Teoría De Conjuntos 3e4n3

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TEORÍA DE CONJUNTOS La idea o concepto de conjunto es muy antigua e intuitiva por tanto podemos decir que un conjunto es un grupo o colección de objetos bien definidos de tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.

Podemos ejemplificar un conjunto de la siguiente forma: los de una familia, una colección de objetos, un equipo de fútbol, una plantilla o un rebaño de ovejas, los pasajeros de un autobús etc. ●

Los conjuntos se designan por letras mayúsculas (A, B, C,…Z)

●

Los elementos con las letras minúsculas (a, b, c,…z), números (1, 2, 3, 4,…).

●

El contenido de los conjuntos se escribe dentro de los signos de agrupación como son las llaves { }.

●

Cada uno de los objetos denominados elementos se separan por medio de una coma.

Ejemplos:

A= {Luís, José, Mario, Rodrigo, Manuel, Jacinto, Pedro, Ernesto, Fausto…} B= {1, 2, 3, 4, 5, …}

PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA ( ,  ) Los objetos que forman parte del conjunto se denominan elementos. Si un elemento forma parte de un conjunto se dice que el elemento pertenece () al conjunto. Si el elemento no forma parte del conjunto, se dice que no pertenece () al conjunto. Es decir: 

Si x es un elemento del conjunto A, se escribe x  A que se lee “x pertenece a A” o “ x es elemento de A”.



Si x no es elemento del conjunto A, se denota x  A, que se lee “ x no pertenece a A” o “ no es elemento de A”

FORMAS DE DETERMINAR UN CONJUNTO Para determinar un conjunto contamos con dos formas, por extensión y por comprensión.

Decimos que un conjunto está definido por compresión, si sus elementos se describen a través de propiedades que tienen en común.

Un conjunto está definido por extensión, si se enumeran sus elementos.

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Ejemplo:

A = {x / x es un número obtenido al lanzar un dado corriente} es un conjunto definido por comprensión ya que sus elementos “x” se describen a través de la propiedad “es un número obtenido al lanzar un dado corriente”. Esa expresión se lee: “A es el conjunto formado por todos aquellos números que se obtengan al lanzar un dado”. 

El conjunto A expresado por extensión, es A = {1,2,3,4,5,6}.

Ejemplo: Analiza con detenimiento cada uno de los conjuntos siguientes

Por comprensión B = {x / x  N, x | 6 }

Lectura “B es el conjunto de todos los números naturales que sean divisores de 6”

Por extensión B = {1,2,3,6 }

“C es el conjunto de los números naturales divisibles por 6 que

C = { x / x  N, 6 | x, x ≤ 12}

sean menores o iguales que 12”, o bien, “C es el conjunto de

C = {6, 12 }

los múltiplos de 6 que sean menores o iguales que 12”

D = { x  R / x2 – 3 x = 0}

“D es el conjunto de los números reales que sean raíces de la ecuación x 2 – 3 x = 0 ”

D = {0,3}

“E es el conjunto de los números naturales que se obtengan

E = { x  N / x = 2n, nϵ Z }

de multiplicar 2 por un número entero ”, o bien, “E es el

E = {2,4,6,...}

conjunto de los números naturales que sean múltiplos de 2 ”

F = { x  R / x2 = x}

“F es el conjunto de todos los números reales que coincidan con su cuadrado”

F = {0,1}

Ejercicios propuestos

A. Escriba los siguientes conjuntos por comprensión y por extensión. 1) El conjunto F, formado por los nombres de los colores de la bandera del Ecuador. 2) El conjunto G, formado por los nombres de los dedos de la mano del cuerpo humano. 3) El conjunto H, formado por los nombres de los átomos que intervienen en la molécula del agua. 4) El conjunto I, formado por las estaciones del año. 5) El conjunto de los números enteros que cumplen la desigualdad – 7 ≤ x < 2

B. Escribe cómo leerías cada uno de los conjuntos dados a continuación, y exprésalos por extensión: 1) A = {x / x es una vocal del abecedario castellano} 2) B = {x / x es una letra de la palabra PERIÓDICO} 3

