Lingkaran 1l27h

1

BAB 1 LINGKARAN A. DEFINISI Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang khusus. Tiap titik pada lingkaran itu mempunyai jarak yang sama dari suatu titik yang disebut pusat lingkaran. Jarak titik pada lingkaran dengan pusat disebut jari-jari atau radius lingkaran.

Definisi 1.1 Lingkaran adalah garis lengkung yang bertemu kedua ujungnya, yang merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama dari sebuah titik tertentu. Titik ini disebut titik pusat.

Elemen-elemen yang ada pada lingkaran adalah sebagai berikut. D A

C

G

B E 

M P

F Q

S Gambar 1.1

1.

Ruas garis yang menghubungkan sebuah titik pada lingkaran dengan titik pusat disebut jari-jari.

2.

Ruas garis yang menghubungkan 2 titik pada lingkaran disebut tali busur.

3.

Ruas garis yang ditarik dari pusat tegak lurus tali busur disebut apotema. Jadi apotema adalah jarak dari titik pusat ke tali busur.

4.

Kepanjangan apotema yang terletak diantara tali busur dan busur disebut anak panah.

2

5.

Sebagian dari lingkaran yang terletak diantara kedua ujung tali busur AB disebut busur (ditulis )

6.

Juring dibatasi oleh dua jari-jari dan busur.

7.

Tembereng dibatasi oleh tali busur tembereng dan busur.

Keterangan Gambar 1.1 MG : jari-jari

CD : anak panah

AB : tali busur

daerah EMF : juring

MC : apotema

daerah PQS : tembereng

Teorema 1.1. Tiap-tiap tali busur yang tidak melalui titik pusat kurang dari garis tengah. 1.2. Apotema membagi tali busur tegak lurus dipertengahan. 1.3. Tali-tali busur yang sama mempunyai apotema-apotema yang sama pula. 1.4. Jika dua buah tali busur dalam sebuah lingkaran mempunyai apotemaapotema yang sama, maka tali-tali busur itu sama pula.

Perlu diperhatikan dua ketentuan berikut. 1. Setiap garis tengah juga merupakan tali busur. Tetapi tidak setiap tali busur merupakan garis tengah. 2. Tali busur yang tidak melalui pusat lingkaran selalu lebih kecil dari garis tengah.

B. GARIS DAN LINGKARAN

Definisi 1.2 Garis singgung adalah garis yang mempunyai persekutuan dengan lingkaran pada dua buah titik yang berimpitan. Titik tersebut disebut titik singgung.

3

Melukis garis singgung disebarang titik pada lingkaran. 1. Menghubungkan titik yang diketahui dengan pusat lingkaran (terbentuk jari-jari ) 2. Membuat dari titik tersebut garis yang tegak lurus jari-jari. 3. Garis singgung terlukis.

Simpulan Ada 3 kedudukan garis dan lingkaran yaitu : 1. Garis memotong lingkaran, 2. Garis menyinggung lingkaran, dan 3. Garis terletak diluar lingkaran.

Definisi 1.3 Sudut antara garis dan lingkaran (yang dipotong oleh garis ini) adalah sudut yang terletak diantara garis potong ini dan garis singgung yang ditarik melalui salah satu dari titik-titik potongnya.

Oleh karena sebuah garis memotong lingkaran pada dua titik, maka berarti ada dua sudut. Akan kita buktikan bahwa sudut-sudut itu sama. Akan dibuktikan : P R A

C B 

Q

M

Gambar 1.2 Bukti : Lihat

ABM, AM = MB

ABM samakaki.

Jelas  BAM =  ABM PAB = Penyiku  BAM ……………… (1)

4

CBQ = Penyiku  CBR ……………… (2) CBR = ABM (bertolak belakang) 

= Penyiku  ABM …………… (3)

Dari (1), (2), dan (3) didapat  PAB =  CBQ.

Melukis Garis Singgung dari Sebuah Titik di Luar Lingkaran A P



M B Gambar 1.3

Diketahui titik P di luar lingkaran M. Cara melukis garis singgung dari titik P pada lingkaran M adalah membuat lingkaran dengan PM sebagai garis tengah sehingga memotong lingkaran M yang diketahui di A dan B. AP dan BP adalah garis singgung yang ditanyakan.

C. LETAK BEBERAPA LINGKARAN

Definisi 1.4 Dua lingkaran bersinggungan jika kedua lingkaran ini mempunyai sebuah garis singgung persekutuan di sebuah titik persekutuan.

