Portanto, a verificação da relação (i) está completa. Vale ressaltar que as D Leis de Morgan também são válidas para o caso em que n = oo. Diremos que os subconjuntos A~, A 2 , •• • formam uma seqüência monótona não-decrescente se An C An+l para todo n 2:: 1 (em notação simplificada An l ). A seqüência será monótona não-crescente (An l ) se a inclusão for no sentido contrário, isto é, se para n 2:: 1 tivermos An :::> An+l· O limite superior da seqüência de subconjuntos { An; n 2:: 1} é definido por: 00

limsup An

00

= lim An = n U Ak· n=lk=n

Em palavras, o lim supAn é o conjunto dos elementos de O que pertencem a um número infinito dos A ... Por essa razão, é freqüente denominar lim sup An pelo conjunto {An infinitas vezes}. De modo similar, definimos limite inferior por 00

liminf A 11 = lim A,.=

00

Un

Ab

n=l k=n sendo interpretado como o conjunto dos w E O que estão em todos os An, a partir de um certo n (que pode ser função de w). Outra interpretação, bastante utilizada, considera o lim in f An como sendo o conjunto {ocorre An, para todo n

suficientemente grande} . Se uma seqüência {A.,; n 2:: 1} tem limite, então os limites inferior e superior coincidem, isto é, lim An

=

lim An

lim An, = n-->oo

justificando a nomenclatura utilizada para essas operações de conjuntos. Vamos estabelecer uma classe de subconjuntos com algumas propriedades convenientes. Ela será usada para a definição axiomática de probabilidade, apresentada na próxima seção.

Uma classe de subconjuntos de O, representada por :F, é denominada uma u-álgebra se satisfaz as seguintes propriedades: (Al) O E :F; (A2) Se A E :F, então Ac E :F; 00

(A3) Se A; E :F, i 2:: 1, então UA; E :F. i=l

Se apenas a união finita está em :F temos uma classe menos restrita, denominada

D

álgebra.

É fácil verificar que uma u-álgebra é também uma álgebra. Fica como exercício ao leitor verificar que intersecções infinitas de elementos de uma u álgebra, também pertencem à u-álgebra.

Exemplo 1.3: Considere O = {1, 2, 3} e as seguintes coleções de subconjuntos:

• :Fl = {0,0,{1} , {2,3}} ; :F2 = {0,0,{1} , {2} , {1 , 3} , {2, 3}} .

Seriam ambas u-álgebra? Para responder a essa questão vamos verificar se as propriedades (Al)(A3) estão satisfeitas. As duas coleções contém o espaço amostrai e, assim, (A1) está satisfeita para ambas. Vamos verificar (A2). Observe que os complementares dos elementos de :F1 estão todos também em :F1 pois: 0c =o, oc = 0, {1 }" = {2,3} e {2,3Y = {1} . Logo :F1 satisfaz a propriedade (A2). De modo análogo, verificamos que o mesmo ocorre com a coleção :F2. Para verificar (A3) observamos que, como o número de elementos em cada coleção é finito, basta verificar se todas as uniões possíveis com seus elementos também pertencem à coleção. A união com o vazio é inócua e a com O dá o próprio O, logo vamos nos ocupar das demais uniões que poderiam não pertencer à coleção. Para :F1 temos

{1} u {2, 3} =o

E

:F1 ,

e, portanto, a propriedade (A3) está satisfeita e a coleção :F1 é uma u-álgebra.


6

Se tomarmos as uniões relevantes e não triviais em :F2, notamos imediatamente que

{1} u {2} = {1 , 2}

tt :F2;

logo (A3) não vale e a coleção de conjuntos :F2 não forma uma o--álgebra.

O

Exemplo 1.4: Seja :F uma o--álgebra de conjuntos de n e considere que A1, A2 , ···sejam elementos de :F. Para k = 1, 2, ··· ,definimos: B~.: = { w

: w pertence a no mínimo k dos conjuntos An, n = 1, 2, · · · }.

Vamos verificar que os conjuntos Bk, k = 1, 2, ···também estão na o--álgebra :F. Fixando um k arbitrário, precisamos caracterizar os elementos de B~.. Observe que se w E Bh então ele pertence a j dos An 's, para algum j 2: k. Assim, podemos considerar os w's E B~.: como a união daqueles que pertencem a exatamente j dos An 's, com j = k, k + 1, ···. Mas pertencer a exatamente j dos j

n An i=l

An 's, é pertencer à

1

oc

Portanto segue que B~.:

=U

,

para alguma escolha de índices nh n2 , ... , nk.

nAn;·

Note que, pelas Leis de Morgan, temos

ió

An1 =

(~ A~ 1 ) c. Aplicando

sucessivamente as propriedades de o--álgebra vem:

1

:F pois A 711 E :F (propriedade A2); j

: : } UA~1 E :F (propriedade A3); r E

:F (propriedade A2);

: : } U UA~~ ) j=k

(

j

JR.

Observe que, para qualquer b E JR, existe uma seqüência b, ! b de modo •oo que ( -oo, bJ pode ser escrito como n (-oo, bn)· Logo ( -oo, b] está em B(JR),

c

E

:F (propriedade A3);

i=l

logo Bk E :F e a verificação está completa.

pois ele é obtido da intersecção infinita de intervalos do tipo ( -oo, x), todos em B(JR). Note que, sendo (-oo,aY = [a,oo) este intervalo também está em B(JR). Finalmente, [a, bj está na o--álgebra de Borel, pois é intersecção ·de dois de seus elementos, isto é, [a, b] = [a, oo) n (-oo, b]. Se o resultado de um experimento é um número real, isto é n = JR, então todas as perguntas práticas de interesse se referem a um conjunto pertencente à o-álgebra de Borel. É preciso muito esforço e artificialidade para construir um O subconjunto que não seja boreliano.

se w E A; se w

t=l 00

X E

Uma função bastante útil na operação entre conjuntos é a função indicadora do conjunto A, definida da seguinte forma:

i=l

: : } (U A~i)

que :F= {0, A, A c, f!} é uma o--álgebra, sendo A um dos seus elementos. Qualquer outra o--álgebra que também contiver A será "maior", isto é, terá os elementos de :F e, eventualmente, mais alguns. Por isso, :F é definida como a o-álgebra gerada por A ou, ainda, como a intersecção de todas as o--álgebras que contém o subconjunto A. Numa denonúnação mais informal diremos que :F é a menor o--álgebra que contém o subconjunto A. A o--álgebra de Borel em IR, denotada por B(IR), é a menor o--álgebra que contém todos os intervalos abertos dos reilis. É possível verificar que ela pode ser gerada pelos intervalos ( -oo, x) com x E IR. Existem outras escolhas para o intervalo gerador, mas o que é importante é que, qualquer tipo de intervalo dos reais, pode ser obtido através de um número enumerável, finito ou infinito, de operações de uniões e intersecções com o intervalo acima. Para ilustrar essas idéias, vamos verificar que o intervalo [a, bJ, com a < b, a, b E JR, está na o--álgebra gerada por intervalos do tipo ( -oo, x) com

n=l

j

j=ki=l

A~ 1 E

7


o

Exemplo 1.5: A "menor" u-álgebra gerada por um subconjunto

Em várias situações, nosso interesse é construir uma o--álgebra que tenha. entre seus elementos, um particular subconjunto A c f!. Não é díficil verificar

Não é difícil verificar que J,1c:(w) = 1- IA(w). A notação de função indicadora pode variar entre autores, sendo também comum a utilização de 1A(w) ou 6A(w). Exemplo 1.6: Indicadores da União e Intersecção

Muitas vezes a operação com indicadores facilita a notação e clarifica as idéias envolvidas. Vamos verificar duas expressões com indicadores referentes a


8

união e a intersecção de conjuntos. Sejam A1o A 2, n

defina A= U Ai e B = i=l

...

An subconjuntos de

ne

n

n Ai então:

i=l

Um arranjo de n objetos, tomados n a n, é uma permutação de n objetos. Assim, a expressão do número de diferentes permutações é dada por: permutação: (n)n = n!

n

(i) lA(w) = 1 -

IT IA:;(w);

Outro resultado útil é o Príncipio Fundamental da Contagem enunciado a

i=l

seguir:

n

(ii) IB(w) =

II IAi(w).

Se uma tarefa tem k etapas e cada etapa i tem n; maneiras diferentes de ser realizada, então o número total de alternativas para realizar a tarefa é o produto n1n2 ... nk .

j=l

Prova de (i) :

Se w E A, temos IA(w) = 1. Nesse caso, w E Ai para algum j e, assim, para esse j temos w ~ Aj e portanto IAj(w) = 0: Logo, o lado direito da igualdade (i) é igual a 1. Se w ~A, temos IA(w) =O. Logo w ~Ai para todo nj, isto é, w E

Aj para todo

j. Dessa maneira,

9


IA~(w) = 1 para todo j e )

TI

j=l

1. Assim o lado direito de (i) também é igual a O. Prova de (ii) : IA~(w) = )

Se w E B, temos IB(w) = 1. Nesse caso, w E Ai para todo j e, assim,

Exercícios da Seção 1.2: 1. Sendo A, B e C subconjuntos quaisquer, expresse em notação matemática os conjuntos cujos elementos: a. Estão em A e B, mas não em C. b. Não estão em nenhum deles. c. Estão, no máximo, em dois deles: d. Estão em A, mas no máximo em um dos outros. e. Estão na intersecção dos três conjuntos e no complementar de A.

n

IA/w)

= 1 para todo j

. Então

TI IAi(w) = 1 e o lado direito de (ii) é igual a 1. j=l

Se w ~ B, temos IB(w) = Oe portanto w ~ Ai para pelo menos um j. Seja j* um O desses índices, temos IA.(w) =O. Logo, o lado direito de (ii) é igual a O. )

As idéias de contagem se relacionam com probabilidade, conforme veremos na próxima seção. Sem pretender ser exaustivo, apenas mencionamos aqui as definições e resultados básicos de análise combinatória. Considere que desejamos escolher k dentre n objetos. Se a ordem de escolha é importante, temos um arranjo de n objetos tomados k a k. Caso a ordem não importe, o agrupamento formado é a combinação de n objetos tomados k a k. O número de diferentes agrupamentos que podem ser formados são apresentados a seguir arranjo: (n) k = n(n- 1)(n- 2)· · ·(n- k + 1)

.

_

combmaçao:

(n) k =

n!

k! (n _ k)! ·

=

2. Verifique fofi!ialmente que: a. A6B = B6A. b. (A6B) u AB = A U B. c. (ABcc u N BC) n ABCc = 0. 3. Sejam A1. A 2 , • • • subconjuntos de n e defina Bn da seguinte forma:

B1

= A1

e Bn

= AnA~-1 A~-2" ·Aí, n 2:: 2. 00

U An. Mostre que a seqüência { Bn; n 2:: 1} forma uma partição de n=l

4. Considere a seqüência infinita A 1 , A 2 , ···de subconjuntos de n e defina Bn

(n(:!~)!;

=

00

00

j=n

j=n

nAj e Cn = UAj.

a. Estude a monotonícidade das seqüências { Bn; n 2:: 1} e {Cn; n 2:: 1}. 00 b. Prove que w E U Bn se, e somente se, w pertence a todos os subconjuntos n=l

A 1 , A 2 , ···exceto, possivelmente, a um número finito deles.


10

oc

.

c. Mostre que w E

n Cn se, e somente se, w pertence a um número infinito

n=l

11

1.3 Probabilidade

probabi!idáde geométrica. Por exemplo, para temos,

dos subconjuntos A1, A2, · · ·. 5. Sendo S1

P(A) =

= {a, b, c}, liste todas as a-álgebras de subconjuntos de n.

6. Sendo S1 = {1 , 2, 3}, mostre que SlP é a-álgebra. 11

7. Mostre que, se A1 , A 2 , .. ·,A, são elementos de uma a-álgebra :F então nA; i=l

também pertence a :F.

9. Seja C uma coleção não vazia de subconjuntos de n. Mostre que existe a menor a-álgebr;1 de subconjuntos de S1 que contém C, e que ela é unica. 10. Considere S1

= [O, I) e os seguintes subconjuntos: 'A= {x E S1: x

~

1/2} e B = {x E S1: x 2: 1/3}.

Expresse, em fúnção dos indicadores de A e B, os indicadores dos seguintes conjuntos: a. {:r E Sl: X> 1/2}. b. {x E Sl: X< 1/3}.

{x

Comprimento de A Comprimento total de S1

P(A) = lim nA· n .....oo n As definições apresentadas acima têm o apelo da intuição e permanecem sendo usadas para resolver inúmeros problemas. Entretanto, elas não são suficientes para uma formulação matemática mais rigorosa da probabilidade. Ao redor de 1930, A. N. Kolmogorov apresentou um conjunto de axiomas matemáticos para definir probabilidade, permitindo incluir as definições anteriores como casos particulares. Definição 1.2: Probabilidade

n

e com Uma função P, definida na a-álgebra :F de subconjuntos de valores em [0, 1), é uma probabilidade se satisfaz os Axiomas de Kolmogorov: (Axl) P(Sl)

f2: 1/3 ~X ~ 1/2}. d. {x E f2: X< 1/3 ou X> 1/2}.

C.

sendo um intervalo dos reais

Uma outra definição, denominadafreqüentista ou estatística, considera o limite de frequências relativas como o valor da probabilidade. Para tal, seja nA o número de ocorrências de A em n repetições independentes do experimento em questão. Assim,

n = JR.,

seja B(JR.) a a-álgebra gerada pelos intervalos ( -oo, x) com Mostre que com o intervalo [x,y), x ~ y, x.,y E JR., também poderíamos gerar os mesmos borelianos de B(JR.).

8. Sendo x ER

n

E

=

I;

(Ax2) Para todo subconjunto A E :F, P(A) ;::: O;

e. n.

(Ax3) Para toda seqüência A1, A2, ... E :F, mutuamente exclusivos,

1.3 Probabilidade

temos

A definição clássica de probabilidade se refere a subconjuntos unitários eqüipmváveis. No caso enumerável finito temos:

P(A)

=

Número de elementos em A Número total de elementos em S1

Utilizando essa definição, muitos problemas são resolvidos através de técnicas de análise combinatória e de contagem. Se o número de elementos de n for infinito, precisamos tratar a definição acima com o uso de limites. Se n não for enumerável, o conceito se aplicará ao comprimento de intervalos, medida de áreas ou similares, dando origem ao que é chamado de

o A trinca (S1, :F, P) é denominada espaço de probabilidade. Os subconjuntos que estão_ em :F são denominados eventos e é somente a eles que se atribui probabilidade. E possível demonstrar, através do Teorema da Extensão de Caratheodory, que uma função de probabilidade definida em uma álgebra pode ser estendida para uma a-álgebra conveniente.


12

Exemp lo 1.7: Proble ma dos Aniversários (Feller [68]) Num grupo de r pessoas, qual é a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem aniversário no mesmo dia? de Esse problema tem surpreendido estudantes pois, dependendo do valor 365 com ano o rar conside Vamos r, a_probabilidade procurada é bastante alta. desejada dias e, assim, assumimos r < 365 pois para r ~ 365 a probabilidade seria 1. s O espaço amostrai n será o conjunto de todas as seqüências formada ano). do dias 365 dos um a data cada com as datas dos aniversários (associamos enumerável Pode ser verificado que o conjunto das partes de um espaço amostrai sendo o como :F ra a-álgeb a tomar s é uma a-álgebra. Dessa forma, podemo entre o te quocien o é P(A) :F, E A r qualque conjunto das partes de f! e, para ias de seqüênc de total número o é que 365r, por número de elementos de A váveis. eqüipro são dias os todos tamanho r. Assim, assumimos que Seja E o evento de interesse, isto é, E = {pelo menos duas pessoas ={ning uém aniversariam no mesmo dia} . Para o complementar de E, temos Ec Ec com o de lidade probabi a r calcula Iremos faz aniversário no mesmo dia}. em. Contag da auxílio do Principio Fundamental as Considerando a escolha das idades como sendo r etapas sucessiv as escolhid forem que as r elimina s, distinta todas serem precisamos, para as datas para o em etapas anteriores. O agrupamento formado é um arranjo e, dessa forma, total de maneiras de escolhermos r datas diferentes de aniversário, teremos

(365) r

= 365

X

364

X ... X

(365-

13

1.3 Probabilidade

r

P (E)

10 20 30 40 50 60

0,1169 0,4114 0,7063 0,8912 0,9704 0,9941

A nossa intuição de considerar "evento raro" duas pessoas terem a mesma muito data de aniversário contradiz os cálculos da tabela. Não é preciso um grupo O entes. coincid ários anivers certeza, quase grande para que tenhamos, com Exempl o 1.8: Paradoxo de Bertran d (Neuts [73])

é ível de Ne~te exemplo, vamos apresentar um problema que . paradoxo, diferentes Interpretações. Apesar de se tomar conhecido como um e, sendo lidade probabi ~ata-se apenas de diferentes escolhas do espaço de tos são elemen os tações ngoroso, não existe paradoxo algum. Em todas as interpre m produze es, diferent ~üiprováveis mas, como os espaços de probabilidade são forma: e diferentes respostas. O problema é formulado da seguint ro Num círculo unitário, representado a seguir, o triângulo eqüiláte círculo inscrito tem lado igual a y'3 . Qual é a probabilidade de uma corda desse ' escolhida ao acaso, ter comprimento maior que o lado desse triângulo?

r+ 1).

satisfazem a Em outras palavras, o produto acima é o número de seqüências que condição de datas distintas de aniversário. Então,

r- 1) 2 ) ( 1 ) (1 ( (365)r c - 365 ... 1 - 365 . P(E ) = 365r = 1 1 - 365 no Portanto, a probabilidade desejada, de pelo menos dois aniversários mesmo dia, será P(E) = 1 - P(ec). , O curioso é que para r = 23, um número relativamente baixo de pessoas 1/2. que a probabilidade de pelo menos dois aniversários coincidentes já é maior lidade A tabela a seguir (ver Neuts [73]) apresenta alguns valores dessa probabi em função de r.

c Figura 1.1: Paradoxo de Bertrand.


14

15

1.3 Probabilidade

J3

I a. Intemretacão: forma: escolhemos A corda é escolhida ao acaso da seguinte os ao centro através de um aleatoriamente um ponto P dentro do círculo e o ligam forma a ser perpendicular ao segmento de reta. A corda é traçada nesse ponto de segmento conforme figura a seguir.

são aquelas em que o outro As cordas com comprimento superior a entre ~ e ~ (ver figura a extremo da corda está no arco com extremidades seguir). 4Jtl3

D

D

Figura 1.3: Paradoxo de Bertrand- la. Interpretação.

c

Segue que

Figura 1.2: Paradoxo de Bertr and-l a.lnte rpret ação.

P(Co rdas maiores que o unitário e :F uma Para essa interpretação consideramos O como o círcul subconjuntos de O cuja área a-álgebra constituída de modo a incluir todos os como sendo o quociente entre esteja definida. Para todo A E :F, definimos P(A) a área de A e a área do círculo unitário. que produzirá as É um exercício de geometria, verificar que a região de mesmo centro e raio 1/2. cordas desejadas é o círculo inscrito no triângulo, Logo, a probabilidade de interesse será: Área Círculo (0, 1/2) = r;; ) . , P(cord as maiOres que v 3J = Area Círculo (0, 1)

!1r =

~. 4

1r

2a. Intemretação: , ainda, que a corda A corda une dois pontos na circunferência. itimos Dessa forma, fixamos uma é invariante por qualquer rotação da circunferência. o na circunferência. O espaço extremidade e escolhemos, ao acaso, o outro extrem a a-álgebra :F é formada de amostrai O consiste dos arcos no intervalo [0, 211'] e ser avaliada. Para todo modo a incluir todos os arcos de O cuja medida possa do por 211'. A E :F, definimos P(A) como a medida do arco dividi

r;;

v J)

=

2 1 ,.) !... Medida do Arco ( ~, 3 3 = 311' = _. · 3 211' 211'

3a. Intemretação: em um dos raios, e Para a obtenção da corda, escolha um ponto ao acaso raio utilizado é irrelevante e por esse ponto, trace uma perpendicular. O particular r um ponto ao acaso num o procedimento aleatório é equivalente a sortea segmento [0, 1] . e :F uma a-álgebra Para essa interpretação, seja O o intervalo [0, 1] comprimento esteja cujo O constituída de modo a incluir todos os intervalos de rimento de A. comp o definido. Para todo A E :F, definimos P(A) como sendo ido precisa escolh ponto o Para produzir os tamanhos desejados de corda, estar no intervalo [O, 1/2], conforme figura a seguir. Então, P(Co rdas maiores que

VJ) = Comprimento do Intervalo [0, 1/2] = ~ ·

16


17

1.3 Probabilidade

Contagem, o número de amostras, sem reposição, com k peças defeituosas é dado m )k (n - m )r-k· A correspondente probabilidade será pelo produto (

n(

c

G)(m)k (n- m)r-k P (k defeituosas na amostra sem reposição)= ....:..:::..'--------(n)r 1/2

Essa expressão pode ser reescrita na seguinte forma: D

P ( k defeituosas na amostra sem reposição) = Figura 1.4: Paradoxo de Bertrand- 3a. Interpretação.

Essas três respostas, aparentemente paradoxais, refletem as diferentes interpretações dadas à frase "escolhida ao acaso". Para estabelecer qual delas é a resposta correta, é necessário tornar mais precisa a pergunta para evitar ambiguidades na interpretação. Aliás, em muitos problemas de probabilidade, D essa pode ser a parte mais difícil! Nos próximos dois exemplos, o espaço de probabilidade não foi formalizado e deixamos ao leitor essa tarefa. Exemplo 1.9: Amostragem com e sem Reposição (Mood, Graybill e Boes [74]) Num lote de n peças existem m defeituosas. Uma amostra sem reposição de r dessas peças, r < n, é sorteada ao acaso e deseja-se obter a probabilidade de obtermos k peças defeituosas, k $ min(r, m ). Cada amostra é denotada por ( z 1 , z 2 , .•• , Zr) em que zi representa a peça escolhida na i-ésima retirada. Dessa forma, o total de amostras possíveis é (n )r. ou seja, o número de arranjos de n tomados r a r. Para estabelecer o número de casos favoráveis, consideramos três etapas. Inicialmente escolhemos em que posição as defeituosas foram retiradas. As k peças defeituosas formam um subconjunto de tamanho k, dentre as r posições da amostra. Assim, temos possibilidades. Note que as r - k peças boas formam um outro subconjunto complementar ao das defeituosas. Tendo fixada a posição das defeituosas, as boas têm posição definida. A segunda etapa será escolher quais k dentre as m peças defeituosas existentes ocuparão as posições fixadas na primeira etapa. Isto pode ser feito de (m)k maneiras diferentes. Uma terceira etapa, análoga à anterior, será escolher as peças boas para participarem da amostra. Obtemos (n - m )r-k diferentes formas dessa escolha. Aplicando o Príncipio Fundamental da

G)

(:') (~=~) (;)

'

cuja interpretação corresponde a um outro espaço amostrai descrito a seguir. O espaço amostrai seria agora constituído de subconjuntos das n peças com tamanho r e, assim, temos ( ; )escolhas possíveis. Para contar os casos favorávei s, observe que, dentre as m peças defeituosas existentes, há ( :' )escolhas para as k participantes da amostra. De modo análogo, para as peças boas existem . ( r;=~') possibilidades. Pelo Principio Fundamçntal da Contagem o número total de casos favoráveis é o produto. Daí segue a probabilidade desejada, conforme a expressão acima indicada. Como será visto no próximo capítulo, essa situação origina o modelo Hipergeométrico para variáveis. Na situação em questão parece ser mais natural uma amostragem sem reposição. Entretanto, para efeito didático, vamos considerar uma amostragem com reposição. Para cada elemento da amostra temos n escolhas possíveis e então nr fornece o número total de amostras possíveis. De forma similar ao caso sem reposição, temos para o número de casos favoráveis, o produto ( ~ ) mk(n- m y-k e podemos escrever (r)mk(n- my-k _ _...:........_ P( k defeituosas na amostra com reposição) = ~k:.....___:_nr =

G)(:f(l- :r-~

Essa expressão corresponde à função de probabilidade do modelo Binomial, a ser O definido no Capítulo 2, sendo ~ a proporção de peças defeituosas no lote.


18

19

1.3 Probabilidade

Exemplo 1.10: Problema da Eleição e Principio da Reflexão (Brémaud [88]) Suponha que dois candidatos I e 11 disputem uma eleição recebendo, respectivamente, a e b votos. ita que a > b e o interesse é calcular a probabilidade do candidato I estar sempre à frente na contagem. Considere um plano cartesiano com os votos de I no eixo x e os do candidato 11 em y. A marcha da contagem pode ser pensada como um caminho que liga o ponto (O, O) até (a, b). Na figura abaixo uma possível trajetória é apresentada. Trajetórias favoráveis são aquelas que ficam abaixo da diagonal. y

y=x

n = n1

em que mp1 e mpii representam, respectivamente, o número de trajetórias desfavoráveis com primeiro voto em I e 11. Observe que a probabilidade de interesse é dada por n1

n

a

X

Figura 1.5: Principio da Reflexão.

Assumimos que todas as trajetórias de (0, O) até (a, b) são equiprováveis, isto é, os votos vão sendo contados ao acaso. Dessa forma, a probabilidade desejada será o quociente entre o número de trajetórias favoráveis (candidato I sempre à frente) e o número total de trajetórias. Vamos representar por n o número total de trajetórias. O total de votos a serem contados é a + b , dos quais a serão do candidato I. Logo, n nada mais é do que o número total de posições para os a votos do candidato I. Uma vez que, para esse cálculo, a localização dos votos do candidato I não é importante, temos

Seja n1 o número de trajetórias com o candidado I liderando a apuração. O número de trajetórias desfavoráveis é repartido em duas, dependendo de quem recebe o primeiro voto. Assim

1

_ mpJ

+ mpn , n

(a +!-.1)

mpii = (0,0)

=

restando calcular mn e mplJ, o que será feito a seguir. Se o primeiro voto é em 11, já estamos numa trajetória desfavorável e, assim, todas as trajetórias a partir desse ponto devem ser contadas. Dessa forma, basta contar o número total de trajetórias do ponto (0, 1) até (a, b). Isto comesponde ao número de posições para os a votos do candidato I dentre o total de votos de a + b - 1. Assim,

(a, b)

b

+ mpf + mplJ,

=

(a;~~

1}

Vamos agora verificar que mpf = mpJI, observando que cada trajetória em um dos casos desfavoráveis tem uma correspondente no outro caso. Uma trajetória, que se inicia com o voto no candidato I, precisa encontrar a diagonal em algum momento para ser desfavorável. Seja (x, x) a primeira vez que isso ocorre. Se os movimentos de (0,0) até (x,x) são refletidos em relação à diagonal, temos um trajetória também desfavorável que se inicia com o primeiro voto no candidato 11. De (x, x) até o fim, as duas trajetórias podem prosseguir pelo mesmo caminho. Então, cada trajetória desfavorável, iniciada com voto em I, tem uma correspondente iniciada com voto em 11. De forma recíproca, considere agora que iniciamos com uma trajetória desfavorável com primeiro voto em 11. Como o candidato I venceu as eleições, essa trajetória deve atingir a diagonal em algum momento. Aplicando o mesmo raciocínio anterior, concluiríamos que para cada uma dessas trajetórias existirá uma correspondente, que se iniciou com o voto em I. Se os dois conjuntos de trajetórias se relacionam biunivocamente, então têm o mesmo número de elementos e portanto mpJ = mpJI. Assim, n1 P(Cand. I sempre a frente = -:; = 1,

)

2(at~~ ) 1

(a~b)

=

a-b a+ b ·

o


20

Com os Axiomas de Kolmogorov, apresentados na definição dt: probabilidade, pode-se demonstrar com rigor matemático, diversas propriedades.

21

1.3 Probabilidade

(P3) Se A c B então o evento B pode ser particionado nos moldes usados em (P2). Assim,

Proposição 1.1: Propriedades da Probabilidade

Dado (n, F, P), considere que os conjuntos mencionados abaixo são eventos nesse espaço de probabilidade. Temos:

Então, como a união é disjunta, vem

P(B) = P(A)

(Pl) P(A) = 1 - P(N);

uma vez que, por (Ax2), P(B nA c) ;::: O.

(P2) Sendo A e B dois eventos quaisquer, vale

P(B) = P(B nA)+ P(B (P3) Se A

c

(P4) Vamos escrever A U B como a seguinte união disjunta:

nAc);

B então P(A) ::::; P(B);

dessa forma, segue por (Ax3)

(P4) Regra da Adição de Probabilidades (generalizável para qualquer n):

P(A U B) = P(A)

+ P(B) -

+ P(B nAc) ;::: P(A),

P(A

P(A U B)

n B) ;

(PS) Para eventos quaisquer A 1 , A 2 , ...

= P(A nBc) + P(B n Ac) + P(A n B).

Aplicando (P2) nos eventos A e B, eles podem ser escritos da seguinte

•

forma:

P(A)

= P(A n B) + P(A n Bc) e P(B) = P(B nA)+ P(B n Ac);

de modo que obtemos (P6) Se AnTA então P(An) TP(A). De forma similar, se An ! A então P(An)! P(A) .

P(A U B) = P(A)- P(An B)

+ P(B)- P(B nA)+ P(A nB),

e o resultado segue, uma vez que a intersecção é comutativa.

Demonstração:

(Pl) Os eventos A e Ac formam uma partição de

n e, portanto, por (Ax3)

temos

P(O)

= P(A u N) = P(A) + P(Ac);

que, com auxílio de (Axl), vem 1 = P(A)

+ P(Ac)

'* P(A) = 1 -

A expressão para a probabilidade da união de n eventos Teorema de Poincaré e envolve alternar entre a subtração e probabilidades de intersecção de um número crescente de demonstração é solicitada em exercício ao final do capítulo e pode indução.

é dada pelo a soma de eventos. A ser feita por

00

P(Ac).

(P2) Para dois eventos A e B quaisquer, é sempre possível escrever o evento B da seguinte forma: B = (B nA) U (B n N). Note que essa é uma união disjunta e, portanto, por (Ax3) o resultado segue imediatamente.

(PS) Vamos escrever

U A;

como união de uma seqüência disjunta de

i=l

eventos. Temos 00

UA; = A1 u (A~ n Az) u (A! n A2 n A 3 ) u .... i=l

ade Capítulo 1: Conceitos Básic os em Probabilid

22

Portanto, pelo Axioma 3, podemos escrever oc

P(U A;) = P(A I)

+ P(A } n A2) + P(A } n A2 n A3) + ... ;

t=l

como, para qualquer j,

A~ n A~

n · · · n Aj_ 1 n Ai c Ai segue de (P3) que

oc

P(U A;) :5 P(A I)

+ P(A2) + P (A3) + ....

t =l

a que temos uma seqüência 00 (P6) Lembremos que a notação An j A indic A;. .U = A ;= limA que tais ·, ·· , A , A t=l ~--+ oo monótona não decrescente de eventos 1 2 que P (A; ) é não decrescente em i pela Uma vez que A 1 C A 2 c A 3 C .. ·, segue então lim P(A n) existe. propriedade (P3). Como também é limitada n--+C>O foi feito nà demonstração de que do es mold os mesm nos A do Escreven (P5) vem

+ ... ; = P(U A;) = P( AI) + P (Aí n A2) + P (Aí nA~ n A3) 00

P(A )

i= l

Aj_ 1 n Ai) = P(Ai) - P(Ai-I) nesse caso, vale P (A} n A2 n · · · n ncia de séries infinitas, qualquer j . Assim, pela definição de convergê P(A )

= J~~(P(AI) + [P(A 2)- P(A I)J + ... [P(A n) -

para

P (An- dJ ) ,

e, então o resultado segue após simplificação. Temos agora uma seqüência Considere agora o caso em que An ! A. ) A 1 :) A2: A3: ) .. ·, de modo que monótona não crescente com 00 i por (P3). Tomando os .n A ; e também P( A;) é não crescente em _limA; = A= t=l ...... 00 caso anterior de seqüências monótonas complementares dos A ;' s, recaímos no uldade. Os detalhes são deixados ao não decrescentes e o resultado segue sem dific O leitor. do duas vezes e as faces resultantes Exem plo 1.11: Um dado equilibrado é lança n = {1, 2, .. ·, 6} x {1 , 2, .. ·, 6} . A observadas. Um espaço amostrai natural seria Pé a probabilidade uniforme em todos a-álgebra pode ser o conjunto das partes e Note que fica mais simples considerar os pontos de n, isto é, P( { w}) = 1/36.

23

1.3 Probabilidade

amostrai é constituído de pares de que w = (w1, w2). Dessa forma, o espaço primeiro e do segundo lançamento, valores, representando os resultados do respectivamente. Considere os eventos: A : a soma dos resultados é ímpar; r. B : o resultado do primeiro lançamento é ímpa C : o produto dos resultados é ímpar ndo contar quantos são os pontos de Não é díficil obter suas probabilidades, basta de pontos {(1, 2) , (1, 4),( 1,6) ,· .. , interesse. Para o evento A temos o conjunto temos P(A ) = 1/2. De modo análogo, {6, 5)}, totalizando 18 pares e, portanto, vem P(B ) = 1/2. Para a união de A e B, temos P(A

u B) = 1/2 + 1/2 - 1/4 = 3/4,

6)} e contém 9 pares. uma vez que A n B = { (1, 2), (1, 4), · · ·, (5, A, B e C pode ser feito com O cálculo da probabilidade da união de dades, que é a propriedade abili de prob aplicações sucessivas da regra de adição (P4) apresentada acima. Assim, .P(A U B U C)= P[(A UB) U C)] = P(A u B ) + P(C )- P[(A U B) n C] n C)] = P(A) + P(B )- P(A n B ) + P (C) - P[(A n C) U (B nC )- P(A n B nC)J P(B = P(A ) + P(B )- P(A n B ) + P(C )- [P(A nC) +P(B nC) + P (A n B n C); C)n (A P )B n A P( )= P(A) + P(B) + P(C

3/4. logo, pode-se verificar que P(A U B U C)= os eventos acima poderiam ser com dade abili prob Os cálculos de fosse utilizado. Considere a seguinte facilitados se um outro espaço amostrai alternativa para espaço amostrai n1= {(p, p), (p, i), (i, p), (i, i)}, ímpar, respectivamente. A a-álgebra sendo p e i a ocorrência de face par e s de 0 1 e a probabilidade uniforme poderia continuar sendo o conjunto das parte com w sendo um dos pare s acima. continuaria valendo, ou seja, P( { w}) = 1/4 {(p, i),(i ,p)} e, de forma O evento A corresponderia ao conjunto ao leitor a tarefa de completar os imediata, teríamos P(A ) = 1/2. Deixamos a e constatar que podem ser feito s de cálculos das probabilidades obtid as acim ço de probabilidade. Entretanto, vale a forma bem mais rápida com o novo espa

Capitulo 1: Conceitos Básicos em Probabilidade

24

calcula r algumas pena enfatiz ar que, o espaço amostrai 0 1 não permit iria O probab ilidade s tais como a de um duplo 6! ações de seus Exemp lo 1.12: O Posto de Saúde de um certo bairro coleta inform referentes ao último pacientes quanto à ocorrência de várias doenças. Os dados, A tabela abaixo ano, indicam 650 atendimentos de crianças com até 2 anos. consultas até a cura, apresenta, para algumas das doença s atendidas, o númer o de ou encam inhame nto para outro orgão de saúde. 4 3 2 1 Doenç a\ No. Consu ltas 46 52 53 35 Bronquite 84 72 42 20 Diarréia 120 85 32 9 Otite no aleatório Essa tabela corresp onde a uma realização anual do fenôme que o que rmos assumi Se Saúde. de represe ntando o atendimento nesse Posto de em realida a bem ente madam aproxi nta ocorreu nesse ano é típico e represe de modelo um ler estabe para dados esses bairros similares, podem os usar . rísticas caracte essas probab ilidade formal para estuda r alternativas Consideramos como espaço amostrai o conjun to de todas as inicial letra sua por doença cada ndo Denota tas. de doença e número de consul seja similar modo De s. doença das to conjun o temos I= {b , d , o} como Assim, J = { 1, 2, 3, 4} o conjunto possível para o número de consultas.

0 = {(x, y ): x E I, y E J}. cada ponto é um par O espaço amostra] é finito e consist e de 12 pontos, sendo que conjun to das partes o conforme mencionado acima. Para a-álge bra consid eramos ncia relativa das freqüê a de n. Para a função de probabilidade P podemos adotar ocorrências. Isto é,

P ((

x, y

25

1.3 Probabilidade

Consid ere os seguintes eventos: A : a criança só recebe uma consulta; B : a criança é atendida por bronquite; C : a criança é atendida por alguma doença, exceto diarréia, em até 3 consultas; D : a criança é atendida com dor de ouvido em 2 ou mais consultas. Seguindo nosso modelo temos 35 + 84 + 120 = O, 37; 650 35 + 536;052 + 46 =O, 29; = 4)}) P(B) = P( {(b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 35 + ... + 32 = O, 58; P (C ) = P ({ (b , 1), (b, 2), (b, 3), (o, 1), (o, 2), (o, 3)} ) = 650 9 85 + ~~ + = O, 19. P(D) = P( {(o, 2), (o, 3), (o, 4)}) =

P (A) = P( {(b, 1), (d, 1), (o, 1)})

6

Com o auxílio das propne dades probabilidade de alguns outros eventos:

obtemos,

dificuldade,

sem

P(A U B ) =O, 37 + O, 29- O, 05 = O, 61; P( CU D) = O, 58 + O, 19- O, 18 = O, 59; P( Ac u C) = O, 63 + O, 58 - O, 34 = O, 87. Exemplo 1.13: Limite superior de probabilidades Seja {A";n ~ O} uma seqüência de eventos em

a

o (n,.r, P),

vamos

verificar que P(limA n ) ~ lim P(A 71 ) . dado por: O limite superio r de uma seqüência numérica { x, : n ~ O} é lim sup X 11 = inf sup XA· = lim sup xk.

)) = N(x, y), 650

em que N (x , y) é a freqüência do par (x, y). probabilidade Dessa forma, baseado nas suposições feitas, o espaço de eno aleatório do (O, F , P ) representa um modelo probabilístico para o fenôm . O atendimento atendim ento de crianças por postos de saúde em certos bairros o de 4 consul tas por modelado ficou às doenças mencionadas e ao máxim ao acaso, que procura ocorrê ncia de doença e se refere a uma criança, escolh ida esse tipo de Posto de Saúde.

=

71 ~1

Seja B n =

"" Ak U

n ...:>o k~n

k~n

e observe que a seqüência {B71

A·= u

:

n ~O} é não-

Assim, crescente, uma vez que a união tem cada vez um evento a menos.

n oc

limATI =

oc

u = O 1.: =

nBII 00

U Ak = 11

n = O

= limB/1 . n-+x

( (


26

27

1.3 Probabilidade

(

(

( ( ( ( ( (

lim P(B .. ) pela continuidade da probabilidade Temos, então, P(limAn ) = n-+:x> expressa na propriedade (P6). :x; Por outro lado, P(Bn) = P( U Ak ) 2: P(Ak), 'r:/k 2: n. Desse modo, k=1l

temos P(B1,) 2: supP(Ak ). k~ n

Então, P(limA 11 )

limP(B,. ) 2: limsupP (Ak) = limP(An )· = n-.oo n-+x

o

k~n

equação, resulta em: l =kP(B) ;

Se P(B) > O, então k = 1/P(B). Se P(B) =O, não existe k que possa satisfazer as condições que discutimos até agora e nossa argumentação intuitiva não valeria. Nesses casos, alguns autores indicam que P1 (A) é indeterminada e outros lhe atribuem um valor arbitrário. É possível verificar que, para P(B) > O, a função P1 aplicada em conjuntos de :F8 e definida por

( ( (

( ( (

(

( (

(

( (

(

Em muitas situações, informações preliminares podem alterar as probabilidades de eventos. Assim, a probabilidade de chover no final da tarde poderia ser diferente se tivermos informações adicionais, tais como a situação climática do dia anterior. Vamos, agora, descrever como é possível incorporar essas informações de um modo formal. Suponha que um experimento é descrito originalmente em termos do espaço de probabilidade (0, :F, P). Desejamos discutir como a atribuição original de probabilidade aos eventos de :F é afetada pela informação sobre uma realização do experimento. De fo~a mais precisa, suponha que tenha ocorrido um ponto w pertencente a um certo evento B. Seria possível identificar uma classe de eventos, subconjuntos de B, e uma função de probabilidade nessa classe, de modo a incorporar o efeito da informação de que w E B? Seja A E :F um evento qualquer. A única forma dele ocorrer, sabendo-se que ocorreu w E B, seria se tivéssemos w E B nA. Assim, é natural considerar um novo espaço amostrai B (ver Figura 1.6) com uma nova a-álgebra :F8 com todos os conjuntos do tipo B nA para A E :F. A a-álgebra :FB é denominada a restrição de :F ao espaço amostrai B. A probabilidade original P(A) é a soma de P(A n B) com P(An Bc). A informação adicional disponível nos diz que A n nc não pode mais ocorrer. Gostaríamos que a nova probabilidade P1 (A) fosse proporcional à P(A n B). Assim, é intuitivo redistribuir a massa unitária de probabilidade nos conjuntos de :FB de modo proporcional às probabilidades que esses conjuntos tinham na antiga função de probabilidade P. Vamos considerar Pt(A) = kP(AnB ),

para todos os eventos A. Observe que P 1 ( B)

= 1 e, substituindo A por B nessa

p 1 (A)= P(AnB ) P(B)

satisfaz os Axiomas de Kolmogorov, sendo assim uma probabilidade.

A B

Figura 1.6: Restrição ao evento B.

Desse modo, construímos um novo espaço de probabilidade (B,:FB, Pt ) partindo do original (0, :F, P). A construção do novo espaço de probabilidade não é essencial e poderia ser contornada. Para tal, vamos estender a definição de P1 para todos conjuntos A E :F. Isto é feito atribuindo sempre P1 (A n Bc) =O, \:IA E :F. Dessa forma,

de Capítulo 1: Conceitos Básicos em Probabilida

28

definição de probabilidade Procedemos por indução. Para n = 2, pela condicional, temos

usando a aditividade de P1. podemos escrever

P1(A ) = P1(A n B)

+ P1(A n B

c

)=

P(A nB) P(B ) ·

P(A2I At) =

o evento B, é conveniente Para enfat izar a estreita relação de H com argumentação conduz à essa . Toda alterar a notação de P1(A) para P(AI B) próxima definição. Defin ição 1.3: Probabilidade Cond icion al F, P). Sendo P(B ) > O, a Cons idere os eventos A e B em (0, reu B, é dada por: prob abili dade condicional de A dado que ocor

P(A I B) =

P(A nB) P(B ) ;

o

). caso P(B ) =O, definimos P(A I B) = P(A alguns autores preferem Convém observar que, no caso de P(B ) =O, iderá-la indefinida. cons o mesm igualar a probabilidade condicional a zero ou situações práticas, para lagem Além de servirem como mode iar no cálculo de probabilidades em probabilidades condicionais pode m auxil a probabilidade de um certo evento geral. Existem situações em que desejamos r. Eventualmente, nesses casos, um cuja caracterização não é simples de estabelece pode ser conveniente e tornar os condicionamento em eventos mais simples cálculos menos complicados. expressões importantes nas As próximas proposições apresentam operações com probabilidade condicional. abilidades Proposição 1.2: Regr a do Prod uto de Prob 11

com P(n A;) >O, a regra Para os eventos A 1, A 2, ... , An em (0, F, P), i=l do prod uto de probabilidades é dada por: P(An )AI P(A1 n A 2 ... n A 11 ) = P(A I)P( A2I A1) ... (

29

1.3 Probabilidade

pois P(A I)

P(A1 n A2) =? P(A1 n A2) = P(A1 )P(A 2I A1), P(A ) 1

> O.

vamos prová-lo para k Supomos o resultado válido para n = k e Assim,

n Ak) n Ak+d P(A1 n A2 ... n Ak n Ak+l) = P[(A1 n A2 ... +li A1 n A2 ... n Ak) P(Ak = P(A1 n A2 ... n Ak) Ak-d = P(At )P(A 2I A1) ... P(AkiA1 n A2 ... n P(Ak +1IA 1n ... nAk )·

o

E, portanto, a proposição está demonstrada. Teor ema 1.3: Lei da Probabilidade 'Fotal

em (n, F , P) formam uma Suponha que os eventos C1 , C2 , .•. , Cn iva. Então, para qualquer evento A partição de n e todos têm probabilidade posit 1l

P(A ) = LP (C;) P(AI Ci). i=l

Dem onstr ação :

n C;), pela regra do produto Observe que temos P(C ;)P(A I C;)= P(A · ·n, os eventos A n C; são disjuntos. de probabilidades. Também, para i= 1, 2, · Então, n

n

i=l

i=l

n

(An C;)] = LP( C;)P (AIC ;) = LP( AnC ;) = P[U i=l

. n

= P [A n (Uc;) J =

n A2 ... n An-1)·

o

amentos do lado direito são Observe que, por hipótese, todos os condicion 11 eles contém nA; . todos pois iva, posit dade abili prob com tos feitos em even i=l

-

P(A ) ;

•=1

uma vez que a união dos C; 'sé n.

Dem onstr ação :

+ 1.

-- --

L I. 30

abilidade Capítulo I: Conceitos Básicos em Prob

Teo rem a 1.4: Teo rem a de Bay es Cn estão em (0, F, 'P), formam uma Suponha que os eventos Ct, C2, ... , com e positiva. Seja A um evento qualquer partição de O e todos têm probabilidad . .. , n, temos P(A ) >O. Então, para todo j = 1, 2,

a k, k = 1, 2, ... , n. Esse evento Seja Ak a ocorrência de bola k na caix haver A probabilidade de interesse é não corresponde a um encontro em k. nenhum encontro: P(to das as bolas em caixas erradas)

= 1- P(pe lo menos 1 bola na caixa correta) n = 1- P( u Ak) · k=l

P( Gil A)= !(A I Ci)P (CJ ) . I:P (AI C;)P (C;) i=l

31

1.3 Probabilidade

idade da união pode ser calculada Pelo Teorema de Poincaré, a probabil como

Dem onst raçã o:

erador é P(A n CJ) pela regra do Na expressão do lado direito, o num e ador é P(A ) pela Lei de Probabilidad produto de probabilidades. O denomin está ão abilidade condicional, a proposiç Total. Portanto, pela definição de prob O demonstrada. de Bayes, conhecemos ou fazemos Em geral, na aplicação do Teo rem a 2, ... n. P(A I C;) e P(C ;) para todo i= 1, suposições sobre as probabilidades te uma esen repr n) ·, · · supor que C; (i= 1, Uma interpretação dessa fórmula é o o lizad Rea . tório alea um experimento possível causa no resultado de o com ca indi es o A, o Teo rem a de Bay experimento e obtido um resultad es idad abil prob ri P(C ;), i= 1, · · ·, n . As recalcular as probabilidades à prio adas d A), i= 1, .. ·, n, são denomin P(C resultantes, representadas por a caus cada to quan ser usadas para avaliar o probabilidades à posteriori e podem evento A. C; é responsável pela ocorrência do os (Du dew icz e Mis hra [88]) Exe mpl o 1.14: Pro blem a dos Enc ontr a são encontradas em livros de Diversas variações desse problem com as, mas são comuns também versões probabilidade. Usamos bolas e caix e: segu o com o ulad form básico pode ser chapéus, casais e cartas. O problema 1 a n são colocadas ao acas o em Suponha que bolas numeradas de se foi A bola "encontrou" seu luga r correto caixas, também numeradas de 1 a n. bolas as s toda de e Obtenha a prob abil idad çolocada na caixa de mes mo número. irem para caixas erradas. ir. O espaço amostrai O é o conjunto O espaço (0, F , 'P) é definido a segu os números das bolas que ), representando de todas as seqüências (i 1, i 2 , ... , Í 11 das s de 1 a n. A a-álgebra :F é o conjunto foram colocadas nas caixas ordenada s. todas as seqüências eqüiprovávei partes de O. Para definir 'P assumimos

é definido por em que, para cada k = 1, 2, .. ·, n, 8k

L

8k =

P(A;IA;2, .. ·, A;k) , it? 1 e ik

s n.

it < ···

de seqüências favoráveis, em cada Uma pequena reflexão sobre o número caso, permite escrever

1

P(A k) = (n - , )!

n.

P(A ;Aj) =

=> 81 =

1 P(A k) = n (n -, )! = 1;

n.

k=l

Li<J P(A;Aj) = (n)2 (n-n! 2)! = 1/2; 3 . P(A ;AjA k) = (n) (n -, )! = 1/3! (n -, 3)! => 83 =L n. 3 i<j
(n n.-, 2)!

P(A iAjA k} =

t

=> 82 =

Não é díficil perceber que, para k P(A ;tAiz • .. ·, A;k) =

= 1, 2, ... , n, temos

(n- k)l. = 1/k!. (n- k)' e ainda 8k = (n) n! k I

n.

.

Portanto, concluímos 1

n

1

P( k~IAk)=1-2!+3!- ... + N ot e

-x

= 1-

x

+ 2f x2

(-l) n-1 n!.

d • essa- o com x3 · · · e, asstm, po emos usar essa expr 3f

que e a. Desse modo para n grande, vem: x = 1 para aproximar a probabilidade acim

32


P(

ÜAk) k=I

= 1- (1- 1 + ..!._-

2!

..!._ + ... + (- 1)n) ~ 1- e-1. 3!

n!

Portanto, para a probabilidade de interesse temos: P(todas as bolas em caixas erradas) = 1 - P(

33

1.3 Probabilidade

bolas e suas respectivas n - 2 caixas e, para o evento U ocorrer, precisamos que na atribuição dessas bolas não haja nenhum encontro. Logo, estamos no problema inicial de obter desencontros com n- 2 bolas, o qual tem probabilidade Pn-2· Ou seja,

Ü Ak) ~ e- 1 =O, 368.

k=1

Vamos apresentar uma outra solução (ver Ross [98]), que calcula a probabilidade de não haver encontros através de uma expressão recursiva com o condicionamento na primeira ocorrência. Introduzimos nova notação que auxiliará o estabelecimento da recursão. Seja U o evento de não haver encontros e Pn a sua probabilidade. A primeira bola a "escolher" uma caixa pode produzir um encontro, evento que representamos por E. Nesse caso, restarão n- 1 bolas e suas n- 1 caixas. Caso ocorra um desencontro, isto é, a primeira bola escolheu a caixa de uma outra bola, teremos a ocorrência de Ec. Nesse caso, dentre as n - 1 bolas restantes, uma delas não vai achar a sua caixa pois ela já foi escolhida! Assim, U pode ser escrito como:

Vamos itir que a bola extra possa fazer par com a caixa extra. Logo a probabilidade condicional de ocorrência simultânea de U e Fc dado Ec, é igual à probabilidade de n- 1 desencontros, o que é igual a Pn-1· Assim,

U =(UnE) u (Un EJC),

1 )n-1 P(U) = Pn = ( Pn-2 n _ 1 + Pn-1 -n- ;

mas U n E

P(UPIEJC) =Pn-1· Dessa forma, temos

P(UI Ec)

=

Pn-2

~ + Pn-1· n- 1

Então, a probabilidade do evento U pode ser escrita como

= 0, uma vez que U é o evento de todos os desencontros. Então ou, ainda,

Observe que P(Ec) = (n- 1)/n, pois é a probabilidade de desencontro na primeira bola. Para o cálculo de P(UI Ec) vamos desenvolver um novo argumento. Como houve desencontro na primeira ocorrência, temos agora n - 1 bolas e n - 1 caixas, das quais uma bola e uma caixa não farão encontro pois seus respectivos pares já sairam na primeira ocorrência. Denominemos a bola, e também a caixa, como extra. A probabilidade que desejamos calcular, dada por P(U] Ec), representa a ocorrência de não haver nenhum encontro entre n- 1 bolas e n - 1 caixas, sendo que existe uma caixa e também uma bola do tipo extra. Seu cálculo vai levar em conta as situações excludentes da bola extra ir ou não para a caixa extra. Sendo F o evento em que a bola extra foi para a caixa extra, temos

P(U] EJC) = P(U FI Ec) Observe que P(F)

+ P(U Fc IEJC).

= P(Fl Ec) = 1/(n- 1). Dado que

F ocorre, restam n- 2

Pn- Pn-1

1 n

= --(Pn-1- Pn-2)·

Valores iniciais de p11 podem ser calculados pela definição, resultando em P1 = O e P2 = 1/2. A partir desses valores e da expressão acima, podemos obter recursivamente os outros termos. Não é difícil verificar que, em geral,

Pu

=

1 .

1 .

21 - 31

(-1) 11

+ ... + --1n.

~e

-1

= O, 368;

conforme obtido anteriormente.

o

Exemplo 1.15: O doente sadio e o sadio doente (DeGroot e Schervich [02])

Uma das formas de avaliar a eficiência de um teste para detectar uma doença é quantificar a probabilidade de erro. Em geral, testes sofisticados envolvem vários procedimentos laboratoriais e diversos equipamentos. Denominamos falso-positivo ao erro em que o teste indica positivo para um paciente que não tem a doença. Por outro lado, teremos um erro falso-negativo se


34

o teste não acusar a doença num paciente doente. Não é díficil imaginar os inconvenientes dessas ocorrências. Os erros originam doentes sadios e sadios doentes, isto é, pessoas sadias indicadas como doentes pelo teste e pessoas doentes apontadas como sadias. As probabilidades dos erros são calculadas condicionalmente à situação do paciente. Seus complementares fornecem as probabilidades de acerto do teste, ou seja, a probabilidade de indicar doença para os doentes e não doença para os sadios. Para fixar as idéias, considere que um determinado teste resulta positivo para não doentes, com probabilidade 0,1. Também com probabilidade 0,1, o teste será negativo para um paciente doente. As informações fornecidas se referem aos erros que podem ser cometidos ao realizar o teste. Se a incidência da doença na população é de I para cada I O mil habitantes, qual é a probabilidade de uma pessoa estar realmente doente se o teste deu positivo? Observe que, estando ou não doente, existe uma probabilidade não nula do teste indicar a presença da doença. A situação acima ocorre de forma similar em várias áreas e é típica para a aplicação do Teorema de Bayes. Definimos os eventos: D : a pessoa está doente; A : o teste é positivo.

35

1.3 Probabilidade

Em certas farm1ias de eventos do espaço de probabilidade (0, :F, P), a função de probabilidade tem uma propriedade particular de grande importância, tanto prática quanto teórica. Ela se refere à indiferença no cálculo da probabilidade de um evento A frente à informação da ocorrência de um outro evento B. É como se não aprendêssemos nada da ocorrência de B, que fosse capaz de modificar a probabilidade atribuída ao evento A anteriormente. A propriedade, denominada independência de eventos, é definida a seguir. Ela permite, muitas vezes, separar o experimento em partes mais simples de serem estudadas e, assim, possibilitar uma enorme simplificação nos cálculos probabilísticos de interesse. Definição 1.4: Independência de Dois Eventos

Os eventos A e B em (0, :F, P) são independentes se a informação da ocorrência de B não altera a probabilidade atribuída ao evento A. Isto é: P(Aj B) = P(A);

a condição de independência pode também ser expressa na seguinte forma alternativa e equivalente: P(A n B) = P(A)P(B).

o

Assim, as informações disponíveis são as seguintes: P(D)

= 0,0001;

P(Aj De)= 0,1 e P(Acl D)

= 0,1.

Note que, pela propriedade do complementar, temos P(Dc) = 0,9999 e também P(AI D) = 0,9. Com a notação utilizada, a probabilidade desejada é P(Dj A) e será calculada através do Teorema de Bayes. P(DI A)

=

P(AI D)P(D) · P(AI D)P(D) + P(AI Dc)P(Dc)

0,9

X

0,9 X 0,0001 0,0001 + 0,1 X 0,9999

= 0,0009. Essa probabilidade é de aproximadamente 1 em 1000. Ela é bastante pequena apesar de ser dez vezes maior que a probabilidade da doença na população. É interessante notar que a probabilidade calculada depende fortemente da eficiência do aparelho. Deixamos ao leitor, a tarefa de refazer os cálculos, considerando uma eficiência de 99%, isto é, cada um dos erros é igual a 0,01. O

A expressão equivalente, apresentada na definição de independência, é muito conveniente para efetuar cálculos e definir outros tipos de independência. Por exemplo, diremos que os eventos A e C são condicionalmente independentes dado B se P(A n Cl B) = P(AI B) P(CI B). A expressão alternativa também será usada para definir independência entre mais de dois eventos. Nesse caso, ressaltamos que precisamos considerar a intersecção entre todas as combinações dos eventos. Definição 1.5: Independência de Vários Eventos

Os eventos A1 , A 2 , ••• , An em (0, :F, P) são independentes se, para toda coleção de índices 1 :::; í 1 < í2 < . . . < Ík :::; n e 2 :::; k :::; n, tivermos P(A; 1 n A; 2

n ... n Aik) =

P(A;JP(A; 2 ) ••• P(A;k).

o

37

1.3 Probabilidade

Probabilidade Capítulo 1: Conceitos Básicos em

36

(Ross [98]) Exe mpl o 1.16: Problema dos pon tos do de probabilidades e pode ser Este problema é histórico no estu enunciado da seguinte forma: te, são realizados de form a independen Ensaios do tipo sucesso-fracasso a é l Qua sso e 1 - p a de fracasso. sendo p a probabilidade de suce ssos antes de mfr aca ssos ? probabilidade de ocorrerem n suce lo uída ao matemático Fermat no sécu A solução apresentada a seguir, atrib é s} asso frac to { n sucessos antes de m 17, consiste em observar que o even 1 n + m s os n sucessos nos primeiro equivalente a {ocorrem pelo men ção dessa eqüivalência. ensaios}. Deixamos ao leitor a verifica ssos em m + n - 1 ensaios, note que k Para obter a probabilidade de suce dência não é importante. Logo pela indepen a ordem da ocorrência dos k sucessos entre os ensaios, temos k( - P)m+ n-1- k , m + knP } = ios ensa 1 n+ m ( P{k sucessos em

1) 1

e, então

m+t;n-1( m + kn- 1) P (1 - P) k

s} = P { n sucessos antes de m fracasso

m+n -1-k

·

de menos famosos, envolvem cálculo Diversos outros problemas, mais ou e pod r leito O . asso frac pendentes de sucessoprobabilidades em sequências inde o os tem is qua os e entr s, o de alguns dele consultar Feller [68] para a descriçã de is Ten no cer Ven de a blem de Banach e o Pro Problema das Caixas de Fósforos Mesa.

o

ora da desconfuula Exe mpl o 1.17: O pro blem a da nam uma moeda equilibrada. Cada jogador João e José disputam um jogo com resultados e o jogo aquele que obtiver dois lança a moeda duas vezes e venc José e; para da moe não vencer, a a iguais. João começa jogando e, se de Jose a orad nam A das, até alguém vencer. continuam assim, alternando as joga e de idad abil prob s mai reclama que João tem desconfia da honestidade do jogo e é isso que diz João de a o lado, a namorad vitória por iniciar o jogo. Por outr eça com m que faz o tant ito, das pode ser infin besteira pois, como o número de joga o? razã jogando. Quem será que tem

os cálculos das probabilidades de Poderíamos iniciar, imediatamente, deter proposta. Entretanto, vamos nos interesse para responder a questão os rem esta l qua a sob espaço de probabilidade, buscando formalizar a estrutura do trabalhando. e ever o espaço de probabilidade pod Temos aqui um exemplo em que escr nte ame licit imp são da moe lançamentos da ser uma tarefa complicada. Os de um par que faz com que a probabilidade o tes, den assumidos como indepen de seus o ltad resu do es idad das probabil possa ser calculada pelo produto cia de rrên oco da e idad abil prob a os calcular elementos. O mesmo vale se desejarm obter faz um experimento que consiste em vários pares. Note que, cada jogador s. dele Isto jogo prossegue até a vitória de um um par de resultados da moeda e o rentes, ência de pares com elementos dife significa a ocorrência de uma seqü is. seguido por um par com elementos igua is no se ocorreram ou não elementos igua r sabe é e ress inte o noss Como essas com ente um espaço amostrai básico par de lançamentos, definimos inicialm is, igua s ento em que A é a ocorrência de elem características. Seja no= {A, Ac}, e Ar} , A 0, , o--álgebra tomamos Fo = {no isto é duas caras ou duas coroas. Para plo, exem do te com o indicado no ínicio atribuímos probabilidade, coerentemen de cada = 1/2 . Assim, para o experimento através da função Po em que P0 (A) . Po} Fo, espaço de probabilidade {no , jogador na sua jogada, é suficiente o ço de espa o , tindo esse experimento Como os jogadores se sucedem, repe será re, suge e ço produto que, como o nom probabilidade conveniente será o espa No não. ou s tico ços de probabilidade, idên uma espécie de produto de outros espa por o otad den será ticos e o espaço produto nosso caso, os espaços são todos idên o strução. Descrevemos brevemente com con {n, F, P}. É preciso cautela na sua e idad abil Prob de para mais detalhes, textos isso pode ser feito e indicamos, . Avançada tais como Billingsley [91] isto é o produto cartesiano dos no's, é n O espaço amostrai forma da os junt con a classe de todos os n = no X no X . . ·. Sendo c, defi lgebra o--á a é F nimos F= u(C). Assim, A1 x A 2 x · · ·, com A; E F0 de ão funç uma ir é possível constru gerada pela classe C. Finalmente, riedade de que probabilidade P sobre F com a prop com (A1, A2 , ···) E :F. = lim Po(AI) Po(A2) · · · Po(An),

P(A I. A2, · · ·)

n-+ex:>

-----------~


38

De volta ao nosso exemplo. Se João vence na la. jogada, temos o evento (A, n 0 , no,··· ), cuja probabilidade é dada por

P(A , no , no , ...

1 ) = -2

X

1

X

1X

•••

= -21 .

Para José vencer na sua segunda tentativa, é preciso que João e José não vençam nas suas primeiras jogadas e João também não vença na sua segunda tentativa. Assim, 1

P( {José vence na 2a. jogada}) = P( X, A c, A c, A, f!o, no,···) = 1 · 6 Vamos agora resolver a polêmica entre as namoradas. A probabilidade de João vencer é dada por P({Joãovence rojogo})=

2 1 (1)3 + (1)5 +···='3'

2+ 2

2

39

1.3 Probabilidade

evento em que o componente j do sub-sistema si funciona é representado por Aii• i = 1, 2 e j = 1, 2, ... , mi. Seja P(Aii) = a; para todo j, isto é, a probabilidade de funcionamento de cada componente dentro de um mesmo sub-sistema é igual. Desejamos estabelecer valores para o número de componentes, de modo a obter uma confiabilidade no sistema de pelo menos "f

o

(0

< 'Y < 1).

Assumimos independência entre os sub-sistemas e entre os componentes dentro de cada sub-sistema. Para o sistema funcionar basta que um dos componentes de cada sub-sistema funcione. Assim, m2 m, m2 m1 ~ 'Y· P(UA2j) P(UAtj) = (UA2j)) n P((UAtj) funcione)= P(Sistema j=l j=l j=l j=l Observe que m, m1 m1 = nA~j) P( 1P( UAtj) = 1- P( ( UArjr) = J=l J="l j=l ffii

e, portanto, a namorada de José tem razão em dizer que João tem maior probabilidade de vitória. Após saber dessa resposta, ela virou para o seu namorado e, num tom desafiador, exclamou "E agora José?" Para ajudá-lo, você teria alguma sugestão? Uma moeda com outra probabilidade de cara ajudaria? O

Exemplo 1.18: Aplicação em Confrabilidade (Feldman e Fox [91]) A confiabilidade de um sistema ou componente é a probabilidade que ele funcione. Muitos sistemas são construídos com redundâncias nos componentes, permitindo alternativas de funcionamento em caso de falha de algum componente. Considere um sistema com dois sub-sistemas em série 8 1 e 8 2 com, respectivamente, mt e m2 componentes idênticos em paralelo (ver figura a seguir).

=

1- I1P(A1j) = 1- (1- at)m

1

;

j=l e, de modo análogo, ffl2

P( UA2j)

= 1- (1- a2)m2.

j=l Então, escolhemos os menores inteiros mr e desigualdade

mz que satisfazem à

Se os componentes em cada sub-sistema têm custos diferentes, então isto deve ser levado em conta, escolhendo m 1 e m 2 de forma a minimizar também a função custo. Para ilustrar nossos cálculos, considere componentes com custos iguais nos dois sub-sistemas, confiabilidade 'Y = 0,99, a1 = 0,7 e a2 = 0,8. Nesse caso,

Figura 1.7: Dois Sistemas em Série.

(


40

41

1.3 Probabilidade

( (

(

A independência entre os resultados se toma agora independência a condicional. Isto é, para a particular sequência acima mencionada, dada ocorrência de B 1 , temos

a condição requerida é

( ( (

menor que pode ser obtida fixando um valor possível de m 1 e variando m 2 • O condição na implica que 4 é m para possível valor 1 2

0,2m

~

0,00192;

Dessa a qual, com auxílio de logaritmos naturais é equivalente a m 2 ~ 3,89. subcada em entes compon 4 com a garantid está forma, a confiabilidade de 99% o sistema. [02]) Exempl o 1.19: Probabilidade à priori e à posterio ri (DeGroot e Schervic h Suponha que uma máquina produza itens defeituosos com probabilidade p (O < p < 1) e não defeituosos com probabilidade q = 1 - p . Considere que os foram selecionados 6 itens escolhidos aleatoriamente da produção e que dois de idade resultados são independentes. Vamos obter, inicialmente, a probabil dos 6 itens serem defeituosos. . O espaço amostrai é constituído de todas sequências de 6 itens, em que ié cada 1tem pode ser defeituoso ou não. Representamos por Di e N; se o item ta represen ) N D N N defeituoso ou não, respectivamente. Por exemplo, (N1D 2 3 4 5 6 nas sos defeituo não a sequência com itens defeituosos na 2a. e 5a. seleção e demais. Tendo em vista a independência, sua probabilidade é dada por P(N1D2 NaN4 D 5 N 6 )

= p2q4 •

dois Essa também será a probabilidade de qualquer sequência que tenha dessas número o ando defeituosos em alguma outra posição. Logo, consider sequências, concluímos P(Dois defeituo sos)=

(~)p2q4.

Suponha agora que a probabilidade p, de item defeituoso, é desconhecida o mas toma um dos dois valores p = 0,01 (operação normal) ou p = 0,4 (operaçã aos ndentes correspo fora do padrão). Denominamos B 1 e B 2 os eventos r i, funcionamentos normal e fora do padrão, respectivamente. Logo para qualque

P(D;I Bt) = 0,01 e P(Dd B2) = 0,4.

Dessa forma, P(Dois defeituosos! Bt) = (

~) 0,01 2 0,994 =

P(Dois defeituosos! B 2 ) = (

~) 0,42 0,64 =

3 1,44 x 10- ;

0,311.

Considere agora que atribuímos probabilidades às escolhas de p. p. Estabelecemos, assim, o que é conhecido como probabi lidade à priori para Essas probabilidades expressam nosso conhecimento quanto ao comportamento da máquina e, em geral, são baseadas na experiência anterior. Não é difícil s, a imaginar que poderíamos ter mais de- dois valores para p . Em várias situaçõe dade. atribuição de probabilidades à priori pode envolver uma parcela de subjetivi P(Bt) = 0,9 e P(B 2 ) = 0,1. Esses valores indicam a Assumimos que probabilidade de funcionamento normal e fora do padrão, respectivamente. Se na amostra de 6 itens dois foram defeituosos, qual seria a dos probabi lidade posterio r para p = 0,01? Em outras palavras, estamos interessa se ente em saber qual a probabilidade da máquina estar funcionando normalm observamos 2 itens defeituosos. Pelo Teorema de Bayes segue que ) . d ç . P(B l I D OIS e1e1tUOSOS

=

P(Dois defeituosos I B 1 )P(Bt) 2

2:P(Do is defeituosos I B;)P( Bi) í=l

1,44

=

1,44

X X 10-3 X

3 10- X 0,9 0,9 + 0,311

= Ü X

0,1

'

04

.

Observe o efeito da informação da amostra. A probabilidade à priori de B 1 era de 0,9. Entretanto, a probabilidade à posteriori sofreu uma considerável itens redução e foi calculada em 0,04. Isto reflete o fato da ocorrência de dois o ocorre quando defeituosos ser muito mais provável quando B 2 acontece, do que O evento B 1 .


42

entretanto,

Exemplo 1.20: Independência entre vários eventos

Considere um alfabeto que tem um total de n letras. Dentre todas as palavras formadas com 3 letras escolhemos uma delas, ao acaso. Seja s uma particular letra desse alfabeto, definimos os eventos: A : palavra escolhida começa com a letra s; B : palavra escolhida tem a letra s no meio; C : palavra escolhida tem exatamente duas letras iguais. Vamos verificar a independência entre quaisquer dois desses eventos. Entretanto, eles não são (coletivamente) independentes. O espaço de probabilidade não é difícil de estabelecer e deixamos essa tarefa ao leitor. O total de palavras com 3letras é n 3 . Representemos por N (A ) o número de palavras que atendem à característica estabelecida pelo evento A (a notação será análoga para os outros eventos). Fixando s como letra inicial temos N(A) = n 2 • O mesmo vale se fixarmos a letra do meio como s, isto é N(B) = n 2 • O número de palavras com exatamente duas letras iguais é N(C) = 3n(n- 1), uma vez que temos 3 posições para a letra diferente. Portanto obtemos: P(A) = P(B) = n2

n3

=~

e P (C)

= 3n(n- 1)

3(n- 1). n2

=

n3

n

Existem n palavras tendo as duas primeiras letras iguais a s. Assim, N(AB) = n. Fixando a letra s, seja no ínicio ou no meio, e requerendo exatamente duas letras iguais teremos 3( n - 1) palavras. Dessa forma, P(AB)

= ~ = ~; ~

~

P(AC )

= 3 (n- 1) ~

e P(BC)

=

3 (n- 1 ). ~

Observe que a probabilidade da intersecção de qualquer dois, dentre os eventos A, B e C, é igual ao produto das probabilidades marginais. Segue imediatamente que os eventos A e B, A e C e também B e C são independentes. Para poder afirmar que A, B e C são independentes precisamos também verificar que a probabilidade da intersecção dos três eventos é o produto das marginais. O número de palavras que iniciam com ss e têm exatamente duas letras idênticas é igual a n- 1. Dessa forma, N(ABC) = n- 1 e temos P( A BC ) = n - 1 , n3

43

1.3 Probabilidade

P(A)P(B)P(C ) =

~ 3n(n - 1) n2

n3

=

3(n- 1) = ~P(ABC). n4 n

Portanto, exceto o caso de um alfabeto com apenas 3 letras, não há independência entre os eventos A, B e C. A conclusão importante é que a independência dois a dois não implica independência entre os três eventos. É possível construir exemplos em que o reverso ocorre, isto é, a probabilidade da intersecção de três eventos é o produto das marginais, mas eles não são independentes dois a dois. Em resumo, é necessário aplicar cuidadosamente a definição de independência para uma coleção de eventos, verificando a propriedade da independência para todas as possíveis O sub-coleções desse eventos. Encerramos o capítulo com a apresentação de um resultado teórico importante. Ele se refere a calcular probabilidades em repetições infinitas de um certo experimento tais como o lançamento sucessivo de uma moeda. Lema 1.5: Lema de Borel-Cantelli

Sejam A1 , A 2 , .•. eventos em (0, :F, P) com Pn = P(An ) para todo n ;?: 1. Temos 00

(i) Se LPn

< oo então P(limsup A

11 )

= O;

n=l 00

(ii) Se LPn

= oo e os A

11

's são independentes, então P(limsup A11 )

=

1.

n=l

Demonstração: 00

Considere B k =

U An e, portanto, lim supAn =

n=k

nBk. 00

k=l

(i) Para todo k temos 00

o ::; P(limsupAn)

00

00

= P(n Bk)::; P(Bk ) = P(U An ) ::; LPn; k= l

n=k

n=k

em que usamos várias das propriedades de probabilidade relativas à inclusão de eventos. Tomando limite para k-+ oo e lembrando que, por hipótese a série converge, temos P(lim supA 11 ) = O.

--· Capítulo 1: Conceitos Básicos em Probabilidade

44

com event os comp lemen tares. Assim, (ii) É mais conve niente trabal har 00 00 1, 2, ·· ·. seja (Iims upAn)c = U B'f. com Bf = nA~. k = n=k k=l s Sejam k em inteiros positi vos com m > k. Temo

O :S P (Bk) = P (A% n Ak+I n · · ·) :S P(A% n A%+1 n · ··nA~) = P(A%) P(Ak+ 1 )· • ·P(A~) (pela indep endên cia)

Exemplo 1.21: O macaco escritor (]ames [81]) r é razoável supor que Coloc ando um macaco em frente a um comp utado dele digita r as obras na, peque muito ra haja uma proba bilida de positi va p, embo consi ste nessa ensaio cada que dere completas de Shakespeare sem erro. Consi er as obras escrev guir conse ele se o, tentativa literár ia do macaco. Ela será sucess ensaios e os entre cia endên indep a Assum completas e, fracasso, caso contrário. mesmas. Assim, defini ndo An que as probabilidades de suces so são sempr e as como suces so no n-ésim o ensaio, temos

m

=

II(l - p;)

P(An)

uma vez que 1 - x ::; e-x para todo x real. Fixan do k vem

Exerc ícios da Seção 1.3: partes de O. Defina as 1. Consi dere O= {0, 1} e tome :F como a a-álge bra das

m

Iim

= Pn = p > O, 'Vn ~ 1.

elli concluímos que, com Portanto, pela parte (ii) do Lema de Borel-Cant obras completas de Shake spear e probabilidade 1, o macaco conse guirá escrever as um núme ro infinito de vezes.

i=k

(

45

1.3 Probabilidade

(~ Pi)

m-+oo ~

funções:

= oo, ·

i=k

f (w) = { 1/2, se w ={O}; 1/2, se w = {1};

Porta nto, pois a série {Pn; n ~ 1} é diverg ente por hipótese.

' (e-f•~kp,) =O, hm

m-->oc

e, então, P (B'f.) = O. Como o resultado vale para todo k , segue que 00

00

k=l

k=l

P(U Bf. ) :S LP(Bf.) = o. o

n) = 1. Assim, P[(Iim supA nY] =O e, portan to, P(Iim supA parte (ii) do Lema . Isto Note que a indep endên cia não pode ser omiti da na event os como sendo iguais a um pode ser verificado tomando toda a seqüê ncia de anteri or está relaci onada com as evento com proba bilida de positiva. A propo sição ssado pode consu ltar Feller cham adas Leis zero-um de Kolmogorov. O leitor intere [68] e as referências lá mencionadas. elabo rados , nada como Após um capítulo cheio de prova s e exem plos do Lema de Borei-Cantelli. terminá-lo com uma clássica e sui gene ris aplica ção

e

1/3, g (w ) = { 2/3,

se w = {O}; se w= {1 }.

de conjuntos disjuntos, ita que tanto f quanto g são aditivas para a união f(B). + (A) f = ) B U isto é, se A e B são disjuntos, f(A ogorov em (O, :F) . a. Verif ique que f e g satisfazem os Axiomas de Kolm é uma função de a)g (1n/+ b. Mostr e que, para O < a < 1, probabilidade. rai. Verifique que a função, 2. Consi dere O = {1, 2, 3, 4, 5, 6} um espaço amost é aditiva para a união de que atribui lw- 31/9 a cada ponto w E n e bra do conjunto das partes conju ntos disjuntos, é uma probabilidade na a-álge como o modelo para o de n. Considere esse espaç o de probabilidade a idéia "popular" de que lança mento de um dado. Você manteria, nesse caso, tanto faz apostar nos ímpares ou nos pares? ulo O :S x :S a; O :S y :S b, com 3. Um ponto (x, y) é escolhido ao acaso no retâng com as condições sobre a a e b positivos. Determine a probabilidade (cuidado

e b):

a. Da abcissa x ser inferi or à ordenada y . b. Do ponto satisfazer à desigualdade bx + ay :S ab/2. c. Do ponto satisfazer à desigualdade x + y < 1/3.


46

4. Sendo A e B dois eventos no espaço amostrai (0, F, P), indique sob que condições temos P(AI B) = P(BI A). 5. Mostre que as duas expressões da definição de independência são equivalentes. Isto é, de uma delas pode-se obter a outra. 6. Sendo A e B independentes, verifique que também são independentes os eventos: a. A e Bc. b. Ace B. c. Ac e nc. 7. Uma fábrica tem 3 máquinas que produzem o mesmo item. As máquinas A e B são r~sponsáveis, cada uma, por 40% da produção. Quanto à qualidade, as máqumas A e B produzem I 0% de itens defeituosos cada uma enquanto que a máq~ina C apenas 2%. Um item é selecionado ao acaso da produção dessa fábnca. Pergunta-se a probabilidade do item: a. Ser defeituoso? b. Em sendo defeituoso, ter sido produzido pela máquina A? 8. Sejam A1, A2, ... eventos em (0, F, P) com p11 = P(An) ~ c n ~ 1. Mostre que P(lim sup An) ~ c.

> O,

para todo

9. Sejam O = {1, 2, · · ·} e F = Op. Defina a função de probabilidade, atuando sobre F, por P( { n}) = n(n~l) com n = 1, 2, · · · . Para cada n, considere o 00

evento An = {n, n

+ 1, · · ·}. Mostre que, apesar de I: P(An) divergir, temos n=l

P(limsupAn) =O. Isto contradiz o Lema de Borel-Cantelli?

10. Considere o lançamento sucessivo e independente de uma moeda equilibrada. Defina An como o seguinte evento: o lançamento n inicia uma série de exatamente 3 caras. Usando o Lema de Borei-Cantelli, determine a probabilidade da ocorrência de um número infinito dos An 's.

1.4 Exercícios Em vários dos exercícios abaixo, o espaço de probabilidade será omitido p~ra ,a~reviar a redação. Nesses casos, o leitor deve assumir que sua explicitação nao e Importante para a compreensão e resolução do exercício. 1. Demonstre as seguintes relações entre conjuntos. a. A= (A n B) u (A n B c).

47

1.4 Exercícios

b. AUB=AU (Acn B). c. SeA C BentãoBc c Ac.

2. Prove que para quaisquer dois eventos A e B, são equivalentes as seguintes relações: A C B, Bc

3. Se { An; n

~

c

Ac,AnBc = 0eAUB = B.

1} é uma seqüência monótona de conjuntos então lim AnAn = n-+oo limAn = lim -

4. Obtenha a a-álgebra gerada pela classe { {0, 1}, {1, 2}} se: a. o= {0, 1, 2}. b. o = {o, 1, 2, 3}. 5. Construa a "menor" a-álgebra em [O, 1] n ~. contendo o subconjunto [0, 1/2).

6. Sejam A e B subconjuntos de um espaço amostrai O. Defina uma seqüência {An; n ~ 1} tal que A2n-l =A e A2n = B. Mostre que IimAn = AnB e IimAn = AUB.

7. Seja O um conjunto não enumerável e defina F= { A C 0: A é enumerável ou A c é enumerável}. Mostre que F é uma a-álgebra de subconjuntos de O. 8. Seja F uma a-álgebra de conjuntos de O. Fixamos B E F e definimos uma nova coleção de subconjuntos Ç} = {C : C = A n B, para algum A E F}. Mostre que Ç} é uma a-álgebra de subconjuntos de B. 9. Para O= [0, 1] n ~ e F1 e F2 duas a-álgebras em O, prove que F= {A: A E F 1 n F 2} é a-álgebra, mas Ç} ={A: A E F1 U F2} não é. 10. Seja O o conjunto dos naturais. Mostre que Op é uma a-álgebra. 11. Sejam A e B dois conjuntos de O. Mostre que para cada ponto w E O, vale: a. IAun(w) = l.4.(w) + IB(w) -lAnn(w) = max (1.4.(w), In(w)). b. IAnn(w) = IA(w) IB(w) = min (IA(w), In(w)). 12. Mostre que A 2 B se e somente se l.4.(w) ~ In(w), para cada ponto w E

n.

13. Sendo A e B dois subconjuntos em n, mostre que (1.4.(w)- In(w )) também um indicador. Qual é o subconjunto relacionado a esse indicador?

2

é

14. Considere O = {1, 2, 3} e a a-álgebra do conjunto das partes de O. Defina uma candidata à função de probabilidade da seguinte forma: 0 e n têm probabilidade O e 1, respectivamente. Os demais elementos da a-álgebra têm

•

• I


48

todos probabilidade 1/6. Você acha que essa candidata satisfaz os Axiomas de Kolmogorov? 15. Um experimento com espaço amostrai O é repetido n vezes. Defina nA como o número de ocorrências de um evento A C O. Mostre que a função f(A) = nA/n satisfaz os Axiomas de Kolmogorov para probabilidade em OP (conjunto das partes).

49

1.4 Exercícios

23. Sejam A1. A 2 , A 3 e A 4 eventos independentes e com probabilidades 0,5; 0,4; 0,3 e 0,2; respectivamente. Determine a probabilidade de B, sendo 4

que IB = 1 -

TI (1 -

IAJ.

i=l

24. Sejam A1, A2, ... An e B1, B2, · · ·, Bn eventos em (O,:F,'P). Para n

j

= 1, 2, ·. ·, n,

suponha que Bi seja independente de

nA; que os B/s sejam

i=l

16. Uma moeda é lançada duas vezes e seja O= {0, 1, 2} o espaço amostrai correspondendo à quantidade de caras nos dois lançamentos. Considere a função que atribui 1/3 a cada um dos pontos de O e ita que ela é aditiva para a união de conjuntos disjuntos. Nessa condições, teríamos uma probabilidade em np? 17. Um dado é lançado uma vez e seja O= {1, 2, 3, 4, 5, 6} o correspondente espaço amostrai. Considere uma função que associa p; ao ponto i de O e é aditiva para conjuntos disjuntos. Que condições adicionais precisam ser impostas sobre os p;'s para esa função ser uma probabilidade em Op? 18. Em um experimento O= {1, 2, 3, 4} e seja :F= nP. Defina f(0) =O e

f ({X})

=

X

I4

para todo

X

E

n.

itindo que

f

é aditiva para conjuntos

disjuntos, verifique se f é uma probabilidade em :F. 19. Considere o espaço amostrai O = [0, 2)

nR

Seja :F a a-álgebra gerada pelos

intervalos abertos de O (usualmente denominada de a-álgebra de Borel). Para qualquer A E :F, mostre que a função f(A)

= JA! dx

é probabilidade. A

integral aqui é de Riemman apesar da notação não usual. 20. Considere o espaço de probabilidade (O, :F, P). Seja g ={A: A E :F e P(A) =O ou 1 }. Mostre que g é uma a-álgebra de conjuntos de O. 21. Seja (0, :F, P) um espaço de probabilidade e para cada B E :F defina a seguinte classe de subconjuntos: :F8 ={A: A E :F e P(A n B) =O ou P(A n B) = P(B)}. Mostre que :FB é uma a-álgebra de conjuntos de n. 22. Considere o espaço amostrai O = [O, 1) n !R e, para qualquer A

c

O, defina

uma função P(A) como sendo o comprimento de A. Seja :F a a-álgebra gerada pelos intervalos abertos de O. Mostre que P(A) é uma probabilidade.

disjuntos 2 a 2. Mostre que

n

n

j=l

i=l

U Bi e nA; são independentes.

25. Uma caixa A contém uma bola vermelha e uma preta. Uma outra caixa B contém uma bola branca e uma vermelha. Escolhemos, ao acaso, uma das caixas e uma bola é retirada também ao acaso. a. Indique um espaço amostrai para esse experimento, incluindo a caixa escolhida e a cor da bola. b. Indique um outro espaço amostrai, considerando somente a cor da bola escolhida. c. Indique as probabilidades de cada um dos eventos nos espaços amostrais apresentados. d. Suponha que as duas caixas são agrupadas em uma só, qual é a probabilidade de, em duas retiradas ao acaso e sem reposição, obtermos bolas de cores diferentes? e. Suponha agora que uma bola é retirada, ao acaso, da uma A e colocada em B. Determine a probabilidade de que em duas retiradas em B, ao acaso e com reposição, obtermos pelo menos uma bola vermelha. 26. Uma moeda equilibrada é lançada duas vezes. a. Se o seu interesse é o número de caras, qual seria o espaço amostrai? b. Apresente um outro espaço amostrai mais detalhado. c. Estabeleça uma correspondência entre os elementos dos espaços amostrais apresentados. d. Indique as probabilidades dos elementos em cada espaço amostrai. e. Com o espaço amostrai de (a), você poderia calcular a probabilidade de ocorrer cara no primeiro ou coroa no segundo lançamento? f. Como ficaria a resposta de (e), utilizando o espaço amostrai de (b)? 27. Considere duas caixas com bolas pretas e brancas num total de três por caixa de modo que sempre as duas cores estejam presentes. As configurações possíveis são eqüiprováveis e podem ser iguais nas duas caixas.

- .... 50


a. Qual é a probabilidade de uma caixa, escolhida ao acaso, ter 2 bolas brancas? b. Retirando-se, ao acaso, uma bola de cada uma, qual a probabilidade de obtermos um total de 2 brancas? c. De uma caixa, escolhida ao acaso, uma bola é retirada ao acaso e colocada na outra caixa. Desta caixa uma bola é retirada e observa-se que é branca. Determine a probabilidade dessa bola ter sido retirada de uma caixa com número igual de bolas brancas e pretas. 28. Para o lançamento de um dado equilibrado, pergunta-se: a. Para os interessados em saber se a face sorteada é par, qual seria um espaço amostrai adequado? b. Apresente o espaço amostrai mais detalhado possível. c. Estabeleça uma correspondência entre os elementos dos espaços amostrais apresentados. d. Indique as probabilidades dos elementos desses espaços amostrais. e. Com o espaço amostrai de (a), você poderia calcular a probabilidade de ocorrência de face 3 ou 4? f. Como ficaria a resposta de (e), utilizando o espaço amostrai de (b)? 29. Um dado honesto é lançado duas vezes. Determine a probabilidade de obter: a. Dois números pares. b. O primeiro par e o segundo número ímpar. c. Um número par e o outro ímpar. d. Soma par. e. Soma dos números menor que 7. f. Diferença entre os números maior que 4. g. O segundo número maior que o primeiro. 30. Escolha um ponto, ao acaso, no círculo unitário com centro na origem. Qual é a probabilidade da distância desse ponto à circunferência, que limita o círculo, ser inferior a 1/2? 31. Um ponto (a, b) E JR2 é escolhido aleatoriamente no quadrado definido por -1 ::::; x ::::; 1 e -I ::::; y ::::; 1. Considerando a equação ax + b = O, determine a probabilidade de sua solução ser positiva . 32. Um ponto x 0 é escolhido aleatoriamente em (0, 1] n IR.. A "sombra" gerada por esse ponto é o intervalo de amplitude x 0 /2, centrado em xo. Determine a probabilidade (condicional a x 0 ) de sortear, ao acaso, um outro ponto em (0, 1] fora dessa "sombra".

51

1.4 Exercícios

33. Escolha, ao acaso, um ponto (a, b) na região de lR2 definida por O::::; x::::; 1 e O ::::; y ::::; I. Para a equação z 2 + 2az + b = O, determine a probabilidade das raízes serem: a. Dois números reais e distintos. b. Dois números reais. 34. Os coeficientes a, b e c da equação ax 2 + bx + c = O são, respectivamente, os resultados sucessivos de três lançamentos de um dado equilibrado. Calcule a probabilidade das raízes dessa equação serem números reais. 35. Demonstre que dois eventos com probabilidade positiva e disjuntos nunca são independentes. 36. Prove que eventos independentes não são disjuntos, a menos que um deles tenha probabilidade zero. 37. Demonstre que o vazio é independente de qualquer evento. 38. Prove que, se os eventos A e B têm probabilidade positiva e não são disjuntos, então P(A) = P(B) se é somente se P(AIB) = P(BIA). 39. Uma moeda equilibrada é jogada 15 vezes de forma independente. Qual é a probabilidade de obter cara no lSo. lançamento, se ocorrerem 14 coroas nas primeiras 14 jogadas? 40. Demonstre que se P(A) = P(B) = 3/4, então P(AI B) 2: 2/3. 41. Mostre que: P(A n B) 2: P(A)

+ P(B) -

1.

42. Prove que P(A) + P(B) - 2P(A n B) é a probabilidade de ocorrência, não simultânea, de A ou de B. 43. Os eventos A, B e C são independentes. Prove que P(B I A

n C)= P(B I

AUC) = P(B). 44. Verifique se são verdadeiras as afirmações (justifique sua resposta): a. Sendo A e B eventos não vazios, P(A n B) é sempre positiva. b. Sendo P(A) = 3/4 e P(Bc) = 2/3, A e B não podem ser disjuntos. c. Sempre que A n B i' 0, P(A) + P(B) excede 1. d. Se P(A U B) ::::; 0,9 e P(A) = 0,8; então P(B) é no máximo 0,1. 45. Considere os eventos A, B e C em n e suponha que P( C) > O e P(B n C) > O. Verifique se são verdadeiras as afirmações (justifique sua resposta):


52

a. P(A n B IC) = P(A IB n C)P(B IC). b. P(A n B 1 C)= P(A 1 C)P(B 1 C). 46. Verifique se vale: sendo O < P(A) são independentes. 47. Mostre que P(N 48. Sendo P(A)

P(BIA)

n BC)

a. P(A u B) ~ 3/4. b. 1/8 ~ P(A n B) ~ 3/8.

< 1 e P(B I A)

= 1- P(A) - P(B)

= P(B I Ac) então A e B

+ P(A n B).

> O e P(B) > O, mostre que P(AIB) < P(A) implica

< P(B).

