Monografia Limites Y Continuidad 6bw5y

CURSO: CALCULO SUPERIOR

TEMA:

LÍMITES y CONTINUIDAD LIMITS AND CONTINUITY

ESTUDIANTE:

GUILLERMO ARTURO ESCOBAR HERNANDEZ

PIURA – PERÚ

10 – 06 - 2016

1

INDICE

3.- RESUMEN………………………………………………………………………….3

4.- INTRODUCCION, OBJETIVO, LIMTES………………………………………...4

5.- LIMITES………………………………………………………………………….4, 5

6.- PROPIEDADES DE LOS LIMITES, UNICIDAD DE LIMITE………………….6

7.- LIMITE DE UNA FUNCION CONSTANTE, LIMITE DE UNA FUNCION POLINOMICA…………………………………………………………………………..7

8.- CONTINUIDAD………………………………………...…………………….…7, 8

9.- TIPOS DE DISCONTINUIDAD, CONCLUSIONES……………...…………….9

10.- REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS…………………………………………10

2

RESUMEN En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Finalmente se puede señalar que existen un sinfín de consideración y teoremas que permiten profundizar sobre el tema tratado lo cual sería práctico abordar para enriquecer los conocimientos sobre la materia sin embargo y por motivos de diseños programáticos en el curso no se podrían abordar ya que no tomaría más del tiempo asignado. Palabras clave: teoremas, límite, convergencia, continuidad, derivación, integración. SUMMARY In mathematics, the limit is a concept that describes the trend of a succession or a function, as the parameters of this succession or function approach certain value. In calculation this concept is in use for defining the fundamental concepts of convergence, continuity, derivation, integration, between others. A continuous performance is that one for which, intuitively, for nearby points of the domain small variations take place in the values of the function. If the function is not constant, it is said that it is discontinuous. Generally a continuous performance is that one which graph can show without raising the pencil of the paper. Finally it is possible to indicate to him that they exist an endless number of consideration and theorems that allow to penetrate on the treated topic which would be practical to approach to enrich the knowledge on the matter nevertheless and for motives of programmatical designs in the course they might not be approached since it would not take any more of the assigned time. Key words: theorems, limit, convergence, continuity, derivation, integration.

3

INTRODUCCION Manteniendo la secuencia del contenido programático del curso del cual en la Unidad I se abordó de manera general algunas características de las gráficas en el plano, en el desarrollo del presente informe correspondiente a la Unidad I se abordará un poco más lo que al contenido de Límites y Continuidad se refiere tomando en cuenta algunos teoremas y definiciones prácticas para el análisis y compresión de los enunciados. Los conceptos de límite y continuidad de una función real son dos de los conceptos básicos del análisis matemático ya que, entre otras cosas, nos permiten conocer mejor la forma y propiedades de las funciones reales. Así mismo se puede señalar que debido al conglomerado de fórmulas encontradas a lo largo de la investigación, fueron incorporadas unas series de gráficas que permitirán mejor la comprensión de cada uno de los puntos abordados. Además, el concepto de límite es básico en la definición del concepto de derivada de una función, el cual se puede considerar como la "piedra angular" del análisis matemático por las muchas aplicaciones que de dicho concepto y su uso se derivan (optimización de funciones, cálculo de parámetros marginales en economía, cálculo de velocidades y aceleraciones en física, etc.) OBJETIVO Introducirse en los conceptos de límite de una función y de continuidad de funciones. Que el estudiante comprenda el concepto de límite y adquiera habilidad para el cálculo de límites de funciones de diferentes tipos.