Jika diketahui dua lingkaran dengan titik pusat M, dan N, maka garis hubung M dan N di sebut sentral. Jika MN= a, R = jari-jari lingkaran dengan titik pusat M, dan r = jari-jari lingkaran dengan titik pusat N, maka kemungkinan: 1. Dua buah lingkaran terletak di luar sesamanya, a > (R+ r), 2. Dua buah lingkaran terletak bersinggungan di luar, a = (R+ r), 3. Dua buah lingkaran berpotongan, (R+r) > a > (R-r), 4. Dua buah lingkaran bersinggungan di dalam, a = (R-r),

5

5. Dua buah lingkaran terletak di dalam sesamanya, a < (R-r), 6. Dua buah lingkaran sepusat, a = 0.

Teorema 1.5 Pada dua buah lingkaran yang berpotongan, sentral kedua lingkaran membagi tali busur persekutuan tegak lurus di pertengahan.

Definisi 1.5 Sudut dua lingkaran yang berpotongan ialah sudut yang di buat oleh ke dua garis singgung di salah satu dari titik-titik potongnya.

B C A 

M



N

Gambar 1.4 ACB = sudut kedua lingkaran M dan N yang berpotongan. Lihat gambar! MCN =



ACB =



MCN = ACB.

Jadi dapat di katakan bahwa sudut dua lingkaran yang berpotongan sama dengan sudut yang di bentuk oleh kedua jari-jari di salah satu dari titik-titik potongnya.

6

D. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN

Definisi 1.6  Sebuah garis yang menyinggung dua buah lingkaran disebut garis singgung persekutuan.  Jika pusat-pusat lingkaran terletak pada pihak yang sama pada garis singgug itu maka garis singgung itu dinamakan garis singgung luar persukutuan  Jika pusat-pusat lingkaran terletak sebelah menyebelah garis singgung, maka garis singgung dalam persekutuan.

Melukis Garis Singgung Luar Persekutuan A E M

B

R

r N Gambar 1.5

1.

Lukis lingkaran dengan garis tengahnya = MN.

2.

Tentukan E sehi ngga ME = R – r.

3.

Perpanjang ME hingga memotong lingkaran (M,R) di A.

4.

Buat garis di A hingga garis tersebut tegak lurus AM.

5.

Garis tersebut memotong lingkaran (N,r) di B.

6.

AB adalah garis singgung luar persekutuan lingkaran M dan N.

7

Melukis Garis Singgug Dalam Persekutuan

E A R M r

N

B Gambar 1.6 1.

Lukis lingkaran dengan garis tengahnya = MN.

2.

Tentukan E sehingga ME = R + r.

3.

Perpotongan ME dengan lingkaran (M,R) adalah A.

4.

Buat garis di A hingga garis tersebut tegak lurus ME hingga memotong lingkaran (N,r) di B.

5.

AB adalah garis singgung dalam persekutuan.

E.

SUDUT DAN BUSUR

Definisi 1.7  Sudut pusat adalah sudut yang di bentuk oleh dua jari-jari lingkaran.  Sudut keliling adalah sudut yang di bentuk oleh dua tali busur yang berpotongan pada keliling lingkaran.  Besarnya sebuah busur lingkaran adalah besarnya sudut pusat pada busur itu.

Teorema 1.6. Tali-tali yang sama menahan busur-busur yang sama. Sudut-sudut pusat yang sama besar berdiri di atas busur yang sama. 1.7. Sudut keliling

busurnya.

8

Akan dibuktikan:  ABC =

AC

Bukti :

B









M +









A atau

C Gambar 1.7

Menurut teorema ,  Jadi



Teorema 1.8. Sudut yang di bentuk oleh sebuah garis singgung dan sebuah tali busur yang melalui titik persinggungan sama dengan setengah busur yang terletak di antara garis singgung dan tali busur itu.



Akan di buktikan: Bukti: Tariklah garis tengah AD.

A

Bukti : 

M



C B



+



D Gambar 1.8

Teorema 1.9. Busur-busur lingkaran yang terletak di antara dua buah tali busur yang sejajar, sama panjangnya.

Tali busur AB * tali busur CD.

9

Akan dibuktikan:

AC =

BD.

Bukti : C

Tariklah AD.