49. Um cavalo tem probabilidade p de saltar um obstáculo. De cinco tentativas ele conseguiu saltar em 3, qual é a probabilidade condicional da primeira tentativa ter sido bem sucedida? 50. Sendo P(B) >O e P(C) >O. Vale ou não que: P(AIB) P(BIC) < P(B) implicam que P(AIC) < P(A)?

< P(A) e

51. Sendo P(A) =O, 7 e P(A U B) =O, 8; obtenha P(B) nos seguintes casos: a. A e B são independentes. b. A e B são disjuntos. c. P(A I B) =o, 6. 52. Verifique se são verdadeiras as afirmações (justifique sua resposta): a. Sendo A e B independentes então P(A n B) é sempre positiva. b. Não existe um evento A tal que P(A) x P(A) = 3/4. c. Se P(A n B) = O então P(A) x P(B) =O. d. Se P(A) = 1/4 e P(B) = 1/3 então P(A n B) ~ 1/12. 53. Para A, B e C eventos tais que P(A n B) = 1/4, P(A n C) = 2/7. P(B n C)= 1/5 e P(A n B n C)= 1/8, determine a probabilidade da ocorrência de: a. Pelo menos dois, dentre os três eventos A, B e C. b. Exatamente dois, dentre os três eventos A, B e C. 54. Sendo P(A) = 1/2 e P(A U B) a. A e B são independentes. b. A e B são disjuntos. c. A está contido em B. 55. Sendo P(A) =o: e P(B) = superior para P(AIB).

=

3/4, obtenha P(B) nos seguintes casos:

/3. O <

53

1.4 Exercícios

o:, f3 < 1, obtenha os limites inferior e

56. Sendo P(A) = 3/4 e P(B) = 3/8, verifique se é possível:

57. Para A e B eventos em (0, F, P), mostre que: a. Sendo P(A) > O, P(B) > Oe P(AI B) > P(A), então P(BI A) > P(B). b. Se P(A) = P(B) = 2/3, então P(AI B) ~ 1/2. 58. Sejam A e B dois eventos, num mesmo espaço de probabilidade, tais que suas probabilidades estão entre O e 1 (intervalo aberto). Mostre ou dê um contra exemplo para a implicação: P(AI B) > P(AI Bc) ==> P(BI A) > P(BI A c). 59. Lançamentos independentes de três dados equilibrados produz resultados diferentes. Qual é a probabilidade de ter ocorrido pelo menos um seis? 60. Com A, B e C eventos tais que P(A) = 2/5, P(B) = 1/4 e P(C) = 1/2. Suponha ainda que P(A n B) = x, P(B U C) = y e P(C- A) = z. a. Que condições devem satisfazer x,y e z? b. Em função de x, y e z, determine P(B- A), P(C- B) e P(A U C). c. Com a suposição adicional de independência entre A, B e C, calcule x, y e z e, também, P(A U B U C). 61. Considere dois eventos A e B com P(A) = P(B) Calcule P(A U B). 62. Sejam A e B eventos com P(A) máximo e mínimo de P(A n B). 63.

= 0,7 e

= 1/3 e P(A6B)

= 1/2.

P(B) = 0,6. Determine o valor

Os eventos A e B são independentes. Sendo P(ABc) =O, 3 e P(Ac B) =O, 2; obtenha P(AB).

64. Os eventos A, B e C são independentes. Mostre que A U B e C são independentes. Verifique se (ABc U A c B) e C são independentes. Sob que condições AC e BC são independentes? 65. Uma caixa tem 4 bolas, cada uma com uma das letras a, b, c e d. Uma bola será escolhida ao acaso e são definidos os eventos E 1 = {a, b}, E2 = {a, c} e E 3 = {a, d}. Verifique que esses eventos são independentes dois a dois, mas não são independentes (isto é, totalmente independentes). 66. Qual é a probabilidade de 5 pessoas escolhidas ao acaso terem nascido em meses diferentes, considerando que: a. Os meses do ano são equiprováveis? b. O ano tem 365 dias (7 meses com 31 dias, 4 com 30 e I com 28 dias)?

54

Capftu/o 1: Conceitos Básicos em Probabilidade

1.4 Exerdcios

55

67. Para um conjunto de 10 pessoas, qual é a probabilidade de 6 fazerem aniversário num mesmo mês e 4 em um outro mês? (ita igual probabilidade de nascimento em qualquer mês).

número, ele ganha 36 fichas (sua aposta mais 35). Qualquer outro número ele perde sua aposta. Qual é a probabilidade do jogador perder todas as suas fichas em até 50 rodadas?

68. Três pontos A, B e C são escolhidos independentemente em uma circunferência. Determine a probabilidade do triângulo ABC ter todos os ângulos agudos.

77. Suponha que n livros, dos quais k são de Estatística, são colocados aleatoriamente em uma prateleira. Determine a probabilidade dos livros de Estatística ficarem juntos. Que valor de k minimiza essa probabilidade?

69. Um ponto x é escolhido ao acaso em um círculo de raio r e origem no ponto O. Qual é a probabilidade de que o quadrado, que tem x como ponto médio de um dos lados e é centrado em O, esteja inteiramente contido no círculo.

78. Em uma classe de Português para estrangeiros, 6 alunos têm nacionalidade peruana, 5 são argentinos e 4 chilenos. Para dois alunos escolhidos ao acaso, qual é a probabilidade deles não terem a mesma nacionalidade?

70. Considere a região A={(x,y)ElR. 2 ;1$y$2,y$x+1 ,y2::x-1}. Para um ponto escolhido ao acaso em A, calcule a probabilidade de: a. Estar a uma distância menor que 1/2 da fronteira de A. b. Pertencer à região {(x, y) E JR.2 ; x + y > 2}.

79. De uma lista de m números inteiros positivos e n inteiros negativos sorteamos, ao acaso e sem reposição, três números. Qual é a probabilidade de: a. Pelo menos um dos números escolhidos ser positivo? b. O quociente entre o produto de dois deles pelo outro ser negativo?

71. Uma caixa contém m bolas brancas e n vermelhas. Dois jogadores se alternam em retirar, ao acaso, uma bola da caixa. As retiradas são com reposição e vence quem retirar a primeira bola branca. Mostre que quem inicia o jogo tem vantagem.

80. Cinco casais são colocados em linha. Qual é a probabilidade de nenhum

72. Uma moeda honesta será lançada o número de vezes indicado pelo resultado de um dado equilibrado. Calcule a probabilidade da ocorrência de: a. Nenhuma cara. b. Pelo menos duas coroas. c. Número igual de caras e coroas. 73. Um grupo de 4 homens e 4 mulheres é divido ao acaso em dois grupos de 4 pessoas. Determine a probabilidade de cada grupo ficar com o mesmo número de mulheres. 74. Dentre todos os números com três algarismos (incluindo o zero em qualquer posição), qual é a probabilidade de escolher ao acaso um deles com: a. Exatamente dois cincos? b. Pelo menos um 3? 75. Um grupo de animais tem 2n machos e 2m fêmeas. Feita uma divisão aleatória em dois grupos de mesma quantidade, qual é a probabilidade desses grupos terem números iguais de machos? 76. Considere um jogo de roleta com 36 números. Um jogador tem 5 fichas e aposta sempre, em cada rodada, I ficha em um dos números. Caso dê seu

marido ficar vizinho de sua esposa?· 81. Um dado equilibrado é lançado dez vezes. Sendo M o máximo obtido e m o mínimo, determine P(M = 5,m = 2). 82. Um pessoa está discando um número de telefone e conhece todos os dígitos, mas esqueceu-se da ordem dos últimos três (que são diferentes entre si). Ela disca, variando aleatoriamente esses três últimos dígitos, até encontrar o número correto. itindo que ela não repita números discados, qual é a probabilidade de ser necessário discar 5 números errados antes de acertar?

83. Seis pares de sapatos estão guardados em um armário. Escolhendo quatro sapatos, ao acaso, qual é a probabilidade de: a. Não formarmos nenhum par? b. Pelo menos um par ser formado?

84. Para A, B e C eventos em (f!, :F, P), mostre que se A é independente de B e de C e se B U C = f!, então A é independente de B n C. Dê um exemplo mostrando que a condição P(B U C) = 1 é essencial para a conclusão valer. 85. Uma moeda equilibrada é lançada 3 vezes. Verifique se os eventos A = {ocorrem pelo menos duas coroas} e B = {coroa no 1o. lançamento}, são independentes. 86. Sejam A 1 , A 2 , ·· ·, eventos em (f!, :F, P), mostre que:


56

... , eventos em (O ,F ,P), tais que P(A,) = 1/ n, n = 1, 2, · · ·. Que podemos dizer de P(liminf A 11 ) e P(lim sup An)?

n= l 00

n An) = n=l

94. São escritas cartas a n destinatários diferentes e há n envelopes com os

1.

87. Uma seqüência de experimentos independentes do tipo sucesso-fracasso é realizada. Para cada n = 1, 2, .. . , defina os eventos:

An = {os primeiros n ensaios têm resultados iguais}; Bn = {o n-ésimo ensaio tem resultado diferente do (n

+ 1)-ésimo} .

Se a probabilidade de sucesso é p, determine a probabilidade de que An ocorra infinitas vezes. Faça o mesmo para Bn. 88. Considere os eventos A 1 , A 2 ,

··•

em (0, F , P) , tais que

P (A~

i. v.)= 1 e

00

I: P (A~ n A~+l)

< oo. O que dizer sobre P(An i. v.)?

n=l

(n, F, P) um espaço de probabilidade em que n = [0, 1] n R, F é a qálgebra de Borel e P é a probabilidade uniforme (isto é, a probabilidade de um evento é o seu comprimento). Para n = 1, 2, . . . defina An = [O, 1 e Bn = [ ~ '~ - ~,] .Calcule limP(An n B 11 ).

89. Seja

i. ]

n--+oo

90. Sejam {An : n > O} e {B11 : n > O} duas seqüências de eventos. ita que oc

00

L: P(An n B~+ 1 ) < oo e L: P(Bn n A~+l) < oo.

n= l

Demonstre

que

se

n= l

P (An) -+0 (ou, P (B 11 )-+ 0), então P(An i. v.)= P(Bn i. v.)= O. Sugestão: Considere o evento C= (An i. v.)- [(Dn i. v.) U (Cn i. v.)] em que, para n

2:: 1, Cn = An n B~+l e Dn = Bn n A~+1·

91. Seja S uma particular seqüência (finita) de caras e coroas. Mostre que, se uma moeda, com probabilidade de cara igual a p (O < p < 1), é jogada de forma independente infinitas vezes, então a seqüência S ocorre infinitas vezes com probabilidade 1. 92. SejamA 1, A2,

•.• ,

57

93. Para A1, A2 ,

00

a. Se P (A1) = P (Az) = · · · =O então P( U An ) =O. b. Se P(AI) = P(Az) = · · · = I então P(

1.4 Exercícios

eventos em (O,F,P). Mostre que

P(liminf An) ~ liminf P(An) ~ limsup P(An) ~ P(lim sup An )·

respectivos endereços. Porém as cartas são colocadas, ao acaso, em cada um desses n envelopes. a. Qual é a probabilidade da k-ésima carta chegar ao destino correto? b. Qual é a probabilidade de pelo menos uma carta chegar ao destino correto? c. O que ocorre com a probabilidade de (b) se n -+ oo?

95. Uma amostra de n pontos é escolhida ao acaso e de forma independente em uma esfera de raio R. a. Calcule a probabilidade da distância, entre o centro da esfera e o ponto mais próximo, ser maior que x. 411"ÀX3 b. Verifique que o limite da probabilidade obtida em (a) é igual a e-ã , quando R-+ oo, n-+ oo e itindo que -Jb -+ ~7r >., para algum>. > O.

96. Considere a escolha, ao acaso, de um 'número inteiro entre 1 e 200. Determine as probabilidades dos eventos A = {número divisível por 7} e B ={número satisfaz a equação 3n + 10, para algum inteiro n }. Eles são independentes?

97. O intervalo [O, 1] n IR é dividido em cinco partes, por quatro pontos escolhidos ao acaso. Determine a probabilidade das partes serem menores que 1/2.

98. Três jogadores A, B e C lançam, sucessivamente e nessa ordem, uma moeda com probabilidade de cara PA· PB e pc, respectivamente. Vence o jogo aquele que obtiver a la. cara. Estabeleça as condições para haver igualdade de vitória entre os jogadores. Qual seria o valor máximo de PA nesse caso?

99. Cada um dos 2n moradores de um prédio joga uma moeda honesta e, se der cara, irá à assembléia de condomínio. Calcule a probabilidade da maioria participar da assembléia.

100. Três atiradores A, B e C têm probabilidade de acertar o alvo de, respectivamente, 0,6; 0,5 e 0,4. Cada um deles atira uma vez e 2 tiros acertam o alvo. Nessas condições, qual é a probabilidade de que um dos tiros que acertou o alvo tenha sido disparado por C?

101. Os eventos A, B e C estão em (0, :F, P), são dois a dois independentes e os 3 nunca podem ocorrer simultaneamente. Se P(A ) = P(B) = P(C) = :r, determine o maior valor possível para x.

58


102. Sejam A 1 , A 2 , · · ·, An eventos em (0, F, P). Eles são ditos "permutáveis" se o valor de P( A; 1 , A;2 , • • ·, Ad, 1 :$ k :$ n e 1 :$ Ít < i2 < · · · < Ík :$ n, só depende de k e não da escolha de quais índices incluir. Uma caixa contém Jt.f bolas vermelhas e N - Jt.f brancas. São retiradas n bolas ao acaso e sem reposição, n :$ min(.llf, N- 1\f) e seja Ak o evento em que a k-ésima bola retirada é vermelha. Prove que A 1 , A 2 , • • ·, An são permutáveis.

103. Considere o sorteio ao acaso de um número de 1 a n. (

\

a. Calcule a probabilidade do número sorteado ser divisível por 3 ou por 5. b. Repita o item (a) para n = 120 e n-+oo.

104. Dentre os mil primeiros números naturais, dois são sorteados ao acaso. Determine a probabilidade de: a. Ambos serem quadrados perfeitos. b. Seu produto terminar em 1.

105. Um número é sorteado ao acaso dentre os dez mil primeiros números naturais. Qual é a probabilidade de que ele não seja divisível por 2, nem por 3 e nem por 5?

106. Três jogadores lançam sucessivamente, e sempre na mesma ordem, um dado honesto. Vencerá o jogo aquele que primeiro obtiver a face 6. O que você acha do provérbio: "os últimos serão os primeiros"?

107. Exames de diagnóstico não são infalíveis, mas deseja-se que tenham probabilidade pequena de erro. Um exame detecta uma certa doença, caso ela exista, com probabilidade 0,9. Se a doença não existir, o exame corretamente aponta isso com probabilidade 0,8. Considere que estamos aplicando esses exames em uma população com 10% de incidência dessa doença. Para um indivíduo escolhido ao acaso, pergunta-se: a. A probabilidade de ser realmente doente se o exame indicou que era. b. Se dois indivíduos forem escolhidos e testados, qual seria a probabilidade de errar um dos diagnósticos? c. Suponha que o acerto do exame, nas duas situações possíveis, têm a mesma probabilidade p. Quanto deve ser o valor de p, para que a probabilidade calculada no item (a) seja 0,9?

108. Dois jogadores iniciam um cara-coroa com R$ 3 cada um. Ao lançar a moeda equilibrada, se der cara, o jogador A recebe R$ I de B. Caso ocorra coroa, B recebe R$ 1 de A. O jogo termina quando um dos jogadores não tiver mais dinheiro. Calcule a probabilidade do jogo terminar em n jogadas.

I

1.4 Exercícios

59

109. João e Paulo participam de um jogo de cara e coroa. João inicia jogando e, se obtiver cara, ganha e o jogo acaba. Caso isso não aconteça, Paulo joga a moeda e, se der coroa, ele ganha e o jogo acaba. O jogo continua, com lançamentos alternados, até que alguém ganhe. a. Paulo está chateado porque não começa jogando. Ele tem razão se a moeda é equilibrada? E se a probabilidade de cara for igual a 0,4? b. Qual deveria ser o valor da probabilidade de cara dessa moeda, para que houvesse eqüílibrio entre os jogadores? c. Alguém argumenta que os jogadores estão perdendo tempo, pois os mesmos resultados seriam obtidos, se, a cada lançamento da moeda, um deles vencesse. O que você acha?

110. Uma caixa contém bolas numeradas de 1 a n. Retiramos uma bola dessa caixa sucessivamente, ao acaso e sem reposição, até que o número da bola retirada seja maior do que todos os anteriores ou até que as bolas acabem. Seja qual for, a primeira bola não interrompe as retiradas. a. Se n = 10, qual é a probabilidl\de de interrupção na quarta retirada? E na décima? b. No caso geral, sendo k < n, qual é a probabilidade de interrupção na késima retirada?

111. Dois dados eqüilibrados são hmçados e dois jogadores A e B disputam um prêmio. O jogador A recebe o prêmio, se a soma for 7, enquanto que B será o vencedor, se a soma for 11. O jogo prossegue até alguém ganhar. a. Quantas vezes esses dados deverão ser arremessados para que possamos garantir o final do jogo com probabilidade de pelo menos 0,95? b. Qual é a probabilidade de A ganhar o jogo?

112. Três jogadores A, B e C participam de um jogo lançando uma moeda não equilibrada, sucessivamente, de forma independente e nessa ordem. O vencedor é aquele que primeiro obtiver cara. O jogador A começa o jogo e sua moeda tem probabilidade p de dar cara, O< p < 1/3. Na moeda do jogador B essa probabilidade é 2p e para o jogador C, a moeda tem probabilidade de cara igual a 3p. Calcule a probabilidade de cada um vencer o jogo (em função de p) e indique para quais valores de p o jogador C tem a maior probabilidade de vitória.

113. João e Maria são namorados e um queria fazer uma surpresa para o outro, comprando ingressos para um espetáculo no teatro municipal. ita que eles chegaram para comprar os ingressos, em algum instante de uma mesma

.... .

I

60


tarde em que a bilheteria abriria às 18 horas. No momento de abertura das vendas existia um total de n pessoas na fila (incluindo os dois). Pergunta-se a probabilidade de os dois: a. Estarem separados na fila por r pessoas (r ::; n- 2)? b. Se encontrarem no momento da chegada à fila da bilheteria?

114. Em um teste de múltipla escolha, a probabilidade do aluno saber a resposta é p. Havendo m escolhas, se ele souber a resposta, responderá corretamente com probabilidade 1; se ele não souber, responderá corretamente com probabilidade 1/m. a. Qual é a probabilidade de que ele saiba a resposta, dado que a pergunta foi respondida corretamente? b. Determine o limite dessa probabilidade se m-+ oo com p fixo. O que ocorre se p-+0 com m fixo? 115. Dois times de basquete A e B disputam a final do campeonato numa série de até 7 jogos. A probabilidade de vitória é a mesma para as duas equipes. Determine a probabilidade de: a. O campeão sair em até seis jogos. b. O campeão sair em seis jogos, se o time A venceu os dois primeiros. 116. Usando indução, prove a desigualdade de Bonferroni para n eventos. n

P(

n AJ) 2:: P(At) + P(A2) + ··· + P(An) - (n- 1).

j=l

117. Sejam An e Bn , n 2:: 1 eventos em (n, :F, P). Prove que: a. Se P(Bn) >O e lim P(Bn) = 1 então lim {P(AnJBn )- P(An)} =O. n-oo

n-oc

b. Se existir qualquer um dos limites, lim P(AnlBn) ou n-+oc dois existem e eles são iguais.

lim P(A,.), os

n-oc

118. (Teorema de Poincaré- Fórmula da Inclusão e Exclusão). Sendo A 1 , Az, · · ·, An eventos em (0, :F, P), mostre que temos n

P( U AJ) = 81 - 82

+ ... + (-1 )n-1 S";

j=l

com Sk=

1 ~ Íj

:L:L···:L

< Í2 < ... < h

~ 11

P(A; 1 , A;2 • ···,Ad parak =1,2,···,n.

119. Um paciente é suspeito de sofrer uma de três doenças D~, D 1 ou D 3 • cuja incidência na população se dá na razão 2:1:1, respectivamente. Um teste de

1.4 Exercícios

61

laboratório dá positivo para 25% dos doentes com D1o 50% dos com D2 e 75% dos doentes com D 3 . Se o paciente realizou 3 desses testes (assuma independência entre eles) e dois deram positivo, determine as probabilidades do paciente ter cada uma das doenças.

120. (Problema da ruína de um jogador) Dois jogadores participam de um jogo com uma moeda que tem probabilidade de cara igual a p e de coroa q (p + q = 1). O jogador A inicia o jogo com i fichas e ganha mais uma de B, cada vez que der cara. O jogador B começa com N - i fichas e, em cada lançamento que resultar coroa, ganha uma ficha de A. Para enfatizar a dependência do número inicial de fichas i, denomine por P(i) a probabilidade do jogador A ficar com todas as fichas, o que implica na ruína de B. Condicione no resultado do primeiro lançamento da moeda, para estabelecer uma relação de recorrência entre os P(i)'s· Usando que P(o) =O e P(N) = 1, mostre que P(i) = ~ para p =f. ~ e P(i) = -k para p = ~· 121. Em farru1ias de n filhos (meninos ou meninas), defina os seguintes eventos A = {filhos dos dois sexos} e B = {no máximo uma menina entre os filhos}. ita igual probabilidade no nascimento de meninos e meninas e mostre que, para n = 3, os eventos A e B são independentes. Existem outros valores de n em que isto ocorre? 122. Um carcereiro informa a três prisioneiros que um deles foi sorteado para ser executado no dia seguinte, enquanto que os outros dois serão libertados. O prisioneiro João Espeto se aproxima do carcereiro e cochicha no seu ouvido, solicitando que ele lhe conte qual dos outros dois prisioneiros será solto. O prisioneiro argumenta que isso não altera em nada a situação, visto que pelo menos um desses prisioneiros será solto. Entretanto, o carceiro não atende seu pedido, acreditando que isto poderia dar ao João Espeto alteração nas suas expectativas de ser libertado. Você acha que o carcereiro tem razão? 123. Dois jogadores se alternam lançando dois dados equilibrados. O jogador A vence o jogo se ocorrer soma 6, enquanto B vencerá se ocorrer 7. Se A começa jogando, qual é sua probabilidade de vitória? Qual é a probabilidade do iniciante, escolhido ao acaso, vencer o jogo? 124. Três caixas I, I I e I II contêm, respectivamente, a 1 , a 2 e a3 bolas azuis e b1 , b2 e b3 bolas brancas. Uma bola é escolhida de I e ada para II e, em seguida, uma bola de I I é ada para I I I. Considerando que todas as


62

uma bola retirada escolhas foram feitas ao acaso, qual é a probabilidade de azul? cor da caixa I I I, ao fim dessas trocas, ser da p. Os jogadores 1 2 . . . n 125. _Uma moeda tem probabilidade de cara igual a r a primeira' c~a. Jogam _a moeda em seqüência e vence quem obtive . vencer r jogado o k-ésim do ilidade Deterrrune a probab s, você dispõe de uma 126. :a:a selecionar ao acaso uma pessoa, entre 5 pessoa saiba. Construa um você que sem a umca ~oeda que pode ser viciad o. Justifique sua seleçã essa r efetua procedimento probabilístico para ta. respos i crianças (meninos ou 127. Sup?nha ~ue a probabilidade de uma fami1ia ter memnas) e dada pela expressão: Po = Pl

=a

e Pk

= (1 -

2a)2-( k-l) k > 2 O < a ' - '

< ~. 2

te dois meninos. Sabemos que uma fami1ia, escolhida ao acaso, tem somen Qual a probabilidade dela: a. Ter somente duas crianças? b. Ter somente mais duas meninas?

Capítulo 2

Variáveis Aleatórias

2.1 Introdução interesse em Na realização de um fenômeno aleatório, é comum termos s das ocorrências do uma ou mais quantidades. Essas quantidades são funçõe de interesse, a função fenômeno. Em alguns casos, se o próprio resultado é identidade será utilizada. não sabemos seu Note que, antes da realização de um fenômeno aleatório, probabilidade de resultado, exceto em casos especiais. Entretanto, seu espaço ilidade de probab a r pode ser estabelecido de forma conveniente, de modo a avalia atribuir m també os qualquer evento de interesse da o--álgebra. Dessa forma, podem el variáv de ito conce ao probabilidades às funções desses eventos. Isto dá origem aleatória que será apresentado neste capítulo. conhecida que, Após a realização do fenômeno, teremos uma observação ocorrem são que s evento os no entanto, não é mais aleatória. Em muitas situações, erar que consid os Podem sa. apenas uma ponte para o que efetivamente nos interes valor ular partic um produz a observação conhecida de um fenômeno aleatório eno fenôm do ção realiza observado da variável aleatória. Assim, uma outra nte difere vezes, das a maiori na forneceria um outro valor observado da variável, do anterior. eno aleatório é Usar a informação de sucessivas observações de um fenôm ilidade do probab de ções atribui as um assunto estudado pela Estatística. Discutir interesse o é e s ilidade Probab das que poderia ser observado faz parte da Teoria deste capítulo. el aleatória e Na Seção 2.2, vamos formalizar o conceito de variáv variáveis são para os model ais apresentar sua classificação. Os princip apresentados nas Seções 2.3 e 2.4.

2.2 Variáveis Aleatórias espaço de Dado um fenômeno aleatório qualquer, com um certo dades quanti de ilística probabilidade, desejamos estudar a estrutura probab associadas a esse fenômeno. 63

Capítulo 2: Variáveis Aleatórias

64

Definição 2.1: Variável Aleatória Seja (!1, F, P) um espaço de probabilidade. Denominamos de variável aleatória, qualquer função X : f2 --t ~ tal que

x- 1(!) =

{w E f2 : X(w) E I} E F ,

para todo intervalo I C lR. Em palavras, X é tal que sua imagem inversa de O intervalos I C ~pertencem a a-álgebra F. Uma variável aleatória é, portanto, uma função do espaço amostrai n nos reais, para a qual é possível calcular a probabilidade de ocorrência de seus valores. Em geral, as variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas do fim do alfabeto. Temos, para cada elemento w E fl, um número real X(w). Garantimos o cálculo de probabilidades com variáveis aleatórias ao exigir que, 1 (1) seja um evento. Em outras palavras, o para qualquer I c ~. o conjunto 1 (I) E F . 1 o--álgebra F, ou seja, da elemento um é (I) conjunto Lembremos que apenas os elementos de F têm atribuição de probabilidade. Em linguagem matemática mais formal, dizemos que variável aleatória é qualquer função real mensurável em F. Isto justifica dizer que a variável X é Fmensurável. Com freqüência, faz-se menção ao espaço de probabilidade (n, F, P), para deixar claro o espaço amostrai, a a-álgebra e a probabilidade envolvida. De fato, bastaria indicar (fl, F ), se ficasse subentendido que as probabilidades aplicadas à X precisam ser aquelas aplicadas aos correspondentes eventos de F por alguma probabilidade 'P.

x-

x-

x-

Exemplo 2.1: Sejam f2 = {1, 2, 3, 4}, F= {0, n, {1, 2} , {3, 4}} e considere os conjuntos A= {1, 2} e B = {1, 3}. Vamos verificar que IA é variável aleatória em (fl, F), mas I 8 não é. Inicialmente, observe que A E F e B ~ F. Temos

0, {w

E

f2 : IA(w) E (-oo,x)} =

Ac,

{ n,

se x < O; se O:::; x < 1; se x 2: 1.

Portanto, a imagem inversa de IA para intervalos do tipo ( -oo, x], x E IR, pertence a F. Lembrando os comentários sobre a a-álgebra de Borel, qualquer intervalo I C ~ pode ser gerado por intervalos desse tipo, concluímos que l A é variável aleatória em (!1, F ). Por outro lado, para0 :::; x < 1, vem { w E f2 : Is(w) E ( -oo, x]} = Br, que não está em F. Logo, I 8 não é variável aleatória em (fl, F).

65

2.2 Va riáveis Aleatórias

Não é difícil perceber que, modificando a a-álgebra de modo conveniente, podemos tomar ls uma variável aleatória. Assim, a o--álgebra escolhida para compor o espaço de probabilidade precisa ser suficientemente "grande" para podermos trabalhar com todas as variáveis que nos interessem . O conjunto das partes e a a-álgebra de Borel são as preferidas, justamente por permitirem que praticamente todas as variáveis de interesse sejam O mensuráveis. Em geral, omitimos a menção a w e o evento {w E n: X(w) E I} será representado simplesmente por [X E I]. Por exemplo, para I= ( -oo, O) escrevemos [X< 0], ao invés de {w E n : X (w ) < 0}. Ao denotarmos a probabilidade desses eventos, vamos também simplificar a notação de modo que P({w E f2 : X(w) E I }) toma-se P (X E I). Conforme veremos a seguir, os eventos da forma ( -oo, x] são importantes para caracterizar a estrutura probabilística de X . Na próxima definição, a probabilidade desses eventos recebe um nome especial.

Definição 2.2: Função de Distribuição Sendo X uma variável aleatória em (fl, F , 'P) , sua função de distribuição é definida por Fx(x) = P (X E (-oo,x]) = P(X :::;

x),

com x percorrendo todos os reais.

D

O conhecimento da função de distribuição permite obter qualquer informação sobre a variável. Mesmo que a variável só assuma valores num subconjunto dos reais, a função de distribuição é definida em toda reta. Alguns autores se referem a ela como função de distribuição acumulada, por acumular as probabilidades dos valores inferiores ou iguais a x . Se não houver possibilidade de confusão sobre qual variável a função de distribuição se refere, o subescrito X é omitido e escreveremos F ao invés de Fx.

Proposição 2.1: Propriedades da Função de Distribuição Uma função de distribuição de uma variável X em (fl, F , P) obedece às seguintes propriedades: (Fl) lim F(x) =O e lim F (x) = 1; x-+-oc

x--+oo

(F2) F é contínua à direita; (F3) F é não decrescente , isto é, F(x) :::; F(y) sempre que x:::; y, 'V x, y E~.

-66


67

2.2 Variáveis Aleatórias

(

x-

Demonstração: (

( {

(

(

Para verificar (Fl), aplicamos a continuidade da probabilidade. Observe que para Xn! -oo, os eventos [X :S: Xn] = {w E n: X(w) :S: Xn} têm como limite o conjunto vazio. Logo F(xn) = P(X :S: xn) ! O. De modo análogo, tomando Xn i 00, os eventos [X :s: Xn] i n e, portanto F(xn) = P(X :s: Xn) i 1. Vamos demonstrar (F2). Seja x E lR e considere uma seqüência {xn, n ~ 1, n E N} tal que Xn ! x. Isto é, os Xn 's se aproximam de x pela direita ou, em outras palavras, por valores superiores a x. Então, [X :S: Xn] ! [X :S: x] e, assim, P(X :S: Xn)! P(X :S: x). Como o resultado vale para qualquer x, a propriedade está verificada. Para (F3), note que [X :S: x] C [X :S: y] sempre que x :S: y. Logo as probabilidades satisfazem à desigualdade:

F(x) = P(X :S: x) :S: P(X :S: y) = F(y). Como x e y são arbitrários, concluímos que F é não decrecente.

( (

(

(

(

(

o

As propriedades acima também poderiam ser usadas como definição da função de distribuição. Em termos mais abstratos, poderíamos dizer que toda função de lR em [0, 1], satisfazendo (Fl), (F2) e (F3), é função distribuição de alguma variável aleatória (ver James [81]). Vale a pena mencionar que alguns autores mais antigos preferiam definir função de distribuição por P(X < x), para x real. Essa definição modifica a propriedade da continuidade, mas as demais permanecem as mesmas. O comportamento da variável e toda informação sobre ela pode ser obtida da função de distribuição. Por isso, quando desejamos conhecer a variável, estamos querendo saber qual é a sua função de distribuição. Essa caracterização é única a menos de eventuais conjuntos que tenham probabilidade zero. Veremos mais tarde que existem outras funções, relacionadas com a função de distribuição, que também caracterizam unicamente uma variável.

Exemplo 2.2: Para o lançamento de uma moeda, seja n ={cara, coroa}, :F o conjunto das partes de n e P dada por P(cara) = P(coroa) = 1/2. Defina uma função X de n em lR da seguinte forma: X(w) = { Para qualquer conjunto I

c JR,

~:

se w =cara; se w =coroa.

x- 1 (1) E :F e, portanto, X

é variável aleatória.

1 Por exemplo, se I= (- oo, O) temos (1) = 0; No entanto, para I= (0, 2] temos x-1(1) = {cara}. Em ambos os casos a imagem inversa pertence~ :F. Para obter a função de distribuição é conveniente separar os vários casos, de acordo com os valores da variável. . Para x
o, F(x) =

1/2,

{ 1,

se x
Note que as propriedades de função distribuição são facilmente verificadas. (FI~ é imediata. Para (F2) observe que, exceto nos pontos O e 1, F é contínua nos reats. Para os pontos O e 1 temos continuidade à direita, isto é,

F(O) = lim F(x)" e F(1) = lim+F(x). x_,o+ x_,1

Observe que F(x) é não decrescente para todo x real e, assim, vale (F3).

O

O tempo de validade, em meses, de um óleo lub.rificante
Exemplo 2.3:

!'

o, F(x)

=

{

(x- 6)/2, 1,

se x se 6 se x

< 6; :S: x < 8; ~

8.

Deixamos, ao leitor, a tarefa de verificar que as propriedades da função de distribuição estão satisfeitas.

o

A classificação das variáveis aleatórias é feita de aco~do com ~s valores que assumem. Como veremos, essa classificação tem estretta relaçao . ~om o comportamento da função de distribu~ção da va~ável. O cál~ulo de probabthdades com variáveis aleatórias depende do tipo de vartavel envolvida.

,, r"U

I

68


Definição 2.3: Variável Aleatória Discreta e Função de Probabilidade

E

n : X(w) =X;}).

número de caras nos dois lançamentos. A variável X será discreta e sua função de probabilidade será dada por: 0

Uma variável aleatória é classificada como discreta, se assume somente um número enumerável de valores (finito ou infinito). A função de probabilidade de uma variável discreta é uma função que atribue probabilidade a cada um dos possíveis valores assumidos pela variável. Isto é, sendo X uma variável com valores x 1 , x 2 , ... , temos para i= 1, 2, ... ,

p(x;) = P(X = X;)= P({w

69


X

p(x;)

A função de distribuição correspondente será:

o,

D F(x) =

Proposição 2.2: Propriedades da Função de Probabilidade A função de probabilidade de X em (0, F, P) satisfaz: (fpl)

O~

p(x;)

(fp2) LP(X;)

~

=

1, 'v' i= 1, 2, ... ; 1;

o 1 2 1/4 1/2 1/4

{

ij!: 1,

se x
O gráfico de F(x) é em escada e é apresentado na Figura 2.1. Os pontos de descontinuidade ocorrem nos valores assumidos pela variável, sendo o tamanho do salto a probabilidade da variável assumir aquele determinado valor.

i

com a soma percorrendo todos os possíveis valores (eventualmente infinitos).

F(x)

Demonstração: Observe que, por serem probabilidades, os valores da função de probabilidade estão sempre entre O e 1. Além disso, cada valor da variável induz um subconjunto disjunto, cuja união é O, o que implica (fp2). O

314

Para as variáveis discretas, a função de distribuição tem a forma de escada sendo descontínua nos valores assumidos pela variável. Da função de probabilidade obtemos a função de distribuição e vice-versa. Se conhecemos a função de probabilidade obtemos, 'v'x E :IR, 1/4

F(x) = LP(X;), com Ax ={i:

Xi

-·--- _._.......

--------<>

~ x};

i E A,

note que a somatória se estende aos índices para os quais x; Por outro lado, dada a função de distribuição temos

~

x.

p(x;) = F(x;) - F( xi), em que F(x;) é o limite de F tendendo a inferiores à x;).

x;

pela esquerda (isto é, por valores

Exemplo 2.4: Considere dois lançamentos independentes de uma moeda equilibrada. Com o espaço de probabilidade sendo o usual, defina X como sendo

Figura 2.1: Função de Distribuição para Número de Caras. Exemplo 2.5:

Vamos obter a constante c E IR, de modo que a função abaixo:

p(x) = c(x- 2) 2 ,x = 3,4,5e6, seja a função de probabilidade de alguma variável aleatória discreta.

D

70


As propriedades que precisam ser satisfeitas por p(x) são duas: ser hão negativa e somar 1. De imediato temos c 2: O pois p(x) é não negativa. Efetuando a soma das probabilidades para todos os valores de x vem 6

LP(x)

= c( 12 + 22 + 32 + 4 2 ) = 30c.

x=3

Igualando a 1, resulta em c= 1/30. Logo, temos p(x) =

<x;;)

2

I {3, 4,5,6}(x).

A função

f

, para todo x E R D

é denominada função densidade.

Proposição 2.3: Propriedades da Função Densidade A função densidade de X em (0, :F, P) satisfaz: (fdl) f(x) 2: O, Vx E~; (fd2) l:f(w) dw

=

Com o devido cuidado, podemos, a grosso modo, pensar na classificação de contínua em oposição à de discreta. Isto no sentido de que os valores das contínuas estão em intervalos dos reais e os das discretas em um conjunto enumerável. Isto vai valer na grande maioria dos casos práticos, mas não em todos. Para obter a probabilidade da variável estar num certo intervalo (a, b], fazemos a integral da função densidade nesse intervalo. Assim,

P(a <X S b)

Uma variavel aleatória X em (0, :F, P), com função de distribuição F, será classificada como contínua, se existir uma função não negativa f tal que:

1~ f(w) dw

71

O

Definição 2.4: Variável Aleatória Contínua e Função Densidade

F(x) =


1.

Demonstração: A função densidade é não negativa por definição. Como conseqüência de que F( oo) = 1, vale (fd2). O

É conveniente esclarecer que existe uma distinção de nomenclatura entre a variável aleatória e sua função de distribuição. Classificamos a variável X como contínua, se sua função de distribuição F é absolutamente contínua (por ser integral da função densidade). Assim não basta a função de distribuição ser contínua para a variável aleatória ser denominada de contínua. Alguns autores preferem ser mais rigorosos e usar a mesma termilogia para X e F, denominando de absolutamente contínua a variável que aqui chamamos simplesmente de contínua. Nossa escolha de nomenclatura parece ser a mais comum entre os diversos autores. Conforme veremos mais adiante, existem variáveis que não são nem discretas nem contínuas.

=

1b f(x) dx = F(b)- F( a).

Note que essa integral não se altera com a inclusão ou não dos extremos a e b, ou seja, o valor seria o mesmo para (a, b), [a, b] e [a, b). Dessa forma, para as variáveis contínuas, a probabilidade da variável ser igual a um particular valor é zero. Pelas propriedades do cálculo, é possível modificar a função densidade em um número enumerável de pontos sem alterar a integral. Assim, a unicidade da densidade, para uma dada função de .distribuição, deve ser entendida na classe de equivalência de funções com mesma integral (para mais detalhes ver James [81]). A função densidade caracteriza a variável contínua. A relação entre a função de distribuição e a função densidade foi expressa na definição de variável contínua. Dada a função densidade, a função de distribuição segue por integração. Por outro lado, derivando a função de distribuição, obtemos a densidade.

Exemplo 2.6: A duração, em anos, de uma certa lâmpada especial é uma variável aleatória contínua com densidade dada por:

f(x) = { 2e-2x,

o,

X

2: O;

caso contrário.

Uma notação mais resumida poderia ser usada com o auxílio de indicadores, deixando implícito que, fora do intervalo especificado, a densidade se anula. Assim, a densidade acima pode também ser escrita como:

f(x) = 2 e- 2x l(o,oo)(x). Para obter a função de distribuição F(x) = J~00 f(w) dw, distinguimos dois casos. Para x
72


Para x ;::: O, temos

F(x) =

1x f(w) dw = lor 2e-

2w

dw = 1- e- 2

-oo

x.

Se desejamos a probabilidade da lâmpada durar até 2 anos, calculamos F(x) no O ponto 2. Assim, F{2) = 1 - e- 4 = O, 98.

Exemplo 2.7: Vamos avaliar para que valores da constante c E JR, a função abaixo representa uma densidade de probabilidade.

f(x) =

{

c(1-x) 2 , 1/{c + 1),

se O~ x < 1/2; se 1/2 ~ x ~ 1; caso contrário.

o,

1

f(x)dx =

-oo

1°

11

Odx +

-oo

f ~ (1- x) lo

2

1 dx +1 -

1/2

C

1

- dx +

+1

O conjunto de Cantor, denotado por C, é obtido a partir do intervalo real [0, 1] pela remoção sucessiva de intervalos abertos. Inicialmente, o terço central do intervalo é removido, em seguida os terços centrais dos dois intervalos remanescentes são retirados. Continuamos esse procedimento indefinidamente. O conjunto de pontos que permanece no intervalo [0, 1], após essa seqüência infinita de remoções de intervalos abertos, é o conjunto temário de Cantor. Para maiores detalhes sobre esse conjunto recomendamos ao leitor consultar Chae [80]. A construção da função de Cantor será feita em etapas. Em cada uma delas, a função será definida para alguns intervalos e permanecerá sem definição em outros. Etapa 0: Seja F(x) =O para x 1. Resta definir F em [0, 1]. Etapa 1: Para o intervalo aberto (i• referente ao terço central de [0, 1], definimos F(x) = ~·Restam, sem definição, os valores de F nos intervalos [0, e 1], cujo comprimento total é de 2/3. Etapa 2: Definimos F(x) = ~ para (à• ~)e F(x) = ~ para ~).Para os intervalos [0, àJ, [~· lJ, [i• ~] e [~· 1] a função F ainda não foi definida. Esses intervalos têm comprimento total de (2/3) 2 • Sugerimos, ao leitor, escrever a 3a. etapa. A Figura 2.2 ilustra o procedimento utilizado.

V.

As condições que precisam ser satisfeitas por f são f(x) 2: O e f~00 j(x)dx = 1. Observe que, se c 2: O, temos J(x) não negativa. Para obter os valores de c para que a segunda condição seja satisfeita. Temos, 00

73


l

l1

00

0dx = 1,

que resulta em

ri·

a•

F(x)

c -{1-x)3j1/2+_x_,1 =1 =}7c2-17c-12=0. 3 o c+ 1 1/2 A solução negativa dessa equação do 2o. grau é descartada e obtemos c = 3.

ll

O

Para completar a classificação, resta mencionar que uma variável aleatória pode ser classificada como singular, se sua função de distribuição é contínua, mas sua derivada é zero em quase todos os pontos. Essa linguagem, mencionando "quase todos os pontos", é muito utilizada em probabilidade avançada e significa que a propriedade só não é válida num conjunto de pontos que tem probabilidade zero (às vezes, também referido como de medida nula). A classificação como singular tem mais interesse teórico do que prático e não é tarefa fácil exibir uma variável singular, conforme veremos no próximo exemplo.

Exemplo 2.8: Função de Distribuição Singular (]ames [81]) Um dos mais freqüentes exemplos de função de distribuição singular é a função de Cantor que envolve o conjunto de mesmo nome. Apresentamos brevemente a descrição desse conjunto.

3/4

112

1/4 -

o

- -~

1/9

219

1/3

2/3

7/9

8/9

X

Figura 2.2: Construção da Função de Cantor. Etapa n+l: No terço central de cada um dos 2n intervalos restantes após a etapa n, seja F(x) igual à média dos valores de F, nos dois intervalos vizinhos


74

para os quais F fora definida anteriormente. Restarão 2n+l intervalos, de comprimento total (2/3t+ 1, em que F ainda não está definida. Logo podemos definir F, por indução, para um número enumerável de intervalos abertos. Ela só não estará definida no complementar desses intervalos. Esse conjunto complementar é o conjunto de Cantor, conforme mencionamos anteriormente. Para estender o valor de F para o conjunto de Cantor, impomos que F deva ser contínua. Considere x E C e sejam an e bn os valores de F, após a etapa n, nos intervalos vizinhos de x, à esquerda e à direita, respectivamente. Sabemos, por construção, que a diferença entre esses valores é de (1/2)n. Esse limite vai a zero quando n-+oo. Como a função F é monótona não decrescente no complementar de C, os limites de an e bn existirão e serão iguais. Tomamos, então, F( x) = lim an = lim bn. n--+oo

n--+oo

Dessa forma, a função F tem sua definição concluída em R Ela é denominada função de Cantor e satisfaz todas as propriedades de uma função de distribuição. Seja X uma variável aleatória com função de distribuição de Cantor. Então X não é discreta, pois F é contínua em R A variável X não pode também ser classificada como contínua, pois F' (x) é zero em c, uma vez que, em cada etapa, foi sempre definida como constante nos intervalos respectivos. Pode-se verificar que a massa de probabilidade de X está toda no conjunto C, que tem comprimento zero (ou medida de Lebesgue nula). Logo a variável X será classificada como singular, pois tem função de distribuição contínua com O densidade igual a zero em quase toda parte.

75


Salientamos que alguns autores fazem a decomposição sem exigir que cada uma das funções envolvidas seja, isoladamente, uma função de distribuição.

Exemplo 2.9: Função de Distribuição Mista A variável aleatória X tem função de distribuição dada por:

o, F(x)

=

{

~:i: 1,

se x
Observe através do gráfico de F(x) que a variável aleatória X é do tipo mista. Ela é contínua nos intervalos [-oo, 1), (1, 2) e (2, oo) e os pontos de descontinuidade em 1 e 2 indicam os valores de sua parte discreta.

F(x)

c

Uma variável aleatória pode ser classificada como mista se tem partes em diferentes classificações. O mais comum é a mistura de parte contínua com discreta pois, conforme já indicamos, a parte singular raramente ocorre. Em geral, a função de distribuição de qualquer variável sempre pode ser escrita como a ponderação de uma função de distribuição discreta, uma absolutamente contínua e uma singular. Isto é,

F(x) = adP(x) + O:acF'c(x) + a.F"(x); com O:tt + O:ac +a, = 1, ú:d, O:nc, 0: 8 ;:: O e Fd, Fac e F 5 são funções de distribuição do tipo discreta, absolutamente contínua e singular, respectivamente. Se uma variável for discreta (digamos "inteiramente" discreta), sua função de distribuição é em escada e os coeficientes O:ac e o: 8 serão nulos.

112 114

2

X

Figura 2.3: Função de Distribuição Mista.

Para obter a decomposição de F(x), inicialmente calculamos a massa de probabilidade de cada uma das partes. Note que P(X = 1) = ~ e P(X = 2) = ~. totalizando 3/4 de probabilidade para a parte discreta. P(X < 1) = F(l-) = 1/4, obtemos contínua parte a Para > 2) = 1- F(2) =O. P(X e =~-~=O P(1 <X< 2) = F(2-)- F(1)


76

Dessa forma, a parte contínua totaliza 114 e não existe parte singular. Os coeficientes da decomposição são ad = 3I 4, aac = 1I 4 e a. = O. Vamos, agora, calcular as funções de distribuição associadas às partes discreta e contínua de F(x). Como exigimos que a decomposição seja feita através de funções de distribuição, precisamos normalizar as probabilidades associadas a cada parte para, quando forem multiplicadas pelos coeficientes, produzirem os valores corretos de F(x). Para a parte discreta, a normalização é obtida dividindo a probabilidade discreta acumulada por ad:

1

pd(x) = - x

{o,

114, 314,

Qd

~~ 4 ,

Dessa forma, para x

'

se x

pac(x) = _1 ~x dF(x) dx = _1_1x Odx =O. aac -oo dx 114 -oo Para O ::; x

<

o, Fd(x) =

se x < 1; se 1::; x < 2; e pac(x) = se x 2: 2;

113,

{ 1,

o, x, { 1,

se x
É sempre conveniente testar se a decomposição foi feita corretamente. Escolhemos alguns valores e apresentamos os resultados na tabela abaixo. X

F(x)

pd(x)

pac(x)

112 312 2

118 112 1

o 113 1

112 1 1

+ ipac(x)

~Fd(x)

118 112 1

Lembremos que Fd(x) e pac(x) são, elas próprias, funções de distribuição e deixamos, ao leitor, a verificação de que satisfazem as propriedades para tal. O Utilizando a idéia de probabi1idade condicional, o conceito de função de distribuição pode ser estendido, considerando o condicionamento a um evento. Neste capítulo, o evento será explicitado ou será obtido a partir de uma região de valores da variável. O condicionamento de uma variável em relação a outra é similar, mas será discutido no próximo capítulo.

Definição 2.5: Função de Distribuição Condicional Seja X definida em {0, F, P) e considere um evento A E F, com

P(A)

1,

77

com

se x < 1; se 1 ::; x < 2; se x 2: 2.

Para determinar a parte contínua, derivamos F(x) e integramos o resultado, multiplicando-o por 1I aac. Obtemos, assim, uma função de distribuição absolutamente contínua. Temos,

dF(x) = { dx 0


> O, a função de distribuição condicional de X, dado que ocorreu A, é

definida por:

dF(x) pac(x) = 1- ~x d - dx = 1 ~O Odx + 1 1x 1l 4dx = x. 114 O aac -oc X 114 -ex:

F(xi A)

= P(X < xi A) = P([X ::; x] n A). -

P(A)

No intervalo [1, oo) a derivada de F(x) é zero, logo o valor de pac(x) será aquele que foi acumulado até 1. Temos então, para x 2: 1,

pac(x) = _1 ~x dF(x) dx = pac( 1) = 1. aac -oo dx Concluindo, F(x) pode ser escrita como

F(x) =

3

1

4 Fd(x) + 4 pac(x),

o Esse conceito pode ser apresentado de forma mais geral, tomando-se a aálgebra de Borel. Assim, para P(A) > O e qualquer B E B(lR), definimos a distribuição condicional de X dado A pela expressão:

P(X E

Bl A)

= P([X E

B]

P(A)

n A).


78

Exemplo 2.10: O desempenho diário, de um certo conjunto de ações, pode ser'

A probabilidade de interesse é expressa por P(BIAc). Temos

medido como a porcentagem de crescimento do preço de venda em relação ao dia anterior. Suponha que esse desempenho é uma variável aleatória contínua X com função densidade dada por: se x :::; -3 ou x se -3 < x:::; O; se O< x:::; 2; se 2 < x:::; 4.

> 4;

> 3IA) = 1 -

O evento A corresponde a [X> forma:

P(A) =

1

00

o

f(x) dx =

OI

12

e sua probabilidade é calculada da seguinte

1 + -xdx

o 4

Também [X :::; 3] nA = [X :::; 3] n [X é dada por:

P(O < X:::; 3) =

3

-

1 3

o

14 2

-1 dx + 16

> O] = [O < X

f(x)dx =

121

-xdx+ o 4

1

1

00

4

Odx = -5 · 8

13 1

1. Seja (n, :F, P) um espaço de probabilidade. Mostre que IA é variável aleatória, com A sendo a união de todos os eventos de :F com probabilidade estritamente positiva, mas menor que 1. 2. Mostre que X 2 é variável aleatória em (n, :F, P), desde que X também seja. 3. Estabeleça condições sobre a e b, de modo que a função g(x) seja uma função de probabilidade:

o a

4. Discuta as condições sobre a, b e c para que a função g(x) = ~ e-(x-b)/c seja uma densidade em [b, oo ). 5. Determine as constantes a e b, para que a função G (x) seja a função de distribuição de alguma variável aleatória contínua.

- dx = -9· 16 16

Então

a- 2b

G(x) =

:~ b(~- 1), { 1,

P(X

5 1 • x+4)dx= 24 12 1

Exercícios da Seção 2.2:

-1 b

:::; 3], cuja probabilidade

2

1

(

o

F(3IA) = 1- P([X:::; 1nA). P(A)

< 3IA) = 1 -

P(X

°

P(BnAc)=P(-1: SX:S0)= _

logo

O desempenho negativo indica que as ações perderam valor de um dia para o outro. Qual seria a probabilidade de um dia com desempenho excepcional, isto é, superior a 3%, dado que o desempenho foi positivo? Seja A o evento que indica desempenho positivo em um dia. Desejamos calcular P(X > 3IA). Por definição temos P(X

79


> 3 IA) = 1 _ P([X:::; 3] nA)= 1 _ 9/16 = _!_. 10 5/8 P(A)

Considere agora o evento B , que indica desempenho regular, definido por não haver alteração superior a 1% em relação ao dia anterior. Supondo que teremos um desempenho não positivo, qual seria a probabilidade de termos, ao menos, um dia regular?

X< O; :S X< :S X< X 2:: 2.

0 1

1; 2;

6. A variável discreta X tem função de probabilidade dada por:

1 0,2 a. Obtenha F, a função de distribuição de X. b. Determine F(O) e F(o-).

3/2 0,1

Cap(tulo 2: Variáveis Aleatórias

80

o,

c. Calcule, apenas com o uso da expressão da função de distribuição, a probabilidade da variável X ser maior que -1, dado que é negativa.

F(x) =

7. A variável X tem função de distribuição dada por:

o, F(x) =

{

;~~: 1,

X< -1; -1:::; X< 1/2; 1/2:::; X< 2; X;::: 2.

de probabilidade, conforme o caso. b. Expresse P(X ;::: O) e P(X > O) em termos de F e calcule seus valores. c. Expresse P(X;::: -1) e P(X > -1) em termos de F e indique os valores obtidos. Comente sobre as diferenças em relação ao resultado de (b ).

8. A variável X tem função densidade dada por:

f(x ) =

{ fci' 1

lõ

3x + 125,

X< -2 OU X;::: 5; -2:::; X< O; 0 :::; X< 5;

Uma variável segue o modelo Uniforme Discreto, com valores

o, ~(1- e-(x-l)),

+ e-2 _

e-2(x-1)),

X< 1; 1:::; X< X;::: 2.

2;

a. Obtenha o valor de c. b. Classifique a variável e obtenha a correspondente função densidade ou de probabilidade, conforme o caso. c. Determine P(X ;::: 3/21 X < 4).

I,

p(xi)

= 1/k; para i = 1, 2, · · ·, k.

Usamos a notação X"' Ud[E], com E sendo o conjunto de seus valores.

9. A variável X tem função de distribuição dada por:

e-1

Como estudamos na seção anterior, uma variável aleatória fica completamente caracterizada pela sua função de distribuição. No caso discreto, podemos também usar a função de probabilidade com o mesmo objetivo. Por essa razão, nos modelos para variáveis discretas que iremos apresentar, estaremos sempre indicando, na definição, sua função de probabilidade. Existe um grande número de modelos e trataremos, aqui, apenas dos mais importantes. Muitos desses modelos surgiram de variáveis que foram estudadas em problemas práticos ou teóricos.

x 1 , x 2 , • · ·, Xk , se tem função de probabilidade dada por:

distribuição e determine seus valores.

{ ~( 1 _

X< O; X< 1; X< 2; 2 :::; X< 3; 3 :::; X< 3,5; X;::: 3,5.

0 :::; 1:::;

Definição 2.6: Modelo Uniforme Discreto

a. Obtenha a função de distribuição de X. b. Expresse P(X;::: O) e P( -1 <X< 2) em termos da função de

F(x) =

1/4, 2/5, 1/2, (2x- 5)/2, 1,

2.3 Principais Modelos Discretos

a. Classifique a variável X e obtenha a correspondente função densidade ou

o,

81


10. Considere a seguinte função F apresentada a seguir: a. Verifique que F é função de distribuição. b. Obtenha a decomposição de F em partes discreta, singular e contínua.

O

O modelo Uniforme Discreto representa situações em que todos os possíveis valores da variável são equiprováveis. Não há restrição quanto aos valores da variável, que podem ser qualquer número real. Entretanto, o número de valores diferentes precisa ser finito, pois a soma de um número infinito de constantes positivas diverge. A função de distribuição de uma variável Uniforme Discreta é uma função escada e os pontos de descontinuidade são os valores assumidos pela variável.

Exemplo 2.11: Lançamos um dado equilibrado e observamos a face que ocorreu. Sendo X essa variável, é fácil verificar que X "' Ud [E], com E = { 1, 2, · · ·, 6}. Sua função de probabilidade é

p(.r ) = 1/6 para x

= 1, 2, · · ·, 6.

A função de distribuição é representada na Figura 2.4.


82

83


Então, X "' Bernoulli (p), com p = P(cara). Se a moeda for equilibrada teremos p = 1/2. A repetição de sucessivos ensaios de Bernoulli é fonte de vários problemas teóricos interessantes. Considerando uma sequência de n ensaios de Bernoulli, independentes, outros modelos podem ser construídos.

F(x)

Definição 2.8: Modelo Binomial

Seja X o número total de sucessos obtidos, na realização de n ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que X segue o modelo Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por:

113

p(x) = ( ; ) px(l- p)n-x, X= O, 1, · · ·, n.

116 -

o

A notação utilizada será X"' B(n, p). o

6

X

Figura 2.4: Função de Distribuição da Uniforme Discreta em {1, 2, ... , 6}.

Como mencionado anteriormente, a função de distribuição tem a forma de escada O e os saltos são nos pontos 1, 2, · · ·, 6. Definição 2.7: Modelo Bernoulli

Uma variável aleatória segue o modelo Bernoulli, se assume apenas os valores Oou 1. Sua função de probabilidade é dada por: p(1) = P(X = 1) = p; p(O) = P(X = O) = 1 - p. A notação utilizada será X"' Bernoulli (p).

P(X = 15) = p(15) = (

o

~o modelo de Bernoulli, a probabilidade pé denominada de parâmetro do modelo. E prática comum considerar como sucesso a ocorrência de 1 e fracasso a de O. Assim, denominamos por ensaio de Bernoulli, o experimento que tem resposta dicotômica do tipo sucesso-fracasso. Um exemplo clássico do modelo Bernoulli é o lançamento de uma moeda. Podemos definir sucesso como qualquer uma das faces, digamos cara. Dessa forma temos

X=

{1,o,

se cara; se coroa.

Exemplo 2.12: A taxa de imunização de uma vacina é 80%. Se um grupo de 20 pessoas foram vacinadas, desejamos saber o comportamento probabilístico do número de pessoas imunizadas desse gÍ-upo. Seja X a variável de interesse. Para cada pessoa do grupo, a probabilidade de estar imunizada é O, 8 e itimos, ainda, independência entre os resultados das várias pessoas vacinadas. Dessa forma, teremos X"' B(n = 20,p = 0,8), em que sucesso corresponde à imunização. Por exemplo, a probabilidade de 15 estarem imunizados é dada por:

~~) O, 815 O, 220- 15 =O, 175.

Outras probabilidades podem ser calculadas de modo análogo.

o

Definição 2.9: Modelo Geométrico

Considere uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes. Defina X como o número de fracassos anteriores ao primeiro sucesso ou, em outras palavras, o tempo de espera (em termos de ensaios anteriores) para o primeiro sucesso. A variável X segue o modelo Geométrico com parâmetro p, O < p < 1, e tem função de probabilidade dada por: p(x) = p(1- PY, x =O, 1, ... .

Usaremos a notação X"' Geo(p).

o

Capitulo 2: Variáveis Aleatórias

84

A restrição dos valores de p para aqueles estritamente entre O e 1 evita o~ casos triviais mas, com o devido cuidado, os extremos poderiam ser considerados. Alguns autores preferem definir o modelo Geométrico como o número de fracassos até o primeiro sucesso ou, ainda, o número de ensaios até o primeiro sucesso. Nesse caso, a função de probabilidade sofre ligeira modificação pois, agora, a variável inicia seus valores em 1 ao invés de O (ver exercício no fim dessa seção). Exemplo 2.13: Uma linha de fabricação de um equipamento de precisão é interrompida na primeira ocorrência de um defeito. A partir da manutenção, o equipamento tem probabilidade de 0,01 de apresentar defeito em um dia qualquer. Deseja-se planejar o cronograma de manutenção preventiva e, para tal, decidiu-se avaliar probabilisticamente a espera até a produção ser interrompida. Seja X a variável aleatória que conta o número de dias que antecedem a interrupção. itindo que o desempenho, nos sucessivos dias, sejam independentes, temos que X""' Geo(p = 0,01) . Dessa forma,

P(X

= x) = 0,01

X

0,99:r 'X=

o, 1, ....

Por exemplo, para uma interrupção no sexto dia temos P(X = 5) = 0,01 x 0,995 = 0,0095. Qual seria o intervalo ideal para uma manutenção preventiva, se desejamos uma probabilidade de, pelo menos, 0,90 de que o defeito não ocorrerá? A pergunta estará respondida, se determinarmos quantos dias são necessários para acumular uma probabilidade de defeito próxima de 0,10. Ou ainda, obter k tal que

P(X ~ k) = 1- O, 99k+ 1

:::

0,10.

Com o auxílio de uma planilha ou calculadora, obtemos P(X ~ 9) = 0,0956 e P(X ~ 10) = 0,1047. Para atender o requisito desejado, a manutenção preventiva deverá ser feita após 9 dias de operação. Dessa forma, teremos O probabilidade de 0,9044 de um defeito não ocorrer entre essas manutenções. Exemplo 2.14: Falta de memória da Geométrica

Seja X""' Geo(p) e vamos verificar que, para quaisquer números inteiros positivos m e n, vale P(X 2': m + n IX 2': m) = P(X 2': n ). Essa propriedade é conhecida como falta de memória. Ela indica a maneira como a variável incorpora a informação anterior. Em termos ilustrativos,

85


podemos considerar que a variável "lembra" do presente, mas "esqueceu" do que ocorreu no ado. Por exemplo, se X representasse a espera em dias para a ocorrência de um certo evento, a probabilidade condicional acima representaria a probabilidade de espera de pelo menos m + n dias, sabendo que o evento não ocorreu antes de m dias. A propriedade da falta de memória estabelece que essa probabilidade é a mesma de esperar pelo menos n dias. Para verificar a propriedade, observe que

P(X>m

-

+

niX>m)= P([X2':m+n]n[X2':m]) P(X 2': m) -

=

P(X2-:m+n) _ P(X 2': m)

A função de probabilidade de X é dada por P(X = x) = p(1- p)X. Então,

(1 P(X2':m+niX2-:m)=

)m+n

( -_!p)m =(1-pt=P(X2':n). 1

.

Pode-se ainda demonstrar que o modelo Geométrico é o único modelo discreto D com a propriedade da falta de memória. Uma generalização do modelo Geométrico é definida a seguir. Definição 2.10: Modelo Binomial Negativo

Considere uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes e definimos X como o número de fracassos anteriores ao r-ésimo sucesso. A variável X segue o modelo Binomial Negativo com parâmetros r e p com O< p < 1, r > O e tem função de probabilidade dada por: P( X ) = (

X

+ r _r -

1

Usaremos a notação X ""' BN( r, p).

1 ) pr ( 1 - p):r ,

X

= 0, 1, · · ·.

o

Note que se r = 1 temos o modelo Geométrico. A expressão para a função de probabilidade da Binomial Negativa poderia ser deduzida observando que precisamos ter, nas x + r - 1 primeiras realizações, um total de r - 1 sucessos. Essa probabilidade é calculada pela Binomial com parâmetros x + r - 1 e p. O resultado é multiplicado pela probabilidade de sucesso no [(x +r- 1) + 1]-ésimo ensaio que é p.

86


A Binomial Negativa pode ser apresentada em várias formas conforme mencionamos no próximo exemplo. '

Exemplo 2.15: Formas Alternativas da Binomial Negativa

x + r - 1) = ( x + r - 1) = _ 1 "' (-r) r-1 X (

)

X

Ensaios do tipo sucesso-fracasso são realizados de forma independente, sendo p a probabilidade de sucesso e 1 - p a de fracasso. Qual é a probabilidade de ocorrerem n sucessos antes de mfracassos? Note que n sucessos ocorrem antes de m fracassos se, e somente se, no máximo ocorrem (m - 1) fracassos antes do n-ésimo sucesso. Seja X"' BN (n, p). Assim, a probabilidade desejada é

Seja X"' BN(r,p). Note que

(

'

m -I

P{n sucessos antes dem fracassos}= LP(X = x)

com esta última combinação sendo calculada por:

x=O

= ~ (X::~

-r)= (-r)(-r-1)(-r-2) .. ·(-r-x+1)_

( x

x!

Portanto, temos duas formas equivalentes para a função de probabilidade de X : P( X =

X)

=

(X + :

-

1

) pr ( 1 - p )"' = ( -1 )"' (

87


~r) pr (p -

1)"', x = O, 1, .. ·.

Essa última expressão à direita justifica o nome dado a esse modelo. Alguns autores definem a Binomial Negativa como número de ensaios anteriores ao r-ésimo sucesso. Isto corresponde a uma troca de variável na nossa de~nição. Tomando y = x + r - 1 temos a quantidade desejada e seus valores variam de (r - 1) em diante. Assim, sendo Y o número de ensaios anteriores ao r-ésimo sucesso, temos

. Finalmente, cabe ressaltar que existem autores que preferem incluir o ensaio em que se realiza o r-ésimo sucesso, na sua variável. Dessa forma, eles define~ a Bin~~ial Negativa como o número de ensaios necessários para a obt~?çao do r-esimo sucesso. A diferença é o acréscimo de 1, em relação à vanavel da nossa definição. A despeito da modificação ser aparentemente simples, é preciso ter atenção sobre qual definição está sendo usada. Nesses casos é natural que qualquer quantidade, calculada a partir da função de probabilidade. também tenha seu valor alterado. O

1) pn(

1 _ p)"' .

Sugerimos ao leitor, verificar que essa expressão é equivalente àquela encontrada no Exemplo 17 do Capítulo 1. O O modelo apresentado a seguir é motivado por amostras retiradas, sem reposição, em conjuntos com elementos que possuem uma dentre duas caracteósticas possíveis. Sem reposição, uma retirada interfere na ·seguinte e não temos independência entre os sucessivos sorteios. Retirar sem reposição é equivalente a retirar, de uma só vez, todos os elementos da amostra.

Definição 2.11: Modelo Hipergeométrico Considere um conjunto com n objetos dos quais m são do tipo I e n - m são do tipo I I. Uma amostra é escolhida, ao acaso e sem reposição, com tamanho r (r< n) e definimos X como o número de objetos com a caracteóstica I, na amostra. Nesse caso, diremos que a variável aleatória X segue o modelo Hipergeométrico de parâmetros m, n e r, com notação X"' Hgeo(m, n, r) , e função de probabilidade dada por:

P(X = k) =

(~)(~:~) ' (~)

sendo k inteiro e tal que max{O, r- (n- m)} ~ k ~ min{r, m }.

o

Exemplo 2.16: Problema dos pontos

Observe que os limites para k, na definição acima, garantem que situações absurdas serão evitadas.

Como aplicação do modelo Binomial Negativo vamos resolver o Problema dos Pontos, já discutido no Capítulo 1, cujo enunciado é reproduzido abaixo.

Exemplo 2.17: Considere que, num lote de 20 peças, existam 4 defeituosas. Selecionando-se 5 dessas peças, sem reposição, qual seria a probabilidade de 2


88

defeituosas terem sido escolhidas? A variável aleatória que indica o número de peças defeituosas na amostra selecionada segue o modelo Hipergeométrico. Denominando por X essa variável, temos:

89


Poisson. Sua caracterização provém, na maioria das vezes, de dedução experimental. Entretanto, é possível estabelecer premissas e deduzir de modo formal sua função de probabilidade. Definição 2.12: Modelo de Poisson

Uma variável X segue o modelo de Poisson de parâmetro >., ), sua função de probabilidade for a seguinte:

o Exemplo 2.18: Captura e Recaptura (Dudewicz e Mishra [88])

Para determinar o tamanho da população de animais de uma certa espécie em uma região, os biológos, freqüentemente, utilizam o método de Captura e Recaptura. O procedimento consiste em capturar um número pré-fixado de m animais da espécie desejada e marcá-los. Em seguida, eles são soltos e espera-se um tempo para permitir que eles se misturem aos demais. Uma segunda amostra é retirada com r animais e o número de animais marcados é contado. Com base nessa informação, deseja-se estimar o tamanho N (desconhecido) da população desses animais na região. Na população em questão, após o processo de marcação, dos N animais existentes, temos m marcados e N - m não marcados. Considerando que o processo de marcação não altera a aleatoriedade da amostragem futura, na segunda amostra de r animais, o número de animais marcados será uma variável aleatória X com distribuição Hipergeométrica. Isto é, P(X = k) = Px(k) =

(';)/;)=;;) ;max{O, r -

(N - m)}

~ k ~ min{r, m} .

Supondo que essa amostra forneça k 0 animais já marcados, escolhemos como estimativa para No valor que maximiza a probabilidade px(k0 ). Estamos usando o que é denominado de estimação pelo método da máxima verossimilhança (consulte textos em Estatística, por exemplo Mood, Graybill e Boes [74]). Nesse caso, teremos: Nest =

r

m-· ko

o

Apresentamos, a seguir, um modelo com inúmeras aplicações nas áreas de probabilidade aplicada e engenharia. Chegadas de mensagens ou de chamadas telefônicas a uma central têm sido modeladas de modo satisfatório pelo modelo de

> O, se

e-A>,k

P(X = k ) = ~· k =0,1, ....

Usamos a notação X rv Poisson(>.). O parâmetro >. indica a taxa de ocorrência por unidade de medida. D Exemplo 2.19: O número de mensagens eletrônicas (em centenas) recebidas por

um provedor em horário comercial foi modelado por uma variável Poisson com taxa de 15 por dia. As instalações disponíveis podem atender, com o padrão de qualidade desejado, até 2 mil mensagens diárias. Você diria que tem havido muita reclamação pelo serviço do provedor? Precisamos avaliar a probabilidade de serem recebidas mais de 2 mil mensagens, ou 20 centenas na unidade estabelecida. Se ela for alta, teremos uma · indicação de que o serviço deve estar perdendo qualidade e, portanto, sendo ível de reclamações dos usuários. Temos 20

P (X > 20) = 1- P(X

-1515k

~ 20) = 1- ~ e k!

= 0,083.

Essa probabilidade indica que, em 8,3% dos dias, o serviço estará trabalhando abaixo da qualidade desejada, devido ao excesso de mensagens. Dessa forma, os usuários não devem estar contentes com o provedor e o índice de reclamações deve estar alto. 0 Exemplo 2.20: Bombas em Londres- Modelo de Poisson (Feller {68])

. Este é um exemplo clássico e interessante de aplicação da distribuição de Pmsson. Durante a Segunda Guerra Mundial, a cidade de Londres foi bombardeada intensamente pelos aviões alemães. A discussão sobre a aleatoriedade dos alvos é feita com o auxílio da probabilidade e da estatística. Um possível interesse é saber se houve alguma tendência de concentrar as bombas em alguns alvos, ou se elas foram lançadas aleatoriamente.


90

Para isso, a parte sul da cidade foi repartida em 5 76 pequenas regiões com meio quilômetro quadrado de área cada uma. Foi contado o número de regiões que receberam k bombas, representado por nk. O total de bombas na parte sul da cidade foi de 537, resultando numa taxa de O, 9323 bombas por região. Veremos que o modelo de Poisson, com a taxa acima, é considerado adequado para ajustar o número de bombas por região. Isto é, a probabilidade de uma região (hipotética) receber k bombas seria dada por p( k) = e-À À k / k!. Vamos construir uma tabela de freqüências esperadas, supondo que o modelo Poisson seja válido, e compará-la com a tabela das freqüências observadas. Para obter a freqüência esperada do número de regiões com k bombas, denotada por e~o multiplicamos o total de regiões pela probabilidade p(k). Por exemplo, para a freqüência esperada de regiões com 2 bombas, temos e2

=

e-0,9323

576 x

O 9323 2

2

,•


91

variável, indicando o número de objetos do tipo I, será observada. O modelo dessa variável é Hipergeométrico. Nossa intuição nos diz que, para um tamanho grande de população se comparado ao da amostra, a não reposição dos objetos coletados não deve influir muito no resultado final. Veremos como essa intuição pode ser justificada matematicamente. Sendo X,..... Hgeo(m, n, r), temos P( X

=

k)

=

(';;)(~~='!:) ; max{O, r -

(n - m)}

~ k ~ min{r , m} .

Vamos definir p como a proporção de objetos do tipo I na população, isto é, p = mfn. Após alguma manipulação algébrica com as combinações e com o uso de p, podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma:

= 98,54.

A tabela abaixo resume os valores obtidos. No. bombas Freq. Observada Freq. Esperada

o 229 226 , 74

1 211 211 , 39

2 93 98,54

3 35 30, 62

4 7 7, 14

5 ou mais 1 1, 57

É possível realizar um teste estatístico para avaliar a aderência da distribuição de Poisson aos dados (ver, por exemplo, Magalhães e Lima [05]). Deixando de lado os detalhes, vamos apenas mencionar que os valores observados e esperados estão bastante próximos, servindo de indicação da adequação do modelo proposto. Note ainda que, se houvesse tendência das bombas se agruparem, haveria alta freqüência de regiões sem nenhuma bomba, bem como alta freqüência de regiões com muitas bombas. Também, teríamos baixa freqüência em valores intermediários. Pela tabela acima, percebemos que isso não ocorre e somos levados a concluir que o bombardeio foi feito aleatoriamente sobre essa região. O Encerramos a seção com a apresentação de dois exemplos sobre o relacionamento entre modelos.

Se o tamanho da população n é bem superior ao da amostra r , esperaríamos que os valores de m e n- m (que se referem à população de objetos) também fossem bem superiores aos de k e r - k (que se referem à amostra). Dessa forma, cada um dos produtórios dentro do colchete acima se aproxima de 1 e, então, podemos dizer que

que é a função de probabilidade de uma Binomial de parâmetros r e p

O

Exemplo 2.22: Relação entre Binomial e Poisson Seja X '"" B( n, p) e vamos discutir as condições para a aproximação desse modelo para o de Poisson. Temos

Exemplo 2.21: Relação entre Hipergeométrica e Binomial Considere uma população com n objetos, dos quais m são do tipo I e n - m do tipo I I. Uma amostra de tamanho r é coletada sem reposição e a

= mfn.

em que (n )x = n(n - 1)· · ·(n- x

+ 1) e definimos À= np.


92

Reagrupando os termos vem

P(X

3. Se X"' B(n,p), qual é o modelo de Y = n- X? Interprete.

~x(n) = x) = _ _x ( 1 -~) - -x ( 1 - ~)n - .

x! nx

n

n

Considere agora que a probabilidade p seja de tal modo pequena que, quando n se aproxima do infinito, ~ possa ser considerado como aproximadamente constante. Na aplicação do limite observe que lim (1n-+00

~) -x = 1 n

e

lim (n)x n-+OO

nX

= 1;

e, por um resultado clássico de limite, segue também que lim (1 n-+oo

~)n =e-À. n

Nestes termos ~X -À

limP(X = x) ~ _ e_l-,

n---Jooo

93


X.

que corresponde à função de probabilidade Poisson (~). Este resultado se refere ao comportamento limite de distribuições, que será objeto do Capítulo 6. O Exercícios da Seção 2.3: 1. Verifique que a atribuição de probabilidade nos modelos Binomial, Geométrico, Hipergeométrico e Poisson satisfazem às propriedades de função de probabilidade. 2. Considere um dado eqüilibrado. Para cada um das situações abaixo, obtenha a função de probabilidade da variável de interesse e identifique o modelo, se possível. a. O dado é lançado 3 vezes, de forma independente. Estamos interessados no número de vezes em que ocorreu face 1. b. O dado é lançado 3 vezes, de forma independente. Estamos interessados no número de repetições de faces sorteadas. c. O dado é lançado sucessivamente, de forma independente, até ocorrer a face 6. Estamos interessados em quantos lançamentos foram necessários. d. O dado é lançado 3 vezes, mas a face ocorrida num lançamento é "retirada" para o próximo sorteio. Estamos interessados no número de faces ímpares obtidas.

4. Se X"' Geo(p), qual é o modelo de Y =X+ 1? Interprete. 5. Dentre os estudantes João, Pedro e Manoel, o professor escolhe ao acaso um deles para fazer uma pergunta. Se cinco perguntas forem feitas, qual a probabilidade de: a. Manoel nunca ser escolhido? b. Um (qualquer) dos estudantes não ser solicitado a responder sequer uma pergunta? 6. Uma vacina, com taxa de imunização de 80% segundo o fabricante, foi aplicada num conjunto de crianças de um certo bairro. As autoridades de saúde desejam se certificar se a taxa de imunização tem efetivamente o valor indicado. Para tal, 20 crianças foram sorteadas dentre as que receberam a vacina e foram submetidas a testes rigorosos para avaliar sua imunização. a. Sendo a afirmação do fabricante verdadeira, qual seria a probabilidade de obter 3 crianças não imunizadas, no grupo das 20 crianças? b. Se você fosse encarregado de decidir sobre a aceitação ou não da afirmação do fabricante, que critério você estabeleceria? 7. O número de chegadas a um posto de informações turísticas é modelado por Poisson com taxa de 2 pessoas por hora. Para uma hora qualquer, qual a probabilidade de ocorrer: a. Pelo menos uma chegada? b. Mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas? 8. Para m,n ~O, seja P(X = m +n I X~ m) = P(X = n) uma versão da propriedade da falta de memória. Verifique se ela está satisfeita para os modelos abaixo:

a. Poisson(~). b. B(n,p). c. Geo(p). 9. Seja X"' Poisson(~) responda: a. Se P(X = 1) = P(X = 2) qual o valor de P(X < 4)? b. Sendo P(X = 1) =O, 1 e P(X = 2) =O, 2 quanto vale P(X

= 3)?

10. Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros, segundo um modelo de Poisson com uma taxa de 2 erros por página. a. Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos 1 erro em uma página escolhida ao acaso?

94


95

2.4 Principais Modelos Contínuos

f(x)

b. Se 5 páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de pelo menos 1 página com pelo menos 1 erro por página? c. Dentro das condições de (b ), considere a variável que conta o número de páginas com pelo menos um erro. Você identifica o modelo dessa variável?

_1_

b-a

------------------------------------,

2.4 Principais Modelos Contínuos Nesta seção, apresentamos os principais modelos para variáveis aleatórias contínuas. Os diversos modelos serão caracterizados pela sua função densidade e, em vários casos, apresentamos também a função de distribuição. Iniciamos com a versão contínua para o modelo Uniforme Discreto.

Definição 2.13: Modelo Uniforme Contínuo

a

b

X

Figura 2.5: Densidade da Uniforme Contínua em [a, b].

Diremos que X segue o modelo Uniforme Contínuo, no intervalo [a, b] com mesmo comprimento tiverem a mesma probabilidade. Sua função densidade é dada por:

[a, b]

C lR, se todos os sub-intervalos de

F(x)

1

f(x) = b _a I[a,bJ(x). D

Usaremos a notação X "' Uc[a, b].

Vamos verificar que a expressão da densidade do modelo Uniforme Contínuo em [a, b] satisfaz as propriedades de densidade. Ela é positiva e

1

00

f(x)dx

-00

=

1b

1

~dx

a

a

= 1.

A função de distribuição pode ser calculada sem dificuldade através da integral da densidade. A expressão resultante é dada por:

o, F(x) =

(x- a )/(b- a),

{ 1,

se x
Devido à natureza contínua da variável, não faz diferença na definição do modelo se o intervalo de valores for aberto ou semi-aberto. Apresentamos, a seguir, os gráficos da densidade e da função de distribuição do modelo Uniforme Contínuo em [a, b] para a e b positivos.

Figura 2.6: Função de Distribuição da Uniforme Contínua em [a, b].

Exemplo 2.23: Um programa de TV dura 1 hora e um telespectador impaciente vai trocar de canal a qualquer momento durante o programa. Qual a probabilidade

~·


96

dele assistir à maior parte do programa? Se ele assistiu à maior parte, qual seria a probabilidade dele desligar a TV ou mudar de canal nos últimos lO minutos? Vamos denotar por X o instante em que o telespectador troca de canal. Pelas informações disponíveis, X"' Uc[O, 1] e, portanto,

o, F(x)

=

{ x, 1,

se x

97

que J(x), dada na definição do modelo Exponencial, satisfaz as propriedades de densidade (ver gráfico a seguir). j!z)

1

Assistir à maior parte do programa é equivalente ao evento [X rel="nofollow"> 1/2]. Temos

P(X > 1/2) = 1 - P(X ~ 1/2) = 1 '- F(1/2) = 1/2. Para calcular a probabilidade dele desligar ou mudar de canal, nos últimos 1O minutos, se assistiu à maior parte do programa, temos

P(~ 6

)_

< X < 11 X > 112 -

= em que usamos P(~ <X< 1)

P([~ < x < 1] n [X > 1/2]) P( X > 1/2) P(~ <X< 1) P(X > 1/2)

~

Figura 2.7: Densidade da Exponencial (À).

1.

=I = 3'

= F(1-)- F(V = 1- ~ =

~-

o

Um modelo com aplicação em diversas áreas de engenharia e matemática é o modelo Exponencial. Tempo de vida de equipamentos, intervalos entre chegadas de mensagens eletrônicas ou de chamadas telefônicas a uma central, são algumas das quantidades que têm sido bem modeladas com essa distribuição. Boas propriedades matemáticas e suas relações com outros modelos são, também, atrativos no uso da Exponencial. Em particular, a importante propriedade, conhecida como falta de memória, será apresentada em proposição.

A expressão da função de distribuição pode ser obtida, sem dificuldade, através de integração e resulta em F(x) = (1- e->.x) I(o,oo) (x). Seu gráfico é apresentado a seguir. F(x)

Definição 2.14: Modelo exponencial A variável aleatória X segue o modelo Exponencial de parâmetro

>.,

>. > O, se tiver densidade dada por: f(x) = >. e-.u I(o,oo)(x). Usaremos a notação X"' Exp (>.).

o

O parâmetro >. indica a taxa de ocorrência por unidade de medida, que pode ser tempo, distância ou volume, entre outras. É deixado ao leitor verificar

Figura 2.8: Função de Distribuição da Exponencial (À).

98


Exemplo 2.24: Um serviço de atendimento ao consumidor recebe chamadas telefônicas num intervalo de tempo, em horas, que segue uma distribuição Exponencial com >. = 5. O parâmetro >. pode ser interpretado como sendo uma taxa de 5 chamadas por hora e, dessa forma, a unidade de >. seria horas- 1• A probabilidade de um intervalo entre chegadas ter duração inferior a 30 minutos é dada por

P(X < 1/2)

= P(X :::; 1/2) = F(1/2) = 1 -

e-~ = 0,918.

O

Uma característica matemática importante do modelo Exponencial é a já mencionada falta de memória. A interpretação permanece a mesma do caso discreto mas, para o caso contínuo, não faz diferença incluir ou não as igualdades nas probabilidades. Na próxima proposição verificamos que o modelo exponencial é o único dentre os contínuos com tal propriedade.

Proposição 2.4: Falta de memória da Exponencial Sendo X uma variável aleatória contínua, X tem a propriedade da falta de memória se, e só se, X......, Exp(>.).

Demonstração: A propriedade de falta de memória pode ser escrita da seguinte forma:

P(X 2: t+siX 2: s) = P(X 2: t) ;t , s 2: O. Seja X......, Exp (>.)e s, t > O. Temos que

_ P(X 2: t + s, X 2: s) _ P(X 2: t + s) . P(x 2: t + 8 I X 8 ) 2: P(X 2: s) P(X 2: s) A função densidade de X é dada por f(x) = >. e->.x Ico,oo) (x). Assim,

P(X > t + siX > s)

-

-

roc >. e-Àxdx

= Jfsoc t+s = À e-Àxdx e-À(t+s)

=

e - Às

=

e->.t

_ e-Àxloc t+s

- e-Àx ~~

99


~is X é contínua. Note que F é não crescente, contínua à direita, F(O)

= 1 e F( +oo) =O. A propriedade da falta de memória pode ser reescrita da seguinte forma:

F(s + t)

=

F(s)F(t).

Se g(x) = F(x), vamos resolver a equaçã~ funcional g(s + t) = g(s)g(t), sujeita às condições já mencionadas sobre F. A solução única será da forma g(x) = e->.x , para x 2: O e com>.> O. Inicialmente, mostramos que g(x) >O, sempre que O:::; x < oo. É claro que g(x) ;::: O (por ser probabilidade) e não crescente (por definição). Suponha por absurdo que g(xo) = O para algum xo. Segue pela equação funcional que g(x) =O para todo xo :::; x < oo. Seja xô o ~enor dos x para os quais g(x) =O. Assumindo que X não é uma constante Igual a zero, temos xô > O. Sejam u e v dois números reais tais que O :::; u < v < xô :S u + v, então pela equação funcional

g(u)g(v) = g(u + v) = O. Isto implica em uma contradição, pois g(u) e g(v) não são nulas. Concluímos que g(x) não é zero para qualquer x finito. . Para todo x >O temos g(nx) = g(x)g(nx- x), n 2: 1. Recursivamente, obtemos g(nx) = gn(x). , · 1 ;:nn vem g ( ;:nn ) = gn ( ;:nI ) • Logo com Para qualquer numero raciona escolhas convenientes de me n obtemos g(~) = [g(1)jlfm . Então 9 (:)

=

[g(1)r

1

m,

para todo racional njm.

Pela continuidade à direita de g, vem

•

=

= P(X -> t) '

e, portanto, vale a propriedade da falta de memória. Para a recíproca, seja X uma variável contínua e denotamos por F(x ) o complementar de F(x). Isto é, F( x ) = 1- F(x) = P(X > x ) = P(X 2: x ),

Como g(1) > O,>.= -logg(1) está definido e é positivo. Substituindo na última equação, obtemos

g(x) = e->.x, x 2: O; - de e, portanto, F(x) = 1- F( x ) = 1- g( x ) = 1- e- ÀX , x 2: 0, que e' a f unçao distribuição do modelo Exponencial de parâmetro >.. D

_.-:I ( I

• Capítulo 2: Variáveis Aleatórias

100

Como ilustração da falta de memória da Exponencial, considere que o tempo de vida de um equipamento siga esse modelo. A probabilidade de durar pelo menos t + s anos, sabendo-se que já durou s, é igual à probabilidade de um equipamento novo durar pelo menos t anos. Em outras palavras, a informação da "idade" do equipamento pode ser esquecida e o que importa, para o cálculo da probabilidade, é quantos anos a mais queremos que dure. O uso da Exponencial no estudo de fenômenos que ocorrem na área de engenharia e de telecomunicações se deve, em parte, ao seu relacionamento com o modelo Poisson.

Exemplo 2.25: Relação entre Poisson e Exponencial

(

(

Seja X uma variável aleatória Poisson com parâmetro >.. Suponha que X representa o número de ocorrências de um evento, num certo intervalo de tempo. Variando o intervalo de interesse, podemos considerar que o número de ocorrências ainda é Poisson, mas com o parâmetro ajustado proporcionalmente. Assim, temos a variável Xt "'Poisson(>.t). Vamos supor que acabamos de ter uma ocorrência e seja Y a variável que indica o tempo até a próxima ocorrência. Temos, para y > O,

101


Para uma maior discussão sobre a função Gama, consulte Hoel, Port e Stone [71]. Vale destacar alguns resultados:

i) r( a+ 1) =a r( a), a > oj ii)r(n) = (n- 1)!, n inteiro positivo; iii)r(1/2) =

vn.

Exceto em situações especiais, a função de distribuição do modelo Gama não tem uma forma simples e compacta. Dependendo dos valores dos parâmetros, ·o modelo Gama recebe outros nomes e a tabela abaixo resume os casos principais. Parâmetros

Nome Especial

Notação

a= 1, {3 > O

Exponencial

Exp ({3)

Qui-quadrado com n graus de liberdade

x2 (n)

Erlang de ordem k

Erlk(f3)

o· .

a= 2n , n > mte1ro, {3 = 21 a = k, k > O inteiro, {3 > O

Para exemplificar a versatilid~de da Gama apresentamos na Figura 2.9 o gráfico de sua densidade para alguns valores de parâmetros.

Fy(y) = P(Y ~ y) = 1 - P(Y > y ) = 1 - P(Xy =O) = 1 - e->.y e, assim, concluímos que Y é Exponencial com parâmetro >..

ft.x)

o

Um modelo contínuo bastante versátil e, também, com inúmeras aplicações é o modelo Gama. Muitos autores se referem a ele como a famíla Gama tendo em vista que, dependendo da escolha dos seus parâmetros, outros modelos importantes podem ser obtidos.

Definição 2.15: Modelo Gama

0,6

0,4

Diremos que X segue o modelo Gama, se sua densidade for dada por a-1 -{3x J ( ) f (X ) -_ _f!:_ r (a) X e (O,oo) X '

0,2

sendo a e (3 dois parâmetros positivos e com r (a ) sendo a função matemática Gama, definida por

1

o

00

r( a ) =

1

x"'- e-x dx, a>

Usaremos a notação X "' Gama( a, (3).

2

o.

o

Figura 2.9: Densidade da Gama- conforme parâmetros indicados.

102


O modelo mais importante para variáveis aleatórias, tanto do ponto de vista teórico como prático, é o modelo Normal. Algumas vezes ele é também denominado modelo de Gauss ou de De Moivre. O modelo Normal foi estabelecido, ao redor de 1733, pelo matemático francês Abraham De Moivre. Definição 2.16: Modelo Normal

f( x) =

r;c_

e-

~ 2 •

Sendo X

1(-oo,oo)(x),

rv

N(p, a 2 ).

rv

N(p, a 2 ), então Z =

X;!J

terá distribuição N(O, 1).

Demonstração:

l!V 21T

com p, a E IR, a> O. Usaremos a notação X

integral, pois esta não possui primitiva. Assim, valores de probabilidade são obtidos por integração numérica e apresentados em tabela. Não é necessário fazer uma tabela para cada par de valores dos parâmetros em que se tenha interesse. 2 Basta, apenas, tabelar as probabilidades para J.L = O e a = 1, conforme indicado pela próxima proposição. Proposição 2.5:

Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:

1

103


D

Com as definições a serem apresentadas nos Capítulos 4 e 5, veremos que os parâmetros J.L e a 2 são, respectivamente, a média e a variância da variável (a quantidade a será denominada desvio-padrão). O gráfico da densidade N(p, a 2 ) é apresentado na figura a seguir.

