Longitud De Un Vector O Modulo De Un Vector 5l5c9
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LONGITUD DE UN VECTOR O MODULO DE UN VECTOR ( ) Sea el vector ⃗ . El Modulo de ⃗ , denotado por ‖ ⃗ ‖, se define como un número obtenido mediante el siguiente formato: √
‖⃗ ‖ Ejemplo: Hallar el módulo del vector ⃗
(
)
Solución: ‖⃗ ‖
√(
‖⃗ ‖
)
( )
(
) ‖⃗ ‖
√
√
PROPIEDAD DEL MODULO: Propiedad 1: Para todo vector ⃗
y todo escalar
, se cumple: ‖ ⃗‖
‖⃗ ‖
Ejemplo: Calcular: ‖ (
‖(
)‖
)‖
Trabajemos miembro a miembro: ‖(
)‖ √( )
(√( )
(
)
(
( )
)
( ) )
√
√
√ √
√
√
√ √
√
Propiedad 2: Para todo vector ⃗
, se cumple: ‖⃗ ‖
⃗ ⃗ Ejemplo. Sea ⃗
(
). Aplicar la propiedad 2 (
) (
)
‖(
)‖
Trabajando miembro a miembro. ( )( )
(
)(
)
( )( )
(√( )
(
)
( ) )
Observación: Con la operación producto escalar y el modulo de un vector se construye toda la geometría en el espacio tridimensional.
PRODUCTO VECTORIAL: ( ) Sean los vectores ⃗ ⃗ como un nuevo vector denotado por:
(
), definimos el producto vectorial entre ⃗ ⃗
⃗
Que se obtiene mediante el siguiente formato:
⃗
⃗
|
Representado por el determinante de una matriz.
|
⃗
Nota: Una Matriz es un arreglo de números dadas en filas y columnas. Por ejemplo: |
|
Es una matriz de tres filas y tres columnas. Las filas son las posiciones horizontales. Por ejemplo la primera fila es: Lo mismo podemos hacer para identificar la segunda y tercera fila, que son:
Igual sucede para identificar las columnas. La primera columna está formada por los valores:
. Esto es:
Utilizando la misma lógica podemos identificar la segunda y tercera columna: Ahora para hallar el producto vectorial utilizaremos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Sean los vectores ⃗
(
)
⃗
(
)
Hallar el producto vectorial: ⃗
⃗
Solución: Seguiremos los siguientes pasos: Primero: ordenaremos los componentes de los vectores según la indicación del producto vectorial: Es decir:
⃗
⃗
|
|
Debe tener en cuenta que el producto vectorial es un NUEVO VECTOR.
Segundo: Anulamos imaginariamente la primera columna y tomamos los valores correspondientes a la segunda y tercera columna. Esto quiere decir, así: |
|
Observamos un matriz con dos filas y dos columnas. Para calcular este determinante, debemos de multiplicar diagonalmente ( ) el producto diagonal de (
) y lo restamos con
Así: |
|
(
)
(
)
Esto quiere decir; que hemos hallado la primera componente del ⃗
⃗ (Producto Vectorial)
Tercero: Anulamos imaginariamente la segunda columna y tomamos los valores correspondientes a la primera y tercera columna. Esto quiere decir, así: |
|
Para calcular este determinante, debemos de multiplicar diagonalmente ( ) el producto diagonal de (
) y lo restamos con
Así: |
|
(
)
(
)
Esto quiere decir; que hemos hallado la segunda componente del ⃗
⃗ (Producto Vectorial)
Cuarto: Anulamos imaginariamente la tercera columna y tomamos los valores correspondientes a la primera y segunda columna. Esto quiere decir, así: |
|
Para calcular este determinante, debemos de multiplicar diagonalmente ( ) el producto diagonal de (
) y lo restamos con
Así: |
(
|
)
(
)
Esto quiere decir; que hemos hallado la tercera componente del ⃗
⃗ (Producto Vectorial)
Terminado estas operaciones los 3 puntos hallados lo colocamos en el siguiente orden: ⃗
⃗
(
)
NOTA: Es importante mencionar que los vectores: (
)
(
)
(
)
Estos vectores reciben el nombre de VECTORES CANÓNICOS Ejemplo 2: Sean los vectores ⃗
(
Calcular: a. b. c. d. e. f. g. h.
