5 - Lista De Dinâmica Ii xk5e

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL – PECC/UNB

DINÂMICA DAS ESTRUTURAS II 8° Lista

Aluno: Iarly Vanderlei da Silveira Matricula: 16/0170516

Brasília, 05/10/2017

1- Baseado na formulação e desenvolvimentos feitos em classe sobre as frequências naturais e modos de vibração para sistemas contínuos sob os efeitos de flexão, esforçonormal, cisalhamento e rotação. Efetuar um estudo paramétrico (a partir das expressões e 𝜏𝑖 ) que leve em consideração os principais parâmetros envolvidos (m e r/L), para uma viga apoiada-apoiada. Verificar a possibilidade de outras formas de representação destes resultados. Discutir e apresentar interpretações sobre as tendências observadas. A solução deste exercício foi baseada no estudo paramétrico e comparativo para uma viga biapoiada da apostila da disciplina de Dinâmica das Estruturas II do professor Lineu Pedroso. O objetivo do estudo paramétrico é observar a influência das diversas parcelas constituintes dos modelos teóricos, variando os parâmetros geométricos da viga e analisando a influência destes nos modos de vibração. As equações referentes a esse estudo são: 𝜔 𝑓+𝑟+𝑐 1 𝜏1 = =√ 𝑓 2 2 2 ∙ 𝑟 2 ∙ 𝛾) 𝜔 1 + (𝛽𝑚 ∙ 𝑟 + 𝛽𝑚

(1)

𝜔 𝑓+𝑟 1 √ 𝜏2 = = 2 ∙ 𝑟 2) 𝜔𝑓 1 + 𝛽𝑚

(2)

𝜔 𝑓+𝑐 1 𝜏3 = =√ 𝑓 2 𝜔 1 + 𝛽𝑚 ∙ 𝑟 2 ∙ 𝛾)

(3)

A equação (1) inclui os efeitos da flexão, cisalhamento e rotação, a equação (2) inclui os efeitos da flexão e rotação e a equação (3), os efeitos de flexão e cisalhamento. Onde: 𝑚𝜋 𝐿

(4)

𝐸 𝐾′ ∙ 𝐺

(5)

𝛽𝑚 =

𝛾=

𝐼 𝐴

(6)

𝑏ℎ3 ℎ2 = 12𝑏ℎ 12

(7)

𝑟2 =

Para uma seção retangular: 𝑟2 =

Substituindo as equações (4), (5), (6), (7) nas equações (1), (2) e (3).

𝜏1 =

𝜔 𝑓+𝑟+𝑐 1 =√ = 𝑓 2 𝜔 1 + 𝛽𝑚 ∙ 𝑟 2 ∙ (1 + 𝛾) √

𝜏2 =

𝜏2 =

𝜔 𝑓+𝑟 1 =√ =√ 𝑓 2 ∙ 𝑟2 𝜔 1 + 𝛽𝑚

1 𝑚𝜋 ℎ2 1 + ( 𝐿 ) ∙ 12 ∙ (1 + 𝛾) 2

1 𝑚𝜋 2 ℎ2 1 + ( 𝐿 ) ∙ 12

𝜔 𝑓+𝑐 1 =√ = 𝑓 2 𝜔 1 + 𝛽𝑚 ∙ 𝑟 2 ∙ 𝛾) √

1 𝑚𝜋 2 ℎ2 1 + ( 𝐿 ) ∙ 12 ∙ 𝛾

Os dados escolhidos para o problema são: 𝐸 = 30 𝐺𝑃𝑎 𝑣 = 0.25 𝐺=

𝐸 30 ∙ 109 = = 12𝐺𝑃𝑎 2 ∙ (1 + 𝑣) 2 ∙ (1 + 0.25) 𝐾′ =

5 6

Logo: 𝛾=

𝐸 30 = =3 𝐾′ ∙ 𝐺 5 ∙ 12 6

m =1 1

0,8 𝜏1 0,6

𝜏

𝜏2 𝜏3

0,4

0,2

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

h/L

m =2 1

0,8 𝜏1 0,6

𝜏

𝜏2 𝜏3

0,4

0,2

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

h/L

0,6

0,7

0,8

0,9

1

m=3 1

0,8 𝜏1 0,6

𝜏

𝜏2 𝜏3

0,4

0,2

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

h/L

Sabendo que 𝜏1 refere-se aos efeitos da flexão, cisalhamento e rotação, o 𝜏2 refere-se os efeitos de flexão e rotação, e o 𝜏3 incorpora os efeitos de flexão e cisalhamento. Observa-se pelos gráficos acima que a relação entre altura e a largura da seção tem uma influência significativa na obtenção das frequências naturais da estrutura quando considera os efeitos combinados da flexão, cisalhamento e rotação. Consta também que a influência dos efeitos da rotação e flexão é maior que os demais. Estudando o caso com a variação 𝛾, ou seja variando o material e comparando com o estudo anterior. Observa-se que para 𝛾 = 1, os efeitos de flexão e cisalhamento são iguais aos efeitos de flexão e rotação, e a medida que aumenta-se os valores para 𝛾 aumenta-se a influência dos efeitos na estrutura.

𝛾 =3 1

0,8 𝜏1 0,6

𝜏

𝜏2 𝜏3

0,4

0,2

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

mh/L

0,6

0,7

0,8

0,9

1