Lab 6 3m5o59

Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ing. Mecánica Dinámica Aplicada Laboratorio 6

Elaborado por: Jasón Gaitán 8-898-1237 Juan Gómez 4-779-1170 Objetivos general Preciosa determinar el momento de inercia de una barra horizontal, utilizada , Bajo vibración libre no amortiguada en cada uno de los siguientes planos. Desarrollar y analizar el modelo matemático que corresponde a cada caso estudiado. Comparar los resultados teóricos y experimentales.

Objetivos específicos ● Medir el periodo un péndulo simple tengo un plano particular de oscilación. ● Obtener la ecuación diferencial no lineal ir idealizado del movimiento línea lisa conciliatorio de la barra con respecto aún plano verte la perpendicular aleje longitudinal de Navarra. ● Encontrar la solución de las ecuaciones diferenciales móvil movimiento para. ● Calcula la frecuencia natural, El período del movimiento Y la frecuencia natural angular oscilación para cada caso estudiado.

Equipo y materiales a utilizar Hilo de presta, dos barras de acero, marca de soporte, Balanza, Cinta métrica, Cronómetro y micrómetro. Teoría Un sistema de péndulo simple vibrará libremente al desplazarse desde su posición de equilibrio estático y liberarse. El sistema en conservativo, No está sujeto a fuerzas no conservar divas ni situaciones externas. La ecuación gobernante del movimiento O sí latón y o es una ecuación diferencial de segundo grado, homogénea con coeficientes

constantes. La solución de dicha ecuación corresponde a la solución complementaria en donde las constantes dependen de las condiciones iniciales del sistema. Considere la oscilación de una barra horizontal con respecto a un plano vertical que contiene el eje longitudinal de la barra. Utilizando la segunda ley de newton: ∑ M o = J o θ¨ − mgLsinθ = J o θ¨ J o θ¨ + mgLsinθ = 0 Para oscilaciones pequeñas sin θ = θ, J o θ¨ + mgLθ = 0 Donde, J o = J + mL2 ωn =

√mgL/Jo

θ (t) = A1cosωnt + A2sinωnt Las constantes A1 Y A2 se determinan a partir de la condiciones iniciales La ecuación también puede escribirse como: θ (t) = θsin (wnt + ∅) Donde la amplitud θ y el ángulo de fase ∅ se determinan a partir de las siguientes ecuaciones: θ = √A12 + A22 A1 ∅ = ( A2 )

Considere la oscilación de una barra horizontal con respecto a un plano horizontal que contiene al eje longitudinal de la barra ∑ M o = J o θ¨ − 2tsin∅rgcos∅ = J o θ¨

− 2tcos∅ + mg = 0 s = rgθ = L∅ Donde Jo es el momento de inercia de la barra con respecto al eje de rotación y rg=a/2 Esto es: J o = J g + md2 Donde es la distancia desde el centro de gravedad hasta el punto O. Cuando que coincide con O. Remplazando la ecuación: Para oscilaciones pequeñas,

J o θ¨ +

mgR2 ∅ L

mg − 2 ( 2cosθ ) sinθrcos∅= J o θ¨

Reemplazando de la ecuación, − mgθrg = J o θ¨

Procedimiento ● Utilice el sistema de unidades métrico. ● Escoja una barra de acero, mida el diámetro y la longitud de la misma, determine su masa y su momento de inercia respecto a su centro de gravedad, con respecto a los ejes de coordenadas x,y,z. ● Fije los extremos de los hilos monofilamento al marco, fije los otros extremos a la barra de acero. Mida una longitud de 40 cm entre el extremo fijo de cada hilo y la barra de acero ● Desplace la barra de acero de la posición de equilibrio estático en el plano x-y y libere mida el periodo de oscilación de 3 ciclos de movimiento. Obtenga el periodo promedio. ● Determine la frecuencia circular natural y la frecuencia natural de oscilación a partir del periodo natural medido. ● Obtenga el modelo matemático del sistema del péndulo simple para la oscilación de la barra en el plano x-y. ● Resolver la ecuación diferencial de movimiento para las condiciones iniciales ​⌀​(0)= ⌀0 y ​⌀​(0)=0 ● Obtenga analíticamente la frecuencia angular natural, frecuencia natural y periodo natural de movimiento ● Graficar la posición, velocidad y aceleración. Utilice el programa de preferencia.. Resultados Respuesta de oscilación de una barra horizontal

