Actividad Nº 2 (1).docx 67334t

ACTIVIDADES Nº 2

Capitulo 4

Ejercicio 4.1 En el ejercicio 3.13 de la página 92 se presenta la siguiente distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones que hay en cada 10 metros de una tela sintética, en rollos continuos de ancho uniforme

X

0

1

2

3

4

F(x)

0.41

0.37

0.16

0.05

0.01

Calcule el número promedio de imperfecciones que hay en cada 10 metros de esta tela. ∪ = ∈ (x) = ∑ x f(x) x

∪ = 0 f(0) + 1 f(1) + ⋯ + 4 f(4) ∪ = 0 (0.41) + 1 (0.37) + 2 (0.16) + 3(0.05) + 4 (0.01) ∪ = 0.88

Ejercicio 4.12 Si la utilidad para un distribuidor de un automóvil nuevo, en unidades de $5000, se puede ver como una variable aleatoria X que tiene la siguiente función de densidad

Calcule la utilidad promedio por automóvil. ∞

∪ = ∈ (x) = ∫ x f(x)dx −∞

1

∪ = ∫ x (2 (1 − x))dx 0 1

1

∪ = ∫ 2x dx − ∫ 2x 2 dx 0

0

2x 3 1 ∪= x − | 3 0 1 ∪= 3 2

1

5000 ( ) = 1.666 3

Ejercicio 4.14 Calcule la proporción X de personas que se podría esperar que respondieran a cierta encuesta que se envía por correo, si X tiene la siguiente función de densidad

∞

∪ = ∈ (x) = ∫ x f(x)dx −∞

1

∪ = ∫0 x ( 1 2x2

∪ = ∫0

∪= ∪=

2x3 4

2 4

∪ = 0.5

5

2(x+2)

) dx

5

1

− ∫0 4x dx

1 − 4x | 0

Ejercicio 4.34

Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:

X

-2

3

5

f(X)

0.3

0.2

0.5

Calcule la desviación estándar de X. μ = ∈ (x) =

∈ x F(x) x

μ = (2)(0.3) + (3)(0.2) + (5)(0.5) μ = 3.70 σ2 = ∈ (x) − μ2 σ2 = (2)2 (0.3) + (3)2 (0.2) + (5)2 (0.5) − (3.70)2 σ2 = 1.81 → σ = 1.34

Ejercicio 4.35 La variable aleatoria X, que representa el número de errores por 100 líneas de código de programación, tiene la siguiente distribución de probabilidad: X

2

3

4

5

6

f(X)

0.01

0.25

0.4

0.3

0.04

Utilice el teorema 4.2 de la página 121 para calcular la varianza de X. σ2 = ∑x 2 f (x) −μ2 = E (X 2) −μ2 μ = ∈ (x) =

∈ x F(x) x

μ = (2)(0.01) + (3)(0.25) + (4)(0.4) + (5)(0.3) + (6)(0.4) μ = 4.11

σ2 = ∈ (x) − μ2 σ2 = (2)2 (0.01) + (3)2 (0.25) + (4)2 (0.4) + (5)2 (0.3) + (6)2 (0.4) − (4.11)2 σ2 = 0.73 → σ = 0.86

Ejercicio 4.57 Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad: X f(X)

-3

6

9

1

1

1

6

2

3

Calcule E(X) y E(X2) y luego utilice estos valores para evaluar E[(2X + 1)2].

μ = ∈ (x) =

∈ x f(x) x

1 1 1 μ = (−3) ( ) + (6) ( ) + (9)( ) 6 2 3 μ = 5.50

μ = ∈ (x 2 ) =

∈ 2 x f(x) x

1 1 1 μ = (−3)2 ( ) + (6)2 ( ) + (9)2 ( ) 6 2 3 μ = 46.50 σ2 = ∈ (2x + 1) 2 1 1 1 σ2 = 2(−3)2 ( ) + 2(6)2 ( ) + 2(9)2 ( ) − 5.50 − 46.50 6 2 3 σ2 = 41 σ = 6.40

Ejercicio 4.67 Si la función de densidad conjunta de X y Y está dada por:

