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XI. MOVIMIENTO CURVILÍNEO En el estudio del movimiento rectilíneo nos bastaba un número para determinar la posición, la velocidad o la aceleración de la partícula en estudio. Pero para determinar esas propiedades del movimiento de una partícula que describa una trayectoria curva, necesitaremos conocer tanto la magnitud como la dirección. De modo que será conveniente trabajar, a partir de ahora, con vectores. Consideremos un automóvil transitando por una carretera curva, aumentando su rapidez. Si lo observamos desde un punto O fuera de la carretera, para situarlo deberemos conocer la distancia a la que se encuentra y en qué dirección se mide esa distancia. Representaremos el caso mediante una curva arbitraria y un punto sobre ella. Al punto O lo llamaremos origen, y desde éste al punto trazaremos un vector, el vector de posición. Un tiempo después, el punto ocupará una nueva posición. Y la diferencia entre estas dos posiciones será el desplazamiento. Ahora el desplazamiento también es una cantidad vectorial, tal que 𝑟̅ + ∆𝑟̅ = 𝑟̅ ′ ∆𝑟̅ = 𝑟̅ ′ − 𝑟̅ Puesto que la velocidad media es la razón del desplazamiento al tiempo, la representaremos con un nuevo vector, que tendrá la misma dirección del desplazamiento. Observemos que la magnitud del desplaza-

Movimiento curvilíneo

miento, es decir, la magnitud del vector, es menor que la longitud recorrida por la partícula entre las dos posiciones consideradas. |∆𝑟̅ | ≠ ∆𝑠 Si el lapso considerado es infinitamente pequeño, la razón del desplazamiento al tiempo será la velocidad de la partícula en ese instante. Ahora bien, si la segunda posición se acerca todo lo posible a la primera, la línea que las una, que será la dirección tanto del desplazamiento como de la velo-cidad, será tangente a la trayectoria. Esta propiedad es de especial impor-tancia en el estudio de la Cinemática de la partícula. Y tiene la velocidad otra propiedad igualmente importante: la magnitud del desplazamiento es ahora del mismo tamaño que la lon-gitud recorrida por la partícula. Es decir |∆𝑟̅ | = ∆𝑠 𝑣̅ =

𝑑𝑟̅ 𝑑𝑠 ; |𝑣̅ | = 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡

Para facilitar las explicaciones que daremos en lo futuro, a partir de ahora entenderemos por rapidez el tamaño o magnitud de la velocidad. La aceleración media, que es la razón del cambio de velocidad al tiempo, será un vector cuya dirección dependa tanto del cambio de dirección de la velocidad como de su cambio de magnitud. Lo mismo se puede afirmar de la aceleración, que es la razón del cambio de velocidad al tiempo, cuando éste es infinitamente pequeño. Estudiaremos esta cantidad empleando distintos sistemas de referencia.

268

Movimiento curvilíneo

Ejemplo. La figura representa la vía de un tren de juguete. El tren parte del punto A y avanza conforme a la expresión s = 0.1 t2, si t se da en s, s es la distancia en m del tren al punto A, medida sobre la vía. Tomando dicho punto A como origen, determine: a) la posición y la velocidad del trenecito cuando t = 2 s; b) Su velocidad media durante los dos primeros segundos. c) Su posición y su velocidad cuando t = 5s. d) El tiempo que requiere para volver al punto de partida. a) Dado que 𝑠 = 0.1𝑡 2 , y que 𝑣 = 𝑑𝑠⁄𝑑𝑡, entonces v=0.2t.Para 𝑡 = 2𝑠, 𝑠 = 0.4 𝑦𝑣 = 0.4. Como se halla en el tramos recto de la vía: 𝑟 = 0.4 m ; 𝑣 = 0.4 m⁄𝑠 b) Puesto que 𝑣𝑚 = ∆𝑟⁄∆𝑡 𝑣𝑚 = 0.4/2 𝑣𝑚 = 0.2 m⁄𝑠 c) De las expresiones empleadas en el inciso a, pero para t = 5, se obtiene s = 2.5, v = 1. Ahora el tren se encuentra en un tramo curvo; ha recorrido 1 m de la circunferencia BC. El radio que une su posición con el centro de la curva forma un ángulo θ = s / R de 1 / 0.8 = 1.25 rad con la vertical, es decir, de 71.6°. Para determinar tanto la magnitud como la dirección del vector de posición r calculemos las distancias x y y:

269

Movimiento curvilíneo

𝑥 = 1.5 + 0.8 sen 71.6° = 2.26 𝑦 = 0.8 − 0.8 cos 71.6° = 0.548 Por tato, 𝑟 = √2.262 + 0.5482 Y tan 𝛽 = 0.548/2.26 𝑟 = 2.33 m 𝑣=1

m 𝑠

13.6° 71.6°

d) Puesto que 𝑠 = 0.1𝑡 2 , y se desea conocer el tiempo en que vuelve a pasar por A, ha de calcularse la lon-gitud de toda la vía: 𝑠 = 2𝜋(0.8) + 2(1.5) = 8.03 Por lo que 8.03 = 0.1𝑡 2 , de donde 𝑡 = √8.03/0.1 𝑡 = 8.96 𝑠

