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XIII Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática

Cálculo Diferencial y Aplicaciones

José Heber Nieto Said Mérida, 2009

Prefacio La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y el análisis de éstas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de esta disciplina aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas y técnicas. Para la enseñanza del Cálculo existe una gran cantidad de libros de texto, materiales audiovisuales y software educativo, todo lo cual se incrementa cada año ya que su comercialización parece ser un buen negocio. También hay abundante material disponoble gratuitamente en Internet. Sin embargo los resultados alcanzados en los cursos por lo general no son satisfactorios. Un gran número de aplazados, repitientes crónicos y deserción escolar parecen ser las características constantes de estos cursos. Estas notas se han escrito con el propósito de contribuir a la enseñanza del Cálculo y lograr mejores rendimientos y logros académicos en los cursos. Están dirigidas a profesores de enseñanza media y primeros años de educación superior que estén dictando cursos de Cálculo o tengan proyectado hacerlo. La concepción educativa que las anima es la siguiente: 1. No creemos que la función del profesor sea “transmitir conocimientos”, ni que dicha “transmisión” sea posible. El conocimiento es algo que se construye em cada individuo a través de un complejo proceso que el profesor debe estimular, proponiendo diversas experiencias educativas. En el caso de la matemática, la resolución de problemas por parte del alumno es una actividad insustituible que el profesor debe propiciar cuanto pueda. 2. Es imposible que alguien aprenda algo si no desea aprenderlo. Es por eso que la motivación juega un papel sumamente importante en el proceso de enseñanza-aprendizaje. 3. El profesor de matemática debe poseer un conocimiento profundo de su materia, aún cuando la enseñanza deba adaptarse al nivel de sus alumnos. Reconocemos, en algunos casos, la necesidad de la transposición didáctica, pero ésta debe partir de una seria formación científica de los profesores. 4. Muchos conceptos matemáticos actuales son el resultado de la evolución del pensamiento matemático durante siglos. El conocimiento del proceso

histórico puede en muchos casos contribuir a la comprensión de esos conceptos, además de mostrar que la matemática es una actividad realizada por los seres humanos y no una especie de verdad revelada e inmutable. 5. La tecnología moderna, bien usada, puede aportar mucho al proceso de enseñanza-aprendizaje. En base a las ideas anteriores se ha estructurado un curso con el énfasis puesto en los siguientes aspectos, que lamentablemente se suelen descuidar: 1. La clarificación de los conceptos y resultados básicos. 2. Las aplicaciones, tanto dentro como fuera de la propia matemática. 3. El desarrollo histórico de la disciplina y las implicaciones del mismo sobre su enseñanza. 4. Las posibilidades didácticas de algunos recursos tecnológicos modernos. Aunque se han hecho esfuerzos por escribir un texto autocontenido, no se trata de un curso introductorio. Se da por supuesto que el lector está familiarizado al menos con el cálculo elemental de límites y las reglas de derivación. Por razones de tiempo y espacio no se cubre el cálculo integral, aunque hay numerosas referencias al mismo e incluso se tratan y resuelven por vías alternativas algunos problemas que se consideran típicos del cálculo integral. Como material de apoyo y para mostrar su potencial didáctico se han diseñado algunas plantillas en GeoGebra que ilustran varios de los conceptos y problemas estudiados. Las mismas se hallan disponibles en http://mipagina.cantv.net/jhnieto/apcal/ (GeoGebra es un software libre y de plataformas múltiples que permite interactuar dinámicamente con la matemática, en un ámbito en que se reúnen la Geometría, el Algebra y el Cálculo. Su sitio web es http://www.geogebra.org) El signo al comienzo de un párrafo o en un ejercicio advierte de una curva peligrosa en el curso del pensamiento. El material así marcado puede pasarse por alto en una primera lectura. El autor.

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Índice general 1. Perspectiva histórica 1.1. Antecedentes . . . . . . . 1.2. El nacimiento del Cálculo 1.3. Crecimiento y desarrollo . 1.4. Rigor y Fundamentación .

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2. Conceptos Básicos 2.1. Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Extremos, crecimiento y decrecimiento de funciones 2.3. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Límites laterales e infinitos . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Operaciones con límites . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Límites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Operaciones con funciones continuas . . . . . . . . . 2.4.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . 2.5. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Interpretación cinemática . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . 2.5.5. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . 2.5.6. Infinitésimos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.7. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Teorema fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Máximos y mínimos 55 3.1. Crecimiento y decrecimiento de una función . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3. Extremos globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 iv

3.4. Algunos ejemplos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Extremos sin cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 62 64

4. Aplicaciones matemáticas 4.1. Gráficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Raíces de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Involutas y evolutas . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Trayectorias de una bicicleta . . . . . . . . . 4.5.4. Envolvente de una familia de rectas . . . . . 4.5.5. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Desigualdad de Jensen . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Desigualdad aritmético-geométrica . . . . . . 4.6.3. Desigualdad entre medias generalizadas . . . 4.6.4. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski

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65 65 69 70 72 73 75 77 80 84 86 89 90 90 91 93

5. Aplicaciones físicas 5.1. Movimiento en un campo constante . 5.2. Desintegración radioactiva . . . . . . 5.3. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . 5.4. Ecuación de la catenaria . . . . . . . 5.5. El Teorema de Torricelli . . . . . . . 5.6. La cicloide es tautócrona . . . . . . . 5.7. El problema de la braquistócrona . . 5.8. Las leyes de Kepler . . . . . . . . . .

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6. Aplicaciones a otras ciencias 6.1. Modelos Ecológicos . . . . . . . . . 6.1.1. Modelo Exponencial . . . . 6.1.2. Modelo logístico . . . . . . 6.1.3. Modelo predador-presa . . . 6.2. Economía . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Índice de precios e inflación 6.2.2. Precios, oferta y demanda .

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Soluciones a ejercicios seleccionados

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Bibliografía

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Índice alfabético

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Capítulo 1

Perspectiva histórica La derivada fue primero usada; luego fue descubierta; luego fue explorada y desarrollada y finalmente fue definida. Judith V. Graviner [4]

El cálculo infinitesimal, o simplemente el Cálculo, como se le llama comúnmente, es sin duda alguna uno de los grandes logros intelectuales de la humanidad. La amplitud y alcance de sus aplicaciones ha hecho que sea materia obligada en los planes de estudio de casi todas las carreras científicas y técnicas. A pesar de que existe una inmensa variedad de libros de texto y recursos de todo tipo para su estudio, su enseñanza y aprendizaje no están libres de escollos, sobre todo debido a la dificultad que presenta, para muchos estudiantes, la comprensión de algunos de sus conceptos fundamentales, como el de límite. Ahora bien, resulta interesante comprobar que la mayor parte del desarrollo del cálculo y sus primeros éxitos en la resolución de variados problemas matemáticos y de otras disciplinas, durante los siglos XVII y XVIII, se realizó antes de disponer de definiciones precisas de los conceptos fundamentales. Varios ejemplos particulares de lo que hoy llamamos derivadas fueron usados por Fermat y otros para resolver diversos problemas durante la primera mitad del siglo XVII. Durante la segunda mitad de ese siglo, Newton y Leibniz identificaron los conceptos subyacentes a los ejemplos mencionados, dando así origen al nacimiento del cálculo. Durante el siglo XVIII el cálculo continuó desarrollándose vigorosamente, así como sus aplicaciones matemáticas y físicas. Y fue recién en el siglo XIX cuando Cauchy y Weierstrass dieron definiciones precisas de los conceptos básicos y convirtieron el cálculo en una teoría matemática rigurosa. En este capítulo nos ocuparemos brevemente de estos aspectos históricos, que tienen implicaciones de interés para la enseñanza del cálculo. En efecto, conocer la génesis de un concepto o resultado, puede ayudar a motivarlo. Conocer el orden en el cual una disciplina se desarrolló (que, en el caso del Cálculo, es prácticamente el inverso al que siguen los libros de texto) ayuda a entender el porqué de las definiciones básicas. El orden expositivo es sin duda lo que le da

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Perspectiva histórica

a la matemática su sólida estructura lógico-deductiva, pero no debe olvidarse que el orden histórico es por lo común bastante diferente. Si pensamos que desde el nacimiento del cálculo hasta la primera exposición rigurosa del mismo, basada en nuestra actual definición de límite, pasaron más de dos siglos, no debería extrañarnos que un alumno al que se le expone sin preparación previa dicha definición por primera vez, quede completamente en blanco. Las definiciones precisas son frecuentemente el final, y no el principio, de un tema. Además conocer el verdadero desarrollo histórico de la matemática muestra a los matemáticos en su labor de creación, que es en definitiva lo que hace a esta disciplina tan interesante.

1.1.

Antecedentes

El Cálculo es la matemática del cambio y de lo continuo, y por lo tanto para su desarrollo es imprescindible el conjunto de los números reales, también conocido como el continuo. Los orígenes de los números reales se pueden rastrear en la matemática babilónica, que desarrolló un sistema de numeración posicional capaz, en principio, de representar la medida de una magnitud con la precisión deseada. Los griegos fueron mucho más parcos en cuanto a lo que consideraban números, y sólo designaban con este nombre a los enteros positivos a partir del dos. El uno era la unidad, la mónada, y estaba en una clase aparte. Y lo que nosotros llamamos fracciones eran para ellos razones de números, pero no números propiamente dichos. Los pitagóricos creyeron, al principio, que la razón de dos magnitudes del mismo tipo (como por ejemplo dos longitudes) se podía expresar siempre como la razón de dos números, pero el descubrimiento de magnitudes inconmensurables (como el lado y la diagonal de un cuadrado) echó por tierra esa creencia. Este hecho sin embargo dió lugar a una de las creaciones más profundas de la matemática griega: la teoría de las razones de magnitudes de Eudoxo de Cnido, que aparece expuesta en el Libro V de los Elementos de Euclides. Esta teoría permitió a los geómetras griegos comparar razones de magnitudes, aunque éstas fuesen inconmensurables. Arquímedes mostró cómo varias de esas razones inconmensurables podían ser aproximadas por números racionales, pero debido a la carencia de un sistema de numeración apropiado la matemática griega no avanzó mucho más en esa dirección. Con el Renacimiento, que arrancó en Italia y luego se extendió por otras partes de Europa, comenzó una revolución de ideas y una nueva actitud ante la naturaleza, la sociedad y el hombre. A diferencia de lo que ocurrió en otras áreas de la vida cultural, el Renacimiento no produjo grandes resultados en matemáticas; sin embargo durante ese período se sentaron las bases de lo que sería la gran revolución científica que se realizó en el siglo XVII. Se extendió el uso del sistema de numeración posicional indoarábigo y se aplicó la matemática a la contabilidad, la cartografía, la agrimensura, la óptica y el arte (teoría de la perspectiva). Los matemáticos europeos redescubrieron la matemática griega y se familiarizaron con el álgebra islámica, a través de traducciones que se hicie-

1.1 Antecedentes

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ron accesibles gracias al novedoso uso de la imprenta. Los algebristas italianos continuaron desarrollando el álgebra hasta obtener la solución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado (Tartaglia y Cardano) y con el francés François Viète, a fines del siglo XV el álgebra simbólica quedó definitivamente establecida. La invención de la geometría analítica se sitúa generalmente alrededor de 1630, y se atribuye a Descartes (1596-1650) y a Fermat (1601-1665), independientemente. Sin embargo sus raíces aparecen ya en la geometría griega. Fijados −→ un origen O y un punto A en una recta, a cada punto B de la semirrecta OA se le puede hacer corresponder la medida del segmento OB respecto a la unidad OA, lo cual para los griegos era una razón de magnitudes y para los modernos un número real. Los griegos no consideraron números negativos, pero si convenimos en tomar como negativa la medida del segmento OB cuando B está en −→ la semirrecta opuesta a OA , entonces a cada punto de la recta le corresponde un número real único, llamado abscisa del punto B. Recíprocamente, para cada número real x existe un único punto B en la recta que tiene a x como abscisa. Si se hace esto en dos rectas perpendiculares (ejes cartesianos) entonces se puede establecer una correspondencia biyectiva entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales, haciéndole corresponder a cada punto el par ordenado (x, y) formado por las abscisas de las proyecciones del punto sobre los ejes. Y a cada ecuación R(x, y) = 0 en las variables x e y le corresponde una figura geométrica, a saber el conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) satisfagan la ecuación. Además de las rectas, las circunferencias y las cónicas, los griegos sólo habían considerado unas pocas curvas más (como la espiral de Arquímedes y algunas otras definidas como lugares geométricos), y fueron capaces de resolver varios problemas relacionados con ellas, notablemente el trazado de tangentes. Pero la geometría analítica provocó una explosión en el número de curvas posibles. Los métodos sintéticos de los griegos para el trazado de tangentes ya no eran aplicables, y se requería algo más general. Lo mismo ocurría con el cálculo de áreas y longitudes y los problemas de máximos y mínimos. Fermat desarrolló un método para hallar extremos de funciones polinómicas que hoy identificaríamos con hallar los puntos Figura 1.1: Fermat donde se anula la derivada. Sin embargo, no define la derivada ni nada parecido, ni justifica su método. A pesar de ello, lo utilizó con indudable éxito para resolver algunos problemas no triviales. Por ejemplo, formuló el principio óptico según el cual la luz viaja de un punto a otro siguiendo la trayectoria que haga mínimo el tiempo empleado (hoy conocido como Principio de Fermat) y de allí dedujo la ley de refracción de Snell. Fermat también trabajó en el problema de las tangentes. En la geometría de Euclides la definición de tangente no ofrecía problemas, ya que el único tipo de

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curva al que se aplicaba era la circunferencia, para la cual una recta es tangente si y sólo si tiene un único punto en común con ella (las rectas secantes tienen dos puntos en común con la circunferencia y las exteriores ninguno). Pero ya para la parábola la situación es más complicada, ya que las rectas paralelas al eje la cortan en un solo punto, igual que las tangentes. Se agregó entonces a la noción de tangente la condición de que la recta no atravesara la curva. Para curvas más generales, esta definición tampoco resulta apropiada. Intuitivamente, las tangente comenzaron entonces a considerarse como secantes para las cuales los puntos de o se aproximaban indefinidamente uno al otro hasta coincidir.

Figura 1.2: Secante y tangente

A pesar de que nadie era capaz de explicar con precisión este proceso mediante el cual las secantes se convertían en tangentes, Fermat (y otros matemáticos del siglo XVII como Descartes, John Wallis e Isaac Barrow) utilizaron la idea para calcular efectivamente tangentes. El método, aplicado a una curva de ecuación y = f (x), consistía en considerar la recta secante que pasa por dos puntos (x, f (x)), (x + h, f (x + h)) y calcular su pendiente f (x + h) − f (x) . h

(1.1)

Ahora bien, si al coincidir los puntos de o la secante se convierte en tangente, para calcular la pendiente de ésta simplemente hay que poner h = 0 en 1.1. El problema es que entonces se estaría dividiendo entre 0, operación prohibida. Pero Fermat y sus colegas descubrieron que al operar algebraicamente con 1.1 muchas veces lograban hacer desaparecer la h del denominador, luego de lo cual ponían h = 0 sin ningún problema de conciencia. Por ejemplo si

1.2 El nacimiento del Cálculo

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f (x) = x3 − x + 3 calculaban f (x + h) − f (x) h

= = =

(x + h)3 − (x + h) + 3 − (x3 − x + 3) h x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 − x − h + 3 − (x3 − x + 3) h 3x2 h + 3xh2 + h3 − h = 3x2 + 3xh + h2 − 1, h

y ahora haciendo h = 0 se obtiene la pendiente de la recta tangente en (x, f (x)), a saber 3x2 − 1. Vemos entonces que estos matemáticos, a pesar de carecer de una definición satisfactoria del concepto de recta tangente, eran capaces, en muchos casos, de calcularlas correctamente. También se hizo evidente que este método para hallar tangentes era prácticamente el mismo que el usado por Fermat para hallar extremos.

1.2.

El nacimiento del Cálculo Con una sobresimplificación excesiva, la “invención” del Cálculo se atribuye algunas veces a dos hombres, Newton y Leibniz. En realidad, el Cálculo es el producto de una larga evolución que no fue ni iniciada ni terminada por Newton y Leibniz, pero en la cual ambos jugaron un papel decisivo. R. Courant, H. Robbins [3]

El terreno estaba preparado para la aparición de nuevas ideas que unificaran lo que se había logrado hasta el momento. Es así que, en el último tercio del siglo XVII, Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), en forma independiente, “inventan” el cálculo. Esta invención (o, para algunos, descubrimiento) tiene dos aspectos fundamentales. El primero consiste en haber reunido la gran variedad de métodos existentes hasta ese momento para calcular tangentes, extremos y áreas en un cuerpo de teoría basado en dos conceptos fundamentales, que hoy llamamos derivada e integral. Newton llamó a nuestra derivada fluxión y la definió de tres maneras diferentes: (a) como la razón de “cambios infinitesimales” en dos variables, (b) como el límite de la Figura 1.3: Newton razón entre incrementos, ∆x/∆t, cuando ∆t disminuye hasta desaparecer, y (c) como una tasa de cambio o velocidad. La notación newtoniana para la fluxión era x. ˙ Para Leibniz la derivada era una razón de cantidades infinitesimales, que él llamó “cociente diferencial”, y lo reflejó en su

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R notación dy/dx.R Del mismo modo su notación y dx para la integral sugiere una suma (el signo es una S estilizada) de cantidades infinitesimales y dx. En segundo lugar, tanto Newton como Leibniz establecieron lo que ahora se llama el Teorema Fundamental del Cálculo, según el cual la derivación y la integración son operaciones mutuamente inversas. Veamos cómo Newton visualizaba este resultado.

D

K(x,v)

H(x+h,v)

C(x,y)

O

x

x+h

Figura 1.4: Teorema Fundamental del Cálculo Dada una curva, sea z(x) el área limitada por ella, el eje de las x y las rectas verticales de abscisas 0 y x. Sea C = (x, y) el punto de la curva con abscisa x, y D el punto con abscisa x + h. Tomemos la ordenada v de los puntos K y H de manera que el rectángulo de vértices (x, 0), (x + h, 0), K y H tenga igual área que la región limitada por la curva, el eje horizontal y las rectas verticales por C y D, es decir de manera que z(x + h) − z(x) = vh, o dividiendo ambos entre h, z(x + h) − z(x) = v. h Ahora Newton afirma que si h “disminuye indefinidamente, hasta desaparecer”, v se hará igual a y. Por lo tanto la tasa de variación del área bajo la curva hasta el punto C es igual al valor de la ordenada de ese punto. Además se observa que ese valor es el mismo que obtendríamos al calcular la pendiente de la tangente a la curva y = z(x), lo que muestra que el problema del área y el de la tangente están íntimamente vinculados. En vez de nuestra h Newton usó una pequeña o, con lo cual aparentemente quería transmitir la pequeñez y cercanía al 0 de esa cantidad. Leibniz dió argumentos similares sobre este asunto. Además de las razones matemáticas que hemos expuesto, existían motivos de otro orden para impulsar el desarrollo del cálculo. Tanto Descartes como Galileo Galilei (1564-1642) habían insistido en los métodos experimentales y el uso de la matemática para describir y comprender la naturaleza. Pero la matemática de la que disponían tenía limitaciones para cumplir ese programa, ya que era esencialmente estática y carecía de recursos para describir el cambio, presente en todos los procesos naturales. El cálculo proporcionó los recursos necesarios.

1.2 El nacimiento del Cálculo

7

Aunque Newton formuló sus leyes del movimiento en palabras, y la exposición y desarrollo de las mismas contenida en sus famosos Philosophiae naturalis principia mathematica (1687) siguen mayormente el modelo geométrico, una vez expresadas en el lenguaje del cálculo se convirtieron en una herramienta de tremendo poder. El mismo Newton logró deducir, a partir de sus principios, las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas, explicó las mareas y la precesión de los equinoccios, analizó al movimiento de los cuerpos en medios que ofrecen una resistencia como el aire y los líquidos, etc. Pero desde un punto de vista lógico y matemático estricto, el Cálculo de Newton y Leibniz tenía obvias debilidades. La pequeña o Figura 1.5: Principia utilizada por Newton para designar los incrementos, que “disminuyen hasta desaparecer”, ¿es cero o no lo es? Si lo es, ¿cómo se puede dividir entre ella? Si no lo es, ¿no se comete un error al despreciarla? Para Leibniz dy/dx era un “cociente diferencial”, y para algunos de sus discípulos, como Johann Bernoulli, era una razón de infinitésimos. El problema de este planteamiento es que el orden entre los infinitésimos no es arquimediano, por lo que la teoría clásica de las proporciones no se les puede aplicar. En sus Principia Newton trató de superar esta dificultad afirmando que una fluxión no debe entenderse como una razón entre cantidades infinitesimales, sino como el límite de la razón entre incrementos evanescentes. Esto suena muy bien, pero lamentablemente no está claro qué entendía Newton por límite, ya que inmediatamente dice que las razones entre incrementos se aproximan al Figura 1.6: Leibniz límite más cerca que cualquier diferencia dada, “pero nunca lo sobrepasan ni lo alcanzan”. En 1734 el obispo George Berkeley (1685–1753), en un artículo titulado El Analista: o un discurso dirigido a un matemático infiel, argumentó que los fundamentos del cálculo no eran firmes. Una cantidad, decía, es cero o no lo es, no hay una tercera posibilidad. Entre sus mordaces críticas se hicieron famosas estas palabras: ¿Qué son estos incrementos evanescentes? No son cantidades finitas, ni infinitamente pequeñas, ni nada. ¿No podríamos llamarlos fantasmas de cantidades difuntas? Berkeley reconocía que mediante el cálculo se obtenían resultados correctos, pero creía que esto se debía a dos errores que se compensaban.

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1.3.


Crecimiento y desarrollo

Aunque las críticas de Berkeley eran correctas, a la mayor parte de los matemáticos de su época no les preocupaban: estaban más interesados en aplicar las nuevas y poderosas herramientas a la solución de problemas matemáticos y físicos de todo tipo. Por ejemplo, la segunda ley de Newton expresada en el lenguaje del cálculo afirma que F = m¨ x, donde F representa la fuerza que actúa sobre una masa puntual m en la posición x y x¨ representa la aceleración. Por otra parte Robert Hooke (1635–1703) había hallado la ley de la elasticidad que hoy lleva su nombre, la cual, como se acostumbraba en la época, publicó en forma de anagrama en latín: ceiiinosssttuv, cuyo significado es Ut tensio sic vis (como la extensión, así la fuerza). En otras palabras, la fuerza de recuperación F de un resorte estirado es proporcional al estiramiento x, o F = −kx. Igualando estas dos expresiones, Euler (1707–1783) estableció en 1739 la ecuación diferencial de un resorte vibrante m¨ x + kx = 0, y la resolvió, hallando que la solución involucra a las funciones trigonométricas seno y coseno. Euler también estudió, al igual que D’Alembert, Daniel Bernoulli y otros matemáticos, la ecuación diferencial de las cuerdas vibrantes (que involucra una función de dos variables y sus derivadas parciales). Este problema condujo a extensas discusiones sobre la definición de función y la naturaleza de la continuidad. Aunque el concepto de función es uno de los más importantes de toda la matemática, en su sentido técnico no aparece sino hasta fines del siglo XVII, en la correspondencia entre Leibniz y Johann Bernoulli. La notación f (x) se debe a Euler, en cuya obra Introductio in analysin infinitorum, publicada en 1748, este concepto ocupa un rol central, aunque aparece todavía ligado al de representación analítica. En 1755, en su Institutiones calculi differentialis, el mismo Euler da una definición más general. Algunos otros temas atacados con éxito durante esta época fueron la mecánica de los cuerpos rígidos, la mecánica celeste y la hidrodinámica. Así, a mediaFigura 1.7: Euler dos sel siglo XVIII, las ecuaciones diferenciales ya se habían convertido en la herramienta matemática más importante de la física.

1.4.

Rigor y Fundamentación

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), matemático, físico y astrónomo italiano (bautizado como Giuseppe Luigi Lagrangia) que vivió en Prusia y Francia, también era consciente de la insuficiencia de las justificaciones existentes del cálculo.

1.4 Rigor y Fundamentación

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En 1797 escribió que el concepto newtoniano de límite no era lo suficientemente claro como para ser el fundamento de una rama de la matemática. El cálculo, decía, debería ser reducido al algebra, tema que en ese entonces se pensaba que tenía bases sólidas. Lo que Lagrange tenía en mente eran las series infinitas, a las que consideraba parte del álgebra, pues así como la aritmética trata con fracciones decimales infinitas el álgebra podía también tratar con expresiones algebraicas infinitas. Como Euler había hallado expansiones en serie de potencias de funciones como ex , cos x y sen x, Lagrange creía que para cualquier función f se podría hallar un desarrollo del tipo f (x + h) = f (x) + p(x)h + q(x)h2 + r(x)h3 + · · · excepto tal vez para algunos valores aislados de x. Entonces definió la función derivada de f como el coeficiente p(x) de h, e introdujo para ella la notación f ′ (x). También definió f ′′ (x) como la función derivada de f ′ (x), y así sucesivamente, y probó que en el desarrollo de f (x + h) se tiene q(x) = f ′′ (x)/2, r(x) = f ′′′ (x)/6, etc. Aunque la definición de Lagrange no es apropiada más que para una clase de funciones (las que hoy llamamos analíticas), él también describió la derivada mediante desigualdades semejantes a la actual definición mediante límites. También halló importantes Figura 1.8: Lagrange propiedades, por ejemplo probó que una función con derivada positiva en un intervalo es creciente, obtuvo la hoy llamada forma de Lagrange para el resto en la fórmula de Taylor y aplicó sus hallazgos para resolver un gran número de problemas de geometría, máximos y mínimos y mecánica. El matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) señaló, en 1821, que el álgebra de las cantidades finitas no podía extenderse a los procesos 2 infinitos. Además mostró que la función e−1/x , hoy llamada función de Cauchy, no se puede representar mediante su serie de Taylor, pues tiene un desarrollo nulo alrededor del origen. Por estas razones rechazó el enfoque de Lagrange y trató de desarrollar uno propio, basado en el concepto de límite. Este concepto tiene raíces profundas en la antigüedad. Los trabajos de Arquímedes en relación a la longitud de la circunferencia y el área encerrada por la misma, utilizando aproximaciones por polígonos, y su aplicación del méFigura 1.9: Cauchy todo de exhaución de Eudoxo, para demostrar rigurosamente fórmulas de áreas y volúmenes de diversas figuras (segmento de parábola, esfera, conos, cilindros, etc.), contienen implícitamente la noción de límite de una sucesión. Newton también utilizó la palabra

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límite, tratando de evitar las dificultades lógicas que encerraban los incrementos evanescentes, pero nunca propuso una definición aceptable de esta noción. El primero en precisar el concepto de límite fue Cauchy, en su Cours d’Analyse (Paris, 1821). A diferencia de sus predecesores, Cauchy evitó la cuestión de si una variable podía alcanzar o sobrepasar su límite. Y aunque su definición es todavía verbal, en sus demostraciones utiliza la caracterización algebraica de los límites, mediante desigualdades. De hecho, Cauchy es quien utiliza por primera vez la hoy famosa notación ǫ-δ. Y entonces, en 1823, define la derivada como el límite (cuando existe) del cociente de diferencias (f (x + h) − f (x))/h cuando h tiende a 0. Después de Cauchy, el Cálculo comenzó a ser visto desde una perspectiva diferente. De mero conjunto de poderosos métodos se convirtió en una disciplina matemática rigurosa, con buenas definiciones y teoremas cuyas pruebas se basan en las definiciones. En 1856 Karl Weierstrass (1815–1897) comenzó a trabajar en la Universidad de Berlin. En el curso de Introducción al Análisis que dictó entre 1859 y 1860 encaró el problema de los fundamentos. En sus teoremas utilizó la técnica ǫ-δ de Cauchy, pero reemplazando la definición verbal de los límites por desigualdades, y haciendo una distinción clara entre la convergencia puntual y la uniforme, lo cual a Cauchy se le había pasado por alto. De esta manera logró una presentación sistemática y completamente rigurosa del Cálculo. Aunque Weierstrass no publicó sus conferencias, sus alumnos (entre quienes estaban Georg Cantor, Eduard Heine, Mittag-Leffler, Salvatore Pincherle, Hermann Schwartz y Sofia Kowalevska- Figura 1.10: Weierstrass ya, entre otros) diseminaron su enfoque riguroso por toda Europa. Su publicación en 1872 de un ejemplo de función continua que no es derivable en ningún punto muestra su completo y profundo dominio de los conceptos fundamentales del análisis matemático. Este descubrimiento perturbó a muchos matemáticos, que consideraban a este tipo de funciones contrarias a la intuición como “patológicas”. En una dirección contraria el mismo Weierstrass probó, a los 70 años de edad, que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado puede ser aproximada uniformemente, con la precisiñon que se desee, por medio de funciones polinómicas. Para finalizar esta breve reseña histórica es interesante mencionar que el punto de vista original de los creadores del cálculo ha resurgido modernamente en el llamado análisis no estándar de Abraham Robinson (ver [10]), teoría matemáticamente rigurosa que se desarrolla en un cuerpo no arquimediano de números hiperreales que, junto a los reales estándar, contiene infinitésimos e infinitos. Incluso se ha argumentado que la presentación del cálculo basada en este punto de vista es más intuitiva y fácil de comprender que el enfoque tradicional ǫ-δ (ver por ejemplo [7]).

Capítulo 2

Conceptos Básicos En este capítulo se revisan los conceptos y resultados básicos del cálculo diferencial. Su contenido no refleja la forma en que el autor piensa que debe enseñarse el Cálculo, sino más bien lo que éste cree que un profesor de Cálculo debería saber. Un curso de Cálculo para estudiantes que lo vean por primera vez requeriría de mucha más motivación, ejemplos y ejercicios. Además, el grado de formalidad y rigor debería adaptarse al nivel y objetivos del curso. No debe olvidarse que la mayor parte del Cálculo se desarrolló antes de poseer definiciones formales de los conceptos básicos (como los de número real y límite), y por lo tanto un curso para estudiantes interesados en aplicar el cálculo no necesita detenerse en los aspectos más sutiles de su fundamentación. Como se supone que el lector ya está más o menos familiarizado con estos temas, las demostraciones que se incluyen son bastante concisas y esquemáticas. Los ejercicios, más que a desarrollar habilidades específicas, están destinados a refrescar la memoria del lector o a llamar la atención sobre puntos interesantes o delicados. Para una exposición más completa el lector puede consultar la bibliografía, por ejemplo [2], [9] o [13].

2.1.

Los números reales

Para el desarrollo riguroso del cálculo son imprescindibles los números reales. Pero hasta la segunda mitad del siglo XIX no hubo una definición formal ni un tratamiento riguroso de los números reales, de modo que se puede decir que los creadores del cálculo y los matemáticos que lo desarrollaron en sus primeros dos siglos, lo hicieron a pesar de poseer tan sólo una comprensión intuitiva de los números reales. Esta noción intuitiva asimilaba un número real a la medida de una magnitud (longitud, área, tiempo, etc.) e incluía la posibilidad de aproximarlo con cualquier grado de precisión mediante fracciones, o mediante expresiones decimales finitas. También se aceptaba que, fijados un origen O y un punto A en una recta, a cada punto B de la recta se le puede hacer corresponder

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Conceptos Básicos

un número real igual a la medida del segmento OB respecto a la unidad OA, y que recíprocamente para cada número real x existe un único punto B en la recta tal que la medida del segmento OB respecto a la unidad OA es x. En la enseñanza media los números reales se definen como expresiones decimales infinitas g, a1 a2 a3 . . ., donde g es un número entero (posiblemente precedido de un signo + ó −) y a1 , a2 , a3 , . . . son dígitos. Las expresiones decimales finitas pueden identificarse con expresiones decimales infinitas agregándoles infinitos ceros a la derecha. También se enseña que a cada número racional le corresponde o bien una expresión decimal finita o bien una expresión decimal infinita periódica, mientras que las expresiones decimales infinitas no periódicas son números irracionales. Este enfoque, aunque aceptable, presenta varios problemas, entre los cuales se pueden mencionar los siguientes: 1. Hace depender a los números reales del sistema decimal. Una buena definición debería ser independiente de la base en que se representen. 2. Hay expresiones diferentes que corresponden al mismo número, por ejemplo 1,5 = 1,4999 . . . 3. Definir las operaciones básicas (la suma, y especialmente el producto) con expresiones decimales infinitas, presenta ciertas dificultades. 4. Tampoco es sencillo demostrar las propiedades básicas de las operaciones (asociatividad, distributividad, etc.) Por esas razones en la segunda mitad del siglo XIX varios matemáticos (entre ellos Cantor, Méray, Dedekind y Weierstrass) trabajaron para poner al número real sobre bases más sólidas, proponiendo diversas formas de construirlos a partir de los racionales. Entre los métodos propuestos se pueden mencionar las cortaduras de Dedekind, los pares de clases contiguas, los pares de sucesiones monótonas contiguas y las sucesiones de Cauchy. Veamos brevemente el método de las cortaduras (para más detalles vea [8]). Una cortadura es un par (I, S) de subconjuntos no vacíos del conjunto Q de los números racionales, tales que 1. I ∪ S = Q, I ∩ S = ∅. 2. si x ∈ I y y ∈ S, entonces x < y. 3. I no tiene elemento máximo. Al conjunto I se le llama clase inferior y al S clase superior de la cortadura. Observe que la clase inferior I determina completamente la cortadura, ya que la clase superior S es el complement6o de I en Q. Para cada número racional q se puede construir una cortadura (Iq , Sq ) poniendo Iq = {x ∈ Q : x < q}, Sq = {x ∈ Q : x ≥ q}. Observe que en esta cortadura q es el mínimo de la clase superior.

2.1 Los números reales

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Un ejemplo más interesante es el siguiente: I = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2}, S = {x ∈ Q : x > 0y x2 ≥ 2}. En esta cortadura, ni la clase inferior √ tiene máximo ni la clase superior tiene mínimo. Si supiéramos qué cosa es 2, podríamos decir que la clase inferior contiene todas las aproximaciones por defecto de ese número, y la clase superior todas√las aproximaciones por exceso. La idea de Dedekind fue sencillamente definir 2 mediante esa cortadura. En otras palabras, para Dedekind un número real es una cortadura. El conjunto de todos los números reales se denota R. En R es muy fácil definir un orden: si α = (I, S) y α′ = (I ′ , S ′ ) son números reales, se dice que α ≤ α′ si I ⊆ I ′ . Es inmediato verificar que ≤ es una relación reflexiva, transitiva y antisimétrica. La suma α + α′ es la cortadura cuya clase inferior es I + I ′ = {x + x′ : x ∈ I, x′ ∈ I ′ }. Es inmediato probar que la adición es conmutativa y asociativa, y que el cero (definido por la cortadura con clase inferior {x ∈ Q : x < 0}) es un elemento neutro para esta operación. También se puede definir el producto y probar las leyes asociativa, conmutativa y distributiva. Lamentablemente para analizar en detalle cualquiera de las construcciones de los números reales se requiere un tiempo del que generalmente no se dispone en los cursos de cálculo. Además exige un esfuerzo que tal vez sólo se les puede pedir a los estudiantes matemáticamente orientados. La alternativa más corriente hoy en día consiste en introducir los números reales axiomáticamente. La ventaja de este método, además de la rapidez, es que el estudiante dispone de entrada de una lista de propiedades básicas de los números reales, que puede usar como punto de partida para demostrar otras. Axiomas del sistema de los números reales En el enfoque axiomático se supone dado un conjunto R que contiene dos elementos distinguidos 0 y 1, en el cual están definidas dos operaciones binarias + y · (suma y producto) y una relación <, de manera tal que se cumplen los siguientes axiomas: A1. a + (b + c) = (a + b) + c para todos los a, b, c ∈ R. A2. a + b = b + a para todos los a, b ∈ R. A3. a + 0 = a para todo a ∈ R. A4. Para todo a ∈ R existe −a ∈ R tal que a + (−a) = 0. A5. a · (b · c) = (a · b) · c para todos los a, b, c ∈ R. A6. a · b = b · a para todos los a, b ∈ R. A7. a · 1 = a para todo a ∈ R. A8. Para todo a ∈ R \ {0} existe un a−1 ∈ R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1.