Temos P(X- J.L :::; z)

a

= P(X:::; za + p) =

l

1

zu+p.

r;c_

-oo

'1%-oo

ay 21T

1 r;c_

=

y

e

_ (;-~)2 2.

dx

e- i.2 dy,

2?T

f(:r)

em que usamos y = (x- p)ja. Observamos que este último integrando é a função densidade de uma e, portanto, o resultado está verificado. A distribuição N(O, 1) é 1) N(O, D denominada Normal Padrão ou Normal Reduzida. Com auxílio da proposição acima, convertemos as probabilidades de interesse em probabilidades equivalentes da N(O, 1), cuja função de distribuição é, usualmente representada por <J>( z). No Apêndice A, apresentamos uma tabela que auxilia nos cálculos de probabilidade para a Normal. Como ilustração, sendo X rv N(p, a 2 ), desejamos obter a probabilidade de X estar entre duas constantes a e b, a < b. Temos

a-p b-p b-p a~p , P(a <X< b) = P(-- < Z < - ) = <J>(- )- <1>(--) a a

Figura 2.10: Densidade Normal (J.L, u 2 ).

A função de distribuição da N(p, a 2 ) não tem uma forma fechada e, de fato, o cálculo de probabilidades com a densidade Normal não pode ser feito pela

a

(J

cujo valor numérico poderia ser obtido com o uso da tabela mencionada, se as constantes fossem conhecidas. A importância da distribuição Normal em Estatística é muito grande. Ela serve como modelo para quantidades de interesse em Inferência Estatística e, também, é usada em aproximações. Sua densidade é simétrica ao redor de J.L (que já mencionamos que é a média da variável) e vai diminuindo a massa de

104


probabilidade, à medida que seus valores se movem para as extremidades. Dessa forma, o modelo Normal poderia ser adequado para várias quantidades envolvendo medidas populacionais tais como peso, altura, dosagem de substâncias no sangue, entre outras. A falta de limitação para os valores da Normal poderia ser um empecilho para sua maior aplicação. Entretanto, do ponto de vista prático, a probabilidade que escapa dos valores centrais é desprezível. Por exemplo, para a N(O, 1), a probabilidade de um valor fora do intervalo ( -3, 3) é cerca de O, 0026 e para o intervalo ( -4, 4) seria menor do que w- 4 , evidenciando que o "infinito" da Normal não é tão longe assim! Muitas das variáveis de interesse em aplicações são não negativas e a modelagem pela Normal poderia parecer absurda. Pela mesma argumentação numérica do parágrafo anterior, podemos verificar que, sendo J.L relativamente grande em relação à u, a probabilidade de valores negativos é muito reduzida e, portanto, a Normal poderia ser um bom modelo. Em muitos métodos estatísticos, o requisito de normalidade é necessário. Se utilizamos uma variável limitada, como ocorre na maioria dos casos práticos, a modelagem pela Normal poderia ser usada para ganhar tratamento matemático. A justificativa segue, também, pela argumentação anterior. De qualquer forma, a avaliação de qual modelo é adequado precisa ser feita com cuidado e critério, um assunto para as áreas de Estatística Descritiva e Inferência Estatística. Exemplo 2.26: Duas máquinas estão sendo comparadas quanto ao seu desempenho. As máquinas produzem, por hora, um número de peças que é modelado pela distribuição Normal. Os parâmetros são dados a seguir:

Máquina A B

J.L 110 100

0'2

400 625

Deseja-se comparar as máquinas pelo que foi denominado índice regular de produtividade, que é calculado pela probabilidade de produzir de 80 a 120 peças em uma hora. Um maior índice indicaria um melhor desempenho. Inicialmente, cabe um comentário sobre a conveniência do modelo Normal. O número de peças produzidas é sempre um inteiro não negativo e, portanto, o uso de um modelo contínuo necessita ser justificado. Em geral, construímos um gráfico com os valores observados de uma amostra da produção horária das máquinas e, com o uso de algumas técnicas estatísticas, avaliamos a qualidade da modelagem. O modelo Normal permite valores negativos, que não fariam sentido em termos de produção de peças, mas nesse caso sem maiores


105

conseqüências práticas. Segundo os modelos Normais para a produção das duas máquinas, as probabilidades de valores negativos são praticamente desprezíveis. Os cálculos são apresentados a seguir:

P(XA < o) = P(Z < -5, 5) ~ 1, 9 x w- 8 ; P(Xs
P(80 < XA < 120) = P(-1,5 < Z < 0,5) = 0,6247; P(80 < Xs < 120) = P(-0,8 < Z < 0,8) = 0,5762. Dessa forma, a máquina A tem um melhor desempenho pelo critério utilizado. O Exemplo 2.27: Relação entre Binomial e Normal

Uma consequência do Teorema Central do Limite, a ser apresentado no Capítulo 6, é a aproximação de cálculos de probabilidade da Binomial pela distribuição Normal. Sendo X"' B(n,p), desejamos calcular P(a ~X~ b) com a e b inteiros entre Oe n. Para n suficientemente grande, a aproximação será feita através da variável Y "'N(J.L = np, u 2 = np(1- p) ). Em geral, essa aproximação é aceitável sempre que np ~ 5 e np(1- p) ~ 5. Como estamos aproximando uma variável discreta por uma contínua, alguns cuidados precisam ser tomados. Para melhorar a aproximação, um recurso é utilizar a correção de continuidade que consiste em, dependendo do caso, acrescentar ou retirar O, 5 ao valor de que se pretende calcular a probabilidade. Dessa forma, P(X ~ b) é aproximada por P(Y ~ b +O, 5), enquanto que P(X < b) por P(Y ~ b- O, 5). Lembre-se de que, para a variável Y não faz diferença a inclusão ou não da igualdade. Assim, nas condições para aproximação já mencionadas, temos

P(a ~X~ b) ~ P(a- 0.5 ~ Y ~ b + 0.5). Utilizando o Exemplo 6.9 em Magalhães e Lima [05], consideramos uma variável X "' B(200; 0,3), cujos cálculos de probabilidade serão aproximados por Y "'N(J.L = 60, a 2 = 42). Assim, com o auxílio da tabela da N(O, 1) e sem o uso da correção de continuidade, temos:


106

P(X 2:

5

0

50)~P(Y 2: 50)=P(y~O 2: ~ )=P(Z2:-1,54)=0,9382. 42

42

Para o resultado exato, utilizando a Binomial, o valor obtido seria 0,9484. Isto indica que a solução dada pela distribuição Normal é bastante razoável. Se utilizarmos a correção de continuidade, o cálculo ficaria ainda mais preciso:

P(X 2:

50)~ P(Y 2: 49,5) =

P(Z 2:

49

~ ) 60

42

~

P( 49,5

~

Y

~

~ P( 50~60 ~

= 0,9474.

42

50,5)

z

f3

positivos, f(x) = /[;,) (x- a)a:- 1 e-.B(x-a) I(a,oo)(x) é

função densidade de probabilidade. Alguns autores definem o modelo Gama dessa forma, sendo que, nesse caso, o modelo tem um terceiro parâmetro a. 6. A variável X segue o modelo Beta de parâmetros a, b > O, se sua densidade for f(x) = .B(~,b)xa- 1 (1- x)b- 1I(o, 1)(x); f]( a, b) é a função Beta (Apêndice A). b. Prove a seguinte relação entre as funções Beta e Gama: /3( a, b) = ri(~I~~)

·

7. Mostre que a taxa de falha, tr(x) = 1 !~(~) (F(x) < 1), para o modelo Exponencial é constante e coincide com seu parâmetro. 8. Sendo X"' N(J.L, a 2 ), J.L > O, avalie as probabilidades abaixo em função de ci>(z) ou numericamente, se possível:

a. P(IXI < J.L).

~ 49~60) = 0,0 182 _ 42

O cálculo exato é 0,0190; mostrando, novamente, a qualidade da aproximação. O Exercícios da Seção 2.4: 1. Seja X"' Uc( -a, a), determine o valor do parâmetro a de modo que:

a. P(-1 <X< 2) = 3/4. b. P(IXI < 1) = P(IXI > 2). 2. Supondo que a expectativa de vida, em anos, seja Exp(1/60): a. Determine, para um indivíduo escolhido ao acaso, a probabilidade de viver pelo menos até os 70 anos. b. Idem para morrer antes dos 70, sabendo-se que o indivíduo acabou de completar 50 anos. c. Calcule o valor de m tal que P(X > m) = 1/2. 3. Mostre que a densidade Gama satisfaz as propriedades (fdl) e (fd2).

4. Com a definição da função matemática Gama dada nesta seção, verifique que: a. r(a+ 1) = ar(a),a > o. b. Para n inteiro positivo, r(n + 1) = n! c. r(1/2) = Sugestão: use a N(O, 1) e uma troca de variáveis.

J7i.

5. Mostre que, para a e

a. Verifique que a densidade Beta com parâmetros a = b = 1 é a Uc(O, 1).

Para calcular a probabilidade de igualdade a um valor, digamos X= 50, criamos um intervalo artificial, pois, com variáveis contínuas, essa probabilidade seria zero. Assim,

P(X = 50)

107

2.5 Exercícios

b. P(IX- J.LI > 0). c. P(X- J.L < -a). d. P(a
9. Suponha que o volume, em litros, de uma garrafa de refrigerante seja Normal com parâmetros J.L = 1 e a 2 = w- 4 • Se três garrafas forem sorteadas ao acaso, pergunta-se a probabilidade de: a. Todas as três terem pelo menos 980 ml? b. Não mais de uma ficar com volume inferior a 980 ml? 10. Uma variável X"' N(J.L, a 2 ) representa o desempenho de um certo equipamento. Ele será considerado fora de controle se afastar de J.L por mais de 2a unidades. Todo o dia, o equipamento é avaliado e, caso esteja fora de controle, será desligado e enviado para manutenção. ita independência entre as avaliações diárias. Determine a probabilidade de: a. No primeiro dia o equipamento ser desligado. b. A primeira manutenção ser no décimo dia. c. Você reconhece a variável que conta os dias anteriores à manutenção?

2.5 Exercícios 1. Sendo c uma constante real qualquer, verifique que X(w) =c, para todo w E 0, é variável aleatória em qualquer 0'-álgebra de conjuntos de 0.


108

2. Considere um espaço de probabilidade (n, F, P) e sejam E e F c n com E E F mas F rt F. Mostre que a função indicadora de E é variável aleatória mas a de F não é. 3. Se X é variável aleatória em (0, F, P), mostre que são variáveis aleatórias: a. X - a, com a E ~. b. -X. c. a X, com a E R d. IA, com A= {w: X(w) > 2}. 4. Sejam A1. A 2 , .. ·, An eventos em

Y =

(n, F, P),

n

verifique se X= ElA; e i=l

n

TI f A; são variáveis aleatórias.

109

12. Mostre que uma variável aletória é discreta em (0, F, P), se, e só se, existir uma partição de eventos A1,A2, ... em n e constantes a 1 ,a2 , .. ·,reais e 00

distintas, tais que X=

E ai IA;· i=l

13. Uma variável aleatória X é simétrica ao redor do O, se X e -X tiverem a mesma distribuição. Mostre que X é simétrica ao redor do O se e só se

Fx(-x) = 1- Fx(x-), Vx E IR. 14. Mostre que F(b)- F( a) ~ ~[F2 (b)- p2(a)], a< b. 15. Mostre que se F e G forem funções de distribuição então, para O ~ a aF + (1- a)G também é função de distribuição.

16. Se F e G forem funções de distribuição, o que dizer de F

i=l

5. Seja X variável aleatória em (0, F, P), defina [X] como sendo o maior inteiro contido em X. Seria [X] variável aleatória no mesmo espaço de probabilidade? 6. Seja (n, F, P) um espaço de probabilidade com n = (0, 2] n ~.F a a-álgebra de Borel e Puma probabilidade qualquer. Defina X, nesse espaço, tal que

X(w) = wlA(w) + (w- 1)1Ar(w); com A = { w E

2.5 Exercícios

n : O< w

~

1}. Mostre que X é variável aleatória.

7. Seja (n, F, P) um espaço de probabilidade com os eventos A, B e C. Mostre que X= IAnB + Ic é variável aleatória nesse espaço. 8. É válida a afirmação: se

lXI for variável aleatória então X

também é?

9. Seja X uma variável com distribuição F. Mostre que P(X E I) é dado por:

11. Sendo X uma variável aleatória com distribuição Fx, determine a função de distribuição de -X e lXI.

+ G?

18. Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade dada por: p(x) = k(1- Ot-\ 0 < 0 < 1, X= 1, 2, .... a. Determine o valor de k. b. Se O= 1 - 2-l/n, mostre que a mediana de X é qualquer número real no intervalo [n, n + 1). 19. Seja X uma variável aleatória em (0, F, P) com função de distribuição F. a. Demonstre que as funções abaixo são variáveis aleatórias.

x+ = { X

b. F(b)- F( a-) se I= [a, b]. 10. Seja X uma variável aleatória com distribuição F. Mostre que, para todo número real c, P(X =c) =F( c)- F( c-).

1,

17. Suponha que a variável aleatória X tenha função de distribuição F. Mostre que m1 = sup{x; F(x) < 1/2} e m2 = inf{x; F(x) > 1/2} satisfazem as propriedades de mediana. (Obs: Uma mediana é qualquer número real m tal que P(X ~ m) e P(X ~ m) são ambos maiores ou iguais a 1/2 ou, equivalentemente, F(m-) ~ 1/2 ~ F(m)).

a. F(b-)- F( a) se I= (a, b). c. F(b-)- F(a-) se I= [a,b).

~

O

se X ~ O; e se X < O.

x- = { -X O

se X ~ O; se X > O.

Elas são denominadas, respectivamente, as partes, positiva e negativa de X. b. Obtenha as funções de distribuição de x+ e x-.

20. Para cada uma das expressões abaixo, verifique se são função de probabilidade. Caso não sejam, indique se uma multiplicação por alguma constante poderia torná-las função de probabilidade. a. p(x)

= 0)x, x = 1,2, ...

..... I Capítulo 2: Variáveis Aleatórias

110

b. p(x) = ~. x =

± 1, ± 2, ± 3, ± 4.

111

2.5 Exercícios

c.p(x) = fõ,x = 1,2,3,4,5.

d. f(x) = ~ e-Àix-pl, x, 1-l E JR., >. >O; modelo de lAplace ou Exponencial Duplo.

d.p(x ) = x; 1 ,x = 2,3, ...

e. f(x)

21. Determine condições sobre as constantes c, de modo que as expressões abaixo sejam função de probabilidade.

a.p(x) = cax,o < 1, x =O, 1,2, ... b.p(x) =(c -1) 2x,x = 1,2,···. 22. Obtenha o valor (ou valores) de c, para que as expressões abaixo sejam função densidade.

=

o, c. f(x)

X:::; -1;

-ex, { ce-6x,

h. f(x) =

e. f(x)

25. Obtenha a função de distribuição referente às funções densidade abaixo:

a. f(x) =

(c+ 1)/I (x) - ch(x), x E lR. e h e h são densidades.

23. Determine c, para a expressão abaixo ser função de probabilidade de uma variável discreta X. c p(x)= x,x=0,1,2, ... 3 Sendo A= {x E N; x = 2k + 1, k E N} e B = {x E N; x = 3k + 1, k E N}, obtenha as probabilidades P(X E A) e P(X E B). 24. Demonstre que as funções abaixo satisfazem as propriedades da função densidade.

a. f(x) = (1 -11- xi)I(o,2)(x); modelo Triangular. b. f(x) = ~ ffl+(~-a)2 , x, a E !R, ,B rel="nofollow"> O; modelo de Cauchy. Para a = O e ,B = 1 temos o modelo Cauchy Padrão.

c. f(x) = ~x e-~, x E JR.+; modelo Qui-quadrado.

{

~.

~(6- x),

o::;x<3; 3:::; x < 6;

O,

caso contrário.

-~·

= cx 1(-c,c)(x) . =

~ x 2 e-f I(o,oo)(x); modelo de Maxwell.

i. f(x) = (~) (~)a+l l(c,oo)(x), a, c> O; modelo de Pareto.

2

d. f(x) =c x 2e-x I (o,oo)(x).

O; modelo de Weibull.

g. f(x) = x e-4 I(o,oo)(x); modelo de Rayleigh.

-1 <X:::; O; X> 0.

3

.À, a>

f. f(x) = >.axa-l e-Àxa I(o,oo)(x),

a. f(x) = cosx I(o,c)(x).

b. f(x) =

(l~:~r)2, x E JR.; modelo Logfstico.

b. f(x) =

~·

-1 :::; X :::; O; 0 <X:::; 1;

1, 2

1 <X:::; 2;

o,

caso contrário.

26. Verifique se a função abaixo é função de distribuição:

o, F(x)=

sen1r(x-1), { 1- e-(x-2),

X< 1; 1 :::; X< 2; X 2: 2.

27. Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição:

o,

X :::; O;

2

F(x) =

x /2, x3

0 <X:::; 1/2;

1,

x>l.

'

1/2 <X:::; 1;

a. Verifique que F(x) satisfaz as propriedades de função distribuição. b. Obtenha a f( x) .

112


28. Seja X uma variável aleatória contínua com densidade

1 ( jx-o:j) f(x) = {J 1- -{3- I(a-{J,a+{J)(x); com -oo < o: < {3 e {3 > O. a. Obtenha a função de distribuição de X. b. Determine q tal que P(X > q) =O, 25. 29. Seja X

3 f(x) = { ~~ ' 2c,

o,

se -1::::; x
33. A função de distribuição de X é dada por se x o:.

uma variável aleatória contínua com função densidade de

probabilidade dada por: f(x)

= 4~

[1- (x~a rJ I(a-fJ,a+{J)(x), com {3 > oe

-oo < {3. a. Verifique que f(x) satisfaz as propriedades de função densidade. b. Obtenha a função de distribuição de X. c. Determines tal que P(X < s) = O, 5. 30. Para o: constante, O :$ o: ::::; 1, seja X com função de distribuição:

o,

X::::; O;

ax

0 <X:$ 1;

2,

F(x) =

·a-l+x -2-

1 <X:$ 2;

a+l+(l-a)(x-2) 2

2 <X:$ 3;

1,

X > 3.

a. Verifique que F(x) satisfaz as propriedades de função distribuição. b. A variável X é contínua? Se sim, obtenha sua densidade. 31. Para X com densidade f( x) = 11- xl I(o, 2)(x), obtenha: a. A função de distribuição de X. b. P(X > 1/2). c. P(X < 2/31 X > 1/2). 32. Uma variável aleatória contínua X tem a densidade dada abaixo. a. Obtenha o valor de c. b. Determine a função de distribuição de X. c. Calcule P(X > -1/21 X:$ 1/2). d. Qual o valor de b tal que P(X > b) = P(X::::; b)?

J

113

2.5 Exercícios

> O;

a. Obtenha a densidade de X. b. Na vizinhança de que ponto, teremos probabilidade máxima? 34. Mostre que X é contínua se, e somente se, P(X = x) =O, Vx E R 35. Seja X uma variável com função de distribuição:

X< -2;

0,

2'

+ x! ~ + H1 -e-x), ~

F(x) = {

-2 :$X< O; X

2: O.

a. Classifique X e faça um gráfico de F. b. Calcule P(X > -1) e P(X :$ 4j X > O). c. Decomponha F nas partes discreta e absolutamente contínua. 36. A variável X tem função de distribuição dada por:

X< 2;

0,

F(x) =

{

~

+ xw

1,

2

'

2::::; X< 6; X

2: 6.

a. Faça um gráfico de F e classifique a variável X. b. Decomponha F em partes discreta e absolutamente contínua. 37. Numa certa região a probabilidade de chuva é o:, ~ < o: < 1. Um morador da região, acostumado com as variações muito freqüentes no clima, afirma que acerta mais do que os meteorologistas. Ele costuma jogar sua moeda, que indica chuva com probabilidade {3, O < {3 < 1. Suponha que são feitas, de forma independente, previsões em três dias.

-

114


a. Discuta o comportamento probabilístico do número de acertos do morador. b. Supondo a conhecido, qual deve ser (3 de modo que a probabilidade de três acertos seja máxima. c. Um novato na região diz que, para maximizar o acerto, é melhor dizer que chove todo dia. O que você acha?

Capítulo 3

Vetores Aleatórios

38. Se X"" Gama( a, 1) e Y,...., Poisson(>.), mostre que P(X > >.) = P(Y 1). b. Expresse F como a soma ponderada de duas funções de distribuição, uma discreta e outra absolutamente contínua.

s

o,

se x < -2;

+ 2), f2(x + x + 4), i4(-x2 + 8x + 9),

se -2

1,

se x

f2(x

F(x) =

2

~

x

se O ~ x < 1; se 1 ~ x < 3; ~

3.

40. Escreva a função de distribuição abaixo na forma aFac(x) + (1- a)Fd(x), em que a E (0, 1) e pac(x) e Fd(x) são funções de distribuição absolutamente contínua e discreta, respectivamente.

o, F(x) =

~

{ ~· 1,

Em geral, um mesmo fenômeno aleatório pode envolver várias variáveis de interesse. O estudo conjunto dessas variáveis é o objeto deste capítulo. As idéias desenvolvidas no capítulo anterior são, agora, estendidas para o que chamaremos de vetor aleatório. De fato, muitos dos conceitos serão apresentados para duas variáveis, mas serão, na sua maioria, válidos para um número finito de variáveis. Na Seção 3.2 a generalização da idéia de variável aleatória é apresentada com a correspondente descrição de sua estrutura probabilística. No estudo do comportamento conjunto das variáveis, definimos o conceito de independência. A independência tem um papel importante em probabilidade, amostragem e em muitos métodos estatísticos. Na Seção 3.3, funções de variáveis aleatórias são discutidas. Ainda, nessa seção, descrevemos o método do Jacobiano aplicado para transformação de vetores aleatórios.

3.2 Vetores Aleatórios

se x

+ lx(x + 2),

3.1 Introdução

se O ~ x

< 1;

se 1 ~ x

< 4/3;

se x ~ 4/3.

41. Sendo X"" B(n, p) , qual é o valor k, k inteiro entre O e n, que tem probabilidade máxima?

42. Para X"" Poisson(>.), qual é o valor k, k ~ O inteiro, que tem probabilidade máxima? 2 43. Sendo X"" N(J-l, u ), qual é o valor x que tem probabilidade máxima?

44. Sendo X"" Exp(>.) , qual é o valor x que tem probabilidade máxima?

A realização de um fenômeno aleatório pode ensejar muitas perguntas de interesse. Em termos gerais, quando uma coleta de dados é realizada, quase sempre, ela envolve várias variáveis. Trabalhar conjuntamente com duas ou mais variáveis é, assim, um caminho natural para responder muitas perguntas práticas. Mesmo em fenômenos aleatórios relativamente simples podemos definir mais de uma variável de interesse. Nesta seção, formalizamos o tratamento probabilístico de conjuntos de variáveis aleatórias. Para distinguir do caso unidimensional, usaremos negrito quando tivermos mais de uma variável.

Definição 3.1: Vetor Aleatório Seja (0, F, P) um espaço de probabilidade. Definimos como vetor aleatório, variável aleatória multidimensional ou variável aleatória multivariada a uma função X de O em JRm que seja F-mensurável. Em outras palavras, a função representada por X(w) = (X1(w), X2(w), ... , Xm(w)) é tal que para todo O i = 1, 2, ... me todo l i c JR, temos X;- 1 (/i) E F.

115

Capítulo 3: Vetores Aleatórios

116

Na definição de vetor aleatório, está implícito que X1, X2, ... , Xm são variáveis aleatórias no mesmo espaço de probabilidade (O, :F, P). Isto segue do requisito de que a imagem inversa de cada um dos X; 's esteja em :F, ou seja, para todo I; c lR o conjunto X; 1 (J;) é um evento. Assim, m

{w: Xl(w)::::;

X}, •.•

,Xm(w)::::; Xm} =

Definição 3.2: Função de Distribuição Conjunta

F(xl,X2,·· ··xm)

D

Exemplo 3.1: Uma máquina automática faz furos em uma chapa de aço e trabalha diariamente até quebrar. Existem dois tipos de chapas com diferentes durezas. Essas chapas alimentam o funcionamento da máquina de uma forma aleatória. Assim, ao quebrar, a máquina poderia estar furando qualquer uma das chapas. No momento de quebra da máquina, duas variáveis são de interesse: X 1 com os valores oe 1, indicando o tipo da chapa em operação e x2 o número de dias desde a última quebra. itimos a seguinte função de distribuição conjunta para as variáveis:

o,

X} < [x2]

~ l:(!)i+ 1, j=O [x2]

E(!)i+l,

< oou X2 < O;

x1

~

O,x2

~O.

A qualidade do serviço de reservas dessa companhia poderia, então, ser avaliado O levando em conta as probabilidades dos tempos de demora e atendimento.

Proposição 3.1: Propriedades da Função de distribuição Conjunta

= P(X1::::; x1,X2::::; x2, ... ,Xm::::; Xm),

para qualquer x = (x1, x2, ... , Xm) E lRm.

X}

Na próxima proposição, apresentamos algumas propriedades da função de distribuição conjunta.

A função de distribuição conjunta de X é definida por =

atendimento. A segunda variável de interesse é o tempo de atendimento em minutos, representado por X 2 • Vamos supor que o comportamento conjunto dessas variáveis se dá segundo a função de distribuição conjunta apresentada a seguir:

n {w: X;(w)::::; x;}, i=l

também é um evento, pois é a intersecção de elementos da a-álgebra :F. Da mesma forma que no caso univariado, definimos uma função que caracteriza, de modo único, o comportamento probabilístico do vetor aleatório.

F(x)

117


oou X2 < O;

Seja X um vetor aleatório em (0, :F, P) então, para qualquer x E lRm,

F(x) satisfaz as seguintes propriedades: (FCl) F(x) é não decrescente em cada uma de suas coordenadas; (FC2) F(x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas; (FC3) Se para algum j, xi-+ -oo, então F(x)-+ Oe, ainda, se para todo j, x;--+oo, então F(x)-+ 1; (FC4) F(x) é tal que, para Va;, b; E JR, a; < b;, 1 ::::; i ::::; m, temos P(a 1 < X 1 ::::; b1. a2 < X2 ::::; ~ .... , am < Xm ::::; bm) ~ O. Demonstração:

O::::; x 1 < 1,x2 ~O;

As propriedades são verificadas, observando-se o comportamento dos respectivos eventos. Para (FCI), considere um j qualquer fixado e ai ::::; bi. Observe que o

x1 ~ 1,x2 ~O;

conjunto

j=O

em que [x 2] indica o maior inteiro menor ou igual a x 2 • A partir dessa estrutura de probabilidade, poderíamos avaliar o efeito do tipo de chapa no funcionamento da máquina, bem como estabelecer programas de O manutenção preventiva. Exemplo 3.2: Considere uma central de reservas de uma companhia aérea e, para uma chamada ao acaso, estamos interessados em duas quantidades aleatórias. A variável xl é o tempo de espera, em minutos, para o cliente iniciar seu

m

n {w: X;(w)::::; x;} n {w: Xi(w)::::; ai}

está contido na seguinte

i=l

i#i

intersecção de conjuntos:

n{w: X;(w)::::; x;} n {w: Xi (w)::::; bi}· Logo, a m

i=l

ih

aplicação de probabilidade nesses conjuntos, verifica a propriedade. A demonstração de (FC2) é análoga ao caso uni variado. Para (FC3), seja Xj tal que Xj-+-oo então {w: Xj(w)::::; xj}! 0 e, portanto, F(x)-+0. Se todos os Xfs vão para oo, então cada um dos eventos

(

(

118



119

( (

( (

(

( (

{ w : X i( w) :::; x i} cresce para O. Assim, a intersecção de todos eles cresce também para O. Dessa forma, a propriedade (FC3) está demonstrada. A propriedade (FC4) é válida pela definição de probabilidade, desde que estejamos calculando a probabilidade de um conjunto de F. Mas esse é o caso, pois para cada i, i = 1, 2, · · ·, m temos

{w : a; < X;( w ) :5 bi} E F ;

i=l

(

e, assim, a demonstração da proposição está completa.

(

Essas propriedades também podem servir como definição. Isto é, qualquer função de :!Rm em [0, 1] , satisfazendo (FC1)-(FC4), é função de distribuição conjunta de algum vetor aleatório. A demonstração não será feita e o leitor interessado pode consultar Tucker [67]. A propriedade (FC4) parece tão óbvia que poderíamos questionar a necessidade de mencioná-la. Cabe notar que, no caso unidimensional, não foi necessário incluirmos (FC4) para caracterizar a função de distribuição, mas no caso multidimensional ela é essencial. Como veremos no exemplo abaixo, existem funções multivariadas que satisfazem todas as propriedades exceto (FC4), não sendo, portanto, função de distribuição de nenhum vetor aleatório. Uma forma conveniente de apresentar a propriedade (FC4) é através da sucessiva aplicação de operadores-diferença. Sendo I; o intervalo (a;, b;], o operador resulta na diferença entre os valores da função quando somente a coordenada i é alterada de a; para b;. Denotando por 6.;,1; temos, por exemplo,

(

( ( (

(

( (

/

n m

{w: a; < Xi(w) :5 bi} E F e, portanto,

(

r

pontos (x, y) f/: S, a continuidade à direita é verificada, uma vez que G tem sempre o valor Onessa região.

D

6.2,12 F(x) = F(x1, b2, ... , Xm) - F(x1, a2, ... , Xm). Assim, a propriedade (FC4) pode ser escrita como 6.1,11 ••• 6.m,I, F(x) ~ O. Exemplo 3.3: (]ames [81])

Considere a seguinte função (ver região Sem figura a seguir):

o:

. { 1 G(x, y) =

emS = {( x, y): x ~ O,y ~ Oex+y ~ 1}; caso contrário.

A região S é apresentada em figura a seguir As propriedades (FC1)-(FC3) são verificadas sem dificuldade. Por exemplo, para (FC3), tomando um ponto (x, y) E S ,observamos que a continuidade à direita se verifica nas duas coordenadas, pois a fronteira faz parte de S. Também, para

/

s

i

(0,0)

Figura 3.1: Região S para a função G(x, y).

A função G não satisfaz (FC4) e, portanto, não pode ser função de distribuição conjunta. Observe que

P(O <X:::; 1, O< Y:::; 1) = G(1, 1)- G(1 , O)- G(O, 1) + G(O, O) = - 1, D

que contradiz (FC4).

No cálculo de probabilidades com vetores aleatórios, levamos em conta a classificação de cada uma das variáveis envolvidas. As definições, apresentadas a seguir, auxiliam os cálculos nos vários casos de interesse. Inicialmente, obtemos a distribuição de cada variável isoladamente, dada a função de distribuição conjunta do vetor aleatório. Note que, exceto em situações especiais, não se pode obter a conjunta do vetor partindo das funções de distribuição de cada componente. Definição 3.3: Função de Distribuição Marginal

Seja F(x) a função de distribuição de (X1, X2, ... , Xm). Para cada k, k = 1, 2, .. ·, m, definimos a função de distribuição marginal de xk por:

Fxk(xk) = lim F(x), xr-+oo V; -1 k em que o limite é aplicado em todas as coordenadas, exceto k.

D

Capftulo 3: Vetores Aleatórios

120

Definição 3.4: Vetor Discreto, Probabilidade Conjunta e Marginal Se as variáveis do vetor aleatório são discretas, temos um vetor aleatório discreto. Sua função de probabilidade conjunta é definida da seguinte forma:

p(x) = p(xi. X2, .. ·, Xm) = P(Xl =X!, x2 = X2, ... 'Xm = Xm)·

X;

Vi#

V;"'t

121

Nessa tabela, o corpo representa a distribuição conjunta e as últimas linha e coluna fornecem as distribuições marginais. Na tabela apresentada X 1 assume os valores ai> a2, ···,ar e X2 os valores b1, b2, · · ·, b•. Observe que as distribuições marginais das duas variáveis são obtidas através da soma de linhas e colunas correspondentes.

Exemplo 3.4: Duas moedas equilibradas são lançadas de forma independente e definimos as variáveis aleatórias X e Y da seguinte forma:

A função de probabilidade marginal de Xk, k = 1, 2, · · ·, m é dada por:

Xi


X : número de caras nos dois lançamentos; Y : função indicadora de faces iguais nos dois lançamentos.

ou seja, a marginal vem da soma em todas as coordenadas, exceto k.

o

Note que a idéia da marginal se aplica para mais de uma variável. Se desejamos a função de probabilidade conjunta (marginal) de algumas das m variáveis, somamos em todas as coordenadas, exceto as das variáveis de interesse.

Proposição 3.2: Propriedades da Função de Probabilidade Conjunta Seja X um vetor aleatório discreto em (0, F, P). Então sua função de probabilidade conjunta (fpc) satisfaz as propriedades:

O espaço de probabilidade (0, F, P) pode ser construído como usual. Consideramos O todos os 4 pares de resultados possíves e F a u-álgebra das partes de O. A função de probabilidade P atribui igual probabilidade aos elementos de n. Para calcular as probabilidades conjuntas sempre nos reportamos aos pontos de O, pois as variáveis aleatórias são funções das ocorrências do espaço amostrai. Representando por C e K, os eventos cara e coroa, respectivamente, temos: Eventos

(fpcl) p(x) ~ O, Vx E lRm;

(C , C) (C,K) (K,C) (K,K)

(fpc2) LP(x) = 1. X

Demonstração: As provas são análogas ao caso univariado e serão omitidas.

o

A função de probabilidade e a função de distribuição podem ser obtidas, uma a partir da outra, de forma similar ao que é feito no caso unidimensional. No caso especial de duas variáveis discretas, é conveniente a representação da função de probabilidade através da tabela de dupla entrada: X1 \ X 2

b!

...

b.

a1

p(a 1 ,bi)

...

p(ah b,)

Px,(ai)

ar

p(a, b1)

...

p(a, b.,)

Px,(ar)

Px,(bJ)

...

Px,(b.,)

1

P(X2

= x1)

P(X 1

=

xi)

prob.

X

1/4 1/4 1/4 1/4

2 1 1

o

y 1

o o 1

Coletando os valores comuns dos pares (X, Y), obtemos a probabilidade conjunta apresentada, a seguir, na forma de uma tabela de dupla entrada.

X\Y

o 1 2 P(Y

= y)

o o

1 P(X = x) 1/4 1/4 1/2 o 1/2 o 1/4 1/4 1 1/2 1/2

Para calcular a função de distribuição conjunta de X e Y é necessário separar em vários casos, percorrendo intervalos de valores em cada variável. O gráfico a seguir apresenta as várias regiões, correspondentes aos diversos casos. As fronteiras de cada região não foram assinaladas, para evitar congestionar o gráfico.


122

123


condições para seus valores, de modo que as propriedades da função de probabilidade conjunta estejam satisfeitas.

y

SJ

s2

i

ss s4

s7

X\Y

o

1

2

3

o

a

a+b-~

b

5

1

5

1

2(a+b-~)

~-a

~-b

só

1

(0,0)

SI

-~····*·~'"-····~·~

/

·---->

A primeira condição requer que as probabilidades conjuntas sejam não negativas. Assim, temos que atender simultaneamente às desigualdades: a

Figura 3.2: Partição dos valores de (X, Y).

Dessa forma, a função de distribuição conjunta pode ser expressa da seguinte forma:

o, o, Fx,y(x,y) =

1/4, 1/2, 3/4, 1/2, 1,

em sl = {(x, y ): X< o ou y
Observe que podemos resumir a apresentação da função se agregarmos os valores comuns. Entretanto, optamos por essa forma inicial de apresentação para evidenciar o cuidado que é preciso ter no estabelecimento das regiões convenientes para o cálculo de Fx,Y· Fica a cargo do leitor reescrever a função numa forma mais resumida e também verificar que estão satisfeitas as O propriedades de função de distribuição. Exemplo 3.5: A tabela abaixo apresenta valores de probabilidade conjunta de duas variáveis X e Y em função de constantes reais a e b. Vamos determinar

1 1 1 O· - - b > O. O· b > O· - - a > > O· a + b - -5>- '5 ' - '5 -'

Logo ficamos s à Rt = { (a, b) : q~ a

~

L o ~ b ~ ~ 'a + b ::::

n.

Impondo que a soma de todas as probabilidades conjuntas seja igual a 1, vem a + (a

Daí, resulta em R2 =

+b-

1 -) 5

1

+ b .+ ··· + (-5 -

b)

=

1.

{(a, b) :a+ b = fs }· Os valores de a e

b precisam estar

na intersecção dos conjuntos R 1e R 2 . Assim,

Tomando as constantes no conjunto R, garantimos que a tabela acima representa O uma função de probabilidade conjunta de duas variáveis. Definição 3.5: Vetor Contínuo, Densidade Conjunta e Marginal Denominamos vetor aleatório contínuo o vetor aleatório cujas componentes são variáveis aleatórias contínuas. Em outras palavras, um vetor aleatório é contínuo se, dada a função de distribuição F, existe uma função f : IRm --+ IR+, denominada/unção densidade conjunta (fdc), tal que


124

r... r f(x) dxl dx2(i .. ·dxm.

Jxl lxm

i- k)

(i i- k)

D Note que a função densidade f(x) é obtida a partir de F por sucessivas derivadas parciais, generalizando, assim, o caso univariado. Se desejamos a marginal conjunta de l variáveis, procedemos de modo similar ao caso discreto, integrando todas as variáveis exceto as de interesse. Seja X um vetor aleatório contínuo em (0, F , P). Então sua função densidade conjunta (fdc) satisfaz as propriedades: (fdcl) f(x) 2': O, 'Vx E JRm;

I:· ··l:f(x) dx1 dx2 · · ·dxm = 1.

Demonstração: As provas serão omitidas, mas são similares ao caso univariado.

Exemplo 3.6:

D

A função de distribuição conjunta de X e Y é dada por: se x < Oou y < O; se O ~ x < 5, y 2': O; se x 2': 5, y 2': O.

O~

Vamos verificar as propriedades da função de distribuição na região x < 5 e y 2': O. Nas demais regiões, as provas são similares. Para provar (FCI) escolha x 1 ~ x2 em [0, 5) e fixe y 2': O. Então,

Fx,Y(Xt, y) = Considere, agora, y 1

~

X1

5

(1 -

e~Y) ~

X2 (1- e-Y) = Fx,y(x2, y ) .

5

y2 em [O, oo) mantendo x fixo (x E [0, 5)). Temos,

Fx,y(x, Yl) =

X

5

(1- e-Y•)

~

5X {1- e-112 ) =

Fx,y(x, Y2),

P(a1 <X~ bt,a2 < Y ~ b2) = 6.1,11 6.2,12 Fx,Y(x,y) 2': O. Podemos escrever essa condição (ver exercício), da seguinte forma:

Fx,y(bl, ~) + Fx,y(al, a2)- Fx,y(al, b2)- Fx,Y (bl, a2) 2': O. Considere que I;, i= 1, 2 estão na região O ~ x

Proposição 3.3: Propriedades da Função Densidade Conjunta

(fdc2)

125

uma vez que e-Y• 2': e- 112 . Logo, Fx,Y é não decrescente em cada uma das coordenadas e (FCI) está satisfeita nessa região (complete para as outras!). As propriedades (FC2) e (FC3) são verificadas sem dificuldade. Para (FC4) devemos provar que Fx,y(x, y) é tal que, para V a;, b; E JR, a; < b; e intervalo/; = (a;, b;], 1 ~ i ~ 2, temos

A função densidade marginal é dada pela expressão:

f xk(xk) =


bl (1 5

-e-~)+

al (1- e-a2) - al (15

5

e-~) -

< 5 e y 2': O. Temos bl (1 - e-a2) '

5

que, após simplificação, torna-se (b•;a.) (e-a 2 - e-~). Essa é uma quantidade não negativa, pois a2 < b2. Para as outras éscolhas de região para os intervalos/; 's, a verificação de (FC4) é análoga. Assim, valem as propriedades de função de distribuição conjunta. Para obter as funções de distribuição marginais, amos ao limite, lembrando que Fx,y(x, y) é nula se x
Fx(x) = hm Fx,y(x, y) y-.oo

Fy(y)

=

lim ~ (1 - e-Y) = x/5, -y) -_ , . ( 11m 1 - e 1 { y-
lim (1 = lim Fx,y(x, y) =x-oo x~oo

e-Y)

=1-

se O ~ x < 5; 5 se x 2': .

e-Y, y 2': O.

As funções densidades podem ser obtidas, a partir da derivação das respectivas funções de distribuição. se O ~ x ~ 5, y 2': O; { ! e-Y ô2 caso contrário. fx,y(x, y) = ôx ôy Fx,y(x, y) =

8, '

se O ~ x ~ 5; caso contrário.

{!' ô fx(x) = ôx Fx(x) =

8,

ô fy(y) = ôy Fy(y)

{ =

~'

-y

'

se y 2': O; caso contrário.

Note que as densidades de X e Y correspondem aos modelos Uc(O, 5) e Exp(1) , respectivamente. Elas poderiam, também, ser obtidas através das marginais da D densidade conjunta.


126

Exemplo 3.7: (Dudewicz e Mishra [88])

Vamos obter o valor de k, de modo que a função abaixo seja a densidade conjunta de três variáveis aleatórias contínuas X, Y e Z.

f(x,y,z)

~ y ~ 1,0 ~ z ~

seO ~ x ~ ~,0 caso contrário.

= {kxy 2 z O

J2;

1:1:1:/(x,y ,z)dxdydz = 1. Temos

rv'2 { t lo lo lo

kxy 2 zdxdydz

=

rv'2 lo lo

f\y 2 z!

rv'2 kz!6 dz = ~-6 lo

dydz =

2

=

2

O

t

3

{1

xyx-1 -3-dy

3

1

=~3=

1;

logo f(x, y) pode ser considerada uma probabilidade. Por exemplo, P(X 2: 2, Y 2: 1/2)

=

t{ 1

1

xy;- dy

x=211/2

=

t( 1

-

~/ 2 Y) = 13/24.

x=2

Para obter a função mista de distribuição conjunta, teremos que separar várias regiões de valores do par (x, y). Após algum trabalho, obtemos:

O

Pela conjunta, sabemos que X tem valores apenas em [O, 1] e, portanto,

o,

se x < 1 ou y < O; se 1 ~ x < 2,0 ~ y

ll,

fx(x) = 2x I[o,1j(x). Logo, X ""' Beta(2, 1). As outras marginais são calculadas de modo similar.

sex = 1,2,3e0 ~ y ~ 1; caso contrário.

3

~lo f(x,y)dy = ~1o

1../2116xy zdydz = 2x. 100100 f(x,y,z)dydz = -oo -oo

~'

{ O,

Para verificar se essa função poderá gerar probabilidades, observamos que é positiva e vamos mostrar que ao percorrer todos os valores possíveis para X e Y, via soma ou integral conforme o caso, obtemos o valor 1. Existindo o resultado dessa dupla operação, podemos fazê-la em qualquer ordem. Entretanto, é mais fácil fazer a integral primeiro. Temos 3

Segue então que k = 6. A marginal de X pode ser obtida, integrando-se em y e z para todos os valores possíveis. Temos, para O ~ x < 1,

fx(x)

caracterizar o comportamento probabilístico conjunto dessas variáveis. Para calcular a probabilidade de (X , Y) pertencer a uma certa região do plano xy, somamos os valores para a variável X e integramos para os de Y. Vamos supor que a função mista de probabilidade conjunta de X e Y é dada por:

f(x,y) =

A função será positiva, se k for positivo. Para valer a segunda propriedade da função densidade conjunta, impomos que a integral tripla de menos a mais infinito seja 1. Isto é

1

127


3

O

Se as variáveis não são do mesmo tipo, ainda é possível a obtenção da função de distribuição conjunta. Nesses casos não existe nomenclatura padrão. Para a situação em que temos mistura da densidade com a função de probabilidade, usaremos a notação das variáveis contínuas, indicando por f essas funções. As propriedades são equivalentes aos casos sem mistura. Exemplo 3.8: Função Mista (DeGroot e Schervich [02])

Considere duas variáveis aleatórias X e Y, sendo X discreta e Y contínua. Nós podemos usar a função mista de probabilidade conjunta para

F(x,y) =

ll±i 3 ' liliC±Jl !, 3

a,3 1,

3

se 2 ~ x < 3,0 '

~

< 1; y < 1;

se x 2: 3, O~ y < 1; se 1 ~ x < 2, y 2: 1; se 2 ~ x < 3, y 2: 1; se x 2: 3, y 2: 1.

o Ao tratar com vanas variáveis é comum haver interesse em obter o comportamento condicional de uma delas em função de outras. Os valores das variáveis induzem eventos e, portanto, ao condicionar na ocorrência de certos

( (

128


129


( (

valores de uma variável, estamos, de fato, condicionando em eventos. Dessa forma, a definição de probabilidade condicional pode também ser aplicada para o condicionamento entre variáveis aleatórias. Observe que, na definição de uma variável aleatória X em (n, .r, P), requeremos que o conjunto {w : X ( w) S x} estivesse em para todo x real. Assim, a ocorrência de valores de uma variável pode ser descrita de duas formas: pelo próprio conjunto de valores assumidos, isto é, por um elemento de B(JR) (aálgebra de Borel em JR) ou por um evento da a-álgebra que foi induzido por esse boreliano através da variável aleatória. Num estudo mais formal do condicionamento em variáveis aleatórias, essas duas formas podem ser usadas alternativamente conforme a conveniência da situação. Vamos restringir nossa apresentação ao caso bivariado, mas as idéias podem ser estendidas para o caso multivariado.

( ( (

.r,

(

(

.r

( (

( ( ( (

B Iy

P(X E

1

B ) = P([X E B1] n (Y E B2]). 2 P(Y E B2)

E

( Se P(Y E B2) = O, definimos P(X E B 1 1Y E B 2) = P(X E Bl).

(

( (

(

1

(

P(X E Bl y = y) = P([X E B] n [Y = y]), P(Y = y) que, com alguma manipulação, resulta na expressão:

P(X E B) = LP(Y = y)P(X E Bl y = y) . y

Essa é uma versão, para variáveis aleatórias, da Lei da Probabilidade Total.

- Y -

P(Y

= y)

Como conseqüência, temos:

Fx(x) = LP(Y

= y)FxiY(xl Y = y).

y

Em algumas situações, é útil escrever a função de distribuição conjunta a partir da condicional:

=L P(Y = k)FxiY(xl Y = k).

Essa expressão é similar à regra do produto de probabilidades, aplicada aqui para variáveis aleatórias e função de distribuição. Se X também for discreta, a probabilidade condicional pode ser reescrita na notação de função de probabilidade da seguinte forma:

_ Px,y(x,y).

o

Apresentamos, a seguir, algumas fórmulas úteis para o cálculo com probabilidades condicionais. Iniciamos com o condicionamento em uma variável discreta. Seja Y uma variável discreta e y E lR tal que P(Y = y) > O. Sendo X uma variável qualquer e B E B(JR), temos

(

y _ ) _ P([X S x] n [Y = y]).

k:kSy

Sejam X e Y duas variáveis em (n, .r, P) e B 1 , B 2 E B(JR) com P(Y E B2) >O. Definimos a distribuição condicional de X dado Y E B2, pela expressão

( (

FxiY (x I

Fx,y(x, y)

Definição 3.6: Distribuição Condicional

(

Tomando B = ( -oo, x], x E JR, podemos obter a função de distribuição condicional de X, dado Y = y:

PXIY (X IY) -

py(y)

As outras fórmulas se adaptam convenientemente. Vamos considerar, agora, o condicionamento em variáveis contínuas. Sendo Y contínua, é freqüente um abuso de notação indicando um condicionamento em eventos do tipo [Y = y] que tem probabilidade zero. Nesse caso, a probabilidade condicional deve ser entendida como o limite de probabilidades condicionadas em [y- e S Y S y + t:] quando t:-+0. Isto é, para X uma variável qualquer e B E B(JR),

P(X E Bl Y = y) = limP(X E Bl y-

E

f-->Ü

S Y S Y + t:).

Se X e Y são ambas variáveis contínuas, podemos usar a interpretação acima para definir a densidade condicional de X dado Y:

_ !x,y(x,y),

f XIY (X IY) -

jy(y)

-

-

~


130

cuja expressão nada mais é do que a conjunta dividida pela marginal. A função de distribuição condicional é definida de modo similar. Observe que o relacionamento entre função densidade e função de distribuição também se preserva com o condicionamento. Isto é,

FxiY(xiy) =

~~fx!Y(ziy) dz .

131


f(2,y) =2y/3=2y O <1· f( y lx =2)= P(X ' - - ' 1/3 = 2)

f( X IY -- 1/2)

= f(x, 1/2) = jy(1/2)

l[x(1/2}"'-1 J = _! [x(1/2)"'-1] x ' 11 11/12

Para as funções de distribuição condicionais teríamos:

~~Jy(z)FxiY(xiz)dz;

Ressaltamos que, de um modo mais geral, a função de distribuição condicional pode ser caracterizada como a solução das seguintes equações (já apresentadas):

Para O:::; y :::; 1: Fy 1x(Yi X = 2) =

Por outro lado, para FxiY(xi Y

é contínua.

/ (zi X= 2) dz =

ly

-oo 2z dz =

2

Y,

00

= 1/2), x

E lR. temos

= 1/2) =L

fx!Y(ki Y

= 1/2);

que resulta em

o, 4

FxiY(xi Y

Exemplo 3.9: (Continuação do Exemplo 3.8)

= 1/2) =

TI' -ª-

{ n' 1,

No Exemplo 3.8, a variável X é discreta, Y é contínua e sua função mista de probabilidade conjunta é a seguinte:

{ o,

l

y

_

k=l

Assim, conhecendo-se a conjunta e a marginal, a função de distribuição condicional será aquela que satisfaz a conveniente equação, dentre as duas acima.

3 f (x, y) = ~'

'

nún(3,[x])

F,\'[Y(xi Y

k:k~y

~~ fy(z) FxiY(xiz) dz, se Y

'

se y < O; se O:::; y :::; 1; se y > 1.

=L P (Y = k)FxiY(xi Y = k ), se Y é discreta;

Fx,y(x, y) =

2 3·

e, portanto,

Fx(x) = J:Jy (y ) Fx!Y(xiy) dy.

Fx,y(x, y)

1

os cálculos das marginais foram omitidos, mas podem ser feitos sem dificuldade.

Como conseqüência, as seguintes fórmulas são também válidas:

Fx ,y(x, y) =

=1

se x < 1; se 1 :::; x < 2; se 2 S x < 3; se x ~ 3.

o

Outras quantidades podem ser obtidas de modo similar.

Exemplo 3.10: As variáveis X e Y têm densidade dada por se x = 1,2, 3e0 :::; caso contrário.

y :::; 1;

Vamos obter algumas probabilidades condicionais calculando suas expressões, apenas, nos intervalos em que não se anulam. Temos

f(x, y) = (x + y), O S x :::; 1, O S Y S 1. Vamos obter a densidade condicional fx[Y· Inicialmente, calculamos a marginal de Y. Temos

Jy(y)

fl =lo (x + y) dx =

y+

1

2' OS

y S 1.

132

Capitulo 3: Vetores Aleatórios

Então, para qualquer y fixado, com O~ y

~

Definição 3.7: Independência entre Variáveis

1:

f(x,y) x+y 2(x+y) . fxiY(xjy) = Jy(y) = y + = 2y + 1 , para O ~ x ~ 1. 112 Fora desse intervalo, fxiY( xjy) é zero. A função de distribuição condicional pode ser obtida a partir da integração da densidade condicional. Assim, para qualquer y fixado com O ~ y ~ 1 e O ~ x ~ 1, vem:

F

(

XIY X

I )= Y

r 2(z+y) d

}_co 2y + 1

Z

= x(2y+x), 2y + 1

e, portanto,

FxiY(xjy) =

o,

se x

x~::;>,

se O ~ x

{ 1,

< 1;

se x 2: 1.

A função de distribuição conjunta pode ser obtida a partir da condicional, da seguinte forma:

o, Fx,v(x, y)

= [~!v(z)FxiY(xiz) dz =

Hx2y+xy2), Hx+x2), Hy+y2), 1,

133


se x < Oou y < O; se O ~ x < 1,0 ~ y < 1; se O ~ x < 1,y ~ 1; se x ~ 1, O ~ y < 1; se x ~ 1, y ~ 1.

Deixamos ao leitor a tarefa de verificar se essa expressão está correta, o que pode ser feito calculando seu valor diretamente pela densidade conjunta. O Um dos conceitos mais importantes em Probabilidade e Estatística é o da independência entre variáveis. Muitas das técnicas estatísticas só podem ser aplicadas em amostras cujos elementos foram supostamente coletados de forma independente. Nesses casos, as variáveis observadas em uma unidade amostrai são independentes daquelas de uma outra unidade. De fato, a independência é um requisito importante que permite resolver, com rigor matemático e sem aproximações, muitos problemas de interesse prático. Como em muitas situações, a independência não pode ser assumida, sua imposição serve como uma aproximação da realidade e origina, nesses casos, uma solução também aproximada.

Duas variáveis aleatórias, X e Y em (n, F, 'P), são independentes se a informação sobre uma delas não altera a probabilidade de ocorrência da outra. Isto é, para qualquer B1. B2 E B(R),

P(X E B1i Y E B2) = P(X E B1). Uma definição alternativa e equivalente é:

X, Y independentes se, e somente se,

VB1.B2 E B(R),P(XE B1,YE B2) = P(XE BI)P(YE B2).

o Note que não basta valer a igualdade para algumas escolhas dos borelianos B 1 e B 2 nau-álgebra B(R). É necessário valer para todas. A definição alternativa é muito útil e freqüentemente mais prática de ser usada. Em tefl!I:OS da função de distribuição, a definição alternativa pode ser escrita como:

X, Y independentes {::} Fx,v(x, y) = Fx(x) Fy(y), V(x, y) E R 2 • Para as discretas, podemos escrever uma definição equivalente com o uso de funções de probabilidade:

X, Y independentes {::} Px,v(x, y)

=

px(x) py(y), V(x, y) E R 2 •

Para as contínuas, a condição de independência usa as densidades:

X, Y independentes {::} !x,v(x, y) = fx(x) fy(y), V(x, y) E R 2 , em que ressaltamos que esta última igualdade deve valer exceto, eventualmente, em conjuntos com probabilidade zero. Em geral, dizemos que as variáveis X1. X2, .. ·, Xn definidas em um mesmo espaço de probabilidade (n, :F, 'P) são independentes, se VB; E B(IR), i= 1, 2, .. ·, n, tivermos: n

P(X1 E B1. .. ·, Xn E Bn) =

11P(X; E B;). i=l

134

135



• Segue dessa expressão que qualquer sub-fanu1ia dessas variáveis também é formada por variáveis independentes. A verificação é simples, bastando tomar os convenientes B; 's = JR.

Exemplo 3.11: Com base em resultados do Posto de Saúde do bairro, estabeleceuse a função de probabilidade conjunta entre os números diários de crianças atendidas com alergia (X) e com pneumonia (Y). Na tabela abaixo, apresentamos a conjunta e as marginais para essas variáveis.

o

X\Y

o 1 2 3 P(Y = y)

1/16 1/8 1/ 16

o

1/4

1 1/ 16 1/8 1/ 8 1/ 8 7/ 16

2 1/ 8

o

1/8 1/ 16 5/16

P(X = x) 1/4 1/ 4 5/16 3/16 1

Assim, a probabilidade de não haver casos de crianças alérgicas (X= 0), não sofre influência da ocorrência ou não de casos de pneumonia. Entretanto, para outros valores de X a situação é diferente, conforme apresentamos na tabela abaixo:

P(X = x jY > O) 1/4 1/6 1/3 1/4

X

o 1 2 3

.

Exemplo 3.12: A função densidade conjunta de X e Y é dada por:

!x,v(x, y) =

P(X = 1, Y = 2) = O =f:. P(X = 1) x P(Y = 2) = 5/64. Pela _definição de independência, basta haver um par em que isto não aconteça para quebrar a propriedade de independência. Portanto, os números diários de crianças atendidas com alergia e com pneumonia são variáveis dependentes. Condicionado à ocorrência ou não de casos de pneumonia, como se comporta o número de crianças alérgicas? Pela dependência, esperamos comportamentos diferentes. Vamos calcular a função de probabilidade condicional de X dado o evento [Y > O] e comparar seu resultado com o condicionamento em [Y = 0] . Temos

>

O) = P(X = O, y > O) P(Y >O) P(X =O, Y = 1)

+ P(X =O, Y

o

Observe que as probabilidades condicionais somente são iguais para [X= 0] . Para os outros valores, a probabilidade condicional de X é crescente ou decrescente, se condicionada ao evento [Y > O] ou [Y = 0], respectivamente. Dessa forma, enfatizamos que as variáveis são dependentes. O

Se as variáveis fossem independentes, o produto das marginais daria a função de probabilidade conjunta. Entretanto, isso não ocorre pois

P(X = OjY

P (X = x jY = O) 1/4 1/2 1/4

= 2)

= ---'---=P-:-:(Y~=--=-1:----)+--=P-7=(Y-=-=---=-2):-------'= 1/4;

enquanto

P(X = OjY =O) = P(X =O, y =O) = 1/16 = 1/4. P(Y =O) 1/4

1 x I(o,2j(x )I(o,xj( y). 2

As marginais são calculadas através de integração:

f x(x)

1 =1 x

=

0

2

fy (y)

Y

1

-dy 2x

1

= -2 , O <

x:::; 2;

..!.._ dx = ~ ( log 2 - log y ) , O < y :::; 2. 2x

2

É imediato verificar que f x (x) satisfaz as propriedades de uma densidade. Observe que para calcular a densidade de Y, os limites de integração obedeceram à condição de que os valores da variável X precisam ser sempre superiores ao de Y. A expressão obtida é efetivamente uma densidade, pois é não negativa (a função logarítmica é crescente) e também

1 2

o

fy(y )dy=

121-(log2-logy)dy= [1 -(ylog2-y(logy-1 )) ]2 =1. o2

2

o

As densidades condicionais são calculadas pelo quociente entre a conjunta e a marginal. Vamos indicar apenas os valores não nulos, temos:


136

fxiY(xiy)

=

!x,v(x, y) Jy(y)

1

= x{log 2 _

log Y) , y ~ x ~ 2, y fixado, y E {0, 2);

!x,v(x, y) 1 fYIX(yix) = fx(x) = ~ , 0 < y ~X,

X

fixado,

X

E {0, 2).

resultante é sempre função do valor usado no condicionamento. Dessa forma, fxjY(xiy) depende de y. Se estamos integrando essa função em x, o valor y pode ser considerado constante. Por exemplo, para y E {0, 2) vem

t fxiY(xiy) dx = { OJ,,'

}11

y < 2; seO

se 1

d

1

11 x(log2-log11) X,

~

=

1

x {log 2 -log y )J(o,2j{x)J(o,2j(y);

4

e elas não são iguais para quase todo (x, y) E JR.2. Em outras palavras, existe um conjunto, com probabilidade positiva, em que a condição de independência não se O verifica. Encerramos essa seção com a apresentação de dois modelos multivariados. O modelo apresentado a seguir generaliza a distribuição Binomial ao tratar com experimentos que têm mais de duas alternativas de resultado.

Definição 3.8: Modelo Multinomial

Então,

Considere um experimento com m possíveis resultados, cada um com

P(X < 1IY = y)

m

o,

={

logy log11-log2 '

se 1 ~ y < 2; seO

Temos também que, para x E {0, 2), temos {

(

137

enquanto que

fx(x)fv(y)

É importante ressaltar que, no cálculo de densidades condicionais, a expresssão

P(X < 1IY = y) =


rmax(l/2,x)

P(Y < 1/2IX = x)

=Jo

i=l

vezes de forma independente e observamos as variáveis X 1 ,X2, ···,Xm. que correspondem ao número de ocorrências de cada um dos possíveis resultados dessas repetições. O vetor aleatório X = {X1 , X2, ... , Xm) segue o modelo Multinomial com função de probabilidade conjunta dada por:

fvlx(yix) dy

_ { \

J;~dy,

se O< x ~ 1/2;

r' Jo

se !2

12 ! dy x ,

<x< - 2·,

(

1, -

probabilidade p; ;::: O, i = 1, 2, · · ·, m e L.':P; = 1. Esse experimento é repetido n

se O< x ~ 1/2;

2~, se~ < x ~ 2.

{

Outras probabilidades podem ser calculadas de modo similar. Deixamos ao leitor a tarefa de verificar que fxiY(xiy) e fvlx(Yix) satisfazem as propriedades de uma densidade. Finalmente, observamos que as variáveis não são independentes, pois a densidade conjunta não é o produto das marginais. Ou seja, temos

1

!x,v(x, y) = x I(o,2j(x)J(o,x]{Y), 2

n' Px( k 1 ' k 2' ... ' km) -- k, ! k2!. ·.. km! Plk1 P2k2 ... Pmkm ' m

m

i=l

i=l

com L.':Pi = 1 e L.':k; = n, k; E N, O ~ k; ~ n.

D

Exemplo 3.13: Para 10 lançamentos independentes de um dado equilibrado seja X; o número de ocorrências da face i, i= 1, 2, ... , 6. O vetor aleatório X = (X,, X2, ... , X6) segue o modelo Multinomial com parâmetros p; = 1/6, i = 1, 2, · · ·, 6. Assim,

D Um dos modelos multivariados contínuos mais importante é aquele que generaliza a distribuição Normal. Vamos apresentar o caso bi-variado e recomendamos a consulta às referências para o modelo geral.


138


139

em que, na última agem, ajeitamos o integrando para obter a densidade

Definição 3.9: Modelo Normal Bivariado Dizemos que o vetor aleatório X= Bivariado se sua função densidade é dada por

( X~,

X2) segue o modelo Normal

correspondente a uma Normal com J.L = x/2 e a=

1

fx(x) =

com (x1,x 2 ) E JR2 e os parâmetros J.LI,J.L2,crhcr2 e p satisfazem às seguintes D condições: J.Ll e J.L2 estão em JR., cr1 > O, cr2 > Oe - 1 :S: p :S: 1. A interpretação dos parâmetros do modelo Normal Bivariado depende de conceitos apresentados no Capítulo 5. Entretanto, adiantamos que J.L1 e J.L2 são as médias e cr1 e CF2 são OS desvios-padrão de X 1 e X2, respectivamente. 0 parâmetro p é o coeficiente de correlação entre as variáveis. Usualmente, os parâmetros J.Ll e J.L 2 são denominados parâmetros de localização, enquanto que cr1 e cr2 são parâmetros de escala.

Exemplo 3.14: O vetor (X, Y) segue o modelo Normal Bivariado com parâmetros J.Lx = J.LY = 1, crx = cry = 1 e p = 1/2. Então sua densidade conjunta é dada por:

Jx ,y(x, y) =

1l"~ e-i(x2+fl-xyl,(x, y)

1 00

fx (x) =

-oo

1


1. Sejam X e Y variáveis aleatórias em (O, :F, P) com função de distribuição conjunta dada por Fx,Y· Mostre que P(a 1 <X :S: b1 ,a2 < Y :S: b2), com a1, b1, a2 e b2 E JR., pode ser escrita como: Fx,y(bl, b2) + Fx,y(a~, a~)- Fx,y(al, b2)- Fx,Y(bl, a2).

2. Mostre que H não é função de distribuição conjunta. H (x,y) = {

r2

00

-oo

e-;zm .J2ir [f (y-

1

~:

se max(x, y) 2:: O ou x 2 + y 2 caso contrário.

:::;

1;

E JR. 2; -1 :S: x :S: 1, O :S: y :S: 1}.

4. Sejam X e Y com densidade conjunta: 1

!x,y(x, y) = ;:fA(x, y) com A= {(x, y) E R; x 2 + y2 :S: 1}.

~)2

dy

1

2 IA(x, y) com A= {(x, y)

a. Calcule as marginais e verifique se X e Y são independentes. b. Obtenha a densidade condicional de Y dado que X > O. c. Determine a função de distribuição conjunta entre X e Y.

1 2 2 ;;;- e-i(x +Y - xy) dy -oc 7ry 3 -~x2 1 ea -~( y2- xy) d y =e a 1oo - -oc 7l"y'3 2 2 2x21oo 1 _lu-t2 = e-ax eãT --e dy -oo 7l"y'3

-- .J2ir e-21

rn=' -oo < x < oo;

y27l"

3. A densidade conjunta de X e Y é dada por:

E JR.2.

00

fx,Y(x, y)dy =

e-f

que corresponde à densidade da N(O, 1). De modo análogo, teríamos Y "'N(O, 1). As variáveis não são independentes pois verificamos, facilmente, que o produto das marginais não resulta na densidade conjunta. D

!x,Y(x, y) = Para a marginal de X temos

[f. Logo, concluímos que

'

a. Calcule as marginais e verifique se X e Y são independentes. b. Determine a densidade condicional de X dado que Y = 1/2.


140

!x,Y(x, y) =

{

se -2 ~ x < 0,0 ~ y ~ 1; se O ~ x ~ 1,-2 ~ y
i•

O,

a. Calcule as marginais e verifique se X e Y são independentes. b. Determine a função de distribuição conjunta entre X e Y. c. Obtenha a função de distribuição condicional de Y dado X= x. 6. Seja Y"' Poisson(>..) e XI(Y = n) "' B(n, p). a. Calcule a função de probabilidade de X. b. Determine a função de probabilidade condicional de Y dado X= x. 7. Um milionário excêntrico, uma vez por semana, deixa seu escritório com X milhares de reais no bolso. Ao caminhar para sua casa vai distribuindo esse dinheiro aos eventuais pedintes que encontra. ita que X tem densidade de probabilidade fx(x) = ~ I(o, 4 )(x) e, também que o dinheiro que lhe resta ao chegar em casa, denotado por Y, tem probabilidade uniforme entre zero e o dinheiro com que deixou o escritório. Isto é, YI(X = x)"' Uc[O, x]. a. Calcule a densidade conjunta entre X e Y. b. Determine a densidade marginal de Y.

8. A função de distribuição conjunta de (X, Y) é dada por:

o, F. X ,\,Y( 'y) -

{

< Oou y < O ou x ~ se O ~ x < y, O ~ y < 2; se O ~ x < 2, y ~ 2; se x ~ 2, y ~ 2, x < y. se x

2x2y2-x4' 16 8x2-x4' 16

1,

y;

a. Obtenha as funções de distribuição marginais de X e Y. b. Calcule a densidade conjunta entre X e Y. c. Calcule as densidades marginais de X e Y de duas maneiras diferentes.

10. Seja F(x, y) a função mista de distribuição conjunta de (X, Y). Suponha que F corresponde à densidade Uniforme Contínua sobre o intervalo (0, 1) do eixo y de JR2 • a. Obtenha F. b. Mostre que Fx(x) é contínua exceto se x =O. c. Prove que Fy(y) é contínua. d. Você diria que (X, Y) é contínua se, e só se, sua função de distribuição conjunta induz probabilidade zero a cada ponto (x, y) E JR2 ?

3.3 Funções de Variáveis Aleatórias Sendo X uma variável aleatória em (O, F, P), a função ou transformação h : X -+R também será uma variável aleatória no mesmo espaço de probabilidade. Dado o conhecimento de X através de, por exemplo, sua função de distribuição, desejamos obter o comportamento de h(X). De modo geral, podemos ter uma fam1lia de funções atuando sobre um vetor aleatório X= (X1, X2, ... , Xm) para produzir um novo vetor aleatório Y = (Yi , Y2, ... , Y;.) de dimensão r, eventualmente igual a m. Nesse caso, X é um vetor com função de distribuição conjunta conhecida e desejamos o comportamento de Y. As dificuldades envolvidas nessa tarefa dependem das variáveis iniciais e da função de interesse. Em termos matemáticos gerais, dizemos que Y é uma transformação de X. Para obter o comportamento probabilístico de transformações uma técnica muito conveniente, principalmente no caso discreto, é o chamado método direto. Ele consiste em realizar operações algébricas simples, aplicando a definição da transformação diretamente na expressão da função de distribuição (ou função densidade ou de probabilidade conforme o caso). Sejam X 1 e X2 duas variáveis discretas com função de probabilidade conjunta p(x1,x2) e defina Y = h(X1 ,X2). A variável Y também será discreta com valores no contra-domínio da função h. Sua função de probabilidade é dada por:

9. Considere a função:

fxJY(xiy) = {

lt!:!. x!

o,

'

se x = O, 1, · · · e y caso contrário.

141

c. Nas condições de (b), obtenha a marginal de X.


l,

3.3 Funções de Variáveis Aleatórias

> O;

a. Mostre que, para cada y fixado, f(.iy) é uma função de probabilidade. b. Determine a conjunta de X e Y se Y "'Exp(1).

py(y)

= P(Y = y) = P(h(X1, X2) = y) =

L

p(x1, x2),

(Xi>X2)EAu

em que Ay = {(x 1 , x2) : h(x 1 , x2) = y}. Isto é, para cada y fixado, a soma se dá em todos os pares (xb x2) cuja aplicação da função h resulta no valor y. A função de distribuição de Y pode ser obtida de maneira análoga.


142

No caso de funções de variáveis contínuas, é mais conveniente obter primeiro a função de distribuição. Por exemplo, considere duas variáveis contínuas xl e x2 com função densidade conjunta f(xl, X2). Seja Y = h(X1,X2), temos

Fy(y) = P(Y

~

~

y) = P(h(X1, X2) By)

= P((X1, X2) E

~-~g(w)dw.

Exemplo 3.15: A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada na tabela

-1

o

o

1/4

1

o o

2

1/8

o 1

o 1 2 1/4 1/8 1/8 1/4 o 1/4

(0,0) (0, 1) (0,2) (1, O) (1,2)

p(x,y) 1/4 1/8 1/8 1/4 1/4

X+Y

X-Y

1

2

3

1/4 3/8 1/8 1/4

e

1/4

o o

Fy(y) = P(Y ~ y)

= P(ex ~ logy)

~ y)

O

=

j

= logy

-oo

1 2l[l,a]dx

=

logy- 1 · . 2

o

o

1 2 1 3

-1 -2 1 -1

_

Fy (y ) -

o,

logy-1

{ 1, 2

,

se y <e; se e~ y < e3 ; sey;::: é.

O leitor pode verificar que a densidade de Y é dada por Jy(y) =

ty I[e,e3J·

O

Exemplo 3.17: Considere a variável aleatória contínua X com valores entre O e 3 e densidade fx(x) = ~ Iro,aJ(x). A partir dessa variável, uma nova variável é definida da seguinte forma: se 2 <X~ 3; caso contrário.

Segue, então, que as funções de probabilidade de interesse são O

1/4

o o o

Dessa forma,

Vamos obter o comportamento de X+ Y e X- Y. Uma forma prática de obter as funções de probabilidade dessas variáveis é construir, inicialmente, uma tabela com seus valores a partir da conjunta de X e Y.

(X,Y)

o

1

o

Exemplo 3.16: Seja X uma variável aleatória contínua com densidade f(x) = 4Ir1,3J(x). Vamos obter a função de distribuição e a função densidade de Y=ex. Observe que Y será contínua e com valores no intervalo [e, e3]. Sendo Fy sua função de distribuição, temos de imediato que Fy(y) =O se y < e e Fy(y) = 1 se y;::: e3 . Para e~ y <é,

= P(X X\Y

1/8

o

3

abaixo:

prob.

-2

o

A partir dessa conjunta, outros cálculos de probabilidade podem ser feitos.

Nesse caso, g é a densidade da variável Y.

X+Y

X+Y\X-Y

=f f f(x1. x2) dx1 dx2,

sendo By = {(xb x2) : h(x1, x2) ~ y}. A densidade de Y pode ser calculada por derivação de Fy(y). Entretanto, às vezes, a densidade pode ser obtida diretamente se for possível reescrever a integral dupla acima na forma:

Fy(y) =

Para a conjunta entre X + Y e X - Y, utilizamos novamente a tabela acima coletando os eventuais pares comuns (que nesse caso não existem):

y) = By

143


1

X- Y

-2

prob.

1/8 3/8 1/4 1/4

-1

O

A variável Y será do tipo misto. Sempre que X estiver em (2, 3], o valor de Y será 3. A função de diStribuiçã~e Y será dada por:

144


o, Fy(y)-

{

y/3, 2/3,

1,

145


Exemplo 3.18: A função densidade conjunta de X e Y é dada por:

se y
fx ,Y(x, y) =

e-(x+y) I(o,oo)(x)I(o,oo)(Y).

Vamos determinar a função de distribuição de Z = 2X + Y. Observe que a variável Z é sempre positiva. Dessa forma, para z
O gráfico de Fy (y) é representado a seguir e pode-se observar que no ponto y = 3 a função é descontínua.

z

~o,

Fz(z)

= P(2X + Y

$ z)

= P((X, Y)

E

Bz)

=f f fx,y(x,y)dxdy, Bz

F,(.v)

com Bz = {(x,y): 2x+y $ z}. Note que, no cálculo da integral, os limites precisam levar em conta, além de Bz, a definição de Jx ,y(x , y). Assim,

Fz(z)

113

=f f

11

z-T

e-(x+y) I(o,oo) (x)I(o,oo)(Y)

dx dy =

e-(x+y)

dx dy,

Bz então,

F

o, = z ) ( { 1 + e-z z

.

2e- ~ ,

se z
Pode-se verificar que Fz satisfaz as propriedades de função de distribuição e, por D derivação, podemos obter a densidade de Z. O próximo exemplo apresenta uma situação que pode surpreender vários leitores. Partindo de variáveis discretas relativamente simples, tomamos uma função dessas variáveis, também relativamente simples, para produzir uma nova variável bem mais complicada e que não tem nada de simples! O exemplo retoma o conceito de função singular apresentado no capítulo anterior.

Figura 3.3: Função de Distribuição Mista. Suponha, agora, que queremos determinar P(Y

P(Y

< 21 Y

~

1). Temos:

< 21 y > 1) = P([Y < 2] n [Y > 1]) -

P(Y

~

1)

Exemplo 3.19: Função Singular-tipo Cantor (Dudewicz e Mishra [88]) Considere sucessivos lançamentos independentes de uma moeda equilibrada. Definindo como sucesso a ocorrência de cara, temos que X1, X 2 , ···,formam um sequência de variáveis de Bernoulli independentes. Assim,

_ P(1 $ Y < 2) P(Y ~ 1) = Fy(2 - )- Fy(l - )

1-Fy(1-)

=

112

_

P(Xi = 1) = 1/2, i= 1, 2, .. · .

o

Sendo a ocorrência de sucesso no lançamento i recompensada por 3/4i (em alguma unidade monetária), estamos interessados na função de distribuição

147



146

I,

do ganho total. Conforme veremos essa função será do tipo singular, isto é, será contínua e com derivada igual a zero em quase toda parte (a massa de probabilidade onde isto não ocorre é igual a 0). Denotando por W a variável ganho vem

Observe que O :::; W :::; 1, pois para cara em todos os lançamentos (isto é, 00

... = 1), temos

Ei

I

de modo análogo, concluímos P(W = 3/4) =O. De fato, podemos repetir esse argumento de modo que, para qualquer valor k, teremos P(W = k) = O. Então, w :::; P(W :::; w) = P(Xt =O) = 1/2. para o intervalo Resumindo, o que temos até agora para F, é o seguinte:

t,

i : :;

F (w )

i=l

x2 =

' I

o,

00 3 W= L4iX; .

Xt =

li

= 1. Daí decorre que já podemos saber alguns

i=l

= P (W

:::; w)

={

1/2,

se w :::; O; se l4< w < -

1,

se w

~

;!. 4'

1.

Temos 2 intervalos em que F ainda não está definida, a saber, (0, 1/4) e (3/ 4, 1). O gráfico correspondente ao que já calculamos é apresentado na figura a seguir.

valores parciais da função de distribuição. Para w < O, ela tem valor O e para w ~ 1, vale 1. Lembrando que as funções de distribuição são contínuas à direita, o ponto w = O poderia ser um candidato a uma descontinuidade à esquerda e, assim, F não seria contínua. Entretanto, isso não ocorre uma vez que:

F(w)

F(O) = P(W :::; O) = F(o-) + P(W =O) = O+ P(Xt = X2 = · · · = O)

= lim k-->oo

( ~ ) k =O. 2

112

Então, temos os seguintes valores parciais para F:

F(w) = P(W :::; w) = {

~:

se w :::; O; se w ~ 1,

o

restando o cálculo de F para os outros intervalos. Observando o resultado de X1 (o lo. lançamento), podemos estabelecer outras condições sobre os intervalos de valores para W:

Se X 1 = 1

=}

w ~ 3/4;

Se X1 =O

=}

w <+- + ... = -· - 42 43 4

3

3

V=

1 1 2

X -

2

X .•.

w

3/4

Figura 3.4: Construção da Função de Distribuição- tipo Cantor.

Antes de prosseguir, observamos que o ganho, a partir do 2o. lançamento, tem a mesma distribuição que W / 4. Note que

1

Logo P(i < W < O. Vamos ver o que acontece nos pontos extremos desse intervalo. Temos, pela independência dos X; 's,

p ( "'r = 1/4) = P(XJ =o, x2 = X3· .. = 1) = -

1/4

. (1 )k=O;

= hm k--+oo

2

00

L

•=2

00

3 3 00 1 1 3 ;xi = 4 i-1 X;= 4(~ 4.ixj+l)· 4 4 1=2 J=l

L

Tendo em vista que as variáveis X 1 , X 2, • • ·, são identicamente distribuídas e estamos fazendo uma soma infinita, o termo entre parêntesis tem a mesma distribuição de W. Usaremos esse resultado no que segue.


148


149

Para O< w < 1/ 4 temos F(w)

F(w) = P(W ~ w) = P(W ~ w,X1 =O)+ P(W ~ w,X1 = 1) 00

=P(L 1=1 00

3

;xi

4

~w,X1

3

=

~ w,X1

=O

00 3 ) P(~ ;Xi ~ w P(X1

1=2

1

?i 3/4

= P(L ;X; 4 i=2 =

)

=0 +O

4

..............

...........r----1

I

)

?I

i

·r - - - - - _ _ , · I

1/2

?I

=O)

1/4

i

?I

w

2P(4 ~ w)

o

1

I

-,...--.,

1116

1,

11

I

iI 3116

1/4

13/16

3/4

i

I

IS/16

I

w

= F(4w). 2

Figura 3.5: Construção da Função de Distribuição- tipo Cantor (continuação).

De acordo com o que já sabemos de F, temos para 1/4 < 4w < 3/4, F(4w) = 1/2. Assim, para 1/16 ~ w ~ 3/16 vem F(w) = 1/4, uma vez.q~e os extremos não contribuem com probabilidade positiva. Restam sem defimçao os intervalos (0, 1/16) e (3/16, 1/4). Para 3/4 < w
F(w) = P(W ~ w) = P(W ~ w,X1 =O)+ P(W ~ w,X1 = 1) 00

= 1 +P(L 43;X; ~ w,X1 = 1) 2 •=1 1 2

3 4

00

3 4

=-+P((-+L;X;) ~w,X1=l i=2

00

1 +P(" -,X; 3 =2 ~4 1 1=2

1

=

2

1

1 w + 2P(4 1

)

< w--3) P(X1 = 1) 4

-

3

~ w- 4) 3

= 2 + 2F(4(w- 4)). Então, F(w) = 3/4para 13/16 ~ w ~ 15/16 e resta defini~, o valor.de F em (3/4, 13/16) e (15/16, 1). O gráfico de F com os valores Ja conhecidos até o momento é representado na figura a seguir.

Observe que, nos três sub-intervalos de (O, 1) já analisados, a função de distribuição é constante. O maior salto, que indicaria descontinuidade de F, não poderia ultraar l/4 pois trata-se de uma função monótona não decrescente. Os intervalos já definidos têm comprimento total de 3/4 e cada um dos quatro restantes tem comprimento 1/16. Usando o mesmo raciocínio desenvolvido acima, conseguimos definir F em um sub-intervalo de cada um dos intervalos ainda sem definição. Por exemplo, no intervalo (0, 1/16), definimos F(w) = 1/8 para 1/64 ~ w ~ 3/64 e restarão, sem definição, os intervalos (0, 1/64) e (3/64, 3/16). De modo geral, cada intervalo restante é dividido em 4 partes e, para os dois sub-intervalos centrais, F será constante e igual à média dos valores já atribuídos aos intervalos mais próximos, que já têm probabilidade determinada. O valor máximo de um eventual salto de F está limitado à metade da diferença entre seus valores vizinhos. Usando indução matemática, após n etapas, teremos já definido o valor de F em 1 + 2 + 22 + 23 + · · ·2n-l intervalos. Eles terão comprimento total de 2- 1 + 2- 2 + 2- 3 + · · ·2-n = 1- 1/2n. Tomando o limite, quando o número de etapas vai a infinito, concluímos: F será contínua em todo IR e com F(O) =O e F(l) = 1. Os sub-intervalos de [0, 1], em que F é constante, têm comprimento total igual a 1. Além disso, como a derivada de uma constante é zero, temos F' (w) = O para quase todo w E IR. Logo, F é uma função de distribuição do tipo singular. A construção exibida neste exemplo é uma variante do que é conhecido como Função de Cantor (ver Chae [80]). D

150


Em pesquisa ou aplicações, o uso de recursos computacionais têm 'se tomado freqüente nas áreas de Probabilidade e Estatística. Dentre as diversas técnicas utilizadas, a simulação se destaca. Uma das peças chave em simulações, nas áreas mencionadas, é poder gerar valores de uma variável com certa distribuição de probabilidade. Os métodos computacionais desenvolvidos para esse fim se utilizam de uma transformação especial, definida a seguir.

Definição 3.10: Transformação Integral de Probabilidade Seja X uma variável aleatória com função de distribuição F. A transformação de X tal que Y = F(X) é denominada transformação integral de probabilidade. O Em simulações, o uso da transformação acima depende da possibilidade de inverter F. A inversa tem domínio em [0, 1], mas se F tiver saltos ou for em escada, ela não existirá. Na próxima definição, uma função que faz as vezes de inversa é apresentada e, por abuso de notação, também será representada por F - 1 •

Definição 3.11: Inversa Generalizada de F Seja F uma função de distribuição qualquer. A inversa generalizada, denotada por F- 1 é definida da seguinte forma:

F- 1(y) = inf{x

E R:

F(x) ~ y} .

o

Note que, se a inversa de F existe no sentido usual, ela coincide com a inversa generalizada. Por exemplo, se F for estritamente crescente e contínua, então Vx E R, existirá apenas um y tal que F(x) = y. Nesse caso, pela definição acima teríamos F - 1(y ) = x, mesmo resultado de uma inversa usual. Na figura abaixo, apresentamos alguns casos de F - 1 . Na próxima proposição, demonstramos uma relação que será a base para resultados úteis em simulação.


Proposição 3.4: Seja F uma função de distribuição qualquer e F- 1 sua inversa generalizada. Temos:

F- 1 (y) :$ t se, e somente se, y :$ F (t). Demonstração: Inicialmente, observamos que, pela definição de F- 1, existe uma seqüência Xn, tal que Xn E {x E R: F(x) ~ y} e Xn! F- 1 (y). Da continuidade à direita de F, temos F(xn) -+F(F- 1 (y)) e ainda F (F- 1 (y)) ~ y. Supondo que p- 1 (y) :$ t , vamos verificar que y :$ F (t). Como F é não decrescente, segue F (F- 1 (y )) :$ F(t ). Da conclusão do parágrafo anterior, vem y :$ F(F- 1 (y )) e, portanto, vale y :$ F (t). Para a outra implicação, supomos y :$ F(t ). Dessa forma, t pertence ao conjunto {x E R: F(x ) ~ y} e, pelo argumento sobre a seqüência Xn no ínicio da demonstração, segue que F- 1 (y) :$ t. O Com a aplicação da proposição anterior, vamos verificar um importante resultado para variáveis contínuas.

Proposição 3.5: Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição F . Então Y = F( X ) terá distribuição Uniforme Contínua em [0, 1]. Vale a recíproca, sendo U,...., Uc[O, 1], então X = F- 1 (U) terá função de distribuição F . Demonstração: Se X é contínua, F é uma função contínua e o mesmo ocorre com

= F(X). A função de distribuição F será um número entre O e 1 e, portanto, P(Y < O) = P(F(X ) < O) = Oe P(Y :$ 1) = P(F(X ) :$ 1) = 1. Para O< y < 1,

Y

P(Y ~ y) = P(F(X) ~ y) F Yo

,.,

F

151

= P(X

~ F- 1 (y))

1

:$ F- (y));

em que usamos a proposição anterior e, na última igualdade, a continuidade de X . Essa continuidade ainda implica que F(F- 1 (y)) = y. Então

P (Y ~ y) = 1 - P( X :$ F- 1(y)) Como Y é contínua, segue P(Y > y) distribuição Uniforme Contínua em [0, 1].

Figura 3.6: Formas alternativas para F com F- 1 (y0 ) = x 0 .

= 1- P( X

= 1-

= P (Y

F(F- 1 (y)) = 1 - y.

~

y) e, dessa forma, Y terá

152


Considere, agora, a recíproca. Suponha que U"' Uc[O, 1] e X= F- 1(Uf Temos

P(X:::; x)

= P(F- 1 (U):::; x) = P(U :::; F(x)) = F(x).

o

Logo a variável aleatória X tem distribuição F.

Em simulação é comum a necessidade de gerar valores de uma certa variável com uma distribuição determinada F. Pela proposição acima, isto pode ser feito gerando um valor aleatório da Uniforme Continua em [0, 1], digamos u, e tomando x = F - 1 (u). Valores do tipo u são conhecidos como números pseudoaleatórios. Esses números imitam a escolha, feita ao acaso, de valores do intervalo [0, 1]. Os números pseudo-aleatórios têm essa denominação pois são gerados por algoritimos determinísticos e devem aparentar terem sido sorteados de forma independente e aleatória. Isto significa que, tomando uma grande quantidade deles, esperaríamos que estivessem espalhados uniformemente em [O, 1]. Muitos programas de computador já incluem rotinas de geração de números aleatórios em suas bibliotecas. O próximo exemplo ilustra essas idéias. Exemplo 3.20: Geração de Valores Aleatórios (DeGroot e Schervich [02])

Suponha que temos a disposição algum software com um gerador de números pseudo-aleatórios e independentes da Uc[O, 1]. Desejamos gerar valores de uma variável X que tem densidade f(x) = !{2- x)I(o, 2 )(x). A correspondente função de distribuição é dada por:

o,

F(x) =

X :::;

I

153

Um importante resultado referente a um vetor de variáveis aleatórias independentes é aquele que garante que funções disjuntas de variáveis independentes sejam independentes. Um caso particular é demonstrado no próximo exemplo. Exemplo 3.21: Famaias disjuntas de variáveis independentes

Sejam X h X 2 , · · ·, Xn variáveis aleatórias independentes num mesmo espaço de probabilidade. Com o uso de duas funções 91 e 92 defina as variáveis Y1 e Y2 tais que:

Yi = 91( X1,X2, ···,Xm) e Y2 = 92( Xm+l,Xm+2, ···,Xn); 1:::; m < n. O que podemos dizer sobre a independência entre Y1 e Y2? Inicialmente, observamos que as variáveis são funções disjuntas de X 1 , X 2 , · · ·, Xn. Sendo que Yi é função das primeiras m variáveis, enquanto Y2 das restantes n - m. Assim, temos que 91 : Rm-+ R e 92 : Rn-m-+ R Sejam B 1 e B 2 dois borelianos quaisquer dos reais, lembramos que Y1 1(Bl) = { (x1, x2, · · ·, Xm) E Rm : 91 (xl, X2, · · ·, Xm) E B1},

e, então, [Yi.EB 1 ] é equivalente a [(X1 ,X2,···,Xm)Eg1 1 (BI)]. De modo análogo, [Y2 E B2] e [(Xm+l• Xm+2• · · ·, Xn) E Y2 1 (B2)] são equivalentes. Para verificar a independência entre Yi e }2, note que P([Yi E B1], [Y2 E B2]) é igual a

P([(X1, X2, ···,Xm) E 91 1 (BI)], [(Xm+l,Xm+2• ···,Xn) E Y2 1 (B2)J),

O;

't• 0 <X:::; 2; { x1, X> 2.

Para obter a inversa resolvemos a equação y = F(x) em x, sendo que y E (0, 1) é o domínio da função inversa. Basta considerar a expressão de F(x) para o intervalo (0, 2]. A solução, com uma das raízes sendo desprezada, fornece: x = F- 1 (y) = 2(1para y E (0, 1). Suponha que geramos, aleatoriamente e de forma independente, três valores da distribuição Uc[O, 1]: Y1 = O, 4125; Y2 = O, 0894 e Y3 = O, 8302. Aplicando esses valores na expressão da função inversa, obtemos: X 1 = 0, 4670; x 2 = 0, 0914 e x 3 = 1, 1759. Dessa forma, obtemos três observações independentes da variável X. O

JI=Y")


o qual, por sua vez, é igual ao produto

pela definição de independência de vetores aleatórios. Mas, essa última probabilidade pode ser escrita, utilizando novamente o argumento de equivalência mencionado acima, como P([Yi E BI]) P([Y2 E B2]). Fica, assim, verificado a independência entre Y1 e }2. O Algumas funções de variáveis aleatórias merecem destaque, pois aparecem com grande freqüência em aplicações. As expressões referentes ao comportamento probabilístico da soma, diferença, produto, quociente, mínimo e máximo entre variáveis aleatórias são apresentadas nas próximas proposições.