Componentes cartesianas. Cinemática Consideremos una partícula moviéndose en una curva arbitraria y elijamos un sistemas de referencia cartesiano, como se muestra en la figura. La posición de la partícula en un instante arbitrario queda perfectamente determinada mediante un vector que una el origen con la partícula; si las coordenadas de ésta son x y y. entonces el vector de posición será 𝑟̅ = x𝑖 + y𝑗 270

Movimiento curvilíneo

Si lo derivamos respecto al tiempo, obtendremos primero la velocidad y luego la aceleración de la partícula. Como los vectores unitarios i y j tienen magnitud y dirección constantes, las derivadas quedan como sigue. 𝑣̅ =

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑖+ 𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑣̅ = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗

𝑎̅ =

𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑥 𝑖+ 𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑎̅ = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗

Ejemplo. Las coordenadas de un buque que se mueve en las proximi-dades de un puerto son x = t3–30t2+280t yy=t2 – 10t+600, donde tanto x como y resultan en m si t se da en s. Determine la posición, velocidad y aceleración del buque cuando t=10 s.

Procederemos a escribir las ecuaciones del movimiento como lo hicimos en el caso del movimiento rectilíneo. Las componentes de la velocidad y la aceleración los obtendremos derivando las de la posición.

271

Movimiento curvilíneo

𝑥 = 𝑡 3 − 30𝑡 2 + 280𝑡 𝑣𝑥 = 3𝑡 2 − 60𝑡 + 280 𝑎𝑥 = 6𝑡 − 60 𝑦 = 𝑡 2 − 10𝑡 + 600 𝑣𝑦 = 2𝑡 − 10 𝑎𝑦 = 2 Para t=10 𝑥 = 1000 − 3000 + 2800 = 800 𝑣𝑥 = 300 − 600 + 280 = −20 𝑎𝑥 = 60 − 60 = 0 𝑦 = 100 − 100 + 600 = 600 𝑣𝑦 = 20 − 10 = 10 𝑎𝑦 = 2 Comparando los resultados 𝑟̅ = 800𝑖 + 600𝑗 𝑟 = √8002 + 6002 600 tan 𝛼 = 800 𝑟 = 1000m

36.9°

𝑣̅ = −20𝑖 + 10𝑗 𝑣 = √202 + 102 10 tan 𝛽 = 20 𝑣 = 22.4 m⁄𝑠 𝑎̅ = 2𝑗 𝑎 = 2 m⁄𝑠 2 ↑ 272

26.5°

Movimiento curvilíneo

Ejemplo. El movimiento curvilíneo de una partícula se puede definir mediante las expresiones y = 25 – t2 con una vx=22 – 8t, donde y está en in, vx en in/s y t en s. Se sabe que cuando t=0, x=0. Diga cuáles son la velocidad y la aceleración de la partícula cuando y=0 y dibuje su trayectoria. Para obtener la ecuación de x tendremos que integrar vx 𝑥 = ∫(22 − 8𝑡)𝑑𝑡 = 22𝑡 − 4𝑡 2 + 𝑐 Como en t=0, x=0, entonces c=0 𝑥 = 22𝑡 − 4𝑡 2 𝑣𝑥 = 22 − 8𝑡 𝑎𝑥 = −8 𝑦 = 25 − 𝑡 2 𝑣𝑦 = −2𝑡 𝑎𝑦 = −2 Igualando y con 0 0 = 25 − 𝑡 2 ; 𝑡 = 5 Para t = 5 𝑣𝑥 = −18 ; 𝑣𝑦 = −10 𝑣 = 20.6 𝑖𝑛⁄𝑠

29.1°

𝑎𝑥 = −8 ; 𝑎𝑦 = −2 𝑎 = 8.25 𝑖𝑛⁄𝑠

14°

Para dibujar la grafica tabularemos x y y

y 25

t x y 10

x 273

0 1 0 18 25 24

2 3 28 30 21 16

4 5 20 10 9 0

Movimiento curvilíneo

Componentes cartesianas. Cinética De la segunda ley de Newton hemos deducido que la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula tiene una magnitud igual al producto de la masa de dicha partícula por la aceleración que sufre, y tiene la dirección de esa aceleración por tanto, podemos escribir las siguientes ecuaciones: -9Ejemplo. Un jugador de golf golpea una pelota en la dirección mostrada en la figura con una rapi-dez de 50 m/s, desde una sobreele-vación de 12 m. Despreciando toda resistencia del viento, determine: a) el tiempo en que la bola alcanza la altura máxima; b) la altura máxima que al-canza; c) el tiempo en que llega al suelo; d) la velocidad con que llega, e) el alcance horizontal D de la bola. Y escriba la ecua-ción cartesiana de la trayectoria.