D  M

A

B Gambar 1.9

 A =  D (sudut-sudut dalam bersebrangan pada garis-garis sejajar). A= Jadi

BD dan  D = AC =

AC.

BD

Teorema 1.10. Jika dua buah tali busur berpotongan di dalam lingkaran, maka sudut yang dibentuknya sama dengan setengah jumlah busur yang terletak diantara kaki-kaki sudut itu. Akan dibuktikan  S =

AC +

BD

C



A

B S

M

D

Gambar 1.10

Bukti : Tariklah BC S= 

=

Jadi  S =

+

(sudut luar

BD,  AC +

=

SCB).

AC. BD ( S dinamkan sudut keliling dalam).

10

Teorema 1.11. Jika dua buah tali busur berpotongan di luar lingkaran, maka sudut yang di bentuknya sama dengan setengah selisih busur-busur yang terletak diantara kaki-kaki sudut itu.

Akan dibuktikan:  S =

AC

BD.

C D M A

S B Gambar 1.11

Tarik AD, maka  S= 

 A +  S atau

A

=

AC,  A =

Jadi  S =

AC

BD. BD ( S dinamkan sudut keliling keluar).

11

BAB II PERSAMAAN LINGKARAN

A. PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O dan berjari-jari r adalah x2+y2 = r2 Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x-a)2 +(y-b)2 = r2. Bentuknya umum persamaan lingkaran adalah x2+y2 +Ax +By +C =0 Dengan pusat ⌈

⌉ dan jari-jari r =√

Posisi sembarang titik R (k, 1) ppada lingkaran dengan persamaan x2+y2 +Ax +By +C =0 adalah : 1.

(

) di dalam lingkaran maka

2.

(

) di dalam lingkaran maka

3.

(

) di luar lingkaran maka

.

Nilai x2+y2 +Ax +By +C =0 disebut kuasa titik R terhadap Lingkaran.

B. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN

Salah satu cara menentukan kedudukan garis g L

y= mx+n terhadap lingkaran

x2+ y2+Ax+By+C=0 dapat diketahui dengan mensubtitusikan persamaan

garis g ke lingkaran L, sehingga diperoleh (1+m2)x2+(2mm+A+Bm)x +(n2+ Bn +C)= 0. Persamaan ini adalah persamaan kuadrat dengan tiga kemungkinan diskriminan (D), yaitu: 1. Garis memotong lingkaran di dua titik jika D>0,

12

2. Garis menyinggung lingkaran jika D=0, atau 3. Garis di luar lingkaran jika D < 0

Catatan: Jarak titik M (x1, y1) dengan garis g

|

ax + by +c adalah

|

√

C. PERSAMAAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1.

Garis Singgung lingkaran yang berpusat di O (0,0) Persamaan garis singgung di titik (

) pada lingkaran

,

adalah

2.

Garis singgung lingkaran yang berpusat di M (a,b) dan Memiliki jarijari r

a) Persamaan garis singgung di titik P (

)

,

pada lingkaran yang

berpusat di M (a,b) adalah (

)(

)

(

)(

b) Persamaan garis singgung

)

di titik P (

,

) pada lingkaran yang

berpusat di M (a,b) dengan jari-jari r adalah (

)(

)

(

)(

)

c) Persamaan garis singgung di titik P ( adalah (

)

(

)

,

) pada lingkaran

13

3.

Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu Persamaan garis singgung bergradien m pada lingkaran L yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r adalah (

4.

)

√

Garis Singgung Lingkaran dari Suatu Titik di Luar Lingkaran Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a,b), jari-jari r, dan melalui titik (x,y) adalah (

)

(

)(

dengan )

)

√( (

)

(

)

14

BAB III PERBANDINGAN SEHARGA GARIS-GARIS DALAM LINGKARAN

A. PERBANDINGAN SEHARGA GARIS-GARIS DALAM LINGKARAN

Teorema 3.1. Garis tegak lurus dari sebuah titik lingkaran ke garis tengahnya adalah pembanding tengah antara bagian-bagian garis tengah itu. C

Diketahui : lingkaran (M,R) AB garis tengah, dan CD  AB. Pada

A

D

B

M

ABC berlaku

Gambar 3.1 Teorema 3.2. Jika dari sebuah titik lingkaran ditarik sebuah tali busur dan sebuah garis tengah, maka tali busur ini pembaanding tengah antara garis tengah dan proyeksinya pada garis ini. C

Diketahui : lingkaran (M,R) AB garis tengah, dan CD  AB. Pada

A

D

M

ABC berlaku

Gambar 3.2

B

15

Teorema

3.3. Jika dua buah tali busur berpotongan di dalam lingkaran, maka perkalian kedua bagian pada tali busur yang pertama sama dengan perkalian bagian-bagian pada tali busur yang kedua.