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Conceptos Básicos

A9. 1 6= 0. A10. a · (b + c) = a · b + a · c para todos los a, b, c ∈ R. A11. Para a, b, c ∈ R, si a < b y b < c entonces a < c. A12. Si a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta: (i) a < b, (ii) a = b, (iii) b < a. A13. Para a, b, c ∈ R, si a < b entonces a + c < b + c. A14. Para a, b, c ∈ R, si a < b y 0 < c entonces a · c < b · c. A15. Cualquier subconjunto de R no vacío y acotado superiormente tiene una cota superior mínima. La mayoría de estos axiomas corresponden a conocidas propiedades: A1 y A2 son las propiedades asociativa y conmutativa de la suma, A3 dice que el 0 es neutro para la suma, A4 afirma la existencia de un opuesto aditivo para cada a ∈ R, A5 y A6 son las propiedades asociativa y conmutativa para el producto, A7 dice que 1 es neutro para el producto, A8 afirma la existencia de un inverso multiplicativo para cada a 6= 0, A10 es la propiedad distributiva, A11 es la transitividad de <, A12 es la tricotomía, A13 y A14 son la monotonía de < respecto a la suma y el producto, y A15 es el axioma de completitud, también llamado principio del supremo. Los axiomas A1...A10 caracterizan la estructura algebraica llamada cuerpo. A11 y A12 son los axiomas de una relación de orden. A13 y A14 relacionan el orden con la estructura algebraica. Los axiomas A1...A14 caracterizan a los llamados cuerpos ordenados. Si se pone el cuerpo Q de los números racionales en lugar de R en los axiomas A1...A14, todos se satisfacen. El axioma A15 en cambio es característico de los números reales, y enseguida lo trataremos con mayor detenimiento. El enfoque axiomático plantea varias preguntas importantes, entre las cuales cabe destacar: (1) ¿Existe algún conjunto R con las propiedades especificadas por los axiomas? (2) itiendo que exista, ¿es esencialmente único? (3) ¿Los axiomas son consistentes?, es decir, ¿no podrá derivarse de ellos alguna contradicción? La respuesta a la primer pregunta es que, a partir del sistema de los números naturales o de la teoría de conjuntos, se pueden construir modelos de R que satisfacen todos los axiomas. Esto da una respuesta parcial a la tercera pregunta, ya que reduce la consistencia del sistema de los números reales a la consistencia de la aritmética, o de la teoría de conjuntos. Y decimos que la respuesta es parcial porque estas dos últimas teorías no se sabe si son consistentes. La respuesta a la segunda pregunta es que estos axiomas realmente caracterizan a los números reales, en el sentido de que cualquier par de sistemas que los satisfagan son isomorfos, tanto algebraicamente como desde el punto de vista del orden.


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√ √ √ Ejercicio 2.1. Sea Q( 2) = {a + b 2 : a, b ∈ Q}. Pruebe que poniendo Q( 2) en lugar de R en los axiomas A1...A14, todos ellos se satisfacen. Recordemos ahora algunas definiciones: Definición 2.1. Un número real c es cota superior de un conjunto A ⊂ R, si para todo a ∈ A se cumple a ≤ c. En este caso se dice que A está acotado superiormente. Un número real M es máximo de A ⊂ R, si M es cota superior de A y además M ∈ R. Análogamente d ∈ R es cota inferior de A si para todo a ∈ A se cumple d ≤ a (en este caso se dice que A está acotado inferiormente) y m ∈ R es mínimo de A, si m es cota inferior de A y además m ∈ R. Un conjunto es acotado si lo está tanto superior como inferiormente. Si el conjunto de las cotas superiores de un conjunto A tiene mínimo, a ese mínimo se le llama supremo o extremo superior de A y se denota sup A. Análogamente, si el conjunto de las cotas inferiores de A tiene máximo, a ese máximo se le llama ínfimo o extremo inferior de A, y se denota ´ınf A. Es claro que el máximo y el mínimo de un conjunto, si existen, son únicos. Ejemplo 2.1. Sea R+ = {x ∈ R : x > 0} la semirecta real positiva. R+ no tiene ninguna cota superior, pero cualquier número real c ≤ 0 es cota inferior. El 0 es la mayor cota inferior, por lo tanto 0 es el ínfimo de R+ . Como 0 6∈ R+ , R+ no tiene mínimo. √ Ejemplo 2.2. Sea X = {−3, −1, 0, 2, 2, π}. Entonces −5 es cota inferior, 5 es cota superior, -3 es mínimo y π es máximo de X. Ejercicio 2.2. Pruebe que c = sup A si y sólo si c es cota superior de A y, para todo b < c, existe a ∈ A tal que b < a ≤ c. Enuncie y pruebe una condición similar para los ínfimos. El axioma A15 se puede enunciar de la siguiente manera. Principio del supremo: Todo conjunto no vacío y acotado superiormente de números reales tiene supremo. En el conjunto Q de los números racionales el Principio del supremo no vale. Por ejemplo, el conjunto A = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2} es acotado superiormente por 3/2 (ya que si x ≥ 3/2 entonces x2 ≥ 9/4 > 2 y x 6∈ A), pero no tiene supremo en Q. Para probarlo, comencemos por recordar la conocida demostración de que 2 no es el cuadrado de ningún número racional. Supongamos, por absurdo, que existiese un número racional cuyo cuadrado sea 2, y expresémoslo mediante una fracción irreducible p/q. Entonces (p/q)2 = 2, de donde p2 = 2q 2 y p2 sería par. Pero entonces p debe ser par y lo podemos escribir como p = 2r, para algún entero r. Como (2r)2 = 2q 2 , es decir 4r2 = 2q 2 , se sigue que 2r2 = q 2 , y resulta que q también debería ser par, contradiciendo el hecho de que p/q era una fracción irreducible.

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Conceptos Básicos

En segundo lugar probaremos que para todo x ∈ A existe otro x′ ∈ A tal que x′ > x. En efecto, si x < 1 basta tomar x′ = 1. Si x ≥ 1, sea h = (2 − x2 )/4. Como 1 ≤ x2 < 2 se tiene 0 < h ≤ 1/4. Entonces (x + h)2 = x2 + (2x + h)h < x2 + (3 + 1/4)h < x2 + 4h = 2. Es decir que si tomamos x′ = x + h se tiene x′ ∈ A y x′ > x. También se cumple que, si y > 0 y y 2 > 2, entonces existe y ′ tal que 0 < y ′ < y y y 2 > 2. En efecto, si ponemos x = 2/y se tiene x2 = 4/y 2 < 4/2 = 2, y entonces como acabamos de ver existe x′ ∈ A tal que x′ > x. Si tomamos y ′ = 2/x′ entonces y ′ = 2/x′ < 2/x = y y y ′2 = 4/x′2 > 4/2 = 2. Ahora es fácil probar que A no tiene supremo en Q. En efecto, si c < 0 ó c > 0 y c2 < 2, entonces c ∈ A, y como vimos existe un c′ ∈ A tal que c′ > c, por lo tanto c no puede ser cota superior de A. Si c > 0 y c2 > 2, entonces ciertamente c es cota superior de A, pero como existe c′ tal que 0 < c′ < c y c′2 > 2, c no es cota superior mínima de A. El único caso que quedaría por examinar es cuando c > 0 y c2 = 2, pero eso ya vimos que no es posible. En el conjunto de los números reales R, el conjunto A debe tener un supremo c > 0. Como ya sabemos que no puede ser c2 < 2 ni c2 √ > 2, la única posibilidad que queda es c2 = 2, y ese es el número que llamamos 2. Por razones de simetría, existe también un Principio del ínfimo: Todo conjunto no vacío y acotado inferiormente de números reales tiene ínfimo. El Principio del ínfimo y el Principio del supremo son equivalentes (ver ejercicios). Prueba del Principio del Supremo Cuando los números reales se construyen a partir de los números racionales, el principio del Supremo puede y debe demostrarse. Usando cortaduras de Dedekind es muy fácil: Si A ⊂ R es no vacío y acotado superiormente, y cada a ∈ A es una cortadura (Ia , Sa ), entonces la cortadura cuya clase inferior es ∪a∈A Ia es el supremo de A (la verificación es inmediata). Si los reales se definen como expresiones decimales infinitas, la prueba también es fácil pero más trabajosa. La haremos sólo para el caso en que A tenga algún elemento no negativo, dejando el otro caso como ejercicio. Condideremos el conjunto A0 formado por las partes enteras de los elementos de A. Como A es acotado superiormente, A0 contiene sólo un número finito de elementos no negativos, y por lo tanto tiene un elemento máximo g ≥ 0. Condideremos ahora el conjunto A1 formado por todos los elementos de A que tienen parte entera g. Sea a1 el mayor dígito que aparezca como primer cifra decimal de algún elemento de A1 . Sea A2 el conjunto formado por todos los elementos de A1 que comienzan con g, a1 . Sea a2 el mayor dígito que aparezca como segunda cifra decimal de algún elemento de A2 . Continuando de este modo se obtiene un real g, a1 a2 . . . que es el supremo de A.

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Como ejemplo, sea A = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2}. Entonces A0 = {. . . , −2, −1, 0, 1} y g = 1. Ahora A1 = {1+x : x ∈ Q, 0 ≤ x < 1, (1+x)2 < 2}. Como 1, 42 = 1, 96 < 2 pero 1, 52 > 2, es claro que a1 = 4. Del mismo modo, como 1, 412 = 1, 9881 < 2 pero 1, 422 = 2, 0164 > 2, resulta a1 = 1. Prosiguiendo de esta manera se van obteniendo las cifras del supremo: 1, 4142 . . . (que por √ supuesto es 2). Sean a, b ∈ R con a ≤ b. Llamaremos intervalo abierto con extremos a y b al conjunto (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. Análogamente se define el intervalo cerrado con extremos a y b como [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, y los intervalos semiabiertos (o semicerrados): [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} y (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. También consideraremos los intervalos no acotados abiertos (a, +∞) = {x ∈ R : a < x} y (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}, y los cerrados: [a, +∞) = {x ∈ R : a ≤ x} y (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}. En general llamaremos intervalo a cualquiera de los anteriores y al propio R. El interior de un intervalo I es el mayor intervalo abierto contenido en él, y se denota I ◦ . Por ejemplo [a, b]◦ = [a, b)◦ = (a, b]◦ = (a, b), [a, +∞)◦ = (a, +∞). Un subconjunto A de R se dice que es convexo si para cualquier par de elementos a 0, se llamará entorno abierto de centro a y radio δ al intervalo Ua (δ) = (a − δ, a + δ). Aunque el término entorno se utiliza a veces en un sentido más general, en estas notas se entenderá siempre por entorno de a un entorno abierto de centro a. Llamaremos semientorno derecho (resp. izquierdo) de a a un intervalo de la forma [a, a + δ) (resp. (a − δ, a]). Se llamará entorno reducido abierto de centro a y radio δ al conjunto Ua∗ (δ) = Ua (δ)\ {a} = (a− δ, a)∪(a, a+ δ), que se obtiene de Ua (δ) suprimiendo al propio a. Análogamente, se llama semientorno reducido derecho (resp. izquierdo) de a a un intercalo de la forma (a, a + δ) (resp. (a − δ, a)). Ejercicio 2.4. Si A ⊂ R llamemos −A al conjunto {−x : x ∈ A}. (a) Pruebe que c ∈ R es cota superior de A si y sólo si −c es cota inferior de −A. (b) Pruebe que c = sup A si y sólo si −c = ´ınf −A. Ejercicio 2.5. Demuestre el Principio del ínfimo a partir del Principio del supremo, y viceversa. Ejercicio 2.6. Si A, B ⊂ R son acotados superiormente, entonces sup(A+B) = sup A + sup B.

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2.2.

Conceptos Básicos

Funciones

El concepto de función se fue clarificando durante el siglo XIX, a través de los trabajos de Cauchy, Dirichlet, Fourier y Weierstrass, entre otros, hasta que en su forma moderna y general (función como correspondencia arbitraria) aparece explícitamente a comienzos del siglo XX en el Cours d’analyse mathématique de Goursat. Si A y B son dos conjuntos, se define el producto cartesiano A × B de ambos como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a en A y b en B, es decir A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

A × A se abrevia A2 , y por inducción se definen A3 = A2 × A, A4 = A3 × A,. . . , An = An−1 × A. Una relación de A en B es un subconjunto de A × B. Las funciones son un tipo especial de relaciones. Más precisamente, una relación f de A en B es una función si se cumple que, para cada a ∈ A, existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . O dicho de otra manera, si (a, b) ∈ f y (a, b′ ) ∈ f entonces b = b′ . Para indicar que f es una función de A en B se utiliza la notación f : A → B. Al conjunto A se le llama dominio de la función y a B codominio. Si (a, b) ∈ f entonces se escribe f (a) = b, y se dice que b es la imagen de a por f . También se dice que a es una preimagen de b por f . Observe que cada elemento a ∈ A tiene exactamente una imagen por f , mientras que un elemento b ∈ B puede tener una, ninguna o muchas preimágenes por f . Intuitivamente, una función de A en B no es más que una correspondencia que a cada elemento a ∈ A le asocia un único elemento f (a) ∈ B. La definición que hemos presentado no es más que el resultado de un largo esfuerzo por tratar de formalizar el concepto intuitivo pero algo vago de correspondencia. Al conjunto f (A) = {f (x) : x ∈ A} se le llama recorrido de f ; en general es un subconjunto del codominio B. En el caso de que f (A) = B, se dice que f es sobreyectiva, o simplemente sobre. Esto equivale a decir que para cada b ∈ B existe algún a ∈ A tal que f (a) = b. f : A → B es inyectiva o uno a uno si las imágenes de elementos diferentes de A son diferentes, es decir si x 6= y implica f (x) 6= f (y). Si f es tanto inyectiva como sobreyectiva entonces se dice que es biyectiva. En este caso, el conjunto de pares ordenados {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f } es también una función, que se denomina inversa de f y se denota f −1 . Ejercicio 2.7. Para cualquier conjunto A se define la función identidad IA : A → A como IA (x) = x para todo x ∈ A. Pruebe que IA es biyectiva. Ejercicio 2.8. Pruebe que si f : A → B es biyectiva, entonces el conjunto de pares ordenados {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f } es también una función. En estas notas se consideran principalmente funciones del tipo f : I → R, cuyo dominio es un intervalo I de R (o una unión de intervalos) y cuyo codominio es R. Estas funciones se conocen como funciones reales de una variable real. A

2.2 Funciones

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las funciones g : A → R donde A ⊂ Rn se les llama funciones reales de n variables reales. Ejemplo 2.3. Si c ∈ R, a la función f : R → R definida mediante f (x) = c para todo x ∈ R se le llama función constante. Ejemplo 2.4. Si a, b ∈ R, a la función g : R → R definida mediante g(x) = ax + b se le llama función lineal (o afín). Ejemplo 2.5. Si a, b, c ∈ R, a la función h : R → R definida mediante h(x) = ax2 +bx+c se le llama función cuadrática. Análogamente se definen las funciones polinómicas de grado superior. Ejemplo 2.6. k : (0, +∞) → R definida mediante k(x) = log x es la función logaritmo natural. En muchos textos se suele dar una expresión analítica, por ejemplo √ 1 − x2 , 2x − 1

y se pide “hallar el dominio”. Estrictamente hablando esto no tiene mucho sentido, pues para que una función esté bien definida, se debe especificar cuáles son su dominio y su codominio. En realidad lo que se pretende en estos casos es que se halle el subconjunto más grande posible de R en el cual la expresión dada permita definir una función. Por ejemplo la expresión anterior tiene sentido si 1 − x2 ≥ 0 y 2x − 1 6= 0, es decir si |x| ≤ 1 y x 6= 1/2. Por lo tanto se puede definir una √ función f con dominio [−1, 1/2) ∪ (1/2, 1] y codominio R mediante f (x) = 1 − x2 /(2x − 1).

2.2.1.

Operaciones con funciones

Las funciones a valores reales pueden combinarse mediante operaciones aritméticas para formar nuevas funciones. Así, si f es una función y c ∈ R una constante, se definen las funciones −f y cf (con el mismo dominio que f ) mediante (−f )(x) = −f (x) y (cf )(x) = cf (x). Si f y g son funciones reales con dominios Df y Dg , respectivamente, se definen f + g y f g en Df ∩ Dg mediante (f + g)(x) = f (x) + g(x) y (f g)(x) = f (x)g(x). También se puede definir f /g mediante (f /g)(x) = f (x)/g(x), en Df ∩ {x ∈ Dg : g(x) 6= 0}.

Dadas dos funciones g : A → B y f : C → D, supongamos que g(A) ⊂ C. Entonces se puede definir la composición de f y g, denotada f ◦ g, mediante (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Por ejemplo si f (x) = x2 + 3x − 1 y g(x) = 2x + 1, entonces (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (2x + 1) = (2x + 1)2 + 3(2x + 1) − 1 = 4x2 + 10x + 3. La composición de funciones es asociativa, es decir que (f ◦ g)◦ h = f ◦ (g ◦ h). Ejercicio 2.9. Si f : A → B es biyectiva y f −1 es su inversa, pruebe que f −1 ◦ f = IdA y f ◦ f −1 = IdB . Ejercicio 2.10. Sea f : A → B. Pruebe que

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Conceptos Básicos 1. f es inyectiva si y sólo si existe g : B → A tal que g ◦ f = IdA . 2. f es sobreyectiva si y sólo si existe g : B → A tal que f ◦ g = IdB .

2.2.2.

Extremos, crecimiento y decrecimiento de funciones

Las nociones de cota, máximo, mínimo, supremo e ínfimo que se definieron para conjuntos de números reales en la sección 2.1 pueden trasladarse a funciones f : I → R, aplicándolas al conjunto f (I). Por ejemplo: se dice que f es acotada superiormente si f (I) lo es, es decir si existe c ∈ R tal que f (x) ≤ c para todo x ∈ I. Del mismo modo, se dice que f tiene máximo si f (I) lo tiene, o sea si existe un real M tal que f (x) ≤ M para todo x ∈ I y M ∈ f (I). También se dice que f alcanza su máximo en a o que a es un punto máximo de f si f (a) es el máximo de f . Observe que el máximo de una función, si existe, es único. Expresiones análogas se usan para cotas inferiores y mínimos. Sea f : I → R y a ∈ I. Si existe un entorno V de a tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ V ∩ I, entonces se dice que f (a) es un máximo local, y a es un punto máximo local. Observe que una función puede tener varios máximos locales (también puede tener sólo uno, o ninguno). A los máximos locales algunos autores les llaman máximos relativos, y entonces al máximo le llaman máximo absoluto. De manera análoga se define el concepto de mínimo local. A los máximos y mínimos locales se les llama extremos locales (o relativos). Definición 2.2. Una función f : I → R se dice que es monótona creciente si x ≤ y implica f (x) ≤ f (y), para todo x, y ∈ I, estrictamente creciente si x < y implica f (x) < f (y) para todo x, y ∈ I, monótona decreciente si x ≤ y implica f (x) ≥ f (y), para todo x, y ∈ I, y estrictamente decreciente si x < y implica f (x) > f (y) para todo x, y ∈ I. A las funciones monótonas crecientes o decrecientes se les llama conjuntamente monótonas. Ejercicio 2.11. Si f : I → R no es monótona, pruebe que existen a f (b) < f (c), o bien f (a) < f (b) > f (c). En estas notas se usarán los términos creciente y decreciente como formas abreviadas de monótona creciente y monótona decreciente, respectivamente, pero advertimos al lector que algunos autores utilizan estos términos como sinónimos de estrictamente creciente y estrictamente decreciente. Otros autores llaman no-decrecientes a las funciones monótonas crecientes, y entonces a las monótonas decrecientes les llaman no-crecientes, terminología desafortunada pues una función que no es creciente no tiene porqué ser no-creciente.

2.3 Límites

2.3.

21

Límites

El concepto de límite es la noción fundamental del cálculo, en su formulación moderna. Sea f una función real definida en un entorno reducido de c ∈ R. Informalmente se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a c es L, y se escribe l´ımx→c f (x) = L, cuando la diferencia entre f (x) y L puede hacerse tan pequeña como se quiera, en valor absoluto, tomando x suficientemente próximo a c. Más formalmente: Definición 2.3 (Límites con entornos). Se dice que l´ımx→c f (x) = L si, dado cualquier entorno U de L, existe un entorno reducido V ∗ de c tal que f (V ∗ ) ⊂ U . Recordando que UL (ǫ) = (L − ǫ, L + ǫ) y Uc∗ (δ) = (c − δ, c + δ) \ {c}, la definición anterior es equivalente a la siguiente: Definición 2.4 (Límites con desigualdades). Se dice que l´ımx→c f (x) = L si, dado cualquier ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ, entonces |f (x) − L| < ǫ. Observe que para la existencia de l´ımx→c f (x) no hace falta que f esté definida en c, sino tan solo en un entorno reducido de c. Ejercicio 2.12. Si f : R → R es la función de valor constante k (es decir f (x) = k para todo x ∈ R), pruebe que para cualquier c ∈ R se tiene l´ımx→c f (x) = k. Ejercicio 2.13. g : R → R es la función identidad (es decir g(x) = x para todo x ∈ R), pruebe que para cualquier c ∈ R es tiene l´ımx→c g(x) = c. Ejercicio 2.14. Si h : R → R se define mediante ( 1 si x ∈ Q, h(x) = 0 si x 6∈ Q, pruebe que no existe l´ımx→c h(x) para ningún c ∈ R. Ejercicio 2.15. Sea k(x) = sen x1 para x 6= 0. Pruebe que no existe l´ımx→0 k(x). Ejercicio 2.16. Si f (x) ≤ g(x) en un entorno reducido de c pruebe que, si ambos límites existen, entonces l´ımx→c f (x) ≤ l´ımx→c g(x).

2.3.1.

Límites laterales e infinitos

Si f está definida en un intervalo (c, b), se puede definir el límite de f cuando x tiende a c por la derecha sustituyendo en la definición 2.3 los entornos reducidos de c por semientornos reducidos de la forma (c, c + δ). O, en términos de desigualdades,

22

Conceptos Básicos

Definición 2.5. Se dice que el límite de f cuando x tiende a c por la derecha es L, y se escribe l´ımx→c+ f (x) = L o l´ımx↓c f (x) = L, si dado cualquier ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que, si c < x < c + δ, entonces |f (x) − L| < ǫ. Análogamente se dice que el límite de f cuando x tiende a c por la izquierda es L, y se escribe l´ımx→c− f (x) = L o bien l´ımx↑c f (x) = L, si dado cualquier ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que, si c − δ < x < c, entonces |f (x) − L| < ǫ. Ejemplo 2.7. Si f : R → R es la función escalón ( 0 si x < 0, f (x) = 1 si x ≥ 0, entonces l´ımx→0 f (x) no existe, pero l´ımx→0− f (x) = 0 y l´ımx→0+ f (x) = 1. Ejercicio 2.17. La función parte entera o piso de x se denota ⌊x⌋ y se define como el mayor entero que es menor o igual a x. En otras palabras, ⌊x⌋ es el único entero tal que ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1. Estudie los límites laterales de f para cada c ∈ R. Ejercicio 2.18. Pruebe que l´ımx→c f (x) existe si y sólo si l´ımx→c+ f (x) y l´ımx→c− f (x) existen y son iguales. Ejercicio 2.19. Si f : (a, b) → R es monótona creciente, pruebe que existen l´ımx→a+ f (x) (y es finito si f es acotada inferiormente) y l´ımx→b− f (x) (y es finito si f es acotada superiormente). Un resultado análogo vale para las funciones monótonas decrecientes. La definición de límite l´ımx→c f (x) = L se puede extender al caso en que c, L o ambos sean infinitos, con o sin signo. Para ello llamaremos entorno de +∞ a cualquier intervalo de la forma (H, +∞) = {x : x > H}, entorno de −∞ a cualquier intervalo de la forma (−∞, H) = {x : x < H}, y entorno de ∞ a la unión de intervalos (−∞, −H) ∪ (H, +∞) = {x : |x| > H}. Por ejemplo l´ımx→c f (x) = +∞ si para cualquier intervalo (H, +∞) existe un entorno reducido V ∗ de c tal que, si x ∈ V ∗ entonces f (x) ∈ (H, +∞). Expresado con desigualdades esto equivale a: l´ımx→c f (x) = +∞ si para cualquier H ∈ R existe un δ > 0 tal que, si 0 < |x − c| < δ, entonces f (x) > H. Análogamente l´ımx→c f (x) = −∞ si dado cualquier H ∈ R existe δ > 0 tal que, si 0 < |x − c| < δ, entonces f (x) < H, y l´ımx→c f (x) = ∞ (sin signo) si dado cualquier H ∈ R existe δ > 0 tal que, si 0 < |x − c| < δ, entonces |f (x)| > H. Observe que l´ımx→c f (x) = ∞ equivale a l´ımx→c |f (x)| = +∞. Si f está definida en una semirecta (a, +∞), la definición de límite de f (x) cuando x tiende a +∞ queda así: l´ımx→+∞ f (x) = L si dado cualquier ǫ > 0 existe H ∈ R tal que, si x > H, entonces |f (x) − L| < ǫ. Ejercicio 2.20. Exprese mediante desigualdades las definiciones correspondientes a l´ımx→−∞ f (x) = L, l´ımx→+∞ f (x) = +∞, l´ımx→+∞ f (x) = −∞, l´ımx→−∞ f (x) = +∞, l´ımx→−∞ f (x) = −∞.

23

2.3 Límites

De la misma manera se pueden definir límites laterales infinitos, por ejemplo l´ımx→c+ f (x) = +∞ si dado cualquier H ∈ R existe un δ > 0 tal que, si 0 < x < c + δ, entonces f (x) > H. Ejercicio 2.21. Exprese mediante desigualdades las definiciones correspondientes a l´ımx→c− f (x) = +∞, l´ımx→c+ f (x) = −∞ y l´ımx→c− f (x) = ∞. Ejercicio 2.22. Sea f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 una función polinómica de grado n > 0, con an > 0. Pruebe que l´ımx→+∞ f (x) = +∞, y que ( +∞ si n es par, l´ım f (x) = x→−∞ −∞ si n es impar.

2.3.2.

Operaciones con límites

Los límites se comportan bien con respecto a las operaciones que se pueden realizar con funciones, tales como suma, producto, composición, etc. Sin embargo, hay algunos detalles que hay que tomar en cuenta para no incurrir en errores. Teorema 2.1. Dadas f : Uc∗ → R y g : Ua∗ → Uc∗ , si l´ımx→a g(x) = c y l´ımx→c f (x) = L, entonces l´ımx→a f (g(x)) = L. Demostración. Dado un entorno W de L, como l´ımx→c f (x) = L, existe un entorno reducido Vc∗ ⊂ Uc∗ tal que f (Vc∗ ) ⊂ W . Y como l´ımx→a g(x) = c, existe un entorno reducido Va∗ ⊂ Ua∗ tal que g(Va∗ ) ⊂ Vc , y más aún g(Va∗ ⊂ Vc∗ . Entonces (f ◦ g)(Va∗ ) = f (g(Va∗ )) ⊂ f (Vc∗ ) ⊂ W . Ejercicio 2.23. Sea f : R → R definida como f (x) = 1 si x 6= 0 y f (0) = 0, y sea g : R → R la función constante g(x) = 0. Entonces l´ımx→0 g(x) = 0 y l´ımx→0 f (x) = 1, pero l´ımx→0 f (g(x)) = 0. ¿Contradice esto al Teorema 2.1? Teorema 2.2. Sean f y g funciones reales definidas en un entorno reducido de c. Si existen l´ımx→c f (x) = K y l´ımx→c g(x) = L, entonces l´ım (f (x) + g(x))

= K + L,

l´ım (f (x) − g(x))

= K − L,

x→c

x→c

l´ım (f (x)g(x))

x→c

= KL.

Si además L 6= 0, entonces también K f (x) = . x→c g(x) L l´ım

Y si K > 0, entonces l´ım f (x)g(x) = K L .

x→c

24

Conceptos Básicos La prueba de este teorema es estándar y puede hallarse en cualquier texto.

Si uno o ambos de los límites de f y g son infinitos, en algunos casos se pueden deducir los límites de las operaciones entre f y g, pero en otros casos no se puede. Por ejemplo: Si l´ımx→c f (x) = +∞ y l´ımx→c g(x) es finito o +∞, entonces l´ımx→c (f (x) + g(x)) = +∞. Un resultado análogo se tiene si se cambia +∞ por −∞. Sin embargo, si l´ımx→c f (x) = +∞ y l´ımx→c g(x) = −∞, no se puede afirmar nada a priori sobre l´ımx→c (f (x) + g(x)). Esto se expresa a veces diciendo que ∞ − ∞ es una “forma indeterminada”. Esto sólo significa que el límite no queda determinado por los límites de las funciones coomponentes f y g. Pero es una expresión poco afortunada, ya que lleva a muchos alumnos a pensar que un límite de este tipo “no se puede determinar”, y por lo tanto no se puede hacer nada con él. Es preciso enfatizar que lo indeterminado es la forma en general, pero no cada límite en particular. En realidad puede ocurrir que el límite de la suma no exista, o que exista y sea finito, o que exista y sea infinito. Pero para averiguar cuál es el caso hace falta un análisis más profundo. Ejemplo 2.8. Si en R definimos f (x) = x, g1 (x) = −x, g2 (x) = −2x y g3 (x) = −⌊x⌋, entonces l´ımx→+∞ f (x) = +∞ y l´ımx→+∞ g1 (x) = l´ımx→+∞ g2 (x) = l´ımx→+∞ g3 (x) = −∞, y se tiene que l´ımx→+∞ (f (x) + g1 (x) = 0, l´ımx→+∞ (f (x) + g2 (x) = −∞, mientras que l´ımx→+∞ (f (x) + g3 (x)) no existe. Si l´ımx→c f (x) = +∞ y l´ımx→c g(x) es finito y positivo o +∞, entonces l´ımx→c f (x)g(x) = +∞. Análogamente si l´ımx→c f (x) = −∞ y l´ımx→c g(x) es finito y positivo o +∞, entonces l´ımx→c f (x)g(x) = −∞. En general se puede decir que si el límite de una función es +∞ o −∞ y el de la otra es +∞, −∞ o un real distinto de 0, entonces el límite del producto es +∞ o −∞, y el signo se determina mediante la regla usual de los signos. En cambio si l´ımx→c f (x) = +∞ y l´ımx→c g(x) = 0, no se puede afirmar nada a priori sobre l´ımx→c f (x)g(x). Esto se expresa diciendo que ∞ · 0 es una “forma indeterminada”, expresión para la cual valen los mismos comentarios que hicimos para ∞ − ∞. Y como en el caso de la suma, aquí también puede ocurrir que el límite del producto no exista, o que exista y sea finito, o que exista y sea infinito, siendo necesario un análisis más profundo para averiguar qué es lo que en realidad ocurre. Ejercicio 2.24. Proporcione ejemplos de cada una de las tres posibilidades descriptas para la forma ∞ · 0. Para el cociente, si l´ımx→c f (x) = +∞ y l´ımx→c g(x) es finito y positivo, entonces l´ımx→c f (x)/g(x) = +∞. Si en cambio l´ımx→c f (x) es finito y l´ımx→c g(x) = ∞ (con o sin signo), entonces l´ımx→c f (x)/g(x) = 0. Si tanto f como g tienen límites infinitos, o si ambas tienen límite 0, no se puede afirmar nada a priori sobre l´ımx→c f (x)/g(x). Es decir que se tienen dos “indeterminaciones” más: ∞/∞ y 0/0.

25

2.3 Límites

Ejercicio 2.25. Proporcione ejemplos de la forma ∞/∞ y 0/0 para los cuales el límite a) no exista, b) exista y sea finito, y c) exista y sea infinito. Un resultado sencillo pero muy útil es el siguiente: Teorema 2.3 (Teorema del sándwich). Si f , g y h son funciones definidas en un entorno reducido V de c tales que g(x) esté siempre comprendido entre f (x) y h(x) (es decir, f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) o h(x) ≤ g(x) ≤ f (x) para todo x ∈ V ), y si l´ımx→c f (x) = l´ımx→c h(x) = L, entonces l´ımx→c g(x) existe y es igual a L. Demostración. Dado un entorno de L existen entornos reducidos V1∗ y V2∗ de c tales que f (V1∗ ) ⊂ U y h(V2∗ ) ⊂ U . Si tomamos V ∗ = V1∗ ∩ V2∗ entonces, para cualquier x ∈ V ∗ , se tiene que tanto f (x) como h(x) están en U , por lo tanto todo el intervalo de extremos f (x) y h(x) está contenido en U , y en particular g(x) ∈ U .

Figura 2.1: Límite de (sen x)/x. Ejemplo 2.9. Para calcular l´ımx→0 sen x/x consideremos un círculo de centro O y radio OA = 1. Sea B otro punto de la circunferencia. Si el ángulo ∠AOB se ⌢

mide en radianes, entonces su medida x es igual a la longitud del arco AB. El segmento de perpendicular desde B al radio OA mide sen x, y el segmento AD de la tangente a la circunferencia en A, comprendido entre A y la recta OB, mide tg x. Como el triángulo OAB está contenido en el sector circular OAB y éste en el triángulo OAD, comparando sus áreas se obtiene que (sen x)/2 < x/2 < (tg x)/2, es decir sen x < x < tg x. Dividiendo entre sen x (suponiendo

26

Conceptos Básicos

x > 0) se tiene entonces que 1<

x 1 < . sen x cos x

De aquí se deduce, por el teorema del sándwich, que l´ımx→0+ x/ sen x = 1 y por tanto, también l´ımx→0+ (sen x)/x = 1. Como la función (sen x)/x es par, se sigue que l´ımx→0 (sen x)/x = 1. Ejercicio 2.26. Probar que tg x = 1, x→0 x

(a) l´ım

1 − cos x 1 = , 2 x→0 x 2

(b) l´ım

1 − cos x = 0. x→0 x

(c) l´ım

Para l´ımx→c f (x)g(x) , si el límite de de f o el de g (o ambos) son infinitos, se plantean algunos casos fáciles de decidir y otros que requieren un análisis más profundo. Si l´ımx→c f (x) = +∞ y l´ımx→c g(x) es positivo (finito o infinito), entonces l´ımx→c f (x)g(x) = +∞. Lo mismo ocurre si l´ımx→c f (x) = K > 1 y l´ımx→c g(x) = +∞. Si 0 < l´ımx→c f (x) < 1 y l´ımx→c g(x) = +∞, entonces l´ımx→c f (x)g(x) = 0. En cambio no se puede afirmar nada a priori si l´ımx→c f (x) = 1 y l´ımx→c g(x) = +∞. Esto se conoce como la “forma indeterminada” 1∞ . Un ejemplo importante es l´ımx→0 (1 + x)1/x = e. Ejercicio 2.27. Proporcione ejemplos de la forms 1∞ en los cuales el límite a) no exista, b) exista y sea finito, y c) exista y sea infinito. Otro caso delicado se presenta cuando l´ımx→c f (x) = 0. Suponiendo que f (x) ≥ 0 en un entorno reducido de 0 (de lo contrario f (x)g(x) podría no estar siquiera definido), si l´ımx→c g(x) = L > 0 entonces es claro que l´ımx→c f (x)g(x) = 0. Y si L < 0, entonces l´ımx→c f (x)g(x) = +∞. Pero si L = 0 aparece una nueva “forma indeterminada” que se representa como 00 .

2.3.3.

Asíntotas

Diremos que una recta r de ecuación y = mx + n es asíntota de la gráfica de una función f , si la distancia del punto (x, f (x)) a r tiende a 0 cuando x tiende a +∞ o a −∞. Para que esto ocurra, por ejemplo para x → +∞, debe ser l´ımx→+∞ (f (x) − mx − n) = 0 y por lo tanto l´ımx→+∞ (f (x) − mx) = n. Además l´ımx→+∞ f (x)/x = l´ımx→+∞ (f (x) − mx)/x + m = m. Por lo tanto para hallar una asíntota para x → +∞ debemos calcular primero m = l´ımx→+∞ f (x)/x, y si existe se calcula luego n = l´ımx→+∞ (f (x) − mx). Si este segundo límite también existe, entonces y = mx + n es una asíntota. Si existe l´ımx→+∞ f (x) = n entonces automáticamente l´ımx→+∞ f (x)/x = 0, y se tiene una asíntota horizontal y = n. Si existe m = l´ımx→+∞ f (x)/x, pero no existe l´ımx→+∞ (f (x) − mx), se dice que y = mx es una dirección asintótica. De modo análogo se buscan asíntotas para x → −∞. Una asíntota vertical es una recta x = a tal que l´ımx→a+ f (x) o l´ımx→a− f (x) sea ∞ (con o sin signo).

27

2.3 Límites

Ejemplo 2.10. Sea f (x) = x/(1 + e−x ) + x/(x − 1). Obviamente hay una asíntota vertical x = 1. Como l´ım

x→+∞

y

f (x) 1 1 = l´ım + l´ım = 1 + 0 = 1, −x x→+∞ x→+∞ x 1+e x−1

l´ım (f (x) − x)

x→+∞

= =

x x l´ım + −x x→+∞ 1 + e−x x−1 −xe−x x l´ım + = 0 + 1 = 1, x→+∞ 1 + e−x x−1

se tiene la asíntota oblicua y = x + 1 para x → +∞. Por otra parte l´ım

x→−∞

y

1 1 f (x) = l´ım + l´ım = 0 + 0 = 0, x→−∞ 1 + e−x x→+∞ x − 1 x

l´ım f (x) = l´ım

x→−∞

x→−∞

x x + −x 1+e x−1

= 0 + 1 = 1,

por lo tanto se tiene una asíntota horizontal y = 1 para x → −∞.

Figura 2.2: Asíntotas

2.3.4.

Límites de sucesiones

En esta sección recordamos brevemente el concepto de límite de una sucesión y su relación con el límite de funciones.

