Limites Dobles 5r353z

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INDICE *LIMITES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES *EL CONCEPTO DEL LÍMITE *LÍMITES DE FUNCIONES *LÍMITE DOBLE *LÍMITE DIRECCIONAL *LÍMITES SUCESIVOS O REITERADOS

LÍMITES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

El sábado trece de Marzo de 1999, se realizó el primero de los tres seminarios de cálculo, en el departamento de matemáticas, basándose principalmente en los límites dobles, reiterados y direccionales. Este seminario fue expuesto por Javier Winter Martín y Carlos Medina Reina y debatido por cuatro compañeros de clase así como por el profesor Gustavo Montero García. El seminario fue expuesto a través de transparencias, cuyo contenido quedará expuesto más adelante, y constó principalmente de dos partes: en la primera, se exponían las transparencias mientras se debatían y se resolvían las dudas que iban surgiendo durante el transcurso del mismo. La segunda fue la exposición de algunas gráficas que eran comentadas por todos y resueltos por varios métodos. A continuación queda expuesto el contenido de las transparencias así como algunas de las gráficas expuestas:

EL CONCEPTO DE LÍMITE

f ( x) =

x3 − 1 x −1

Para tener una idea del comportamiento de la función en x=1 podríamos usar dos conjuntos de valores: por la izquierda y por la derecha.

Observando los valores siguientes, nos damos cuenta de que el valor de F(x) cuando nos aproximamos a x=1 se aproxima a 3, tanto si es por la derecha, como si lo es por la izquierda.

X F(x)

0,5 1,7

0,75 2,31

0,9 2,71

0,99 2,97

0,999 2,997

1 ¿?

1,00 3,00

1,01 3,03

1,1 3,31

1,25 3,8

x3 − 1 lim f ( x ) = lim =3 x →1 x →1 x − 1

Definición para una variable: lim f ( x ) = l ↔ ∀ε ≥ 0 x →c

∃δ ≥ 0 /

x ∈ A,

0 ≤ x − c ≤ δ ↔ f ( x) − l ≤ ε

Definición para varias variables:

lim

( x , y ) → ( a ,b )

f ( x , y ) ↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0

( x − a ) + ( y − b) < δ → f ( x , y ) − l < ε

LIMITES DE FUNCIONES

·UNA VARIABLE: -Lateral: lim f ( x ) = l +

x →c +

lim 3 − x = 0

x → 3−

-Infinito: lim f ( x ) = ∞ x →c

lim x →1

1 =∞ x −1

1,5 4,75

- En el infinito: lim f ( x ) = b x →∞

lim x →∞

x4 − 2x + 1 =1 x2 + 1

- Infinitésimos: Es una función cuyo valor absoluto puede hacerse tan pequeño como se quiera a partir de un cierto valor de la variable en adelante. lim f ( x ) = 0

x →a ( x →∞ )

lim

A =L B

*K ≠ 0 de igual orden *∞ → A< B *0 → A> B * ∃/ no son comparables Los infinitésimos de igual orden se denominan equivalentes. Este tipo, nos será muy útil para resolverlos.

·DOS VARIABLES: - Doble: lim

( x , y ) → ( a ,b )

-

f ( x) = l

Direccional (radial): lim f ( x , y ) = { y = ρ ( x )} = ld x →a y →b

- Reiterado: lim(lim f ( x )) = l1 x → a y →b

lim(lim f ( x )) = l2 y →b x → a

LIMITE DOBLE lim

( x , y ) → ( a ,b )

f ( x , y ) = l ↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 ( x − a ) + ( y − b) < δ → f ( x , y ) − l < ε

Infinitésimos Polares Direccional (radial) L`Hopital

2 xy = ( x , y ) → ( 0 , 0) x + y 2 lim

2

2 xy ]=0 y →0 x + y 2

l1 = lim[lim x →0

2

l1 = l2 l2 = lim[lim y → 0 x →0

lim

( x , y ) → ( a ,b )