Diketahui : Lingkaran (M,R), dan AB dan CD berpotongan di P. C P

B



A

M D Gambar 3.3

Maka berlaku PA × PB = PC × PD

Teorema 3.4. Jika dari sebuah titik di luar lingkaran ditarik dua garis potong maka perkalian bagian-bagian garis potong yang pertama sama dengan perkalian bagian-bagian garis potong yang kedua.

Diketahui : Lingkaran (M,R), dan AB dan CD berpotongan di P. B 4. 5.M D

A 

P C

Gambar 3.4

16

Maka berlaku PA × PB = PC × PD

Teorema

3.5.

Jika dari sebuah titik diluar sebuah lingkaran ditarik sebuah garis potong, maka garis singgung ini menjadi pembanding tengah antara bagian-bagian tengah garis potong.

Diketahui: Lingkaran (M,R) dan P di luar lingkaran. C 

M

B

A

P

Maka berlaku

Catatan : 1) Teorema 3.2, 3.3, dan 3.4 diatas dapat juga dikatakan sebagai berikut. Hasil perbanyakan jarak-jarak P ke titik-titik potong A dan B dari suatu garis yang berputar pada P dengan sebuah lingkaran, mempunyai harga konstan. 2) Jika hasil perbanyakan PA

PB diberi tanda positif atau negatif , maka

hasil perbanyakan dianggap positif jika P diluar lingkaran, dan negatif jika P di dalam lingkaran. Hasil perbanyakan tadi ditulis ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .

Kuasa

(P, L) dari suatu titik P terhadap lingkaran L adalah hasil

perbanyakan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .

17

A dan B adalah titik potong lingkaran itu dengan sebuah garis yang melalui P. Kuasa ini positif, jika P di luar lingkaran, dan negatif jika P di dalam lingkaran.

Teorema

3.6. Kuasa sebuah titik P terhadap lingkaran (M , r) =

.

Bukti : Kuasa P terhadap lingkaran (M, R) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ – ⃗⃗⃗⃗⃗ )(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ – ⃗⃗⃗⃗⃗ )(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

(

)

.

B. MENGALIKAN BANGUN-BANGUN LINGKARAN

Teorema 3.7 jika sebuah lingkaran diperkalikan dengan

atau

hasilnya sebuah lingkaran yang jari-jarinya

, maka bangun sepanjang jari-jari

lingkaran bermula. A1 A C

M

M1

O B B1

Gambar 3.6

18

O disebut titik kesebangunan luar O1 titik kesebangunan dalam.

Teorema

3.8 Titik kesebangunan luar O dari dua buah lingkaran M dan M1 terletak pada kepanjangan sentral sedemikian rupa sehingga MO:M1O = r : r1. 3.9 Titik kesebangunan dalam O1 dari dua buah lingkaran M dan M1 terletak pada sentral sedemikian rupa, sehingga MO1 : M1 O1 = r : r1

19

BAB IV SEGITIGA DAN LINGKARAN

A. LINGKARAN LUAR

Teorema 4.1.

Jari-jari R lingkaran luar sebuah segitiga sama dengan perkalian sisisisinya dibagi oleh 4 kali luas segitiga itu, atau

Diketahui :

ABC dengan lingkaran luar O,

AB = c,AC = b, dan BC = a.

Gambar 4.1 Akan dibuktikan :

.

Bukti : B

Dari titik B telah kita tarik garis tinggi BD = tb Dan garis tengah BE = 2R. E dihubungkan dengan C, maka Karena  A =  E =

ABD

BC dan  D =  BCE = 900.

Dari kesebangunan ini diperoleh : atau aqJadi 2R =

luas Jadi R =

.

ABC.

atau R =

A

C

D E

= ac

atau 2R =

 O

EBC,

.

20

B. LINGKARAN DALAM Titik pusat lingkaran dalam sebuah segitiga, kita namakan I dan jari-jari lingkaran dalam

.

Teorema 4.2.

Jari-jari lingkaran dalam sebuah .

