15 - Lista De Dinâmica Ii.pdf 371ok

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL – PECC/UNB

DINÂMICA DAS ESTRUTURAS II 15° Lista

Aluno: Iarly Vanderlei da Silveira Matricula: 16/0170516

Brasília, 28/11/2017

1- Calcular as frequências naturais de uma placa pelo método aproximado e comparar os resultados com o método exato. Placas são elementos estruturais simétricos em relação a um plano médio, cuja dimensão normal a esse plano, chamada espessura, é pequena em relação às demais. As hipóteses itidas na teoria clássica para a flexão de placas são: 

Material elástico seguindo a lei de Hooke;



Pequena espessura da placa;



Pequena deformações e deslocamentos;



Deslocamentos horizontais desprezíveis dos pontos do plano médio;



Retas normais a esse plano da placa permanecem normais a esse plano após a deformação (Hipótese de Navier).

A seguir ilustra as tensões atuantes em uma placa de espessura "t" e dimensões "dx" e "dy" sujeita a um carregamento dinâmico p(x,y,t) uniformemente distribuído em toda a área (Figura 1).

Figura 1: Elemento infinitesimal da placa

A partir das condições de equilibro dos esforços solicitantes chega-se na equação diferencial do movimento das placas. 𝜕 4𝜔 𝜕4 𝜕 4𝜔 1 𝜕 2𝜔 + 2 2 2 + 4 = (𝑞 − 𝑚 ̅ 2) 𝜕𝑥 4 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝐷 𝜕𝑡

(1)

Onde D é a rigidez flexural, 𝜌 é a densidade de massa por unidade de área da placa, t é o tempo e q o carregamento dinâmico. Para os casos de vibração livre, a força externa q é zero, e a equação diferencial para o movimento dinâmico fica: 𝜕 4𝜔 𝜕4 𝜕 4𝜔 1 𝜕 2𝜔 + 2 + + (𝑚 ̅ )=0 𝜕𝑥 4 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 4 𝐷 𝜕𝑡 2

(2)

Assumindo uma vibração harmônica, podemos escrever que: 𝜔(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑊(𝑥, 𝑦) ∙ 𝜃(𝑡)

(3)

𝜃(𝑡) = sin⁡(𝜔𝑡)

(4)

Sendo:

Investigando a solução da equação (2) na forma descrita em (3), tem-se que: 𝑊(𝑥) = X(x) ∙ Y(y)

(5)

Onde W(x,y) é uma função de forma que descreve os modos de vibração e 𝜔 é a frequência natural da placa. Substiuindo a equação (5) em (3) e em seguida esta última na equação 2, chega-se no seguinte resultado: X

′′′′

′′ ′′

∙ Y + 2X Y + XY

′′′′

𝑚 ̅ 𝜔2 − 𝑋𝑌 = 0 𝐷

(6)

Solução da equação (6) depende das condições de contorno, para uma placa simplesmente apoiada, a solução foi encontrada por Szilard ( ) a partir da dupla série de Fourier e com a solução correspondente de Navier, sendo:

ω𝑚𝑛

𝑚 2 𝑛2 𝐷 2 = 𝜋 [ 2 + 2] √ 𝑎 𝑏 𝑚 ̅

(7)

Para diferentes condições de contorno, a solução pode ser formulada e adaptada pela equação (7) retirada do livro do Blenvis (1979): 𝜆2𝑖𝑗 𝐷 = 2√ 𝑎 𝑚 ̅

(8)

Eh3 D= 12(1 − 𝑣 2 )

(9)

ω𝑚𝑛

Sendo:

Pode-se efetuar essa mesma análise pelo método aproximado que determina a frequência natural da placa pela utilização de duas vigas equivalente para cada direção, aproximando a frequência da placa como sendo a soma de frequência de cada uma das vigas (Equação 10): ω𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = ω𝑥 + ω𝑦

(10)

A equação para essas frequências está disposta também no livro do Blenvis, sendo apresentadas nas equações (11) e (12). 𝜆2𝑖 𝐸𝐼 ω𝑥 = 2 ∙ √ 𝑎 𝑚

(11)

𝜆2𝑖 𝐸𝐼 ω𝑦 = 2 ∙ √ 𝑏 𝑚

(12)

Considerando uma placa com dimensões e as propriedades apresentadas abaixo e estudando esses dois métodos apresentados, tem-se que:

E A

E

A

Figura 2: Ilustração das condições de contorno da placa estudada As propriedades são apresentadas na tabela 1. Tabela 1: Propriedades do material da placa e da geometria Propriedades do material e geométrica da placa E

20 GPa

𝜈

0.2

𝑚 ̅

(2400 kg/m3) x 0.1 = 240 kg/m2

a

6m

b

4m

h

0.10 m



Método exato:

De acordo com o livro do Blenvis para a condição de contorno analisada e para a relação das dimensões da placa (a/b = 1.5) retira-se o valor de lambda e substitui na equação (8) para determinar a frequência da placa.