⃗ ⃗ ⃗
⃗ (⃗
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )
(
⃗)
) ⃗
(
)
(
) ⃗⃗
(
)
⃗
⃗
(
)
(
)
Solución: Creando la matriz: |
|
Hallando la Primera componente: |
|
( )(
)
( )( )
|
|
( )(
)
( )( )
|
( )( )
Hallando la segunda componente:
Hallando la tercera componente: |
Luego el Nuevo Vector del producto vectorial ⃗
⃗
⃗
(
)
(
⃗
( )( )
(
)
)
Creando nuestra Matriz: |
|
Hallando el primer componente: |
|
(
)
|
|
(
)
Hallando el segundo componente:
Hallando el tercer componente: |
|
Luego el Nuevo Vector del producto vectorial ⃗
⃗
(
)
VECTORES PARALELOS: Dos vectores ⃗
⃗ son paralelos si:
Geométricamente: Cuando tienen la misma dirección.
Analíticamente: Cuando su producto vectorial es igual al vector NULO Es decir: ⃗
⃗
(
)
Físicamente: Cuando un vector es igual al otro multiplicado por un escalar (número) ⃗
⃗
VECTORES PERPENDICULARES U ORTOGONALES: Dos vectores ⃗
⃗ son ortogonales si:
Geométricamente: Cuando forman un ángulo recto (
⃗
).
⃗
Analíticamente: Si su producto escalar es CERO ⃗
⃗
ANGULO ENTRE DOS VECTORES:
⃗
⃗ ⃗ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖
AREA DEL PARALELOGRAMO: Sean los vectores ⃗
⃗ como lo mostramos en el gráfico:
Formamos un paralelogramo, surgido de de la proyección en ambos lados.
⃗ ⃗
El área del mencionado Paralelogramo se calcula mediante el producto vectorial ⃗ ⃗
⃗
El cual estamos observando en nuestro grafico, mostrándose perpendicular al PLANO.
⃗
⃗ ⃗
Debemos de tener en cuenta que este producto vectorial nos permite hallar tanto el área del paralelogramo como el área del un triángulo en el espacio. Área del paralelogramo: ‖⃗
⃗‖
‖⃗
⃗‖
Área del Triángulo:
⃗
⃗
⃗ ⃗ Ejemplo: Hallar el área del trapecio formado por los vectores ⃗
(
)
⃗⃗
(
)
Aplicando formula de ecuación general: √ √ √ Elevando al cuadrado ambos , tenemos: (
√ √ √ Calculo de
elevando al cuadrado ambos , tenemos: (
)
(√
)
)
(√
)
(
)
(
)
( (
) )
√
√
√ {
‖⃗ ‖ Ejemplo: Hallar el módulo del vector ⃗
(
)
Solución: ‖⃗ ‖
√(
‖⃗ ‖
)
( )
(
) ‖⃗ ‖
√
√
PROPIEDAD DEL MODULO: Propiedad 1: Para todo vector ⃗
y todo escalar
, se cumple: ‖ ⃗‖
‖⃗ ‖
Ejemplo: Calcular: ‖ (
‖(
)‖
)‖
Trabajemos miembro a miembro: ‖(
)‖ √( )
(√( )
(
)
(
( )
)
( ) )
√
√
√ √
√
√
√ √
√
Propiedad 2: Para todo vector ⃗
, se cumple: ‖⃗ ‖
⃗ ⃗ Ejemplo. Sea ⃗
(
). Aplicar la propiedad 2 (
) (
)
‖(
)‖
Trabajando miembro a miembro. ( )( )
(
)(
)
( )( )
(√( )
(
)
( ) )
Observación: Con la operación producto escalar y el modulo de un vector se construye toda la geometría en el espacio tridimensional.
PRODUCTO VECTORIAL: ( ) Sean los vectores ⃗ ⃗ como un nuevo vector denotado por:
(
), definimos el producto vectorial entre ⃗ ⃗
⃗
Que se obtiene mediante el siguiente formato:
⃗
⃗
|
Representado por el determinante de una matriz.
|
⃗
Nota: Una Matriz es un arreglo de números dadas en filas y columnas. Por ejemplo: |
|
Es una matriz de tres filas y tres columnas. Las filas son las posiciones horizontales. Por ejemplo la primera fila es: Lo mismo podemos hacer para identificar la segunda y tercera fila, que son:
Igual sucede para identificar las columnas. La primera columna está formada por los valores:
. Esto es:
Utilizando la misma lógica podemos identificar la segunda y tercera columna: Ahora para hallar el producto vectorial utilizaremos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Sean los vectores ⃗
(
)
⃗
(
)
Hallar el producto vectorial: ⃗
⃗
Solución: Seguiremos los siguientes pasos: Primero: ordenaremos los componentes de los vectores según la indicación del producto vectorial: Es decir:
⃗
⃗
|
|
Debe tener en cuenta que el producto vectorial es un NUEVO VECTOR.
