Madrid 2004 t4c73

Proceso selectivo para el ingreso o al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Primera Prueba – Parte A

Ejercicio 1.- Siendo r y s dos números reales dados y distintos, llamaremos “derivada generalizada (r,s)” de la función f (x) es derivable en el punto a, al siguiente límite.

f ( r , s ) (a)  lim h 0

f (a  rh)  f ( a  sh) (r  s)h

a) Demuéstrese que si la función f (x) es derivable en el punto a, f ( r , s ) (a ) existe y coincide con f ´(a) .

En efecto, basta observar que

f ( r ,s ) (a)  lim h 0

 lim h 0

 f (a  rh)  f (a)    f (a)  f (a  sh)  f (a  rh)  f ( a  sh)  lim  h 0 (r  s)h (r  s )h

r  f (a  rh)  f (a )  ( r  s )rh

 lim h 0

s  f (a )  f (a  sh)  (r  s ) sh



r s f '(a )  f '(a )  f '(a ) rs rs

b) Obtenga f (2,1) ( x ) y f ´( x ) en el caso de que sea la función f ( x)  x  E ( x) , donde E ( x) es la parte entera de x (máximo entero no superior a x). Compare e interprete los resultados.

x  2h  E ( x  2h )   x  h  E ( x  h )  f ( x  2h )  f ( x  h )  lim  h 0 h 0 h h h  E ( x  2h)  E ( x  h) E ( x  2 h)  E ( x  h )  lim  1  lim h 0 h  0 h h f (2,1) ( x)  lim

Ahora bien, observemos que para cualquier x , tomando h suficientemente pequeño obtenemos que E ( x  2h)  E ( x  h) , por lo tanto, f (2,1) ( x )  1 para cualquier x . En cambio, sabemos que E ( x) es derivable si y sólo si x  ¢ , en cuyo caso es E '( x )  0 y por tanto f ( x) es derivable si y sólo si x  ¢ , en cuyo caso es f '( x )  1  c) Obtenga f (1, 1) ( x) y f ´( x ) en el caso de que sea la función valor absoluto f ( x )  x . Compare e interprete los resultados.

f (1,1) ( x)  lim h0

xh  xh f ( x  h)  f ( x  h)  lim h 0 2h 2h

Ahora bien, si x  0 , tomando h suficientemente pequeño tendremos que x  h, x  h  0 , con

x  h  ( x  h) 2h  lim  1 . De manera análoga, si x  0 se obtiene h 0 h 0 2h 2h h  h 0 f (1,1) ( x)  1 . Finalmente, si x  0 tenemos f (1,1) (0)  lim  lim  0. h 0 h  0 2h 2h

(1,1) ( x)  lim lo que f

Por otro lado, sabemos que

f ( x ) es derivable si y sólo si x  0 , en cuyo caso es

 1 x0  1 x  0

f '( x )  

   ln( x 2 )  ln 2 

d) 1) Calcule f (2,1) (0) en el caso de la función f ( x)  sen 

      ln(4h 2 )  sen ln(h 2) f (2h)  f ( h)  ln 2   ln 2  f (2,1) (0)  lim  lim  h0 h  0 h h   ln(4h 2 )  ln(h 2 )   ln(4h2 )  ln( h 2 ) 2 sen  cos    2 2  ln 2   ln 2   lim  h 0 h   ln(4h 4 )   ln(4h 4 )   ln(4) 2 sen  cos 2 s en  cos        ln 2 2  ln 2 2   ln 2 2     lim  lim 0 h 0 h 0 h h sen 

2) ¿Está definida f (0) en este caso? Obviamente no, por no estar definido ln(0)

f ( x) ? 3) ¿Existe lim x 0 

n / 4 Consideremos la sucesión an  2 , que converge a 0, pero con lim f (an )  lim sen   n 

n 



n  2

f ( x) no convergente, por tanto no existe lim x 0

4) ¿Existe la derivada f '(0) ? Puesto que f no está definida en 0 y es imposible definirla en 0 de modo que sea continua, no puede existir f '(0)