En un instante cualquiera del movimiento, el diagrama de cuerpo libre de la pelota es el siguiente: ∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎 𝑃 𝑃= 𝑎 𝑔 𝑎=𝑔

274

Movimiento curvilíneo

O sea, que en cualquier posición la aceleración de la pelota es igual a la gravedad. Elegimos ahora un sistema de referencia cartesiano y escribimos las ecuaciones del movimiento: En x’x 𝑎𝑥 = 0

4 𝑣𝑥 = 50 ( ) = 40 5 𝑥 = 40 𝑡 En y’y 𝑎𝑦 = −9.81 3 𝑣𝑦 = 50 ( ) − 9.81 𝑡 = 30 − 9.81 𝑡 5 9.81 2 𝑦 = 12 + 30 𝑡 − 𝑡 2 a) La pelota alcanza la altura máxima cuando vy=0 0 = 30 − 9.81 𝑡 30

𝑡 = 9.81 𝑡 = 3.06 𝑠 En ese tiempo;y será la altura máxima 𝑦 = 12 + 30(3.06) −

9.81 (3.062 ) 2

𝑦 = 57.9 m

275

Movimiento curvilíneo

b) Que llegue al suelo significa que y=0 9.81 2 𝑡 2 9.81 𝑡 2 − 60 𝑡 − 12 = 0 0 = 12 + 30 𝑡 −

Las raíces de ésta ecuación son 𝑡1 = 6.31 ; 𝑡2 = −0.1939 . La negativa no significa nada en este problema. 𝑡 = 6.31 𝑠 c) Al llegar al suelo 𝑣𝑥 = 40 𝑣𝑦 = 30 − 9.81(6.31) = −31.9 𝑣 = √402 + 31.92 31.9 tan 𝜃 = 40 𝑣 = 51.2 𝑚⁄𝑠

38.6°

La ecuación cartesiana de la trayectoria, que es de la forma y = f(x), la obtendremos despejando t de la ecuación de x y sustituyendo en la de y. 𝑥 𝑡= 40 𝑥 9.81 𝑥 2 )− ( ) 40 2 40

𝑦 = 12 + 30 (

𝑦 = 12 + 0.75 𝑥 − 3.07(10−3 )𝑥 2

Que es la de una parábola cuyo eje es paralelo al de las yes. 276

Movimiento curvilíneo

Ejemplo. Se desea que un proyectil que se disparará en dirección normal a la ladera mostrada llegue exactamente al punto B. Diga con qué rapidez debe disparase para lograrlo.

Sabemos que en cualquier instante el proyectil sufrirá la aceleración de la gravedad. Elegiremos un sistema de referencia con uno de los ejes en dirección de la ladera y emplearemoslas ecuaciones del movimiento. En x’x 𝑎𝑥 = 32.2 sen 30° = 16.1 𝑣𝑥 = 16.1 𝑡 𝑥 = 8.05 𝑡 2 En y’y √3 ) = −16.1√3 2 𝑣𝑦 = 𝑣0 − 16.1 𝑡 √3 𝑦 = 𝑣0 𝑡 − 8.05 𝑡 2 √3

𝑎𝑦 = −32.2 (

En B, x = 750 ; y = 0

750 = 8.05 𝑡 2 𝑡 = 9.65 0 = 𝑣0 (9.65) − 8.05(9.65)√3 𝑣0 = 8.05(9.65)√3 𝑣0 = 134.6

277

𝑓𝑡⁄ 𝑠

Movimiento curvilíneo

Componentes intrínsecas. Cinemática Este apartado es, sin lugar a dudas, el más importante de la cinemática. Las componentes de la aceleración que ahora estudiaremos están relacionadas íntimamente con las características esenciales del movimiento. Por eso, algunos autores las llaman naturales. En efecto, una de ellas mide el cambio de magnitud de la velocidad, la otra, su cambio de dirección. La figura representa una partícula moviéndose en una curva cualquiera. En dirección de su velocidad, es decir, tangente a la trayectoria en ese punto, elegimos un eje de referencia, que llamaremos tangencial. Perpen-dicular (es decir, normal) a él toma-mos el otro eje de referencia, que será el eje normal, y se dirige hacia el cen-tro de la curva. Los vectores unitarios en esas direcciones serán el vector unitario tangencial, ety el vector uni-tario normal en. Expresada en forma polinómica, la velocidad será 𝑣̅ = 𝑣𝐞𝐭 Derivaremos esta expresión con el fin de obtener la aceleración de la partícula. Puesto que tanto v como et son variables 𝑎̅ =

𝑑𝑣 𝑑𝐞𝐭 𝐞𝐭 + 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡

El término dv/dt nos resulta familiar, pues es la razón de cambio de la rapidez (i. e., de la magnitud de la velocidad) con respecto al tiempo. Pero 278

Movimiento curvilíneo

para comprender el término det/dt derivaremos primero el vector unitario tangencial respecto a su dirección. Como se puede apreciar en la figura, si dicho vector unitario se desvía un ángulo d, su punta describe un arco ds, cuya longitud es igual al producto del radio por en ángulo: dado que el radio es la magnitud del vector unitario, o sea, 1, entonces d = ds; ade-más la magnitud de det = ds, es decir, d= det por lo que podemos afir-mas que la magnitud de la derivada es 1 y, como se aprecia en la figura, el vector obtenido es perpendicular al vector unitario tangente. Por tanto, det/d = en. Utilizando la regla de la cadena, podemos llegar a lo siguiente: 𝑎̅ =