28

Conceptos Básicos

Una sucesión de números reales es una función x : N → R del conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, . . .} en los reales. El valor x(n) que toma esta función en el natural n suele denotarse más comúnmente como xn , y la sucesión misma como x1 , x2 , x3 ,. . . , o más concisamente {xn }n∈N . Se dice que la sucesión tiene límite L cuando n tiende a infinito, y se escribe l´ımn→+∞ xn = L, si dado cualquier ǫ > 0 existe un natural K tal que |xn − L| < ǫ para todo n ≥ K. Ejercicio 2.28. Si x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · es una sucesión monótona creciente y acotada superiormente, pruebe que es convergente y que l´ımn→+∞ xn = sup{xn : n = 1, 2, 3, . . .}. q p p √ √ √ Ejercicio 2.29. Sea x1 = 2, x2 = 2 + 2, x3 = 2 + 2 + 2, . . . Pruebe que esta sucesión tiene límite y calcúlelo. Teorema 2.4. Sea f una función definida en un entorno reducido de a tal que l´ımx→a f (x) = L. Entonces para cualquier sucesión {xn } con valores en el dominio de f , se cumple l´ımn→+∞ f (xn ) = L. La demostración es inmediata y se deja como ejercicio. Ejemplo 2.11. Como l´ımx→0 (sin x)/x = 1 y l´ımn→+∞ 1/n = 0, entonces l´ımn→+∞ n sen(1/n) = 1. También vale una forma de recíproco: Teorema 2.5. Sea f una función definida en un entorno reducido de a y L ∈ R. Si para cualquier sucesión {xn } con valores en el dominio de f y tal que l´ımn→+∞ xn = a se cumple l´ımn→+∞ f (xn ) = L, entonces l´ımx→a f (x) = L. Una serie de números reales es una expresión de la forma x1 + x2 + x3 + · · · + xn + · · · donde {xn }n∈N es una sucesión de números reales. A toda serie se le asocia una sucesión de sumas parciales, definida Pn como X1 = x1 , X2 = x1 + x2 , X3 = x1 + x2 + x3 ,. . . y en general Xn = k=1 xk . Si existe l´ımn→∞ Xn = S, entonces se dice que la serie es convergente y que su suma es S. En ese caso se escribe x1 + x2 + x3 + · · · = S. Por ejemplo 1 1 1 1 + + + · · · n + · · · = 1, 2 4 8 2 Pn ya que las sumas parciales son Xn = k=1 1/2k = 1 − (1/2)n+1 (suma de una progresión geométrica) y l´ımn→∞ Xn = l´ımn→∞ (1 − (1/2)n+1 ) = 1 − 0 = 1.

2.4.

Continuidad

Intuitivamente, una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo no fue fácil convertir esta noción vaga en la definición precisa actual:

2.4 Continuidad

29

Definición 2.6. Una función f es continua en a si l´ımx→a f (x) = f (a). Si l´ımx→a+ f (x) = f (a) se dice que f es continua por la derecha en a, y si l´ımx→a− f (x) = f (a) se dice que f es continua por la izquierda en a. Si f no es continua en a entonces se dice que es discontinua en a, o que presenta una discontinuidad en a. Una función es continua en un intervalo si lo es en cada punto de ese intervalo, entendiendo que si el intervalo incluye extremo izquierdo (resp. derecho), en él se exigirá continuidad por la derecha (resp. izquierda). La definición de continuidad en un punto se puede desglosar así: f es continua en a si 1. f está definida en un entorno de a. 2. Existe l´ımx→a f (x). 3. f (a) y l´ımx→a f (x) son iguales. Si recordamos la definición de límites por entornos, la definición de continuidad se puede reformular así: f es continua en a si, dado cualquier entorno U de f (a), existe un entorno V de a tal que, si x ∈ V entonces f (x) ∈ U . Del mismo modo, recordando la definición de límites por desigualdades, podemos decir que f es continua en a si, dado cualquier ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que si |x − c| < δ, entonces |f (x) − f (c)| < ǫ. Las consideraciones anteriores pueden adaptarse de la manera obvia para el caso de la continuidad por la derecha o por la la izquierda, considerando semientornos. Si l´ımx→a f (x) existe, pero es distinto de f (a), se dice que f presenta una discontinuidad evitable en a. En este caso la discontinuidad se puede “evitar” redefiniendo f en a como l´ımx→a f (x). Si existen los límites laterales l´ımx→a+ f (x) y l´ımx→a− f (x), pero son diferentes, entonces se dice que f presenta una discontinuidad de salto en a. Ejercicio 2.30. Pruebe que las funciones f (x) = 1 y g(x) = x son continuas en todo a ∈ R. Ejercicio 2.31. Estudie la continuidad de la función h(x) = ⌊x⌋. Ejercicio 2.32. Estudie la continuidad de la función ( x sen x1 si x 6= 0, k(x) = 0 si x = 0.

30

2.4.1.

Conceptos Básicos

Operaciones con funciones continuas

De las propiedades correspondientes para los límites se deduce fácilmente que la suma, diferencia, producto y composición de funciones continuas son continuas. El cociente de funciones continuas es continua en los puntos donde esté definido (es decir donde no se anule el denominador). Como la identidad y las funciones constantes son continuas, de lo anterior se sigue que las funciones polinómicas son continuas, y las funciones racionales son continuas en los puntos en que no se anule el denominador. También las demás funciones elementales (la exponencial, el logaritmo, las potencias de exponente real, las funciones trigonométricas directas e inversas) son continuas donde estén definidas, y por lo tanto todas las funciones que se puedan obtener combinándolas por medio de las operaciones anteriormente descriptas son continuas. Por estas consideraciones podemos afirmar, por ejemplo, que la función cos(x) f (x) = log(x4 + 5) − sen ex + √ 3 x2 + 1 es continua. Ejemplo 2.12. De l´ımx→0 (1 + x)1/x = e y por la continuidad del logaritmo se deduce que l´ımx→0 log((1 + x)1/x ) = log(e) = 1, es decir l´ım

x→0

log(1 + x) = 1. x

Haciendo en este últimi límite el cambio de variable x = et − 1 se obtiene l´ımt→0 log(et )/(et − 1) = 1, es decir l´ımt→0 t/(et − 1) = 1, y por lo tanto ex − 1 = 1. x→0 x l´ım

2.4.2.

Propiedades de las funciones continuas

A continuación se enuncian algunos de los resultados más importantes relacionados con funciones continuas. Teorema 2.6 (Constancia local del signo). Si f : I → R es continua, c ∈ I y f (c) > 0, entonces existe un entorno V de c tal que f (x) > 0 para todo x ∈ V . Análogamente, si f (c) < 0 entonces existe un entorno V de c tal que f (x) < 0 para todo x ∈ V . La prueba es muy sencilla. Si f (c) > 0 entonces, tomando ǫ = f (c), por la continuidad de f se tiene que existe δ > 0 tal que, si |x − c| < δ, entonces |f (x) − f (c)| < ǫ = f (c), es decir −f (c) < f (x) − f (c) < f (c), de donde 0 < f (x) < 2f (c). Por lo tanto si |x − c| < δ, ewntonces f (x) > 0. La prueba para el caso f (c) < 0 es análoga.

2.4 Continuidad

31

Teorema 2.7 (Teorema de Bolzano). Si f : [a, b] → R es continua y f (a)f (b) < 0, entonces existe por lo menos un punto c ∈ (a, b) para el cual f (c) = 0. En otras palabras este teorema afirma que si una función continua toma valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo, entonces se anula en algún punto interior al mismo. Para probarlo, supongamos por ejemplo que f (a) < 0 y f (b) > 0 y consideremos el conjunto A = {x ∈ [a, b] : f es negativa en [a, x]}. Como A obviamente es no vacío y acotado, existe c = sup A. usando el teorema anterior es fácil ver que no puede ser f (c) < 0 (pues entonces habría puntos de A mayores que c) ni f (c) > 0 (pues entonces habría cotas superiores de A menores que c), por lo tanto f (c) = 0. Otra demostración popular se basa en el llamado método de bisección. Sea c = (a + b)/2. Si f (c) = 0 no hay más nada que hacer. Si f (c) > 0 pongamos a1 = a y b1 = c; si en cambio f (c) < 0 pongamos a1 = c y b1 = b. En ambos casos se verifica que f (a1 )f (b1 ) < 0. Sea ahora c1 = (a1 + b1 )/2. Si f (c1 ) = 0 ya está. Si f (c1 ) > 0 pongamos a2 = a1 y b2 = c1 ; si en cambio f (c1 ) < 0 pongamos a2 = c1 y b2 = b1 , y se verifica que f (a2 )f (b2 ) < 0. Prosiguiendo de esta manera, o encontramos un cero de f o se generan dos sucesiones monótonas a ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · y b ≥ b1 ≥ b2 ≥ · · · tales que bn − an = (b − a)/2n . Sean A = {an : n = 1, 2, . . .} y B = {bn : n = 1, 2, . . .}. Es claro que para índices cualesquiera i, j se tiene ai ≤ bj , de donde se sigue que ai ≤ ´ınf B para todo i y sup A ≤ ´ınf B. Pero como an ≤ sup A ≤ ´ınf B ≤ bn , se tiene que 0 ≤ ´ınf B − sup A ≤ bn − an = (b − a)/2n para todo n, de donde sup A = ´ınf B. Sea c el valor común de sup A y ´ınf B. Probaremos que f (c) = 0. En efecto, si fuese f (c) > 0, entonces por el teorema anterior f sería positiva en todo un entorno (c − ǫ, c + ǫ), para cierto ǫ > 0, y ese entorno no podría contener ningún an (ya que f (an ) < 0 por construcción), contradiciendo el hecho de que c es el supremo de A. De manera similar, si f (c) < 0 f sería negativa en todo un entorno (c − ǫ, c + ǫ), para cierto ǫ > 0, y ese entorno no podría contener ningún bn (ya que f (bn ) > 0 por construcción), contradiciendo el hecho de que c es el ínfimo de B. La única posibilidad que queda es f (c) = 0. La prueba anterior tiene la ventaja de ser constructiva, y por lo tanto proporciona una manera efectiva de calcular aproximadamente raíces de ecuaciones. Ejemplo 2.13. Supongamos que se desea hallar una raíz aproximada de la ecuación x3 + x − 1 = 0. Como la función f (x) = x3 + x − 1 es continua, f (0) = −1 < 0 y f (1) = 1 > 0, el teorema de Bolzano nos dice que existe una raíz entre 1 y 2. Más aún, como f (1/2) = −3/8 < 0, hay una raíz en [1/2, 1]. Y como f (3/4) = 11/64 > 0, hay una raíz en [1/2, 3/4]. Prosiguiendo de esta manera se podría hallar la raíz con cualquier grado de precisión deseado (existen sin embargo métodos más eficientes). Ejercicio 2.33. Un lago tiene un muelle desde el cual salen lanchas de paseo. Francisca sale en una lancha a las 3pm y regresa a las 5pm. Gabriel sale en otra

32

Conceptos Básicos

lancha a las 4pm y regresa a las 6pm. Pruebe que en algún momento entre las 4pm y las 5pm Francisca y Gabriel se encuentran a igual distancia del muelle. Ejercicio 2.34. Pruebe que si f : I → R es continua, entonces tiene la Propiedad de Darboux , es decir que dado cualquier intervalo [a, b] ⊂ I, f toma en [a, b] todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b). Ejercicio 2.35. Pruebe que si I es un intervalo y f : I → R es continua (o más en general, si tiene la propiedad de Darboux) entonces f (I) es también un intervalo. Ejercicio 2.36. Sea f : I → R continua e inyectiva. Pruebe entonces que f es estrictamente monótona, y que su inversa f −1 : f (I) → I también es continua. Ejercicio 2.37. Podría pensarse que la Propiedad de Darboux caracteriza a las funciones continuas. Pruebe que no es así, construyendo una función que tenga dicha propiedad pero que no sea continua, al menos en un punto. ¿Existirá alguna función f : [0, 1] → R con la propiedad de Darboux que no sea continua en ningún punto? Ejercicio 2.38. Sea f : I → R una función continua. Sean x1 , x2 , . . . , xn puntos de I. Pruebe que existe un punto c ∈ I tal que f (c) =

f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) . n

Teorema 2.8. Si f : [a, b] → R es continua entonces es acotada. Demostración. Sea A = {x ∈ [a, b] : f ([a, x]) es acotado}. Como a ∈ A, A no es vacío, y está acotado superiormente por b. Entonces existe c = sup A. Por la continuidad de f existe un δ > 0 tal que |f (x) − f (c)| < 1 si |x − c| < δ. Por la proiedad del supremo debe existir x ∈ (c−δ, c]∩A. Como f está acotada en [a, x] y también en [x, c+δ)∩[a, b], se sigue que está acotada en [a, c+δ)∩[a, b]. Si fuese c c, contradiciendo la definición de c. Por lo tanto c = b f está acotada en [a, b]. Una consecuencia importante de este resultado es el siguiente: Teorema 2.9 (Weierstrass). Si f : [a, b] → R es continua entonces tiene máximo y mínimo en [a, b]. Demostración. Como f ([a, b]) es acotado, existen M = sup f ([a, b]) y m = ´ınf f ([a, b]). Hay que probar que f efectivamente toma los valores M y m. Supongamos por absurdo que f (x) 6= M para todo x ∈ [a, b]. Entonces la función g(x) = 1/(M − f (x)) sería continua en [a, b], pero obviamente no acotada, contradiciendo el teorema anterior. Análogamente se llega a una contradicción si se supone que f (x) 6= m para todo x ∈ [a, b]. Finalmente enunciaremos sin demostración el siguiente teorema:

33

2.5 Derivadas

Teorema 2.10 (Heine-Cantor). Si f : [a, b] → R es continua, entonces es uniformemente continua, es decir, para todo ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que, si x, y ∈ [a, b] y |x − y| < δ, entonces |f (x) − f (y)| < ǫ. En estas notas no utilizaremos este resultado, que sin embargo es muy importante en el Cálculo integral y en otras áreas del análisis matemático.

2.5.

Derivadas

Definición 2.7. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga al número real a. Si existe f (x) − f (a) l´ım x→a x−a y es finito, se dice que f es derivable en a; al valor del límite se le llama derivada de f en a y se denota f ′ (a). Si el límite es infinito se dice que f tiene derivada infinita en a. Efectuando el cambio de variable h = x − a, la derivada puede definirse en forma equivalente como f ′ (a) = l´ım

h→0

f (a + h) − f (a) . h

Si f es derivable en cada punto de su dominio, entonces se dice simplemente que f es derivable, y a la función f ′ que a cada x le hace corresponder el valor f ′ (x) se le llama función derivada de f . Es inmediato que si f es derivable en a entonces también es continua en a, ya que l´ım (f (x) − f (a)) =

x→a

=

f (x) − f (a) x→a x−a f (x) − f (a) l´ım (x − a) l´ım = 0 · f ′ (a) = 0. x→a x→a x−a l´ım (x − a)

Ejemplo 2.14. a) Sea φ una función constante. Entonces φ′ (x) = l´ım

h→0

φ(x + h) − φ(x) = l´ım 0 = 0. h→0 h

b) Sea f (x) = x. Entonces f ′ (x) = l´ım

h→0

x+h−x f (x + h) − f (x) = l´ım = l´ım 1 = 1. h→0 h→0 h h

c) Sea g(x) = x2 , entonces (x + h)2 − x2 2hx − h2 = l´ım = l´ım (2x − h) = 2x. h→0 h→0 h→0 h h

g ′ (x) = l´ım

34

Conceptos Básicos

d) Sea k(x) = ex . Entonces ex+h − ex eh − 1 = l´ım ex = ex . h→0 h→0 h h

k ′ (x) = l´ım

e) Sea h(x) = sen x. Como sen(x + h) = sen x cos h + sen h cos x se tiene h(x + h) − h(x) sen h 1 − cos h = cos x − sen x h h h y por lo tanto h′ (x) = l´ım

h→0

sen h 1 − cos h cos x − l´ım sen x = 1 · cos x − 0 · sen x = cos x. h→0 h h

Ejercicio 2.39. Calcular, a partir de la definición, las funciones derivadas de √ 1/x, x, cos(x) y log(x).

2.5.1.

Derivadas laterales

Si f está definida en [a, b) y existe l´ım

x→a+

f (x) − f (a) , x−a

al valor del límite se le llama derivada por la derecha de f en a y se denota f ′ (a+ ). Análogamente se define la derivada por la izquierda. Es claro que f es derivable en a si y sólo si existen ambas derivadas laterales y son iguales. Ejemplo 2.15. Sea f (x) = |x|. Entonces l´ımx→0+ f (x)/x = l´ımx→0+ x/x = 1 y l´ımx→0− f (x)/x = l´ımx→0− (−x)/x = −1.

2.5.2.

Interpretación geométrica

Recordando lo que vimos en el primer capítulo, f ′ (a) puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) (ver Figura 1.2, pág. 4). En efecto, (f (x) − f (a))/(x − a) es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (x, f (x)), y si estas secantes tienden a una posición límite cuando x → a, la pendiente de esa recta será l´ımx→a (f (x) − f (a))/(x − a) = f ′ (a). La ecuación de la recta tangente será entonces y = f (a) + f ′ (a)(x − a). En realidad, dadas las dificultades existentes para definir en términos geométricos la noción de recta tangente, se puede usar la derivada para definirla analíticamente. Es decir que si existe f ′ (a) entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) será, por definición, y = f (a) + f ′ (a)(x − a). Los a para los cuales f ′ (a) = 0 se llaman puntos críticos o singulares de f . Geométricamente se pueden caracterizar como los puntos en los cuales la gráfica de f es horizontal (es decir paralela al eje Ox).

35

2.5 Derivadas

Si f tiene derivada infinita en a, entonces la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) es la recta vertical x = a. Si f está definida en un intervalo [a, b] y existe la derivada lateral f ′ (a+ ), entonces la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) será y = f (a) + f ′ (a+ )(x − a). Del mismo modo, si existe f ′ (b− ), la tangente a la gráfica de f en el punto (b, f (b)) será y = f (b) + f ′ (b− )(x − b). Ejemplo 2.16. Consideremos una parábola de foco F y directriz d. Los griegos sabían que la tangente a esta curva en un punto P es la bisectriz del ángulo formado por el radio vector F P y la paralela al eje por P . Para comprobar este resultado usando el cálculo, tomemos un sistema de coordenadas con origen O en el vértice de la parábola, eje Ox paralelo a la directriz y como eje Oy, el eje de la parábola. Si tomamos como unidad de medida la distancia del foco a la directriz, entonces las coordenadas del foco son (0, 1/2) y la ecuación de la directriz es p y = −1/2. La distancia del foco al punto P = (x, y) es x2 + (y − 1/2)2 , y la distancia de P a la directriz es y + 1/2. Por lo tanto la ecuación de la parábola p es x2 + (y − 1/2)2 = y + 1/2. Elevando al cuadrado nos queda 1 1 x2 + (y − )2 = (y + )2 , 2 2

y luego de desarrollar los cuadrados y simplificar queda x2 = 2y, o y = x2 /2. Por lo tanto y ′ = x y la ecuación de la tangente en P = (a, a2 /2) es y=

a2 a2 + a(x − a) = ax − . 2 2

Ahora bien, si α es el ángulo que forma la recta F P con el eje Ox, entonces tg α = (a2 /2 − 1/2)/a = a/2 − 1/(2a), y si β es el ángulo que forma la tangente con el eje Ox, entonces tg β = a. Por lo tanto tg(∠M P N ) = tg(β − α) = =

a + a1 1 + a2

=

tg(β) − tg(α) = 1 + tg(β) tg(α)

a 2 1 2

+ +

1 2a a2 2

1 π = tg( − β) = tg(∠N P Q), a 2

y entonces ∠M P N = ∠N P Q. De aquí se deduce la conocida propiedad de los espejos parabólicos: los rayos paralelos al eje, una vez reflejados pasan por el foco. Según Plutarco, Arquímedes utilizó esta propiedad para defender a Siracusa, su ciudad natal, de los romanos: hizo construir grandes espejos en forma de paraboloides de revolución, capaces de concentrar los rayos solares sobre las naves enemigas hasta quemarlas.

2.5.3.

Interpretación cinemática

Consideremos un punto que se mueve sobre una línea recta. Fijando un origen y una unidad de medida en la recta, la posición del punto móvil en el instante t queda determinada por su abscisa x(t), que será función del tiempo.

36

Conceptos Básicos

Figura 2.3: Tangentes a la parábola La distancia recorrida por el móvil desde el instante t hasta el t + h es x(t + h) − x(t); esta distancia es orientada: puede ser positiva, si el móvil avanza en el sentido de las x crecientes, o negativa en caso contrario. La velocidad media es (x(t + h) − x(t))/h; observe que depende del intervalo de tiempo considerado, es decir del valor de h. Al límite (si existe) de la velocidad media cuando t → 0, es decir a la derivada de x(t), se le llama velocidad instantánea. Siguiendo la tradición newtoniana, en física se acostumbra denotar la derivada respecto al tiempo con un punto en vez de un apóstrofo, es decir x(t). ˙ Lo anterior se puede generalizar al movimiento en dos o más dimensiones. En el plano, por ejemplo, el movimiento de un punto P se puede describir dando su abscisa y su ordenada en función del tiempo, digamos P (t) = (x(t), y(t)). En este caso la velocidad es el vector P˙ (t) = (x(t), ˙ y(t)). ˙

2.5.4.

Propiedades de las funciones derivables

Reglas de derivación Las siguientes afirmaciones son bien conocidas y se prueban fácilmente a partir de la definición de la derivada y las propiedades de los límites. 1. Si f es derivable en a y k es una constante, entonces kf es derivable en a y (kf )′ (a) = kf ′ (a). 2. Si f y g son derivables en a entonces f + g es derivable en a y (f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a).

37

2.5 Derivadas

3. Si f y g son derivables en a entonces f g es derivable en a y (f g)′ (a) = f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a). 4. Si f y g son derivables en a, g(a) 6= 0 y g ′ (a) 6= 0, entonces f /g es derivable en a y (f /g)′ (a) = (f ′ (a)g(a) − f (a)g ′ (a))/(g(a))2 . Demostremos como ejemplo la 3: como (f g)(a + h) − (f g)(a) = (f (a + h) − f (a))g(a + h) + f (a)(g(a + h) − g(a)), y como g es continua en a por ser derivable, se tiene l´ım

x→0

(f g)(a + h) − (f g)(a) h g(a + h) − g(a) f (a + h) − f (a) l´ım g(a + h) + f (a) l´ım = l´ım x→0 x→0 x→0 h h = f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a).

Las dos primeras propiedades nos dicen que la derivación es una operación lineal. De ellas se deduce, por inducción, que si f1 , f2 ,. . . ,fn son funciones derivables en a y k1 , k2 ,. . . ,kn son constantes, entonces (k1 f1 + k2 f2 + · · · + kn fn )′ (a) = k1 f1′ (a) + k2 f2′ (a) + · · · + kn fn′ (a). Ejemplo 2.17. Como (sen x)′ = cos x y (cos x)′ = − sen x, entonces (tg x)′

= =

(sen x)′ cos x − sen x(cos x)′ cos x cos2 x 2 2 cos x + sen x 1 = = sec2 x = tg2 x + 1. cos2 x cos2 x

sen x ′

=

Teoremas de Rolle y Lagrange Lema 2.1. Si f : (a, b) → R es una función derivable y presenta un extremo local en c ∈ (a, b), entonces f ′ (c) = 0. Demostración. Hagamos la prueba para un máximo local (para mínimo local es similar). Sea (c − ǫ, c + ǫ) ⊂ (a, b) un entorno de c tal que f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ (c − ǫ, c + ǫ). Entonces para c < x < c + ǫ se tiene (f (x) − f (c))/(x − c) ≤ 0, y por lo tanto l´ımx→c+ (f (x) − f (c))/(x − c) ≤ 0. Para c − ǫ < x < c se tiene (f (x) − f (c))/(x − c) ≥ 0, y por lo tanto l´ımx→c− (f (x) − f (c))/(x − c) ≥ 0. Pero ambos límites laterales deben ser iguales a f ′ (c), por tanto 0 ≤ f ′ (c) ≤ 0 ′ y f (c) = 0. Teorema 2.11 (Teorema de Rolle). Si f es una función continua en el intervalo [a, b], derivable en (a, b) y tal que f (a) = f (b) = 0, entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0.

38

Conceptos Básicos

Demostración. Por el teorema 2.9 f tiene máximo M y mínimo m. Si el máximo se alcanza en un punto c ∈ (a, b), entonces por el lema anterior f ′ (c) = 0. Lo mismo si el mínimo se alcanza en un punto d ∈ (a, b). En caso contrario, máximo y mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo, y por lo tanto son ambos 0. Entonces f (x) = 0 para todo x ∈ [a, b] y por ser constante cumple f ′ (c) = 0 para cualquier c ∈ (a, b). La interpretación geométrica del teorema de Rolle es sencilla: si se satisfacen las hipótesis del teorema, entonces en algún punto interior del intervalo la tangente a la gráfica de f es horizontal. El siguiente teorema, también conocido como teorema de los incrementos finitos o teorema de Lagrange, es una generalización del teorema de Rolle y se considera como uno de los más importantes del cálculo diferencial. Teorema 2.12 (Teorema del valor medio). Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f ′ (c). b−a Demostración. En términos geométricos este teorema afirma que para algún c ∈ (a, b), la tangente a la gráfica de f en el punto C = (c, f (c)) es paralela a la recta secante que pasa por los puntos A = (a, f (a)) y B = (b, f (b)). En efecto, (f (b)− f (a))/(b − a) es la pendiente de la recta secante y f ′ (c) es la pendiente de la recta tangente, por lo tanto el teorema afirma la igualdad de esas pendientes, que es equivalente al paralelismo de ambas rectas. Aunque el teorema de Rolle

Figura 2.4: Teorema del valor medio es un caso particular de este teorema, cuando f (a) = f (b) = 0, en realidad son

39

2.5 Derivadas

equivalentes ya que se puede demostrar el teorema del valor medio a partir del teorema de Rolle. Para ello consideremos la función auxiliar g(x) = (b − a)(f (x) − f (a)) − (f (b) − f (a))(x − a). Como g(a) = g(b) = 0, por el teorema de Rolle g ′ (c) = 0 para algún c ∈ (a, b). Pero g ′ (x) = (b−a)f ′ (x)−(f (b)−f (a)), por lo tanto (b−a)f ′ (c)−(f (b)−f (a)) = 0, y f ′ (c) = (f (b) − f (a))/(b − a). Ejemplo 2.18. Los excesos de velocidad en las carreteras generalmente se detectan mediante sistemas de radar basados en el efecto Doppler, o mediante rayos infrarrojos, pero se ha propuesto otro sistema basado en el teorema del valor medio. Si se colocan en una autopista dos cámaras fotográficas separadas, por ejemplo, 10 kilómetros, y se detecta que un automóvil tarda menos de 5 minutos en recorrer esos 10 km, sabremos que su velocidad media es mayor que 120 km/h, y entonces en algún punto del recorrido su velocidad instantánea habrá tenido que superar los 120 km/h. Ejercicio 2.40. Pruebe que la función derivada no puede tener discontinuidades evitables. Más precisamente: si f es derivable en (a, b) y para un c ∈ (a, b) existe l´ımx→c f ′ (x) = L, entonces f ′ (c) = L. Derivación de funciones compuestas Teorema 2.13 (Regla de la cadena). Si g es derivable en a y f es derivable en g(a), entonces f ◦ g es derivable en ay (f ◦ g)′ (a) = f ′ (g(a))g ′ (a). Demostración. Por el teorema del valor medio, para cada h existe algún ξ(h) comprendido entre g(a) y g(a + h) tal que f (g(a + h)) − f (g(a)) = f ′ (ξ(h))(g(a + h) − g(a)), por lo tanto l´ım

h→0

g(a + h) − g(a) f (g(a + h)) − f (g(a)) = l´ım f ′ (ξ(h)) l´ım = f ′ (g(a))g ′ (a). h→0 h→0 h h

Ejemplo 2.19. Como (sen x)′ = cos x y (x2 +1)′ = 2x, por la regla de la cadena se tiene que (sen(x2 + 1))′ = 2x cos(x2 + 1). Ejercicio 2.41. ¿Es válido probar la regla de la cadena tomando límites cuando h → 0 a ambos lados de la igualdad f (g(a + h)) − f (g(a)) f (g(a + h)) − f (g(a)) g(a + h) − g(a) = · ? h g(a + h) − g(a) h

40

Conceptos Básicos

Derivada de la función inversa Teorema 2.14. Sea f : I → J continua y con inversa f −1 . Si f ′ (a) existe y no es nula en un punto c interior a I, entonces también existe (f −1 )′ (f (c)) y se cumple 1 (f −1 )′ (f (c)) = ′ f (c) Demostración. Por el teorema 2.1 de cambio de variables en límites (pág. 23), y puesto que l´ımx→c f (x) = f (c) (por ser f continua) se tiene f −1 (y) − f −1 (f (c)) y→f (c) y − f (c) l´ım

= =

f −1 (f (x)) − f −1 (f (c)) x→c f (x) − f (c) x−c 1 l´ım = ′ . x→c f (x) − f (c) f (c) l´ım

Por lo tanto existe (f −1 )′ (f (c)) y es igual a 1/f ′ (c). Ejemplo 2.20. Como (tg x)′ = 1 + tg2 x, se tiene (arc tg x)′ =

1 1 = . 1 + x2 1 + tg2 (arc tg x)

De igual modo, como (sh x)′ =

ex − e−x 2

′

=

ex + e−x = ch x, 2

se tiene (argsh x)′ =

1 1 1 =p = √ . 2 ch(argsh x) 1 + x2 1 + (sh(argsh x))

Teorema de Cauchy y Regla de L’Hôpital

El siguiente teorema es una generalización del teorema de Lagrange, pero su demostración es igual de sencilla. Teorema 2.15 (Teorema del valor medio de Cauchy). Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que (f (b) − f (a))g ′ (c) = (g(b) − g(a))f ′ (c). Demostración. Sea h(x) = (g(b)−g(a))f (x)−(f (b)−f (a))g(x). Entonces h(a) = g(b)f (a) − f (b)g(a) = h(b) y por el teorema del valor medio existe c ∈ (a, b) tal que h′ (c) = 0, es decir (g(b) − g(a))f ′ (c) − (f (b) − f (a))g ′ (c) = 0.

41

2.5 Derivadas

Si g(b) − g(a) 6= 0 y g ′ (c) 6= 0 entonces la conclusión del teorema de Cauchy puede expresarse en la forma f (b) − f (a) f ′ (c) = ′ . g(b) − g(a) g (c)

Una consecuencia interesante del teorema de Cauchy es la llamada regla de L’Hôpital (o L’Hospital), muy usada para calcular límites de formas indeterminadas. Teorema 2.16 (Regla de L’Hôpital). Sean f y g funciones continuas que se anulan en a ∈ R, y supongamos que g no se anula en un entorno reducido de a. Entonces; (a) Si existen f ′ (a) y g ′ (a) y g ′ (a) 6= 0, entonces

f (x) f ′ (a) = ′ . x→a g(x) g (a) l´ım

(b) Si las derivadas f ′ y g ′ existen y no se anulan ni se hacen infinitas simultáneamente en un entorno reducido de a y existe l´ımx→a f ′ (x)/g ′ (x), entonces también existe l´ımx→a f (x)/g(x) y se cumple f (x) f ′ (x) = l´ım ′ . x→a g(x) x→a g (x) l´ım

Demostración. (a) f (x) (f (x) − f (a))/(x − a) f ′ (a) = l´ım = ′ . x→a g(x) x→a (g(x) − g(a)/(x − a) g (a) l´ım

(b) Por el teorema de Cauchy aplicado al intervalo (a, x) se tiene f (x) f (x) − f (a) f ′ (c) = = ′ g(x) g(x) − g(a) g (c)

para algún c entre a y x, y como c → a cuando x → a y l´ımx→a f ′ (x)/g ′ (x) existe, entonces también existe l´ımx→a f (x)/g(x) y son iguales. Esta regla deriva su nombre de Guillaume François Antoine, Marqués de L’Hôpital (1661–1704), quien es considerado como el autor del primer libro de texto de Cálculo. Allí publicó la regla que lleva su nombre, aunque en realidad parece que la misma fue hallada por Johann Bernoulli, a quién L’Hôpital contrató para que le enseñara el Cálculo. Ejemplo 2.21. Un ejemplo clásico de aplicación de esta regla es sen x cos x l´ım = l´ım = 1. x→0 x→0 x 1 Pero en realidad no es un ejemplo muy afortunado, ya que para probar que (sen x)′ = cos x hay que usar el hecho de que l´ımx→0 (sen x)/x = 1, cayendo en un razonamiento circular. Por eso es necesaria una prueba de este último límite que sea independiente de la regla de L’Hôpital, como se hizo en el ejemplo 2.9.

42

Conceptos Básicos

Ejemplo 2.22. x − tg x 1 − (1 + tg2 x) 1 = l´ım = l´ım − 3 x→0 x→0 x→0 x 3x2 3 l´ım

tg x x

2

1 =− . 3

La regla de L’Hôpital se suele aplicar dos o más veces en forma consecutiva: l´ım

x→0

x − sen x 1 − cos x sen x 1 = l´ım = l´ım = . x→0 x→0 6x x3 3x2 6

La regla de L’Hôpital se puede aplicar también a límites infinitos. Las pruebas se dejan como ejercicio. Ejercicio 2.42. Si l´ımx→∞ f (x) = l´ımx→∞ g(x) = 0 y l´ımx→∞ f ′ (x)/g ′ (x) existe, entonces también existe l´ımx→∞ f (x)/g(x) y es igual. Valen resultados análogos si x tiende a +∞ o −∞. Ejercicio 2.43. Si l´ımx→a f (x) = l´ımx→a g(x) = ∞, g no se anula en un entorno reducido de a, y existe l´ımx→a f ′ (x)/g ′ (x), entonces también existe l´ımx→a f (x)/g(x) y es igual. También vale si a es infinito. Muchos estudiantes, al aprender la regla de L’Hôpital, llegan a creer que es una panacea que permite resolver cualquier límite de la forma 0/0 o ∞/∞. Pero √ veamos qué pasa al aplicarla a l´ımx→+∞ x/ x2 + 1: √ x 1 x2 + 1 = l´ım . l´ım √ = l´ ım 2x x→+∞ x→+∞ x x2 + 1 x→+∞ √ 2 2 x +1

Y si se aplica una vez más, resulta √ x x2 + 1 , = l´ım √ l´ım x→+∞ x→+∞ x x2 + 1 y volvemos al principio. Sin embargo este límite es elemental: x 1 l´ım √ = l´ım q 2 x→+∞ x +1 1+

x→+∞

1 x2

= 1.

Al tratar de aplicar la regla de L’Hôpital puede suceder que l´ım f ′ (x)/g ′ (x) no exista. En ese caso no se debe concluir apresuradamente que l´ım f (x)/g(x) tampoco existe, Por ejemplo, x2 sen x1 x 1 = l´ım (x sen ) = 1 · 0 = 0. x→0 sen x x→0 sen x x l´ım

Pero si se intenta aplicar L’Hôpital derivando numerador y denominador queda (x2 sen x1 )′ 2x sen x1 − cos x1 = l´ım ′ x→0 (sen x) x→0 cos x l´ım

que no existe, por no existir l´ımx→0 cos(1/x).

2.5 Derivadas

43

Primitivas Teorema 2.17. Si f : I → R es continua y derivable en I ◦ , entonces f ′ (x) = 0 para todo x ∈ I ◦ si y sólo si f es constante. Demostración. Ya vimos que una función constante tiene derivada nula. Recíprocamente, si f ′ (x) = 0 para todo x ∈ I ◦ y f no fuese constante, entonces existirían reales a < b tales que f (a) 6= f (b), y por el teorema del valor medio para algún punto c entre a y b se tendría f ′ (c) = (f (b) − f (a))/(b − a) 6= 0, lo cual es absurdo. Definición 2.8. Una función F es primitiva de otra f , si F es derivable y F′ = f. Teorema 2.18. Si F es una primitiva de f , entonces G también lo es si y sólo si G − F es constante. Demostración. Si F es primitiva de f y G − F = C (constante) entonces G′ = (F + C)′ = F ′ = f , y G es también primitiva de f . Recíprocamente, si tanto F como G son primitivas de f , entonces (G − F )′ = G′ − F ′ = f − f = 0, y por el corolario anterior G − F es constante. Este teorema nos muestra que para conocer todas las primitivas de una función f , es suficiente conocer una cualquiera de ellas, digamos F . Todas las demás son de la forma F + C, donde C ∈ R es una constante arbitraria. Ejemplo 2.23. x2 es una primitiva de 2x, ya que (x2 )′ = 2x. Entonces las primitivas de 2x son todas las funciones de la forma x2 + C, donde C es una constante arbitraria. Ejercicio 2.44. Halle una primitiva de 3x2 − 5 que en 2 tome el valor 7.

2.5.5.

Derivadas de orden superior

Si f es derivable y su función derivada f ′ es a su vez derivable, entonces a (f ′ )′ se le llama derivada segunda de f y se denota mediante f ′′ . Del mismo modo se definen (si existen) f ′′′ = (f ′′ )′ , f IV = (f ′′′ )′ , . . . La derivada n-sima se denota f (n) . Si x(t) representa la posición de un punto que se mueve sobre una línea recta, ya vimos que la derivada primera x(t) ˙ corresponde a la velocidad. Entonces la aceleración, que se define como la tasa de variación de la velocidad, queda representada por la derivada segunda x¨(t). Si u y v son derivables dos veces, entonces a partir de la regla de derivación del producto, (uv)′ = u′ v + uv ′ , derivando una vez más se obtiene (uv)′′ = (u′ v + uv ′ ) = u′′ v + u′ v ′ + u′ v ′ + uv ′′ = u′′ v + 2u′ v ′ + uv ′′ .

44

Conceptos Básicos

Si u y v son derivables n veces, entonces por inducción se prueba fácilmente la llamada Regla de Leibniz, que recuerda al binomio de Newton: n (n−1) ′ n (n−2) ′′ (uv)(n) = u(n) v + u v + u v + · · · + uv (n) 1 2 o, poniendo u(0) = u, v (0) = v, (n)

(uv)

n X n (n−k) (k) = u v . k k=0

2.5.6.

