Metodos Numericos Aplicada A La Ingenieria Civil 6j4f4l

UNIVERSIDAD NACIONAL “HERMILIO VALDIZAN” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA

Índice general Pag. 1. Introducción

2

2. Desarrollo del tema

4

4.1 antecedentes

5

4.2 enfatización el tema de interés

6

4.3 Recopilación de información

10

4.4 objetivos

12

4.5 marco teórico

13

4.6 procedimiento

22

4.6.1 diagrama de flujo

22

4.6.2 programa

23

4.7 resultados

25

4.8 conclusiones

33

4.9 recomendaciones

36

4.10 bibliografía

38

MÉTODOS NUMERICOS

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INTRODUCCION En el presente trabajo se abordará acerca de la fórmula de la secante, la cual se emplea en ingeniería estructural para determinar la fuerza por unidad de área (P/A) que se genera en una columna cargada excéntricamente. La teoría de las columnas cargadas excéntricamente se basa en solucionar problemas debido a pandeo que puede sufrir una columna, considerando que una carga P nunca está perfectamente centrada, es decir que su eje de acción no coincide con el eje de la columna, generándose una excentricidad (e) debido a ese detalle. La excentricidad viene a ser, la distancia entre la línea de acción de la carga P y el eje de la columna.

Para dar una buena presentación a nuestro trabajo expondremos en forma clara y sencilla los ítems respectivos, como: antecedentes, objetivos, marco teórico, diagrama de flujo, resultados, así también las debidas conclusiones y recomendaciones.

En lo concerniente a los antecedentes, veremos casos relacionados a este tema. Asimismo, expondremos en forma sucinta nuestros objetivos. En el marco teórico, detallaremos cómo se deduce la fórmula de la secante y en base a qué consideraciones.

En vista que, en la fórmula de secante aparecen diversos parámetros, para facilitar su aplicación y desarrollo en nuestro ejercicio asignado, se usarán los métodos numéricos con el fin darle una solución adecuada; por lo cual, elaboraremos un diagrama de flujo y así desarrollar los métodos escogidos mediante un programa.

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Para ejecutar y visualizar los resultados, desarrollaremos el ejercicio asignado aplicando los métodos más convenientes para comparar su convergencia y lo plasmaremos

en

programas

como

Matlab y Excel, con los cuales

visualizaremos los dichos resultados y el gráfico de la función.

Por último, después de haber realizado los ítems mencionados anteriormente, expondremos nuestras conclusiones y las debidas recomendaciones.

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DESARROLLO DEL TEMA

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ANTECEDENTES Moreno Fernández, Lorena María (2012) en su Trabajo de Fin de Grado “CARGAS CRÍTICAS DE PANDEO DE COLUMNAS FISURADA” concluyó que: El valor de la carga crítica de pandeo depende del material del que esté fabricada la columna y su comportamiento frente a cargas de compresión. Así cuanto mayor sea el módulo de elasticidad del material, mayor será la carga crítica de pandeo; y este último, directamente proporcional al módulo de rigidez a flexión EI. Universidad Carlos III de Madrid Escuela Politécnica Superior, Madrid, España. Prof. Santo Domingo Santillana, Jaime (2008) en su Artículo “PANDEO”. Escuela Politécnica Superior de Zamora. Una columna pandeará en el plano que presente menor rigidez a la flexión, es decir, en el plano respecto del cual el módulo de rigidez a la flexión sea mínimo: E.I mín. (p.12) Este Artículo ha sido creado gracias a: Área de Cálculo en el marco del Programa de Afiliados de la Construpedia. “CÁLCULO DE ESTRUCTURAS DE ACERO: CASO DE ESFUERZOS AXIALES (COLUMNAS)”. Diferentes ingenieros y asociaciones han propuesto distintas fórmulas, de origen exclusivamente empírico, para el cálculo de barras y columnas sometidas a esfuerzos de compresión. Entre las más clásicas, merecen ser mencionadas las primeras de Rankine, para columnas cortas, y de Tetmajer, ambas en desuso. Y otras como: Fórmula de Tredgold (la más antigua), Fórmula de la Asociación Americana de Ingenieros de Ferrocarriles, Fórmula del Column Research Council (CRC), Fórmula del Structural Stability Research Council (SSRC) y Fórmula del American Institute of Steel Contruction (AISC). (p.5)

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ENFATIZACIÓN DEL TEMA DE INTERES 1.1.