154

Proposição 3.6: Densidade da Soma e da Diferença de Variáveis Dadas duas variáveis aleatórias contínuas X e Y com densidade conjunta !x,Y . então a função densidade da soma e da diferença entre essas variáveis são dadas por, respectivamente:

fx+Y(z) = f : ! x,Y(x, z- x) dx ; fx-Y( w ) = f : ! x,y(w + y,y)dy. Demonstração: Para a soma, com Bz = {(x, y) : x Fx+Y(z)

= P(X + Y

:$ z)

+ y :$

= P ((X, Y)

E

z }, temos:

B, )

=f f f x,y(x, y )dxdy;

Fx+Y(z) =

1:

155

em que fizemos a substituição x = u + y. Invertendo a ordem de integração e derivando, obtemos a densidade f x-Y(w) = f~oofx,y(w + y, y) dy. O Observe que se X e Y forem independentes a densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais, simplificando as expressões. No caso independente, a densidade da soma recebe o nome de convolução das densidades de X e Y. A proposição anterior tem, também, uma versão para o caso discreto que não será apresentada. Exemplo 3.22: A densidade conjunta das variáveis X e Y é dada pela expressão:

Jx ,y(x, y )

Bz Então,


1

= 3 (x + y)I(o,2j(x)I(o,l](Y)·

Vamos obter a densidade de X + Y. Temos,

fx+y(z) =

1

00 00

_ /x,y(x, z- x ) dx =

/00 1 _ 3 z I(o,2j(x)I(o,l](z- x) dx. 00

Avaliando o comportamento dos indicadores, teremos (ver figura a seguir):

[f:x /x,Y(x, y )dy Jdx = f :

[f~ !x,y(x, u -

x)du Jdx,

em que fizemos a substituição y = u - x.

z < Oou z O:$ z 1 :$ z 2 :$ z

> 3 : I(o,lj(z- x) =O; < 1 : I(o,lj(z- x) = 1 somente se O< x :$ z; < 2 : I (o,lj(z- x) = 1 somente se z - 1 < x :$ z; :$ 3 : I (o,lj(z- x) = 1 somente se z - 1 < x :$ 2;

Para obter a densidade tomamos a derivada:

âFx+y(z) âz

â{j""[fz J } = âz -x -xfxy(x, u-x)du dx

!"_j!oc

â{ = âz assim, concluímos que fx+y(z)

z=x+

I

z=x

-:xfx.dx, u-x)dx] du} ,

= Lxxfx.dx, z- x) d:r.

Para a diferença X - Y , com Bw ={(:r, y): x- y :$ w} , temos

F,,_y(w) = P(X - Y :$ w) = P ((X, Y) E Bu.)

=

1:

=f f fx.l"(x, y)dxdy = Bu.

[f:+yfx.dx, y )d:c ]dy =f: [f:fx.y(u

+ y, y)du]dy,

X

Figura 3.7: Região de Integração- função soma.

n


156

I

I

Então,

r1


157

z2

O :::; z < 1: f x+Y(z)

=lo 3 z dx = 3 ;

1 :::; z < 2 : fx+Y(z)

=

iz~

2 :::; z :::; 3 : fx +Y(z)

=

1

z-1 3 2 1

z dx

= :_ ;

- z dx =

z-13

3

z(3- z) 3

·

A densidade procurada satisfaz as propriedades de densidade e será dada por:

.i., fx +y(z ) =

seO :s;z< 1; se 1 :::; z < 2;

l,

{

~(3-z) 3

O,

'

se 2 :::; z:::; 3; caso contrário.

Recomendamos ao leitor tentar obter essa densidade via função de distribuição. O Apresentamos, a seguir, alguns exemplos de relação entre modelos que envolvem soma de variáveis.

Exemplo 3.23: Relação entre Bernoulli e Binomial Sejam X 1 , X 2 , • • ·, Xn variáveis independentes com distribuição Bernoulli de parâmetro p. Defina Y = X1 + X2 + ··· + Xn, então Y tem distribuição Binomial de parâmetros n e p. Para verificar esse resultado, observe que o evento [Y = k] significa a ocorrência de k sucessos e n - k fracassos, dentre os n experimentos. Como existem várias alternativas na ordem de ocorrência dos sucessos, precisamos multiplicar pelo número delas, o que é dado pela combinação de n tomados k a k. A relação também poderia ser verificada por indução a partir da fórmula de O convolução para funções de probabilidade.

Para obter a densidade, calculamos a derivada:

Essa última expressão corresponde à densidade Gama de parâmetros a = 2 e f3 = À. De modo geral, é possível verificar que a soma de n Exponenciais independentes de mesmo parâmetro À terá distribuição Gama(n, A). O

Exemplo 3.25: Relação entre Poisson e Gama Sejam Yi e Y2 intervalos entre ocorrências de um certo evento, isto é, Yi e indicam o tempo de espera para a la. e o tempo entre a la. e 2a. ocorrências, respectivamente. Definimos X 1 como o número de ocorrências até o instante t. Temos a seguinte equivalência de eventos:

Y2

[2a. ocorrência antes de t] = [Pelo menos 2 ocorrências antes de t] ;

[Y1 + Y2 < t] = [Xt 2: 2] . Suponha agora que Y1 e Y2 são variáveis independentes com distribuição Exponencial de parâmetro À. Sabemos que Y1 + Y2 têm distribuição Gama com parâmetros a = 2 e f3 = À. Dessa forma, pela igualdade dos eventos acima, temos

Exemplo 3.24: Relação entre Exponencial e Gama Sejam X 1 e X 2 variáveis independentes com mesma distribuição Exponencial de parâmetro À. Vamos verificar que X 1 + X 2 têm distribuição Gama com parâmetros a= 2 e f3 =À. Pela independência de X 1 e X 2 temos: fx~,x2 (x, y )

Então

= À2e-A(x+y),

O < x < oo, O < y < oo.

P(Xt 2: 2) = P (Y1

+ Y2 < t) =

rt

À2

Jo r( ) y e-Ay dy; 2

que, aplicando a técnica de integral por partes, resulta em

P(Xt 2: 2) = P(Yi + Y2 < t) = 1 - e-At - Àt e-"1 • Note que a mesma expressão resultaria se o modelo Poisson (At) fosse usado para X 1• De fato, para qualquer n, a variável X 1 terá distribuição de Poisson com parâmetro Àt . A prova pode ser feita por indução finita e integração por partes. O


158

Retomamos a apresentação das proposições.

Exemplo 3.26: Reprodução de Normais Dizemos que a distribuição Normal se reproduz, porque a soma de Normais independentes também tem distribuição Normal. Essa propriedade vale também para outros modelos, entre eles, Binomial, Poisson e Gama. Vamos verificar que a soma de duas Normais Padrão independentes é Normal com JL = O e a 2 = 2. O caso geral pode ser demonstrado, mais facilmente, com o uso da função geradora de momentos a ser definida no Capítulo

Proposição 3.7: Distribuição do Mínimo e do Máximo Considere o conjunto X1, X2, ... , Xm de variáveis aleatórias independentes, cujas funções de distribuição são F1, F2, ... , Fm, respectivamente. As expressões da função de distribuição de Y1 = rnin(X1, X2, ... , Xm) e Ym = max(X1, X 2, ... , Xm) são dadas, respectivamente, por: m

5.

Fy,(z) = 1- I1[1- Fx;(z)];

Sejam X 1 e X 2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição

i=l

N(O, 1). Para a distribuição da soma temos

Fx,+x2 (z) = P(X1

I'

I

+ X2::;

159


m

z) = =

1:1:x

Fym(w) = ITFx;(w). i=l

fx,,x 2 (x, y) dxdy; Demonstração:

Para obter a distribuição do mínimo, utilizamos um argumento lógico freqüentemente útil nesses casos: se o JllÍnimo é maior que z, todas as variáveis também precisam ser maiores que z. Assim,

que resulta em

l

P(Y1 > z) = P(rnin(X1, ... ,Xm) > z) = P(X1 > z, ... ,Xm > z). Pela independência entre as variáveis essa última probabilidade pode ser escrita como m

P(Yí > z) após a substituição y = v - x e mudança na ordem de integração. A densidade será dada pelo integrando da expressão acima aplicado em v= z. Assim,

/x,+x2 (z) =

1

00

-oo

1

,2

1

rn= e-T rn= eV 27!'

(z-r)2 2

dx

=

100

V 271'

1

2

2

,2

e-x +zx-T dx.

-oo 7l'

fx,+x 2 (z) =

1

rn=

1

,2100

r;:; e- 4

V 271' V 2

-oo

1

1

rn= -1() e V2

V 271'

_! (r-•/2r 2

7i12 dx.

Fx;(z)].

i=l

Logo, tomando-se o complementar, a expressão de FYi (z) é obtida. Para o máximo, observe que se o máximo é menor que z então todas as variáveis também são. Assim

P(Ym ::; w)

Note que z está fixo dentro da integral e podemos reescreve-la como:

= P(X1 > z) · ·· P(Xm > z) = I1[1 -

= P(max(X1, ... , Xm)

::; w)

= P(X1

::; w, ... , Xm ::; w).

Pela independência entre as variáveis, temos m

P(Ym::; w) = P(X1::; w) ··· P(Xm::; w) = ITFx; (w). i=l

O integrando corresponde à densidade de uma Normal com JL = Logo a integral vale 1 e o termo restante é a densidade N(O, 2).

z/2 e a 2 = 1/2. O

Se as variáveis forem identicamente distribuídas, as expressões podem ser apresentadas em forma de potências da função de distribuição comum. O

160


Proposição 3.8: Densidade do produto e do quociente

161


os casos y > O e y < O. Assim,

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta ! x,Y· As funções densidade do produto e do quociente são, respectivamente, dadas por:

f xy{u) =

ao 1

u

1X

X

l-ao

que, após a substituição s

- I !x,y(x, - ) dx;

Fx;y(v) =

f x;y (v) = l : \y\ !x,Y(vy, y) dy.

Fxy(u) =

[1ao fx .Y(x, y)dy] dx +1 ao [lujx f x,y(i, y)dy] dx, 1-ao ujx -ao 0

O

que, após a substituição s = xy, vem:

( 1-oo° [1-oo

[lu-ao f xx(x, -X)ds]X- dx = u[10 --:::-l-oo -ov 1X!x,y(x, -)Xs dx] ds +lu-ao [1 -X1 ! x,y(x,-X ) dx] ds

Fxy u) =

u

8 fx .Y(x, - )ds] - dx + 1 ao X X O

8

00

l-ao 1

00

=

u

[

8

0

8

-1 Jx,y(x,- )dx]ds .

-ex: 1X 1

[~[1-ao!x,y(sy, y)yds ]dy+ 1oo[[~!x,Y(sy, y)yds]dy

=

[~[[~ ( -y)fx,y(sy, y) dy] ds + [~[1

=

[~[[:\y\fx,Y(sy, y)dy ]ds.

Demonstração: Aplicamos o método direto, mas o resultado também poderia ser obtido via o método do Jacobiano a ser apresentado a seguir nesta seção. Vamos iniciar obtendo a função de distribuição do produto XY. Com B u = {(x, y): x y :::; u} , vem Fxy(u) = P(XY :::; u) = f f f x,y(x, y) dx dy. Bu Assumimos x '# Oe precisamos separar os casos x > O e x < O. Então,

= xj y, resulta em:

Derivando, obtemos:

8Fx;y(v)

a

1

-ov

Para o quociente, o cálculo é similar. Com B,, = {( x , y) : x j y:::; v}, vem Fx;y(v) = P(X / Y:::; v) = f f!x,y(x, y) dxdy. Assumimos y :F O e separamos B,,

!!1l!

!!1l! âx2

~ 8x 111

!!91.

!!91.

Êi:L

âx 1

1 u ~ /x,Y(X,;;) dx .

o

Para as variáveis contínuas, pode-se usar o Método do Jacobiano, utilizado em Cálculo Diferencial, para obter a distribuição de transformações de variáveis aleatórias. O método é apresentado a seguir sem demonstração formal. Seja X = (X 1, X 2 , • •• , Xm) um vetor aleatório contínuo com densidade fx(x) conhecida. O vetor aleatório Y = (Y1 , Y2, ... , Ym) é uma transformação g (multidimensional) do vetor X. Em notação simplificada, podemos escrever Y = g(X) = (g1(X) , g2 (X) , · · ·, 9m (X)), de modo que Y; = g;(X1 , X2, ... , Xm) para i = 1, 2, ... , m . Supomos que todas as funções g;, i = 1, · · ·, m, têm derivadas parciais contínuas e que o Jacobiano da transformação seja diferente de zero para todos os pontos (x 1, x2, ... , Xm); isto é

X

00

y ! x,Y(sy, y) dy] ds

loo \y\fx,y(vy, y) dy. -oo

= [x;y(v) =

V

Aplicando a ~erivada, obtemos a densidade

8Fxy(u) 8u = f xy (u) =

00

J9 (x) =

âx,

âx2

âx,,

Vamos também supor que o conjunto de equações:

-::p O.

162


163


Yl =g!(X!,X2, ... ,xm); Y2 = g2(x1,x2, ... ,xm);

determina, de modo único, os x; 's em função de (YI. y2, ... , Ym)· Em outras palavras, isto significa dizer que g é bijetora. Representamos a solução do sistema por x = h(y), ou seja,

X!= hl(Y1,Y2,···•Ym)i X2 = h2(Y1,Y2,···,Ym); Xm = hm(Y!, Y2, · · ·, Ym)· Nessas condições, as variáveis dada por

Yi, Y2 , ••• , Ym

/v(Y) = /x(h(y)) IJ9 (h(y))l-

têm densidade conjunta Figura 3.8: Repartição do Domínio- 4 subconjuntos.

1

,

em que, a densidade /x(.) e o Jacobiano J9 (.) são aplicados nos pontos x; = h;(y), i= 1, · ··, m. Uma das condições para a aplicação do método do Jacobiano foi que a função g: X-+ Y fosse bijetora (um a um). Se esse não for o caso, podemos particionar o domínio em subconjuntos disjuntos de modo que, restrita a cada subconjunto, ela seja biunívoca. Nesse caso, aplicamos o método Jacobiano a cada uma das partições e somamos o resultado para obter a densidade desejada. Assim, denotando por V 1 , V2 , · · ·, Vk a partição do domínio e sendo gUla restrição de g ao subconjunto V;, temos

Observação 1: Alguns autores, preferem calcular o Jacobiano referente à função inversa de g, denotada aqui por h. O determinante a ser calculado seria ~

8yl

Jh(Y) =

!!!1. 8yl

8h.,

ay;

~

8l!2

!!!1. 8112

!!.!!:m. 8112

8hl ÔYm

!!!l1. ÔYm

ôhm ôy,

Se usarmos Jh(Y) ao invés de J 9 (h(y)), a fórmula para o cálculo da densidade é modificada coerentemente tendo em vista que

k

fv(Y ) = Lfx(h(il(y)) IJy~;,(h(il(y) )l- 1 , i=1

em que h(i) é a inversa de g(il (referente ao subconjunto V;). A figura a seguir ilustra a repartição do domínio em 4 subconjuntos.

Para evitar confusão, é conveniente sempre usar o mesmo Jacobiano. Observação 2: Se o vetor Y tiver dimensão menor que a de X, acrescentamos variáveis artifíciais convenientes até a igualdade nas dimensões. Após aplicar o método do Jacobiano, calculamos a marginal adequada da densidade conjunta obtida e determinamos a desejada densidade de Y.

164


Exemplo 3.28: (DeGroot e Schervich [02])

Exemplo 3.27: Considere o vetor aleatório X com densidade

fx(x) = .À 3 e-A(xt+x2 +x3 ) I(o,oo) (xt)I(o,oo) (x2)l(o,oo) (x3), Estamos interessados em Y

165


.À

Considere o vetor aleatório X com densidade

> O.

fx(x) =

= (Yi., }'2, Ya) tal que

4xtX2

I(o,t)(xl)J(o,l)(x2)·

Estamos interessados em Y = (Yt, Y2) tal que

= X1; Y2 = x1 +X2; Ya = x1 + x2 + X3. Yt

Yt = XdX2;

Y2 = X1X2. Seguindo nossa notação temos

Seguindo nossa notação temos

9t(Xt,X2) = XI/X2; 92(X1,X2) = X1X2.

9t(Xt,X2, ... ,Xm) = X1; 92(X1,X2, ... ,Xm) = X1 + X2; 93(X1,X2, ... ,Xm) = X1 + X2 + X3;

e, portanto, o Jacobiano da transformação g é dado por

e, portanto, o Jacobiano da transformação é dado por

!!.9.!.

!!.9.!.

!!.9.!.

Ê.91.

Ê.91.

Ê.91.

axl

Jg(x) =

8x1 ~ axl

8x2

8x3

8x2

8x3 ~ 8x3

~ ax2

=

1 o o 1 1 o =1. 1 1 1

Resolvendo para x o sistema abaixo Y1

Observe que, como o Jacobiano não depende de x, podemos já estabelecer IJg(h(y))l- 1 = 1.

= xdx2; ·

Y2 = XIX2,

obtemos uma única solução dada por

Resolvendo para x o sistema abaixo Yl

= Xtj

Observe que h é a função inversa de g. Os valores possíveis de y 1 e y2 estão no conjunto A:

+ X2j Y3 = Xt + X2 + X3, Y2 = Xt

obtemos uma única solução dada por x = (y 1 , y2 - Yh y 3 - y2 ), correspondendo à função h mencionada anteriormente. Ou seja, h 1(y) = y1, h 2(y) = y2 - y1 e h3(y) = Y3- Y2· Então,

Jy(y) = .À 3 e-À(Yt+(!12-Ytl+(Y3-!12)) I(o,oo) (yi)I(o,oo) (Y2 - yi)I(o,oo) (Y3 - Y2) = À 3 e-Aya IA (Yt, Y2, Y3),

comA= {(Yt, Y2,Y3): O< Yt <

Y2

< Y3}·

o

A= { (yl, Y2) E R? : Yt >O, Y2 >O, (YtY2) 1/ 2 < 1, (y2/yt) 112 < 1}· Assim,

-

r Capítulo 3: Vetores Aleatórios

166

então a densidade de Y é dada por 1 fv(y) = fx(h(y))IJu(h(y))l- = 4yzi2YII-IIA(YI.Yz) =

y2 IA(YI ,Yz).

YI

Exemplo 3.29: (Ross [98])

fx(x) =

e-t , -oo < x; < oo, i = 1, 2, 3. IJ v tn= 27r

Na notação que estamos utilizando, temos Y

= g(X), ou

Yí =

9I(XI ,Xz,X3) =XI + Xz + X3; = gz(Xt, Xz , X3) =XI - Xz ;

Y3 = 93(XI,x2 ,X3) =XI- X3; e, portanto, o Jacobiano da transformação é dado por

!J.SJ.

!J.SJ.

!J.SJ.

P.9l.

P.9l.

P.9l.

8x 1

Ju(x) =

8x 1 ~ 8:r,

=

(Yt, }'2, Ya) e h(y) = (h I (y) , h2(y), h3(y)), temos

=

=

1 3(27r)3/2

IJ9 (h(y))l- 1 € -! [(~)2+(Y!-2p+!I3)2+(YI+,-2y3)2]

I [rl+~+~ ~] 1 e -2 a- 3 3 -----a- -oo ' 3(27r)3/2

< y · < oo '

,

i = 1 2 3.

' ,

r~

1

i=I

Y2

Então, sendo Y

fv(Y) = fx(h(y))

Sejam XI, Xz e x3 variáveis aleatórias independentes com densidade N(O, 1). Vamos obter a densidade conjunta de Yí, Y2 e Y3 sendo Yí = XI + Xz + X3, Y2 = XI - Xz e Y3 = XI - X3. A densidade conjunta de X = (XI, Xz, X 3) é dada por 3

YI- 2y2 + Y3 ; 3 YI + Y2- 2y3 · X3 = h3(yi, Yz, Y3) = 3

Xz = h2(YI, Yz, Y3) =

2

O leitor pode verificar que a função obtida satisfaz as propriedades de função O densidade conjunta.

167


8x2

8:r2 ~ 8:r2

8x3

8:r3 ~ 8:r3

1 1 1

1 -1

o

1

o

= 3;

-1

como não depende de x, podemos já estabelecer IJ9 (h(y))I-I = 1/3. O sistema YI = Xt + Xz + X3; Yz =XI- xz; Y3 =XI- XJ,

A partir dessa conjunta, as densidade marginais das variáveis de interesse podem O ser obtidas de modo usual. Exemplo 3.30: Jacobio.no sem bijeção (Mood, Graybill e Boes [74])

Vamos obter a densidade de Y = g(X) = X 2 , sendo X uma variável contínua com densidade f( x) = ~ e-lxl, -oo < x < oo. A função g não é bijetora no domínio dos reais e, assim, para a aplicação do método do Jacobiano será necessário fazer uma separação no domínio. Considere que os conjuntos VI = {x E IR: x : V2 -+~R+ são as respectivas restrições de g aos subconjuntos VI e Vz. Temos, portanto, h(I)(y) = (g(t))-l(y) =

-y'Y

e h(2)(y) = (g(2))-I(y) =

y'Y .

Estamos no caso univariado e, portanto, não precisamos calcular o determinante. Basta derivar a função g para obter J9 (x) = 2x. Logo,

J9 (h( 1>(y))

= -2y'y

em VI e J9 (h< 2>(y))

= 2y'y

em Vz.

Segue, então

tem solução única dada por

o

168


Exercícios da Seção 3.3: 1. Seja X uma variável aleatória com função de distribuição F e sejam a e b constantes reais. Determine a função de distribuição das seguintes variáveis aleatórias: a. -X. b. aX + b, com a =/: O. c.XI(a,b)(X), supondo 1 < a < b. d. Comente as diferenças nas soluções se X é discreta ou contínua.

2. Seja X uma variável aleatória com função de distribuição F. Considere uma função h : X -+ R bijetora. Expresse, em função de F, a função de distribuição de h( X), nos seguintes casos: a. A função h é monótona não decrescente. b. A função h é monótona não crescente. 3. A variável X tem função de distribuição F . Para Y

4. Sejam X e Y

rv

= X 2 , obtenha Fy{y).

N(O, 1), independentes. Obtenha a densidade de 2X + Y.

5. Suponha que X e Y são variáveis independentes e com densidade Exponencial de parâmetros ..\1 e ..\2, respectivamente. Mostre que, para k > O, P(X- kY > O) = ..\2/{k..\1 + ..\2). 6. Sejam X e Y

rv

Exp(1 ), independentes. Obtenha a densidade de X- Y .

7. A densidade conjunta de {X, Y ) é f (x, y) a. Determine a densidade de X + Y. b. Calcule P(X + Y > 1). c.ObtenhaP(X + Y > 11 1 ~ X ~~).

f (x , y)

= { f,;e-f..-y, O,

10. Sendo X rv N(O, 1), verifique que X 2 tem distribuição Qui-quadrado com I grau de liberdade usando: a. O método direto. b. O método do Jacobiano.

3. 4 Exercícios 1. Sendo X e Y variáveis aleatórias em (O, F , P), mostre que min(X, Y) e max(X, Y) também são variáveis aleatórias.

2. Para X e Y variáveis aleatórias em {O, F, P), verifique que os conjuntos [X < Y] , [X = Y] e [X > Y] pertencem a a-álgebra F. 3. Mostre que A 1 ,A2 , · ··,An são eventos independentes se e só se lAp 1A2 , ···,lA" forem variáveis aleatórias independentes. 4. Para as variáveis discretas, as expressões de soma e diferença de duas variáveis são similares ao caso contínuo. Verifique as expressões abaixo:

PX+Y(z)

-oo < x < oo, y 2: O; caso contrário.

a. Verifique se X e Y são independentes. b. Determine a densidade conjunta de Y e X + Y. 9. Sendo X e Y variáveis independentes com distribuição Exp(>. ), obtenha a conjunta entre X + Y e X /Y e demonstre que são independentes.

= L P(X = x, Y = z- x) = LPx,v(x,z- x); X

Px-v(z)

X

= L P(X = x, Y = x- z) = LPx,v(x,x- z). X

X

Se X e Y forem independentes, essas expressões se transformam em

= 2{x + y) I {o<x < 1}(x, y).

8. A densidade conjunta de {X, Y) é dada por:

169

3.4 Exercícios

Px+Y(z) = LPx(x) py(z- x); X

Px-v(z) = L Px(x) py(x- z). X

5. Seja X uma variável aleatória com função de distribuição Fx . Seja Y = h(X) com função de distribuição Fy . Mostre que: a. Fx,v(x, y) = min{Fx(x), Fy(y)} , se h é monótona crescente. b. Fx,v(x, y) = max{ Fx(x) + Fy(y)- 1, 0}, se h é monótona decrescente. 6. Mostre ou dê um contra-exemplo: a. Se Fx(z) = Fv (z), V z E lR então P(X = Y) = 1. b. Se Y = X + 1 então Fx(z) = Fy(z + 1) , V z E R 7. Mostre que, para variáveis contínuas X e Y temos

Fx(x)

+ Fy(y)- 1 ~ Fx,v(x, y) ~

.jF(x)F(y); V x, y E R


170

8. Seja F( .) a função de distribuição de alguma variável aleatória. Para as funções G, definidas abaixo, avalie quais podem ser função de distribuição conjunta:

a. G(x , y) = F(x)

+ F(y);

ER

Px(x)

c. G(x, y ) = F (x )/ F(y ); x, y E R d. G(x, y) = max(F (x) , F (y)); x, y E R

e. G(x, y) = min(F(x) , F(y )); x, y E R 9. Considere X"' Poisson(2). Defina Y pelo truncamento de X que impede valores superiores a 2. Assim, Y tem o valor 2 sempre que X ~ 2. Obtenha a função de distribuição de Y. 10. Sendo F(x , y) a distribuição conjunta de X e Y, defina Z= max(X, Y) e W = min(X, Y). Mostre que: a. Fz (z) = F(z, z), V z E R b. Fw(w) = Fx( w) + Fy(w)- F(w, w), Vw E R 11. Seja X "' B(n = 5, p = 1/2) e defina Y = ~(max (X , 4) a. Obtenha p(y ) e Fy . b. Calcule P(Y :5 2) e P(Y > 2JY :5 4).

b. A distribuição condicional de X, dada a soma X+ Y, é Hipergeométrica com parâmetros que não dependem de p. 17. Obtenha a conjunta de X e Y e a marginal de Y, sendo dados:

x, y E R

b. G(x , y ) = F(x )F(y); x, y

171

3.4 Exercícios

+ min(X, 2)).

12. Para X "' Poisson(2), defina Y = max(min(X , 4), max(X, 2)). a. Obtenha p(y) e Fy . b. Calcule P(Y > 1) e P (Y > 1JY :53). 13. Suponha que X e Y são variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas, com valores -1 e 1 com mesma probabilidade. Verifique se X e Z = XY são independentes. 14. Uma uma contém bolas numeradas de 1 a 3. Duas retiradas são feitas sem reposição. Defina as variáveis X e Y como, respectivamente, o menor e o maior valor observado. Obtenha a conjunta dessas variáveis e verifique se são independentes. 15. Sejam X e Y duas variáveis independentes com distribuição Geométrica de parâmetro p. Determine P(X = Y). 16. Para X e Y independentes com distribuição Binomial de parâmetros ( n1, p) e (n2, p), respectivamente, verifique que: a. A soma X + Y também segue o modelo Binomial.

= xj3,x = 1,2; PYjx(yJx) = (:) G r . y E N, y :5 xex = 1, 2.

18. Mostre que, sendo X e Y variáveis independentes com distribuição Poisson de parâmetros >. 1 e >. 2 , respectivamente, temos que: a. A soma X + Y é Poisson. b. A distribuição condicional de X, dada a soma X + Y , é Binomial. 19. Defina Y como a restrição de uma variável Exponencial (2), em valores superiores a uma dada constante a (a > 0) . a. Determine a densidade de Y . b. Calcule P (Y > a + 1JY
22. Indique para quais valores de a, a função abaixo é densidade.

f (x, y) =

2y) )I(o,t)(x)I(o,t)(y).

( 1 - a( 1 - 2x)(1 -


fx,Y(x, y ) =

~ [ 1 + xy(x2 -

y

2

)]

J{-t,l)(x)J(- t,l)(y).

a. Verifique que f satisfaz as propriedades de função densidade conjunta. b. Calcule P(X rel="nofollow"> OJ Y > 0). 24. As variáveis X e Y têm a seguinte densidade conjunta:

Jx,Y(x, y) = e-Y(l- e-x)l(o,yj(x)I[o,oo)(Y) + e- x(l- e-Y)J(o,xj(y)I[o,x)(x). a. Mostre que f satisfaz as propriedades de função densidade conjunta. b. Determine P(X > 1, Y < 2). c. Obtenha as marginais. d. As variáveis são independentes? Justifique.

...... Capítulo 3: Vetores Aleatórios

172

25. A função densidade conjunta de X e Y é dada por:

fx,y(x, y) = 2 l(o,y)(x)I(o,1)(Y)· a. Verifique que f satisfaz as propriedades de função densidade conjunta. b. Obtenha as marginais. 26. A função densidade conjunta de X e Y é dada por:

fx ,y(x, y)

=

e-(x+y)f(o,oo)(x)I(o,oo)(Y)·

173

3.4 Exercícios

30. As variáveis X e Y são independentes e têm distribuição Uniforme Contínua em [0, 1]. Obtenha as densidades de: a.X +Y. b.X-Y.

c.jX-Yj . d.X jY. e.Xj(X + Y).

31. A função densidade conjunta de X e Y é

fx,y(x, y) = Bxy I{o<x <1}(x, y) .

Determinar a função de distribuição de X - Y.


fx ,y(x, y) =

1

2 xyl(0,2)(x)I(o,x)(Y)·

a. Verifique que f satisfaz as propriedades de função densidade conjunta. b. Obtenha as marginais. As variáveis são independentes? 28. Sejam y

rv

Exp(1) e

XI (Y =

y)

P(X = n) =

rv

Poisson(y). Mostre que

1)n+1 (2 , n =O, 1, 2, · · ·.

29. A variável X tem densidade Uniforme Contínua em [0, 1]. A variável Y, condicionada à X é Binomial, isto é,

(~ )x"(1- xt- 11 , y =O, 1, · · ., n.

pyp.-(yjx) =

Obtenha a marginal de Y. Sugestão: Use a função Beta,

1 1

{J(a, b) =

xa- 1 (1- x)b- 1 dx; a, b > O.

Temos ainda a relação {J(a b) = '

r(a)r(b). r(a+b)

a. Obtenha as marginais. b. Determine P(X > 1/21 Y < 3/4).

32. A densidade conjunta das variáveis X e Y é dada por

fx,y(x, y)

=

1

8(6 • x- y) I(o,2)(x) I(2,4)(y).

a. Obtenha as marginais. b. Determine as densidades condicionais de X dado Y e de Y dado X. 33. A densidade condicional de Y dado X é dada por

hix(yjx) = l(x,x+1)(y). Calcule a marginal de Y e a densidade condicional de X dado Y, se temos

fx(x) = I(o,l)(x). 34. Seja X"' Uc[O, 2] e defina Y = min(X, 1). a. Classifique Y e obtenha sua função de distribuição. b. Represente Fy através de funções de distribuição discreta e absolutamente contínua. 35. Para X"' Exp(2), defina Y = max(X, 2). a. Obtenha Fy. b. Apresente Fy como combinação linear de funções de distribuição discreta, singular e absolutamente contínua.

-

r-r


174

41. As variáveis aleatórias X 1 e X 2 são independentes e têm densidade comum

36. Seja X "' Exp( .X) e defina Y da seguinte forma:

Y=

X,

{

Exp(.X).

se X< 1; se 1 :5 X< 2; se X~ 2.

1, 2,

a. Obtenha a função densidade conjunta das variáveis Y1 = min(X1, X2) e Y2 = max(XI. X2). b. Determine a densidade de Y2 - Y1l Yt.

a. Classifique Y e obtenha sua função de distribuição. b. Decomponha a função de distribuição nas suas partes discreta e contínua. 37. Sendo X uma variável aleatória contínua com densidade: 1

{

A,

o,

a. Determine a função de distribuição de Y = min(3, X). b. Calcule P(Y < 31 Y ~ 2) e P(Y :5 31 Y > 2). c. Faça a decomposição de Fy nas suas partes discreta, contínua e singular. 38. Seja X uma variável aleatória com densidade:

f(x)

=

i x se k se

{ O se

<x

:56;

caso contrário.

39. Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias independentes com X e Y, tendo distribuição Uniforme em [0, 2] e Z assumindo os valores ~ e ~ com probabilidade ~ e j, respectivamente. Seja W = max (X, Y, Z, 1). a. Obtenha a função de distribuição de W. b. Calcule P(1 < W :5 W ~ ~). c. Determine as partes discreta, absolutamente contínua e singular da função de distribuição de W.

II

40. A densidade conjunta de X, Y e Z é dada por

1 [4(xy + xz + yz) 16

+ 4(x + y + z) + 7], para x, y, z

a. O que pode ser dito da independênc ia de X, Y e Z? b. Calcule P(X :5 ~. Y >

!).

43. As variáveis aleatórias contínuas X e Y são independentes, identicamente distribuídas e têm densidade Exp(1). Através do método do Jacobiano, obtenha a conjunta e as marginais de U = 2X + Y e V = 2X - Y e verifique se são independentes. 44. Considere as variáveis X e Y independentes e identicamente distribuídas com densidade Normal Padrão. Defina U = X + Y e V = X fY.

45. Se XI e x2 tem função densidade conjunta:

Defina uma nova variável Y = max{min(3, X), 2 }. Obtenha pac(y) e pd(y).

f(x, y, z) =

Z=X+Y.

a. Obtenha a densidade conjunta de U e V. b. Mostre que V tem densidade Cauchy Padrão.

O :5 x :5 2; 2

42.Sejam X e Y independentes com distribuição Uc(O, 1). Defina W =X- Y e

a. Obtenha a densidade conjunta de W e Z. b. Determine P(Z > 3W).

0 :$X< 2; 2 :$X< 6; caso contrário.

4x, f(x) =

175

3.4 Exercícios

E (0, 1].

) 2 1 2 !x1,X2 (x1,x2) = 2Cx1- x2)IA(XI.X2

com A= {(xi,x2) E 'R};xl E (0,2),lx21 < x1.lx2l < 2 -xt}, obtenha a = ~(XI- X2)· função densidade conjunta de WI = HXI + X2) e

w2

46. As variaveis aleatórias X 1, X2 e X3 são independentes e identicamente distribuídas com densidade Normal Padrão. Considere as seguintes novas variáveis: WI =XI, W2 = (X1 + X2)/2 e W3 = (XI + X2 + X3)/3.

a. Determine a densidade de W3, pelo método direto. b. Obtenha a densidade conjunta de W1, W2 e W3. c. Obtenha a densidade marginal conjunta de WI e W2. d. Confirme a resposta de (a), calculando a densidade de W3 a partir da conjunta obtida em (b).

-

r--

176

Cap{tulo 3: Vetores Aleatórios

47.Para algum a> O, as variáveis aleatórias contínuas X e Y têm a seguinte densidade conjunta:

f X,Y (x, y ) =

2a

-2 _l!±lll

e

n

I{O<x

y).

Usando o método do Jacobiano, obtenha a conjunta e as marginais de U = X/Y e Y. Elas são independentes? 48. Sejam X ~o X2 e X3, variáveis independentes e identicamente distribuídas com densidade Exponencial de parâmetro 1. Defina W 1 = XJ/(X 1 + X 2), W2 = (X1 + X2)/(XI + X2 + X3) e W3 =XI+ X2 + X3.

a. Obtenha a densidade conjunta de W1, W 2 e W3 e verifique se são independentes.

b. Mostre que W1 é Uc(O, 1). c. Verifique que W3 segue o modelo Gama com parâmetros (a= 3, f3 = 1). 49. Considere as variáves aleatórias X e Y,...., Uc( -1, 1), independentes. Defina as variáveis W =X- Y e Z =X+ Y.

a. Obtenha a densidade conjunta de W e Z. b. Determine a densidade de ZjW. 50. Sendo X e Y variáveis independentes com distribuição Uniforme contínua em (1, /3), obtenha a densidade de XY via método do Jacobiano. 51. Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com função densidade conjunta

1 f(x,y) = 2 Jxjl[-l,l](x)I[o,lxiJ(Y). Obtenha a densidade de X+ Y via o método do Jacobiano. 52. Sendo X e Y variáveis independentes com distribuição Uniforme Contínua em (a, /3), obtenha a densidade de X+ Y, usando os procedimentos abaixo:

(

(

a. Através do método direto, obtendo primeiro a função de distribuição. b. Via a expressão da convolução de densidades. c. Via método do Jacobiano. 53. Sejam X1 ,...., Gama( a,>.) e X2 ,...., Gama(/3, >.) duas variáveis independentes. Defina novas variáveis W = XI/(X1 + X 2) e T = X 1 + X 2. Mostre que: a. W tem densidade Beta de parâmetros (a, /3).

177

3.4 Exercícios

b. T tem densidade Gama de parâmetros (a+ /3, >.). c. W e T são independentes. 54. Sendo X ,...., N(O, 1) e Y,...., x2 (r) (modelo Qui-quadrado com r graus de liberdade), defina a variável T = X/ Verifique que T segue o modelo t-Student com r graus de liberdade, cuja densidade é dada por:

JYTr .

Jr(t) =

r[~(r+1)] (

c;;.

y 1rr r(~)

t 2 )-i(r+l)

1 +r

1(-oo,oo) (t).

55. Considere X 1 , X 2 e X 3 variáveis contínuas, independentes e com mesma densidade f que tem valores positivos apenas em (a, b), a, b E R. Sejam Y1, Y2 e Y3 as correspondentes Estatísticas de Ordem, isto é, temos Yi como min(X~o X 2, X 3), }'2 como a segunda menor após Yi. e assim por diante.

a. Via método do Jacobiano, mostre que a conjunta de Y1, }'2 e Y3 é dada por:

Jy,_,~,Y3 (Yl• Y2, Y3)