Longitud de la cuerda Plano M(Kg)= I= τ (med.) = Barra Fn(med.)= simétrica ω (med.) = τ (calc.) = ω(calc.) = M(Kg)= I= Barra asimétrica τ (med.) = Fn(med.)= ω (med.) = τ (calc.) = ω(calc.) =

x-y 0.284 3.2e-3 0.72 1.388 8.726 0.77 6.601 0.236 0.002 655 1.175 0.851 5.347 0.77 6.603

L=0.15 m z-y x-z 0.284 0.284 5.3e-4 5.3e-4 0.7 0.546 1.428 1.831 8.976 11.50 0.77 0.77 7.77 7.77 0.236 0.236 0.000 0.0004 4425 425 0.723 0.637 1.383 1.569 8.690 9.8637 0.77 0.77 7.767 7.7697

x-y 0.284 8.87e-3 1.13 0.885 5.560 1.003 5.115 0.236 0.0073 75 1.71 0.5847 3.6743 1 5.1146

L=0.25 m z-y 0.284 1.48e-3 0.876 1.141 7.172 1.003 6.018 0.236 0.0012 29 1.54 0.649 4.0799 1 6.0184

x-z 0.284 1.48e-3 0.566 1.766 11.10 1.003 6.018 0.236 0.0012 29 0.99 1.010 6.3466 1 6.0184

L=0.35 m z-y 0.284 2.9e-3 1.07 0.934 5.872 1.187 5.08 0.236 0.002 409 1.61 0.621 3.902 1.19 5.085

x-y 0.284 0.017 1.34 0.746 4.688 1.187 4.339 0.236 0.014 455 1.94 0.515 3.238 1.19 4.326

Los resultados de la tabla anterior fueron obtenidos mediante las siguientes formulas, donde, de acuerdo a las expresiones, se colocaban los valores correspondientes: Barra simétrica y asimetrica Frecuencia natural (medida) F n = 1τ

Plano x-y I g = 12 mL2

Frecuencia angular natural (medida) ω n = 2π τ

Frecuencia angular natural (calculada) ωn =

Plano z-y 1 I g = 12 mL2

√

mgL I g +mL2

Período (calculado)

√

τ = 2π

L g

Plano x-z 1 I g = 12 mL2

Preguntas ¿Que concluye respecto a las frecuencias naturales angulares, frecuencia natural y periodos naturales de oscilación, para los sistemas de péndulo simple estudiados? R/ mientras menor sea el momento de inercia, mayor será la frecuencia natural angular y natural y por eso la frecuencia natural inversamente proporcional al periodo natural esta será más pequeña ¿Cómo se comparan los resultados teóricos con los experimentales del modelo de las 2 barras? R/ los resultados más parecidos fueron obtenidos para ambos casos en el plano z-y y en el caso de los planos x-y; x-z si se obtuvo mucha variación en el plano x-z fue donde se

x-z 0.284 2.9e-3 0.656 1.524 9.578 1.187 5.08 0.236 0.002 409 1.35 0.741 4.654 1.19 5.085

obtuvieron las diferencias significantes debido a la complejidad de acomodar el sistema a la posición 15 grados con exactitud. ¿Qué concluye respecto al momento masa de inercia de las barras y el plano de oscilación? R/ dependiendo del plano en que la barra este oscilando se deberá considerar el momento de inercia respecto a su centro de gravedad z-y; x-z o respecto a su eje longitudinal x-y ¿Cómo obtendría el momento masa de inercia de una barra a partir de los valores medidos? R/ dependiendo del movimiento de la barra y si esta en movimiento con respecto a su eje longitudinal o su centro de masa y la longitud de la barra se calcula la inercia. En caso de la barra con respecto al centro en donde está aislado también hay factores como excentricidad

Conclusiones Juan Gómez Lo que pudimos observar de este laboratorio es que dependiendo de la barra simétrica o asimétrica vamos a tener diferentes frecuencias y aún más con las diferentes distancias

que se le otorga a la barra, mientras más largo es el hilo la frecuencia va a ser más amplia y por ende los datos van a variar un poco. Jasón Gaitán En este laboratorio se pudo concluir que cuando más largo es el hilo su frecuencia va a ser más grande y va a cambiar dependiendo en que plano vas a hacer el movimiento si es en x-y; x-z; z-y porque va a tender a una diferente oscilación y la masa es otro factor de que ambas barras tengan datos diferentes aparte de que una es simétrica y la otra asimétrica