Matematik (formelsamling) 2r4h15

Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA

38

Resumé 1. kapitel Addition a bc

Sum Addender

a bb a a (b c) a b c

Addendernes orden er ligegyldig. En parentes med fortegn kan hæves og sættes, uden at leddenes fortegn ændres.

Subtraktion a–b=c

Differens

a – (b c) a – b – c

En parentes med fortegn kan hæves, når leddene i parentesen ændrer fortegn.

Multiplikation a·bc a·bb·a a · a · a · a a4 a(b c) ab ac a(b c) ab ac (a b)(c d) ac ad bc bd (a b)2 a2 b2 2ab (a b)2 a2 b2 2ab (a b)(a b) a2 b2

a c b

a a·c = b b·c a a:c = b b:c a b c a b c n n n n

Regneregler

a a :c b b–c a c a–c . b d b–d a c a d : – b d b c Potens a · a · a · a = a4

Regneregler

0n = 0 a0 = 1

Produkt Faktorer Faktorernes orden er ligegyldig Regneregler

a1 = a a n

1 an

ap · aq = ap+q P

a p ¥¦ a ´µ ¦ µ bp ¦§ b µ¶

(a · b)p = ap · bp "Tre vigtige formler"

ap a pq q b (ap)q = ap · q

Division - Brøkregning a:b=c

a a–c –c b b

Kvotient Divisor Dividend

Rod n

a b , når bn a

n

ap a n

n

a– b n a – n b

n

a

n

b

p

Kvotient Nævner Tæller Regneregler

n

a b

Regneregler

Resumé 2. kapitel

Resumé 2. kapitel Regneregler for løsning af ligninger: -

Du må flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden ved at skifte fortegn på leddet.

-

Du må gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet - dog ikke med 0.

-

Du må dividere på begge sider af lighedstegnet med samme tal dog ikke med 0. Nul-reglen: Et produkt er 0, hvis mindst en af faktorerne er 0. a–b0 a 0 eller b 0

- Består ligningen af en brøk på hver side af lighedstegnet, kaldes ligningen en proportion. I en proportion må du gange over kors.

a c b d ad bc - Du må kvadrere på begge sider af lighedstegnet. 2 ligninger med 2 ubekendte: determinant-metoden a1x b1y c1 a2x b2y c2

a1 b1 a1 b2 a 2 b1 a 2 b2

D

Dy

a1 c 1 a1 c 2 a 2 c 1 a2 c2

Dx

c1 b1 c1 b2 c 2 b c 2 b2

x

Dx D

og

y

2.gradsligningen ax2 bx c 0

Dy D

91

92

Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER

har følgende løsningsformel x

b p b2 4ac 2a

d b2 4ac Hvis d 0, har 2.gradsligningen en rod. Hvis d 0, har 2.gradsligningen to rødder. Hvis d 0, har 2.gradsligningen ingen rødder. Numerisk værdi a

\aa,,nnåårr aar00

Regneregler for uligheder: -

Du må flytte et led fra den ene side af ulighedstegnet til den anden side ved at skifte fortegn. Du må gange med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet. Du må dividere med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet. Du må gange med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, når du vender ulighedstegnet. Du må dividere med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, når du vender ulighedstegnet.

Teknisk matematik · GEOMETRI

128

Resumé 3. kapitel Retvinklet trekant: I en retvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kateternes kvadrater.

a

c2 a2 b2

C

B

c A

b

Ensvinklede trekanter For ensvinklede trekanter gælder: a1 b c 1 1 a2 b2 c 2

c1

a1

c2 a2

b1 b2

Højder i en trekant B

En højde i en trekant er en linje, der udgår fra en vinkelspids og står vinkelret på den modstående side eller dennes forlængelse.

c

ha

a

hc hb

A

C

b

Medianer i en trekant En median i en trekant er en linje, der forbinder en vinkelspids med den modstående sides midtpunkt.

B mb

c

a

O

Medianerne går gennem samme punkt og deler hinanden i forholdet 1:2.

A

D

ma

mc b

C

Vinkelhalveringslinjer i en trekant En vinkelhalveringslinje i en trekant er en linje, der halverer en af trekantens vinkler.

B VC VA VB A

C

Trekantens indskrevne cirkel Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekantens indskrevne cirkel. r

Resumé 3. kapitel

129

Trekantens omskrevne cirkel Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel.