= 6 f(Y1)f(Y2)f(y3) l{a
b. Qual seria a expressão do item (a) para n variáveis? 56. Sendo X ,...., x2(m) e Y,...., x2 (n) independentes, seja W = a. Verifique que W segue o modelo F-Snedecor com liberdade, cuja densidade é dada por:

~~~:{. (m, n) graus de

r( mt) m m/2 w(m-2)/2 fnl(w) = r( !f) r(~) (-;) (1 + ~x)(m+n)/2 I(o,oo)(w). b. Qual seria a distribuição de 1/W?

c. Mostre que V = 1;:-;,. tem distribuição Beta. n 57. Considere XI, i= 1, 2, · · ·, n.

x2 , .. ·, Xn

variáveis independentes com densidade Exp(>. j),

a. Verifique que Y1 = min(X1, X2, ···, Xn) é Exp(~>.;). b. Mostre que

P[X~.: =

min(X1, X2, ···, Xn)]

=>.~.-/(E>.;). 1=1

c. Calcule a função de distribuição de Yn = max(X1, X2, · · ·, Xn)·


178

(

58. Sejam

Yi. }2, · · ·, Yn as estatísticas de ordem de uma sequência de n variáveil>

independentes da Uc(O, 1). Obtenha a conjunta de Vn = Yn e V;= Y;/Y;+l para i = 1, 2, · · ·, n - 1. Elas são independentes? (

(

(

(

(

59. Seja X"' Exp(1), obtenha a densidade de Y = cosX. Sugestão: Particione o domínio em subconjuntos D; = ( (i - 1)7r, i7r] para i ~ 1. Ao obter as inversas, separe os casos de par e ímpar para i. 2 60. Sejam X1 e X2 independentes com distribuição N(O, u ). Defina as seguintes . X Xtf V= e +X~ variáveis aleatórias U = Xl 2 a. Sem fazer "muita" conta indique os modelos deU e V. b. Via método do Jacobiano, obtenha a densidade conjunta deU e V. c. As variáveis U e V são independentes?

61. (Problema da agulha de Buffon) Considere uma mesa plana com linhas horizontais separadas pela distância 2a. Uma agulha de tamanho 2c (c < a) é aleatoriamente jogada nessa mesa. Qual é a probabilidade da agulha tocar uma das linhas? Sugestão: Defina X como a distância do centro da agulha até a linha mais próxima e () como o ângulo entre a agulha e a perpendicular do centro da agulha até a linha mais próxima. Faça uma interpretação da aleatoriedade do lançamento da agulha em tennos de X e O.

Capítulo 4

Valor Esperado

4.1 Introdução Neste capítulo, vamos apresentar o conceito de valor esperado ou média variável aleatória. Essa quantidade é freqüentemente utilizada como uma de comportamento da variável e serve como parâmetro para vários do resumo modelos como Poisson e Normal. Veremos, também, como calcular o valor esperado de funções de variáveis aleatórias. Em contextos mais formais, o valor esperado também é denominado de esperança matenuítica. Usaremos os três nomes de forma indistinta, ao longo do capítulo. Na Seção 4.2, definimos o vMor esperado para variáveis discretas e contínuas, conceitos com os quais o leitor já deve estar familiarizado. Essas definições são unificadas com o uso da integral de Riemann-Stieltjes. A definição abstrata de valor esperado utilizando a integral de LebesgueStieltjes é apresentada na Seção 4.3, de acordo com a construção teórica que é freqüente em textos mais avançados de Teoria das Probabilidades. Dessa forma, a seção pode também servir de introdução àqueles leitores que desejem uma visão mais profunda do assunto. É importante destacar que todas as definições de valor esperado mantém uma certa concordância entre si. Explicando melhor, como são construídas com ferramentas matemáticas diferentes, pode ocorrer do valor esperado de interesse não existir dependendo da definição utilizada. Entretanto, se ele existir em mais de uma formulação, os valores esperados obtidos são sempre coincidentes. Com isso em mente, na grande maioria dos casos, estaremos usando as definições da Seção 4.2. Na seção 4.4, as principais propriedades do valor esperado são apresentadas. Incluímos nessa seção, resultados importantes como o Teorema da Convergência Monótona e o Teorema da Convergência Dominada nas suas versões para variáveis aleatórias. Estaremos assumindo que as variáveis aleatórias apresentadas estão todas em um mesmo espaço de probabilidade (0,.1", P), o que muitas vezes será omitido para maior brevidade na apresentação.

179

(

180

Capítulo 4: Valor Esperado

181

4.2 Valor Esperado

(

(

(

4.2 Valor Esperado 0.2

·2

- T. 0,3

•

0,3

0,2

2

.(

-0,3

Figura 4.1: Centro de Gravidade e Valor Esperado- caso discreto.

O centro de gravidade da barra, denotado por G, será o local em que

Definição 4.1: Valor Esperado para Variáveis Discretas

4

Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade Px e valor Xi para i num certo conjunto de índices I. Valor esperado ou esperança matemática ou média de X é definido por ( (

•

O conceito de valor esperado ou média parece ter sido historicamente desenvolvido para avaliar ganhos em jogos com apostas a dinheiro. O retomo financeiro, obtido em uma jogada de dados ou rodada de um certo jogo de cartas, seria imprevisível. A questão de interesse era avaliar esse retomo num horizonte de várias jogadas. Seria uma espécie de balanço final de muitas jogadas, após contabilizar perdas e ganhos. Com o auxílio do formalismo matemático, essas idéias foram estabelecidas em definições rigorosas, incluindo os casos discreto e contínuo.

E(X) = J.Lx = L: x;px(x;), iEI

(

D

desde que a soma esteja determinada.

O conjunto de valores da variável pode, eventualmente, ser infinito. Se a variável toma um número infinito de valores positivos e negativos, a existência do valor esperado está condicionada a que não ocorra soma do tipo oo - oo, o que resultaria em indeterminação. Note que a nossa definição de valor esperado permite a ocorrência do valorinfinito (positivo ou negativo). Se, por exemplo, houver convergência absoluta na somatória acima, isto é E lx;! Px(x;) < oo, iEI

teremos um valor esperado finito. A notação será simplificada para J.L, sempre que não houver outras variáveis envolvidas. O valor esperado pondera os valores assumidos pelas respectivas probabilidades e não precisa ser um dos valores possíveis da variável. Lembrando o. conceito de equilíbrio de um corpo em Física, podemos considerar o valor esperado como o centro de gravidade de um objeto de massa unitária. Nesse caso, a probabilidade faz as vezes da massa. Por exemplo, considere uma barra sem peso que tem massas distribuídas nos pontos - 2, - 1, O e 2, de acordo com a figura a seguir.

4

E (x; - G)p; =O. Não é difícil verificar que G = ExiPi e, portanto, G é o i=l

i=l

valor esperado de uma variável discreta com valores e respectivas probabilidades, conforme indicados pela Figura 4.1. Efetuando os cálculos, obtemos G = E( X)= -0, 3. Se sustentarmos a barra no ponto G, ela permanecerá em eqüilíbrio horizontal. O uso da denominação média para o valor esperado da variável tem origem histórica, mas também pode ser visto como uma referência a um resultado importante conhecido por Lei dos Grandes Números. Como ilustração, seja X a face obtida no lançamento de um dado honesto. O valor esperado de X é dado por 6

E(X )

=

LXiPi

= 7/2.

i=l

Se coletarmos, de forma independente, um certo número de valores da variável X ou, em outras palavras, se coletarmos uma amostra aleatória de X, poderemos ter repetições de valores dentre aqueles que são possíveis para X. Esperaríamos que a proporção, com que cada valor aparece na amostra, fosse próxima da respectiva probabilidade. Dessa forma, teríamos a expectativa de que a média dos valores amostrados não ficasse distante do valor esperado da variável. Parece intuitivo itir que, quanto maior for o tamanho de amostra, menor diferença haverá entre a proporção amostrai e a respectiva probabilidade. Assim, para uma amostra suficientemente grande, podemos itir que a média das observações se aproxima do valor esperado da variável X. Esse resultado é a Lei dos Grandes Números, mencionado acima, e será apresentado no Capítulo 6.

182

Capftulo 4: Valor Esperado

Exemplo 4.1: Vamos obter o valor esperado de X"' B(n, p) . Temos n

E( X) =L i(~

=

(

t

(

(

z- 1

n-1 (

n~

1) pv(1-p)n-1-v =np;

v=O

f

(

(~- 1)pi-1p( 1 _ p)n-1-(i-1)

=npL

(

(

n

i=1

(

)Pi (1- p)n-i

Z

i=O

em que usamos a identidade i ( 7)

n,

= n c~

V=i-1.

O valor esperado de X é calculado facilmente e é igual a -1/3. Dessa forma, em uma jogada a expectativa é de -R$ O, 33 como saldo. O valor esperado obtido não é um valor resultante de apenas uma jogada. Ele deve ser interpretado como a média dos resultados de uma longa repetição desse jogo, sendo que, em cada rodada, um dos valores de X ocorrerá. Portanto, o jogo é interessante para a banca, mas não para o jogador. Se o jogador der sorte e iniciar com saldo O positivo, o melhor a fazer é parar de jogar!

Exemplo 4.4: Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de distribuição:

1 ~ i ~ n e a substituição

Note que o valor esperado de uma Binomial é o produto dos seus parâmetros n e p. Como ilustração, suponha que a incidência de uma certa doença é de 10% na população. Podemos considerar que, para um indivíduo escolhido ao acaso nessa população, a probabilidade de ter a doença é 0,10. Dessa forma, se 1000 indivíduos são observados de forma independente, esperaríamos que 100 O deles estivessem com a doença.

F(x)

>.,i e-Á

oo

E(X)=~z~=~

>.,i e-Á (i-1)!

oo

>., (i-1)

=À. e-Á~{i-1)!

=À..

Logo, o parâmetro >.. na Poisson indica também o valor esperado. Se as chegadas de clientes em um banco se dão de acordo com uma distribuição de Poisson com parâmetro 1O por hora, o número médio de clientes que chegam por hora é O também 10. Isso justifica denominar >.. como a taxa média de ocorrência.

Exemplo 4.3: Suponha um jogo com um dado equilibrado e com a seguinte regra: em cada rodada, o jogador paga a uma banca R$ 1 para jogar e ganha R$ 1, se der face 4 ou 5 .e R$ 2, se der face 6. Nos demais resultados, ele não ganha nada. Esse jogo é interessante para quem? Sendo X o saldo em uma jogada, seus valores são: -1 para as faces de 1 a 3; Opara 4 e 5 e 1 para a face 6. Assim, sua função de probabilidade é dada por

p:b.l ~ I i I ~ 1

=

o,

X< -2;

1/8, 5/8, 7/8, 1,

-2 ~X< 1; 1 ~X< 2; 2 ~X< 4; X~ 4.

Para calcular a média, obtemos primeir~ a função de probabilidade. Os pontos de salto de F(x) indicam os valores de X com probabilidade positiva, assim

p~) I ~ 1 ! li I i 2

Exemplo 4.2: Sendo X"' Poisson(>..), vamos determinar seu valor esperado. Assim, oo .

183

4.2 Valor Esperado

O cálculo do valor esperado é feito sem dificuldade e seu valor é igual a 5/4. Veremos, mais adiante, neste capítulo, que o valor esperado pode ser calculado D diretamente a partir da função de distribuição.

Exemplo 4.5: Considere X uma variável com distribuição Geométrica de parâmetro p. Assim, sua função de probabilidade é dada por P(X = j) = p(1- p)i , j =O, 1, 2, · · ·. Temos 00

00

E(X) = LiP(1- p)j = p(1- P)Lj(1- p)i- 1 j=O

j=1

. a (1- p)J; L8p 00

= -p(1- p)

j=1

como a soma existe, podemos trocar a ordem de operação entre somatória e derivação.

/84


Para avaliar outros cenários, calculamos o valor esperado de duas outras variáveis, correspondentes aos mínimo e máximo lucros possíveis. Sejam L; e Ls os respectivos limites inferior e superior para L . Assim,

Então, a~ . a 1-p E(X) = -p(1- p)- L....J (1- p)l = -p(1- p)- ( - ) ap j=l ap p

=

-1

E(L;) = (-15 X 0, 10) + (-7 X 0,55) + (-2 X 0,35) = -6,05. E(Ls) = 17 X 0,10+9 X 0,55 + 2 X 0,35 = 7,35.

1- p

-p(1- p) (-) = - ·

r

p

o Exemplo 4.6: Uma corretora aplica dinheiro de clientes na Bolsa de Valores e classifica as ações das empresas através do seu risco: alto, médio ou baixo. A evolução diária do lucro por ação, no último mês, apresentou os seguintes valores (em porcentagem sobre o valor unitário): Ações\ Lucro Alto Risco Médio Risco Baixo Risco

Mínimo

-15 -7 -2

Máximo

17 9 2

185

4.2 Valor Esperado

Esses dois valores indicam extremos que não são alcançados, pois existem diferentes ações em cada classificação. Por exemplo, nem todas de alto risco terão o mesmo desempenho, seja otimista ou pessimista. De qualquer forma, esses dois valores fornecem horizontes que auxiliam na tomada de decisões pela corretora. O

Exemplo 4.7: Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade dada por:

Média

P(x

3

_ )_ -X

-

PX

4

1, 5

A tabela se refere a um conjunto de ações de um mesmo tipo (preferencial ou ordinária, por exemplo) e seus valores foram obtidos em duas etapas. Na primeira, calculamos o mínimo, máximo e a média de cada ação ao longo do mês. Em seguida, obtivemos o mínimo, o máximo e a média das ações em cada classificação (alto, médio ou baixo risco). Em termos práticos, para um próximo período, a corretora escolheria algumas ações para manter e outras para descartar. Entretanto, vamos itir que o comportamento expresso na tabela acima será repetido nos próximos períodos. Estamos interessados em avaliar o desempenho da corretora, se sua carteira de aplicações em reais é de l 0% de ações de alto, 55% de médio e as restantes de baixo risco. Esse exemplo ilustra, de modo simplificado, alguns dos cálculos de interesse para empresas do mercado financeiro. O desempenho médio será simplesmente o valor esperado da variável aleatória L: lucro percentual para cada real aplicado em ações. Temos

( ) _ { 2lxl(!;l+l) ,X= - 1, - 2 , ... X 1 2x(x+l) 'X = 1• 2• '· ·

Inicialmente, vamos verificar que a expressão acima é, de fato, uma função de probabilidade. Temos O ~ Px(x) ~ 1 e 00

00

1

1

00

X

0,35 = 3,025.

segue ainda que -oo

-oo

x~lpx(x) = x~l

1 2lxl(lxl + 1)

com a conveniente substituição y probabilidade.

1

00

= 2~

1 y(y + 1) = ...

1 = 2'

= -x. Então Px(x) é uma função de

Para o valor esperado de X temos

E(X) =L xpx(x) x=-1

Dessa forma, a corretora pode projetar para o futuro, um lucro global de 3,025% sobre seus ativos em ações.

1

1 1 1 1 1 = 2[( 1 - 2) + (2- 3) + ... ] = 2;

-00

E(L) = 3 X 0,10 + 4 X 0,55 + 1,5

1

~px(x)=~2x(x+1) =2~(;- x+ 1)

00

+ LXPx(x). x=l

186

(


Para a parte positiva vem 00

(

00

1

X

00

1

1 1

187

4.2 Valor Esperado

esperados idênticos, sem isso significar igualdade no comportamento das variáveis.

1

~xpx(x) = ~ 2x(x + 1) = 2~ (x +I) = 2(2 + 3 + ···) = oo; pois a soma acima é parte da série harmônica, que diverge. Para a parte negativa, o cálculo é similar e resulta em -oo. Concluimos que não existe valor esperado nesse caso. D

ftx)

Definição 4.2: Valor Esperado para Variáveis Contínuas (

(

Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade Definimos valor esperado ou esperança matemática ou média de X por

f.

(

E(X) = J:xf(x)dx,

o

desde que a integral esteja bem definida.

D

Se a variável é limitada, o cálculo é feito sem ambiguidades e a existência do valor esperado está assegurada. No caso não limitado, podem aparecer situações indefinidas do tipo oo - oo, em que diremos que a esperança não existe. Alguns autores exigem que a integral do valor absoluto seja finita para existir o valor esperado. Note que, na nossa definição, não fazemos essa exigência e podemos ter esperanças com valor infinito (positivo ou negativo). Como podemos repartir a integral acima nos intervalos ( -oo, O] e (0, oo ), E(X) vai estar bem definida se a integral em pelo menos um desses intervalos, for finita; isto é

1:

xf(x) dx

< oo

ou

1

xf(x) dx

< oo.

A interpretação de E(X) para o caso contínuo é similar ao mencionado para variáveis discretas. O valor esperado é o centro de gravidade da distribuição da variável aleatória. Como ilustração, considere o gráfico da densidade apresentada na Figura 4.2. ita que o eixo x é uma barra sem peso e, apoiada nessa barra, temos uma massa com peso unitário, distribuída de acordo com a densidade de probabilidade. Não é difícil perceber que poderemos ter mudanças significativas no valor esperado, se alguma massa de probabilidade é deslocada para um valor muito alto ou muito baixo de x. Diferentes densidades podem produzir valores

JC

Figura 4.2: Centro de Gravidade t Valor Esperado- caso contínuo.

Exemplo 4.8: Seja X uma variável aleatória contínua com densidade dada por: f(x) =

1

1

4 J(-2,o)(x) + 4 J(2,4)(x).

Para o valor esperado temos,

1

00

E(X)

00

E( X)

=

- oo

xf(x) dx

=

1° x~ -2

4

dx

+

J2tx~ dx =

1.

Pelo gráfico de f(x), apresentado a seguir, notamos que o valor esperado é o centro de gravidade da distribuição. Para reforçar a interpretação do valor esperado considere, por exemplo, que as massas de probabilidade correspondentes aos intervalos [-2, O] e [2, 4] são deslocadas para, respectivamente, os intervalos [-3, -1] e [3, 5]. O ce~tro de gravidade permanecerá inalterado e, portanto, também o valor esperado. E claro que existem modificações que alterariam o valor esperado e serão discutidas mais ~~. D

188


I

ftx)

1/4

o,

X< O;

2

x j 4, (2x- 1)/4,

F(x) =

-(x2 1,

6x + 5)/4,

-

< 1; X< 2;

0 ::;

X

1 ::; 2 ::;

X ::;

X>

3.

3;

A função densidade é obtida por derivação de F nos respectivos intervalos. Assim: 1

o

-2

189

4.2 Valor Esperado

2

E(X)

4

f(x) = 2 x I[o,l)(x)

X

1

1

+ 2 I[1,2)(x)- 2(x- 3) I[2,3J(x).

Para o valor esperado temos

Figura 4.3: Função Densidade e Valor Esperado (Exemplo 4.8).

E(X) Exemplo 4.9: Seja X E( X)

rv

=100 o

Exp(a), a> O. Seu valor esperado será dado por:

xae-ax dx

=

-xe-ax 100 o

100 o

( -e-ax) dx

Exemplo 4.10: Sendo X média de X. Temos,

E(X) =

00

rv

N(J.L, a

2

),

1 a

D

_!(=)2 100 ay;;:;-::_+ J.L e-2YI 2ady, ;;:;-::_ e 2 • dx =

com a substituição y = ~. Segue então que

E( X) =

f(x) =

a1

;;:;-::_ V 2rr

~

y e-21Y2 dy

X

0 + J.L

X

v 2rra

1v

+ J.L

-oo

a

= --

00

+ i\~ dx

-1

3

3 x (x; ) dx

=~-

00

1 e-212 ;;:;-::_ Y dy -oo 2rr

1 = J.Lj

uma vez que, a primeira integral se anula por simetria e a segunda corresponde à integral da densidade N(O, 1). D

Exemplo 4.11: A variável contínua X tem função de distribuição dada pela expressão a seguir:

1 rr (1

+ x 2)

,-oo

<

x

= O e f3 =

< oo.

Para o cálculo do valor esperado, repartimos a integral em duas partes:

X

-oo

dx

Exemplo 4.12: Seja X uma variável Cauchy de parâmetros a densidade é dada por:

vamos verificar que o parâmetro J.L é a

1-oo v 2rra

=1x~ 1

xf(x) dx

Veremos que o cálculo do valor esperado pode ser feito diretamente, a partir da função de distribuição, com auxílio de uma expressão a ser apresentada. D

=-•

em que aplicamos integração por partes.

=I:

E(X)

=I:

Temos,

roo

lo

xf(x) dx

xf(x) dx

ro x

=lo

=I: 1

rr (1

1 00

xf(x) dx +

roo

+ x2) dx =lo

xf(x) dx;

2x 2rr (1

+ x2) dx

1 = -[ln (1 + x 2 )] 100 = oo; 2rr o de modo análogo, segue que

1. Sua

190


1:

xf(x) dx = -oo.

Dessa forma, o valor esperado não existe. Observe que a densidade Cauchy, com os parâmetros acima, é simétrica ao redor do zero, o que poderia induzir a tomar o zero como valor esperado. Entretanto, a definição de esperança exige que pelo menos uma das partes, em que foi repartida E( X), seja finita. O As definições de valor esperado para variáveis discretas e contínuas, apresentadas até aqui, respondem por boa parte dos casos práticos encontrados. Contudo, sabemos que existem outros tipos de variáveis. Lembremos que a caracterização da variável aleatória, através da sua função de distribuição, permitiu a unificação dos tratamentos com rigor matemático. Variáveis do tipo singular têm interesse principalmente teórico, mas o mesmo não podemos dizer do tipo misto. Por exemplo, uma variável mista seria adequada para descrever o tempo de espera para atendimento em um caixa eletrônico. Nesse caso, se não houver fila, esse tempo é zero; em havendo, esperamos um tempo aleatório, em geral modelado por uma variável contínua. Podemos unificar as expressões do valor esperado para os diversos tipos de variáveis, se utilizarmos a integral de Riemann-Stieltjes. Essa é uma forma elegante e freqüentemente utilizada nos textos intermediários de probabilidade. Não importa a integral que estejamos usando, sempre existirão funções que não serão integráveis ou por suas características ou pelo domínio usado. Trata-se, portanto, de discutir a conveniência do uso de uma ou de outra integral, a luz do que ela nos auxilia no desenvolvimento da teoria ou dos cálculos necessários. A discussão da caracterização das funções integráveis, nos vários modos de integração, é um assunto da área de Análise Matemática e não nos aprofundaremos nessa questão. O importante a destacar é que, em termos práticos, o cálculo de integrais pela definição quase nunca é feito e os vários modos de integrais recaem sempre numa soma ponderada ou numa integral de Riemann. Para introduzir a integral de Riemann-Stieltjes a leitores não familiarizados com ela, relembramos, inicialmente, as idéias da construção da integral de Riemann num intervalo finito [a, b]. O caso infinito é tratado, ando ao limite, os extremos de integração.

191

4.2 Valor Esperado

Seja h uma função limitada e considere intervalo [a, b]. Definimos, para Xi-1 ~ x ~X;, n

Xo, X1, • • ·, Xn

uma partição do

n

U(h ) = L

M; .ó.x; e L(h ) =L m ; .ó.x;;

i=1

i=1

em que M; = sup[h(x)] e m; = inf[h(x)] para x E [xi-1. x;], sendo .ó.:z:; _a amplitude desse sub-intervalo. As somas U e L dependem da part1çao considerada, entretanto, se, ao ar ao limite com a amplitude máxima dos subintervalos indo para zero, as quantidades U e L forem iguais, diremos que seu valor comum é a integral de Riemann da função h em [a, b]. Suponha, agora, que F é uma função monótona não decrescente (tal como a função de distribuição) e, nas mesmas condições anteriores, definimos n

Up( h) = L

n

M; .ó.F; e Lp(h) = L m; .ó.F;;

~1

~1

sendo .ó.F; = F(x;) - F(x;_ 1). Se Up e L p convergirem.para um mesmo. valor, quando as amplitudes de todos os sub-i~tervalos s~ a~roxtmam de zero, ~m:mos que 0 valor comum é a integral de Riemann-StteltJeS de h em relaçao a F. Observe que a integral de Riemann-Stieltjes segue os mesmos os ?a ~e Riemann, mas, ao invés dos comprimentos, a ponderação dos valores de h e fetta pela diferencial de valores de uma função F. Essa fu.nç~o ~ monó~ona e não decrescente e, em geral, é diferente de h. Para as pnnc1pa1s propnedades da integral de Riemann-Stieltjes, o leitor pode consultar Chae. [80], e~ que ~ambém podem ser encontradas infonnações similares sobre outros tlpos de m~e~rats. llustramos, a seguir, o uso dessa integral para calcular probablltdades. Seja X uma variável com função de distribuição F . Temos

1bdF(x )

=

F(b)- F(a)= P(a

< X ~ b);

em que estamos tomando a função h, mencionada acima, como sendo a constante 1. Observe que a integral feita no intervalo fechado [a, b] resulta na massa de probabilidade de X, no intervalo semi-aberto (a, b]. No caso contínuo, isso não fará diferença, mas é preciso ter atenção no caso discreto.

192


Sendo X uma variável aleatória contínua, a função de distribuição F é absolutamente contínua e temos

Exemplo 4.13: Seja X- Exp(>. ). Temos F(x) = 1- e-.\x, para x > Oe, assim,

1 3

com f sendo a derivada de F. Desse modo

(1- e-À)= e-À - e-3\

= F(3)- F(1) = {1- e- 3.\) -

dF(x)

dF(x) = f(x) dx

193

4.2 Valor Esperado

esse cálculo também poderia ser feito através da densidade da Exponencial:

1

1

dF(x) =

1 3

3

3

f(x) dx =

>. e-.\xdx =e-À- e-3\

e a integral de Riemann-Stieltjes é calculada através de uma integral de Riemann.

o

nesse caso, as duas últimas integrais são de Riemann.

Se X é uma variável discreta, temos

Exemplo 4.14: A variável X tem função de distribuição dada por ibdF(x) =L P(X

= x),

o, X<

a<x:5b

a

1'

= ~'

F(x)

com o cuidado de que a soma não inclua o valor do extremo inferior a.

{ 1.

Para qualquer X com função de distribuição F vale

1:

dF(x)

= F(b)- F(b -) = {~(X= b),

se X é contínua; se X é discreta.

Para calcular P(a <X< b), temos que exc1uir o valor b, no limite superior da integral. Assim,

=

1

dF(x)

dF(x) = F(oo)- F( a)= 1- F( a)= P(X >a); dF(x)

= F(oo)- F( -oo)

3;

;?: 3.

1

_ dF(x) 1

= F(1)- F(r) = 4.

Para calcular P(2 :::; X :::; 3), temos

1~ dF(x) = F(b)- F( -oo) = F(b) = P(X:::; b) ;

1:

{1

= 1) = )

= F(b-)- F(a).

Para os intervalos infinitos, o cálculo é análogo:

ioo

X

2;

Não é difícil verificar que X é uma variável aleatória discreta com valores 1, 2 e 3, com probabilidades, respectivamente, iguais a 1/4,1/2 e 1/4. Usando a integral de Riemann-Stieltjes, o resultado também pode ser obtido. Por exemplo,

P(X

b-

P(a <X< b)

'

1;

X< 2 ::S: X< 1 ::S:

= 1.

De novo, ressaltamos que é preciso ter cuidado em distinguir os casos contínuo e discreto, conforme veremos nos próximos exemplos.

3 1 {3 P(2:::; X:::; 3) = ) _ dF(x) = F(3)- F(T) = 1- 4 = 4· 2

Dessa forma, se desejarmos incluir o 2 no cálculo da probabilidade, a integral de O Riemann-Stieltjes deve ser tomada a partir de 2-, pois X é variável discreta. Tendo em vista o exemplo anterior, podemos estabelecer de modo geral que, se X é discreta com função de distribuição F, temos

fb dF(x) =L [F(x)- F(x-)], la

a<x::;b

em que a contribuição para a somatória será apenas nos pontos de salto de F.

,,~ f

194


195

4.2 Valor Esperado

fI

I

'

Exemplo 4.15: A variável X é do tipo mista e tem função de distribuição dada por

f

o,

I

-J:i (x 2 + 4x + 4),

' '

~(x+2), ~(x + 3),

F(x) =

I

I

-J:i(-x2 + Bx + 8), 1,

P(X

< 3) =

1

-

-

=

2

P(-1 :5 X :52)=

1

-1 -

4.

> 3/2) =

1

23

23

24

24

1

3 dF(x) = F(oo)- F(3/2) = 1-- = -· 4 4 ~

Se escrevermos F como a soma de duas funções de distribuições, uma discreta e uma contínua, podemos refazer o cálculo acima com o auxílio das propriedades da integral de Riemann-Stieltjes. É possível verificar que F pode ser escrita como:

o,

(

.

00

=

+ ~[F"c(3-)- Fac( -oo)] 3

15

-0] ![1-0]+~[ 3 16 3

23 No cálculo acima, utilizamos a aditividade no integrador e a agem de constantes para fora da integral, propriedades das integrais de Riemann-Stieltjes. O As demais probabilidades podem ser calculadas de modo análogo. Apresentamos, a seguir, outra definição de valor esperado, incorporando a nova forma de calcular probabilidades. A interpretação e as discussões sobre a existência permanecem as mesmas já apresentadas para os casos discreto e contínuo. Conforme já mencionamos, o valor esperado de uma variável será sempre o mesmo não importando a forma utilizada para o seu cálculo. Isso é garantido pela coerência entre as diversas definições. O que pode ocorrer em casos especiais (mais teóricos do que práticos) é que uma ou outra forma de calcular resulte em inexistência do valor esperado por problemas relativos à integração.

Definição 4.3: Valor Esperado- Integral de Riemann-Stieltjes

sendo

Fd(x) =

[ ~dFd(x) + [ 00 ~dF"c(x)

= 24°

19 1 20 dF(x) = F(2)- F(-r) = - - - = -; 24 24 24

00

P(X

3-

= ![Fd(3-)- Fd( -oo)] 3

dF(x) = F(3 ) - F(-oo) =--O= -;

-oo

2

1

J_oo [3dP(x) + 3dF"c(x)] 3-

Para o cálculo de probabilidad es procedemos de forma usual, conforme apresentamos a seguir: 3

[ 3-

P(X < 3) =

X< -2; -2:5 X< O; 0 :5 X< 1; 1 :5 X< 2; 2 :5 X< 4; X~

Temos, então

{· 1,~·

o, X< O; O :5 x X~

< 1; e F"c(x)

=

1;

X< -2; 2 , 4) + 4x -2:5 X< O; + fii(x i(x + 1) • 0 :5 X< 2; 2 Bx), + fB( -x 2 :5 X< 4;

1, Dessa forma, dF(x) = ~dFd(x)

+ ~dF"c(x).

X~

4.

Seja X uma variável aleatória com função de distribuição F. Definimos valor esperado ou esperança matemática ou média de X por

E(X) =

1:

desde que a integral esteja bem definida.

xdF(x),

o

-

196


Exemplo 4.16: A variável X é discreta e com função de distribuição F, apresentada a seguir:

o, l, 8

7

F(x) =

24' 13 24' ,1, 6

1,

X< -3; -3 $X< -1; -1 $X< 1; 1 $X< 2; 2 $X< 3; X~ 3.

=

1:

Então

1

00

19

Exemplo 4.17: A variável X é contínua com a seguinte função de distribuição:

= { ~'- e4- 2x,

-oo

xdF(x)

X~

após a conveniente troca de x por y - 2.

X< -2 OU X~ 4;

!(x+2 ),

-2::; X< O;

2

X- rc(x)

-oo 3

dx

0 $X< 2; 2 $X< 4.

h

o

Exemplo 4.18: Vamos calcular o valor esperado para a variável mista do Exemplo 4.15. Usaremos a decomposiçã o já apresentada de modo que:

1 4

2

1 x(-x+4)dx 12

Concluímos que

1

2.

=

01 -xdx+ -x(x+2)â x+ 121 = o 6 -212 = 2/3.

E(X) = 6

= {oo x2e4- 2xdx = {oo (y + 2) 2e- 2Ydy = 5/2;

h

1 1

00

=

X< 2;

A variável X corresponde a restrição da Exponencial de parâmetro 2 em valores maiores ou iguais a 2. Para calcular o valor esperado, usaremos que dF(x) = 2é- 2x If2,oo)(x) dx e, portanto, temos: 00

2 x -dFac(x)

-oo 3

Esse valor pode ser confirmado via a expressão da média para o caso discreto. O Nesse caso, obtém-se primeiro a função de probabilidad e e depois a média.

F(x)

o, l(-x+4),

6

8

1

1

11

1 2.

1 3

= -[0 X-+ 1 X 2J = 6'

{ 4'

1

=

1 -dFd(x) 3 -oo X

rc(x) =

7 1 1 1 = (-3) X - + (-1) X-+ 1 X -4 + 2 X-24 + 3 X-=-· 6 24

E(X)

00

1

=:_oo~
x dF(x)

Assim, para a parte discreta, vem

Para a parte contínua, calculamos antes a densidade. Derivando pac, obtemos:

Para a média de X temos

E( X)

197

4.2 Valor Esperado

2

+ -3 =

5/6.

Conforme veremos, em proposição a ser apresentada na Seção 4.4, o cálculo do valor esperado poderá também ser feito de urna forma direta, sem necessidade de O obter a decomposição da função de distribuição, Se a variável tiver parte singular, ainda podemos usar a integral de Riernann-Stiltjes, mas o cálculo é bem mais complicado. É preciso usar a definição da integral e aplicá-Ia em sucessivas etapas, seguindo os similares aos utilizados na construção da função de distribuição singular (ver Capítulo 3). Exercícios da Seção 4.2: 1. Verifique que o valor esperado do modelo Hgeo(m, n, r) é rmfn. Nesse modelo n é o número total de objetos na população, dos quais m são do tipo I e os r~stantes são do tipo I I e r é o tamanho da amostra retirada sem reposição. A variável do modelo é o número de objetos do tipo I na amostra.

198


2. Seja A um evento qualquer no espaço de probabilidade (0, :F, P). Mostre que P(A) = E(IA).

O, xy,

3. O vetor aleatório (X, Y) é um ponto escolhido ao acaso no quadrado de vértices (0, 0), (1, O), (1, 1) e (O, 1). Obtenha o valor esperado de E(IA), sendo que A= {(x, y): (x- 2 + (y- ~) 2

Fx,y(x, y) =

x, y, 1,

$H·

V

199

4.3 Valor Esperado- Integral de Lebesgue-Stieltjes

se x < O ou y < O; se O $ x < 1, O $ y < 1; se O $ x < 1, y 2: 1; se x 2: 1, O $ y < 1; se x 2: 1, y 2: 1.

4. Determine E( X), sendo a função de distribuição da variável X dada por:

F(x) =

O, 1/2, 5/8, 7/8, 1,

se x < -2; se -2 $ x < O; se O$ x < 1; se 1 $ x < 2; se x 2: 2.

5. A função de distribuição da variável X é dada a seguir. Obtenha E( X).

o, F(x) =

{ ~~~: 1,

se x
6. Seja X uma variável aleatória contínua com densidade de acordo com o modelo Gama de parâmetros a e /3. Obtenha o valor esperado de X. 7. A variável aleatória X segue o modelo de Weibull, isto é, sua densidade é dada por f(x) =a>. xa-l e-Ax" I(o,oo) (x), a,>.> O. Obtenha a média de X.

8. Calcule o valor esperado de X com função de distribuição:

o, F(x) =

-(x2 - 1)/4, (x 2 + 1)/ 4, 1/2, 1,

sex < -1; se -1 $ x
9. Determine E( X) e E(Y), sendo a função de distribuição de (X, Y) dada por:

10.

Seja

X

simétrica

ao

redor

de

uma

constante

a,

isto

é,

P(X 2: a+ x) = P(X $a- x) Vx E R ita, ainda, que X é contínua e que E( lXI) < oo. Mostre que E( X) = a.

4.3 Valor Esperado- Integral de Lebesgue-Stieltjes Pela natureza mais abstrata desta seção, ela pode ser considerada opcional para os leitores que desejam um tratamento menos formal dos conceitos de valor esperado. Vamos apresentar uma definição teórica e abstrata de valor esperado que dá conta de casos gerais. Iniciamqs com uma breve descrição sobre modos de integração. A idéia de valor esperado está associada a uma soma ponderada dos valores da variável pelas respectivas probabilidades. De modo geral, a integral é uma operação matemática que também pode ser vista como ponderação de valores. Portanto, nada mais natural do que existir uma estreita relação entre valor esperado e integral. A construção de integrais abstratas, tais como as integrais de Lebesgue e de Lebesgue-Stieltjes, é feita com o auxílio da Teoria da Medida, uma parte importante da área de Análise Matemática. Sendo n um conjunto qualquer, :F uma a-álgebra de subconjuntos de n e M uma função dos elementos de :F em JR, denominamos (0, :F, M) de espaço de medida. A função M é denominada medida e satisfaz propriedades similares às de probabilidade. É imediato reconhecer que um espaço de probabilidade é um particular espaço de medida. Os comentários, a seguir, ajudam a compreender a motivação para o cálculo do valor esperado através de integrais abstratas, ao invés do uso da integral de Riemann ou Riemann-Stieltjes. As construções das integrais de Riemann e Lebesgue são baseadas em diferentes idéias. Na teoria de Riemann, que origina a integral de RiemannStieltjes, o domínio lR é particionado em sub-intervalos disjuntos. Para a integral de Lebesgue, é o contra-domínio que é particionado primeiro e a partir daí, através da imagem inversa, a divisão do domínio é obtida. Como conseqüência, a integral de Riemann é mais afetada pelas descontinuidades da função a ser

__.. II 200


integrada. Nesse sentido, a integral de Lebesgue seria mais robusta e poderia existir para várias funções que não são Riemann integráveis. É preciso ter cuidado com algumas afirmações sobre a generalidade da integral de Lebesgue. Poderíamos ser levados a acreditar que toda função Riemann integrável também é integrável no sentido de Lebesgue. Para funções com certas propriedades, essas integrais coincidem. Entretanto, existem situações em que um tipo de integral existe e o outro não. O leitor pode consultar Chae [80] para uma apresentação mais formal e outras questões sobre o relacionamento entre elas. A integral de Lebesgue de uma função f qualquer é obtida em etapas. Inicialmente tratamos com funções simples ou em escada que são funções positivas com um número finito de valores diferentes. Nesse caso, a integral é definida pela ponderação de valores da função pela respectiva medida associada à imagem inversa desses valores. A integral é estendida para funções positivas, usando o fato destas serem limites de funções simples. Finalmente, para uma função qualquer, definimos a integral de Lebesgue como a diferença da integral de suas partes positiva e negativa. A integral de Lebesgue-Stieltjes usa as mesmas idéias construtivas da integral de Lebesgue, mas a medida utilizada na integração é obtida a partir de uma função monótona não decrescente. Essa função pode, em particular, ser a função de distribuição de uma variável aleatória qualquer, revelando, dessa forma, o porquê do uso dessas integrais na definição de valor esperado. Em resumo, podemos dizer que para a Teoria das Probabilidades, a vantagem no uso de integrais do tipo Lebesgue refere-se a permitir domínios abstratos para as variáveis aleatórias e permitir a integração de um maior número de funções não contínuas. A definição a ser apresentada considera o valor esperado como uma integral de Lebesgue-Stieltjes aplicada no espaço de probabilidade ( n, :F, 'P). A medida de integração é obtida da função de distribuição da variável aleatória. Seguindo os os da construção teórica dessa integral, percorremos três etapas para definir valor esperado no caso geral. Iniciamos, definindo o valor esperado para variáveis aleatórias discretas simples, isto é, variáveis aleatórias que são discretas, não negativas e com um número finito de valores diferentes. Nesse caso, o valor esperado é a soma de produtos de valores da variável pela respectiva "medida" de probabilidade. Em seguida, definimos a esperança de variáveis não negativas como limite da esperança de variáveis simples. A terceira etapa é obter o valor esperado para uma variável aleatória qualquer não importando o seu sinal. Nesse caso, tomamos E{X) = E(X +) - E{X -), sendo


201

X + e X - variáveis aleatórias não negativas tais que X = X+ - X - (ver Capítulo 2). Em cada etapa são provadas diversas propriedades como linearidade e multiplicação por constante, entre outras. As propriedades de uma etapa embasam a definição da etapa seguinte. Como já mencionamos, esse é o caminho utilizado para definir integrais mais gerais, mas é também um modo conveniente de provar que uma certa propriedade das integrais vale num caso geral. Se o valor esperado a ser calculado se refere a uma função de variável aleatória, o mesmo procedimento é utilizado. Definição 4.4: Valor Esperado para Variáveis Discretas Simples Seja X uma variável aleatória discreta simples em (O, :F, 'P) , isto é, k

X (w) =E x; IA;(w) com x; ;::: O, Vi, k E N e A1, A2, .. ·, Ak sendo eventos que i= l

n.

formam uma partição do espaço amostrai esperança matemática ou média de X por

Definimos valor esperado ou

k

E( X)

=

In X dP = ~ x; P(A;),

em que a medida dP é obtida a partir de F (função de distribuição de X) e, para A;= {w E O : X(w) = x;}, temos P (A;) = F(x;)- F(x;). O A representação de uma variável discreta simples é única, se exigirmos que os valores x; 's sejam distintos. Entretanto, caso não sejam, pode-se demonstrar que o valor esperado não se altera com diferentes representações da mesma variável (ver exercício no fim desta seção). Ressaltamos que a Definição 4.4 não permite calcular o valor esperado de uma variável discreta qualquer, pois esta poderia ter valores negativos, ou ainda, um número infinito de valores diferentes. Um caso já resolvido com o uso da definição acima, é o de calcular o valor esperado da função indicadora de um evento. Nesse caso, teríamos

E(!A)

= P(A), para qualquer A E :F.

Apresentamos, a seguir, algumas propriedades básicas para o valor esperado de variáveis discretas simples.


202


203

Para o item (iii), observe que x; 2: Yi sempre que A;

Proposição 4.1:

Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas simples em (O, F, P) e a, b 2: O. Temos: (i) E(aX + b) = aE(X) + b; (ii) E( X+ Y) =E( X)+ E(Y); (iii) Se X 2: Y em O, então E( X) 2: E(Y). Demonstração:

Vamos considerar que, nas condições da definição de variáveis simples, r

k

temos as representações: X(w)

=I: x; fA.(w)

e Y(w)

i=l

= LYi IBj(w).

Para

j=l

aliviar a notação, omitiremos w das expressões. Para verificar (i), observe que aX + b é uma variável discreta simples que assume o valor ax; + b no conjunto A;. Segue então que

E(aX + b)

= fn(aX + b)dP = t(ax; + b)P(A;) = k

k

E( X) = L

r

n BJ) 2: L

i=l j=l

O

No restante do capítulo, alguns resultados anunciam sua validade para todo w E O. Poderíamos enfraquecer as afirmações, requerendo que os resultados fossem válidos em conjuntos de probabilidade 1 (não necessariamente o O). Assim, o resultado seria válido para quase todo w E O, indicando que é verdadeiro em todos os pontos de n exceto em um conjunto de probabilidade zero. Proposição 4.2:

Suponha que XI, x2, ... e y são variáveis aleatórias discretas simples em (f!, F, P) tais que, quase certamente em n, O~ X1(w) ~ X2(w) ~ ··· e O~ Y(w) ~ limXn(w). Então, n-+oo

E(Y)

tt

(x; + Yi)P(A;

r

k

n B 1)

lim E(Xn).

n-+oo

f > O e n E N, considere An(w) = {w;Xn(w) +f> Y(w)}. A seqüência de eventos An é monótona não decrescente e u An = n. Salvo seja Sendo

00

n=l

indispensável, omitiremos a menção a w nas expressões abaixo. Para todo n positivo, temos a seguinte desigualdade:

Xn IA,.

r

k

= L L x;P(A; n Bi ) +L LYJP(A; n Bi) i=l j=l

~

Demonstração:

i=l

= k(X + Y)dP =

n Bi) = E(Y).

Isto completa a demonstração.

k

uma vez que os A; 's formam uma partição de n. Para a demonstração de (ii), observamos que X + Y também é uma variável aleatória discreta simples com valores x; + Yi em A; n BJ· Assim,

E(X + Y)

LY;P(A;

i=l j=l

= Lax;P(A;) + LbP(A;) = aE(X) + b, i=l

r

k

L x;P(A;

n Bi =J 0, então,

+ fiA,. 2: Y

IA,.,

que implica em

i=l j=l

=E( X)+ E(Y), Observe que Xn 2: Xn IA,. e portanto, E(Xn) 2: E(Xn IAJ· Além disso, temos E(dAJ = fE(IAJ ~f. Então,

que decorre de reescrever X e Y da seguinte forma: k

r

k

r

X= LLx; IA,nBj e Y = LLYJ IB1nA., i=l j=l

pois os A;'s e B/s formam partições de n.

i=l j=l

E(Xn) 2: E(Y IA..)-

f.

(1)


204

4.3 Valor Esperado-Integral de Lebesgue-Stieltjes

205

r

E y1 IBi

Suponha que Y =

g,(x)

seja a representação dessa variável.

j=1

Lembrando que A 1. A 2 , ···,Ar formam uma partição de O, temos r

r

Y lA,.= LYilBJA,. = LYilBinA,.· j=1

j=1

Assim,

I ········--········································-······-·······································- - - - -

r

E(Y IA.) = L

Yi P(Bj

n An)·

-·· ·••---oo

112

j=1

Observe que, para cada j fixado, a seqüência de eventos Bj n An é não decrescente em n . Logo, pela continuidade da probabilidade, temos que lim P(Bi nA,) = P(Bi )· Então,

n->oo

Figura 4.4: Função 01(x).

r

lim E(Y lA,,)= "' Yi P(Bi) = E(Y ). ~

n --t- oc

j=1

gjx)

Aplicando esse resultado na expressão (1) e ando ao limite, obtemos lim E( X,) 2:: E(Y ) -

n->oo

que, valendo para todo

f

> O,

f,

···········--······-·--· ··-· ·-·----···-···---·-·······--······--···--...--714 -·-···················-··

implica lim E( X,) 2:: E(Y ) e isto completa a n->oo

o

demonstração.

A próxima proposição indica que uma variável não negativa pode ser aproximada por uma sequência monótona de variáveis discretas simples. Esse resultado é fundamental para a tarefa de expandir a definição de valor esperado. Antes de enunciar a proposição, vamos apresentar um exemplo ilustrativo da aproximação a ser efetuada.

Exemplo 4.19: Considere a função quadrática f( x) = x 2 para x 2:: O. Com o objetivo de aproximar f por funções simples, definimos 9n ( x), n 2:: 1: 9n ( X )

(k-1)

_

-

{

""2" se n se

(k- 1)
<

Fk , k_ 1, 2, ... , n 2"·,

Os gráficos de 9 1 e 92 são apresentados nas figuras a seguir.

31:!

····-·········----..-6

S/4 ··········-···· - ······•·····• ···-···

···· ~

I ······ 3/4 .

... · -

112 114 ······--

. . ·············

·..-...<> i .

.,..._._o

···-- ~

112

&

..fjfz

1

..JS12

.J612 ..J'In

,f!

Figura 4.5: Função 02(x).

Dessas figuras, podemos perceber como a construção sucessiva da aproximação é feita. Sugerimos ao leitor fazer o gráfico de 93 • O

206


Proposição 4.3: Suponha que Y é uma variável aleatória não negativa em (n, F , P ). Então, existe uma seqüência monótona { X n : n ~ 1} de variáveis aleatórias simples em (n, F, P) tal que: lim Xn(w) = Y(w), w E

n->oo

n.

Demonstração: Para obter uma sequência de variáveis simples, vamos dividir os valores de Y em intervalos com extremos racionais da forma:

com n, k E N, 1 :::::; k :::::; 2n e n

~

1 fixado.

Para n = 1, 2, · · ·, considere os seguintes conjuntos de n:

Ant

= {w E

An = { w

E

k-1 ::S Y ( w) < n:~

k} n , 1 :::::; k ::S n 2n; 2

n : Y (w) ~ n }·

Tendo em vista que Y é variável aleatória, os conjuntos acima são eventos, isto é, pertencem a 0'-álgebra F. Podemos, então, definir uma seqüência de variáveis aleatórias discretas simples da seguinte forma:

207


representando a união disjunta de dois intervalos, com amplitude 2}+ 1 • Esses intervalos podem ser usados na construção de Xn+l (w) e, para o wo considerado, podemos ter duas opções distintas de valores para X n+1 ( w0 ). Elas correspondem aos extremos inferiores dos intervalos acima. Em ambos os casos, esses valores são maiores ou iguais ao de X n(wo). Logo concluímos, X n :::::; Xn+1 em Ant· Tomemos agora wo E An, logo Y(wo) ~ n e Xn(wo) = n. Lembremos que, para Acn+l)k• os valores de k vão até (n + 1)2n+l , isto é, k

= 1, 2, · · ·, n2n+l, n2n+l+ 1, n2"+1 + 2, .. ·, (n + 1)2n+l_ 1, (n + 1)2n+l.

Observe que, para k = n2n+l + 1, o limite inferior para o valor de Y , no correspondente Acn+l)., é igual a n. Para avaliar o comportamento de Xn+l(wo), precisamos considerar se o valor de Y (w 0 ) é menor, ou não, que n + 1. Se temos n:::::; Y (wo) < n + 1, então wo pertence a um dos eventos A(n+l)t• com o índice k sendo inteiro e compreendido entre n2n+l + 1 e (n + 1)2n+l - 1. Assim, podemos escrever Xn+l(w0 ) na forma n + ~ para algum j = O, 1, 2, ... , 2n+l - 1. Logo, vale Xn(wo):::::; Xn+l(wo) nesse caso. Supondo Y (wo) ~ n + 1, temos Xn+1(wo) = n + 1 > Xn(w 0 ) pela definição dessa variável. Então, segue que X n : : :; Xn+l em An. Concluímos, assim, a verificação de que a seqüência é monótona não decrescente. Isto é,

Xn(w) ::S Xn+I(w) ::S Y(w), Vn

E N,

w E n.

lim Xn(w), Como seqüências monótonas têm limite, 'I'11:arantimos a existência de n~oo Vamos verificar que essa seqüência é monótona não decrescente em n. Para Wo E Anp com k e n fixados, temos

[ k;.l :::::;

Y (w 0 ) <

f.; J, que é equivalente a

[;~.:;} :::::; Y(w0 )

< 2~~I].

Este intervalo pode ser reescrito como 2k-2 [ 2"+1 ~ Y(wo)

<

2k - 1] [2k-1 2n+l U 2n+l ~ Y(wo)

limite é infinito. Se, para algum w, Y (w)

lim Xn( w) = Y(w). Isto vale pois, < oo, temos n-.oo

para n suficientemente grande, I Xn(w) - Y(w) l <

- (k- 1) X n (Wo ) 2n e ainda

Vw E n. É bom notar que, eventualmente, pode existir algum w em que esse

f,..

Por outro lado, se para algum w, Y(w) = oo, então Xn(w ) = n para todo lim Xn(w) = oo = Y (w). n. Dessa forma, para esse w, n-.oo Em resumo, temos que lim Xn(w) = Y (w), Vw E n e a proposição está n->oc

demonstrada.

<

2k] 2n+l ,

D


208

Definição 4.5: Valor Esperado para Variáveis Não Negativas Seja X uma variável aleatória não negativa em (0, :F, 'P). Definimos valor esperado ou esperança matemática ou média de X por

E(X) =

limE(Xn),

n---+oo

em que {Xn : n >O} é uma seqüência monótona não-decrescente de variáveis aleatórias simples no mesmo espaço de probabilidade e tal que temos a O convergênciaXn(w)-+X(w), \:fw E O.

É possível verificar que o valor de E(X) não depende da seqüência de variáveis aleatórias simples utilizada para ar ao limite. Também não é díficil provar que, no caso de X ser uma variável aleatória simples não negativa, as duas definições até agora apresentadas, produzem o mesmo valor.

Proposição 4.4: Suponha que X e Y são variáveis aleatórias não negativas em (0, :F, 'P) . Então, para todo a, b E JR; a, b ~ O. Temos: (i) E(aX + b) = aE(X)

(ii) E(X + Y)

+ b; = E(X) + E(Y) ;

209


(iii) Sendo X - Y não negativa, pela parte (ii), temos:

E( X) = E( X- Y)

+ E(Y)

~

E(Y). D

Isto completa a demonstração.

Consideramos agora que X é uma variável aleatória qualquer em (0, :F, 'P). Suas partes positiva e negativa são variáveis aleatórias não negativas no mesmo espaço de probabilidade. Dessa forma, X = x + - x- com

x+ = !(lXI +X)= {X, 2 O,

x- = !(IXJ-X) = 2

{-X, O,

X~ O; X< O.

X:::; O; X > O.

Pela definição e pelas propriedades da esperança para o caso de variáveis não negativas, o caso geral pode agora ser definido sem dificuldade a partir das etapas anteriores ..

Definição 4.6: Valor Esperado-Caso Geral Seja X uma variável aleatória qualquer em (0, :F, 'P). Valor esperado ou esperança matemática ou média de X, se existir, é dado por

(iii) Se X ~ Y em O, então E( X) ~ E(Y).

Em termos de notação é comum indicar a esperança como

Demonstração: (i) Seja {Xn : n > O} uma sequencia monótona não-decrescente de variáveis aleatórias simples tal que X 11 -+X. A seqüência {aX 11 + b : n > O} também é uma sequência monótona não-decrescente de variáveis aleatórias simples e pode-se verificar que (a X n + b ) -+ (a X + b) . Considerando que vale E(aXn + b) = aE(Xn) + b, o resultado segue pela agem ao limite. (ii) Sejam {Xn : n > O} e {Y;, : n > O} duas seqüências monótonas nãodecrescentes d~ variáveis aleatórias simples tais que, respectivamente, X 11 -+ X e

Yn-+Y. Defina uma nova seqüência {Xn + Yn : n > O}. Essa seqüência também é de variáveis aleatórias simples e é monótona não decrescente. Temos

E( X+ Y) = lim E(Xn n-+oo

+ Yn) = n----.oc lim [E( X n) + E(Yn)] = E( X )+ E(Y).

E(X) = fnx(w) dP(w) ; que é uma integral de Lebesgue-Stieltjes.

D

A existência de E(X) depende de E(X+) e E(X-) não serem simultaneamente iguais a infinito, o que causaria uma indeterminação. Se apenas uma das partes de X tem esperança infinita, o valor esperado existe. Ele será igual a + oo se E(X+) = oo e E(X-) < oo; por outro lado, teremos E(X) = -oo se E(X+) < oo e E(X-) = oo. A definição no caso geral é coerente com as anteriores, ou seja, se a variável for simples todas as três definições são aplicáveis e dão o mesmo valor. O mesmo ocorre para variáveis não negativas, em que duas definições são aplicáveis.

• r -·

210


211

4.3 Valor Esperado-Integral de Lebesgue-Stieltjes

Do ponto de vista prático, para a grande ma10na das variáveis de interesse, o cálculo da esperança é feito pelos procedimentos da seção anterior. Entretanto, para a verificação de resultados teóricos é conveniente utilizar a definição de valor esperado via a integral de Lebesgue-Stieltjes. O importante a ressaltar é que, se a esperança de uma variável aleatória existe em mais de uma das definições apresentadas nessa ou na seção anterior, ela coincide em todas elas. Os exemplos a seguir ilustram essas situações.

expressão que acabamos de obter temos

Exemplo 4.20: Suponha que X é uma variável aleatória discreta em (n, :F, P) e vamos obter seu valor esperado através da definição apresentada nesta seção. A seqüência A1, A2, ··· é uma partição de eventos de n tal que a variável X vale Xn em An. Assim, temos

Se pelo menos uma dessas esperanças for finita, a esperança de X existe e é dada por

P(X = Xn) = Pn = P(An). n = 1, 2, .. ·; sendo que os valores de X não precisam ser distintos entre si e podem ter qualquer sinal. Inicialmente, seja X ~ Oe definimos k

xk = x IA[ + x IA + ... + x IAk = 2.:: x IAÍ , k = 1, 2, .... 2

í=l

A variável Xk é zero no complementar de

ÓA; e, portanto ' temos í=l k

E(Xk)

=

Ex;p;. i=l

Como X1, X2, · · · são variáveis aleatórias discretas simples com .. ·e Xk-+X para k-+oo, podemos aplicar a definição de valor esperado para variáveis positivas e obter

O:::; X1:::; X2:::;

00

E(X+) = E xi p;; í=l 00

E(X-) = L XiPi· í=l

00

E( X) =E( X+) -E( X-) = L x;p;. í=l

Esse resultado coincide com a definição de valor esperado para variáveis discretas, apresentada na seção anterior. D

Exemplo 4.21: Seja X uma variável aleatória contínua em (0, :F, P), com função densidade de probabilidade f. Nesse caso a medida de probabilidade é calculada a partir da função densidade e temos

dPx

= f(x) dx.

Para uma função g de X em IR, se E[g(X)] existir, temos

E[g( X)] =

i:

g( x)

Em particular, obtemos o valor esperado de X, se g for a função identidade. A técnica de demonstração segue os os da construção da integral de Lebesgue-Stieltjes. Inicialmente, considere g uma função simples com distintos valores a 1, a 2 , • • ·, am· Definimos para i= 1, 2, · · ·, m: A;= {x: g(x) =a;} e B;

E(X)

=

""

E x;p;. i=l

Se a série divergir, o valor da esperança pode ser igual a oo. Consideremos, agora, o caso em que X pode ter qualquer sinal. Definindo x+ e x- de forma usual, elas serão variáveis discretas não negativas e pela

f (x) dx.

= {w: g(X(w)) =a;}.

Observe que os A;'s formam uma partição dos reais e A; E B(JR). Temos, 1(A;) E :F. também, B; = {w: X(w) E A;}=

x-

212


Segue então que

1:

Se pelo menos uma das esperanças acima for finita, então, m

E(9(X))

213

4.4 Propriedades do Valor Esperado

=L ai P(B;)

E(9(X)) = E(9+(X))- E(9-(X)) =

i=l

9(x)j(x) dx;

m

resultado que coincide com a definição apresentada na seção anterior.

= 2:a;P(X- 1 (A;)) i=l

=f; =f;

D

Exercícios da Seção 4.3: k

a; L/(x)dx

l.A variável discreta simples X tem duas representações, X(w) = L:;x;IA;(w) i=l

i;9(x)j(x) dx (pois 9(x) =a; em A;)

r

ou X(w)

=I:: Yi IBi(w), em que os A;'s e B/s formam uma partição de O. j=l

Mostre que o valor esperado é o mesmo, não importando a representação usada para calculá-lo.

= 1:9(x)j(x)dx. Sendo 9 não negativa, sejam 91,92 , ···funções simples que formam uma seqüência monótona não decrescente que converge para 9· Nessas condições, pela definição de valor esperado para variáveis não negativas temos

E(9n(X))--+ E(9(X) ).

2. Sejam X e Y variáveis quaisquer em (0, :F, P), tais que X ~ Y em O. Com as definições apresentadas nesta seção, mostre que E( X) ~ E(Y). 3. Sejam Xt, X 2 , • • ·Xn variáveis aleatórias quaisquer em (0, :F, P), com esperanças finitas. Usando as definições apresentadas nesta seção, mostre que n

n

vale E(L:;X;) = L:;E(X;). i=l

Então,

1:9n(x)f(x) dx--+ 1:9(x)j(x) dx,

i=l

4. Seja X uma variável qualquer em (0, :F, P). Com as definições apresentadas nesta seção, mostre que E( X) é finita se, e só se, E( lXI) for finita. S. Seja X uma variável aleatória qualquer em (0, :F, P). ita que E( X) é finita. Usando as definições apresentadas nesta seção, mostre que

e, portanto, concluímos

IE(X)I ~ E(IXI).

E(9(X)) = 1:9(x)j(x)dx. Se 9 é uma função que pode tomar qualquer sinal, calculamos a esperança das partes positiva e negativa de 9· Assim,

6. Sejam X e Y variáveis aleatórias quaisquer em (0, :F, P), com E(Y) finita e lXI ~ Y em O. Com as definições apresentadas nesta seção, mostre que E( X) é finita.

4.4 Propriedades do Valor Esperado E(9+(X))

= 1:9+(x)j(x)dx

existem pelo caso anterior.

e E(9-(X))

= 1:9-(x)j(x)dx,

Esta seção e a de exercícios ao final do capítulo vão utilizar a definição de esperança dada pela integral de Riemann-Stieltjes. Muitas das propriedades apresentadas são decorrências diretas de resultados válidos para essa integral. O próximo resultado é muito útil, pois possibilita a obtenção do valor esperado de uma variável aleatória qualquer, como a diferença de duas integrais de Riemann.

214


então, ando ao limite para b-+ oo , obtemos

Teorema 4.5:

1

00

Seja X uma variável aleatória com função de distribuição F e cujo valor esperado existe. Então, E(X)

215


=

1:

1

00

xdF(x)

=

[1- F(x)] dx -1:F(x)dx.

xdF(x) 21c[1-F(x)]dx,

e, agora, com c -+ oo segue que

Demonstração: (

Vamos verificar que, dividindo o intervalo de integração do valor esperado em duas partes, temos as seguintes igualdades:

(

00

f

lo (

Das desigualdades ( 1) e (2), concluímos que

00

lo

- oo

1

-oo

daí o resultado seguiria imediatamente. Aplicando integração por partes (ver Clarke [75]), temos para b > O,

fo\dF(x)=F(b)b-F(O)o-fobF(x)dx

= fob[F(b)-F(x)]dxS, fob[1-F(x)]dx

00

00

xdF(x)= { [1-F(x)]dx e !o xdF(x)=-!° F(x)dx;

xdF(x)= 1

[1-F(x)]dx.

Para a parte negativa, usamos um procedimento similar. Seja b < O, aplicando integração por partes, temos

1°xdF(x)=F(O)O-F(b)b-1°F(x)dx; ando ao limite, para b-+ -oo, obtemos

e, ando ao limite para b-+ oo,

1:xdF(x) = -1:F(x)dx, D

e isto completa a demonstração. (

(

(

Considere, agora, c> O tal que c< b. Temos

fob xdF(x) = fob[F(b)- F(x)] dx

Exemplo 4.22: Para X"' Geo(p), obtivemos sua média no Exemplo 4.5 .e. agora, vamos recalculá-la com o uso da nova expressão obtida no teorema acima. Sua função de probabilidade é dada por P(X = j) = p(1- p)i, j =O, 1, 2, · ...

(

(

;:::foc [F(b)- F(x)] dx ;:::foc[F(b)-1]dx+ foc[1-F(x)]dx

2 c [F(b)- 1] + foc [1- F(x)] dx;

Para k inteiro e positivo, temos k

F(k)

= P(X 5: k) = I>(l- p)i = j=O

1- (1- p)k+l,

_..

f

216

I

e, portanto, a função de distribuição pode ser escrita como

F(x)

= { ~·- (1- p)k+l,

X< O; X 2: 0, k $X< k + 1, k E N.

Exemplo 4.24: A variável X do Exemplo 4.15 é do tipo mista e sua função de distribuição é reapresentada a seguir:

o,

Como não temos valores negativos, a média será

1

F(x)

00

E(X) =

(1- F(x)Jdx

={;A =

(

(1- F(x)] dx

(1 - p)k+1 = (1- p)' E(X)=

o

conforme obtido anteriormente.

o, { 1,-fs(x + x- 2), 2

1

1 $X< 4; X

2:4.

X

2: 4.

(1- F(x)] dx

1 4

1 2 = dx + (x + x- 20)dx + lo 1 18 3 2 1 x x 14 11 = 1 - 18 ( 3 + 2- 20x) 1 = 4'

1

[1-F(x)Jdx- I:F(x)dx

1r

Observe que esse valor já havia sido obtido antes. Entretanto, agora, calculamos o valor esperado sem a necessidade de obtermos a decomposição nas partes contínua e discreta. O

00

f\

2$ X< 4;

12

X< 1;

A variável só tem valores positivos, logo, E(X) =

i4(

1,

1(4-x)d 12(3-x)d x+ x+ 6 o 6 1 2 2 + (16 + x - 8x) dx- !o (x + 4x + 4) dx 24 -2 24 5 = -· 6

=

Exemplo 4.23: A variável aleatória X tem densidade dada pela expressão: f(x) = fs(2x + 1)J[1,4J(x). Para sua função de distribuição temos

=

0$ X< 1; 1$ X< 2;

O;

00

p

k=O

F(x)

X< -2; -2 s X<

i4(x 2 + 4x + 4), ~(x+2), ~(x+3), -x2 + 8x + 8),

Para o valor esperado temos

f

(

=

rk+1

00

217



1

00

Odx

4

Vamos formalizar, na próxima proposição, alguns resultados aplicados nos exemplos acima.

Proposição 4.6: Seja X uma variável aleatória com valores não negativos, então,

1 (100

Note que, apesar de F(x) ser zero no intervalo (0, 1], a expressão alternativa do valor esperado recebe contribuição positiva, pois integramos 1- F(x) , no referido intervalo. O

E(X) =

F(x)] dx =

1oo P(X >

x) dx.

Se, além disso, a variável for discreta com valores nos inteiros não negativos, temos 00

00

E(X) = LP(X > k) = LP(X 2: k). k=O

k=1


218

Demonstração: E(X) =

Se a variável for não negativa, então F (x ) =O para x
1 1

00

[1-F(x)]d x - l : F(x )dx

1

[1-F(x)]dx

00

[1- F(x)] dx

00

=

rk+l

= L:l1-F(k)]

00

=

1oo P(X > x ) dx

=~Jk

00

E(X)=

219


P(X > x ) dx;

e isto demonstra a primeira parte da proposição. Para X discreta com valores inteiros não negativos, usando a expressão da parte anterior, observamos que a integral de interesse é a área sombreada da figura a seguir.

F(x)

l

k=O

00

= LP(X > k ). k=O

É imediato verificar que esta última expressão também pode ser escrita como O soma de probabilidades maiores ou iguais a k, para k variando de 1 a oo. Um resultado muito útil permite calcular o valor esperado de uma função de variável aleatória, sem ser necessário obter-se antes a distribuição de probabilidade dessa função. Em outras palavras, seja g uma função de uma variável X que tem função de distribuição F. Estamos interessados em E(g(X)), que poderia ser obtida de modo usual, se conhecêssemos a função de distribuição da variável g(X), isto é, F9 (y) = P(g(X) ~ y). Entretanto, esse conhecimento pode demandar muito esforço e evitá-lo é uma das razões da importância do próximo teorema.

Teorema 4.7:

F(l)

Seja X uma variável aleatória cujo valor esperado existe. Considere Y = g(X), uma função de X que também é variável aleatória no mesmo espaço de probabilidade. Então:

1--- - - - -- -------<.-- --

F(2)

E(g(X)) = l:g(x)dFx(x). F(/)

1------'. - - - - --o

FtoJ.....- - -.0

o

Demonstração (casos especiais): 4

X

_Figura 4.6: Valor esperado- Variável discreta não negativa. Assim, a esperança pode ser escrita como soma de integrais, que correspondem à área de retângulos contíguos com limites nos inteiros:

Faremos a demonstração para os casos em que X é discreta ou contínua. Para o caso contínuo, suporemos condições sobre g de modo que o método do Jacobiano para transformação de variáveis possa ser aplicado. A verificação no caso geral, pode ser encontrada em Ash [72], se o valor esperado for definido pela integral de Lebesgue-Stieltjes. Vamos considerar, inicialmente, o caso em que X é uma variável aleatória discreta. A variável Y = g(X ) também será discreta.

220


Temos

Exemplo 4.25: (DeGroot & Schervish [02]) O preço da cada cota de ações de uma companhia A vale hoje R$ 200,00. Essa companhia deseja contratar um funcionário e lhe oferece, como vantagem adicional, a opção de comprar um certo número de ações, um ano a partir de hoje, pelo mesmo preço de R$ 200,00 por ação. Dependendo da valorização anual isto pode ser uma excelente oferta de emprego. ita que X, preço por ação em um ano, pode valer R$ 260,00 com probabilidade p ou R$ 180,00 com 1 - p. Seja Y o valor do possível lucro em um ano com cada ação. Temos

E(Y) = l : ydFy(y)

= LYP(Y = y) y

=

P(X= x)

LY L x: g(x)=y

Y

g(x )P(X = x)

=L L Y

(

(

y

x: g(x)=y

= Lg(x)P(X =x) X

=

E(g(X) );

note que os valores possíveis, nas somatórias, dependem da variável e da função de interesse. Vamos verificar, agora, a expressão para o caso contínuo. Suponha que X é uma variável aleatória contínua com função densidade f x . Seja Y = g(X) e ita, ainda, que a função g é tal que podemos aplicar o método do Jacobiano (g é bijetora ou particionável em bijetoras) e que sua inversa é denotada por h. Assim,

= g( X) = { ~0,

(

=

1:

= x) = 60p.

Segue então que v= ~ = 57,69 p. Podemos usar algum método para obter p ou, então, estabelecer algum cenário para seus valores. Uma das formas de determinar p é igualar o valor médio do preço da ação com o preço de hoje reajustado pelo rendimento anual, aqui suposto igual a 4%. Nesse caso, teríamos

Yfx (h(y)) jâ~~) jdy

= l : yfy(y) dy

200

=E(Y ) = E(g(X)); após utilizar a expressão de troca de variáveis do método do Jacobiano.

g( x) P(X

X

l : g( x) dFx (x ) = l:g(x)fx(x)dx

(

X= 180; X= 260;

observe que se a ação estiver valendo R$ 180,00 não haveria lucro, mas sim prejuízo, por isso estabelecemos lucro igual a zero. Para calcular o valor da opção de compra nos dias de hoje, é necessário comparar o lucro médio da ação com a renda de outros investimentos. Vamos assumir que, descontadas todas as despesas, o rendimento em um ano de aplicações financeiras seria de 4%. Dessa forma, o preço da opção de compra dessas ações, nos dias de hoje, teria um valor razoável, se empatasse com o lucro médio da ação. Ou seja, vamos determinar v tal que: 1, 04 v = E(Y ). O valor médio do lucro é:

E(Y) = L (

221


O

O teorema anterior pode ser generalizado para calcular o valor esperado de funções de vetores aleatórios. A expressão é similar, usando integrais múltiplas e com a substituição da função de distribuição univariada pela multi variada.

X

1, 04 =E( X ) => 208

= 260p + 180(1- p) => p =o, 35.

Substituindo na expressão de v, obtemos v= R$ 20, 19. Este deveria ser o valor a ser pago, hoje, pela opção de compra. Essa opção consiste em poder comprar a ação em um ano pelo preço atual, sabendo-se que a ação vale, hoje, R$ 200, 00 e O que a valorização anual do capital está avaliada em 4%.

222


Exemplo 4.26: A variável aleatória X tem função densidade de probabilidade dada por:

Demonstração: (i) A variável X é discreta logo

~(x

+ 2) ,

-2:::; x
fx(x) = ~· { O, Considere g(X)

E(X) = (X =c)= c. (ii) Pelo Teorema 4.7 e pelas propriedades da integral de RiemannStieltjes vem

= X 2 • Para o valor esperado de g(X) temos

(

(

223


E(aX + b)

E(g(X)) = E(X 2 ) = 1:g(x) fx(x)dx =!o x 2 ~(x + 2)dx + { x 2 ~ dx 1

(

lo

-2

- 1 x4

2x3

- 4(4 + 3)

lo -2

+

=

2

x311 6 o

1 2

=f:

(ax + b) dFx(x)

f:axdFx(x)

+ f:bdFx(x)

= aE(X) + b. (iii)Se X:::; Y, então para Vz E JR,P(Y:::; z):::; P(X:::; z), ou seja

Fy(z):::; Fx( z ). Então, pelo Teorema 4.5,

1

00

O uso do Teorema 4.7 evitou obter antes a densidade de X 2 e, assim, facilitou os cálculos. Sugerimos ao leitor obter a densidade de X 2 , calcular sua média pela definição e comparar os dois procedimentos. O Observe que, em geral, E(g(X)) =I= g(E(X)) . Pode-se verificar que, no exemplo anterior, E(X) = -1/12 e, então, g(E(X)) = 1/144. Esse valor é diferente do que foi obtido para E(g(X)). Se g for linear, vale a igualdade e, se g for uma função convexa, temos a seguinte desigualdade E(g(X)) ~ g(E(X)) , sob a condição da esperança ser finita. Nas próximas proposições, váriás propriedades são apresentadas.

Proposição 4.8: Sejam X e Y variáveis aleatórias cujo valor esperado existe. Então: (

(i) Se c é uma constante tal que P(X = c) = 1 então E( X) = c; (ii) E(aX (iii) Se

+ b)

=

aE(X) + b;

X:::; Y, então E(X) :::; E(Y);

E( X) =

[1- Fx(z)] dz- f:Fx( z ) dz

00 :::;

{

lo

[1-Fy(z)]dz-/° Fy(z)dz=E(Y). - oo

o

Dessa forma, a proposição está demonstrada.

O conceito de convexidade de conjuntos e funções será utilizado na próxima proposição. Um subconjunto S de JRn é dito convexo, se X,

y E S =? ax + (1- a)y E S,

para todo a E (0, 1). Em outras palavras, se toda linha juntando dois pontos quaisquer de S estiver contida em S. Em geral, para definir convexidade de funções, partimos de um domínio convexo. Uma função f : S-+lR, com S C JR" convexo, será uma função convexa, se, para todo {3 E (0, 1),

f

(!3x + (1 -

{3)y) :::; {3f(x)

+ (1- {3)f(y).

Em JR2 , essa condição equivale à existência, em cada ponto (x, f(x)), de uma reta que a por esse ponto e fica abaixo do gráfico de f.

224


Proposição 4.9: Desigualdade de Jensen Seja X uma variável aleatória com esperança finita e g uma função convexa. Então,

225


O valor esperado pode ser usado para avaliar a amplitude de valores da variável, conforme estabelecido na próxima proposição.

Proposição 4.10: Desigualdade Básica de Chebyshev Seja X uma variável aleatória não negativa e considere a > O. Então,

E(g(X)) ~ g(E(X)).

Demonstração:

P(X

Send,o g convexa: existe uma reta que a no ponto (xo, g( xo)) e fica . abaixo do grafico da funçao g. . Para 0 ~onto (xo, g(xo)) = (E( X), g(E(X)) ), seja h(x) = ax + b a reta m(;(~I)ona[!a(;c)]I)ma. Dessa forma, veja ilu~tração na figura a seguir, no ponto , temos h= g e, nos demais, h(x) ~ g(x). ,9

E(X) · a

Demonstração: A existência de E(X) está garantida, pois X é não negativa. Considere o evento A= {X~ a} e uma variável discreta Y =alA. Ou seja, Y é tal que, para todo w E 0, temos Y(w) = {

g(x)

~a)~

~:

X(w) ~a; O~ X(w)

Observe que por definição temos X esperança, obtemos E(X) ~ E(Y) h(x) g(E(X)) .

o

E(X)

X

Figura 4. 7: Função Convexa. Pela proposição anterior vem: (

(

g(E(X))

= h(E(X)) =

aE(X)

+ b = E(aX + b) = E(h(X)) ~ E(g(X));

em que a suposição de esperança finita, permitiu a aplicação das funções g e h no 0 valor esperado de X.

~

Y. Aplicando propriedades da

= aP(A) = aP(X ~ a).

Assumindo que o evento A tem probabilidade positiva, a desigualdade fica O verificada. Exemplo 4.27: Numa empresa com 100 funcionários, o número médio de usuários simultâneos de Internet, num certo período do dia, é de aproximadamente 30. Atualmente, existem 30 linhas telefônicas disponíveis para conexão. Desejase avaliar a necessidade de aumentar esse número Numa avaliação mais realista, os custos de expansão deveriam ser comparados com as possíveis vantagens para a empresa. Aqui, faremos um estudo preliminar, calculando algumas probabilidades. Vamos itir que 30 é o valor esperado do número de conexões simultâneas, mas nada sabemos da distribuição de probabilidade dessa variável. Dessa forma, uma alternativa conveniente é usar a desigualdade de Chebyshev para construir a tabela abaixo com o valor máximo de probabilidade, em função do número mínimo de usuários conectados simultaneamente. Denotaremos o limite fornecido pela desigualdade de Chebyshev por p* ( k).

(

(

226


227


( (

( (

( (

(

(

( ( (

( (

(

( (

k

p*(k)

30 40 50 60 70 80 90

1

necessária, pois, apesar da existência da esperança das variáveis isoladamente, poderia surgir uma operação indeterminada do tipo infinito menos infinito. Suporemos, agora, que o resultado vale para n variáveis. Vamos fazer a

0,75 0,60 0, 50 0,43 0,38 0,33

prova para n + 1. Definindo Y = X 1 + X 2 + · · · + Xn, a soma das n + 1 variáveis toma-se a soma de Y e Xn+l· Assim, E(Xt + X2 + · · · + Xn+t) = E(Y + Xn+t) = E(Y) + E(Xn+t);

. Apesar de podermos obter estimativas mais precisas por outros métodos, a de~tgualdade de Chebyshev fornece uma avaliação probabilística que, combmada com outros fatores, dá subsídios à tomada de decisões. Por exemplo, da tabela acima, podemos afirmar que a probabilidade de haver até 70 usuários simultâneos é superior a O, 57. A despeito de outros fatores, se for aceitável um índice mínimo de 57% para a probabilidade de conexão, a empresa deveria ampliar suas linhas telefônicas para 70. O

_ Sejam X1, X2, · · ·, Xn variáveis aleatórias cujo valor esperado existe. Entao, se a esperança da soma dessas variáveis existir, temos:

(

( (

E(X1 + X2 + · · · + Xn) = E(X1) + E(X2) + · · ·E(Xn)·

( (

(

Vamos de~?n~trar p~r indução. Inicialmente verificamos o resultado para a soma de duas vanave1s. Aphcando esperança, com a conjunta de X 1 e X 2, vem

+ X2) = =

1:1: 2

x 1:1:1 dFxl.x2(Xt, X2) +1:1:2 d2Fx ,x (x x 1:xtdFx (xi)+ 1:x2dFx (x (x1

+ x2) d 2Fx 1 ,x2 (x~,

(

=

(

= E(XI) + E(X2);

( (

( (

( (

distribuição Bernoulli de parâmetro p. Mencionamos no Capítulo 3 que a soma dessas variáveis segue o modelo Binomial com parâmetros n e p. Assim, se Y = X 1 + X 2 + ··· + Xn, então Y ,.._.•B(n, p). Portanto, pela proposição anterior

1

2

+ X2 + ··· + Xn)

= E(Xt ) + E(X2)

+ ··· + E(Xn)

lembrando que E( X;)= p, Vi= 1, 2, · · ·, n.

= np;

o

Sejam X 1 , X 2, · · ·, Xn variáveis aleatórias independentes cujo valor esperado é finito. Então, a esperança do produto dessas variáveis é finita e é igual ao produto das esperanças, isto é, n

E(

2)

1

2

E(Y) = E(Xt

Proposição 4.12: Esperança do Produto de Variáveis Independentes

Demonstração:

E(Xt

Exemplo 4.28: Sejam X 1 , X2, · · ·, Xn, variáveis aleatórias independentes com

temos

Proposição 4.11:

(

uma vez que já provamos o resultado para duas variáveis. Aplicando a hipótese de indução, substituímos E(Y) pela soma E( XI)+ E(X2) + · · ·E(Xn) e o teorema está demonstrado. Observe que não necessitamos da independência entre as variáveis aleatórias. O

1,

2)

2)

em que ~pl~camos propriedades da integral de Riemann-Stieltjes, para obtermos as margmats. A suposição da existência do valor esperado de X 1 + X 2 é

TIX;) = E(Xt)E(X2)· · ·E(Xn)· i=l

Demonstração: Vamos aplicar o Teorema 4.7 com a conjunta de Xt, · · ·, Xn. Decorre da independência e de propriedade da integral, que podemos fatorar a diferencial da função de distribuição conjunta em produto das diferencias das marginais.

228


229


apresentamos antes um exemplo em que a troca entre limite e esperança não produz o mesmo resultado.

Então,

Exemplo 4.30: Considere a escolha, ao acaso, ~e um número real w em [0, 1]. Vamos definir uma seqüência de variáveis aleatóna s {Xn(w) : n E N, w E [0, 1]} da seguinte forma:

seO ~w< 2~;

se...!.. <w
De novo, da independência, fazemos o fatoramento da diferencial da função de distribuição conjunta e, então

n

sew rel="nofollow">.!.. n A figura, a seguir, representa o comportamento de Xn (w). X.(w)

Como veremos, em exemplo a seguir, a recíproca dessa proposição não é verdadeira. Isto é, o fatoramento das esperanças não implica independência entre as variáveis. D

n

Exemplo 4.29: O vetor aleatório (X, Y) tem função de probabilidade conjunta dada pela seguinte tabela de dupla entrada: X\Y

-1

o

1

o

o

1/3

o

1

1/3

o

1/3

Não é díficil verificar que as variáveis X e Y são dependentes. Temos E(X) = 2/3, E(Y) =O e E(XY) =O. Portanto, a esperança do produto XY pode ser fatorada como o produto das esperanças. Assim, a recíproc a da Proposição 4.12 não é válida. D Os próximos dois teoremas tratam de resultados limites. A questão importante é saber se é possível permutar as operações de limite e esperanç a. Ou seja, estal'Il:os interessados em estabele cer condições para que tenhamo s limE( X,.) =E( lim Xn)· Apresentaremos duas situações em que isto é possível. n--+oo

w

Figura 4.8: Comportamento da variável Xn.

É imediato observar que lim Xn (w) n~oo

n-+oc

Em uma, as variáveis precisam ser não negativas e formar uma seqüênc ia monótona não decrescente. Na outra, a seqüência de variáveis é dominad a por uma variável que tem esperanç a finita. Esses resultados valem no contexto da teoria de integrais, mas serão apresentados aqui para variáveis aleatórias com as demonstrações, seguindo James [81]. Para reforçar a importância desses teoremas ,

E(X ) n

=

1Xn(w) dw = r Jo 1

1/2n

O

= O. Para o valor esperado temos

2n2 w dw +

11/n (-2n w + 2n) dw = 1/2. 2

l/2n

lim E(Xn) = 1/2. Portanto, nesse caso, a Dessa f orma, E[ lim X n (w)] = O =F n~oo n~oo _ . . O troca entre limite e esperança nao produz resultados 1gua1s.

-.

,_.

230


Teorema 4.13: Teorema da Convergência Monótona (

Xn

~

Sejam X, X1, X2, · · ·, Xn variáveis aleatórias em (f!, :F, P). Suponha que O,n E N com X1 :S X2 :S ··· e, também, que Xn(w)-+X(w), Vw E n,

231


(ii) X(w) ~ Y(w) e Xi(w)-+X(w), então Xj(w) ~ Y(w) para um índice j suficientemente grande.

Seja

quando n vai a infinito. Nessas condições, temos

se w E Ai; se w ri. Ai;

lim E(Xn) =E( X).

n--+oo

Demonstração:

temos O :::; Y IA 1

Como as vanave1s são não negativas, todas as esperanças existem (eventualmente sendo infinitas). Por propriedade do valor esperado e usando a monotonicidade da seqüência, vem

YIAi como

:::;

Xj e, portanto, O :::; E(Y IA) :S E(Xj)· Podemos reescrever sew

E

AinBn,n

E N;

caso contrário. Então,

que, ando ao limite, resulta em (

lim E(X,J :SE( X). (I)

=

Vamos definir uma aproximação de X, através de um variável discreta Y, de modo que E( X) = E(Y) :::; lim E(Xn). Assim, a demonstração ficará

(

Parat >O, n E N, e Bn = {w: m

Y(w) =

~noc=O nds,(w) = { On,«:,

L....t

se n«: < X(w) :S (n se X(w) =O.

limE(Xj) ~ lim

J--+oo

< X(w) :S (n + 1)«:}

seja

+ 1)«:;

E N;

n=O

ando ao limite, para j-+ oo, vem

n--+oo

completa, juntando-se as duas desigualdades obtidas. (

m

Ln«:P(AinBn) ~ LmP(AinBn), Vm n=O

n--+oo

(

(

oo

E(Xi) ~ E(YIA)

m

L

nE P(Aj

J--+OO n=O

n Bn)·

Observe que, para cada n fixado, temos Ai n Bn j Bn. isto é, a seqüência Ai n Bn será monótona não decrescente em j e com limite Bn. Como vale a troca entre limite e probabilidade, vem

Logo, X - «: :::; Y :::; X e, portanto, para as esperanças segue que

E(X) - «: :S E(Y) :S E(X). Como «: é arbitrário, temos a igualdade entre as esperanças de X e Y, isto é, E(X) = E(Y). Vamos, agora, estabelecer a relação entre as esperanças de Y e da seqüência {Xn : n > 0}. Seja Ai= {w: Xj(w) ~ Y(w)}, j = 1, 2, .. ·. Esses eventos formam uma seqüência monótona não decrescente cuja união é o espaço amostrai n, conforme concluímos a partir dos argumentos a seguir: (i) Xj(w) ~ Y(w) e isto implica Xi+ 1 (w) ~ Y(w) pela monotonicidade de {Xn}·

que, ando ao limite para m-+ oo, resulta em 00

limE(Xj) ~ L J--+OO

nE

P(Bn)

=

E(Y) =E( X). (2)

n=O

Observando-se as desigualdades (l) e (2), concluímos a demonstração.

o

232


Teorema 4.14: Teorema da Convergência Dominada

233


e, assim, concluímos que

Sejam X , Y , X l,X2,···,Xn variáveis aleatórias em (O,F,P). Suponha que a esperança de Y seja finita, IX nl :S Y para n = 1, 2, · · · e, também, que Xn (w)-+ X( w ), Vw E O, quando n vai a infinito. Nessas condições, temos que a esperança de X é finita e

IimE( Zn) = O.

n->oo

Então,

IE(Xn)- E(X)I = IE(Xn- X ) I :S E(IXn - X I) = E(Yn) :S E( Zn),

lim E(Xn) =E( X).

n->oo

Demonstração:

A idéia da demonstração é obter uma seqüência conveniente de variáveis, de modo que o Teorema da Convergência Monótona possa ser aplicado. Inicialmente, notamos que a esperança de X é finita como conseqüência de X n ser dominada por Y . Observe que lXI = lim IXnl :S Y e, tomando

uma vez que O :S Y,, :S Z 11 • ando ao limite para n-+ oo, obtemos lim (I E(Xn)- E(X )I) :S lim (E(Zn)) =O;

n-+oo

n-+oo

n->oo

esperança, o resultado segue. De fato, para todo n temos E(IXn l) :S E(Y ) < oo. Considere as seguintes variáveis

conseqüentemente, lim E(Xn) = E( X) e o teorema está demonstrado. n->oo


Yn = IXn- X I e Zn = sup(Yn, Yn+l• .. ·); n = 1, 2, .. ·.

1. A função de distribuição de X é dada por:

Pela sua definição, a seqüência de variáveis Zn é não crescente pois

o,

Zn = sup(Yn, Yn+l• · · ·);::: sup(Yn+l, · · ·) = Zn+l; n = 1, 2, ·· ·. Por hipótese X n-+ X e, assim Yn-+ O. Como a seqüência Zn é monótona, ela tem limite que coincide com o limite superior de Yn e, portanto, Z 11 -+ O. Observe que O :S Yn :S 2Y e, também, O :S Zn :S 2Y. Construímos, agora, uma nova seqüência de variáveis aleatórias: {2Y- Z 11 : n ;::: 1, n E N}. Essa seqüência é monótona não decrescente, tem limite igual a 2Y e é formada por variáveis não negativas. Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona vem

Fx(x)

n -+oo

n-+oo

3x2

se O :S x < 5; se x;::: 5.

b. Obtenha E(X 2), via densidade de X . c. Obtenha E(X 2), via densidade de X 2.

2. A função de distribuição conjunta de X e Y é dada por:

o,

n----..oo

limE(2Y- Zn) = lim [E(2Y) - E(Z11 ) ] = E(2Y ) - lim E( Z 11 ),

:r

se x < - 2; se -2 :S x < O;

a. Calcule E(X), sem obter primeiro a densidade de X .

Por outro lado temos n-+oo

1

{ s+w+25o• 1,

lim E(2Y - Z 11 ) =E[ lim (2Y- Zn)] = E(2Y).

n-+oo

=

fõ(x + 2),

Fx,Y(x, y) =

i(x2y + xy2), i(x 2 + x ), ~ (2y + y2),

1,

se x < Oou y < O; se O :S x < 2, O :S y < 1; se O :S x

< 2, y ;:::

1;

se x;::: 2,0 :S y < l; se x;::: 2, y ;::: 1.

Determine o valor esperado de X + Y - 2XY.

o


234

4.5 Exercícios

235

3. Suponha que n envelopes estão endereçados, mas as n respectivas cartas são colocadas aleatoriamente nesses envelopes. Determine o número esperado de cartas enviadas ao destinatário correto.

3. Em ensaios de Bernoulli independentes, com probabilidade p de sucesso, seja X o número de fracassos anteriores ao r-ésimo sucesso. A variável X segue o modelo Binomial Negativo de parâmetros r e p. Determine a média de X.

4. Seja X uma variável aleatória, seguindo o modelo Logístico, com função densidade dada por f(x ) = e-x 1(1 + e-x) 2, x E~a. Verifique se X é simétrica ao redor do zero. b. Determine o valor esperado de X. c. Calcule E( ex).

4. A densidade de X é apresentada, a seguir, determine o valor esperado de 2X -1. x2

fx(x)

5. Sendo X uma variável aleatória com média J.L, mostre que o erro quadrático médio, dado pela expressão E[(X- d) 2 ], é minimizado para d igual a J.L. 6. Mostre ou dê um contra-exemplo:

a. E(1IX) = 1IE(X). b. Se X e Y são independentes, então E(XIY) = E(X)IE(Y). 7. A densidade conjunta de X e Y é dada por Jx,y(x, y) =e-x I(o,oo)(x )I(o,x)(Y). a. Obtenha a densidade de Y I X e calcule seu valor esperado. b. Determine E(Y I X) diretamente. 8. Sejam X uma variável aleatória qualquer e g uma função não negativa tal que ·g(X) é variável aleatória e E(g(X)) < oo. Se g(x) 2: b > O sempre que x 2: a, mostre que P(X 2: a) S E[g(X)Jib. 9. Considere uma função g tal que, g(X) seja variável aleatória sempre que X for variável aleatória. Suponha que g é par, isto é, g(x) = g( -x), Vx E R Além disso, ita que g é não decrescente e não negativa para x > O. Mostre que, para qualquer c> O e qualquer X, P(IXI 2: c) S E[g(X)Jig(c).

10. As variáveis aleatórias xl, x2, oc

n. Mostre que E( E X,.) n=l

oc

=

oc

00

·são não negativas e

EX,. é convergente em n=l

E E( X,.). n=l

4.5 Exercícios 1. Um jogador lança uma moeda equilibrada até a ocorrência de dois resultados iguais sucessivos. Determine o valor esperado do número de lançamentos.

2. Cartas são retiradas sem reposição de um baralho, contendo 52 cartas, até que todos os 4 ases tenham saído. Calcule o valor esperado do número de retiradas.

< 1; < 2; se 2 S x S 3;

se OS x se 1 S x

~ r:;x), {

o,

caso contrário.

5. A função de distribuição da variável X é dada por:

o, Fx(x)

=

se x
~:::

{ 1,

Determine E( X) de duas formas diferentes.

6. A variável X tem a seguinte função de distribuição:

o, F(x) =

{ !~~: 1,

X< -1; -1 :$X< 112; 112 :$X< 2; X

2: 2.

a. Obtenha E( X). b. Determine E([X]), em que [a] indica o maior inteiro contido em a.

7. Seja F(x, y) = [1- e-(x+l)- e-Y + e-(x+y+Il]J(-I,oo)(x) I(o,oo)(Y) a função de distribuição conjunta das variáveis X e Y. a. Obtenha E( X+ Y) de duas maneiras diferentes. b. Calcule E(XY).

8. A função mista de probabilidade conjunta de X e Y é dada por:

f(x, y) =

:C

{

0,3 '

se x = 1, 2, 3 e O S y caso contrário.

S 1;


236

a. Obtenha E( X + Y). b. Determine E(XY).

10. Supondo a existência das esperanças, considere as seguintes situações:

> Y) =

237

17. A função de probabilidade conjunta do vetor (X, Y), para O < p < 1/2, é dada por:

9. Supondo que E(X) existe, mostre que E(IX - ml) :::; E( IX- a i), em quem é a mediana de X e a é um número qualquer.

(A): P(X

4.5 Exercícios

1; (B): E(X )

p(x, y) =

se x = ± 1, y =O; se x = O,y = 1.

18. O vetor aleatório (X, Y ) tem densidade uniforme, no triângulo (0, 0), (0, 1) e (1, O). Obtenha E( X), E(Y) e E(XY). 19. Duas câmeras de vídeo funcionam, de forma independente, monitorando a segurança da portaria de um prédio residencial. ita que o tempo até acontecer uma falha na câmera é Exponencial, com parâmetros .À 1 e .À 2 , respectivamente, para as câmeras 1 e 2. Supondo que ambas as câmeras iniciaram suas atividades no instante zero, obtenha o valor esperado do instante a partir do qual não haverá câmera em operação na portaria.

c. (B) => (A). d. (B) => (C). e. (C) => (A). f. (C) => (B). 11. Para X ~ Oem n, com E( X)= O, prove que X= O para quase todo w E

n.

20. O vetor aleatório (X, Y) tem função de distribuição conjunta dada por:

12. Seja X simétrica ao redor da constante a. Se E(IX I) = oo, mostre que a mediana de X é a. 13. Para quaisquer constantes reais a e b, se P (a :::; X :::; b) = 1, então a :::; E(X):::; b.

14. Sejam X 1 , X 2 , · · · variáveis aleatórias independentes com valores -1 e 1, com I·

n/n + 1 e

2p,

Verifique que E(XY) = E(X)E(Y), mas X e Y não são independentes.

> E(Y) e (C): Fx(z) > Fy (z), 'Vz.

Mostre ou dê um contra-exemplo para as seguintes implicações: a. (A) => (B). b. (A) => (C).

probabilidades para k inteiro.

{f'_

1/n + 1, respectivamente. Determine E [( - 1 )~X;],

15. João e José disputam um jogo em que João tem probabilidade p, O < p < 1, de sair vencedor em cada partida. Quem perde paga R$ 1 ao vencedor em cada partida. Se João inicia o jogo com R$ 2 e José com R$ 1, qual será a duração esperada do jogo se eles pararem quando um deles tiver R$ 3? 16. Em um jogo, uma moeda equilibrada é lançada até que a primeira cara sej a obtida. Um sistema de recompensa é estabelecido pelo organizador do jogo. Para m inteiro e positivo, o jogador ganha m2-k , sempre que a primeira cara ocorrer no intervalo (km, (k + 1)m], k = O, 1, · · ·. Determine a recompensa média.

o, Fx,y(x, y) =

(rnin(x, y) + x 2 y)/2, (x + x 2)/2, .

y, 1, Obtenha E( X) , E(Y) e E( X

se x < Oou y < O; se O:::; x < 1, O :::; y < 1; se O :::; x < 1, y ~ 1; se x ~ 1; O :::; y < 1; se x ~ 1, y ~ 1.

+ Y).

21. O vetor aleatório (X, Y) tem densidade dada por f(x, y) = ~e-(x+y)/A I(o<x O. Obtenha E(X),E(Y) e E(XY).

22. Sendo X e Y independentes com distribuição Exp(2). a. Determine o valor esperado de max(X, 2). b. Confira a resposta de (a), usando para o cálculo a função de distribuição obtida no Exercício 35 do Capítulo 3. c. Determine o valor esperado de max(X, Y , 2). 23. Seja (X , Y ) um vetor aleatório com valores em (0, 1) x (0, 1) de forma que X"' Uc(O, 1) e YIX "' Uc(1- X 2 , 1). Calcule o valor esperado de W = (1 - Y)/ X. 24. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com densidade Uc{l, /3), /3 > 1. Calcule E[min(X, Y) x max(X, Y)] .


238

Uc( - 2, 2) e Y = X 2 • Determine o valor esperado de X , Y e XY. Que dizer da independência entre X e Y?

25. Sejam X

'"V

26. Numa loteria, I 00 números participam do sorteio. São dados prêmios iguais

de R$ 1 mil a todos os bilhetes com número pelo menos igual ao sorteado. Para que, em média, o custo dos prêmios seja financiado pelo dinheiro arrecadado com os bilhetes, qual deve ser o preço de cada um deles? 27. A densidade conjunta de X e Y é dada por !x,y(x, y) = 2 I(o,y)(x)I(o,l)(Y).

a. Determine o valor esperado de X 2 + Y 2 de duas maneiras diferentes. b. Verifique se E(XY) = E(X)E(Y). 28. Seja X uma variável aleatória qualquer. Considere uma função g que, para

x > O, é não negativa e não decrescente. ita, ainda, que g(X) é variável aleatória com E(g(X)) < oo. Mostre que, para f> 0: a. Se ig(x)i :::; k, Vx E JR, então P(IXI ~ t:) ~ {E[g(X)]- g(t:)}/k.

b. Se P(IXI:::; M) = 1, então P(IXI ~ t:) ~ {E[g(X)]- g(t:)}/g(M). 29. Sendo X e Y variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas

com densidade Uc[O, 1), calcule os valores esperados de min(X, Y) e de max(X,Y). 30. Um jogo eletrônico, imitando uma espécie de bilhar, consiste de 3 caçapas

numeradas e uma bola. As caçapas podem ter cor vermelha ou verde, conforme estejam fechadas ou abertas para receber bolas. A cada momento, somente uma caçapa fica verde. Inicialmente a cor verde está na caçapa 1 e a bola está na caçapa 3. A cada etapa, a cor verde e a bola se deslocam de acordo com a seguinte regra. A cor verde se desloca para as outras duas caçapas com igual probabilidade. A bola só salta para caçapas adjacentes, sempre na direção da cor verde. O jogo termina, quando a bola entrar na caçapa. Determine a duração média do jogo.

31. As variáv~is X e Y têm a seguinte densidade conjunta: Jx,y(x, y) = e-11 (1- e-x)I(o, 11](x)I]o,oo) (y)

+ e-x(l -

e-11 )/(o,x] (y)I]o,oc)(x).

a. Calcule E(XY). b. Para qual a, o valor da expressão a 2E(X)- (1- a)E(Y) é mínimo?

239

4.5 Exercícios

32. Sendo X e Y variáveis aleatórias no mesmo espaço de probabilidade e com funções de distribuição iguais a F e G, respectivamente. Mostre que: a. Se as funções F e G não têm pontos de salto em comum, então E[F(Y)] + E[G(X)] = 1. b. Se F é contínua então E[ F( X)] = 1/2. c. Mesmo se as funções F e G têm pontos de salto em comum, mas X e Y são independentes, temos E[F(Y)] + E[G(X)] = 1 + P(X = Y). d. Mesmo se F tem saltos, E([F(X)] = 1/2 + P 2 (X = x).

n::: X

33. Uma partícula está na origem e realiza movimentos de acordo com a regra descrita a seguir. A cada etapa ela pode mover-se a unidades para a direita com probabilidade p, ou b unidades para a esquerda com probabilidade 1 - p. Os vários movimentos são independentes. Determine o valor esperado da posição da partícula, em relação à origem, após n etapas. 34. Seja X uma variável aleatória discreta com P(X = n) = (~)n, n = 1, 2, · · ·. Defina Y = g(X), em que g(n) = %( -l)n+l2n. Mostre que E(Y) não existe. 35. Sejam X 1, X 2 , • • • variáveis aleatórias não negativas e limitadas para cada w E O. Mostre que liminf E(Xn) ~ E(liminf Xn)· 36. Suponha que XI, x2, ... são variáveis aleatórias contínuas independentes e

identicamente distribuídas, representando as sucessivas etapas de um experimento. Consideramos que tenha ocorrido um sucesso na etapa k, se Xk > max(X1 ,X2 ,···,Xk-l)· Assuma que a primeira etapa é sempre um sucesso, não importando qual tenha sido o valor de X 1· Determine o valor esperado do número de sucessos até a etapa n.

37. As variáveis aleatórias X 1, X 2 , • • ·, Xn formam uma amostra aleatória da densidade f(x) = ax0 - 1l(o,l)(x), a> O. Em outras palavras, as variáveis X; 's são independentes e identicamente distribuídas de acordo com a densidade indicada. Determine o valor esperado de YI/Yn, sendo que Y1 e Yn são o mínimo e o máximo da amostra, respectivamente. 38. As variáveis X e Y são independentes e identicamente distribuídas com densidade Exp(>..). Calcule o valor esperado de log[X/(X + Y)].

240


39. A taxa de crescimento semanal (em porcentagem) no preço de uma certa ação, foi modelada pela variável X que tem a seguinte função de distribuição:

o, F(x ) =

X< O;

*(1

+ 4x), { w(3 + Bx) , 1,

{

0 ::; 1 ::;

< 1;

X

X< 2;

40. ita que X represente a duração de uma chamada telefônica internacional e obedeça o seguinte modelo:

o, {1 -

3

4

e _ ~:.2

-

-[~] 4e 2 , 1

Momentos, Esperança Condicional e Funções Auxiliares

X::::: 2.

a. Calcule o valor esperado de X . b. O da carteira de ações recebe um bônus de b reais, por cada fração de O, 5 % que é ultraada na taxa de crescimento semanal. Determine o bônus médio por ação.

F (x) =

Capítulo 5

X< O; X::::: 0.

em que [a] indica o maior inteiro contido em a. a. Verifique que F( x) é função de distribuição. b. Determine o valor esperado de X. c. A tarifa aplicada por chamada tem um custo inicial de R$ 2 e um adicional de R$ O, 75 por minuto inteiro de conversação. Determine o custo médio de cada chamada.

5.1 Introdução Neste capítulo, estudamos o valor esperado de funções de vanave1s aleatórias. Na Seção 5.2, apresentamos a definição de momento e exploramos suas propriedades. Um conceito importante é o de variância que caracteriza a dispersão da variável. A relação de dependência linear entre variáveis será estabelecida através da correlação. Essas quantidades são calculadas a partir de momentos de uma ou mais variáveis. O conceito de esperança condicional e suas propriedades são o objeto da Seção 5.3. Nas Seções 5.4 e 5.5, apresentamos duas ferramentas bastante utéis em Probabilidade e Estatística: a função geradora de momentos e a função característica. A idéia básica do uso dessas funções é, através de uma transformação, facilitar alguns cálculos. Obtido o resultado no domínio das transformadas, teoremas garantem a inversão de volta ao domínio das funções originais, se isto for necessário. Dessa forma, muitos teoremas importantes em Estatística são provados com o auxílio dessas funções .

5.2 Momentos Diversas características importantes das variáveis aleatórias podem ser quantificadas através do valor esperado de potências da variável. Nesta seção, vamos descrever várias delas. Iniciamos com a definição de momento.

Definição 5.1: Mom entos de Variáveis Aleatórias Para k = 1, 2, · · ·, o momento de ordem k da variável X é definido por E(Xk), desde que essa quantidade exista. Se E(X) = J.L < oo, definimos o momento central de ordem k por E[(X - J.L )k], sempre que essa quantidade exista. De modo similar, o momento absoluto de ordem k da variável aleatória X é O definido por E(IXIk) . A existência dos momentos está relacionada à discussão que fizemos sobre a existência da integral. Isto é, o valor infinito pode ocorrer, mas operações

241

242

Capítulo 5: Momentos, Esperança Condicional e Funções Auxiliares

do tipo oo - oo são indeterminadas e levam à inexistência do momento. É imediato notar que o momento de ordem I é o valor esperado, já definido anteriormente. Exemplo 5.1: Sendo X,..... Gama( a , /3), vamos obter seus momentos. Temos (

E(Xk) =

roo xkLxOI-le-f3xdx

lo

(

-

/3

00 k+OI-1

{

- r (a)}o

X

e

-{3xd X

/3 r(k +a) r(a) f3k+OI _ a( a+ 1) .. ·(a+ k- 1) . f3k 01

(

Uma característica importante de uma variável aleatória é sua variabilidade que, em geral, é avaliada pela discrepância de seus valores em relação à média ou à mediana. A diferença X - J.L é denominada de desvio em relação à média e é o ponto de partida para a avaliação da dispersão de seus valores. A média dos desvios é sempre zero e, portanto, nada informativa. Tomando o quadrado dos desvios e, então, calculando o valor esperado, chegamos a uma das mais importantes medidas de variabilidade.

(

em que usamos a expressão da função Gama, definida no Capítulo 2. Se a

=

1, X tem distribuição Exponencial de parâmetro f3 e temos

E(Xk) =

Se E[( X - a)k] existe e k é ímpar, então seu valor será igual a zero. Para verificar isso, observe que (X- a)k e [-(X- a)Jk têm, também, a mesma distribuição e a mesma média. Se k é ímpar vale [- (X- a)Jk = -[(X - a)k] e, então

e isto implica E[(X- a)k] =O. Se k é par, o cálculo do momento precisará ser feito do modo usual. Note que a simetria não é garantia de existência do valor esperado e sua suposição foi necessária. Lembremos que o modelo Cauchy não tem média, apesar de ser simétrico. D

r(a)

01

243

5.2 Momentos

;~ ·

Definição 5.2: Variância e Desvio Padrão Logo, com k

=

1, obtemos o valor esperado desse modelo que é 1//3.

o

Exemplo 5.2: O cálculo de alguns momentos pode ser facilitado, se a variável for simétrica. Lembremos que uma variável aleatória é simétrica, em tomo de um valor a, se satisfaz a equação:

P(X

( (

(

~ a-

x) = P(X ;?: a + x), 'v'x

E~;

ou, em termos da função de distribuição, F( a - x) = 1 - F((a + x)-), para qualquer x real. Supondo que E(X) existe, temos E( X) =a. Para verificar isso, observe que (X - a) e -( X - a) têm a mesma distribuição pois:

Fx-a(x)· = P( X - a ~ x) = P(X ~ a - (-x)) = P(X;?: a + (-x)), pela simetria de X. Segue agora que

P(X;?: a + ( -x)) = P( X - a;?: -x) = P( -(X- a)~ x) = F-(X-a)(x). Igualando as esperanças de (X - a ) e -( X - a ), segue que E( X) = a.

Sendo J.L < oo, definimos variância de X como o momento central de ordem 2, isto é

Var(X) = u 2 = E[(X-

J.L ?J;

a raiz quadrada da variância é denominada de desvio-padrão.

D

Existem muitas outras medidas de variabilidade, mas, sem dúvida, a variância é a mais importante delas. Ela é parâmetro de algumas distribuições como, por exemplo, o modelo Normal. O desvio-padrão tem a mesma unidade de medida da variável original e, assim, é muito útil para avaliar a amplitude dos possíveis valores da variável. Em Estatística, na tarefa de estimação de parâmetros, a informação sobre a variância da variável de interesse auxilia a escolha da técnica adequada de análise. A seguir, apresentamos algumas propriedades da variância, em que assumimos a existência do valor esperado e da variância.

244

Capitulo 5: Momentos, Esperança Condicíonal e Funções Auxiliares

Proposição 5.1:

245

5.2 Momentos

Exemplo 5.3: Vamos obter a variância de X"" B(n, p). Sabemos que E( X) e para E(X 2 ) vem que

Se a e b são constantes quaisquer, então

n

Var(aX + b) = a2 Var(X) .

E(X2) = :~:::>2 (~)Pi (1- p)n-i

Sendo E(X) = J.t, por uma propriedade do valor esperado temos E(aX + b) = aJ.t + b. Assim,

= E[(aX + b- aJ.t- b) 2] = E[(aX- aJ.t) 2J = a2 Var(X).

Pela proposição anterior, o acresc1mo de constantes não interfere na dispersão dos valores da variável. De fato, se todos os valores são igualmente deslocados, a média se desloca e a dispersão entre os valores fica inalterada. A multiplicação por constante, no entanto, tem seu efeito. Teremos a variância original multiplicada pelo quadrado da constante. Se a constante é muito maior que I, a variabilidade pode sofrer um acréscimo expressivo. A próxima proposição apresenta expressões úteis para o cálculo da variância.

-

11 2 ;

(ii) Var(X) = E[X(X- 1)]

[i( i- 1) +i](~ )Pi (1- p)n-i t

i=O

= t i ( i -1) (~ )P; (1- Pt-í +E( X) = n(n

t

-1)~ (: ~ ~)pi (1- Pt-i + E(X)

= n(n- 1)p2

I:

(n

j=O

~ 2 )pi (1- p)
= n(n- 1)p2 [p + (1- p)](n- 2)

=n

2 2

p

+ np

+ np(1- p) .

Para a variância temos: -

112 = n2p2 + np(1 - p) - (np) 2 = np(1 - p) , O

em que utilizamos uma das expressões alternativas para a variância.

+ E(X)- 112 •

2

Para verificar (i), vamos desenvolver o quadrado do desvio e aplicar propriedades da esperança. Temos

E(2XJ.t)

+ E(J.t 2 ) = E(X2 )

2

Exemplo 5.4: Seja X"" N(JL, a ). Vamos verificar que o parâmetro a é a variância de X. O valor esperado é J.t, conforme já foi calculado. Para o segundo momento temos:

Demonstração:

= Ef(X- J.t) 2] = E(X 2 ) -

t

Var(X) = E(X2 )

Proposição 5.2: Expressões alternativas para a Variância (i) Var(X) = E(X 2 )

=

i=2

o

Var(X)

t

i=O

Demonstração:

Var(aX + b)

= np

-

112 ;

em.que usam~s que E(2XJ.t) = 2J.tE(X) = 2j.t2 • A expressão em (ü) segue facilmente de (i) e da linearidade do valor D esperado.

246


com nova. substituição z

247

5.2 Momentos

= y 2 /2, vem

Logo

Var(X)

= E[(X- J.Ln = E(Y 2 ) 2: E(Y 2 lA) = = y 2dFy(y) 2: t 2dFy(y) = t 2 P(A);

1

00

1

00

e, portanto, o resultado segue.

D

Proposição 5.4: Desigualdade de Markov Portanto,

Seja X uma variável aleatória qualquer. Então, para quaisquer t, k

> O,

temos

D A variância permite ter uma avaliação da amplitude de valores da variável. Por exemplo, com o auxílio de valores tabelados de probabilidade para a N(O, 1), podemos determinar a probabilidade de não nos afastarmos da média de mais de 2 desvios-padrões. Sendo Z "'N(O, 1), obtemos P(IZI ~ 2) =O, 9544; um valor bastante expressivo. Para 3 desvios-padrões teríamos a quase totalidade da amplitude da variável, ou seja, P(IZI ~ 3) =O, 9974. Se tivermos uma N(J.L, a 2 ), as probabilidades de afastamentos menores que 2a e/ou 3a serão as mesmas mencionadas acima no cálculo para Z. Dessa forma, o conhecimento dos parâmetros da Normal é uma informação importante para estabelecer, com alta probabilidade, a amplitude de seus valores. As próximas proposições auxiliam no estudo do comportamento das variáveis. As desigualdades apresentadas fornecem limites, em função da variância e de momentos, para a probabilidade da variável aleatória exceder um certo valor de interesse.

Proposição 5.3: Desigualdade Clássica de Chebyshev temos

Seja X uma variável aleatória com média J.L· Então, para qualquer t > O,

P(jX- J.Li 2: t)

~ Va~~X) ·

Demonstração:

'

Sejam Y =IX- J.Li e A= {Y;::: t}. Assim, Y 2 =(X- J.L) 2 e também y2 2: y2JA.

Demonstração; Temos

pela aplicação da desigualdade básica de Chebyshev.

D

Se a partir de uma amostra pudermos obter estimativas de momentos da variável, às desigualdades acima podem ajudar a estabelecer limites em probabilidades de interesse. Também, em termos teóricos, elas podem ajudar. Por exemplo, suponha que desejamos avaliar P(IX- J.LI < 2a), sendo J.L e a finitos e indicando, respectivamente, a média e o desvio-padrão de X. Obtemos, com a aplicação da desigualdade clássica de Chebyshev,

P(IX- J.LI < 2a) .= 1- P(jX- J.LI2: 2a) 2: 1-1/4 = 3/4. Assim, a porcentagem de valores, num raio de 2 desvios-padrões da média, é de pelo menos 75%. Note que nada de particular da distribuição da variável foi usado e, portanto, esse resultado vale em geral, contanto que média e variância sejam finitas. O valor esperado e a variância são mencionados como medidas de localização e dispersão, respectivamente. Além delas, a mediana, apresentada em exercício no Capítulo 2, e a moda definida genericamente como o valor da variável com maior probabilidade, são as medidas usualmente utilizadas para caracterizar as variáveis aleatórias. Entretanto, em algumas áreas, a simetria e/ou

248

Cap{tulo 5: Momentos, Esperança Condicional e Funções Auxiliares

a massa de probabilidade nas caudas é um fator importante para a variável de interesse e avaliar seus efeitos pode ser relevante. Uma análise gráfica é freqüentemente utilizada nesses casos, mas também é possível quantificar esses efeitos com o uso de momentos, conforme apresentamos nas definições a seguir.

Definição 5.3: Coeficiente de Assimetria Seja X uma variável aleatória qualquer com valor esperado p, e desviopadrão a. O coeficiente de assimetria de X, denotado por a3, indica o grau de assimetria da sua distribuição de probabilidade e é definido por:

249

5.2 Momentos

Ao considerarmos distribuições multivariadas poderíamos também definir momentos conjuntos. Não vamos nos aprofundar nesse tópico e o lei~or interessado pode consultar Dudewicz e Mishra [88]. Entretanto, por ter espectal importância, o momento central conjunto de ordem I para duas variáveis é definido a seguir.

Definição 5.5: Covariância Sejam X e Y variáveis aleatórias no mesmo espaço de probabilidade. A covariância entre X e Y é definida por

Cov(X, Y) = ax,Y = E[(X- p,x)(Y- p,y)]; desde que as esperanças, presentes na expressão, existam. em que supomos a existência do terceiro momento de X.

o

Definição 5.4: Coeficiente de Curtose Seja X uma variável aleatória qualquer com valor esperado p, e desviopadrão a. O coeficiente de curtose da variável X, denotado por a 4 , mede a intensidade dos picos da sua distribuição de probabilidade e é definido por:

o

Em palavras, a covariância poderia ser definida como o valor esperado do produto dos desvios das variáveis, em relação às suas médias. A covariância é uma medida de dependência linear entre as variáveis e pode assumir valores de qualquer sinal. Se a covariância for zero não há dependência linear entre ~s variáveis, mas pode haver outro tipo de relação entre elas e, portanto, nao podemos dizer que são independentes. A próxima proposição apresenta. _u~a fórmula alternativa bastante útil. Ela toma evidente que, para vartavets independentes, a covariância será zero.

Proposição 5.5: em que supomos a existência do quarto momento de X.

O

Exemplo 5.5: Seja X "' N(p,, a 2 ), como X é simétrica ao redor de p,, não é díficil verificar que a3 será zero. Em geral, se a 3 < O, dizemos que a variável é assimétrica à esquerda. Esse será o caso da B( n, p) se p > ~. Se a 3 > O, temos assimetria à direita, como para uma B( n, p) com p < ~. Pode-se também verificar que os modelos Poisson e Exponencial são sempre assimétricos à direita. Para o coeficiente de curtose é comum uma comparação com a N(O, 1), que tem a 4 = 3. De fato, alguns autores já definem o coeficiente subtraído de 3. Se para alguma distribuição a -1 - 3 é maior que zero, é usual indicar que tem mais pico no centro do que a N(O, 1). Valores negativos indicariam que é mais achatada no centro do que a N(O, 1). Pode se verificar que para a Uc(a,b) temos a 4 < 3, enquanto que para a Exp(>..) , obtemos a 4 > 3. O leitor interessado em aprofundar esse assunto pode consultar Mood, Graybill e Boes [74] e as referências lá mencionadas. O

A covariância entre X e Y é igual à esperança do produto menos o produto das esperanças, isto é:

Cov(X, Y) = E(XY)- 11-XJl-Y i sempre que as esperanças envolvidas estejam bem definidas.

Demonstração: Pela definição temos

Cov(X, Y) = E[(X- p,x)(Y- p,y)] = E(XY- p,xY- p,yX + 11-XJl-Y) = E(XY) - p,xE(Y) - p,yE(X) + P,xll-Y = E(XY) - JlxJl-Yi se as variáveis forem independentes, E(XY) fatora no produto das esperanças e a covariância se anula. O

250


Exemplo 5.6: Um dado equilibrado é lançado. Seja X o resultado do lançame nto na base 2 e Y igual a 1 ou O, se o resultado for múltiplo de 2 ou não, respectivamente. Vamos avaliar se essas variáveis têm dependência linear, calculando sua covariância. A conjunta entre X e Y é dada por:

o

o o

1

1/2

X\Y

deixamos ao leitor a tarefa de conferir esse resultado através da expressã o original, apresentada na definição de covariância. O Exemplo 5.8: Sendo U uma variável Uniforme Contínua em (0, ~)· ~efinimos as variáveis X= sen(27rU) e y = cos(27rU). Vamos obter a covananc1a entre X e

Y. Para a esperança das variáveis temos:

1 1/2

1

o

E(X) = { sen(27ru) du =

h E(Y) = fcos(27 ru)du = h

Então,

Cov(X, Y) = E(XY) - f-lXJ-lY =O-

1

1

1 2 X 2 = -4;

assim, existe dependência linear negativa, ou seja, se uma variável aumenta a outra diminui. O Exemplo 5.7: A função densidade conjunta de X e Y tem a seguinte expressão:

f(x,y) =

251

5.2 Momentos

27l'

o

=O;

2._(sen (27ru)n =o. 27l'

o

A esperança do produto é calculada de modo análogo

=

1

=

~

1

E(XY)

1 x I(o,2j(x) I(o,xj (y). 2

Para utilizar a expressão alternativa da covariância, determinamos inicialmente as marginais e daí obtemos E( X) = 1 e E(Y) = 1/2. A esperança do produto é dada por:

2._ (-cos(2 7ru)n

sen(27ru) cos(27ru) du

( sen(47ru) du

2}o

=

8~ ( -cos(47ru)j:) =O.

Então,

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E( Y) =O; e as variáveis não são covariadas. Seriam também independentes? A respo~ta .é negativa, pois a função de distribuição conjunta não é o produto das margma1 s para todos os valores x, y E R Por exemplo, para x = Y = 1/2, temos Fx,y(1/ 2, 1/2)

1

1

= P(X ~ 2' Y ~ 2) 1 = P(sen(27rU) ~ 21 ,cos(27rU) ~ 2) 1

5

= P(U E { ([0, 12] U [12 '1])

Então,

Cov(X, Y) = E(XY) - J-lX/-ll' =-2 -1 x-1 = -1 ; 3 2 6

= P (U E [ : '

2

5 12

~] )

1 5

n [6' 6]})

252


Por outro lado,

2

7

253

5.2 Momentos

em que aplicamos o resultado para duas variáveis. Usando a hipótese de indução, o segundo termo dessa soma pode ser escrito como:

4

1 Fx(1/2)Fv(1/2 ) = ( - +-) x- = _, 9 3 12 12

o

e, portanto, as variáveis não são independentes.

A próxima proposição apresenta a expressão para a variância da soma de variáveis aleatórias.

k+l

k+l

i=2

i=2

Var(Lx;) = LVar(X;) +

Cov(X;Xi),

e, para o terceiro termo, temos k+l

k+l

k+l

Sejam X1, X 2 , • • · , Xn variáveis aleatórias num mesmo espaço de probabilidade. Então, sempre que as esperanças envolvidas estejam bem definidas, temos:

Var(tx;) = t i=l

Var( X;)

+ 2L

=

LE(XIX;)- LE(XI)E(X;) i=2

i=2 k+l

Cov(Xt, X;).

= L

.

i=2

Então, após a respectiva substituição,obtemos k+l

k+l

Var(LX;) = Var( XI)

+ LVar(X;) + 1=2

i=l

+

2L

k+l

L Cov(X;Xj) +

2L Cov(X1, X;) i=2

2:5i<j:5k+l

A prova será feita por indução. Para a soma de duas variáveis temos: Var(XI + X2) = E((XI + X2) 2) - E 2(X + X2) 1

= E(Xi) +E( X~) + 2E(X1X2) -

2 2 - (E (Xt) + E (X 2) + 2E(XI)E(X2)) = Var(Xt) + Var(X2) + 2Cov(X1 , X2). Supondo válido para k variáveis, vamos verificar para k

Var(~xi)

k+l

k+l

L Cov(X;Xi );

Demonstração:

t-2

t=2

•=2

i<j

i=l

com 1 ~ i < j ~ n. Se, além das condições mencionadas, as variáveis forem independentes, então:

t=l

L

2:5 i<j:Sk+ 1

Cov(x1 ,~X;) = E(X1 Lxi) -E(X1)E(~x;)

Proposição 5.6:

k+l

2L

+ 1. Assim

k+l

= Var(X1 +~X;) t=2 k+l

k+I

t=2

1=2

= Var(Xt) + Var(~x;) + 2Cov(X 1 , LX;);

k+l

=L Var(X;)

+ 2L

L Cov(X;Xj);

1:5i<j:5k+l

i=l

que é o resultado desejado. Se as variáveis forem independentes, a covananc1a entre quatsquer duas zero. Portanto, a variância da soma das variáveis toma-se a soma das será delas D variâncias de cada variável, conforme indicado na proposição. ·A

•

•

Exemplo 5.9: Como aplicação da proposição anterior, vamo_s o~ter.' novamente, a variância do modelo Binomial. Sendo XI, x2, oo·, Xn vanávelS Independentes, todas com distribuição Bernoulli (p), temos que Y = X1 + X2 + ··· + Xn é. B(n, p). Assim,

Var(Y) = Var

n

n

i=l

i=l

(Lx;) = LVar(X;) = np(l- p) ;

254


o

em que usamos que Var(X;) = p(1 - p), i = 1, 2, .. ·, n .

Definimos, a seguir, uma medida associada à covariância denominada de correlação. Ele tem a vantagem de ser adimensional e, pela padromzação pelos desvios-padrões, permite comparações entre variáveis. coefici~nte

Então,

E(NA)

= 3,43; Var(NA) = 0,49;E(EA) = 7,09; Var(EA) = 1,80.

Com a conjunta de NA e EA, obtemos E(NAEA) = 24,30 e, então

Definição 5.6: Coeficiente de Co"elação

PN,.,EA

Sejam X e Y variáveis aleatórias no mesmo espaço de probabilidade. O coeficiente de correlação entre X e Y é definido por

Corr(X , Y) =

255

5.2 Momentos

Px,Y

=

Cov(NA, EA) O'NAO'EA

E(NAEA)- E(NA)E(EA) = Jvar(NA)JVar (EA) 24,30-3,43 X 7,09 _-O

= Cov(X, Y) ;

y'D,49 Jf,80

O'XO'Y

desde que as esperanças envolvidas na expressão existam.

O

Exemplo 5.10: Desejamos comparar a relação entre número de filhos (N) e anos de escolaridade do pai (E) em farm1ias de dois bairros periféricos da cidade. Apesar dos bairros terem características próximas, suspeita-se que a intensidade da dependência entre essas variáveis seja diferente nos dois bairros. Entre as possíveis razões, destacamos que o bairro B tem uma comunidade de moradores mais participativa e atuante em questões sociais. Para cada bairro, a função de probabilidade conjunta é apresentada abaixo, em que denotamos a variável com um subescrito indicando o bairro considerado. A tabela contém valores hipotéticos, mas poderiam ter vindo de dados coletados durante algum período:

2 3 ..J.

5 0,01 0,05 0.11

6 0,02 0,05 0,10

7 0,05 0,09 0,10

'02.

De modo análogo, para o bairro B obtemos: e

Assim,

E(N8 )

= 3,28; Var(N8 )

= 0,64;E(Es) =

7,06; Var(Ea) = 1,88.

Da conjunta de N 8 e E 8 , vem E(NaEa) = 22,73 e, portanto

Cov(Na,Ea)

Bairro A NA\E.4

-

Bairro B 8 0,03 0.08 0, 13

9 0,01 0,06 0,11

Nn\En 2 3 4

5 0,01 0,04

0,12

6 0,01 0,07 0,13

7 0,03 0,06 0,11

PNn,En =

8 0,08 0,06 0,09

9 0,09 0.05 0,05

Vamos calcular, para cada bairro, o coeficiente de correlação entre as variáveis. Iniciamos com o bairro A e, de modo usual, determinamos as marginais:· e

O'NBO'En

E(NaEa)- E(Ns)E(Es) Jvar(N8 )JVar(Ea) _ 22,73-3,28 X 7,06 _-O

-

Jõ,64Jf,88

-

'39 .

Ambos os bairros têm correlação negativa, indicando a tendência de maior escolaridade do pai implicar em menor número de filhos. Entretanto, as duas variáveis interagem de modo diferente nos dois bairros. Enquanto no bairro A a correlação é próxima de zero, no bairro B a correlação é mais expressiva. O

256


Exemplo 5.11: Vamos calcular o coeficiente de correlação entre as variáveis contínuas X e Y que têm a seguinte função densidade conjunta:

257

5.2 Momentos

Teorema 5.7: Desigualdade de Cauchy-Schw arz Sejam X e Y variáveis aleatórias com segundo momento finito. Então,

f(x, y) = 9 e-ay I(o,yJ(x)I(o,oo)(Y)·

E(IXYI) ~ JE(X 2 )E(Y2 ); com a igualdade valendo se, e só se, Y = aX, para alguma constante a.

Para a variável X temos

100 100

100 3xe- xdx=-i1 3 100 E(X )= 1 x 9 e- Ydydx= 1003x e- x dx=-i2 E(X)=

x

0

2

9e - 3Ydydx=

2

00

0

3

0

Demonstração: Assumimos que E(X2) e E(Y2) não são nulas. Se uma dessas esperanças for zero, a variável será zero com probabilidade 1 e a desigualdade vale. Temos

3

X

2

3

9

0

X

2 E 2(X)=-2 (1) 1 Var(X) = E(X)- 2 = -· 9

3

lXI _ IYI ) E [( JE(X2 ) JE(Y 2 )

9

100 1y 1y = 1 00

E(Y2 )

=

y

o

y2

o

Var(Y)

9 e- 3Y dx dy =

o

o

1009y2e- 3Y dy = -;2

9 e- 3Y dx dy =

o

3

2_ 2

3

100 9y e-ay dy = -; 3

E(XY) =

xy

dy =

o

'*

E(IXYI) ~ JE(X 2 )E(Y2 ).

Se a igualdade valer temos, com probabilidade 1

3

9

O valor esperado do produto XY é dado por: 9 e- 3Y dx

E(IXYI) > JE(X2)E(Y 2) -

2

3

o

2 (2)2 2 - = -.

= E(Y 2 ) - E 2 (Y) = - -

oo1y 1o o

>o, -

pois é a esperança de uma variável não negativa. Desenvolven do o quadrado, aplicando propriedades da esperança e usando que E(X2) = E(IXI 2 ) , vem:

De modo análogo para Y, vem

E(Y)

2 )

1oc

que implica em

1 -9 y 3 e- 3Y dy = -;

o 2

- JE(X2) JE(Y2} IX l-

3

IYI -

Segue então que py:y

· · .

=

Cov(X, Y) crxcry

=

E(XY)- E(X)E(Y) Jvar(X)JV ar(Y)

=

Portanto, Y

i- H = _, J2

fi..Ji

indicando uma associação linear positiva entre as variáveis.

2

o

O próximo resultado é importante para estudar as relações entre variáveis aleatórias, além de permitir estabelecer propriedades do coeficiente de correlação.

= aX com a= ± JE(Y 2)/E(X2 ).

o

Proposição 5.8: Sejam X e Y variáveis aleatórias com variâncias finitas e não nulas. Então: (i)

IPx,YI ~ 1;

(ii) IPx,Y 1 = 1 se, e somente se, uma variável for função linear da outra.

258


Demonstração: (i) Pela desigualdade de Jensen, temos para qualquer variável aleatória

W, IE(W)I $ E(IWI). Combinando esse resultado com a desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada nas variáveis (X- f.J-X) e (Y- f.J-Y ), obtemos IE[(X- tJ-x)(Y- f.l-Y ))I S IE[(X- f.J-x)(Y- f.J-Y ))I$ ICov(X, Y)l $ IPx,YI S

E[I(X- tJ-x)(Y- f.l-Y)IJ (Jensen) JE[(X- tJ-x)2] E[(Y- f.J-y) 2] (Cauchy-Schwarz) ux uy 1.

(ii) Se IPx,YI = 1, vale a igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz e, portanto, temos:

Y- f.J-Y

259

5.2 Momentos

direção, enquanto, com correlação negativa, valores altos de uma variável _ implicam em valores menores da outra. ent~e correlaçao a Salientamos que, se as variáveis são independentes, conclUir pudemos conforme elas é zero. Entretanto, a recíproca não é verdadeira, do Exemplo 5.8. Exercícios da Seção 5.2: 1. Determine a variância dos seguintes modelos:

a. Geo(p). b. Hgeo(m, n, r). c. Gama( a, (3). d. Weibull de parâmetros (a,.>.). 2. Para X,...., Uc[a, b), obtenha E(Xk), k E N e calcule sua variância.

= a(X- f.J,x ).

3. Considere que a variável X segue o modelo Laplace (ou Exponencial Duplo), isto é, sua densidade é dada por fx(x) = ~ e-Aix-~ O e -oo < p, < oo. Determine a média e a variância de X.

Então,

Y=aX+b, e as variáveis têm uma relação linear entre si com a= ± JE(Y2)jE(X 2) e b = f.J-}'- atJ-x.

4. Dois tetraedros equilibrados com faces numeradas de 1 a 4 são la~çados de forma independente. Seja X o menor dos dois números e Y o mator deles. Calcule a correlação entre essas variáveis.

Suponha, agora, que Y = aX + b. Vamos calcular a correlação entre as variáveis. Das propriedades de esperança e variância, temos f.J-Y = atJ-x + b e 2 u~ = a ul (uy = ialux ). Então,

5. Sejam X 1 , X 2 e X 3 independentes e com distribuição Exp(1). Determine a variância da variável (Xt + X2)X3.

Cov(X, Y)

6. Suponha que X é não negativa, mostre que

= E(XY)- f.J-xf.J-y = E(X(aX + b )) - tJ-x(atJ-x + b) 2 = aE(X ) + bf.J-x - atJ-1- btJ-x

.jE(X} 2:: E( -/X).

7. A densidade conjunta entre X e Y é dada por !x,Y (x,y) = 2I(o,y)(x) I(o,t) (y) . Obtenha a correlação entre as variáveis e verifique se são independentes.

2

= aux.

8. Sendo X e y independentes com variâncias finitas e médias iguais, mostre que

Portanto,

E[(X- Y) 2 ] = Var(X) · Px,Y =

{ 1, aul Cov(X, Y) -1, rrxuy = rrx(lalux) =

Dessa forma, a demonstração está completa.

a> O; a< O.

+ Var(Y).

9. Seja (X, Y) Normal Bivariada. Mostre que X e Y são independentes se, e somente se, forem não correlacionadas.

o

O coeficiente de correlação mede a tendência de relacionamento linear entre as variáveis. Se a correlação é zero, dizemos que as variáveis são não correlacionadas. Valores próximos de ± 1, indicam boa tendência de alinhamento. Correlação positiva indica que as variáveis crescem na mesma

10. Se E(X) =O, Var(X) = 1 e JXJ $ M. Mostre que para O < t

<

1,

(1- t2) P(IXI 2:: t) 2:: (M2 _ t2) · 11. Para0 <

8

<

oo e E(/X/ 1) < oo, mostre que E(IXJ") também é finita.

260


5.3 Esperança Condicional Como vimos no Capítulo 1, a probabilidade condicional satisfaz todas as condições para ser, ela mesma, uma probabilidade. Logo, poderíamos, em tese, repetir todo o desenvolviment o feito, no capítulo anterior, para o valor esperado, usando probabilidades condicionadas a algum evento. Do ponto de vista prático, considerando duas variáveis dependentes X e Y, como ficaria o valor esperado de X, se tivermos informação sobre a ocorrência de Y? Esses são alguns dos aspectos que motivam a introdução do conceito de esperança condicional. Para os cálculos de esperança, continuamos usando a integral de Riemann-Stieltjes.

Definição 5.7: Esperança Condicional Sejam X e Y variáveis aleatórias no mesmo espaço de probabilidade dado que Y = y, se existir, é dada por

(n, :F, P). A esperança condicional de X E(XIY

= =I: y)

xdFxjY(xlY

=

valores possíveis. Em termos matemáticos formais, dizemos que X1, X2, ···,X" são variáveis de Bernoulli, cujo parâmetro é dado pela variável Y, com a seguinte função de probabilidade:

Dado um valor de probabilidade de cura, as variáveis Bernoulli são independentes. Ou seja, a cura de um paciente não interfere na de outros e viceversa. Suponha que estamos interessados no valor esperado do número total de curados. Dado Y = p 1, sabemos que esse valor esperado é np1 correspondente a uma Binomial de parâmetros n e PI· Isto é,

E(Xt + X2 + ··· + Xnl Y = pi) = np1.

y).

Se deixarmos indeterminado o valor de Y, temos

o

(

<

261

5.3 Esperança Condicional

A esperança condicional é a esperança calculada com a probabilidade condicional. Sendo E(X) finita, a existência da esperança condicionada à Y é garantida por um importante teorema de análise conhecido como Teorema de Radon-Nikodym . Se a variável Y for contínua, lembremos que o condicionament o em [Y = y] deve ser interpretado como limite de probabilidades calculadas na vizinhança de y. Vamos nos restringir aos casos em que as variáveis são contínuas ou discretas. A expressão E(XJY = y) é uma função de y e, às vezes, é simplesmente denotada por E(XJy). Em Estatística ela recebe também o nome de regressão de X em relação à Y e corresponde à media de valores de X, restrita aos valores de Y iguais a y. Se nós não particularizamos o valor de Y escrevemos E(XJY), que será denominada esperança condicional de X dado Y. Note que E(XJY) é uma função da variável aleatória Y e, portanto, poderá ser variável aleatória, no mesmo espaÇo de probabilidade. Não aprofundaremos aqui esse ponto, mas o requisito para ser variável aleatória é o mesmo mencionado antes. Isto é, a imagem inversa de qualquer boreliano precisa pertencer à a-álgebra :F.

Exemplo 5.12: Como ilustração do cálculo de esperanças condicionais, considere a seguinte situação hipotética. Um conjunto de n pacientes é submetido a um tratamento que pode curar ou não, com certa probabilidade. Essa probabilidade depende das condições hospitalares de aplicação do tratamento e pode ter três

E(X1 + X2 + ··· +XnJY)

=

nY,

que, claramente, é uma variável aleatória discreta. Seu valor esperado pode ser calculado usando a função de probabilidade de Y e será dado por:

E[E(X1 + X 2 + · ·· + Xnl Y)]

n

= E(nY) = 6(3Pt +

2P2 + P:J).

Conforme veremos, em proposição a ser apresentada, esse valor corresponde à esperança (incondicional) de X1 + X2 + ... + Xn. O Exemplo 5.13: A densidade conjunta de X e Y é !x,y(x, y) = 2IA(x, y), em que a região A é definida por A= {(x,y): x > O,y > O,x + y < 1~. . . Sendo y fixado, O < y < 1, pode-se verificar que a densidade cond1c1onal de X dado Y = y é a seguinte:

1

fxiY= (xJy) = - - , para O< x < 1- y < 1. 11 1-y Então, 00

E(XJY==y)= 1 xdFxiY(xJY= y)= -oo

ht-"x 1 ~

Y

dx=

Logo, substituindo y por Y na expressão acima, obtemos E( XI Y) =

1

;Y.

l-;Y.

O

262

Capftulo 5: Momentos, Esperança Condicional e Funções Auxiliares

263


O próximo teorema apresenta uma das principais propriedades da esperança condicional.

Então

E(XYI Y) = YE(Xi Y).

Teorema 5.9: Tomando esperanças dos dois lados vem, pelo teorema anterior,

Sendo X e Y variáveis no mesmo espaço (0, F, P), temos

E(XY) = E[YE(Xi Y)].

E[E(Xi Y)) = E(X),

A maioria das propriedades da esperança condicional são análogas às de esperança e não serão apresentadas aqui. Contudo, a verificação de algumas delas é solicitada em exercícios. Em especial, destacamos que valem, para a esperança condicional, os Teoremas da Convergência Monótona e da Convergência Dominada com as adaptações convenientes.

desde que as esperanças existam.

Demonstração: (parcial) Vamos, apenas, considerar o caso em que as variáveis são contínuas. Supondo conhecida a densidade conjunta temos,

E( XI Y

= y) =

Exemplo 5.14: Um ponto Y é escolhido de acordo com o modelo Uniforme Contínuo em [0, 1]. A seguir, um outro ponto X é escolhido, também segundo o modelo Uniforme Contínuo, mas, agora, no intervalo [0, Y]. Vamos obter a esperança de X. Lembrando que a média do modelo Uniforme Contínuo [a, b) é (b- a)/2, temos imediatamente E( XI Y = y) = y/2. Logo E( XI Y) = Y /2 e, então,

y) dx, se Jy(y) >o. joo x dFxJY(xiY = y) = joo x !x,y(x, fy (y) -oo

-oo

Então,

E[E(Xi Y)J = =

1: foo (joo 1:1: 1:

E( XI Y = y) dFy(y)

-oo

=

=

E(E(Xi Y)) =E( Y /2)

D Exemplo 5.15: Considere um círculo de raio unitário com centro na origem do plano cartesiano. Defina o par aleatório (X, Y) como sendo um ponto do primeiro quadrante escolhido ao acaso nesse círculo. Seja Z a área do retângulo formado pelos pontos (±X, ± Y). Assim, Z = 4XY e estamos interessados no valor esperado dez. A Figura 5.1 ilustra a situação. Para o primeiro quadrante e no círculo unitário temos área 1r /4 e a conjunta de X e Y será:

xfx,y(x,y)dxdy

x(1: !x,y(x,y)dy)dx

= 1:xfx(x)dx = E(X); em que a~sumimos que foi possível trocar a ordem de integração. Isto é permitido, O em especial, se a esperança de X é finita. Uma útil aplicação do resultado acima é obter a esperança do produto

XY em função da esperança condicional de X dado Y. Note que E(XYI Y

=~E( Y) = ~·

x Jx,y(x, y) dx) Jy(y) dy Jy(y) -oo

= y) = E(Xyi Y = y) = yE(Xi Y = y).

4

•

!x,y(x, y) = -, se x 2 + y2 1f

= 1, O::::; x::::; 1 e O::::; y::::; 1.

2 Para a marginal de Y, temos Jy(y) = ~(1 - y 2 ) 11 , O < y < 1. Então, a densidade condicional de X, dado que Y = y, corresponde ao modelo Uniforme Contínuo no intervalo [0, (1 - y2)1/2j.

264

Cap(tulo 5: Momentos, Esperança Condicional e Funções Auxiliares

265


Definição 5.9: Covariância Condicional Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias no mesmo espaço de probabilidade

(n, F, P). A covariância condicional entre X e Y dado Z = z é dada por Cov[(X, Y)l Z = z) = E(XYI Z = z)- E(XI Z = z)E(YIZ = z); (X,YI

D

supondo a existência das esperanças envolvidas.

Como fizemos com a esperança condicional, podemos considerar o condicionamento na variável, ao invés de em um dos seus valores. Desse modo, Var(XIY) será função de Y e, também, será variável aleatória dentro das condições já mencionadas. O mesmo ocorre com Cov[(X, Y)l Z). Exercícios da Seção 5.3:

1. Mostre que, sendo a e b constantes quaisquer, E(aX + bl Y) = aE(XI Y) 2. Se Y"' Bemoulli(p), E( XI Y =O) = 1 e E( XI Y

Figura 5.1: Retângulo construído a partir de (X, Y).

+ b.

= 1) = 2, obtenha E( X).

3. Verifique que, se X e Y são independentes, então E( XI Y) =E( X). 4. Suponha que E( XI Y) = aY + b para constantes a e b. Obtenha o valor de E(XY) em função de E(Y) e de E(Y 2).

Para o valor esperado condicional, vem

E( XI y = y) = (1 _ y2}112 ; 2.

S. A densidade conjunta de X e Y é dada por fx,y( x,y) I(o,t)(y). Determine E( XI Y) e E(YI X).

Assim, E(XY)

= E[YE(XI Y)]

Então, obtemos E(Z)

2 112 1 =E[ Y ( - Y ) ) 2

= E(4XY)

= 3_ (

rr}0

y (1 _ y2) dy

= 2-.

6. Verifique ou dê contra-exemplo para: E( XI aY + b) = E( XI aY) +E( XI b).

2rr

7. O

= 2/rr.

Poderíamos também definir momentos condicionais de modo análogo ao que foi feito para esperança. Não vamos aprofundar esse tópico e nos restringimos a apresentar os conceitos de variância e covariância condicional e suas relações com a esperança condicional. (

Sejam X e Y variáveis aleatórias no mesmo espaço de probabilidade (n, F, P). A variância condicional de X, dado que Y = y, é o valor esperado dos desvios da variável em relação à esperança condicional, ou seja

= y) = E{[X- E(XI Y = y}F} =

2 A conjunta de X e Y é dada por Jx,y(x, y) = 4 e- Yf(o,y)(x) I(o,:x:.)(y). 2 Obtenha E(2X/ Y), E(X 1 Y) e E[E(Y/Y)].

8. Demonstre para o caso discreto que E[E(XI Y)] =E( X). 9. Mostre que Var(X) = E[Var(Xl Y)] + Var[E(Xl Y))], supondo que as esperanças e as variâncias envolvidas sejam finitas. 10. Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta:

Definição 5;8: Variância Condicional

Var(XIY

= (x+y)I(o,t)(x)

E(X21 Y

supondo a existência das esperanças envolvidas.

= y)- E 2 (XI Y

= y); O

1

Jx,y(x,y) = 8(6-x-y) I(o,2)(x)I(2,4)(Y)· a. Obtenha E(Yl X= x) e Var(Yl X= x). b. Verifique que E(Y) = E[E(Yl X)]. c. Calcule E(XYI X= x).

266


5.4 Função Geradora de Momentos Nesta seção, apresentamos afunção geradora de momentos. Como outras transformadas, ela facilita o cálculo de probabilidades e de outras quantidades relacionadas. Como mencionamos no ínicio do capítulo, após aplicar a função geradora de momentos efetuamos o cálculo de interesse e obtemos o resultado no domínio das transformadas. Com a aplicação do chamado Teorema da Inversão, podemos voltar ao domínio das funções originais, se isto for de interesse.

5.4 Função Geradora de Momentos

Exemplo 5.17: Para X"' Po(>.) a função geradora de momentos é calculada da seguinte forma:

Mx(t)

oo 13.e-.\ ).i = = E(e1x) = Le 1 j=O

Mz(t)

desde que a esperança seja finita para t real em algum intervalo -to < t O.

Exemplo 5.16: Vamos obter a função geradora de momentos de X"' B(n,p). Temos

Mx (t ) = E(e1x)

=

t

efi (~) rJ (1- p)n-j

t

(~) (etp)i (1- p)n-J

1

j=O

=

= (pe

J

1

+ 1- Pt·

/00 _1_ e-(z2-2tz)/2dz -00 J2;

= et2j2!oo _1_ e-(z-t)2/2dz

- et2}2.

-

-oo J2;

'

sendo que a última integral é igual a 1, pois corresponde à densidade N(t, 1). Suponha que X "' N(J.L, a 2 ), vamos usar o resultado já obtido e propriedades da esperança para calcular a função geradora de momentos de X. Sabemos que X= aZ + J.L, com Z "'N(D, 1) e, então,

Mx (t)

tt2t2

= E(etX) = E(et(aZ+p) ) = et~'E(etaZ) = et~' Mz( ta) = etP+-r.

Observe que poderíamos ter calculado essa função geradora diretamen~e pela integral, usando a definição. Entretanto, o caminho utilizado parece ser m_ais simples, além de ilustrar uma técnica freqüentemente empregada em funçoes O geradoras. Exemplo 5.19: Seja X uma variável aleatória seguindo o modelo. Exponencial de parâmetro >.. A função geradora de momentos é calculada da segumte forma:

J

j=O

= E(etz) = /oo _1_ etz e-z2/2dz -oo J2; =

E(e1x);

A função geradora de momentos é o valor esperado de uma função positiva da variável aleatória. Segundo nossa definição de esperança, o valor infinito era possível e, portanto, a expressão acima também poderia produzir esse valor para alguns intervalos de t. Entretanto, a definição de função geradora de momentos requer que a integral seja finita para valores de t numa vizinhança de zero. Isto garante algumas propriedades importantes dessa função. Assim, ao apresentar a função geradora de momentos, convém sempre mencionar o intervalo de valores de t (sempre ao redor do zero) em que ela existe.

1·

Exemplo 5.18: Sendo Z "'N(O, 1), sua função geradora de momentos é

A função geradora de momentos da variável X é definida por =

j=O

o

Definição 5.10: Função Geradora de Momentos

Mx(t)

1·

-.\ ~ (>.et)i - -.\ .\e' - -W-e') . e ~ -.-1 - - e e - e

Mx(t)

o

= E(etX) = Loo etx ). e-.\xdx = ). ~ t, t < >..

Note que restringimos os valores de t para garantir que a integral seja finita.

O

Como o próprio nome diz, a função geradora de m~me.ntos pode .ser usada para obter os momentos da variável. O próximo teorema md1ca como Isso pode ser feito.


268

Aplicando t

Teorema 5.10: Suponha que a função geradora de momentos de X exista para t 0 > O. Então, E(X ") existe para n = 1, 2, ··· e temos:

269


= O, resulta em

ltl < t0 , D

completando a demonstração do teorema.