Calcule el valor esperado de g(X, Y)=X/Y3 +X2Y. 2

∫(x, y) = {7

(x + 2y) 0 < X < 1,1 < Y < 2 0,

x + x2 y y3

g(x, y) =

1

2 (x + 2y) dy 7

fx(x) = ∫ 0 2

2y2

7

2

fx(x) = (xy −

1 0

2 fx(x) = (1 − 1) 7 fx(x) = 0

x > 0; x < 0 2

fy(y) = ∫ 1

2

fy(y) = 7 (

fy(y) =

2 (x + 2y) dx 7

x2 2

+ 2xy

2 1

2 1 4 [( + 2y) − ( + 4y)] 7 2 2

2 1 4 fy(y) = ( − + 6y) 7 2 2 fy(y) =

2 −3 7

( 2 + 6y) 1 < y < 2

Capitulo 5

Ejercicio 5.2 Se entregan dos altavoces idénticos a 12 personas y se les pide que los escuchen para determinar si hay alguna diferencia entre ellos. Suponga que sus respuestas son

simplemente conjeturas. Calcule la probabilidad de que tres personas afirmen haber detectado una diferencia entre los dos altavoces. P(x ≥ 3) = 1 − P(x < 10) 2

P(x ≥ 3) = 1 − ∑ b(x; 12,2) y=0

P(x ≥ 3) = 1 − 0,333 P(x ≥ 3) =0,666

Ejercicio 5.3 De un equipo de 10 empleados, y mediante la selección al azar de una etiqueta contenida en una caja que contiene 10 etiquetas numeradas del 1 al 10, se elige a uno para que supervise cierto proyecto. Calcule la fórmula para la distribución de probabilidad de X que represente el número en la etiqueta que se saca. .Cual es la probabilidad de que el número que se extrae sea menor que 4?

f(x)= 1/10; x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 p(x<4) = ∑3x=1 f(x) p(x<4)= (1/10)+ (1/10)+ (1/10)= (3/10)

Ejercicio 5.11 La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los siguientes7 pacientes intervenidos sobrevivan?

p=0.9 x=5 n=7

b(x;n,p) $P(x)=(X=5)=(75)(0.9)5(0.1)2=0.124

Ejercicio 5.29 El dueño de una casa planta 6 bulbos seleccionados al azar de una caja que contiene 5 bulbos de tulipán y 4 de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante 2 bulbos de narciso y 4 de tulipán? k N− K N P(X=x)=h(x;N;n;k)=( )( )/( ) n x n− x 4 5 9 P(X=2)=h(2;9;6;4)=( )( ) / ( ) 2 4 6 P(X=2)=0.3571

Ejercicio 5.34 ¿Cuál es la probabilidad de que una camarera se rehusé a servir bebidas alcohólicas a solo 2 menores si verifica al azar 5 identificaciones de 9 estudiantes, de los cuales 4 son menores de edad?

N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

Ejercicio 5.39

Una ciudad vecina considera entablar una demanda de anexión en contra de una subdivisión del condado de 1200 residencias. Si los ocupantes de la mitad de las residencias objetan la anexión, ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 residencias al menos 3 estén a favor de la anexión?

Datos x=3 n=10 N=1200 k=600

$b(0,1200,10,600)=(6000)(1200−60010−0)(120010)=0.00094

$b(1,1200,10,600)=(6001)(1200−60010−1)(120010)=0.009546

$b(2,1200,10,600)=(6002)(1200−60010−2)(120010)=0.043467

$P(X≥3)=1−[P(0)+P(1)+P(2)]=1−0.05395=0.94604

Ejercicio 5.49 La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad tenga un perro es de 0.3. Calcule la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en esa ciudad sea la quinta que tiene un perro.