ω𝑚𝑛

𝜆2𝑖𝑗 𝐷 = 2√ 𝑎 𝑚 ̅

Eh3 20 ∙ 109 ∙ 0.103 D= = = 1.8315 ∙ 106 12(1 + 𝑣 2 ) 12 ∙ (1 − 0.32 )

ω11 =

44.89 1.8315 ∙ 106 √[ ∙ ] = 108⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 62 240

ω21 =

76.55 1.8315 ∙ 106 √[ ∙ ] = 185.75⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 62 240

ω12 =

122.3 1.8315 ∙ 106 √[ ∙ ] = 296.77⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 62 240

ω31 =

129.4 1.8315 ∙ 106 √[ ∙ ] = 313.99⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 62 240

ω22 =

152.6 1.8315 ∙ 106 √[ ∙ ] = 370.30⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 62 240

ω41 =

202.7 1.8315 ∙ 106 √[ ∙ ] = 491.87⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 62 240

(8)

(9)



Método Aproximado

A solução analítica para a frequência de uma engastada-apoiada situada no eixo y é: 𝜆2𝑖 𝐸𝐼 ω𝑥 = 2 ∙ √ 𝑎 𝑚 Onde: 𝜆1 = 3,92660231 𝜆2 = 7,06858275 𝜆3 = 10.21017612 𝜆4 = 13,35176878 Substituindo os valores acima em (11): 3,926602312 20 ∙ 109 ∙ 1 ∙ 0.13 ω1 = ∙√ = 35.690⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 62 12 ∙ 240

ω2 =

7,068582752 20 ∙ 109 ∙ 1 ∙ 0.13 𝑟𝑎𝑑 √ ∙ = 115,659⁡ 2 6 12 ∙ 240 𝑠

ω3 =

10.210176122 20 ∙ 109 ∙ 1 ∙ 0.13 𝑟𝑎𝑑 √ ∙ = 241,342 62 12 ∙ 240 𝑠

13,351772 20 ∙ 109 ∙ 1 ∙ 0.13 𝑟𝑎𝑑 ω4 = ∙√ = 412.66 2 6 12 ∙ 240 𝑠

(11)

A solução analítica para a frequência de uma engastada-apoiada situada no eixo x é: 𝜆2𝑖 𝐸𝐼 ω𝑥 = 2 ∙ √ 𝑎 𝑚 Onde: 𝜆1 = 3,92660231 𝜆2 = 7,06858275 𝜆3 = 10.21017612 𝜆4 = 13,35176878 Substituindo os valores acima em (11):

ω1 =

3,926602312 20 ∙ 109 ∙ 1 ∙ 0.13 ∙√ = 80,303⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 42 12 ∙ 240

7,068582752 20 ∙ 109 ∙ 1 ∙ 0.13 𝑟𝑎𝑑 √ ω2 = ∙ = 260,239⁡ 42 12 ∙ 240 𝑠

ω3 =

10.210176122 20 ∙ 109 ∙ 1 ∙ 0.13 𝑟𝑎𝑑 ∙√ = 542,93 2 4 12 ∙ 240 𝑠

ω4 =

13,351772 20 ∙ 109 ∙ 1 ∙ 0.13 𝑟𝑎𝑑 √ ∙ = 928.24 42 12 ∙ 240 𝑠

(11)

Somando as frequências de cada eixo, obtém-se: ω11 = (𝜔1 )𝑦 + (𝜔1 )𝑥 = 35.690 + 80,30 = 105,99⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 ω21 = (𝜔2 )𝑦 + (𝜔1 )𝑥 = 115,659 + 80,30 = 195,959⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 ω12 = (𝜔1 )𝑦 + (𝜔2 )𝑥 = 35.690 + 260,239 = 295,930⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠 ω31 = (𝜔3 )𝑦 + (𝜔1 )𝑥 = 241,342 + 80,30 = 321,642

𝑟𝑎𝑑 𝑠

ω22 = (𝜔2 )𝑦 + (𝜔2 )𝑥 = 115,659 + 260,239 = 375,90 ω41 = (𝜔4 )𝑦 + (𝜔1 )𝑥 = 412,66 + 80,30 = 492,96

𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝑟𝑎𝑑 𝑠

Por fim, comparou-se os dois métodos estudados neste trabalho e verificou-se que os resultados do método aproximado que utiliza a repartição da placa em vigas muito próximo do método exato que adota a teoria de placas descrita na introdução deste trabalho. Observou-se que apenas uma frequência teve um erro acima de 5 %, enquanto que as demais tiveram erros insignificantes. Método exato

Método aproximado

Erro (%)

ω11

108,0

105,99

1,86

ω21

185,75

195,959

5,5

ω12

296,77

295,930

0,28

ω31

313.99

321,642

2,43

ω22

370,30

375,90

1,52

ω41

491.87

492,96

0,22