COLUMNA. Una columna es un elemento sometido a compresión, lo suficientemente

delgado respecto de su longitud para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente rompa por flexión lateral (pandeo) ante una carga mucho menor que la necesaria para romperla por aplastamiento. Las columnas suelen dividirse en dos grupos: Largas e intermedias. A veces, un tercer grupo es el de los elementos cortos a compresión. CLASIFICACION:  Columnas largas  Columnas de longitud intermedia  Columnas con carga excéntrica  Columnas cortas con cargas excéntricas ESTABILIDAD Si el área transversal A es tal que el valor de del esfuerzo en la sección transversal es menor que el valor permisible y si la deformación cae en las especificaciones dadas, la columna se ha diseñado bien. Sin embargo, puede que al aplicar una carga a la columna ésta se pandee, es decir se ha diseñado mal.

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FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS ARTICULADAS

EXTENSIÓN DE EULER PARA CONDICIONES DE EXTREMO

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FORMULA DE LA SECANTE CON CARGAS EXCENTRICAS

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RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN La historia del descubrimiento de la solución algebraica de la cubica enfrento a dos grandes rivales italianos: Cardano y Tartaglia hacia 1540, y Ferrari , alumno y secretario de Cardano resolvió en 1545 la ecuación de cuarto grado. Posteriormente fueron muchos los matemáticos eminentes que trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro, aunque en vano puesto que el matemático noruego Abel en 1893 probo que es imposible resolver por radicales la ecuación general de grado mayor que cuatro. En consecuencia, para calcular las raíces de polinomios de grado mayor que cuatro es imprescindible usar técnicas numéricas. En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para

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aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson.

Sin

embargo,

este

método

fue

desarrollado

independientemente de este último.

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OBJETIVOS 4.1. OBJETIVOS 4.1.1.

OBJETIVO GENERAL Aplicar los métodos

cerrados y abiertos hechos en clase

para calcular el valor de la raíz, esfuerzo. 4.1.2. OBJETIVO ESPECÍFICO 

Realizar programas de aplicación de los métodos en matlab y hojas en Excel para ver la eficiencia de cada herramienta.



Determinar el método más eficiente para el cálculo del esfuerzo.



Comprobar que el método de la secante es una variación del método de Newton-Raphson.



Automatizar el proceso de cálculo de las raíces de una ecuación mediante un software de manera iterativo, usando el método de la Secante y Newton-Raphson.

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MARCO TEÓRICO En el ejercicio encargado se aplicara la teoría de las columnas cargadas excéntricamente, el cual se basa en solucionar el problema debido a pandeo que puede sufrir una columna, teniendo en cuenta una carga P que nunca está perfectamente centrada, designando e la excentricidad de la carga, es decir, la distancia entre la línea de acción de P y el eje de la columna, reemplazaremos la carga excéntrica dada por una fuerza centrada y un par M A de momento 𝑀𝐴 = 𝑃 ∗ 𝑒.

Es claro que sin importar lo pequeño que sea la carga P y la excentricidad e, el par MA causará alguna flexión en la columna. Cuando se incrementa la carga excéntrica, tanto la fuerza axial P como el par MA aumentan y ambos causan flexión adicional sobre la columna, Así considerado, el problema del pandeo no es determinar por cuanto tiempo una columna puede permanecer recta y estable bajo la acción de una carga que se incrementa, sino cuanta flexión

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puede permitirse bajo la acción de la carga variable, si no se debe exceder el esfuerzo isible y la deflexión ymáx no debe ser excesiva. Primero escribiremos y resolveremos la ecuación de la curva elástica. 𝑀 = −𝑃; −𝑀𝐴 = −𝑃; −𝑃𝑒

Sustituyendo el valor de M en la ecuación diferencial de la elástica, escribimos 𝑑 2𝑦 𝑀 𝑃 𝑃𝑒 = = −( )𝑦− 2 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼

Sustituyendo el valor de M en la ecuación diferencial de la elástica, escribimos 𝑑 2𝑦 𝑀 𝑃 𝑃𝑒 = = −( )𝑦− 2 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼

Trasponiendo el término que tiene “y” y haciendo K 2 = P/EI como antes se hizo, escribimos: 𝑑 2𝑦 + 𝐾 2 𝑦 = −𝐾 2 𝑒 𝑑𝑥 2