R

Firkanter Kvadrat: En firkant, hvor alle vinkler er rette, og alle sider lige lange. Areal a2 a

a

Rektangel: En firkant, hvor alle vinkler er rette. Diagonalerne er lige lange og halverer hinanden. Areal a– b

a

b

Rombe: En firkant, hvor alle sider er lige lange. De modstående vinkler er lige store. Diagonalerne halverer hinanden, står vinkelret på hinanden og halverer rombens vinkler. 1 Areal –d1 –d2

B

A

d1

C d2

2

Parallellogram: En firkant, hvor de modstående sider er parallelle og lige lange. De modstående vinkler er lige store, og diagonalerne halverer hinanden. Areal g –h

D B

C

h A

Trapez: En firkant, hvor to sider er parallelle. 1 Areal –h –(BC AD)

D

g

B

C h

2 A

D

Resumé 4. kapitel

171

Resumé 4. kapitel Den retvinklede trekant sin v

modstående katete hypotenusen

cos v

hosliggende katete hypotenusen

B c a

modstående katete tan v hosliggende katete

h A

c2 a2 b2 Areal

A

C

b

1 1 –h–c –a– b 2 2

Den vilkårlige trekant a b c 2–R sin A sin B sin C

B

a 2 b2 c 2 2 – b – c – cos A a

c 2

2

2

cos A

b c a 2–b–c

Areal

1 – a – b – sin C 2

A

C

b A

a–b–c Areal 4–R

R

Areal r – s Areal s – s a – s b – s c

s

C

B

a b c 2

R: Radius i trekantens omskrevne cirkel. r: Radius i trekantens indskrevne cirkel.

a

b

r

r r

c

194

Teknisk matematik · CIRKLEN

Resumé 5. kapitel Omkreds - buelængder O P–d 2–P–r b

2r v 360

d=

2

.r

r

b

Arealer mv. Cirkel: Areal P – r 2

P – d2 4

Cirkelring: Areal

P P – D2 – d2 4 4

Areal P – R 2 P – r 2

d=2.r D=2.R

v

Resumé 5. kapitel

Cirkeludsnit:

Areal

P – r2 – v 360o

r

Cirkelafsnit: Areal

´ r 2 ¥¦ P – v sin vµµµ ¦¦ ¶ 2 § 180o

Korde: k 2 – r – sin

v 2

Pilhøjde: ¥ v´ h r – ¦¦1 cos µµµ ¦§ 2¶

v v

195

236

Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER

Resumé 6. kapitel Overflader mv. d

Den krumme overflade af en cylinder:

C

A

C

h

A P – d – h 2 – P – r – h D

B

D P.d=2.P.r

A

Den krumme overflade af en kegle: AP –r –s

s

Vinklen v: v

360o – r s

k 2 – s – sin

r

B

Korden k: v 2

C

s v k

Den krumme overflade af en keglestub:

r s

h

A P – s – R r

R

Vinklen v:

s2

360o – R v s2

s1 v

Korden k: k 2 – s 2 – sin

v 2

k

Resumé 6. kapitel

Den krumme overflade af en kugle: d=

A 4 – P – r 2 P – d2

Den krumme overflade af en kuglekalot:

2r

a Kugleafsnit h

AP –d–h d = 2r

A P – a 2 h 2

h

Den krumme overflade af en kugleskive: AP –d–h

Kugleskive

237

Teknisk matematik · RUMFANG

260

Resumé 7. kapitel Retvinklet prisme

Kasse

VG · h G grundarealet

Va · b · h h G

b

a

Cylinder

V P – r2 – h

h

Cylinderrør P – d2 – h 4

d=2.r

V P – R 2 P – r 2 – h ¥P ´ P V ¦¦ – D 2 – d 2 µµµ – h ¦§ 4 ¶ 4

h

d=2.r

h

D=2.R

D ydre diameter d indre diameter R ydre radius r indre radius

Pyramide

Pyramidestub g

V

1 V – h G g G – g

3

1 G h 3

h

h

G grundarealet

g areal af topflade G areal af bundflade

G

G

Kegle

Keglestub A

V

P – d2 – h 12

V

P 2 –r –h 3

V h

P – h R 2 r 2 R – r

3 r

h

R

d=2·r

Resumé 7. kapitel

Guldins 1. regel

261

Guldins 2. regel

v 360o

A2–P –a–L –

V2–P–a–A–

v 360o

a

a

A

L v v

Kugle

V

Kugleudsnit

4 P – d3 – P – r 3 6 3

V

Kugleafsnit

P – d2 – h 6

V

P – h 2 – 3d 2h

6

V

P – h – 3 – a 2 h 2

6 a h

h

r

d=2

d

d

Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI

296

Resumé 8. kapitel Plangeometri AB (x 2 x1 )2 (y 2 y 1 )2 Afstandsformlen ¥ x x1 y 2 y1 ´µ M x , y ¦¦ 2 , µ ¦§ 2 2 µ¶ x1 y1 1 x2 y2 A – 2 x3 y3 x1 y1

