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Integrales impropias Ejercicios resueltos c 2000 CRESLINE, S.L. ° Integrales impropias

0

es .c om

Ejercicio 1: Estudiar la convergencia de la integral impropia Z +∞ cos 2x dx

.a pr en d

y en caso de convergencia, calcular su valor. Solución: Para b > 0, se tiene Z b 1 1 b cos 2x dx = [sin 2x]0 = sin 2b 2 2 0 En consecuencia,

Z

+∞

cos 2x dx = lim

b → +∞

0

1 sin 2b, 2

límite que no existe, ya que el seno oscila entre −1 y 1, al tender b hacia +∞.

w

w

Ejercicio 2:Estudiar la convergencia de la integral impropia Z +∞ 1 dx 2 −∞ 1 + x

w

y en caso de convergencia, calcular su valor. Solución: Z ∞ Z 0 Z ∞ 1 1 1 dx = dx + dx = 2 2 1 + x2 −∞ 1 + x −∞ 1 + x 0 Z 0 Z c 1 1 = lim dx + lim dx = c → −∞ c 1 + x2 c → ∞ 0 1 + x2 = − lim (arctan c) + lim (arctan c) = c → −∞ c→∞ ³ π´ π + = π. = − − 2 2

1

Ejercicio 3: Estudiar la convergencia de la integral Z 2 dx , (x − 1)1/3 1 y en caso de convergencia, calcular su valor. Solución: Tomando c tal que 1 < c < 2, se tiene Z 2 Z 2 i2 3 h i 3h dx (x − 1)2/3 = 1 − (c − 1)2/3 = (x − 1)−1/3 dx = 1/3 2 2 c c (x − 1) c Al ser lim (c − 1)2/3 = 0

tenemos Z 2 1

dx = lim (x − 1)1/3 c → 1+

Z

c

2

es .c om

c → 1+

i 3 dx 3h 2/3 1 − (c − 1) = = lim 2 → 1+ 2 (x − 1)1/3

.a pr en d

Por tanto, la integral impropia es convergente y su valor es Z 2 dx 3 = . 1/3 2 1 (x − 1)

Ejercicio 4: Estudiar si es convergente la integral Z +∞ dx . 1 + ex −∞

w

w

Solución: Primero descomponemos la integral en suma de dos integrales, que estudiaremos separadamente: Z 0 Z +∞ Z +∞ dx dx dx = + = I1 + I2 . x x 1 + e 1 + e 1 + ex −∞ −∞ 0

w

Para estudiar si I1 converge, aplicaremos el criterio del cociente con la función g(x) = 1: 1 1 1+ex lim =1 = lim x → −∞ x → −∞ 1 + ex 1 R0 Por el criterio del cociente, I1 converge si y sólo si −∞ 1 dx converge. Pero R0 1 dx es divergente. Por tanto, I1 también es divergente. −∞ Así pues, ya podemos concluir que Z +∞ dx 1 + ex −∞ 2

es divergente. Ejercicio 5: Estudiar si es convergente de la integral Z x · ln x dx. I= 3

es .c om

Solución: Podemos calcular el valor de la integral usando la definición de integral de primera especie: ¸M · 2 Z M Z ∞ x2 x · ln x − x · ln x dx = lim x · ln x dx = lim = I = M →∞ 3 M →∞ 2 4 3 3 · 2 · 2 ¸M ¸ 1 1 1 x M 9 · (ln x − ) · (ln M − ) − · (ln 3 − ) = ∞ = lim = lim M →∞ M →∞ 2 2 3 2 2 2 2 Por tanto, la integral es divergente. También podríamos estudiar si la integral del enunciado es convergente mediante el criterio del cociente, comparando con la función g(x) = x: lim

x→∞

x · ln x = lim ln x = ∞. x→∞ x

.a pr en d

R∞ R∞ Como 3 g(x) dx = 3 x dx es divergente, por el criterio del cociente sabemos que la integral Z ∞ x · ln x dx 3

también diverge.

Ejercicio 6: Estudiar si es convergente la integral Z 1 dx √ . 4 3 + x2 + x x 0

w

w

w

Solución: El polinomio del denominador, x3 + x2 + x, se anula sólo cuando x = 0, luego se trata de una integral impropia de segunda especie. Observamos que 1 1 √ ≤ 3/4 para 0 < x ≤ 1. 4 3 2 x x +x +x Sabemos que la integral Z 1 dx 3/4 0 x es convergente. Por el teorema de mayoración y minoración, concluimos que la integral Z 1 dx √ 4 3 x + x2 + x 0 es también convergente.

3

Funciones de Euler: Gamma y Beta R∞ Ejercicio 7: Demostrar que la función Γ, definida por Γ(p) = 0 xp−1 e−x dx, es convergente si p > 0. R∞ Solución: La integral Γ(p) = 0 xp−1 · e−x dx es una integral impropia de tercera especie, ya que el intervalo de integración es de amplitud infinita, y la función que se integra no está acotada en x = 0. Por tanto, descomponemos la integral en suma de dos: Z ∞ Z a Z ∞ Γ(p) = xp−1 · e−x dx = xp−1 · e−x dx + xp−1 · e−x dx = I1 + I2 , 0

0

a

donde a es un punto cualquiera del intervalo (0, ∞).