Que el estudiante alcance un conocimiento claro del concepto de continuidad y de sus aplicaciones. Aprender a calcular límites de funciones y entender el concepto de indeterminación. Saber estudiar la continuidad de una función real. Conocer los tipos de discontinuidad que puede presentar una función y saber determinarlos. LIMITES En el siglo XIX se había desarrollado el cálculo infinitesimal por medio de trabajos de físicos y matemáticos. El descubrimiento de este tipo de cálculo había llevado a grandes logros pero era necesario asentarlo sobre sólidas bases. A este trabajo se dedicaron matemáticos de la talla de Bolzano, Cauchy, Niels Abel, Dirichlet y Weierstrass. Se estudiaron los conceptos básicos del análisis tales como continuidad y límites. Bolzano y Cauchy estudiaron los problemas de la continuidad de las funciones. Bolzano, por 4

ejemplo, demostró que una función polinómica es continua. Se fundamentó la idea de límite y todo ello dio una base sólida al cálculo infinitesimal-En este tema vamos a hacer una aproximación intuitiva a estos conceptos que más tarde usarás en el cálculo de derivadas En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión no una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Diremos que el número real L, es el límite de la función y=f(x) en el punto x=a, si al tomar valores de x cada vez más próximos al punto a, sus correspondientes imágenes , f(x) están también más próximas a L.

En este caso se escribe: Lim f(x)= L x→ a De la definición anterior y de la definición de función se puede intuir que el límite, caso de existir, es único. Vamos a explicar la anterior idea con la ayuda del siguiente gráfico. Ayudándote del ratón puedes desplazar el punto X a lo largo del eje OX, en eje OY podrás ver el valor que toma la función para cada valor del punto x, observa que pasa con los las imágenes cuando la x se acerca a los siguientes valores 1, 3, 4 y 6.

5

Cuando la x se acerca al punto x=4, sus imágenes se acercan al valor J y esto ocurre tanto si la x seacerca por la derecha como por la izquierda de 4. En este caso diremos que:

Lim f(x)= j x→ 4 Esta situación se repite para cualquier valor de x que no sean el 1, el 3 y el 6. En cambio, cuando la x se acerca al punto x=6 las imágenes no se acercan todas ellas al mismo punto. Cuando te acercas por la derecha, las imágenes se acercan al valor K, en cambio cuando te acercas por la izquierda, las imágenes se acercan al valor valor L. En este caso diremos que existe el límite por la izquierda y por la derecha pero que no existe el límite cuando x tiende a 6. Todo lo anterior lo escribiremos así: Lim f(x)= K y Lim f(x)= L x→ 6-

x→ 6+

IMPORTANTE: Hemos comprobado que cuando una función tiene límite en un punto, el límite por la derecha y por la izquierda coinciden, en cambio cuando estos dos límites no coinciden la función no tiene límite.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1. UNICIDAD DEL LÍMITE: Si el límite de una función existe, este debe ser único, es decir, si existe el límite de f(x) cuando x se acerca a un cierto punto ‘a’, f(x) no puede acercarse simultáneamente a dos puntos distintos, b y c. Ejemplo:

Entonces Lim f(x)= ∄ x→ -1 Porque si evaluamos los limites laterales nos da como resultado dos números diferentes. Observemos:

6

Lim f(x)= 2 x→ -1ˉ Lim f(x)= -1 x→ -1⁺ y la propiedad nos dice que el limite debe ser unico, de lo contrario tal limite no existe 2. LÍMITE DE UNA FUNCION CONSTANTE: Es igual a la misma constante Lim k = k x→ a

kЄR

Ejemplo Lim 4 = 4 x→ 7 3. LIMITE DE UNA FUNCION POLINOMICA: Para evaluar el límite de una función polinómica se cambia la x por el valor que se pide evaluar el límite y se realiza el calculo f(x)= b₁ xⁿ + b₂ xⁿˉ¹ b₃ xⁿˉ² + bn Lim (b₁ xⁿ + b₂ xⁿˉ¹ b₃ xⁿˉ² + bn)= b₁ aⁿ + b₂ aⁿˉ¹ b₃ aⁿˉ² + bn x→ a Ejemplo: f(x)= x² + 3x + 1 Lim x² + 3x + 1= (2)² + 3(2) + 1 x→ 2 Lim x² + 3x + 1= 4 + 6 + 1 = 11 x→ 2