Midtpunkt på et linjestykke

Determinant-formlen for areal af trekant

1 – x1 – y 2 x 2 – y 3 x 3 – y1 x 2 – y1 x 3 – y 2 x1 – y 3 2 ya

Vandret linje gennem punktet (0,a)

xb

Lodret linje gennem punktet (b,0)

y ax

Ret linje med stigningstal a, som går gennem (0,0) og (1,a)

y ax b

Ret linje, som går gennem (0,b) og (1,a b)

y y1 a(x x1)

Ret linje med stigningstal a som går gennem (x1, y1)

a tan v

y 2 y1 x 2 x1

Forhold mellem stigningstal, vinkel mellem vandret og linjen og to punkter.

a1 a2

Når to linjer har samme stigningstal, er de parallelle.

a1 – a2 1

Når produktet af to linjers stigningstal er 1, står de vinkelret på hinanden.

r2 (x a)2 (y b)2

Cirklens centrumsligning Centrum er (a,b) og radius er r.

Resumé 9. kapitel

Resumé 9. kapitel Definition på en funktion

En funktion er en forskrift f, hvor der til ethvert element x i en mængde A kan knyttes et og kun et tal y. f y

x

B

A

A: Definitionsmængde B: Værdimængde Lineær funktion

f(x) a –x b a: stigningstal/hældningskoefficient b: konstantled

Funktioner af 2. grad (parabler)

f(x) ax2 Toppunkt: (0,0) f(x) a(x x0)2 f(x) ax2 y0

Toppunkt: (x0,0) Toppunkt: (0,y0)

f(x) a(x x0)2 y0

Toppunkt: (x0,y0)

f(x) ax2 bx c Toppunkt: ¥¦¦ b , d ´µµ ¦§ 2a 4a µ¶ d b2 4ac Sammensatte funktioner

Eks.: f(x) 3x 1

og g(x) 2x 5

Den sammensatte funktion (f o g)(x) 3(2x 5) 1 Omvendte funktioner

Eks.: f(x) 2x Den omvendte funktion x 2y

eller

1 f 1 x x 2

335

368

Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER

Resumé 10. kapitel Logaritmefunktioner 10-tals logaritmen f(x) log x , x > 0

Regneregler: log 10 1 log a – b log a log b log

a log a log b b

log an n – log a 1 log n a – log a n

Den naturlige logaritme f(x) ln x , x > 0

Regneregler: ln e 1 ln a – b ln a ln b ln

a ln a ln b b

ln an n – ln a 1 In n a – In a n Eksponentialfunktioner Eksponentialfunktionen f(x) ax , a > 0 og x  R Eksponentielle vækstfunktioner

Fordoblingskonstant for eksponentielt voksende funktion:

f(x) b – ax , b > 0 , a > 0 og x  R T2

log 2 log a

Halveringskonstant for eksponentielt aftagende funktion: T1 2

Renteformlen Kn K(1 r)n

log 2 log a

Resumé 11. kapitel

Resumé 11. kapitel Trigonometriske definitioner og grundformler y

sin v:

sin v

v x

y

cos v:

v cos v

x

y

tan v:

v

tan v x

(cos v)2 + (sin v)2 1 tan v

sin v cos v

Additionsformlerne sin(a b) sin a –cos b cos a –sin b sin(a b) sin a –cos b cos a –sin b cos(a b) cos a –cos b sin a –sin b cos(a b) cos a –cos b sin a –sin b Formler for den dobbelte vinkel sin 2a 2 sin a cos a 2

2

cos 2a cos a sin a 2

1 2 sin a 2

2 cos a 1 tan 2a

2 tan a 2

1 tan a

399

400

Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER

Svingninger f(t) a – sin(W – t) a: amplitude W: vinkelhastighed i rad/sekund t: tid i sekunder Periodetid: T=

2

Frekvens: 1 f= = 2 T

Resumé 12. kapitel

Resumé 12. kapitel Symboler for differentialkvotient

y dy df(x ) f (x ) y x0 x dx dx

Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter

Funktion f(x)

Differentialkvotient

- konstant

k

0

- potensfunktion

a –xn

n –a –xn-1

- sum

u v

u’ v’

- differens

uv

u’ v’

- produkt

u –v

u’v v’u

- brøk

u v

u’ – vu – v’ v2

- trigonometriske funktioner

sin x

cos x

cos x

sin x

tan x

1 (tan x )2

lim

1 2

cos x

- sammensat funktion

dy dy du dz – – dx du dz dx

Bestemmelse af lokale maksimums- og minimumspunkter

1. Løs ligningen f’(x) 0 2. Fortegnsbestemmelse for f’(x) a) lokalt maksimum forekommer, når fortegnet for f’(x) går fra til b) lokalt minimum forekommer, når fortegnet for f’(x) går fra til c) Vandret vendetangent forekommer, når fortegnet for f’(x) er: “ 0 ” eller “0” 3. Beregning af ymax og ymin sker ved indsættelse af de fundne x-værdier i f(x).

