Linea Recta Y Lugares Geometricos 3i6i3o

“Año de la consolidación del Mar de Grau”

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

TEMA:

“LINEAA RECTA Y Y LUGARES GEOMETRICOS” CURSO

:

GEOMETRIA ANALITICA

DOCENTE

:

ING. MARCO A. GARCIA PAREDES

ALUMNO

:

ALBERTO GARCIA BENZAQUEN

CICLO

:

I

Tarapoto - 2016INTRODUCCIÓN

Este tema constituye una introducción a la geometría analítica del plano. Se definirán las coordenadas de un punto del plano respecto a un sistema de referencia cualquiera, como generalización de lo ya visto sobre coordenadas cartesianas. Se estudiará la ecuación de una recta cualquiera y se analizarán las posiciones de rectas en virtud de su ecuación. Se terminará haciendo un estudio sobre medidas de ángulos, distancias y áreas de figuras elementales. En el desarrollo de los temas se ha puesto especial cuidado en fijar el motivo, esto es necesario si se quiere adquirir un conocimiento básico de los métodos analíticos y no haga una simple adquisición de hechos geométricos..

El autor.

I.

Líneas Rectas. a. Definición.Es la distancia más corta entre dos puntos. P (x,y) par ordenado. Pero también lo podemos definir de la siguiente manera.

una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada

Estas definiciones se apoyan en el significado del término distancia. Si tratamos de definir la distancia, veremos que cualquier explicación nos regresa al punto de partida. Por tal razón, toda definición ite la existencia de la línea recta como un postulado.

b. Ecuación de una Línea Recta. Geométricamente, una recta que pasa por un punto y tiene pendiente, queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección.

Analíticamente, la ecuación de una recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación y por tanto su pendiente. Teorema 1.Dado que la recta pasa por el punto P1 (x1, y1) y tiene pendiente m, tiene por ecuación:

y – y1 = m(x – x1) Y de acuerdo con P(x, y), un punto cualquiera de la recta, diferente del punto dado P1(x1, y1). Las coordenadas del punto P(x, y) satisfacen la ecuación:

m = y – y1 x – x1 De la cual obtenemos, inmediatamente, quitando denominadores, la ecuación. c. Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada de origen. Consideremos una recta L, cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir, su intercepción con el eje Y, es b. como se conoce b, el punto cuyas ordenadas son (0, b), por tanto el problema se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, b) y

tiene una pendiente dada. Según el teorema 1, la ecuación buscada es:

y – b = m(x – 0) o sea,

y = mx + b d. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Geométricamente una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquier de sus puntos, analíticamente, la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas de dos cualesquiera de sus puntos. Y tiene por ecuación:

Y – y1 = y1 – y2 (x – x1), x ≠ x2 X1 – x2 Sea la recta A B, como se conocen los dos de sus puntos, estará dada de la siguiente manera:

M = y1 – y2, x ≠ x2 X1 – x2

e. Discusión de la forma general. Haremos algunas observaciones con respecto a la recta y la Geometría analítica. Acabamos de ver que la ecuación de una recta es, necesariamente, de la forma:

Ax + By + C = 0 Por tanto, al buscar la ecuación de una recta particular, sabemos a priori que es de la forma lineal; el problema que queda por resolver es el de determinar los coeficientes A, B y C. este último enunciado, sin embargo, no está restringido a la línea recta solamente. Considerando los tres coeficientes A, B y C en la forma general. Notamos en primer lugar, que todos son constantes reales y arbitrarias, es decir, que pueden tomar cualquier valor real, siempre que A y B no sean simultáneamente nulos. Pueden parecer a primera vista que estas tres constantes son independientes. Pero puede demostrarse fácilmente que, en realidad, solamente hay dos constantes independientes. En efecto, uno cuando menos, de los coeficientes A y B debe ser diferente a Cero. Por tanto, si A ≠ 0, podemos dividir la ecuación por A de manera que tome la forma: z+

II.

B C❑ y+ =0 A A

Lugares Geométricos. Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente

en

términos

de

distancias

a

puntos,

rectas

o

circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.

En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una

curva

cónica),

corresponderse

con

mientras que trazados

en

otras ocasiones

mucho

más

pueden

complejos.

Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia, una recta paralela a otra.

También las curvas cónicas se pueden considerar como lugares geométricos. Así una elipse es el lugar geométrico de la suma de las distancias de un punto a dos dados (los focos) que es constante.

a) Ecuación de un lugar geométrico.Estudiaremos ahora el problema de la determinación de la ecuación de un lugar geométrico en el caso de que la interpretación analítica de la condición o condiciones geométricas definen el

lugar

geométrico. Definiendo, la ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma: f ( x , y )=0

Cuyas soluciones reales para valores correspondientes de x y Y son todas las coordenadas de aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la condición o condiciones geométricas que definen el lugar geométrico.

Se forma a partir de todos los puntos que satisfacen la condición, es decir, su grafica representa la unión de una infinidad de puntos. Sin embargo, en la práctica se toma como referencia las parejas ordenadas que se obtienen de la tabulación y se unen. Que son: (-5,25), (-4,16), (-3,9), (-2, 4), (-1, 1), (0,0), (-1,1), (2, 4), (3, 9), (4, 16) y (-5, 25).

b) Mediatriz de un segmento de recta. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos. Se representa por:

d ( P , A)=d ( P , B)

√ ( x −x 1 ) ❑2+( y− y 1)❑2 =√( x−x 2 ) ❑2+( y− y 2)❑2

Ejemplo: Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A (2, 5) y B (4, -7)

c) Bisectrices de un ángulo. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo.

Ecuaciones de las Bisectrices.

Ejemplo: Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas: r ≡ 3 x - 4y + 5 = 0 y s ≡ 6 x + 8 y + 1 = 0