Diketahui :

= Luas dibagi C

keliling

ABC.

Akan dibuktikan : R Bukti : Luas

b

.

E D r

AIB =

Luas

BIC =

Luas

CIA =

a

1

A F

+ Luas segitiga ABC = (

B

c

)

Gambar 4.2

Luas segitiga ABC = atau Lihat gambar AF = AD BF = BE CD = CE

+

AE + BF + CD = AD+ BE + CE AF + BF + CD = s atau AB = CD

, Jadi CD +

Catatan :  AIB =

( 

atau 



(  + 

Jika dari sebuah

 )





 )









 =

+  .

ABC diketahui alas c, sudut puncak C, dan jari-jari

lingkaran dalam R, maka dapat kita lukiskan

AIB, karena dari segitiga ini

21

diketahui alas sudut puncak dan tingginya. Setelah lukisan

AIB dilukiskan, maka

ABC dapat dibuat.

C. LINGKARAN SINGGUNG

Lingkaran singgung suatu segitiga adalah lingkaraan yang menyinggung pada sisi segitiga itu dan pada kepanjangan-kepanjangan kedua sisi yang lain. Sebuah segitiga mempunyai tiga buah lingkaran singgung. 1. Lingkaran I a yang menyinggung pada BC dan mempunyai jari-jari r a . 2. Lingkaran I b yang menyinggung pada AC dan mempunyai jari-jari r b. 3. Lingkaran I c menyinggung pada AB yang dan mempunyai jari-jari r

c.

C 

A

D



B

r

F r

r

Q

P

Gambar 4.3 I c adalah titik potong garis bagi luar A dan garis bagi C. garis bagi luar B juga harus melalui I

c .Telah

kita buktikan bahwa I

c

D = I c F. Jadi I

c

terletak pada tempat kedudukan sekalian titik yang sama jauh letaknya dari kaki-kaki ABQ dan itu adalah garis bagi luar B.

22

Teorema

4.3.

Dalam

ABC jari-jari lingkaran singgungnya yaitu :

Akan dibuktikan :

C L

L

F A

L

B

r

H E

D r

r

I

Gambar 4.4 Bukti : Luas

ACLIc

=

Luas

ACBIc

= +

Luas segiempat CAIcB = Luas segitiga ABIc

Luas

ABC =

(

(

)

=

)

23

Telah kita buktikan, bahwa Jadi

ABC = (

Kesimpulan :

R=

)

( atau

)

24

BAB V KELILING DAN LUAS LINGKARAN

A. KELILING DAN LUAS LINGKARAN

Untuk menghitung luas sebuah lingkaran, kita perbandingkan luas lingkaran ini dengan luas segibanyak-segibanyak beraturan yang dilukiskan di dalam dan di luar lingkaran itu. Luas segibanyak luar beraturan senantiasa lebih besar daripada luas lingkaran, sedangkan luas segibanyak dalam beraturan lebih kesil daripada luaslingkaran. Ini terlihat pada gambar, dari gambat jelas keli segidelapan beraturan lebih mendekati luaas lingkaran dari luas bujur sangkar. Bertambah banyak segibanyak itu, bertambah mendekati luas-luas itu semuanya. Ini juga terbukti dari tabel dibawah ini.

Banyaknya sisi

Luas segibanyak

Luas segibanyak

dalam beraturan

luar beraturan

4

2

4

8

2,82..

3,82..

16

3,0615..

3,1826..

3,1..

3,1215..

3,1517..

3,1..

3,1366..

3,1441..

3,14..

128

3,1403..

3,1422..

3,14..

256

3,1413..

3,1416..

3,141..

32 64

Besarnya

25

Luas lingkaran biasanya dinyatakan dengan kuadrat jari-jarinya. Bilangan memperkalikan kuadrat jari-jari itu untuk memperoleh luas lingkaran, dinyatakan dengan huruf yunani terukur.

Bilangan

adalah huruf yunani yang tak

dapat diketahui sampai beberapa angka dibelakang

koma. = 3,1415926535897932384624338279502884197... Untuk perhitungan kita, kita ambil : Archimedes,atau

=

, telah dilakukan oleh

= 3,14. Luas sebuah lingkaran dengan jari-jari R =

.