457

458

Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING

Implicit differentiation Eksempel: x2 y2 1 dx 2 dy 2 dy d1 – dx dy dx dx 2x 2y –

dy 0 dx

dy x dx y

536

Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING

Resumé 13. kapitel Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter Funktion f(x)

Differentialkvotient f’(x)

ax

ax · ln a

ex

ex

ln x

1 x

log x

1 x – ln 10

Integral - stamfunktion Integrationsprøven Stamfunktion til Konstant Potensfunktioner

° f(x )dx F(x ) k når F’(x) f(x) Funktion f(x)

Stamfunktion F(x ) ° f(x )dx

k

k –x

xn

x n 1 n 1

1 x 1 x Trigonometriske funktioner

ln x

sin x

cos x

cos x

sin x

tan x

ln |cos x|

sin2x (sin x)2

1 (x sin x – cos x ) 2

cos2x (cos x)2 1 tan 2 x

1 cos 2 x

1 (x sin x – cos x ) 2 tan x

Resumé 13. kapitel

Logaritmitiske funktioner ex

ex k

ax

ax –

In x

x – ln x x k

log x

x – log x

Regneregler for integration

1 k ln a

x k ln10

Sum: ° u(x) v(x)dx ° u(x)dx ° v(x)dx Differens: ° u(x) v(x)dx

° u(x)dx ° v(x)dx

Bestemt integral

°

b a

b

f(x )dx F( b) F(a) a

Arealberegning f(x) y

A

°

A

°

A

a

b

f(x )dx

a

x

b

f(x)

y

A b a

b a

f(x ) g(x )dx

x

g(x)

c

A1 ° f(x ) g(x )dx a

y g(x) A2

A1 A3 a

c

b

A2

°

A3

°

A4

°

c

g(x ) f(x )dx

f(x)

A4 b

x

c a

b c

g(x ) dx

f(x ) dx

537

538

Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING

Partiel integration eller delvis integration

° u(x) – v(x) dx U(x) – v(x) ° U(x) – v a(x) dx Rumfangsberegning Rumfanget af et omdrejnings-legeme fremkommet ved drejning 360° om x-aksen af det farvede areal på figuren.

b

Vx Q ° f(x )2 dx a

f(x) y

x a

b

y

Rumfanget af et omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om y-aksen af det farvede areal på figuren.

f(x)

b

Vy 2 – Q ° x – f(x ) dx a

x

a

b

y

Rumfanget af et omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om y-aksen af det farvede areal på figuren.

f(b)

Vy Q °

f(b) f(a)

x 2 dy f(a)

x

0

Længde af en kurve

y

y=f(x) L

L°

b a

2

b ¥ dy ´ 1 ¦¦ µµµ dx ° 1 f a(x )2 dx ¦§ dx ¶ a

x a

b

586

Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET

Resumé 14. kapitel Vektorkoordinater x a y

a

y x

Vektorkoordinater i et koordinatsystem y

x x1 AB 2 y 2 y 1

B(x2,y2)

y2 y1 A(x1,y1)

x2 x1 x

Multiplikation af skalar med vektor n x n a n y

n.a n.y a

y

x

n.x

b

r

Addition af to vektorer r = a+b Hvis x x a 1 og b 2 er y 2 y 1 x x 2 a b 1 y 1 y 2

b P

a

a a

b P

r

Resumé 14. kapitel

Vektorer i ligevægt b

0 a b c d 0

a

c

d

Subtraktion af vektorer a − b = a + (−b)

a

Hvis

b

x x a 1 og b 2 er y 2 y 1 b

b

x x 2 a b 1 y 1 y 2

a

a b

Enhedsvektor x e e y e

v e

xe =

x v

og y e =

y v

y

ye

xe x

Skalarprodukt

a b a b cos v a b x1 x 2 y1 y 2

a v

cos v

x1 x 2 y1 y 2

b

a b

cos v = ea e b Skalarproduktet a b = 0, når vektorerne står vinkelret på hinanden.

a b

587

588

Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET

Tværvektor y

x Hvis a er y

y

¥y´ a ¦¦¦ µµµ § x¶

x

a

a

y x

x

Trekantens tyngdepunkt y B(x2,y2)

