Interpolacion Polinomica De Lagrange 255q14

Interpolación polinómica de Lagrange

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente. La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.

Un polinomio de interpolación de Lagrange, p, se define en la forma:

En

donde

son

tabulados del polinomio

polinomios

que

, pero no de las ordenadas es:

dependen

sólo

de

los

nodos

. La fórmula general

PROBLEMA.- Para la función f(x)=COSX, dadas f(x), sean x0=0, x1=0,6 y x2=0,9. Construya polinomio de interpolación para aproximar f(0,45), y calcule el error real

0 1

0,6 0,8253

0,9 0,62161

Sustituyo Los valores de 0 , 0.6 y 0.9 en f(x) para obtener los valores de Y0, Y1, Y2

P(X)= (X-0,6)(X-0,9) + (X-0)(X-0,9) + (X-0)(X-0,6) (0-0.6)(0-0,9) (0,6-0)(0,6-0,9) (0,9-0)(0,9-0,6)

P(X)= (X-0,6)(X-0,9) + (X-0)(X-0,9) 0,54 -0,18

+ (X-0)(X-0,6) 0,27 Sustituyo donde está la X por 0,45 para aproximar f(0,45)

P(X)=0,8981001 Valor Aproximado f(x)=COS(0,45)=0,900447102 Valor Real

Error=0,002 es la diferencia entre el valor real y el aproximado EJERCICIOS PROPUESTOS.Dados los puntos (x0, y0)=(-1, 6), (x1, y1)=(2, 3) y (x2, y2)=(3, 10), construir el polinomio interpolador de Lagrange P(x) y, sin desarrollar P(x), hallar P(1,5). Simplificar la expresión anterior lo más posible. Antes de realizar la simplificación, ¿cuál será el polinomio resultante?

de Lagrange con la siguiente tabla de valores, e interpolar en el punto x = −4. x -5 -7 4 y -2 -2 -2

Para las funciones dadas f(x), sean X0=0; X1=0.6 ; X2=0,9. Construya el polinomio de Lagrange y aproxime f(0,45) c) f(x)= ln(1+x) a) f(x)=cosx d) f(x)= 1+x b) f(x)=tanx

Calcular f(x) = 1/x utilizando una interpolación de Lagrange de segundo orden, para x=3. La función se da tabulada enx0=2, x1=2.5, y x2=4.

)