Infinitésimos e infinitos

Definición 2.9. Una función f definida en un entorno reducido de a es un infinitésimo cuando x tiende a a si l´ımx→a f (x) = 0. Si l´ımx→a f (x) = ∞ (con o sin signo) se dice que es un infinito. Estas definiciones se aplican también, mutatis mutandis, sustituyendo a por ∞ con o sin signo, a+ o a− . 2

Ejemplo 2.24. x, sen x, 1 − cos x, log(1 + x), ex − 1 y e−1/x son infinitésimos cuando x tiende √ a 0. √ 1/x, e−1/x y x + 1 − x son infinitésimos cuando x → +∞. tg x es un infinito para x → π/2. x, log x, ex son infinitos para x → +∞. √ 1/ x es un infinito para x → 0+ . Comparación de infinitésimos e infinitos Si f y g son funciones definidas en un entorno reducido de a (que puede ser ∞, +∞ o −∞), la notación de Landau f = O(g) para x → a significa que existen un entorno reducido V de a y una constante K tales que |f (x)| ≤ K|g(x)| para todo x ∈ V . Por ejemplo sen x = O(x) para x → 0 ya que | sen x| ≤ |x| para todo x 6= 0. Hay que tener algo de cuidado con esta notación, ya que muchas funciones pueden ser O(g), ¡pero esto no quiere decir que sean iguales! Si f y g son infinitésimos o infinitos definidos en un entorno reducido de a, entonces se dice que son del mismo orden si f es O(g) y g es O(f ) . Esto sucede, en particular, si existe l´ımx→a f (x)/g(x) 6= 0. f es de orden n respecto a g si f es del mismo orden que g n . Por ejemplo 1 − cos x es de segundo orden respecto a x, para x → 0, ya que l´ımx→a (1 − cos x)/x2 = 1/2 6= 0. Si l´ımx→a f (x)/g(x) = 1 entonces se dice que f y g son equivalentes y se escribe f ∼ g. Observe que si l´ımx→a f (x)/g(x) = α 6= 0 entonces f (x) ∼ αg(x).

Si f y g son infinitésimos definidos en un entorno reducido de a en el cual g no se anula, y se cumple que l´ımx→a f (x)/g(x) = 0, entonces se dice que f es un infinitésimo de orden superior a g, y se escribe f = o(g). Si l´ımx→a f (x)/g n (x) = 0 entonces se dice que f es de orden al menos n respecto a g.

45

2.5 Derivadas

Por ejemplo sen(x3 ) = o(x2 ) cuando x → 0, ya que l´ımx→0 sen(x3 )/x2 = l´ımx→0 x sen(x3 )/x3 = 0 · 1 = 0, por lo tanto sen(x3 ) es al menos de orden 2 respecto a x (en realidad es de orden 3). Para infinitos f y g definidos en un entorno reducido de a, se dice que f es de orden inferior a g si f = o(g). Note la diferencia con la definición correspondiente para infinitésimos: para que f sea de orden superior a g debe ser l´ımx→a f (x)/g(x) = ∞.

Ejemplo 2.25. Si n es un natural, aplicando la regla de L’Hôpital n veces se tiene xn nxn−1 n! = · · · = l´ım x = 0, l´ım x = l´ım x→+∞ x→+∞ e x→+∞ e ex por lo tanto xn = o(ex ) para x → +∞, es decir que xn es un infinito de orden inferior a ex , y ex es de orden superior a xn , para cualquier n natural. Ejercicio 2.45. Pruebe que x es un infinito de orden superior a (log(x))n cuando x → +∞, para cuaquier natural n.

Teorema 2.19. Si f (a) = f ′ (a) = f ′′ (a) = · · · = f (n) (a) = 0, entonces f (x) = o((x − a)n ) para x → a.

Demostración. Aplicando n − 1 veces consecutivas la regla de L’Hôpital y luego la definición de derivada, resulta f (x) x→a (x − a)n l´ım

= =

f ′ (x) f ′′ (x) = l´ ım = ··· x→a n(x − a)n−1 x→a n(n − 1)(x − a)n−2 l´ım

1 f (n−1) (x) − f (n−1) (a) f (n−1) (x) = l´ım x→a n!(x − a) n! x→a x−a l´ım

= f (n) (a) = 0.

2.5.7.

Fórmula de Taylor

Si f es n veces derivable en a, entonces al polinomio Tn;f ;a (x)

=

n X (x − a)k (k) f (a) k! k=0

=

f (a) + (x − a)f ′ (a) +

(x − a)2 ′′ (x − a)n (n) f (a) + · · · + f (a) 2! n!

se le llama polinomio de Taylor de grado n de la función f en a. Es claro que si se pone Rn;f ;a (x) = f (x) − Tn;f ;a (x) entonces f (x) = Tn;f ;a (x) + Rn;f ;a (x). A esta igualdad se le llama Fórmula de Taylor, en honor al matemático inglés Brook Taylor (1685–1731). A Rn;f ;a (x) se le llama resto o término complementario. Es claro que esta fórmula no es más que una tautología: se cumple porque

46

Conceptos Básicos

Rn;f ;a (x) se ha definido para que se cumpla. Pero si se logra identificar alguna propiedad interesante de Rn;f ;a (x) entonces se tiene una forma del Teorema de Taylor. Aquí sólo veremos dos variantes de este teorema. Teorema 2.20 (Teorema de Taylor I). Si f es n veces derivable en un entorno de a, entonces f (x) = Tn;f ;a (x) + o((x − a)n ).

Demostración. Puesto que

(j)

Tn;f ;a (x) =

n X (x − a)k−j k=j

(k − j)!

f (k) (a)

(j)

resulta que Tn;f ;a (a) = f (j) (a) para j = 0, 1, . . . , n, y la prueba se completa aplicando el teorema 2.19 a la diferencia f (x) − Tn;f ;a (x). Este teorema equivale a afirmar que Rn;f ;a (x) = o((x − a)n ), y a esto se le llama forma infinitesimal del término complementario. Es fácil ver que Tn;f ;a (x) es el único polinomio de grado ≤ n tal que f (x) − Tn;f ;a (x) = o((x − a)n ), en otras palabras es el que mejor aproxima localmente a f cerca de a. En particular, T1;f ;a (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) es la mejor aproximación lineal a f cerca de a. La gráfica de T2;f ;a (x) es una parábola, que se conoce como parábola osculadora u osculatriz de f en a. Ejemplo 2.26. Sea f (x) = cos x. Como f (0) = cos 0 = 1, f ′ (0) = − sen 0 = 0, f ′′ (0) = − cos 0 = −1, f ′′′ (0) = sen 0 = 0, f IV (0) = cos 0 = 1, f (5) (0) = − sen 0 = 0, resulta x2 x4 cos x = 1 − + + o(x5 ) 2! 4! cuando x → 0.

Teorema 2.21 (Teorema de Taylor II). Si f es n + 1 veces derivable en un entorno de a, entonces existe un punto intermedio c entre a y x para el cual f (x) = Tn;f ;a (x) +

f (n+1) (c) (x − a)n+1 . (n + 1)!

Demostración. Para a y x fijos sea R = Rn;f ;a (x) y definamos F (t) = f (t) + (x − t)f ′ (t) +

(x − t)2 ′′ (x − t)n (n) (x − t)n+1 f (t) + · · · + f (t) + R. 2! n! (x − a)n+1

Derivando respecto a t resulta F ′ (t) =

=

(x − t)2 ′′′ f (t) − · · · 2! (x − t)n−1 (n) (x − t)n (n+1) (x − t)n − f (t) + f (t) − (n + 1) R (n − 1)! n! (x − a)n+1 (x − t)n (n+1) (x − t)n f (t) − (n + 1) R. n! (x − a)n+1

f ′ (t) − f ′ (t) + (x − t)f ′′ (t) − (x − t)f ′′ (t) +

47

2.5 Derivadas

Pero observemos que F (a) = F (x) = f (x), entonces por el teorema del valor medio F ′ (c) = 0 para algún c entre a y x, es decir que 0= y finalmente

(x − c)n (n+1) (x − c)n f (c) − (n + 1) R n! (x − a)n+1 R=

(x − a)n+1 (n+1) f (c). (n + 1)!

A la forma del término complementario que se presenta en el teorema anterior se le llama forma de Lagrange. Si f tiene derivadas de todos los órdenes en a entonces se le puede asociar la serie infinita ∞ X (x − a)k (k) (x − a)2 ′′ f (a) = f (a) + (x − a)f ′ (a) + f (a) + · · · k! 2! k=0

a la cual se le llama serie de Taylor de la función f en a (o serie de Maclaurin si a = 0). Muchas funciones importantes se pueden desarrollar en serie de Taylor, por ejemplo 1 1−x

=

x (1 − x)2

=

√ 1+x

=

(1 + x)α

=

ex

=

log(1 + x) = sen x = cos x = arc tg x =

∞ X

n=0 ∞ X

n=1 ∞ X

xn = 1 + x + x2 + · · ·

para |x| < 1

nxn = x + 2x2 + 3x3 + · · ·

para |x| < 1

(−1)n (2n)! x x2 x3 n x = 1 + − + − · · · para |x| < 1 (1 − 2n)4n (n!)2 2 8 16 n=0

∞ X α(α − 1) · · · (α − n + 1) n x n! n=0

para |x| < 1

∞ X xn x x2 x3 =1+ + + + ··· n! 1! 2! 3! n=0

−

para todo x ∈ R

∞ X (−1)n n x2 x3 x4 x =x− + − + ··· n 2 3 4 n=1

∞ X x x3 x5 (−1)n x2n+1 = − + − ··· (2n + 1)! 1! 3! 5! n=0 ∞ X (−1)n 2n x2 x4 x =1− + − ··· (2n)! 2! 4! n=0

para |x| < 1 para todo x ∈ R

para todo x ∈ R

∞ X (−1)n 2n+1 x3 x5 x =x− + − ··· 2n + 1 3 5 n=0

para |x| ≤ 1

48

Conceptos Básicos

Lagrange y otros matemáticos creyeron que toda función “decente” podía expresarse, al menos localmente, mediante su serie de Taylor. Pero esto no es cierto, ya que la serie puede no converger, o converger pero no a la función f . Un ejemplo notable lo proporciona la función de Cauchy ( 2 e−1/x si x 6= 0, f (x) = 0 si x = 0. Para x 6= 0 tiene derivadas de todos los órdenes, por ejemplo 2 2 −1/x2 6 4 ′ ′′ f (x) = 3 e , f (x) = − 4 + 6 e−1/x , x x x ′′′

f (x) =

24 36 8 − 7+ 9 x5 x x

2

e−1/x , . . . 2

y en general es claro que f (n) (x) = Pn (1/x)e−1/x , donde Pn es un polinomio. Pero con el cambio de variable u = 1/x2 se ve que, para cualquier natural m, 2

e−1/x um = l´ ım = 0, u→+∞ eu x→0 x2m l´ım

2

2

y también l´ımx→0 e−1/x /x2m−1 = l´ımx→0 xe−1/x /x2m = 0, por lo tanto 2

l´ım Pn (1/x)e−1/x = 0.

x→0

Esto prueba que f tiene derivadas de todos los órdenes en 0, y todas son nulas. Por lo tanto la serie de Taylor de f es 0 + 0 + 0 + · · · = 0, y no es igual a f sino en 0.

2.6.

Funciones convexas

Definición 2.10. Una función f : I → R se dice que es convexa si para cualquier par de puntos x, y ∈ I y cualquier real t tal que 0 < t < 1, se cumple f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y). Si la desigualdad es estricta se dice que la función es estrictamente convexa. Para cada z ∈ I sea P (z) al punto (z, f (z)) de la gráfica de f . Entonces la definición de convexidad significa, geométricamente, que el punto P ((1−t)x+ty) queda por debajo (o en) la recta P (x)P (y), para 0 < t < 1. O lo que es lo mismo, la porción de la gráfica de f en el intervalo (x, y) queda por debajo de la recta secante P (x)P (y). Si u = (1 − t)x + ty, entonces la convexidad se puede caracterizar también diciendo que la pendiente de P (x)P (u) es menor o igual que la de P (u)P (y).

49

2.6 Funciones convexas

Figura 2.5: Función convexa Esto es geométricamente obvio, y se puede probar analíticamente sustituyendo t = (u − x)/(y − x) en la desigualdad f (u) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y) para obtener f (u) ≤

y−u u−x f (x) + f (y), y−x y−x

que después de algunas manipulaciones algebraicas se convierte en f (y) − f (u) f (u) − f (x) ≤ . u−x y−u Si b, d > 0 entonces las desigualdades entre fracciones a/b < c/d, a/b < (a + c)/(b + d) y (a + c)/(b + d) < c/d son equivalentes, por lo tanto se tiene que: Teorema 2.22. f : I → R es convexa si y sólo si para puntos x, u, y cualesquiera en I tales que x < u < y, se cumple alguna de las desigualdades equivalentes siguientes f (u) − f (x) u−x f (u) − f (x) u−x f (y) − f (u) y−u

≤ ≤ ≤

f (y) − f (x) , y−x f (y) − f (u) , y−u f (y) − f (u) . y−u

Las funciones estrictamente convexas se caracterizan por las correspondientes desigualdades estrictas. Esto nos muestra que si f : I → R es (estrictamente) convexa y se toma un punto interior x en el intervalo I, el cual se deja fijo, entonces (f (y)− f (x))/(y −

50

Conceptos Básicos

x) es una función (estrictamente) creciente de y, y por lo tanto (ver ejercicio 2.19) existe l´ımy→x+ (f (y)−f (x))(y −x) = f ′ (x+ ). De manera análoga se prueba la existencia de f ′ (x− ). Por lo tanto, en todo punto interior existen las derivadas laterales, y además éstas son (estrictamente) crecientes, ya que si x < y entonces se verifican las desigualdades f ′ (x− ) ≤ f ′ (x+ ) ≤

f (y) − f (x) ≤ f ′ (y − ) ≤ f ′ (y + ) y−x

(si f es estrictamente convexa entonces las desigualdades interiores son estrictas). Teorema 2.23. f : (a, b) → R es derivable, entonces es (estrictamente) convexa si y sólo si f ′ es (estrictamente) creciente. Demostración. Si f es (estrictamente) convexa entonces como acabamos de ver f ′ es (estrictamente) creciente. Recíprocamente, si f ′ es creciente y x < u < y, entonces por el teorema del valor medio existen c ∈ (x, u) y d ∈ (u, y) tales que (f (u) − f (x))/(u − x) = f ′ (c) y (f (y) − f (u))/(y − u) = f ′ (d), por lo tanto f (y) − f (u) f (u) − f (x) = f ′ (c) ≤ f ′ (d) = , u−x y−u (con la desigualdad estricta si f es estrictamente convexa), y por el teorema 2.22 f es (estrictamente) convexa. Corolario 2.1. f : (a, b) → R es derivable dos veces, entonces es convexa si y sólo si f ′′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Si f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es estrictamente convexa. Demostración. f es convexa si y sólo si f ′ es monótona creciente, pero por el teorema 3.1 esto ocurre si y sólo si Si f ′′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Si f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es estrictamente creciente y por lo tanto f es estrictamente convexa. El concepto simétrico de la convexidad es la concavidad. Definición 2.11. Una función f es (estrictamente) cóncava si −f es (estrictamente) convexa. Naturalmente que todas las caracterizaciones dadas para funciones convexas se pueden adaptar a las cóncavas, cambiando el sentido de las desigualdades. De las funciones convexas se dice que tienen la concavidad hacia arriba, es decir en el sentido de las y positivas, mientras que las funciones cóncavas tienen la concavidad hacia abajo. A los puntos en los cuales cambia el sentido de la concavidad se les llama puntos de inflexión. Más precisamente: Definición 2.12. c es punto de inflexión de f si existe δ > 0 tal que f es estrictamente convexa en [a − δ, a] y estrictamente cóncava en [a, a + δ], o viceversa.

2.7 Teorema fundamental del Cálculo

51

Figura 2.6: Punto de inflexión Observe que en un punto de inflexión la curva es atravesada por la recta tangente. Teorema 2.24. Si f es dos veces derivable en (c− δ, c+ δ y f ′′ (x) es positiva en (c−δ, c) y negativa en (c, c+δ), o viceversa, entonces c es un punto de inflexión. La demostración es inmediata. Observemos que si f ite derivada segunda continua y c es un punto de inflexión, como f ′′ debe tener signos diferentes a uno y otro lado de c, debe ser f ′′ (c) = 0. Pero esta condición no es suficiente, por ejemplo para f (x) = x4 se tiene f ′′ (0) = 0, pero 0 no es punto de inflexión ya que f ′′ (x) = 12x2 es positiva tanto para x < 0 como para x > 0. Ejercicio 2.46. Si f es n veces derivable, f ′′ (c) = f ′′′ (c) = · · · = f (n−1) (c) = 0 y f (n) (c) 6= 0, entonces c es un punto de inflexión si y sólo si n es impar.

2.7.

Teorema fundamental del Cálculo

Aunque el cálculo de áreas, y más aún la definición precisa de este concepto, son objeto del Cálculo Integral, que no trataremos en estas notas, para lo que sigue es suficiente una comprensión intuitiva de la noción de área. Teorema 2.25 (Teorema fundamental del Cálculo). Sea f una función continua y no negativa en [a, b], y sea A(x) el área limitada por la gráfica de f , el eje Ox y las rectas verticales de abscisas a y x. Entonces la derivada del área bajo la gráfica de f en el punto x es igual a f (x), es decir A′ (x) = f (x), para todo x ∈ (a, b).

52

Conceptos Básicos y = f(x)

D

K(x,v)

H(x+h,v) C A(x) a

x

x+h

b

Figura 2.7: Teorema Fundamental del Cálculo Demostración. Esencialmente repetiremos el argumento de Newton citado en 1.2, pág. 6. Sean C = (x, f (x)) y D = (x + h, f (x + h)) dos puntos de la curva. Como el área es aditiva, el área de la región limitada por la curva, el eje Ox y las rectas verticales de abscisas x y x + h es igual a A(x + h) − A(x). Tomemos v de manera que el rectángulo de vértices (x, 0), (x+h, 0), K = (x, v) y H = (x+h, v) tenga igual área que la región mencionada. Entonces A(x + h) − A(x) = vh, y como es claro que v = (A(x + h) − A(x))/h está comprendido entre f (x) y f (x + h), si se toman límites cuando h → 0 resulta, por el teorema del sándwich, A′ (x) = f (x). Este teorema también es válido si f toma valores negativos, pero las porciones de área bajo el eje de Ox deben considerarse negativas. Corolario 2.2 (Regla de Barrow). Si f : [a, b] → R es continua y F es una primitiva de f , entonces el área limitada por la gráfica de f , el eje Ox y las rectas verticales de abscisas a y b es F (b) − F (a). Demostración. Si F es una primitiva de f , como por el teorema 2.25 z(x) también lo es, en virtud del teorema 2.18 se tiene que A(x) − F (x) = C (constante). Como A(a) = 0, poniendo x = a queda C = A(a) − F (a) = −F (a) y por lo tanto A(x) = F (x) − F (a) y en particular A(b) = F (b) − F (a). Esta regla debe su nombre a Isaac Barrow (1630-1677), teólogo y matemático inglés que tuvo a Newton como discípulo. Nos muestra que para calcular el área bajo la gráfica de una función f es suficiente conocer una de sus primitivas. Aunque el cálculo de primitivas es uno de los problemas que trata el Cálculo integral, sin necesidad de conocer sus técnicas, si uno encuentra por cualquier método (por ejemplo examinando una tabla de derivadas, o por ensayo y error) una primitiva F de f , entonces la regla de Barrow nos permite calcular el área. Ejemplo 2.27. Calcular el área limitada por la parábola y = x2 , el eje Ox y las rectas x = 1 y x = 2. Solución: Como (x3 /3)′ = x2 , por la regla de Barrow el área pedida es 23 /3 − 13 /3 = 5/3.

2.7 Teorema fundamental del Cálculo

53

Utilizando la propiedad aditiva del área puede calcularse también el área de regiones comprendidas entre dos curvas. Ejemplo 2.28. Hallar el área de la región comprendida entre las gráficas de f (x) = x2 + 1 y g(x) = −x2 + 2x + 5.

Figura 2.8: Área de una región Solución: Primero hallamos los puntos de intersección de ambas curvas resolviendo x2 + 1 = −x2 + 2x + 5, lo cual nos da x1 = −1 y x2 = 2. Luego hallamos las primitivas F (x) = x3 /3 + x de f y G(x) = −x3 /3 + x2 + 5x de g. El área bajo y = f (x) entre x = −1 y x = 2 es entonces F (2) − F (−1) = 8/3 + 2 − (−1/3 − 1) = 6, mientras que para y = g(x) el resultado es G(2) − G(−1) = −8/3 + 4 + 10 − (1/3 + 1 − 5) = 15. El área de la región comprendida entre ambas es la diferencia 15 − 6 = 9. Ejercicio 2.47. Se llama segmento parabólico a la región comprendida entre una parábola y una recta que la corta en dos puntos A y B. Sea C el punto del arco de parábola AB más alejado del segmento AB. Probar que el área del segmento parabólico es igual a dos tercios del área del triángulo ABC. Este resultado fue hallado por Arquímedes ¡hace más de 2200 años! Ejemplo 2.29. Calcular el área limitada por la elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Solución: Este problema es algo más complicado, en primer lugar porque la elipse no es la gráfica de una función. Sin embargo por razones de simetría es suficiente calcular el área de la porción que se encuentra en el semiplano superior, y luego multiplicar por dos, o mejor aún calcular el área de la porción contenida en el

54

Conceptos Básicos

Figura 2.9: Área de la elipse primer cuadrante, y luego multiplicar por cuatro. El arco depelipse contenido en el primer cuadrante es la gráfica de la función f (x) = b 1 − x2 /b2 .Ésta función no tiene una primitiva que se vea a simple vista, pero si se hace el cambio de variable x = a sen t, 0 ≤ t ≤ π/2, entonces d A(a sen t) dt

por lo tanto

= A′ (a sen t)a cos t = f (a sen t)a cos t p ab = ab 1 − sen2 t cos t = ab cos2 t = (1 − cos(2t)), 2

ab sen(2t) (t − ) + C, 2 2 donde C es constante. Evaluando en t = 0 se tiene 0 = A(0) = C, y entonces A(a sen t) =

A(a) = A(a sen

π ab π sen(π) πab )= ( − )= , 2 2 2 2 4

y multiplicando por cuatro se obtiene que el área de la elipse es πab. Otra forma de obtener este resultado es la siguiente: la elipse es la imagen de la circunferencia x2 + y 2 = a2 por la transformación T : R2 → R2 definida como T (x, y) = (x, by/a). Esta transformación es una contracción (suponiendo b < a) en la dirección Oy, por un factor b/a. Los rectángulos de lados paralelos a los ejes se transforman por T en rectángulos de igual ancho y altura reducida en el factor b/a, por lo tanto su área se reduce en ese mismo factor. Como la circunferencia de área πa2 puede aproximarse tanto como se desee mediante rectángulos, sus transformados por T aproximan el área de la elipse, que por lo tanto será πa2 (b/a) = πab.

Capítulo 3

Máximos y mínimos En este capítulo se aplican las herramientas básicas del cálculo para estudiar los extremos locales y globales de las funciones. Éste es un tema de enorme importancia en las aplicaciones, que se presenta cada vez que se desea maximizar el rendimiento de un proceso, o minimizar las pérdidas o los riesgos. Incluso las leyes naturales se expresan muchas veces en términos de máximos y mínimos.

3.1.

Crecimiento y decrecimiento de una función

La derivada es una poderosa ayuda a la hora de estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función. Teorema 3.1. Si f : [a, b] → R es continua y derivable en (a, b), entonces f es monótona creciente si y sólo si f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Si f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es estrictamente creciente. Demostración. Si f es monótona creciente entonces los cocientes incrementales verifican (f (x + h) − f (x)/h ≥ 0 y al tomar límites se tiene f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Recíprocamente si a ≤ x < y ≤ b entonces por el teorema del valor medio f (y) − f (x) = f ′ (c)(y − x) ≥ 0, y f (y) ≥ f (x). Si f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f (y) − f (x) = f ′ (c)(y − x) > 0 y f (y) > f (x). Ejemplo 3.1. Sea f (x) = x3 + 3x2 − 24x + 7. Entonces f ′ (x) = 3x2 + 6x − 24 = 3(x − 2)(x + 4), y estudiando su signo vemos que f crece (estrictamente) en (−∞, −4], decrece en [−4, 2] y crece nuevamente en [2, +∞). Ejercicio 3.1 (Desigualdad de Bernoulli). Pruebe que si a ≥ 1 y x ≥ −1 entonces (1 + x)a ≥ 1 + ax, con igualdad si y sólo si a = 1 ó a > 1 y x = 0.

56

Máximos y mínimos

Ejercicio 3.2. Si f : [a, b] → R es continua y estrictamente creciente y derivable en (a, b), ¿puede afirmarse que f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b)? Si se puede descomponer el dominio de una función en intervalos tales que, en cada uno de ellos, la función sea creciente o decreciente, se logra una buena comprensión del comportamiento de la función. Sin embargo esto no siempre es posible. Por ejemplo la función ( x2 sen(1/x) si x 6= 0, f (x) = 0 si x = 0, no es creciente ni decreciente en ningún intervalo abierto o semiabierto que contenga al 0.

3.2.

Extremos locales

Hay varios métodos para hallar los extremos locales de una función. El primero se basa en una observación trivial: Si a < c < b y f es monótona creciente en (a, c] y monótona decreciente en [c, b), entonces f alcanza un máximo local en c. Análogamente, si f es monótona decreciente en (a, c] y monótona creciente en [c, b), entonces f alcanza un mínimo local en c. Ejemplo 3.2. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento hallados para f (x) = x3 + 3x2 − 24x + 7 en el Ejemplo 3.1 nos permiten afirmar que esta función tiene un máximo local en −4 y un mínimo local en 2. En el capítulo anterior, lema 2.1, vimos que si f : (a, b) → R es una función derivable y presenta un extremo local en c ∈ (a, b), entonces f ′ (c) = 0. Lamentablemente el recíproco de este resultado no se cumple. Por ejemplo si f (x) = x3 entonces f ′ (x) = 3x2 y f ′ (0) = 0, pero f es creciente en todo R y no tiene ningún extremo local. Sin embargo, en el caso de que exista f ′′ (c) se tiene el siguiente resultado. Teorema 3.2 (Criterio de la segunda derivada). Si f ′ (c) = 0 y f ′′ (c) > 0 (resp. f ′′ (c) < 0), entonces f tiene un mínimo (resp. máximo) local en c. Demostración. Probemos el caso f ′′ (c) > 0. Como f (x) = f (c) + f ′ (c)(x − c) + f ′′ (c)(x − c)2 + o((x − c)2 ) y f ′ (c) = 0, se tiene que f (x) − f (c) − f ′′ (c)(x − c)2 = o((x−c)2 ). Así l´ımx→0 (f (x)−f (c)−f ′′ (c)(x−c)2 )/(x−c)2 = 0, por lo tanto existe δ > 0 tal que si |x−c| < δ entonces |(f (x)−f (c))/(x−c)2 −f ′′ (c)| < f ′′ (c)/2, de donde se sigue que (f (x)−f (c))/(x−c)2 > f ′′ (c)/2 > 0.Entonces f (x)−f (c) > 0 si |x − c| < δ y f tiene un mínimo local en c. Más en general, se puede probar que

3.3 Extremos globales

57

Teorema 3.3. Si f es n veces derivable en c, f ′ (c) = 0 y la primera derivada no nula en c es la de orden n, entonces 1. Si n es par y f (n) (c) > 0, f tiene un mínimo local en c. 2. Si n es par y f (n) (c) < 0, f tiene un máximo local en c. 3. Si n es impar, f no tiene extremo local en c. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que una función puede tener todas las derivadas nulas en un punto, por ejemplo la función de Cauchy. Ejemplo 3.3. Si f (x) = x3 + 3x2 − 24x + 7 entonces f ′ (x) = 3x2 + 6x − 24 y f ′′ (x) = 6x + 6. Los puntos críticos son −4 y 2, y como f ′′ (−4) = −18 < 0 y f ′′ (2) = 18 > 0, concluimos que en −4 hay un máximo local y en 2 hay un mínimo local.

3.3.

Extremos globales

Si f : [a, b] → R es continua, el teorema de Weierstrass 2.9 nos asegura la existencia del máximo y del mínimo (globales o absolutos), pero no nos da ninguna clave sobre cómo hallarlos. Si f es derivable en (a, b), excepto quizá en un número finito de puntos, y tiene un número finito de puntos críticos (es decir puntos c ∈ (a, b) tales que f ′ (c) = 0), entonces podemos hallarlos de la siguiente manera: Se calculan los valores de f en los extremos del intervalo a y b, en cada uno de los puntos críticos y en los puntos en los que no existe la derivada. El mayor de todos esos valores es el máximo de f , y el menor es el mínimo. La justificación de este método es sencilla: si el máximo se alcanza en un punto de c ∈ (a, b) en el cual exista f ′ (c), entonces por el lema 2.1 debe ser f ′ (c) = 0, es decir que c es un punto crítico. De lo contrario, el máximo se alcanza en un extremo del intervalo o en un punto interior en el cual no exista la derivada. De modo que si examinamos los valores que toma f en cada uno de esos puntos es seguro que no se nos escapará el máximo. Lo mismo se aplica al mínimo. Ejemplo 3.4. Consideremos la función f (x) = x3 +3x2 −24x+7 en el intervalo [−6, 6]. Como esta función es derivable sólo hace falta considerar los puntos críticos (−4 y 2) y los extremos del intervalo (−6 y 6). Se tiene f (−4) = 87, f (2) = −21, f (−6) = 43 y f (6) = 187. Por lo tanto el mínimo es −21 y se alcanza en 2, y el máximo es 187 y se alcanza en 6. p p Ejemplo 3.5. Sea f (x) = 5 |x − 1|+4 |x − 9| en el intervalo [0, 10]. Entonces  √ √  5√1 − x + 4√9 − x si 0 ≤ x ≤ 1, f (x) = 5 x − 1 + 4 9 − x si 1 ≤ x ≤ 9,  √  √ 5 x − 1 + 4 x − 9 si 9 ≤ x ≤ 10,

58

Máximos y mínimos

y

 √ √  1 − x − 4/ 9 − x si 0 < x < 1, −5/ √ √ f ′ (x) = 5/ x − 1 − 4/ 9 − x si 1 < x < 9,  √  √ 5/ x − 1 + 4/ x − 9 si 9 < x < 10.

La derivada no existe en 1 ni en 9. Es claro que en los intervalos (0, 1) √ y (9, 10) no √ hay puntos críticos, mientras que en (1, 9), resolviendo 5/ x − 1−4/ 9 − x = 0 se tiene 25(9 − x) = 16(x − 1) y x √ = 241/41 es el único punto crítico. Como √ fp (0) = 17, f (10) = 19, f (1) = 4 8 ≈ 11,31, f (9) = 5 8 y f (241/41) = p p 5 200/41 + 4 128/41 = 82 2/41 ≈ 18,11, se concluye que el mínimo es √ f (1) = 4 8 y el máximo f (10) = 19. El siguiente problema a considerar lo plantean las funciones definidas en dominios no cerrados o no acotados. En este caso aunque la función sea continua puede ser que no sea acotada, y aún siéndolo puede ser que no tenga máximo, o mínimo, o ninguno de los dos. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 3.6. La función f (x) = tg x en el intervalo (−π/2, π/2) no tiene máximo ni mínimo, ya que l´ımx→π/2 tg x = +∞ y l´ımx→−π/2 tg x = −∞. Ejemplo 3.7. La función g(x) = x + 1/x en el intervalo (0, 2) no tiene máximo, pues l´ımx→0+ g(x) = +∞, pero en cambio tiene mínimo. En efecto, g ′ (x) = 1 − 1/x2 es negativa en (0, 1) y positiva en (1, 2), por lo tanto g es monótona decreciente en (0, 1) y monótona creciente en (1, 2), de donde se sigue que en 1 hay no sólo un mínimo local sino absoluto. Ejemplo 3.8. La función f (x) = arc tg x en todo R está acotada entre −π/2 y π/2), pero no tiene máximo ni mínimo. Sin embargo en algunos casos puede afirmarse la existencia de extremos. Teorema 3.4. Sea f : R → R continua. Si existen a ∈ R y K > 0 tales que f (x) ≤ f (a) (f (x) ≥ f (a)) para todo x ∈ R tal que |x| > K, entonces f tiene máximo (resp. mínimo). Demostración. Consideremos el primer caso. En el intervalo [−K, K] la función f tiene máximo M . Si x 6∈ [−K, K] entonces |x| > K, y f (x) ≤ f (a) ≤ M . Por lo tanto el máximo de f en [−K, K] lo es en realidad en todo R. Corolario 3.1. Si l´ımx→∞ f (x) = L y para algún a ∈ R se tiene f (a) ≥ L (f (a) ≤ L), entonces f tiene máximo (resp. mínimo).

3.4.

Algunos ejemplos geométricos

Ejemplo 3.9. Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?

59

3.4 Algunos ejemplos geométricos

Solución: El volumen de la caja será V (x) = (a−2x)2 x, con 0 ≤ x ≤ a/2. Puesto que V es continua en [0, a/2], debe tener máximo absoluto. Como V ′ (x) = (a − 2x)2 − 4x(a − 2x) = (a − 2x)(a − 6x), se ve que los únicos puntos críticos son a/2 y a/6. Como V (0) = V (a/2) = 0 y V (a/6) = 2a2 /27, el máximo absoluto en [0, a/2] se alcanza para x = a/6 y vale V (a/6) = 2a3 /27. Ejemplo 3.10. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes, formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima? ¿Y para que sea máxima? Solución: Si la parte con la cual se forma el círculo mide x cm, la otra medirá 100−x cm. El radio del círculo será x/(2π) cm2 y su área x2 /(4π) cm2 , mientras que el área del cuadrado será (100 − x)2 /16 cm2 . Debemos hallar los extremos absolutos de la función continua f (x) = x2 /(4π) + (100 − x)2 /16 en el intervalo [0, 100]. f ′ (x) = x/(2π)−(100−x)/8 sólo se anula en 100π/(π+4), que pertenece a (0, 100). Ahora bien, f (0) = 1002 /16 = 625, f (100) = 1002 /(4π) = 2500/π y 100π 1002 π 4002 2500 f = + = . π+4 4(π + 4)2 16(π + 4)2 π+4 Como

2500 2500 < 625 < π+4 π se concluye que el mínimo es 2500/(π + 4) y el máximo 2500/π. Para obtener un área total mínima el alambre debe cortarse en trozos de longitud 100π/(π + 4) cm y 400/(π +4) cm. Para obtener un área total máxima debe cortarse en trozos de 100 cm y 0 cm, es decir que no debe cortarse sino usarlo todo para formar una circunferencia. Ejemplo 3.11. Un pasillo de 180 cm de ancho se une en ángulo recto con otro de 120 cm de ancho. ¿Cuál es la longitud máxima que puede tener una barra para poder pasar horizontalmente de un pasillo al otro? Solución: denotemos el ancho de los pasillos mediante a y b y consideremos una barra atravesada como en la Figura 3.1. Su longitud es f (ϕ) =

a b + . sen ϕ cos ϕ

El mínimo de esta función en (0, π/2) nos dará la longitud máxima que puede tener una barra para pasar por el codo. Como f es continua en (0, π/2) y l´ımx→0+ f (ϕ) = l´ımx→π/2− f (ϕ) = +∞, debe tener mínimo absoluto y se alcanza en un punto crítico de f . Ahora bien, la derivada f ′ (ϕ) = −

a cos ϕ b sen ϕ −a cos3 ϕ + b sen3 ϕ + = 2 2 sen ϕ cos ϕ sen2 ϕ cos2 ϕ

se anula únicamente cuando −a cos3 ϕ + bp sen3 ϕ = 0, es decir tg3 ϕ = a/b, lo 3 cual da el único punto crítico ϕ1 = arc tg( a/b).

60

Máximos y mínimos

Figura 3.1: Pasillos El máximo buscado es f (ϕ1 ) = =

q q b a + = a 1 + ctg2 ϕ1 + b 1 + tg2 ϕ1 sen ϕ1 cos ϕ1 q q 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 a a +b +b b 3 + a 3 = (a 3 + b 3 ) 2 ,

que para a = 180 cm y b = 120 cm da aproximadamente 421,4 cm y se alcanza para ϕ1 ≈ 0,85277 radianes, o 48◦ 51’ 37”. Ejercicio 3.3. Una empresa desea construir envases cilíndricos de hojalata de un litro de capacidad, pero minimizando el área total (y por lo tanto la cantidad de lámina de hojalata utilizada). ¿Qué dimensiones deben tener los envases? Ejercicio 3.4. En el plano cartesiano sean A = (0, 1) y B = (0, 3). ¿Desde qué puntos del eje Ox se ve el segmento AB con mayor tamaño aparente? (En otras palabras, ¿para qué puntos C en el eje Ox el ángulo α = ∠ACB toma su mayor valor?)