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3) C = { x / x  N, x < 10, x es un número primo} 4) D = {x  N / x = 2n + 1, n  Z} 5) E = {x  Z / x = 3n, n  Z} 6) F = {x  R / x = – x } 7) G = { y  R / y = – x, x2 – 3 x = 0} 8) H = {x / x es el nombre de la capital de una provincia de Chimborazo} 9) I = {x / x es el nombre de un continente de la Tierra} 10) J = {x / x es el nombre de un color de la bandera de Riobamba} 11) K = {x / x es el nombre de un dedo de la mano del cuerpo humano} 12) L = {x / x es el símbolo de un átomo de la molécula del ácido sulfúrico}

CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS La clasificación de los conjuntos está fundamentada en el análisis de sus elementos o , por ejemplo si no tiene , el conjunto es vacío, si sus son innumerables infinito, etc. Las clases de conjuntos son:  Conjunto finito

 Conjunto universal o referencial

 Conjunto infinito

 Conjuntos homogéneos

 Conjunto unitario

 Conjuntos heterogéneos

 Conjunto vacío Conjunto Finito:

Cuando los o elementos del conjunto se pueden contar o enumerar. Por ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto es un conjunto finito que expresado por comprensión es: A = {x/x son las letras del alfabeto castellano} Conjunto Infinito:

Es un conjunto que no puede ponerse en correspondencia biunívoca con ningún conjunto de los números Naturales. Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre deberán determinarse por comprensión; por el ejemplo:

B = {x/x son las estrellas del universo}

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Conjunto Unitario:

Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento. Ejemplo: C = {luna} Conjunto Vacío:

Se trata del conjunto que no tiene elementos, o que estos son inexistentes, ejemplos: D = {x/xN; x+3=0}

D={}

Se considera el conjunto vacío como subconjunto de cualquier conjunto y se lo denota como D={ } o D=. Conjunto Universal o Referencial:

Se llama así al conjunto conformado por los o elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterización.

Por ejemplo Dados los conjuntos A = {1, 3, 5, 7}

B = {2, 3, 4}

C = { 6, 7, 8, 9}, el conjunto universal o referencial

es: U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Conjuntos homogéneos

Cuando sus o elementos que lo componen, pertenecen al mismo tipo o género. Por ejemplo un conjunto compuesto por letras únicamente, o por números, etc.

A = {a, l, m, p, r } El conjunto es homogéneo pues todos sus son letras. Conjuntos heterogéneos

Son aquellos conjuntos compuestos por de diferentes tipos, clases, géneros, etc. B = {1, a, prado, rojo}

DIAGRAMAS DE VENN Los Diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática especialmente en la teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante figuras planas. El rectángulo es una de las figuras planas usadas especialmente para la representación del conjunto universo.

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Ejercicios propuestos

A. Escriba 5 ejemplos de cada uno de los conjuntos mencionados en la clasificación. B. Identifique que clase de conjuntos son: 1) 𝐴 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑁; 𝑥 2 − 4 = 0}

6) 𝑀 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑁; 𝑥 ≥ 6}

2) 𝑀 = {𝑥/𝑥 ∈ 2̇; 𝑥 ≥ 6}

7) 𝐶 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑍; −2 ≤ 𝑥 < 6}

3) 𝑃 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑅; −2 ≤ 𝑥 < 6}

8) 𝑇 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐼; 𝑥 2 − 6 = 4}

4) 𝑇 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑄; 𝑥 2 − 6 = 4}

9) 𝐷 = {3,7,27,33}

5) 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑍; 𝑥 2 − 4 = 0}

10) 𝐸 = {1,4, 𝑒, 𝑠, 5}

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS Conjuntos equivalentes

Corresponde a los conjuntos con el mismo número cardinal, es decir cuando tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo: A = {a, b, c, d}

B = {1, a, I, alpha}

Por lo tanto A y B son conjuntos equivalentes

Conjuntos iguales

Cuando los conjuntos contienen los mismos elementos, estos conjuntos son iguales: A = { 2, 4, 6, 8, 10} B = { 4, 10, 2, 8, 6} A y B son iguales porque contienen los mismos elementos. Es bueno anotar que en un conjunto no importa el orden en que se ubiquen, por eso el conjunto B es igual que el A Conjuntos disyuntos o disjuntos

