Guía Ejercicios De Polinomios 5p27n

EJERCICIOS DE POLINOMIOS Licenciado Julio Cordero 1.- Sean los polinomios: A(x) = 6x5 - 4x4 - 4x3 - 2x2 + 3x + 8 B(x) = 5x5 + 4x4 - 3x3 - 2x2 + 5x - 8 C(x) = - 8x6 + 4x5 + 3x4 - 3x3 + 4 Hallar: 1. A(x) + B(x) 2. A(x) - C(x) 3. A(x) - B(x) + C(x) 4. A(x) + B(x) - C(x) 5. A(x) - B(x) - C(x) 6. - A(x) + B(x) - C(x) 2.- Sean los polinomios: A(x) = 3/5 x5 - 1/6 x4 + 2x3 + 1/3 x + 8 B(x) = 2/3 x4 + 1/5 x3 - 3/5 x2 + 1/4 x - 2/3 C(x) = 1/4 x5 - 3x3 - 1/2 x2 - 3/4 x + 1/2 Hallar: 1. A(x) + B(x) + C(x) 2. A(x) - B(x) + C(x) 3. A(x) - B(x) - C(x) 4. 2A(x) + 3B(x) - 2C(x) 5. 3A(x) - 2B(x) + C(x) 6. 4A(x) - B(x) + 2C(x) 7. 4A(x) - 3B(x) + 5C(x) 8. A(x) - 4B(x) - 2C(x) 3.- Efectúa las siguientes multiplicaciones de polinomios. Sean los polinomios: A(x) = x5 - 2x4 + 3x3 + 5x2 - 9x + 2 B(x) = x2 - 2x + 3 C(x) = 2x3 + 5x2 - 4x - 1 D(x) = 4x2 + 3x - 2 Hallar: 1. [A(x)] 2. [A(x)] 3. [A(x)] 4. [A(x)] 5. [A(x)] 6. [A(x)] 7. [A(x)]

[B(x)] [C(x)] [D(x)] [B(x) + C(x)] [B(x) - C(x)] [B(x) - D(x)] [B(x) - C(x) - D(x)]

2 4.- Efectúa las siguientes multiplicaciones de polinomios. Sean los polinomios: A(x) = x7 - 2/3 x6 + 1/4 x5 + 2/3 x4 - 2/3 x2 + 5x - 1/4 B(x) = x2 - 2x - 3 C(x) = x2 + 1/2 x - 5/3 D(x) = 1/3 x3 - 1/2 x2 + 2/5 x - 4 Hallar: 1. [A(x)] 2. [A(x)] 3. [A(x)] 4. [A(x)] 5. [A(x)]

[B(x)] [C(x)] [D(x)] [B(x) + C(x)] [B(x) - C(x) + D(x)]

5.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios. Sean los polinomios: A(x) = 4x5 - 3x4 + 2x3 - 5x + 1 B(x) = x2 - x + 1 C(x) = x2 - 5x - 3 D(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 E(x) = x3 + 5x + 4 Hallar: 1. [A(x)] 2. [A(x)] 3. [A(x)] 4. [A(x)] 5. [A(x)]

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[B(x)] [C(x)] [D(x)] [E(x)] [B(x) - C(x)]

6.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios. Sean los polinomios: A(x) = x5 - 3x4 + 2x2 + 3x - 4 B(x) = 2x2 - 3x + 5 C(x) = 3x2 + 4x + 2 D(x) = 5x3 - 2x2 + 5x + 3 Hallar 1. [A(x)] / [B(x)] 2. [A(x)] / [C(x)] 3. [A(x)] / [D(x)] 7.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios. Sean los polinomios: A(x) = 3x5 - 2x4 + 5x3 - 2x2 + 3x - 1 B(x) = 2x2 + 3x - 5 C(x) = 3x2 - 2x + 1 D(x) = 4x3 - 2x2 + 5