Luas sebuah segibanyak beraturan sama dengan setengah dari perkalian apotema dan keliling segibanyak itu. Jika sisi-sisi segibanyak itu amat banyak, maka apotemanya mendekati R dan keliling segibanyak itu mendekati keliling lingkaran serta luas segibanyak itu mendekati luas lingkaran. Keliling segibanyak

setengah apotema = luas segibanyak,

Jadi lingkaran x setengah jari-jari = luas lingkaran, atau keliling lingkaran =

.

Luas sebuah juring lingkaran dengan sudut 90o =

luas lingkaran.

Luas sebuah juring lingkaran dengan sudut pusat 36o = Jika sebuah juring lingkaran dengan sudut pusat =

dan panjang busurnya

luas lingkaran.

maka luasnya

.

Luas sebuah tembereng lingkaran sama dengan luas juring lingkaran dikurangi dengan segitiga sama kaki, yang kaki-kakinya jari-jari lingkaran itu dan alasnya tali busur tembereng itu.

26

B A

m M Gambar 5.3 Lihat gambar, tembereng ABC =

Luas

ABM.

Luas lingkaran dengan pusat O jari-jari r dapat didekati dengan luas dari beberapa segitiga samakaki dengan puncak di O danpanjang masingmasing sisi sama kakinya r. Jika kita mengkonstruksikan segitiga samakaki sebanyak n buah (

) maka jumlah seluruh luas segitiga akan semakin

mendekati luas lingkaran. Jika terdiri dari n segitiga, maka besar sudut tersebut adalah

Jadi luas n segitiga (

)

(

)

( ) ( )

sehingga luas segitiga

27

(

Jadi L =

)

.

B. PEMBUKTIAN EMIRIS RUMUS LUAS LINGKARAN

Jika jari-jari lingkaran adalah r, maka rumus ukuran luas daerah lingkaran adalah L Untuk membuktikan rumus luas daerah lingkaran dapat dilakukan pembuktian secara empiris. Pembuktian rumus luas daerah lingkaran secara empiris yang lazim dilakukan adalah dengan cara memotong-motong lingkaran sehingga menjadi juring-juring kemudian membentuknya menjadi persegi panjang atau jajargenjang. Sehingga rumus luas daerah lingkaran dapat diturunkan dari rumus luas daerah persegi panjang atau jajargenjang.

1. Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Persegi Panjang Lingkaran dipotong-potong menjadi 8 juring, dan salah satu juring dibagi 2 sama menurut jari-jari. Selanjutnya disusun secara zigzag ke samping dengan menempelkan sisi jari-jari dari masing-masing juring sehingga mendekati terbentuk persegi panjang seperti terlihat pada gambar 5.5 dan 5.6 berikut

28

Gambar 5.5

Gambar 5.6

Jika rumus luas persegi panjang adalah L = panjang x lebar, Maka diperolehrumus luas lingkaran, yaitu L = keliling lingkaran (

jari-jari lingkaran

)

2. Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Jajargenjang Lingkaran dipotong-potong menjadi 8 juring.selanjutnya disusun secara zig-zag ke samping dengan menempelkan sisi jari-jari dari masingmasing juring sehingga mendekati terbentuk peersegi panjang seperti terlihat pada gambar 5.7 dan5.8 berikut.

Gambar 5.7

Gambar 5.8

Jika rumus luasjajargenjang adalah L = alas x tinggi Maka diperoleh rumus luas lingkaran yaitu L = keliling lingkaran (

)

jari-jari lingkaran

29

3. Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Segitiga Untuk membuktikan rumus luas lingkaran dengan menurunkan dari rumus luas segitiga, lingkaran dibagi menjadi juring-juring sebanyak 4,9, 16, 25, 36, ......atau sebanyak

, kemudian disusun sedemikian rupa sehingga

membentuk segitiga sama kaki. Berikut ini lingkaran yang dipotong menjadi 4 juring (gambar 5.9 dan 5.10) dan menjadi 16 juring (gambar 5.11, 5.12).

Gambar 5.9

Gambar 5.10

Gambar 5.10

Gambar 5.11

Pada gambar 5.11 susunan tersebut nampak jelasbahwa susunan tersebut membentuk segitiga samakaki. Akan tampak sangat jelas jika lingkaran dipotong menjadi 36, 49, 64juring,dan seterusnya. Perhatikan gambar 5.11. pandang gambar tersebut sebagaisegitiga samakaki.segitiga samakaki tersebut adalah bentukan 16 juring darisebuah lingkaran. Keliling lingkaran =

bujur juring.