Son aquellos conjuntos que al compararlos ninguno de sus elementos son comunes. Gráficamente la intersección de dos círculos que representa a cada uno de los conjuntos no existe. Por ejemplo los conjuntos B = {2, 3, 4} y C = {6, 7, 8, 9} son conjuntos disyuntos pues no tienen ningún elemento en común y su representación gráfica sería. 6

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Conjuntos intersecantes

Son aquellos conjuntos que al compararlos algunos de sus elementos son comunes. Gráficamente la existe intersección de los círculos que representa a cada uno de los conjuntos. Por ejemplo los conjuntos B = {2, 3, 4} y C = {3, 6, 9} son conjuntos intersecantes pues tienen algún elemento en común y su representación gráfica sería. Contenencia o Inclusión

Esta relación es recíproca la relación de contenencia, se dice que un conjunto está incluido en otro cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto, en este caso de define cuando un conjunto es subconjunto de otro. La simbología que nos permite representar a un conjunto incluido en otro es:  se lee “Contiene a”  se lee “ Esta contenido”

Por ejemplo sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10} y B = { 4, 8} puesto que todos los elementos del conjunto B pertenecen al conjunto A entonces decimos que: B  A y se lee “el conjunto B está incluido en el conjunto A” o A  B y se lee “el conjunto A contiene al conjunto B”. Gráficamente observamos que:

Ejemplo:

A. Observe la gráfica, determine el tipo de relación entre los conjuntos y escriba los elementos.  A es intersecante a B  B es intersecante a C  A es intersecante a C  A esta contenido en U

A U

 B está contenido en U

B U

 C está contenido en U

C U

Los elementos del conjunto A=1, 2, 4, 6 B=2, 3, 4, 8 C=2, 5, 6, 8 y U =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

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Ejercicios propuestos

A. Determine de las siguientes expresiones cuales son verdaderas. 1) A = 

3) C=

2) B=0

4) D=

B. Sean los conjuntos A=1,2,1,2, 3,4

B=1,2

C=2,1

D=3,4

E=1,2

F=3,4 G=2, determine cuál de los ítems son verdaderos. 1) D  A

4) F  A

7) B  C

10) F  A

2) B  A

5) D  A

8) C  A

11)   A

3) G  C

6) G  E

9)   C

12) C  A

C. Observe la gráfica, determine el tipo de relación de cada uno de los conjuntos y escriba los elementos de cada conjunto.

1)

3)

2)

4)

D. Dadas las siguientes condiciones represéntelas a través de una sola gráfica 1) A intersecante a B ; B disjunto A ; C  A 2) B  A ; C  A ; B disjunto C 3) D  A ; B  C ; A disjunto B ; D disjunto C 4) A intersecante a B ; C  A y C  B 5) A intersecante a B ; C intersecante a B; A disjunto C; D  B y D disjunto de A y C

E. Dados los conjuntos siguientes, analice la relación entre cada uno de ellos y represéntelos a través de una sola gráfica. 1) 𝐷 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑁; 𝑥 2 − 1 = 0} ;

𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 4; 4 ≤ 𝑥 < 10} 𝐵 =

{𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟; 2 ≤ 𝑥 < 8} ; 𝐶 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑁; 0 < 𝑥 < 4}

U=los números dígitos

2) U=los números dígitos A=0, 1, 2, 3, 6; B=1, 2, 4, 5; C= 1, 5, 6, 7 3) U=los números dígitos A=1, 2, 3, 5, 6, 7, 8; B=2, 3, 4, 5, 6, 9; C= 1, 2; D=3, 4

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Unión

Dados los conjuntos cualesquiera A y B llamamos “unión” de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o pertenecen al conjunto B.

Simbólicamente:

A U B = { x / x  A v x B}

Gráficamente: Gráfica de la Unión

Operación en forma simbólica

Tipo de relación entre los conjuntos

AB

A es intersecante a B

AB

A es disjunto de B

AB

BA

Intersección:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos “intersección” de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y pertenecen también al conjunto B.

Simbólicamente:

A – B = {x/ x A  xB}

Gráficamente Gráfica de la Intersección

Operación en forma simbólica

Tipo de relación entre los conjuntos

AB

A es intersecante a B

AB

A es disjunto de B

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BA

AB

Diferencia:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos “diferencia” de A “menos” B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.