Donde la solución general para esta ecuación de segundo grado es: 𝑦 = 𝐴 sin 𝐾𝑥 + 𝐵 cos 𝐾𝑥 − 𝑒 𝑑2𝑦

Donde el último término es una solución particular de la ecuación:𝑑𝑥 2 + 𝐾 2 𝑦 = −𝐾 2 𝑒

Las constantes A y B se obtienen de las condiciones frontera mostrada en la siguiente figura:

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Haciendo primero: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 en la ecuación 𝑦 = 𝐴 sin 𝐾𝑥 + 𝐵 cos 𝐾𝑥 − 𝑒, tenemos: 𝐵=𝑒

Haciendo luego x=L, y=0, escribimos: 𝐴 sin 𝐾𝐿 = 𝑒 (1 − cos 𝐾𝐿)

Recordando que: sin 𝐾𝐿 = 2𝑠𝑖𝑛𝐾𝐿/2 cos 𝐾𝐿/2 y que: 1 − cos 𝐾𝐿 = 2𝑠𝑖𝑛 2 𝐾𝐿/2

Y sustituyendo en la ecuación A sin KL = e(1 − cos KL), obtenemos, después de reducciones. 𝐴 = 𝑒 tan

𝐾𝐿 2

Sustituyendo A y B en la ecuación A sin KL = e(1 − cos KL), escribimos la ecuación de la curva elástica: 𝑦 = 𝑒 (tan

𝐾𝐿 sin 𝐾𝑥 + cos 𝐾𝑥 − 1) 2

El valor de la máxima deflexión se obtiene para x=L/2 en la ecuacion 𝑦 = 𝑒 (tan

𝐾𝐿 2

sin 𝐾𝑥 + cos 𝐾𝑥 − 1). Tenemos: 𝑦𝑚á𝑥 = 𝑒 (tan 𝑦𝑚á𝑥 = 𝑒 (

𝐾𝐿 𝐾𝐿 𝐾𝐿 sin + cos − 1) 2 2 2

𝑠𝑖𝑛2 𝐾𝐿/2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝐾𝐿/2 − 1) 𝑐𝑜𝑠𝐾𝐿/2

𝑦𝑚á𝑥 = 𝑒(sec 𝐾𝐿/2 − 1 ) 𝑃

Pero como 𝑘 2 = , escribimos: 𝐸𝐼

𝑃 𝐿 𝑦𝑚á𝑥 = 𝑒 [sec (√ × ) − 1] 𝐸𝐼 2

Nótese que la expresión obtenida para ymáx se vuelve infinita cuando: 𝑃 𝐿 𝜋 √ × = 𝐸𝐼 2 2

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Aunque la deflexión realmente no llega a ser infinita, sin embargo llega a ser inaceptablemente grande y no debería permitirse que P alcance el valor critico 𝑃

𝐿

𝜋

que satisfasga la ecuación √𝐸𝐼 × 2 = 2 . Despejando P de esta ecuación tenemos:

𝑃𝑐 𝑟 =

𝜋 2 𝐸𝐼 𝐿2

Que es el valor obtenido para una columna con carga céntrica. Despejando EI de la ecuación Pc r =

π2 EI L2

P

L

π

EI

2

2

y sustituyendo en √ × = , podemos expresar la

deflexión máxima en la fórmula alterna. 𝜋 𝑃 𝑦𝑚á𝑥 = 𝑒 × [sec ( √ ) − 1] 2 𝑃𝑐 𝑟

El esfuerzo máximo, σmáx ocurre en la sección de la columna donde el momento flector es máximo, o sea, eσmáx n la sección transversal que pasa por el punto C, y puede obtenerse sumando dos esfuerzos normales debidos, respectivamente, a la fuerza axial y al par de flexión ejercidos en dicha sección. Tenemos: 𝜎𝑚á𝑥 =

𝑃 𝐶 + 𝑀𝑚á𝑥 𝐴 𝐼

Del diagrama de cuerpo libre la porción AC de la columna, encontramos que: 𝑀𝑚á𝑥 = 𝑃 × 𝑦𝑚á𝑥 + 𝑀𝐴 = 𝑃(𝑦𝑚á𝑥 + 𝑒)

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Sustituyendo este valor en σmáx =

P A

+ Mmáx

C

y recordando que I = Ar 2,

I

escribimos:

σmáx =

(y P + e) C [1 + máx 2 ] A r P

L

Sustituyendo el valor de ymáx obtenido en ymáx = e [sec (√EI × 2 ) − 1]

P

Escribimos: σmáx = A [1 +

eC r2

P

L

sec (√EI × 2 )]

Una formula alterna para σmáx puede obtenerse sustituyendo el valor de σmáx de π

P

P

ymáx = e × [sec (2 √P ) − 1] en σmáx = A [1 + cr

( ymáx +e) C r2

]

Por lo tanto tenemos:

σmáx =

P eC π P [1 + 2 × sec ( √ )] A r 2 Pc r

La ecuacion obtenida puede usarse para cualquier condición de los extremos, siempre y cuando se use el valor apropiado de la carga crítica.

Notamos que, puesto que σmáx no varua linealmente con la carga P, el principio de superposición no puede aplicarse

para la determinacion del esfuerzp

debido a la aplicación simultanea de varias cargas; debe determinarse ´rimero la resultante de las cargas y luego usar las ecuaciones:

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UNIVERSIDAD NACIONAL “HERMILIO VALDIZAN” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA P

σmáx = A [1 +

eC r2

P

L

P

eC

π

P

sec (√EI × 2 )] o σmáx = A [1 + r2 × sec (2 √P )] cr

Para determinar el esfuerzo correspondiente. Por la misma razón, cualquier factor de seguridad debe aplicarse a la carga y no al esfuerzo. P

Haciendo: I = Ar 2 en la ecuación σmáx = A [1 +

eC r2

P

L

sec (√EI × 2 )] y despejando la

P

relacion de A , escribimos:

P = A

σmáx 1+

eC 1 P L sec (2 √EA × r ) r2

Donde la longitud efectiva se usa para hacer que la formula sea aplicable a varias condiciones en los extremos. Esta se denomina “formula de la secante”; define la fuerza por unidad de área, P/A, que causa un esfuerzo máximo especificado σmáx en una columna de una relacion de esbeltez efectiva Le /r, para un valor dado de la relación eC/r, donde e es la execentricidad de la carga aplicada. Notamos que, puesto que P/A aparece en ambos , es necesario resolver una ecuación trascendental por ensayo y error, para obtener el valor de P/A correspondiente a la columna dada y a las condiciones de carga dadas.

MÉTODOS NUMERICOS

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ec/k2 es la razón de excentricidad.

Ploteando para varios ec/k2

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ELEMENTOS CORTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN 

Puntal – elemento corto sometido a compresión



Si existe excentricidad, el esfuerzo máximo está enB con compresión y flexión

𝜎𝐶 =

𝑃 𝑀𝐶 𝑃 𝑃𝑒𝑐 𝐴 𝑃 𝑒𝑐 + = + = (1 + 2 ) 𝐴 𝐼 𝐴 𝐼𝐴 𝐴 𝑘



Ecuación anterior no es función de la altura



Difiere de la ecuación de la secante en que asume pequeños efectos de la deflexión por flexión



Si la deflexión por flexión se limita a 1% de la excentricidad, entonces la relación de esbeltez límite para un puntal es:

⁄2

𝐼 𝐴𝐸 1 ( ) = 0.282 ( ) 𝐾 2 𝑃

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ESTABILIDAD ELÁSTICA 



Inestabilidad debida a pandeo está presente en elementos que son -

Cargados en compresión (directamente o indirectamente)

-

Largos o delgados

-

No arriostrados

La inestabilidad puede ser -

Local o global

-

Elástica o plástica

-

Por flexión o torsión

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PROCEDIMIENTO 1.

DIAGRAMA DE FLUJO: 1.1.

DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON:

f(x), 𝑥0 , ϵ x= 𝑥0

Fun= f(x) Df= f´(x)

H = -Fun/Df

x= x+H

No

ℎ ≤ ϵ =?

Si

ESCRIBIR X

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2. PROGAMAS: 2.1.

PROGRAMA DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON:

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2.2.

PROGRAMA DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON:

MÉTODOS NUMERICOS

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Resultado S METODOS CERRADOS, necesariamente empieza con dos valores que encierran la raiz, los métodos más destacados son los Métodos de Bisección, falsa posición, falsa posición modificada.

RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

F(x)=𝑥 +

i

Xl

Xu

Xr

0.4∗𝑥

-250

cos(0.0559 𝑥)

F(Xl )

F(Xu)

F(Xr)

Ea (%)

error

1

160

170

165

-5.8181134

11.1597899

2.638801333

2

160

165

162.5

-5.8181134

2.638801333

-1.59756803

1.53846154

2.5

3

162.5

165

163.75

-1.597568

2.638801333

0.51862662

0.76335878

1.25

4

162.5

163.75

163.125

-1.597568

0.51862662

-0.5399667

0.38314176

0.625

5

163.1

163.75

163.4375

-0.5399667

0.51862662

-0.01079423

0.19120459

0.3125

6

163.4

163.75

163.59375

-0.0107942

0.51862662

0.253885125

0.09551098

0.15625

7

163.4

163.594

163.515625

-0.0107942

0.253885125

0.121537683

0.04777831

0.078125

8

163.4

163.516

163.476563

-0.0107942

0.121537683

0.055369786

0.02389486

0.0390625

9

163.4

163.477

163.457031

-0.0107942

0.055369786

0.022287294

0.01194886

0.01953125

10

163.4

163.457

163.447266

-0.0107942

0.022287294

0.005746411

0.00597479

0.00976563

11

163.4

163.447

163.442383

-0.0107942

0.005746411

-0.00252394

0.00298748

0.00488281

12

163.4

163.447

163.444824

-0.0025239

0.005746411

0.001611228

0.00149372

0.00244141

13

163.4

163.445

163.443604

-0.0025239

0.001611228

-0.00045636

0.00074687

0.0012207

14

163.4

163.445

163.444214

-0.0004564

0.001611228

0.000577435

0.00037343

0.00061035

15

163.4

163.444

163.443909

-0.0004564

0.000577435

6.05386E-05

0.00018672

0.00030518

16

163.4

163.444

163.443756

-0.0004564

6.05386E-05

-0.00019791

9.3358E-05

0.00015259

17

163.4

163.444

163.443832

-0.0001979

6.05386E-05

-6.8685E-05

4.6679E-05

7.6294E-05

18

163.4

163.444

163.443871

-6.869E-05

6.05386E-05

-4.0734E-06

2.3339E-05

3.8147E-05

19

163.4

163.444

163.44389

-4.073E-06

6.05386E-05

2.82326E-05

1.167E-05

1.9073E-05

20

163.4

163.444

163.44388

-4.073E-06

2.82326E-05

1.20796E-05

5.8349E-06

9.5367E-06

21

163.4

163.444

163.443875

-4.073E-06

1.20796E-05

4.00311E-06

2.9174E-06

4.7684E-06

22

163.4

163.444

163.443873

-4.073E-06

4.00311E-06

-3.5143E-08

1.4587E-06

2.3842E-06

23

163.4

163.444

163.443874

-3.514E-08

4.00311E-06

1.98398E-06

7.2936E-07

1.1921E-06

24

163.4

163.444

163.443874

-3.514E-08

1.98398E-06

9.7442E-07

3.6468E-07

5.9605E-07

25

163.4

163.444

163.443873

-3.514E-08

9.7442E-07

4.69639E-07

1.8234E-07

2.9802E-07

Los valores convergen de la raíz MÉTODOS NUMERICOS

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METODO GRÁFICO DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN 3 2.5

2 1.5

1 0.5 0 162

162.5

163

163.5

164

164.5

165

165.5

-0.5 -1

-1.5 -2

MÉTODOS NUMERICOS

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RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO LA FALSA POSICIÓN

F(x)=𝑥 +

𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 − I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Xl 100 163.146179 163.4424 163.443866 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873

Xu 170 170 170 170 170 170 170 170 170 170 170

0.4∗𝑥 cos(0.0559 𝑥)

-250

𝑓(𝑥𝑢) × (𝑥𝑙 − 𝑥𝑢 ) 𝑓(𝑥𝑙 ) − 𝑓(𝑥𝑢 )