3 Hallar 1. [A(x)] / [B(x)] 2. [A(x)] / [C(x)] 3. [A(x)] / [D(x)] 8.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios. Sean los polinomios: A(x) = 1/2 x5 + 2/3 x4 - 1/4 x3 + x2 + 5x - 3/4 B(x) = 2x2 + 1/2 x - 3 C(x) = 1/3 x2 - 3/4 x + 1/5 D(x) = 2/3 x3 + 1/2 x2 + 3/4 x - 1/5 Hallar 1. [A(x)] / [B(x)] 2. [A(x)] / [C(x)] 3. [A(x)] / [D(x)] 9.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios aplicando la Regla de Ruffini. Sean los polinomios: A(x) = x6 - 2x5 + 3x4 - 2x3 + 5x - 8 B(x) = x + 1 C(x) = x - 2 D(x) = x + 3 Hallar 1. [A(x)] / [B(x)] 2. [A(x)] / [C(x)] 3. [A(x)] / [D(x)] 10.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios aplicando la Regla de Ruffini. Sean los polinomios: A(x) = x7 – x5 + x3 - x + 1 B(x) = x - 5 C(x) = x + 3 D(x) = x + 1 Hallar 1. [A(x)] / [B(x)] 2. [A(x)] / [C(x)] 3. [A(x)] / [D(x)] 11.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios aplicando la Regla de Ruffini. Sean los polinomios: A(x) = 1/2 x6 + 3/5 x5 - 2x4 - 1/3 x3 + 2x2 - x + 1/2 B(x) = x + 2 C(x) = x - 2 D(x) = x + 3

4 Hallar 1. [A(x)] / [B(x)] 2. [A(x)] / [C(x)] 3. [A(x)] / [D(x)] 12.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios aplicando la Regla de Ruffini. Sean los polinomios: A(x) = 2/5 x5 - 1/3 x4 + 3/2 x3 + 1/4 x - 3/8 B(x) = x - 1/2 C(x) = x + 1/3 D(x) = x + 2/3 E(x) = x + 3/4 Hallar 1. [A(x)] 2. [A(x)] 3. [A(x)] 4. [A(x)]

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[B(x)] [C(x)] [D(x)] [E(x)]

TEOREMA DEL RESTO Si C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división de un polinomio cualquiera P(x) entre el binomio (x–a), aplicando el algoritmo de la división: P(x) = C(x) · (x – a) + R(x) Luego, el valor numérico de P(x), para x = a, es igual al resto de su división entre (x – a), es decir: P(a) = C(a) · (a – a) + R(a) = R(a) Y este resultado se conoce como teorema del resto. Este teorema nos permite averiguar el resto de la división de un polinomio P(x) entre otro de la forma (x– a), sin necesidad de efectuar esta división. De este teorema se deduce que un polinomio P(x) es divisible por (x – a) si y sólo a es una raíz del polinomio, es decir, si y sólo si P(a) = 0. Así, por ejemplo, el resto de la división de P(x) = x 3 + 3x 2 – 7x – 3 entre (x – 2) es: P(2) = (2)3 + 3 · (2)2 – 7 · (2) – 3 = 3 De donde se deduce que esa división no es exacta y, por tanto, (x – 2) no es un divisor de P(x).

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Teorema del factor El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0. Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x). Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio. Ejercicios Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican: 1. (x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3) (x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0. P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0 (x − 3) no es un factor. 2. (x6 − 1) tiene por factor (x + 1) (x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0. P(−1) = (−1)6 − 1 = 0 (x + 1) es un factor. 3. (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0. P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0 (x − 1) es un factor. 4. (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2) (x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0. P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0 (x + 2) es un factor.

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Calculo las raíces del polinomio: Q(x) = x2 − x − 6 Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3. Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0 Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0 Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0 Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 +2 +6 = 0 Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0 x = −2 y x = 3 son las raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − x − 6, porque P(−2) = 0 y P(3) = 0. P(x) = (x + 2) · (x − 3)