Exemplo 5.20: Sendo X "' B( n, p), vamos obter seus dois primeiros momentos, através da função geradora de momentos. Temos

Demonstração: Lembrando a expansão de ex , podemos escrever para

Iti

$ to:

etx = 1 + tX + (tX) 2/ 2! + (tX) 3 /3! + · · ·;

Mx(t) = (pet

+ 1- Pt,

e, portanto,

aplicando esperança, obtemos do lado esquerdo Mx(t). Para o lado direito, itindo ser válido permutar soma infinita e esperança, temos

Mit (t) = np(pet + 1 - p)"- 1et; M!k(t) = np(n - 1) (pe1 + 1- p)"- 2 pe1e1 + np(pet + 1 - p)"- 1 e1 . Com t = O, obtemos

Ao tomar as derivadas dos dois lados da expressão acima, supomos que o lado direito possa ser escrito como a soma infinita das respectivas derivadas. Repetindo a operação de derivação, vamos diminuindo as potências de t. Para produzir os momentos, igualamos t a zero nas sucessivas derivadas obtidas. Assim, para a primeira derivada vem

E(X) E(X2 )

=

Mit(t)l

, = np; t=O

= M!k(t )L0 = np(np - p + 1).

Para a variância, temos

Var( X) = E(X 2)- E2 (X) = np(np- p + 1)- (np)2 = np(1- p); confirmando as expressões obtidas anteriormente.

com t = O, obtemos

D

Exemplo 5.21: Sendo Z "' N(O, 1) vamos verificar, através da função geradora de momentos, os valores de O e 1 para média e variância, respectivamente. 2 Tomando a primeira e a segunda derivadas de Mz(t ) = ef 12 , obtemos que é o primeiro momento, ou, simplesmente, a média. Não é díficil perceber que uma ~va derivação, seguida da atribuição do valor de t igual a zero, produz o segundo momento. Prosseguindo dessa forma. para a n-ésima derivada, temos

M ('n)(t) = !!..._ M ·(t) = O+ E(X") + (n + 1) n (n- 1)· · "2 tE(X"+ 1 ) + (n + 1)! 8t 11 X X

+

(n + 2) (n + 1)n · · ·3 2 E(xn+ 2 ) + t (n + 2)!

••.

·

M~(t) = t e~ 1 2 ; M~ (t) = et2/2 + t (t et2f2). 2

Com t = O, obtemos o primeiro e segundo momentos:

E(Z) =

M~(t) l t=O = O;

E(Z 2 ) = M~ (t) l Segue, sem dificuldade, que Var(Z ) = 1.

t=O

= 1. D

270


O conceito de função geradora de momentos pode ser estendido para mms de uma variável. Isto será muito útil na avaliação do comportamento conjunto de variáveis e tem, ainda, aplicações na área de Estatística. Definição 5.11: Função Geradora de Momentos Multidimensional Sejam X1,X2, ···,Xn variáveis aleatórias definidas num mesmo espaço de probabilidade e t1, t2, · · ·, tn números reais. A função geradora de momentos multidimensional dessas variáveis é definida por M XbX2, ···,Xn (t 1, t 2, ... , t n ) = E( et1X1+t2X2+··+tnXn)·,

271


em que usamos 1- p1 = P2 + P:l· Os momentos da variável X1 são agora obtidos, de modo usual, através de Mx1(tJ). De modo similar, a função geradora de momentos conjunta entre X 1 e X 2 é obtida de Mx~>x2 ,x3 (tt, t2, t3) com t3 =O. Substituíndo P3 por 1- Pt - P2. vem Mx1 ,x2(tt, t2) = Mx~ox2 ,x3 (tt, t2, O)= (ptet1 + P2€t2

+ 1- p1 - P2t·

Dessa conjunta, é possível calcular o valor esperado do produto das variáveis. Temos

desde que a esperança seja finita para os tj's tomados numa vizinhança de zero. O Vamos aproveitar o próximo exemplo para apresentar, de modo informal, alguns resultados relacionando momentos e função geradora multidimensional. Exemplo 5.22: Suponha que a função de probabilidade conjunta de X 1, X 2 e X 3 é Multinomial com parâmetros n, p 1, P2 e P3· Assim, temos

Assim, a partir da média e da variância das variáveis, podemos também obter Cov(X1,X2)

= -nPtP2

Deixamos ao leitor essa verificação.

3

3

com Ex;= n, LPi = 1 e x1,x2 e x 3 E {0, 1, ···,n}. i=l

i=l

e

Px1,X2

=

-J ( :J~ _ 1-

P2) ·

o

Parece ser intuitivo assumir que, se duas vanavets têm a mesma distribuição, então suas funções geradoras de momentos, se existirem, são iguais. Assim, a função geradora de momentos pode não existir, mas, se existir, será única. Considere, agora, duas variáveis com a mesma função geradora de momentos, o que dizer de suas funções de distribuição? Esse é um resultado importante, apresentado no próximo teorema. Teorema 5.11: Se duas variáveis aleatórias têm funções geradoras de momentos que existem, e são iguais, então elas têm a mesma função de distribuição. Demonstração:

= (p1et1 + P2€t2 + P3€ta)n. Note que não é difícil generalizar o resultado para k variáveis. Para obter a função geradora de momentos de X1o colocamos t2 = t3 =O na expressão acima. Assim,

A prova será omitida. A demonstração de um resultado similar para funções características é feito mais adiante. O O Teorema 5.11 pode ser estendido para variáveis aleatórias multidimensionais. Dessa forma, a existência de funções geradoras de momentos conjunta que sejam iguais, implica em funções de distribuição conjunta também iguais. Um problema importante em Estatística, conhecido como Problema dos Momentos, discute condições em que a informação sobre toda seqüência de momentos determina a função de distribuição. Se existir a função geradora de momentos, ela determina os momentos e, pelo Teorema 5.11, determina de modo

-272


umco a função de distribuição. Portanto, uma condição suficiente para a seqüência de momentos determinar a função de distribuição é a existência da função geradora de momentos. Nos próximos exemplos, apresentamos algumas outras aplicações desse resultado.

Exemplo 5.23: A função geradora de momentos de uma variável X é dada por: 1

M x (t) = ( 3et

2)4

+3 .

n

My(t) =

I1 Mx (t); 1

j=I

com t assumindo valores, na mesma vizinhança acima mencionada.

Demonstração: Pela definição temos My(t) = E(et(Xt+X2+···+X,))

Comparando essa expressão com a função geradora do modelo Binomial, O concluímos que X "' B( 4,

l ).

Exemplo 5.24: Sendo X"' N(O, 1) vamos obter a distribuição de Y = X 2 • Com auxílio da função geradora de momentos temos

273


E( etX1 etX2 ... etx,) = E(etX1 )E(etX2) ... E(etX, ),

=

e daí segue o resultado desejado. Note que a última igualdade é conseqüência da independência entre as variáveis. D

Teorema 5.13: Função Geradora Conjunta de Variáveis Independentes Sejam XI,X2, ···,Xn variáveis aleatórias com função geradora de momentos conjunta Mx 1,x2 ,. .. ,x, (ti, t2, · · ·, t 11 ), com os tj's tomados numa vizinhança de zero. Então as variáveis XI, X 2, · · ·, Xn são independentes se, e somente se, a função geradora de momentos conjunta pode ser fatorada como o produto das funções geradoras das variáveis. Isto é: note que, na última integral, o integrando corresponde à densidade do modelo N(O, (1 - 2t)-I ). Concluímos que Y "' Gama(~, ~ ), cujo modelo também é denominado Qui-quadrado com I grau de liberdade. D Apresentamos, a seguir, dois teoremas que envolvem variáveis aleatórias independentes. Os resultados parecem similares, mas envolvem funções geradoras em diferentes dimensões.

Teorema 5.12: Função Geradora da Soma de Variáveis Independentes Sejam XI, x2, .. ·, Xn variáveis aleatórias independentes e funções geradoras de momentos, respectivamente, iguais a Mx1 (t), j = 1, 2, · · ·, n, para t em alguma vizinhança de zero. Se Y = XI + X2 + ··· + X 11 , então a função geradora de momentos de Y existe e é dada por:

Mx~ox2 ,. .. ,x.. (ti, t2, · · ·, tn) =

I1" Mx (tj). 1

j=l

Demonstração: Vamos supor que XI, x2, .. ·, Xn sejam independentes e mostrar que a fatoração é válida. Temos M X11X2,···,X, (t 1, t 2, ... , t n )

= E(et1Xt+t2X2+ · +t.. x,) = E( et1X1 et2X2 ... et,x.. ) = E(ettXt)E(et2X2) ... E(et,X,.) n

=

I1 Mxi(tj)· j=l

Portanto, vale a fatoração em produto das funções geradoras das variáveis.

274


Considere agora que a fatoração é válida, vamos demonstrar que as variáveis são independentes. A prova será feita por indução, iniciando-se com n = 2. Sejam Yi e Y2 duas variáveis aleatórias independentes cujas distribuições marginais são iguais as de X 1 e X 2 , respectivamente.

Myt,Y2(tt, t2)


275

Exemplo 5.26: Sejam X e Y variáveis independentes com a mesma densidade N(O, 1). Vamos obter a conjunta deU = X+ Y e V= X- Y e verificar se são independentes. Temos Mu,v(t 1 , t 2 )

= E(et1U+t2V) = E(et1(X+Y)+t2(X-Y)) = E(eX(tt+t2)+Y(tt-t2)) = E( eX(t1+t2)) E( eY(t1-t2))

= E(ettYt+t2Y2) = E( et 1Yi )E( et2Y2) (independência)

= Mx(tt

= E( et1X1)E( et2X2) (igualdade das distribuições), = E(et1X1+t2X2) (fatoração válida)

=e

= Mx1,x2 (tt, t2).

=

Do Teorema 5.11 (caso multidimensional), segue que (X 1 , X 2 ) e (Yi, 12) têm a mesma função de distribuição conjunta, pois têm a mesma função geradora de momentos bidimensional. Uma vez que a função de distribuição conjunta é o produto das marginais, as variáveis X 1 e X 2 são independentes. Para completar a indução, falta verificar que, se o resultado é válido para k, vale também para k + 1. A verificação é feita sem dificuldade repetindo os os do caso n = 2, com Yi sendo agora um vetor aleatório k-dimensional. Dessa forma, concluímos a indução e o teorema está demonstrado. O

Exemplo 5.25: Do Capítulo 2, vimos que a soma de n variáveis de Bernoulli independentes é Binomial. Vamos verificar esse resultado, novamente, com o auxílio das funções geradoras de momentos. Sejam Xt, X2, · · ·, Xn vanavets aleatórias independentes com distribuição Bernoulli de parâmetro p. Portanto,

Mx;(t)

= pet + 1- p;j = 1,2, · ··,n.

Então, 1l

Mx 1+X2 +··+x,.(t)

= IT Mx/t) = (pet + 1- p)"; j=l

que corresponde à função geradora de momentos de uma variável aleatória Binomial com parâmetros n e p. Logo, temos X 1 + X 2 + ··· + Xn rv B(n,p). 0

(lt+;2>2

+ t2) My(tt e

- t2)

(lt-12)2 2

= e(tr+t~) e2tV2 e2t~/2;

note que, essa última expressão é o produto das funções geradoras de duas variáveis com distribuição N(O, 2). Portanto, as variáveis aleatórias Ue V são O independentes. Exercícios da Seção 5.4:

1. Para a e b constantes, expresse a função geradora de Y = aX + b em função de Mx (t). 2. Obtenha a função geradora de momentos dos seguintes modelos:

a. Geo(p). b. Gama( a, (3). 3. Considere que a variável X segue o modelo Laplace (ou Exponencial Duplo), isto é, sua densidade é dada por fx(x) = ~ e-Aix-1'1[(-oo,oo)(x), com À > O e -oo
X-2Y. 6. Sendo X e Y momentos de W

rv N(O, 1) independentes, calcule a função geradora de Y) 2 e identifique sua distribuição.

=

HX-

276


Yí

= X 1 + X2 e

a. Mostre que a função geradora de momentos conjunta de }í e

Y2 é dada por:

7. Sendo Xt, X2 "'N(O, 1) independentes, defina as variáveis Y2 =X~+X~. eftU(1-2t2Jl (1- 2t2) ; -()()

1

< tl < oo, 00 < t2 < 2"

b. Calcule o coeficiente de correlação entre Yí e

Y2.

8. Calcule a função geradora de momentos de XY, para X e Y independentes e com distribuição N( O, 1). 9. Considere que X1, X2, · · ·, Xn são variáveis discretas e independentes. Usando função geradora de momentos, determine a distribuição da soma X1 + X2 + ··· + Xn, nos seguintes casos: a. X j "'Poisson(>..3), j = 1, 2, · · ·, n. b. X 3 "'B(n3,p),j = 1, 2, ···,n. c. X 3 "' Geo(p), j = 1, 2, · · ·, n.

10. As variáveis X1, X2, · · ·, Xn são contínuas e independentes. Usando função geradora de momentos, determine a distribuição de X 1 + X 2 + ··· + Xn, nos seguintes casos: a. X i "' Gama( ai, {3), j = 1, 2, · · ·, n. b. X i "'N(J.Li, a]), j = 1, 2, · · ·, n.

277

5.5 Função Característica

esperanças das duas partes sejam finitas. Assim, temos:

em que E(Xa) e E(Xb) são finitas. Os casos multivariados e de funções de variáveis complexas são tratados de forma similar. A integração de funções complexas é adaptada de forma conveniente e, para efeitos práticos, podemos operar como se estivéssemos com funções reais. As propriedades usuais de números complexos serão usadas. Sendo z =a+ ib, denotaremos por lzl seu módulo e por z seu conjugado.

Definição 5.12: Função Característica A função característica da variável X é definida por

4Jx(t) = E(eítX) = E[cos(tX)J para t real e i=

J=l.

+ iE[sen(tX)];

.

Exemplo 5.27: Considere a variável aleatória X com distribuição Uniforme Contínua no intervalo [a, bJ. Sua função característica é dada por:

4Jx(t) = E(eítX) = E[cos(tX)J

+ iE[sen(tX)]


=

~a dx + i1\en(tx) b ~a dx t(b ~a) ( sen(tx)- i cos(tx)) 1:

A função geradora de momentos é uma ferramenta muito útil, conforme observamos nos vários exemplos apresentados na seção anterior. Contudo, tem a desvantagem de que a integral que a define pode, nem sempre ser finita e, portanto, nem sempre existirá. Definiremos uma nova transformada que tem a vantagem de sempre existir. Entretanto, teremos o inconveniente de trabalhar com uma função de valores complexos. Até aqui, só tratamos com variáveis reais, mas o caso complexo é similar. Sem aprofundar o assunto, diremos que uma variável aleatória X é complexa, se pode ser escrita como X = xa + i xb, em que i = e xa e xb são variáveis aleatórias reais. Assim, para verificar que uma função complexa é variável aleatória, precisamos verificar as propriedades da imagem inversa nas suas duas partes. Para o valor esperado de X, no caso complexo, exigimos que as

=

t(b ~a) (sen(tb)- sen(ta)- icos(tb) + icos(ta))

FI

o

=

1b cos(tx) b

ítb

ita

~ (b- e ~t

-a

) (após multiplicar e dividir por i).

O leitor pode refazer o cálculo, sem usar a decomposição em seno e cosseno. Nesse caso, trata-se i como se fosse uma constante real, conforme mencionado acima. O

(

278

Capltulo 5: Momentos, Esperança Condicional e Funções Auxiliares

Exemplo 5.28: Seja X"' Gama(a,{3). Vamos calcular sua função característica. Temos

c/>x (t) = E(eitX) = =

{oo eitx_/!:__ xa-1 e-f3x dx r(a) ~) 1oo xa-1 e-x(!Ht) dx

A função característica tem aplicações e propriedades similares à função geradora de momentos. Na próxima proposição, listamos algumas de suas propriedades. Proposição 5.14:

lo

Seja X uma variável aleatória qualquer e c/>x sua função característica, então:

{3a r(a) . . = r( a) ({3- it)a (suceSS1VaS mtegraçoes por partes) = ({3

~

(i) c/>x(O)

1

=

1;

(ii) lc/>x(t)\ ~ 1;

itr.

(iii) Para

r.

a e b constantes, c/>aX+b(t) = eitbc/>x(at);

(iv) Se as variáveis aleatórias X e Y são independentes então, c/>x+Y(t) = c/>x(t)cj>y(t) (vale para n variáveis);

Particularizando valores para a e {3, obtemos as funções características de membros da farru1ia Gama. Por exemplo, para a = 1, temos a Exp(f3) com c/>x(t) = !3/(!3- it) e, para a= n/2 (n inteiro) e {3 = 1/2, obtemos uma Quiquadrado com n" graus de liberdade, que tem função característica dada por

c/>x(t) = ( 1-2it

279


. (v) c/>x é uniformente contínua; (vi)

c/>x também gera momentos:

o

Tendo em vista as proximidades das definições, se a função geradora de momentos existe e é conhecida, ela pode ser usada para calcular a função característica. Temos c/>x(t) = Mx(it ), correspondendo a uma alteração no donúnio e na imagem da função geradora.

(vii)

n

+1-

j=1 k=1

para quaisquer números reais tt, h,···, tn e complexos z1, z2, · · ·, Zn· Demonstração:

Pt;

resultado que pode ser confirmado com a aplicação da definição.

= 1, 2, ···vale

n

L L c/>x(ti- tk) zi 2k ~ O,

Exemplo 5.29: Seja X"' B(n , p). Lembremos que sua função geradora de momentos é dada por (p e 1 + 1 - p )n. Portanto, segue imediatamente para a função característica:

c/>x(t) = E(eitX) = Mx( it) = (peit

c/>x é positiva definida. Isto é, para todo n

(i) c/>x(O) = E(ei0 X) =E( I) = 1. (ii) Lembremos que o módulo de um número complexo z = a

O

Exemplo 5.30: Sendo X "'N(J-L, a 2 ), vamos usar o resultado obtido com a função ger.adora de momentos para determinar sua função característica. Temos .,2,2 Mx (t) = e 1 ~'+-r e, então

c/>x(t) = E(eitX) = Mx( it) = eit11-"~ . 2

Note que, se 11 = O a função característica será um número real. Isto sempre ocorre com variáveis simétricas em relação ao zero. A verificação desse resultado é solicitada em exercício no final desta seção. O

por \z\

= Ja2 +b2. Assim, \c/>x(t)\

+ ib é dado

= \E(eitX)\ = \E[cos(tX)) + iE[sen(tX)JI = JW[cos(tX) ) + E2[sen(tX)) ~ JE[cos2(tX) ) + E[sen2(tX)) (Jensen) = JE[cos2(tX) + sen2(tX)) = 1;

280


em que a última agem decorre da relação fundamental entre seno e cosseno. Como conseqüência dessa propriedade, a função caracteóstica sempre existe para qualquer valor de t nos reais. (iii)

281


= O vem

Então, com t

an 1/Jx(t)l = inE(Xn). t=O a tn

<PaX+b(t) = E(eit(aX+b)) = eitbE(eitaX) = eitb

Logo, da função característica, obtemos os momentos, levando em conta as potências do número complexo i.

(iv) Temos

(vii) Para verificar que 1/Jx é positiva definida, considere n E N e, assim, n

aqui utilizamos que a independência entre X e Y, implica a independência entre funções complexas dessas variáveis. Isto estende o que foi mencionado anteriormente para funções reais. A prova poderia também ser feita, usando a decomposição de étX e eitY em seno e cosseno. Nesse caso, trabalhaóamos com funções reais e depois faóamos a recomposição para as funções caracteósticas. Omitimos a prova para n variáveis, mas ela é similar. (v) Para verificar que

I
IE(ei(t+h)X- eitX)I E(lei(t+h)X _ eitXI) = E(leitX(eihX _ 1)1) = E(leitXII(eihX -1)1) (use que leitXI = E(leihX- 11).

n

n

L L tPx(tj-tk)ZjZk ~1~1

=

n

LLE(eiX(trtd)ZjZk ~1~1

n

n

= LLE( zjeiXti Zk e-iXtk) j=1 k=1

=

~

= 1)

Então limlt/lx(t +h)- 1/Jx(t)l ~ limE( IeihX- 11) =E( lim leihX- 11) =O;

h-->0

h-->0

e, portanto, tjJ é positiva definida.

D

Exemplo 5.31: Sendo X"'" B(n, p), usaremos sua função característica 1/Jx(t) = (peit + 1- p)n, para obter os primeiros dois momentos. Tomando duas sucessivas derivadas, obtemos

h-->0

em que a troca de ordem entre limite e esperança é justificada pelo Teorema da Convergência Dominada. Como a majoração, na expressão acima, não depende de t, a continuidade é uniforme.

(vi) Para n fixado, com E(IXIn) < oo, pode-se verificar que é válido inverter a ordem entre diferenciação e esperança. Assim,

~tP (t) = ~E(eitX) =E(~ eitX) = E(in xneitX). 8tn X 8tn 8tn

tP'x(t) 1/J'Jc(t)

= =

npi(peit + 1 - Pt-1eit; npi(n- 1)(peit + 1- p)n-2pieiteit + npi(peit + 1- Pt-1ieit.

Substituindo t por zero, vem

iE(X) = t/J'x(t)L = npi :::} E(X) = np; 0

i 2E(X2) = tjJ'Jc(t)lt=O = npi 2(np- p + 1):::} E(X2) = np(np- p + 1). Outros momentos poderiam ser calculados de forma similar.

D


282

2

.

tf2t2

~

Exemplo 5.32: Se X"' N(J.L, a ), temos 4Jx(t) = e•tJ.L--y- como sua função característica. Vamos usar esse resultado para confirmar os valores da média e da variância. Temos 4J~(t)

,2,2 = (iJ.L- a 2t) e'·tJ.L--y-

4J~(t) =

"t

::::}

4J'z(t) 2

-a2 e' J.L-,-+ (iJ.L- a t)

::::} 4J" z(t)j

,2,2

I

t=O

2 .

e-iat _ e-ibt

I

.

zt

= ÍJ.L ::::} E( X) = J.L;

a 2•

sendo F(w) = HF(w) c> O e a< b.

D

1

2n

jc

-c

e-iat - e-ibt

.

1 Int(c) = 27f

=

2'

I=

1)

+ i sen w)

!c

e-iat _ e-ibt .

zt

-c

4Jx(t) dt

_!_fc e-iat -:- e-ibt E( eitX) dt

2n

zt

-c

27f -c

zt

= -

1

27f

E

( e-i(a-X)t _ e-i(b-X)t )

(l) Se F for contínua em w, então F( w) = F( w).

é definida para ser b - a, quando t = O, coincidindo com o respectivo limite. Logo, ela será contínua para todo t real e limitada pois:

dt

it

-c

1

Algumas observações preliminares:

it

!c !c (

=E [ 27f

4Jx(t) dt;

+ F(w-)}, Vw E JR., e os números reais a, b e c tais que

e-iat iie-ibt

.

(de e•w = cos w

t

_! "bt

= _!_fc E(e-iat- e-ibt eitX )dt

Demonstração:

(2~ A função

I

1. t 2w

Denotando por Int(c) a integral da fórmula da inversão vem

Seja X uma variável aleatória qualquer," então sua função característica 4Jx(t) determina a função de distribuição de X, através da seguinte Fórmula de Inversão:

c-+oo

zt 2 sen( (b-a)t]l 2

I(use le _ I = le

em que essa última desigualdade segue de lsen wl ::::; w, Vw E JR..

Teorema 5.15: Fórmula de Inversão

-

.

::::; b-a;

,2,2

Por definição, a função característica é determinada unicamente pela função de distribuição da variável aleatória. Os resultados conhecidos como Fórmula de Inversão e Teorema da Unicidade garantem a recíproca e são apresentados a seguir.

-

e!i(b-a)t _ di(a-b)t

e•tp.--y-

t=O

F(b)- F( a)= lim -

I= I =

= -a2+ (iJ.L)2::::} E(X2) = a2+ Jl?.

Segue, sem dificuldade, que Var(X) =

283


e-i(a-X)t _ e-i(b-X)t )

.

zt

-c

].

dt ,

essa última agem é uma aplicação do Teorema de Fubini (ver Chae [80]) que trata da troca de ordem de integrais. O teorema pode ser usado tendo em vista que o integrando é limitado, conforme observado acima. Vamos trabalhar, agora, com a expressão entre colchetes. Desenvolvemos o termo exponencial em seno e cosseno e notamos que, para todo w E R fcos(wt) é função ímpar e fsen(wt) é par. Portanto,

c !

1 -cos(wt) dt =O e -ct

!c

-c

1 -sen(wt) dt = 21c1tsen(wt) dt. t

O

284


Assim, 1 ~c (

-

285


Assim, e-i(a-X)t _ e-i(b-X)t )

2rr - c

it

1 ~c

( ei(X-a)t _ ei(X-b)t )

2rr -c

it

&=-

&

11c -:-1 (cos((X- a)t] + i sen[(X - a)t] -

=-

2rr

-c tt

- cos[(X- b)t] - isen[(X - b)tJ)dt

=~

1c (sen[(X- a)t] ~ sen[(X- b)t] )dt

I

}!_,~ {g(c(X- a))- g(c(X- b))} = Definindo Y = ~I{a:SX
o,

se X

< a ou X > b;

1/2,

se X

= a ou X = b;

{ 1,

se a< X< b.

+ ~I{a<X:Sb}• o limite acima pode ser expresso

g(c(X- a))- g(c(X- b))-+ Y,quando c-+oo.

= .!_1csen[(X- a)t] dt _ .!_1csen[(X- b)t]] dt t

rro 1 1c(X-a)

= rr o

t

rr 0

11c(X-b) -sen-u du

sen u --du-u rro

Sejam c1, c2, ... uma seqüência de números positivos com en-+oo, quando n-+oo. Considere as variáveis aleatórias Y1, Y2, ···tais que

Yn = g(cn(X- a))- gn(c(X- b) e Yn-+ Y, quando n-+oo.

u

= g(c(X - a)) - g(c(X- b) ); Observe que

IYn

em que g(.) é dada por:

11w senu du, w

g(w) = 7r

o

--

u

lim E(Yn ) =E[ lim (Yn)] = E(Y). n---+oo

ER

Para o valor esperado de Y temos:

E(Y) = Int(c) =E{ g(c(X- a))- g(c(X- b)) }·

Como vamos ar ao limite para c -+oo, precisamos verificar se é possível trocar a ordem entre limite e esperança. Isto será garantido pelo Teorema da Convergência Dominada, tendo em vista que g é contínua e com lim g(w)

2M e, portanto, pelo Teorema da Convergência Dominada: n--+oo

Logo, temos

w_,±oc

1 :::;

= ± ~2 ;

segue, então, que g será limitada. Isto é, existeM tal que jg(w)l :::; M, Yw E R

~ P(Y =a)+~ P(Y = 2

2

+ 1 x P(a <X< b)

=

~ {F(a)- F( a-)}+ ~{F(b)- F(b-)} + 1 x {F(b-)- F(a)}

=

~{F(b) + F(b-)}- ~{F(a) + F(a-)}

= F(b)- F( a).

Então, limlnt(c) = c--+00

= lim Int(cn) = limE(Yn) = F(b)- F(a), C11 -+00

e a demonstração está completa.

r1

b)

n-+ 00

o

286


287


Teorema 5.16: Teorema da Unicidade

Temos

Se as variáveis aleatórias X e Y têm a mesma função caracteó stica, então elas têm a mesma função de distribuição. Demons tração: Por hipótese, X e Y têm a mesma função característica e, como conseqü ência da Fórmula de Inversão, temos para quaisquer a, b reais e a < b,

Fx(b)- Fx(a)

=

Fy(b)- Fy(a) .

Para a-+-oo, segue que Fx(a)-+0 e Fy(a)-+0 e a igualdade acima se toma:

Fx(b) = Fy(b), Vb

IR.

Fx(c) $ Fx(b) $ Fx(b) e Fy(c) $ Fy(b) $ Fy(b). Lembrando que a função de distribuição é contínua à direita, tomamos limite para b ! c. Dessa forma vem b!c

= Fx(c)

e

lim Fy(b) b!c

= Fy(c)

e isto implica Fx(c) = Fy(c). Como o argumento é válido para qualquer c real, podemos concluir que as funções de distribuição de X e Y são iguais. O A Fórmula de Inversão não é prática para encontra r a função de distribuição, mas, se tivermos uma "biblioteca" de funções caracteó sticas, podemos tentar encontrar o modelo da variável a partir da sua função caracteó stica. Os exemplos, a seguir, ilustram a aplicação dessa técnica. Exempl o 5.33: Sejam XI, Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, seguindo o modelo Poisson de parâmetro .X. Queremo s obter a distribuição de XI+ + ... + Xn. A função caracteó stica de X"' Poisson (.X) é dada por:

x2, .. ·, x2

->._xj 00 ( it .X)J l/Jx(t) = E(eitX) = Leitj ~=e->. L _e-.-,-= e>.(ei'-Il. 00

j=O

J.

Exemplo 5.34: Coletamos uma am~stra aleatória da variável X "'N(J.L, a 2 ). Que distribuição terá a média amostrai X? .. Lembremos que uma amostra aleatória con.siste. de uma .se~ue~cia entes e tdenticamente dtstnbut das X 1t X 2, ... , X n de variáveis aleatórias independ . . . X N( 2) seguindo o mesmo modelo de X. Ou seJa, as vanávet s j ,...., JL, a para j = 1, 2,. · ·, n são independentes. , . A média amostrai é uma funçã,o dos valores da amostra e e dada por. A

E

Considere, agora, c E R, c < b. Pela definição de F(.) vem

lim Fx(b)

que reconhecemos como a função característica do modelo Poisson com parâmetro n.X. ., . Dessa forma, provamos o seguinte resultado geral: a so~a de n vanavei s aleatórias Poisson(.X) independentes é também Poisson com parametro n.X. O

j=O

J.

•

- = ~__:_:: XI+ x2.~;__ + ..._ + ____:.:.. Xn X n

Vamos calcular a função caracteó stica de distribuição. Temos A. '+'~(Xt+X2+ ··+X,. )

(t) = =

X e, a partir daí, tentar identificar sua

E( eit~(Xt+X2+· ·· +X,.))

fi

E( ei~Xi)

= (e(i~ I'-~)) n;

j=l

em que usamos a função característica da N(J.L, a 2 ) aplicada em t fn. Então, . sd:.)
Assim,

X

rv

N(JL, ~ ). pois tem a função caracteó stica desse modelo.

o

Apresentamos, a seguir, a definição de função característica ~ara variáveis multidimensionais. Nesse caso, também valem a Fórmula de lnversao e o Teorema da Unicidade, mas não faremos as demonstrações.


288

Definição 5.13: Função Característica Multidimensional

Exemplo

Sejam X1 , Xz , · · ·, Xn variáveis aleatórias definidas num mesmo espaço de probabilidade. A função característica multidimensional dessas variáveis é definida por

'lj;(t)

.+.x1, x 2, ... x (t1 tz · · · t ) , , ' ' ' n

'+'

= E(ei(t,X,+t2X2+··+t,.X,.) ) ,

5.35;

Sejam

m

funções

Teorema 5.17: Critério de Independência com função característica Então as variáveis aleatórias se, a função característica funções características das

defina

~1

~1

característica. A função 'ljJ é contínua, pois é soma ponderada de funções contínuas . Aplicada em zero resulta em

1/J(O) =

m

Lat

=

Lal = 1.

1=1

1=1

Falta verificar que 1/J é positiva definida. Para n = 1, 2, · · ·, n

Sejam X1, Xz, · · ·, Xn variáveis aleatórias conjunta
e

=L: a1
O

A independência de variáveis aleatórias pode ser verificada através de funções características, conforme indicado no próximo teorema.

características

m

m

em que t1 , tz, · · ·, tn são números reais quaisquer.

289


n

L L

n

1/J(tJ- tk) ZJ Zk

n

m

=L L L a1
j=l k=l

j=l k=l 1=1 m n n

=

La1 LL

Zk ~O;

j=l k=l

em que, trocamos a ordem na somatória, pois trata-se de série convergente. Como
n

IT

Demonstração: A prova será omitida. Ela é similar a que foi feita para funções geradoras de momentos multidimensional. O Um resultado importante, apresentado a seguir, indica as condições em que uma função dos reais nos complexos é função característica de alguma variável aleatória.

Teorema 5.18: Teorema de Bochner-Khintchine Uma função contínua 1/J : IR-tC com 1/J(O) = 1 é função característica, de alguma variável aleatória se, e só se, ela for positiva definida.

Demonstração: Conforme propriedades já demonstradas, se for função característica, é contínua, positiva definida e, aplicada em zero, resulta no valor 1. Não apresentaremos a outra parte da prova e o leitor interessado pode consultar Feller [66].

o

1. Mostre que se X é igual a c com probabilidade 1, então sua função característica é eict. 2. Verifique que se

c

é o complexo conjugado de c, então
3. Prove que X é simétrica ao redor do zero se, e só se, sua função característica for um número real. 4. Obtenha a função característica do modelo Geométrico de parâmetro p e use-a para determinar a média e a variância. 5. Mostre, via função característica, que a soma de variáveis aleatórias Bernoulli independentes é Binomial. 6. A variável X tem densidade f (x) = ~ e-lxl , x real. Mostre que sua função característica é dada por
290


7. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição Exp(>. ). Usando funções características, mostre que: a. X - Y é simétrica ao redor de zero. b. X - Y segue o modelo Laplace com parâmetros p = O e .\.

8. Seja X com densidade f( x) = ~~(-t,o)(x) + (~ + ~)I[o, 2 )(x). Obtenha a função característica de X e verifique sua resposta, calculando c/>x(O).

9. Suponha que Xt. X2, · · ·, Xn são variáveis aleatórias independentes com Xi "'N(pj, j = 1, 2, · · ·, n. Com o uso de funções características, obtenha a distribuição de X 1 + X2 + ··· + Xn.

a/).

10. Se X"' N(p, a 2 ), obtenha a função característica de X 2 e identifique sua distribuição.

5.6 Exercícios 1. Seja X uma variável com densidade Uniforme Contínua em que U = sen X e V = cos X são não correlacionadas.

[0, 21r]. Verifique

2. M?stre que ~ara variáveis X e Y com variâncias finitas e positivas e quaisquer numeros reats a, b, c e d, com a e b não nulos, temos PaX +b,cY +d

-px,Y i

= { . Px,Y,

se ac O.

3. Uma moeda com probabilidade p (O< p < 1) de cara é lançada n vezes de forma independente. Defina para 1 ::; k ::; n, o evento Ak = {cara no n-ésimo lançamento}. Determine a média e a variância de S n

k=l

n

m

n

Cov(I)a;X; + bi), :~:)ci}j +di)= ,L:,L:a;cjCov(Xi, }j). i=l

j=l

6. Seja {Xn: n ~ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias tal que, para a E JR, temos E(Xn)-+a e E(X~)-+a 2 , quando n-+oo. Você acha que vale: P(lim Xn = k) = 1, sendo k uma constante finita? n-+oo

7. Uma uma contém três bolas numeradas -1,-1 e 1. São feitas duas retiradas, ao acaso e com reposição, e definimos X como o produto dos números retirados e Y como o maior número. Determine a correlação entre X e Y.

J: f( x) dx utiliza-se T = ~L f(X;) como n

8. Para estimar a integral

M =

i= I

estimador, em que X 1 , X2 , .. ·Xn são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, segundo o modelo Uniforme Contínuo em [0, 1]. Mostre que temos E(T) =Me Var(T) =

~J0\J(x)- M) 2 dx.

9. As variáveis X e Y têm densidade conjunta !x,Y(x, y) = ~ xy I(o,y)(x) I(o, 2 )(y). Calcule a covariância. As variáveis são independentes? 10. As variáveis aleatórias X e Y são tais que Var(X coeficiente de correlação entre elas.

+ Y)

=O. Determine o

11. Sejam X e Y variáveis Bernoulli com parâmetros p e q, respectivamente. discretas cada uma com dois valores diferentes. Mostre que as variáveis X e Y são independentes se, e só se, forem não correlacionadas. 12. Seja X uma variável tal que E(X 2 ) = 1 e E(IX I) ~ a > O. Mostre que, para o < f< 1,

n-1

= "' L..J IA k nA k+l •

4. Suponha que as variáveis X; com i = 1 2 · . · m e Y. com J. = 1 2 .. . n ' ' ' 1 ' ' ' tenham variância finita. Mostre que para a;, bi, ci e dj constantes reais Vi, j, temos: m

291

5.6 Exercícios

i=l j=l

Deduza a expressão de Var(X- Y), tendo X e Y variâncias finitas. 5. Seja X uma variável aleatória tal que E(X) =a e E(X 2 ) = a2, para a E R Mostre que X assume um único valor com probabilidade 1.

13. As variáveis X e Y são independentes e identicamentes distribuídas de acordo com o modelo Uc(O, 1). Determine a covariância entre min(X, Y) e max(X, Y).

14. Sejam X e Y variáveis com segundo momento finito. Mostre que:

a. lax -

ayl ::;

.jvar(X ± Y) ::; ax + ay.

b. Var(XY) = a]ca~ c. Se a]c

+ p]ca~ + J.L~a]c.

=1 a~ então X + Y e X - Y

não são independentes.

r 292


média 15. Considere uma amostra aleatória X 1 , X 2 , • • ·, Xn de uma variável com 2 seguinte da W e X !L e var~ncia u (não necessariamente Normal). Defina forma: X é a média amostrai dos n valores da amostra e W = l(U +V), em que U é a médias das duas primeiras observações e V das ~ - 2 últimas. F~xa~do n > 2 e f > O, obtenha um limi~ inferior para a probabilidade de X d1fenr de J,t por menos de f. Repita para W e compare os resultados, conforme o valor de n. 16. Prove ou dê um contra-exemplo para as afirmações abaixo: a. Se E( X) e E(Y) forem finitas, então E(XY) também é finita. b. Se E(XY) for finita, então E( X) também é finita. c. Sendo E( X+ Y) finita, então E( X) e E(Y) também são finitas.

por 17. A densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é dada Y). fx,y(x, y) = ~(2x + 3y )l(o,r)(x) l (o,r)(y). Obtenha E(X/ Y) e Var(XI 2 A 18. Seja X uma variável aleatória com densidade fx(x) = 3 x I(o IJ(x). y). ),I(o:r)( densidade condicional de Y dado [X = x] é fYJX(Yix) = (3y2jx3 , Determine E(Xj Y). 19. Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta:

!x,y(x, y) = 3(x

+ y ) I(o,I)(x + y) I(o,r)(x) I(o,l)(y).

a. Obtenha E(X/ Y = y). b. Determine E(XY/ Y = y). c. Calcule Var(X/ Y = ~). 20. Sendo X e Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta:

1 2 fx,y(x, y) = :;;: IA (x, y), com A= {(x, y) E JR

:

x 2 + y2 < 1}.

a. Obtenha E( XI Y). b. Verif~que se X e Y são não correlacionadas. 21. Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta:

/x,Y(x, y) = 8xy lA (x, y) , comA = { (x,y) E JR

a. Obtenha E( XI Y). b. Calcule Var(XI Y).

2

:

O< x < y < I}.

293

5.6 Exercícios

22. Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta: 11 Jx,y(x, y) = e- 11 (1- e-x) l(o, 11 j(x) I[o,oo)(Y) + e-x(l- e- ) I(o,xj(Y) I[o,oo)(x). a. Obtenha E(X/ Y = y) para y > O. b. Determine E( X/ Y) e Var(XI Y). 23. A densidade conjunta de X e Y é dada por f( x, y ) = 2e-(x+y) JA(x, y ), com 2 A = {(x, y) E R : O < x < y < oo }. Determine E(YIX) e E(XIY) . 24. As variáveis aleatórias X e Y têm segundo momento finito. a. Mostre que Cov[X, E(YI X)]= Cov(X, Y). b. Obtenha Px,Y no caso de E(XjY) = 10- Y e E(YjX) = 7- ~X. 25. Sendo X e Y independentes com X,...., N(O, I) e Y igual a 1 ou -1, com mesma probabilidade. Para Z = XY, calcule o coeficiente de correlação entre X e Z. As variáveis X e Z são independentes?

26. Seja X 1 , X2, · · · uma seqüência de variáveis independentes e identicamente distribuídas. Seja Numa outra variável, independente dos X/s, e com valores N inteiros não negativos. Determine a média e a variância de Y = EXi. i= I

27. Numa rodovia, o número de acidentes por semana tem distribuição de Poisson com parâmetro a. Em cada acidente, o número de feridos tem distribuição de Poisson com parâmetro (3. Assuma independência entre número de feridos por acidente e número de acidentes por semana. Obtenha o número médio de feridos por semana. 28. Sejam X e Y variáveis tais que suas variâncias sejam positivas e finitas. Mostre que se E( X/ Y) é constante para todos os valores de Y, então X e Y são não correlacionadas. 29. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição Poisson de parâmetro >.1e >.2. respectivamente. ParaS =X + Y, obtenha a distribuição, a esperança e a variância condicional de X dado S. 30. Considere o seguinte experimento com uma moeda equilibrada. Na primeira etapa, ela é lançada n vezes de forma independente. O número de caras obtidos, digamos X r, indicará o número de lançamentos da moeda, na segunda etapa. O experimento contínua de modo que o número de caras obtidas em uma etapa será o número de lançamentos na etapa seguinte. a. Obtenha o número esperado de caras na segunda etapa.

294


40. Para X, Y e Z variáveis aleatórias e, supondo que as esperanças envolvidas

b. Generalize o item (a) para a k-ésima etapa. 31. Seleciona-se, ao acaso, um número x em (0, 1). Seja Y o número de caras em n lançamentos independentes de uma moeda, com probabilidade de cara igual a x. Calcule a média e a variância de Y. 32. Considere uma seqüência de ensaios de Bernoulli independentes, com probabilidade p de sucesso. Seja Tn o número de ensaios necessários para a ocorrência, pela primeira vez, de n sucessos seguidos. Seja Y a variável que indica o número do ensaio em que ocorreu falha. a. Obtenha E(T2I Y = 1). b. Determine E(T3). 33. Sejam X e Y variáveis independentes e com distribuição Uniforme Contínua em (0, 1). Defina as variáveis W e Z como o mínimo e o máximo entre X e Y, respectivamente. Mostre que a esperança condicional de W dado Zé igual a Z/2. 34. Considere duas caixas e bolas numeradas de 1 a n. Assuma que, inicialmente, temos m bolas na caixa 1 (O ~ m ~ n) e as restantes na caixa 2. Um mecanismo, conhecido como modelo de Ehrenfest, consiste em sortear ao acaso uma das n bolas e trocá-la de caixa. O sorteio e a correspondente troca são repetidos indefinidamente. Seja Xn o número de bolas na caixa I após n sorteios e trocas. Mostre queE(Xn ) = ~ + (m- V(1- ~)n.

Sugestão: escreva E(Xn) em função de E(Xn-d· 35. As variáveis aleatórias X e Y são independentes com mesmo modelo Uc[O, 1]. Para W = min(X, Y) e Z = max(X, Y), obtenha E(sen(W Z)IW). 36. Sejam X e Y variáveis tais que E( XI Y) = aY + b. Obtenha o valor das constantes a e b, em função de E(X),E(Y), Var(X) e Cov(X, Y), desde que essas quantidades existam e que Var(X) seja positiva e finita. 37. Escolhendo um valor x de acordo com X,..... Exp(a), a variável YI(X = x) será Uniforme Contínua em [0, x] . Determine E(YI X) e Var(YI X). 38. Bolas numeradas de 1 a n são colocadas, ao acaso, em caixas também numeradas de 1 a n. Temos um encontro cada vez que a bola e a caixa têm o mesmo número. Calcule a média e a variância do número de encontros. 39. Sendo X um valor real escolhido, ao acaso, em determine Cov(X , Y).

295

5.6 Exercícios

2

[-2, 1] e YIX,..... Uc[X ,4],

na expressão existam, mostre que:

Cov(X , Y)

=

E{Cov[(X, Y)l Z]}

+ Cov[E(XI Z),E(YI Z)].

41. Através da função geradora de momentos, determine a média e a variância da Uc(a, b), O< a < b.

42. A variável X tem função geradora de momentos dada por M (t) com t E IR, a E IR e {3 > O. Determine a média e a variância de X.

= eat+flt~,

43. Para X,..... N(O, 1) e Y,..... N(O, 2), independentes: a. Determine a função geradora de momentos de X 2 + Y 2 e, a partir daí, sua média. b. Calcule a função geradora de momentos conjunta de X 2 e Y 2 e, a partir daí, a média de X 2 •

44. Sejam X 1 e X 2 independentes, com mesma distribuição Normal de média O e variância 1/2. Usando função geradora de momentos, mostre que a variável

Y = ( X 1 + X 2 ) 2 é Qui-quadrado com 1 grau de liberdade.

45. Para j

=

Defina Y

1, 2, 3, 4, sejam X j ,..... N(j JL, a 2) variáveis aleatórias independentes.

=

4

2:.:( -1)JXj. j=l

a. Apresente a função geradora de momentos de X j. b. Calcule a função geradora de momentos de Y e, então, E(Y) e Var(Y) .

46. Sendo (X, Y) uma Normal Bivariada, obtenha sua função geradora de momentos conjunta. A partir desse resultado, calcule E(XY). 47. A função geradora de momentos conjunta de X1 e X2 é dada por 1

1

3

6

llf(tlt t2) = [-(et 1+t 2 + 1) + -(et1 + e12

W,

t1 ,

t2 E R

Calcule a covariância entre as variáveis.

48. Sejam X 1 e X 2 duas variáveis independentes com distribuição Normal Padrão. Defina Y = X1- X2 e Z = Xr- X~. a. Verifique que Myz(t 1 ,t2 ) ,

= ~etif(l- 4til, y(l-4t~)

sendo (t 1,t2) s à

condição -oo < t 1 < oo e- ~ < t2 < ~b. A partir de (a) calcule E(YZ). Seriam Y e Z independentes?

( (


296

297

5.6 Exercícios

( ( (

6xy2 z ' f(x,y,z) = { O,

( ( (

( ( ( ( ( ( (

seO:::; x:::; 1,0:::; y :::; 1,0 :::; z:::;

Obtenha Mx, y(t 1 , t 2 ) de três formas diferentes. Confira sua resposta, calculando Mx,Y(O, 0).

50. Seja X uma variável aleatória tal que E(Xn)

(

( (

= n! para todo n

E N.

a. Obtenha a função geradora de momentos de X nos intervalos de t em que ela existe. Você identifica essa variável?

b. Determine a função geradora de momentos de Y

n

= L:X;, em que os X;'s i=l

são independentes e com mesma distribuição de X. Sugestão para (a): use a expansão de ex.

se n par;

2 57. Para X "" N(JL, a 2), obtenha a função característica de x- . 2 2 /1r -2ab . roo -(a x -~) d X = 2a e r Sugestão: Temos. para a, b > o, Jo e

58. Para X e Y independentes com distribuição N(O, 1),

obtenha a função

característica de: a.XY. b. XjY. Sugestão para (b): Aplique esperança condicionada em Y sugestão do exercício 57.

distribuição de xl

caso contrário. Determine a função geradora de momentos de X distribuição.

56. Para X com densidade f(x) = (1-lxi)J(-l,l)(x), mostre que sua função característica é ifJx(t) = 2(1- cost)jt2 •

=y

e use a

59. As variáveis X 1 e X 2 são independentes com distribuição Gama(aj,{3), com j = 1 e 2, respectivamente. Com o uso de funções características, determine a

51. Seja X uma variável aleatória tal que

(

(

J2;

caso contrário.

( (

55. Sejam X e Y independentes, sendo X"" Gama( a, {3) e Y ""Beta(r, {3 - I'), para {3 e I' inteiros não negativos e I' :::; {3. Mostre, usando funções características, que Z = XY tem distribuição Gama( a, I')·

49. A densidade conjunta do vetor aleatório (X, Y , Z) é dada por:

e identifique sua

52. As variáveis X 1 e X2 têm função geradora de momentos conjunta M(t1, t2), com (t 1,t2) em algum intervalo de JR2. Defina K(t 1,t2) = logM(t1,t2) nos intervalos em que M existe. Mostre que, para i = 1 e 2,

a. ~ K(t1, t2)1 t1=t2=0 = E(X;).

+ x2.

2 60. O modelo Cauchy Padrão tem densidade f(x) = 1/7r(1 + x ), x E R a. Verifique que sua função característica é dada por e-ltl. b. De acordo com (a) o que pode ser dito do valor esperado do modelo

Cauchy Padrão?

c. Para X 1 e X 2 independentes, seguindo o modelo Cauchy Padrão, obtenha a distribuição de xl + x2 e de HXl + X2)· d. Repita o item (c) para n variáveis independentes. ,. -ltl ( ) Joo cos(tx) d _ Sugestao para a : -oc l+x2 x = 2e ·

I

61. Suponha que X 1 , X 2 ,. · ·, Xn sejam variáveis aleatórias independentes com + X~ +···+ X~ e mostre X j,..., N(JLj, 1), j = 1, 2, . · ·, n. Defina Y = que a função característica de Y é dada por

XJ

I}Jy(t) = 53. Calcule a função característica da variável aleatória X que, para função de distribuição F(x) = e>-x J (-oo,o)(x).

À

> O, tem

54. Sendo ljJ função característica, verifique que ({>,ljJ 2 , lifJI 2 e Re(ljJ(t)) também podem ser funções características.

em que (} = JL~

1

(1- 2it)nf 2

eit1J/(l-2it) '

+ JL~ + · · · + JL;.

Obs.: A variável Y tem distribuição Qui-quadrado não central, com n graus de liberdade e (} como parâmetro de não centralidade. Para esse modelo a notação usual é x2 (n, 0).

71 I

Capitulo 5: Momentos, Esperança Condicional e Funções Auxiliares

298

62. Obtenha duas variáveis aleatórias dependentes X e Y, tais que: a. 4>x+Y(t ) = c/>x(t)cj>y(t) para todo tE R b. c/>x,y(t, t) = c/>x(t)cj>y(t) para todo t E R

Capítulo 6

63. Sejam {Xn : n ;::: 1} e {Yn : n ;::: 1} duas seqüências de variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas, com função densidade dada por n

n

j=l

j=l

Convergência de Variáveis Aleatórias

f(x) = ~ e-lxl [ (-oo,oo)(x). Defina U = ~ L:(Xj - }j) e V= ~ L:(Xj + }j). Usando funções características: a. Mostre que U e V são identicamente distribuídas. b. Calcule a função característica conjunta deU e V. c. Determine Cov(U, V). As variáveis U e V são independentes? 64. Mostre que 1/;(t) = (1 - t 2 )e-t ( (

(

(

aleatória.

2 /

2

é função característica de alguma variável

6.1 Introdução Em considerando seqüências de variáveis aleatórias, uma questão natural é identificar seu limite e as características da eventual convergência. Como no estudo de funções em Matemática, muitas questões referentes à existência e às propriedades dos limites aparecem. Nosso estudo não será exaustivo, mas pretende apresentar os principais resultados que têm sido obtidos ao longo de vários anos na Teoria das Probabilidades. As várias formas de limite envolvem diferentes interpretações e têm consegüências para a Inferência Estatística. Entre os resultados mais importantes, destacamos a Lei dos Grandes Números e o Teorema Central do Limite. Em geral, qualquer usuário de estatística teria dificuldades em tirar conclusões a partir da amostra, se não utilizasse, consciente ou inconscientemente, os resultados mencionados acima. Ao longo do capítulo, as variáveis Xn, n ;::: 1, e seu eventual limite X, estão todas definidas num mesmo espaço de probabilidade (n, :F, P), salvo temos que Xn(wo). n;::: 1, menção em contrário. Para cada ponto fixado Wo E forma uma seqüência de números reais e, portanto, toda a teoria referente à convergência de seqüências numéricas poderia ser aplicada. Entretanto, na maioria das vezes, o interesse é estudar propriedades do conjunto em que ocorre a convergência e não de pontos particulares. Em tratando com variáveis aleatórias, usaremos a abreviação i.i.d. para indicar que elas são independentes e identicamente distribuídas, um atributo freqüente, em vários dos resultados deste capítulo. Apresentamos, na Seção 6.2, as diversas formas de convergência de interesse na Teoria das Probabilidades. Daremos ênfase ao caso unidimensional, mas apresentaremos, no final da seção, alguns comentários e resultados para vetores aleatórios. A Lei dos Grandes Números é discutida nas suas principais formas, na Seção 6.3. Encerramos o capítulo com o Teorema Central do Limite, objeto da Seção 6.4.

n.

(

(

(

299

-

r-

Capítulo 6: Convergência de Variáveis Aleatórias

300

Nas demonstrações e exercícios deste capítulo, usaremos, repetidamente as desigualdades de Chebyshev e o Lema de Borel-Cantelli, que são reapresentados a seguir. O Lema de Borel-Cantelli, cuja demonstração está no Capítulo 1, afirma que para A1 , A2, ... , An em (n, :F, P) e p, = P(An ) para todo n 2: 1, temos Pn

< oq então P(limsup An)

= O;

n=l

L Pn = oo e os A

11

's são independentes, então P(lim sup An)

=

1.

n=l

A desigualdade Básica de Chebyshev, demonstrada no Capítulo 4, tem o seguinte enunciado: seja X uma variável aleatória não negativa (valor esperado existe) e considere a > O. Então a

Var( X)

t2

Exemplo 6.2: Considere {Xn : n 2: 1} uma seqüência de variáveis i.i.d. com função de distribuição F . Suponha que F (x) < 1, para todo x < oo. Defina Yn = max(Xt, X2, ... , Xn)· Vamos verificar que qc

.

Y, -+ oo. Inicialmente, observe que para cada w E n, as variáveis Yn formam uma seqüência não decrescente de números reais, eventualmente com valor infinito.

6.2 Modos de Convergência Iniciamos a seção, relembrando algumas idéias de limite de funções. Dizemos que X 11 -+X em quando n-+ oo se, para cada t: > O e w E existe um inteiro n(t:, w) tal que

n

IXn(w) - X (w)i

Exemplo 6.1: Seja w um número real em (0, 1). Definimos X n(w) = ~· em que [nw] é o maior inteiro contido em nw. Pode-se verificar que lim Xn(w) = w, Vw E (0, 1). Logo a seqüência converge para X( w) = w em

todo n e, em particular, temos X n ~X. Nesse caso, o conjunto em que não há D convergência é o conjunto vazio.

-·

A desigualdade Clássica de Chebyshev, cuja demonstração está no Capítulo 5, estabelece que para X variável aleatória, com variância finita e qualquer t > O, temos

P(IX - J.Lx I 2: t) :::;

Xn -+X em Ac, quando n-+oo.

n ..... oo

E(X)

P(X 2: a):::; -

A seqüência {X n : n 2: 1} tem convergência quase certa para X , se existir um conjunto A E :F tal que P(A) =O e

A convergência quase certa permite que alguns pontos de n escapem do critério de convergência, entretanto, o conjunto desses pontos precisa ser negligenciável em termos probabilísticos, isto é, sua probabilidade deve ser zero.

00

(ii) Se

Definição 6.1: Convergência Quase Certa

Usaremos a notação X 11 ~X para indicar essa convergência. Ela também é D denominada de convergência em quase toda parte ou convergência forte.

00

(i) Se L

301

6.2 Modos de Convergência

< t:;

n.

para n > n(t:, w ).

n, se n( t:, w) não depende de w. Isto é, para n > n(t:) e Vw E n.

A convergência acima é dita uniforme em

IX "(w)- X (w) l < t:;

Para a Teoria das Probabilidades existem outras formas de convergência que são de interesse. Nesta seção, apresentamos suas definições, mas as mais importantes aplicações são discutidas nas próximas seções.

Seja M um número real, temos

P(Yn :::; M: n = 1, 2, .. . ) $ P(Yn $ M : n = 1, 2, ... , k ) = Fk(JII) , Vk 2: 1. Então, para todo .1\f finito,

P( lim Y;, :::; lv/ ) = P(Yn $ n-oo

lvf :

n = 1, 2, . .. )

= O;

pois Fk(M) tende a zero, quando k-+oo. lim Yn(w) é finito, tem Dessa forma, o conjunto dos w E n, em que n-oo probabilidade zero e, portanto, Y;, ~ oo.

D


302

afirmação observe que, para f > O, temos

Definição 6.2: Convergência em Probabilidade

1 P(j Y,j >f)~ P(Y, = 1) = --+ O,paran-+oo. n

A seqüência {X, : n 2: 1} tem convergência em probabilidade para X se, para todo f > O, temos

Assim, a seqüência converge em probabilidade, mas não quase certamente.

lim P (jX, -XI > f) = O.

n--+oo

A notação X,~ X será usada para indicar essa convergência que também é denominada de convergência fraca. O Exemplo 6.3: Seja X, "' Bernoulli (Pn) com Pn = ( para f > 0: (

P(j X,j 2: f) = P (X, 2:

f)~

E(X,) = f

(

(~)"

D", n =

A seqüência {X, : n 2: 1} tem convergência em média r ou em U para X, se limE(jX,-

n--+oo

{

(

xn =O.

Indicaremos por X,!. X essa convergência. Para r = 2, essa convergência recebe o nome especial de convergência em média quadrática. O

-+O, para n-+ oo;

f

O

Nos próximos exemplos, exploramos as relações entre os modos de convergência até aqui apresentados.

Ao utilizarmos a terminologia de convergência fraca para indicar convergência em probabilidade, estamos, de fato, quantificando a relação dessa convergência com a quase certa. No próximo exemplo, apresentamos uma seqüência que não converge quase certamente, mas converge em probabilidade.

Exemplo 6.5: Considere as variáveis introduzidas no Exemplo 6.4. Naquele exemplo verificamos que Y, converge em probabilidade para a variável zero, mas não quase certamente. Para r > O, observe que

Exemplo 6.4: Seja w um número real ao acaso de (0, 1). Para n 2: 1 e O ~ k ~ n- 1, defina as variáveis Xnk (notação para Xn,d. tais que

(

o

Definição 6.3: Convergência em média r

1, 2, ... . Temos

em que usamos a desigualdade Básica de Chebyshev. Portanto, Xn ~O.

(

303


Xnk(w) = {

1 '

o,

kn< w < k+l O< k -< n- 1·' n' caso contrário.

Com essa definição, as variáveis formam o que é chamado de um arranjo triangular de variáveis aleatórias. Apresentamos, como ilustração, alguns termos deX,k:

E( jY, -

indicando que temos convergência em média r.

o

Exemplo 6.6: Seja (0, F, P) um espaço de probabilidade com n = {1, 2, ... }, a u-álgebra F sendo o conjunto das partes de n e a probabilidade P dada por P({n} ) = 1/n(n + 1). Para n 2: 1, definimos X, por:

X,(w) Para qualquer valor wo fixado, existem infinitos pares (n, k), tais que Xnk(wo) = 1; da mesma forma existem infinitos outros pares com X,k(wo) = O. Podemos organizar o arranjo triangular na forma de uma seqüência com índice único tomando j = n(n;l) + k + 1 e definindo Yj(w) = Xnk(w). A seqüência {}j(w) : j 2: 1} não tem limite para nenhum w. Logo ela não pode convergir quase certamente, seja qual for a variável limite. Entretanto, existe a convergência em probabilidade para a variável identicamente zero. Para verificar essa

1 on = --+O, para n-+ oo; n

= {

2"

O,'

sew = n; caso contrário.

qc

Sendo X(w) =O, Vw E O, temos X, -+X. De fato, a convergência é em todo O pois, para cada f > O e todo w E O temos:

V

jX,(w)l < f ,paratodon > w.

.._..

I


304

305


Definição 6.4: Convergência em Distribuição

Para r> O, E(/Xn-Xn=E(X~)=

Sejam { Xn : n ;:::: 1} e X variáveis aleatórias com funções de distribuição {Fn: n;:::: 1} e F, respectivamente. Diremos que Xn converge em distribuição ou

2nr

) -+ oo,paran-+oo; ( n n+ 1

em lei para X, se para todo ponto x em que F é contínua, tivermos O

e, portanto, não vale a convergência em média r.

lim Fn(x)

n ...... oo

Proposição 6.1: Sejam { Xn : n ;:::: 1} e X variáveis aleatórias em um mesmo espaço de probabilidade (0, :F, P). Então qualquer uma das convergências, Xn ~X ou

Xn !.x, implica em Xn !.x. Demonstração: Vamos verificar que a convergência quase certa implica convergência em probabilidade. Tome f> O, existe um conjunto A E :F tal que P(A) =O e Xn -+X em A c. Para n = 1, 2, ... seja Bn E :F tal que

Bn =

n

{w : /Xm(w)- X(w)/

A notação para essa convergência é Xn

= F(x) ,

E. X.

Exemplo 6. 7: Seja { Xn : n ;:::: 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes com distribuição Uniforme Contínua em (0, b), b >O. Defina Yn = max(X1 , X2, ... , Xn) e Y = b. Vamos verificar que Yn E. Y. Temos

y

o::; y < b; y;:::: b. ando ao limite, para n indo ao infinito, vem

m~n

lim Fy.(y) = {

00

U Bn

Então Bn é uma seqüência não decrescente de eventos e B =

P(B)

=1

e também lim P(Bn) n ...... oo

= 1,

:J Ac. Logo

0 • 1,

y < b; y;:::: b;

P(B~) -+

O, para n-+oo;

E. Y.

D

E.

p

Para verificar que convergência em média r implica convergência em probabilidade, definimos, para f> O, os eventos An = {/Xn- X/;:::: f}, n 2: 1. Temos

então, aplicando esperanças, vem

probabilidade. O requisito de continuidade, mencionado na definição acima, se justifica para evitar algumas anomalias. Por exemplo, para n ;:::: 1 seja Xn = ~ e X = O, para todo O. Parece aceitável que deveríamos ter convergência de Xn para X, qualquer que fosse o modo de convergência. Observe que

Fn(x)

o, X l.n' -

P(An)::; f-rE(IXn- xn -+ O, para n-+oo; e, portanto, Xn converge em probabilidade para X.

que corresponde à função de distribuição de Y e, portanto, Yn

Na convergência em distribuição, as variáveis apenas se envolvem através da sua função de distribuição e muitos autores omitem a referência à variável aleatória. Nesse sentido, a notação Fn -+F ou Fn F é algumas vezes utilizada. Não há, inclusive, necessidade das variáveis estarem num mesmo espaço de

logo, Xn -+X.

I

n-+oo

n=l

pela propriedade de continuidade da

probabilidade. Assim,

P(/Xn(w)- X(w)/;:::: f)::;

O

o

n

e F(x)

=

{~:

X< O; X

2:0.

( (


306

307


(

(

=O =f. F(O) =

1, não temos lim Fn(x ) = F(x ) para

(

Portanto, como lim Fn(O)

(

todo x E R Dessa forma, se houvesse a exigência de convergência em todos os pontos, não teríamos convergência em distribuição. Entretanto, note que para x =f. O, temos limFn(x) = F(x) e, como o ponto O não é de continuidade de F,

( (

(

( ( (

( (

(

n-+oo

n-+oo

algum fi > O. Argumento similar pode ser aplicado à terceira integral mostrando que, com b suficientemente grande, temos

11

00

n->oo

concluímos que Xn !!.x. Sabemos, do Capítulo 5, que existe uma correspondência biunívoca entre função de distribuição e função característica. Dessa forma, é natural buscar encontrar um relacionamento similar, quando consideramos os limites dessas funções. De fato, boa parte da teoria envolvendo convergência em distribuição foi feita usando funções características como uma ferramenta fundamental. Os próximos resultados são a base de tal procedimento.

g(x) [dFn(x)- dF(x)JI <

Xo Para x E~. com x;

= a < XI < ... < Xm-1 < b = Xm·

< x < Xi+1• temos, para €3

lg(x)- g(x;)l ::;

b

e F, respectivamente. Se Xn !!. X e g é uma função contínua e limitada, então

< Xi+l• i= O, 1, ... , m

(

~ g(x;) [F,(xi+I) -

(

Fn(x;)]

m-1

,;-::;""to

Demonstração:

.

Sejam a e b dois pontos de continuidade de F. Podemos dividir as integrais da seguinte forma:

(

(

- 1. Logo

m-1

1 9m(x) dF,(x) =

(

(

> O,

uniformemente para todo i.

€3,

Seja 9m(x) = g(x;), x; :S x

(

(

para algum €2 > O.

Para completar a prova, vamos majorar a segunda integral. No intervalo (a, b), g é uniformemente contínua. Considere a partição desse intervalo por pontos de continuidade de F tais que

Teorema 6.2: Teorema de Helly-Bray As variáveis {X n : n ~ 1} e X têm função de distribuição { Fn : n ~ 1}

€2,

1:g( x) dFn(x) -1:g(x) dF (x) = 1:g(x)[dF11 (x)- dF(x)]

+1bg(x)[dF

11

(x) - dF(x)]

+

1

+

L g(x;) [F(xi+1) -

F(x;) ]

i=O

= 1b9m(x) dF(x). Dessa forma, com qualquer m e sendo n suficientemente grande, temos, para algum €-t >O,

00

g(x) [dFn(x)- dF(x)].

(

Vamos estudar o comportamento das três integrais do lado direito da igualdade acima, buscando para cada uma delas um majorante. Co11_1o g é limitada, seja c > O tal que IYI ::; c. Então, para o módulo da primeira integral, temos

Observe que

b

1 g(x) [dFn(x)- dF(x)]

[b

=la

[g(x) - 9m(x)]dFn(x) +

+ 1b9m(x) [dFn(x)- dF(x)] Se a é suficientemente pequeno, F(a) é pequeno e o mesmo ocorre com F,,(a) para n suficientemente grande. Nessas condições, c[Fn(a) +F( a)] < € 1 , para

+ 1b[gm(x)

- g(x)]dF(x);

308


assim,

e, portanto, para n suficientemente grande,

1b

g(x) [dFn(x)- dF(x)] ::;

1b

::; 2€3

f.3 dFn(x)

+ f.4 +

1b

c/>n(t)

Logo, quando n cresce podemos fazer os f.'s arbitrariamente pequenos, de modo que concluímos

1 : g(x) dFn (x) - l : g(x ) dF(x)

n~ O; D

e isto completa a demonstração.

Sejam Fn, n ;::: 1, funções de distribuição cujas funções características são dadas por
(ii) Se
F71 (x)

= P(Xn

::; x)

= P( Z

1

X

::; y~n) n-:::::1x. 2;

sendo que z ,. . , N(O, 1). O problema reside em que F (x ) = 1/2, Vx E ~ não é uma função de distribuição. Exemplo 6.8: Seja {Xn : n ;::: 1} uma seqüência de variáveis com distribuição Erlang de ordem n e com parâmetro 1. Vamos verificar que Yn = (Xn- n)/ converge em distribuição para a N(O, 1). Lembremos que Er/71 (1) é uma Ga~ (n, 1) e assim A..

'!'X,

.

(t) = E(e'tX,) =

Demonstração: A prova será omitida. Ela pode ser encontrada em James [81].

1ooe•tx-x . (n- 1)! dx = xn-1

(

0

1 . ) " , para t real. --

1 -zt

Com o auxílio das propriedades de função característica, obtemos

.
t = O, então

t =O; t # O,

e, portanto, 4> não é contínua em O. A conclusão da parte (ii) da proposição não vale pois, para todo x E ~. temos

(i) Se Fn,.~ F nos pontos de continuidade de uma função de t E~.

n~ cj>(t), com
Vn

Teorema 6.3: Teorema da Continuidade de Levy

distribuição F, então
= e-t2n/ 2 • Então

f.3 dF(x)

+ f.4.

309


it )-n e-tt..fo. . = ( 1- Vn

Aplicando logaritmos nos dois lados da expressão vem

O

Em essência, o Teorema da Continuidade de Levy estabelece uma equivalência entre a convergência em distribuição e a convergência das respectivas funções características. Dessa forma, a verificação de convergência em distribuição pode ser feita pela verificação do comportamento limite da função característica.. No enunciado do teorema, optamos por não fazer menção à variável aleatória, seguindo o caminho de vários autores. Entretanto, é importante que fique claro que poderíamos considerar variáveis aleatórias Xn e X e funções de distribuição Fn e F, tais que Xn E. x. A menção, na segunda parte do teorema, sobre a necessidade da função 4> ser contínua em t = O é essencial. Para ilustrar esse fato, seja Xn ,...., N(O, n) e,

logE(eitYn) = -ityÍn- nlog( 1=

-ityÍn-

-it

:/n) t2

it3

n( fo + 2n + 3nyln + .. .)

t2

= --+ Rn(t) ; 2

com o resto Rn(t) indo para O, quando n vai ao infinito. Note que a expansão em série de log ( 1 para todo t real.

fn) é válida, pois, para n suficientemente grande, litI vnl < 1


310

Então,

311


Assim, completamos a demonstração do teorema pois, para n 2::: n(f), temos que IFn(x)- F(x)l
que é uma função contínua em t = O e, como é a função característica de

Z ""N(O, 1), segue pelo Teorema da Continuidade de Levy que Yn _!l:_.z.

O

Teorema 6.4: Teorema de Polya Sejam { Xn : n 2::: 1} e X variáveis aleatórias com funções de distribuição

{Fn : n 2::: 1} e F, respectivamente. Se Xn ~X e F é uma função contínua, então a convergência é uniforme.

Vários autores se referem à convergência em distribuição como convergência fraca. Preferimos evitar essa denominação, para não confundi-la com aquela já usada para convergência em probabilidade. Entretanto, o nome seria justificável, pois a convergência em distribuição é conseqüência dos outros modos de convergência.

Proposição 6.5: A convergência em probabilidade implica a convergência em distribuição. Isto é:

Demonstração:

p

Precisamos verificar que para todo f > O, existe n( f) tal que n 2::: n( f) implica a ocorrência de IFn(x)- F(x)l O, existem números reais a e b tais que F(a) < f/2 e F(b) > 1 - f/2. A função F é uniformemente contínua em [a, b] e existe uma partição finita tal que a = X1 < X2 < · · · < X r = b tal que

Demonstração: Suponha que F seja contínua em x. Dado f > O, temos

Fn(x) = P(Xn ~ x) = P(Xn ~ x,X ~X+ f)+ P(Xn ~ x,X >X+ t:) ~ P(X ~ X+ f)+ P(IXn- XI > f).

IF(xj+l)- F(xi)l < f/2, j = 1, ... , r- 1. Pela convergência de Fn temos que, para cada xi, j = 1, ... , r, existe nj(f) > O tal que para todo n 2::: nj(f), IFn(xi)- F(xi)l < f/2. Tomando n 2::: n( f) = max ( n1 (f), ... , nr( f)) a majoração vale para todo j. Assim,

De forma similar

F(x- f) = P(X ~ x-f) = P(X ~X- f,Xn ~ x) + P(X ~X- f,Xn > x) ~ P(Xn ~ x) + P(IXn- XI> f).

IFn(Xj) - F(xi)l < f/2, j = 1, ... , r. Definindo x 0 = -oo e

Xr+l

= oo, podemos escrever

IF(xj+l)- F(xi)l < f/2, j =O, 1, ... , r; IFn(Xj)- F(xi)l < f/2, j =O, 1, ... , r+ 1.

d

Xn -+X => Xn -+X.

Portanto

F(x- f)- P(IXn- XI >f)~ Fn(x) ~ F(x +f)- P(IXn- XI> f).

Para x E JR, temos Xj ~ x ~ xi+l para algum j =O, 1, ... , r. Então, ainda para n 2::: n (f),. temos a seguinte seqüência de desigualdades:

Dessa forma, quando n-+ oo, podemos escrever para todo n suficientemente grande

F(xj)- t:/2 < Fn(xj) ~ Fn(x) ~ Fn(Xj+l) < < F(xj+l) + f/2 < F(xj) +f~ F(x) +f~ F(xi+d +f.

F(x- f)~ liminfFn(x) ~ limsupFn(x) ~ F(x + t:), e, então, temos lim Fn(x) = F(x) para todo ponto de continuidade x de F. n-+oo

Logo,

o

A convergência em distribuição não implica convergência em probabilidade, conforme apresentaremos no próximo exemplo. Um caso


312

particular, em que essa implicação é verdadeira, é apresentado em seguida atraves de proposição.

Exemplo 6.9: Seja (0, :F, P) um espaço de probabilidade com O= {1, 2}, :F = OP e P a probabilidade uniforme em O. Considere as variáveis aleatórias: X(w)

= {

~:

w = _ 1; e, para n

W-

2.

= 1 , 2 , ... , X n (w ) = {

1, O ,

F11 (x) = F(x) =

1/2, { 1,

w=2.

-XI ;::: 1/2) =

p

mas, F( c- E)+ [1- F( c+~)]= O+ (1 -1) =O e, portanto temos X 11 -+ C. O Como mencionamos anteriormente, a definição de convergência em distribuição é aplicada nos pontos de continuidade de F. A próxima proposição indica que o conjunto de pontos de descontinuidade de F é enumerável.

Seja D o conjunto de pontos de descontinuidade da função de distribuição F. Então D é enumerável.

Demonstração: Para todo x real, temos F(x-) :::; F(x) :::; F(x+). Temos x E D se e só se F(x+) > F(x-). Para n = 1, 2, ... seja

X< O; 0 :S: X< 1; x;::: l.

1

Portanto, vale a convergência em distribuição de Xn para X. Entretanto, tomando E= 1/2, temos

P(IXn

313

Proposição 6. 7:

w= 1;

Note que, para as funções de distribuição, temos igualdade entre elas, em todos os valores x E~ e n E N:

o,


00

então D = U An. n=I

1, qualquer que seja n E N,

o

e, assim, não vale a convergência em probabilidade.

An = {x: F(x+)- F(x-) > - }; n

Proposição 6.6: Suponha que a seqüência Xn, n ;::: 1 converge em distribuição para uma - X n -+P c. constante c, entao

Demonstração:

Vamos verificar que todo An contém menos que n pontos e, portanto, é finito. Dessa forma, D será enumerável. Por absurdo, suponha que para cada n, An contém pelo menos n pontos. Assim, existem números reais XI, x 2 , •.• , Xn em An tais que XI < x2 < ... < Xn e O :::; F(xl)

< F(xt) :::; F(x2) < F(xt) :::; ... F(x;;) < F(xt) :S:

1.

Então, temos

Seja F a função de distribuição da variável aleatória constante c. Assim

F(x)={~:

TI

L[F(xt) - F(xk")] :::; 1.

x

X;:::

k=I

C.

Logo, F é contínua em todos os reais, exceto c. Para E

> Otemos

P(IXn- ci;::: E)= P(Xn:::: c- E)+ P(Xn;::: c+ E) E

:S: P(Xn :S: C- E)+ P(Xn >C+ 2)

Mas, pela definição do conjunto A 11 , o lado esquerdo dessa desigualdade é superior a 1, pois: n

1

L[F(xt) - F(xk")] > n x ;;:;

= 1.

k=I

E

= F 11 (c- E)+ [1- Fn(c + 2)] -+ F( c- E)+ [1- F( c+

E

)], 2

quando n-+oo.

Assim, temos uma contradição. Concluímos que An contém menos que n pontos e a proposição está demonstrada. O

314


O figura, a seguir, resume as implicações dos diversos modos de convergência.

315


quase certa e em probabilidade, não podemos reduzir o estudo da convergência em distribuição de vetores aleatórios, ao comportamento das suas respectivas coordenadas. Não temos equivalência, mas apenas implicação, em uma das direções. Ou seja, se o vetor converge em distribuição então cada componente também converge em distribuição, para a correspondente marginal da função de distribuição limite. Entretanto a recíproca não é, em geral, verdadeira. Como já mencionamos, para amenizar as dificuldades técnicas no trato de convergência em distribuição, é conveniente trabalhar com funções características. O Teorema da Continuidade de Levy também vale para o caso multivariado. A seguir, apresentamos um critério que facilita a verificação da convergência em distribuição para vetores aleatórios. Teorema 6.8: Teorema de Cramér- Wold

Para k ;::: 1, sejam {Xn : n ;::: 1} e X vetores aleatórios k-dimensionais em um mesmo espaço de probabilidade (S1, :F, P). Então, Xn converge para X em k

distribuição se, e somente se, a seqüência de combinações lineares I:aiXnj j=l k

converge em distribuição para I:aiXi, para qualquer (ai, a2, ... , ak) E JRk. j=l

Figura 6.1: Relação entre os Modos de Convergência. Demonstração;

k

d

Supomos que X11 -+ X e vamos verificar que I:aJXn; Para o caso vetorial, as definições de convergência sofrem algumas adaptações. Para as convergências quase certa e em probabilidade, precisamos avaliar a proximidade entre os vetores aleatórios X 11 e X pelo comportamento da norma da diferença entre eles. Em geral, essa norma é calculada por

IIXn - X/1

=

k

(

L(Xnj- Xj) 2

) 1/2 ,

j=l

com k sendo a dimensão dos vetores e X nj a

J=l

coordenada j do vetor X11 • Pode-se verificar, ver Leite e Singer [90], que a convergência do vetor aleatório, quase certamente ou em probabilidade, ocorre se, e somente .se, existir a mesma convergência em cada uma das variáveis que compõem o vetor aleatório. Dessa forma, o caso multidimensional pode ser estudado a partir de repetidas aplicações do caso univariado. Para convergência em distribuição de vetores aleatórios, requeremos que a função de distribuição conjunta F,, (x) convirja para F(x), em todos os pontos de continuidade da função de distribuição conjunta F. Entretanto, lembremos que da função de distribuição conjunta podemos obter as marginais, mas o caminho inverso nem sempre é possível. Por essa razão, diferentemente das convergências

assim, pelo Teorema da Continuidade de Levy, segue que

r/Jx..(ta 1,ta2, ... ,tak) ,;-=-i r/Jx(tal,ta2, ... ,tak) I·

= E

(e i!\

= rjJ !L;a;Xj J=l

e, portanto, o resultado está verificado.

(ta;)X;)

(t),

d k -+ I:aiXJ, j=l

para


316

k

k

Assim, existe no suficientemente grande tal que Mno

Supomos agora L:aiXnj!!. L:aiXi para qualquer (a 1 , a 2 , ... , ak) E JR" e j=l

317


j=l

> 1e

P(IXI > M, 11 ) < E/2.

d

vamos provar que vale X, -+X.

TomeM = M, 11 e, portanto, temos P(IXI > M) < E/2. A função g sendo contínua em JR, será uniformemente contínua no intervalo fechado [-2M, 2M]. Logo, para todo f.> O, existe ó(E, M) = ó(E) tal que lg(x)- g(y)l
Temos

Como X,!. X, existe n( f.) > O tal que

ando ao limite para n indo ao infinito, vem

P[IX,- XI 2:: 6(E)] < E/2, para n 2:: n(E). Note que na intersecção [lXI :::; M] n [IX,- XI < ó(E)] temos X e Xn em [-2M, 2M]. Então, pela continuidade uniforme de g nesse intervalo, vem

Logo, pelo Teorema da Continuidade de Levy, temos X11 !!.x.

D

Apresentamos a seguir alguns resultados que auxiliam a tarefa de estabelecer convergência de funções de variáveis aleatórias. Proposição 6.9: Funções contínuas preservam convergência

Para k 2:: 1, sejam {X11 : n 2:: 1} e X vetores aleatórios k-dimensionais com funções de distribuição conjunta {F, : n 2:: 1} e F, respectivamente. Seja g : JRk -+ lR uma função contínua. Então, se X 11 converge para X em quase toda parte, em probabilidade ou em distribuição, o mesmo ocorre com g(X,) para g(X), no mesmo modo de convergência. Demonstração:

Notamos, inicialmente, que o requisito de mesmo espaço de probabilidade pode ser relaxado, se a convergência for em distribuição. Faremos a prova para o caso k = 1. Para as convergências quase certa e em probabilidade, o caso geral segue diretamente. Já para a convergência em distribuição, precisaríamos usar uma versão multivariada do Teorema da Continuidade de Levy. Suponha X, ~X. Então existe um conjunto A E F tal que P(A) =O e X,(w)-+X(w) para w E Ac, quando n-+oo. Como g é contínua, g(X11 (w))-+ g(X(w)) para w E A c, quando n vai ao infinito e, portanto, g(X11 ) ~ g(X). Considere que X,!. X e vamos verificar que g(X,)!. g(X). SeM, >0 eM, loo, então P(X E [-M,,M11 ]) ,~ 1.

[lXI :::; M]

n [IX,- XI < 6(E)] c [lg(X,)- g(X)I <E], para n 2:: n(E).

Para os complementares, temos [lXI

> M] U [IX,- XI 2::

6(E)] :J [lg(X,)- g(X)I 2:: E], para n 2:: n(E).

Então, para todo n 2:: n( f.), P(lg(X,)- g(X)I 2:: f) :::; P(IXI

> M) + P[IX,- XI 2:: 6(€)]

p

Portanto, vale g(X,)-+ g(X). d d RestamostrarqueX,-+X::::} g(X,)-+g(X). Temos E(eitg(X,.))

=L: dF,(x) =L:cos(tg(x)) dF,(x) +iL: sen(tg(x)) dF,(x). eitg(x)

As funções seno e cosseno, aplicadas no produto de t por g(x), são funções contínuas e limitadas. Então, pelo Teorema de Helly-Bray

!!..~E(e itg(X,.)) =L:cos(tg(x)) dF(x) +iL:sen(tg(x)) dF(x) = E(eitg(Xl).

Segue, agora, do Teorema da Continuidade de Levy que g(X,) 2. g(X).

D

318


Uma simples aplicação da proposição anterior permite avaliar, a partir do que ocorre com Xn, a convergência de X~ ou de aXn + b, para a e b constantes. Assim, por exemplo, se Xn ~N(O, 1) teremos X~~ [N(O , 1)]2 = x~ ou, se qc X qc tivermos Xn-+ c, então Xne •-+ c é . No próximo exemplo, discutimos o comportamento da soma de duas variáveis, a partir da convergência de cada uma delas.

0 comportamento da soma e do produto de variáveis, uma convergindo em distribuição e outra em probabilidade, é o objeto do próximo teorema. Teorema 6.10: Teorema de Slutsky

Considere {Xn:n;;::: 1}, {Yn : n;;::: 1} e X variáveis aleatórias tais que valem as convergências Xn ~X e Yn ~c, com c constante. Então,

Exemplo 6.10: Sejam Xn e Yn, n;;::: 1, seqüências de variáveis que convergem quase certamente para X e Y, respectivamente. Da convergência individual temos a convergência quase certa do vetor (Xn, Yn) para (X , Y). Usando a proposição anterior com a função contínua g(x, y) = x + y, obtemos o resultado: qc

qc

Xn -+X e Yn-+Y ::::} Xn p

(ii)

+ Yn -+X + Y.

(iii) Se c =f O,

f -x(x), 't/x

E

2. f

,desde que P(Yn =f O) = 1.

Prova de (i): Temos

p

,~..

'f'X,+Y,,

JR.

(t) = E(eit(X.,+l~,)) = E(eit(Xn+c) ) +E[(eitX,. )(eitY,, _ eitc )] .

Por hipótese temos, lim E(eit(Xn+cl ) TL--+00

= lim eitcE(eitX.,) = eitcE(eitX ) = E(eit(X+cl ). R--+00

Observe que JeitX., I = 1 e, assim, vem

IE{(eitX" )(eitl';. _ eitc )}i:::; E{i(eitX., )(eitY,, _ eitc )i} = E{i(eitY,, _ eitc )i}. Se Zn = J em~. - eitc J, temos Z 11 :5 2. Logo para f> O, vem

E{J(eitl'. - eitc )i} = E(Z,.) = E(Zn l {z,.s,}) + E(Z" J{Z.,>•}) :5 E( f)+ 2E(J{Z.,><}) :::; f+ 2P(Zn > f). Como

z

é uma função contínua de Yn e lembrando que funções contínuas p . .. preservam convergência, temos que Z11 -+ O, pms Yn c?~verge em probabiltdade para c. Nessas condições, podemos escrever, para n suftctentemente grande, 11

Por outro lado, para n 2:: 1, Xn + Yn =O e, assim, Xn não ternos convergência em distribuição de Xn + Yn para 2X. Em resumo, d

~::

Demonstração:

Considere, agora, que Xn ~X e Yn ~ Y. Será que Xn + Yn converge em distribuição para X + Y? Em geral, a resposta é negativa, conforme veremos através de um contra-exemplo. Antes, alguns comentários. Se as seqüências convergem em probabilidade ou quase certamente, a convergência em distribuição valeria e a soma convergiria em distribuição. Da convergência em distribuição de Xn e Yn. isoladamente, não é possível estabelecer o comportamento do vetor (Xn, Yn). Caso fosse possível e, se ele convergisse em distribuição para (X, Y), com a mesma argumentação utilizada nas outras convergências, teríamos que a soma converge em distribuição. Assim, Xn ~X e Y,, ~ Y não são condições suficientes para concluir-se sobre a convergência em distribuição da soma Xn + Yn para X+ Y. Para um contra-exemplo, considere que X é não nula e simétrica ao redor d d . de O e tome Yn = -Xn. Dessa forma, se Xn -+X, então Yn -+X pOIS =

XnYn ~eX;

qc

Xn-+X e Yn-+Y =}Xn+Yn -+X +Y.

Fx(x)

Xn + Yn ~X + c;

(i)

Se a convergência for em probabilidade, o mesmo argumento se aplica e temos: p

319


d

Xn-+X e Yn-+Y

+ Yn ~O.

Logo,

iE[(eitX., )(eitl;, _ eitc )]i :::; E[i(eitl·;, _ eitc )i] < 2L Logo, tomando limite em 4>x,.+Yn (t), quando n -+ oo, concluímos a demonstração da parte (i).

d =f Xn + Yn -+X + Y,

ressalvado que, com certas condições adicionais, a implicação é válida.

O

320

Capítulo 6: Con vergência de Variáveis Aleatórias

Prova de (ii): Inicialmente consideramos c = O e vamos verificar que X, Y, , !. O. Daí a convergência em distribuição também vale. Temos, para t > Oe k > O,

P( IX, Y,,I >E) = P(I Xn Ynl >E, IY,, I ~ tlk ) + P( IX, Y,,I > t, IY,, I > tlk ) ~ P(I X, I > k ) + P(I Y,,j > Elk).

Por serem funções da amostra, essas quantidades são aleatórias. Omitimos a menção ao tamanho da amostra n , para aliviar a notação. Note que, após o conhecimento dos valores observados em uma particular amostra, a média e a variância amostrais podem ser calculadas numericamente. 2 Vamos verificar que s~ !.e12 • É possível mostrar que (n - 1 )s~ le1 tem distribuição Qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade e, dessa forma, temos

Então, limsupP(IX" Y, j >E)~ P(IXI > k ), pois X 11 ~X e Y,, !.o. n-oo

321

6.2 Modos de Con vergência

Var( (n

~;)s~ )

= 2(n - 1)

=?

Var(s~) =

Pela Desigualdade de Chebyshev, para qualquer t

Como k pode ser arbitrariamente grande, segue que P( IX, Y,,l > t) -... O para n -... oo. Isto é, X , Y,, converge em probabilidade para zero. Consideramos, agora, o caso geral. Temos

X" Y,' = eX,+ (Y,,- c)X11 • Observe que vale Y,, - c!. O. Da parte inicial, podemos concluir que (Y,, - c)X, !.o. Além disso, eX, ~eX pois produto por é uma função contínua.

2

2

P (lsa - CT 2 p

e, portanto, sa

I2

E)

$

20"4 E2 (n _

2CT 4l(n- 1).

> 0: .

1) "-:::1: O,

2

-+ O" •

A variável aleatória T,,_ 1 definida por:

X - JL Tn-! = sal

Vn'

Uma nova aplicação da parte inicial resulta em

X , Y,, =eX"+ (Y,- c)X, !. cx,

tem distribuição t-Student com n - 1 graus de liberdade. Para o comportamento limite temos d

d cX. . )"1cando em X, Y,, -+ 1mp

T,,-1 -+ N(O, 1).

Prova de (iii): Note que g(y) = 1l y, com y =/= O, é uma função contínua. Dessa forma, segue que 11Y,!.11c. Para concluir a prova de (iii) , basta aplicar a O parte (ií).

Exemplo 6.11: Considere X1 ,X2, ... X , variáveis aleatórias independentes com distribuição N(J.L , e1 2 ). Podemos pensar que essa seqüência constitui uma amostra do modelo indicado. Relembremos que a média amostrai é dada por

X = X I +X2 + ~

e a variância amostrai por

n

·· · + XII

x-11 tem distribuição Para a verificação desse resultado, observe que uffo N(O, 1), independente de n. Logo, ~:};; ~ N(O, 1) . Também temos ~ ! 1, por ser função contínua de uma quantidade que converge em probabilidade. Aplicando a parte (iii) do Teorema de Slutsky vem

-

x-Jl

-;;J"Tn d X - J.L Tn-1 = I r;: = J':2T.:2 -+ N(O, 1), v sã!CTSa v n indicando que, para valores grandes de n , a distribuição t-Student pode ser O calculada, aproximadamente, pela distribuição Normal Padrão.

322


Exercícios da Seção 6.2: 1. Para n :2: 1, Xn"" Uc(O, 1) são variáveis i.i.d. Defina Yn = min(X1, ... Xn), W n = max(X1, ... Xn), Un = nYn e Vn = n(1 - Wn )· Mostre que: p

m,n-+oo

Sugestão: Mostre que IXm- Xnlr::::; 2r {IXm- Xlr

()()

2. Suponha que Xn, n :2: 1, sejam independentes e que Xn ~X. Mostre que, para ()()

n=l

( (

(

3. Seja { Xn : n :2: 1} uma seqüência de variáveis alaetórias independentes com P(Xn = ± 2") = 2-( 2n+l) e P(Xn =O) = 1 - 2- 2n, n :2: 1. Verifique se n

~ EXn converge em probabilidade e indique qual seria o limite. i=l

a. Mostre que, se P(IXn -XI :2: En) ::S Ón com lim En = O e n--+oo

se x < n; se x :2: n. Verifique que Fn(x),~ O, Vx E R Que conclusões podem ser tiradas sobre o limite de uma seqüência de funções de distribuição?

5. Seja { Xn : n :2: 1} uma seqüência de variáveis i.i.d. assumindo os valores - 1 e 1 com igual probabilidade. Mostre que

f: f; X; E. Uc[-1 , 1].

i=l

Lembrete: cos x =

sen( 2.r) · 2 senx

6. Seja {Xn : n :2: 1} uma sequencia de variáveis aleatórias tais que P(Xn = k/n) = 1/n, para 1 ::::; k ::::; n. Mostre que Xn converge em distribuição e identifique o limite. 7. Verifique que, se Xn!. X e Yn!. Y, então:

a. aXn + bYn !.ax + bY, a e b constantes. p b. XnYn -+ XY. p c. Xn/Yr, -+ X/Y, desde que P(Yn =f. O)= 1.

E Ón n=l

< oo,

qc

então Xn -+X. b. Se Xn!. X, então existe uma sub-seqüência de Xn que converge quase certamente para X. Sugestão para a parte (a): Use Borel-Cantelli.

11. Prove que Xn!.X {::} VE >O, lim P(IXm- Xnl :2: E)= O.

4. Considere Xn, n :2: 1, uma variável aleatória com função de distribuição F11 dada por

(

'•'

+ IXn- xn.

10. Sejam Xn. n :2: 1, e X variáveis aleatórias.

qualquer€ > O temos E P(IXnl :2: E) < oo. (

8. Seja { Xn : n :2: 1} uma seqüência de variáveis aleatórias simétricas ao redor do zero. Suponha que Xn E. X, para alguma variável X. Então, X também é simétrica ao redor do zero. 9. Sendo Xn !.x, r :2: 1, verifique que lim E(IXm- Xnn =O.

a. Yn-+0. p b. Wn -+ 1. d c. Un -+U, sendo U ""Exp(1). d d. Vn-+ V, sendo V"" Exp(1). (

323

6.3 Leis dos Grandes Números

m,n-+oo

Sugestão: Mostre que {IX- Yl :2: E} C {IX- Zl :2: ~E} U {IY- Zl :2: ~E}, sendo X, Y e Z variáveis quaisquer. Use também o Exercício JO(b).

12. Sejam Xn, n :2: 1, e X vetores aleatórios de dimensão k. A convergência do vetor X" para X é definida pela convergência de IIX, -XII para zero, em probabilidade ou quase certamente, conforme o caso. Denotando por XnJ a coordenada j do vetor X 71 , mostre que:

a. X, !. x {:}XnJ!.xi,paraj= 1,2, ... ,k. qc

qc

.

b. X 71 -+ X {:}Xnj-+Xj,paraJ= 1,2, ... ,k.

6.3 Leis dos Grandes Números O problema de obter empiricamente valores numéricos de probabilidades é um dos interesses da estatística. Inúmeras técnicas foram desenvolvidas para que fossem obtidas estimativas da probabilidade de eventos. As Leis dos Grandes Números fornecem a fundamentação teórica para a maioria dessas técnicas. Em um certo espaço de probabilidade, considere um experimento em que o evento A tem probabilidade P(A) = p. A intuição, freqüentemente aceita, indica que em um grande número de repetições do experimento, a freqüência

324


325


relativa de ocorrência de A se aproxima de p, isto é ~ ;:::: p, em que nA é a freqüência de A e n o total de repetições. Essa concepção intuitiva, importante para o método científico, foi tomada como definição de probabilidade por muitos anos. De fato, essa definição pode ser considerada imprecisa, se o sentido do limite não é explicitado. A formalização axiomática de Kolmogorov em 1934, apresentada no Capítulo 1, permitiu colocar em bases matemáticas sólidas vários dos conceitos intuitivamente aceitos. Para experimentos aleatórios, a noção intuitiva de probabilidade, como freqüência relativa para um grande número de repetições, toma-se um resultado matemático rigoroso, através da aplicação de um caso especial da Lei dos Grandes Números.

Vamos retomar nossa discussão inicial sobre a convergência das freqüências relativas. Para tal, sejam X 1, X2, ... variáveis com distribuição de Bernoulli(p) e independentes. Sendo A a ocorrência de sucesso, segue que P(A) = p. Para n variáveis, ou n repetições do experimento sucesso-fracasso, temos nA = X1 + X2 + ··· + Xn e E( X;) = p, 'Vi = 1, 2, .... Portanto, as Leis dos Grandes Números podem ser expressas da seguinte forma:

Definição 6.5: Leis dos Grandes Números

Desse modo, verificando-se a obediência a uma das leis acima, teremos estabelecido, de maneira rigorosa, a intuitiva convergência da freqüência relativa à probabilidade. Para ajudar a esclarecer as diferenças entre as duas leis, detalhamos os espaços de probabilidade que são apropriados para cada caso. Para a Lei Fraca considere que, para cada n E N, o espaço amostrai n consiste das 2" seqüências de n termos, em que cada um deles é Oou 1. Os pontos de n podem ser pensados como sendo um vetor n-dimensional, em que xi é o valor da i-ésima coordenada. A o--álgebra F pode ser o conjunto das partes de n. Para a probabilidade P, a atribuição nos pontos de n envolve a independência e o resultado das ocorrências, em cada realização. Assim, o ponto (1 , O, O, ... , 1, 1) teria probabilidade pqq . .. pp, com q = 1 - p. No espaço amostrai mencionado, considere o conjunto de seqüências tais que, para E > O, I71,;4 - Pl ;::: E. Denotando por 0: 71 a probabilidade desse conjunto, temos

Sejam X 1, X2,... variáveis aleatórias com esperanças finitas e seja S" = X1 + X2 + .. · + Xn. A seqüência {Xn : n;::: 1} satisfaz a Lei Fraca dos Grandes Números se:

e a Lei Forte dos Grandes Números se:

s" _ E(s, )~o. n

n

o Como verificamos na seção anterior, a convergência quase certa implica convergência em probabilidade. Logo, se a seqüência satisfaz a Lei Forte do Grandes Números ela também satisfaz a Lei Fraca. A definição foi apresentada. em termos mais gerais, pois existem diferentes condições sobre a seqüência de variáveis {X, : n ;::: 1}, para que satisfaçam uma ou as duas Leis dos Grandes Números. Assim, preferimos usar a notação 8 11 /n ao invés de X, pois esta última quantidade é, freqüentemente, utilizada no contexto de amostras aleatórias, em que as variáveis são independentes e identicamente distribuídas. Se o valor esperado de 811 /n for constante e não depender de n, digamos igual a f.,L, podemos ~ · S P s qc f.-l, conforme escrever as convergenctas como ,;· -+ f.-l ou ,;· -+ o caso. Nessa situação, fica ressaltada a interpretação usual da Lei dos Grandes Números como convergência, para o valor esperado, de médias parciais.

nA P - - + p,

n

nA qc

-

n

--+ p,

para a L. et Fraca; .

para a Let Forte.

sendo a somatória para todos os r's tais que I~ - Pl ;::: E. Precisamos, então, verificar se o: 71 vai a zero, quando n vai ao infinito. Apesar de eventuais dificuldades computacionais, trata-se de estimar a soma de probabilidades binomiais. Para a Lei Forte dos Grandes Números, consideramos o espaço amostrai não enumerável consistindo de todas as seqüências infinitas de X/s. Assuma que podemos definir, de forma conveniente, uma a-álgebra F e uma probabilidade P. Entre as características desejadas de P, requeremos que o conjunto de todas as

326


seqüências, que iniciam com 1, tenha probabilidade p. Também, o conjunto de todas as seqüências, que têm O e depois 1 no ínicio, precisa ter probabilidade qp. E assim por diante, estabelecemos todos os cálculos probabilísticos correspondentes a um conjunto finito de termos iniciais fixados. Nesse espaço amostrai, seja E o conjunto de todas as seqüências para as quais n.4

-

n

----. p, para n--. oo.

Precisamos verificar que E E F e que P(E)

=

1.

Para tornar ainda mais clara a diferença entre as Leis Forte e Fraca dos Grandes Números, apresentamos o gráfico a seguir, que contém uma particular trajetória de resultados.

327


Em constraste, a Lei Forte garante que o conjunto de todas as trajetórias, lim ~ existe e é igual a p, é um evento de probabilidade 1 no Para as quais n~oo n. espaço de probabilidade das seqüências infinitas de ensaios. Se fixamos f > O, o conjunto das trajetórias desses ensaios para os quais p - f < ~ < p + f, para n suficientemente grande, é um evento de probabilidade 1. Na realização de uma seqüência de ensaios, ao observar a freqüência da ocorrência do evento A, estamos obtendo uma particular seqüência. relativa ~ n A Lei Forte assegura que, dado f > O, com probabilidade 1, os termos dessa específica seqüência realmente estarão no intervalo (p - f, p + f). Apresentamos, a seguir, um quadro com as principais Leis dos Grandes Números usualmente presentes em textos intermediários.

Hipóteses

Principais Leis dos Grandes Números

Lei Fraca de Bernoulli

•

~

{Xn: n

1} "'Bernoulli (p)

independentes.

Pr-------- ---------- ---------

Lei Fraca de Chebyshev

{Xn : n

1} independentes 2 a 2

~

variâncias fmitas e unifonnemente limitadas. Lei Fraca de Khintchine

{Xn: n

~

1} i.i.d.

com média finita.

o

ll

Lei Forte de Borel

~

{Xn: n

1} "'Bernoulli (p)

independentes.

Figura 6.2: Particular trajetória para a freqüência relativa nA/n.

Primeira Lei Forte de Kolmogorov

{Xn : n

~

1} independentes,

média finita e

A afirmação '~~ ~pé equivalente a dizer que, para todo f > O podemos encontrar um n suficientemente grande tal que, a probabilidade da ordenada ~ estar entre p- f e p + f, é tão próxima de 1 quanto desejarmos. Em outras palavras, no n-ésimo ensaio muitas trajetórias de ~ estão próximas de p, mas não sabemos se uma específica trajetória se aproxima ou permanece próxima de p. Isto é, a Lei Fraca dos Grandes Números não dá nenhuma informação sobre a • existência ou o valor do limite de nA 11

tVar(X,.) ---
Lei Forte de Kolmogorov

n2

{X,. : n 2: 1} i.i.d. com média finita.

Figura 6.3: Leis dos Grandes Números.


328

Note que, do ponto de vista formal, não é necessário provar uma lei fraca, se provamos, com as mesmas hipóteses, a lei forte. Cabe ressaltar que as leis que tinham variáveis de Bernoulli em suas hipóteses serviram como precursoras dos outros resultados. Como usual em toda teoria, se aprende com casos especiais antes de se obter os resultados gerais. Em particular, observe que a Lei Fraca de Bernoulli foi publicada em 1713. A apresentação das leis e suas respectivas hipóteses variam entre os autores. O quadro acima, bem como as demonstrações que se seguem, foram baseadas em James [81]. A Lei Fraca de Chebyshev pode ser verificada com a aplicação da desigualdade do mesmo nome e é deixada como exercício ao leitor. As Leis Fracas de Bernoulli e de Khintchine, além da Lei Forte de Borel, ficam válidas, se valer a Lei Forte de Kolmogorov. Assim, apresentaremos as leis de Kolmogorov, sendo que a chamada Primeira Lei ajudará na demonstração da Lei Forte de Kolmogorov. Antes, precisamos de dois resultados preliminares.

329


Observe que

e, portanto, n

n

k=l

k=l

E(S~)::::: LE(S~ IA.):::=: L{ E(SÍ IAk)

+ 2E [(Sn- Sk)SkiAJ}.

Sendo (Sn- Sk) e Sk independentes e, ainda, E(Sn- Sk) = O, temos n

E(S~) ::::: L E(Sf IA.)· k=l

Em Ak temos Sf ::::: À2 e, após a substituição na desigualdade acima, vem

Lema 6.11: Desigualdade de Kolmogorov

n

Seja { Xn : n ::::: 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes com média zero e variância finita. Então, para todo À > O e com sk = xl + x2 + .. . + xk temos,

E(S~)::::: LE(À2 IA.) =

2

À

P(A);

k=l

logo, a demonstração está completa, pois Var(Sn)

= E(S~).

o

Lema 6.12:

Seja X uma variável aleatória com esperança finita e função de distribuição F. Então,

Demonstração:

Seja A = { max Sf ::::: À2 } e defina os eventos Ak, 1 ~ k ~ n, da

oo

A1 = {S? ::::: Ak = {S? <

2

À };

,S'fc_ 1 <

À

2

,Sf:::::

2

À },

para 2 ~ k ~ n.

Assim, eles representam a primeira vez que Sf é maior ou igual a À e são dois a dois disjumos. Dessa forma, A =

n

n

k=l

2

-nx dF(x)

< oo.

k=l

A prova é omitida e a demonstração é feita no Lema 5.1 de James [81 ]. O Teorema 6.13: Primeira Lei Forte de Kolmogorov

U Ak e, portanto IA = L: IA•·

Sejam { Xn : n ::::: 1} variáveis aleatórias independentes com esperança finita e

Então

: : : s~ IA =

in

Demonstração:

2

À , •••

2

s~

1

~ n2

15k5n

seguinte forma:

n

n

k=l

k= l

I:s~ h. ::} E(S~) ::::: LE(S~ IAJ·

f: va~f"l < oo. Então, {Xn: n ::::: 1} satisfaz a Lei Forte dos Grandes

n=l

Números, isto é, para Sn

= X1 + X2 + ... + Xn temos, Sn n

E(Sn) ..!!.:... O. n

330


Demonstração:

Observe que

Sem perda de generalidade, supomos E(X,. ) = O, para todo n. Se esse não for o caso, criamos uma nova variável Y,, =X,.- E(X,. ). Se o resultado for válido para os Yn's, que têm média zero, então também o será para a seqüência {X,.: n 2: 1}. Para mostrar que s,. ~O, basta verificar que M,. = max 1 IBkA-1 converge n

1 """' L...J1 4"

n:2•+ ;::k

00

L P( M

11

2:

2j(k)

~ k ~ 2j(k)+l )

3 4i(k)

4 4 k < - (vale 21'(k) > -) - 3 k2 - 2 16

< -· - 3k 2

f,) < oo;

n=l

Concluímos a verificação de {i), notando que

~0.

00 oo 1 16m 2 ~ Var X k LP(Mn 2: m) = L P(A,.) ~ -3-~ ~ < 00,

Para demonstrar (i) usaremos a Desigualdade de Kolmogorov. Com m

1.. }= { Mn;::: 1.. } . Temos -ISkl > -1) < P ( max Sk > -2") k - m m

fixo, para todo n definimos An

P ( An ) = P (2" < max 2"+' -

= {2'j<max k:52"+

1

2:

ISkA-1

m

2" <2"+, 1

-

m

1-

2n

~ p ( l::;k::;2"+' max ISkl 2: ~ ) m ~

n=l

;. LVar xk (desig. de Kolmogorov).

n=l

k-1

em que utilizamos a hipótese da soma ser finita. Vamos agora demonstrar a parte (ii). Com a mesma notação da parte anterior, aplicando o Lema de BorelCantelli (ver Capítulo 1), obtemos

P(An infinitas vezes) = O.

2 2"+ 1

k=l

Logo,

= n=j(k)

4 1

2"< k::5 2"+

(i) Param = 1, 2, ... temos

00 1 """' (para j (k): L...J 4"

=

quase certamente para zero. Essa verificação será feita em duas partes:

(ii) Mn

331


Considere o evento Bm = { M,. ;::: f, para um número finito de n 's}. Teremos P(Bm) = 1, para todo me, dessa forma, a probabilidade da intersecção de todos os Bm's também será 1, isto é, 00

P(

n Bm) = 1.

m=l

Observe que temos a seguinte equivalência de eventos:

n

00

m=l

Bm {::} {Vm, Af11

;::: -

1 para um numero , f'. m1to de n '} s

m

{::} {Vm, O ~ M 11

< ~ para todo n suficientemente grande}

m {::} {Mn-+ 0, quando n vai ao infinito} . - esta, compIet a. Portanto, Mn qc -+O e a demonstraçao

D

332

333



Segue, pelo Lema de Borel Cantelli, que

Teorema 6.14: Lei Forte de Kolmogorov Sejam X 71 , n ~ 1, variáveis aleatórias i.i.d. e com esperança finita J.l. Então {X11 : n ~ 1} satisfaz a Lei Forte dos Grandes Números, isto é, para Bn = X r + X2 + .. . + X n temos,

P ( Z 11

f.

O infinitas vezes) = O;

'

,i

e, então

P(Zn f. O para apenas um número finito de n's)

8 11 qc --+J.L . n

= 1,

-

e, por equivalência de eventos, vem:

Demonstração:

P(Z11 = O para todo n suficientemente grande) = 1.

Vamos supor, sem perda de generalidade, que J.l =O. Seja Yn = X 11 1{-n<X,.::::;n}• a variável que corresponde ao truncamento de Xn. Definimos, também z/1 = Xn- y11 e, portanto, X II= Y;, + Zn. Assim,

Bn n

lí + Y2 + ...

n

Para demonstrar a parte (ii), seja F a função de distribuição comum às variáveis da seqüência { X 11 : n ~ 1}. As variáveis Y;, 's satisfazem a Primeira Lei Forte de Kolmogorov. Vamos verificar a hipótese que envolve a variância de Y;" pois as demais são imediatas. Temos

( i) Z 1+Z2+ ... +Z, ~O · '

(ii) Y1 +l'2+ ... +Y,, _ E(Y,+Y.,+. ..+Y,,) ~O· n

11

'

Var(Yn) :S E(Y112 } = E(X?, 1{- n<X,::::;,,}) =

(iii) E(Y1+Yz:···+Y,,) -+O.

Uma vez demonstrados, o teorema será válido pois podemos somar as expressões referentes às partes (i) e (ii), cujo conjunto intersecção também terá probabilidade 1, e usar a parte (iii) para definir o limite do valor esperado. Para verificar a parte (i), observe que:

f. O) = P( X" -

Y,,

f. O) = P(X, tf. (- n, n]) :S P(JX,J oc

LP(Z" f. O) :S

L P(JX J~ n )

n=l

11=l oc

:S

Então, pelo Lema 6.12 vem oo v; (X11 ) "" ar L... n2 n=l

~ n).

11

LP(JX1 J~ n ) (ident. distribuídas) 11=1

< oo (esperança finita).

1

oc :::; " " -

L... 11=1

n2

1:

+ Y,, _

j" x dF(x) < oo;

E(Yí

2

-n

+ Y2 + ... + Y") n

Vamos, agora, provar a parte (iii), isto é 1

-E(Yí n

+ Y2 + ... + Y;,) -+ 0.

2

x dF (x).

Jogo, pela Primeira Lei Forte de Kolmogorov,

Y1 + Y2 + ... n

Assim, oc

zl -+-z2-+-...-+-z/-1 --+o. qc -

n

Vamos provar os seguintes três resultados:

P(Z"

probabilidade 1, segue

+ Yn + Zr + Z2 + ... + Z11

n

n

Temos, assim, Z 11 -+0 e também Z,+Zz~ ...+Z,-+ 0. Como isto ocorre com

~O.

--, 334

335



Como cada esperança é finita por hipótese, se tivermos E(Yn)-+ O, o resultado estará verificado. Temos

Considere um x 0 E ~fixado. Então F,~(xo, w) é variável aleatória, pois é uma função das variáveis X 1 ,X2 , . . . ,Xn. Isto fica mais claro, considerando a variável indicadora, Y; = I{X;:SXo}• i= 1, 2, ... , n. Assim,

em que usamos que as variáveis são identicamente distribuídas e aplicamos o Teorema da Convergência Dominada, pois IXl I{ -n<XJ~n}l:::; lXII e x l tem esperança finita. Isto completa a verificação da parte (iii) e, como mencionamos anteriormente, a demonstração do teorema é decorrente das três partes O verificadas.

F~(xo,w) = - LYi(w).

n

n

i=l

As variáveis Y;'s são independentes como conseqüência de X17 X2, ... , Xn o serem. Sempre com x 0 fixado, temos, ainda, que para cada i= 1, 2, ... , n, Y; "' Bernoulli (p) com

Uma conseqüência da Lei dos Grandes Números, importante na área de Estatística Aplicada, é descrita a seguir. Sejam X 1 ,X2, ... ,Xn variáveis aleatórias em (O, F, P), independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição F. Essas variáveis podem representar a amostra observada de uma certa quantidade de interesse. A função de distribuição empírica ou amostra/, denotada por F~, é definida para todo x E ~ e w E f! por:

p = P(Y;

=

1) = P(X;:::; xo) = F(xo).

Então, n

n

E(LYi ) = np = nF(xo) e Var(LYi) = np(1- p) = nF(xo)[1- F(xo)]; i=l

i=l

e, portanto,

1 F~(x, w) =-[número de i's tais que X;(w):::; x, i= 1, ... n]. n Para uma particular trajetória Wo E

1

E[F~(xo,

n, obtemos um conjunto de valores fixados de

1 w)] = -nF(xo) = F(xo). n

Concluímos que, pela Lei Forte de Kolmogorov, para cada valor xo E~ fixado, temos

xl, ... 'Xn, digamos Xl, ... 'X" . Nesse caso, F,~(x, wo) é função de distribuição com saltos de 1/n em cada um desses valores (ver gráfico a seguir).

F~(xo,w) ~F(xo); e, portanto, daí também vale a convergência em probabilidade. É importante notar que o resultado é válido para cada valor fixado Xo. Para dizer algo sobre a convergência em geral, para todo x, precisamos levar em conta que F~(x, w) é um Processo Estocástico. Dessa forma, a teoria correspondente precisaria ser utilizada. Entretanto, um resultado extraordinário pode ser apresentado, no contexto deste capítulo: o Teorema de Glivenko-Cantelli que é algumas vezes mencionado como o Teorema Fundamental da Estatística. Ele afirma que a função de distribuição empírica construída das observações, converge para a função de distribuição populacional, quase certamente em O e uniformente em IR.

I .

•-- --
·...-.<> 1/11 X

Figura 6.4: Função de Distribuição Empírica.

•I

I


336

Teorema 6.15: Teorema de Glivenko-Cantelli Sejam XI , x2 , ... ' Xn variáveis aleatórias em (n, F, P), independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição F . Seja F,~· a correspondente função de distribuição empírica, então

P( lim sup I F,~(x, w )- F(x)l =o) = 1; 7!--->oo xEIR

ou, em outras palavras, e qc

F" --+F, uniformemente em x E R

Demonstração: Pelos comentários anteriores ao teorema, a Lei Forte dos Grandes Números garante, para cada fixado x E ~. a convergência quase certa. Trata-se agora de estender o resultado, mostrando que essa convergência pode também ser estabelecida uniformemente para todo x E R A prova usa quase que essencialmente técnicas de Análise Matemática e será omitida. O leitor interessado pode consultar Neuts [73] ou Rao [84]. O Exercícios da Seção 6.3:

1. Demonstre a Lei Fraca de Chebyshev.

2. Seja {X, : n 2: 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes com P(Xn = n) = ~ e P(Xn =O) = 1 - ~ , n 2: 1. Verifique se vale a Lei dos Grandes Números. 3. Sejam X i, j = 1, 2, ... , n , variáveis aleatórias não correlacionadas duas a duas com P(Xi = -ai) = P(Xi = ai) = 1/2, O < a ::; 1. Mostre que vale a Lei Fraca dos Grandes Números. 4. Seja {Xn : n 2: 1} uma seqüência de variáveis aleatórias, independentes identicamente distribuídas, seguindo o modelo Cauchy Padrão (a= O, f3 = 1). Mostre que não existe constante c tal que X 1 +X2 ~ ... +X" !. c. 5. Considere uma seqüência de variáveis independentes tais que Xn ,...., Exp(2"12 ), n 2: 1. Verifique se vale a Lei Fraca. 6. Seja {X, : n 2: 1} uma seqüência de variáveis, independentes e identicamente distribuídas, seguindo o modelo Qui-Quadrado com j graus de liberdade. Demonstre que a Lei Fraca está satisfeita.

337

6.4 Teorema Central do Limite

7. Sejam Xn, n 2: 1, variáveis independentes com Xn "' Poisson(>.n). Suponha n

>.J· n--+x ---+ O, então a seqüência de variáveis obedece a Lei Fraca. q ue 1" nL..J j=l

8. Seja {Xn : n 2: 1} uma seqüência de variáveis aleatórias, não correlacionadas duas a duas e com Var(Xn) = a 2 < oo. Mostre que vale a Lei Fraca dos Grandes Números. 9. Sejam X 11 , n 2: 1, variáveis aleatórias, contínuas e independentes, todas com função densidade f(x) = e-(x+a) I {x;:>:-a} (x ), para alguma constante a > O. Verifique se vale a Lei Forte para essas variáveis e identifique o limite.

10. Sejam X i, j = 1, 2, ... , n, variáveis aleatórias, não correlacionadas duas a duas, com E(Xi) = /.li e Var(Xi) = a] ::; M , ambos finitos para todo j. Mostre que vale a seguinte Lei Fraca:

X - iin !. O, com iin

=

~E l-li· j=l

11. Seja {X 11 : n 2: 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes todas seguindo o modelo Uc[O, 1]. Denote por /.lg a média geométrica de n dessas variáveis, isto é, /.lg = (X1X2 ... X 11 ) 1/". Mostre que /.lg ~ c. para alguma constante finita c.

12. Sejam Xn, n 2: 1, vanave1s aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média /.L e variância a 2 < oo. a. Verifique que a seqüência de vetores aleatórios bidimensionais ( ~ ~ ( Xj - /.L ) 2 , (X -

/.L )) converge quase certamente para (a 2 , O).

"

b. Mostre que ~ L:(Xi- /.l) 2

-

-

(X - /.l)2

qc -+

a

2

•

j=l

6.4 Teorema Central do Limite Nesta seção, vamos apresentar as principais versões do famoso Teorema Central do Limite. Em essência, trata-se da convergência em distribuição para o modelo Normal de uma soma de variáveis aleatórias independentes, após uma conveniente padronização. A independência entre as variáveis pode ser relaxada, mas esse tópico não será aprofundado neste texto. As demonstrações dos primeiros resultados sobre limite com variáveis Bernoulli eram baseadas na análise direta das funções de distribuição. Uma etapa importante, no avanço da teoria, foi a descoberta por Chebyshev da desigualdade,

338


que mais tarde levaria o seu nome. Ela permitiu uma prova mais simples da Lei dos Grandes Números de Bernoulli, além de sua generalização. Chebyshev criou, ainda, o método dos momentos, aperfeiçoado por Markov, que tomou possível demonstrar o Teorema Central do Limite em condições mais gerais. Algum tempo depois, Liapunov usou a técnica de funções características para provar esse mesmo teorema. Desde então, essa técnica tem se desenvolvido e mostrado ser efetiva em várias situações.

Usando a definição de

<jJ(tfa Jri) = 1 - 2n Observe que lim n---+oc

Teorema 6.16: Teorema Central do Limite para variáveis i.i.d. Sejam { Xn : n 2:: 1} variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas e com esperança f.L e variância a 2 , com O < a 2 < oo. Então, para Sn = XI + x2 + ... + Xn. temos,

Sn- nf.L

afo

d --+

339


[1 - ill

12111 ]

2

= 1. Usaremos, ainda, o seguinte resultado:

lim c11 = c

n---+00

t2 t2 o ( ~) ] +o(-) = 1 -2n -[1-- . n t /n

=}

lim n--+oo

(1- Cnn)n = e-e .

Então 2

2

. { 1- -t [ 1- -o(t -/n)] lim <jJ(tfavfn) = hm n .... oo n->00 t 21n 2n

N(O, 1).

Demonstração:

e, pelo Teorema da Continuidade de Levy, concluímos

Inicialmente um comentário sobre o abuso de notação. A rigor, no lugar de N(O, 1) que é apenas a notação de uma distribuição, deveríamos escrever uma variável aleatória, digamos Z, que teria distribuição Normal Padrão. Como a convergência em distribuição de variáveis aleatórias se refere ao comportamento das respectivas funções de distribuição, a representação acima é freqüentemente utilizada sem maiores conseqüências. Supomos, sem perda de generalidade, que f.L = O. Se esse não for o caso definimos uma nova variável Yn = Xn - f.L, que teria média zero. Para simplificar a notação, denotemos
"

}n= e-t2; , 2

u);; .-!!:.... N(O, 1).

O

O hoje conhecido como Teorema Central do Limite de De MoivreLaplace tem as mesmas hipóteses do teorema anterior, mas com as variáveis tendo distribuição de Bernoulli. Ao redor de 1733, De Moivre provou o resultado para p = 1/2 e, mais tarde, Laplace considerou o caso de um p qualquer. As demonstrações originais foram feitas com outra técnica que avaliava o comportamento das somas binomiais. Exemplo 6.12: Teorema Central do Limite de De Moivre-Laplace Sejam X ,, n ;::: 1, variáveis independentes seguindo o modelo Bernoulli com parâmetro p. Assim, f.L = E(X11 ) = p e a 2 = Var(Xn) = p(1- p). Para S, = XI+ x2 + ... + X,, temos, pelo teorema anterior,

8" - np Jnp(1- p)

_!!__. N(O, 1).

Pela fórmula de Taylor ao redor de zero, e até o termo de segunda ordem, vem

o Exemplo 6.13: Aproximação Normal para o modelo Binomial

com a notação o(x), indicando funções tais que Iim .1'---+Ü

o(.t) X

=O.

Uma conseqüência direta do Teorema Central do Limite de De MoivreLaplace é que podemos calcular, de forma aproximada, probabilidades binomiais com o uso da distribuição Normal.


340

Note que, com a notação do exemplo anterior, Sn "'B(n,p) . Representando por <1>(.) a função de distribuição da N(O, 1), temos que para todo

x

E

b - O, 5 - np) P ( Sn < b) ~ ( ..jnp( 1 _ p) ·

IR, ) S - np ~X --+cf>(x) quando n--+oo. n np(1- p)

p ( ...;

Dessa forma, se x e y são números reais tais que x

np ~ y) ~ (y) P(x < ..jSnnp(1- p) Logo, se desejamos calcular P

< y, vem

b-np )-<~>( a-np ),parangrande. ..jnp(1 - p) ..jnp(1 - p)

Pelo procedimento utilizado para avaliar probabilidades com o modelo Normal, podemos considerar que estamos aproximando uma B(n,p) por uma Normal com mesma média e variância, isto é, f-L = np e a 2 = np(1- p). Em termos práticos, a aproximação é aceitável se np ~ 5 e np(1- p) ~ 5. Também, para um dado n, a aproximação é melhor para p ao redor de 1/2. Tendo em vista que estamos aproximando uma variável discreta por uma contínua, podemos melhorar a aproximação, introduzindo a correção de continuidade. Dessa forma, no cálculo feito pela Normal, acrescentamos ou subtraímos O, 5 da quantidade envolvida, conforme ela esteja, respectivamente, incluída ou não na probabilidade desejada. Para ficar mais claro, sugerimos ao leitor representar, num mesmo gráfico, um histograma da Binomial e a densidade da Normal correspondente. Com a correção de continuidade, teríamos

P(sn ~ b) ~ <~>(b + 0,5- np), ..jnp(1- p)

e, também,

Binomial

(n,p)

n = 200,p= 0, 5

(a < Sn ~ b), a< b, temos

b-np ) S -np a-np < !=:;::===='7 n < = p( p) ..jnp(1p) ..jnp(1..jnp(1- p)

~<~>(

Outras probabilidades são aproximadas de forma análoga. A tabela abaixo, adaptada de Roussas [73], apresenta o erro absoluto em alguns cálculos com probabilidades binomiais, com e sem a utilização da correção de continuidade.

(x), para n suficientemente grande.

P(a< Sn ~ b) = P(a- np < Sn- np ~ b- np)

341


n = 500, p = O, 1

n = 100, p = O, 3

Prob. Exata

Erro absoluto Erro absoluto aprox. Nonnal aprox. No~! sem correção com correçao

< S,. < 105 ) = O, 56325 P(50 < S,. < 55 ) = O, 31757 P(37 < S,. < 39) =O, 05889

P(95

0, 00103

0,00006

0, 01400

0, 00996

o, 01186

0, 00506

Pode-se observar que a correção de continuidade melhora bem a aproximação. O A versão já apresentada do Teqrema Central do Limite tem a restrição de tratar com variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas e com a existência de variância finita. No caminho de sua generalização, removemos a necessidade das variáveis serem identicamente distribuídas, mas acrescentamos uma condição para assegurar que cada variável faça, apenas, uma contribuição n

relativamente pequena à soma ~]X;- E(X;)], quando n é grande. i=1

Teorema 6.17: Teorema Central do Limite de Liapunov Seja { Xn : n ~ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes, com esperança f-Ln e variância a~, com a~ < oo e pelo menos um dos a~ 's maior que zero. Sejam Sn

= X 1 + X2 + ... + Xn

n

e

s! =L: a~. k=1

Liapunov estiver satisfeita, isto é, se existir 6 > Otal que lim

2~ 6 tE(iXk - J-Lkl 2+6 ) =O,

n---+oo Sn

k=l

então

Sn- E(Sn) ~ N(O, 1) . Sn

Se a condição de

342


Demonstração: (parcial) Vamos provar, assumindo que a condição é satisfeita para 15 = 1, ou seja todas as variáveis têm terceiro momento finito. Existem indicações em Neuts [73] sobre a prova para um 15 geral . É conveniente mencionar que alguns autores preferem apresentar primeiro a condição de Lindeberg (ver teorema adiante) e, depois, demonstrar o Teorema de Liapunov como sua conseqüência. Sem perda de generalidade vamos assumir J-ln = O para n 2: 1. Nesse caso, temos sn = JE(Xf) + E(X~) + ... + Xn e a condição na hipótese do teorema toma-se

343


A desigualdade de Liapunov é um caso particular da desigualdade de Holden (ver Billingsley [91]) e estabelece que rrk:::;

Assim, para o primeiro termo de ak temos

o :::;

2

2

rrk2 t2:::;

2sn

~[E(IXkl3)]2/3 :::; 2sn

2 n-+ao

s, É. N(O, 1). s,.

t2 2s2

n

[LE(IXkl3)]2f3.

n

k=l

ando ao limite, para n indo ao infinito, a expressão da direita na desigualdade vai a zero por hipótese. Dessa forma, obtemos lim rrk

Precisamos verificar

13 [E(IXki 3 W .

2s~

e = o, uniformemente em k.

Para o termo restante em ak temos

Pela fórmula de Taylor ao redor de zero e até o termo de terceira ordem, vem

e, de modo análogo, vem então,

( 't)3

n

lim _z_E(X~) = O, uniformemente em k.

n

n-+oo

= JI
6s~

Logo, lim a~; = O para todo k, uniformemente em k.

k=l

n-+ao

com ak

t2 + = - 5_2. 2s,.

E(X}l 6s~

(it)3 +

O [E(X3t)t3].

Temos

s,.

Aplicando logaritmo, obtemos

log (1 + a1,:) n

log
=

L

=L (-1)i+l a~. ""

j

J=l

J

log(1 + ak).

k=l

Inicialmente, vamos mostrar que lim ak n-+ao

= O para todo k,

""

cJ,-2

j=2

J

2'"'( -1 )i+l_k_ =a~;+akL.., . uniformemente

emk. O termo que tem a função o(.) vai para zero, quando n-+ oo.

=

Q/;

+ Q~ w(ak),

3../4

Capitulo 6: Con\'erRhlcia de Variâl·cis Alcat!Íria.1

com

3../5

6.4 Teorc111a Centml do Limite

Não vamos fazer os cálculos, mas indicamos os principais os. Precisamos expandir o quadrado de e majorar os termos resultantes. Daí. avaliamos seus limites, utilizando a desigualdade de Liapunov, propriedades da função o(.) e a condição sobre o terceiro momento indicada na hipótese. Os detalhes podem ser encontrados em Neuts [73].

nf.

1.

Observe que dado f, O < f < podemos encontrar um número n(t,r) tal que. para n > n(t, f) temos lo:kl < f para todo k 'S n. Isto será útil para estabeler um maJorante para llll(ak)l:

llll(a.i)l 'S

"'-• 1

L -:lfld J

.

1 2 -

:X

=

j =2

1

pois

1 ..

1

1

< --- < 21 - r

t2 lim log ó 8 ,;,..( t)

=

11 - - "),_

.z=--lnd' 'S ;- Lln~.-1 1 2 I= ti Hl 2 + l

1( -] = -2 1 -la~.- I)

Finalmente, obtemos

=

1,

=> Iim :;,;,, (t) =

2

11 -

.,

t:-

'I,

:X

e, portanto, vale ~ ~ N( O. 1) pelo Teorema da Continuidade de Levy e a ... , demonstração está completa. D

Exemplo 6.14: Sejam X 11 • n 2: 1. variáveis aleatórias independentes definidas por

nk tende a zero, uniformemente em k.

com probabilidade 1/2;

- - { - 1/ Jll.11. 1/ Jll,

Então,

.\11

com probabilidade 1/ 2.

-

Não é díficil verificar que E(X 11 ) =O e 0';, = E( X~ ) = 1/ n. para todo ParaS, = xl + x~ + ... +XII . ternos 11

Var(.'i11 )

11

2: 1.

11

= s;, = I,:E(Xf ) = L1/ l.:, 1<=1

k; ·j

que diverge. Entretanto, 11

Note que. para n-+ 'XJ, o segundo termo vai a zero por hipótese. O mesmo ocorre com o terceiro pela definição da função o(.). Resta verificar que

,, = 1

11

f

lim "'\"'o W(11 1. )

1/ -

'}.._

L..-t /; .- 1

= O.

11

LE(IX,,f~") converge para qualquer b

>

=L (1/kf'- '' , '•=·1

li. Então,

Temos Portanto. ternos

e. será suficiente verificar que lim II- X

Ik=J f o!.,/,

= O. pelo Teorema Central do Limite de Liapunov.

D

346


Exemplo 6.15: Sejam Xk, k :2: 1, variáveis independentes com densidade dada por Uc( -k, k). Vamos verificar que vale a condição de Liapunov para 8 = 1. Temos J-lk = E(Xk) =O e a~ = Var(Xk) = E(XD = k 2/3. Como usual, seja Sn = X1

347


e, então, n

L:E(IXkl3 lim ( k=l )

+ X2 + ... + Xn. Assim,

n4

n-+oo

1 1

1

n

3 =n-+oo lim ( - -4 Lk ) = -· 4 n k=l 16

Portanto, temos 1 n 3 lim - 3 "'E(IXkl ) L-t

Nesse caso, precisamos mostrar que

1

n-+oo s

n

3 =O.

lim 3 LE(IXkl ) sn

n-+oo

k=l

n°

16

. ( 1 ) hm ~ 12

n--+00

'

n

lim - +1 ""' k = 1/(a.

n--too

k=l

27

0

~

+ 1),

k=l

li

cuja demonstração pode ser encontrada na página 267 de James [81]. Observe que

=O.

n

Assim a condição de Liapunov está verificada e temos

Será necessário, nessa verificação, o seguinte resultado sobre convergência de séries:

1

n

=

§.,_.!!. N(O, 1). ~

D

Uma questão natural é perguntar sobre a existência de condições necessárias e suficientes para obter a convergência para a Normal. Isto é respondido pelo importante Teorema de Lindeberg-Feller, cuja demonstração não será apresentada. Vale ressaltar que alguns autores apresentam esse resultado em duas partes. Uma parte é o Teorema Central do Limite de Lindeberg que requer a verificação de uma condição, denominada de condição de Lindeberg, para haver a convergência para a Normal. A outra parte seria a recíproca desse teorema que foi demonstrada por Feller.

Teorema 6.18: Teorema de Lindeberg-Feller Seja { Xn : n ;::: 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes, com < oo e pelo menos um com distribuição Fn, esperança J-ln e variância

a;,

dos a;'s maior que zero. Sejam Sn = X1

que é uma forma conveniente para aplicar o limite. Para o primeiro termo vem

Sn - E(Sn)

____:.:_---=-----'-

n9/2 )

lim ( -

fi---+CX)

sn3

o· segundo

=

(n3) 3/2

lim

2sn

n---+oo

= (

1 1

lim - 3 3n

n---+oo

Lk ) -3/2 = 27.

termo, envolve o terceiro momento, cujo cálculo é feito a

11k -k

11k

lxl 3 dx = -

2k o

. N(O , 1) e 11m max -ak = n-+oo 1 :S k :S n

k3 x3 dx = -• 4

n

=L: a~. Então, k=l

o

s 71

se, e somente se, vale a condição de Lindeberg: Vf.

>O,

1

lim 2 7!-+00

2k

+ X2 + ... +X" e s;

2

k=l

seguir:

E(IXd 3 = -

d --+

Sn

71

a;

81!

1Pk+ts,. 2 L (x -J-Lk) dFk(x) = 1. k=l 1!

Jlk-ES,.

Demonstração: A prova pode ser encontrada em Chow e Teicher [88]. Em James [81] a condição de Lindeberg é apresentada separadamente através de teorema. Veja, também, Feller [66]. D

3-18

Copirulo 6: Colll 'crghwio de Variti1 ·cis

Afc•llfr •riu 1

Exemplo 6.16: Vamos verificar que a condição de Lindcberg está satiskita par; 1 variáveis independentes .\ 11 .11

;:=

1. com P (.\11 = - n) = P(.\ 11 = nl _ 1 :! .

Temos E(.\") =O e Vor ( X 11 .,

1

11

.,

.,

s ~ = "'!T~ ='\'f..'- =

h

Então. para todo

= !T~ = nê c. portanto

11 )

-;11(11

h

+ 1)(211 + 1 ) >

2n :1

1( 1

()

3

(J

3-19

6.-1 TcoreiiUI Cenrml do Li111i!e

leis esUÍ\'cis. As distribuições Normal e Cauchy são membros dessa família . mas a Poisson não é. Como a distribuição de Poisson é uma distribuiçfto limite para a Binomial, é desejável generalizar algumas hipóteses para incluir essa situação. Nessa direção, são considerados os arranjos triangulares de variáveis aleatórias:

Xtt·XI 2:··· Xt n, .\c1 , X2·2, ... X~ ":

> O, vem

t

I

( 11 ;

--n ;:::

fi

11

:3

>

,:!

em que n, -+ :x.. para k-+

X ·

e. em cada linha. as variáveis são independentes. Em 11;

~ temos

>

As.-;im. para todo j. 1 :::; j:::; 11. e 11

para todo

11.

diferentes linhas. pode haver qualquer tipo de dependência. Seja S,,

= L X 1.;. .I

1

}in~.~:!

11

,, ;·

L 1.-

·.,.êdF,(.r)

1

= }in~.~:!

I o'-" ..

., 1:

= Portanto. a

condi~·ão

L 11

/ ' " ; (>.•,.

"'

.r:!dFi(.r)

I .

.' 1

1'-"·-

!I )

L " lim --:-;- "'ITf ~ I.

L-

s'' /,· I

de Lindeberg cstü satisfeita e vale

) s, 1: I--

1).

ti " ( ( l . --+!V

."'i/,

que correspondc a um Teorema Central do Limite para essas variáveis.

O

L1m próximo níYel de generaliZ
-

I1,,

(/1/

d --+

11111

parâmetro 11 = O, -l. Determine um valor aproximado para P(LXi =50).

I'

u,, = "'E( X 1,.) L_,


1. Sejam X,. n ;:= l. variáveis aleatórias i.i.d. seguindo o modelo Bernoulli com

.

ll ;

para alguma dí s tribui~·ão limite ll' não degenerada (isto é. não constantcl. <.)uL' funçôes de distrihuiçfto podem ser distribuições limite'? Nesta seção. os rcsult;ld(h

apre~entados. se referiram a

I

desejamos perguntar sobre a existência de constantes 111. e /1t. > O. tais que ( S'" - 11 , ) / /1 11 te nha convergência em distribuição para alguma distribuição limite não degenerada . Existem muita s situações em que esse problema já foi resolvido. As distribui<;iics limite que ate ndem essas condições formam a família das distrilmicrles infinitilmentc di1 ·ish·eis. Pode-se verificar que a Poisson pertence a essa família. As discussões . envolvendo condiç
e /1 11

=

V~ Vlll ,_1 11 •

I, - I

Em particular. para seqüências de variáveis independente~ e identicamente distribuídas. as distribuições limite s formam a chtssL' das chamada'

1~ I

2. Suponha que retiramos. com reposição, I 000 cartas de um baralho com 52 cartas. Odermine, de forma aproximada. a probabilidade de obtermos pelo menos 65. mas não mais de 90 azes, nessas retiradas.

350

Capíllllo 6: Con\'ergência de Variá1•eis Alemúrias

3. Use o Teorema Central do Limite para verificar que lim e-" 4. Seja { X 11

f " (x ) -_

f, f,

k=ll

n-'X

=

.

6.5 Exercícios

351

variáveis X,, n 2 1, tais que, com j =O, 1, ... , 2m em= 1, 2, ... ,

~-

X '"'+.i ( 11') = {

n 2 1} uma seqüência de variáveis contínuas, independentes, com 11 I .-1-rl/n w Tlll SeJam · 2 _ "' 2 S" _ v + X" 2 + ... "};;( , v.r E 11">.. 5 11 - ~ak e - AJ +XII. :

P(X 11 = ± 2") = 2-n-l e P(X 11 = ± 1) = ~(1-2-"), n 2 1.

)n I: X;~i N(O, 1). 11

__l±_1_.

2ul+l'

3. Seja (r!, F, P) um espaço de probabilidade. Denote por, IA, (111), i 2

1, os indicadores dos eventos A, 's. Mostre que o limite de P(A 11 ) vai a zero se, e

i=l

6. Seja {X" : n 2 1} uma seqüência de variáveis i.i.d. com média O e variância 1. Também, seja {Y,, : n 2 1} uma seqüência de variáveis independentes com e P(1;, = O) = 1 -

2

;,, , 11

n 2 1.

Sendo X" e 1;, independentes para n 2 1, temos t,I:(Xk

p

somente se, IA, -+O. 4. Verifique que X 11 ~ 2, com { X 11 aleatórias tais que

5. Se X 11

mas a condição de Lindeberg não está satisfeita.

7. Seja {X" : n 2 1} uma seqüência de variáveis i.i.d. com média JI, variância a~ e, para n 2 1, E(X p )~ = a 4 + 1. Use o Teorema Central do Limite e -

:

n 2 1} sendo uma seqüência de variáveis

P(Xn = 1) = P(X" = 3) = ~ e P(Xn = 2) = 1 - ~, Vn 2 1.

l

+ Yi,)~N(0.1).

k-1

11

<

O, para qualquer 11• E r!. 11 c. X 11 , -+O, Vw E r!. d. E[Xn(w)] f O.

5. Sejam X 11 , n 2 1, variáveis independentes com

2 ;,,

)

se 2111+1 - 11 ' < caso contrário.

a.xll!.o. b. X (w) f

.'i li

P(r;, = ± n) =

o,.

Mostre que:

k= I

. - de L'1apunov para demonstrar que -"-. s-EIS) d N(O , 1) . U se a con d1çao _._, -+

Verifique que

111,

!!. X, então o X + b !!. a X + b, para a e b constantes reais. 11

6. Sejam X n 2 1, variáveis seguindo o modelo B(n, Pn ). Se np" = - ·"" v -+. d \'' , em que .\" e' p msson . ( /\') . para À > O, entao 11 •

Àn 11~ À

11

11

calcule }~n;_P(f\,2..: (Xk-

1

pj2- a

2

[:::;

t,J.

7.

8. Sejam XII.

11 2 1. variáveis aleatórias independentes com E(X = 11 Var(Xn) =a~ e P(a:::; X":::; b) = 1, com a< b. sendo constantes finitas. a. Prove que, se X 11 ~X então X 11 _::.X para todo r > O. 11

)

Sejam X 1 , X 2 , ... , X" variáveis aleatórias i.i.d. com E(Xn) = 11 e Var(X 11 ) = a 2 , ambos finitos. Verifique que E[(X- pf],--=-t_ O.

8. As variáveis X", n 2 1, são independentes e todas têm distribuição Exponencial de parâmetro À. Mostre que a seqüência {X~ : n 2 1} satisfaz a Lei Forte dos Grandes Números.

11

b. Mostre que, se

I: a~-+ :x, então a condição de Liapunov está satisfeita. !=I

-

Sejam

X".

ji

característica 9 tal que

6.5 Exercícios 1.

9. Seja {X" : n 2 1} uma seqüência de variáveis aleatórias i.i.d. com função

n 2 1,

vanaveis

aleatórias

independentes,

tais

que

X" ""'Bernoul!i(p11 ). Estude as condições sobre Ji 11 • para que X" ~O.

2. Sejam n = [0, 1), B([O, 1)) a correspondente a-álgebra de Borel e P a função de probabilidade que atribui, a cada intervalo, seu comprimento. Defina as

10. Sejam X 1, X 2 , ••. , X 11 variáveis aleatórias i.i.d. com "--"'" ""' Poisson ( /)!),

para cada n 2 1. Indique as possíveis convergências de X. 11. Sejam X 1 , X 2 , .. ·, X 11 variáveis aleatórias i.i.d. com densidade Uniforme Contínua em [-1, 1]. Defina a variável 1;, = min([XJ[, [X2[, · · ·, [Xnf). Mostre que 1;,-+ O em probabilidade.

Capítulo 6: Con vergência de Variáveis Aleatórias

352

12. Suponha que X , , para n

~

1, tem a seguinte função de distribuição:

o, F71 (x) =

x",

Determine o limite em distribuição para a seqüência {X" : n ~ 1}. 13. Sejam X ,, n ~ 1, variáveis independentes tais que X, ""'Bernoulli(p ). Considere, para n ~ 1, Y,, =

}Ixk n

(

) 1/n

.

{t-t + 1, 1,

se t < O; se t ~ O.

24. Seja X uma variável aleatória finita e defina X 11 como o truncamento de X da

.

segumte forma: X,

-

Y,,)2],;-=-t O. Mostre

..:..x, para alguma variável X .

..::.x se, e somente se,

18. Demonstre que, se X , ! X e X 11 Sugestão: Prove por absurdo.

Y, então X

= Y,

quase certamente.

19. Seja {a, :" n ~ 1} uma seqüência de números reais, com a"-+ a para a finito. Se X 11 .!!.N(O, 1), então X 11

I

+a

11

~

X J{IXI~n }· Mostre que X, -+ X.

a. Sendo X a média amostrai, verifique que 11

b. Determine c, tal que ~'L:

J7i (X -

Ã)/ ..[>. !!:. N(O, 1).

p

X? -+ c.

i=1

d p - Y. d 26. Se X, -+ X e X, - Y,, -+ O, entao , -+X.

qc

qc

27. Se X, -+ X e Y,, -+ Y , verifique se X 11 Y,, -+ XY . Essa implicação vale para convergência em distribuição?

E[( X,- X ,,)2] -+0, param e n-+ oc.

!

=

25. Seja { X, : n ~ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes, tal que cada variável seja Poisson de parâmetro À.

qr

X) 2 !. a2 •

i=1

17. Prove que X ,

~ "t[X;- E(X ;)f .!.o. i=1

16. Sejam {X, : n ~ 1} variáveis i.i.d. com média p e variância a 2, ambas

~"t(X; -

11

2 Y,, - l:P; ) -+O.

seguinte convergência:

15. Para n ~ 1, sejam X 11 e Y,, variáveis tais que E[(X 11

finitas. Prove que

1=1

-;;1 (

•=1

Sejam X 11 , n ~ 1, variáveis aleatórias com P(X, = - 1/ n) = 1. Seja X igual a O com probabilidade 1. Mostre que X , !x, mas f(Xn) não converge em probabilidade para f(X). que se E[ (X , - X?L;-::-t O, então Y,,

n ) p a. -;;1 ( Y,, - l:P; -+O.

23. As variáveis X 11 , n ~ 1, têm vananc1a comum a 2 e o coeficiente de correlação entre X i e X j é não positivo para i =/= j. Demonstre que vale a

f : ~-+ ~. tal que f(t) =

X .3. O.

22. Para k ~ 1, Xk ""' Bernoulli(Pk ) são variáveis aleatórias independentes. Defina Y,, como o número de sucessos, nas primeiras n realizações. Demonstre que

b.

a. Calcule P(Y,, > O) e E(Y,,). b. Verifique se Y,, converge em probabilidade. 14. Considere uma função

21. Seja {X, : n ~ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias não correlacionadas com média Oe variância uniformemente limitada. Mostre que

se x ~ O; se O < x ~ 1; se x > 1.

{ 1,

353

6.5 Exercícios

!!:.N(a, 1).

20. Considere n ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade p de sucesso, O < p < 1. Seja Y,, o número de vezes, dentre n ensaios, em que um sucesso foi sucedido por um fracasso. Mostre que ~ Yn! c, com c constante. Identifique c.

28. Seja { X , : n ~ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias i.i.d., seguindo o modelo Uniforme Contínuo em (0, 1). Calcule o limite, em probabilidade, 11

para ~"l:(- log X~.). k=1

29. Seja {X, : n ~ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias i.i.d. com função de probabilidade Uniforme Discreta em {0, 1, ... , 9} . Defina, para n ~ 1, 11

•

Y,, =L:~; e considere Y rv Uc[O, 1]. i=1

a. Mostre que Y,, !!:. Y, usando funções características. b. Verifique que Y,, converge quase certamente para Y.

354

Capítulo 6: Conl'ergência de Variál'eis Aleatória.\

30. Uma amostra é constituída de X 1, X 2 , ... , X 11 • variáveis aleatórias i.i.d. com média 11 e variância a 2 , ambas finitas. Prove que o coeficiente de variação amostrai converge, em probabilidade, para o coeficiente de variação

populacional, isto é, ( 5 11 I

.X) ! (a I IL).

d

n

Mostre que

*'(L xk- log n) -+N(O, 1). "

k=! 11

X ~0.

32. A variável aleatória Y é tal que P ( -1

42. Sejam X 11 , n ;::- 1, variáveis independentes tais que Xn "'Bernoulli (1ln). Defina a variável }~, como o número de sucessos nas primeiras n realizações.

Sugestão: Note que (L 1I k - log n) tende a uma constante para n-+ CXJ e

31. Seja {X, : n ;::- 1} uma seqüência de variáveis aleatórias i.i.d., com média O e

quarto momento finito. Verifique que

355

6.5 Exercícios

< Y s; 1) = 1. Defina, para n qr

~ 1,

r

uma nova variável X,= tL(-1)"+ 1Y". Mostre que X,-+X, com 11

í=l

k=!

que a série 1I k 2 é convergente. 43. Mostre que X"

!

O se, e somente se, E( ~~~-~,

44. As variáveis aleatórias X 1, X 2 , ... , X 11 são i.i.d. com média IL e variância a 2 , ambas finitas. Sendo

X= log(1 + Y). qc

< oo, para algum

33. Prove que vale X, -+X, sempre que LE(IX, -XI") n

1 ) -+O, quando n-+ x.

X a média amostrai, prove que X 2.. 11·

45. Sejam X 11 , n ;::- 1, variáveis aleatórias i.i.d. com média e variância iguais a 1. Mostre que

r> O. 34. Se X,

rv

N(n, a~). as variáveis X 11 's convergem em distribuição?

35. Sejam X,, n ;::- 1, variáveis i.i.d. seguindo o modelo Cauchy Padrão. Verifique se ~(X 1 + X 2 + ... + X 11 ) converge em distribuição. 36. Sendo a E IR. e

7l ::::-

1, determine o limite em distribuição de X,

37. Demonstre que se x,'~x e IX, I s; Y com E(}" 2 )

rv

N( a' 1I 11 ).

< x. então X, 2.x.

46. Para n > 1, as variáveis aleatórias X 11 são contínuas e têm densidade j,,(1.·) = nl1r(l + n 2:r 2 ) para todo x E R Verifique se a seqüência de variáveis aleatórias { X 11 : n ;::- 1}, converge em média r para algum r ;::- 1 e/ou converge em probabilidade.

47. As variáveis X,, n ;::- 1, são i.i.d. seguindo o modelo Cauchy Padrão. Defina:

38. Sejam X 11 , n 2 1, variáveis aleatórias i.i.d. com média JI e variância rr~'. ambas finitas. Com o uso do Teorema Central do Limite, determine o

tamanho da amostra n para que P( IX, - Jtl

}~ 1

40. Sejam X 1 •... , X, variáveis i.i.d. com quarto momento finito e variância rrc.. Para uma amostra de tamanho n, seJ·a u:.> = i!..::l sf2i ' com s ll2 sendo a variância 11 ''

_.

•)

1

11

r

i~

41. Sejam XI' I

-

Jl

x._,, ... , X,

2

-,...

-

.X ) . Mostre que .

•)

}J

Gama(n, (:!),

X 11

:!. X

que ;; .:X, -+c, para alguma constante c e obtenha seu valor.

11

e } ~~

:!. }·, identifique o limite em distribuição de X

..:.x e 1;, .:_.}",mostre que:

lim E(X 11 1;") = E(XY). !11.11--·---..._

11 ::::-

1. Verifique

X1 +XL+··· +Xn n

,,,.

'

a. rv

,.

e 1In

c. E verdade que H"11 -+O? 48. Sejam X" e } ;, variáveis aleatórias independentes para todo n ;::- 1. Se temos

49. Se X

')

r"(/ -+(r.

I

variáveis com Xn

fo

a. Mostre que }~, não converge em distribuição. b. Verifique que lF11 converge em distribuição para o modelo Cauchy.

(I

'

X1+X2+ ... +X"

s; ff;) ::: O. 9G.

39. Um dado equilibrado é lançado 1200 vezes. Calcule, aproximadamente. a probabilidade de obtermos o valor seis pelo menos 180, mas não mais de :220 vezes.

amostrai, 1st o e . .s-(/ = -11- 1 ""'()~ ,· ~

=

b. c.

limE(X~)=E(X 2 ).

11--x.

lim E(Xn) = E( X). u~:..._

11

+ } ;, .

- -

n: Com ·c ,-ghiC'io de

Cupillllo

35()

\ 'uriri•·l'is Alcurríria_,

50. A seqüência de variáveis aleatórias {X 11 : 11 2: 1} é tal que cada.\, scgul· ,, modelo Geométrico de parâmetro Ji / 17. para algum O < f! < l. Verifique '-L'

1 X para alguma variável X e obtenha sua distribuição. " 51. Sendo X, _::.x prove que. para 1:::; s ocorre l X,

11

variáveis aleatórias. não correlacionada-, 11 : n 2: 1} uma seqüência de duas a duas, com P ( X ,, = -n) = P(X 11 = 11 ) = 1/ 2. Prove que não vale a Lei Fraca dos Grandes Números, mas a seqüência satisfaz o Teorema Centr;li do Limite.

52. Seja { X

53. As variáveis aleatórias X 11 , ) .Y '

,[ .

que va Ie ..

I

'JI'

-+

L!.Y. - 11'

17

>

1, são i.i.d. com distribui\·ão N(O. 1 }, mo,tre

:rI

'I

I

,,

..,,

54. Sendo } ·1 a j-ésima estatística de ordem de uma amostra de tamanho 11. de uma variável aleatória contínua X com função de distribuição F, prove que: a. nF ( }~)

55. Seja { X 11 : n 2: 1} uma seqüência de variáYeis i.i.d. com média O e vari;!m·i;l 2. Obtenha o limite em distribuição de:

li I

I /I

li

11 11 ' 11

li

a,

b,

foi.Yt··Y,; .. + .\ ,) (.\fLYjt- .-'-.\,' 1 .\'+.\,t .. r.\.

\ i.Yi-.Yj+

~ J/.

57. Defina} ;, = sen ( n.\", ). para a Lei Forte.

11

> 1 c .\

11

~ U, [0 . :2.;;-]. Mostre que }',, sati sfa;

58. Verifique se vale a Lei Fraca dos Grandes Números para as \ arij\ e i' aleatórias independentes .\",. 17 2: 1, com X, ~ F1p( 2" ~) . 59. As varián~is aleatórias .\" 1 , X 2 ....• X 11 são i.i.d. com média ambas finitas. Sendo

I

li

11 1

P(Xt = 1) = 1/ 2 e P(X11,1 = X~~IXt = .rJ ..... XII =.r")= 1 - o,,. Discuta a convergência de ~(X 1 +X 2 + ... +X11 ) certamente ou em probabilidade, nas seguintes condições:

S· a

média amostrai, prove que sen (