Figura 3.2: Mayor tamaño aparente

3.4 Algunos ejemplos geométricos

61

El problema de Heron En el plano se dan dos puntos A y B a un mismo lado de una recta r. ¿Para qué punto P de r es mínima la suma AP +P B? Este problema tiene una solución

Figura 3.3: Problema de Heron geométrica muy sencilla: si A′ es el punto simétrico de A respecto a la recta r, entonces para cualquier punto P en r se tiene AP + P B = A′ P + P B, y esta suma es mínima cuando se toma como P el punto Q de intersección de la recta A′ B con r. En efecto, como se ve en la figura, AQ + QB = AB ≤ AP + P B por la desigualdad triangular. Veamos ahora cómo puede ser resuelto mediante el cálculo. Tomemos un sistema de coordenadas con la recta r como eje Ox y el eje Oy pasando por A. Entonces A tendrá coordenadas (0, a) y B = (b, c), con a, b, c > 0. Sea P = (x, 0). Entonces la suma de distancias a minimizar es p p f (x) = AP + P B = x2 + a2 + (x − b)2 + c2 . Como f es positiva y tiende a +∞ cuando x → ∞ podemos asegurar que tiene mínimo, y éste se alcanza en un punto singular. Derivando resulta x x−b f ′ (x) = √ +p . x2 + a2 (x − b)2 + c2

Es claro que f (x) < 0 si x < 0 y f (x) > 0 si x > 0. Por lo tanto el punto mínimo debe pertenecer al intervalo [0, b]. Para hallarlo hay que resolver la ecuación x b−x √ = p , 2 2 x +a (x − b)2 + c2

que luego de cambiar de miembro las raíces y elevar al cuadrado queda x2 ((x − b)2 + c2 ) = (x − b)2 (x2 + a2 ),

62

Máximos y mínimos

y luego de restar x2 (x − b)2 de ambos se reduce a c2 x2 = a2 (x − b)2 . Extrayendo la raíz cuadrada de ambos queda |cx| = |a(x − b)|, y recordando que 0 ≤ x ≤ b queda finalmente cx = a(b − x), de donde se obtiene la única solución ab x1 = . a+c Por lo tanto el mínimo se alcanza en el punto (x1 , 0). Para comprobar que esta solución coincide con la geométrica, observemos en la figura que los triángulos AOQ y BM Q son semejantes, por lo tanto AO/BM = AQ/BQ. Si Q = (x1 , 0), entonces a/c = x1 /(b − x1 ), de donde x1 = ab/(a + c). Este problema fue tratado por Heron de Alejandría en su obra Catóptrica, que se ocupa de los espejos. Heron observó que ∠AQO = ∠BQM , lo cual es consistente con la ley de reflexión de la luz: el rayo incidente sobre una superficie forma con ella igual ángulo que el rayo reflejado. De aquí concluyó que la luz sigue el camino más corto, lo cual es cierto sólo en medios homogéneos.

3.5.

Ley de Snell

Una persona se está ahogando en el mar en el punto B. El salvavidas, que se encuentra en tierra firme en el punto A, puede correr a una velocidad v1 y nadar a una velocidad v2 . ¿Qué trayectoria debe seguir para llegar hasta B en el menor tiempo posible? Supongamos que la costa es una línea recta s. Si v1 = v2 , es claro que el salvavidas debería ir en línea recta desde A hasta B. Pero como presumiblemente v1 > v2 , para aprovechar su mayor velocidad en tierra deberá correr hasta un punto P de la costa más cercano de B, antes de comenzar a nadar. Tomemos un sistema de coordenadas con la recta s como eje Ox y el eje Oy pasando por A. Entonces A tendrá coordenadas (0, −a) y B = (b, c), con a, b, c > 0. Sea P = (x, 0). Entonces el tiempo que tarda el salvavidas en el trayecto AP B es p √ (x − b)2 + c2 AP PB x2 + a2 + = + . f (x) = v1 v2 v1 v2 Como f es positiva y tiende a +∞ cuando x → ∞ podemos asegurar que tiene mínimo, y éste se alcanza en un punto singular. Derivando resulta f ′ (x) = y derivando una vez más f ′′ (x) =

x x−b √ + p 2 2 v1 x + a v2 (x − b)2 + c2

a2 c2 + > 0. v1 (x2 + a2 )3/2 ((x − b)2 + c2 )3/2

63

3.5 Ley de Snell

Figura 3.4: Ley de la refracción

√ Por lo tanto f ′ es estrictamente creciente, y como f ′ (0) = −b/(v2 b2 + c2 ) < 0 √ y f ′ (b) = b/(v1 b2 + a2 ) > 0, f ′ se anula exactamente una vez entre 0 y b, y en ese punto alcanza su mínimo. Para hallar P hay que resolver entonces la ecuación x b−x √ = p , (3.1) v1 x2 + a2 v2 (x − b)2 + c2 que se reduce a una ecuación de cuarto grado, y se puede resolver por métodos numéricos. Es interesante observar que, si llamamos i y r a los ángulos que forman AP y P B con la normal a s por P , entonces la ecuación 3.1 equivale a sen i sen r = . v1 v2 Esta relación es idéntica a la ley de la refracción de la luz al pasar de un medio transparente a otro, llamada Ley de Snell en honor al astrónomo y matemático holandés Willebrord Snell (1580–1626). Llamando índice de refracción al cociente n = c/v entre la velocidad c de la luz en el vacío y la velocidad v de la luz en el medio cuyo índice se calcula, la Ley de Snell puede enunciarse como n1 sen i = n2 sen r, donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios 1 y 2 (el índice de refracción del vacío naturalmentte es 1, el del aire es 1,00029, el del diamante 2,417 y el del agua, a 20◦ C, es 1,333). Fermat dedujo la ley de Snell como lo hicimos nosotros más arriba, a partir del hoy llamado Principio de Fermat, según el cual la luz viaja de un punto a otro siguiendo una trayectoria que minimiza el tiempo empleado.

64

3.6.

Máximos y mínimos

Extremos sin cálculo

Con todo y lo poderoso que es el Cálculo para resolver problemas de extremos, algunas veces mediante métodos elementales se pueden resolver con menor esfuerzo. Por eso es bueno estar atentos y reflexionar un poco sobre la naturaleza del problema antes de lanzarse a calcular derivadas mecánicamente. A continuación examinaremos algunos ejemplos. Ejemplo 3.12. Hallar el mínimo absoluto de f (x) = |x3 − 3x2 + 4|. Solución: Como f (−1) = 0 y el valor absoluto es siempre mayor o igual que cero, el mínimo absoluto es 0. Ejemplo 3.13. Con 4 m de alambre formar un rectángulo de área máxima. Solución: Si los lados del rectángulo son x e y, entonces 2x + 2y = 4, y = 2 − x y el área es A(x) = x(2 − x) = 1 − (x − 1)2 , por lo tanto el máximo es 1 y se alcanza para x = 1, es decir para el cuadrado. La única técnica que usa esta solución es la de completar cuadrados, que es efectiva para cualquier polinomio de segundo grado. Ejemplo 3.14. Construir una caja en forma de prisma recto de base rectangular, con volumen 1 y superficie total mínima. Solución: Si los lados del prisma son x, y, z entonces hay que minimizar S(x, y, z) = 2(xy + yz + zx), con la condición xyz = 1. Este es un problema de extremos condicionados en varias variables, que no hemos tratado en estas notas, sin embargo para resolverlo es suficiente conocer la desigualdad aritmético-geométrica (si no la recuerda vea el Teorema 4.4, pág. 91). En efecto, p xy + yz + zx ≥ 3 3 (xyz)2 = 3,

con igualdad si y sólo si x = y = z. Por lo tanto el mínimo es 3 y se alcanza para x = y = z = 1. Ejercicio 3.5. Resolver sin usar derivadas el problema del Ejemplo 3.9 (pág. 58).

Capítulo 4

Aplicaciones matemáticas En este capítulo se ilustran varias aplicaciones del cálculo diferencial a diversas cuestiones matemáticas.

4.1.

Gráficas de funciones

Debido al software matemático disponible hoy en día, ser capaz de dibujar una buena gráfica ya no parece tan importante como hace algunos años. Sin embargo ningún programa graficador es perfecto, de hecho todos tienen limitaciones intrínsecas, consecuencia de la precisión finita de los cálculos y de que en una pantalla sólo se pueden representar un número finito de puntos. Por eso, cuando se los somete a situaciones extremas, con frecuencia producen resultados incorrectos y hasta sorprendentes. Además hay aspectos de carácter cualitativo que escapan a las posibilidades del software. Por estas razones, si bien los programas graficadores son de una inmensa utilidad práctica, no se pueden aceptar acríticamente sus resultados. Por ejemplo la Figura 4.1 muestra dos gráficas de la misma función, en el mismo intervalo, obtenidas con MAPLE. La diferencia es que la primera se obtuvo con la instrucción plot((x+1)^6,x=-1.005..-0.995); y la segunda con plot(x^6+6*x^5+15*x^4+20*x^3+15*x^2+6*x+1,x=-1.005..-0.995); Ambas instrucciones solicitan graficar la función f (x) = (x + 1)6 en el intervalo [−1,005, −0,995], sólo que en la segunda instrucción (x + 1)6 se sustituye por su desarrollo x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1. Pero los resultados son muy diferentes. La explicación de esa diferencia está relacionada con los errores de redondeo en los cálculos, pero ahora se nos presenta una pregunta obvia: ¿es alguna de las dos gráficas correcta, o debemos desechar ambas?

66

Aplicaciones matemáticas

El cálculo diferencial permite tomar una decisión rápidamente. Como f ′ (x) = 6(x + 1)5 es negativa para x < 1 y positiva para x > 1, la función f es estrictamente decreciente en (−∞, −1], tiene un mínimo en x = −1 y es estrictamente creciente en [1, +∞). Además f ′′ (x) = 30(x + 1)4 ≥ 0 para todo x, por lo tanto la función es convexa (tiene la concavidad hacia arriba). Esto nos permite desechar la gráfica de la derecha y quedarnos con la de la izquierda.

2E-14

1,5E-14 1,2E-14 1E-14 8E-15 5E-15

4E-15

0 -1,004

-1,002

-1

-0,998

-0,996

x -5E-15 0 -1,004

-1,002

-1

-0,998

-0,996

x

Figura 4.1: ¿Dos gráficas de la misma función? A continuación haremos un sumario de los puntos más importantes que se deben tomar en cuenta para graficar una función. Dominio Si el dominio no se da explícitamente, será necesario determinar el mayor subconjunto de R en el cual la definición de la función tenga sentido. Hay que tener especial cuidado con los valores de la variable que hagan nulo un denominador, negativo el argumento de una raíz cuadrada o menor o igual que 0 el argumento de un logaritmo. También varias funciones trigonométricas como sec, csc, tg, ctg, arcsin, arc cos, etc., tienen dominios restringidos. Intersecciones con los ejes y signo La intersección con el eje Oy de la gráfica de una función f se halla muy fácilmente: es el punto (0, f (0). Hallar los puntos de intersección con el eje Ox, en cambio, equivale a resolver la ecuación f (x) = 0, lo cual puede ser muy difícil y requerir el uso de métodos numéricos. Pero en general es suficiente tener una idea aproximada de dónde se hallan esos puntos, para lo cual es útil el teorema de Bolzano 2.7. Es deseable también conocer para qué valores la función es positiva y para cuáles es negativa. Si la función es continua, se han hallado todos los ceros (intersecciones con el eje Ox) y éstos son un número finito, entre

4.1 Gráficas de funciones

67

cada dos de ellos consecutivos la función mantendrá su signo, por lo cual es fácil determinarlo calculando el valor de la función en un punto intermedio. Simetrías Se dice que la función f : R → R es par si f (−x) = f (x) para todo x ∈ R. Geométricamente, esto significa que la gráfica de f es simétrica respecto al eje Oy. Se dice que la función f : R → R es impar si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ R. Geométricamente, esto significa que la gráfica de f es simétrica respecto al origen O. Ejercicio 4.1. Pruebe que la gráfica de f es simétrica respecto a una recta vertical x = a si y sólo si f (2a − x) = f (x) para todo x ∈ R. Ejercicio 4.2. Pruebe que la gráfica de f es simétrica respecto al punto (a, b) si y sólo si f (2a − x) = 2b − f (x) para todo x ∈ R. Periodicidad Recordemos que una función f : R → R es periódica de período T > 0 si f (x + T ) = f (x) para todo x ∈ R. Para graficar una función periódica es suficiente hacerlo en un intervalo [a, a + T ], de longitud igual al período, ya que la gráfica se repite idéntica en los intervalos [a + T, a + 2T ], [a + 2T, a + 3T ], [a + 3T, a + 4T ],. . . y también en [a − T, a], [a − 2T, a − T ], [a − 3T, a − 2T ],. . . En otras palabras, la gráfica es invariante bajo una traslación de vector (T, 0). Los ejemplos más conocidos de funciones periódicas son las trigonométricas seno y coseno, las cuales tienen período 2π. Comportamiento para x → ∞ Cualquier gráfica que hagamos, manualmente o con un computador, se limitará siempre a un intervalo acotado de R. Por eso es importante tratar de hallar l´ımx→∞ f (x) y l´ımx→−∞ f (x), si existen, para conocer el comportamiento de la función para valores grandes de la variable. Si alguno de esos límites es finito, tendremos una asíntota horizontal (ver 2.3.3). Si alguno es infinito, se pueden buscar asíntotas oblicuas o al menos direcciones asintóticas. Crecimiento y decrecimiento Si la función es derivable, el estudio del signo de la primera derivada nos permitirá sacar conclusiones sobre los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Además en los puntos donde la función cambie de creciente a decreciente habrá un máximo local (y donde cambie de decreciente a creciente habrá un mínimo local).

68


Concavidad y puntos de inflexión El estudio del crecimiento y decrecimiento de la derivada primera permite sacar conclusiones sobre los intervalos donde la función es convexa o cóncava, y sobre los puntos de inflexión. Si la función es derivable dos veces, el estudio del signo de la segunda derivada facilita la tarea anterior. Discontinuidades Si la función es discontinua en un punto a, pero está definida en un entorno reducido de a, es importante determinar la naturaleza de la discontinuidad. Para ello hay que estudiar los límites laterales l´ımx→a− f (x) y l´ımx→a+ f (x). Si existen y son ambos finitos, la discontinuidad es de salto (o evitable, si fuesen iguales). Si al menos uno de ellos es infinito, hay una asíntota vertical. También es útil estudiar las discontinuidades de la función derivada, y en especial, en los puntos en que la derivada no exista, ver si existen las derivadas laterales. Ejemplo 4.1. Sea f (x) = arc tg(x) + (x + 2)/(x2 + 1). Está definida en todo R. La gráfica intersecta al eje Oy en (0, 2). l´ımx→+∞ f (x) = π/2 y l´ımx→−∞ f (x) = −π/2, por lo tanto hay dos asíntotas horizontales, y = π/2 para x → +∞ e y = −π/2 para x → −∞. f ′ (x) =

x2

1 x2 + 1 − 2x(x + 2) 2 − 4x + = 2 , 2 2 +1 (x + 1) (x + 1)2

de donde f ′ (x) > 0 para x < 1/2, f ′ (1/2) = 0 y f ′ (x) < 0 para x > 1/2. Por lo tanto f es estrictamente creciente en (−∞, 1/2] y estrictamente decreciente en [1/2, +∞), presentando un máximo absoluto en 1/2. El valor máximo es f (1/2) = arc tg(1/2) + 2 ≈ 2,46. Como f (−1) = −π/4 + 1/2 < 0 y f (0) = 2 > 0, f tiene una raíz entre −1 y 0. De hecho es la única, ya que para x > 0 es f (x) > 0. Por métodos numéricos (ver sección siguiente) puede verse que esa raíz es aproximadamente −0,83. La derivada segunda es f ′′ (x)

= =

−4(x2 + 1)2 − 2x(x2 + 1)(2 − 4x) (x2 + 1)4 4 3 4x − 4x − 4x − 4 4(x2 − x − 1) = . (x2 + 1)3 (x2 + 1)3

√ Como el√denominador es siempre positivo y x2 − x − 1 tiene√raíces (1 + 5)/2 y (1 − 5)/2, se deduce que f √ es convexa √ en (−∞, (1 − 5)/2) y en ((1 + √ 5)/2, +∞), es cóncava en ((1 − 5)/2, (1 + 5)/2) y tiene puntos de inflexión √ √ en (1 − 5)/2 y (1 + 5)/2.

69

4.2 Raíces de ecuaciones

2

1

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

x -1

Figura 4.2: Gráfica de f (x) = arc tg(x) + (x + 2)/(x2 + 1).

4.2.

Raíces de ecuaciones

Sea f una función continua en [a, b] y supongamos que f (a)f (b) < 0. Por el teorema de Bolzano sabemos que existe al menos una raíz de la ecuación f (x) = 0 entre a y b. Una primera aproximación a esta raíz es el punto medio (a + b)/2. El error cometido con esta aproximación es menor que (b − a)/2. Otra posibilidad consiste en tomar el punto s en que la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f (b)) corta al eje Ox. La ecuación de esta recta es y = f (a) + (f (b) − f (a))(x − a)/(b − a), y al igualar a 0 y despejar resulta s = a − (b − a)f (a)/(f (b) − f (a)) = (af (b) − bf (a))/(f (b) − f (a)). Esto se conoce como método de la falsa posición, o regula falsi. En general da mejores resultados que el punto medio, pero no siempre. De hecho sólo se puede asegurar que el error es menor que b − a. En lugar de aproximar la función por la secante, como en la regula falsi, se puede aproximar por la recta tangente. Esto se conoce como método de Newton, o de Newton-Raphson. Para aplicarlo se comienza por elegir una primera aproximación a la raíz, digamos x1 . Si f es derivable en x1 , la ecuación de la recta tangente es y = f (x1 ) + f ′ (x1 )(x − x1 ), que si f ′ (x1 ) 6= 0 corta al eje Ox en x2 = x1 − f (x1 )/f ′ (x1 ). Generalmente este método se emplea de forma iterativa, es decir que se calcula una sucesión de valores xn+1 = xn − f (xn )/f ′ (xn ).

Ejemplo 4.2. Si f (x) = x2 − 2 entonces xn+1 = xn − (x2n − 2)/(2xn ) = xn /2 + 1/xn . Si comenzamos con x1 = 1 entonces x2 = 1/2 + 1 = 3/2 = 1,5, x3 = 3/4 + 2/3 = 17/12 = 1,4166 . . ., x4 = 17/24 + 12/17 = 577/408 = 1,414215 . . .. Como se ve con dos iteraciones se obtuvieron 2 cifras decimales exactas, y con tres iteraciones 4 cifras decimales exactas (con la siguiente ya se obtienen 11).

70


Figura 4.3: Método de Newton Generalmente el método de Newton converge muy rápido hacia una raíz, pero no siempre. Por ejemplo si f (x) = x3 − 2x + 2 entonces xn+1 = xn − (x3n − 2xn + 2)/(3x2n − 2). Si se comienza con x1 = 1 se obtiene x2 = 0, x3 = 1, x4 = 0,. . . y el procedimiento no converge. En estos casos conviene bosquejar la gráfica para tener una idea aproximada de dónde están las raíces. En este caso, comenzando con −2 se obtiene una rápida convergencia.

4.3.

Longitud de arco

Sea f : [a, b] → R. Para definir la longitud L(f ; a, b) de la curva y = f (x) entre a y b, se consideran todas las poligonales inscriptas en la curva, es decir las poligonales con vértices P0 P1 . . . Pn , donde a = x0 P < x1 < · · · < xn = b y n−1 Pi = (xi , f (xi )). Si las longitudes de estas poligonales i=0 Pi Pi−1 forman un conjunto acotado, entonces a su supremo se le llama longitud de la curva y ésta se dice que es rectificable. Es fácil probar que en este caso, si c ∈ (a, b), entonces la curva también es rectificable en los intervalos [a, c] y [c, b] y L(f ; a, b) = L(f ; a, c) + L(f ; c, b). Una función no tiene que ser continua para ser rectificable. Ejercicio 4.3. Probar que si f es monótona en [a, b] entonces es rectificable, y L(f ; a, b) ≤ |b − a| + |f (b) − f (a)|. La continuidad tampoco garantiza que una función sea rectificable.

Ejercicio 4.4.

Sea f : [0, 1] → R definida así: ( x sen x1 si 0 < x < 1, f (x) = 0 si x = 0.

Pruebe que no es rectificable.

71

4.3 Longitud de arco

Teorema 4.1. Si f : [a, b] → R tiene derivada continua entonces es rectificable. Demostración. Como f ′ es continua, existe M = máx{|f ′ (t)| : a ≤ t ≤ b} y debe ser alcanzado en algún punto ζ ∈ [a, b], es decir M = |f ′ (ζ)|. Dada cualquier poligonal P0 P1 . . . Pn , con a = x0 < x1 < · · · < xn = b y Pi = (xi , f (xi )), por el teorema del valor medio se tiene f (xi+1 ) − f (xi ) = f ′ (ξi )(xi+1 − xi ) para ciertos ξi ∈ (xi , xi+1 ), y por tanto |f (xi+1 ) − f (xi )| = |f ′ (ξi )(xi+1 − xi )| ≤ M (xi+1 − xi ). Entonces Pi Pi+1 = y n−1 X i=0

p p (xi+1 − xi )2 + (f (xi+1 ) − f (xi ))2 ≤ 1 + M 2 (xi+1 − xi ), Pi Pi−1 ≤

n−1 Xp i=0

1 + M 2 (xi+1 − xi ) =

Por lo tanto la curva es rectificable y L(f ; a, b) ≤

p 1 + M 2 (b − a).

√ 1 + M 2 (b − a).

Teorema 4.2. Si f : [a, b] → R tiene derivada continua y s(x) es la longitud de arco entre a y x, entonces p s′ (x) = 1 + (f ′ (x))2 para todo x ∈ (a, b).

D

C

E

y = f(x) z(x)

A a

x

x+h

b

Figura 4.4: Longitud de arco Demostración. Sean x ∈ (a, b), A = (a, f (a)), C = (x, f (x)) y D = (x + h, f (x + h)). Entonces la longitud del arco de curva comprendido entre C y D es s(x + h) − s(x), y se cumple que s(x + h) − s(x) ≥ CD =

p h2 + (f (x + h) − f (x))2 .

72


Pero, por el teorema del valor medio, f (x + h) − f (x) = hf ′ (ξ) para cierto ξ ∈ (x, x + h), por lo tanto p p s(x + h) − s(x) ≥ h2 + (hf ′ (ξ))2 = h 1 + (f ′ (ξ))2 . (4.1) Por otra parte, como f ′ es continua, para algún ζ ∈ [x, x + h] se tiene M = |f ′ (ζ)| = máx{|f ′ (t)| : x ≤ t ≤ x + h} y como se vió en la demostración del Teorema 4.1, p s(x + h) − s(x) ≤ 1 + M 2 h. Combinando esta última desigualdad con (4.1) tenemos p p h 1 + (f ′ (ξ))2 ≤ s(x + h) − s(x) ≤ 1 + M 2 h, o bien

p s(x + h) − s(x) p 1 + (f ′ (ξ))2 ≤ ≤ 1 + (f ′ (ζ))2 , h y como l´ımh→0 ξ = l´ımh→0 ζ = x, la conclusión se sigue del teorema del sándwich. Ejemplo 4.3. Calcular la longitud de la curva y = ch x entre 0 y x. p Solución: s′ (x) = 1 + (sh x)2 = ch x, por lo tanto s(x) = sh x + C y como s(0) = 0 debe ser C = 0 y s(x) = sh x. Ejemplo 4.4. Usar √ el teorema 4.2 para calcular la longitud del cuarto de circunferencia√y = 1 − x2 para √ 0 ≤ x ≤ 1. Solución: ( 1 − x2 )′ = −x/ 1 − x2 , por lo tanto s 2 r −x x2 1 ′ = 1+ . s (x) = 1 + √ =√ 2 2 1−x 1−x 1 − x2 √ Como (arc sen x)′ = 1/ 1 − x2 concluimos que s(x) = arc sen x + C, y como s(0) = 0 debe ser C = 0 y s(x) = arc sen x. En particular s(1) = arc sen 1 = π/2, como era de esperarse. En lapnotación de Leibniz s′ (x) = ds/dx y f ′ (x) = dy/dx, por lo tanto s (x) = 1 + (f ′ (x))2 se puede escribir como (ds/dx)2 = 1 + (dy/dx)2 , o bien ds2 = dx2 + dy 2 . En esta sugestiva notación el teorema 4.2 es fácil de recordar por su semejanza con el teorema de Pitágoras. ′

4.4.

Funciones vectoriales

Una función vectorial de una variable real es una función de un intervalo I ⊂ R en Rn . Definir una función vectorial v : I → Rn es equivalente a definir sus n componentes vj : I → R, cada una de las cuales es una función real de variable real. Es decir: v(t) = (v1 (t), v2 (t), . . . , vn (t)).

73

4.5 Curvas parametrizadas

la función v : I → Rn es derivable si y sólo si lo es cada una de sus componentes vj , y en ese caso v′ (t) = (v1′ (t), v2′ (t), . . . , vn′ (t)). Es inmediato verificar la aditividad de la derivación, es decir que si u, v : I → Rn son derivables entonces (u + v)′ = u′ + v′ . Si g : I → R es derivable entonces la regla para derivar un producto de funciones permite establecer sin dificultad que (g(t)v(t))′ = g ′ (t)v(t) + g(t)v′ (t). Recordemos que el producto escalar de dos vectores u = (u1 , u2 , . . . , un ) y v = (v1 , v2 , . . . , vn ) se define como u · v = u1 v1 + +u2 v2 + · · · + un vn . v · v se abrevia v2 , y el módulo o norma de v es q √ kvk = v12 + · · · + vn2 = v2 . Entonces si u, v : I → Rn son derivables se tiene (u · v)′ = u′ · v + u · v′ . En particular (u2 )′ = 2u·u′ . De aquí se deduce que si kuk es constante, entonces u y u′ son ortogonales (u · u′ = 0). Recordemos que en el espacio, si u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ), entonces u · v = kuk kvk cos(ϕ), donde ϕ es el ángulo que forman u y v. Además se define el producto vectorial u ∧ v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ). Ejercicio 4.5. Pruebe que si u, v : I → Rn son derivables entonces (u ∧ v)′ = u′ ∧ v + u ∧ v′ .

4.5.

Curvas parametrizadas

En estas notas llamaremos curva plana a una función continua P : I → R2 . Si la abscisa y la ordenada de P (t) son x(t) e y(t), la curva se puede describir como P (t) = (x(t), y(t)). A la variable t se le llama parámetro. Análogamente una curva en el espacio, o curva alabeada, es una función continua P : I → R3 , y se puede representar en coordenadas como P (t) = (x(t), y(t), z(t)). Las gráficas de funciones continuas f (x) son un caso particular de curvas planas, que se pueden describir, tomando x como parámetro, en la forma P (x) = (x, f (x)). Pero hay muchas curvas que no pueden ser representadas en esta forma, por tener más de un punto con la misma abscisa. Un ejemplo de esta

74


Figura 4.5: Parametrización de la circunferencia situación es una circunferencia de radio R y centro (a, b), que sin embargo puede ser representada paramétricamente como P (t) = (a + R cos t, b + R sen t),

t ∈ [0, 2π].

Observe que dos curvas diferentes P (t) y Q(t) pueden tener el mismo recorrido en R2 . Por ejemplo Q(t) = (a + R sen t, b + R cos t),

t ∈ [0, 2π]

tiene como recorrido la misma circunferencia de radio R y centro (a, b) que P (t). Ejercicio 4.6. Pruebe que el recorrido de la curva 1 − t2 2t P (t) = , , t ∈ R, 1 + t2 1 − t2 es la circunferencia de centro en el origen y radio 1 excepto el punto (−1, 0). Ejercicio 4.7. Halle una parametrización de la elipse x2 y2 + 2 = 1. 2 a b La cicloide es la curva generada por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una recta. Supongamos que la circunferencia de radio R se halla inicialmente tangente al eje Ox en el origen. Después de girar un ángulo t, el centro de la circunferencia se hallará en Q y el punto de la misma que inicialmente estaba en el origen se habrá movido hasta P . El nuevo punto de o B de la circunferencia con el eje Ox debe hallarse a una distancia ⌢

del origen igual a la longitud del arco BP , es decir OB =P B= Rt. Por lo tanto

75


Figura 4.6: Cicloide B = (Rt, 0). Además la proyección del radio P Q sobre el eje Ox mide R sen t, por lo tanto AB = R sen t y OA = Rt−R sen t. Si M es la proyección de P sobre la vertical por B, entonces M Q = R cos t y BM = R − R cos t. Por lo tanto P (t) = (Rt − R sen t, R − R cos t). Escritas en forma de sistema, las ecuaciones de la cicloide son entonces x(t)

=

y(t) =

R(t − sen t),

R(1 − cos t).

Ejercicio 4.8. La curva generada por un punto de una circunferencia de radio r que rueda exteriormente sin deslizar sobre otra circunferencia de radio R se denomina epicicloide. Suponga que la circunferencia de radio R está centrada en el origen y que el centro Q de la otra se encuentra inicialmente en (R + r, 0) (es decir que ambas son tangentes en (R, 0)). Pruebe que entonces, tomando como parámetro el ángulo t formado por OQ con el eje Ox, las ecuaciones paramétricas de la epicicloide son x y

R )t , r R = (R + r) sen(t) − r sen (1 + )t , r = (R + r) cos(t) − r cos (1 +

Ejercicio 4.9. Halle una parametrización de la hipocicloide, curva generada por un punto de una circunferencia de radio r que rueda interiormente sin deslizar sobre otra circunferencia de radio R.

4.5.1.

Curvas regulares

Si P (t) = (x(t), y(t)) es una curva plana y x(t) ˙ e y(t) ˙ son continuas y no se anulan simultáneamente, se dice que la curva es regular. El vector tangente a la curva es P˙ (t) = (x(t), ˙ y(t)). ˙ Además la curva es rectificable, y la longitud de arco s(t) entre un punto P (a) fijo y P (t) satisface p 2 + (y(t)) 2 = |P˙ (t)|. s(t) ˙ = (x(t)) ˙ ˙

76


La prueba de este resultado es análoga a la del teorema 4.2, más aún se puede obtener a partir de él. Análogamente una curva alabeada P (t) = (x(t), y(t), z(t)) es regular si sus componentes tienen derivadas continuas y el vector tangente P˙ (t) = (x(t), ˙ y(t), ˙ z(t)) ˙ no es nulo, en p cuyo caso la curva es rectificable, y la 2 + (y(t)) 2 + (z(t)) 2 = |P˙ (t)|. longitud de arco s(t) satisface s(t) ˙ = (x(t)) ˙ ˙ ˙ Ejemplo 4.5. Para calcular la longitud del arco de cicloide P (t) = (Rt − R sen t, R − R cos t) para 0 ≤ t ≤ 2π, calculamos P˙ (t) = (R − R cos t, R sen t), de donde t |P˙ (t)|2 = (R − R cos t)2 + (R sen t)2 = 2R2 (1 − cos t) = (2R sen )2 , 2 de donde se obtiene s(t) ˙ = 2R sen

t 2

y entonces s(t) = −4R cos(t/2) + C. Como s(0) = 0 debe ser C = 4R y nos queda s(t) = 4R(1 − cos(t/2)). En particular s(2π) = 4R(1 − (−1))) = 8R. Como para una curva regular P (t) es s(t) ˙ > 0, s(t) es estrictamente creciente y continua, por lo cual tiene inversa continua t(s). Esto permite reparametrizar la curva como Q(s) = P (t(s)), usando la longitud de arco como parámetro. Observe que para una curva parametrizada por la longitud de arco se tiene s˙ = 1 y por lo tanto el vector tangente T(s) = Q′ (s) tiene módulo 1. Si las componentes de Q(s) se pueden derivar dos veces, entonces como Q′ (s) · Q′ (s) = |Q′ (s)|2 = 1, derivando se tiene 2Q′ (s) · Q′′ (s) = 0, es decir que Q′′ (s) es un vector ortogonal a Q′ (s). Al módulo κ(s) de ese vector se le llama curvatura en el punto s. Si κ(s) 6= 0 entonces N(s) = Q′′ (s)/κ(s) es un vector unitario que se llama vector normal, y se tiene que T′ (s) = κ(s)N(s). A R(s) = 1/κ(s) se le llama radio de curvatura y al punto P (s) + R(s)N(s), centro de curvatura. Observe que el vector B(s) = T(s) ∧ N(s) es constante, pues es unitario y normal al plano de la curva. Como B ∧ T = N se deduce que N′ = B′ ∧ T + B ∧ T′ = B ∧ κN = −κT. Ejemplo 4.6. Consideremos la circunferencia de radio R y centro en el origen P (t) = (R cos t, R sen t). Como |P˙ (t)| = R, si se mide la longitud de arco a partir de P (0) = (1, 0) se tiene s(t) = Rt, y por lo tanto t(s) = s/R. Entonces Q(s) = P (t(s)) = (R cos(s/R), R sen(s/R)) es una parametrización de la circunferencia mediante la longitud de arco, y se verifica que T(s) = Q′ (s) = (− sen(s/R), cos(s/R)) es un vector unitario. Como Q′′ (s) = (−

1 s 1 s cos , − sen ), R R R R

77


se ve que κ(s) = |Q′′ (s)| = 1/R y N(s) = −(cos(s/R), sen(s/R)). El radio de curvatura es 1/κ = R y el centro de curvatura es P (s) + RN(s) = (0, 0). O sea que para una circunferencia, como era de esperarse, el radio de curvatura es el radio y el centro de curvatura es el centro. La curvatura de una curva plana es igual a la velocidad a la cual gira la tangente a la curva respecto a la longitud de arco. En otras palabras, si Q(s) es una curva parametrizada por la longitud de arco y α(s) es el ángulo que forma la tangente con el eje Ox, entonces κ(s) = |α′ (s)| (el signo de α′ (s) puede ser positivo o negativo, según el sentido en que gire la tangente). En efecto, si Q(s) = (x(s), y(s)) entonces el vector tangente unitario a la curva es Q′ (s) = (x′ (s), y ′ (s)) = (cos(α(s)), sen(α(s))) y κ(s) = |Q′′ (s)| = |(− sen(α(s))α′ (s), cos(α(s))α′ (s))| = |α′ (s)|.

Sea P (t) una curva regular y Q(s) = P (t(s)) su reparametrización por la longitud de arco. En lo que sigue se usará el apóstrofo para indicar la derivación respecto a s y el punto para indicar la derivación respecto a t. Como P (t) = Q(s(t)), derivando respecto a t resulta P˙ (t) = Q′ (s(t))s(t). ˙ Si se puede derivar una vez más entonces P¨ (t) = Q′′ (s(t))s˙ 2 (t) + Q′ (s(t))¨ s(t), por lo tanto

P˙ ∧ P¨ = s˙ 3 Q′ ∧ Q′′ = s˙ 3 t ∧ κn,

y como t ∧ n es un vector unitario, queda finalmente κ=

|P˙ ∧ P¨ | . |P˙ |3

Ejercicio 4.10. Suponiendo f dos veces derivable, pruebe que la curvatura de p y = f (x) es f ′′ (x)/ 1 + (f ′ (x))2 .

Ejercicio 4.11. Sea Q(s) una curva alabeada parametrizada por la longitud de arco, T = Q′ y T′ = Q′′ = κT. El vector B = T∧N es llamado vector binormal. Pruebe que B′ es colineal con N, y que si B′ = −τ N entonces N′ = −κT + τ B. El conjunto ortonormal {T, N, B} se llama triedro de Frenet y las igualdades T′ = κN, N′ = −κT + τ B, B′ = −τ N se conocen como fórmulas de Frenet.

4.5.2.

Involutas y evolutas

Sea P (s) una curva plana parametrizada por la longitud de arco. Su involuta o evolvente, con origen P (s0 ), es la curva I(s) = P (s) − (s − s0 )P ′ (s), que intuitivamente se puede describir como el resultado de desenrrollar un hilo pegado a la curva a partir del punto P (s0 ), manteniéndolo tenso en todo momento. Si la curva está dada por una parametrización cualquiera P (t) entonces la involuta viene dada por I(t) = P (t) − ((s(t) − s(t0 ))/s(t)) ˙ P˙ (t).