Xr F(Xl) F(Xu) F(Xr) Ea(%) 163.1461787 -102.81827 11.1597899 -0.504111615 163.4423995 -0.5041116 11.1597899 -0.002495638 0.18123869 163.4438657 -0.0024956 11.1597899 -1.23553E-05 0.00089703 163.4438729 -1.236E-05 11.1597899 -6.11677E-08 4.4409E-06 163.4438729 -6.117E-08 11.1597899 -3.02805E-10 2.1986E-08 163.4438729 -3.028E-10 11.1597899 -1.47793E-12 1.0884E-10 163.4438729 -1.478E-12 11.1597899 0 5.3907E-13 163.4438729 0 11.1597899 0 0 163.4438729 0 11.1597899 0 0 163.4438729 0 11.1597899 0 0 163.4438729 0 11.1597899 0 0 Los valores convergen de la raíz

METODO GRAFICO 0.1 0 163.1 -0.1

163.15

163.2

163.25

163.3

163.35

163.4

163.45

163.5

-0.2 -0.3

-0.4 -0.5 -0.6

MÉTODOS NUMERICOS

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RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO LA FALSA POSICIÓN MODIFICADA

0.4∗𝑥

F(x)=𝑥 + cos (0.0559 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Xl

Xu

100 163.146179 163.4424 163.4424 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873

170 170 85 163.4439542 163.4439542 81.72197708 81.72197708 40.86098854 40.86098854

Xr 163.146179 163.4424 163.443954 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873

𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −

F(Xl) -102.81827 -0.5041116 -0.0024956 -0.0024956 -1.522E-10 0 0 0 0

-250

𝑥)

F(Xu) F(Xr) Ea(%) 11.1597899 -0.504111615 11.1597899 -0.002495638 0.18123869 -125.92444 0.000137562 0.00095118 0.00013756 -1.5217E-10 -4.969E-05 0.00013756 0 5.4968E-11 -130.91989 0 0 -130.91989 0 0 -191.69261 0 0 -191.69261 0 0

𝑓(𝑥 𝑢 ) × (𝑥 𝑙 − 𝑥 𝑢 ) 𝑓 (𝑥 𝑙 ) − 𝑓(𝑥 𝑢 )

Los valores convergen de la raíz

MÉTODOS NUMERICOS

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RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO DEL PUNTO FIJO

METODO DEL PUNTO FIJO: Existe problemas en este método ya que para valores de g(x), como valor inicial de x=160, la función en alguna iteración es negativa el cual es inconsistente con la fórmula de la cuadrática.

0.4∗𝑥

F(x)=𝑥 + cos(0.0559 X = 2𝑥 + Xl 100 -2.8182749 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!

MÉTODOS NUMERICOS

0.4∗𝑥 cos(0.0559 𝑥 )

F(Xl) -2.8182749 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!

𝑥)

- 250

- 250= g(x) Ea(%)

error

3648.269861 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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Al usar el "METODO DEL PUNTO FIJO" tiene que hacerse un despeje adecuado, para que

no surga inconvenientes en el proceso de iteraciones.

Come en este caso, el despeje es lo optimo 0.4∗𝑥

F(x)=𝑥 + cos(0.0559

𝑥=

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Xl 100 169.9 162.8 163.5 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4 163.4

𝑥)

- 250

250 ∗ cos(0.0559 ∗ 𝑥) cos(0.0559 𝑥) + 0.4

F(Xl) 169.858044 162.75105 163.518192 163.435895 163.444729 163.443781 163.443883 163.443872 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873 163.443873

Ea(%) 41.12731 -4.3667886 0.46914783 -0.0503545 0.00540522 -0.0005802 6.2281E-05 -6.685E-06 7.1762E-07 -7.703E-08 8.2687E-09 -8.876E-10 9.5276E-11 -1.022E-11 1.0955E-12 -1.043E-13 0 0

Los valores convergen de la raíz

MÉTODOS NUMERICOS

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RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 −

𝑓(𝑥 𝑖 ) 𝑓′(𝑥 𝑖 )

0.4∗𝑥

F(x)=𝑥 + cos(0.0559 F'(x)= 1 +

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

MÉTODOS NUMERICOS

0.4 cos(0.0559 𝑥)

Xl

+

𝑥)

- 250

0.01118∗𝑠𝑒𝑛𝑜 (0.0559 𝑥 )) 𝑥∗(cos(0.0559 𝑥)) 2

F(Xl) 100 169.8189116 169.81891 162.760017 162.76002 163.5167348 163.51673 163.4361042 163.4361 163.4447012 163.4447 163.4437846 163.44378 163.4438824 163.44388 163.4438719 163.44387 163.4438731 163.44387 163.4438729 163.44387 163.443873 163.44387 163.4438729 163.44387 163.4438729 163.44387 163.4438729 163.44387 163.4438729 163.44387 163.4438729 163.44387 163.4438729 163.44387 163.4438729 163.44387 163.4438729 Los valores convergen de la raíz