Alas segitiga samakaki = 4 busur juring =

keliling lingkaran.

30

Tinggi segtiga tersebut adalah terdiri dari 4 juring = Jika luas daerah segitiga adalah L

alas

tinggi,

Maka luas pada gambar 5.11 tersebut adalah

4. Pembutian Rumus Luas Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Belah Ketupat Untuk membuktikan rumus luas lingkaran dengan menurunkan dari rumus luas belah ketupat, lingkaran dibagi menjadi juring-juring sebanyak 2, 8, 18, 32, .....atau sebanyak

, kemudian disusun sedemikian rupa sehingga

membentuk bangun belah ketupat. Berikut ini lingkaran yang dipotong menjadi 8 juring (gambar 5.12 dan 5.13) dan menjadi 18 juring (gambar 5.14 dan 5.15) yang kongruen.



Gambar 5.12

Gambar 5.13

Gambar 5.14

Gambar 5.15

31

Pada gambar 5.15 terlihat semakin jelas membentuk bangun belah ketupat. Akan lebih jelas lagi jika lingkaran dibagi lebih banyak lagi sebanyak 32, 50, 72, dan seterusnya. Perhatikan gambar 5.15. pandang gambar tersebut sebagai belah ketupat. Belah ketupat tersebut adalah bentukan 16 juring dari sebuah lingkaran Keliling lingkaran =

bujur juring.

Diagonal 1 = 3 busur juring =

keliling.

Tinggi belah ketupat = 6 juring = Jika luas daerah belah ketupat adalah L

,

Maka luas pada gambar 5.15 tersebut adalah

5. Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Trapesium Untuk membuktikan rumus luas lingkaran dengan menurunkan dari rumus luas trapesium, lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang dapat disusun satu tingkat, dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Jika juringjuring akan disusun satu tingkat, maka lingkaran dibagi menjadi juring sebanyak 5, 7, 9, 11, ..., atau (2n+1). Jika juring-juring akan disusun dua tingkat, maka lingkaran dibagi menjadi juringsebanyak 8, 12, 16, 20,..., atau 4(n+1). Jika juring-juring akan disusun tiga tingkat, maka lingkaran dibagi menjadi juring sebanyak 15, 21, 27, 33,...,atau3(2n+30. Kemudian disusun sedemikian rupasehingga membentuk bangun trapesium samakaki. Berikut

32

ini lingkaran yang dipotong menjadi 8 juring dan disusun dua tingkat. (gambar 5.16 dan 5.17) dan menjadi 16 juring (gambar 5.18 dan 5.19)

Gambar 5.16

Gambar 5.17

Gambar 5.18

Gambar 5.19

Pada gambar 5.19 terlihat semakin jelas membentuk bangun trapesium. Akan lebih jelas lagi jika lingkaran dibagi lebih banyak lagi. Perhatikan gambar 5.19 Pandang gambar tersebut sebagai trapesium Trapesium tersebut adalah bentukan 8 juring dari sebuah lingkaran. Keliling lingkaran =

bujur juring.

Sisi a = 3 busur juring =

keliling.

Sisi b = 5 busur juring =

keliling.

Sisi a + sisi b =

keliling =

Tinggi trapesium = 2 juring = 2 r. Jika luas daerah trapesium adalah

keliling

33

(

)

Maka luas gambar pada gambar 5.19 tersebut adalah

34

BAB VI TEMPAT KEDUDUKAN LINGKARAN-LINGKARAN

Definisi

5.1. Tempat kedudukan adalah sebuah garis atau beberapa garis yang sekalian titik memenuhi suatu syarat yang tertentu, sedangkan titik-titik diluar garisgaris itu tidak memenuhi syarat tersebut. Beberapa tempat kedudukan lingkaran : 1.

Lingkaran merupakan T.K semua titik yang berjarak sama dari sebuah titik yang diketahui.

2.

T.K untuk titik-titik pusat lingkaran-lingkaran yang melalui sebuah titik P dan jari-jarinya r adalah sebuah lingkaran dengan P sebagai titik pusat dan r jarijari

3.

T.K untuk titik-titik pusat lingkaran-lingkaran, yang jari-jarinya r dan memotong sebuah tali busur k dari sebuah garis g yang diketahui, terdiri dari dua buah garis sejajar dengan g dengan jarak √ M

A

C B A

M

C B A

.