lim+

x→0

xp−1 · e−x 1 x1−p

es .c om

I1 es una integral impropia de segunda especie, con un solo punto de im1 propiedad en x = 0. Aplicaremos el criterio del cociente con g(x) = x1−p : = lim+ xp−1 ·e−x ·x1−p = lim+ xp−1+1−p ·e−x = lim+ e−x = 1. x→0

x→0

x→0

.a pr en d

Ra 1 dx. Sabemos que la Por el criterio del cociente, I1 converge si lo hace 0 x1−p Ra 1 integral 0 x1−p dx es convergente si 1 − p < 1. Por tanto, I1 es convergente si 1 − p < 1, es decir, si p > 0. Por otro lado, I2 es una integral impropia de primera especie. Aplicaremos el criterio de cociente con g(x) = x12 : lim

x→∞

xp−1 · e−x 1 x2

xp+1 =0 x → ∞ ex

= lim xp−1 · e−x · x2 = lim x→∞

para todo p.

w

R∞ Sabemos que la integral a x1 dx es convergente. Por el criterio del cociente, deducimos que la integral I2 es convergente para toda p.

w

w

I1 e I2 convergen simultáneamente si p > 0. Por consiguiente, Z ∞ Γ(p) = xp−1 · e−x dx 0

es convergente si p > 0. Ejercicio 8: Calcular la integral Z 1 xn (ln x)m dx. 0

Solución: Aplicamos el cambio de variable x = e−t

dx = −e−t dt.

⇒ 4

Calculamos los extremos del nuevo intervalo de integración: x=0

⇒

t = ∞,

x=1

Sustituyendo, obtenemos: Z Z 0 (e−t )n · (ln(e−t ))m · (−e−t ) dt = I= ∞

=

Z

∞

0

⇒ ∞

0

t = 0.

e−tn · (−t)m · e−t dt =

(−1)m · e−t(n+1) · tm dt

Aplicamos un nuevo cambio de variable: ⇒

dt =

1 dz n+1

es .c om

t(n + 1) = z

Los extremos del intervalo de integración no varían. Sustituyendo, obtenemos: Z ∞ Z ∞ z m 1 (−1)m m −z · (−1) · e · ( z m · e−z dz = ) · dz = I= n+1 n+1 (n + 1)m+1 0 0 =

Z

.a pr en d

Por tanto,

(−1)m m ! (−1)m · Γ(m + 1) = (n + 1)m+1 (n + 1)m+1

I=

1

0

xn · (ln x)m dx =

(−1)m m ! . (n + 1)m+1

w

Ejercicio 9: Demostrar que la función β, definida por β (p, q ) = x)q−1 dx, es convergente si p > 0 y q > 0. Solución: La integral Z 1 xp−1 · (1 − x)q−1 dx β(p, q) =

R1 0

xp−1 (1−

0

w

w

es una integral de segunda especie, ya que la función que se integra no está acotada en x = 0 (si p < 1) ni en x = 1 (si q < 1). Por tanto, descomponemos la integral en suma de dos: Z a Z 1 Z 1 xp−1 ·(1−x)q−1 dx = xp−1 ·(1−x)q−1 dx+ xp−1 ·(1−x)q−1 dx = I1 +I2 , β(p, q) = 0

0

a

donde a es un punto cualquiera de (0, 1). I1 es una integral impropia de segunda especie con un solo punto de im1 propiedad, en x = 0. Aplicamos el criterio del cociente con g(x) = x1−p : lim+

x→0

xp−1 · (1 − x)q−1 1

x1−p

= lim+ xp−1 · (1 − x)q−1 · x1−p = lim+ (1 − x)q−1 = 1. x→0

x→0

5

Ra 1 Por el criterio del cociente, I1 es convergente sólo si lo es 0 x1−p dx lo es. Ra 1 Sabemos que 0 x1−p dx es convergente si 1 − p < 1, es decir, si p > 0. Por tanto, I1 es convergente si p > 0 (para cualquier valor de q). I2 es una integral impropia de segunda especie con un solo punto de im1 propiedad, en x = 1. Aplicamos el criterio del cociente con h(x) = (1−x) 1−q : lim

x→1

xp−1 · (1 − x)q−1

= lim xp−1 · (1 − x)q−1 · (1 − x)1−q = lim xp−1 = 1.

1 (1−x)1−q

x→1

x→l

es .c om

R1 1 Por el criterio del cociente, I2 es convergente sólo si lo es a (1−x) lo es. 1−q dx R1 1 Sabemos que a (1−x)1−q dx es convergente si 1 − q < 1, es decir, si q > 0. Por tanto, I2 es convergente si q > 0 (para cualquier valor de p). I1 e I2 convergen simultáneamente si p > 0 y q > 0. Por consiguiente, la integral Z 1 β(p, q) = xp−1 · (1 − x)q−1 dx 0

es convergente si p > 0 y q > 0.

.a pr en d

Ejercicio 10: Calcular la integral I=

Solución:

I=

Z

0

Z

π/2

0

(sin x)4 · (cos x)5 dx.

π/2

(sin x)4 · (cos x)5 dx =

1 · β(p, q), 2

w

w

w

donde p y q cumplen:

2p − 1 = 4

⇒

2q − 1 = 5

⇒

5 2 q = 3. p=

Por tanto, I=

5 1 1 Γ( 5 ) · Γ(3) 1 · β( , 3) = · 2 11 = · 2 2 2 2 Γ( 2 )

6

9 2

·

3 2 7 2

· 12 · Γ( 12 ) · 2! 24 . = 945 · 52 · 32 · 12 · Γ( 12 )