Simbólicamente:

A-B = {x/ x A  x B}

Gráficamente Gráfica de la diferencia

Operación en forma simbólica

Tipo de relación entre los conjuntos

A B

-

A es intersecante a B

B A

-

A es intersecante a B

A B

-

A es disjunto de B

B A

-

A es disjunto de B

A B

-

BA

-

AB

B A

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Complemento:

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos del conjunto universal que no están en el conjunto A y se denota como 𝐴𝐶 . También podemos encontrar algunas otras notaciones para el complemento del conjunto A: 𝐶𝐴 ; A'; 𝐴̅

Simbólicamente:

AC = {x/ x U  x B}

Gráficamente

Diferencia Simétrica

La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es otro conjunto que se simboliza como AB, cuyos elementos son todos los elementos de la unión de los conjuntos (A-B) y (B-A).

Simbólicamente:

AB = {x/ x (A-B)  (B-A)}

Gráficamente Gráfica de la diferencia simétrica

Operación en forma simbólica

Tipo de relación entre los conjuntos

A B

A es intersecante a B

A B

A es disjunto de B

A B

BA

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Leyes de algebra de Conjuntos

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Asociatividad:  C C)  (AC = AC) Conmutatividad:    AB = BA Distributividad:  ACC)  AC) = (C) Absorción:  A  AA Idempotencia:  A  B Identidad:   U  A  AUU A =  Complemento:  AcU Ac =  c c  (A ) = A U’=  Ley de Morgan:  (AB)c = Acc

’ = U (Ac = Acc

 A – B = Ac Algunas propiedades más 9. A  AB 10. AB  A 11. A  B  A  B Ejercicios propuestos

A. Demuestre gráficamente las leyes del algebra de conjuntos. B. Hallar en forma analítica y gráfica AB ; AB ; (A-B)(AB); (AB)-(AB) donde A y B son los conjuntos que a continuación se indican: 1) A = 1,2,3,4,5,6

B = 3,4,5,6

2) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 2}

𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅/|𝑥| > 3}

3) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑄/𝑥 2 = 5}

𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑄/𝑥 + 2 = } 2

4) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑄/𝑥 2 + 5𝑥 + 2 = 0}

5

𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅/2𝑥 − √17 + 5 = 0}

C. Dados los conjuntos U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 } A = { 4, 8, 10 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 } C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 } D = { 1, 5, 6, 10, 11 } E = { 12, 13, 14, 15 }; realice las operaciones que se indican a 12

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continuación en forma analítica y gráfica. AB

2.

3. B  C

4.

1.

5.

A  C   B

6.



C C  AC  B



B  ACC

8. ( A  D )´

9. (D  E) – A

10. E´  D

11. B  E

12. (A  B)´

13. B  A  D

14. B  E

A  C   B

16. ( E  C )´

17. (D  E) – ( B  ( A  D))

19.

21. 23.

18. A´

A  B  B  C   C  A

20. B´

 A  B  B 

22. ( C  D )´

 A  B  C   ( D  E)

24. ( B  C)´

 A  B   A   B   A  B    25. 

27.

 A  B    A  B   B  A   C

26.

 A  B    B  A 

29. ( A  B  C )



 A  B    AC  BC  

7. A  C

15.



28.

(C  A ') (C  B ')

30.

( A  B)  C '  A ' B ' C ' '  A B  C

32. ( B  C )  ( A  B  C )

31. (𝐴 ∪ 𝐷) − (𝐵 ∩ 𝐸) =

13

C

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33. ((𝐴 − 𝐶) ∪ (𝐵 − 𝐷)) ∩ ((𝐴 ∪ 𝐸) − (𝐵 ∩ 𝐷))

34. ( A ' B ' C ') '

35. ((𝐴 − 𝐵) ∪ 𝐶) − (𝐷 − 𝐸)

C 36. B  A  C



( A  C ') ( B  C ')



37. ( B  E )  D

C 38. A  B

39. ( B  ( A  D))  (C  E )

C 40. A  B  C





D. Sombrea en cada uno de los diagramas la solución que satisfaga a la operación solicitada.

S  (R  T)

L  KC

(A–B)C

(H–G)I

H  IC

(HG)I

E. Observe el gráfico y escriba la operación sombreada.

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INTERPRETACIÓN DE LAS REGIONES DE UN DIAGRAMA DE VENN Es importante identificar e interpretar a través del lenguaje común las regiones de un diagrama de Venn, puesto que nos permitirá una mejor comprensión para la solución de problema de aplicación. Gráfica

