Componentes Rectangulares De La Velocidad Y De La Aceleración 5qu57

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y DE LA ACELERACIÓN Cuando la posición de una partícula P se define en cualquier instante mediante sus coordenadas rectangulares x, y y z, resulta conveniente descomponer la velocidad v y la aceleración a de la partícula en componentes rectangulares. Aal descomponer el vector de posición r de la partícula en componentes rectangulares, se escribe: Donde las coordenadas x, y y z son funciones de t. Al diferenciar dos veces se obtiene:

Donde coordenadas expresadas con diéresis, son las primera y segunda derivada de x, y y z respecto de t. Se tiene que las componentes escalares de la velocidad y la aceleración son:

Un componente positivo de vx indica que el componente velocidad vx, está dirigido hacia la derecha, y un componente negativo, que se dirige hacia la izquierda. El sentido de cada uno de los otros componentes vectoriales puede determinarse de manera similar a partir del signo de la componente escalar correspondiente. Es posible considerar por separado el movimiento de la partícula en dirección x, su movimiento en la dirección y, y su movimiento en la dirección z. Tiro parabólico En el caso del movimiento de un proyectil, se demuestra que las componentes de la aceleración son: Si se ignora la resistencia dela aire. Al denotar mediante x0, y0 y z0 las coordenadas del cañón y por medio de (vx)0, (vy)0 y (vz)0 las componentes de la velocidad inicial vo del proyectil (una bala), se integra dos veces en t y se obtiene:

Si el proyectil se lanza en el plano xy desde el origen O, se tiene xo = y0 = z0 = 0 y (vx)0 = 0, y las ecuaciones de movimiento se reducen a:

Estas ecuaciones muestras que el proyectil permanece en el plano xy, que su movimiento en la dirección horizontal es uniforme, y que su movimiento en la dirección vertical es uniformemente acelerado. El movimiento de un proyectil puede entonces sustituirse por dos movimientos rectilíneos independientes, los cueles se visualizan con facilidad si se supone que le proyectil se

lanza verticalmente con una velocidad inicial (vy)0 desde una plataforma que se mueve con una velocidad horizontal constante (vx)0. Las coordenadas del proyectil es igual en cualquier instante a la distancia recorrida por la plataforma y es posible calcular su coordenada y como si el proyectil se moviera a lo largo de una línea vertical.

Se puede observar que las ecuaciones que definen las coordenadas x y y z de un proyectil en cualquier instante son las ecuaciones paramétricas de una parábola. Por lo tanto, la trayectoria de una proyectil es parabólica. Sin embargo este resultado deja de ser válido cuando se toma en cuenta la resistencia del aire o la variación con la altura de la aceleración de la gravedad. Componentes Tangencial y Normal Considerando una partícula que se mueve a lo largo de una curva contenida en un plano, siendo P la posición de la partícula en un instante dado. Se une a P un vector unitario et tangente a la trayectoria de la partícula y que apunta en la dirección del movimiento,

Se tiene que al evaluar el límite de los incrementos en el vector tangente con respecto al ángulo formado por la posición de la partícula en un instante posterior, se obtiene un vector unitario a lo

largo de la normal a la trayectoria de la partícula, en la dirección hacia la cual cambia et. Al denotar este vector por en, se escribe:

El vector de aceleración de la partícula se expresa de la siguiente manera:

De tal modo, las componentes escalares de la aceleración son:

Las realciones obtenidas expresan que la componente tangencial de la aceleración es igual a la razón de cambio de la velocidad de la partícula, en tanto que la componente normal es igual al caudrado de la velocidad dividida entre el radio de curvatura de la trayectoria en P. Si aumenta la velocidad de la partícula, at es positiva y la componente vectorial at apunta en la dirección de movimiento. Si disminuye la velocidad de la partícula, at es negativa y at apunta contra la dirección del movimiento. La componente vectorial an, por otro lado, siempre se dirige al centro de curvatura C de la trayectoria.

Componentes Radial y Transversal En ciertos problemas de movimiento plano, la posición de la partícula P se define mediante sus coordenadas polares r y θ. En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes paralela y perpendicular, respectivamente, a la línea OP. Éstas se conocen como componentes radial y transversal.

La velocidad y la aceleración de la partícula en términos de componente radial y transversal se expresan de la siguiente manera: