Inversa Unei Matrice 3p2ex

Inversa unei matrice Prof. Negutescu Gabriela

Voi considera matrici inversabile , deci matrici al căror deteminant este nenul . Inversa unei matrice A ( de ordin n ) este matricea A-1 care îndeplinește condiția 𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐴−1 ∙ 𝐴 = 𝐼𝑛 Matricea 𝐴−1 este dată prin formula 1 𝐴−1 = ∙ A∗ det A unde A* se numește adjuncta matricei A . Știm că A* se scrie ca o matrice transpusă , iar elementele sale se calculează după formula aij = (−1)𝑖+𝑗 ∙ 𝑑𝑖𝑗 unde 𝑑𝑖𝑗 este determinantul obținut din determinantul matricei inițiale , eliminând linia i și coloana j . În continuare voi trata doar aspectul privind determinarea matricei adjuncte pentru matricile de ordin 2 si 3 .

Adjuncta unei matrice de ordin 2 . 𝑎 𝑐

Fie matricea A = (

𝑎11 𝑏 ) . Adjuncta sa este A* = (𝑎 12 𝑑

𝑎21 𝑎22 ) , unde :

𝑎11 = (−1)1+1 ∙ 𝑑 = 𝑑 ; 𝑎12 = (−1)1+2 ∙ 𝑐 = −𝑐 ; 𝑎21 = (−1)2+1 ∙ 𝑏 = −𝑏 𝑎22 = (−1)2+2 ∙ 𝑎 = 𝑎 Deci ,

𝑑 −𝑐

A* = (

−𝑏 ) 𝑎

Observăm că adjuncta unei matrice de ordin 2 se obține schimbând elementele de pe diagonala principală intre ele , iar elementelor de pe diagonala secundară schimbându-le semnul . Exemplu : Să determinăm inversa matricei M = (

3 −7 ) 2 −5

𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 3 ∙ (−5) − (−7) ∙ 2 = −1 −5 7 𝑀∗ = ( ) −2 3 1 −5 7 5 −7 𝑀−1 = ( )=( ) 2 −3 −1 −2 3 3 −7 5 −7 Verificare : 𝑀 ∙ 𝑀−1 = ( )∙( )= 2 −5 2 −3 3 ∙ 5 + (−7) ∙ 2 3 ∙ (−7) + (−7) ∙ (−3) 1 0 =( )=( ) = 𝐼2 2 ∙ 5 + (−5) ∙ 2 2 ∙ (−7) + (−5) ∙ (−3) 0 1

Adjuncta unei matrice de ordin 3 .

𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎 𝑏 𝑐 * 𝑑 𝑒 𝑓 Fie A = ( ) , si adjuncta sa A = (𝑎12 𝑎22 𝑎32 ) 𝑎13 𝑎23 𝑎33 𝑔 ℎ 𝑖 Aplicând formulele de calcul pentru elementele matricei A* , obținem că

𝑒𝑖 − 𝑓ℎ 𝑐ℎ − 𝑏𝑖 𝑏𝑓 − 𝑐𝑒 = ( 𝑓𝑔 − 𝑑𝑖 𝑎𝑖 − 𝑐𝑔 𝑐𝑑 − 𝑎𝑓) 𝑑ℎ − 𝑒𝑔 𝑏𝑔 − 𝑎ℎ 𝑎𝑒 − 𝑏𝑑 Să încercăm alta metodă :  vom alcătui un tablou în care vom scrie elementele matricei A 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖  copiem dedesubt elementele primelor două linii ale matricei , așa cum procedăm la calculul determinantului de ordin 3 prin regula lui Sarrus 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓  copiem la dreapta primele două coloane ale tabloului 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒  separăm prima linie și prima coloană 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒 A*

Am obținut un tablou care conține 4 linii și patru coloane .  Din liniile 1 și 2 formăm trei determinanți de ordin 2 , respectiv : 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑓 𝑑 𝑑 𝑒 𝑒 𝑓 𝑑1 = | | = 𝑒𝑖 − 𝑓ℎ ; 𝑑2 = | | = 𝑓𝑔 − 𝑑𝑖 ; 𝑑3 = | | = 𝑑ℎ − 𝑒𝑔 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑖 și observăm că 𝑑1 = 𝑎11 , 𝑑2 = 𝑎12 , 𝑑3 = 𝑎13  La fel , din liniile 2 și 3 obținem trei determinanți de ordin 2 , respectiv :



ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑖 𝑔 ℎ 𝑖 𝑑4 = | | = 𝑐ℎ − 𝑏𝑖 = 𝑎21 ; 𝑑5 = | | = 𝑎𝑖 − 𝑐𝑔 = 𝑎22 ; 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑔 ℎ 𝑑6 = | | = 𝑏𝑔 − 𝑎ℎ = 𝑎23 𝑎 𝑏 Din liniile 3 și 4 obținem :

𝑑7 = |

𝑏 𝑒

𝑏 𝑐 𝑒 𝑓

𝑎 𝑏 𝑑 𝑒

𝑐 𝑐 | = 𝑏𝑓 − 𝑐𝑒 = 𝑎31 ; 𝑑8 = |𝑓 𝑓

𝑎 𝑑 | = 𝑐𝑑 − 𝑎𝑓 = 𝑎32 ;

𝑎 𝑏 | = 𝑎𝑒 − 𝑏𝑑 = 𝑎33 𝑑 𝑒 Determinanții 𝑑1 , 𝑑2 , … … . , 𝑑9 , scriși pe verticală , vor da matricea A* , deci 𝑑1 𝑑4 𝑑7 * 𝑑 A = ( 2 𝑑5 𝑑8 ) 𝑑3 𝑑6 𝑑9 2 1 −3 Exemplu : Fie matricea A = ( 4 6 0) −1 1 5 det(𝐴) = 60 − 12 − 18 − 20 = 10 2 1 -3 2 1 𝑑9 = |

4

6

0

4

6

-1

1

5

-1

1

2

1

-3

2

1

4

6

0

4

6

6 0 0 4 4 6 𝑑1 = | | = 30 ; 𝑑2 = | | = −20 ; 𝑑3 = | | = 10 ; 1 5 5 −1 −1 1 1 5 5 −1 −1 1 𝑑4 = | | = −8 ; 𝑑5 = | | = 7 ; 𝑑6 = | | = −3 ; 2 1 1 −3 −3 2 1 −3 −3 2 2 1 𝑑7 = | | = 18 ; 𝑑8 = | | = −12 ; 𝑑9 = | |=8 6 0 0 4 4 6 30 −8 18 𝐴∗ = (−20 7 −12) 10 −3 8 2 1 −3 30 −8 18 1 1 1 𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐴 ∙ ∙ 𝐴∗ = ∙ 𝐴 ∙ 𝐴∗ = ∙( 4 6 0 ) ∙ (−20 7 −12) = det(𝐴) det(𝐴) 10 −1 1 5 10 −3 8 60 − 20 − 30 −16 + 7 + 9 36 − 12 − 24 1 ( 120 − 120 )= −32 + 42 72 − 72 10 −30 − 20 + 50 8 + 7 − 15 −18 − 12 + 40 10 0 0 1 0 0 1 ∙ ( 0 10 0 ) = (0 1 0) = 𝐼3 10 0 0 10 0 0 1

Varianta 2 de calcul a elementelor matricei adjuncte :

Procedăm similar ca în varianta 1 , dar lucrăm pe coloane . Astfel ,  din coloanele 1 şi 2 obținem determinanții d1 , d2 şi d3  din coloanele 2 şi 3 obținem determinanții d4 , d5 şi d6  din coloanele 3 şi 4 obținem determinanții d7 , d8 şi d9 şi completăm matricea A* pe orizontală 𝑑1 𝑑2 𝑑3 * A = (𝑑4 𝑑5 𝑑6 ) 𝑑7 𝑑8 𝑑9 Prin această metodă se pot evita unele greseli , cum ar fi : a) omiterea factorului (−1)𝑖+𝑗 în calculul elementelor 𝑎𝑖𝑗 ; b) alcătuirea determinanților redusi , obținuți din determinantul matricei inițiale. Sursa : https://www.youtube.com/watch?v=osnnqbYYp_k