𝑑𝑣 𝑑𝐞𝐭 𝑑𝜃 𝐞𝐭 + 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡

𝑎̅ =

𝑑𝑣 𝑑𝜃 𝐞𝐭 + 𝑣 𝐞 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐧

𝑎̅ =

𝑑𝑣 𝑑𝜃 𝑑𝑠 𝐞𝐭 + 𝑣 𝐞 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝐧

en donde ds/dt = v, y d/ds = 1/, en donde  es el radio de curvatura, ya que el ángulo es igual al arco entre el radio, tal como se muestra a continuación: 𝑑𝑠 𝑑𝜃 = 𝜌 Podemos escribir finalmente que 𝑎̅ =

𝑑𝑣 𝑣2 𝐞𝐭 + 𝐞𝐧 𝑑𝑡 𝜌

que expresa la aceleración como la suma vectorial de dos componentes perpendiculares entre sí. La primea la componente tangencial es la razón de cambio de la rapidez respecto al tiempo y tiene la dirección de la velocidad; y la segunda, que se dirige hacia el centro de la curva, es igual 279

Movimiento curvilíneo

al cuadrado de la rapidez entre el radio de curvatura. La magnitud y la dirección de la aceleración se puede obtener mediante las expresiones 𝑑𝑣 𝑣2 𝑎𝑡 = ; 𝑎𝑛 = 𝑑𝑡 𝜌 𝑎 = √𝑎𝑡2 + 𝑎𝑛2 𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝜃𝑡 = 𝑎𝑡 Ejemplo.Un automóvil comienza a moverse desde el punto A de una trayectoria circular de 400 ft de radio conforme a la expresión s = 4t2, donde s es la longitud que recorre sobre la pista en ft, y t el tiempo en s. Calcule el tiempo que el automóvil tarda en recorrer un cuarto de la pista y diga cuáles serán su velocidad y su aceleración en ese instante.

400´ B v

A

De la expresión de la longitud recorrida obtendremos la rapidez y la componente tangencial de la aceleración en cualquier instante. 𝑠 = 4𝑡 2 𝑣 = 8𝑡 𝑎𝑡 = 8 ̂ , mide El cuarto de pista, es decir, el arco 𝐴𝐵 𝜋 ∆𝑠 = 𝜃𝑟 = (400) = 200𝜋 2 Entonces 200𝜋 = 4𝑡 2 𝑡 = √50𝜋 𝑡 = 12.53𝑠 Y en el instante 𝑣 = 8(12.53) 280

Movimiento curvilíneo

𝑣 = 100.3 𝑎𝑛 =

100.32 400

𝑓𝑡⁄ 𝑠↑

= 25.1

𝑎𝑡 = 8 𝑎 = √25.12 + 82 8 tan 𝜃 = 25.1 𝑎 = 26.4

𝑓𝑡⁄ 𝑠2

17.7°

Ejemplo.Un motociclista que reduce uniformemente su rapidez, pasa por A a 90 km/h y llega al fondo B de la curva vertical B, 50 m adelante de A, a 54 km/h. Sabiendo que en B el radio de curvatura de la carretera es de 100 m, diga cuáles son la magnitud y la dirección de la aceleración de la motocicleta en ese punto.

Como la variación de la rapidez es constante, de 𝑎𝑡 = 𝑣 𝑑𝑣⁄𝑑𝑠 obtenía 𝑎𝑡 =

𝑣22 − 𝑣12 2𝑠

Puesto que 90 km/h = 25 m/s y 54km/h =15 m/s

281

Movimiento curvilíneo

𝑎𝑡 =

152 −252 2(50) 2

= −4

𝑣 152 = = 2.25 𝜌 100 𝑎 = √42 + 2.252 2.25 tan 𝜃 = 4 𝑎 = 4.59 m⁄𝑠 29.4° 𝑎𝑛 =

Componentes intrínsecas.Cinética Nuevamente, de las relaciones entre la resultante del sistema de fuer-zas y la aceleración de una partícula que establece la segunda ley de Newton, podemos escribir ∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 ∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 Conviene tener en cuenta que muchos problemas, aun de movimiento plano, exigen un desarrollo en tres dimensiones. En tales problemas se puede elegir un tercer eje de referencia, perpendicular al plano del movi-miento, que cumple con la condición ∑ 𝐹𝑧 = 0 Algunos textos llaman binormal al eje que nosotros hemos denominado de las zetas, por ser perpendicular tanto al eje tangencial como al normal. Este caso lo ilustraremos con el siguiente ejemplo.

282

Movimiento curvilíneo

- Ejemplo. “Péndulo cónico”. Un péndulo de 5 lb de peso atado a una cuerda de 2 ft de largo, que forma un ángulo de 25° con respecto a la vertical, describe un cono. Determine la tensión de la cuerda y la rapidez del péndulo.