¥ x x 2 x 3 y1 y 2 y 3 ´µ T x , y ¦¦ 1 , µµ ¦§ ¶ 3 3

T(x,y) A(x1,y1) C(x3,y3) x

Trekantens areal y

Areal

1 x1 y 1 – 2 x2 y2 1 – x1 – y 2 x 2 – y 1 2

B x

C A

Projektion b

ba b cos v ba

ba =

ab a

b v

ba ba e a

a

a ba

Resumé 14. kapitel

Afstand fra punkt til ret linje y

z

ad be c a 2 b2

P(d,e) z

ax + by + c = 0 x

589

Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET

642

OPGAVE 509 Du har givet koordinaterne til centrum i en kugle (4,1,–2). Kuglen tangerer et plan med ligningen 2x 3y – z 8 0. Du skal bestemme kuglens centrumsligning.

Resumé 15. kapitel Vektorkoordinater og vektorlængde x v y z

v x 2 y 2 z2

Givet punkterne A(x1,y1,z1) og B(x1,y1,z1) x 2 x1

AB

y 2 y 1

z z 2 1

2

2

2

AB x 2 x1 y 2 y 1 z 2 z1

Enhedsvektor x 2 2 2 x y z y ea 2 2 2 x y z z 2 2 2 x y z

x a y z

Skalarprodukt eller prik-produkt

a b

a . b .cos v x1x 2 y 1 y 2 z1 z 2

x x y 1 y 2 z1 z 2 v cos1 1 2 a.b

Projektion b

ba =

a b a

v a

v ba

Resumé 15. kapitel

643

Parameterfremstilling af ret linje ¥x ´µ ¥¦x 0 rx t ´µ ¦¦ µ ¦ µ ¦¦yµµ ¦¦y 0 ry tµµµ µ ¦§z ¶ ¦§z 0 rz t µ¶ Vektorprodukt

a1 a2

a × b = a . b .sin v

x= a3 a× b : y = a1 z= a2 a3

x a b y z

b1 b2 b3 b1 b2 b3

= a 2 b3 − a 3 b2 = a 3 b1 − a1 b3 = a1 b2 − a 2 b1

Parameterfremstilling af plan ¥x x ´ ¥x1 x 0 ´µ ¥x ´µ ¥x 0 ´µ ¦¦ ¦¦ µ ¦¦ µ µµ t.¦¦y2 y0 µµµ y y s. y y µ µ ¦¦ 2 ¦¦ 1 ¦¦ µ ¦¦ 0 µ 0 0 ¦§z 2 z 0 µµ¶ ¦§z1 z0 µµ¶ ¦§z µ¶ ¦§z 0 µ¶ Planets ligning på normalform a x x 0 b y y 0 z z z 0 0 eller

ax by cz d 0

med

a n b c

Afstand e mellem punkt P0(x0,y0,z0) og plan ax by cz d 0 e

ax 0 by 0 cz 0 d a 2 b2 c 2

Afstand mellem punkt P0(x0,y0,z0) og ret linje P0(x0,y0,z0 )

e=

e

r × pp0

k

r v P

r

Resumé 16. kapitel

Resumé 16. kapitel Vektorfunktioner Ret linje x x a t

r t

0

y y 0 b t

y

(x,y) b•t

v (x0,y0)

x x t cos v

r t

0

y y 0 t sin v

a•t

y

x

(x,y) t v

(x0,y0) x y

Cirklen x a r cos t

r t



y b r sin t

(x,y) r

t

(a,b) x (0,b)

Ellipsen x a cos t r t y b sin t

y (x,y) t

x (a,0)

Bevægelser x t r t y t

Banekurven

x t v t r t y t

Hastighedsvektor

v t

2

x t

2

y t

x t a t v t r t y t

Farten

Accelerationsvektor

669

670

Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER

Længde af kurve givet ved vektorfunktion

y L

L°

b a

(x a t

2 (y a(t ))2 dt

b

a x

692

Teknisk matematik · Differentialligninger

Resume 17. kapitel Differentialligninger

Ligningstype

Løsning

y’ = g(x)

y =

y’ = h(x ) · g(y)

dy ∫ g----------(y)

y’ = a · y

y = c · eax

y’ = g(y)

dy ∫ ----------g(y)

y’ = y(b - ay)

b --a y = --------------------------– bx 1+k⋅e

1

1

y′ =

y’’ = g(x)

∫ g ( x ) dx =

∫ h ( x ) dx

= x+k

∫ g ( x ) dx

- herefter som den første type