~~~' t

convergc quase certamente para O.

(X,. -- _\ 1:: J l

para

1/2, quase

a. n = 1/ 2, para todo 11 > 1. 11

·X

b. I:;n 11 < oo. "

I

61. Sejam X 11 , n 2: 1, variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média O e variância igual a a 2 , O < a 2 < Xl. Suponha que a seqüência {} ~. : n 2: 1} também é formada por variáveis independentes e identicamente distribuídas, mas sua média é Jl,, 11 < Xl. Verifique que vale a ·) ) ri N( . . }-; - vr::11 """v -+ . convergencw: JL a- . scgumte

62. Seja {.\ 11 :

11

~

2} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes com

1 .,~ 11

e P ( X 11

= 11 ) = 10~ 11 · Vn

Mostre que X 11 ~O , mas X 11 não converge em média

1·.

2:2.

para qualquer r > O.

63. Seja { X 11 : 11 2: 1} uma seqüência de variáveis aleatórias com Var (X 11 I < r· , para c constante . Verifique que a seqüência satisfaz a Lei Fraca dos Grandes Números, nos seguintes casos:

b. f!( X,, X)) -+O, para

li -

i-

j.

) I -+ x.

64. Seja { X 11 : n 2: 1} uma seqüência de vanaveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média 11 e variância o- 2. O < a" < x. Seja {a 11 : 11 2: 1} uma seqiiência qualquer de números reais. Com o auxílio do Teorema de Polya c do Teorema Central do Limite, mostre que

"

:L;X; - n11

P(i=lafo

: :; a

11 ) -

c variüncia rr~.

11

I.

li i

60. Para 11 2: 1, as variáveis aleatórias X 11 assumem somente os valores O ou 1. Suponha que. para todo (.r 1, .r 2 •... , .1' 11 ) e 11 2: 1, vale

a. (!(X;, Xi) :::; O, para todo i

~ -\,~ 1

56. As variáveis X 1 • X~:, . .. . X , formam uma amostra aleatória de tamanho 11 de uma variável que tem mediana :H. Sendo 111 a m:di ana amostrai . mostre que 111

357

6.5 Exercícios

P ( X n = O)= 1 -

b.11[1- F() ;,)-· FO't)]1Gwna (:2. , 1) .

li

.,

1 Gama( 2. 1).

------

em que


358

65. Sejam Xn e Y.n variáveis aleatórias independentes com distribuição Poisson M (X -n)-(Y. -111 ) d ( -+NO, 1), de parametros nem, respectivamente. ostre que " ,jx,+ Y."', A

•

para m e n-+ oo. 66. As seqüências { X 11 : n ~ 1} e {Y,, : n ~ 1} são de variáveis aleatórias i.i.d. com médias /LX e /LY· respectivamente, e variâncias finitas ai e af. , respectivamente. Assuma que as seqüências são independentes entre si e que /LX

=f. O.

Obtenha o limite em distribuição de yÍn ( ~ -

'n(

·X ).

1' 1 pode ser escrito como V •• 1'·'j'pxX

~~)

Apêndice A

que também

Tabela Normal Resumo de Distribuições Sumário de Expressões Matemáticas

(

(

(

(

359

361

Distribuição Normal

Distribuição Normal: Valores de p tais que P (O ::; Z::; Zc)

=p

Segunda decimal de Zc

to.!.. CD "C

õ E

·oCD

"C

E!

'i E '1:

a. CD

..·= E!

'i CD

t

2.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 11,5 0,6 11,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 1,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

o

1

2

3

0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 O, 1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4772 0,4821 O,4861 0,4893 0,4918 0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981 0,4987 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000

0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591 0,1950 0,2291 0,2611 0,2910 0,3186 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719 0,4778 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920 0,4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982 0,4987 0,4991 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000

0,0080 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628 0,1985 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726 0,4783 0,4830 0,4868 0,4898 0,4922 0,4941 0,4956 0,4967 0,4976 0,4982 0,4987 0,4991 0,4994 0,4995 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664 0,2019 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,~370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732 0,4788 0,4834 0,4871 0,4901 0,4925 0,4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983 0,4988 0,4991 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

4 0,0160 0,0557 0,0948 O, 1331 0,1700 ' 0,2054 0,2389 0,2704 0,2995 0,3264 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382 0,4495 • 0,4591 0,4671 0,4738 0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927 0,4945 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984 0,4988 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

5

6

7

8

9

0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736 0,2088 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744 0,4798 (),4842 0,4878 0,4906 0,4929 0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984 0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772 0,2123 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,44060,4515 0,4608 0,4686 0,4750 0,4803

0,0279 0,0675 0,1064 0,1..WS 0,1808 0,2157 0,2486 0,2794 0,3078 0,3340 0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756 0,4808 0,4850 0,4884 0,4911 0,4932 0,4949 0,4962 0,4972 0,4979 0,4985 0,4989 0,4992 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844 0,2190 0,2517 0,2823 0,3106 0,3365 0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306 0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761 0,4812 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934 0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0359 0,0753 0,1141 0,1517 0,1879 0,2224 0,2549 0,2852 0,3133 0,3389 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767 0,4817 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936 0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

-0,4-46 0,4881 0,4909 0,4931 0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985 0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

..... Distribuições Discretas

Bemoulli(p) pE (0,1)

Funçio de Probabilidade

fl

1%

.

1

:t=0,1, ... ,n

(';)(~::::';)/(~)

Hipergeométrica k

Geométrica(p)

pq 9 %=0,1, ...

Geométrica(p) para -·

Bin. Negativa( r 1 p) i de fracassos anteriores

p

pq

q+pe

np

npq

(q + pe")"

!!!!

n

1 m ,. "·-ci)"

não útil

À

À

exp(À(e" - 1)]

!l p

l

1-!.n

l

p

;

l!"qea

rip

r-:\ p

(1--:.· t

1

·-·

pq

,:c= 1,2, ...

(~1) r • ,._ pq

1

,z=0,1, ...

~

•

.

-~,.~

L;r-,z = 0,1, ....

jj de ensaios

F. Caracterfstica

a-(a,r-(n-m)J, ,_,. .,r,m)

Poisson(À) >.>O

i de fncassos anteriores

Variincia

""0, l;q"" 1- p

(") ., p·q.-.

Binomial(n1 p)

(m 1 n 1 r)

1-•

·pq

Média

u

~ Bin. Negativa(r 1 p) i de ensaios para ...

c•-1) ......... r-l pq ,z=r1 r+1, ...

r1p

~·

(1-qe ,;'. y

r-! p

~ ::....

---

Apêndice A

Distribuições Contínuas

UniftJmte(a,b) a

tr'

Normol(f.l, u') >0. -oo

&ponllncial(>.) .\>0

GdlnD(0<,,8) a ,8>0

Btta(a,b) a,b>O

Qui-quadrado( k) 1:•1,2, ...

Cauchy((0<,,8))

Funçio Densldade

Média

.: 11 ,aS::r~b

1

~

(~)

..

e

_, ,:.:>0

O~z~1

!!::!f 12

f.l

O'

.

.

o

~

~

t ... ~ 1::::1

exp(i,..t- •;')

.(:;•

1

~,t<.\

'

",t

),'!

~

m 4 :~:•-·'*P(--!z)/I'(lJ.% >o 1

!:!:! 2

.. ... 1&:.)tt

l

~

~z-'(1- :~:)._ 1

F. Característica

1

>.e-"',"' >O

~

Varilncla

!l

;h

(o#+l)(a#)

k

2k

(~)l, I< i

não existe

não existe

e-111

1

~·

não útil

aER,IJ>O

.-ll[l+('J')~

F·Snfldecor{m, n) m,n-1,2, ...

!!l'z"""(1 + "!') :i!fjp(!f, J) z>O

,.~ 2 ,sen>2

t-Stud11nt(n)

r("ti){1 + ~l• Jr(g)JM'

O, se n> 1

n~ 2 ,sen>2

não útil

~ l

!:lt+2•l'l-I"(t+•l'l

>.~r(l + *>

2

n>O WeibJdi{>.,O<) >.,O<>O

À0%.-1 exp(-

0<%<00

>.:t")

2n (m+n-2}

m(n-2)7(n--4) se n

>"

J..'i"'

não útil

..... ~~-

~

. ...... 365

Sumário de Expressões Matemáticas


1. Desigualdades a) Jensen {Proposição 4.9) Seja X uma variável aleatória com esperança finita e g uma função convexa. Então:

E(g(X)) ::?: g(E(X)). Observação: Uma condição suficiente para que g seja convexa no intervalo I é que g tenha derivada contínua e não-decrescente neste intervalo I (outras condições mencionadas no texto). b) Básica de Chebyshev (Proposição 4.10) Seja X uma variável aleatória não negativa e considere a

> O. Então

P(X::?: a) $ E( X).· a

c) Clássica de Chebyshev (Proposição 5.3) Seja X uma variável aleatória com variância finita. Então, para qualquer t >O, temos

P{IX- l'xl ::?: t) $

Va~~X) ·

ApindiceA

366

367


h) Minkowski

d) Cauchy-Schwarz (Teorema 5.7) Sejam X e Y variáveis aleatórias com esperanças finitas. Então:

Sejam X e Y variáveis aleatórias não-negativas e p ~ 1. Então:

E(IXYI) $ y'E(X2)E(Y2); com a igualdade valendo se, e só se, Y = aX, para alguma constante a. e) Kolmogorov (Lema 6.11)

i)_Liapunov

Sejam { Xn ; n ~ 1} variáveis aleatórias independentes com média zero e variância finita. Então, para todo >. > O e com Sk = X1 + X 2 + ... + Xk temos:

Seja X uma variável aleatória não-negativa e O $ a $

E! [IX(]

f3 . Então:

$E~ {IX(].

P ( max IS I >>.)< Var Sn. 1$ k $ n k >.2

2. Fórmulas Matemáticas Úteis· f) Markov (Proposição 5.4)

Seja X uma variável aleatória qualquer: Então para todo t

~ >.) :5 E(l:l)

> O, temos:

1

P(IXI

,

V >.>0.

a) Somas

(1)

Êi = n(n2+1). i=l

{ 2)

f/ =

n(n+l){2n+l). 6

i=1

g) Hõlder

Sejam X

~

+ ! = 1, p >

e Y variáveis aleatórias não-negativas e suponha que 1, q > 1. Então,

E{IXYI) :5 E~ (IXI")E1(IYI').

{3)t/ ~ •4

=

(4) L..' =

(n(nt))2· 2

n(n+1)(2n+l){3n +3n-l) 30

•

i=l

Observação: Elas podem ser provadas usando indução matemática.

b) Fatorial, Combinatória e Teorema Binomial (1 ) (:) =O se k < O ou k (2) (ntl ) = (~)

> n.

+ (k~l) para n =

1, 2, ... e k =O,

± 1, ± 2, ....

Ap2ndiceA

368

-

n

n U Ak. n=lk=n 00

(3) lim An = (4)

(a+ bf = E(~)a b"-l para n inteiro e positivo.

1

(4) lim An = n

n

00

00

i=O

369

• Sumário de Expressões Matemáticas

. .

U

n Ak. 00

n=lk==n

(4a)(1+t) =E(~)t'. i=O

(4b) (1- t)

n

n

i

d) Limites e Cálculo

·

= ?:(~)(- 1) t'. t=O

(1) lim

(4c) 2" =E(~).

(a~b)

Ê(~)(n~J (expandir(1+x)"(1+x)& =

=

i=O

(6)

(n~k)

Ê(i+~-l) (use (2) e indução finita).

=

n\ .j2; = 1. (Stirling).

(2) lim(1 + Àx)

i=O

(5)

.

n-+ooe-"n"+

n

i =O

x-+0

(1+x(\

11 e

= e-', À constante qualquer.

(3) Série de Taylor para f (x) em tomo de x (2)

= a:

I

f(x) = f(a) + /'1(a)(x- a)+. f (a~\x-a) + ... + com

J(i) (a)=

ti f(x) t ilx' _ e R,.=

1

/"+IJ(c)(x-at (n+l}l

(n)( )(

)"

\~-11. +R,.

1

,a~ c~ x.

n

(8) }:) 2 (~) = n(n + 1)2n-2• i=l

n

e) Função Gama e Função Beta 3

(9) Ei (~) =

n 2 (n

+ 3)2n-3.

A função Gama, denotada por r(.) é definida por

i=l

(10)

Ê(~)

1

00

2

=

i=l

(~).

r(t) =

xt-1 e-e dx para t >o.

Através de integração por partes temos que r(t + 1) = tr(t). Se t = n (inteiro), então r(n + 1) = nl. Em particular, r(l) = 2r(!) =

J"i.

A função Beta, denotada por {3( a, b) é definida por

{1

{3(a,b)= Jo x c) Conjuntos 00

(1) {X< c}=

U {X~ c-~}. n=l

(2) {X~ c}=

n{X< c+~}. 00

n=l

•-1

'-1

(1-x) dx paraa,b>O.

Vale, também, {3( a, b) = rgJ~W

·

Apêndice B

Respostas de Exercícios

Observações: 1. Nos exercícios de seção a resposta será, na maioria das vezes, acompanhada de indicações da resolução. 2. Para os exercícios de fim de· capítulo serão apresentadas as respostas para os exercícios ímpares. 3. Em geral, os exercícios de demonstração não terão suas respostas completas apresentadas, mas apenas as principais etapas da resolução. 4. Pequenas diferenças, em algumas respostas, poderão refletir diferentes aproximações e casas decimais utilizadas.

371

Apêndice 8: Respostas de Exercícios

372

373

Respostas: Capítulo I

t:apítuln I

Seção 1.3

Seção 1.2

I. a. A;. fun~iks f c y satisfa1em o' Axioma;. de Kolmogoro\' pois: (Ax l ):.f(!!l f({O} {1}) f({ll}) f({l} 1;similarmenh:para_q. (Ax2): .f(A ) .: y(.·1) são não negativas para qualquer .4 E :F.

I. a. AIJ("'. h. A' E" C' (A. u B C)'. c. (ABC)''. d. A(BC)". e. 0. 2. a. Se 11' E AL:>B então 11' (A U 13 A l B). D.:sde que a união c a intersecção são comutativas t~mos que 11' E ( D t, A - B n A) e, portanto. 11· DLA. h. Se u· E (A~D U .4 n B) cntão w E [(.4 U D -A 'I I1) U A n D] = A U IJ. 11• E (AB''C U A'BC, ADC' então 11' E (AJJ' C U A' BC) c ·u• E Anc··. Pcrt.:nccndo an primeiro conjunto implica pertencer a C n (An·· U A''B). Logo d.:ve estar .:m C. Como tamhém deveria estar em A UC' , esse conjunto é vazio. 3. Os conjuntos B,.'s são claramente disjuntos. Ohservc que B1 = A1, B1 U B2 - AI J A2 c assim por diante. 4. a. A seqüência { B,.: 11 _ I} é não decrescente, enquanto que {C.,: n 2': 1} é não cresccnt.:.

c. Sc

h. Note que

Il'

UB.,

E

'

I

n A se c só se

ll'

E

nA

para todo j sufici.:ntemente grande (a partir desse pertencer a um número finito dos A;'s.

c. Se u• E

nC

n

1

para algum no. Dessa forma. u·

A

"

A então

11'

11 0 ).

E U A 'lu. Como 11' E

Assim.

11'

UA 1 então

poderia no máximo não 11'

E A1

para algum k1.

E A 1 , para algum J.- 2

> J., 1 .

Repetindo esse

I

Mas w tamhém pertence a

UA

c. portanto.

11'

•I

argumento, obt.:mos inteiros J.- 1 < J.-2 ..• , que dependem de w, tais que u• E A1·,· Vn . Logo, u• pertence a um número infinito dos A/s. Reciprocamente. se u• pertence a um número infinitl> dos

A/s então w

E

UA;. Vn. Desse modo. u· E

1

n UA

11

I J

{!1, 0}: :F2 = {fU~. {11 }. {a V} (mais duas do mesmo tipo: com {li} c {('}). 6. Para !l {1, 2. :l }. n,. é o conjunto d;ts partes de !l. o vazio e o !l estão em n,,. Tome um unitário. digamos {I}. então seu complementar {2, :l} também está em !1 1,. Os complcmentan:> dos

5. :F1

suhconjuntos com dois elementos tamhém estão em !l 1, pelo caso anterior. Não é difícil ver que uniões infinitas (por exemplo, repetindo um dos subconjuntos) também resultam em elemento' d~ !li" Logo é rT-álgehra.

7. Ob>ervc que A.j. A~,···. A;; são todos ekmcntos de :F, logo a união U A;· pertence a :F. Por (A:!J seu complementar, 8. Seja

.r

( A,)'

( Ax3): Sendo .4 1 ,

,4~ ....

:F1 a rT-álgebra gerada por [.. . .11). ;· $ y . .r , y E IR e seja :F2 a rT-álgebra gerada por x, ), - 11, .1/) ( - x. y} e, portanto ( -oc. y) E :F1• Logo :F~ C :F1. Por outro

E IR. Observe que

(- x."

( -oo, a·+~) e sua intersecção com

Então :F1

P(.r + y

Casos

A;, pertence à :F.

[:r, y ), :r S y. :r, y E lR:. Note que ( -x. y), .11 2': .r, produz o intervalo desejado.

:F. di;.juntos. precisamos verificar que: .f (

U.4;) = i:f(.4,) e o

. 1

i -1

~~===------.--------,

também

lado. pru1indo 4e (- ::x:. .. r também obtemos

E

correspondente para y. Indicamos a pro\'a para f, mas ela tamhém vale para a função y. Note qu.: :F {I UI , {0}, { 1} ), de modo qu.: as possíveis seqüências infinitas com e\'entos di;.junto>, são as que incluem um número infinito de conjuntos vazios. Assim temos as seqüências: ,<j1: ({0}.{1},0,0 ... ·); S2: ({0}. 0,(1) ... ·); S;l: ({1},0,0, .. ·); S4: (!2,0,(~, ... ). ParaS1 temos f({ O} U {1} U0 11 .. ·) f(!l) 1. Por outro lado. f ( {O} )+ f( {1} ) + f(0) + f(0) .. · = 1. Logo o resultado está verificado para 8 1 • Usamos que f(0 ) U, o que pode ser facilmente verilicado de (Ax I) acima e da aditil·idauc da f. Para as outras seqüências a pn)\'a é similar. h. Para O n 1. o .f (1 - n )y tamhém é uma prohahilidade. A verificação é similar ao feito em (a). Ilustramos o cákulo mostrando que vale (Ax3J para a seqüência SI'({O}. {1}.0.0 ... ·). Aplicar n.f + ( I - n )g em S 1 é aplicar S 1 em .f c em fi· ponderando o resultado por n e 1- n. respectivamente. Logo temos nf({O} {I} 0 11 .. ·) (l n)y ( (O} {1} 0u(1 ... ) n +( l - n ) 1. Por outro lado. nf({O} ) ( J n)g({ll} )+ nf({1} )+( 1 - n)y({l}) +n f(0) + (1 - o)y(0) + ... 1. Logo o n:;.ultado está verilicaJo para 81. 2. C'onsidcr.: uma f como no exercício anterior só que com mais pontos. A demonstração é similar. A probabilidade de sortear número ímpar é menor do que par. 3. Use o quociente de áreas para estabelecer as prohahilidades. a. Sc a 11. il/2rr; sc 11 , b, ('2/1- u )/2b: seu li, 1/2. b. 1/8. c. Faça um diagrama pois t.:mos vários casos. Lembre-se que 11 e /1 são positivos mas podem ser maiores ou menores que 1/:l. Ver tahda:

(/ > 1/:l./J

1, :1

1.'1Ha!J

(/

Jj;l./J

1/3

(2- :!!J )I(;ah

(/

1 :!, !J

1/3

(2- :Ja )lfla/J

a < 1/:l, IJ

1/3.a+IJ

1 1:3.!.

1/3, a + IJ

a

< J j:l

1;:1

1

1/:l

1- ~ :l(ll+fll

I

:F;

c a prova está completa. 9. Seja :F a intersecção das rT-álgebras que contém C. Verifique que essa intersecção tamhém é c ;ilgebra. Assim é a menor rT-álgebra que contém a coleção C. Suponha que exista outra menor. digamos Ç. Por definição de :F temos :F C Ç pois Ç contém a colcçao C. Por outro lado. sendo 9 a menor temos 9 c :F pois :F também contém C. Logo Ç :F e a unicidade está verificada. 10. a. 1- J,, b. 1 - l u c. l.,Iu d. 2- I 1 - l u c. '2 + I ..tlu- l A- l u 1.

11 c P(D) > O precisamos t.:r D) O: (21 Se P(A n IJ ) O. P(A) O é preciso P(/3 ) O: (4l Análoga a (3). se P(Dl = O é preciso P(A ) = P(B ); {3) Se P(A) P(A ) O. 5. Considere P(JJ) > O. temos P(ADJ /'!.;~; 1 ~' 11 P(Aj!J)P(D Isto é igual ao produto

4. Condições: ( I J P( A

P(A)P(n) se. c somente se. P(A jB) P(:l) . Sc P(ll) P(AB) O. As implicações ficam trivialmente verificadas.

O. temos P(AjB)

P(A) c também

Apêndice B: Respostas de Exercícios

374

6. a. P(ABr) = P(A)- P(AB) = P(A)(1- P(B )) = P(A)P(B<) logo A e Br independentes. b. Análogo a (a). c. Escreva P(A' B r) = P(Ar) - P(ArB) e proceda como em (a).

7. a. O, 084. b. O, 48. 8. Temos P(limsup A,.)= P( ()

UAk) =

r1=l k=n

lim P( n-oo

UAk) ~

k=n

oo

k=n 00

EP(An) = oo. Por outro lado, observe que limsup An = P(limsup An) = P(

n

00

00

U A~.= n An. Assim,

n=l k=fl

n

n=l

An) $ P( nA,.)= P(Am) =E 1/k(k + 1)

=I

1/8n. Logo

km:n

00

n=l

~c.

2n

E 1/2k2 ~ E 1/2k2 ~ n/8n 2 =

9. Temos para n ~ 1, P(A,.) =L: 1/k(k + 1) ~ k=n

lim P(An ) n-oo

oo

----+o, para m

-+ 00.

~rn

=I

Entretanto, isto não contradiz o Lema de Borel-Cantelli pois os A,. não são independentes. 10. Os eventos An são imediatamente precedidos e sucedidos por coroa. Assim P(A 1 ) = 1/16, P(An) = 1/32 para n ~ 2. Os eventos A1, A2, A3 , • • • não são independentes, no entanto Ai> A_a, An, · · · são. Como a soma das probabilidades desses eventos diverge, temos pelo Lema de Borel-Cantelli que eles ocorrem infinitas vezes. Logo também temos P(A,. infinitas vezes)= 1. Seção 1.4 1. a. Se w E A# w E A n !1 # w E A n (B U Br) # w E (A n B) U (A n B<). b. Se w E A U B # w E (A U B) n !1 # w E A U B n (A U Ar) # w E (A U B nA) U (A U B nA<) # w E A U (Ar n B). c. Se A C B então Vw E A => w E B. Supomos que v E Br =>v f/: B =>v f/: A, pois se t' pertencesse a A implicaria v E B, o que seria contraditório com a suposição. Logo B r C A". 3. Provamos para seqüência não decrescentes, o outro caso é análogo. Seja An, n ~ 1, uma seqüência não decrescente de conjuntos. Então para todo k Logo lim sup An =

~ 1,

rl UAk = rl UAk = UA~.

r~=l

k=n

o limite existe e é igual a

n=l k=l

n

UAk= UAk. lim in f An = U nA~. = 0 An. Então

Ak = An e

k=n

e

k=l

k'""n

k=l

n=l k=ri

n=l

ÜA~..

(Ax3): Sendo A 1, A 2 , ••• E F, disjuntos, precisamos verificar que: f

CQA;) 1

=

~f(A;).