2´ 25° 5#

Tomando el plano que contiene la cuerda y el péndulo, dibujaremos el diagrama de cuerpo libre y el sistema de referencia, sabiendo que el eje tangencial (y, por tanto, la velocidad) es perpendicular al plano del dibujo. ∑ 𝐹𝑧 = 0 𝑇𝑐𝑜𝑠 25 − 5 = 0 5 𝑇= 𝑐𝑜𝑠 25 𝑇 = 5.52 lb

∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 5 𝑣2 32.2 𝑟 El rayo de la trayectoria r es igual a la longitud de la cuerda por el seno de 25: Osea 5 5 𝑣2 𝑠𝑒𝑛 25 = ( ) 𝑐𝑜𝑠 25 32.2 2𝑠𝑒𝑛 25 𝑣2 𝑡𝑎𝑛 25 = 64.4𝑠𝑒𝑛 25 2 𝑣 = 64.4(𝑠𝑒𝑛 25)(𝑡𝑎𝑛 25) 𝑇 𝑠𝑒𝑛 25 =

𝑣 = 3.56 ft/s

283

Movimiento curvilíneo

Ejemplo.Diga cuántos centímetros debe sobreelevarse el riel exterior de una vía curva de 500 m de radio, si la velocidad de diseño es de 180 km/h. La reacción de la vía debe ser perpendicular al asiento de los durmientes.

1.435 m h φ

Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de un carro de F.C. que circula a la velocidad de diseño. Elegimos un sistema de referencia tal que el eje normal se dirija al centro de la curva y el tangencial resulte perpendicular al plano del dibujo. ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑁 𝑐𝑜𝑠 𝜙 − 𝑃 = 0 𝑃 𝑁= cos 𝜙 ∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 𝑃 𝑣2 𝑁𝑠𝑒𝑛 𝜙 = 𝑔 𝑟 Como 180 km / h = 50 m / s 𝑃 502

𝑃 𝑡𝑎𝑛 𝜙 = 9.81 500 5 𝑡𝑎𝑛 𝜙 = ; 𝜙 = 27° 9.81 Y mediante trigonometría calculamos la sobreelevación h ℎ = 1.435𝑠𝑒𝑛 27°

ℎ = 0.65 m 284

Movimiento curvilíneo

Ejemplo.Un péndulo simple de 2 lb de pesoy 4 ftde largo, oscila en el plano vertical. El ángulo máximo que forma la cuerda con la vertical es de 35°. De-termine: a) la tensión de la cuerda cuando la velocidad del péndulo es nula; b) la velocidad máxima del péndulo y la tensión correspondiente de la cuerda.

4 35° 35° 2#

La velocidad es nula cuando el ángulo es de 35; también es nula en ese instante, la componente normal de la aceleración. ∑ 𝐹𝑛 = 0 𝑇 − 2 cos 35° = 0 𝑇 = 1.64 𝑙𝑏

Dibujaremos ahora un diagrama de cuerpo libre del péndulo en una posición arbitraria, para determinar su rapidez. ∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 2 𝑑𝑣 2 cos 𝜃 = 𝑣 𝑔 𝑑𝑠 𝑔 cos 𝜃 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑣 Para relacionar el ángulo con la longitud recorrida, tomaremos un arco diferencial de la trayectoria.

285

Movimiento curvilíneo 𝑑𝑠

𝑑𝜃 = 4 𝑑𝑠 = 4𝑑𝜃 Sustituyendo 4𝑔 cos 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑣 𝑑𝑣 4𝑔 ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣 4𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

𝑣2 +𝐶 2

𝑠𝑖 𝜃 = 90° − 35° = 55° ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑣 = 0 4𝑔 𝑠𝑒𝑛 55 = 𝐶 4𝑔 𝑠𝑒𝑛 55 =

𝑣2 + 4𝑔 𝑠𝑒𝑛 55 2

𝑣 = √8(32.2)(𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 55) La rapidez máxima se alcanza cuando senθ es máximo, es decir θ= 90° 𝑣 = √46.59 En esa precisión ∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 𝑇−2=

2 46.59 ( ) 𝑔 4

𝑇 = 2.72 𝑙𝑏

286

Movimiento curvilíneo

Ejemplo.Una camioneta de 2000 lb que reduce su rapidez a razón de 3 ft/s2 pasa por la cima de una curva vertical de 200 ft de radio con una rapidez de 30 mi/h. Calcule la mag-nitud y la dirección de la reacción del pavimento sobre la camioneta. ¿Cuál es la máxima rapidez con que puede circular un vehículo por ese punto, sin despegarse del camino?