Ea(%) 41.1137434 -4.3369955 0.46277698 -0.0493346 0.00525989 -0.0005608 5.9788E-05 -6.374E-06 6.7961E-07 -7.246E-08 7.725E-09 -8.236E-10 8.7798E-11 -9.355E-12 9.9119E-13 -8.695E-14 0 0

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RESULTADOS EN EL PROGRAMA DE EXCEL MEDIANTE EL MÉTODO DE LA SECANTE Para el método de la secante se necesita de dos puntos iniciales, pero la función de estos no necesariamente deben de ser el mismo signo, ni deberían de encerrar la raíz, por eso se considera un método abierto.

0.4∗𝑥

F(x)=𝑥 + cos(0.0559

X i -1

Xi 100

X i +1

F(Xl )

𝑥)

- 250

F(Xu)

Ea (%)

180 242.685 -102.81827 28.4003909

180 242.6852 227.201 28.4003909 143.376371

-6.81508481 -6.8150848

242.685152 227.2012 152.255 143.376371 113.754579

-49.2238822 49.2238822

227.201198 152.2553 87.9361 113.754579

-18.794536

-73.1430256 73.1430256

152.255252 87.93612 99.7137 -18.794536 -121.43387

11.81144283 11.8114428

87.9361159 99.71375 178.423 -121.43387 -103.26312

44.11380976 44.1138098

99.7137483 178.4229 241.465 -103.26312 25.6633535

26.10806769 26.1080677

178.422877 241.4646 227.438 25.6633535 141.009028

-6.16703647 6.16703647

241.464624 227.4384 153.659 141.009028 114.201829

-48.0151305 48.0151305

227.438414 153.6589 89.1705 114.201829

-16.453596

153.658895 89.17052 99.4634 -16.453596 -119.54132 89.1705206 99.46336 176.901 -119.54132

-72.320285

72.320285

10.3483756 10.3483756

-103.6521

43.77449358 43.7744936

-103.6521 23.0282824

26.37154437 26.3715444

176.900786 240.2614 227.645 23.0282824 138.680879

-5.54200703 5.54200703

240.261438 227.6453 155.013 138.680879 114.592091

-46.8552379 46.8552379

227.645319 155.0134 90.3846 114.592091

-14.190053

-71.5042984 71.5042984

155.013415 90.38457 99.2464 -14.190053

-117.6773

8.929123459 8.92912346

99.463363 176.9008 240.261

90.3845653

99.2464 175.431

-117.6773 -103.98907

43.42719504

43.427195

99.2463988 175.4313 239.076 -103.98907 20.4902279

26.62098947 26.6209895

175.431285 239.0756 227.824 20.4902279 136.391595

-4.93876512 4.93876512

239.075567 227.8239 156.321 136.391595 114.929014

-45.7410169 45.7410169

227.82388

-12.000616

-70.6962734 70.6962734

156.321045 91.57848 99.0606 -12.000616 -115.84159

7.553074528 7.55307453

91.5784754

156.321 91.5785 114.929014

99.0606 174.012 -115.84159 -104.27757

43.0725706 43.0725706

Los valores divergen de la raíz

MÉTODOS NUMERICOS

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Conclusiones

 Para el ejercicio desarrollado en los métodos cerrados quien converge más rapido es el método de la falsa posición.  Para el caso de los métodos abiertos quien converge más rápido es el método de newton raphson.  El método de la bisección converge lentamente, lo que genera la propagación de error por la cantidad de operaciones e interacciones necesarias para que el método converja.  Cuando se plantea problemas y de ello se sabe el número de multiplicidad, si este número es impar no es difícil de resolver y podría resolverse con diferentes métodos mientras que si el número de multiplicidad es par es necesario el uso de métodos más complejos y su análisis es más difícil.  Para las búsquedas incrementales es de gran importancia saber elegir el valor del incremento, pues de esta depende que el método tenga gran eficiencia o no.  Para los métodos cerrados en necesario garantizar que dentro del intervalo de entrada la función sea continua y que esta contenga una raíz.  Para los métodos abiertos es necesario garantizar que la función sea continua.  El método de Newton se va volviendo lento cuando la derivada de la función tiende a cero.  Los métodos abiertos de una función convergen de una manera más rápida que los métodos cerrados. MÉTODOS NUMERICOS