Datos p=0.3 x=5 n=10 b(x;n,p) Como es la probabilidad de que sea la decima persona entonces es: $P(x)=(x=4)=[(94)(0.3)4(0.7)5][0.3]=0.05145

Ejercicio 5.53

Un estudio de un inventario determina que, en promedio, el número de veces al día que se solicita un artículo específico en un almacén es 5. ¿Cual es la probabilidad de que en un día determinado este artículo se pida. a) más de 5 veces? $P(0,5)=50e−50!=0.006737

$P(1,5)=51e−51!=0.03368

$P(2,5)=52e−52!=0.08422

$P(3,5)=53e−53!=0.14037

$P(4,5)=54e−54!=0.17546

$P(4,5)=55e−55!=0.17546

$P(x>5)=1−[P(0)P(1)P(2)P(3)P(4)P(5)]=1−0.615941=0.384058

b) Ninguna vez? $P(0,5)=50e−50!=0.006737

Ejercicio 5.61 Suponga que, en promedio, una persona en 1000 comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan 10,000 formas al azar y se examinan, calcule la probabilidad de que 6, 7 u 8 de las formas contengan un error. n=10 000 p=0.001 x=10

$P(6,10)=106e−106!=0.063055

$P(7,10)=107e−107!=0.090079

$P(8,10)=108e−108!=0.112599

$P(6,7,8)=P(6)+P(7)+P(8)=0.265733

Ejercicio 6.3 La cantidad de café diaria, en litros, que sirve una máquina que se localiza en el vestíbulo de un aeropuerto es una variable aleatoria X que tiene una distribución continua uniforme con A = 7 y B = 10. Calcule la probabilidad de que en un día determinado la cantidad de café que sirve esta máquina sea a) a lo sumo 8.8 litros; b) más de 7.4 litros, pero menos de 9.5 litros; c) al menos 8.5 litros. 1 f(X; A, B) = {B − A , A ≤ X ≤ B 0 en otro caso. 1 f(X; 7,10) = { 3 , 7 ≤ X ≤ 10 0 en otro caso. 10 1

a) P(X ≥ 8,8) = ∫7

3

dx

P(X ≥ 8,8) = −0,41 9,5 1

b)P(7,4 ≤ X ≤ 9,5) = ∫7,4 3 dx P(7,4 ≤ X ≤ 9,5) = 3

8,5 1

c) P(X ≥ 8,5) = ∫0

3

dx

P(X ≥ 8,5) = 2,83

Ejercicio 6.4 Un autobús llega cada 10 minutos a una parada. Se supone que el tiempo de espera para un individuo en particular es una variable aleatoria con distribución continua uniforme.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo espere más de 7 minutos? Sabemos que la media es de 10 pero no tenemos ni variable a tipificar ni desviación estándar que si pensamos que los camiones son puntuales seria cero y al tipificar ¡Error! así que suponemos que se saca probabilidad simple. $p(x>7)=1−710=\0.3 Hay 30% de que espere 7 o más minutos

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo espere entre 2 y 7 minutos? $p(2>x>7)=[710]−[210]=\0.5 Hay un 50% de que espere entre los intervalos antes mencionados.

Ejercicio 6.5 Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que esta a) a la izquierda de z = –1.39; 1.39= 0.4177 P=(z< -1.39)= 0.5000 – 0.4177 P=0.0823

b) a la derecha de z = 1.96; 1.96= 0.4750

P(Z>1.96)=0.500-0.4750 P=0.025 c) entre z = –2.16 y z = – 0.65; 0.65=0.2422 2.16=0.4846 P=(-2.16 <-0.65)=0.4846-0.2422 P=0.2424

d) a la izquierda de z = 1.43; Z=0.4236 P=(Z<1,43)=0.500+0,4236 P=0.9236 e) a la derecha de z = – 0.89; P=(Z>-0.89) P=0.500-0.3133 P=0.1867 f) entre z = – 0.48 y z = 1.74. 0.48=0.1844 1.74=0.4591 P=(-0.48 <1.74)=0.1844+0.4591 P=0.6435

Ejercicio 6.6 Calcule el valor de z si el área bajo una curva normal estándar

a) a la derecha de z es 0.3622; 0.3622=1.09 Z=1.09

P=(Z>1.09)=0.500-0.3622 P=0.1378

b) a la izquierda de z es 0.1131; 0.1131=0.29 Z=0.29 P=(Z<0.29)=0.500+0.1131 P=0.6131

c) entre 0 y z, con z > 0, es 0.4838; 0.4838=2.14 Z=2.14 P=(Z<2.14)=0.500+104838 P=0.9838