2000′

Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de la camioneta al pasar por la cima. ∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 2000 − 𝑁 =

2000 𝑣 2 𝑔

200

Como 30 mi / h = 44 ft / s 10 (442 ) 2000 − 𝑁 = 𝑔 442 𝑁 = 2000 − = 1399 3.22 ∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 2000 (−3) −𝐹𝑟 = 𝑔 6000 𝐹𝑟 = = 186.3 32.2 La reacción es 𝑅 = √13992 + 186.32 1399 tan 𝜃 = 186.3 𝑅 = 1411 lb 287

82.4°

Movimiento curvilíneo

Conforme aumenta la rapidez del vehículo la magnitud de la reacción normal disminuye. A la máxima rapidez con la que puede recorrer la curva, corresponde que la normal sea nula. ∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 2 2000 𝑣𝑚á𝑥 2000 = 𝑔 200 𝑣𝑚á𝑥 = √200(32.2) 𝑣𝑚á𝑥 = 80.2 𝑓𝑡/𝑠 𝑣𝑚á𝑥 = 54.7 mi/h Si el conductor intentara circular con una velocidad mayor, se separaría del pavimento.

Ejemplo.A 0.8 m del centro de un disco se coloca un pequeño cuer-po. Al girar el disco alrededor de su centro, el cuerpo aumenta su rapidez uniformemente a razón de 0.3 m/s2. Sabiendo que los coeficientes de fricción estática y cinética entre el cuerpo y el disco son 0.5 y 0.4, respectivamente, diga cuánto tiempo después de que el disco haya comenzado a moverse, el cuerpo se deslizará.

0.8 m

Comenzaremos calculando la aceleración del cuerpo en función de tiempo. 𝑎𝑡 = 0.3 𝑣 = 0.3𝑡 0.3𝑡 2 𝑎𝑛 = 0.8 288

Movimiento curvilíneo 2

𝑎=

√0.32

0.3𝑡 2 +( ) 0.8

Sabiendo que la componente normal de la reacción del disco es igual al peso del cuerpo, podemos dibujar un diagrama de cuerpo libre en planta en donde la en donde la fuerza máxima de fricción estática es 𝐹 ′ = 𝜇𝑠 𝑁 = 0.5𝑁 Sabiendo que la fuerza de fricción y la aceleración tienen la misma dirección, escribimos: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 2

𝑃 0.3𝑡 2 √0.32 + ( 0.5𝑃 = ) 9.81 0.8

2

[(9.81)(0.5)]2 0.09𝑡 4 0.64

𝑡4 =

= [(9.81)(0.5)]2 − 0.09

64 {[(9.81)(0.5)]2 − 0.09} 9

𝑡 = 3.61 s

289

0.3𝑡 2 = 0.3 + ( ) 0.8 2

Movimiento curvilíneo

Ejemplo.Desde la parte más alta de un iglú semiesférico de 12 ft de radio, comienza a deslizarse un osezno. Considerando que tanto la velocidad inicial como la fricción son nulas, ¿a qué altura h se separará el osezno del iglú?

12 ft

Como la rapidez del osezno es variable, estudiaremos un instante cualquiera de su movimiento sobre el iglú. ∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 𝑃 𝑑𝑣 𝑃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑣 𝑔 𝑑𝑠 𝑔 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣 En donde 𝑑𝑠 𝑑𝜃 = 12 𝑑𝑠 = 12𝑑𝜃 12 𝑔 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣 𝑣2 −12𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = +𝑐 2 Si θ = 0°; cos θ = 1, v = 0 −12𝑔 = 𝑐 𝑣2 −12𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = − 12𝑔 2 𝑣2 = 12𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 2 𝑣 2 = 24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) Por otro lado: ∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 −𝑁 + 𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 290

𝑃 𝑣2 𝑔 12

h

Movimiento curvilíneo

Pero N = 0 en el instante en que el osezno está a punto de abandonar el iglú. 𝑃 24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑔 12 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 3 De la geometría: 2 ℎ = 12 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 12 ( ) 3 𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =

ℎ =8m Observación En el problema anterior, del osezno, y en el péndulo simple, obtuvimos las siguientes expresiones para la rapidez de los cuerpos. 𝑣 2 = 24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑣 2 = 4𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 35°) en donde el 24 y 4 son los dobles de los radios de las trayectorias. O sea, que, generalizando 𝑣 2 = 2𝑔𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) Además, 𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) es ∆ℎ, según se muestra en la figura

de modo que se puede escribir 291

Movimiento curvilíneo

𝑣 2 = 2𝑔 ∆ℎ 𝑣 = √2𝑔 ∆ℎ Tal expresión vale siempre que la partícula baje de nivel por la acción de su peso, por cualquier tipo de trayectoria sobre la que no haya fricción.

Serie de ejercicios de Cinemática y Dinámica MOVIMIENTO CURVILÍNEO 1. Un punto se mueve sobre la trayectoria cuya ecuación es y = x3, de acuerdo con la ley x = 2t+1/t, donde tanto x como y están en in y t en s. ¿Cuál es su rapidez cuando t = 4 s? (Sol. 396 in/s) 2. Una partícula se mueve sobre la curva y = 2x3–3x conforme con la relación x = t2– t, donde si t está en s, tanto x como y resultan en cm. Calcule su velocidad y su aceleración cuando t = 1 s. (Sol. v = 3.16 cm/s 3. Un muchacho situado al borde de un precipicio lanza una piedra con una velocidad de 25 m/s formando un ángulo de 30º abajo de la horizontal. Si la profundidad del lugar en que cae la piedra, respecto al nivel del que fue lanzada, es de 100 m, diga: a) qué tiempo tarda la piedra en caer; b) el alcance hori-zontal de la piedra; c) con qué ve-locidad llega la piedra al suelo. (Sol. a) 3.42 s; b) 74.0 m; c) 50.9 m/s 64.8º) 292