Ejercicio 2.- Una especie de lotería consiste en elegir 6 números enteros positivos de entre los 49 primeros. Los 6 que he escogido tienen la propiedad de que la suma de sus logaritmos decimales resulta ser un número entero. En el supuesto de que el boleto premiado cumpla esa propiedad, a saber, “la suma de los logaritmos decimales de los 6 números de los que consta es un número entero”, calcule la probabilidad de que el boleto ganador sea el mio. Que la suma de los logaritmos decimales de los 6 números resulte un entero es lo mismo que decir que su producto es una potencia de 10. En particular, los posibles factores primos de estos números son únicamente 2 y 5, es decir, los posibles números son: 1 – 2 – 22 – 23 – 24 – 25 – 5 – 2·5 – 22·5 – 23·5 - 52 De entre ellos debemos ver de cuantas maneras es posible seleccionar 6 de modo que el producto sea una potencia de 10 es decir, de modo que el producto sea 2 k5k. Observemos en primer lugar que al multiplicar 6 de estos números, la mayor potencia de 5 posible es 6 (tomando 5 – 2·5 – 2 2·5 – 23·5 - 52 y otro número más) y que en este caso la única posibilidad para que el producto sea potencia de 10 es que es otro número sea 1. Por otro lado, al multiplicar 6 de estos números, la menor potencia posible de 2 es 4 (tomando 1 - 5 - 52 – 2 – 5·2 y bien 2 2 bien 22·5) y que sólo una de estas posibilidades nos da al multiplicar una potencia de 10. Por último, cabe la posibilidad de que el producto sea 25·55, para ello debemos tomar 52 y tres de los 4 números 5 – 2·5 – 2 2·5 – 23·5, distinguiendo cual es que no tomamos vemos que sólo hay dos posibilidades para que el producto sea 25·55. Resumiendo, existen sólo 4 6-uplas posibles de números cuyo producto sea potencia de 10, por tanto la probabilidad pedida es 1/4.

Ejercicio 3.- En la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas, elegimos los puntos A, B, C y D de forma que AC y BD sean perpendiculares y se corten en el punto P=

 1   ,0 . Determine el máximo valor posible del área del cuadrilátero ABCD.  2  Descomponiendo el cuadrilátero en los 4 triángulos rectángulos APB, APD, B y D obtenemos que el área de ABCD es

AC * BD . 2

Puesto que las rectas AC y BD no pueden ser ambas verticales, podemos suponer sin perdida de generalidad que la recta AC viene dada por la ecuación

y  m( x  1/ 2)

siendo los puntos A y C la intersección de esta recta con la circunferencia de ecuación

x2  y2  1 es decir, si A  ( x1 , y1 ) y C  ( x2 , y2 ) , tenemos que x1 , x2 son las raíces de

(1  m 2 ) x 2  m2 x 

m2 1  0 4

con lo que AC  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  ( x1  x2 ) 2  m 2 ( x1  x2 ) 2 | x1  x2 | 1  m 2 

3m 2  1 3m 2  1 2  1 m  1  m2 m2  1 Análogamente, la recta BD viene dada por

y

1 ( x  1/ 2) m

2

 1 3   1 3  m2  m  y BD  . 2 1  m2  1   1  m (3m2  1)(m2  3) AC * BD . Sin más  2 2(1  m 2 ) que derivar y simplificar observamos que a '(m)  0 si y sólo si m  0,  1, 1 , alcanzándose el máximo para m   1 , siendo este máximo igual a 1. Por tanto buscamos maximizar la función a (m) 

Primera Prueba – Parte B

Ejercicio 1.- Se divide un diámetro AB de un círculo de radio R en n partes iguales. Se consideran los arcos de las circunferencias de centro A que pasan por los puntos de división y son interiores al círculo. Calcule el límite, cuando n tiende a  , de la media aritmética de las longitudes de dichos arcos. Es horrible de resolver, fácil, pero muchas cuentas, sale una suma de Riemann y una integral muy pesada. Ejercicio 2.- Justifique si existe alguna función f derivable en todo ¡ con | f ( x ) | 2 y con

f ( x) f '( x )  senx

Integrando la segunda desigualdad entre 0 y  / 2 se llega a contradicción con la primera. Ejercicio 3.- Obtenga los valores de p y q para que las ecuaciones

 x 3  6 x 2  px  3  0  3 2  x  x  qx  2  0 tengan dos raíces comunes. Se puede hacer de muchas maneras usando Cardano-Vieta, una forma muy elegante sin utilizar estas fórmulas es como sigue. Restando, las raíces comunes son precisamente las dos raíces del polinomio 5 x 2  (q  p) x  5  0 . Por otro lado, multiplicando el primer polinomio por 2 y el segundo por 3 y sumando, las raíces comunes son también las raíces de 5 x 2  15 x  2 p  3q  0 . Igualando coeficientes queda un sistema en p y q.