M

C

B

Gambar 6.1 4. a. T.K titik-titik pusat lingkaran-lingkaran yang jari-jarinya r dan menyinggung sebuah lingkaran dengan jari-jari R diluar, adalah sebuah lingkaran sepusat dengan jari-jari R+r.

35

b. T.K titik-titik pusat lingkaran-lingkaranyang jari-jarinya r dan menyinggung sebuah lingkaran dengan jari-jari R didalam, adalah sebuah lingkaran sepusat dengan jari-jari R-r. N1 R A D r N4 M  r R E r B C F N3

N2

Gambar 6.2 5.

T.K pertengahan-pertengahan tali busur, yang panjangnya k dan dapat ditarik dalam sebuah lingkaran yang sepusat, yang jari-jarinya √

A

C 

.

B R

M

Gambar 6.3 AB adalah tali busur k dalam lingkaran M. Pertengahan C adalah titik alas garis tegak lurus dari M ke AB (

AMB sama kaki).

BC = k dan MB = R.

Jadi MC = √

. Bagaimana juga letaknya tali busur AB = k dalam

lingkaran M, senantiasa MC = √ lingkaran yang sepusat dengan jari-jari √ Akibat :

. Jadi T.K. untuk C adalah sebuah .

36

Jika B bergerak sepanjang lingkaran, MCB ikut berputar dengan M sebagai pusat, C akan bergerak menurut sebuah lingkaran yang jari-jarinya √

. dan titik pusatnya M. Jadi, tali busur k dalam lingkaran M

merupakan garis-garis singgung pada lingkaran sepusat, yang jari-jarinya √ 6.

.

T.K titik-titik pusat lingkaran-lingkaran yang jari-jarinya R membagi dua sama besar keliling sebuah lingkaran dengan jari-jari r, adalah sebuah lingkaran sepusat yang jari-jarinya √ N2 A

R r

C N1

N4 D

M B N3

Gambar 6.4

Dalam lingkaran M kita tarik sebuah garis tengah AB dan titik-titik A dan B kita lingkarkan jari-jari R, kita peroleh N dan N1. NN1 adalah sumbu garis AB, AM = r dan AN = R.  M = 900, jadi MN = √

. Juga kita tarik sebuah garis tengah CD dan

kita lingkarkan dari C dan D jari-jari R, maka kita peroleh N2 dan N3. MC = r, CN2 = R, CMN2 = 900, jadi MN2 = √

, titik-titik N , N1,N2

dan seterusnya sama jauh letaknya dari M. TK untuk titik-titik pusat ini adalah sebuah lingkaran yang sepusat dengan jari-jari √

37

7.

T.K titik-titik dari mana dapat dibuat gars singgung g pada sebuah lingkaran (M,R) adalah lingkaran sepusat yang jari-jarinya √

.

g R

√

.

M

Gambar 6.5 Untuk titik P sembarang MA=R dan AP=g dan  MAP = 900 Jadi MP = √ Jika A menjalani lingkaran M dan

.

ikut berputar, sedangkan M tetap

titik pusat, maka P adalah sebuah lingkaran yang sepusat dengan jari-jari √

.

Segitiga-segitiga ABC, ABC1, ABC2 sealas C, C1 ,C2 terletak pada sebuah lingkaran yang melalui A dan B. C = C1 = C2 =

C1

C2

C3

AB. AB.

M A

B

AB. Gambar 6.6

Segitiga-segitiga ini sealas dan mempunyai sudut puncak yang sama. Sekiranya sebuah titik E diluar lingkaran dan terletak disebelah atas AB dihubungkan dengan A dan B, maka sudut pencak E tidak sama dengan C.

8.

T.K puncak-puncak segitiga yang alasnya AB dan mempunyai sudut puncak yang diketahui, adalah busur sebuah tembereng lingkaran, yang tali bususrnya AB dan berisi sudut yang diketahui itu.

38

C

C

M A

Ditanya : T.K untuk C Kita tarik AB = c danoleh karena lingkaran ini harus melalui A dan B kita lukiskan sumbu garis AB. Kita lukiskan di titik A BAD =  dan di titik A kita dirikan sebuah garis tegak lurus pada AD. Garis ini memotong sumbu garis AB di titik M. M adalah titik pusat tembereng lingkaran yang dicari itu.

AB berisi 2

 DAB =  C =

. AB = 

Tembereng ini dapat dilukiskan sebelum menyebelah garis AB.