Ejercicio 6.9 Dada la variable X normalmente distribuida con una media de 18 y una desviación estándar de 2.5, calcule:

a) P(X < 15); P(X<15)=[(15-18)/2.5] P=[-1.20] P=0.1151 b) el valor de k tal que P(X < k) = 0.2236; (Z)=0.2236 Z=-0.76 K=Zα+µ K= (-0.76)(2.5)+18 K=16.10

c) el valor de k tal que P(X > k) = 0.1814;

1-(z)=0.1814 (z)=0.8186 Z=0.91 K=Zα+µ K= (0.91)(2.5)+18 K=20.28

d) P(17 < X < 21). P=(17<x<21) [(21-18)/2.5]- [(17-18)/2.5] P=[1.20]- [-0.40] P=0.8849-0.3446 P=0.5404

Ejercicio 6.24 Se lanza una moneda 400 veces. Utilice la aproximación a la curva normal para calcular la probabilidad de obtener: a) entre 185 y 210 caras;

u = n. p = 400 ×

1 1 1 = 200; u = √n. p. q = √400. . = 10 Por tanto 2 2 2

p(180 ≤ x ≤ 210) = p(179,5 ≤ x210,5) = p( p(180 ≤ x ≤ 210) = p(−2,05 ≤ 1,05) P(… . ) = p (z ≤ 1,05) − p(z ≤ 2,05)pero p (z ≤ 1,05) = 0,8531 y p(z ≤ 2,05) = p(z ≤ 2,05) p(z ≤ 2,05) = 1 − p(z ≤ 2,05) p(z ≤ 2,05) = 1 − 0,9748 p(z ≤ 2,05) = 0,0202

179,5 − 200 210,5 − 200 ≤z≤ ) 10 10

p(180 ≤ x ≤ 210) = 0,8531 − 0,0202 p(180 ≤ x ≤ 210) = 0,8329

Ejercicio 6.26 Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan al azar 100 artículos del proceso, ¿cuál es la probabilidad de que el número de defectuosos. a) exceda los 13?

z=

(135 − 10) 3

z = 1,17 u = np = (100)(0,1) = 10 δ = √100(0,1)(0, a) δ=3

1 al 10 P(x > 13,5) = P(Z > 1,17) P(x > 13,5) = 0.1210

b) sea menor que 8?

z=

(7,5 − 10) 3

z = −0.83 P(x < 7,5) = P(z < −0,83) P(x < 7,5) = 0,2033

Ejercicio 6.40

En cierta ciudad, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente una distribución gamma con α = 2 y β = 3. Si la capacidad diaria de dicha ciudad es de 9 millones de litros de agua, ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier día dado el suministro de agua sea inadecuado? ∞

−x 1 P(x > 9) = ∫ x 3 dx 9 9

x

x

x

P(x > 9) = [− 3 e−3 −e−3 ]

∞ 9

P(x > 9) = 4e3 P(x > 9) = 0,1992

Ejercicio 6.45

El tiempo necesario para que un individuo sea atendido en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos en al menos 4 de los siguientes 6 días? 3

x 1 P(x > 3) = ∫ e−4 dx 4 0

x

P(x > 3) = [−e−4 ]

3 0 x

P(x > 3) = [1 − e−4 ] P(x > 3) = 0,5276 R//

6

3

P(Y ≥ 4) = ∑ b(y; 6,1 − e−4 ) X=4

6 6 6 P(Y ≥ 4) = ( ) (0,5276)4 (0,4724)2 + + ( ) (0,5276)5 (0,4724) + ( ) (0,5276)6 4 5 6 P(Y ≥ 4) = 0,3968

Ejercicio 6.49 Suponga que la variable aleatoria X tiene una distribución beta con α = 1 y β = 3. a) Determine la media y la mediana de X. 1

α

u = α+B

f(x) = {3(3) 0,

1

u=4 b) Determine la varianza de X. σ2 =

σ2 =

σB (σ +

B)2 (σ +

B + 1)

3 = 0,0375 80

σ = √0,0375 σ = 0,1936 c) Calcule la probabilidad de que X > 1/3. 1

31 1 P (X > ) = ∫ (1 − x)2 dx 3 0 9

1 1 1 1 1 P (X > ) = ( − + ) 3 9 3 9 81 1

P (X > 3) = 0,026

1

x 0 (1 − x)3−1 , 0 < x << 3 en otro caso