78


Figura 4.7: Involuta de una circunferencia Ejemplo 4.7. P (s) = (cos s, sen s) es una circunferencia de centro en el origen y radio 1, parametrizada por la longitud de arco. Su involuta con origen P (0) = (1, 0) es I(s) = (cos s, sen s) − s(− sen s, cos s) = (cos s + s sen s, sen s − s cos s). Observe en la Figura 4.7 que la longitud del segmento BC es igual a la del arco ⌢

⌢

AB, y la de DE igual a la de AD. Esta curva, como la cicloide, es empleada como perfil de dientes de engranaje. Ejemplo 4.8. Calculemos la involuta de la cicloide P (t) = (Rt − R sen t, R − R cos t),

0 ≤ t ≤ 2π,

a partir del punto P (π) = (Rπ, 2R). Recordemos del Ejemplo 4.5 que t t t P˙ (t) = (R − R cos t, R sen t) = (2R sen2 , 2R sen cos ) 2 2 2 ˙ y s(t) ˙ = |P (t)| = 2R sen(t/2), de donde s(t) = −4R cos(t/2) + C para alguna constante C. Si medimos la longitud de arco a partir de P (π), entonces debe ser s(π) = 0, es decir que C = 0 y s(t) = −4R cos(t/2). La involuta es entonces I(t)

s(t) ˙ −2 cos(t/2) ˙ P (t) = P (t) − P (t) s(t) ˙ sen(t/2) 2 cos(t/2) = P (t) + (2R sen2 (t/2), 2R sen(t/2) cos(t/2)) sen(t/2) = P (t) −

= P (t) + 2R(2 cos(t/2) sen(t/2), 2 cos2 (t/2)) = P (t) + 2R(sen t, 1 + cos t) = (Rt − R sen t, R − R cos t) + (2R sen t, 2R + 2R cos t)

= (Rt + R sen t, 3R + R cos t),

79


Figura 4.8: Involuta de una cicloide que nos da un par de arcos de una cicloide idéntica a la original, pero trasladada (ver Figura 4.8). Si P (s) una curva plana parametrizada por la longitud de arco, con curvatura κ(s) 6= 0, entonces a la curva E(s) = P (s) + R(s)N(s) = P (s) + R2 (s)P ′′ (s), lugar geométrico de los centros de curvatura de P (s), se le llama evoluta de P (s). La evoluta de una circunferencia se reduce a un punto: el centro de la circunferencia. Ejemplo 4.9. Hallar la evoluta de una elipse. Solución: parametricemos la elipse como P (t) = (a cos t, b sen t). Entonces p P˙ (t) = (−a sen t, b cos t), s(t) ˙ = (a cos t)2 + (b sen t)2 , 1 1 T(t) = (−a sen t, b cos t), N(t) = (−b cos t, −a sen t) s(t) ˙ s(t) ˙ P¨ (t) = (−a cos t, −b sen t), |P˙ (t) ∧ P¨ (t)| = ab, κ(t) = E(t) =

|P˙ ∧ P¨ | ab = 2 , 2 3 ˙ (a cos t + b2 sen2 t)3/2 |P | a2 cos2 t + b2 sen2 t P (t) + R(t)N(t) = P (t) + (−b cos t, −a sen t). ab

Construir la evoluta y la involuta de una curva son operaciones inversas. En efecto, supongamos que P (s) es una curva parametrizada por la longitud de arco, con curvatura κ(s) 6= 0, y I(s) = P (s) − sT(s) su involuta a partir de P (0). Para hallar la evoluta de I(s) observemos que s no es la longitud de arco de I, por lo tanto para calcular la curvatura κI de I hacemos lo siguiente: I ′ (s) = ′′

I (s) = κI

=

P ′ (s) − T(s) − sT′ (s) = −sκ(s)N(s),

|I ′ (s)| = |sκ(s)|,

−(sκ(s)) N(s) − sκ(s)N (s) = −(sκ(s)) N(s) + sκ2 (s)T(s), |I ′ ∧ I ′′ | |s2 κ3 | 1 = = , |I ′ | |sκ|3 |s| ′

′

′

80


Figura 4.9: Elipse y su evoluta Ahora bien, el vector tangente unitario a I(s) es −N(s) si s > 0, y N(s) si s < 0. En consecuencia el vector normal unitario a I(s) es ±T(s), según que sea s > 0 o s < 0, y la evoluta de I(s) es entonces I(s) +

4.5.3.

1 T(s) = P (s) − sT(s) + sT(s) = P (s). κI (s)

Trayectorias de una bicicleta

En La aventura del Colegio Priory, de Arthur Conan Doyle, Sherlock Holmes y su fiel amigo Watson encuentran las huellas dejadas por una bicicleta sobre la tierra húmeda. Entre ellos se suscita el siguiente diálogo: —Esta huella, como puede usted ver, la ha dejado un ciclista que venía desde la zona del colegio. —O que iba hacia allí. —No, no, querido Watson. La impresión más profunda es, naturalmente, la de la rueda de atrás, que es donde se apoya el peso del cuerpo. Fíjese en que en varios puntos ha pasado por encima de la huella de la rueda delantera, que es menos profunda, borrándola. No cabe duda de que venía del colegio. Como se ve, Sherlock Holmes utiliza su capacidad deductiva para inferir la dirección del movimiento de la bicicleta, a partir de algunos elementos físicos. Pero supongamos que el único dato fuesen las trayectorias de ambas ruedas, sin ninguna información adicional como la profundidad de las huellas, o si una de ellas pasa por encima de la otra. Por ejemplo en la figura 4.10 se muestran las huellas dejadas por una bicicleta en una región de dimensiones aproximadas 10m×10m. ¿Será posible, mediante consideraciones puramente geométricas, determinar la dirección del movimiento?


81

Figura 4.10: Huellas de bicicleta

Para responder la pregunta anterior recordemos que en una bicicleta sólo la rueda delantera puede cambiar de dirección, mediante la acción del manubrio. La rueda trasera, por construcción, se mueve siempre en dirección a la rueda delantera, a menos que patine o resbale sobre el piso (lo que se llama derrapar). Supongamos ahora que una bicicleta se mueve sobre el plano sin derrapar, y que Q(t) y P (t) son los puntos de o de las ruedas trasera y delantera con el plano en el instante t. Al variar t, los puntos Q(t) y P (t) describen dos curvas, que son las huellas de la rueda trasera y de la rueda delantera, respectivamente. Ahora bien, la dirección instantánea del movimiento de Q(t) viene dada por la recta tangente a la huella, y como esa dirección va hacia la rueda delantera, se concluye que la recta tangente a la trayectoria de la rueda trasera en el punto Q(t) debe pasar por el punto P (t). En la figura 4.11 se muestran las mismas huellas, pero para mayor claridad una de ellas se ha trazado punteada. El razonamiento del párrafo anterior muestra que un punto como el A no puede pertenecer a la huella de la rueda trasera, pues la tangente a la trayectoria en ese punto no corta a la otra curva (o si la corta lo hace en un punto demasiado alejado para el tamaño de una bicicleta). Esto significa que la curva punteada sólo puede ser la trayectoria de la rueda delantera, y por lo tanto la otra curva es la trayectoria de la rueda trasera. Tracemos ahora las tangentes en un par de puntos B y C de la trayectoria de la rueda trasera (línea continua). Cortando estas tangentes con la trayectoria de la rueda delantera, observamos que BN = CQ, mientras que BM 6= . Esto demuestra que el sentido del movimiento de la bicicleta fue de izquierda a derecha. Si se conocen la trayectoria de la rueda trasera Q(t) y d, entonces es fácil describir la trayectoria de la rueda delantera P (t). En efecto, como el vector

82


Figura 4.11: Dirección del movimiento ˙ ˙ tangente unitario a la trayectoria de la rueda trasera es Q(t)/| Q(t)|, entonces P (t) = Q(t) +

d ˙ Q(t). ˙ |Q(t)|

Por ejemplo la trayectoria de la rueda trasera en la figura 4.10 se obtuvo a partir de la parametrización Q(t) = ˙ (t, t/2 + 2 sen(t)), por lo tanto Q(t) = (1, 1/2 + 2 cos(t)) y si d = 1 entonces 1 1/2 + 2 cos(t) P (t) = t + , t/2 + 2 sen(t) + . ˙ ˙ |Q(t)| |Q(t)| Mucho más difícil es el problema inverso, es decir determinar la trayectoria de la rueda trasera Q(t) conociendo d y la trayectoria P (t) de la rueda delantera. Un ejemplo sencillo de esta situación se presenta cuando la bicicleta tiene inicialmente la rueda delantera en el origen, la rueda trasera en (1, 0) y se mueve de modo que la rueda delantera recorra el eje Oy positivo. Es claro que la trayectoria de la rueda trasera será una curva que pasa por (1, 0) y tiene al eje Oy como asíntota vertical. Los segmentos de tangente desde un punto (x, f (x) de esta curva hasta el punto de intersección con el eje Oy serán de longitud constante igual a 1. Como la recta tangente en (x, f (x)) tiene ecuación Y = f (x) + f ′ (x)(X − x), el Figura 4.12: Traunto de intersección con el eje Oy será (0, f (x)−xf ′ (x)). triz Entonces x2√ + (xf ′ (x))2 = 1, de donde 1 + f ′ (x)2 = 1/x2 ′ y f (x) = − 1 − x2 /x.

83


√ Para determinar f (x) sólo tenemos que encontrar una primitiva de − 1 − x2 /x que en 1 valga 0. Esto se logra mediante los métodos del cálculo integral, pero en este caso vamos a hacerlo usando sólo un poco de ingenio. Veamos: √ 1 − x2 1 1 1 x 1 − x2 = − √ − =− √ + − +√ 2 2 x x x x 1−x x 1−x 1 − x2 √ 1 − 1 − x2 1 x = − √ − +√ x x 1 − x2 1 − x2 x 1 x √ − +√ = −√ 2 2 x 1−x 1+ 1−x 1 − x2 ′ ′ p ′ p = log 1 + 1 − x2 − log(x) − 1 − x2 ,

√ √ por tanto f (x) = log(1 + 1 − x2 ) − log(x) − 1 − x2 + C, y poniendo x = 1 queda 0 = f (1) = C, es decir que finalmente p p f (x) = log(1 + 1 − x2 ) − log(x) − 1 − x2 . Esta curva se conoce con el nombre de tractriz (ver Figura 4.12).

Figura 4.13: Seudoesfera Poniendo x = 1/ ch(t), para t ≥ 0, se obtienen las ecuaciones paramétricas x = 1/ ch(t), y = t − tgh(t). Si se hace girar la tractriz alrededor del eje Oy se obtiene una superficie de revolución llamada seudoesfera (ver Figura 4.13), así llamada porque tiene curvatura negativa constante (así como la esfera tiene curvatura positiva constante). Esta superficie es famosa debido al hecho de que el matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1900) mostró en 1868 que sirve como modelo de una geometría no-euclidiana bidimensional.

84

4.5.4.


Envolvente de una familia de rectas

Dada una curva regular γ queda determinada la familia Tγ de todas sus rectas tangentes. Es posible considerar el problema inverso: dada una familia T de rectas, ¿existirá una curva γ cuya familia de rectas tangentes sea precisamente T? En caso de existir, a esa curva se le llama envolvente de la familia T. Para fijar ideas supongamos que la familia de rectas T depende de un parámetro t, y viene dada por las ecuaciones a(t)x + b(t)y = c(t). Queremos averiguar si existe una curva P (t) = (x(t), y(t)) tal que, para cada t, la recta tangente a la curva en el punto P (t) sea la de ecuación a(t)x+b(t)y = c(t). Obviamente P (t) = (x(t), y(t)) debe cumplir la condición a(t)x(t) + b(t)y(t) = c(t),

(4.2)

para todo t. Para expresar la condición de tangencia recordemos que (a(t), b(t)) es un vector normal a la recta de ecuación a(t)x + b(t)y = c(t), mientras que el vector (x(t), ˙ y(t)) ˙ es tangente a P (t). Por lo tanto la recta es tangente a la curva si y sólo si estos dos vectores son ortogonales, es decir si a(t)x(t) ˙ + b(t)y(t)) ˙ = 0.

(4.3)

Suponiendo a(t), b(t) y c(t) derivables, si se deriva (4.2) se obtiene ˙ a(t)x(t) ˙ + a(t)x(t) ˙ + b(t)y(t) + b(t)y(t)) ˙ = c(t), ˙ y teniendo en cuenta (4.3) resulta ˙ a(t)x(t) ˙ + b(t)y(t) = c(t). ˙

(4.4)

De las ecuaciones (4.2) y (4.4), si ab˙ − ab ˙ 6= 0, es posible despejar x(t) e y(t) en función de t: x(t) =

˙ b(t)c(t) − b(t)c(t) ˙ , ˙ a(t)b(t) − a(t)b(t) ˙

y(t) =

a(t)c(t) ˙ − a(t)c(t) ˙ . ˙ a(t)b(t) − a(t)b(t) ˙

(4.5)

Así hemos obtenido las ecuaciones paramétricas de la envolvente P (t). Ejemplo 4.10. Consideremos un espejo en forma de semicircunferencia, en cuya cara interna inciden rayos luminosos paralelos al eje Ox, como se ve en la Figura 4.14 (izquierda). Los rayos reflejados tienen como envolvente una curva que se denomina cáustica por reflexión o catacáustica del espejo (ver Figura 4.14, derecha); su nombre alude al hecho de que la concentración de luz en ella puede quemar. Estas curvas se pueden ver, por ejemplo, en una taza con leche iluminada por una fuente lejana, como el sol.

85


Figura 4.14: Espejo semicircular y catacáustica Para hallar las ecuaciones de la curva, supongamos que el espejo tiene radio 1 y centro en el origen. Consideremos un rayo luminoso paralelo al eje Ox que incide en el espejo en el punto P = (cos(t), sen(t)) (ver Figura 4.15). Como los ángulos que el rayo incidente y el reflejado forman con la normal OP son iguales entre sí e iguales a t, es fácil ver que el rayo reflejado forma ángulo 2t con el eje Ox, y por lo tanto la ecuación de la recta que lo contiene es y − sen(t) = tg(2t)(x − cos(t)), o bien, después de multiplicar ambos por cos(2t) y simplificar,

Figura 4.15: Cáustica

x sen(2t) − y cos(2t) = sen(t).

(4.6)

La ecuación correspondiente a la (4.4) es en este caso 2x cos(2t) + 2y sen(2t) = cos(t),

(4.7)

y despejando x e y de (4.6) y (4.7) se obtienen las ecuaciones paramétricas x =

sen(t) sen(2t) +

y

1 2

=

1 2

cos(t) cos(2t),

cos(t) sen(2t) − sen(t) cos(2t).

Aplicando identidades trigonométricas se pueden escribir en la forma equivalente x

=

y

=

1 (3 cos(t) − cos(3t)), 4 1 (3 sen(t) − sen(3t)). 4

(4.8) (4.9)

86

Aplicaciones matemáticas Para este ejemplo el parámetro t varía en el intervalo [−π/2, π/2], pero si se le hace variar en el intervalo [π, π] se obtiene una curva cerrada llamada nefroide, por su parecido con la forma de un riñón. La nefroide no es más que una epicicloide generada por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre otra de radio doble, de hecho las ecuaciones (4.8) son idénticas a las del Ejercicio 4.8 (pág. 75) con R = 1/2, r = 1/4. Ejercicio 4.12. Pruebe que la envolvente de los diámetros de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre otra de igual radio es una nefroide.

Figura 4.16: Nefroide

Ejercicio 4.13. Pruebe que la nefroide es también la envolvente de las cuerdas de un círculo cuando los extremos de la cuerda recorren la circunferencia en el mismo sentido y uno a triple velocidad que el otro. Ejercicio 4.14. Considere un espejo en forma de circunferencia, en cuya cara interna inciden rayos luminosos procedentes de un punto perteneciente a la circunferencia. La envolvente de los rayos reflejados es una curva llamada cardioide, por su parecido con la forma de un corazón. Halle las ecuaciones paramétricas de la cardiode para una circunferencia de centro en el origen y radio 3, con fuente luminosa en el punto (−3, 0), tomando como parámetro t el ángulo formado por un rayo incidente con el eje Ox. Ejercicio 4.15. Pruebe que la envolvente de las rectas normales a una curva es su evoluta (el lugar geométrico de los centros de curvatura).

4.5.5.

Coordenadas polares

Recordemos que un sistema de coordenadas polares en el plano consta de un origen de coordenadas O y una semirrecta de origen O llamada eje polar. Cada punto P del plano se identifica por su distancia al origen r = OP y por su argumento, que es el ángulo ϕ que forma OP con el eje polar. Una curva plana se puede representar en coordenadas polares (r, ϕ) dando el radio en función del ángulo, es decir como r = r(ϕ). Esto es equivalente a la Figura 4.17: Coordenadas polares parametrización P (ϕ) = (r(ϕ) cos(ϕ), r(ϕ) sen(ϕ)). Ejemplo 4.11. La ecuación en coordenadas polares de la circunferencia de centro en el origen y radio a es simplemente r = a. Ejemplo 4.12. La ecuación en coordenadas polares de la circunferencia de centro en (0, a) y radio a es r = 2a cos ϕ.


87

Figura 4.18: Cardioide (izq.) y Espiral de Arquímedes (der.) Ejemplo 4.13. La curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = a(1 + cos ϕ), con a constante, se llama cardioide (es la misma curva que aparece en el Ejercicio 4.14). Ejemplo 4.14. La curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = aϕ, con a constante, se llama espiral de Arquímedes. Es una espiral de paso constante, es decir que las espiras consecutivas se hallan siempre a la misma distancia una de otra, a saber 2aπ. La curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = aebϕ , con a y b constantes, se llama espiral logarítmica. Esta curva era la favorita de Jakob Bernoulli, quien estaba impresionado con sus muchas propiedades. Incluso solicitó en su testamento que la grabaran en la lápida de su tumba. Y su viuda trató de cumplir su último deseo, pero lamentablemente ni ella ni el constructor de lápidas sabían matemáticas, y lo que se ve en la tumba de Bernoulli en Basilea ¡es una espiral de Arquímedes! Bernoulli también estipuló que en la lápida se grabara la inscripción Eadem mutata resurgo, que significa “resurjo cambiada pero igual”. Esto alude al notable hecho de que numerosas transformaciones de esta curva son también espirales logarítmicas. Las transformaciones más simples que hacen esto son las homotecias, rotaciones e inversiones de centro en el origen. Las rotohomotecias de centro en el origen, ángulo ψ y razón ebψ dejan la curva invariante. Por lo tanto la espiral logarítmica es autosemejante. También la evoluta, la cáustica y la podaria respecto al origen, la involuta y la ortóptica de esta curva son espirales logarítmicas. La espiral logarítmica se observa con frecuencia en la naturaleza, en las conchas de caracoles, en los girasoles, las margaritas y las piñas, en las imágenes satelitales de huracanes y hasta en la forma de las galaxias.

88


Figura 4.19: Espiral logarítmica (izq.) y Nautilus (der.) El vector tangente a la curva r = r(ϕ) es P ′ (ϕ)

= = =

(r′ (ϕ) cos(ϕ) − r(ϕ) sen(ϕ), r′ (ϕ) sen(ϕ) + r(ϕ) cos(ϕ))

r′ (ϕ)(cos(ϕ), sen(ϕ)) + r(ϕ)(− sen(ϕ), cos(ϕ)) r′ (ϕ)~er + r(ϕ)~eϕ ,

donde ~er es el vector unitario radial y ~eϕ es el vector unitario tangencial, ortogonal al anterior. Si se identifica el punto (x, y) ∈ R2 con el número complejo x + iy ∈ C, la curva r = r(ϕ) se puede expresar en la forma P (ϕ) = r(ϕ)eiϕ , y derivando se tiene P ′ (ϕ) = r′ (ϕ)eiϕ + r(ϕ)ieiϕ . Observe que en esta presentación más compacta el complejo eiϕ = cos ϕ+i sen ϕ corresponde al vector ~er , mientras que ieiϕ = − sen ϕ + i cos ϕ corresponde al vector ~eϕ . Por ejemplo la ecuación de la espiral logarítmica r = aebϕ en forma compleja es P (ϕ) = ae(b+i)ϕ , y el vector tangente es P ′ (ϕ) = a(b + i)e(b+i)ϕ . Ejercicio 4.16. Pruebe que si se aplica una homotecia, una rotación o una inversión de centro en el origen a la curva r = aebϕ , se vuelve a obtener una espiral logarítmica. Ejercicio 4.17. Pruebe que la espiral logarítmica r = aebϕ forma ángulo constante con el radio vector, y exprese ese ángulo en función de b. Ejercicio 4.18. Pruebe que la involuta de la espiral logarítmica r = aebϕ es también una espiral logarítmica. Ejercicio 4.19. Pruebe que la ortóptica de una espiral logarítmica, es decir el lugar geométrico de los puntos desde los cuales pueden trazarse dos rectas tangentes a la curva que sean perpendiculares entre sí, es también una espiral logarítmica. Ejercicio 4.20. Pruebe que la podaria de la espiral logarítmica r = aebϕ r4specto al origen, es decir el lugar geométrico de las proyecciones del origen sobre las tangentes a la curva, es también una espiral logarítmica.

89

4.6 Desigualdades

Ejemplo 4.15. Hallemos la ecuación de una cónica en coordenadas polares. Para ello recordemos que las cónicas se pueden caracterizar como el lugar geométrico de los puntos P cuya razón de distancias a un punto O y a una recta d es una constante ε, a la cual se le llama excentricidad de la cónica. Si ε = 1 la cónica es una parábola, si ε > 1 es una hipérbola y si ε < 1 es una elipse.

Figura 4.20: Cónica Tomemos O como origen de coordenadas, y como eje polar la perpendicular a d por O. Sea B el punto en que d intersecta al eje, y b = OB. Dado un punto P , sea Q su proyección ortogonal sobre d. La cónica es entonces el lugar geométrico de los puntos P tales que OP = ε. PQ Si A es la proyección ortogonal de P sobre el eje, entonces OP = r, OA = r cos ϕ y P Q = AB = OB − OA = b − r cos ϕ, por lo que la ecuación de la cónica es r = ε(b − r cos ϕ), o bε r= . (4.10) 1 + ε cos ϕ La circunferencia de centro en el origen y radio R tiene como ecuación r = R, que puede obtenerse como caso límite de (4.10) poniendo b = R/ε y haciendo tender ε a 0.

4.6.

Desigualdades

Las desigualdades juegan un rol fundamental en matemática, y existen libros completos dedicados a su estudio. En esta sección se aplican los resultados sobre funciones convexas vistos en el capítulo 2 para obtener la desigualdad de Jensen, de la cual se derivan luego varias desigualdades importantes.

90


4.6.1.

Desigualdad de Jensen

Teorema 4.3 (Desigualdad de Jensen). Si f : I → R es una función convexa, x1 , x2 , . . . , xn ∈ I y r1 , r2 , . . . , rn reales positivos tales que r1 + r2 + · · · + rn = 1, entonces n n X X f( ri xi ) ≤ ri f (xi ). i=1

i=1

Si f es estrictamente convexa entonces la desigualdad anterior es también estricta, excepto cuando x1 = x2 = · · · = xn . Para funciones cóncavas se invierte el sentido de la desigualdad. Demostración. Por inducción en n. Para n = 2 la desigualdad de Jensen es la propia definición de convexidad. Si n > 2 y suponemos que es cierta para n − 1, entonces f

n X i=1

ri xi

n−1 X f (1 − rn )

ri xi + rn xn 1 − rn

≤

(1 − rn )f

ri xi + rn f (xn ) 1 − rn

≤

(1 − rn )

=

i=1

n−1 X

i=1 n−1 X i=1

n

X ri f (xi ) + rn f (xn ) = ri f (xi ). 1 − rn i=1

Si f es cóncava entonces se aplica la desigualdad a −f , que es convexa, y luego se cambia todo de signo, invirtiendo el sentido de la desigualdad.

4.6.2.

Desigualdad aritmético-geométrica

La media aritmética de n números reales no negativos x1 , x2 , . . . , xn es n

1X A= xi , n i=1 y su media geométrica es v u n uY n G= t xi . i=1

Una de las desigualdades más conocidas y famosas es la desigualdad aritméticogeométrica, que afirma que A ≥ G, con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn . Existen varias demostraciones elementales de esta desigualdad, aunque todas requieren algo de ingenio. Aquí demostraremos, a partir de la desigualdad de Jensen, una versión más general.

91

4.6 Desigualdades

Teorema 4.4 (Desigualdad aritmético-geométrica con pesos). Sean x1 , x2 , . . . , xn y a1 , a2 , . . . , an números reales no negativos, con a1 + a2 + · · · + an = 1. Sean A = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn

la media aritmética pesada de los xi con pesos ai , y G = xa1 1 xa2 2 · · · xann la media geométrica pesada, Entonces A ≥ G, con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn .

Demostración. Supongamos primero que todos los xi son positivos. La función f (x) = log(x) es estrictamente cóncava para x > 0, ya que f ′′ (x) = −1/x2 < 0 para todo x > 0. Entonces por la desigualdad de Jensen se tiene log(a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn ) ≥ a1 log(x1 ) + a2 log(x2 ) + · · · + an log(xn ), y tomando la exponencial de ambos queda a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn ≥ xa1 1 xa2 2 · · · xann , es decir A ≥ G, con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn . Si para algún i fuese xi = 0 y ai 6= 0 entonces G = 0 y la desigualdad también se cumple, con igualdad si y sólo todos los xi son nulos. Y si hay pares (xi , ai ) tales que xi = ai = 0, se pueden suprimir sin alterar el valor de A ni de G. Ejercicio 4.21. Si x1 , x2 , . . . , xn son reales positivos y a1 , a2 , . . . , an reales no negativos tales que a1 + a2 + · · · + an = 1, se define la media armónica pesada de los xi con pesos ai como H=

a1 x1

+

a2 x2

1 + ···+

an xn

.

Pruebe que G ≥ H, siendo G la media geométrica pesada de los xi con pesos ai .

4.6.3.

Desigualdad entre medias generalizadas

Otra forma de generalizar la desigualdad aritmético-geométrica consiste en definir las medias pesadas de orden arbitrario. Definición 4.1. Si α 6= 0 es un número real y a1 , a2 , . . . , an son reales positivos tales que a1 +a2 +· · ·+an = 1, la media de orden α de n números reales positivos x1 , x2 , . . . , xn con pesos a1 , . . . , an es !1/α n X mα (x1 , x2 , . . . , xn ) = ai xα . i i=1

92


Nota: Generalmente se permite que algunos pesos ai sean nulos, pero eso complica las demostraciones sin ninguna ventaja a cambio. Ejercicio 4.22. Probar que a) l´ımα→0 mα (x1 , x2 , . . . , xn ) =

Qn

i=1

xai i ,

b) l´ımα→+∞ mα (x1 , x2 , . . . , xn ) = máx{x1 , x2 , . . . , xn }, c) l´ımα→−∞ mα (x1 , x2 , . . . , xn ) = m´ın{x1 , x2 , . . . , xn . En vista del ejercicio anterior, se define la media de orden 0 como la media geométrica pesada: n Y m0 (x1 , x2 , . . . , xn ) = xai i . i=1

Por la misma razón se definen m+∞ (x1 , x2 , . . . , xn ) = máx{x1 , x2 , . . . , xn } y m−∞ (x1 , x2 , . . . , xn ) = m´ın{x1 , x2 , . . . P , xn }. n Observe que m1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = i=1 ai xi es la media aritmética pesada. Si se toman pesos iguales ai = 1/n entonces n

m−1 (x1 , x2 , . . . , xn ) =

1X 1 n i=1 xi

!−1

es la media armónica y v u n u1 X m2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = t x2 n i=1 i

es la llamada media cuadrática de x1 , x2 , . . . , xn . Teorema 4.5. Si α < β, entonces

mα (x1 , x2 , . . . , xn ) ≤ mβ (x1 , x2 , . . . , xn ), con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn . Demostración. Supongamos primero que 0 < α < β. Entonces la función f (x) = xβ/α es estrictamente convexa en (0, +∞), ya que f ′ (x) = (β/α)xβ/α−1 es estrictamente creciente, y la desigualdad de Jensen aplicada a los números xα 1, α xα ,. . . ,x nos dice que 2 n n X i=1

ai xα i

!β/α

≤

n X i=1

β/α ai (xα = i )

n X

ai xβi ,

i=1

de donde mα ≤ mβ , con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn . Observemos que si en la desigualdad anterior se deja β fijo y se toman límites para α → 0+ , resulta m0 ≤ mβ , con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn .

93

4.6 Desigualdades

Si α < β < 0 entonces 0 < −β < −α y aplicando la desigualdad ya probada a m−β y m−α se tiene mα (x1 , . . . , xn ) =

1 m−α

1 1 x1 , . . . , xn

= mβ (x1 , . . . , xn ),

≤

1 m−β

1 1 x1 , . . . , xn

con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn . Si ahora se deja α < 0 fijo y se toman límites para β → 0− , resulta mα (x1 , . . . , xn ) ≤ m0 (x1 , . . . , xn ), con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn . Finalmente, si α < 0 < β entonces mα (x1 , . . . , xn ) ≤ m0 (x1 , . . . , xn ) ≤ mβ (x1 , . . . , xn ), con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn . La desigualdad entre medias vale incluso para las de orden ∞ y −∞. En efecto, si M = máx{x1 , x2 , . . . , xn } y α > 0 entonces es claro que mα (x1 , . . . , xn ) =

n X i=1

ai xα i

!1/α

n X

≤

ai M α

i=1

!1/α

= M = m+∞ (x1 , . . . , xn ),

con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn . Si α < 0 también se cumple puesto que mα ≤ m−α ≤ m+∞ . Análogamente se prueba que m−∞ (x1 , . . . , xn ) = m´ın{x1 , x2 , . . . , xn } ≤ mα (x1 , . . . , xn ).

4.6.4.

Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski

Teorema 4.6 (Desigualdad de Young). Si a, b, p, q > 0 y 1/p + 1/q = 1 entonces ab ≤

ap bq + . p q

Demostración. La prueba consiste en aplicar la desigualdad de Jensen a la función f (x) = log x, que es cóncava para x > 0: log(ab) = log(a) + log(b) =

log(ap ) log(bq ) ap bq + ≤ log( + ), p q p q

y la demostración se concluye aplicando la función exponencial a ambos .

94


Teorema 4.7 (Desigualdad de Hölder). Si x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yn son reales cualesquiera y p, q > 0 son tales que 1/p + 1/q = 1, entonces n X i=1

|xi yi | ≤

n X

|xi |p

i=1

! p1

n X i=1

Demostración. Sea kxkp =

X

|xk |p

p1

|yi |q

! 1q

.

.

Entonces P X |xk | |yk | | k xk yk | 1 X |xk |p 1 X |yk |q 1 1 ≤ ≤ = + = 1. p + kxkp · kykq kxkp kykq p kxkp q kykqq p q k

k

k

Teorema 4.8 (Desigualdad de Minkowski). Si x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yn son reales cualesquiera y p ≥ 1 entonces n X i=1

p

|xi + yi |

! p1

≤

n X i=1

p

|xi |

! p1

n X

+

i=1

p

|yi |

! p1

.

Demostración. Para p = 1 esta desigualdad se reduce a la desigualdad triangular. Supongamos entonces p > 1 y sea q = p/(p−1). Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene ! p1 ! 1q n n n X X X p−1 p (p−1)q |ak ||ak + bk | ≤ |ak | |ak + bk | k=0

k=0

k=0

y

n X

k=0

|bk ||ak + bk |p−1 ≤

n X

|bk |p

k=0

! p1

n X

k=0

|ak + bk |(p−1)q

! q1

.

Sumando miembro a miembro resulta  ! p1 ! p1  n ! 1q n n n X X X X p p p (p−1)q  |ak + bk | ≤  |ak | + |bk | |ak + bk | ,

k=0

k=0

k=0

k=0

y como (p − 1)q = p y 1 − 1/q = 1/p, resulta n X

k=0

p

|ak + bk |

! p1

=

n X

k=0

p

|ak + bk |

!1− 1q

≤

n X

k=0

p

|ak |

! p1

+

n X

k=0

p

|bk |

! p1

.

95

4.6 Desigualdades Si p > 0, a = (a1 , a2 , . . . , an ) y b = (b1 , b2 , . . . , bn ) son puntos en Rn , sea dp (a, b) = ka − bkp =

n X

k=0

p

|ak − bk |

! p1

.

Entonces dp es una distancia en Rn , ya que dp (a, b) ≥ 0, dp (a, b) = 0 si y sólo si a = b y finalmente, si c = (c1 , c2 , . . . , cn ), de la desigualdad de Minkowski se sigue fácilmente que dp (a, c) ≤ dp (a, b) + dp (b, c). Observe que d2 es la distancia euclidiana.

Capítulo 5

Aplicaciones físicas La mecánica es el paraíso de las ciencias matemáticas, porque por medio de ella uno llega a los frutos de la matemática. Leonardo da Vinci, Cuadernos de apuntes, vol. 1, cap. 20.

5.1.

Movimiento en un campo constante

Supongamos que un punto material de masa m se mueve sometido a la acción de una fuerza F~ . Si P (t) = (x(t), y(t), z(t)) es la posición del punto en el instante t, entonces la segunda ley de Newton, o ley fundamental de la dinámica, afirma que mP¨ (t) = F~ . El caso más sencillo se presenta cuando la fuerza es constante. En ese caso, la aceleración ~a = P¨ (t) = F~ /m también es constante, y la ecuación anterior queda P¨ (t) = ~a. Observemos ahora que . (P˙ (t) − t~a) = P¨ (t) − ~a = 0, de donde se concluye que P˙ (t) − t~a es constante. Poniendo t = 0 resulta que esa constante es P˙ (0), y por lo tanto P˙ (t) = t~a + P˙ (0). De la misma manera (P (t) −

. t2 ~a − tP˙ (0)) = P˙ (t) − t~a − P˙ (0) = 0, 2

5.1 Movimiento en un campo constante

97

por lo tanto P (t) − (t2 /2)~a − tP˙ (0) es constante, y poniendo t = 0 resulta que esa constante es P (0). En conclusión la trayectoria del punto P es P (t) =

t2 ~a + tP˙ (0) + P (0). 2

Si la fuerza es nula entonces la aceleración también, y la ecuación anterior se reduce a P (t) = tP˙ (0) + P (0), que es la ecuación paramétrica de una línea recta que pasa por P (0) con dirección P˙ (0). Esto no es más que la primera ley de Newton: “En la ausencia de fuerzas exteriores, todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme”. Se sabe que cerca de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad es aproximadamente constante. Su valor se denota con la letra g y es aproximadamente 9,8 m/seg2 (depende del lugar de la Tierra en que se esté). Si se toma un sistema de coordenadas con el origen al nivel del piso y el eje Oz vertical y dirigido hacia arriba, el campo gravitatorio es entonces G = (0, 0, −g). Supongamos que un punto P (t) = (x(t), y(t), z(t)) se mueve en este campo gravitatorio constante G = (0, 0, −g). El movimiento puede ser vinculado, es decir que el punto puede estar obligado a moverse por determinada curva o superficie, pero supondremos que el vínculo sólo actúa por medio de fuerzas perpendiculares a la dirección del movimiento (en particular, que no hay fricción). La ley de Newton se expresa entonces como mP¨ = mG + N, donde N representa la fuerza del vínculo. Haciendo el producto escalar por P˙ , como N · P˙ = 0 por hipótesis, resulta mP¨ · P˙ = mG · P˙ = −mg z. ˙

. Como (P˙ 2 ) = 2P¨ · P˙ , poniendo v = |P˙ | la ecuación anterior se puede escribir como . 1 ( mv 2 + mgz) = 0, 2 es decir que 1 mv 2 + mgz = E (constante). 2 Ésta es la llamada ley de conservación de la energía mecánica. A T = 12 mv 2 se le llama energía cinética y a U = mgx energía potencial, por lo cual la ley se puede expresar como E = T + U , donde la energía total E es constante. Ejemplo 5.1. Un punto material comienza a moverse desde un punto con altura h, con velocidad inicial 0. ¿Qué velocidad lleva cuando llega al piso? Y si se lanza hacia arriba desde el suelo, ¿qué velocidad inicial hay que imprimirle para que alcance una altura máxima igual a h?

98

Aplicaciones físicas

Solución: En el instante inicial E = mgh, y cuando llega al piso E = mv 2 /2. √ Igualando y despejando v resulta v = 2gh. Este resultado es independiente de la trayectoria seguida, es decir que sin importar que el punto caiga verticalmente √ o se deslice por un tobogán, al llegar al suelo tendrá √ velocidad v = 2gh. La respuesta a la segunda pregunta es la misma, v = 2gh. Si no hay vínculo la ley de Newton es simplemente mP¨ = mG, que equivale a tres ecuaciones independientes x ¨ = 0,

y¨ = 0,

z¨ = −g.

Si para t = 0 el punto se encuentra en P0 = (x0 , y0 , z0 ) y tiene velocidad P˙0 = (x˙ 0 , y˙ 0 , z˙0 ), entonces es fácil ver que x(t) = x0 + x˙ 0 t, y(t) = y0 + y˙ 0 t, z(t) = z0 + z˙0 t − gt2 /2, que se pueden resumir en una sola ecuación vectorial 1 P (t) = P0 + tP˙ 0 + t2 G. 2 Ejemplo 5.2. Si P0 = (0, 0, 0) y P˙0 = (v cos α, 0, v sen α) (esto corresponde a una velocidad inicial de módulo v, contenida en el plano Oxz, y que forma un ángulo α con el eje Ox) entonces las ecuaciones del movimiento son x(t) y(t)

= (v cos α)t, = 0,

1 z(t) = (v sen α)t − gt2 . 2 Esto muestra que el movimiento está contenido en el plano Oxz. La forma de la trayectoria se puede obtener eliminando t entre la primera ecuación y la tercera, y se obtiene g z = x tg α − 2 x2 , 2v cos2 α que es la ecuación de una parábola.

5.2.

Desintegración radioactiva

Sea f (t) la masa de una sustancia radiactiva en el instante t. Debido a la desintegración la función f (t) es decreciente. Como la cantidad de átomos que se desintegran en un pequeño intervalo de tiempo es proporcional al total existente, la velocidad f ′ (t) a la que disminuye la masa de la sustancia satisface la ecuación f ′ (t) = −kf (t) para cierta constante k > 0 que depende de la sustancia.

