Taller 2 Sólidos 5f425p

TALLER 2 1. a) Calcule y grafique la frecuencia normalizada por tamaño de intervalo (equivalente a la función de densidad de probabilidad). Estime el tamaño modal y el promedio de partícula. Para facilidad de los cálculos, se usó una base de cálculo de 100 g de muestra tamizada. Usando las tablas de tamaños de malla de serie Tyler, se hallaron los valores de tamaños de partícula en cada tamiz y en base a los 100 g de muestra se hallaron las frecuencias:

Frecuencia ( f k ) =

mk mt

Para cada masa de la especie k. Para hallar la frecuencia normalizada por tamaño de intervalo, se sigue la siguiente ecuación:

Frecuencia Normalizada ( f N , k )=

Donde

fk ∆ D A ,k

∆ D A ,k es el tamaño del intervalo del diámetro de malla para la especie k. Con estos

datos se realizó la tabla: Tamaño de partícula (mm)

Frecuencia

Frecuencia Normalizada

5,75

0,035

0,0177

4,06

0,15

0,1071

2,87

0,275

0,2806

2,03

0,235

0,3357

1,45

0,16

0,3265

1,02

0,091

0,2607

0,72

0,034

0,1382

0,549

0,02

0,21

Con los datos de esta tabla, se graficó la frecuencia normalizada:

Frecuencia Normalizada en función del tamaño de partícula 0.4 0.35 0.3 0.25 Frecuencia Normalizada

0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 Tamaño de Partícula (mm)

Dónde: Tamaño modal ≈ 1,75 mm y

Promedio de partícula≈2,32 mm (línea azul)

b) Grafique la función de masa acumulada y estime la mediana del tamaño de partícula. ¿Son estos diámetros estadísticamente diferentes? Discuta brevemente (<150 palabras) sus resultados. Masa en tamiz 3,5 15 27,5 23,5 16 9,1 3,4

Masa acumulada (undersize) 1 0,965 0,815 0,54 0,305 0,145 0,054

2

0,02

Masa acumulada en función del diámetro de partícula (Undersize)

Masa acumulada

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 Diámetro de partícula (mm)

L a masa acumulada fue la suma de las masas hasta ese tamiz dividido la masa total. La función de masa acumulada:

Donde la mediana≈1,9mm. c) Ajuste la distribución de tamaño de partícula a la ecuación de Gaudin-Andreyev-Schuhmann.

−d ∆ x =a∗Db dD

donde Δx es la fracción de masa acumulada y D él tamaño (diámetro) de

partícula. Reporte a y b, represente el ajuste gráficamente y discuta brevemente (<150 palabras) su calidad. d) Qué se puede decir sobre la distribución de tamaño de partículas menores a malla 28 a partir del modelo ajustado? (<150 palabras) . e) Estime el diámetro medio de Sauter.

2. a) Ajuste los datos de tamizado del punto anterior a la distribución empírica de Rosin-Rammler,

x=1−exp ⁡(−a∗D b ) , donde x es la fracción de masa acumulada, D el tamaño (diámetro) de partícula, y a y b constantes empíricas. Reporte a y b, represente el ajuste gráficamente y discuta brevemente (<150 palabras) su calidad.b) Discuta brevemente (<150 palabras) cuál de los dos modelos representa mejor los datos del tamizado. Para hallar a y b, se “linealiza” la ecuación , al igual que la ecuación de Gaudin-AndreyevSchuhmann , para llegar a una expresión que permita hallar las constantes empíricas a partir de una gráfica: b

x=1−e(−a D ) b

ln ( 1−x )=ln (e (−a D )) ln (−ln ( 1−x ) )=bLnD+ Lna Por lo que, se grafican los términos sin tener en cuenta cuando x=1: ln (−ln (1−x) )

LnD

1,20967866

1,40118297

0,52318856

1,05431203

-0,25292156

0,70803579

-1,01103163

0,37156356

-1,85371694

0,01980263

-2,89114328

-0,32850407

-3,90193866

-0,59965684

Graficando estos valores, se obtiene la siguiente gráfica :

2

-1 ��(−��(1−�))

1 - 2.11 f(x) = 2.51x R² = 0.99 0 -0.5 0 -1

0.5

1

1.5

-2 -3 -4 -5 Ln(D)

De donde se obtienen: a= 0,121359 y b=2,507 Para el ajuste del modelo, se calcula la fracción de masa acumulada en función del diámetro: Diámetro de partícula 5,75

Fracción de Masa acumulada 0,99993986

4,06

0,98293099

2,87

0,81841135

2,03

0,51133836

1,45

0,26512161

1,02

0,11973823

0,72

0,05186693

0,549

0,02662763

2

Masa acumulada en función del diámetro de partícula usando la distribución de Rosin-Rammler 1.2 1 0.8 Fracción de masa acumulada

0.6 0.4 0.2 0 0

1

2

3

4

5

6

Diámetro de partícula (mm)

Y la gráfica:

Para verificar la calidad de la distribución, se puede observar el siguiente gráfico:

Comparación de tamizado y distribución de Rosin-Rammler 1.2 1 0.8 Masa acumulada

0.6 0.4 0.2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

Diámetro de partícula (mm)

En esta gráfica, se puede observar que la distribución empírica de Rosin Rammler ajusta de manera casi idéntica a los valores del tamizado, salvo por ciertos tamaños, por ejemplo D=1,45 mm , el modelo varía un poco del comportamiento real, sin embargo sigue siendo un buen ajuste a los datos obtenidos verificando con el valor de R2 de 0,9901 , muy cercano a 1. b) Discuta brevemente (<150 palabras) cuál de los dos modelos representa mejor los datos del tamizado. En base a las curvas de masa acumulada “ajustada” de cada modelo, se puede afirmar que el modelo que mejor representa los datos es el modelo de Rosin-Rammler, ya que su proximidad a los datos reales es muy alta, además de que el modelo de Gaudin-Andreyev-Schuhmann difiere en gran medida de estos valores, de hecho, la curva de masa acumulada con éste modelo es completamente diferente de la real.