CONTINUIDAD Una función es continua si podemos dibujarla sin necesidad de levantar el lápiz del papel. En aquellos puntos donde es necesario levantar el lápiz diremos que la función no es continua. Si la gráfica de una función esta dibujada, este concepto, es sencillo de comprobar, veámoslo con la siguiente función:

7

De acuerdo con la anterior definición, esta función no es continua en los puntos de abcisa 1, 3, 6 y 7. En el resto de puntos la función es continua. Veamos que pasa en cada uno de esos puntos: - En el x=1 la función no tiene límite, tiene límites laterales pero no límite. Además la función no está definida en ese punto, es decir no existe f(1). - En el x=3 la función tiene límite infinito pero no está definida en ese punto. - En el x=6 la función está definida (es A) pero no tiene límite, aunque si límites laterales. - En el x=7 la función sí que está definida, no tiene límite, aunque sí límites laterales. En el resto de los puntos, por ejemplo x=4, la función está definida y sí que existe límite y además ambos valores coinciden, por ello podemos decir: Una función f(x) es continua en x=a si: - Existe f(a)

- Existe Lim f(x) x→ a 8

- Se cumple que: Lim f(x)= a x→ a Si la función no cumple alguna de estas condiciones diremos que es discontinua en x= a. TIPOS DE DISCONTINUIDADES En este apartado vamos a estudiar los distintos tipos de discontinuidades que se nos pueden presentar: - DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO Esta se presenta cuando no existe el límite y si el valor de la función. En la gráfica anterior serían los casos de x=6 y x=7. - DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO Esta se presenta cuando los límites laterales son + y - y por lo tanto la función no está definida en ese punto. En la gráfica anterior sería el caso de x=1. - DISCONTINUIDAD EVITABLE Esta se presenta cuando existe el valor de la función y el límite pero ambos valores no coinciden. Su representación gráfica es la que se ha planteado en la primera autoevaluación del apartado anterior. Se llama evitable porque con sólo cambiar el valor de la función en el punto y hacerlo coincidir con el límite y la función ya sería continua

CONCLUSIONES Se concluye el presente trabajo haciendo hincapié en el límite, tanto en los programas oficiales como en los libros de texto, se observa una evolución desde su consideración ligado al concepto de función (que se identifica en el primer periodo con el de variable), pasando por un largo periodo en el que tiene entidad propia, hasta las últimas reformas en las que se enfatiza el carácter instrumental del mismo. Hay un periodo inicial (hasta los años cincuenta) en el que se dan definiciones en las que se mezcla el concepto de variable y el concepto de función, seguido de un periodo en el que, aunque se clarifica el concepto de límite, este concepto se define mediante sucesiones. En el periodo de la matemática moderna se pone el énfasis en topológica del concepto, aunque hay una traducción inmediata a la definición métrica; sin embargo, esta tendencia no es general en todos los autores. Con la implantación del BUP derivado de la Ley General de Educación (LGE), se consolida la tendencia de la matemática moderna, considerando el concepto de límite en sí mismo, definiéndose como límites laterales y presentando todos los casos finitos e infinitos del límite y de la variable.

9

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO" DE SERGE LANG (1990), WILMINGTON DELAWARE PRINCIPIOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO POR ENRIQUE LINÉS ESCARDO CALCULUS EARLY TRASCENDENTALS (6A EDICIÓN) POR JAMES STEWART SIERRA, M., GONZÁLEZ, M.T. Y LÓPEZ, C. (1997). LOS CONCEPTOS DE LÍMITE Y CONTINUIDAD EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA: TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA Y CONCEPCIONES DE LOS ALUMNOS. SALAMANCA: DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA Y DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES. UNIVERSIDAD DE SALAMANCA. (DOCUMENTO INÉDITO)

10