Traducción

Elementos del conjunto A

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Elementos del conjunto C

Elementos del conjunto A y B

Elementos del conjunto B y C

Elementos solo del conjunto A y B

Elementos solo del conjunto B y C

Elementos del conjunto A, B y C

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Elementos del conjunto A pero no de C

Elementos del conjunto B pero no de C

Elementos del conjunto A o C pero no de B

Elementos del conjunto B o C pero no de A

Elementos del conjunto A o C

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Elementos que no pertenece al conjunto A

Elementos solo del conjunto A

Ejercicios propuestos

A. Resolver 1) En una encuesta realizadas a mujeres casadas se obtuvieron los siguientes resultados: 150 mujeres veían películas románticas, 190 mujeres leían novelas de misterios, 160 mujeres escuchaban música para meditar y un grupo mujeres preferían ver telenovelas, además de estos datos algunas de las damas anexaron lo siguiente: 90 mujeres preferían ver películas románticas y leer novelas de misterio, 75 mujeres disfrutaban de escuchar música y leer novelas de misterio, 68 mujeres veían películas románticas y escuchaban música para meditar, 30 veían tanto películas románticas, escuchaban música para meditar y leían novelas de misterio, 15 veían telenovelas y leían novelas de misterio. ¿Cuántas mujeres veían telenovelas si el grupo encuestado era de 350 mujeres?

2) En una escuela de preparatoria con dos turnos de trabajo, la planta docente de ambos turnos tiene los siguientes datos: 19 profesores de Biología, 30 profesores de Química, 15 profesores de Física, 24 profesores de Matemáticas y 19 profesores de Inglés; algunos maestros enseñan otras materias y he aquí los datos: 8 profesores enseñan tanto Biología como Química, 9 profesores enseñan tanto Física como Química, 10 profesores de Matemáticas enseñan también Química y 9 profesores de Inglés también imparten la materia de Matemáticas. Si existen 230 profesores de otras asignaturas ¿Qué cantidad de 18

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profesores hay en ambos turnos? ¿Cuántos profesores imparten a lo más una asignatura?

3) En un estudio realizado en 24 municipios de nuestro país se encontró la siguiente información, 20 especies de serpientes arbóreas, 24 especies de serpientes son terrestres, 24 especies de serpientes son de agua, 19 especies de serpientes son venenosas, además algunas especies de serpientes presentan algunas de las siguientes características: 6 especies arbóreas también terrestres, 10 especies que son acuáticas también son arbóreas, 4 especies arbóreas son terrestres y también son acuáticas, 9 especies de las serpientes terrestres también son acuáticas, 3 especies que son terrestres también son acuáticas y son venenosas, 6 especies terrestres son también son venenosas, 8 especies de serpientes que son acuáticas también son venenosas ¿Cuántas especies estudian los expertos?

4) En una encuesta realizada a 150 personas sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se encontró el siguiente resultado: 

82 consumen el producto A.



54 consumen el producto B.



50 sólo consumen el producto A.



30 sólo consumen el producto B.



El número de personas que consumen sólo B y C es la mitad de las personas que consumen sólo A y C.



El número de personas que consumen sólo A y B es el triple de las personas que consumen los tres productos.



El número de personas que no consumen los productos mencionados son tantos como los que consumen sólo C.

Determinar: a) El número de personas que consumen sólo dos de los productos. b) El número de personas que no consumen A, B ni C. c) El número de personas que por lo menos consumen uno de los productos.

5) Un club consta de 78 personas; de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 vóley. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces: a) ¿Cuántas personas practican sólo un deporte? b) ¿Cuántas personas practican sólo dos deportes? c) ¿Cuántas personas practican al menos dos deportes? d) ¿Cuántas personas practican como máximo dos deportes? 19

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6) En un Congreso Internacional de Medicina, se debatió el problema de la Eutanasia, planteándose una moción: a) 115 europeos votaron a favor de la moción b) 75 cardiólogos votaron en contra c) 60 europeos votaron en contra d) 80 cardiólogos votaron a favor. Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras especialidades y no hubo abstenciones. ¿ Cuántos médicos participaron en el congreso?.