(5.1)

99

5.2 Desintegración radioactiva

Es fácil verificar que la función e−kt satisface (5.1), pero podría haber otras soluciones. Para hallarlas observemos que, como e−kt 6= 0 para todo t ∈ R, cualquier función f (t) se puede escribir en la forma f (t) = g(t)e−kt (basta poner g(t) = f (t)ekt ). Por lo tanto f ′ (t) = −kf (t) equivale a (g(t)e−kt )′ = −kg(t)e−kt , o sea g ′ (t)e−kt − g(t)ke−kt = −kg(t)e−kt que se reduce a g ′ (t)e−kt = 0, o sea g ′ (t) = 0. Como las únicas funciones con derivada idénticamente nula son las constantes (Cap. 2 pág. 43), debe ser g(t) = A (constante) y entonces f (t) = Ae−kt . Poniendo t = 0 se ve que f (0) = A, por lo tanto la función masa es en definitiva f (t) = f (0)e−kt . La semivida (también llamada período de semidesintegración o vida mitad) de una sustancia radiactiva se define como el tiempo t1/2 que tarda en reducirse a la mitad. Es decir que f (t1/2 ) = f (0)/2, o sea f (0)e−kt1/2 = f (0)/2, de donde e−kt1/2 = 1/2, −kt1/2 = log(1/2) = − log(2) y finalmente t1/2 =

log(2) , k

k=

log(2) . t1/2

El carbono-14 (14 C) es un isótopo radiactivo del carbono que se produce de forma continua en la atmósfera, como consecuencia del bombardeo de átomos de nitrógeno por neutrones cósmicos. El 14 C a su vez se transmuta en nitrógeno-14. Estos procesos de generación y desintegración se encuentran prácticamente equilibrados, de manera que el isótopo se encuentra homogéneamente mezclado con los átomos no radiactivos en el dióxido de carbono de la atmósfera. Como químicamente el 14 C es equivalente al carbono normal no radiactivo 12 C, el proceso de fotosíntesis lo incorpora a las plantas, de manera que la proporción 14 C/12 C es en éstas similar a la proporción presente en la atmósfera. Los animales incorporan, por ingestión, el carbono de las plantas. Ahora bien, tras la muerte de un organismo vivo no se incorporan nuevos átomos de 14 C a sus tejidos y la concentración del isótopo 14 C comienza a decrecer a un ritmo exponencial. La semivida del 14 C se ha determinado que es 5730 años. Así pues, al medir la radiactividad en una muestra de origen orgánico se puede calcular la cantidad de 14 C que aún queda en el material. Suponiendo que la proporción 14 C/12 C en la atmósfera no ha variado, se puede determinar el momento de la muerte del organismo. Ejemplo 5.3. Un utensilio de madera hallado en una excavación arqueológica presenta 4 desintegraciones por minuto debidas al carbono 14. Una pieza de madera fresca del mismo peso presenta 7 desintegraciones por minuto. ¿Cuál es la edad de la muestra?

100


Solución: Tomando el origen del tiempo en el instante en el cual la madera se cortó del árbol y llamando t al instante actual se tiene f (t)/f (0) = f ′ (t)/f ′ (0) = 4/7. Por lo tanto e−kt = 4/7, de donde −kt = log(4/7) y t = log(7/4)/k. Por otra parte k = log(2)/t 21 = log(2)/5730. En definitiva t = 5730 log(7/4)/ log(2) ≈ 4626 años.

5.3.

Ecuaciones diferenciales

Los ejemplos anteriores muestran la importancia de considerar ecuaciones en las cuales una función desconocida aparece relacionada con sus derivadas. Si la función a determinar es de una variable real, entonces se tiene una ecuación diferencial ordinaria (EDO, en forma abreviada), que en general es una expresión de la forma F (x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0, (5.2) donde n > 0 es un entero (llamado orden de la ecuación) y F es una función de n + 1 variables. Si la función incógnita es de varias variables y aparece relacionada con sus derivadas parciales, entonces se trata de una ecuación diferencial parcial. También se pueden presentar sistemas de ecuaciones diferenciales, con dos o más funciones incógnitas. Una solución de la ecuación (5.2) es una función f (x) tal que, si y (k) se sustituye por f (k) (x) para k = 0, 1, . . . , n, la ecuación se convierte en una identidad. Por ejemplo y ′ = 3y es una EDO de primer orden, y f (x) = e3x es una solución porque la sustitución y = e3x , y ′ = (e3x )′ = 3e3x , la convierte en 3e3x = 3e3x , que es una identidad. Como esta ecuación es la misma que estudiamos para la desintegración radioactiva (con k = −3), podemos afirmar que cualquier otra solución es de la forma Ae3t , donde A es una constante. Se dice entonces que y = Ae3x es la solución general de la ecuación. (n−1)

Si x0 , y0 , y0′ ,. . . ,y0 son números reales dados, el problema de condiciones iniciales para una EDO de orden n consiste en hallar una solución f (x) tal que (n−1) f (x0 ) = y0 , f ′ (x0 ) = y0′ ,. . . ,f (n−1) (x0 ) = y0 . Existen teoremas que, bajo condiciones muy generales, aseguran que este problema tiene solución única, al menos localmente. Una EDO es lineal si es de la siguiente forma y (n) = an−1 (x)y (n−1) + · · · + a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y + b(x). Para estas ecuaciones se puede probar que si a0 , a1 ,. . . , an−1 y b(x) son funciones continuas en un intervalo abierto I y x0 ∈ I, entonces el problema de

101

5.3 Ecuaciones diferenciales

condiciones iniciales tiene solución única en I. La prueba puede hallarse en libros de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo [1], [5] y [6]. Si b(x) = 0 la ecuación se llama homogénea. Estas ecuaciones tienen una propiedad importante: cualquier combinación lineal de soluciones es también solución. En otras palabras, si f1 ,f2 ,. . . ,fk son soluciones y α1 ,α2 , . . . ,αk son constantes, entonces α1 f1 (x) + α2 f2 (x) + · · · + αk fk (x) también es solución (esto es consecuencia inmediata de la linealidad de la derivación). Para las ecuaciones no homogéneas se prueba fácilmente que la diferencia de dos soluciones cualesquiera es solución de la correspondiente ecuación homogénea (la que se obtiene al eliminar el término b(x). Por lo tanto para resolverlas es suficiente hallar una solución particular y la solución general de la homogénea. Por ejemplo, la solución general de la ecuación lineal de primer orden homogénea y ′ = 3y es y(x) = Ae3x . Si ahora se desea resolver la ecuación no homogénea y ′ = 3y + 6x − 7 se debe buscar una solución particular. Busquémosla de la forma ax+b. Entonces a = 3(ax + b) + 6x − 7 debe ser una identidad, lo que se consigue si a = −2 y b = 5/3. Por lo tanto y(x) = −2x + 5/3 + Ae3x es la solución general de la ecuación no homogénea.

Consideremos ahora una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes: y ′′ = ay ′ + by. (5.3) Tratando de hallar alguna solución ensayemos con las funciones de la forma y(x) = erx . Entonces y ′ (x) = rerx , y ′′ (x) = r2 erx y para que sea solución debe cumplirse r2 erx = arerx + berx , que dividiendo entre erx equivale a r2 = ar + b.

Ésta es una simple ecuación algebraica de segundo grado, r2 − ar − b = 0, que se llama ecuación característica de la ecuación (5.3). Si a2 + 4b > 0 entonces la ecuación característica tiene dos raíces reales diferentes r1 y r2 y las funciones er1 x y er2 x son soluciones de (5.3). También lo son todas las combinaciones lineales Aer1 x + Ber2 x . De hecho, éstas son todas las soluciones de (5.3). Esto puede verse así: dada una solución f (x), sean y0 = f (0), y0′ = f ′ (0). Si hallamos una solución de la forma y(x) = Aer1 x + Ber2 x que satisfaga las mismas condiciones iniciales, entonces

102


f = y por el teorema de unicidad. Pero y(0) = A + B, y ′ (0) = r1 A + r2 B, por lo tanto debemos ver si el sistema de ecuaciones lineales en A y B A+B

=

y0 ,

r1 A + r2 B

=

y0′

tiene solución. Y efectivamente la tiene pues su determinante es r2 − r1 6= 0. Si a2 + 4b = 0 entonces la ecuación característica tiene una raíz real doble r = a/2 y erx es una solución. Puede comprobarse que en este caso xerx también es solución. Entonces las combinaciones lineales Aerx + Bxerx = (A + Bx)erx son soluciones, y se puede probar que son todas. Ejercicio 5.1. Verifique que si a2 + 4b = 0 entonces xerx también es solución de (5.3) y (A + Bx)erx es la solución general. Finalmente, si a2 + 4b < 0 entonces la ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas α + βi y α − βi. En este caso, como en el de dos raíces reales distintas, se puede afirmar que las combinaciones lineales Ce(α+βi)x + De(α−βi)x son soluciones, sólo que son en general complejas y estamos interesados en soluciones reales. Pero si tomamos C = A − iB y D = A + iB, los sumandos serán conjugados y su suma real. Recordando la fórmula de Euler ex+iy = ex (cos y + i sen y), tenemos

= = =

(A − iB)e(α+βi)x + (A + iB)e(α−βi)x eαx (A − iB)eiβx + (A + iB)e−iβx

eαx (A − iB)(cos(βx) + i sen(βx)) + (A + iB)(cos(βx) − i sen(βx)) eαx 2A cos(βx) + 2B sen(βx)

Como A y B son constantes arbitrarias, sustituyéndolas por A/2 y B/2 tenemos finalmente que las funciones eαx (A cos(βx) + B sen(βx)) son soluciones de (5.3). Ejercicio 5.2. Verifique que si a2 + 4b < 0 entonces eαx (A cos(βx)+ B sen(βx)) es la solución general de (5.3). Ejercicio 5.3. Muestre que A cos(βx) + B sen(βx) se puede escribir también como C cos(βx − φ), para ciertas constantes C y φ.

103

5.3 Ecuaciones diferenciales

Figura 5.1: Resorte vibrante Ejemplo 5.4. Consideremos un resorte de longitud natural (o en reposo) l0 . La ley de Hooke establece que si el resorte se estira hasta alcanzar una longitud l, entonces ejerce una fuerza de recuperación F opuesta a la dirección del estiramiento y proporcional al mismo. En símbolos, F = −k(l − l0 ), donde k es una constante (llamada constante del resorte). Supongamos ahora que un extremo del resorte está fijo en el punto de abscisa −l0 de una recta y que en el otro extremo se fija un punto material de masa m, que sólo puede moverse en la recta, y cuya abscisa x(t) en el instante t será igual al estiramiento del resorte. Entonces la fuerza de de recuperación es F = −kx, y la ley de Newton queda así: m¨ x = −kx, que es una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes de segundo 2 orden. Su ecuación característica es p p p r = −k/m, que tiene raíces complejas i k/m y −i k/m. Poniendo ω = k/m, la solución general es x(t) = A cos(ωt) + B sen(ωt).

Para resolver el problema de condiciones iniciales en t = 0 observemos que x(0) = A y x(t) ˙ = −Aω sen(ωt) + Bω cos(ωt), por lo tanto x(0) ˙ = Bω, es decir que la solución con x(0) = x0 , x(0) ˙ = x˙ 0 es x(t) = x0 cos(ωt) +

x˙ 0 sen(ωt). ω

Ejercicio 5.4. Consideremos un punto material de masa m suspendido del techo mediante un resorte de constante k. Halle las ecuaciones del movimiento, suponiendo que P sólo puede moverse en la vertical.

104


Figura 5.2: Circuito LRC Ejemplo 5.5. La intensidad de la corriente x(t) en un circuito en serie formado por una resistencia R, un condensador C y un inductor L (ver Figura 5.2) satisface la EDO lineal homogénea de segundo orden L¨ x + Rx˙ +

1 x = 0. C

(5.4)

2 Su p ecuación característica es Lr +pRr + 1/C = 0, que tiene 2raíces r1 = (−R + R2 − 4L/C)/(2L) y r2 = (−R − R2 − 4L/C)/(2L). Si R > 4L/C entonces las raíces r1 y r2 son reales y negativas, y la solución general de (5.4) es

x(t) = Aer1 t + Ber2 t , que tiende monótonamente a 0 para t → ∞. Este caso se denomina sobreamortiguado. Si R2 = 4L/C la solución general es x(t) = (A + Bt)e−Rt/(2L) , que igualmente tiende a 0 para t → ∞, pero luego de un posible intervalo inicial de crecimiento. Se denomina caso críticamente amortiguado. Pero el caso más interesante es el subamortiguado, que se presenta cuando p R2 < 4L/C. En este caso, si se pone ω = 4L/C − R2 )/(2L), entonces r1 = −R/(2L) + iω y r2 = −R/(2L) − iω y la solución general de (5.4) es x(t) = Ae−Rt/(2L) cos(ωt − ϕ0 ), que se puede interpretar como oscilaciones armónicas de frecuencia constante, amortiguadas por un factor que decae exponencialmente a 0. Ejercicio 5.5. Si en el circuito en serie LRC se intercala un generador de fuerza electromotriz E(t) entonces la ecuación se vuelve no homogénea: L¨ x + Rx˙ +

1 x = E. C

Resuelva esta ecuación para el caso E(t) = sen(ϕt).

105

5.4 Ecuación de la catenaria

5.4.

Ecuación de la catenaria

A la forma que adopta una cuerda colgada por sus extremos, cuando está sometida a un campo gravitatorio uniforme, se le llama catenaria (del latín catena, cadena). Galileo creyó que esa forma era la de la parábola, pero Christiaan Huygens (1629–1695), a los 17 años, demostró que no era así. En 1691 la ecuación de la catenaria fue obtenida por Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli (1667– 1748), en respuesta a un desafío planteado por Jakob Bernoulli (1654–1705). La catenaria invertida tiene la propiedad Figura 5.3: La Sagrada Familia estática de sostenerse a sí misma, y permite construir arcos arquitectónicos estructuralmente estables. Estos arcos fueron utilizados con especial maestría por el arquitecto catalán Antoni Gaudí, por ejemplo en las columnas de la catedral La Sagrada Familia, en Barcelona. El Gateway Arch en la ciudad de Saint Louis, estado de Missouri (USA), es una colosal estructura de acero inoxidable, de 192 metros de altura y 192 metros de ancho en la base, en forma de catenaria invertida. Para hallar la ecuación de la catenaria supongamos que la cuerda está suspendida de dos puntos a la misma altura, y tomemos un sistema de coordenadas con el origen en el punto más bajo A de la cuerda (ver Figura 5.4). Sea AB un trozo de cuerda en equilibrio. Las fuerzas que actúan sobre AB son: la tensión S de la cuerda en A, que es horizontal, la tensión T de la cuerda en B, que tiene la misma dirección de la tangente a la curva en ese punto, y el peso del trozo de cuerda P , que tiene dirección vertical. Como se supone que la cuerda es homogénea, si su densidad lineal es ρ entonces la magnitud de su peso es ρgl, donde l es la longitud del arco AB y g la aceleración de la gravedad. La ~ + T~ + P~ = ~0, que proyectada sobre cada condición para que haya equilibrio es S eje nos da S ρgl

= =

T cos α T sen α

Por lo tanto f ′ (x) = tg α =

ρgl . S

Poniendo a = ρg/S y derivando resulta p dl = a 1 + (f ′ (x))2 . dx Dividiendo por la raíz cuadrada, queda f ′′ (x) = a

f ′′ (x) p = a, 1 + (f ′ (x))2

106


Figura 5.4: Catenaria √ y recordando que (argsh x)′ = 1/ 1 + x2 , se tiene (argsh(f ′ (x)))′ = a, es decir que argsh(f ′ (x)) = ax + C. Pero evaluando en x = 0 queda C = 0, es decir argsh(f ′ (x)) = ax, de donde f ′ (x) = sh(ax), y entonces f (x) = (1/a) ch(ax)+D. Evaluando en x = 0 queda 0 = 1/a + D, es decir que D = −1/a y finalmente f (x) =

1 1 ch(ax) − . a a

Puesto que f (0) = f ′ (0) = 0, f ′′ (a) = a y f ′′′ (0) = 0, se tiene 1 1 a ch(ax) − = x2 + o(x3 ), a a 2 por lo tanto para |x| pequeño la catenaria se puede aproximar mediante una parábola. Pero para valores grandes de |x| ambas curvas difieren mucho. Ejercicio 5.6. Halle la ecuación del Gateway Arch respecto a un sistema conveniente de coordenadas, su longitud y el área que queda bajo el arco.

5.5.

El Teorema de Torricelli

Problema: Un recipiente cilíndrico de treinta litros de capacidad tiene en su parte inferior un pequeño orificio. Si el recipiente se llena de agua, se comprueba que en 30 segundos pierde un litro de líquido por el orificio. ¿Cuánto tiempo tarda el recipiente lleno en vaciarse por completo? Este problema aparenta ser un ejercicio aritmético de primaria, de los que se resuelven por regla de tres, pero es más complejo de lo que parece. Si su

107

5.5 El Teorema de Torricelli

respuesta es 15 minutos, usted ha caido en la trampa. En realidad el recipiente tardará casi media hora en vaciarse. La explicación consiste en que el agua sale más rápido por el orificio cuando el recipiente está lleno, y la velocidad decrece a medida que éste se va vaciando. El físico y matemático italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) determinó la ley que sigue este fenómeno. Teorema de Torricelli La velocidad v a la que sale un líquido por un orificio en una vasija abierta, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el nivel del orificio, es decir p v = 2gh

(donde h es la distancia vertical desde el orificio hasta el nivel del líquido).

(Este resultado vale en condiciones ideales; en la práctica la velocidad es algo menor debido a los efectos de la viscosidad y la tensión superficial.) Sean S la sección y V0 la capacidad del recipiente cilíndrico, y s la sección del orificio. Sean V (t) el volumen y h(t) la altura del líquido que queda en el recipiente en el instante t. Entonces V (t) = Sh(t), y si en el instante t = 0 el recipiente está lleno de p tiene la condición inicial V (0) = V0 . Como la velocidad de salida del líquido es p 2gh(t), la velocidad a la que disminuye el volumen de líquido es V ′ (t) = −s 2gh(t), lo que nos lleva a la ecuación diferencial r 2gV (t) ′ V (t) = −s , S que se puede escribir en la forma

Por lo tanto

p V ′ (t) ( V (t))′ = p = −s 2 V (t) p V (t) = −s

r

r

p g t + V0 . S

g . S

(5.5)

Ahora estamos en condiciones de dar respuesta al problema planteado inicialmente: para hallar el tiempo t que tarda el recipiente en vaciarse por completo hay que resolver la ecuación V (t) = 0, lo que nos da √ V0 S t= √ . s g Ahora, si se mide el volumen en litros y el tiempo en segundos, tenemos los datos V0 = 30 y V (30) = 30 − 1 = 29. Por lo tanto, evaluando (5.5) en t = 30 se tiene r √ g √ 29 = −30s + 30, S

108


de donde se obtiene

√

S 30 √ √ = √ s g 30 − 29

y finalmente

√ √ √ √ 30 30 √ = 30 30( 30 − 29) ≈ 1785 seg = 29 min 45 seg. t= √ 30 − 29

5.6.

La cicloide es tautócrona

Consideremos una cicloide como la de la Figura 4.6 pero simetrizada respecto a la recta y = R, es decir P (ϕ) = (Rϕ − R sen ϕ, R + R cos ϕ),

0 ≤ ϕ ≤ 2π

(usamos ϕ como parámetro porque deseamos reservar t para representar el tiempo). Supongamos que el plano de la cicloide es vertical, y que un punto material de masa m está obligado a moverse por la cicloide (sin fricción) bajo la acción de un campo gravitatorio uniforme. Si el punto se coloca inicialmente en la posición P (ϕ0 ), ¿cuánto tiempo tardará en llegar al punto más bajo de la cicloide, P (π) = (π, 0)?

Figura 5.5: La cicloide es tautócrona Para resolver este problema observemos que el movimiento se puede representar expresando el parámetro ϕ en función del tiempo, como ϕ(t). Pongamos x(t) = Rϕ(t) − R sen ϕ(t), y(t) = R + R cos ϕ(t). Entonces (x(t), y(t)) es la trayectoria del punto en función del tiempo. El vector velocidad es (x(t), ˙ y(t)) ˙ = (R(1 − cos ϕ(t))ϕ(t), ˙ −Rϕ(t) ˙ sen ϕ(t)) y su módulo es v(t) =

p p ϕ x˙ 2 + y˙ 2 = Rϕ˙ 2 − 2 cos ϕ = 2Rϕ˙ sen . 2

109

5.6 La cicloide es tautócrona

Las condiciones iniciales son ϕ(0) = ϕ0 , ϕ(0) ˙ = 0. Nuestro objetivo es hallar t1 tal que ϕ(t1 ) = π. Por la ley de conservación de la energía, se tiene que 1 mv 2 (t) + mgy(t) = 0 + mgy(0) = mgR(1 + cos ϕ0 ), 2 de donde se sigue que 2 ϕ0 2 ϕ(t) v (t) = 2gR(cos ϕ0 − cos ϕ(t)) = 4gR cos − cos 2 2 2

y entonces r ϕ ϕ0 ϕ − cos2 . 2Rϕ˙ sen = v(t) = 2 gR cos2 2 2 2 De aquí se obtiene r ϕ˙ sen ϕ2 g p . ϕ0 ϕ = 2 2 R cos 2 − cos 2 √ pongamos a = cos ϕ20 . Recordando que (arc sen xa )′ = 1/ a2 − x2 se obtiene r ′ −ϕ˙ sen ϕ2 1 ϕ 1 g =− arc sen cos = p 2 , a 2 2 R 2 a − cos2 ϕ2 de donde

1 ϕ arc sen cos a 2

r

t =− 2

r

g π + , R 2

g + C. R

poniendo t = 0 se obtiene C = arc sen 1 = π/2, por lo tanto r 1 ϕ t g π arc sen cos =− + , a 2 2 R 2 y poniendo t = t1 queda 0=− de donde

t1 2

t1 = π

s

R . g

Lo notable de este resultado es que no depende de ϕ0 , es decir que desde cualquier punto de la cicloide que se deje caer el punto, ¡siempre tarda lo mismo en llegar al punto más bajo! Esto le valió a la cicloide el apelativo de curva tautócrona (o isócrona), que significa tiempos iguales. Huygens utilizó esta propiedad de la cicloide para construir un péndulo isócrono, es decir un péndulo en el cual el período de las oscilaciones no depende de la amplitud de las mismas, como en los péndulos ordinarios. Para lograr que la lenteja del péndulo siguiera una trayectoria cicloidal, Huygens aprovechó el hecho de que la involuta de una cicloide es otra cicloide (ver Ejemplo 4.8, pág. 78).

110


Figura 5.6: Péndulo isócrono

5.7.

El problema de la braquistócrona

Es interesante notar que en algunos casos la física no só1o planteó problemas matemáticos, sino que también ayudó a resolverlos. Un ejemplo muy hermoso de esto lo encontramos en el problema de hallar una curva en un plano vertical que una dos puntos O y P , de tal manera que un punto material, moviéndose sobre ]a curva sin fricción, descienda de O a P en el menor tiempo posible. Esta curva fue llamada curva del más rápido descenso, o braquistócrona, del griego βραχυς (pequeño, corto, breve) y χρoνoς (tiempo). Observemos que si bien la línea recta entre O y P es la de menor longitud, a menos que O y P se encuentran en la misma vertical no es la de menor tiempo de descenso. Este problema fue planteado por Johann Bernoulli, en 1696, como un desafío matemático. Para resolver el problema consideremos un sistema de ejes cartesianos con origen en el punto O, eje Oy vertical dirigido hacia abajo y eje Ox horizontal. Si la partícula parte del origen O con velocidad nula, entonces √ como sabemos su velocidad en cualquier punto de la trayectoria será v = 2gy, fórmula que Bernoulli conocía perfectamente. Esto lo llevó a relacionar el problema con la óptica: un rayo de luz que pasa de un medio a otro en el cual la velocidad de propagación es distinta, cambia de dirección. Si la velocidad de propagación varía de modo continuo, la trayectoria del rayo será curva. Pero según el principio de Fermat, la luz sigue una trayectoria que minimiza el tiempo empleado para ir de un punto a otro. Esto significa que si tuviésemos un medio transpa√ rente en el cual la velocidad de la luz variase de acuerdo con la ley v = 2gy, entonces podríamos utilizar rayos de luz para resolver experimentalmente el problema de la braquistócrona. Bernoulli no intentó realizar el experimento, sino que a partir de este punto aplicó sus conocimientos matemáticos: llamando α al ángulo de la tangente a la curva con el eje Oy, la ley de Snell generalizada

111

5.8 Las leyes de Kepler a medios continuos nos da la ecuación sen α = k (constante) v

Por otra parte si β es el ángulo de la tangente a la curva con el eje Ox tenemos y ′ = tg β y por lo tanto 1 sen α = cos β = p 1 + (y ′ )2 .

Combinando esta ecuación con la anterior se llega a la ecuación diferencial y(1 + (y ′ )2 ) = k

(constante).

(5.6)

Para resolver esta ecuación hagamos el cambio de variable y = k sen2 u, con p p ′ ′ lo cual y = 2ku sen u cos u, k/y − 1 = 1/ sen2 u − 1 = ctg u y la ecuación (5.6) queda 2ku′ sen u cos u = ctg u, o bien 2ku′ sen2 u = 1, y como 2 sen2 u = 1 − cos 2u queda ku′ (1 − cos 2u) = 1.

Pero (2u − sen 2u)′ = (2 − 2 cos 2u)u′ , y la ecuación anterior se puede escribir como (2u − sen 2u)′ = 2/k, de donde 2u − sen 2u = (2/k)x + C. Pero como para x = 0 es u = 0, resulta C = 0 y nos queda x = ku −

k sen 2u, 2

y = k sen2 u =

k (1 − cos 2u). 2

Finalmente, si ponemos R = k/2 y t = 2u queda x = R(t − sen t),

y = R(1 − cos t)

que son las ecuaciones paramétricas de una cicloide La solución de Bernoulli al problema de la braquistócrona posee una gran belleza, debido al o inesperado entre dos ramas de la física (la mecánica y la óptica) por intermedio de un mismo modelo matemático. Este problema y otros semejantes tuvieron enorme importancia para el desarrollo posterior de la Matemática y de la Física. Condujeron al Cálculo de Variaciones, que desarrollarían Euler, Lagrange y otros, y a la fundamentación de la Mecánica sobre principios variacionales.

5.8.

Las leyes de Kepler

Johannes Kepler (1571–1630) fue una de las figuras clave de la revolución científica. A partir de observaciones astronómicas muy precisas obtenidas por el astrónomo Tycho Brahe, Kepler dedujo sus leyes del movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. La primera ley, enunciada en 1609, afirma que los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, con el Sol situado en uno de los focos.

112


La segunda ley dice que el radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Y la tercera ley, enunciada en 1618, establece que el cuadrado del período orbital de cada planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol. Isaac Newton estudió las obras de Kepler y las relacionó con sus propias investigaciones. El estudio de las leyes empíricas de Kepler lo condujo a formular su ley de la gravitación universal, y a partir de ésta y de su ley fundamental de la dinámica consiguió deducir matemáticamente las leyes de Kepler. La ley de la gravitación universal de Newton dice que la fuerza ejercida por un punto material de masa M ubicado en el origen O sobre otro punto material de masa m, con vector de posición P , es F (P ) = −

Figura 5.7: Kepler

GM m P, |P |3

(5.7)

siendo G la constante de gravitación universal, cuyo valor es aproximadamente 6,67·10−11 m3 /(kg s2 ). Observe que el módulo de esta fuerza es GM m/|P |2 , lo que habitualmente se enuncia diciendo que dos cuerpos se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Pero (5.7) es un enunciado más preciso pues especifica también la dirección y sentido de la fuerza. Si P (t) es el vector posición en el instante t del punto de masa m entonces, por la ley fundamental de la dinámica de Newton F (P ) = mP¨ , que combinada con (5.7) nos da GM P¨ = − 3 P, (5.8) |P | Una primera consecuencia de esto es que . (P ∧ P˙ ) = P˙ ∧ P˙ + P ∧ P¨ = 0,

ya que el producto vectorial de vectores colineales es nulo. Por lo tanto P ∧ P˙ = ~k

(constante).

(5.9)

Esta relación se conoce como conservación del momento angular, y tiene como consecuencia inmediata que el movimiento se efectúa en el plano perpendicular al vector ~k que pasa por el origen. Tomando un sistema de coordenadas polares r, ϕ en ese plano se puede representar el punto como P = reiϕ , y entonces P˙ P¨

= =

re ˙ iϕ + rϕie ˙ iϕ , 2

(¨ r − rϕ˙ )e

iϕ

(5.10) iϕ

+ (2r˙ ϕ˙ + rϕ)ie ¨ .

(5.11)

113

5.8 Las leyes de Kepler La ley fundamental de la dinámica nos da GM P¨ = − 2 eiϕ , r y en vista de (5.11) obtenemos r¨ − rϕ˙ 2

= −

GM , r2

2r˙ ϕ˙ + rϕ¨ = 0.

(5.12) (5.13)

De (5.13) se obtiene . (r2 ϕ) ˙ = 2rr˙ ϕ˙ + r2 ϕ¨ = r(2r˙ ϕ˙ + rϕ) ¨ = 0, y por lo tanto r2 ϕ˙ = k

(constante)

(5.14)

(esto también se puede obtener directamente de (5.9)).

Figura 5.8: Segunda ley de Kepler Si ϕ˙ se anula en algún instante, entonces será siempre nula y ϕ será constante. Esto significa que el movimiento es en línea recta y la ley del mismo se halla resolviendo la ecuación diferencial r¨ = −GM/r2 . Ejemplo 5.6. ¿Qué velocidad debe alcanzar un cohete lanzado verticalmente desde la superficie terrestre para escapar al campo gravitatorio de la Tierra? 2 Solución: La ecuación del movimiento del cohete .es r¨ = −GM/r , y multipli. 2 2 cando por r˙ resulta r¨r˙ = −GM r/r ˙ , o bien (r˙ /2) = (GM/r) . Poniendo v = r˙ queda v 2 = 2GM/r + E, donde E es una constante. Si el cohete se lanza con velocidad inicial v0 desde la superficiepterrestre entonces E = v02 − 2GM/R, donde R es el radio terrestre. Si v0 > 2GM/R entonces E > 0 y la velocidad del cohete será siempre positiva, escapando al campo gravitatorio terrestre. Sustituyendo los valores aproximados M = 5,974× 1024 kg, R = 6378 km (en el ecuador), G = 6,67 × 10−11 m3 /(kg s2 ), resulta

114


p 2GM/R ≈ 12,5 × 107 m2 /(s2 ) y 2GM/R ≈ 11,2 km/s, o 40320 km/h. Ésta es la llamada velocidad de escape, pues en ausencia de otros cuerpos celestes (como el Sol) permitiría al cohete alejarse de la Tierra indefinidamente. La tecnología actual permite lanzar cohetes que alcanzan una velocidad de 50000 km/h, lo que hace posible enviar misiones a planetas lejanos. Ejercicio 5.7. Sabiendo que la masa del Sol es aproximadamente 2 × 1030 kg, y la distancia de la Tierra al Sol aproximadamente 150 × 106 km, ¿qué velocidad debería alcanzar un cohete lanzado desde la Tierra para escapar del sistema solar? En lo sucesivo supondremos que ϕ˙ no se anula. Entonces de (5.14) se puede deducir la segunda ley de Kepler. En efecto, sea A(ϕ) el área barrida por el radio vector OP medida a partir de ϕ0 = ϕ(0). Para ∆t pequeño, el área barrida por el radio vector OP desde el instante t hasta el t + ∆t es aproximadamente igual al área del triángulo de vértices O, P (t) y P (t + ∆t), es decir A(ϕ(t + ∆t)) − A(ϕ(t)) ≈ 12 r(t)r(t + ∆t) sen(∆ϕ), siendo ∆ϕ = ϕ(t + ∆t) − ϕ(t). Dividiendo entre ∆t y tomando límites para ∆t → 0 resulta . A(ϕ(t)) = l´ım

1 r(t)r(t ∆t→0 2

+ ∆t)

sen(∆ϕ) ∆ϕ 1 k = r2 (t)ϕ(t) ˙ = . ∆ϕ ∆t 2 2

Por lo tanto A(ϕ(t)) = kt/2, lo que muestra que en tiempos iguales el radio vector barre áreas iguales. Pongamos ahora p = k 2 /(GM ) y u = p/r. Entonces r = p/u y ϕ˙ = k/r2 = (k/p2 )u2 . Usando ′ para denotar la derivada respecto a ϕ se tiene r˙ = −

p ′ k u ϕ˙ = − u′ , u2 p

y derivando una vez más respecto a t k k k2 r¨ = (r) ˙ ′ ϕ˙ = − u′′ 2 u2 = − 3 u′′ u2 . p p p Sustituyendo en (5.12) se obtiene −

k 2 ′′ 2 k 2 3 GM 2 k2 2 u u − u = − u = − u , p3 p3 p2 p3

y dividiendo entre −k 2 u2 /p3 queda la ecuación diferencial u′′ + u = 1,

115

5.8 Las leyes de Kepler

la cual ya hemos visto cómo se resuelve. Puesto que tiene la solución particular u = 1, la solución general será u = 1 + ǫ cos(ϕ− ϕ0 ), donde ǫ y ϕ0 son constantes arbitrarias. Por lo tanto r=

p , 1 + ǫ cos(ϕ − ϕ0 )

que es la ecuación de una cónica de excentricidad ǫ, como se vió en el Ejemplo 4.15 pág. 89. Los planetas del sistema solar tienen órbitas elípticas de pequeña excentricidad. La de la Tierra es apenas 0,0167, y las mayores son las de Plutón (0,2488) y Mercurio (0,2056). Los cometas presentan órbitas de mayor excentricidad, por ejemplo la del cometa Halley es 0,967. Para obtener la tercera ley de Kepler supongamos que la trayectoria es elíptica, es decir que ǫ < 1. Entonces la menor distancia a O se produce cuando ϕ = ϕ0 , y es p/(1 + ǫ). La mayor distancia se produce cuando ϕ = ϕ0 + π, y es p/(1 − ǫ). El eje mayor de la elipse es entonces 2a =

p 2p p + = , 1+ǫ 1−ǫ 1 − ǫ2

Por lo tanto a = p/(1 − ǫ2 ), c = aǫ y b2 = a2 − c2 = a2 (1 − ǫ2 ) = ap. Si T es el período, entonces el área barrida por OP en el tiempo T es el área completa de la elipse, es decir πab (ver Ejemplo 2.29 pág. 53). Es decir que πab = kT /2, de donde T = 2πab/k, y como k 2 = pGM y p = b2 /a, nos queda T2 =

4π 2 a2 b2 4π 2 a2 b2 4π 2 a3 = = , 2 k pGM GM

es decir que T 2 /a3 = 4π 2 /(GM ) (constante). En realidad el comportamiento del sistema solar es bastante más complejo de lo que predicen las leyes de Kepler, debido a las interacciones gravitatorias de los diferentes cuerpos que lo componen entre sí. Así por ejemplo las desviaciones del movimiento del planeta Urano de la órbita predicha por las leyes de Newton y Kepler llevaron al matemático francés Urbain Le Verrier (1811–1877) a descubrir un nuevo planeta mediante el cálculo, sin haberlo visto nunca. Con las coordenadas proporcionadas por Le Verrier el astrónomo alemán Johann G. Galle localizó en septiembre de 1846 al nuevo planeta, llamado Neptuno, ¡a menos de un grado de la posición calculada por Le Verrier! Cálculos similares fueron realizados independientemente por el inglés John Couch Adams (1819–1892).

Capítulo 6

Aplicaciones a otras ciencias 6.1.

Modelos Ecológicos

6.1.1.

Modelo Exponencial

La ecuación diferencial y ′ = ky, que se analizó en el capítulo precedente a propósito de la desintegración radioactiva, puede aplicarse a muchos otros fenómenos naturales, entre ellos a las reacciones químicas de primer orden, como por ejemplo la descomposición del peróxido de hidrógeno H2 O2 en agua y oxígeno. El mismo modelo se aplica a la reproducción de organismos vivos. En efecto, si n es la tasa de natalidad (número de nacimientos per cápita en la unidad de tiempo) y m la tasa de mortalidad (número de muertes per cápita en la unidad de tiempo), entonces la variación ∆y del tamaño de la población en un intervalo de tiempo ∆t es ∆y = ny∆t − my∆t, es decir que

∆y = ny − my ∆t y tomando límites cuando ∆t → 0 queda y ′ = (n − m)y. Si k = n − m entonces la solución, como ya sabemos, es de la forma y = y0 ekt , donde y0 es la población en el instante t = 0. Si n > m el crecimiento de la población es exponencial, como observó Thomas Malthus (1766–1834) para el caso de la especie humana. Si n = M entonces la población permanece estacionaria, y si n < m entonces decae exponencialmente. En el caso de las bacterias, cuando una población se encuentra en un nuevo ambiente, pasa primero por una fase de adaptación, con lento crecimiento y elevada tasa de biosíntesis de las proteínas necesarias para un rápido crecimiento.

117

6.1 Modelos Ecológicos

En una segunda fase, si hay una elevada concentración de nutrientes, las bacterias crecen hasta un tamaño fijo y luego se reproducen en forma asexuada, por fisión binaria. Este proceso tarda, según el tipo de bacteria, entre 15 y 30 minutos. El crecimiento es exponencial, y en pocas horas pueden llegar a miles de millones. Ejemplo 6.1. Las bacterias de cierta colonia, en su período exponencial, se dividen en dos cada 23 minutos. Si inicialmente hay 100 bacterias, cuántas habrá al cabo de 8 horas? Solución: Se tiene y(t) = 100ekt , y como y(23) = 100e23k = 200 se tiene e23k = 2. La respuesta es y(480) = 100e480k = 100(e23k )480/23 = 100·2480/23 ≈ 191586598.

6.1.2.

Modelo logístico

Durante la fase exponencial del crecimiento de una población bacteriana los nutrientes también son metabolizados a velocidad exponencial. Esto conduce a su agotamiento y por lo tanto el crecimiento se aminora o se detiene. Uno de los modelos más sencillos que se ha propuesto para representar este comportamiento es el llamado modelo logístico, caracterizado por la ecuación y . y ′ = ky 1 − b

(6.1)

Mientras y sea pequeño en relación a b, este modelo se comporta de modo similar al exponencial y ′ = ky. Pero si y se acerca a b la tasa de crecimiento disminuye, hasta hacerse 0 para y = b, que actúa así como una barrera para y.