Segundo: Anulamos imaginariamente la primera columna y tomamos los valores correspondientes a la segunda y tercera columna. Esto quiere decir, así: |
|
Observamos un matriz con dos filas y dos columnas. Para calcular este determinante, debemos de multiplicar diagonalmente ( ) el producto diagonal de (
) y lo restamos con
Así: |
|
(
)
(
)
Esto quiere decir; que hemos hallado la primera componente del ⃗
⃗ (Producto Vectorial)
Tercero: Anulamos imaginariamente la segunda columna y tomamos los valores correspondientes a la primera y tercera columna. Esto quiere decir, así: |
|
Para calcular este determinante, debemos de multiplicar diagonalmente ( ) el producto diagonal de (
) y lo restamos con
Así: |
|
(
)
(
)
Esto quiere decir; que hemos hallado la segunda componente del ⃗
⃗ (Producto Vectorial)
Cuarto: Anulamos imaginariamente la tercera columna y tomamos los valores correspondientes a la primera y segunda columna. Esto quiere decir, así: |
|
Para calcular este determinante, debemos de multiplicar diagonalmente ( ) el producto diagonal de (
) y lo restamos con
Así: |
(
|
)
(
)
Esto quiere decir; que hemos hallado la tercera componente del ⃗
⃗ (Producto Vectorial)
Terminado estas operaciones los 3 puntos hallados lo colocamos en el siguiente orden: ⃗
⃗
(
)
NOTA: Es importante mencionar que los vectores: (
)
(
)
(
)
Estos vectores reciben el nombre de VECTORES CANÓNICOS Ejemplo 2: Sean los vectores ⃗
(
Calcular: a. b. c. d. e. f. g. h.
⃗ ⃗ ⃗
⃗ (⃗
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )
(
⃗)
) ⃗
(
)
(
) ⃗⃗
(
)
⃗
⃗
(
)
(
)
Solución: Creando la matriz: |
|
Hallando la Primera componente: |
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( )(
)
( )( )
|
|
( )(
)
( )( )
|
( )( )
Hallando la segunda componente:
Hallando la tercera componente: |
Luego el Nuevo Vector del producto vectorial ⃗
⃗
⃗
(
)
(
⃗
( )( )
(
)
)
Creando nuestra Matriz: |
|
Hallando el primer componente: |
|
(
)
|
|
(
)
Hallando el segundo componente:
Hallando el tercer componente: |
|
Luego el Nuevo Vector del producto vectorial ⃗
⃗
(
)
VECTORES PARALELOS: Dos vectores ⃗
⃗ son paralelos si:
Geométricamente: Cuando tienen la misma dirección.
Analíticamente: Cuando su producto vectorial es igual al vector NULO Es decir: ⃗
⃗
(
)
Físicamente: Cuando un vector es igual al otro multiplicado por un escalar (número) ⃗
⃗
VECTORES PERPENDICULARES U ORTOGONALES: Dos vectores ⃗
⃗ son ortogonales si:
Geométricamente: Cuando forman un ángulo recto (
⃗
).
⃗
Analíticamente: Si su producto escalar es CERO ⃗
⃗
ANGULO ENTRE DOS VECTORES:
⃗
⃗ ⃗ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖
AREA DEL PARALELOGRAMO: Sean los vectores ⃗
⃗ como lo mostramos en el gráfico:
Formamos un paralelogramo, surgido de de la proyección en ambos lados.
⃗ ⃗
El área del mencionado Paralelogramo se calcula mediante el producto vectorial ⃗ ⃗
⃗
El cual estamos observando en nuestro grafico, mostrándose perpendicular al PLANO.
⃗
⃗ ⃗
Debemos de tener en cuenta que este producto vectorial nos permite hallar tanto el área del paralelogramo como el área del un triángulo en el espacio. Área del paralelogramo: ‖⃗
⃗‖
‖⃗
⃗‖
Área del Triángulo:
⃗
⃗
⃗ ⃗ Ejemplo: Hallar el área del trapecio formado por los vectores ⃗
(
)
⃗⃗
(
)
Aplicando formula de ecuación general: √ √ √ Elevando al cuadrado ambos , tenemos: (
√ √ √ Calculo de
elevando al cuadrado ambos , tenemos: (
)
(√
)
)
(√
)
(
)
(
)
( (
) )
√
√
√ {
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