O

número de ocorrências satisfaz claramente essa propriedade pois advém da contagem de ocorrências de cada conjunto disjunto. 17. Da verificação dos axiomas, obtém-se que estarão satisfeitos se, para i = 1, 2, · · ·, 6, O $ p; $ 1 e P1 + P2 + · ·· + Jil; = 1. 19. (Axl): /(!1) =In! dx =I:~ dx = 1. (Ax2): f(A) é não negativa para qualquer A E F, pois a integral representa uma área. (Ax3): Sendo A~, A 2 , ... E F, disjuntos, precisamos verificar que: f A;) = ~f(A;). Isto

(.Q

1

segue da aditividade da integral de Riemman. 21. (AI): !1 n B = B => P( !1 n B) = P(B) => !1 E F B· (A2): Se A E F 8 então P(A n B) é zero ou P(B). Como P(A' n B) = P(B)- P(A n B), temos P(A' n B) = P(B) ou P(A' n B) = O; em qualquer caso, a conclusão é de que Ar E Fn. (A3): Sendo A 1, A 2 , ... E F 8 , precisamos verificar que OA; E f B· Observe que temos que avaliar a seguinte probabilidade: P[( LJA;)

n B] =

i=l

S. F= {!1, 0, [0, ~), [~, 1].

P(A;

7. Vamos verificar as condições de o--álgebra. (AI) !1 E F pois f!< = 0, que é enumerável. (A2) Se A E F então, ele ou Ar é enumerável. Em qualquer caso Ar estará em F pois ou o próprio A" é enumerável ou seu complementar, que é A, é enumerável. (A3) Se temos A 1, A 2 , • • · todos em F considere as duas situações possíveis. Todos os A; 's são enumeráveis e, nesse caso, a união infinita deles também será e, portanto, está em F . Se existir pelo menos um dos conjuntos, digamos Am, que não é enumerável, mas seu complementar

A~,

precisa ser. Então temos: (

OA,.Y =

n=l

nA~ c A;n. Logo o complementar da união é enumerável e, portanto, também está em F. fl=l

9. F = {A : A E F1 n F2} é uma o--álgebra. A verificação de (Ax I) e (Ax2) é simples. Para (Ax3 ): sendo A~, A2, ... E F, temos A 1 , A 2 , ••• E F 1 e A 1, A 2 , ••• E F 2, por definição. Logo como são

UA,. E F 1 e, também OA,. E F

n=l

g = {A : A E ;:1 u F 2} não é o--álgebra. Segue um contra-exemplo. Tome F1 como a o--álgebra gerada pelo intervalo [0, ~) e F 2 a gerada por [~, 1]. O conjunto [0, ~) U [~, 1] E F1 UF2. entretanto, seu complementar não pertence. 11. a. Se w E A U B então lAuB(w) = 1. Esse mesmo w estará em um dos três conjuntos disjuntos ABr,AcB ou AB. Se w E ABc então IA(w) = 1, IB(w) =O e lAnB(w) =O e as expressões do lado direito dão todas o valor 1. De modo análogo para Ar B. Para w E AB temos IA(w) = 1, I 8 (w) = 1 e lAnn(w) = 1 e, de novo, todas as expressões do lado direito são iguais a 1. Se w f/: A U B então lAun(w) = O. Assim, IA(w) =O, In(w) = O e lAnB(w) = O e as expressões do lado direito dão todas zero. b. Similar ao item (a). 13. Só assume os valores O ou 1 para todo w E !1. É indicador do conjunto A~B. 15. Vamos verificar os Axiomas de Kolmogorov. (Axl): f(!1) = n(fl)/n = 1, pois são n ocorrências todas em !1. (Ax2): f(A) = nA/n é não negativo para qualquer A E F.

i=l

k=l

o--álgebras temos,

375

Respostas: Capítulo I

n=l

2 • Então

a união estará em F = F1 n F2.

n B) =O, então

P[ LJ(A;

n B)]

i=l

P[ L)(A; n B)]. Se todos os A;'s são tais que i=l

$ EP(A; n B) = O => lJA; E F B. Por outro lado, se i=l

1=1

existir pelo menos um dos A;'s, digamos Aj. tal que P(Aj n B) = P(B) temos

Ai n B c

0
i~l

= rel="nofollow"> P[U(A; i=l

=> P(Ai n B)

n B)] =

s P[U(A; n B)] s P(B) t=l

P(B) => LJA; E F n. i=l

23. 0.832. 25. a. nl = {vA,PA,VB,bB}· b. !12 = {v,p, b} . c. Em n], P(vA) = ... = P(bB) = 1/4. Em n2. P(v) = 1/2 e P(p) = P(b) = 1/4. d. 5/6. e. 13/18. 27. a. 1/2. b. 1/4. c. 1/2. 29. a. 1/4. b. 1/4. c. 1/2. d. 1/2. e. 5/12. r. 1/18. g. 5/12. 31. 1/2. 33. a. 1/3. b. 1/3.

Apc?ndice R: Respostas de Exercício.\

376

35. Observe a contradição entre independ.!ncia. P( Al3 ) O e P( A )P! 13) O. 37. Note que. para qualquer A, P(A 0) O e J>(A )J>(0J O. 39. 1/2. 41. P(.4 U B) = P(A } + P (IJ)- P( A JJ) _ L Daí segue o re~ultado. 43. Desenvolva as condicionais c use a independência. 45. a. Verdadeira. b. Não em geral. Verdadeira se houver indcndêm:ia condirional ou C 47. Use a Lei de Morgan e a Regra da Adição. 49. 3/5. 51. a. 1/3. b. 1/ 10. c. I / 4. 53. a. 17/ 35. b. 101 /2RO. 55• m;a (11,:: +·1-11 < P(AIB) :S min (o.l}.

113. a. - -

119. JJ.

Para os dois itens use a definição de probabilidade condicional c propriedades. 1/ 2. 7/ 12. P(AB) = o. 2 Oll O. :3. Mostre que vale a independêm:ia doi'> a doi,, EntrcHtnto. J>(L' 1 E 1 E:d P(E1 )P(E1 )P(E:l) 1/8. 67. 27720/12 lfl. 69. 1/2. 71. O jogador que inicia tem prohahilidade de 1·itória igu al a (111 11 (111 211) 73. 18/35. 75. (2" )( 2"') / (211+2"' ). IJ UI 11+111

1

79 • a • 1 - ( -'-' · -,_., (n+m

ww -

I\

ww.

-t- - · )

1

. b. Se o casal se encontra. ficará junto na fila:

(u

2

115.a. 11 1Ifi. b. 114. 117. a. Sendo P (A,I B, )- P(A,.) ::=:; P (A,}- -·-, e ao limite. b. Propriedade do limite.

57. 59. 61. 63. 65.

77. (n - 1.: + 1 )/(~ ) . Minimizamos fa1.cndo o denominador ticar maior: tome k ímpar e 1.: = 11 j2 para 11 par.

377

Respostas: Capítulo 2

Seja

H

{dois

dos

três

testes

independentes

deram

P( D~I H

R/23 e P(D:IIB) = 9/2:3. li lhos obtenha P(A) - (2" I - I )/2" 1, P(B)

121. Para /I existir independência é preciso 11 - 3. 123. J'(ini<.:iantc vencer. sendo escolhido por moeda honesta) 125. [p( l p)" 1 '[I (1 p )"], k = 1,2, .. , n . 127. a. 27 1{) I. b. XJ/5 12.

(11

positivos}:

P( JJ IB)

+ 1)/2" c P(A n B )

ll

(i /2:!.

2". Para

33/ !il.

Capítulo 2 Scção2.2 J. Precisamo' mostrar que D( w) { w: / .4 (w) ::=:; J'} está em :F para todo .1· R Inicialmente observe que A r :F pois é união de eventos. Se .r é negativo então B = 0 E :F. Se O .r I. JJ A'. :F c para .r 1. JJ - A E :F. Logo /.~ é variável aleatória. 2. Se .r é negativo cntii11 { u•: X 2 ( w) .I:} é o conjunto vazio. portanto em :F. Se :r _O. { u•:X~( 111 ) .r} {u•; ,J:i...o X (u•) .J:i}= {w:-.J:i X (w)}n { u•;X(w):SJ:f}. nms esses ültimos estão em :F pois X é variável aleatória e, portanto, n intersecção também c x~ também é variü1·el aleatória.

(n ~ 1)/2 para''

3. () 4. (/

(/ ,.

b. b

1 4.

5. (/

h•

6.a.

81. 2 (~)111 + 83. a. 16/33. h. 17 j3:t 85. Não são independentes . .87. P(A, i.v. ) = O e P(B, i.v.) I. 89. I / 2. 91. Seja A; = {em i se inicia urna seqliência S}. Aplique Bord-C'antdli em . 11. A 93. P(lim in f A,) O. S<· o~ A, 's são indepcnde ntes então. 1 ia Bon:l-Cantclli. I ( lim 'up. \, 95.a. ( I -7i.r)". h. Usequc lin1 J

~~~-+~~~+--~2~<~x~·~<~-~~~~~~--i-=T,.,-1--n~~~-~~~ 0,2

().(i.

97.11Hi. 2u

99. (

)2" L: ( 2~·). l·

I

•

I OI. O máximo para .r é l 2. 103. a.

~ ( [ ~] +

'* .,]).

sendo [o n maior inteiro contido. h. Para

11

I :W. 7 1:;, ando a1•

limite, para 11 -+ 'X. , a solução apn:sentada em (a), obtemos também 7 11!). 105. o. 2ufi
O, !í 10/ HJ.

n'" e n'

O. Temos F(.r) = nd F'1(l:) ;·E

IR

F'"'(.r)

.r<3 11

+ n "' F'" (.r) com

I:! <2(.r.r < 3J· I .r> 3.5 3)

378


Seção 2.3

1. a. Para a Binomial use o Binômio de Newton e para a Geométrica a soma de PG infinita. Na

3. a. a+ x E lR para a e x reais. b. {w; -X(w)::; x} = {w; X(w) 2:: -x} = {w; X:(w) < -x_Y; este último pertence a F. Escreva { w; X(w) < -x} como inters~cção infinita de co~Juntos do ~I~o {w; X(w) ::; -x- ~ }, n 2:: 1, que estão cada um em :F. c. Imedmto. d. Ver a soluçao do ExercicJO

verificação de soma 1 na Hipergeométrica, o seguinte resultado (ver Apêndice A) será usado : r

E (';') (r~i)

= ( m~n). Para Poisson, use a expansão em série de Taylor de eÁ.

í=O

2. a. X"' Binomial (3, ~). b. , .

X

o

I

p(x)

5/9

.

1 15/36

I .

2 1/36

~c. Temos um modelo "quase" .

Geométrico (ver exercício 4 abaixo). Assim, p(x) = ~(~)x 1, x 2:: 1. d. A retirada da face sorteada é equivalente a desprezá-la nos próximos sorteios ou, ainda, iniciar um jogo com 3 números pares e 3 ímpares e fazer sorteios sem reposição. Assim, temos uma Hipergeométrica com parâmetros (m = 3, n = 3, r= 3). 3. Y "'Binomial (n, 1- p) e conta o número de fracassos em n ensaios independentes. 4. Y não tem o valor zero. Corresponde a uma translação da Geométrica (aqui o sentido do "quase" mencionado acima). Temos p(x) = p(1- p)X- 1, x 2:: 1. Alguns autores definem o Modelo Geométrico dessa forma. 5.a. 32/243. b. 32/81. 6. a . (~)0, 23 0,8 17 b. Usando a amostra de 20 crianças, um critério seria a proximidade da proporção de imunizados da amostra com os 80% indicados pelo fabricante. 7. a. 0,8647. b. 0,2857. 8. a. Não. b. Não. c. Sim. 9. a.0,8571. b. 0,1954. 10. a. O, 8647. b. ~ 1. c. Binomial com n = 5 e p =O, 8647. Seção 2.4

379


I na Seção 2.2.

Observe que o conjunto {w; [(w)]::; x} é igual a {w;X(w)::; [x]} unido com {w; [x] ::; X(w) < [x] + 1}. Sendo X variável aleatória esses conjuntos estã~ em :F. 7. É variável aleatória pois todos os conjuntos estão em :F, conforme tabela abaixo: x x< O O< x< 1 1::;x<2 x2::2. {w;X(w)<x} 0 (ABYnC' AB!:::.C ABC 9. Use que F(x ) = P(X < x). As respostas de (a), (b) e (c) são imediatas. 11. a. F-x(x) = P( -X::; x) = P(X 2:: -x) = 1- P(X < -x) = 1- Fx( -x-). b. F1x1(x) = P(IXI ::; x) = P( -x::; X ::; x) = Fx(x)- Fx(-x-). . 13. Se X é simétrica ao redor de O temos, por definição P(X::; x) = P( -X::; x), 'ilx E lR. Assim, Fx( -x) = P(X::; -x) = P( -X 2:: x) = 1 - P( -X< x) = 1- Fx(x-). Supomos agora que vale Fx( -x) = 1 - Fx(x-) e vamos provar a simetria de X. Temos para todo x E lR, Fx(-x) = 1- Fx( x-) = 1- P(X < x) = 1- P(-X > . -x) .= P(-X::; -x) = F-x(-x). Portanto, X e -X têm a mesma distribuição e, assim, X é simétnca ao redor de O. _

5.

15. Verifique facilmente as propriedades referentes aos limites. Para mostrar que é nao decrescente: seja x::; y, a:F(x) + (1 - a:)G(x) ::; a:F(y) + (_1- a:)G(y) pois F e G têm ess~ p~opriedade e os coeficientes são não negativos. A continuidade à ilireita é demonstrada de modo smular. . 1 17. Temos F(x) < ~ para x < ml> logo P(X 2:: mi) 2:: P(X > mr) 2:: 1- F(x) > 2· Assim, P(X 2:: mr) 2:: ~·Resta prova que P(X::; m 1 ) 2:: ~· Suponha por absurdo que.F(mr) < ~ e~tã~, pela continuidade à direita de F, existiria a> m 1 tal que F(a) < ~, o. que sena uma .contradiçao pois m é o supremo desses números. Conclusão mi satisfaz as propnedades de mediana. Para a segund~ parte, note que F(x) > ~ para x > m 2 e, assim, F(m2) 2:: ~· Se F(m2) > então, pela continuidade à direita de F, existiria b < m 2 tal que F(b) > ~, o que seria uma contradição pois m 2 é o ínfimo desses números. Por outro lado, pela definição de ínfimo, F(m2- €) ::; ~e fazendo

4

1. a. a: = 2. b. a: = 3. 2. a . O, 3114. b. O, 2835. c. i = 41, 59. 3. Imediato com o uso da função Gama. 4. a. Aplique integração por partes em 0"'xa-le-xdx para obter f( a:+ 1) = a:r(a:). b. Use a: == n - 1 na expressão obtida em (a). Partindo do cálculo de r{1) obtenha o resultado desejado por indução. c. Considere a equação ( O) = 1/2 e faça a troca de variável t = x 2/2. 5. Verifique que é positiva e que a integral de a até infinito é 1. Use a função f( a:). 6. a. Imediato. b. Temos r(a)r(b) = Jtx•-le-xdxf0""yb-le-Ydy. Faça sucessivas substituições conforme indicado: (x, y) -+ (u2 , v2 ); (u, v) -+ (r sen li, r cos li); (r2, sen 2 ll)-+ (t, w). Não esqueça de incluir os Jacobianos em cada transformação. Conclua que f(a)r(b) = B(a, b) f(a + b). 7. O cálculo é simples, basta substituir o valor da densidade e da função de distribuição. 8. a. O, 5- ( -2JJ/a). b. 1. c. ( -1) =O, 1587. d. 2[<1>(2)- <1>(1)] =O, 2718. 9. a. Com p = P(X 2:: O, 98), use Binomial (n = 3, p =O, 9772) para obter O, 9331. b. O, 998.!. 10. a. O, 0456. b. Nove dias sob controle e no décimo não: O, 0300. c. Geométrica com p = O, O.t5G.

f

f lO vem P(X < m2) ::; ~· Portanto, P(X 2:: m2) 2:: ~· 19. a. {w;X+(w)::; x} é igual a 0 se x O, é igual a {w;X(w)::; x}. Ambos os a verificação é similar. conjuntos estão em :F. Para { O se x < O; O se x < O; b. Fx+(x) = { F(x) se x 2:: O. e Fx-(x) = 1 - F(-x-) se x 2:: O.

x-

21. a. c= 1 -a:. b. Temos c= (2 ± ,fi.)/2 e, assim, c~ O, 293 ou c~ 1, 707. 23. c= 2/3, P(A) = 1/4 e P(B) = 3/13. 25. a. X E JR X <0 0 ::; T < 3

F(x)

O

27. a. Verifique as propriedades: lim F(x) -O, lim F(x) - 1; F é contínua à direita e basta checar Seção 2.5

1. Considere o conjunto { w; X(w) ::; x }, 'ilx E R Se x < c ele será vazio. Se x 2:: c ele será í!. Logo X = c será variável aleatória em qualquer a-álgebra pois 0 e í! estão em todas elas.

nos

limites

dos

interv:~~oc

de

sua

.rd~finição:

F(O+)

=!~F( O+ h) =O= F( O),

F(l +) = limF(l +h)= l = F(l) e F(1+) = limF(1 +h)= 1 = F(1). F é não decrescente h-O 2 8 2 11-0 2 pois as funções em cada intervalo de sua definição são claramente não decrescentes.


380

38/


1

b.

e } sao

5. a. E.

c.

. Também com um pouco de

- (t.

3I. ar---~.,--~~~~--~--~~~~r-~~~ xER

1. Para outros valores de x· 2; se y se -2 y -O; se y >O. P(W y r), sendo .r)

c. Cuidado com o valor de

8. )

4;.

1/9.

c

. b.O. 2a(a 2 - ''(a 35. a. X é do tipo mista. O gráfico é omitido. O) b. I X > 1) 1/h e P(X 4IX 2 f'd(•·) +!f 0 (x) com x)

33. a.

r r-R r2: <

o

<x>

37. a. N-o~Ac~rtos é 39. a. P(X 3IX _ r

D_

f

Btn

lF11

)

b.

.i!

i ....

X

<..

ol

-f

. o. 9817

J

L

-3,(, o 4/5 e P(X

1

+

F(.q l 2,L

[

e t- E > o F"' 1 _j (1- a)tl:-

6. a. X 2

2

o

u h.

>

_t

J

J 'J

1. c. Ele tem razão.

1. Para y _ r. inteiro,

~Poi.

~~~)I (y)

u:(:1~ o o ~U-,<..qy:~

I!. a.

I

b.

---=-~~-

f

y) é

_ _ :• i _ j l

_!___

/1o,2 ( c. a expressão de uma Poisson(y). b.

~ 110.2 (y) ·, y)

",

l

~O (inteiro) e

O, inteiro.

J

L::.::: U

3 i : x ~2T2'"'<.r. o o"-;";. T t :r 1) ~--1 A(_ t r t 2)" !!!.( F""( 1 - {1. Se \ n I IP 4 I. Estude o quociente da aplicaçã• da função de probabilidade nos pontos x e ~ I)pl (maior inteiro contido). Se (n t 1)p for mte1ro não for inteiro, o máximo ocorre em [ terno> dua.'> respostas: n 1 JP e {11 I) - L O e estude o sinal de I' é o ponto de máximo. De modo analítico, resolva f' 43. Do gráfico :r

e [ n:

se (I

1}

3IX

F'"(J)COm

o n

111.

{1

~c 11

se x < Oou y -: O; O, O y "" 1; se x se .> O. y > 1. h. X é a constante O, logo sua função de distribuição tem um salto no zero. c. } ~ U (0, 1) logo é contínua. d. Não r \;c. y) induz probabilidade zero em todo~ os pontos de 2 rnao, tem discontinuidades.

10. a. Temos F!J· y

Seção 3.3

Capítulo 3 Seção 3.2

~

I. Aplique a propnedade (FC4). ) c verifique que ocorre um ab~urdo. , -1 2. Calcule P( -1 < X 2 I (lJ). São independentes pois !x/r -f u . c f (Y ~I 1 ) 3. a. FxFy. Logo b. Pela independência é a própria h. c. Pela independência, Frx l

<1.0

,,

I,

t~)

e

!1 !yl

I

<

1

3. h

h !1

f y~

F( :r

.b.FaH- :r)-F(7).c.Se1 1

-L _i
--

I

-------..=.:.~-

d. A )Uestão •elevantc é avaliar f ( ; e F(x) Se X é contínua então elas são iguais para todo No caso discreto, poderia haver diferença se x fosse um valor assumido pela variável. 2. a. t'!nf \ l _ y) F(l1 1 (y)\. b. P. ~(X)< y) = 1- F([h (y): ).

fl l

). Não independentes:

.)

f

w

PL\ 1

y

P(

X<

VJi)

F(

JY)

F(r

Vu' ).

Apêndice 8: Respostas de Exercícios

382

4. Pela independência: P(2X + Y::; z) = f~oof!fx(x)fv(y)dxdy. Um caminho é resolver a integral e depois derivar. Outro. mais simples é reescrever a integral na forma: f 00 h(u) du. A 2

densidade será

.

1

e-fD

~Ts·

S. Note que X e kY também são independentes e a densidade de kY é -9;-e-~b,y O. Use a expressão da densidade da diferença de variáveis para obter k;:~~' e->.,w, w >O. Para completar a 00 demonstração, calcule P(X- kl' >O) = J0 fx-kv(w) dw. 6. fx-v(w) = ~e-w I[o,oo)(w) + ~ewi(-oo,oj(w). 7. a. !X+v(z) = z 2Ico, 1)(z) + z(2- z)I[1,2 j(z). b. 2/3. c. 1/8. 8. a. São independentes. X~ N(O, 27!") e Y ~ Exp(1). b. Calcule primeiro Fx+YIY=y(wjy) e, então obtenha fX+YIY=y(wjy). Logo, 1 ~ !Y,X+Y(y,w) = fX+Y[Y=y(wjy)fy(y) = 2ie-ue•• I(-oo,oo)(w)Ico,oo)(Y)· 9. Sejam Z = X + Y e W = X /Y. Via Jacobiano vem fz;w(z, w) = ~~:;;; I(o,oo)(z)I(o,oc)(w). Obtenha as marginais: fz(z) = >. 2 z e->.z I(o,oo)(z) e fw(w) = (w~ 1 )2I(o,oo){w).

10. a. Lembrar que X é contínua. Fl"(y) = Fx (

JY) - Fx ( - JY). Derive aplicando a regra da

cadeia e obtenha a densidade da Qui·quadrado com I gl: fy(y) = *~e-!11. b. Faça a partição de domínio em x

< Oe x

~

O. Proceda como no Exemplo 3.30.

(;)Ori. x = 1, 2 e y::; x,y E .N. py(y) =H[ G) +(!)].v= o, 1, 2.

17. px,v(x,y) =

19. a. f(y) = 2e- 2lii-•)J(a,oo)(Y)· b. O, 1192. 21. f(y) = ~e-!O•ull)' Ico,oo)(y).

23. a. Omitida. b. 1/2. 25. a. Omitida. b. fx(x) = 2(1 - x) I(o,J)(x), fy(y) = 2y I(o,J)(y).

9. , Y_ E lit I y < o Io < y < 1 11 < y ;: 21 . h·(y)

li. a.

.

I

b.

O

.

<.

2

.

3c •

.

y> 1

2 ,. .

7 I 1}32 I ;;;2 I 25~32 I 1;;2 1·

2 < y < 5/2 5/2 < y < 3 3 < y < 7/2 O 1/32 3/16 31/32 13. X e X Y têm a mesma distribuição: -1 e 1 com probabilidade 1/2. A conjunta (X,XY) tem probabilidade 1/4 em cada um dos pares possíveis. Então X e XY são independentes. 1S. p/2- p. Fl"(y)

= (y-

~ )I(o,2)(y), ·

29. ]>}·(y) = 1/(n + 1), n = O, 1, ·· ·. 31. a. fx(x) = 4x(1- x 2)Ico,1J(x), fy(y) = 4y3 I(o,l)(y). b. 25/81. 33. Marginal de Y: fy(y) = y I(o,!J(Y) + (2 - y)J( 1,2J(y). Condicional de X dado Y: Jx 1v(xjy) = ~ I(o,11)(x) l(o,1J(Y) + RI<11-1,1J(x}I(1,2J(y). 35. a. Fy(y) = (1 - e-211 ) I[2,oo]· b. O:d = 1 - e-4 , O:ac = e-4 e a:,= O. Temos Fy(y) = a:dFd(y) + O:acF"c(y) com

I

I

yEIR ~(y)

37. a.

y<2

o

y E IR Fl"(y)

y

I

y?:21 e 1

O~ y ,

O

yEIR F'"(y )

<2

y<2

y?:2

o

! + l(11- 2)

.

1

b. P(Y < 3\Y ~ 2) = 1/4 e P(Y::; 3\Y > 2) = 1. - O Temos Fl"(y) - a: 1F'1(y) + O:nrF"'(y) com c. 0:d = 3/8'O:ac = 5/8 e a:,yER.

I

~(y)

y<3

39. a. j wElR 1. Precisamos mostrar que [min(X, Y) ::; t] e [max(X, Y) ::; t] pertencem a :F, 'v't E R Para o mm1mo trabalhe com [min(X, Y) > t] = [X> t] n [Y > t]. Para máximo use que [max(X, Y) ::; t] = [X::; t] n [Y::; t]. 3. Note que Ai = {w: IA.( w) = 1}. Verifique o resultado para a intersecção dos A;·, e correspondente intersecção dos [IA;s = 1]. Os outros casos seguem similarmente. S. a. Fx.v(x,y) = P[X::; x,h(X)::; y)] = P(X::; x,X::; h- 1 (y)) = min{Fx(x) , Fx(h- 1 (y)} = min{Fx(x) ,Fh(X)(y)}. b. Fx,v(x,y) = P[X::; x,h(X)::; y)J = P(X::; x,X ~ h 1 (y)) Temos dois casos a considerar. Se .r::; h - 1 (y) então a probabilidade é zero. Se x > h 1 (y) então a probabilidade é igual a Fx(x)- Fx{[(h- 1 (y)] } = Fx(x)- (1- F11 (x)(y)). Daí segue o resultado. 7. Note que P(X::; x) = P(X::; x, Y::; y) + P(X::; x, Y > y). Desenvolvendo obtenha que Fx.v(x, y) ~ Fx(x) + h(y)- 1. Por outro lado, Fx,v(x, y) ::; Fx(x ) e também Fu (x, y)::; Fv(y). Daí Fx.v(x, y)::; JFx(x)F)-(y).

~ Ico,2)(x), fy(y)

27. a. Omitida. b. Não são independentes: fx(x) =

I

Seção 3.4

383


o I

I

w

y?:3 1 1

I Fw(Y) I - o I

Ie I

:I

(

11 E IR F"'(11)

I

y

o.::y < 2

o

i5

I

1 < w < 3/2

1

3/2 < w < 2

~

I

!f

w?: 2 1

1

2<11<3

I ~ + i
y

>3

I

1

I

J.

I

41. a. fy,.l" (y1 , y2 ) = 2>. 2 e >.(y,+y,) Ico,11,j(yt)I(o,oc)(Y2)· b. h;-v,[Y, (w) = 2

I

>.e->.w Ico,oo)(w).

Ju,v(u, v)= ~e-l!!P 1(-u,u)(v)I(o,oo)(u ). As margi~ais são as seguintes: fu(u) = e-~ (1 _ e-~)l(o,oo)( u) e fv( v) = Se''Ic-oo,o)(v) + Se-;''I[o,oo)(v). Não são

43.

Conjunta:

independentes.

45. fw,,w,(w 1 ,w2 ) = 4wlw2l[o,1J(wl)I[o,1](w2)· 2 1 (11) . . ~" ( ) 47. Conjunta: Ju,v(u, y) = ~ o' e- l!!:t!ll • (0,1) (u )I(o,oo) (Y) . M argma1s: JU u = (ii+I)2 (0,1) Jy(y) = !e-~ (1- e-!)I(o.oo)(y). Não são independentes. a {( ) w+· 1,- 1
1w

e

51. Sejam['

r


Apêndtce B. Respostas dt E. -rt n wu

384

E

li<

fu

.\

, ou u , 2

(ú)

-

Õ

I

D~

X.

1 e\

-

conjunta

1

•<

o

1 b1._ /

f

f , (1• u

I)

~

I

,)

< ,

:ln.l

11 )/

"" 11

''

vem a ma1~

11

Assim. I

?

l:)P(X

E(X;

+-=•[in(u) _T",2)'

fu

(w.t)

[

w'

(1-wJ'

1

(u•'"(

/

1

t'

r

11

l~;tl

{'tt.,J;}.

.r

r;

2· 1

•

I

b, todos diferentes}.

I

i- 1

57. a. P(1í

,, t)

o

P (X 1

t ... • "\,

t, X

>

TIP(.\

f)

i-1

X,' min(X . . . X ii-k

min(X 1•• ·,X,)

~

t''

'

(

'

> }'

" ~Exp(L,>.. f

I

Note que essas duas variáveis ,;,o

independentes. U~e a expressão da diferença para achar a densidade de X k .min (:Y· · · Xn ). Integre na região ; oc, O) para obter a probabilidade de intere,,e. c.

1/k

P(},.

TI (1-c

r

lo

y

1

d:r

r(o)

2

r

ir(o) lo

>(

~

f(a 1) 'T(n \

J 1

c

d:r

(} ' J.

f(1 ~';).

À

J;x( ) d.c + 2 ~

1. 9. e ao limite para obter as funções de distribuição marginais. Fx( ) = lim F( a·. y) e

Fl ,:r

lim F( :r, y). Obtemos X e Y identicamente distribuídas seguindo o modelo U, (O, 1;

Logo, E(X)

E(Y)

o

1/2. a esperança de X existe. Como X é simétrica e contínua temos:

·1

P(X

<

f(o-a·,

=>;(a

·E

a

Assim, E( X

1

:r

j(l') r/r

l

f(:r) d:r

X

+1o:x. .r f(:<') dr

-1°(a-y)f(a-y)dy+

Seção 4.2 X ~

v

~ d:r

1.

Capítulo4

I.

J;

7.Par~X ~ Weibu//( n,A) calculeE(X) ft;xo>..r" 8. A variável X é mi,ta. Temos E( X ) t\x( --) dx

P(X 59. /J .1/; 61. 2c l1rn

1 2 1/8 2/8 1/8

5. A variável X é mista. Temo> E( X; 6. X~ Gama( a, f]), temos

10. Sendo E([X)

').

1l

2. A variável IA as;ume os valores 1 e O com probabilidade P(A) e 1 - P(A), respectivamente. Daí. o resultado segue. 3. O quadrado tem área 1 e a região A corresponde a um círculo de raio 1/3. Logo E(A) P(A) Tr/9. 4. A variável X é discreta com ___:X~+:-,.;2;;.-~0::,.--i-1-;;:;--i2iln_e E(X)

E(XJ

(y 1 .... y

(~ !-)-

7!

p(x)

Por exemplo. para 82 1 temos a transformação: Y1 d·?, .ll• J' • Existem :l! (i de conjuntos, cujos correspondentes Jacobianos são iguais a 1 ou Daí o resultado segue, t.tzcndt a soma da> aplicações da transformação em cada subconjunto da partição.

" h. n! TI!

n_ll(" "') 1 j r· I J

TTIIL

10]

/ 11

55. a. Use o método do Jacobiano com separação de domínio. Como as variáveis são contí lUa~. independente' e identicamente distribuídas. vem fx x. x (.r., r 2 , ,) f(xJ)f< 2 )/\
k)

k-0

53. Via Jacobiano, obtemos a conjunta abaixo e daí segue a verificação dos itens (a), (b) e (c).

Hgeo(lll. "· ,., Vamos w.ar a~ seguintes igualdades combinatória': IH

171 (

1)

k-1

c

11 1l

( I

1)

1 .

Note que (, ) O se k O ou k , 1. Para facilitar a demonstração, com.ideramos o valor de /, entre O e 7", desprezando os termo> que serão zerado!>. Enfatizamos que os valorc!> de k rs• .. n efetivamentl! entre max(O. r (11 - 111)) e min( r, 111 ).

1

~

(a-ylf(y+a)dy.

ar~

aj"

-0<.

=a.

f(y+a)dy f(z)d·

r (. . . njf(y~a)dy

h

[''cu

a;J(y+a)dy

ar"f(ll+a)dy

al Q

~

J:ll•)dw

' ~

f

•• • ' • •

•

'•

Oe lXI, segue pela Proposição 4.4 que o valor esperado de ambas é finito. Logo E( X ) é finito por

Seção4.3 k

1. Temos, para cada j

= 1,2, . ··, B j = i=l UA; n B j. Também, para cada i= 1, 2 ' ... '

• • • •

I

í

•

A·= Ú B · nA t

~ 1

J

.

• " ~

• il

•-1

}=I

BJ n A; ) . Conseqüentemente r

r

-

•

Pelo Exercício 4 acima

f;YJP(BJ ) =

Seção 4.4

f-

k

k

k

1. a. UseTeorema4.5. E(X ) = J~[1- Ct + fu + ~~~)]dx- 2 to(x+2)dx = 41/20. b. Use Teorema 4.7. Por derivação obtemos f(x) = toi(-2,o)(x) + (to+ ~;5 )J(o,s)(x). Então

r

~Yi~P(A;n BJ) e ~x;P(A;) = ~x;~P( BJnA; ).

f;;;)

E(X 2 ) = f~2 x2to dx + f;x 2 ( to+ dx = 491/60 . c. Via definição, seja W = X 2 • Temos Fw(w) = F( .jW} -F(-

y'w) (F é contínua). Derivando e fazendo o cálculo para E(W) obtemos o mesmo valor de (b). Atenção com os valores para w, que precisam ser repartidos em intervalos w < O, O ~ w < 4, 4 ~ w < 25 e

Note que, para todo i e j, temos o resultado:

x;P(A;

n BJ ) =

Yi P( A; n BJ)·

Pois se A; n Bi = 0 o resultado é imediato. Se A; em que w E A; n B j. Então k

n BJ # 0,

precisamos ter a· = b·- X(w ) I

J

r

:Ex;P(A;) = LYi P(Bj), i=l

j=l

e o valor de E( X ) não depende da representação.

2. Con~deran~o as várias possibili~ades de sinal de X e Y em pontos de f!, temos x+ > y~ e X .~ Y em f!. Pela Propos1ção 4.4, E(X+) 2:: E(Y+) e E(X-) ~ E(Y-). Se E(X+) = oc (assim, E(X) = oo) ou se E(Y-) = oo (assim, E(Y) = -oo), o resultado é imediato. Se não for esse o caso, de novo pela Proposição 4.4, E(X+), E(Y+), E(X- ) e E(Y-) são todas finitas e va1e

w > 25. 2. Temo-;; f(x, y) = !(x + y)J(o,2)(x)I(o,t)(Y)· Então pelo Teorema 4.7: E( X + Y- 2XY) = J; J;(x + y- 2xy)i(x + y) dxdy = 4/9 . 3. Seja X ; = 1 ou O se a i-ésima carta foi colocada no envelope correto ou não, respectivamente. Assim, P(X; = 1) = ~,\fi= 1, 2, .. ·, n. Então E;( X;)= ~· Seja X o número de cartas que foram colocadas nos envelopes corretos. Temos X = X 1 + X2 + · · · + Xn e, portanto, E( X) = 1. 4. a. X simétrica ao redor do zero pois f(x) =f( -x) (ver solução do Exercício 4.2.10) . b. E( X)= O. c. E( ex)= f~00 tf' (!~~~~)2dx = oo (use integração por partes). 5. Temos E[(X- d) 2J = E(X 2) - 2dE(X) + d 2, que é uma função quadrática de d. Via derivação obtemos o ponto de mínimo em d =E( X). 6. Não são verdadeiras as afirmações. a Tome X ~ Uc(1,2) então para 1/X temos F(z) = 2 1< < 2 e f(z) = z- 2 , ~ < z < 1. Logo E(t) = -ln ~ ,que é diferente de E( X)=~b. E( ~) = E(X)E( ~) #E( X) E(\-) a menos que E( X) = O ou Y = oo em f!. Para um contraexemplo tome X~ Uc(O, 2) e Y ~ Uc(1, 2) independentes. Obtemos E(~) = In 2, enquanto

(X+ Yt

= ~ [IX +YI + ~ +Y)] ~ ~ [lXI + IY

+X+ Y] =X+ +Y+ .

Pela Proposição 4.4:

E( X + Y t

~ E( X+

+ y +) =

E( X+ ) + E(Y+ )

< oc .

De modo similar E( X+ Y )- < oo. Use que (X + Yt + x- + y- = (X + Y)- + x+ + Y . De novo pela Proposição 4.4 vem

e o resultado vale. O caso geral segue por indução. 4. Se E(X) < oc então E(X+) < oo .e E(X-) < oo. C orno lXI = x+ +X - , segue pela Propos1çao · 4.4 que E( lXI) < 00. Para a outra Implicação, considere E( lXI) < oc. Como x+ ex- estão entre

(D.

W

E(X)

e o resultado está verificado. 3. Mostremos para n = 2. Temos

E[(X + YtJ - E[(X + Y)- = [E( X+)- E(Xn + [E(Y+)- E(Y- )];

iil

< oo.

< oo .

Logo, como são uniões de conjuntos disjuntos, P(Bj) = tP( A; n Bi ) e P(A;) = tP(

!I 11

definição. 5. Temos IE(X)I = [E(X+)- E(X)-] ~ E(X+) +E(X)- = E(IXI). 6. Como o ~ lXI ~ Y em f!, segue pela Proposição 4.4 que E(IXI) vem que E( X)

I

I

387



386

* 2

que E(Y) = ã· 7. a. Calcule P( ~ z) separadamente para z < O, O ~ z < 1 e z 2: 1. Derive e obtenha a densidade Uniforme Contínua em (0, 1).) Assim, E(~) = ~· b. E(~) = 0"" J: ~e-xdydx. 8. Temos a seguinte implicação de eventos [X 2:: a]=> [g(X) 2:: b], logo por Chebyshev velll

J

P(X 2: a)~ P(g(X) 2:: b) ~ E!9~ll. 9. P(IXI 2:: c) ~ P(g(IXI) 2:: g(c)) ~ El1i~I)J = Elg[~ll, pois g(IXI) = g(X) para funçao par. n

oc

i=1

í=l

10. Sejam r ";. = LX; e y = LX;. Temos 1';, 2:: O, r ';, Monótona, E(f:x;) => t=l

E(Y,, )= E( lim 1~.) => f;E(X; )= E(Exi)· lim

n-+oc

t=l

n-oc.

t=l

lim

n--+oo

ty

e pelo Teorema da Convergência

E(Ex;) = E(Ex;) i=l

i=l

=}

lim EE(X;) =

n-oo i=l

• '• •

• I

•I • I

•


388


389

Seção4.5

Capítulo 5

1. 3. 3. E( X ) = r(l;r).

Seção5.2.

5. 5/3. 7. a. Via densidade conjunta f(x, y), E( X + Y) = I~00 (x + y)f(x, y) dx dy = 1. Via marginais, calcule E( X) e E(Y) e faça a soma delas. b. O. 9. Se E( lXI) = ao então E( IX - ai) = ao e o resultado vale trivialmente. Para E( lXI) < ao, separe em casos a > m e a < m. Estude as posições relativas de X , a e m . Para a > m, temos que (I X - ai - IX- mi) = m - a em [X $ m] e (IX - ai- IX- mi) 2: -(m - a) em [X > m]. Conclua que E{( IX- ai-IX- ml)} 2: O, usando a definição de mediana. O caso a < m é similar. Se a = m, o resultado é imediato.

1. a. Do Capítulo 4, E(X) = (1- p)fp. Aplicando duas vezes a operação de troca entre derivação e soma obtemos E(X2 ) = [(1- p)(2- p)]/r . Daí segue Var(X ) = (1 - p)/r. b. A média foi obtida no Capítulo 4 e temos E(X) = z:;;r. É mais fácil calcular E(X(X -1)) e,

11. Use que [X > O] =

U[X 2: ~]

e, portanto, pela monotonicidade desses conjuntos e pela

n=l

continuidade da probabilidade P(X >O) = lim P(X 2: 1 ). Use Chebyshev para mostrar que n-oo

P( X

2:

n

~) = O. Logo, toda massa de probabilidade de X precisa estar em O.

13. E(X) = C oox dF(x) =I:- xdF(x ) $ bi:- dF(x) = b. De modo análogo, para f> O, I:- xdF(x ) 2: (adF(x) = a - f. Como f pode ser arbitrariamente pequeno, o resultado segue. 2 15. Sendo X o número de jogadas até acabar e q = 1 - p , E(X ) = r+Ki~jl + l'f~~l. 17. E(X) = O,E(Y) = 1- 2p e E(XY) = O. Não são independentes, por exemplo: p(1, 1) =O f px(1)py(1) = p(1 - 2p). 19 (Ào+.l.,)'->.,>.,

!)J:-

'

-'o.l.,(.l.o+.l.,) •

21. E( X) = A/2, E(Y) = 3>../2 e E(XY ) = 2>.. 2 • 23. E(W) = 1/4. 25. E(X) = O, E(Y) = 4/3 e E(XY) = O. Vale E(XY) = E(X)E(Y) mas X e Y não são independentes. 1 27. a. Via densidade conjunta, E[(X 2 + y2)] = J0 Jt(x 2 + y2 ) 2 dxdy = 2/3. Via marginais, obtenha E(X 2 ) = 1/ 6 e E(Y2 ) = 1/2 e faça a soma delas. b. E(X) = 1/3, E(Y) = 2/3 e E(XY) = 1/4. Assim, E(XY ) f E(X)E(Y). 29.E[min(X, Y)] = 1/3eE[max(X, Y)] = 2/3. 31. a. E(XY) = 5. b. a= -1/2. 33. Sendo Xn a posição após a n-ésima etapa: E(Xn) = n [ap- b(1- p)]. 35. Se Yn = inf Xk então E(Y,, ) $E( inf Xk )· Use o Teorema da Convergência Monótona em 1~,. k >n k>n r(n)r(!+l) 37 • rU+nl 39. a. E( X )= 19/20. b. E(Bônus) = 31b/20.

então, obter a variância. Temos E(X(X -1)) =r( r -1)';:/~N· Assim, Var( X)= E(X(X - 1)) + E( X) - E2(X ) = rm (n- m)(n- r).

n(n -1)

n

c. Sendo X ~ Ganw(a:, /3), seu valor esperado é E(X) = a//3. (ver Exercício 7 na seção 4.2Capítulo 4). Via integral vem E(X 2 ) = a(ptl J e, então, Var(X) = E(X 2 ) - &(X)= a/{32 • d. Para Weibull: f(x) = >..o.x<>-le-.l.x", x > O. Via integral, com a conveniente troca de variáveis x" = y E(X

2

)

e =

depois

1 (l}•r(1

>..y = z

obtenha

E(X) =

+~ ). Então Var(X) =

(l} ;;' [ r(1

(t)~r(1 + ~).

+ ~) -

r

2 (1

+

De ~)]

modo

similar,

.

b'+1-a>+ 1 E (X) = (b-a) 2 · 2. E(x k) = (k+l)(b-aJ . ntao Var 12 3. E( X) = p,, Var( X) = 2/ >.. 2 • 4. Para o cálculo da covariância, obtemos E(X) = 15/8; E(Y) = 25/8 e E(XY) = 25/4. Assim, Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 25/64. Para o cálculo da correlação, precisamos obter Var( X) e Var(Y). Temos Var( X)= 55/64; Var(Y) = 55/64 e, então, p(X, Y) = 5/11.

5. Var[(X1 + X2)Xa] = 6. 6. Aplique Cauchy-Schwarz com Y = 1 e X = Z~ para concluir o resultado. 7. Para o cálculo da covariância, obtemos E( X)= 1/3; E(Y) = 2/3 e E(X Y ) = 1/4.Assim, Cov(X, Y) = E(XY)- E(X)E(Y) = 1/36. Para o cálculo da correlação, precisamos obter Var( X) e Var(Y). Temos Var( X)= 1/18; Var(Y) = 1/18 e, então, p(X, Y) = 1/2. Não são independentes. 8. Desenvolva o quadrado, aplique propriedades da esperança e use que as médias são iguais. 9. Se p(X, Y) = Oentão a expressão da densidade da Normal Bivariada fatora em duas Normais (univariadas). Por outro lado se X e Y são indepedntes então covariância é zero e conseqüentemente p(X, Y) = O. 10. Seja A = [l X I $ t] e escreva X 2 = X 2 IA + X 2h . Portanto, X 2 $ t 2h+ M 2 IA'· Aplique esperança dos dois lados da desigualdade. Lembre que O < t < 1 e M 2 2: 1 = E(X 2 ) logo M 2 - t 2 > O. Daí segue o resultado. 11. Para O < s < t vale lXI' $ 1 + IXI 1• Aplique esperança dos dois lados. Seção5.3 1. Use Teorema 4.7 para escrever E(XIY = y) = I~00 (ax + b) dF(xiY = y). Aplique as propriedades da integral para concluir. 2. Via propriedade básica da esperança condicional: E( X ) = 1 + p. 3. E(XIY = y) = CxxdF(xiY = y) = f:'ocxdF(x) pela independência. Logo E(XIY) = E( X). 4. E(XY ) = E[YE(XIY)] = E[Y(aY + b)] = aE(y2) + bE(Y).

'

Apêndice B: Respostas de Exercfcios

390

5. Calcule as densidades condicionais. Então E(XIY = y) = J:C,xf(xiY = y) dx

I

'• I

'

&-+J:

= 3~2:!vl)

=> E(XjY)

= a{2VJ1) ·

" p). c. BN(n, p). " b. B(En;, a. Poisson(E>..;). modo

De

similar

E(YjX) = 3 1) · 6. Contra exemplo. Tome X discreta qualquer e Y = 1 (constante com probabilidade 1). Elas são independentes e E(XjY) =E( X). Seja W = Y + 1. A variável W é constante igual a 2 e . E(XjW) =E( X). Entretanto, E(XjY) + E(Xj1) =E( X)+ E( X)= 2E(X). 7. Da conjunta obtemos fy(y) 4ye-211Jco,oc)(Y) e fxJY(xjy) = Fco,11)(x). Segue que E(2XjY) = Y e E(X 2 jY) = Y 2/3. Pelas propriedades, E(YjY = y) = y e então E[E(YjY)] = E(Y) = 1.

=

8. E(X!Y

= y) = Ex P(X =

xjY = y) =

Z

E xP(!(;~)vJ · "

11

P(;(;~)") =

%

= EExP(X = x, Y = y) = ExP(X = x) = E(X). r

r

y

9. E[Var(XjY)] + Var[E(XjY)] = E[E(X2jY)- E 2 (XjY)] + E[~(XjY)]- ~[E(XjY)]. Vale o 2 resultado pois os termos centrais se cancelam, o primeiro é igual a E(X2 ) e o último E (X). lO. a. Para x E (0, 2), E(YjX = x) = ~_:-;: e Var(YjX = x) = ~~ir,·

9Ic2,4J(Y) obtemos E(Y) =~· Por outro lado = x)fx(x)dx = J;~..:-i: 3"4"' dx = ~· c. Para x E (0, 2), E(XYjX = x) = xE(YjX = x) = ~..:-:'.

.

i=l

i=l

10. Use a Proposição 5.12 em todos os itens. n

n

n

a. Gama(Ea;,fJ). b. N(Ep.;, Eu!). i=l

â=l

i=l

Seção5.5 1. 1/Jx(t) = E(e 11 x) = Eeitz P(X = x) = eitc P(X =c)= eitc.

"

E(eitX) = E[cos(tX)] + iE[sen(tX)] = E[cos(tX)]- iE[sen(tX)}. Lembrando que cos(tX) = cos( -tX) e sen( -tX) = -sen(tX) vem: 1/Jx(t) = E[cos( -tX)] + iE[sen( - tX)J = 1/Jx( -t). 3. X e -X têm a mesma distribuição. Assim 1/Jx(t) = 1/J-x(t). Temos 1/J-x(t) = E(eit(-XJ) = E(ei(-tlX) = 1/Jx( -t) = 1/Jx(t) (exercício anterior). Se um número complexo é igual ao seu conjugado então sua parte complexa é zero. Ou seja, é um número real. Suponha agora que 1/Jx(t) é real. O mesmo cálculo acima mostra que ela é igual a 1/J-x(t). Logo X e -X têm a mesma distribuição e então X é simétrica ao redor do zero. e Var( X)= 4. 1/Jx(t) = l-(l~p)êll " Tomando as derivadas convenientes vem E( X) = 5. Sendo Xi "' Bemoulli(p) temos 1/>x;(t) = 1- p + pei1, Vj. Seja Y = X1 + X2 + · · · + Xn então,

2. 1/Jx(t) =

X

Então E[E(XIY)] = EE(X!Y = y)P(Y = y) = EE x

391


7·

!::,!

b. De fy(y) =

E[E(YIX)] = J;E(YjX

pela independência, I/Jy(t)

=fi 1/Jx,(t) = (1- p + pe

11

)"

indicando queY "'B(n,p).

j=l

6.1/Jx(t) = f-ooeUz~e"dx + 0 eit"'le-"'dx = ··· = -d;r· 7. a. I/Jx-v(t) = E(eit(X-YJ) = E(eilXe-ilY) = E(eilX)E(e-itY) = 1/>x(t)I/Jy( -t) = Á~il Á~t· Em que usamos a independência e a expressão da função característica da Exponencial. Então 1/Jx-v(t) = ~ que é real e, portanto, pelo Exercício 3 acima, X- Y é simétrica. b. Essa é a função característica do modelo Laplace com p. = O e>.. (ver Exercício 3 da Seção 5.4 com o cálculo da função geradora de momentos).

J

Seção5.4 1. Mv(t) = ebt Mx(at).

2. a. X"' Geo(p), Mx(t) =

'!:.,v b. X"' Gama(a,fJ), Mx(t) = (~) a' t > fl.

1_( 1

3. X "'Laplace(>..,p.), Mx(t) = 1_-;fJ' · Por derivação vem E( X) = fL e Var( X) =

ÍI·

4. Seja X Cauchy Padrão. Para t > O, temos 1 Mx(t) = J~00 e " ~ dx > ~/0 elr (H~r2) dx > ~J0 tx (IJr•) dx (pois e" > x para x > 0). idy = -{; J~r:!,log y = oo. Para t Mas essa última integral é igual a: ~J0x (t!:'J dx = i; 00

00

I

h

8. 1/Jx(t) =

< O.

use os limites -oo e O na integral e obtenha novamente que Mx(t) = oo. Pela definição de função geradora de momentos, concluímos que Mx(t) só existe em t =O. 5. Mx-zv(t) = ..,;; . Então por derivação vem E( X- 2Y) = O e Var( X- 2Y) = ÍI·

• f

•

' I

• •i ~

6. U = X- Y "'N(O, 2), logo para W =

W vem Mw(t) = .i-' efti''-li;-Jie 2

00

!·

f du =

C ~21 ) ! ,

t < A vari~vel W é Qui-quadrado com I grau de liberdade. 7. a. Mv.,v,(tJ, t2) = E(elít,H2t') = E(e(X,+X,Jt,+CX:+X1Jt, ) = E(eX•'•+X:t•) E(ex,t,+Xjt'). Como as variáveis X 1 e X 2 têm a mesma distribuição basta calcular um dos termos acima. Via X

•

X'

f•'f2(1-2l,)J

mtegral, obtemos E(e •1•+ •'') = ~. -oo

(l-2t,)!

< t 1 < oo, -oo < t 2 < 2I , e o resultado segue

elevando-se ao quadrado essa quantidade. b. Temos Cov(Yh Y2) =O e, portanto, p(Y11 Y2 ) =O. I

8. Mxv(t) = (~) ' , -1 < t < 1. 9. Use a Proposição 5.12 em todos os itens.

•"';;r;• -

9. Seja y =XI

00

1+(2~~ll•'"'. Para calcular 1/Jx(O) é preciso aplicar a regra de L'Ho~pital .•

+ x2 +

n1/>x;(t) =eii"EI'i-~E~>~ n

... + Xn então, pela independência, 1/Jy(t) =

J-l

J-l

•

Jogo

j=l

a soma é

N( ÊfL;, ÊuJ). j=l

j=l

1

10. Usando Exercício 4 da Seção 5.4 vem 1/Jx>(t) = ( 1 _~ 1 ) ' . A variável X 2 é Qui-quadrado com I grau de liberdade. Como forma alternativa, pode-se desenvolver a integral de modo similar ao que foi feito no exercício mencionado. Nesse caso, assumimos, de modo informal, que i é uma constante (real).

Seção5.6 1. E(U) = O, E(V) = O e E(UV) =O. Logo Cov(U, V) = O e, portanto, Pu. v =O.

3. E(Sn) = (n- 1)#, Var(Sn) = (n- 1)#(1 - p)[1 + (n + l)p}. 2 2 5. Var(X) = E(X2 ) - ~(X)= O. Logo E[(X- a) ] =O. Mas (X- a) ~ O e pelo Exercício 11 da seção 4.5, temos X = a.

I Apêndice B: Respostas de Exercícios

392

7. PX.Y = -0, 8. 9. Cov(X, Y) = I 6/225. As variáveis não são independentes.

13.1/ 36. 15. P(IX -~JI

2 e n -f 4, W terá limite mais baixo e, portanto, é

I -.;;;, e P(IW -~JI

pior estimador.

17· a. E(xly) --

4+9Y 6(1+31") •

19• a • E(XIY -- y) --

b V. (XIY) • ar 2

(l-y)( +y) · 3(l+y)

(1+2Y) 2(1+3Y) -

b • E(XYIY -- y) --

fs·

(

2

Var(XIY -- l) 2 -- 89/I296 .

21. a. E(XIY) = ~· b. Var(XIY) = 23. E(XIY) = I - ,v_.:.-_'; e E(YIX ) = X + 1. 25. Px.z = O. As variáveis X e Z não são independentes. 27. ad3. 29. Temos XIS~

B(s,"'~",). Então E(XIS) =

x~~l,

=

Capítulo 6 Seção 6.2 1. a. Mostre que, para f> O, P(IYnl >f)= (1- f)" e daí conclua. b. Para f > O, obtenha P(IWn- l i ~f)= I n e e ao limite. c. Vx E .IR, P(U,. ~ x) = P(Yn ~ xfn) = 1 - (I -::::;-&,I - e-x, que é a função de distribuição da exponencial de parâmetro 1. d.Comoem(c), P(Vn ~ x) = P(n(I- Wn) ~ x) = 1 -P(Wn > I -;)= 1 - (I-;)". 2. Defina, para qualquer f > O, An = { w : IXn I < f}. Por hipótese P( lim An) = 1, logo P ( lim sup A.. ) = 1 e também P( lim sup .4:;) = O. Os An's n~oo

são independentes e pela 2a. parte do Lema de Borei-Cantelli (a negativa da tese implica a negativa

e Var(XI S) =

00

00

n=l

n=l

da hipótese), temos EP(A:;) = EP(IXnl ~f)< oo.

(:,~~~>,.

31. E(Y) = ~ e Var(Y ) = n(~; > · 2

3. Temos E( X .. )= Oe Var(Xn) = 1. Assim, E(!f:x.. ) = Oe ni=l

33. Aproveite alguns cálculos do exercício 13 acima. Determine E(WI Z = z) usando a respectiva condicional. 35. Aproveite alguns cálculos do exercício 13 acima. E(sen(W Z)IW) = cos:(;:::f~j~~"

f·

37. E(Y IX ) = b. Var(YIX) = 39. Cov(X,Y ) = ~·

·

i= I

4. Para qualquer x real, existe no tal que Fn(x) = O para todo n

b;• e

:fi::i b,· t < !· Via derivação (e depois com t = 0) vem E(X

2

+ Y 2) =

3.

< ~ e t2 < !· Obtenha a função geradora marginal e depois

47. Cov(X,Y) = I/6. 49. a. As três formas diferentes são: (I) Via função geradora de momentos conjunta de X, Y e Z. (2) Via função densidade conjunta de X e Y. (3) Reconhecendo que X e Y são indepedentes, calcule a função geradora de momentos de X e depois a de Y e aplique propriedade conveniente. O resultado será: Mx,y(t~o t 2 ) = 6(t,-Il;''+ 1 (ti- 21'~2 )e'2- 2 • Para verificar que Mx,v(O, O)= I é I

2

preciso aplicar a regra de L'Hospital. 51. Mx(t) = e1', que corresponde à N(O, 2). 53. 1/Jx(t) = -'~it· 55. Desenvolva E(eitXY) usando a densidade conjunta fx(x)fy(y) (são independentes). 57. 1/Jx-•(t) = e-..fiii. {j

iJ+it

)Dtffl2 que corresponde a, Gama(a: 1 + a: , /3).

61. Use Exercício 57 e a independência das parcelas somadas.

I

2

> no. Logo

lim Fn (x) = O. Dessa

n-oc

forma, o limite de funções de distribuição pode não ser uma função de distribuição. 5. Seja Y.. =

derive. Aplicando em t = O, vem E(X 2 ) = 1. 45. a. Mv(t) = e 2~'f+ 2"' 1 '. Via derivação (e depois com t = 0) vem E(Y) = 2~J e Var(X ) = 40' 2 •

(

Vat{~f:x.)

-T- ,.-:::;t, O.

Logo temos convergência em probabilidade para O.

/._n\2

59. x,+x,(t) =

1/n.

i=l

n

fi·

b. MX'.Y'(t~o t2) = J!~2t, J 1 ~ 412 ' t,

Var( ~tx.. ) =

Pela Desigualdade Clássica de Chebyshev vem: P(I~EXn- OI ~ f)~

41. Com X ~ Uc(a, b), Mx(t) = ~;:-=.~;· Via derivação (e depois com t =O) vem E( X)=

Var( X) = "'!f-· 43. a. MX'+l"' (t) =

= (I +(~) 2) -n ( I +(~) 2) -n .

;J" ..

4+9Y ) 2 6(1+3Y) • Y l-u < +u> · c • 3 l+y)

)-2n

(

1/iv(t) = I+~ . b. f/iu.v(t" t2) c. Cov(U.V) = O. Não são independentes.

63. a. u(t)

11. a. A independência implica que não são correlacionados. Para a outra implicação, impomos covariância igual a zero e obtemos que P( X =I, Y =I)= pq. Daí segue que a conjunta (para todos os valores) é fatorada pelo produto das marginais.

393


t

frXk . A função caracteristica de X k é dada por: 1/>x.(t) = cos t. Assim,

k=l n

t

n

ti>I~(t) = llcos (21") = ll k=l

ando ao limite obtemos 6. Obtenha tf>x.(t) =

k=l

sen(:!J,) 2 2sen( AJ ~

=

senl 2"sen(Jd • 2

se:t, que é a função caracteristica da Uc[-1, 1].

~(~~~~~~~J.) e e ao limite, para n .... oo, para obter x(t) =

1 :;".

Esta é a

função caracteristica da Uc[O, I], Jogo Xn.!!. Uc[O, I] pelo Teorema da Continuidade de Levy. 7. Vale (X.. , Yn) .! (X, Y) (a prova é solicitada em exercício). Por proposição temos que funções contínuas preservam convergência. O resultado segue pois tomamos as seguintes funções em cada item : a. g(x, y) = x + y. b. g(x, y) = xy. c. g(x, y) = xfy, y f O. 8. A função característica de uma variável simétrica ao redor do zero é real. Logo, para qualquer t, 1/Jx.(t) é real e o mesmo ocorre com seu limite. Pelo Teorema da Continuidade de Levy, o limite das funções caracteristicas é a função caracteristica de X. De novo, por propriedades da função caracteristica, X é simétrica ao redor do zero.

394


9. Temos

395


Para a implicação reversa, suponha que Xn; !. X; , para cada j = 1, 2, ... k. Assim,

IXm - Xnl = IXm- X - (Xn +X) I ~ IXm -XI +IXn +XI ~ 2 max{IXm- XI, IXn- XI}.

k 2

k

=

m,n~oo

2

)

=

n=l

Cantelli que P(An infinitas vezes) = O. Assim, se UI f/. A,. então IXn(UI)- X(UI)I < t'n para todo n > n(UI). Isto implica que Xn(w) -+ X(w) pois lim t'n = O. Mas o conjunto dessa n-:x:

convergência tem probabilidade 1 e então Xn !; X . b. Definimos a sub-seqüência de X,. tomando os índices {nl·: k?: 1}, recursivamente, da

seguinte forma: nk+! é qualquer n > nk tal que P(IXk+!- XI?: 1/k) ~ 1/2k. Por hipótese lim P(IXn - XI ?: t:) =O e, portanto, essa seqüência pode ser construída. Segue da parte (a)

~ P( EI(Xn;- X;)2 1?: t:2 ) ~

2

?:

f]=

tP(IX,;-X;I?:

~);

e, este último termo vai a zero, para n -+ oo, por hipótese.

00

10. a. Seja An ={UI: IXn- XI?: t,}. Como }:P(An) ~ L:bn < oo, segue pelo Lema de Borel-

k

2 E )

J=l

~ tP[(Xn;-X;)

Aplicando esperança vem E(IXm- Xni') ~ 2'. {E(IXm- xn + E(IXn- X Ir)}. ando ao limite para m e n indo ao infinito segue, por hipótese, que lim E(I Xm - Xnlr) = O.

P( i}.)Xn;- X;) 1?: j=l

IXm - x . r ~ 2rmax {IXm- xr, IXn- xn ~ 2r {IXm- X Ir+ IXn- xn

n=l

2

:i=I

Então

00

2

P(II Xn- XI I?: f)= P(IIX..- Xll ?: f 2 ) = P (L)X,;- X;) ?: f

qc

b. Suponha que Xn-+ X. Temos IIXn -XII

=

( k

~(Xn;- X;) 2

)1/2 -+O,

num conjunto de

J=l

probabilidade 1. Isto implica que, em cada coordenada, Xn; - X;-+ O com probabilidade 1. Logo Xn;!;X;, para cada j = 1, 2, ... k. Suponha agora que Xn; ~ X; , para cada j = 1, 2, ... k. Considere o conjunto intersecção definido k

por A=n{UI :Xn; -+ Xj}· Temos P(A)=1 e como A C{UI:IIXn - XII-+ 0}, segue que j=l

n-oo

que Xn, ~X. 11. Este exercício é a versão para a convergência em probabilidade do critério de Cauchy para

convergência de séries numéricas. Suponha inicialmente que Xn !. X. Considere X, Y e Z variáveis quaisquer, temos: UI E {IX- Yl?: t:} => w E {IX(Y- Z)l?: t:} =>UI E {IX- Zl + IY- Zl?: f}. Istoimplicaque Ui estánaunião {IX- Zl?: ~f} U {IY- Zl?: ~€}.Assim, para € >O, P(IXm- X. I ?: f) ~ P(IXm -XI ?: ~t:) + P(IX,.- XI ?: ~t:)m,n::.+ ocO. Suponha agora que P(IXm - Xn I ?: t:) m,n-:::t oc O. Para todo inteiro positivo k, escolha inteiros positivos mk, com mk+ 1 > mk ..'r/k, tais que

z-

Seção 6.3 .

k=!

constante c finita. Pela Desigualdade Clássica de Chebyshev vem, para f > O,

P(ISn- E(Sn)l ?: f)= P(IS.- E(S.)j?: m) n

~ Va~(~n) ~

oc

.P(IX.- XI> €) ~ P(IXn- x., l ?: 2) + P(IX.,- XI?: 2)n,k::+oc o.

n

+ E

n

-+0.

n

=L:(~-~)< oo. Logo, a k=l

Primeira Lei Forte de Kolmogorov está satisfeita. s s p 2' 3. Vamos verificar que ::-E(':)-+0. Temos E(X;)= O e Var(Xj)=a: 1 • Ass1m, como a o

k=!

com Ak = {!Xnw- Xn,l?: 2-k}, temos limsup P(A.) = O. Então Xn, ~X. para alguma variável X e, conseqüentemente, X., !. X . Assim, concluímos,

f

oc V. r(f) "

n=l

Para inteiros nk?: mk, k ?: 1, temos X:P(IXn,+,- Xn,l?: 2-k) < oo. Logo por Borel-Cantelli.

12. a. Suponha que X" !.x. Para todo real f> Oe j = 1, 2, ... k,

n

2. Temos que E(Xn) = 1/n e Var(X,) = 1-1/n2 • Assim, L: • n

P(IXm - Xnl ?: 2-k) < 2-k, para m, n?: mk.

{

p

1. Precisamos verificar que ~-E(~) -+ 0. Temos Var(Sn) = L: Var(Xk ) ~ nc, para alguma

covariância entre X; e X;. para

i-# j

é zero, temos Var(Sn) = f:var(X;) =

a't:;"l.

Pela

j=!

Desigualdade Clássica de Chebyshev vem, para f > O,

{

P(

ISn- E(Sn)l n

_ Var(Sn) _ a 2 (1- a 2") ?: f) - P(IS" - E(Sn)l ?: m) ~ 2) -+ 0. 2 2( 2 2 t:n fn 1 -o:

Logo vale a Lei Fraca. 4. Se a constante c existisse ela seria a média pela Lei Fraca de Khintchine. Como não existe a média

Então, Xn;!.Xi , para cada j = 1, 2, ... k.

da Cauchy, a convergência não ocorre para nenhum c.

I

c

•


396

S. Temos E(Xn) = 2-n/2 e Var(X.. ) = 2-". Com S .. = 'ÊX; temos

Var( ~)

=

~(1- 2-").

Pela

i=l

Desigualdade Clássica de Chebyshev vem: Lei Fraca.

P(l~ - E( ~ )I 2': f) ::; va~!Jf) ..~O. Portanto

6. Temos E( X;) = j e Var(Xj) = 2j. Com Sn = 'ÊX; temos Var(~) = j=l Pela Desigualdade Clássica de Chebyshev: Portanto, vale a Lei Fraca.

Seção 6.4

vale a

100

1. Temos EX; "'Binomial (n = 100; p = O, 4) e, portanto, com média 40 e variância 24. Pelo j=l Teorema Central do Limite vem

~ n(~+ll.

P(l~- E( ~ )12': f)::; va~!J:-J

=

"J~i;P ..~O.

P(f:X; j=l

S

n

I

j=l Pela Desigualdade Clássica de Chebyshev vem, para f

> O,

==I ~À-- O·

j=l

'

n

pois, por hipótese ~E .X; ..~ O. Logo, vale a Lei Fraca. j=l 8. Vamos verificar que ~ -E(~) !. O. Temos Var(X;) = u 2

49

40 50 40 '~ ::; Z ::; ·~ ) = O, 01; 24 24

em que Z é a Normal Padrão. 2. A probabilidade de retirar um ás é dada por 1/13. Seja X o número de azes obtidos em 1000 retiradas, independentes e com reposição. Temos que X é Binomial com n = 1000 e p = 1/13. Sua média é 1 ~ e a variância ~~~~~J. Pelo Teorema Central do Limite vem:

j=l

tn L...! Jn-oo

= 50) ~ P(

n

7. Temos E( X .. ) = Àn e Var(Xn) = Àn. Com Sn = EX; temos Var(~ ) = RI E .X;.

P(i§.. -E(§..)i >f)< Var!,fl n n t

397


P(65

< oo e, como a covariância entre X; e

64 5 -

1000

13 < X< 90) ~ P( ' ~- < V169

90 5 -

1000

' /lii.iJ13 V 169

)

=O 8755·

''

n

X; é zero, para i =I j, temos Var(Sn) = EVar(X;) = nu2 • Pela Desigualdade Clássica de i=!

> O,

Chebyshev vem, para f

P( ISn- E( S.. ) i 2': f)= P(IS,.- E(S,.)i 2': m)::; n

Logo vale a Lei Fraca. 9. Temos E(X.. ) = J=.xe-<x+aldx = 1 - a. Logo as variáveis

Va~(~.. ) = ~2 fn

-+0.

fn

Lei Forte de Kolmogorov ~ ~ 1 - a. = uj ::; M < oo e, como a covariância entre X; e X; é zero, para i n

j=l

j=J

-n 1 e-"L" 1n" = P(S.. ::; n) = P( S"r.; ::; O) =~(O) = -· vn 2 k=Ok.

x .. ·s são i.i.d. com média finita e pela

10. Temos Var(X;) "

em que Z é a Normal Padrão. 3. Tome X;. j 2': 1, variáveis i.i.d. Poisson de parâmetro 1. A variável Sn = X1 + X2 + ... + Xn tem distribuição Poisson de parâmetro n, com média e variância iguais a n. Pelo Teorema Central do S,) d N(O 1) A . . . vem S,-E L urute Var(S,)-+ , • ss1m,

=I j,

temos

4. Obtenha E(X.. ) =O, E(X~) = 2n2 e E(X!) = 24n4 • Para aplicar a condição de Liapunov com 6 = 2, lembremos que = <'Ê 2k2 ) 2. Temos

s!

k=l

Var(Sn) = EVar(Xj) = EuJ::; nM. Pela Desigualdade Clássica de Chebyshev vem, para f>

o.

P( IS.. - E(S,.)I

n

2': f) = f(IS,. - E(S.. )I 2': m) ::; Va~(~.. ) = ~ -+0. En

En

Logo vale a Lei Fraca, isto é, ~ - E(~) =

{

X - Jin !. O. 11. Temos log(f1 ~k) l/n = ~ ílogX~:. Note que P(-logX~:::; x) = 1- e-z e, portanto,

1

-log X~: ~ Exp (1 ). V amos aplicar a Lei Forte de Kolmogorov na seqüência ( -log X~: )k?:l para concluir que ( =;!-

'ÊiogX~:- 1) ~0. Daí obtemos c= e- 1.

k=l

12. Os X .. 's são variáveis i.i.d. com média finita igual a J.t. Pela Lei Forte de Kolmogorov, temos X- J.t~O. Considere, agora, a seqüência (Xn- J.t) 2• Ela é de variáveis i.i.d. com média finita igual a u 2 • Pela Lei Forte de Kolmogorov vale (X,.- J.t) 2 ~u 2 • O item (a) segue pois a convergência quase certa vale em cada coordenada do vetor. Para (b), aplicamos ao vetor de (a) a função g(x, y) = x - y2, que é contínua.

pois o numerador é da ordem de n 5 enquanto que o denominador da ordem de n 6 • Logo vale o Teorema Central do Limite de Liapunov. S. Obtenha E(X.. ) = O, E( X~) = 1. defina Yn = Xnl{lx.l=l}·

--h'Ê(Xn- Y.. ) V"j=l

!. O(via Borel-Cantelli). Aplique Slustky.

6. Temos -j;;'ÊX;.!!. N(O, 1) (TCL para variáveis i.i.d.). Mostre que

H para concluir

-}.;f:Y;!. Oe aplique Slustky ~

Tn .!!.N(O, 1). Mostre que não vale a condição de Lindeberg com f= 1/2.


398

7. Pelo TCL:

-jn L~ (X~r -~J.d 2 - nu2] !!. N(O, 1). Rearranje o limite a ser calculado de modo que


399

podemos considerar uma sub-seqüência Xn, que converge quase certamente para X. Assim, E[(IX,.- Xl) 2] = E[liminf(IX. - Xn,l) 2]::; Iiminf E[(IX,.- X,.,I) 2]-+0, para n -+ oo.

fique P{IZI::; 1) com Z ~ N(O, 1).

k-+OO

8. a. E(IXIr) :5 max(lalr, lbl'). Seja An = (Xn- X 2': f] e aplique esperança em IXn -X Ir = IX,. -XI' lA. + IXn - Xlr [Ai· b. Para n 2': 1, como IXn - JLnl ::; b- a, temos

E(IX. -~J.nl ) = E(IXn -~J..I(X,. -~J.n) ) ::; (b- a)u~. 3

2

Então,

k...-x.

19. Usando função característica vem: if>x.+a,.(t) = eit(X.+a..) = eitX.eito.,.n~eitZeita = e-í'f2eit•, que corresponde à função característica da N(a, 1). -2

n

-

21. Se Var(Xj) ::; M, temos E( X ) = Var( X) = ~ ~Var(Xj) ::; ,FI

E(~Ê(X;-

E(X;)J2) =

•=1

~tE{(X; -

E(X;)j2} + *EÊcov(X;,Xi)

•=1

i=lf=l iyfj

25. a. Temos E(Xn) = À e Var(Xn) =À. Segue que

ÊX'f-E(ÊX'fl

Kolmogorov vem ;~•

1. É necessário p,.-+ 0 quando n-+ DO. 3. Lembre que E(IA.) = P(A,.). Temos, para f> O, P(IIA.I2': t:)::; P<:·> .... o, para P(An)-+0. Por outro lado, com f > O, {liA. I 2': f} é equivalente à ocorrência de A,.. Assim, tomando probabilidade e ando ao limite a implicação segue. 5. Via funções características temos: E(eit(aX.+b}) = eitbif>x. (at) -+ eitbl/>x(at) = E(eit(aX+bl). O resultado segue pelo Teorema da Continuidade. 7. E((X -11-) 2] = ~ ,.-::t, o. f:x· 9. Usando função característica vem: E(eit~)=[4>(~)]"= (1+~+o(n- 1 ))-+ei~'~;que é a função característica correspondente à função constante JL.Assim, X converge em distribuição para 11- e, nesse caso, isto implica convergência em probabilidade. ll.Parat: > O, P(IYn l >f)= P(IX1I >f, IX2I > f, ... IXnl > t:) = (1- f)". A convergência segue tomando o limite para n indo ao infinito.

E(Yn ) =E[ (

P[C~1 X~rr'" >o)= flt(X~r =

ITX1r r'"]

k=J

1) =

8

·~.~~:~

=

:5 ~ .-::;-t,O.

);f;,!!. N(O, 1),

pelo Teorema

Central do Limite para variáveis i.i.d. b. A seqüência X~ é de variáveis i.i.d. com E( X~)= À + À2 • Logo pela Lei Forte de

Seção6.5

13. a. P(Y.. >O)=

n~ O, lembrando que as

variáveis Xj's são não correlacionadas. 23. Temos O :5

logo a condição de Liapunov está satisfeita com {j = 1.

*

p";

n ·~•

p

n

i= I

27. Tome a função contínua g(x, y) = xy. Não vale para convergência em distribuição. Por exemplo: se Xn !!. X, X simétrica temos - Xn !!. X mas não é verdade que -X~ !!. X 2 • 29. a. Usando função característica vem: 11 A. ( ) f1 iiX;/lol _ rr" (.1. 1-e"/toi-l ) _ 1 eu 1-e;'. 'I'Yn t . e - . 10 1-eU/tol - lll"(J-eMII') n~ it ' ;=!

;=!

que é a função característica da Uc(O, 1). b. Temos Yn ::; Yn+! ::; 1, para todo n. Assim lim Y,. existe para todo w. Logo Yn converge n~oo

quase certamente para esse limite e, conseqüentemente também converge em distribuição. Como pela parte (a) o limite em distribuição é a Y"' Uc(O, 1), o mesmo precisa ocorrer com o limte quase certo. 31. Sendo S. =

EX; temos pela Desigualdade de Markov, para f> O, P(ISnl2': nf)::; ~·

i=l

G)

Usando que X; tem média zero vem E(S~) = nE(Xt) + (;)E(X~ são arbitrários pois as variáveis são i.i.d. Logo existe c tal que

~ ISnl Lf(n=l n

= ITE((XIr)lfn] = p". k=l

b. P(IY,.- OI >O)= P(Yn = 1) = p" -+0, para n indo ao infinito. 15. Temos E[(Yn-. X) 2] = E((Xn - 1-;,)2] + E((Xn - X) 2] - 2E((Xn - Yn)(Xn -X)]. Observe que: IE((Xn- Yn)(X,.- X)]l ::; E(I(Xn - Yn)(X,.- X) I] :5 {E((X,.- Yn) 2 JPI2{E((Xf}- X)2]pf2. ando ao limite o resultado segue. 17. Se Xn J.x temos E[(Xm- Xn) 2 ] ... o, param e n ... DO por exercício da Seção 6.2. Por outro lado. se E[ (Xn - Xm )2] -+ O, para m e n ... DO, temos pela Desigualdade de Chebyshev que (Xn- Xm)!.o (me n -+ DO). Por exercício da Seção 6.2: se Xn !.x para algum X, então

p

-+O, portanto ~Xl-+ À + À2 •

-

xn.

~c n=l n

> t) ::; L.../"?. < oo;

qc

Pelo Lema de Borel-Cantelli segue X -+O. 33. Pela Desigualdade de Markov, para f> O, f:P(IXn- XI >f) n=l

Pelo Lema de Borel-Cantelli segue Xn ~0.

:5 f:E{(X; -}."(X;)]'} < DOj n=l

em que os índices

400

Apêndice B: Respostas de Exercidos

35. Use que a função característica da Cauchy Padrão é e-111. Logo t/J _~_.

(t) = e-ltlfn. Então

;;yt\X;

lim t/J i

n-+oo

•

.,~xJ

(t) = f/Jx(t) = {

~·,

set =O; set

Como t/Jx não é contínua em O, logo ;;\(X1 + X 2 + ... +X,.) não converge em distribuição. 37. Desde que X,. ~X segue que IX,.- XI~O e, portanto (IX,.- Xl) 2 ~0. Se IX,. I::; Y para todo n então lXI::; Y. Assim (IX,.- Xl) 2 ::; 4y2, Pelo Teorema da Convergencia Dominada o resultado segue. 39. Através do Teorema Central do Limite, aproxime para a Normal obtendo O, 8788. 41. Sendo X,."' Gama (n, fJ), n ~ 1, com o uso de função característica vem: Á(t) = E(eitX.fn) = E(e'~x.) = (~)" = (~)" _ eitf{J. 'I' 1 .X. {1-itfn 1-= n..., oo ' que corresponde à variável constante igual a 1/fJ. Po~to, da convergência em distribuição para 1/fJ temos ~X,. !.11fJ. · 43. Note que g(x) = x/(1 + x) é uma função crescente em (0, oo). Para f >O vem jX,.I f 1 +f ( IX.. I ) P(IX.. I>f)=P(1+jX,.I > 1 +f)::;-f-E 1+1Xnl I

E( 1l~i.. l) ::; 1 : f P(IX,.I ::; t:) + 1 P(IX,.I > t:),.-::t,

c. Não. Caso houvesse essa convergência, também teríamos W,. convergindo em distribuição para a constante zero, o que é contraditório com (b). 49. a. Temos E(XmY,.) - E(XY) = E[(Xm - X)Y] + E(Xm(Y,. - Y)J. Da Desigualdade de Schwartz vem IE((Xm- X)Y]I 2 ::; E(y2)E((Xm- X) 2 j ... para m ... oo. Também vale IE!Xm(Y,.- Y)]i2 ::; E(X!)E((Y,.- Y)2] ... o, param, n ... oo, se E{X!,) é limitada. Mas esse é caso pois E( X!) ::; 2 E[{Xm - X) 2] + 2 E(X2) e lim E[(X,.- X) 2] =O. Concluímos que m-oo

lim E(XmYn) = E(XY).

m,n-+oo

b. Em (a) tome Y,. = X,.. c. Em (a) tome Y,. = 1. 51. Para 1 ::; s
55. a. Aplique o Teorema Central do Limite para obter Kolmogorov temos ~

n

qc

n

•

-+ v•n

Êx,.2.N(O, 1). Pela Lei Forte de

lc=l

qcrn

Ex: ... 2 e, portanto, -!.; ~ E X1 ... v 2 • Como esta última convergência V2 Al=l

k=l

1:

também vale em probabilidade, aplicamos o Teorema de Slutsky para concluir sobre a convergência em distribuição para N(O, 1/2). b. Use os cálculos de (a) e lembre que g(x) = x > O, é ~nção contínua Ajeite o quociente para aplicar Slutsky, obtendo a convergência em distribuição paraN(O, 1).

/i,

f.

Como f é arbitrário, e pode ser feito tão pequeno quanto desejamos, o limite da esperança é O. 45. Note que

1~x nL.J J

..

401

o,

#O.

pela Desigualdade de Markov. Se a esperança tende a zero então X,. !o. Supomos agora que X,. !. O. Então, para f > O,

Respostas: Capftulo 6

j=l

y'n(Xf +X~+ ... +~)

57. Verifique que R

E A:~l

E(Y~o) =

O e Var(Y,.) = 1/2, para qualquer k. Temos Ê V1Yt)

< oo,

pois

k=l

qc

R

b < oo. Pela la. Lei de Kolmogorov ~EYt ... o. lc=l

59. Os X,. são i.i.d. e pela Lei Forte de Kolmogorov X ~1-'· Logo pela continuidade da função 2 quadrática, temos g(X) = X !;"'2 • Considere, agora, {X:: k;::: 1}. Essa seqüência também é

..

de variáveis i.i.d. e, de novo pela Lei Forte de Kolmogorov, temos ~EX: ~o-2

+·p,2• Portanto,

k=l

pela Lei Forte de Kolmogorov, o numerador converge quase certamente para E(Xj) = 1, enquanto o denominador converge quase certamente para pois E(X'j) = 2. O quociente vai

"

../2,

para 1/ quase certamente, por ser intersecção de conjuntos de probabilidade 1. 47. A função característica da Cauchy Padrão é e-ltl. a. c/Jy, (t) = e-ltlnl. Então

-

"

~E(X,- X)2 =~EX:-

../2 ,

R

x-2 ...qc 112 + ,_,2 _,_,2 = 112.

k=l

k=l -

Logo ~E (X~o - X) 2

)

·qc ... 1.

Como seno é função contínua o resultado segue.

k=l

61. Pela Lei Forte de Kolmogorov temos

~Ê

Yt

!; p, e, portanto, também em probabilidade. Aplique

k=l

lim

t/JY. (t)

......ao

•

= { 1,

O,

se t =O; se t # O,

que não é contínua em O, logo -j;;(X1 + X 2 + ... +X,.) não converge em distribuição. b. t/Jw. {t) = e-111, que é a função característica da Cauchy. Pelo Teorema da Continuidade W,. converge em distribuição para a Cauchy.

o Teorema Central do Limite para obter -L Êx,.2.N(O, 1). O resultado segue através do

"v" k=l

Teorema de Slutsky após conveniente rearranjo dos termos.

Apêndice B: Respostas de Exerc{cios

402

63. Precisamos verificar que ~-E(~ ).!'.O. Sendo Var(X,.) 5 c< oo, temos pela Desigualdade ' Clássica de Olebyshev que, para r; > O, P( IS.. - E(S,.)I ;::: r;) = P(IS,. - E(S,.)I 2:: m) 5 n

a. Temos

n

n

1=i

i=l

~Var(Y:X;) = ~EVar(X;)

n

+-!r l~i<j~l E Cov(Xi,X;) 5

b. Para 6 >O, existem tal que p(X;,X;) 56 se 1

·n j=t

1

1

n

n iJ=l

n

r;n

E n

Bibliografia Apresentamos a seguir algumas referências que podem ser úteis ao leitor. Elas foram objeto de consulta do autor na preparação deste trabalho, apesar de algumas delas, não terem sido referenciadas no texto.

~ ,.-:::-&,0.

li- jj 2:: m. Então

2Var(EX;) = 2 Ecov(X;,X;) = 2 { n

Va~~,.).

+E Cov(X~>X;) }· iJ-1 "

Cov{X;,X;)

iJ:-U

li-JI~m

li-J1<m

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Note que Cov(X;, X;) 5 jp(X;, X;)IJVar{X;)Vaí"(X;), assim 1

n

1

2VarCLX;) 5 2(2nmc+n2 6c),.-::::-tc,6c-+0;

n

i=l

desde que 6 > O~ arbitrário. 65. Seja Umn = {(X,.- n) - (Ym - m)JI

n

Jm + n. Temos

log~u-(t) = n(eii/Jiii+ft- 1) + m(e•t/Jiii+ft- 1) + 'j;;.~: .,.,..,..-::t ""--!t2,;

d Logo Um,.-+N(O, 1), param e n-+ oo. Observe, agora, que X,. + Ym ~ Poisson de parâmetro m + n. Aplicando a Lei dos Grandes Números verifique que X;,~~" ..!'. 1 e também Vmn = X;.!• ..!'. 1. Aplicando Slutsky em

J

tl.,.,./Vmn o resultado segue.

403

Integration,

404

Chung [74]

(

(I (

~

(

I

I

( I I

( (

I I

(

I

(

I I

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,

lndice Remissivo

Absolutamente contínua, 70 Álgebra, 5 Amostra aleatória, 181 Aproximação Normal p/ Binomial, 105, 339 Axiomas de probabilidade, 11

B

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(

Convergência em distribuição, 305 em lei, 305 em média r, 303 em probabilidade, 302 quase certa, 30 I uniforme, 300 Convolução, I55 Covariância, 249 condicional, 264 Cramér-Wold, 315 Critério de independência para eventos, 35 para variáveis, 288

A

Bayes, Teorema de, 30 Bernoulli ensaios de, 82 variáveis de, 82 Beta, 107, 369 Binomial, ver distribuição Binomial Bochner-Khintchine, Teorema de, 288 Bonferroni, desigualdade de, 60 Borel, Lei Forte de, 327 Borel-Cantelli, Lema de, 43, 300 Borelianos, 7 Buffon, 178

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l l I I

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Carathéodory, Teorema da Extensão de, 11 Cauchy, ver distribuição de Cauchy Cauchy-Schwarz, desigualdade de, 257 Coeficiente de assimetria, 248 de correlação, 254 de curtose, 248 de variação, 354 Combinatória, I Continuidade à direita da função de distribuição, 65 da função de distribuição, 70 de probabilidade, 20, 27 uniforme da função caracteóstica , 279

407

li !!

.I

Índice Remissivo

408

409

Índice Remissivo

I

(

(

(

(

(

( (

(

(

Desvio-padrão, 243 Distribuição Beta, 107 Binomial, 83 Binomial Negativa, 85 condicional, 128 conjunta, 116 propriedades, 117 de Cauchy, 110 de Laplace, 111 de Poisson, 89 de Rayleigh, 111 de um vetor aleatório, 116 de uma variável aleatória, 65 de Weibull, 111 de Erlang, lO I exponencial, 96 falta de memória, 98 exponencial dupla, 111 F-Snedecor, 177 gama, 100 geométrica, 83 hipergeoméuica, 88 logística, 111 Maxwell, 111 multinomial, 137 normal, 102 bivariada, 138 Pareto, 111 Triangular, 11 O qui-quadrado, 101 siméuica, 199 t de Student, 177 Uniforme discreta, 81 contínua, 94

(

E

(

(

Ensaios de Bernoulli, 82 Erro quadrático médio, 234 Espaço amostrai, 1 de probabilidade, 11 produto, 26 Esperança . condicional, 260

como integral de Riemann-Stieltjes; 195 de função, 219 de variável discreta, 180 de variável contínua, 186 de variáveis não-negativas, 208 do produto de v.a. independentes, 227 propriedades, 213 Estatísticas de ordem, ver máximo e mínimo Eventos aleatórios, 1 disjuntos, 3 independentes, 35 mutuamente exclusivos, 3 o--álgebra de, 5 Experimento aleatório, 1 Exponencial, ver disuibuição exponencial

F Feller, Lindeberg, teorema, 347 Fórmula da inversão, 282 Frequência relativa, 11 Função absolutamente contínua, 192 característica, 276 multidimensional, 288 de Cantor, 72 de densidade de probabilidade, 70 de disuibuição, 65 condicional, 129 de um vetor aleatório, 129 de uma variável aleatória, 77 conjunta, 116 propriedades, 117 de um vetor aleatório, 116 empírica, 334 marginal, 119 de probabilidade, 11, 68 de variávei aleatória, 141 gama, 101 geradora de momentos, 266 multidimensional, 270, 272, 273 indicadora, 7 mista, 74, 126

G Gama, ver disuibuição gama Gauss, 102 Geométrica, ver disuibuição geoméuica probabilidade geométrica, I O Glivenko, ver teorema

H Helly-Bray, Teorema de, 306 Hipergeométrica, ver distribuição

I Independência entre varios eventos, 35 de variáveis e vetores, 133 Indicador de união e intersecção, 7 Infinitas vezes, 4 Integral de Lebesgue, 199 de Lebesgue-Stieltjes, 199 de Riemann, 191 de Riemann-Stieltjes, 179

J Jacobiano método do, 161 Jensen, desigualdade de, 224

K Kbintchine, Lei Fraca de, 327 ver Bochner-Kbintchine, 288 Kolmogorov desigualdade de, 328 Lei Forte de, 332 Primeira Lei Forte de, 329

L Laplace, ver De Moivre-Laplace Lebesgue, ver integral de Lebesgue-Stieltjes, ver integral de Lei da Prob. Total, 31 de Morgan, 3 dos Grandes Números, 324 Fraca, 324 Forte,324 Forte dos Grandes Números, 324 de Borel, 327 de Kolmogorov, 327 primeira, 327 Fraca dos Grandes Números, 324 de Kbintchine, 327 de Chebyshev, 327 Lema de Borel-Cantelli, 43 Levy-Paul, Teorema da Continuidade de, 308 Liapunov, Teorema Central do Limite de, 338 Limite inferior, 4 superior, 4 Lindeberg, ver Feller, teorema

M Markov, ver desigualdade de Máximo, 159 Média amostrai, 287 mediana, I 09 Medida de Lebesgue, 74 Mensurável, 64 Método do Jacobiano, 161 Mínimo, 158 Modelo Probabilístico, 24 Momento absoluto, 241 central, 241 de variáveis aleatórias, 241 Multinomial, ver distribuição Multinomial Mutuamente exclusivos, 3

I

'

410

•

N

fndice Remissivo

s

v

a--álgebra, 5 das partes de !1, 6 de Borel, 7 Singular, 145 Slutsky, Teorema de, 319 Stieltjes, ver integral de

Valor esperado caso geral, 209 da função indicadora, 20 I Integral de Lebesgue-Stieltjes, 199 Integral de Riemann-Stieltjes, 195 para variáveis discretas, 180 para variáveis contínuas, 186 para variáveis não-negativas, 208 propriedades, 213 Variância, 243 amostrai, 320 condicional, 264 de uma constante, 244 de uma soma, 252 propriedades, 243 Variável aleatória, 63 contínua, 70 discreta, 68 função de distribuição, 65 independentes, 133 mista, 74, 126 n-dimensional, 115 não-correlacionadas, ver correlação partes positiva e negativa, 209 simétrica, 199, 242 singular, 72 V:etor aleatório contínuo, 123 discreto, 120 distribuição conjunta, 116

(

( ( ( ( (

(

Não-correlacionadas, 258 Normal, ver distribuição normal Números pseudo-aleatórios, !52

o Observada, freqüência, 90

p

(

(

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Partição do espaço amostrai, 3 Permutações, 9 Poisson, ver distribuição de Poisson Princípio fundamental da contagem, 9 Probabilidade axiomas de, li condicional, 30 geométrica, I O propriedades, 20 total, lei da, 31

Q Quase certamente, 301 toda parte, 74, 301 Qui-quadrado, ver distribuição qui-quadrado

R Radon-Nikodyn, 260 Resultados equiprováveis, 18 Riemann, ver integral de Riemann-Stieltjes, ver integral de

fndice Remissivo

T Taxa de falha, 107 Teorema Central do Limite, 337 de De Moivre-Laplace, 339 de Liapunov, 341 de Lindeberg-Feller, 347 para variáveis i.i.d., 338 da Continuidade de Paul Lévy, 308 da Convergência Dominada, 232 da Convergência Monótona, 230 da Extensão de Carathéodory, 11 da Probabilidade Total, 29 da Unicidade, 286 de Bayes, 30 de Bochner-Khintchine, 288 de Crarnér-Wold, 315 de Glivenko-Cantelli, 336 de Kolmogorov Lei Forte de, 332 Primeira Lei Forte de, 329 de Helly-Bray, 306 de Lindeberg-Feller, 347 de Polya, 310 de Radon-Nikodym, 260 de Slutsky, 319

u uniforme, ver distribuição uniforme

411

Marcos Nascimento Magalhães. Probabilidade E Variáveis Aleatórias. Ed.2. Edusp. 2006 (o.c.r.) 1o3s5j

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