7) Se hizo una encuesta a 160 alumnos de la UNACH sobre la preferencia de 4 carreras profesionales: Ingeniería de Sistemas (S), Enfermería (E), Comunicación Social (C) y Biología en Acuicultura (B), obteniéndose los siguientes datos: 

Ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B).



22 sólo con (S)



20 sólo con (E)



20 sólo con (C)



20 con (S) y (B) pero no con (E)



6 sólo con (C) y (E)



4 con (S) y (C)



24 con (B) y (E)



28 sólo (B).

¿Cuántos prefieren sólo (S) y (E), si a todos por lo menos les gusta una carrera profesional?

8) Suponga que los brevetes sólo se consiguen legalmente, los que tienen brevete profesional saben mecánica mientras que los que tienen brevete particular sólo están autorizados a manejar automóviles y así lo hacen. Si tienen los siguientes datos referentes a un grupo de personas: 

21 no tienen brevete profesional o no manejan camiones.



13 saben encender un vehículo pero no tienen brevete.



8 saben manejar vehículos pero no tienen brevete.



2 saben mecánica y manejan camiones. El mismo número sabe manejar vehículos pero no maneja camiones ni tiene brevete.



11 no tienen brevete profesional y no manejan camiones.



3 tienen brevete particular.

Además, téngase en cuenta que los que saben mecánica tienen brevete profesional. 20

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Se pregunta lo siguiente: 

¿Cuántos son en total?.



¿Cuántos no tienen brevete?.



¿Cuántos cometen infracción de manejar vehículos sin tener brevete?.



¿Cuántos saben encender un vehículo pero no manejarlos?.

9) De una muestra aplicada a 92 turistas, se obtuvo la siguiente información: 

30 eran Mexicanos



40 eran Españoles



50 eran músicos de los cuales: 13 hablan inglés o francés pero no ambos idiomas; dos hablan francés y alemán pero no inglés. ¿Cuántos hablan un sólo idioma?

10) En un avión hay 9 jóvenes, 5 niños ecuatorianos, 9 hombres, 7 jóvenes extranjeros, 14 ecuatorianos, 6 ecuatorianos varones, y 7 mujeres extranjeras. a) ¿Cuál es el número de personas del avión? b) ¿Cuántos son solamente ecuatorianos?

11) La tabla siguiente muestra la distribución de personas según hábito de fumar, padecer bronquitis, y presión sistólica. HABITO DE FUMAR SI NO Presión Sistólica Presión Sistólica Bronquitis ALTA NORMAL ALTA NORMAL SI 400 300 150 100 NO 200 50 40 30 a) Determine el número de personas que fuman o tienen bronquitis b) De las personas fumadoras; ¿cuántas tiene presión sistólica normal o tienen bronquitis? c) De las personas con bronquitis; ¿cuántas tiene presión sistólica alta o son fumadoras?

12) En una escuela que tiene 415 alumnos, 221 estudian inglés, 163 estudian francés y 52 estudian ambas lenguas. ¿Cuántos

alumnos estudian inglés o francés?, ¿Cuántos

alumnos no

estudian ninguna de las dos lenguas?

13) Una población consume tres tipo de jabón : A, B y C. Hecha una investigación de mercado , 21

Escuela de Diseño Gráfico

Matemática

conociéndose los resultados la tabla siguiente, Marca A B C A y B B y C C y A A, B y C Ninguna de la tres Nº de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115

Responda: a) El número de personas consultadas b) El número de personas que sólo consumen la marca A c) El número de personas que no consumen las marcas A o C. d) El número de personas que consumen al menos dos marcas.

14) En una cierta comunidad hay individuos de tres razas: blanca , negra, y amarilla. Sabiendo que 70 son blancos, 350 son negros y 50% son de raza amarilla, responda: a) ¿Cuántos individuos tiene la comunidad? b) ¿Cuántos individuos son de raza amarilla?

15) Si A es el conjunto de los pacientes con "tifoidea" y B es el conjunto de pacientes con "áscaris". Exprese las siguientes expresiones verbales como operaciones de los conjunto A y B. a) El paciente tiene sólo una de las dos enfermedades. b) El paciente tiene al menos una de las dos enfermedades. c) El paciente no tiene las enfermedades descritas. d) El paciente tiene sólo tifoidea.

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