71.6º; a = 6.32 cm/s2

71.6º)

30° 25 m/s 100 m

Movimiento curvilíneo

4. De una bala que ha sido disparada a 480 ft/s formando un ángulo de 25º respecto a la horizontal, se desea saber: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo; b) su alcance; c) la altura máxima a la que llega; d) la ecuación cartesiana de su trayectoria. Desprecie la resistencia del aire. (Sol. a) 12.60 s; b) 5480 ft; c) 639 ft; d) y = 0.467x – 8.51(10)-5 x2) 5. Un jugador de futbol es capaz de imprimir a un balón una velocidad inicial de 90 ft/s. Si desea que el alcance del balón sea de 180 ft, ¿con qué ángulo respecto a la horizontal debe iniciar el balón su movimiento? (Sol. 22.8º ó 67.2º) 6. Un aficionado patea un balón de futbol, y le imprime una velocidad inicial de 20 m/s, formando un ángulo de 45º con el campo; pero el campo tiene una inclinación de 15º respecto a la horizontal. ¿Cuál es el alcance R del balón? (Sol. 53.4 m) 7. La distancia que recorre una partícula, medida a lo largo de una trayectoria curvilínea, en ft, es s = t3– 16t, donde t está en s. Cuando t = 4 s, la partícula se encuentra en un tramo cuyo radio de curvatura es de 32 ft. Calcule la magnitud de la aceleración lineal de la partícula en dicho instante. (Sol. 40 ft/s2)

20 m/s

45° 15° R

C

32’

O S

8. Un avión vuela horizontalmente a 900 km/h a 10000 m de altura, describiendo un arco de circunferencia de 1250 m de radio. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración lineal? (Sol. 50 m/s2) 293

Movimiento curvilíneo

9. Un ciclista da una vuelta completa a una pista circular en un v (km/h) lapso de 40 s. Su rapidez se muestra en la gráfica de la figura. Determine: 36 a) la longitud y el radio de la pista; b) la magnitud de la aceleración lineal del ciclista cuando t = 2 y cuando t = 30 s. 8 (Sol. a) 360 m y 57.3 m; b) a2 = 1.255 m/s2; a30 = 1.745 m/s2)

40

10. Mientras un automóvil recorre una pista circular de un cuarto de milla de radio, reduce su rapidez lineal uniformemente de 60 a 30 mi/h en 16 s, ¿cuáles son las magnitudes de la aceleración lineal del automóvil al principio y al fin de dicho lapso? ¿Qué distancia recorre en esos 16 s? (Sol. ao = 6.48 ft/s2; a16 = 3.12 ft/s2; s = 1056 ft)

11. Un automovilista ingresa en una curva vertical con una velocidad de 72 km/h y aplica los frenos de modo que, reduciendo su rapidez uniformemente, se detiene 50 m adelante. Sabiendo que el radio de curvatura es constante en ese tramo y que la aceleración del automóvil al aplicar los frenos es de 6 m/s2, de-termine: a) el radio de la curva; b) la magnitud de la aceleración del automóvil al detenerse. (Sol. a) 89.4 m; b) 4 m/s)

294

ρ

t (s)

Movimiento curvilíneo

12. Un ciclista recorre una pista circular horizontal con una rapidez constante de 12 m/s. Si en una longitud de 80 m el ciclista se desvía un ángulo de 30º, diga: a) cuál es el radio de la pista; b) cuáles son las magnitudes de las componentes normal y tangencial de su aceleración; c) cuál es la magnitud de su aceleración lineal. (Sol. a) 152.8 m; b) an = 0.942 2 m/s ; at = 0; c) a = 0.942 m/s)

80 m 30°

2’

13. La figura representa unas canastillas de feria. El juego gira alrededor de un eje vertical con una velocidad angular constante de 2 rad/s. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y de la aceleración lineales de cualquiera de las canastillas? (Sol. v = 10 ft/s; a = 20 ft/s2) 14. Suponiendo que la Tierra estuviera dotada exclusivamente de movimiento de rotación, ¿cuál sería la aceleración de un cuerpo situado en la ciudad de México? Considere que la latitud de México es 19º norte, que la Tierra da una vuelta en 24 h y que su radio medio mide 6370 km. (Sol. 3.18 cm/s2)