2 xy ]=0 x + y2 2

2 xy 2m = { y = mx} = → ∃/ 2 x +y 1 + m2 2

{x = ρ cosθ } 2 xy = = sen2θ → ∃/ ( x , y ) → ( 0 , 0) x 2 + y 2 { y = ρsenθ } lim

lim

lim

porque

porque

depende

depende

de

m

de

θ

INFINITÉSIMOS:

L(1 + sen 2 x ) tgy y (1 + sen 2 x − 1) = lim =2 2 ( x , y ) → ( 0 , 0) arcsenx 2 (1 − cos y ) ( y ) x2 2 lim

CAMBIO A POLARES:

2 xy 2 ( x , y ) → ( 0 , 0) x 2 + y 2

x = ρ cosθ

lim

=0

y = ρsenθ

2 xy = sen2θ ⇒ ∃/ ( x , y ) → ( 0 , 0) x + y 2 lim

2

lim porque depende de θ

DIRECCIONAL:

x− y x − x2 1− x = lim = lim =1 2 ( x , y ) → ( 0 , 0) x + y x→0 x + x x→0 1 + x 2 lim

y=x

1

lim(1 + f ( x )) f ( x ) = e

muy

2 xy 2 lim = ( x , y ) → ( 0 , 0) x 2 + y 2

l1 = 0 l2 = 0

x → x0

impor tan te

2 xy 2 lim = { y = mx} = 0 ( x , y ) → ( 0 , 0) x 2 + y 2 x = ρ cosθ 2 xy 2 lim 2 2 ( x , y ) → ( 0 , 0) x + y y = ρsenθ

=0

LÍMITE DIRECCIONAL Sea Ζ = ƒ ( x,y) P ( x , y ) → P ( a , b)

Mediante un camino concreto y = ρ( x) lim

( x , y ) → ( a ,b )

lim

( x , y ) → ( a ,b )

f ( x , y ) = lim f ( x , ρ ( x )) = lim F ( x ) x →a

f ( x , y ) = l ↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0

x →a

( x1 − a1 ) 2 + ( x2 − a2 ) 2 < δ → f ( x1 , x2 ) − ld < ε

Cuando la recta pasa por el punto donde se está calculando el límite: ( x2 − a2 ) = m( x1 − a1 ) ⇒ Cambio a polares x1 = ρ cos w + a1 y1 = ρsenw + a2

lim

radial

LIMITES SUCESIVOS O REITERADOS Camino continuo de trazos. lim[lim f ( x , y )] x → a y →b

Camino discontinuo de trazos. lim[lim f ( x , y )] y →b x → a

Los cuales reciben el nombre de límites sucesivos o reiterados. Dado que son los dos

caminos, obviamente la igualdad de ambos límites reiterados no prueba la existencia del límite. Los dos límites reiterados no tienen que ser iguales necesariamente, aunque si existe el límite doble y ambos reiterados, estos coinciden y son iguales al valor del límite doble. Sin embargo, la existencia reiterados no implica la existencia del límite doble.

La existencia del límite doble implica la existencia de todos los límites direccionales y el valor de todos coincide con el primero. Sin embargo, no sucede así a lim

( x , y ) → (1,1)

lim[lim x →1 y →1

lim[lim y →1 x →1

x+ y−2 x3 + y3 − 2 x+ y−2 x3 + y3 − 2 x+ y−2 x + y −2 3

3

] = lim x →1

] = lim y →1

x −1 x3 − 1 y −1 y3 − 1

=0 =0

la inversa.

BIBLIOGRAFÍA · Cálculo I: Teoría y problemas de análisis matemático de una variable. 2ª Edición. Antonio López

Alfonsa García

Gerardo Rdguez

Fernando García

Agustín de la Villa

Andrés Gutiérrez

· Cálculo II: Teoría y problemas de análisis matemático de varias variables. Alfonsa García

Antonio López

Gerardo Rdguez

Agustín de la Villa

Sixto Romano · Cálculo. Francisco Granero. McGraw-Hill. · Larsson- Hostetler. 3ª Edición. Cálculo y geometría analítica.