Figura 6.1: Modelo logístico Las soluciones de (6.1) tales que 0 < y(t) < b pueden hallarse observando que b 1 1 = + , y(b − y) y b−y

118

Aplicaciones a otras ciencias

por lo tanto (log(y) − log(b − y))′ =

y′ y′ by ′ + = = k, y b−y y(b − y)

es decir log(y) − log(b − y) = kx + C

para alguna constante C, de donde y/(b − y) = ekx+C y se despeja y=

bekx+C . 1 + ekx+C

Si y0 = y(0) = beC /(1 + eC ) entonces eC = y0 /(b − y0 ) y y=

6.1.3.

by0 ekx by0 ekx = . (b − y0 )(1 + ekx eC ) b + y0 (ekx − 1)

Modelo predador-presa

A mediados de la década de 1920 el biólogo italiano Umberto D’Ancona estudió datos sobre la pesca en el mar Adriático, durante los años de la Primera Guerra Mundial (1914-1918) y siguientes. Observó que el porcentaje de seláceos (tiburones, rayas, jureles, etc.) en el total de peces capturados había aumentado mucho durante la guerra. Pensó que esto se debía al reducido nivel de pesca durante este periodo, que al dejar más peces pequeños para alimento de los grandes, hacía que la población de éstos aumentara. Pero el número de peces pequeños, en vez de aumentar, disminuía. Entonces D’Ancona consultó a su suegro, el matemático Vito Volterra (1860-1940), quien formuló un modelo matemático para este problema. El modelo asume un sistema cerrado con dos especies, predadores y presas, y se basa en los supuestos siguientes: 1) las presas tienen fuentes de alimento ilimitadas, y en ausencia de predadores crecerían exponencialmente, 2) los predadores solamente se alimentan de las presas, y en su ausencia mueren, 3) la tasa de mortalidad de las presas es directamente proporcional al número de predadores, y 4) la tasa de natalidad de los predadores es directamente proporcional al número de presas. Llamando x(t) al número de presas e y(t) al número de predadores, en el instante t, Volterra planteó el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: x˙ = y˙ =

x(a − by), −y(c − dx),

(6.2) (6.3)

donde a, b, c y d son constantes positivas que se pueden interpretar así: a es la tasa de natalidad de las presas; c es la tasa de mortalidad de los predadores; la tasa de mortalidad de las presas es by, que es proporcional al número de predadores, siendo b la constante de proporcionalidad; la tasa de natalidad de los predadores es dy, que es proporcional al número de presas, siendo d la constante de proporcionalidad. Se observa que, en ausencia de predadores, la población de

119

6.1 Modelos Ecológicos

presas crecería exponencialmente (x˙ = ay); análogamente, en ausencia de presas la población de predadores decaería exponencialmente (y˙ = −cy). Este modelo fue propuesto independientemente por Alfred James Lotka (1880–1949), en relación con otro problema, por lo cual actualmente se le llama modelo de Lotka-Volterra. A pesar de las simplificaciones realizadas para obtenerlo, en muchos casos el modelo describe apropiadamente la realidad. No es fácil obtener una solución explícita para este sistema, sin embargo se puede resolver por métodos numéricos, y se puede analizar cualitativamente su comportamiento. Busquemos en primer lugar soluciones constantes x = α, y = β. Entonces x˙ = y˙ = 0, y nos queda 0 = 0 =

x(a − by),

−y(c − dx),

que tiene la solución trivial (0, 0) y la solución x = c/d, y = a/b, las cuales se interpretan como puntos de equilibrio del sistema. Para a = b = c = d = 1 la figura siguiente muestra las gráficas de las soluciones x(t) e y(t)) en función del tiempo, para las condiciones iniciales x(0) = 1 e y(0) = 1,5 (fueron obtenidas con el programa MAPLE). Como se puede apreciar son funciones periódicas desfasadas (una parece seguir, con retardo, a la otra). Puede probarse que en general este es el tipo de comportamiento del modelo.

1,4

1,2

x 1

0,8

0,6 0

2

4

6

8

10

12

t

Figura 6.2: Soluciones de Lotka-Volterra Si se representan las soluciones en el plano xy (llamado el espacio de fases) resulta una curva (x(t), y(t)). En la figura siguiente se muestran las gráficas de cuatro soluciones (x(t), y(t)) que satisfacen las condiciones iniciales (1, 3/2),

120


(1, 2), (1, 5/2) y (1, 3). Como se ve son órbitas periódicas alrededor del punto de equilibrio (1, 1).

3

2,5

2

1,5

1

0,5

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Figura 6.3: Espacio de fases Los dos puntos de equilibrio tienen un comportamiento muy distinto. El (1, 1) tiene la propiedad de que, si una solución parte de un punto suficientemente cercano a él, entonces se mantendrá siempre cercana a él. Por esta razón se dice que este punto de equilibrio es estable (en realidad hay varias definiciones de estabilidad, pero aquí nos contentaremos con esta noción sencilla; para más detalles vea [6]). El punto de equilibrio (0, 0), en cambio, no es estable, ya que la solución que parte de (ǫ, 0), por pequeño que sea ǫ > 0, tiende a infinito. El modelo predador-presa es un ejemplo de sistema dinámico. Una importante rama de la matemática se ocupa de estudiar estos sistemas, que se caracterizan por evolucionar en el tiempo. Entre los aspectos estudiados se hallan los puntos de equilibrio, la estabilidad de las soluciones, la existencia de órbitas periódicas o casi periódicas, los conjuntos atractores y repulsores, etc. El comportamiento de un sistema dinámico puede ser extremadamente complejo y en la práctica impredecible; en estos casos se dice que hay caos. Esto puede ocurrir incluso en sistemás mecánicos sencillos, como el doble péndulo.

6.2.

Economía

El análisis matemático de la Economía tiene una gran complejidad y exige herramientas matemáticas que van mucho más allá del cálculo, entre ellas la teoría de probabilidades, la teoría de juegos, los sistemas dinámicos y posible-

121

6.2 Economía

mente nuevas ramas de la matemática que aún no se han desarrollado. Por eso los ejemplos siguientes son necesariamente muy sencillos y sólo pretenden mostrar que la aplicación de la matemática a la economía va mucho más allá de la mal llamada matemática financiera.

6.2.1.

Índice de precios e inflación En el otoño de 1972 el presidente Nixon anunció que la tasa de aumento de la inflación estaba disminuyendo. Ésta fue la primera vez que un presidente en ejercicio usó la tercera derivada para promover su reelección. Hugo Rossi, [11].

El índice de precios al consumidor (IPC) es un valor ponderado que se calcula a partir del consumo que una unidad familiar media realiza en un periodo de tiempo determinado. La inflación es la tasa de variación del IPC respecto al tiempo, es decir la primera derivada del IPC respecto al tiempo. La “tasa de aumento de la inflación” es entonces la segunda derivada del IPC, y la afirmación del presidente Nixon equivale entonces a decir que la tercera derivada del IPC era negativa. Sería interesante saber cuántas personas entendieron, al escuchar el anuncio de Nixon, que no sólo los precios sino la inflación estaban aumentando, sólo que ésta última había pasado por un punto de inflexión. El análisis de las causas y remedios de la inflación es bastante complejo, y como suele suceder en economía ha dado lugar al planteamiento de diversas teorías, no solo diferentes sino hasta contradictorias.

6.2.2.

Precios, oferta y demanda

El clásico modelo económico de la oferta y la demanda postula que, en un mercado libre, la cantidad de productos ofrecidos por los productores y la cantidad de productos demandados por los consumidores dependen del precio de mercado del producto. La oferta es una función creciente f (p) del precio, mientras que la demanda es una función por lo común decreciente d(p). La llamada ley de la oferta y la demanda afirma que el precio de un bien tiende a situarse en un punto de equilibrio pe para el cual se intersectan las curvas de oferta y demanda, es decir f (pe ) = d(pe ). Si un productor es monopólico (es el único que produce un bien determinado) y conoce la función de demanda d(p), entonces puede calcular el precio del bien y su oferta de modo de maximizar su ganancia. Si el costo de producir una unidad del bien es c, entonces la ganancia al vender d(p) unidades al precio p será g(p) = (p − c)d(p). El valor po que haga máximo el valor de g será el que maximiza la ganancia, y la oferta deberá ser d(po ). Ejemplo 6.2. Si d(p) = 10000e−p/2 y c = 4, entonces g(p) = A(p − 5)e−p/2 (con A = 10000) y g ′ (p) = Ae−p/2 − Ae−p/2 (p − 4)/2 = Ae−p/2 (6 − p)/2, por lo tanto la máxima ganancia se alcanza para po = 6, y deberán ofertarse d(6) = 10000e−3 ≈ 498 unidades del producto.

122


Figura 6.4: Curvas de oferta y demanda Naturalmente que en la realidad la situación es mucho más complicada, pues intervienen factores como la competencia y las estrategias que los empresarios adoptan para enfrentarse a ellas, desde campañas publicitarias hasta guerras de precios. Además intervienen factores subjetivos muy difíciles de cuantificar y prever, como la evolución de los gustos de los consumidores. La mano invisible es una metáfora mediante la cual el filósofo y moralista escocés Adam Smith (1723–1790), en su famosa obra Una investigación sobre la naturaleza y causas de la riqueza de las naciones, intentaba explicar la existencia de un orden económico natural, según el cual la busca del interés privado por cada particular conduciría a la satisfacción del interés general, con tanta más eficacia cuanto menos interviniese el Estado. Este argumento acerca de una poderosa fuerza reguladora del mercado, que si no es interferida por las políticas gubernamentales llevaría los precios hacia un deseado punto de equilibrio entre la oferta y la demanda, ha seguido siendo esgrimido hasta el día de hoy por políticos, empresarios y hasta algunos economistas. Hasta hace poco quienes invocaban esta supuesta “ley” lo hacían como si se tratara de una ley de la naturaleza, comprobada e irrefutable. Pero la crisis mundial de la economía que estalló en el año 2008 hizo evidente, de manera dramática, la inestabilidad del sistema económico mundial. Pero desde el punto de vista matemático hace tiempo que se sabía que la supuesta autoregulación del mercado carecía del más mínimo sustento matemático. En 1995, Donald Saari [12] mostró que, por el contrario, incluso los sencillos modelos utilizados en los cursos introductorios de economía pueden exhibir una dinámica más complicada que los de la física clásica o la biología. En un modelo simple de economía de intercambio que analiza, aparecen atractores extraños y todo tipo de complejidades.

6.2 Economía

123

Por lo tanto sólo nos queda pensar que los defensores de la teoría de la “mano invisible” lo hacen por ignorancia o porque sus intereses políticos o económicos privan sobre su honestidad intelectual.

Soluciones a ejercicios seleccionados Ejercicio 2.1 (pág. 15) √ El único axioma que requiere atención especial es el A8, ya que si a+b √2 6= 0 (con a, b ∈ Q) entonces ciertamente existe el inverso multiplicativo (a√ + b 2)−1 en R, pero es necesario probar que hay inverso multiplicativo en Q( 2). Pero esto es inmediato, ya que √ √ √ 1 a−b 2 a b √ = √ √ = 2 2 ∈ Q( 2). − 2 2 2 a − 2b a − 2b a+b 2 (a + b 2)(a − b 2) Ejercicio 2.2 (pág. 15) Si c = sup A entonces c es cota superior de A y, como es la mínima cota superior, si b < c entonces b no es cota superior de A; por lo tanto existe a ∈ A tal que b < a, y como a ≤ c se tiene b < a ≤ c. Recíprocamente, si c es una cota superior de A y para todo b < c existe a ∈ A tal que b < a ≤ c, entonces c es la mínima cota superior de A. En efecto, si existiese una cota superior c′ < c, entonces en el intervalo (c′ , c) no habría ningún elemento de A. Análogamente se prueba que d = ´ınf A si y sólo si d es cota inferior de A y, para todo b > d, existe a ∈ A tal que d ≤ a < b. Ejercicio 2.3 (pág. 17) Es inmediato que todo intervalo es convexo. Recíprocamente, sea A ⊂ R un convexo. Si A es vacío entonces A = (0, 0) = ∅. Supongamos A 6= ∅ y sea a ∈ A. Si A no es acotado superiormente, entonces para cualquier x > a existe y ∈ A tal que y ≥ x, por lo tanto x ∈ [a, y] ⊂ A . Como esto ocurre para todo x > a, concluimos que [a, +∞) ⊂ A. Análogamente, si A no es acotado inferiormente, entonces (−∞, a) ⊂ A. Supongamos ahora que A es acotado superiormente y sea c = sup A. Si a < x < c entonces por el ejercicio anterior existe un a′ ∈ A tal que x < a′ ≤ c, y por la convexidad de A se tiene x ∈ [a, a′ ] ⊂ A. Por lo tanto [a, c) ⊂ A, y si c ∈ A entonces [a, c] ⊂ A. Esto prueba que A ∩ [a, +∞) es un intervalo (ya que es [a, +∞), o [a, c) o [a, c]). Del mismo modo se prueba que A ∩ [−∞, a) es un intervalo y entonces A es la unión de dos intervalos con el extremo común a, que es un intervalo.

Ejercicio 2.4 (pág. 17) (a) c ∈ R es cota superior de A ⇐⇒ a ≤ c para todo a ∈ A ⇐⇒ −a ≥ −c para todo a ∈ A ⇐⇒ x ≥ −c para todo x ∈ −A ⇐⇒ −c es cota inferior de −A. (b) c = sup A ⇐⇒ c es la mínima cota superior de A ⇐⇒ −c es la máxima cota inferior de −A ⇐⇒ −c = ´ınf −A.

Ejercicio 2.5 (pág. 17) Si A es un conjunto no vacío y acotado inferiormente de números reales, entonces −A es un conjunto no vacío y acotado superiormente, por lo tanto existe c = sup −A, y por el ejercicio anterior −c es ínfimo de A. Análogamente, del principio del ínfimo se deduce el principio del supremo, y por lo tanto ambos principios son equivalentes. Ejercicio 2.11 (pág. 20) Como f no es creciente, existen a, b ∈ I tales que a f (b). Consideremos los intervalos I1 = {x ∈ I : x ≤ a}, I2 = {x ∈ I : a ≤ x ≤ b}, I3 = {x ∈ I : b ≤ x}. Si f fuese decreciente en los tres, entonces sería decreciente en I. Por lo tanto f no es decreciente en algún Ij , es decir que existen c, d ∈ Ij tales que c < d y f (c) < f (d). Ahora se presentan tres casos: j = 1: En este caso c < d ≤ a < b. Si f (d) ≤ f (a) entonces f (c) < f (a) > f (b) y listo. Si en cambio f (d) > f (a) entonces f (c) < f (d) > f (a). j = 2: En este caso a ≤ c < d ≤ b. Si f (a) > f (c), entonces f (a) > f (c) < f (d). Si en cambio f (a) ≤ f (c), entonces f (a) < f (d) > f (b) y listo.

j = 3: En este caso a f (b) < f (d). Si en cambio f (b) > f (c), entonces f (a) > f (c) < f (d).

Ejercicio 2.14 (pág. 21) Si existiese L = l´ımx→c h(x), tomando por ejemplo U = (L − 1/4, L + 1/4) debería existir un entorno reducido V ∗ de c tal que, si x ∈ V ∗ entonces f (x) ∈ U . Pero en V ∗ hay tanto racionales como irracionales, por lo tanto f tomaría en V ∗ tanto el valor 1 como el 0. Pero esto es absurdo pues U no tiene dos elementos que difieran en 1. Ejercicio 2.19 (pág. 22) Sea f : (a, b) → R monótona creciente. Si f no es acotada superiormente, es evidente que l´ımx→b− f (x) = +∞. Si f es acotada superiormente, por el principio del supremo existe L = sup{f (x) : a < x < b}. Entonces l´ımx→b− f (x) = L. En efecto, dado ǫ > 0 existe c ∈ (a, b) tal que L − ǫ < f (c) ≤ L (ver Ejercicio 2.2, pág. 15). Por lo tanto, si c < x < b, L − ǫ < f (c) ≤ f (x) ≤ L. Análogamente se prueba la existencia de l´ımx→a+ f (x). Ejercicio 2.23 (pág. 23) No, pues en este ejemplo no se cumplen las hipótesis del Teorema 2.1. Específicamente, g no envía ningún entorno reducido del 0 en un entorno reducido del 0. Ejercicio 2.24 (pág. 24)

p Sean f (x) = 1/x, g(x) = x, h(x) = |x|, k(x) = x sin(1/x). Entonces l´ımx→0 f (x) = ∞, l´ımx→0 g(x) = l´ımx→0 h(x) = l´ımx→0 k(x) = 0, l´ımx→0 f (x)g(x) = 1, l´ımx→0 f (x)h(x) = ∞ y l´ımx→0 f (x)k(x) no existe. Ejercicio 2.27 (pág. 26) 1 1 a) l´ımx→0 (1 + x) x2 no existe, ya que l´ımx→0− (1 + x) x2 = 0 pero 1 l´ımx→0+ (1 + x) x2 = +∞. 1 b) l´ımx→0 (1 + x) x = e. 1 c) l´ımx→0+ (1 + |x|) x2 = +∞. Ejercicio 2.28 (pág. 28) Es inmediato si se usa la caracterización del supremo dada en el Ejercicio 2.2 (pág. 15). Ejercicio 2.29 (pág. 28) √ La sucesión xn está acotada superiormente por 2, ya√que x1 = √2 < 2 y si se supone inductivamente que xn < 2, entonces xn+1 = 2 + xn < 2 + 2 = 2. Además xn es creciente, ya que √ xn+1 se obtiene sustituyendo el 2 del radical más interior en xn por 2 + 2. Entonces, por el ejercicio precedente, existe L = l´ımx→+∞ xn . Como x2n+1 = 2 + xn , tomando límite en ambos resulta L2 = 2 + L, y descartando la raíz negativa queda L = 2. Ejercicio 2.31 (pág. 29) Es continua en todo punto excepto en los enteros, en los cuales presenta discontinuidades de salto. Ejercicio 2.32 (pág. 29) Es continua en todo punto. La única duda podría presentarse en 0, pero dado ǫ > 0, si 0 < |x| < ǫ entonces |x sen x1 | ≤ |x| < ǫ. Por lo tanto también es continua en 0. Ejercicio 2.33 (pág. 31) Sean f (t) la distancia a la que está Francisca del muelle en el instante t, y g(t) la distancia de Gabriel al muelle en el instante t. El dominio de f es [3, 5] y se tiene f (3) = f (5) = 0 y f (t) > 0 para 3 < t < 5. El dominio de g es [4, 6], g(4) = g(6) = 0 y g(t) > 0 para 4 < t < 6. En el intervalo [4, 5] están definidas tanto f como g, por lo tanto también lo está su diferencia h(t) = g(t) − f (t). Ahora bien, h(4) = g(4) − f (4) = −f (4) < 0, y h(5) = g(5) − f (5) = g(5) > 0. Por lo tanto, suponiendo la continuidad de f y g, la aplicación del teorema de Bolzano a la función h en el intervalo [4, 5] nos dice que existe un instante t ∈ (4, 5) tal que h(t) = 0, es decir, tal que f (t) = g(t). Ejercicio 2.34 (pág. 32) Si v está comprendido entre f (a) y f (b), entonces f (a) − v y f (b) − v son de distinto signo, y la aplicación del teorema de Bolzano a la función f (t) − v en el intervalo [a, b] nos dice que existe c ∈ (a, b) tal que f (c) − v = 0, es decir f (c) = v. Ejercicio 2.35 (pág. 32)

Que f tiene la propiedad de Darboux significa que para cualquier intervalo [c, d] ⊂ I, f toma en [c, d] todos los valores comprendidos entre f (c) y f (d), o sea que el intervalo cerrado de extremos f (c) y f (d) está contenido en f ([c, d]). Entonces f (I) es convexo y, por el Ejercicio 2.3 (pág. 17), f (I) es un intervalo. Ejercicio 2.36 (pág. 32) Si f no fuese monótona, entonces por el Ejercicio 2.11 (pág. 20) existirían a f (c) o f (a) > f (b) < f (c). En el primer caso (f (a) < f (b) > f (c)) sea v cualquier valor comprendido entre máx{f (a), f (c) y f (b). Entonces, como f es continua, por la propiedad de Darboux (Ejercicio 2.32, pág. 29) f tomaría el valor v tanto en [a, b] como en [b, c], y no sería inyectiva. En el segundo caso (f (a) > f (b) < f (c)), tomando cualquier valor v comprendido entre m´ın{f (a), f (c) y f (b) se llega igualmente a una contradicción. En consecuencia, f es monótona. Pero como es inyectiva, se sigue que debe ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Supongamos que f sea estrictamente creciente (el caso estrictamente decreciente es similar). Sea J = f (I) (que es un intervalo por el Ejercicio 2.35) y consideremos f −1 : J → I. Dado d ∈ J sea c = f −1 (d) ∈ I. Si ǫ > 0 es tal que (c − ǫ, c + ǫ) ⊂ I y f (c − ǫ) < y < f (c + ǫ), entonces c − ǫ) < f −1 (x) < c + ǫ, es decir que f −1 es continua en c. (Esta prueba requiere una pequeña adaptación si d es un punto extremo de J, pero el lector llenará sin dificultad los detalles). Ejercicio 2.37 (pág. 32) La función f (x) =

(

sen x si x 6= 0, 0 si x = 0,

no es continua en 0 pero tiene la propiedad de Darboux. Mucho más difícil es mostrar una función con la propiedad de Darboux que no sea continua en ningún punto. Pero sí existen, por ejemplo sea f : [0, 1] → R definida de la siguiente manera: Dado x ∈ [0, 1], consideremos su representación como una expresión decimal infinita x = 0.a1 a2 a3 . . . (si x ite dos de estas representaciones, escogemos la que termina en infinitos nueves). Si la sucesión a1 , a3 , a5 , a7 , . . . no es periódica, se define f (x) = 0. Si en cambio a1 , a3 , a5 , a7 , . . . es periódica y su primer período comienza en a2k−1 , se define f (x) = 0.a2k a2k+2 a2k+4 . . .. Se puede probar que esta función, en cualquier intervalo [c, d] ⊂ [0,1], toma todos los valores comprendidos entre 0 y 1, y de allí se sigue fácilmente que tiene la propiedad de Darboux pero no es continua en ningún punto. Ejercicio 2.38 (pág. 32) Sean f (xi ) y f (xj ) el mínimo y el máximo, respectivamente, de los valores f (x1 ), f (x2 ),. . . , f (xn ). Entonces f (xi ) ≤

f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≤ f (xj ) n

y el resultado es consecuencia de la propiedad de Darboux.

Ejercicio 2.40 (pág. 39) Supongamos que f es derivable en (a, b) y que para cierto c ∈ (a, b) existe l´ımx→c f ′ (x). Si x ∈ (a, b) entonces, por el teorema del valor medio, para algún ξ(x) intermedio entre c y x se tiene (f (x) − f (c))/(x − c) = f ′ (ξ(x)). Como l´ımx→c ξ(x) = c se sigue que f ′ (c) = l´ım

x→c

f (x) − f (c) = l´ım f ′ (ξ(x)) = l´ım f ′ (x). x→c x→c x−c

Ejercicio 2.41 (pág. 39) No, esa prueba sólo sería válida si se sabe que g(x) 6= g(a) en un entorno reducido de a. Ejercicio 2.42 (pág. 42) Basta hacer el cambio de variable x = 1/t y observar que d dt f (1/t) t→0 d g(1/t) dt

l´ım

= l´ım

t→0

f ′ (1/t)(−1/t2) f ′ (1/t) f ′ (x) = l´ ım = l´ ım g ′ (1/t)(−1/t2 ) t→0 g ′ (1/t) x→∞ g ′ (x)

existe, y por lo tanto f (1/t) f (x) = l´ım = l´ım x→∞ g(x) t→0 g(1/t) t→0 l´ım

d dt f (1/t) d dt g(1/t)

f ′ (x) . x→∞ g ′ (x)

= l´ım

Ejercicio 2.43 (pág. 42) Sea L = l´ımx→a f ′ (x)/g ′ (x). Observemos que f (x) f (x) − f (b) 1 − g(b)/g(x) f ′ (c) 1 − g(b)/g(x) = = ′ , g(x) g(x) − g(b) 1 − f (b)/f (x) g (c) 1 − f (b)/f (x) donde c es un punto intermedio entre a y b. Dado ǫ > 0, tomando b suficientemente próximo a a se puede lograr que f ′ (c)/g ′ (c) difiera de L en menos de ǫ/2, y como l´ımx→a (1 − g(b)/g(x))/(1 − f (b)/f (x)) = 1, si x es suficientemente grande se puede lograr que f (x)/g(x) difiera de L en menos de ǫ. Ejercicio 2.44 (pág. 43) Como x3 − 5x es una primitiva de 3x2 − 5, cualquier otra es de la forma F (x) = x3 − 5x + C. Para hallar una que en 2 valga 7 debe cumplirse F (2) = 23 − 5 · 2 + C = 7, de donde se obtiene C = 9 y la respuesta es x3 − 5x + 9. Ejercicio 2.45 (pág. 45) Aplicando la regla de L’Hôpital n veces se tiene l´ım

x→+∞

x (log x)n

= =

1 x = l´ım x→+∞ n(log x)n−1 n(log x)n−1 x1 x x l´ım = · · · = l´ım = +∞. x→+∞ n(n − 1)(log x)n−2 x→+∞ n! l´ım

x→+∞

Ejercicio 2.46 (pág. 51)

Por el teorema de Taylor (2.20) f ′′ (x) = (f (n) (c)/(n − 2)!)(x − c)(n−2) + o((x − c)(n−2) ), y entonces f ′′ (x)/(x − c)(n−2) toma el mismo signo de f (n) (c) en un entorno reducido de c. Si n es impar, como (x−c)(n−2) tiene signos diferentes a uno y otro lado de c, lo mismo pasa con f ′′ (x) y c es un punto de inflexión. Por el contrario, si n es par entonces f ′′ (x) tiene el mismo signo a uno y otro lado de c y no hay inflexión. Ejercicio 2.47 (pág. 53) Escogiendo los ejes adecuadamente la parábola es la gráfica de la función f (x) = px2 . Si A = (a, pa2 ) y B = (b, pb2 ) son dos puntos de la parábola, la ecuación de la recta AB es y = pa2 +

pb2 − pa2 (x − a) = pa2 + p(a + b)(x − a). b−a

Como pa2 + p(a + b)(x − a) − px2 = −p(x −

a+b 2 a−b 2 ) + p( ) , 2 2

se ve que el punto del arco de parábola AB más alejado del segmento AB es C = ((a + b)/2, p(a + b)2 /4). El área del triángulo ABC es 1 a pa2 1 1 3 2 1 a+b p( a+b 2 2 ) = 8 p(b − a) . 2 2 1 b pb

El área del trapecio limitado por la recta AB, el eje Ox y las rectas x = a y x = b es (pa2 + pb2 )(b − a)/2. Como (px3 /3)′ = px2 , por la regla de Barrow el área limitada por la parábola, el eje Ox y las rectas x = 1 y x = b es p(b3 −a3 )/3. Efectuando la diferencia resulta que el área del segmento parabólico es 1 1 1 p(a2 + b2 )(b − a) − p(b3 − a3 ) = p(b − a)3 , 2 3 6 que son precisamente dos tercios del área del triángulo ABC. Ejercicio 3.1 (pág. 55) Si a = 1 obviamente se cumple la igualdad para todo x ≥ −1, Supongamos entonces a > 1 y sea f (x) = (1 + x)a − (1 + ax). Como f ′ (x) = a((1 + x)a−1 − 1) es negativa en [−1, 0), nula en x = 0 y positiva en (0, +∞), es claro que para todo x ≥ −1 se tiene f (x) ≥ f (0 == 0, con igualdad si y sólo si x = 0. Ejercicio 3.2 (pág. 56) No, sólo puede afirmarse que f ′ (x) ≥ 0. Por ejemplo f (x) = x3 es estrictamente creciente en [−1, 1] pero f ′ (0) = 0. Ejercicio 3.3 (pág. 60) Sean h la altura y r el radio del envase cilíndrico. Entonces el volumen es πr2 h = 1, y h = 1/(πr2 ). El área total es la suma del àrea de las bases, 2πr2 , con el área lateral 2πrh = 2/r, es decir A(r) = 2πr2 +2/r. Como A(r) es diferenciable en (0, +∞) y l´ımr→0+ A(r) = l´ımr→+∞ A(r) = +∞, se concluye que A(r) tiene mínimo en (0, +∞) y éste se alcanza en un punto

crítico.pAhora bien, como A′ (r) =p4πr − 2/r2 , el único punto crítico corresponde a r = 3 1/(2π), y entonces h = 3 4/π = 2r. Ejercicio 3.4 (pág. 60) Sean C = (x, 0), α = ∠ACB y β = ∠OCA. Como el problema es obviamente simétrico respecto al origen, supondremos x ≥ 0. Como tg β = OA/OC = 1/x y tg(α + β) = OB/OC = 3/x se tiene tg α = tg((α + β) − β) =

3 −1 tg(α + β) − tg β 2x = x 3x = 2 , 1 + tg(α + β) tg β x +3 1 + x2

por lo tanto

2(x2 + 3) − (2x)(2x) 2(3 − x2 ) = 2 2 2 (x + 3) (x + 3)2 √ √ y se observa que (tg α)′ es positiva en√[0, 3) y negativa en ( 3, +∞), en consecuencia tg α alcanza su máximo en 3. Lo mismo ocurre con α√(ya que tg α es una función creciente de α). Como el valor máximo de tg α es 3/3, el valor máximo de α es 30◦ . (tg α)′ =

Ejercicio 3.5 (pág. 64) Recordemos que se trata de hallar el máximo de V (x) = x(a− 2x)2 en el intervalo [0, a/2]. Pero por la desigualdad aritmético-geométrica se tiene 4x(a − 2x)2 ≤

4x + (a − 2x) + a − 2x) 3

3

=

8a3 , 27

con igualdad si y sólo si 4x = a − 2x, por lo tanto V (x) ≤ 2a3 /27, con igualdad sólo para x = a/6. Ejercicio 4.22 (pág. 92) a) Por L’Hôpital, l´ım log(mα ) =

α→0

=

! Pn n X a xα log(x ) 1 α i=1 Pni i α i l´ım log ai xi = l´ım α→0 α α→0 i=1 ai xi i=1 ! Pn n n Y ai log(xi ) X ai i=1 Pn xi , = ai log(xi ) = log i=1 ai i=1 i=1

Qn de donde l´ımα→0 mα = i=1 xai i . b) Supongamos que máx{x1 , x2 , . . . , xn } = xj . Entonces para cualquier α > 0 se tiene !1/α n X α 1/α α aj xj ≤ mα (x1 , x2 , . . . , xn ) ≤ ai xj , i=1

es decir que

1/α

aj

xj ≤ mα (x1 , x2 , . . . , xn ) ≤ xj

y tomando límites cuando α → +∞ y aplicando el teorema del sándwich se obtiene el resultado deseado. La parte (c) es análoga.

Bibliografía [1] Aguilera, J., Lizana, M., Estudio Cualitativo de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Imprenta Universitaria UCV, Caracas, 1990. Hay una versión revisada: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, II Talleres de Formación Matemática, Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado, Barquisimeto, 2001. [2] Courant, R., John, F. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Ed. Limusa, México, 1976. [3] Courant, R., Robbins, H., revised by Stewart, I., What is Mathematics?, Oxford University Press, New York, 1996. [4] Graviner, J. V., The Changing Concept of Change: the Derivative from Fermat to Weierstrass, Mathematics Magazine, 56(4) (1983), pp. 195–206. [5] Guzman, M. de, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Teoría de Estabilidad y Control, Ed. Alhambra, Madrid, 1975. [6] Hirsch, M., Smale, S., Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974. [7] Keisler, H. J., Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, 2nd ed., Prindle, Weber & Schmidt, 1986. Ahora disponible en http://www. math.wisc.edu/~keisler/calc.html [8] Landau, E., Foundations of Analysis, Chelsea, New York, 1966. [9] Rey Pastor, J., Pi Calleja, P., Trejo, C. A., Análisis Matemático vol. I, Kapelusz, Buenos Aires, 1958. [10] Robinson, A., Non-standard analysis, Revised edition, Princeton University Press, 1996. [11] Rossi, H., Mathematics Is an Edifice, Not a Toolbox, Notices of the AMS, 43(10) (1996), p. 1108. [12] Saari, D., Mathematical Complexity of Simple Economics, Notices of the AMS, 42(2) (1995), p. 222–230. [13] Spivak, M., Calculus, 2a. edición, Ed. Reverté, 1992.

Índice alfabético abscisa, 3 análisis no estándar, 10 àrea, 51 Arquímedes, 53 asíntota, 26 Barrow, Isaac, 52 Beltrami, Eugenio, 83 Berkeley, George, 7 Bernoulli, Jakob, 55, 87, 105 Bernoulli, Johann, 41, 105, 110 braquistócrona, 110 Cantor, Georg, 12 cardioide, 86, 87 catenaria, 105 Cauchy, Augustin Louis, 9, 12 cáustica por reflexión, 84 centro de curvatura, 76 cicloide, 74 composición, 19 condiciones iniciales, 100 continuidad, 28 uniforme, 33 coordenadas polares, 86 cortaduras, 12 cotas, 15 Courant, Richard, 5 curva alabeada, 73 plana, 73 rectificable, 70 regular, 75 curvatura, 76 Darboux, Jean Gaston, 32 Dedekind, Richard, 12

derivada, 33 de función compuesta, 39 de función inversa, 40 de orden superior, 43 infinita, 33 lateral, 34 Descartes, René, 3 desigualdad aritmético-geométrica, 90 de Bernoulli, 55 de Hölder, 94 de Jensen, 90 de Minkowski, 94 de Young, 93 discontinuidad, 29 de salto, 29 evitable, 29 ecuación característica, 101 diferencial, 100 lineal, 100 EDO, 100 elipse área de la, 53 ecuación polar, 89 entorno, 17 reducido, 17 envolvente, 84 epicicloide, 75 espiral de Arquímedes, 87 Logarítmica, 87 Euclides, 2 Eudoxo, 2 Euler, Leonhard, 8, 9 evoluta, 79

evolvente, 77 excentricidad, 89 extremo local, 20 Fermat, Pierre de, 3, 63, 110 fluxión, 5 fórmula de Euler, 102 de Taylor, 45 fórmulas de Frenet, 77 Frenet, Jean Frédéric, 77 función, 18 biyectiva, 18 cóncava, 50 continua, 29 convexa, 48 derivada, 33 discontinua, 29 impar, 67 inversa, 18 inyectiva, 18 monótona, 20 creciente, 20 decreciente, 20 par, 67 periódica, 67 sobreyectiva, 18 Galileo, 105 Gateway Arch, 105 Gaudí, Antoni, 105 Graviner, Judith V., 1 Heron de Alejandría, 62 hipocicloide, 75 Hölder, Otto L., 94 Hooke, Robert, 8, 103 Huygens, Christiaan, 105, 109 imagen, 18 ínfimo, 15 infinitésimo, 44 infinito, 44 inflación, 121 interior, 17 intervalos, 17

involuta, 77 isócrona, 109 Kepler, Johannes, 7, 111 L’Hôpital, Guillaume de, 41 límite, 21 Lagrange, Joseph-Louis, 8, 38 Le Verrier, Urbain, 115 Leibniz, Gottfried W., 5, 105 Leonardo da Vinci, 96 ley de Hooke, 103 de Snell, 63, 110 leyes de Kepler, 7, 111 de Newton, 96, 112 longitud de arco, 70 Lotka, Alfred J., 119 Méray, Charles, 12 Maclaurin, Colin, 47 Malthus, Thomas, 116 máximo de un conjunto, 15 de una función, 20 local, 20 media aritmética, 90 pesada, 91 armónica, 92 pesada, 91 cuadrática, 92 de orden α, 91 geométrica, 90 pesada, 91 método de Newton, 69 mínimo de un conjunto, 15 de una función, 20 local, 20 Minkowski, Hermann, 94 modelo exponencial, 116 logístico, 117 predador-presa, 118

nefroide, 86 Newton, Isaac, 5, 69, 112 notación de Landau, 44 ortóptica, 88 péndulo isócrono, 109 parámetro, 73 podaria, 88 polinomio de Taylor, 45 preimagen, 18 primitiva, 43 Principio de Fermat, 63, 110 del ínfimo, 16 del supremo, 15 producto cartesiano, 18 escalar, 73 vectorial, 73 Propiedad de Darboux, 32 punto crítico, 34 de inflexión, 50 radio de curvatura, 76 regla de Barrow, 52 de L’Hôpital, 41 de la cadena, 39 de Leibniz, 44 regula falsi, 69 relación, 18 Robbins, Herbert, 5 Robinson, Abraham, 10 Sagrada Familia, 105 semientorno, 17 serie, 28 de Maclaurin, 47 de Taylor, 47 seudoesfera, 83 sistema dinámico, 120 Snell, Willebrord, 63, 110 sucesión, 28

supremo, 15 tautócrona, 109 Taylor, Brook, 45 teorema de Cauchy, 40 de Heine-Cantor, 33 de Rolle, 37 de Taylor, 46 de Torricelli, 107 del sándwich, 25 del valor medio, 38 fundamental del Cálculo, 6, 51 Torricelli, Evangelista, 107 tractriz, 83 triedro de Frenet, 77 vector binormal, 77 normal, 76 tangente, 75 velocidad de escape, 114 instantánea, 36 media, 36 Volterra, Vito, 118 Weierstrass, Karl, 10, 12

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