295

6’ 30°

ϴ DF 19°

Movimiento curvilíneo

15. El pequeño jet de la figura viaja horizontalmente con rapidez constante de 540 km/h y tarda 4 s en desviar su curso 45º. a) Determine la velocidad angular del vector velocidad lineal del jet. b) Calcule la magnitud de la aceleración lineal del jet durante dicho lapso. c) Diga cuál es el radio del arco de circunferencia que describe al virar. (Sol. a) 0.1963 rad/s; b) 29.5 2 m/s ; c) 764 m) 16. Una piedra de 3 kg de peso, atada a una cuerda de 1 m de longitud, describe una circunferencia en el plano vertical. Determine la velocidad angular mínima de la cuerda a la cual ésta se rompe, si su resistencia máxima es de 9 kg. Diga también cuál es la tensión en la cuerda cuando forma un ángulo de 20º arriba de la horizontal, si la velocidad lineal de la piedra en ese instante es de 5 m/s. (Sol. 4.43 rad/s; 6.62 kg) 17. Un automóvil de una tonelada se desplaza sobre el puente de la figura con una rapidez constante de 10 m/s. El radio de curvatura en la cima del puente es de 50 m. Cal-cule la fuerza que el automóvil ejer-ce sobre el puente al pasar por dicho punto. Diga también cuál es la máxima rapidez con que puede transitar el

296

45°

20° 1m

𝑣

Movimiento curvilíneo

automóvil sin perder el con-tacto con la cima del puente. (Sol. 796 kg ↓; 79.7 km/h)

18. La flecha AB gira a 300 rpm. El cuerpo C, que puede consi-derarse un punto material, pesa 25 kg. Cuando C se encuentra en la posición más baja de su trayectoria, como se muestra en la figura, ¿cuá-les son las reacciones en los apoyos? Los pesos de las barras son despre-ciables. (Sol. RA = 93 kg ↑; RB = 233 kg ↑) 19. El sistema mostrado en la figura gira alrededor del eje vertical O’O. ¿Entre qué velocidades angúlares puede girar el sistema sin que A se deslice? Los coeficientes de fricción estática y cinética entre A y el disco son 0.4 y 0.3, respectiva-mente. (Sol. 5.03 rad/s < 𝜃 < 14.95 rad/s) 20. Determine la rapidez angúlar constante con que debe girar el gobernador de bolas que se representa para mantener la configuración mostrada. Considere los siguientes datos: φ = 45º, P = 2 kg, Q = 10 kg, b = 0.3 m y c = 0.1 m. (Sol. 122.6 rpm) 21. La esfera de la figura está sostenida por dos cuerdas y T0 es la tensión en una de ellas. Diga cuál 297

50 cm

20 cm

12 cm A

A

O 60°

60°

O’

1 ft

b Q P

B

C

c

φ

P

b ω

Movimiento curvilíneo

será la tensión T1 en cualquiera de ellas en el instante en que se corte la otra, y cuál, la magnitud de la aceleración de la esfera en ese mismo instante. (Sol. T1 = 0.5T0; a = 0.866g) 22. El cuerpo de la figura tiene una masa de 5 kg y sube por el plano inclinado. Al pasar por B su rapidez es de 3 m/s y decrece a razón de 8 m/s2. Determine el coeficiente de fricción cinética µ entre el cuerpo y la superficie, si el radio de curvatura de la trayectoria en el punto B es de 3 m. (Sol. 0.270)

30°

30°

𝑣 B 3m

µ 5 kg 45°

23. Un vehículo de 1400 kg de masa recorre una curva circular horizontal de 200 m de radio. Re-duce su velocidad uniformemente de 108 a 72 km/h en una distancia de 50 m. Calcule la magnitud de la reacción del pavimento sobre el vehículo cuando éste alcanza los 72 km/h. (Sol. 15 670 N) 24. Un carrito de baleros corre por el plano horizontal con una velocidad v0 y comienza a subir por una trayectoria curvilínea contenida en un plano vertical. Halle una expresión que defina su rapidez v en función de la altura y que va ascendiendo. ¿Cuál será la altura máxima que alcanzará el carrito? (Sol. v = (v02 – 2gy)1/2; v02/2g)

298

𝑣

𝑣0

y

Movimiento curvilíneo

25. Un carrito de baleros de 9.81 kg de peso llega al punto A con una rapidez de 5 m/s y comienza a descender por la trayectoria circular de 4 m de radio. Determine el ángulo β que define la posición en que el carrito abandona la superficie y se convierte en un proyectil. (Sol. 28.5º) 26. Una partícula de masa m se suelta sin velocidad inicial desde el punto A de la trayectoria lisa contenida en un plano vertical. a) Si h = 3 r, ¿cuál es la magnitud de la fuerza normal que el bucle ejerce sobre la partícula al pasar por B? b) Si la partícula ha de recorrer el bucle completo, ¿cuál es la altura mínima h a la que debe soltarse? (Sol. a) mg; b) 2.5 r) 27. Un carro eléctrico experimental de 200 kg de peso parte del reposo del punto A de la curva circular vertical de 50 m de radio, y desciende por la acción de su peso y de la tracción de sus ruedas, que es constante y de 60 kg. Diga con qué rapidez llegará al punto B y cuál será la magnitud de la reacción normal de la curva sobre el carro al llegar a ese punto. (Sol. 38 m/s; 788 kg)

299

5 m/s 9.81 kg A B β 4m

m B

A h

C

60 kg 200 kg A 50 m

B