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 El método de punto fijo busca hallar las raíces en funciones de la forma atreves de aproximaciones sucesivas que converjan en la solución de la ecuación.  En los métodos cerrados. En ocasiones el método de la regla falsa puede volverse lento por lo que se requiere el método de la bisección.  En el método de NEWTON RAPHSON cuando se tiene un máximo o un mínimo local la tendencia del método será oscilar alrededor del máximo o mínimo local, desenfocándose la raíz y perdiendo el efecto de búsqueda de raíces del método.  El método de la secante es un método muy simple pero muy utilizado. Gracias a su rapidez y al hecho de que no hay derivadas como en la de newton. se planteara problemas y de ello se sabrá el número de multiplicidad.

MÉTODOS NUMERICOS

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CUADRO COMPARATIVO DE LOS DIFERENTES METODOS CUADRO DE COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS MÉTODOS

Método de bisección

Método de falsa posición

Método de la secante

Método de Newton Raphson Método de Newton Raphson Modificado

Método de punto fijo

MÉTODOS NUMERICOS

VENTAJAS

Robusto, no detecta singularidades, no necesita calcular f¨

En algunos casos es más rápido que de bisección, no necesita calcular f´

Rápido, no necesita calcular f’ Rápido, aplica raíces complejas, solo una aprox. inicial.

DESVENTAJAS Lento no usa información de f¨, no detecta ceros en min. o máx. Locales, no detecta un numero par de ceros. En algunos casos es más lento que el de bisección, no usa información de f, no detecta un número de par de ceros, no detecta ceros en mínimos locales. Mínimo y máximo locales. L ocales, necesita 2 aprox. I inicial. Mínimo y máximo. Locales, necesita.

Rápido, aplica raíces complejas, solo una aprox. Inicial.

Necesita calcular f’ y f’’

Rápido, aplica raíces complejas, solo una aprox. Inicial.

Necesita calcular f’ y f’’

Rápido, corto.

Transforma algebraicamente la ecuación, desde encontrar una raíz real.

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RECOMENDACIONES Es recomendable que se use un lenguaje de programación, para que sea más automatizada a comparación de hacerlo en una hoja de Excel, con la desventaja de extender celdas si el número de iteración es grande. Para el uso de cualquier método ya sean cerrados o abiertos, es importante utilizar previamente el método gráfico, para ver el comportamiento de la función y tomar un buen criterio para el uso de un método adecuado, a la vez será imprescindible para tomar los valores iniciales, más próximos a la raíz. Claro está que el grafico no proporciona la raíz exacta, sino solo una aproximación y con el valor estimado, o cercano a la raíz hallaremos el valor cuasi-real con un cierto grado de error relativo (%). El grado de convergencia de los métodos, depende en gran parte de los valores iniciales y de las propiedades de la función. En la función estudiada, se dio valores iniciales a los métodos cerrados de 100 y 170. En el método de la bisección se dieron 27 iteraciones para que su valor convergiera, en cambio en el método de la falsa posición y la falsa posición modificada se dieron 4 iteraciones, aquí se ve la diferencia de los métodos, por su rapidez de convergencia, en donde es recomendable uno de los métodos citados. Para la aplicación de los métodos abiertos se dieron como valor de partida x=100, en donde el método del punto fijo como de Newton Rapso convergieron en 7 iteraciones, mientras que el método de la secante fue inapropiado por la continuidad de su divergencia.

MÉTODOS NUMERICOS

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Por ende, la recomendación, si usáramos el método cerrado se recomienda usar el método de la falsa posición o bien la falsa posición modificada, si se va a emplear el método abierto se recomendaría, el punto fijo o Newton Rapso. Es evidente que dependerá mucho de los valores iniciales con que parte el proceso de iteración.

MÉTODOS NUMERICOS

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BIBLIOGRAFIA 

Métodos Numéricos para Ingenieros - Steven Chapra y Raymond Canale - Quinta Edicio



Solucionario de Chapra y Canale - Quinta Edicion



Pagina web: http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/10737/Capitulo4.pdf



Pagina web: file:///C:/s/la%20curacao/s/Deflexi_n_y_Rigidez_Completo .pdf

MÉTODOS NUMERICOS

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